6多自由度系统振动c

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第六章多自由度系统固有频率和主振型的两种近似解法.doc

第六章多自由度系统固有频率和主振型的两种近似解法从多自由度问题的精确解的求解过程可知，求振系的固有频率及主振型是一项必不可少的过程，当自由度较少时，可直接求固有频率及主振型，但当自由度较多时，关于固有频率的求解就很复杂，如一个16自由度的振动问题，仅为展开频率方程的行列式，就需要进行720次计算，当然这些计算可借助计算机解决，但关于固有频率的近似计算及其计算思想，在实际应用及理论研究中仍具有一定的意义。

本章主要介绍求固有频率的两种方法：矩阵迭代法及传递矩阵法。

6-1矩阵迭代法矩阵迭代法适合于自由度较多的复杂系统，该法可以同时计算出系统的固有频率和相应的主振型，当自由度很多，但只要计算出低阶的几个频率时，矩阵迭代法很为适用，其大量的计算可由计算机完成。

在第五章已经介绍过，多自由度无阻尼系统的振动微分方程有两种形式，一种是用刚度矩阵建立的，其固有频率和主振型可由下式求，[]{}[]{}{}02=-A M p A K或写成[]{}[]{}A M p A K 2= （6-1）另一种是用柔度矩阵建立的，其固有频率和主振型可由下式求出{}[][]{}{}012=-A M R A p 或写成{}[][]{}A M R A p=21（6-2）用[]1-M 前乘（6-1）式，得[]1-M []{}{}A p A K 2= （6-3）方程（6-2）（6-3）可写成如下统一的形式[]{}{}A A D λ= (6-4)（6-4）式称为特征值问题的标准形式，即矩阵迭代法的基本迭代公式。

式中[]D 称为动力矩阵，λ则是矩阵[]D 的特征值，当[]D 是按刚度矩阵形成时，即[][][]K M D 1-=，则λ表示固有频率的平方，λ＝p 2，而当[]D 是按柔度矩阵形成时，即[][][]K R D =，则λ表示固有频率的平方的倒数，λ＝1/p 2。

显然，任一阶固有频率和主振型都是（6-4）式的精确解。

下面介绍从（6-4）式出发进行迭代的基本过程：1) 某个经过基准化了的初始迭代向量{}1A （所谓基准化就是选取迭代向量的某个分量为基准值1），现选取{}1A ，使其第一个元素A 1，1为基准值1，并作[]{}1AD =运算，运算得到一个新的列阵{}1B ，再将{}1B 基准化，即将新的列阵{}1B 中的各元素均除以B 1，1，可得[]{}{}{}21,111A B B A D ==2) 与{}2A ，如果{}1A ≠{}2A ，则重复上述步骤，以[]D 乘{}2A ，得[]{}{}{}32,122A B B A D ==3) 比{}2A 与{}3A ，如果{}3A ≠{}2A ，则继续重复上述步骤，以[]D 乘{}3A ，…，直到第k 次迭代[]{}{}{}1,1+==k k k k A B B A D ，当式中{}k A ＝{}1+k A 时停止，这时，特征值1λ＝B 1，k ，而相应的特征向量就等于{}k A 。

第六讲--多自由度系统振动-2

解： 1）求柔度系数
m
31
k/5
m
21
k/3
P=1
2m k
11
32 4
P=1
22 4 12
P=1
33 9
23 4 13
11 1/ k 21 31 11
22
1 k
1 k /3
4
22
1 k
1 k/3
1 9
k /5
3.3.1 柔度法
1 1 1
柔度矩阵: [ ] 1 4 4
1 4 9
2）求频率
2 0 0
质量矩阵: [M] m 0 1 0
0 0 1
由频率方程: M I 0
2 1 1 m 2 4 4 0 ,
2 4 9
展开式为： 3 15 2 42 30 0
1 m m2
方程三个根为: 1 11.601 2 2.246 3 1.151
三个频率为:
1 0.2936
k m
4Y
4 4
3.4.1 主振型矩阵与正则坐标
（2）正则坐标任意一个质点的位移 y 都可按主振型来组合：
y1 1Y11 2Y12 3Y13 y2 1Y21 2Y22 3Y23
yi 1Yi1 2Yi2 3Yi3
yn 1Yn1 2Yn2 3Yn3
nY1n nY2n
y1
y2
Y1 Y121
Y YYY132111
Y2 1
Y2 2
Y32
Y3 1
Y3 2
Y33
Y14 Y4
2
Y34
Y41
Y2 4
Y3 4
Y44
主振
型矩阵
第一振型
1

