07.定轴转动定律
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定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
Iz
( 1 ml 2 12
mr 2 )
代入得 mgr cos 2mr dr
dt
v
dr dt
g cos 2
g
2
cos
t
7 lg 24v 0
cos(12v 7l
0t
)
L 0 J 常量
即：合外力为对转轴的力矩为零时，刚体的角动量守恒
讨论：
a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J保持不变， 当合外力矩为零时，其角速度恒定。
当M z 0时， J =恒量 =恒量
b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系
统的角动量依然守恒。J 大→ 小, J 小→ 大。
当M z 0时， Lz J11 J22 恒量
。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对
转轴O的外力矩为零，所以，这个系统的对O轴的角
动量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度，则
1
ml 2
mvl
1
ml 2
3
3
（2）
式中’为棒在碰撞后的角速度，它可正可负。
’取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右
摆。
第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减 速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为
例12、如图所示，长为L，质量为m1的均匀细棒 能绕一端在铅直平面内转动。开始时，细棒静止于
垂直位置。现有一质量为m2的子弹，以水平速度v0
射入细棒下断而不复出。求细棒和子弹开始一起运 动时的角速度？
题意分析：由于子弹射入细棒的时间极为短促，我们 可以近似地认为：在这一过程中，细棒仍然静止于垂 直位置。因此，对于子弹和细棒所组成的系统（也就 是研究对象）在子弹射入细棒的过程中，系统所受的 合外力（重力和轴支持力相等）对转轴O的力矩都为 零。根据角动量守恒定律，系统对于O轴的角动量守 恒。
定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律
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适用范围
适用于质点和刚体的定轴 转动，是经典力学中的基 本定律之一。
数学表达
如果系统合外力矩为零， 则系统的动量矩保持不变， 即L=L'。
定律推导
推导过程
根据牛顿第二定律和角动量定理，通过数学推导 得到动量矩守恒定律。
关键点
推导过程中需要确保系统合外力矩为零，即没有 外力矩作用在系统上。
适用条件
适用于质点和刚体的定轴转动，当物体绕定点转 动时，可以用动量矩守恒定律。
定理推导
总结词
定轴转动的动量矩定理可以通过牛顿第二定律和角动量定理推导得出。
详细描述
首先，根据牛顿第二定律，质点系受到的合外力等于其动量的变化率。然后，利 用角动量定理，将动量和时间的关系转化为角动量和转动半径的关系，最终推导 出定轴转动的动量矩定理。
定理应用
总结词
定轴转动的动量矩定理在分析旋转机械、行星运动等领域有广泛应用。
定理的重要性
理论意义
动量矩定理和动量矩守恒定律是经典力学理论体系中的重要 组成部分，它们为理解和分析物体的定轴转动提供了基础理 论支持。
实际应用
在实际工程和生活中，许多机械系统、旋转运动器械以及行 星运动等都涉及到定轴转动，动量矩定理和动量矩守恒定律 为这些系统的设计和优化提供了重要的理论依据。
02
理论基石
动量矩定理和动量矩守恒定律是 经典力学中定轴转动的基础理论， 为分析定轴转动问题提供了重要 的理论支撑。
指导实践
在实际工程中，许多机械系统、 航空航天器和车辆等都涉及到定 轴转动，这些理论为设计和优化 这些系统提供了重要的指导。
学科发展
动量矩定理和动量矩守恒定律的 发展推动了相关学科如旋转动力 学、陀螺力学等的发展，为这些 学科提供了重要的理论基础。
一,刚体的定轴转动(运动)二,力矩,刚体定轴转动的转动定律,转动惯量
二、刚体定轴转动的转动定律
～利用力矩定义＋牛顿第二定律，研究刚体作定 轴转动的动力学规律。 设：oz为定轴， 为 P 刚体中任一质点 i ，其 质量为 ∆ m i。质点 iv ur 受外力 F i ，内力 F i ′ 的作用，均在与 O z 轴 相垂直的同一平面内。 ①牛顿第二定律： ur r v F i + Fi ′ = ∆ m i a i 建立自然坐标：切向、法向；
三、转动惯量 J 1.转动惯量的物理意义： 当以相同的力矩分别作用于两个绕定轴转动的不同 刚体时，它们所获得的角加速度一般是不一样的，转 动惯量大的刚体所获得的角加速度小，即角速度改变 得慢，也就是保持原有转动状态的惯性大；反之，转 动惯量小的刚体所获得的角加速度大，即角速度改变 得快，也就是保持原有转动状态的惯性小。因此，转 动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。 2.与转动惯量有关的因素：①刚体的质量；②转轴的 位置；③刚体的形状。 实质与转动惯量有关的只有前两个因素。形状即质量 分布，与转轴的位置结合决定转轴到每个质元的矢径。
R 3
例3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的 转动惯量。 B 解：取如图坐标，dm=λdx A
J
A
=
∫
∫
L
0
x 2 λ dx = mL 2 / 3
A
x λ dx = mL
2 2
JC =
L 2 L − 2
L C L/2 L/2
X B X
/ 12
例4. 求质量 m ,半径 R 的球壳对直径的转动惯量 解：取离轴线距离相等的点的 集合为积分元
F i t ri + F i t′ ri = ∆ m i ri 2 α
外力矩 内力矩
③对所有质元的同样的式子求和：
大学物理Ⅰ刚体定轴转动的转动定律
第五章 刚体的定轴转动
5.1刚体运动的描述
一.刚体
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变 化的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点 组）
（1）刚体的运动
刚体的运动形式：平动、转动 .
