高二数学下学期开学考试第一次测试试题 理
2022-2023学年四川省内江市高二下学期入学考试数学(理)试题【含答案】
2022-2023学年四川省内江市高二下学期入学考试数学（理）试题一、单选题1．已知三维数组(2,1,0)a =- ，(1,,7)b k = ，且a b ⊥，则实数k 的值为（）A ．-2B ．2C ．27D ．-9【答案】B【分析】根据两个向量垂直可得其数量积为0，然后解方程即可【详解】根据a b ⊥，可得：0a b ⋅= 则有：20k -=解得：2k =故选：B2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A ．至少有一个黑球与都是红球B ．至少有一个红球与都是红球C ．至少有一个红球与至少有1个黑球D ．恰有1个红球与恰有2个红球【答案】D【分析】A.至少有一个黑球与都是红球,是对立关系，因此能判断A 不符合要求；B.至少有一个红球包括两球都是红球，二者不互斥，不符合要求；C.至少有一个红球与至少有1个黑球，含有同时发生的情况，不符合要求；D.恰有1个红球与恰有2个红球，二者符合题目要求.【详解】A.至少有一个黑球与都是红球,二者不会同时发生，是互斥关系，任取2个球时，这两个事件又一定会有一个发生，因此二者又是对立事件，不符合题目要求；B.至少有一个红球包括两球都是红球，因此二者会同时发生，不是互斥关系，不符合要求；C.至少有一个红球与至少有1个黑球，二者都含有恰有一个红球和一个黑球的情况，会有同时发生的可能，不是互斥关系，不符合要求；D.恰有1个红球与恰有2个红球，二者不会同时发生，是互斥事件，但二者有可能都不会发生，比如取到的两球都是黑球，故二者不是对立事件，符合题目要求.故选：D3．设α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，且m α⊂，n β⊂，下列命题正确的是（）A ．如果//m β，那么//αβB ．如果//αβ，那么//m nC ．如果m β⊥，那么αβ⊥D ．如果αβ⊥，那么m β⊥【答案】C【分析】根据已知条件判断线线、线面以及面面位置关系，可判断ABD 选项的正误，利用面面垂直的判定定理可判断C 选项的正误.【详解】对于A 选项，因为m α⊂，n β⊂，//m β，则α、β平行或相交，A 错；对于B 选项，因为m α⊂，n β⊂，//αβ，则m 、n 平行或异面，B 错；对于C 选项，因为m α⊂，n β⊂，m β⊥，由面面垂直的判定定理可知αβ⊥，C 对；对于D 选项，因为m α⊂，n β⊂，αβ⊥，则//m β或m β⊂或m 与β相交，D 错.故选：C.4．设a R ∈，若直线1:280l ax y +-=与直线2:(1)50l x a y +++=平行，则a 的值为（）A ．1B ．2-C ．1或2-D ．23-【答案】C【分析】根据直线的一般式判断平行的条件进行计算.【详解】10a +=时，容易验证两直线不平行，当10a +≠时，根据两直线平行的条件可知：28115a a -=≠+，解得1a =或2a =-.故选：C.5．过点(1,1)P 可以向圆222420x y x y k ++-+-=引两条切线，则k 的范围是（）A ．2k >B ．07k <<C ．7k <D ．27k <<【答案】D【分析】过点(1,1)P 可以向圆222420x y x y k ++-+-=引两条切线，即点(1,1)P 在圆外，即P 到圆心的距离大于圆的半径，则把圆的方程化为标准方程后，找出圆的圆心和半径，利用两点间的距离公式求出点(1,1)P 到圆心的距离，由d r >且70k ->，即可求解.【详解】把圆的方程化为标准方程得()()22127x x k ++-=-，即圆心坐标为()1,2-，半径为7r k =-，点(1,1)P 到圆心的距离为()()221+1+125d =-=，∵P 在圆外时，过点P 可以向圆222420x y x y k ++-+-=引两条切线，∴d r >，即57k >-,且70k ->，解得27k <<，故选：D .6．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等边三角形，1AA ⊥平面ABC ，12AA AB ==，D ，E ，F 分别是1BB ，1AA ，11AC 的中点，则直线EF 与CD 所成角的余弦值为（）A ．12B ．22C ．12-D ．0【答案】D【分析】方法一：根据异面直线夹角的定义，延长11,AC AC ，使111,C M AC CN AC ==，连接111,,,,,AC CM DM B M B F MN ，分析图形结合余弦定理可求直线EF 与CD 所成角的余弦值；方法二：将三棱柱补成四棱柱，结合异面直线夹角的定义确定夹角，根据余弦定理与勾股定理可求得直线EF 与CD 所成角的余弦值；方法三：根据三棱柱的几何性质，建立空间直角坐标系，按照空间坐标运算求解直线EF 与CD 所成角的余弦值即可.【详解】解：方法一：延长11,AC AC ，使111,C M A C CN AC ==，连接111,,,,,AC CM DM B M B F MN ，如图所示．在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等边三角形，1AA ⊥平面ABC ，12AA AB ==，易知1////,5,22EF AC CM CD CM ==，22222222111113313DM B D B M B D B F FM =+=++=++=．设直线EF 与CD 所成角为θ，易知()22222252213cos cos 022522DC CM DMDCM DC CMθ+-+-=∠===⋅⨯⨯，∴直线EF 与CD 所成角的余弦值为0．故选：D ．方法二：如图，将三棱柱补成四棱柱，其中两个三棱柱全等．取PB 中点Q ，连接DQ ，由棱柱性质易知//EF DQ ，∴CDQ ∠为EF 与CD 所成角或其补角．连接CQ ，由题知2,1,1BC BQ BD ===，∴5,2CD DQ ==，又120CBQ ∠=︒，∴在CBQ △中由余弦定理可得2222212cos 1221272CQ BQ BC BQ BC CBQ ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭∴7CQ =在CDQ 中，2227CQ CD DQ =+=，∴90CDQ ∠=︒∴直线EF 与CD 所成角的余弦值为0．故选：D ．方法三：如图，取AC 中点为O ，连接,OB OF ，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等边三角形，1AA ⊥平面ABC ，12AA AB ==，易得FO ⊥平面ABC ，则,FO OB FO AC ⊥⊥，又2AB BC ==，O 为AC 中点，所以OB AC ⊥，则以O 为原点，以,,OB OC OF 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．所以()()()()()0,0,0,0,1,0,3,0,1,0,0,2,0,1,1O C DF E -，则()()0,1,1,31,1EF CD ==-，，所以011cos ,025EF CD EF CD EF CD⋅-+===⨯⋅∴直线EF 与CD 所成角的余弦值为0．故选：D ．7．甲､乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：下列说法错误的是（）A ．从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定B ．从折线统计图上两人射击命中环数走势看，甲更有潜力C ．从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好D ．从平均数和中位数相结合看，乙成绩较好【答案】D【分析】由图找出甲乙打靶的成绩，分别计算出甲乙的平均数、方差、中位数，结合折线图逐项分析可得答案.【详解】由图可知，甲打靶的成绩为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，甲的平均数为24687789910710甲+++++++++==v ，甲的方差为()()()()()()()222222222747672772872971075.410甲-+-+-+⨯-+⨯-+⨯-+-==s乙打靶的成绩为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，乙的平均数为9578768677710乙+++++++++==v ，乙的方差为()()()()()2222229757267477287 1.210乙-+-+⨯-+⨯-+⨯-==s ，所以22乙甲<s s ，从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定，故A 正确；从两人射击命中环数折线统计图走势看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，甲更有潜力，故B 正确；甲打靶的成绩为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，中位数为7.5，乙打靶的成绩为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，中位数为7，甲9环及9环以上的次数3次，甲9环及9环以上的次数1次，甲乙二人的打靶命中环数的平均数相同，故从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好，故C 正确；甲乙二人的打靶命中环数的平均数相同，甲的中位数7.5大于乙的中位数7，从平均数和中位数相结合看，甲成绩较好，故D 错误.故选：D.8．图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3．若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为（）A ．100πB ．600C ．200πD ．300π【答案】C【分析】由莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，结合已知可得半径为20，由弧长公式求得底面周长，进而可求得结果.【详解】莱洛三角形由三段半径为20，圆心角为π3的圆弧构成，所以该零件底面周长为π32020π3⨯⨯=，故其侧面积为200π．故选：C.9．已知三棱锥S ABC -所有顶点都在球O 的球面上，且SA ⊥平面ABC ，若1SA AB AC BC ====，则球O 的表面积为（）A ．52πB ．5πC ．53πD ．73π【答案】D【分析】设O '为ABC 的外接圆的圆心，取SA 的中点E ，求得ABC 的外接圆的半径33r =，且12O A '=，得到三棱锥S ABC -外接球的半径，结合球的表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，设O '为ABC 的外接圆的圆心，取SA 的中点E ，分别连接OO '和OE ，则OO '⊥平面ABC ，OE ⊥SA ，因为SA ⊥平面ABC ，若1SA AB AC BC ====，可得ABC 的外接圆的半径33r O A '==，且12O O AE '==，在直角O OA '△中，可得22222317()()3212OA OO O A ''=+=+=，即三棱锥S ABC -外接球的半径为2712R =，所以球O 的表面积为2743S R ππ==.故选：D.10．若直线y kx =与圆22(2)(1)1x y ++-=的两个交点关于直线20x y b -+=对称，则k ，b 的值分别为（）A ．12k =-，5b =B ．12k =，3b =-C ．12k =-，4b =-D ．2k =，5b =【答案】A【分析】由题意分析得知直线20x y b -+=经过圆心求出b ；由直线y kx =与直线20x y b -+=垂直求出k 即可.【详解】因为直线y kx =与圆22(2)(1)1x y ++-=的两个交点关于直线20x y b -+=对称，所以直线20x y b -+=经过圆心()21，-，且直线y kx =与直线20x y b -+=垂直，所以()221021⎧⨯--+=⎨=-⎩b k 解得：512=⎧⎪⎨=-⎪⎩b k ，故选：A.11．已知直线:10l x y -+=，点(),0A a -、()(),00B a a >，若直线l 上存在点P 满足90APB ∠= ，则实数a 的取值范围为（）A ．2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B ．2,2⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞【答案】B【分析】设点(),P x y ，由勾股定理可得出222x y a +=，则直线l 与圆222x y a +=有公共点，利用点到直线的距离公式可求得实数a 的取值范围.【详解】设点(),P x y ，因为90APB ∠= ，则222PA PB AB +=，即()()222224x a y x a y a +++-+=，整理可得222x y a +=，所以，点P 既在直线l 上，又在圆222x y a +=上，所以，直线l 与圆222x y a +=有公共点，因为0a >，且圆222x y a +=的圆心为原点，半径为a ，所以，()22111a ≤+-，可得22a ≥，故实数a 的取值范围为2,2⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭∞.故选：B.12．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不包含端点），若正方体棱长为1，则下列结论正确的有（）①直线1D P 与AC 所成角的取值范围是ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭②存在P 点，使得平面1APD ∥平面1C BD③三棱锥1D CDP -的体积为16④平面1APD 截正方体所得的截面可能是直角三角形A ．①③B ．②④C ．③④D ．②③【答案】D【分析】①建立平面直角坐标系，利用异面直线所称角的向量坐标法，即可求解；②当点P 为中点时，即可判断面面平行；③结合等体积转化11D CDP P CDD V V --=，即可求解；④讨论点P 的位置，作出截面，即可判断.【详解】①如图，连结1,AC D P ，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()11,0,1A ，()0,0,0D ，()10,0,1D ，()0,1,0C ，则有()1,1,0AC =- ，设11A P A B λ= ，()()()11111,0,00,1,11,,D P D A A B λλλλ=+=+-=-，()01λ∈，，所以()212211cos ,42221AC D P λλλλ--+==++，令()()22142f λλλ-=+，()0,1λ∈，则()()()()()22222421184404242f λλλλλλλ+---'==<++，所以()()22142f λλλ-=+在()0,1上单调递减，因为()102f =，()10f =，设直线1D P 与AC 所成角为α，所以120cos cos ,2AC D P α<=< ，又π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,故直线1D P 与AC 所成角的取值范围是ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故①错误；②当点P 为1A B 的中点时，有1//AP C D ，AP ⊄平面1C BD ，1C D ⊂平面1C BD ，所以//AP 平面1C BD ，同理，1//AD 平面1C BD ，且1AD AP A = ，1,AD AP ⊂平面1APD ，所以平面11//APD C BD ，故②正确；③三棱锥1D CDP -的体积11111111113326D CDP P CDD CDD V V S AD --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ，故③正确；④设1A B 的中点为O ，连结11,,AP AD D P ，当点P 在线段OB （不包括端点）上时，此时平面1APD 截正方体所得的截面为梯形1AEFD ，如图，当点P 在O 点时，此时平面1APD 截正方体所得的截面为正三角形11AB D ,如图，当点P 在线段1OA （不包括端点）时，此时平面1APD 截正方体所得的截面为等腰三角形1AD G ，如图，12AD =，11D G AG =>，所以22211D G AG AD +>，1AGD ∠为锐角，该等腰三角形不可能为直角三角形，综上，可得④错误.故选：D二、填空题13．某创新企业为了解新研发的一种产品的销售情况，从编号为01，02，…，80的80个专卖店销售数据中，采用系统抽样的方法抽取一个样本，若样本中的个体编号依次为03，13，…则样本中的最后一个个体编号是_______.【答案】73【分析】以系统抽样抽取样本规则解之即可.【详解】由抽取样本中的个体编号依次为03，13，…，可知抽取的两个相邻号码之差为10.说明样本以10个为一组，被分成了8组.抽出的编号依次为：3，13，23，33，43，53，63，73.则样本中的最后一个个体编号是73.故答案为：7314．若实数x 、y 满足约束条件131x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则31z x y =++的最小值是______．【答案】４【分析】按照简单的线性规划步骤逐步进行即可.对于可行域为封闭三角形，目标函数为截距型时，可用交点代入法求解.【详解】作出可行域，令Z =0，作直线l 0：310x y ++=，易知，将直线l 0平移过点A 时Z 取得最小值，将A 点坐标(1,0)代入目标函数得min 4Z =.故答案为：415．如图所示，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，E 在棱1DD 上，12DE ED =，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 平面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度为__________．【答案】2【分析】设H 在棱1CC 上，且12CH HC =，I 在棱11C D 上，且112D I IC =，G 在棱CD 上，且2DG GC =，根据面面平行的判定定理，可得平面1//A BGE 平面1B HI ，结合已知中1//B F 平面1A BE ，可得F 落在线段HI 上，则答案可求.【详解】解：设H 在棱1CC 上，且12CH HC =，I 在棱11C D 上，且112D I IC =，G 在棱CD 上，且2DG GC=连接1B I ，1B H ，IH ，1CD ，EG ，BG ，则11////A B CD GE ，所以1A ，B ，E ，G 四点共面，由11//B H A E ，1A E ⊄平面1B HI ，1B H ⊂平面1B HI ，所以1//A E 平面1B HI ，同理1//A B 平面1B HI ，又111A B A E A = ，11,A B A E ⊂平面1A BGE ，所以平面1//A BGE 平面1B HI ，又因为1//B F 平面1A BE ，所以F 落在线段HI 上，因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，所以1132233HI CD ===，即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是2．故答案为：2.16．若,A B 是圆()()()22:240C x y m m -+-=>上两点，且23AB =，若存在R a ∈，使得直线1:0l ax y -=与2:240l x ay a ++-=的交点P 恰为AB 的中点，则实数m 的取值范围为______.【答案】52,5⎡⎤-⎣⎦【分析】由直线与圆相交以及弦长23AB =，可得M 点的轨迹方程，又直线1:0l ax y -=与2:240l x ay a ++-=相交，可得交点P 的轨迹方程，由已知可得圆M 与圆P 有公共点，根据圆与圆的位置关系列出不等式，解出实数m 的取值范围．