多自由度系统的振动

分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取两物体离开其平衡位置的距离x1、x2为广义坐标，两物体沿x方向的受力如图示，它们的运动微分方程分别为
m1x1 2kx1 kx2 0 2mx2 kx1 2kx2 0
5.1 两自由度系统的模态
m
0
0 2m
xx12
2k k
k
2k
xx12
5.1 两自由度系统的模态
主振动 x(t) u cos(t )
代入运动微分方程 Mx Kx 0
化简可得代数齐次方程组 (K 2M )u 0
k1+k2
-k2
2
m1
-k2
k2+k3
2m2
uu12
0 0
上式存在非零解的充要条件：系数行列式为零，即：
K 2M 0
k1+k2 2m1
两自由度系统的振动
多自由度系统的特点：
各个自由度彼此相互联系，某一自由度的振动往往导致整个系统的振动。
运动微分方程的变量之间通常相互耦合，需要求解联立方程。
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两自由度系统的振动
多自由度系统是指具有两个以上自由度以上的动力学系统，二自由度系统是最简单的多自由度系统。
汽车左右对称，化为平面系统
5.1 两自由度系统的模态
再将初始条件（2）代入式，得
A(1) 1
0,
1 0,
A(2) 1
1,
2 0
x1(t) cos2t cos 3
kt m
(cm)
x2 (t) cos2t cos 3
k t (cm)
m
这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因此，系统按第二主振型以频率ω2作谐振动。

第六讲多自由度振动系统-拉格朗日与影响系数法

m1
x 1 k1 k2 k m2 x2 2
k2 x1 0 x 0 k3 k 2 2
拉格朗日法是建立微分方程一种简单的方法：先求出系统的动能、势能，进而得出质量矩阵和刚度矩阵优点：系统的动能和势能都是标量，无需考虑力的方向。
L L m11 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) 0 x x1 x1 L L m2 2 k2 ( x2 x1 ) k3 x3 0 x x2 x2
L L m11 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) 0 x x1 x1 L L m2 2 k2 ( x2 x1 ) k3 x3 0 x x2 x2
x [ x1 x j 1
xj
x j 1 xn ]T
T
0 0 1 0 0
Kx P , x 0 0 1 0 0
T
k11 k 21 P kn1
k1 j k2 j knj
0 k1n k1 j 0 k k2 n 2 j 1 0 knn knj 0
[0 0 1] x
T
T
m22 1
m32 0
m13 0,
m23 0
m33 1
因此，质量矩阵为：
运动微分方程为：
m1 0 0
0 m2 0
0 0 m3
k2 k 2 k3 k3 0 x1 0 k3 x2 0 k3 x3 0

