二维随机变量函数的分布3-4

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3.6二维随机变量的函数的分布

类似地，可得 N min( X ,Y )的分布函数为
Fmin (z) P{N z} 1 P{N z} 1 P{ X z,Y z} 1 P{ X z}P{Y z} 1 [1 P{ X z}][1 P{Y z}] 1 [1 FX (z)][1 FY (z)]
(2
2 z)2
,
z
0
.
0,
z0
二维随机变量的函数的分布
四、常见的二维随机变量的函数的分布
4、 Z XY 的分布
类似推导可得
fZ (z)
+
f
( x,
z) x
1 x
dx
当 X 与Y 独立时，
fZ (z)
+
fX (x)
fY
(
z) x
1 x
dx
二维随机变量的函数的分布
四、常见的二维随机变量的函数的分布
一、二维随机变量的函数的分布引言
设( X ,Y )为一个二维随机变量，z g( x, y)为一个已知的二
元连续函数，则 Z g( x, y)是随机变量 X ,Y 的函数，它也是一
个随机变量.
边缘
分布
条件分布
联合分布
函数分布
独立性
二维随机变量的函数的分布
二、二维离散型随机变量的函数的分布
二维随机变量的函数的分布
推广到n个相互独立的随机变量，设 X1, X2 ,L , Xn是n个相互独立的随机变量
Fmax (z) FX1 (z)FX2 (z)L FXn (z) Fmin (z) 1 [1 FX1 (z)][1 FX2 (z)]L [1 FXn (z)]
当 X1, X 2 , , X n相互独立且具有相同分布函数F ( x)时，有

二维随机变量函数的分布

Fmax ( z) FX1 ( z) FX2 ( z) FXn ( z),
Fmin (z) 1 [1 FX1 (z)][1 FX2 (z)] [1 FXn (z)]. 若 X1, X2, , Xn相互独立且具有相同的分布函数 F(x) ,则
Fmax(z) [F (z)]n , Fmin (z) 1 [1 F (z)]n .
c
1
[
x
2
(2
x)
/
2]dx
=5c/24=1,
0
c =24/5
例1 设(X,Y)的概率密度是
cy(2 x), 0 x 1, 0 y x
f (x, y)
0,
其它
求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度注. 意积分限
y
解:
(2) fY
y=x
(
y
1
) y
24
24 y(2 5 y(3 2y
P{Z k} P{{ X 0,Y k} { X 1,Y k 1} { X k,Y 0}}
P{ X 0} P{Y k} P{ X 1} P{Y k 1}
P{ X k} P{Y 0}
k
P{ X m} P{Y k m}
m0
k
m
1 e1
km
Z
－1
0
1
pi 0.1344 0.7312 0.1344
(2)线性方程组只有零解，也就是Z≠0，故有
P{Z 0} 1 P{Z 0} 1 0.7312 0.2688
二、二维连续型随机变量的函数的分布
1、和的分布：Z=X+Y 设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)，则Z=X+Y的分布函数为

§3.4二维随机变量函数的分布

fX ( x) fY (z x)dx
z e (zx)dx 1 e z，
0
2020/4/12
17
ii) when z 1，
fZ (z)
fX ( x) fY (z x)dx
1 e(zx)dx ez (e 1)。
0
所以 Z X Y 的密度函数为：
0，
z 0,
fZ
(z)
1 e z，
fZ (x)
FZ (z)
z ln
2 z
.
（4）总结 Z的密度函数
f
Z
(
z
)
z
ln
2 z
,
0 。z 2
0,
else。
2020/4/12
Hale Waihona Puke 11Z aX bY 、连续型卷积公式
例：设 X ,Y 的联合密度为 f (x, y)，Z aX bY。
求 Z 的密度函数（a, b为不全为0的实常数）。
（1）确定Y 的取值范围R(Y)；
（2）求出当 y R(Y ) 时Y 的分布函数 FY ( y) ：
FY ( y) P(Y y) P( g( X ) y) P( X G( y))
f ( x)dx；
G( y)
其中 G( y)是满足 g( X ) y 的X 的取值范围；
（3）求出当 y R(Y ) 时Y 的密度函数 fY ( y) ：
0 z 1,
ez (e 1)， z 1。
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ZX Y
类似于前面的卷积公式，我们有
定理设二维连续型随机变量（X,Y）的联合
密度函数为 f ( x, y)，则 Z X Y 的密度函数