【详解】圆()()()22:240C x y m m -+-=>的半径2r =，M 为AB 的中点，且22223AB r MC=-=，解得1MC =，M ∴点的轨迹方程为()()()22210x y m m -+-=>，又直线1:0l ax y -=过定点()0,0Q ，2:240l x ay a ++-=即()420x a y -++=过定点()4,2S -，且12l l ⊥，则P 点是两垂线的交点，所以P 点在以QS 为直径的圆上，圆心为()2,1-，半径为11164522QS =+=，P ∴的轨迹方程为()()22215x y -++=，由于1l 的斜率存在，所以点P 的轨迹要去掉点()0,2-，由已知可得：圆M 与圆P 有公共点，5151MP ∴-≤≤+，即51151m -≤+≤+，又0m >，所以51151m -≤+≤+，解得525m -≤≤，故答案为：52,5⎡⎤-⎣⎦三、解答题17．已知直线()():231370l a x a y a +--++=，R a ∈.(1)证明直线l 过定点A ，并求出点A 的坐标；(2)在（1）的条件下，若直线l '过点A ，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的12，求直线l '的方程.【答案】(1)定点A 的坐标为()2,1--(2)12y x =或122y x =--【分析】（1）整理方程为()23370x y a x y -++++=，然后解方程组230370x y x y -+=⎧⎨++=⎩可得答案；（2）设出直线方程，求出截距，利用截距之间的关系列方程求解.【详解】（1）直线()():231370l a x a y a +--++=可化为()23370x y a x y -++++=，则230370x y x y -+=⎧⎨++=⎩，解得21x y =-⎧⎨=-⎩，∴直线l 过定点，且定点A 的坐标为()2,1--；（2） 直线l '过点()2,1--，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的12，则当直线l '过坐标原点时，符合题意，此时直线方程为12y x =，即20x y -=；当直线l '的横纵截距均不为零时，设直线l '的方程为112x y a a +=，代入点()2,1--，得21112a a --+=，解得4a =-，此时直线l '的方程为142x y +=--，即240x y ++=，综上，直线l '的方程为20x y -=或240x y ++=.18．某小型企业甲产品生产的投入成本x （单位：万元）与产品销售收入y （单位：万元）存在较好的线性关系，下表记录了最近5次该产品的相关数据.x （万元）357911y （万元）810131722（1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，判断该企业甲产品投入成本12万元的毛利率更大还是投入成本15万元的毛利率更大（毛利率=-收入成本收入100%⨯）？相关公式：()()()1122211ˆ=nniii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====---=--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-.【答案】（1）ˆ 1.75 1.75y x =+；（2）12万元的毛利率更大【分析】（1）根据题意代入数值分别算出ˆb与ˆa 即可得解；（2）分别把12x =与15x =代入线性回归方程算出ˆy再算出毛利率即可得解.【详解】（1）由题意7x =，14y =.()()()()()()()()5137814571014771314iii x x yy =--=--+--+--∑()()971714+--()117+-()221470-=，()()()()()()522222213757779711740i i x x=-=-+--+-+-=+∑，()()()51521ˆ 1.75iii ii x x y y bx x ==--==-∑∑，ˆ147 1.75 1.75a=-⨯=故y 关于x 的线性回归方程为ˆ 1.75 1.75yx =+.（2）当12x =时，ˆ22.75y=，对应的毛利率为22.7512100%47.3%22.75-⨯≈，当15x =时，ˆ28y=，对应的毛利率为2815100%46.4%28-⨯≈，故投入成本12万元的毛利率更大.【点睛】本题考查了线性回归方程的求解和应用，考查了计算能力，属于基础题.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面,ABCD ABCD 是直角梯形，,//AD DC AB DC ⊥，222AB AD CD ===，点E 在线段PB 上且12PE EB =.(1)证明直线//PD 平面AEC ;(2)证明直线BC ⊥平面PAC .【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）作辅助线，即连接BD 交AC 于点O ，连接OE ,利用△DOC ∽△BOA 及12PE EB =，证明//PD OE ，利用线面平行的判定定理证明即可；（2）通过计算证明AC BC ⊥，由PC ⊥平面ABCD 得到PC BC ⊥，利用线面垂直的判定定理证明即可.【详解】（1）证明：连接BD 交AC 于点O ，连接OE ,∵//AB DC ，2AB CD =,∴△DOC ∽△BOA ,即12DO DC OB AB ==，又∵12PE EB = ，∴12DO PE OB EB ==∴//PD OE又∵OE AEC ⊂面、PD AEC ⊄面∴//PD AEC面（2）∵PC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PC BC ⊥，又∵2,1,AB AD CD AD DC ===⊥，且ABCD 是直角梯形，∴2AC BC ==，即222AC BC AB +=，∴AC BC ⊥，又∵PC AC C ⋂=，且,PC AC ⊂平面PAC ，∴BC ⊥平面PAC .20．某中学举行了一次诗词竞赛.组委会在竞赛后，从中抽取了部分选手的成绩（百分制）作为样本进行统计，作出了茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：(1)求样本容量n 、抽取样本成绩的中位数及分数在[)80,90内的人数；(2)若从分数在[50,60)和[80,90)内的学生中任选两人进行调研谈话，求至少有一人分数在[50,60)内的概率．【答案】(1)25n =，中位数为73，4人(2)35【分析】（1）根据频率分布直方图可知组的频率等于该组的频数除以总的样本量，各个组的频率之和为1，根据茎叶图的特点直接可获得中位数所在位置；（2）总的事件总数是从分数在[50,60)和[80,90)内的学生中任选两人，待求的是至少有一人分数在[50,60)内，则分别计算出总的基本事件个数和至少有一人分数在[50,60)内的基本事件个数即可，然后根据概率的定义求出即可.【详解】（1）分数在[)50,60内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，分数在[]90,100内同样有2人.由2100.008n=⨯解得：25n =根据茎叶图可知：抽测成绩的中位数为73分数在[80,90)之间的人数为：()25271024-+++=综上可得：样本容量25n =，中位数为73，分数在[80,90)内的人数为4人（2）设“若从分数在和内的学生中任选两人进行调研谈话，至少有一人分数在[50,60)内”为事件M .将[80,90)内的4人编号为a b c d ,,,；[50,60)内的2人编号为,A B 则在[50,60)和[80,90)内的任取两人的基本事件为：,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad aA aB bc bd bA bB cd cA cB dA dB AB ，共15个其中，至少有一人分数在[50,60)内的基本事件：,,,,,,,,aA aB bA bB cA cB dA dB AB ，共9个.故所求的概率得：93M =155P =()21．如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC 的面积为22.(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角1A A C B --的大小.【答案】(1)2(2)π3【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得BC ⊥平面11ABB A ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，设点A 到平面1A BC 的距离为h ，则111111112211433333A A BC A A ABC A ABC AB BC C C B V S h h V S A A V ---=⋅===⋅== ，解得2h =，所以点A 到平面1A BC 的距离为2；（2）取1A B 的中点E ,连接AE ，如图，因为1AA AB =，所以1AE A B ⊥,又平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC ⋂平面111ABB A A B =，且AE ⊂平面11ABB A ，所以⊥AE 平面1A BC ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，由BC ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面ABC 可得AE BC ⊥，1BB BC ⊥，又1,AE BB ⊂平面11ABB A 且相交，所以BC ⊥平面11ABB A ，所以1,,BC BA BB 两两垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得2AE =，所以12AA AB ==，122A B =，所以2BC =，则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ，则1A B 的中点()0,1,1E ，所以()0,1,1AE =- ,()10,0,2AA =，()2,2,0AC =- ，设平面1AAC 的法向量为(),,n x y z =，则120220n AA z n AC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，解得0x y z =⎧⎨=⎩，取1x y ==，则平面1AAC 的一个法向量为()1,1,0n =r，由⊥AE 平面1A BC 可知，AE为平面1A BC 的一个法向量，设二面角1A A C B --为θ，则11cos cos ,222n AE n AE n AEθ⋅=<>===⨯⋅，且观察图可知，二面角1A A C B --为锐二面角，所以1cos 2θ=，则π3θ=，所以二面角1A A C B --的大小为π3.22．已知点()0,2P ，设直线l ：y =kx +b （b ，R k ∈）与圆22:4C x y +=相交于异于点P 的A ，B 两点.(1)若PA PB ⊥，求b 的值；(2)若||23AB =，且直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为233，求直线l 的斜率k 的值；(3)当||||4PA PB ⋅=时，是否存在一定圆M ，使得直线l 与圆M 相切?若存在，求出该圆的标准方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)0(2)3k =±或33k =±(3)存在，定圆22:(2)1M x y +-=.【分析】（1）根据PA PB ⊥可知直线l 过圆224x y +=的圆心(0,0)，可得0b =；（2）由||23AB =得原点(0,0)O 到直线l 的距离为1，得221b k =+，再根据面积得243||3b k =，联立消去2b 可得k 的值；（3）联立直线与圆224x y +=，化为关于x 的一元二次方程，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，根据韦达定理可得12y y +和12y y ，利用12y y +和12y y ，将||||4PA PB ⋅=化为2243k b b =-+，利用2243k b b =-+求出点(0,2)P 到直线y kx b =+的距离为1，由此可得结果.【详解】（1）因为PA PB ⊥，又(0,2)P 在圆224x y +=上，所以直线l 过圆224x y +=的圆心(0,0)，所以0b =.（2）因为||23AB =，圆224x y +=的半径为2，所以圆心(0,0)到直线l 的距离24(3)1d =-=，由点到直线的距离公式可得2||11b d k==+，得221b k =+，当0k =时，直线l 与坐标轴不能围成三角形，故0k ≠，在y kx b =+中，令0x =，得y b =；令0y =，得bx k =-，所以123||||23b b k ⋅-=，得243||3b k =，所以2431||3k k +=，解得||3k =或3||3k =，所以3k =±或33k =±.（3）联立224x y y kx b ⎧+=⎨=+⎩，消去y 并整理得222(1)240k x kbx b +++-=，222244(1)(4)0k b k b ∆=-+->，即2244b k <+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12221kb x x k +=-+，212241b x x k -=+，所以2121222()221k b y y k x x b b k +=++=-++221b k =+，2212121212()()()y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++2222222(4)211k b k b b k k -=-+++22241b k k -=+，所以||||PA PB ⋅22221122(2)(2)4x y x y =+-⋅+-=，所以222211224(2)4(2)16y y y y ⎡⎤⎡⎤-+-⋅-+-=⎣⎦⎣⎦，所以12(84)(84)16y y --=，所以12(2)(2)1y y --=，所以12122()30y y y y -++=，所以2222443011b k b k k --+=++，即2243k b b =-+，所以点(0,2)P 到直线y kx b =+的距离为2|2|1b k -++2|2|431b b b -=-++2|2|1(2)b b -==-，所以直线y kx b =+与以(0,2)P 为圆心，1为半径的圆相切，所以存在一个定圆22:(2)1M x y +-=，使得直线l 与圆22:(2)1M x y +-=相切.。
高二数学下学期第一次月考开学试题 理 试题
卜人入州八九几市潮王学校第十二零二零—二零二壹高二数学下学期第一次月考〔开学〕试题理1．)A ．那么x=1”那么〞B ．“x=1”是“〞的充分不必要条件C ．假设D ．，使得,那么均有2．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，那么双曲线C的渐近线方程为()A ．y x =±B ．33y x =±C ．3y x =±D ．22y x =± 3．A,B,C 三点不一共线,对于平面ABC 外的任一点O,以下条件中能确定点M 与点A,B,C 一定一共面的是()A ．B ．C ．D ．4．设点M(0,-5),N(0,5),△MNP 的周长为36,那么△MNP 的顶点P 的轨迹方程为()A ．(y≠0)B．(x≠0) C ．(y≠0)D．(x≠0)5．pqqr,那么r 是p) A ．B ．C ．D ．6．如下列图,在正三棱锥V-ABC 中,D,E,F 分别是VC,VA,AC 的中点,P 为VB 上任意一点,那么DE 与PF 所成的角的大小是()A ．30°B．90°C．60°D．随P 点的变化而变化7．双曲线的焦点在x 轴上，焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线平行，那么双曲线的HY方程为〔〕A．B．C．D．8．将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a>b>0)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,那么()A．e1=e2B．e1<e2 C．e1>e2D．e1,e2之间的大小不确定9．如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,四边形ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,E为CB的中点,AB=PA=AD=2CD,那么AP与平面PDE所成角的正弦值为()A．B．C．D．10．p:函数y=log a(ax-3a)(a>0且aq:假设函数y=f(x)的图像关于点(3,0)对称,那么函数y=f(x+3)的图像关于点(6,0)对称,那么()A．p∧q为真B．p∨q为假C．p真q假D．p假q真11．抛物线y2=4x的焦点为F,A,B为抛物线上两点,假设O为坐标原点,那么△AOB的面积为()A．B．C．D．12．双曲线(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F2的直线交双曲线的右支于P,Q两点,假设|PF1|=|F1F2|,且3|PF2|=2|QF2|,那么该双曲线的离心率为()A．B．C．2D．13．点A,B,C的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,-1),(2,1,1),点P的坐标为(x,0,z),假设PA⊥AB,PA⊥AC,那么点P的坐标为_______.14．双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F,B为其左支上一点,线段BF与双曲线的一条渐近线相交于A,且,,其中O为坐标原点,那么该双曲线的离心率为________.--为60°，点D 15．边长为1的等边三角形ABC中，沿BC边高线AD折起，使得折后二面角B AD C到平面ABC的间隔为____．16．椭圆的右焦点为，设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF 的中点为N，原点O在以线段MN为直径的圆上，假设直线AB的斜率k满足，那么椭圆离心率e的取值范围为______．17．p:方程表示双曲线,q:斜率为k的直线l过定点P(-2,1)且与抛物线y2=4x有两个不同的公一共点.假设p∧qk的取值范围.〔10分〕18．动圆过定点P(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.(1)求动圆圆心C的轨迹方程;(2)过点(2,0)的直线l与动圆圆心C的轨迹交于A,B两点,求证:是一个定值〔12分〕19．如下列图,在四棱锥E-ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,△BCE是等边三角形,△ABE是等腰直角三角形,∠BAE=90°,且AC=BC.(1)证明:平面ABE⊥平面BCE;(2)求二面角A-DE-C的余弦值.〔12分〕20．斜率为k的直线l经过点(-1,0),且与抛物线C:y2=2px(p>0,p为常数)交于不同的两点M,N.当k=时,弦MN的长为.(1)求抛物线C的HY方程.(2)过点M的直线交抛物线于另一点Q,且直线MQ经过点B(1,-1),判断直线NQ是否过定点假设过定点,求出该点坐标;假设不过定点,请说明理由.〔12分〕21．如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,PA⊥PD,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,O为AD的中点.(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值.(2)线段PD上是否存在一点Q,使得二面角Q-AC-D的余弦值为假设存在,求出的值;假设不存在,请说明理由.〔12分〕22．椭圆C:(a>b>0)的离心率为,以坐标原点O为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+=0相切.A,B 分别是椭圆C 的左、右顶点,直线l 过B 点且与x 轴垂直.