平动：若刚体中所有点 的运动轨迹都保持完全相同， 或者说刚体内任意两点间的 连线总是平行于它们的初始 位置间的连线 .
F F11 F
其中F11对转轴的力 矩为零，故 F 对转轴的力矩
M zk r F
z
k F11
F
O r
F
M z rF sin
2）合力矩等于各分 力矩的 矢量和 M M1 M2 M3
第五章 刚体的定轴转动
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
rj
d ri
i
j
Fji Fij
M
rdf
l
grdr
0
1 gl 2
2
1 mgl
2
dm dl
dm ds
dm dV
其中、、分别
为质量的线密度、 面密度和体密度。
线分布
面分布
体分布
第五章 刚体的定轴转动
m 例1 一质量为 、长为 l 的均匀细长棒，求通过棒中
心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
r 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的质
fi
第五章 刚体的定轴转动
M i外 M i内 miri2
i
i
i
Mi内 0
i
M i外 ( miri2 )
i
i
z
O rj
5.1刚体运动的描述
一.刚体
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变 化的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点 组）
（1）刚体的运动
刚体的运动形式：平动、转动 .
平动：若刚体中所有点 的运动轨迹都保持完全相同， 或者说刚体内任意两点间的 连线总是平行于它们的初始 位置间的连线 .
F F11 F
其中F11对转轴的力 矩为零，故 F 对转轴的力矩
M zk r F
z
k F11
F
O r
F
M z rF sin
2）合力矩等于各分 力矩的 矢量和 M M1 M2 M3
第五章 刚体的定轴转动
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
rj
d ri
i
j
Fji Fij
M
rdf
l
grdr
0
1 gl 2
2
1 mgl
2
dm dl
dm ds
dm dV
其中、、分别
为质量的线密度、 面密度和体密度。
线分布
面分布
体分布
第五章 刚体的定轴转动
m 例1 一质量为 、长为 l 的均匀细长棒，求通过棒中
心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
r 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的质
fi
第五章 刚体的定轴转动
M i外 M i内 miri2
i
i
i
Mi内 0
i
M i外 ( miri2 )
i
i
z
O rj
刚体的定轴转动和转动定律
受力： F Ft Fn
力矩：M r (Ft Fn )
r Ft rFt k
M F r ma r
z
M
Ft F
O r m
Fn
mr2
at r
即: M mr 2
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
2、刚体转动定律
质元 m j 受力为：
右手螺旋定则
第三章 刚体的转动
3– 1 刚体的定轴转动
4、角加速度（矢量）
第三章 刚体的转动
大小： d
dt
方向： 若 2 > 1 则 与角速度同向， 若 2 < 1 则 与角速度反向。
3– 1 刚体的定轴转动
第三章 刚体的转动
二、匀变速转动公式
匀变速转动：转动的角加速度为恒量的运动。
J R 2π r3dr π R4 所以 J 1 mR2
0
2
2
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
例3 ：质量为m、高为h、半径为r的均匀圆柱体，求其对 圆柱中心的转动轴的转动惯量？
解：dm dV 2 r h dr
其中：
m V
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
三 转动惯量 J mjrj2 , J r 2dm
1、物理意义：
j
描述刚体转动过程中转动惯性大小的物理量.（ 转动
惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置 .）
2、转动惯量的计算方法：
1）质量离散分布刚体的转动惯量：
J mjrj2 m1r12 m2r22
对质量面分布的刚体： dm dS
1刚体定轴转动定律
J x = ∫ y 2 dm , J y = ∫ x2dm
J z = ∫ r dm
2
z
o
y
r
dm
y
= ∫ ( x + y )dm
2 2
x
2
= ∫ y dm + ∫ x dm = Jx + J y
2
x
的圆盘， 例6、半径为 R 质量为 M 的圆盘，求绕直径轴 、 转动的转动惯量J 转动的转动惯量 y。 解：圆盘绕垂直于盘面的质心 z 轴转动的转 动惯量为： 动惯量为：
ω
r r
r
r v
∆ω d ω α = lim = ∆t → 0 ∆ t dt
r ω