二维随机变量函数的分布

第三章多维随机变量及其分布第五节二维随机变量的函数分布复习：已知一维随机变量X 的概率特性——分布函数或概率密度（分布律）Y = g ( X )求随机变量Y的概率特性方法：将与Y有关的事件转化成X的事件如果g (x k )中有一些是相同的,则Y 取该值的概率为所有g (x i )所对应的P i 之和.一般，若X 是离散型r.v ，X 的概率函数为Xn n p p p x x x 2121～则Y=g (X )～n n p p p x g x g x g 2121)()()(一维离散型随机变量函数的分布一维连续型随机变量函数的分布X f x Y =g X 设为连续型随机变量,其概率密度为,则的概率密度的求解可通过求其分布函数得到.一般过程为:方法一:分布函数法Y 1.求出的分布函数.1-Y F y =P Y y =P g x y =P x g y1-g y -=f x dx.一、离散型分布的情形问题: 已知二维离散型随机变量(X,Y )的分布律, g (x,y )为已知的二元函数, 则Z =g (X,Y )也是离散型随机变量,求Z 的分布律.1kk k ij .Z =z =g x ,y2.k ki j kk k k i j g x ,y =z P Z =z =P X =x ,Y =y k =1,2,…设X ~B (n 1, p ), Y ~B (n 2, p ), 且独立，具有可加性的两个离散分布设X ~ P ( 1), Y ~ P ( 2), 且独立，则X + Y ~ B ( n 1+n 2,p )则X + Y ~ P ( 1+ 2)二、连续型分布的情形问题：已知二维随机变量( X ,Y )的概率密度，g(x,y)为已知的二元函数，Z = g( X ,Y )求：Z 的概率密度函数.方法：1）从求Z 的分布函数出发，将Z 的分布函数转化为( X ,Y )的事件的概率(分布函数法). 2）代公式(公式法).•z•z += zx（通过分布函数）则),(zFZ2,()z F z时x 1y o解法二（公式法-------图形定限法）其他,02,10,3),(xz x x x x z x fdxx z x f z f Z ),()(由公式（1）其他,00,10,3),(xy x x y x f正态随机变量的情形1）若X ,Y 相互独立,),(~),,(~222211 N Y N X 则),(~222121 N Y X 2）若(X ,Y ));,;,(~222211 N 则)2,(~22212121 N Y X ni N X ii i ,,2,1),,(~2 若n X X X ,,,21 相互独立则),(~1211ni in i i n i i N X(3)M=max(X,Y) 及N=min(X,Y) 的分布设X，Y是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为FX (x)和FY(y),我们来求:M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z，故有P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)又由于X和Y相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:即有F M (z )= F X (z )F Y (z )F M (z )=P (M ≤z )=P (X ≤z )P (Y ≤z )=P (X ≤z ,Y ≤z )类似地，可得N=min(X ,Y )的分布函数是：F N (z )=P (N ≤z )=1-P (N >z )=1-P (X >z ,Y >z )=1-P (X >z )P (Y >z )即有F N (z)= 1-[1-F X (z )][1-F Y (z )]推广:设X 1,…,X n 是n 个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为求M=max(X 1,…,X n )和N=min(X 1,…,X n )的分布函数,则：)(x F i X (i =0,1，…, n ),N=min(X 1,…,X n )的分布函数为:M=max(X 1,…,X n )的分布函数为:111()[()]N X F z F z …1[()]n X F z 1()()M X F z F z ()n X F z …特别，当X 1,…,X n 相互独立且具有相同分布函数F (x )时，有F M (z )=[F (z )] n , F N (z )=1-[1-F (z )] n 若X 1,…,X n 是连续型随机变量，在求得M=max(X 1,…,X n )和N=min(X 1,…,X n )的分布函数后，不难求得M 和N 的密度函数.例3设系统L 由相互独立的n 个元件组成，连接方式为:(1) 串联；(2) 并联；如果n 个元件的寿命分别为12,,,n X X X 12~(),,,,i X E i n 且求在以上2种组成方式下，系统L 的寿命X 的密度函数.解0,(),i xX e x f x其它100,(),i xX e x F x其它(1)},,,min{21n X X X X ni X X x F x F i 1))(1(1)(,00,)(x x en x f xn X,1,0,)(1x x e x F xX i (2)},,,max{21n X X X X ni X X x F x F i 1)()(,0,0,)1(x x e nx,00,)1()(1x x e en x f n x xXy=y=z•z•zx +y =zz -11x1•z•z1xyz2 21x= 1-z= 1-z。