(1)求椭圆C 的HY 方程;(2)设G 是椭圆C 上异于A,B 的任意一点,过点G 作GH⊥x 轴于点H,延长HG 到点Q 使得|HG|=|GQ|,连接AQ 并延长交直线l 于点M,N 为线段MB 的中点,判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系,并证明你的结论.〔12分〕2-3x+2=0的根为x=1,x=2，因此“x=1”是“x 2-3x+2=0〞的充分不必要条件；C 中p2．C 【解析】∵双曲线的方程是22221(0,0)x y a b a b -=>>，∴双曲线渐近线为b y x a=±，又∵离心率为2ce a==，可得2c a =，∴224c a =，即2224a b a +=，可得3b a =，由此可得双曲线渐近线为3y x =±，应选C.3．D 【解析】由题意，点与点一共面,,那么，只有选项D 满足，.应选D.4．B 【解析】由题意△MNP 的周长为36,M(0,-5),N(0,5),∴|MN|=10,|PM|+|PN|=26,可知点P 的轨迹是以M,N为焦点,长轴长为26除去长轴的两个端点的椭圆,所以点P 的轨迹方程为+=1(x≠0).应选B.5．C 【解析】,pq,qr,那么r 是p,所以r 是p.应选C.6．B 【解析】设=a,=b,=c,那么|a|=|b|=|c|,<a,b>=<b,c>=<c,a>.∵D,E,F 分别是VC,VA,AC 的中点,∴=(c-a).连接VF,那么=(c+a).∵点P 在VB 上,∴可设=t,∴=-=(c+a)-tb,所以·=(c-a)·=(c 2-a 2)-t(c·b -a·b)=0,∴⊥,∴DE 与PF 所成的角的大小是90°.应选B.7．A 【解析】不妨设双曲线的HY 方程为，所以，且，所以，双曲线的HY 方程为.选A.8．B【解析】由a>b>0,-=<0,可得<，又∵e1====,e2=,∴e1<e2，应选B.9．C【解析】以A为原点,AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设CD=1,那么P(0,0,2),D(2,0,0),E,A(0,0,0),∴=(0,0,2),=(-2,0,2),=.设平面PDE的法向量为n=(a,b,c),那么取a=3,得n=(3,2,3).设AP与平面PDE所成的角为θ,那么sinθ===,∴AP与平面PDE所成角的正弦值为. 10．C【解析】p,当x=4时,y=log a(4a-3a)=1,p.q,假设y=f(x)的图像关于点(3,0)对称,那么y=f(x+3)的图像关于原点对称,q.应选C.11．B【解析】由抛物线的对称性,不妨设直线AB的斜率为正.如下列图,设抛物线的准线为l,过点A作AD⊥l,交l于D,过点B作BC⊥l,交l于C,过点B作BE⊥AD,交AD于E.由条件及抛物线的定义,不难求出,|AB|=2|AE|,所以直线AB的倾斜角为60°.易知F(1,0),故直线AB的方程为y=(x-1).联立直线AB的方程与抛物线的方程可求得A(3,2),B,所以|AB|==.又原点到直线AB的间隔d=,所以S△AOB==.应选B.12．D【解析】连接F1Q,设F1(-c,0),F2(c,0),那么|PF1|=|F1F2|=2c.由双曲线的定义可得|PF2|=|PF1|-2a=2c-2a,∴由3|PF2|=2|QF2|,可得|QF2|=3c-3a,∴由双曲线的定义可得|QF1|=|QF2|+2a=3c-a.在△PF1F2和△QF1F2中,cos∠F1F2P===,cos∠F1F2Q===.由∠F1F2Q+∠F1F2P=π,可得cos∠F1F2Q+cos∠F1F2P=0,即有+=0,化简得5c=7a,所以e==.13．【解析】由得=(-1,-1,-1),=(2,0,1),=(-x,1,-z),由题意得即解得∴P(-1,0,2).14．【解析】不妨设点B在第二象限.由题意知OA垂直平分线段BF，设F(c,0),B(m,n),那么=-,且=·,得m=,n=,代入双曲线的方程,可得-=1,又b2=c2-a2,化简并整理可得c2=5a2,∴该双曲线的离心率e==.15．1510【解析】如图，过D点作DE⊥BC，连AE ，那么AE⊥BC，∴AE为点A 到直线BC的间隔，在直角三角形ADE中，AE=22223315244AD DE⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又BC面ADE，且BC⊂面ABC，∴面ABC⊥面ADE，AE为高线，作DH⊥AE于H，那么DH⊥面ABC，∴DH为点D到面ABC的间隔，由DH•AE=AD•DE，得DH=3315 2410 154⨯=16．【解析】设A(x,y),那么B(-x,-y),易知x≠0,M,N,由题意得·=0,即+=0,即x2+y2=1.又+=1,所以+=x2+y2,即==.因为直线AB的斜率k满足0<k≤,所以0<≤,即0<≤,又a2>1,所以1<a2≤,所以e==≥,因此e的取值范围为17．【解析】假设方程-=1表示双曲线,那么(2+k)(3k+1)>0,解得k<-2或者k>-.由题意,设直线l的方程为y-1=k(x+2),即y=kx+2k+1,联立方程消去x并整理得ky2-4y+4(2k+1)=0,要使直线l 与抛物线y2=4x有两个不同的公一共点,那么需满足解得-1<k<且k≠0.所以k的取值范围是∪.18．【解析】(1)设动圆的圆心C(x,y),线段MN的中点为T,那么|MT|==4.由题意得|CP|2=|CM|2=|MT|2+|TC|2,∴y2+(x-4)2=42+x2,∴y2=8x,即动圆圆心C的轨迹方程为y2=8x.(2)证明:易知直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=ky+2,A(x1,y1),B(x2,y2).联立消去x整理得y2-8ky-16=0,Δ=64k2+64>0,可得y1+y2=8k,y1y2=-16.又=(x1,y1),=(x2,y2),∴·=x1x2+y1y2=(ky1+2)(ky2+2)+y1y2=k2y1y2+2k(y1+y2)+4+y1y2=-16k2+16k2+4-16=-12,∴·是一个定值.19．【解析】(1)证明:设O为BE的中点,连接AO,CO,易知AO⊥BE,CO⊥BE.设AC=BC=2,那么AO=1,CO=,可得AO2+CO2=AC2,所以AO⊥CO.又AO∩BE=O,所以CO⊥平面ABE.又CO⊂平面BCE,故平面ABE⊥平面BCE.(2)由(1)可知AO,BE,CO两两垂直,设OE=1,以O为坐标原点,OE,OC,OA分别为x,y,z轴建立如下列图的空间直角坐标系O-xyz,那么A(0,0,1),E(1,0,0),C(0,,0),易得D(1,,1),故=(1,,0),=(1,0,-1),=(-1,,0),=(1,0,1).设n=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量,那么即令y1=1,可得n=(-,1,-).设m=(x2,y2,z2)是平面DEC的法向量,那么即令y2=1,可得m=(,1,-),那么cos<n,m>==.易知二面角A-DE-C为锐角,所以二面角A-DE-C的余弦值为.20．【解析】(1)当k=时,直线l的方程为y=(x+1),即x=2y-1.联立消去x得y2-4py+2p=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),那么y1+y2=4p,y1y2=2p,故|MN|=|y1-y2|==4,解得p=2或者p=-(舍去),所以抛物线C的HY方程为y2=4x.(2)设M(t2,2t),N(,2t1),Q(,2t2),那么k==,那么直线MN的方程为y-2t=(x-t2),即2x-(t+t1)y+2tt1=0,同理可得直线MQ的方程为2x-(t+t2)y+2tt2=0,直线NQ的方程为2x-(t1+t2)y+2t1t2=0.由点(-1,0)在直线MN上,可得tt1=1,即t=①.由B(1,-1)在直线MQ上,可得2+t+t2+2tt2=0,将①代入可得t1t2=-2(t1+t2)-1②,将②代入直线NQ的方程可得2x-(t1+t2)y-4(t1+t2)-2=0,易得直线NQ过定点(1,-4). 21．【解析】(1)在中，，为AD的中点，所以,侧面PAD底面ABCD,PO ABCD中，连接,那么,以O为坐标原点，直线OC为X轴，直线OD为Y轴,直线为Z轴建立空间直角坐标系.,,,所以，直线PB与平面所成角的余弦值为.(2)假设存在，那么设=λ〔0＜λ＜1〕因为=〔0，1，﹣1〕，所以Q〔0，λ，1﹣λ〕．设平面CAQ的法向量为=〔a，b，c〕，那么，所以取=〔1﹣λ，λ﹣1，λ+1〕，平面CAD的法向量=〔0，0，1〕，因为二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为，所以=，所以3λ2﹣10λ+3=0．所以λ=或者λ=3〔舍去〕，所以=. 22．【解析】(1)由题意可得b==1.又∵椭圆C的离心率e==,a2=b2+c2,∴a2=4,∴椭圆C的HY方程为+y2=1.(2)设G(x0,y0),那么Q(x0,2y0).易知A(-2,0),B(2,0),可得直线AQ的方程为y=(x+2),令x=2,可得M,∴N,那么直线QN的方程为y-2y0=(x-x0),即2x0y0x-(-4)y-8y0=0①.又∵点G在椭圆C上,∴+=1,∴①式可化为x0x+2y0y-4=0,∴原点(0,0)到直线QN的间隔为=2.又易知以AB为直径的圆O的半径为2,故直线QN与以AB为直径的圆O相切.。
高二数学下学期第一次学段考试试题 理含解析 试题
智才艺州攀枝花市创界学校HY二零二零—二零二壹第二学期第一次学段考试高二数学〔理〕试卷一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．有〔〕．A.极大值，极小值B.极大值，极小值C.极大值，无极小值D.极小值，无极大值【答案】C【解析】试题分析：，令得到，令，结合，所以函数在上单调递增，在单调递减，当时取到极大值，无极小值考点：函数的单调性和极值2.函数的值是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】对f〔x〕求导，代入计算即可【详解】∵f〔x〕＝xsinx+cosx，∴f′〔x〕＝sinx+xcosx﹣sinx＝xcosx，∴f′〔〕cos0；应选：B．【点睛】此题考察了导数的简单运算以及应用问题，熟记根本初等函数的求导公式，准确计算是关键，是根底题．3.在上可导，那么是函数在点处有极值的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】结合极值的定义可知必要性成立，而充分性中除了要求f′〔x0〕＝0外，还要求在两侧有单调性的改变〔或者导函数有正负变化〕，通过反例可知充分性不成立．【详解】假设函数在x0获得极值，由定义可知f′〔x0〕＝0反之如y＝x3，y′＝3x2，y′|x＝0＝0，但x＝0不是函数的极值点．所以f′〔x0〕＝0是x0为函数y＝f〔x〕的极值点的必要不充分条件应选：B．【点睛】此题主要考察充分必要条件，极值的定义，注意函数获得极值的条件：函数在x0处获得极值⇔f′〔x0〕＝0，且f′〔x＜x0〕•f′〔x＞x0〕＜0，是根底题4.如图，是函数的导函数的图象，那么下面判断正确的选项是〔〕A.在区间上是增函数B.在区间上是减函数C.在区间上是增函数D.当时，取极大值【答案】C【解析】由图象，得当时，有正有负，那么在区间不是单调递增函数，应选项A错误，当时，有正有负，那么在区间不是单调递减函数，应选项B错误，因为在时，，时，，即函数在上递增，在上递减，在出获得极小值；应选C.5.观察以下各式：a＋b＝1，＋＝3，＋＝4，＋＝7，＋＝11，…，那么＋＝()A.28B.76C.123D.199【答案】C【解析】【分析】通过观察式子之间的规律，利用不完全归纳法推导即可.【详解】记＋＝，那么；；.通过观察不难发现，那么；；.所以＋＝123.【点睛】观察得到从第三个式子起，每个式子的值是前两个式子之和这个结论是此题解题关键.6.函数,当时,有恒成立,那么实数m的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】要使原式恒成立，只需m2﹣14m≤f〔x〕min，然后再利用导数求函数f〔x〕＝﹣x3﹣2x2+4x的最小值即可．【详解】因为f〔x〕＝﹣x3﹣2x2+4x，x∈[﹣3，3]所以f′〔x〕＝﹣3x2﹣4x+4，令f′〔x〕＝0得，因为该函数在闭区间[﹣3，3]上连续可导，且极值点处的导数为零，所以最小值一定在端点处或者极值点处获得，而f〔﹣3〕＝﹣3，f〔﹣2〕＝﹣8，f〔〕，f〔3〕＝﹣33，所以该函数的最小值为﹣33，因为f〔x〕≥m2﹣14m恒成立，只需m2﹣14m≤f〔x〕min，即m2﹣14m≤﹣33，即m2﹣14m+33≤0解得3≤m≤11．应选：C．【点睛】此题考察了函数最值，不等式恒成立问题，一般是转化为函数的最值问题来解决，而此题涉及到了可导函数在闭区间上的最值问题，因此我们只要从端点值和极值中找最值，注意计算的准确，是根底题7.函数恰有两个不同的零点，那么实数的取值范围为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数的零点就是方程的根，转化为xe x+x2+2x=-a有两个解，设g〔x〕＝xe x+x2+2x，判断其单调性求其值域，那么a值可求【详解】函数y＝xe x+x2+2x+a恰有两个不同的零点，就是xe x+x2+2x=-a恰有两个不同的实数解，设：g〔x〕＝xe x+x2+2x，那么g′〔x〕＝e x+xe x+2x+2，＝〔x+1〕〔e x+2〕，x＜﹣1，g′〔x〕＜0，g〔x〕单调递减，x＞﹣1，g′〔x〕＞0，g〔x〕单调递增，故函数的最小值为：g〔﹣1〕＝﹣1，又g〔x〕g〔x〕那么-a>﹣1解a＜1．函数y＝xe x+x2+2x+a恰有两个不同的零点，那么实数a的取值范围为：〔﹣∞，1〕．应选：B．【点睛】此题考察函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考察转化思想以及计算才能．8.假设函数在区间上是减函数,那么实数的取值范围为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出f〔x〕的导函数，令导函数小于等于0在区间〔1，+∞〕上恒成立，别离出a，求出函数的最大值，求出a的范围．【详解】∵∵f〔x〕在区间〔1，+∞〕上是减函数，∴在区间〔1，+∞〕上恒成立∴a≤x2在区间〔1，+∞〕上恒成立∵x2＞1∴a≤1，经检验，等号成立应选：D．【点睛】此题考察导数与函数的单调性，解决函数的单调性求参数范围问题常转化为导函数大于等于〔或者小于等于〕0恒成立；解决不等式恒成立求参数范围问题常别离参数转化为求函数的最值，是根底题9.由曲线,直线及轴所围成的图形的面积为〔〕A. B.4 C. D.6【答案】A【解析】【分析】确定出曲线y，直线y＝x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系求解即可．【详解】联立方程得到两曲线的交点〔4，2〕，因此曲线y，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S．应选:A．【点睛】此题考曲边图形面积的计算问题，考察学生分析问题解决问题的才能和意识，考察学生的转化与化归才能和运算才能，考察学生对定积分与导数的联络的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．上的点到直线的最短间隔是〔〕A. B. C. D.0【答案】A【解析】试题分析：依题意,,故过的切线方程为,两平行直线间的间隔为.考点：函数导数与最值．，假设函数，有大于零的极值点，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：设，那么，假设函数在x∈R上有大于零的极值点．即有正根，当有成立时，显然有，此时．由，得参数a的范围为．应选B．考点：利用导数研究函数的极值．【此处有视频，请去附件查看】的直线与曲线和都相切，那么等于()A.或者B.或者C.或者D.或者【答案】A【解析】试题分析：设直线与曲线相切的切点为,利用导数的几何意义得：,解得或者,当时，直线为轴，与相切，即,解得，当时，直线为,与抛物线联立，整理得：,因为相切，所以,解得,应选A．考点：1．导数的几何意义；2．求切线方程．【此处有视频，请去附件查看】二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分．13.某消费厂家的年利润(单位:万元)与年产量(单位:万件)的函数关系式为=,那么使该消费厂家获取最大年利润的年产量为__________万件．【答案】9【解析】由得由得〔舍去〕，当时，，函数为增函数当时，，函数为减函数所以当时，函数有最大值为〔万元〕使该消费厂家获取最大年利润的年产量为万件___________。
高二数学下学期开学测试试题 理 试题
卜人入州八九几市潮王学校岷县第一二零二零—二零二壹高二数学下学期开学测试试题理一、选择题〔每一小题5分，一共12小题，一共60分)1．函数2y x 在点1x =处的导数是〔〕． A ．0B ．1C ．2D ．3 2．直线y ax =是曲线ln y x =的切线，那么实数a =〔〕 A ．12 B ．12e C ．1e D ．21e 3．假设3()22(1)5f x x f x '=+-,那么()1f =()A ．6-B ．15-C ．15D ．6 4．设3i 12iz -=+，那么z = A ．2 B ．3C ．2D ．1 5．设函数()f x 在1x =处存在导数，那么0(1)(1)lim 3x f x f x ∆→+∆-=∆〔〕 A ．1(1)3f ' B ．(1)f ' C ．3(1)f ' D ．(3)f '6．在复平面内，复数11i-的一共轭复数对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7．曲线()32f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，那么0p 点的坐标为〔〕A ．()1,0B ．()2,8 C ．()1,0和()1,4--D ．()2,8和()1,4-- A ．1 B ．C ．D ． A ．－15 B ．－7 C ．－3D ．910．设函数f 〔x 〕在定义域内可导，y=f 〔x 〕的图象如下列图，那么导函数y=f′〔x 〕的图象可能是〔〕A ．B ．C ．D ．11．假设函数1()ln f x x x =-，那么不等式(1)(21)f x f x ->-的解集为〔〕 A ．23⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，B ．203⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．213⎛⎫ ⎪⎝⎭， 12．设函数()()2ln 1f x x m x =++有两个极值点，那么实数m 的取值范围是() A ．1(1,)2- B ．1(0,)2 C ．1(0,]2 D ．(]11,2- 二、填空题〔每一小题5分，一共4小题，一共20)13．假设复数z ＝1－i ，那么z ＋1z 的虚部是______． 14．假设函数()()22x f x x ax e =-+在R 上单调递增，那么a 的取值范围是__________． 15．函数()52ln f x x x =-的单调递减区间是______．16．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)，如下列图，那么以下说法中不正确的序号是________．①当x ＝32时函数获得极小值；②f (x )有两个极值点； ③当x ＝2时函数获得极小值；④当x ＝1时函数获得极大值．三、解答题〔本大题一一共6题，一共70分)17．〔本小题10分〕求以下函数的导数.〔1〕31sin x y x-=； 〔2〕ln(25)y x =+.18．〔本小题12分〕函数()32392f x x x x =-++-，求：〔1〕函数()y f x =的图象在点()0,(0)f 处的切线方程； 〔2〕()f x 的单调递减区间．19．〔本小题12分〕函数3()3 1 f x x ax =--在1x =-处获得极值. 〔1〕务实数a 的值；〔2〕当[2,1]x ∈-时，求函数()f x 的最小值.20．〔本小题12分〕函数()2ln f x x ax x =+-，a R ∈. 〔1〕假设1a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； 〔2〕假设函数()f x 在[1,3]上是减函数，务实数a 的取值范围.21．