刚体上任一质元的切向加速度和法向加速度表示为： 刚体上任一质元的切向加速度和法向加速度表示为： v2 dv dω = rω 2 at = =r = rα , a n = r dt dt
角加速度是矢量， 角加速度是矢量，但对于 刚体定轴转动角加速度的方 向只有两个， 向只有两个，在表示角加速 度时只用角加速度的正负数 值就可表示角加速度的方向， 值就可表示角加速度的方向， 不必用矢量表示。 不必用矢量表示。 说明： 角坐标、角位移、 说明： 角坐标、角位移、 角速度和角加速度等角量 是用来描述定轴转动刚体 的整体运动，也可用来描 的整体运动， 述质点的曲线运动； 述质点的曲线运动；
M dm = 2π rdr 2 πR
M dr r R
J = ∫ r dm
2
=∫
R
0
M r 2π rdr 2 πR
2
1 2 = MR 2
二、平行轴定理
定理表述： 定理表述：刚体绕平行于质心轴的转动惯量 J， ， 等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚体质量与 两轴间的距离平方的乘积： 两轴间的距离平方的乘积： J = J C + md 2
J z = ∫ r dm
2
z
o
y
r
dm
y
= ∫ ( x + y )dm
2 2
x
2
= ∫ y dm + ∫ x dm = Jx + J y
2
x
的圆盘， 例6、半径为 R 质量为 M 的圆盘，求绕直径轴 、 转动的转动惯量J 转动的转动惯量 y。 解：圆盘绕垂直于盘面的质心 z 轴转动的转 动惯量为： 动惯量为：
ω
r r
r
r v
∆ω d ω α = lim = ∆t → 0 ∆ t dt
r ω
刚体上任一质元的切向加速度和法向加速度表示为： 刚体上任一质元的切向加速度和法向加速度表示为： v2 dv dω = rω 2 at = =r = rα , a n = r dt dt
角加速度是矢量， 角加速度是矢量，但对于 刚体定轴转动角加速度的方 向只有两个， 向只有两个，在表示角加速 度时只用角加速度的正负数 值就可表示角加速度的方向， 值就可表示角加速度的方向， 不必用矢量表示。 不必用矢量表示。 说明： 角坐标、角位移、 说明： 角坐标、角位移、 角速度和角加速度等角量 是用来描述定轴转动刚体 的整体运动，也可用来描 的整体运动， 述质点的曲线运动； 述质点的曲线运动；
M dm = 2π rdr 2 πR
M dr r R
J = ∫ r dm
2
=∫
R
0
M r 2π rdr 2 πR
2
1 2 = MR 2
二、平行轴定理
定理表述： 定理表述：刚体绕平行于质心轴的转动惯量 J， ， 等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚体质量与 两轴间的距离平方的乘积： 两轴间的距离平方的乘积： J = J C + md 2
力矩转动惯量定轴转动定律
AB O
h
1 2
l
转动惯量的计算
解: （1）建立图示坐标系，设棒的质量线密度为， 则质元的质量为dm=dx。
A
JO r 2dm
x dx
1 2
l
2
1 2
l
1 l3
12
O x dx x
1 2
l
JO
1 ml 2 12
转动惯量的计算
（2）建立图示坐标系。
J A r 2dm
解: 建立图示坐标系，
R
设圆盘的质量面密度为
，则质元的质量为
dr
r
dm=2rdr。
J r 2dm
0R 2r 3dr
m
R2
R4
2 J
1 mR2 2
转动惯量的计算
例题2 求质量为m、长为l的均匀细棒对下面三种转 轴的转动惯量： （1）转轴通过棒的中心O并和棒垂直； （2）转轴通过棒的一端A并和棒垂直； （3）转轴通过棒上距中心为h的一点B并和棒垂直。
平行轴定理
JB
1 ml 2 12
mh2
JO
1 ml 2 12
JA
1 ml 2 3
JA
JO
m( l )2 2
定理表述：刚体绕平行于质心轴的转轴的转动惯量 J， 等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚体质量与两轴间
的距离平方的乘积。
表达式： J Jc md 2
§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律
，平放在粗糙的水平桌面上，盘与桌面间摩擦系数
为。令圆盘最初以角速度0绕通过中心且垂直盘面
的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？
h
1 2
l
转动惯量的计算
解: （1）建立图示坐标系，设棒的质量线密度为， 则质元的质量为dm=dx。
A
JO r 2dm
x dx
1 2
l
2
1 2
l
1 l3
12
O x dx x
1 2
l
JO
1 ml 2 12
转动惯量的计算
（2）建立图示坐标系。
J A r 2dm
解: 建立图示坐标系，
R
设圆盘的质量面密度为
，则质元的质量为
dr
r
dm=2rdr。
J r 2dm
0R 2r 3dr
m
R2
R4
2 J
1 mR2 2
转动惯量的计算
例题2 求质量为m、长为l的均匀细棒对下面三种转 轴的转动惯量： （1）转轴通过棒的中心O并和棒垂直； （2）转轴通过棒的一端A并和棒垂直； （3）转轴通过棒上距中心为h的一点B并和棒垂直。
平行轴定理
JB
1 ml 2 12
mh2