二维随机变量的函数的分布

2 数值方法
根据函数的定义和已知分布，可以通过求解方程来得到函数的分布。
当方程难以求解时，可以使用数值方法如蒙特卡洛模拟来近似计算函数的分布。
常见的二维随机变量函数的分布
介绍一些常见的二维随机变量函数和它们的分布，以及它们在实际问题中的应用。
线性变换
对于服从正态分布的二维随机变量，经过线性变换后，其分布也将趋于正态分布。
介绍二维随机变量函数的定义和应用场景，以及一些常见的例子。
定义
二维随机变量函数是将一个或多个随机变量映射到另一个随机变量的数学函数。
例子
一个常见的二维随机变量函数的例子是计算两个变量之间的相关性。
二维随机变量函数的分布求解方法
讲解如何通过求解方程或使用数值方法得到二维随机变量函数的分布。
1 方程求解
其他函数示例
还有许多其他类型的二维随机变量函数，如指数函数、对数函数等。
函数转换法的应用与实例
通过实际应用案例，展示函数转换法在解决二维随机变量函数的分布问题中的应用。
1
应用实例
以金融市场中的投资组合优化问题为例，展示如何使用函数转换法来计算最优投资组合的分布。
2
优势与局限
介绍函数转换法的优势和局限性，以及如何在实际问题中准确应用。
3
实用案例
分享其他实用案例，如信用评级、股票市场分析等，来展示函数转换法的广泛应用。
二维随机变量的函数的分布
随机变量及其函数的定义和性质介绍
二维随机变量的概念和例子
通过实际例子，介绍二维随机变量的定义和特点，以及它们在现实生活中的应用。
定义
二维随机变量是由两个随机变量构成，表示两个相关事件的联合概率分布。
例子

二维随机变量的函数的分布

即 pij pi p j .
(2) 设连续型随机变量( X ,Y )的概率密度为f ( x, y) , 边缘概率密度分别为f X ( x) , fY ( y) ,则有
X 和Y 相互独立 f ( x, y) f X ( x) fY ( y).
在f ( x, y) , f X ( x) , fY ( y)的一切连续点(x, y)处
Z=X+Y的概率密度。
解
fX (x)
1
x2
e 2,
2
fY ( y)
1
y2
e 2 ,( x, y )
2

fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
t 2(x z ) 2

1
x2
e2
2
1 e dx
(
z x 2
0.1 0.3 0.3 0.1 0.2
X与Y独立，X,Y取0,1,2，…，则Z=X+Y Z=max(X,Y)
的分布律
设X与Y独立，分别服从参数为 1 ，2 的泊松分布，证明Z=X+Y服从参数为 1 2 的泊松分布。
【注】分布具有可加性
二项分布的可加性（P89）
二、连续型随机变量的函数的分布
例2 设随机变量X和Y相互独立，且X和Y都是（0，a）上的均匀分布，求Z=X+Y的概率密度。
例2 在一简单电路中，两电阻R1和R2串联联接，设
R1, R2相f (互x)独立1，050它x 们, 的0 概x率密10度, 均为 z
0,
其它.
求总电阻R=R1+R2的概率密度.
z=x+10 z=x
0,
, x 0, 其它.