〔本小题12分〕函数()()32391f x x x x x R =--+∈． 〔1〕求函数()f x 的单调区间． 〔2〕假设()210f x a -+≥对[]2,4x ∀∈-恒成立，务实数a 的取值范围.22．〔本小题12分〕函数()()1f x alnx 2a R x =+-∈，()21g x x x x=++． (Ⅰ)讨论函数()f x 在定义域上的单调性；(Ⅱ)当a 3=时，求证：()()f x g x ≤恒成立．17．〔1〕2323sin cos cos 'sin x x x x x y x-+=；〔2〕2'25y x =+. 18．〔1〕920x y --=；〔2〕()(),1,3,-∞-+∞19．〔1〕1；〔2〕3-.20．(1)20x y -=. (2)17,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 21．〔1〕单调增区间(,1),(3,)-∞-+∞单调减区间()1,3-〔2〕252a ≤- 22．(Ⅰ)见解析；〔Ⅱ〕见解析.高二理科数学答案第I 卷〔选择题)一、选择题〔一共12小题每一小题5分)12：【解析】()f x 的定义域为()1,-+∞.()2221x x m f x x ++'=+，令其分子为()()2221g x x x m x =++>-，在区间()1,-+∞上有两个零点，故()10111022g m g m ⎧-=>⎪⎨⎛⎫-=-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，解得10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，应选B. 二、填空题 121—[]2,2—⎪⎭⎫ ⎝⎛520， 6.① 三、解答题17．〔1〕()()()3321'sin 1sin ''sin x x x x y x ---=()2323223sin 1cos 3sin cos cos sin sin x x x xx x x x x xx ---+==. 〔2〕()12'25'2525y x x x =+=++. 18．〔1〕()2'369f x x x =-++，()09f k '==，()02f =-，所以切点为〔0，-2〕， ∴切线方程为92y x =-，一般方程为920x y --=； 〔2〕()()()2'369313f x x x x x =-++=-+-， 令()'0f x <，解得1x <-或者3x >， ∴()f x 的单调递减区间为(),1-∞-和()3,+∞.19．〔1〕3'2 ()31()33f x x ax f x x a =⇒=---，函数3()3 1 f x x ax =--在1x =-处获得极值，所以有2'3(1()01130)a f a --==⇒-=⇒；〔2〕由〔1〕可知：3'2()31()333(1)(1 )f x x x f x x x x =--=-=+-⇒， 当(2,1)x ∈--时，'()0f x >，函数()f x 单调递增，当(1,1)x ∈-时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，故函数在1x =-处获得极大值，因此3(1)(1) =13(1)1f -=--⨯--， 3(2)(2)3(2) 1 3=f -=--⨯---，3(1)131 1=3f =-⨯--，故函数()f x 的最小值为3-.20．〔1〕当1a =时，()2ln f x x x x =+- 所以()121f x x x +'=-，()()12,12f f ='=又 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为20x y -=.〔2〕因为函数在[]1,3上是减函数，所以()212120x ax f x x a x x+-=+-=≤'在[]1,3上恒成立. 做法一：令()221h x x ax =+-,有()()10{30h h ≤≤，得1{173a a ≤-≤- 故173a ≤-. ∴实数a 的取值范围为17,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 做法二：即2210x ax +-≤在[]1,3上恒成立，那么12a x x ≤-在[]1,3上恒成立， 令()12h x x x=-，显然()h x 在[]1,3上单调递减， 那么()()min 3a h x h ≤=，得173a ≤- ∴实数a 的取值范围为17,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ .21．〔1〕令，解得或者，令，解得：. 故函数的单调增区间为，单调减区间为. 〔2〕由〔1〕知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，，， ∴， ∵对恒成立， ∴，即，∴ 22．(Ⅰ()21ax )f'x (x 0)x-+=>， 当a 0≤时，()f'x 0<，在()0,∞+递减，当a 0>时，1x 0,a⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f'x 0<，1x ,a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()f'x 0>， 故()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭递增. (Ⅱ)当a 3=时，()1f x 3lnx 2x =+-， 令()()()2h x g x f x x x 3lnx 2=-=+-+，那么()()()2x 3x 1h'x (x 0)x +-=>， 令()h'x 0>，解得：x 1>， 令()h'x 0<，解得：0x 1<<， 故()h x 在()0,1递减，在()1,∞+递增，故()min h(x)h(x)h 140===≥极小值，显然成立，故()()g x f x ≥恒成立．。
高二数学下学期开学考试试题 理(普通班)(2021年整理)
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高二普通班第二学期开学考试数学试题（理科)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在锐角ABC 中，3,4AB AC ==，其面积33ABCS=，则BC =（ ）A ．5B ．13或37C ．37D ．132。
关于实数x 的不等式20x bx c -++<的解集是{}|32x x x <->或，则关于x 的不等式210cx bx -->的解集是( ）A ．11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()2,3-C ．11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()(),23,-∞-⋃+∞3。
过抛物线2:12C y x =的焦点作直线交C 于()()1122,,,A x y B x y 两点，若126x x +=，则AB =（ ) A ．16 B ．12 C ．10 D ．84．已知命题p ：∀x ∈R ,2x 2+2x +21〈0，命题q ：∃x 0∈R ，sinx 0-cosx 0=2，则下列判断中正确的是 ( ） A ．p 是真命题B ．q 是假命题C ．⌝p 是假命题D ． ⌝q 是假命题5．一动圆P 过定点M (-4,0),且与已知圆N :(x -4)2+y 2=16相切，则动圆圆心P 的轨迹方程是 ( ） A ．)2(112422≥=-x y x B ．)2(112422≤=-x y x C ．112422=-y xD ．112422=-x y6．已知向量a=(1，0，—1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是 （ )A ．（-1，1，0)B ．(1，—1，0)C ．(0，-1,1)D ．(-1,0，1)7。
高二数学下学期开学考试试题理1 2
卜人入州八九几市潮王学校2021年春棠湖高二开学考试数学〔理〕试题时间是：120分钟总分值是：150分第I 卷(选择题，一共60分)一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每个小题给出的四个选项里面，有且只有一项符合题目要求.0.010.5y x =+，那么加工600个零点大约需要的时间是为A.6.5hB.5.5hC.3.5hD.0.5hl 经过点()2,5P -，且斜率为34-，那么直线l 的方程为 A.34140x y +-= B.34140x y -+= C.43140x y +-= D.43140x y -+=3．圆22(2)(2)4x y +++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为A ．内切B ．外切C ．相交D ．相离42πα=，那么sin 1α=A ．假设2πα≠，那么sin 1α≠ B ．假设2πα=，那么sin 1α≠C ．假设sin 1α≠，那么2πα≠ D ．假设sin 1α=，那么2πα= 5.过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，假设线段PF 和线段FQ 的长分别是,p q ，那么11p q+等于 A ．14a B ．12aC ．2aD ．4a 6.如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，假设该小虫爬行的最短路程为43，那么这个圆锥的体积为5名高中优秀毕业生回母校7中参加高2015级励志成才活动，到3个班去做学习经历交流，那么每个班至少去一名的不同分派方法种数为A ．200B ．180C.150D ．2803双不同的鞋，随机地取2只，以下表达错误的选项是A ．取出的鞋不成对的概率是54B ．取出的鞋都是左脚的概率是51 C.取出的鞋都是同一只脚的概率是52 D ．取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率是2512 9.m 是两个正数2,8的等比中项，那么圆锥曲线221y x m +=的离心率为A ．10.一个圆形纸片，圆心为,O F 为圆内的一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于P ，那么P 的轨迹是A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆62,,22=+∈b a R b a ，那么b a +的最小值是A ．22-B ．335- C.3-D ．27-12．己知直线0l y m ++=与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>右支交于M ，N 两点，点M 在第一象限，假设点Q 满足0OMOQ +=(其中O 为坐标原点)，且30MNQ ∠=，那么双曲线C 的渐近线方程为A ．12y x =±B ．y x =±C ．2y x =±D ．y =第二卷(非选择题，一共90分)二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分。
高二数学下学期开学考试试题理
高二下学期开学考试卷数学（理科）注意：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间： 120 分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考号填写或填涂在答题卷指定的位置，将条形码张贴在指定位置2、选择题答案用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试题卷上。
3、主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。
一、选择题(本题满分60分)1.设集合，，则A. B. C. D.2.抛物线的准线方程为A. B. C. D.3.在公比为的正项等比数列中，若，则A. B. C. D.4.执行如图所示的程序框图,输出的值为A. B. C. D.5.曲线在点处的切线平行于直线，则点的横坐标为A. B. C. D.6.已知函数，则不等式的解集是A. B. C. D.7.已知正方体的棱长为，棱上的点到平面的距离为A. B. C. D.8.设变量满足约束条件：.则目标函数的最小值为A. B. C. D.9.如右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. B. C. D.10.已知，且，则A. B. C. D.11.若关于的不等式的解集为，则A. B. C. D.12.过函数图像上的任意一点向圆作切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为A. B. C. D.二、填空题(本题满分20分)13.不等式的解集为 .14.已知（其中为正数），且，则的最小值为 .15.若双曲线右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则离心率取值范围是 .16.给出下列命题：①命题“若，则”的否命题为“若，则”；②命题“”的否定是“”；③设在的内部，且, 则；④函数的最大值与最小值之和为；⑤在半径为1的大球内放入个半径相同的小球，当小球的体积最大时，在这个小球之间的空隙里还可以放入一个小球，则该小球的最大半径为.其中正确的命题的序号是： . (写出所有正确命题的序号)三、解答题(本题满分70分)17.（本小题满分10分）的内角的对边分别为.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求．18.（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数恰有个零点，求实数的取值范围．19.（本小题满分12分）在等差数列与等比数列中，已知，且，数列满足，且．（Ⅰ）求与；（Ⅱ）设，求证：.20.（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱中，，在底面上的射影恰为的中点.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．21.（本小题满分12分）已知分别是椭圆的左右焦点，点在椭圆上，且.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若点是椭圆的是上顶点，过的直线与椭圆交于不同的两点，是否存在直线，使得的面积的比值为？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）设，且有两个极值点，其中，若恒成立，求的取值范围.桂林市第十八中学16级高二下学期开学考理科数学答案选择题(本题满分60分)DABCD ABBCC DA填空题(本题满分20分)13.14.15.16. ①②③⑤解答题(本题满分70分)18.解：（Ⅰ），，．在点处的切线方程为；（Ⅱ），，由解得，当时，，在上单调递减当时，，在上单调递减又结合图像知：，即为所求．20．解：（Ⅰ）设数列的公差为，设数列的公比为解得，则21.解：（Ⅰ）由得，得。
高二数学下学期开学考试第一次测试试题 理 试题
高二下学期开学测试〔理科数学〕一、选择题〔一共12小题，每一小题5分〕1．集合A ＝{x|x<1}，B ＝{x|3x<1}，那么( )A ．A ∩B ＝{x|x<0}B ．A ∪B ＝RC ．A ∪B ＝{x|x>1}D ．A ∩B ＝∅ 2．设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，那么|z|等于( )A ．12B ．22C ． 2D ．23.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色局部和白色局部关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，那么此点取自黑色局部的概率是( )A ．14B ．π8C ．12D ．π4x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩那么目的函数2z x y =+的最小值为〔〕A.2B.35.某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为〔 〕A.13π+ B.23π+ C.123π+ D.223π+ 6.“1x >〞是“12log (2)0x +<的〞〔 〕7.执行右侧的程序框图，假如输入的a ＝－1，那么输出的S 等于( )A ．-4B ．-3C ．2D ．31、F 2为双曲线的焦点，过F 2垂直于实轴的直线交双曲线于A 、B 两点，BF 1交y 轴于点C ，假设AC ⊥BF 1，那么双曲线的离心率为〔 〕A ．B ．C ．2D ．29.假设函数y ＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，那么称y ＝f(x)具有T 性质．以下函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝lnxC ．y ＝e xD ．y ＝sinx10.正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，那么AE ，SD 所成的角的余弦值为( )A ．31B ．32C ．33 D ．32 11.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px(p>0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM|＝2|MF|，那么直线OM 的斜率的最大值为( )A ．1B ．32C ．33D ．22 12．函数f(x)＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，那么a 等于( )A ．－12B ．13C ．12D ．1 二、填空题〔一共4小题，每一小题5分〕13.设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|b a +|2＝|a |2＋|b |2，那么m ＝________. 14.sin 31cos )6(=--ααπ，那么cos 〔32πα+〕= . 15.函数f(x)＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，假设f(a －1)＋f(2a 2)≤0，那么实数a 的取值范围是________．E 的中心为原点O ，焦点在x 轴上，E 上的点与E 的两个焦点构成的三角形面积的最大值为12，直线01254=++y x 交椭圆于E 于N M ,P 为线段MN 的中点，假设直线OP 的斜率等于54，那么椭圆方程为 ． 三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.〕17.(10分)如图是我国2021年至2021年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图： 注：年份代码1－7分别对应年份2021－2021(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，建立y 关于t 的回归方程(系数准确到0.01)(2)预测2021年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：i ＝9.32，i i y ＝40.17，＝0.55，≈2.646.参考公式：回归方程＝＋t 中斜率和截距最小二乘估计公式分别为＝=∑∑-=--n i in i i i t n tyt n y t 1221，＝－.18.(12分)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n .(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+12n a n 的前n 项和．19.(12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为Aa sin 32. (1)求sin Bsin C ；(2)假设6cos Bcos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．20.