多自由度振动系统的动力学模型构建

多自由度振动系统的动力学模型构建引言：多自由度振动系统是指由多个自由度的质点组成的系统，在这样的系统中，每个自由度都可以独立地进行运动。

动力学模型的构建是研究和理解振动系统行为的基础。

本文将介绍多自由度振动系统动力学模型的构建方法及应用。

一、质点模型多自由度振动系统的最基本组成单位是质点。

质点的运动可以用坐标形式以及质点的质量、刚性等参数来描述。

对于一个有n个自由度的振动系统，可以通过将每个自由度的质点模型相连接构成整个系统。

二、约束关系与广义坐标在多自由度振动系统中，质点之间相互约束，其运动不再是自由的，而是受到约束的影响。

为了描述约束关系，引入广义坐标来表示系统各个自由度的相对运动。

广义坐标是将实际坐标通过约束条件变换得到的坐标表示。

三、拉格朗日方程与振动方程拉格朗日方程是多自由度振动系统的基本动力学方程。

通过对系统的动能和势能进行推导和求导，可以得到描述系统运动的拉格朗日方程。

对于振动系统而言，通过求解拉格朗日方程，可以得到系统的振动方程，进一步描述系统的运动行为。

四、模态分析与特征频率模态分析是研究振动系统固有特性的方法。

对于多自由度振动系统，可以通过模态分析得到系统的固有模态和特征频率。

固有模态是指系统在自由振动时，各个自由度的振动模式。

特征频率是指系统在不同固有模态下的振动频率。

五、系统的耦合与动态响应多自由度振动系统中的各个质点之间存在耦合关系，一个自由度的振动会对其他自由度的振动产生影响。

通过研究系统的耦合关系，可以得到系统的动态响应。

动态响应是指系统对外界激励的响应行为，可以通过求解振动方程得到。

六、应用案例：建筑结构振动多自由度振动系统的应用广泛，尤其在建筑结构的振动研究中起到了重要作用。

通过对建筑结构的多自由度振动系统进行建模和分析，可以评估结构的稳定性、抗震性能等。

振动模型的构建和分析可以提供设计和改进建筑结构的依据。

结论：多自由度振动系统的动力学模型构建是研究振动系统行为的关键步骤。

结构动力学之多自由度体系的振动问题

3 13.027
2.760 3.342 1
0.163
0.924
2.76
柔度法
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：
由刚度法振幅方程：
令λ=1/ω2 得频率方程：
( [K]－ω2 [M] ){Y}={0}
前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}={0} ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}={0} ┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0
刚度法
2）如果初始条件是任意的，则任其自然后，系统所发生的振动就不是按主振型的简谐自由振动，而是复杂的周期振动，这时可以用各阶主振动的线性组合来描述它，也就是说其通解表为各个特解之和，即
y j sin( j t v j )
j 1 n
所以系统的任意振动可以表示为各个主振动的叠加。
Yij为正时表示质1 1.293 5Y11 6.70Y21 3 0 量mi的运动方向与单 3Y 1.707 0
21
Y
(1)
0.163 0.569 1

0.569
5Y13 5.027Y23 3 0 (1) Y 3Y21 10.027 0 3.342 1.227
1 1 4 0 , m m 2 9
展开得: 解之:
3 15 2 42 30 0
ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151
1 m
三个频率为：
1 0.2936
1 1 3 0.9319 m m 3）求主振型：（令Y3i=1）将λ1代入振型方程：（[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：

Two Degree of Freedom System (第六章多自由度振动系统)

i 2,3, n 1
mi xi ci xi1 ci ci1 xi ci1xi1 ki xi1 ki ki1 xi ki1xi1 Fi ;
i 2,3, n 1
12
• The equations of motion of the masses m1 and mn can be derived by setting i = 1 along with x0 = 0 and i =n along with xn+1 = 0
of Freedom Systems 3. Using Newton’s Second Law of Motion to Derive
Equation of Motion 4. Influence Coefficients 5. Potential and Kinetic Energy Expressions in
3
Introduction
• The aim of research in Multidegree System
• From 2 degree to Multidegree System
4
Modeling of Continuous System as Multidegree of Freedom Systems
M自由度振动系统
Dr. Dong, Mingming 董明明
Lab. of Vibration and Noise Controlling 振动与噪声控制实验室
1
Contensts-1
1. Introduction 2. Modeling of Continuous System as Multidegree
5
Example-1 Three-Story Building

结构动力学多自由度系统振动

运用功旳互等原理可知，刚度矩阵是对称阵，即有kij＝kji，于是上述刚度矩阵为：
k1 k2
k2
K 0
0
0
k2 k2 k3
k3 0
0
0 k3 k3 k4 k4
0
0 0 k4 k4 k5 k5
0
0
0
k5
k5
⒉ 柔度法柔度系数aij定义为：
在第j个质量上作用单位力时在第i个质量上产生旳位移。
K12 k2 K22 k2 k3
K32 k3 K42 0 K52 0
K13 0 K23 k3 K33 k3 k4 K43 k4 K53 0
K14 0 K24 0 K34 k4 K44 k4 k5 K54 k5
K15 0 K25 0 K35 0 K45 k5 K55 k5
(a) m1 mi
mj mn
y1
yi yj yn
m1 y1
(b)
mi yi
1
i
j
m j y j
mn yn
ii
ji
1
(c)
ij
ij
jj
(a) m1
mi
mj mn
y1
yi yj yn
m1 y1
(b)
mi yi
1
i
j
m j y j
mn yn
ii
ji
1
(c)
ij
ij
jj
于是：若在第j个质量上作用有力F，则在第i个质量上产
2
2
2
1 Mx 2 1 m[x 2 2Lx cos L2 2 ] 1 kx2 mgL(1 cos)
2
2
2
d dt

多自由度体系在地面运动作用下的振动方程

多自由度体系在地面运动作用下的振动方程我们要找出多自由度体系在地面运动作用下的振动方程。

首先，我们需要了解多自由度体系的振动方程的基本形式。

多自由度体系的振动方程通常由以下形式给出：
M{ddot x} + C{dot x} + Kx = F(t)
其中：
M 是质量矩阵，
C 是阻尼矩阵，
K 是刚度矩阵，
x 是位移向量，
{dot x} 是速度向量，
{ddot x} 是加速度向量，
F(t) 是外部作用力向量。