概率论与数理统计§3.1 二维随机变量及其函数;§3.2 二维随机变量的分布

2. 性质
(1) f ( x , y ) 0.
( 2)
f ( x, y ) d x d y F (, ) 1.

( 3) 设 G 是 xoy 平面上的一个区域, 点 ( X ,Y ) 落在 G 内的概率为
P {( X ,Y ) G } f ( x , y ) d x d y .
2F ( x, y) (4) 若 f ( x , y ) 在 ( x , y ) 连续, 则有 f ( x, y) . xy
P X a, Y c P (a X , c Y )
1 F (, c ) F (a, ) F (a, c )
(+,c)
x
例2. 设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数
x y F ( x, y ) A B arctan C arctan 2 2 x , y
F ( x, y)
x yy pij , x
i j
其中和式是对一切满足xi x , y j y 的 i , j 求和.
例如，在例4中
1 1 F (1, 2) P{ X 1, Y 2} p11 p12 0 . 3 3
3.2.3 二维连续型随机变量 1.定义
其中A , B , C 为常数. (1) 确定A , B , C ；
(2) 求P (X > 2).
解 (1) F (, ) A B C 1 2 2 y F (, y ) A B C arctan 0 2 2 x F ( x, ) A B arctan C 0 2 2 1 B ,C , A 2 . 2 2 1 x y (2) F ( x, y ) 2 ( arctan )( arctan ) 2 2 2 2

第五章二维随机变量及其概率分布

G
P{( X ,Y ) G }的值等于以G为底 , 以曲面z f ( x, y) 为顶面的柱体体积.
例3.1 设( X ,Y )的联合密度函数为
f
(
x,
y)
cxy
0
0 x 1, 0 y 1 ,
others
(1)求常数C的值；（2）求P{X Y}；
（3）.求F (x, y)
解 (1)由
解由于
43 2 P{X 0,Y 0} P{X 0}P{Y 0 X 0}
10 9 15
46 4 P{X 0,Y 1} P{X 0}P{Y 1 X 0}
10 9 15
64 4 P{X 1,Y 0} P{X 1}P{Y 0 X 1}
10 9 15
65 5 P{X 1,Y 1} P{X 1}P{Y 1 X 1}
例1.1 已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为
F (x, y) A[B arctan x)][C arctan y)] ( x, y )
1)求常数A，B，C;
解: 由分布函数的性质，有
lim F(x, y) lim A(B arctan x)(C arctan y)
x
x
y
y
A(B
G
(4)若 f ( x, y)在( x, y)连续,则有2F ( x, y) f ( x, y). xy
3.说明
几何上, z f ( x, y) 表示空间的一个曲面.
f ( x, y)d x d y 1,
表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的全部体积等于1.
P{( X ,Y ) G} f ( x, y) d x d y,
设二维离散型随机变量( X ,Y )所有可能取的值为 ( xi , y j ), i, j 1, 2,, 记

二维随机变量函数的分布

试求 U X Y , V XY 的分布律.
例2 设随机变量 X 和 Y 相互独立，它们分别
服从参数为 1 和 2 的泊松分布.
二、二维连续型随机变量函数分布
随机变量 X 和 Y 的联合概率密度函数 f (x, y)
从公式
FZ (z) P{Z z} P{g(X ,Y ) z} P{(X ,Y ) Dz}
f (x, y)dxdy
( x, y)Dz
确定分布函数 FZ (z) 。
注：Dz 是由不等式 g(x, y) z 规定的 xOy 平面上的一个区域，且不必是连通的。
(1) Z X Y 的分布
y
x y z
x z y
y
x y z
yzx
x y z
x y z
x
x
(a)
(b)
图4-1 x y z 的区域
fX (x) fY ( y)
1
x2
e 2,
2
1
y2
e 2,
2
x y
(2) M max(X ,Y ) 及 N min(X ,Y ) 的分布设 X 与 Y 是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为 FX (x), FY ( y)，则 M max(X ,Y ) 及 N min(X ,Y ) 的分布函数分别为什么？
的分布律为：
P{Z zk}
pij
( xi , y j )Ak
其中 Ak {( xi , y j ) | g(xi , y j ) zk}, k 1,2,3,
例1 已知随机变量 ( X,Y ) 的联合分布律如下：
Y X
1
2
-1
0
1
0.07 0.28 0.15 0.09 0.22 0.19