〔12分〕在如下图的五面体中，面ABCD 为直角梯形，∠BAD=∠ADC=，平面ADE ⊥平面ABCD ，EF=2DC=4AB=4，△ADE 是边长为2的正三角形．〔1〕证明：BE ⊥AC ；〔2〕求二面角A ﹣BC ﹣F 的余弦值．21.(12分)椭圆12222=+by a x 〔a ＞b ＞0〕的离心率36=e ，过点A 〔0，﹣b 〕和B 〔a ，0〕的直线与原点的间隔 为23． 〔1〕求椭圆的方程．〔2〕定点E 〔﹣1，0〕，假设直线y=kx+2〔k ≠0〕与椭圆交于C 、D 两点．问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由．22.(12分)函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a <0时，证明f (x )≤－34a －2.高二下学期开学考试答案〔理科〕一选择题：1-5 ACBBA 6-10 BDBDC 11,12 DC二填空题：13. -2 14.97 15.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,1 16.1162522=+y x 17. 解：〔1〕〔2〕将2021年对应的t ＝11代入回归方程得y ^＝0.92＋0.10×11＝2.02.所以预测2021年我国生活垃圾无害化处理量将约为2.02亿吨．18.解 (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，两式相减，得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1(n ≥2)． 又由题设可得a 1＝2，满足上式，所以{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)记⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n . 由(1)知a n 2n ＋1＝22n ＋12n －1＝12n －1－12n ＋1， 那么S n ＝11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n 2n ＋1.19.解 (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a 3sin A. 由正弦定理，得12sin C sin B ＝sin A 3sin A， 故sin B sin C ＝23. (2)由题设及(1)，得cos B cos C －sin B sin C ＝－12， 即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3. 由题意得12bc sin A ＝a 23sin A，a ＝3，所以bc ＝8. 由余弦定理，得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9.由bc ＝8，得b ＋c ＝33.故△ABC 的周长为3＋33.20.21.解：〔1〕∵直线过点A〔0，﹣b〕和B〔a，0〕，∴直线L：与坐标原点的间隔为，∴=．①∵椭圆的离心率e=，∴．②由①得4a2b2=3a2+3b2，即4a2〔a2﹣c2〕=3a2+3〔a2﹣c2〕③由②③得a2=3，c2=2∴b2=a2﹣c2=1∴所求椭圆的方程是+y2=1〔2〕直线y=kx+2代入椭圆方程，消去y可得：〔1+3k2〕x2+12kx+9=0 ∴△=36k2﹣36＞0，∴k＞1或者k＜﹣1设C 〔x 1，y 1〕，D 〔x 2，y 2〕，那么有x 1+x 2=，x 1x 2= ∵=〔x 1+1，y 1〕，=〔x 2+1，y 2〕，且以CD 为圆心的圆过点E ，∴EC ⊥ED∴〔x 1+1〕〔x 2+1〕+y 1y 2=0∴〔1+k 2〕x 1x 2+〔2k +1〕〔x 1+x 2〕+5=0∴〔1+k 2〕×+〔2k +1〕×+5=0，解得k =＞1，∴当k =时以CD 为直径的圆过定点E22..解 (1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋2ax ＋2a ＋1＝x ＋12ax ＋1x .假设a ≥0，那么当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．假设a <0，那么当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－12a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞上单调递减． (2)证明 由(1)知，当a <0时，f (x )在x ＝－12a 处获得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －1－14a， 所以f (x )≤－34a －2等价于ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －1－14a ≤－34a －2， 即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12a＋1≤0. 设g (x )＝ln x －x ＋1，那么g ′(x )＝1x－1. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当x ＝1时，g (x )获得最大值，最大值为g (1)＝0.所以当x >0时，g (x )≤0.从而当a <0时，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12a＋1≤0， 即f (x )≤－34a－2.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
高二数学下学期开学考试试题理(1)
2021-2021学年高二(下)开学测试理科数学总分值：150分；测试时间：120分钟一、选择题(共12小题,每题5分,总分值60分)1. (5分)命题p：?xC (1, +8), 2x 1 - 1>0,那么以下表达正确的选项是( )A.「p 为：？ x C 1 1, +oo) , 2x 1- K 0B.「p 为：？xC 1 1 , +oo) , 2x 1—1V0C.「p 为：？xC (-8, 1], 2x 1- 1 >0D.「p 是假命题2. (5分)P为抛物线C: y2=8x准线上任意一点, A (1, 3)、B (1, -3),那么△ PAB的面积为( )A. 10B. 9C. 8D. 73. (5分)?九章算术?有这样一个问题：今有女子善织,日增等尺,七日织二十一尺,第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺,问第十日所织尺数为( )A. 6B. 9C. 12D. 154. (5 分)假设A (1, 2), B (2, 3), C ( - 2, 5),那么△ ABC的形状( )A.锐角三角形B.直角角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形5. (5分)设f (x)是定义在正整数集上的函数,且f (x)满足“当f (k) Wk2成立时,总2可推出f (k+1) v ( k+1) 〞成立〞.那么,以下命题总成立的是( )A.假设f (2) w 4成立,那么当k>1时,均有f (k) w k2成立B.假设f (4) w 16成立,那么当kW4时,均有f (k) w k2成立C.假设f (6) >36成立,那么当k>7时,均有f (k) > k2成立D.假设f (7) =50成立,那么当kW7时,均有f (k) >k2成立6. (5分)设.是^ABC的外接圆圆心,且OA+u&OE+20c=0 ,贝以AOC=()7T 27T 7T 57TA. :B.C. 'D.7. (5分)六安滨河公园喷泉中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在水柱正西方向的A处测得水柱顶端的仰角为45°,沿A处向南偏东30°前进50米到达点B处,在B处测得水柱顶端的仰角为30.,那么水柱的高度是( )A. 15mB. 30mC. 25mD. 50m8. (5分)过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A, B两点,它们的横坐标之和等于3,那么这样的直线〔A.有且仅有一条B .有且仅有两条C .有无穷多条 D.不存在9. 〔5分〕函数f 〔x〕 = 2K +1在区间［-m, m］上的最大值与最小值之和为〔〕A. 0B. 1C. 2D. 42 2x y10. 〔5分〕抛物线y2=16x的焦点到双曲线彳-a=1的渐近线的距离是〔〕A. 1B.C. 2D. 211. 〔5分〕给出以下三个命题：2 2x y①P〔m 4〕是椭圆示+m=1 〔a>b>0〕上的一点,F1、F2是左、右两个焦点,假设^ PF1F23 4的内切圆的半径为2,那么此椭圆的离心率e』；2 2x y②过双曲线C: 7-m=1 〔a>0, b>0〕的右焦点F作斜率为的直线交C于A, B两点,假设=4,那么该双曲线的离心率e=5；③F I〔-2, 0〕、F2 〔2, 0〕, P是直线x=-1上一动点,假设以F I、F2为焦点且过点P的双曲线的离心率为e,那么e的取值范围是［2 , +8〕.其中真命题的个数为〔〕A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个1&x+y-3>0.&x-2y-|-3>0 y 112. 〔5分〕变量x、y满足约束条件,且z=x+2y的最小值为3,那么秆的概率是〔〕3 3 15A. B. C. D.二、填空题〔共4小题,每题5分,总分值20分〕2 2x y13. 〔5分〕双曲线C: 了-亍=1 〔a>0, b>0〕的一个焦点为F,过点F的直线与双曲线C交于M, N两点,假设仅存在三组|MN|的值,使得|MN|=6a,那么双曲线C的渐近线方程为.2 2x y14. 〔5分〕F I, F2是椭圆了+子=1的两个焦点,点P是椭圆上任意一点,从F1引/F1PF2的外角平分线的垂线,交F2P的延长线于M,那么点M的轨迹是.15. 〔5分〕某楼盘按国家去库存的要求,据市场调查预测,降价销售.今年110平方米套房的销售将以每月10%勺增长率增长；90平方米套房的销售将每月递增10套.该地区今年1月份销售110平方米套房和90平方米套房均为20套,据此推测该地区今年这两种套房的销售总量约为套〔参考数据： 1.1 " = 2.9 ,1.1 12= 3.1 ,1.1 13=3.5〕16. (5分)如图,在正方体ABC.AB1C1D中,M N分别是CD CG的中点,给出以下命题:1(1)直线ND与直线AB所成角的正切值为2;(2)直线AM与直线AB所成角的正切值为2;(3)直线ND与直线AM垂直,以上命题正确的选项是.三、解做题(共6小题,总分值70分)17. (10分),是互相垂直的两个单位向量, =+,= .(1)求与的夹角；(2)假设,(+入),求入的值.18. (12分)设^ ABG的内角A, B, G的对边分别为a, b, c,卜=3C= 5H 最(1)假设. J 4ABG的面积为2 ,求c；R=n(2)假设求2c-a的取值范围.19.( 12分)a> 0,命题p： |a - m|<^ ,命题q：椭圆了+y2=1的离心率e满足e £(1)假设q是真命题,求实数a取值范围;(2)假设p是q的充分条件,且p不是q的必要条件,求实数m的值.20. (12分)数列｛a n｝的前n项和为S n=n2+n.(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)设b n=a n?3n(nC N),求数列｛b n｝的前n 项和T n.21. (12分)某养殖场需定期购置饲料,该场每天需要饲料 200千克,每千克饲料的价格为1.8元,饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元,购置饲料每次支付运费 300元.(1)求该养殖场多少天购置一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少； (2)假设提供饲料的公司规定,当一次购置饲料不少于5吨时,其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%).问：为使该养殖场平均每天支付的总费用最少,该场是否应考虑利用此优惠 条件？请说明理由.(1)求椭圆C 的离心率; 在椭圆C 上,直线l 与椭圆C 相交于A, B 两点,与直线 OMK 交于点N,且N 是线段AB 的中点,求|AB|的最大值.22. (12分)椭圆 C:=1 (a>b>0),且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为(2)假设点M(,2021-2021学年高二(下)开学测试理科数学参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每题5分,总分值60分)1. (5分)命题p：?xC (1, +8), 2x 1 - 1>0,那么以下表达正确的选项是( )A.「p 为：？ xC (1, +8), 2x 1— K 0B.「p 为：？xC (1, +8), 2x 1- K0C.「p 为：？xC (-8, 1], 2x 1- 1 >0D.「p 是假命题【解答】解：:命题p： ?xC (1, +00), 2x 1 - 1 >0,,命题「p 为：？ xC 1 1, +oo) , 2x7- 1W0；.■ f ( x) =2x 1 - 1 在(1 , +8)为增函数,1. f (x) > f (1) =0故p是真命题,即?p是假命题.应选：D2. (5分)P为抛物线C: y2=8x准线上任意一点, A (1, 3)、B (1, -3),那么△ PAB的面积为( )A. 10B. 9C. 8D. 7【解答】解：由题意,抛物线C: y2=8x准线l : x=-2, AB// l , |AB|=6 ,1x6x3・•.△PAB的面积为=9,应选：B.3. (5分)?九章算术?有这样一个问题：今有女子善织,日增等尺,七日织二十一尺,第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺,问第十日所织尺数为( )A. 6B. 9C. 12D. 15【解答】解：设此数列为{a n},由题意可知为等差数列,公差为d.那么S7=21, a2+a5+a8=15,7X6 那么7a i+ d=21 ,3a i+12d=15,解得a i= - 3, d=2.・••a i0= - 3+9X 2=15.应选：D.4. (5 分)假设A (1, 2), B (2, 3), C ( - 2, 5),那么△ ABC的形状( )A.锐角三角形B.直角角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【解答】解：.「A (1, 2), B (2, 3), C(— 2, 5),：!一£：」"一1,］：,T T那么AC! AB.・•.△ABC是直角三角形.应选：B.5. (5分)设f (x)是定义在正整数集上的函数,且f (x)满足“当f (k) Wk2成立时,总可推出f (k+1) & ( k+1) 2〞成立〞.那么,以下命题总成立的是( )A.假设f (2) w 4成立,那么当k>1时,均有f (k) w k2成立B.假设f (4) w 16成立,那么当kW4时,均有f (k) w k2成立2C.假设f (6) > 36成立,那么当k>7时,均有f (k) > k成立D.假设f (7) =50成立,那么当kW7时,均有f (k) >k2成立【解答】解：对于A,当k=1时,不一定有f (k) wk2成立；A命题错误；对于B,只能得出：对于任意的k>4,均有f (k) >k2成立,不能得出：任意的k<3,均有f (k) wk2成立；B命题错误；对于C,根据逆否命题的真假性相同,由 f (6) >36成立,能推出当kW6时,均有f (k)>k2成立；C命题错误；对于D,根据逆否命题的真假性相同, 由f (7) =50 >49,能得出对于任意的k<7,均有f ( k) >k2成立；D命题正确.应选：D.T T T T6. (5分)设O是^ABC的外接圆圆心,且°A+JJOR +20c=0 ,那么/ AOC=( )IT 2Ttl T 5TtA.；B.C. 'D.【解答】解：设圆O的半径为r,那么：T T T T T T T由口A+M3°B+20C=0得,OA-I-20C=-X/30B -即r 2+4r2+4r2cos / AOC=3r；coszA0C=-l.. :应选：B.7. 〔5分〕六安滨河公园喷泉中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在水柱正西方向的A处测得水柱顶端的仰角为45°,沿A处向南偏东30°前进50米到达点B处,在B处测得水柱顶端的仰角为30.,那么水柱的高度是〔〕A. 15mB. 30mC. 25mD. 50m【解答】解：如下图设水柱CD的高度为h.在Rt^ACD中,・. / DAC=45 ,,AC=h在Rt^BCD中,Z CBD=30 ,「. BC=h在△ ABC中,/ CAB=60 ,由余弦定理可得：BC^A-A B" - 2AC?ABcos60 .• .3h2=h2+502-"5口叫,化为2h2+50h- 2500=0,解得h=25.应选C,8. (5分)过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A, B两点,它们的横坐标之和等于3,那么这样的直线( )A.有且仅有一条B .有且仅有两条C .有无穷多条 D.不存在【解答】解：过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A B两点,假设直线AB的斜率不存在,那么横坐标之和等于2,不适合.故设直线AB的斜率为k,那么直线AB为y=k (x-1)代入抛物线y2=4x 得,k2x2 - 2 ( k2+2) x+k2=0.「A、B两点的横坐标之和等于3,记=3,解得：k2=4.那么这样的直线有且仅有两条,应选：B.30旺19. (5分)函数f (x) = 2" +1在区间［-m, m］上的最大值与最小值之和为( )A. 0B. 1C. 2D. 4小2'+1【解答】解：函数f (x) =2*+13［2式+］］-2 2=2X+1 =3-^1,由y=2x在R上递增,可得f (x)在R上递增,那么f (x)在区间［-m m］上的最大值与最小值之和为2 2 1 2nl3-^+3-2^=6-2 (呵+药)=6-2=4.应选：D.2 2x y10. (5分)抛物线y2=16x的焦点到双曲线^-^=1的渐近线的距离是( )A. 1B.C. 2D. 22 2x y【解答】解：抛物线y2=16x的焦点F的坐标为(4, 0);双曲线为-a=1的一条渐近线方程为x - y=0,x2y2,书••・抛物线y2=16x的焦点到双曲线寻-12=1的一条渐近线的距离为,痂=2,应选：D.11. (5分)给出以下三个命题：2 2x y①P(m 4)是椭圆了+于=1 (a>b>0)上的一点,F1、F2是左、右两个焦点,假设^ PF1F23 4的内切圆的半径为2,那么此椭圆的离心率e J;2 2x y②过双曲线C: 7=1 (a>0, b>0)的右焦点F作斜率为的直线交C于A, B两点,假设=4,那么该双曲线的离心率e=5；③F1 (-2, 0)、F2 (2, 0), P是直线x=-1上一动点,假设以F1、F2为焦点且过点P的双曲线的离心率为e,那么e的取值范围是［2 , +8).其中真命题的个数为( )A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个3【解答】解：①.「△ PF1F2的内切圆的半径为乙|PF1|+|PF 2|=2a , |F1F2|=2c1 3 1,利用三角形的面积计算公式可得：2(2a+2c) x2^x2c X4,c 33a=5c, e=>=^,故①错误；a2②设双曲线的右准线为l： x=W, A到直线l的距离为d1, B到直线l的距离为d2,由双曲线的第二定义得到：AF=BF '吁Fe=^毛=可再,由=4,设BF=t,那么AF=4t,由直角三角形中,30.所对的直角边是斜边的3t 5t 5t 6一半,得d1-d2=7,那么e=2二」.故②正确；c 2a< 1, e=甘岳又 aw 1, e>2,故③正确. 应选：B.f&x+y-3>0y 112. 〔5分〕变量x 、y 满足约束条件 &x 玉a ,且z=x+2y 的最小值为3,贝值+1>2的概率是〔〕3 3 15A.B. C. D.