JO
1 ml 2 12
JA
1 ml 2 3
JA
JO
m( l )2 2
定理表述：刚体绕平行于质心轴的转轴的转动惯量 J， 等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚体质量与两轴间
的距离平方的乘积。
表达式： J Jc md 2
§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律
，平放在粗糙的水平桌面上，盘与桌面间摩擦系数
为。令圆盘最初以角速度0绕通过中心且垂直盘面
的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？
简述刚体的定轴转动定律
刚体的定轴转动定律1. 引言刚体是物理学中的重要概念，它是由无穷多个质点组成的一个物体，质点间的距离在运动过程中保持不变。
刚体的运动可以分为平动（刚体作为一个整体的直线运动）和转动两种。
本文将着重讨论刚体的转动运动，特别是定轴转动定律。
2. 定轴转动定轴转动是指刚体绕固定轴线进行转动的现象。
例如，摆锤在一根细线上摆动、地球自转等都是定轴转动的例子。
在定轴转动中，我们需要了解刚体受力及其运动规律。
3. 转动定律的基本概念在讨论转动定律之前，我们先来了解一些基本概念：•角度：表示物体转动的程度，常用弧度制表示，符号为θ。
•角速度：表示物体单位时间内转过的角度，常用弧度/秒表示，符号为ω。
•角加速度：表示物体单位时间内角速度的变化率，常用弧度/秒^2表示，符号为α。
•转动惯量：表示刚体对转动的惯性大小，常用字母I表示。
4. 转动定律的表述转动定律是描述刚体转动运动情况的基本定律，其中最著名的有三个定律，即牛顿定律。
它们分别是：第一定律：角动量守恒定律“在没有外力作用下，刚体的角动量保持不变。
”所谓角动量守恒，就是指一个刚体在没有外力作用下的转动过程中，其角动量保持不变。
即刚体绕某一轴线转动时，如果没有外力矩作用，那么刚体的角动量始终保持恒定。
第二定律：动能定理“刚体的角动能变化等于外力矩做功的大小。
”对于旋转的刚体来说，其具有转动惯量以及角速度，因此可以存在角动能。
根据动能定理，一个刚体的角动能的变化等于作用在刚体上的外力矩所做的功。
第三定律：力矩定律（欧拉定律）“刚体转动的加速度与合外力矩成正比，与刚体转动惯量成反比。
”欧拉定律指出了刚体转动的加速度与作用力矩的关系，其数学表达式为：τ = I * α其中，τ表示作用在刚体上的合力矩，I表示刚体的转动惯量，α表示刚体的角加速度。
5. 转动定律的应用转动定律在物理学中有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：•摆锤运动：根据转动定律，可以推导出摆锤的周期与摆长、重力加速度的关系。
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律课件
转动惯量的特性
只与刚体的质量和各质点到转动轴 的距离有关，与转动角速度的大小 无关。
02
角动量定理
角动量的定义与性质
角动量的定义
角动量是描述刚体转动状态的物理量 ，等于刚体的转动惯量乘以角速度。
角动量的性质
角动量是矢量，具有方向和大小；对 于定轴转动，角动量位于转轴上；角 动量是相对量，与参考系的选择有关 。
理解角动量守恒定律的证明方法是深入理解该定律的重要途径。
详细描述
证明角动量守恒定律的方法主要有两种，一种是基于牛顿第二定律和转动定理推导，另一种是通过分析系统的能 量变化来证明。通过这些证明方法，可以更深入地理解角动量守恒定律的物理意义和适用条件。
04
刚体定轴转动的实例 分析
刚体定轴转动的实例介绍
角动量守恒定律的内容及应用
总结词
掌握角动量守恒定律的内容及应用是解决实际问题的关键。
详细描述
角动量守恒定律表明，对于不受外力矩或所受外力矩的矢量和为零的系统，其总角动量保持不变。这 一原理在日常生活、工程技术和科学研究中有广泛的应用，如行星运动、陀螺仪、火箭飞行等。
角动量守恒定律的证明方法
总结词
陀螺仪
风扇
陀螺仪是一个典型的刚体定轴转动实 例，其工作原理就是角动量守恒定律 。
当风扇的扇叶旋转时，可以将其视为 刚体定轴转动，这个过程涉及到角动 量定理的应用。
自行车轮
自行车轮在转动时，也是一个刚体定 轴转动的例子，其转动惯量对于理解 角动量定理和角动量守恒定律非常有 帮助。
刚体定轴转动的角动量定理应用实例
舞蹈演员在进行旋转动作时，可以通过改变身体的姿势来改变转动惯量，从而控制旋转的 速度。
刚体定轴转动的角动量守恒定律应用实例
只与刚体的质量和各质点到转动轴 的距离有关，与转动角速度的大小 无关。
02
角动量定理
角动量的定义与性质
角动量的定义
角动量是描述刚体转动状态的物理量 ，等于刚体的转动惯量乘以角速度。
角动量的性质
角动量是矢量，具有方向和大小；对 于定轴转动，角动量位于转轴上；角 动量是相对量，与参考系的选择有关 。
理解角动量守恒定律的证明方法是深入理解该定律的重要途径。
详细描述
证明角动量守恒定律的方法主要有两种，一种是基于牛顿第二定律和转动定理推导，另一种是通过分析系统的能 量变化来证明。通过这些证明方法，可以更深入地理解角动量守恒定律的物理意义和适用条件。
04
刚体定轴转动的实例 分析
刚体定轴转动的实例介绍