对于地面运动作用下的振动，我们需要考虑地面的运动对体系的影响。

假设地面以速度 v 和加速度 a 运动，那么地面的运动可以表示为：
x_ground = vt + at^2
其中 x_ground 是地面的位移。

由于地面和体系是相互作用的，我们需要将地面的位移和加速度引入到振动方程中。

具体来说，我们需要将地面的位移和加速度作为外部作用力加入到方程的右边。

因此，多自由度体系在地面运动作用下的振动方程为：
M{ddot x} + C{dot x} + Kx = -Kx_ground
其中 x_ground 是地面的位移，由地面的速度和加速度决定。

多自由度振动体系的刚度矩阵和柔度矩阵的关系

多自由度振动体系的刚度矩阵和柔度矩阵的关系多自由度振动体系的刚度矩阵和柔度矩阵是描述系统动力学性质的重要工具。

本文将详细探讨这两个矩阵之间的关系，以及它们在动力学分析中的应用。

先来看一下多自由度振动体系的定义。

一个多自由度振动体系由多个具有自由度的质点组成，这些质点可以在空间中以不同的方式运动。

对于一个包含n个自由度的系统，其运动状态可以由n个广义坐标表示。

这些广义坐标的变化随时间的导数称为广义速度，而广义速度的变化随时间的导数称为广义加速度。

在动力学分析中，我们需要知道系统中各个自由度的变化方式，即广义坐标如何随时间变化。

为了推导出系统的振动方程，我们需要引入两个重要的概念：刚度和柔度。

刚度是描述系统对应力或应变的响应程度的物理量。

对于一个弹簧系统，刚度越大，弹簧对作用力的响应越强，相应的系统振动频率也越高。

在多自由度振动体系中，可以用刚度矩阵来描述系统的刚度性质。

柔度是描述系统对形变的响应程度的物理量。

对于一个弹性材料，柔度越大，材料对形变的响应越强，相应的系统振动频率也越低。

在多自由度振动体系中，可以用柔度矩阵来描述系统的柔度性质。

那么刚度矩阵和柔度矩阵之间的关系是什么呢？首先，我们需要理解刚度和柔度与位移之间的关系。

根据胡克定律，刚度和位移之间呈线性关系。

对于一个自由度振动体系，有如下表达式：F = kx式中，F是作用在系统上的外力，k是系统的刚度，x是位移。

这表明，位移与系统的刚度成正比。

同样地，柔度和位移之间也呈线性关系，但是比例系数的倒数。

对于一个自由度振动体系，有如下表达式：x = F/c式中，c是系统的柔度。

这表明，位移与系统的柔度成反比。

接下来，我们将讨论多自由度振动体系中刚度矩阵和柔度矩阵的关系。

考虑一个具有n个自由度的振动体系，其刚度矩阵为K，柔度矩阵为C。

如果我们取系统的位移为一个n维列向量x，广义力为一个n维列向量f，那么系统的运动方程可以表示为：M*dx^2/dt^2 + C*dx/dt + K*x = f式中，M是系统的质量矩阵。

第三章-多自由度系统振动6.19

第三章多自由度系统振动多自由度系统和单自由度系统的振动特性是有区别的。

单自由度系统受初始扰动后，按系统的固有频率作简谐振动。

多自由度系统有多个固有频率，当系统按某一个固有频率作自由振动时，各独立坐标在振动过程中相互关系是固定的，这个关系叫振幅比，也叫作主振型或模态。

主振型是多自由度系统以及弹性体振动的重要特征。

多自由度系统的振动方程是多个二阶微分方程组，这些方程一般是耦合的。

多自由度振动的求解有两种方法：直接积分法和振型叠加法。

直接积分法可直接根据微分方程求出响应，涉及的概念不多且有应用软件，本章不做介绍。

振形叠加法要先求出系统的固有频率和振型，在此基础用叠加法求响应，物理概念清楚、并且是模态分析与参数识别的理论基础。

因此本章将先用较多的篇幅介绍多自由度系统的固有振动特性、振型叠加法和传递函数。

3.1 振动微分方程虽然一些多自由度系统数目较多，有些相当复杂，但建立多自由度系统振动微分方程并没有新理论和方法，都是动力学基本理论和方法，本节只通过例题介绍多自由度系统振动微分方程基本形式。