由图可知,直线得 z=x+2y 过A 点时满足题意.f&x+2y=3联立i&K+y =* ,解得A 〔3, 0〕. A 在直线x=a 上,可得a=3.y ii 那么x+l >2的几何意义是可行域内的点与 Q 〔 - 1, 0〕连线的斜率超过2, 由图形可知：直线 x=3与直线x-2y+1=0的交点为：〔3, 2〕, 直线x - 2y+3=0与x=3的交点〔3, 3〕, y 1 八日：4③P 在x 轴上时,双曲线上点到左焦点距离最小,c- ai> 1, 1- 2- a> 1,〕八&x+y-3>0 &x-2y+3>0【解答】解：由变量x 、y 满足约束条件画出可行域如图,由z=x+2y 的最小值为3,在y 轴上的截距最小..♦.那么的概率：AC=, y 1 4 5那么的概率是：1—号,应选：D.二、填空题〔共4小题,每题5分,总分值20分〕22x y13. 〔5分〕双曲线C: b7=1 〔a>0, b>0〕的一个焦点为F,过点F的直线与双曲线C交于M, N两点,假设仅存在三组|MN|的值,使得|MN|=6a,那么双曲线C的渐近线方程为y=±%*x_.空【解答】解：由题意,a=6a, b:=,・•・双曲线C的渐近线方程为y=±寸写x, 故答案为y=±Fx.2 2x y14. 〔5分〕F i, F2是椭圆了+f=1的两个焦点,点P是椭圆上任意一点,从F i引/F i PE的外角平分线的垂线,交F2P的延长线于M,那么点M的轨迹是以点F2为圆心,半径为2a的圆 .【解答】解：设从F1引/ F1PF2的外角平分线的垂线,垂足为R,「△ PFM中,PR! F1M且PR是/ F1PM的平分线|MP|=|F 1P| ,可得|PF1|+|PF 2|=|PM|+|PF 2|=|MF 2|根据椭圆的定义,可得|PF1|+|PF 2|=2a ,・ .|MF2|=2a,即动点M到点F2的距离为定值2a,因此,点M的轨迹是以点F2为圆心,半径为2a的圆.故答案为：以点F2为圆心,半径为2a的圆.15. 〔5分〕某楼盘按国家去库存的要求,据市场调查预测,降价销售.今年 110平方米套房的销售将以每月10%勺增长率增长；90平方米套房的销售将每月递增10套.该地区今年1月份销售110平方米套房和90平方米套房均为20套,据此推测该地区今年这两种套房的销 售总量约为1320套〔参考数据：1.1 11=2.9 , 1.1 12=3.1 , 1.1 13= 3.5 〕【解答】解：由题意可得,今年 110平方米套房的销售量构成以 20为首项,以1.1为公比的等比数列,20〔1-1+ 产〕那么今年年110平方米套房的销售量为 一厂工1― = 420; 90平方米套房的销售量构成以 20为首项,以10为公差的等差数列, 12x20+ x 10那么90平方米套房的销售量为 2 =900.,这两种套房的销售总量约为： 420+900=1320.故答案为：1320.ABC .A 1B 1C 1D 中,M, N 分别是 CD CG 的中点,给出以下命题: 1 〔1〕直线ND 与直线AB 所成角的正切值为 A 〔2〕直线AM 与直线AB 所成角的正切值为 2; 〔3〕直线ND 与直线AM 垂直,以上命题正确的选项是16. 〔5分〕如图,在正方体 (1), (2), (3)【解答】解：〔1〕由于AB// CD /NDC即为直线ND与直线AB所成角,在直角△ NCD中,tan〔2〕由,〔+入〕,得？〔 +入〕=0, T T TNC 1/ NDC 郎* 故〔1〕正确；〔2〕连接AD,可彳导/ A i MD^为直线A i M 与直线AB 所成角,易得 CDL AD,设正方体的边长为 2,A i D2^2那么 tan / AMD 即=1 =2,故〔2〕正确；〔3〕设正方体的边长为 2, ==A 1M =_AA l =+7AB .AA l那么？ '•.=-?-・「2+ 1 1 _ 4 K4=0 - d +0-0- 0+?X4=0,故直线ND 与直线A i M 垂直,故〔3〕正确. 故答案为：〔1〕, 〔2〕, 〔3〕.三、解做题〔共6小题,总分值70分〕 17. 〔10分〕,是互相垂直的两个单位向量, =+,= .〔1〕求与的夹角；〔2〕假设,〔+入〕,求入的值. T TT T27【解答】解：〔1〕••,是互相垂直的两个单位向量,,i =i =\ I i=o.团=芹」.扃产3+2百工+彳=2,向=拒=4百〞」末+2百J+飞〞. 获=G+国〕〔邪;-3=2区a b 足并 ~~~—— 2x22 设与的夹角为.,故cos .=l a ll b l.0 € [0 ,兀],2?/^]_?%且1_%|,]X=-- t — 3,1 I,18. 〔12分〕设^ ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, b=杂. 〔1〕假设.卷 △ ABC 的面积为*,求c ； 〔2〕假设 ："求2c-a 的取值范围.【解答】〔此题总分值为12分〕 解：〔1〕由三角形面积公式,如smC 一r _5n由于 百,所以a=2. 〔4分〕由余弦定理,c =后+b 2-2abe04二媳3 .小分〕所以 a=2sinA , c=2sinC . 〔8 分〕 由于厢划in 既+C 〕=版由+sinC是2*3加C-麻.式=2an 〔啮,J.分〕 由于CC 〔.9C 大〔W4〕, 故2c-a 的取值范围为I -串,2s. 〔12分〕19. 〔12分〕a>0,命题p ： |a - m|v2,命题q ：椭圆了+丫2=1的离心率e 满足e € 〕.〔1〕假设q 是真命题,求实数 a 取值范围;〔2〕假设p 是q 的充分条件,且p 不是q 的必要条件,求实数 m 的值.¥=1当上【解答】解：〔1〕当a>1时,a3 8 38 1 1 1... 当 0vav 1时,「e 2=1 — a 2, ,4 v e 2v" , ,4 v 1 — a 2v9 , ,9 v a 2<4 , M 司),i i综上所述：一 ^ ,22或I7,解得me ?或 上,=5经检验,m 2满足题意,_5 综上.sinA sinC〔2〕由正弦定理=更=2sin320. (12分)数列｛a n｝的前n项和为S n=n2+n.(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)设b n=a n?3n(n€ N),求数列J ｛b n｝的前n 项和T n.【解答】解：(1)数列｛a n｝的前n项和为$口且S=n2+n, nCN*,那么an=$ 一$-1 (n>2),=n2+n- (nT) 2- (nT)=2n,当n=1时,a1=2符合通项公式,所以a n=2n;(2)由(1)得：设b n=a n?3n=2n?3n,贝U: T n=b1+b2+…+b n=2?3+4?32+・・ +2n?3n①,3T n=2?32+4?33+ …+2n?3n+1②,①—②得：—2Tn=2 (3+32+33+-一+3n) — 2n?3n+1=2? 1-3-2n?3n+1, 1 3整理得：T n= (n-2) ?3n+1+Z21. (12分)某养殖场需定期购置饲料,该场每天需要饲料200千克,每千克饲料的价格为1.8元,饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元,购置饲料每次支付运费300元.(I )求该养殖场多少天购置一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；(n)假设提供饲料的公司规定, 当一次购置饲料不少于5吨时,其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%).问：为使该养殖场平均每天支付的总费用最少,该场是否应考虑利用此优惠条件？请说明理由.【解答】解：〔I 〕设该场每x 〔xC N 〕天购置一次饲料,平均每天支付的总费用为 yi 元.由于饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200X 0.03=6 〔元〕,所以x 天饲料的保管费用共是 6 〔x-1〕 +6 〔x - 2〕 +,•, +6=3x 2- 3x 〔元〕. 〔2分〕从而有yi =^+3x+357>417/,八、 由于“X,…〔4分〕300当且仅当K =3x,即x=10时,y i 有最小值.故该养殖场每10天购置一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少. …〔5分〕〔n 〕设该场利用此优惠条件,每隔x 天购置一次饲料,平均每天支付的总费用为y 2,因一次购置饲料5吨,够用天数为 25,所以x>25. …〔8分〕300令 f 〔x 〕 = x +3x 〔x>25〕.Fg 一 3.013一3-10〕0+1.〕 由于 y ‘ 铲 ,…〔9分〕所以当x>25时,y 2' >0,即函数y 2在［25 , +8〕上是增函数•••〔 10分〕 ・・・当x=25时,y 2取得最小值390 •••390V417,故该厂应该利用此优惠条件.…〔12分〕22. 〔12分〕椭圆 C: 了十宁=1 〔a>b>0〕,且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为 'b.〔I 〕求椭圆C 的离心率；〔n 〕假设点M 〔, % 〕在椭圆C 上,直线l 与椭圆C 相交于A, B 两点,与直线OMK 交于点N, 且N 是线段AB 的中点,求|AB|的最大值.a - c= H b,贝U 〔 a - c 〕 2=^b 2,•••2e 2- 3e+1=0, 解得：e=1或e=" 由 0v ev 1,I jqnn那么〔6分〕【解答】解：〔I 〕由 由b 2=a 2 - c 2,整理得:2 2 ,2a - 3ac+a =0,由 e=,,椭圆得离心率e=2,(n)由(I)可知a=2c,贝U b2=3c2,一 2 2x +y将M(,工)代入椭圆方程,那么4c 3c,解得：c=1,x2 / _.♦.椭圆的方程为：. •,1直线OM勺方程为y= x,1当直线l的不存在时,AB的中点不在直线y=2x,故直线l的斜率存在, 1&y=kx-|-m x2 y2整理得：(3+4m2) x2+8kmx+4m- 12=0,贝必=64/吊-4 (3+4m2) (4m2T2) =48 (3+4k2-m2) >0,gkm 4m - 1?设 A (XI, yO , B (x2, y2),那么XI+X2=- 3+4k,, XI X2=3+4k〞,6m贝U y1+y2=k(X1+X2) +2m= ■ 1 :,4km 3m那么AB的中点N ( - 3+41? 计4k\1 4km 3m 3由N在直线y=*x,贝U —=+4k*=2x $+4k〞,解得：k= - 2 ,2.那么4=48 (12—m) >0,解得：—2vm< 2,那么I AB I = J +锣?7&+92心代FH(器)“4乂誓/0t——2='?.「口,当m=0,那么I AB I 最大,且I AB I max=,|AB|的最大值.。
高二数学下学期开学考试试题 理含解析
第一中学2021-2021学年高二数学下学期开学考试试题 理〔含解析〕一、选择题〔每一小题5分，一共60分〕22x y =的焦点到准线的间隔 为〔 〕A. 4B. 2C. 1D.14【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线方程中p 的几何意义进展求解即可．【详解】抛物线22x y =的焦点到准线的间隔 为：1p =．应选：C.【点睛】此题考察对抛物线方程及对p 的几何意义的理解，属于根底题．2.近年来，某为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该三类垃圾箱中总计1000t 生活垃圾．经分拣以后数据统计如下表〔单位：t 〕：根据样本估计本生活垃圾投放情况，以下说法错误的选项是〔 〕A. 厨余垃圾投放正确的概率为23B. 居民生活垃圾投放错误的概率为310C. 该三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物〞箱D. 厨余垃圾在“厨余垃圾〞箱、“可回收物〞箱、“其他垃圾〞箱的投放量的方差为20000 【答案】D 【解析】 【分析】由表格可求得：厨余垃圾投放正确的概率，可回收物投放正确的概率，其他垃圾投放正确的概率，再结合选项进展分析即可.【详解】由表格可得：厨余垃圾投放正确的概率40024001001003==++；可回收物投放正确的概率240424030305==++；其他垃圾投放正确的概率6032020605==++． 对A ，厨余垃圾投放正确的概率为23，故A 正确；对B ，生活垃圾投放错误有200602020300+++=，故生活垃圾投放错误的概率为3003100010=，故B 正确； 对C ，该三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物〞箱，故C 正确．对D ，厨余垃圾在“厨余垃圾〞箱、“可回收物〞箱、“其他垃圾〞箱的的投放量的平均数600300100100033x ++==，可得方差22221100010001000[(600)(300)(100)]3333s =⨯-+-+-=380000200009≠，故D 错误；应选：D ．【点睛】此题考察概率与统计的计算，考察推理才能与数据处理才能，属于中档题．2221x y a-=过点()P ，那么双曲线的焦点是〔 〕A.)，()B.)，()C. (，(0, D. (，(0,【答案】B 【解析】 【分析】先将点P 的坐标代入双曲线方程求出a 值，再利用双曲线的HY 方程，就可求出双曲线中的a ，b 的值，根据双曲线中a ，b ，c 的关系式即可求出半焦距c 的值，判断焦点位置，就可得到焦点坐标．【详解】解： 双曲线 2221x y a-=过点 ()P ，2811a ∴-=，24a ∴=， 21b =， 2415c ∴=+=， c =又双曲线焦点在x 轴上，∴焦点坐标为 ()应选：B ．【点睛】此题主要考察双曲线的焦点坐标的求法，做题时注意判断焦点位置，属于根底题． 4.以下说法中正确的选项是〔 〕A. “a b >〞是“22a b >〞成立的充分不必要条件B. 命题:,20xp x R ∀∈>，那么00:,20xp x R ⌝∃∈<C. 为了理解800名学生对某项教改试验的意见，用系统抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，那么分组的组距为40D. 回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，那么回归直线方程为^ 1.230.08y x =+.【答案】D 【解析】对于A ，取1a =-，2b =时，不能推出22a b >，故错误；对于B ，命题:,20x p x R ∀∈>的否认为00,20x x R ∃∈≤，故错误；对于C ，为了理解800名学生对某项教改试验的意见，用系统抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，那么分组的组距为8004020÷=，故错误；对于D ，因为回归直线的斜率的估计值为1.23，所以回归直线方程可写成 1.23y x a =+，根据回归直线方程过样本点的中心()4,5，那么0.08a =，所以回归直线方程为1.2308ˆ.0yx =+，故正确. 应选D.5. 执行如下程序框图,那么输出结果为〔 〕A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】B 【解析】【详解】试题分析：模拟算法：开场：1,0,20n S T ===；2010,011,112,2T S n T S ===+==+=≤不成立； 105,123,213,2T S n T S ===+==+=≤不成立；52.5,336,314,2T S n T S ===+==+=≤成立，输出4n =，完毕算法，应选B.考点：程序框图.221123x y +=的左焦点为1F ，点P 在椭圆上．假如线段1PF 的中点M 在y 轴上，那么点M的纵坐标是〔 〕A. 34±B. 32±C. 22±D. 34±【答案】A 【解析】 【分析】设点P 的坐标为〔m ，n 〕，根据椭圆方程求得焦点坐标，进而根据线段PF 1的中点M 在y 轴上，推断m +3＝0求得m ，代入椭圆方程求得n ，进而求得M 的纵坐标． 【详解】设点P 的坐标为〔m ，n 〕，依题意可知F 1坐标为()13,0F - ∴m ﹣3＝0∴m ＝3，代入椭圆方程求得n ＝±32∴M 的纵坐标为±34应选：A ．【点睛】此题主要考察了椭圆HY 方程的应用，中点坐标公式的求解．属根底题． 7.如下图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设1AA a =，AB b =，AD c =，N 是BC 的中点，试用a ，b ，c 表示1A N 〔 〕A. 12a b c -++B. a b c -++C. 12a b c --+D.12a b c -+【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性表示，用1AA ，AB ，AD 表示出1A N 即可． 【详解】解：N 是BC 的中点，11111222A N A A AB BN a b BC a b AD a b c ∴=++=-++=-++=-++.应选：A.【点睛】此题考察了空间向量的线性表示与应用问题，是根底题目．E ：221112x y +=与双曲线C ：22215x y a -=〔0a >〕有一样的焦点，那么双曲线C 的渐近线方程为〔 〕A. y x =B. y x =C. y x =D. y x = 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆与双曲线有一样的焦点，所以得21125a -=+，得24a =，从而可得到双曲线方程，进而可得其渐近线方程.【详解】解：因为椭圆E ：221112x y +=与双曲线C ：22215x y a -=〔0a >〕有一样的焦点，所以21125a -=+，解得24a =，所以双曲线方程为22145x y -=，所以双曲线的渐近线方程为y x = 应选：B【点睛】此题考察椭圆和双曲线的焦点，双曲线的渐近线，属于根底题.a ，b ，且|a |＝|b |＝1，a •12b =-，那么两直线的夹角为〔 〕A. 30B. 60︒C. 120︒D. 150︒【答案】B 【解析】 【分析】先求出向量,a b 的夹角，再利用异面直线角的定义直接求解即可 【详解】设两直线的夹角为θ，那么由题意可得1×1×cos a ＜，12b =-＞，∴cos a ＜，12b =-＞，∴a ＜，23b π=＞，∴θ3π=， 应选：B ．【点睛】此题主要考察两个向量的数量积的定义，注意两直线的夹角与a ＜，b ＞的关系，属于根底题．1F ，2F 是椭圆22194x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12:2:1PF PF =，那么12F PF ∆的面积等于〔 〕A. 5B. 4C. 3D. 1【答案】B 【解析】 【分析】依题意可设丨PF 2丨＝x ，那么丨PF 1丨＝2x ，利用椭圆的定义与其HY 方程可求得x 的值，从而可知丨PF 1丨与丨PF 2丨，并能判断△PF 1F 2的形状，从而可求得△PF 1F 2的面积． 【详解】设丨PF 2丨＝x ，那么丨PF 1丨＝2x ，依题意，丨PF 1丨+丨PF 2丨＝x +2x ＝3x ＝2a ＝6， ∴x ＝2，2x ＝4，即丨PF 2丨＝2，丨PF 1丨＝4，又|F 1F 2丨＝= ∴2221212PF PF F F +=，∴△PF 1F 2为直角三角形， ∴△PF 1F 2的面积为S 12=丨PF 1丨丨PF 2丨12=⨯2×4＝4． 应选：B ．【点睛】此题考察椭圆的简单性质，考察椭圆的定义与其HY 方程，判断△PF 1F 2为直角三角形是关键，属于中档题．11.F 1，F 2是双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，假设点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，那么双曲线离心率的取值范围是〔 〕A. (1,2)B. (2,)+∞C.D.)+∞【答案】A 【解析】【分析】根据两直线平行斜率的关系求出该直线的方程a y x c b =+，联立a y x c ba y xb ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得到点M 的坐标，由点与圆的位置关系得到22222bc c c a ⎛⎫⎛⎫-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简即可得出双曲线离心率的取值范围.