角动量守恒定律的内容及应用
总结词
掌握角动量守恒定律的内容及应用是解决实际问题的关键。
详细描述
角动量守恒定律表明，对于不受外力矩或所受外力矩的矢量和为零的系统，其总角动量保持不变。这 一原理在日常生活、工程技术和科学研究中有广泛的应用，如行星运动、陀螺仪、火箭飞行等。
角动量守恒定律的证明方法
总结词
陀螺仪
风扇
陀螺仪是一个典型的刚体定轴转动实 例，其工作原理就是角动量守恒定律 。
当风扇的扇叶旋转时，可以将其视为 刚体定轴转动，这个过程涉及到角动 量定理的应用。
自行车轮
自行车轮在转动时，也是一个刚体定 轴转动的例子，其转动惯量对于理解 角动量定理和角动量守恒定律非常有 帮助。
刚体定轴转动的角动量定理应用实例
舞蹈演员在进行旋转动作时，可以通过改变身体的姿势来改变转动惯量，从而控制旋转的 速度。
刚体定轴转动的角动量守恒定律应用实例
刚体的定轴转动与转动定律
p 0 Lh
1 2
gLh
2
y
dA
dy
代入数据，得
F 5 . 91 10
10
h y
N
x O
L
20
第四章 刚体的转动
4-2 转动定律
d F 对通过点Q的轴的力矩 d M y d F
d F [ p 0 g ( h y )] L d y
M
h
0
y [ p 0 g ( h y )] L d y
3
4
14
4-2 转动定律
一
力矩
z
M
用来描述力对刚体 的转动作用．
M Fr sin Fd
F 对转轴 z 的力矩 M rF
F
d : 力臂
O
r
*
d
P
F
F
i
Fi 0 ,
i
Mi 0
F
F
Fi 0 ,
i
i
Mi 0
2
2 a r e t rω e n
9
第四章 刚体的转动
4-1
刚体的定轴转动
例1 在高速旋转的微型电动机里，有一 圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的 转轴旋转．开始起动时，角速度为零．起动 后其转速随时间变化关系为： m (1 e t / ) 1 式中 m 540 r s ， 2 . 0 s ．求： (1)t=6 s时电动机的转速．(2)起动后，电动 机在 t=6 s时间内转过的圈数．(3)角加速度 随时间变化的规律．
dt
0
d c td t
刚体定轴转动的转动定律力矩-文档资料
讨论 (1) 合力矩的功 2 2 2 A M d ( M )d M d A i i i 1 1 1 i i i (2) 力矩的功就是力的功。
Δmk 的动能为 1 2 1 2 2 E Δ m v Δ m r k k k k k 2 2
刚体的总动能
z
O
rk
P
vk
• Δ mk
1 2 2 1 2 2 1 2 E E Δ m r Δ m r J k kk kk 2 2 2 结论 绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其 角速度平方乘积的一半
r
A
（力对轴的力矩只有两个指向）
F F
2. 刚体定轴转动的转动定律 k k
rk
fk
Fk
F f m a k k k k
在上式两边同乘以 rk 对所有质元求和
F r f r m a r m r r k k k k k k k k k k
求 (1) 飞轮的角加速度 (2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳
端，试计算飞轮的角加速 解 (1) Fr J
Fr 98 0 . 2 2 39 . 2 rad/s J 0 . 5
mgr 2 J mr
两者区别
rO
T F
T ma (2) mg
Tr J
kk kk 2 k k
F r f r ( m r )
内力矩之和为0 转动惯量 J
刚体绕定轴转动微分方程（刚体的转动定律）
M J
与牛顿第二定律比较： M F , J m , a
3. 转动惯量 定义
力矩 刚体定轴转动的转动定律
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
17
例3.4 转动着的飞轮的转动惯量为J，在t＝0时角速 度为 0 .此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大小 与角速度ω的平方成正比，比例系数为k(k为大于零 1 的常数)，当 时，飞轮的角加速度是多少？ 0 3 从开始制动到现在经历的时间是多少？
O
r
F
M M1 M 2 M 3
第四章 刚体转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
物理学教程 （第二版）
3）力在转动平面内的分量，又可分解为两个方向：切向Ft和 法向Fn。 因为法向分量Fn指向转轴，因而不提供力矩，对刚体的 定轴转动无影响。 我们只考虑力的切向分量Ft即可。
M Ft r
第四章 刚体转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量 4） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
物理学教程 （第二版）
M ij
O
Mij M ji
rj
j
f ij
M ji
对转轴的合内力矩为零.
第四章 刚体转动
d
i ri
f ji
结论：刚体内各质点间的作用力
M Mij 0
且在转动平面内,
矢.