[例一] 试建立图3-1所示3自由度系统的运动微分方程。

三个质量只作水平方向的运动，并分别受到激振力()t P 1，()t P 2和()t P 3的作用，质量块的质量分别为1m ，2m 和3m ，弹簧刚度分别为1k ，2k 3k 和4k ，阻尼分别为1c ，2c 3c 和4c 。

图3-1 3自由度系统解：分别用三个独立坐标1x ，2x 和3x 描述三个质量块的运动，坐标原点分别取在1m ，2m 和3m 的静平衡位置。

质量块的速度分别为1x，2x 和3x ，加速度分别为1x，2x 和3x 。

每个质量块的受力图如3-2（a 、b 、c ）所示，则由受力图根据牛顿第二定律，得系统的运动方程为：图3-2 (a) 图3-2(b)图3-2(c))()()(1212112121111t P x x c x c x x k x k xm +------= )()()()()(232321232321222t P x x c x x c x x k x x k x m +---+---= )()()(3343233432333t P x c x x c x k x x k xm +--+--= 或)()()(1221212212111t P x k x k k x c x c c xm =-++-++ )()()(23323212332321222t P x k x k k x k x c x c c x c x m =-++--++- )()()(3343233432333t P x k k x k x c c x c xm =++-++- 上述方程组可以用矩阵表示为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)()()(000032132143333222213214333322221321321t P t P t P x x x k k k k k k k k k k x x x c c c c c c c c c c x x x m m m三个二阶微分方程是耦合的，这是因为矩阵中有非零的非对角元素。

六自由度振动试验系统运动极限

六自由度振动试验系统运动极限
张步云，陈怀海，贺旭东，郭家骅
（１．南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室
（２．上海宇航系统工程研究所
南京，２１００１６）
制的三轴向六自由度电动振动系统是目前较先进的
电动式多轴振动系统［８］。关广丰等［ｇ。０］就六自由度液压振动试验系统的控制策略进行了理论和试验研究。严侠等［１以三轴向六自由度液压振动台系统为典型被控对象，建立了三轴六自由度液压振动台随机振动控制仿真系统。陈建秋等Ｌ１对六自由度地震模拟振动台的控制系统进行了研究。这些研究多以多轴液压振动系统为主。在振动试验中关心的是多轴振动系统的试验能力，尤其是六自由度电动振动系统。若已知振动系统的相关参数，求得台面的最大运动能力（即能达到的最大位移或最大加速度）是研究人员关心的问题。另一方面，给定一定的试验条件，振动台能否达到这
第４期
张步云，等：六自由度振动试验系统运动极限
的运动，其中：３个平动自由度分别为沿轴、Ｙ轴和ｚ轴的移动；３个转动自由度为绕轴ｚ旋转的Ｒ、绕Ｙ轴旋转的Ｒ和绕ｚ轴旋转的Ｒ。图１为
荷的准确迭加。贺旭东［４指出在对大型试件进行振动试验时，单轴振动台无法提供足够的推力，难以达到规定的试验量级，且单点激励不利于实现振动分布的均匀性，使应力和位移分布不够合理。Ｆｒｅｅ — ｍａｎ［５指出通过单轴振动试验的设备无法承受多维的外场振动环境。事实上，从严格意义来说，产品在使用过程中的振动环境大都是多自由度的，单轴振动试验难以准确描述产品的真实工况。从２０世纪６Ｏ年代开始，研究重点转移到多轴振动系统领域，并取得一系列进展。Ｗｈｉｔｅｍａｎ

多自由度系统的振动、响应和求解

E
D k vD
B Q2
A Q1
k vA
位移图
受力图
图(b) v21, v1v30时板的位移和受力图
（2）求刚度矩阵第二列参见图 b，可得板的力平衡方程：
Q3 kvA kvD 0 Q1L (kvA kvD) L 0 Q1 Q2 kvE 0
；其中
k
12EI L3
解得 Q 1 2 k , Q 2 3 k , Q 3 0
微振动时， i ,
&
i
为小量，将以上能量保留到二阶小量，得
（注意：为了得到线性振动方程，能量表达式必须保留到二阶微量）
T 12ml2[3&12 2&22 &32 4&1&2 2&2&3 2&3&1]
3
12ml2{&1,&2,&3}2
1
2 2 1
11&&12 1&3
V
1 2
mgl
(312
222
简支梁在横向集中力作用下的挠度公式为
P
f Pb(xl2x2b2), 0xa 6EIl
x
a
b
l
f Pb[l(xa)3(l2b2)xx3], axl
6EIlb
例4.1 写出图示梁的柔度矩阵，梁的抗弯刚度为EI。如果将梁的质量按分段区间均分到区间的两个端点，写出梁的质
量矩阵，设梁单位长度的质量为 l。
；其中
k
12EI L3
Q1 Q2
2 2
(kvA
kvD
)
0
解得 Q 1 4 k , Q 2 2 k , Q 3 0
因此，刚度矩阵第一列为