【详解】如图，不妨设12(0,),(0,)F c F c -，那么过点F 1与渐近线ay x b=平行的直线为ay x c b=+ 联立，得a y x c b a y x b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得22bc x ac y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即,22bc c M a ⎛⎫-⎪⎝⎭ .因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内，故22222bc c c a ⎛⎫⎛⎫-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得b 2＜3a 2，即c 2－a 2＜3a 2，解得2c a < 又双曲线的离心率1ce a=>，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)． 应选：A【点睛】此题主要考察了求双曲线的离心率的取值范围，涉及到点与圆的位置关系等，属于中档题.12.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 中点，点P 在线段11A C 上，假设直线OP 与平面11A BC 所成的角为θ，那么cos θ的取值范围是〔 〕．A. 2333⎣⎦B. 6733⎣⎦C. 3343⎣⎦D.11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得sin θ的取值范围，由此求得cos θ的取值范围 【详解】设正方体边长为2，建立如下图空间直角.那么()()()()111,1,0,2,0,2,2,2,0,0,2,2O A B C ，设()(),2,202P a a a -≤≤，那么()()()1111,1,2,0,2,2,2,2,0OP a a A B AC --=-=-，由于()1,1,1n =使()()11,1,10,2,20n A B ⋅=⋅-=，()()111,1,12,2,00n AC ⋅=⋅-=，所以()1,1,1n =是平面11A BC 的法向量，所以()22112sin 3212n OP a a n OPa θ⋅-+-+==⋅⋅⨯-+()2612a =-+，由于02a ≤≤，所以()2122,3a -+，()232212a ⎡⎢⎣⎦-+，()223sin 33612a θ=⎢⎣⎦-+，所以221sin ,93θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2271sin ,39θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，由于0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，所以267cos 1sin θθ=-⎣⎦应选：B【点睛】本小题主要考察线面角余弦值的取值范围的求法，考察空间想象才能和运算求解才能，属于中档题.二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕13.()1,1,0a =，()0,1,1b =，()1,0,1c =，p a b =-，2q a b c =+-，那么p q ⋅=______.【答案】-1 【解析】 【分析】求得,p q 的坐标，由此求得两者的数量积.【详解】依题意()()1,0,1,0,3,1p a b q =-=-=，所以0011p q ⋅=+-=-. 故答案为：1-【点睛】本小题主要考察空间向量加法、减法、数乘以及数量积的坐标运算，属于根底题.14.F 是抛物线24y x =的焦点，定点()2,2A ，假设点P 在抛物线上运动，那么AP PF+的最小值为____________. 【答案】3 【解析】【分析】利用抛物线的几何性质可求AP PF +的最小值.【详解】抛物线的准线为1x =-，如图，过P 作准线的垂线，垂足为E ，那么PE PF =，所以AP PF AP PE AE d +=+≥≥，其中d 为A 到准线的间隔 . 因()2,2A ，故213d =+=，故AP PF +的最小值为3，当且仅当,,A P E 三点一共线时取最小值. 故答案为：3.【点睛】一般地，抛物线()220y px p => 上的点()00,P x y 到焦点的间隔 为02px +，该间隔 实际上是P 到准线的间隔 ，我们常常利用这个性质实现到焦点的间隔 的转化. 15.某中学高二年级的甲、乙两个班各选出5名学生参加数学竞赛，在竞赛中他们获得成绩的茎叶图如下图，其中甲班5名学生成绩的平均分是83分，乙班5名学生成绩的中位数是86．假设从成绩在85分及以上的学生中随机抽2名，那么至少有1名学生来自甲班的概率为__________．【答案】710【解析】 【分析】根据题意求出5,6x y ==．成绩在85分及以上的学生一一共有5名，其中甲班有2名，乙班有3名，由此能求出随机抽取2名，至少有1名来自甲班的概率，得到答案．【详解】由题意,根据茎叶图可知74828480205838086x y +++++=⨯⎧⎨+=⎩， 解得5,6x y ==，成绩在85分及以上的学生一一共有5名，其中甲班有2名，乙班有3名，随机抽取2名，至少有1名来自甲班的概率：23257110C P C =-=．故答案为710． 【点睛】此题主要考察了茎叶图的应用，考察概率的求法，是根底题，解题时要注意等可能事件概率计算公式的合理运用．着重考察了推理与运算才能，属于根底题．A ，B 为椭圆C ：2214x y +=的左右顶点，点M 为x 轴上一点，过M 作x 轴的垂线交椭圆C于P ，Q 两点，过M 作AP 的垂线交BQ 于点N ，那么BMQ BMNS S ∆∆=______．【答案】54【解析】 【分析】设出,,M P Q 的坐标，求得直线MN 、直线BQ 的方程，由此求得N 点的纵坐标，进而求得BMQ BMNS S ∆∆.【详解】依题意()()2,0,2,0A B -设()()()00000,0,,,,M x P x y Q x y -.由于002AP y k x =+，所以002MN x k y +=-，所以直线MN 的方程为()0002x y x x y +=--①.直线BQ 的方程为()0022y y x x -=--②，而220014x y +=③，由①②③求得N 的纵坐标为045N y y =-.所以BMQ BMNS S ∆∆=005445Q Ny y y y -==-. 故答案为：54【点睛】本小题主要考察直线和椭圆的位置关系，考察椭圆中三角形面积的比，考察两条直线交点坐标，考察化归与转化的数学思想方法，考察数形结合的数学思想方法，属于中档题. 三、解答题〔一共6小题，一共70分〕p ：方程230x x m -+=有实数解，命题q ：方程22192x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆．(1) 假设命题p 为真，求m 的取值范围； (2) 假设命题p q ∧为真，求m 的取值范围． 【答案】〔1〕94m ≤.〔2〕924m <≤【解析】 【分析】〔1〕原题转化为方程230x x m -+=有实数解，23)40m ∆=--≥（；〔2〕p q ∧为真，即每个命题都为真，根据第一问得到参数范围，进而得到结果.【详解】〔1〕∵230x x m -+=有实数解，∴293)40,4m m （∆=--≥∴≤ 〔2〕∵椭椭圆焦点在x 轴上,所以902092m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，∴1122m <<∵p q ∧为真，119224m m ∴<<≤且，924m ∴<≤. 【点睛】由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假假设p 且q 真，那么p 真，q 也真；假设p 或者q 真，那么p ，q 至少有一个真；假设p 且q 假，那么p ，q 至少有一个假．〔2〕可把“p 或者q 〞为真命题转化为并集的运算；把“p 且q 〞为真命题转化为交集的运算．C ：22221x y a b -= (0a >，0b >)．〔1〕假设双曲线C的焦距长为C 的方程： 〔2〕假设点()3,1为双曲线C 上一点，求双曲线C 的方程．【答案】〔1〕2219344x y -=；〔2〕22162x y -=. 【解析】【分析】〔1〕根据离心率、焦距，结合222c a b =+，求得,a b ，进而求得双曲线C 的方程. 〔2〕根据点()3,1，结合离心率、222c a b =+，求得,a b ，进而求得双曲线C 的方程.【详解】〔1〕依题意222233223c a c c a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得333,,22c a b ===，所以双曲线的方程为2219344x y -=. 〔2〕将点()3,1代入双曲线方程得22911a b -=，由22222233911c aa b c a b ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得6,2a b ==，所以双曲线C 的方程为22162x y -=.【点睛】本小题主要考察根据双曲线离心率、焦距或者双曲线的图像上一点坐标，求双曲线方程，属于根底题.100户居民的月平均用电量〔单位：度〕，以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图．〔1〕求直方图中的值；〔2〕求月平均用电量的众数和中位数；〔3〕在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，那么月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？【答案】〔1〕0.0075；〔2〕230，224；〔3〕5． 【解析】【详解】试题分析：〔1〕由直方图的性质可得〔0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025〕×20=1，解方程可得；〔2〕由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240〕内，设中位数为a ，解方程〔0.002+0.0095+0.011〕×20+0.0125×〔a-220〕=0.5可得；〔3〕可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数 试题解析：(1)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x ＋0.005＋0.0025)×20＝1得：x ＝0.0075，所以直方图中x 的值是0.0075. ------------- 3分(2)月平均用电量的众数是2202402+＝230. ------------- 5分 因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内， 设中位数为a ，得：a ＝224，所以月平均用电量的中位数是224. ------------ 8分 (3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100＝25户， 月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100＝15户，月平均用电量为[260,280)的用户有0. 005×20×100＝10户，月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100＝5户， -------------10分 抽取比例＝112515105+++＝15，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5户．-- 12分考点：频率分布直方图及分层抽样20.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形且∠DAB =60°，O 为AD 中点.〔Ⅰ〕假设PA =PD ，求证：平面POB ⊥平面PAD ；〔Ⅱ〕假设平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA =PD =AD =2，试问在线段PC 上是否存在点M ，使二面角M-BO-C 的大小为30°，如存在，求PMPC 的值，如不存在，说明理由. 【答案】〔1〕详见解析；〔2〕存在，35PM PC = 【解析】 【分析】〔Ⅰ〕由题意可知PO AD ⊥，又ABCD 为菱形且60DAB ∠=，所以OB AD ⊥，根据线面垂直的断定定理可得AD ⊥平面POB ，然后再根据面面平行的断定定理可证平面POB ⊥平面PAD ；〔Ⅱ〕建立空间直角坐标系，利用二面角M BO C --的余弦值列方程，由此求得PMPC的值.【详解】〔Ⅰ〕因为PA PD =，O 为AD 中点，所以PO AD ⊥.因为四边形ABCD 为菱形且60DAB ∠=，所以OB AD ⊥.因为0PO OB ⋂=，所以AD ⊥平面POB .因为AD ⊂平面PAD ，所以平面POB ⊥平面PAD .〔Ⅱ〕因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且交线为AD ，所以PO ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，,,OA OB OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系如下图.所以()()()()0,0,0,0,0,3,0,3,0,2,3,0O P B C -，()2,3,3PC =--，设()01PM PC λλ=<<，所以()()2,3,31M λλλ--.平面CBO 的法向量为()10,0,3n =.设平面MOB 的法向量为()2,,n x y z =，那么()222331030n OM x y z n OB y λλλ⎧⋅=-++-=⎪⎨⋅==⎪⎩，令3z =，那么可得233,0,32n λλ-⎛⎫=⎪⎝⎭. 由于二面角M BO C --的大小为30，所以1212cos30n n n n ⋅=⋅，即233233332λλ=-⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭，解得35λ=.所以存在M 点使二面角M BO C --的大小为30，且35PM PC =.【点睛】本小题主要考察面面垂直的断定定理，考察空间向量在立体几何中的运用，属于中档题.xOy 中，曲线C 的参数方程为x cos y sin αα=⎧⎨=⎩〔α为参数〕，将C 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的3倍，得曲线C 1．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． 〔1〕求C 1的极坐标方程〔2〕设M ，N 为C 1上两点，假设OM ⊥ON ，求2211||||OM ON +的值．【答案】〔1〕22918cos ρθ=+〔2〕109【解析】 【分析】(1)根据线性变换求出曲线1C 的参数方程,再化简成极坐标方程即可.(2)利用极坐标的几何意义, 设M 〔ρ1,θ〕,N 〔22πρθ+，〕,再代入求2211||||OM ON +的值即可.【详解】〔1〕曲线C 的参数方程为x cos y sin αα=⎧⎨=⎩〔α为参数〕,将C 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的3倍,得曲线C 1．转化为3x cos y sin αα=⎧⎨=⎩,整理为2219y x +=,转换为极坐标方程为22918cos ρθ=+． 〔2〕M ,N 为C 1上两点,假设OM ⊥ON , 设M 〔ρ1,θ〕,N 〔22πρθ+，〕,所以2211189cos θρ+=,22218129cos πθρ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=, 所以2222181118102||||999cos cos OM ON πθθ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭+=+=．【点睛】此题主要考察了极坐标与参数方程和直角坐标的互化,同时也考察了极坐标的几何意义,属于中等题型.22.在平面直角坐标系中，曲线C 上的动点P 到点1,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭的间隔 与到直线1:4l x =-的间隔 相等．〔1〕求曲线C 的轨迹方程；〔2〕过点()1,1M 分别作射线MA 、MB 交曲线C 于不同的两点A 、B ，且以AB 为直径的圆经过点M ．试探究直线AB 是否过定点？假如是，恳求出该定点；假如不是，请说明理由．【答案】〔1〕2y x =；〔2〕过定点()2,1-.【解析】【分析】〔114x =+，化简求得曲线C 的轨迹方程. 〔2〕设直线AB 的方程为x my t =+，联立直线AB 的的方程和曲线C 的方程，写出韦达定理，由于以AB 为直径的圆过点M ，所以0MA MB ⋅=，利用向量数量积的坐标运算进展化简，由此求得,m t 的关系式，进而求得直线AB 所过定点.【详解】〔1〕设(),P x y ，依题意14PF x =+14x =+，两边平方并化简得2y x =.所以曲线C 的轨迹方程为2y x =〔2〕直线AB 经过定点()2,1-.理由如下：依题意AB 的斜率不为零，所以设直线AB 的方程为x my t =+， 由2x my t y x=+⎧⎨=⎩消去x 得20y my t --=，240m t ∆=+>.设()()1122,,,A x y B x y ，那么1212,y y m y y t +=⋅=-.由于以AB 为直径的圆过点M ，所以0MA MB ⋅=，即()()()()121211110x x y y --+--=，化简得()()12121212110x x x x y y y y -+++-++=，由于221122,y x y x ==，所以()()()221212121230y y y y y y y y -++-+=，所以()22223232t t m m t t m m ---+=--+-()()120t m t m =+---=依题意，直线AB 不经过m ，所以1m t +≠，所以2t m =+，将其代入x my t =+得()()210x m y --+=，即直线过定点()2,1-.综上所述，直线AB AB 经过定点()2,1-.【点睛】本小题主要考察轨迹方程的求法，考察抛物线中的定点问题，考察圆的几何性质，考察化归与转化的数学思想方法，考察数形结合的数学思想方法，属于中档题.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
高二下学期开学考试数学(理)试卷及详细答案