二维随机变量函数的分布函数推导

二维随机变量函数的分布函数推导
要推导二维随机变量函数的分布函数，首先需要明确二维随机变量函数的定义。

假设有两个随机变量X和Y，它们的联合分布函数为F(X,Y)。

现在定义一个新的二维随机变量函数Z = g(X,Y)，其中g是一个实值函数。

要推导Z的分布函数，可以分为以下步骤：
1. 确定Z的取值范围：根据函数g的定义，确定Z的取值范围。

例如，如果g(X,Y) = X + Y，则Z的取值范围为实数。

2. 计算Z的分布函数：对于任意给定的实数z，计算Z ≤ z的概率，即P(Z ≤ z)。

可以利用联合分布函数F(X,Y)来计算这个概率。

- 首先，找到所有满足g(X,Y) ≤ z的(X,Y)对。

这相当于找到所有满足g(X,Y) ≤ z的(X,Y)对在联合分布函数F(X,Y)中的概率。

- 然后，对这些概率进行求和，即求P(g(X,Y) ≤ z) = ∑∑[F(x,y)]，其中∑∑表示对所有满足g(X,Y) ≤ z的(X,Y)对求和。

3. 得到Z的分布函数：根据步骤2中计算出的P(Z ≤ z)，可以得到Z的分布函数Fz(z) = P(Z ≤ z)。

推导二维随机变量函数的分布函数需要根据具体的函数g的定义进行计算，上述步骤可以用来指导推导的过程。

3.1 二维随机变量及其分布

可得
三、二维连续型随机变量及其概率分布
例：设二维随机变量（X, Y）具有概率密度
试求：（1）c 的值；（2）两个边缘密度。
解：（2）由概率密度函数性质 4，即
即Y的边缘密度函数为
三、二维连续型随机变量及其概率分布
例：设二维随机变量（X, Y）具有概率密度
试求：（1）c 的值；（2）两个边缘密度。
解：（2）由概率密度函数性质 4，即
即X的边缘密度函数为
三、二维连续型随机变量及其概率分布
例：设二维随机变量（X, Y）具有概率密度
试求两个边缘密度。
解：由概率密度函数性质 4，即
三、二维连续型随机变量及其概率分布
例：设二维随机变量（X, Y）具有概率密度
试求两个边缘密度。
解：由概率密度函数性质 4，即
三、二维连续型随机变量及其概率分布
解：依题意知，概率密度函数为
由概率密度函数性质 4，得
三、二维连续型随机变量及其概率分布
解：依题意知，概率密度函数为
三、二维连续型随机变量及其概率分布
两个常见二维连续型概率分布
三、二维连续型随机变量及其概率分布
关于二维正态分布的说明（1）服从二维正态分布的密度函数的典型图形见下图；（2）二维正态分布的两个边缘分布是一维正态分布。
解：（1）由二维随机变量分布函数的性质, 可得
一、二维随机变量及其分布函数
例：设二维随机变量（X, Y）的分布函数为
解：由（1）式可得
第一节二维随机变量及其分布
二维随机变量及其分布函数
二维离散型随机变量及其概率分布二维连续型随机变量及其概率密度
二、二维离散型随机变量及其概率分布