r
F作用在刚体上点 P ,
为由点O 到力的作用点 P 的径
M r F M Fr sin
方向遵循右手定则。
第3章 刚体力学基础
F 对转轴 Z 的力矩
M
M
O
z
r
F
* P
d
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
物理学教程 （第二版）
刚体的定轴转动定律
例题 求质量为m、长为Ｌ的均匀细棒对下面 三种转轴的转动惯量： （1）转轴通过棒的中心并和棒垂直； （2）转轴通过棒的一端并和棒垂直； （3）转轴通过棒上距中心为h的一点 并和棒垂直。
Ｘ x dx x dx Ｘ
h x
C dx
Ｘ
平行轴定理
注意 质量为 m 的刚 体，如果对其质心轴 的转动惯量为 IC ， 则对任一与该轴平行， d 相距为 的转轴的 转动惯量
物体2这边的张力为
T2、 T2’(T2’= T2)
1
a
m1 m2
m
a
m1g
2
m2 g
因m2>m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以 顺时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方 程
T1 G1 m1a
G2 T2 m2 a T2r T1r M J
式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮 边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即
I mi ri m r m r
2 2 11 2 2 2 i
r
dm
质量连续分布刚体的转动惯量
I r dm
2
dm
：质量元
计算转动惯量: m a
m a
m
m
m
m a
m
m
y
2 3a 2 2 2a 2
a a
2 a 2
a
x
2 2 2 2 2 2 I m( a) m( 2a) m( 3a) 2 2 2
FT1
PC
FC
FT2
mB PB y
a R
mB g a mA mB mC 2 mA mB g FT1 mA mB mC 2
刚体定轴转动定律
于 180°的夹角 θ 转向 F 时，拇指所指的方向就是力矩的方向。
可见，力矩的方向与转轴的方向平行，只有两个可能的方向，因此，可用 M 的正负表示力矩的方向。 一般可按力矩的作用来判断其正负：由转轴 Oz 正向俯视，若力矩的作用使刚体逆时针转动，则力矩为 正，否则为负。
刚体定轴转动定律 1.1 力矩
可加性
• 对同一转轴而言，刚体各部分转动惯量之 和等于整个刚体的转动惯量。
平行轴定理
• 设有两个彼此平行的转轴，一个通过刚体 的质心，另一个不通过质心。两平行轴之 间的距离为d，刚体的质量为m。
如果此刚体对通过质心转轴的转动惯量为 Jc ，则对另一 转轴的转动惯量 J 为 J Jc md 2
刚体定轴转动定律
刚体定轴转动定律Βιβλιοθήκη ， ，，，
例题讲解 2
如图所示，一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮。绳两边分别悬有质量为 m1 和 m2 的两个物体 A，B。已知 m1
小于 m2 ，滑轮可看作质量均匀分布的等厚圆盘，其质量为 m，半径为 r，设绳与滑轮间无相对滑动。求：① 物
体的加速度；② 滑轮的角加速度；③ 绳的张力。
i 1
n
用 M 表示，即 M (Δmiri2 ) β
i 1
n
n
式中的 (Δmiri2 ) 称为转动惯量，用 J 表示，即 J (Δmiri2 )
i 1
i 1
于是，式可写为 M Jβ
刚体定轴转动定律 1.2 转动定律
转动定律：刚体定轴转动时，刚体的角加速度与刚体所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量 成反比。
r 2 dm
Ω
式中 r ——质元 dm 到转轴的距离（m）。 在国际单位制中，转动惯量的单位为 kg m2 。
可见，力矩的方向与转轴的方向平行，只有两个可能的方向，因此，可用 M 的正负表示力矩的方向。 一般可按力矩的作用来判断其正负：由转轴 Oz 正向俯视，若力矩的作用使刚体逆时针转动，则力矩为 正，否则为负。
刚体定轴转动定律 1.1 力矩
可加性
• 对同一转轴而言，刚体各部分转动惯量之 和等于整个刚体的转动惯量。
平行轴定理
• 设有两个彼此平行的转轴，一个通过刚体 的质心，另一个不通过质心。两平行轴之 间的距离为d，刚体的质量为m。
如果此刚体对通过质心转轴的转动惯量为 Jc ，则对另一 转轴的转动惯量 J 为 J Jc md 2
刚体定轴转动定律
刚体定轴转动定律Βιβλιοθήκη ， ，，，
例题讲解 2
如图所示，一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮。绳两边分别悬有质量为 m1 和 m2 的两个物体 A，B。已知 m1
小于 m2 ，滑轮可看作质量均匀分布的等厚圆盘，其质量为 m，半径为 r，设绳与滑轮间无相对滑动。求：① 物
体的加速度；② 滑轮的角加速度；③ 绳的张力。
i 1
n
用 M 表示，即 M (Δmiri2 ) β
i 1
n
n
式中的 (Δmiri2 ) 称为转动惯量，用 J 表示，即 J (Δmiri2 )
i 1
i 1
于是，式可写为 M Jβ
刚体定轴转动定律 1.2 转动定律
转动定律：刚体定轴转动时，刚体的角加速度与刚体所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量 成反比。
r 2 dm
Ω
式中 r ——质元 dm 到转轴的距离（m）。 在国际单位制中，转动惯量的单位为 kg m2 。
1刚体定轴转动定律
的角动量为：