多自由度体系自由振动讲解

代入振动方程可得
K 2 M A 0 -----------振型方程
K11 m1 2
K 21 K n1
K12

K22 m2 2

K1n
K2n
0

Kn2
Knn mn 2
-----频率方程
3. 柔度矩阵与刚度矩阵的关系
FEK2 K21 y1(t) K22 y2 (t)
振动方程------受力平衡方程
m1
mm21yy21
(t (t
) )

FEK1 FEK 2
0 0
m1y1(t)
mm21yy21
(t) (t)

K11 y1 (t) K21 y1 (t)
方程（1）的解设为： y(t) Asin(t ) 式中， A A1 A2 An T
把 y(t) Asin(t ) 代入（1）
A 2 M A
M EA 0
记

1
2
----------------（2）
3）振型图
画振型图时，完全按照2个振型中的量值，与假定的2 个位移方向相协同。
A1 1.0 1.0T A2 1.0 1.0T
1
1
1
1
第一振型
第二振型
多自由度振动
重点：频率、振型难点：建立方程、求刚度
系数、柔度系数
多自由度体系的自由振动
主要内容：振动方程、振型方程、频率方程及振型图
一、柔度法建立振动方程 1. 两个质点的振动
m2
y2 (t)
y1(t) y2(t) 由质点1与质点2的惯性力共同产生 m1

多自由度振动系统的数值方法

一、杆的纵向振动
x
dx
杆单位体积质量为，杆长为l ,截面积为A，应变
( x) ，纵向张力为 P ( x)
ε ( x) u
P( x) AEε AE u x x
，则
在 x dx 截面处张力为
2 P u P dx EA( u dx) 2 x x x
Y '' (l ) 0

C3 C1
C4 C2
(chl cos l )C1 (shl sin l )C2 0
(shl sin l )C1 (chl cos l )C2 0
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特征方程

cos l chl 1
2 2u 2 u VP 2 2 t z
(1)
u u(C1cosωn t C2 sinωn t)
VP－桩身材料的[纵波]波速(m/s) C1、C2由桩顶桩端的边界条件（见下）确定：摩擦桩：
u | z 0 0, u | z l 0 z
端承桩：
u u | z 0 0, | z l 0 z z
• 试验设备
手锤、黄油传感器、导线基桩低应变分析仪、显示器
试验方法
黄油、传感器、手锤、获得波形（时域）曲线。
资料整理
直接由显示器得波形（时域）曲线（或其积分－频域曲线），只要分析该曲线即可，无需进一步整理。
二. 弦振动
若横波在张紧的弦线上沿 x轴正方向传播，我们取 AB ds 的微分段加以讨论（见图）。设弦线的线密度（即单位长质量）为，则此微分段弦线的质量为 ds 。在A、B处受到 T2 ，其方向为沿左右邻段的张力分别为 T1 、 2 角。弦线的切线方向与x轴交成 1 、

第三章多自由度系统振动

U = U ( q1 , q2 ,..., qn )
通常将静平衡位置作为势能零点，并且以静平衡通常将静平衡位置作为势能零点，位置为坐标原点。位置为坐标原点。我们研究的是在静平衡位置附近的微振动，近的微振动，则将 U 在静平衡位置作泰勒展开有
∂U U = U0 + ∑ i =1 ∂qi
0
q
对应的广义力，阻尼力，耗散力。对应的广义力，阻尼力，耗散力。系统的第 k 个质点受到的阻尼力
& Rk = − β k ⋅ rk
与势能形式上对应存在一个耗散函数
m n 1 ∂rk dqi n ∂rk dq j 1 & & Φ = ∑ β k ⋅ rk ⋅ rk = ∑ β k ⋅ ∑ ⋅ ⋅∑ ⋅ dt j =1 ∂q j dt k =1 2 k =1 2 i =1 ∂qi
kn 2 − mn 2ωi2 ) ⋅ ϕ 2i + ... + ( knn − mnnωi2 ) ⋅ ϕ ni = ( mn1ωi2 − kn1 ) ϕ1i (
n − 1 个方程，n − 1 未知数，个方程，未知数，最终可求出 ϕ2i ,..., ϕni 用 ϕ1i
表示，其余都与其成一定比例。表示，其余都与其成一定比例。与其成一定比例
系统的能量等于各阶主振动的能量之和不同阶之间能量不发生变换每一阶主振动的动能和势能在内部交换总和保持常数34多自由度系统的受迫振动mxcxkx1特征值分析求出无阻尼的各阶固有频率和各阶主振型2模态叠加方法分解解耦期望阻尼阵也和mk一样具有正交性即如果这样就可以使用模态叠加法进行解耦分析求解
结构动力学
1 n n ∂ 2U U = ∑∑ 0 qi q j 2 i =1 j =1 ∂qi ∂q j ，令