二维随机变量及其分布

§5.1 二维随机变量及分布函数
二、联合分布函数性质 ③ F(x,y)关于x、关于y 右连续
F(x0
0,
y)
lim
xx00
F(x,
y)
F(x0
,
y)
F(x,
y0
0) lim yy00
F(x,
y)
F(x,
y0
)
整理课件
§5.1 二维随机变量及分布函数
二、联合分布函数性质 ④ F(, ) lim F(x,y)0
2
1
x 1, y 1
整理课件
§5.3 二维连续型随机变量
一、二维连续型随机变量及联合密度函数
1.定义：设(X,Y)的分布函数为F(x,y),若存在一非负函数f(x,y),使得对于任意的实数x,y有
yx
F(x,y) f(x,y)dydx
则称(X,Y)是连续型二维随机变量,函数 f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的(联合)概率密度函数. 2．概率密度f(x,y)的性质
第五章二维随机变量及其分布
➢ 二维随机变量及分布函数 ➢ 二维离散型随机变量 ➢ 二维连续型随机变量 ➢ 边缘分布 ➢ 随机变量的独立性 ➢ 条件分布
整理课件
§1.1 二维随机变量及分布函数
一、二维随机变量一般地，如果两个变量所组成的有序数组即二维变量（X，Y），它的取值是随着实验结果而确定的，那么称这个二维变量（X，Y）为二维随机变量，相应地，称（X，Y）的取值规律为二维分布
1
2
9P(X=2,Y=1)=2/9 1 1/9
2/9
P(X=2,Y=2)=4/ 2 2/9
4/9
9
整理课件
§5.2 二维离散型随机变量

2.5 概率论——二维随机变量函数的分布

X Y ~ B(m n, p) 即二项分布对第一个参数具有可加性。
二、c.r.v.函数的分布
设c.r.v. ( X ,Y ) ~ f ( x, y), g( x, y)为一连续函数，令 Z g( X ,Y ), 则Z 的分布函数为
FZ (z) P(Z z) P( g( X ,Y ) z) P(( X ,Y ) D) (D : g( X ,Y ) z)
Xi
~
N
(i
,
2 i
)
则有
n
n
X1 L Xn ~ N (
i ,
2 i
)
i1 i1
此为正态分布的可加性
更有
n
n
n
ai X i ~ N (
aii ,
ai2
2 i
).
i 1
i 1
i 1
独立正态变量的线性组合仍为正态变量(Cf.P101)
特别地，X1,K , Xn 相互独立同正态分布 N (, 2 ),
0, z 0或 z 2
fZ
(z)
z,
0 z1
2
z,
1 z2
1
2 x
例7 已知 ( X ,Y ) 的联合 d.f.为
3 x, 0 x 1, 0 y x
f
(x,
y)
0,
其他
Z = X + Y ,求 f Z (z)
解法一（图形定限法）
由公式（1）
fZ (z)
f (x, z x)dx
f
X
(
x)
1, 0,
0 x1 其他
fY
(
y)
1, 0,
0 y1 其他
z
fZ (z) fX (x) fY (z x)dx 2

二维随机变量分布函数的几何意义

二维随机变量分布函数的几何意义随机变量是概率论中的重要概念之一，而二维随机变量则是指由两个随机变量构成的随机向量。

二维随机变量的分布函数是描述这个随机向量的一个重要工具，它可以用来分析和理解随机变量之间的关系以及它们在二维空间中的分布情况。

二维随机变量的分布函数可以定义为：F(x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y)其中X和Y分别表示两个随机变量，F(x, y)表示X≤x且Y≤y的概率。

在理解二维随机变量分布函数的几何意义时，我们可以从以下几个方面进行分析。

1. 分布函数的定义域和取值范围二维随机变量的分布函数的定义域是整个二维平面，即（-∞, +∞）×（-∞, +∞）。

而分布函数的取值范围是[0, 1]，表示概率的取值范围。

2. 分布函数的性质二维随机变量的分布函数具有以下性质：（1）F(x, y)是关于x和y非减的函数，即对于任意的x1≤x2和y1≤y2，有F(x1, y1)≤F(x2, y2)。