L刚体，各质点对定轴的角动量都具有相同的 方向。则定轴转动刚体的角动量就是对组成刚体的所 有质点的角动量求和。
L ( m iviri) (miri2)( miri2) J
J miri2 称为刚体对转轴的转动惯量
2021/10/10
10
五、刚体定轴转动定理
刚体绕质心轴的转动惯量最小
2021/10/10
16
三、垂直轴定理
定理表述：质量平面分布的刚体，绕垂直于
平面轴的转动惯量等于平面内两正交轴的转
动惯量之和：Jz JxJy
证明：
z
Jx y2dm , Jy x2dm
Jz r2dm
(x2y2)dm
o
yy
x
r dm
y2dm x2dm x
J J 2021/10/10
解：m 1g T 1 m 1 a（1）
T2m2a
（2）
(T 1 T 2)R J （3）
m2
T1 m1
m1 g
aR
（4）
J 1 MR2
m2
2 2021/10/10
M,R
m1
M,R
T2
T1
T2
20
联立方程，求解得：
a
m1g
m2
m1m2M/2
T1m m 11(m m 2 2M M /2/)2g
T2
m1m2g m1m2M/2
当 M=0 时：
T1
T2
m1m2g m1 m2
2021/10/10
M,R
m1
21
例9、测轮子的转动惯量用一根轻绳缠绕在半 径为 R、质量为 M 的轮子上若干圈后，一端挂 一质量为 m 的物体，从静止下落 h 用了时间 t , 求轮子的转动惯量 J 。
L刚体，各质点对定轴的角动量都具有相同的 方向。则定轴转动刚体的角动量就是对组成刚体的所 有质点的角动量求和。
L ( m iviri) (miri2)( miri2) J
J miri2 称为刚体对转轴的转动惯量
2021/10/10
10
五、刚体定轴转动定理
刚体绕质心轴的转动惯量最小
2021/10/10
16
三、垂直轴定理
定理表述：质量平面分布的刚体，绕垂直于
平面轴的转动惯量等于平面内两正交轴的转
动惯量之和：Jz JxJy
证明：
z
Jx y2dm , Jy x2dm
Jz r2dm
(x2y2)dm
o
yy
x
r dm
y2dm x2dm x
J J 2021/10/10
解：m 1g T 1 m 1 a（1）
T2m2a
（2）
(T 1 T 2)R J （3）
m2
T1 m1
m1 g
aR
（4）
J 1 MR2
m2
2 2021/10/10
M,R
m1
M,R
T2
T1
T2
20
联立方程，求解得：
a
m1g
m2
m1m2M/2
T1m m 11(m m 2 2M M /2/)2g
T2
m1m2g m1m2M/2
当 M=0 时：
T1
T2
m1m2g m1 m2
2021/10/10
M,R
m1
21
例9、测轮子的转动惯量用一根轻绳缠绕在半 径为 R、质量为 M 的轮子上若干圈后，一端挂 一质量为 m 的物体，从静止下落 h 用了时间 t , 求轮子的转动惯量 J 。
刚体定轴转动定律
F ma
(2) 列方程: 对于刚体：定轴转动定律 M J
线量与角量的关系：at R
(3) 解方程.
例题. 一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，滑轮可视为
圆 盘 ， 绳 的 两 端 分 别 悬 有 质 量 为 m1 和 m2 的 物 块 ， 且 m1<m2. 设滑轮的质量为M，半径为R，绳与轮之间无 相对滑动，求物块的加速度和绳中张力.
本次课所讲知识点是刚体力学这部分内容的重点， 希望大家课后好好复习，多多练习，熟练掌握。
切向分量式： Fit fit miait
ait ri Fit fit miri
ri
作圆周运动. z
o
f Fit
i fit
ri mi
Fir
Fi
上式两端同乘以ri再对所有质点求和：
Fit ri fit ri miri2
i
i
i
合外力矩M 内力矩之和 =0 转动惯量J
M J
刚体所受的对某一固定转轴的合外力矩等于刚体 对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所 获得的角加速度的乘积.
二、 刚体定轴转动定律与牛顿第二定律的比较
定律方程
牛顿第二定律 F ma
促使运动状态发 生变化的因素
合外力：F
阻碍运动状态发 生变化的因素
产生的物理量
质量：m
加速度：a
刚体定轴转动定律
M J
合外力矩：M
ห้องสมุดไป่ตู้转动惯量：J
角加速度：
三、 刚体定轴转动定律的应用
解题思路:
(1) 受力分析;
对于质点：牛顿第二定律
刚体定轴转动定律
一、 刚体定轴转动定律的证明
刚体可看成是由n个质点组成的连续质点系.
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07. 定轴转动定律
一、刚体的平动和转动
平动：刚体在运动过程中，其上任意两点的 连线始终保持平行。
可以用质点动力学 的方法来处理刚体 的平动问题。
转动： 刚体上所有质点都绕同一直线作圆周 运动，这种运动称为刚体的转动，这 条直线称为转轴。
定轴转动： 转轴固定不动的转动。
二、描述刚体转动的物理量
角坐标
r
v
P
2 d d k 2 k dt dt
（定轴）
d 若 0 dt
沿 Z 轴正方向
P点线加速度与角加速度的关系：
dv d a ( r ) dt dt r v
z
r
v
P
a r
J r dm 2 r dr
R
o
r
dr
J 2 r dr
3 0
R
R
2
4
1 2 mR 2
回转半径
J rG m
z
J mr
2 G
rG
平行轴定理
若刚体对过质心的轴的转动惯量为 Jc ，则刚体 对与该轴相距为 d 的平行轴 z 的转动惯量 Jz 是
J z J c md
ri
fi
mi
Fi
加 速 度：
ai ai ain
ri f i 0
ri ain
其中:
2 ri ain 0 ri ai ri ai sin k ri k