多自由度体系的振动

振动的基本概念
振动定义
振动是指物体在平衡位置附近进行的往复运动。在多自由度体系中，各质点间的振动相互作用和能量传递使得整个体系呈现出复杂的振动行为。
振动分类
根据振动频率的不同，可以分为低频振动和高频振动；根据振动原因的不同，可以分为自然振动和受迫振动。
振动分析方法
对多自由度体系的振动进行分析时，可以采用模态分析法、直接积分法、传递矩阵法等多种方法。模态分析法是一种常用的简化分析方法，通过求解体系的特征值和特征向量来确定体系的模态参数，进而分析其振动特性。
振动控制的方法
01
02
03
主动控制
通过向系统输入能量或信号，主动改变系统的振动状态，以达到减振的目的。
被动控制
通过吸收、隔离或阻尼系统振动能量，被动地抑制系统振动。
混合控制
结合主动和被动控制方法的优点，以提高减振效果。
主动控制
主动控制利用外部能源向系统提供控制力，通过实时监测和反馈系统振动状态，主动调整控制力的大小和方向，以达到减振的目的。
将结构划分为有限个单元，通过建立单元间的传递矩阵来描述振动能量的传递和散射。
模态分析
模态振型
描述结构在不同频率下的振动形态。
模态频率
结构的固有频率，对应于特定的模态振型。
模态刚度和模态阻尼
描述模态的力学特性和能量耗散特性。
模态分析的应用
用于结构的动力学特性分析、振动控制和优化设计等。
响应分析
数据采集系统
将振动传感器采集到的信号进行放大、滤波和模数转换，以便进行后续处理和分析。
振动隔离技术
主动控制技术
通过传感器检测多自由度体系的振动，并使用主动控制算法产生

第二章振动结构模态分析

x(t) Acos(t )
2.2 单自由度系统自由振动 ——有阻尼
m x(t) c x(t) k x(t) f (t)
mx cx kx 0
x Aet
m2 c k 0
2 2 2 0
1,2 2 1
2 k
m
c 2
m
2.2 单自由度系统自由振动——有阻尼
n
x(t) qi (t)i q(t) i1 T M q(t) T Cq(t) T Kq(t) T f (t)
miqi (t) ciqi (t) kiqi (t) iT f (t)
2.6 多自由度系统振动响应
频响函数：
Mx(t) Cx(t) K x(t) f (t)
x(t) Xeit
m x(t) c x(t) k x(t) f (t)
t
x(t) 0 f (t )h( )d
2.3 单自由度系统强迫振动——频响函数与单位脉冲函数
m x(t) c x(t) k x(t) f (t)
定义：
(1)简谐激励时，稳态输出相量与输入相量之比。
(2)瞬态激励时，输出的傅里叶变换与输入的傅里叶变换之比。
表示体系可能存在的n个振型
对应的频率。具有最低频率的阵型称之为第一阶振型，第二低频率
对应的振型为第二阶振型。
2.5 多自由度无阻尼系统自由振动
振型分析：Mx(t) K x(t) 0
x(t) Xsin( t )
1
(K 2M)X 0 1.特征向量，或振型，
一般用i来表示；
(K i2M)Xi 0
/
2.3 单自由度系统强迫振动——简谐激励
x(t) 2 x(t) 2 x(t) F0 sin t
m
通解： xc (t) A1 cosdt A2 sin dtexp(t)