（2）当x或y趋于无穷时，分布函数趋于0或1，即lim F(x, y) = 0或1。

（3）对于任意的x和y，有0≤F(x, y)≤1。

3. 分布函数的图像二维随机变量的分布函数的图像是一个阶梯状的曲线。

具体来说，对于给定的x和y，分布函数的值F(x, y)表示落在以原点为左下角，边长为x，y的矩形内的概率。

例如，当x=1，y=1时，F(1, 1)表示随机变量X和Y同时小于等于1的概率。

可以通过计算这个概率来确定分布函数在该点的值。

4. 分布函数的性质与随机变量的关系二维随机变量的分布函数可以用来描述随机变量X和Y之间的关系。

通过比较不同点上的分布函数的值，可以判断X和Y之间的相关性。

例如，如果对于所有的x和y，有F(x, y) = F(x)F(y)，其中F(x)和F(y)分别表示随机变量X和Y的边缘分布函数，那么可以判断X和Y是相互独立的。

通过分布函数还可以计算二维随机变量的边缘分布函数、条件分布函数以及相关系数等重要的统计量，进一步分析和理解随机变量的特性。

二维连续型随机变量分布函数及概率的计算

二维连续型随机变量分布函数及概率的计算随机变量是概率论中的重要概念，它描述了随机现象的结果。

而在实际问题中，往往会涉及到多个随机变量的联合分布问题，这时就需要引入多维随机变量的概念。

在本文中，我们将重点讨论二维连续型随机变量的分布函数及概率的计算方法。

一、二维连续型随机变量的概念我们来了解一下二维连续型随机变量的概念。

二维连续型随机变量可以用一个二元组(X, Y)来表示，其中X和Y都是连续型随机变量。

其分布函数可以表示为F(x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y)，而密度函数则可以表示为f(x, y) = ∂^2F(x, y)/∂x∂y。

需要注意的是，对于二维连续型随机变量来说，概率密度函数并不是概率，而是通过其在某个区域上的积分来得到概率。

对于二维连续型随机变量的分布函数，我们可以按照以下步骤进行计算：1. 确定联合密度函数f(x, y)。

2. 然后，计算边际密度函数f1(x)和f2(y)，其中f1(x) = ∫f(x, y)dy，f2(y) =∫f(x, y)dx。

3. 根据边际密度函数，计算联合分布函数F(x, y)，其中F(x, y) = ∫∫f(u,v)dudv。

举个例子来说明，假设有一个二维连续型随机变量(X, Y)，其联合密度函数为f(x, y) = 2xy，且定义域为0<x<1，0<y<1。

那么我们可以按照上述步骤计算其分布函数：通过以上步骤计算得到了二维连续型随机变量的分布函数F(x, y) = x^2y。

这样，我们就可以用这个分布函数来计算各种概率。

在实际问题中，我们经常需要计算二维连续型随机变量在一个特定区域内的概率。

而对于二维连续型随机变量来说，其概率可以由其在特定区域上的积分来表示。

具体来说，如果我们需要计算二维连续型随机变量(X, Y)在区域D上的概率，可以通过以下步骤进行计算：1. 确定区域D的范围，并利用联合密度函数f(x, y)计算在该区域上的积分∫∫f(x, y)dxdy。

3.4二维随机变量的分布函数、边缘分布

(1) 求常数 A; (2) （X，Y）落在由 y x, x y 及 2 所围区域G内的概率
y0
解
(1) f ( x, y )dxdy 1

y
2 2
f ( x, y)dxdy 1

2 0

D
2 0
A sin( x y )dxdy
0 0
1
x
c [ x ( 2 x ) / 2]dx =5c/24=1,
2 0
1
0
1
c =24/5
解: (2)
24 y(2 x ), 0 x 1, 0 y x f ( x, y) 5 0 , 其它
f X ( x)
y
y=x