J r dm
2
z
o
m dm dx dx l
l 2
dm
x dx x
m 1m 3l J x dx x 0 0 l 3 l
1 2 J ml 3
例2、一质量为 m ，半径为 R 的均匀圆盘，求通过盘 中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。
解：
dm 2 rdr
2
3
d
z
角位移
P
x
角速度
角速度的大小： 角速度
的方向：
d dt
由右手螺旋法则确定。右手弯曲的四指沿转 动方向，伸直的大拇指即为角速度的方向。
d k dt
P点线速度与角速度的关系：
z
r
v
P
v r
角加速度
d dt
z
四、定轴转动定律
把刚体看作一个质点系
z
ri Fi ri f i mi ri ai 合外力矩： M r F i i
合内力矩：
ri Fi ri f i mi ri ai
Fi f i mi ai
M
mg T ma
1 2 T R mR 2
T m
a R
mg
mg 8 10 a 5 m s 2 m M 2 88
1 2 1 2 h at 5 1 2.5 m 2 2
1 T 16 5 40 N 2
M T
m m
mg
1 2 J c mR 2
2
Jz
m
Jc
R
1 3 2 2 2 J z mR mR mR 2 2
z
垂直轴定理
o
y
J z J x J y
x
转动定律的应用
例3、质量 m = 16 kg 、半径为 R = 0.15 m 的实心滑轮, 一根细绳绕在其上，绳端挂一质量为 m 的物体。求 （1）由静止开始 1 秒钟后，物体下降的距离。（2） 绳子的张力。 解：
对于定轴转动
an v
a r an r
2
刚体各质元的角量相同，线量一般不同。
三、对转轴的力矩
M r F
力 F 与力线到转轴的
距离d的乘积
M
z
r
d
F
F F
力矩方向沿定轴，可用正、负表示方向。
一对相互作用力对同一转轴的力矩之和为零。
2 M z k mi ri k
转动惯量： 转动定律：
2
J z mi ri
2
Mz Jz
定轴，可 不写下标
五、转动惯量的计算
J mi ri
连续体：
2
2
J r dm
J 取决于刚体对给定转轴的质量分布。
特别要注意： J 与转轴的位置有关。
例1、计算质量为 m ，长为 l 的细棒绕通过其端点的 垂直轴的转动惯量。 解：
一、刚体的平动和转动
平动：刚体在运动过程中，其上任意两点的 连线始终保持平行。
可以用质点动力学 的方法来处理刚体 的平动问题。
转动： 刚体上所有质点都绕同一直线作圆周 运动，这种运动称为刚体的转动，这 条直线称为转轴。
定轴转动： 转轴固定不动的转动。
二、描述刚体转动的物理量
角坐标
r
v
P
2 d d k 2 k dt dt
（定轴）
d 若 0 dt
沿 Z 轴正方向
P点线加速度与角加速度的关系：
dv d a ( r ) dt dt r v
z
r
v
P
a r
J r dm 2 r dr
R
o
r
dr
J 2 r dr
3 0
R
R
2
4
1 2 mR 2
回转半径
J rG m
z
J mr
2 G
rG
平行轴定理
若刚体对过质心的轴的转动惯量为 Jc ，则刚体 对与该轴相距为 d 的平行轴 z 的转动惯量 Jz 是
J z J c md
ri
fi
mi
Fi
加 速 度：
ai ai ain
ri f i 0
ri ain
其中:
2 ri ain 0 ri ai ri ai sin k ri k
J r dm
2
z
o
m dm dx dx l
l 2
dm
x dx x
m 1m 3l J x dx x 0 0 l 3 l
1 2 J ml 3
例2、一质量为 m ，半径为 R 的均匀圆盘，求通过盘 中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。
解：
dm 2 rdr
2
3
d
z
角位移
P
x
角速度
角速度的大小： 角速度
的方向：
d dt
由右手螺旋法则确定。右手弯曲的四指沿转 动方向，伸直的大拇指即为角速度的方向。
d k dt
P点线速度与角速度的关系：
z
r
v
P
v r
角加速度
d dt
z
四、定轴转动定律
把刚体看作一个质点系
z
ri Fi ri f i mi ri ai 合外力矩： M r F i i
合内力矩：
ri Fi ri f i mi ri ai
Fi f i mi ai
M
mg T ma
1 2 T R mR 2
T m
a R
mg
mg 8 10 a 5 m s 2 m M 2 88
1 2 1 2 h at 5 1 2.5 m 2 2
1 T 16 5 40 N 2
M T
m m
mg
1 2 J c mR 2
2
Jz
m
Jc
R
1 3 2 2 2 J z mR mR mR 2 2
z
垂直轴定理
o
y
J z J x J y
x
转动定律的应用
例3、质量 m = 16 kg 、半径为 R = 0.15 m 的实心滑轮, 一根细绳绕在其上，绳端挂一质量为 m 的物体。求 （1）由静止开始 1 秒钟后，物体下降的距离。（2） 绳子的张力。 解：
对于定轴转动
an v
a r an r
2
刚体各质元的角量相同，线量一般不同。
三、对转轴的力矩
M r F
力 F 与力线到转轴的
距离d的乘积
M
z
r
d
F
F F
力矩方向沿定轴，可用正、负表示方向。
一对相互作用力对同一转轴的力矩之和为零。
2 M z k mi ri k
转动惯量： 转动定律：
2
J z mi ri
2
Mz Jz
定轴，可 不写下标
五、转动惯量的计算
J mi ri
连续体：
2
2
J r dm
J 取决于刚体对给定转轴的质量分布。
特别要注意： J 与转轴的位置有关。
例1、计算质量为 m ，长为 l 的细棒绕通过其端点的 垂直轴的转动惯量。 解：