多自由度振动体系的刚度矩阵和柔度矩阵的关系 -回复

多自由度振动体系的刚度矩阵和柔度矩阵的关系-回复多自由度振动体系的刚度矩阵和柔度矩阵是描述振动体系力学特性的重要参数。

它们之间存在着紧密的关系，其互为逆矩阵。

本文将从多自由度振动体系的概念入手，介绍刚度矩阵和柔度矩阵的定义与性质，然后详细阐述它们之间的关系，并给出相关数学推导。

一、多自由度振动体系的概念多自由度振动体系是指具有多个可以相互独立振动的自由度的振动系统。

它可以用于描述如建筑物、桥梁、机械系统等复杂结构的振动问题。

二、刚度矩阵的定义与性质刚度矩阵描述了振动体系中力与位移之间的关系。

设振动体系有n个自由度，其刚度矩阵为K，其元素表示为第i个自由度与第j个自由度之间的刚度系数ki,j。

刚度矩阵是一个n×n的方阵。

刚度矩阵的性质如下：1. 对称性：即ki,j = kj,i。

这是因为刚度系数符合力的平行四边形法则，按照这个法则可以证明刚度矩阵是对称矩阵。

2. 非负定性：刚度矩阵的特征值大于等于0。

三、柔度矩阵的定义与性质柔度矩阵描述了振动体系中位移与力之间的关系。

与刚度矩阵类似，设振动体系有n个自由度，其柔度矩阵为C，其元素表示为第i个自由度与第j个自由度之间的柔度系数ci,j。

柔度矩阵也是一个n×n的方阵。

柔度矩阵的性质如下：1. 对称性：即ci,j = cj,i。

这是因为柔度系数符合位移的平行四边形法则，按照这个法则可以证明柔度矩阵是对称矩阵。

2. 非负定性：柔度矩阵的特征值大于等于0。

四、刚度矩阵和柔度矩阵的关系刚度矩阵和柔度矩阵是互为逆矩阵的关系。

具体而言，如果K为一个振动体系的刚度矩阵，C为其柔度矩阵，那么有以下关系：K⋅C = C⋅K = I其中，I为n阶单位矩阵。

这个关系可以用数学方法进行证明。

5. 数学推导假设存在一个振动体系的柔度矩阵C和刚度矩阵K，满足K⋅C = C⋅K = I。

我们可以通过以下推导得到这个关系：设A = K⋅C，B = C⋅K。

对于矩阵A，其第i行第j列的元素可以表示为：A[i][j] = ∑(K[i][k]⋅C[k][j])，其中k为1到n的取值范围。

第1章多自由度系统的固有振动特性

第一章多自由度系统的固有振动特性§1.1概述实际工程结构的振动往往用一个有限的多自由度振动系统来描述。

多自由度系统在数学上用一组常微分方程来描述，又称为集中参数系统。

因此研究多自由度系统振动特性是研究结构振动的基础和出发点。

§1.2 无阻尼系统的自由振动1．振动方程（1－1），为广义位移矢量2．质量矩阵物理意义动能（1－2）（1）质量矩阵反映了系统的动能（2）质量矩阵是正定的（3）质量矩阵是对称的例外：纯静态位移使（1－3）如在用有限元法建模时，采用非一致质量阵，则某些自由度上可能无质量项，此时质量阵不能保证正定。

即可以找到这样的一个位移向量使上式成立。

3．刚度矩阵的物理意义势能（1－4）（1）刚度矩阵反映了系统的势能（2）刚度矩阵是半正定的（刚体位移对应的势能为零）（3）刚度矩阵是对称的刚度矩阵的逆阵也有明确的物理意义——柔度矩阵使用刚度矩阵或柔度矩阵建立振动方程，分别称为“力法”、“位移法”4．特征方程各个自由度上的运动互不相同，但都是同频的简谐振动。

（1－5）求解上述方程是结构振动分析最基本的任务之一。

5．几个基本概念（1）固有频率特征方程的根为，即为固有频率，它反映了结构自由振动随时间的变化特性。

（2）固有模态或固有振型对应于特征方程根的特征矢量（1－6）它反映了结构自由振动在空间的变化特性。

（3）标准模态对固有模态归一化（1－7）则称为标准模态或归一化模态，模态归一化的方法有：1）置中某一分量为12）置中绝对值最大的分量为13）置模态质量为1，（1－8）（4）刚体模态：对应于（1－9）纯刚体模态：仅含有一种刚体运动（5）纯静态模态：使的模态，在非一致质量阵中，某些对角元素可以为零，可以找到一组位移使（1－10）（6）单频：称为单频。

（7）重频：称为重频，但相应有两个模态。

（8）密频或近频：通常当时，可以称为密频§1.3 固有频率与固有模态的特性1．正交性指模态对刚度矩阵[K]及质量阵[M]的加权正交性：（1－11）证明：由（1－12）分别前乘，然后相减并利用质量阵和刚度阵的对称性。