(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)
P ( X 0, Y 0) C / C 3 / 15,
2 3 2 6
同理有
P ( X 0, Y 1) C C / C 6 / 15,
1 2 1 3 2 6
P ( X 0, Y 2) C / C 1 / 15 ; P ( X 1, Y 0) C C / C 3 / 15,

x
A 2 [ cos( x y )]02 dx
0

A [ cos( x ) cos x]dx 2
2 0

1 A 2
P{( X , Y ) G} 2 1 sin( x y )dxdy 4 2 G y 1 4 dy 2 sin( x y )dx 0 0 y 2 y 1 4 2 [ cos( x y )] y dy 2 0 1 1 [sin 2 y ]04 4 4

《概率学》3.4二维随机变量的条件分布

第4节多维随机变量的条件分布
第三章多维随机变量及其分布
例2 已知(X,Y )服从圆域 x2 + y2 r2 上的均匀分布,求
fY X ( y x).
当 – r < x < r 时，
fY X ( y
x)
f (x, y) fX (x)
2
1 ,
r2 x2
0,
r2 x2 y 其他
r2 x2
f
(x,
y)
1 / 0,
x,
0 x 1,0 y x;
其他.
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第4节多维随机变量的条件分布
第三章多维随机变量及其分布
练习对于随机向量(X,Y)已知
fY
X (y
x)
2y
1
x
2
,
0,
x y 1
4x(1 x2 ),
fX (x)
其他
0,
求Y在X=0和X在Y=1条件下的条件概率分布.
X
Y
1
2
3 P(X=xi)
0
0.1
0.2
0.3 0.6
1
0.1
0.2
0.1 0.4
解再计算 (X, Y)关于Y的边缘概率分布
由公式
P{Y xi
X
yj}
pi j p j
i 1, 2,
得在Y=1条件下X的条件概率分布为：
X|Y=1 0
1
pi| j
1
2
求P{X+Y≥1}，
P{Y<0.5},
P Y
2 3
X
1 2
0 x 1 其他

4.2二维随机变量函数的分布

z x t
z1
z
z
fY (t)d t z1 fY (t)d t
z
2t d t , 0 z 1 z2
0
,0 z 1
1
2t d t , 1 z 2
2z
z2
,1 z2
z1
0
, 其它
0
, 其它
概率统计（ZYH）
定理1
设X
~
N
(
1
,
2 1
),
Y
~
N
(
2
,
2 2
)
且相互独立,
0,
x 0,
e βy , y 0
fY
(
y)
0,
y0
概率统计（ZYH）
X+Y
-1
01
0
12
max(X,Y ) 0
01
1
11
min(X,Y ) -1
00
-1
01
概率统计（ZYH）
pi j (X ,Y) X+Y
0.1 0.2 0.2 0.1 0.1 0.3
(0,-1) (0,0) (0,1) (1,-1) (1,0) (1,1),Y ) 0
01
1
X1
3
pi• 0.3 0.7
Y2 4 p• j 0.6 0.4
求随机变量 Z=X+Y 的分布律.
解因X与Y 独立, 所以 P{X xi ,Y y j } pi• p• j
P{X xi ,Y y j } 0.18 0.12
0.42
0.28
( X ,Y )
(1, 2) (1, 4) (3, 2) (3, 4)
FY

二维随机变量函数的分布3-4

3.6二维随机变量的函数的分布

二维随机变量函数的分布

§3.4二维随机变量函数的分布

二维随机变量函数的分布

二维随机变量的函数的分布

二维随机变量的函数的分布

概率论与数理统计§3.1 二维随机变量及其函数;§3.2 二维随机变量的分布

第五章 二维随机变量及其概率分布

二维随机变量函数的分布

二维随机变量函数的分布函数推导

3.1 二维随机变量及其分布

二维随机变量及其分布

2.5 概率论——二维随机变量函数的分布

二维随机变量分布函数的几何意义

二维连续型随机变量分布函数及概率的计算

3.4二维随机变量的分布函数、边缘分布

《概率学》3.4二维随机变量的条件分布

4.2二维随机变量函数的分布

第五章二维随机变量及其概率分布