1高二下学期开学考试数学（理）时间：120分钟 分值150分 第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.抽到的50人中，编号落入区间的人做问卷A ，编号落入区间的人做问卷B ，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷C 的人数为（ ）A.12B.13C.14D.152．高一年级某班63人，要选一名学生做代表，每名学生当选是等可能的，若“选出代表是女生”的概率是“选出代表是男生”的概率的1011，这个班的女生人数为（ ）． A ．20 B. 25 C. 35 D. 303．一人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ） A 、至多有一次中靶 B 、两次都中靶 C 、两次都不中靶 D 、只有一次中靶4．投蓝测试中，每人投3，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投蓝是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） A ．0.648 B ．0.432 C ．0.36 D ．0.3125．在区间[]9,0上随机取一实数x ，则该实数满足不等式2log 12≤≤x 的概率为（ ）A.91B.92C.94D.976．．在区间上任取两数s 和t ，则关于x 的方程的两根都是正数的概率为ABC ．D 7．用组成没有重复数字的四位数，其中奇数有（ ） A.8个 B.10个 C.18个 D.24个x 220x sx t ++=0,1,2,328．如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有( )(A)11种(B)20种 (C)21种 (D)12种9．2014年西安地区特长生考试有8所名校招生，若某3位同学恰好被其中的2 所名校录取，则不同的录取方法有A ．68种B ．84种C ．168种D ．224种10．将4名学生分配到甲、乙、丙3个实验室准备实验，每个实验室至少分配1名学生的不同分配方案共有（ ）A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种11．点B 是点A （1，2，3）在坐标平面yoz 内的射影，则OB 等于（ ） A B C 、 D 12．如图所示，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．B ．6C ．D ．3第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）13．某校一天要上语文、数学、外语、历史、政治、体育六节课，在所有可能的安排中，数学不排在最后一节，体育不排在第一节的概率．．是 ． 14．已知关于x 的二项式n+的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为15．已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n ,且a 1+a 2+…+=29-n,则n= .16． 从4名男生、3名女生中任选3人参加一次公益活动，其中男生、女生均不少于1人的组合种数为 （用数字作答）． 三 解答题（70分）17．一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单 （1）前4个节目中要有舞蹈，有多少种排法？ （2） 3个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法？ （3） 3个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排法？18．已知圆C 经过点(1,0)A -和(3,0)B ，且圆心在直线0x y -=上． （1）求圆C 的方程；（2）若点(,)P x y 为圆C 上任意一点，求点P 到直线240x y ++=的距离的最大值和最小值．419．某中学的数学测试中设置了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个内容，成绩分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级。
高二数学下学期开学考试试题理(普通班)
高二普通班第二学期开学考试数学试题（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在锐角ABC 中，3,4AB AC ==，其面积ABCS=，则BC =（ ）A ．5BC D2.关于实数x 的不等式20x bx c -++<的解集是{}|32x x x <->或，则关于x 的不等式210cx bx -->的解集是（ ）A ．11,23⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．()2,3- C ．11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()(),23,-∞-⋃+∞3.过抛物线2:12C y x =的焦点作直线交C 于()()1122,,,A x y B x y 两点，若126x x +=，则AB =（ ）A ．16B ．12C ．10D ．8 4．已知命题p ：∀x ∈R ，2x 2+2x +21<0，命题q ：∃x 0∈R ，sinx 0-cosx 0=2，则下列判断中正确的是 ( ) A ．p 是真命题B ．q 是假命题C ．⌝p 是假命题D ． ⌝q 是假命题5．一动圆P 过定点M (-4，0)，且与已知圆N ：(x -4)2+y 2=16相切，则动圆圆心P 的轨迹方程是 ( )A ．)2(112422≥=-x y xB ．)2(112422≤=-x y xC ．112422=-y xD ．112422=-x y6．已知向量a=(1，0，-1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是 ( ) A ．(-1，1，0) B ．(1，-1，0) C ．(0，-1，1) D ．(-1，0，1)7.已知命题()21:1,:101p q x a x a x <+-->-，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]2,1--B ．[]2,1--C ．[]3,1--D ．[)2,-+∞8.直线y =与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>交于,A B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率e 为（ ）A B 1 D ．4- 9．“a=b ”是“直线y=x+2与圆（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=2相切”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件10．命题“若x 2＜1，则﹣1＜x ＜1”的逆否命题是（ ） A ．若x 2≥1，则﹣1≥x ≥1 B ．若1≥x ≥﹣1，则x 2≥1 C ．若x ≤﹣1或x ≥1，则x 2≥1 D ．若x 2≥1，则x ≤﹣1或x ≥1 11．如图，是一程序框图，则输出结果为（ ）A ．B ．C ．D ．12．正四面体ABCD 的体积为V ，M 是正四面体ABCD 内部的点，若“”的事件为X ，则概率P （X ）为（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．若抛物线y ²=-2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为-9，它到焦点的距离为10，则点M 的坐标为________.14．过椭圆22154x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为______15.已知离心率为e 的双曲线和离心的椭圆有相同的焦点12,F F ，P 是两曲线的一个公共点，若1260F PF ∠=︒，则e = .16.如图，边长为a 的等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 交于G ，已知'A DE （'A ∉面ABC ）是ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，有下列命题：①平面'A FG ⊥平面ABC ；②BC 面'A DE ；③三棱锥'A DEF -的体积最大值为3164a ；④动点'A 在平面ABC 上的射影在线段AF 上；⑤二面角'A DE F --的平面角的取值范围是[]0,90︒︒.其中正确的命题是 （写出所有正确命题的编号）.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知命题2:8200p k k --≤，命题:q 方程22141x y k k+=--表示焦点在x 轴上的双曲线.⑴命题q 为真命题，求实数k 的取值范围；⑵若命题“p q ∨”为真，命题“p q ∧”为假，求实数k 的取值范围.18（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，315S =-，且1241,1,1a a a +++成等比数列，公比不为1. ⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵设1n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 19.（12分）如图（1），在平行四边形11ABB A 中，1160 4 2ABB AB AA ∠=︒==，，，C ，1C分别为AB ，11A B 的中点，现把平行四边形11AA C C 沿1CC 折起，如图（2）所示，连结1111 B C B A B A ，，.（Ⅰ）求证：11AB CC ⊥；（Ⅱ）若1AB =，求二面角11C AB A --的余弦值.20.（12分）如图，边长为4的正方形ABCD 所在平面与正三角形PAD 所在平面互相垂直，M ，Q 分别为PC ，AD 的中点． （1）求证：PA ∥平面MBD ； （2）求二面角P ﹣BD ﹣A 的余弦值．21、（12分）已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以E 的四个顶点为顶点的四边形的面积为4 3.(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，P 是直线x ＝4上不同于点(4，0)的任意一点，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交于异于A ，B 的点M 、N ，试探究，点B 是否在以MN 为直径的圆内？证明你的结论．22.（本小题满分12分）已知抛物线()220y px p =>的焦点为F 与椭圆C 的一个焦点重合，且抛物线的准线与椭圆C 相交于点⎛- ⎝. ⑴求抛物线的方程；⑵过点F 是否存在直线与椭圆C 交于,M N 两点，且以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰在y 轴上？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题二、填空题13. （-9,6）或（-9，-6） 14. 35①②③④17.⑴210k -≤≤⑵21k -≤≤或410k ≤≤ 18.⑴21n a n =--⑵31114212n T n n ⎛⎫=-++ ⎪++⎝⎭19、（12分）证明：（Ⅰ）由已知可得，四边形11ACC A 均为边长为2的菱形， 且11160ACC B C C ∠=∠=︒.在图（1）中，取1CC 中点O ，连结11 AO B O AC ，，，故1ACC △是等边三角形， 所以1AO CC ⊥，同理可得11B O CC ⊥， 又因为1AOB O O =，所以11CC AOB ⊥平面，又因为11AB AOB ⊂平面，所以11AB CC ⊥.（Ⅱ）由已知得，11 OA OB AB ==，， 所以22211OA OB AB +=，故1OA OB ⊥，如图（2），分别以11 OB OC OA ，，为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，得())(10 1 0 0 0 0 0 C B A -，，，，，，，，(10 2 A ，.设平面1CAB 的法向量()111 m x y z =，，，(1 3 0 AB =，，，(0 1 AC =-，，，由100AB m AC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得111100y =--=⎪⎩， 令11x =，得11z =，1y =所以平面1CAB 的一个法向量()1 1m =，，.设平面11AA B 的法向量()222 n x y z =，，， (1 3 0 AB =，，，()10 2 0AA =，，， 由1100AB n AA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得222020y ==⎪⎩， 令21x =，得21z =，2y 0=，所以平面11AA B 的一个法向量为()1 0 1n =，，.于是cosm n m n m n ⋅<>===， 因为二面角11C AB A --的平面角为钝角，所以二面角11C AB A --的余弦值为20.证明：（1）连接AC 、BD 交于点O ，连接OM ． 则AO=OC ，又PM=MC ， ∴PA ∥OM ．∵PA ⊄平面BMD ，OM ⊂平面BMD ， ∴PA ∥平面BMD ．解：（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，过A 作平面ABCD 的垂线为z 轴， 建立空间直角坐标系，则P （0，2，2），B （4，0，0），D （0，4，0），=（﹣4，2，2），=（﹣4，4，0），设平面BPD 的法向量=（x ，y ，z ），则，取x=1，得=（1，1，），平面ABD 的法向量=（0，0，1）， 设二面角P ﹣BD ﹣A 的平面角为θ，则cos θ===．∴二面角P ﹣BD ﹣A 的余弦值为．21.【解析】(Ⅰ)依题意得c a ＝12，12·2a ·2b ＝43，又a 2＝b 2＋c 2，由此解得a ＝2，b＝ 3.所以椭圆E 的方程为 x 24＋y 23＝1.(Ⅱ)点B 在以MN 为直径的圆内．证明如下：方法1：由(Ⅰ)得A (－2，0)，B (2，0)．设M (x 0，y 0)． ∵M 点在椭圆上，∴y 02＝34(4－x 02)． ①又点M 异于顶点A 、B ，∴－2<x 0<2. 由P 、A 、M 三点共线可以得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，6y 0x 0＋2. 从而BM →＝(x 0－2，y 0), BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，6y 0x 0＋2.∴BM →·BP →＝2x 0－4＋6y 02x 0＋2＝2x 0＋2(x 02－4＋3y 02)． ②将①代入②，化简得BM →·BP →＝52(2－x 0)．∵2－x 0>0，∴BM →·BP →>0，于是∠MBP 为锐角，从而∠MBN 为钝角， 故点B 在以MN 为直径的圆内．方法2：由(Ⅰ)得A (－2，0)，B (2，0)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则－2<x 1<2，－2<x 2<2，又MN 的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，依题意，计算点B 到圆心Q 的距离与半径的差|BQ |2－14|MN |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 222－14[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2] ＝(x 1－2) (x 2－2)＋y 1y 2 ③ 直线AP 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，直线BP 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)， 而两直线AP 与BP 的交点P 在直线x ＝4上， ∴6y 1x 1＋2＝2y 2x 2－2，即y 2＝3（x 2－2）y 1x 1＋2④ 又点M 在椭圆上，则x 124＋y 123＝1，即y 12＝34(4－x 12) ⑤ 于是将④、⑤代入③，化简后可得|BQ |2－14|MN |2＝54(2－x 1)(x 2－2)<0.从而点B 在以MN 为直径的圆内． 22.⑴24y x =⑵若垂直于x 轴，不符合.设正方形第三个顶点坐标为()()()011220,,,,,P y M x y N x y令()():10l y k x k =-≠，代入24y x =得()2222240k x k x k -++=所以21212224,1k x x x x k ++==则线段MN 的中垂线方程为22121y x k k k ⎛⎫-=--- ⎪⎝⎭所以3320,P k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 因为0PM PN ⋅=，得()()1210200x x y y y y +--=即200430y y k --=，由0332y k k=+代入得()()423410kk k -+=∴=所以直线方程为)1y x =-.。
高二数学下开学考试第一次测试试题理
【2019最新】精选高二数学下开学考试第一次测试试题理一、选择题（共12小题，每题5分）1．已知集合A ＝{x|x<1}，B ＝{x|3x<1}，则( ) A ．A ∩B ＝{x|x<0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x|x>1}D ．A ∩B ＝∅2．设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z|等于( ) A ．B ．C ．D ．23.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( ) A ． B ． C ． D ．π44.设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（）x y 0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩2z x y =+A.2B.3C.4D.5 5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. 13π+23π+C. D.123π+223π+6.“”是“的”（ ） 1x >12log (2)0x +< A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件7.执行右侧的程序框图，如果输入的＝－1，则输出的S 等于( )a A ．-4 B ．-3 C ．2 D ．38.已知F1、F2为双曲线的焦点，过F2垂直于实轴的直线交双曲线于A 、B 两点，BF1交y 轴于点C ，若AC ⊥BF1，则双曲线的离心率为（ ） A ． B ． C ．2 D ．29.若函数y ＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f(x)具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( ) A ．y ＝x3 B ．y ＝lnx C ．y ＝ex D ．y ＝sinx10.已知正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE ，SD 所成的角的余弦值为( )A ．B ．C ．D ．3132333211.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM 的斜率的最大值为( )A ．1B ．C ．D ． 32332212．已知函数f(x)＝x2－2x ＋(ex －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则等于( )a a A ．－B ．C ．D ．1二、填空题（共4小题，每题5分）13.设向量＝(m,1)，＝(1,2)，且||2＝||2＋||2，则m ＝________.+ 14.已知sin ，则cos （）= .31cos )6(=--ααπ32πα+15.已知函数f(x)＝x3－2x ＋ex －，其中e 是自然对数的底数，若f(－1)＋f(22)≤0，则实数的取值范围是________．a a a16.已知椭圆的中心为原点，焦点在轴上，上的点与的两个焦点构成的三角形面积的最大值为，直线交椭圆于于两点.设为线段的中点，若直线的斜率等于，则椭圆方程为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.）17.(10分)如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图：注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014 (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)(2)预测2018年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据：i ＝9.32，i ＝40.17，＝0.55，≈2.646.iy参考公式：回归方程＝＋t中斜率和截距最小二乘估计公式分别为＝=，＝－.∑∑-=--ni ini iitn ty t n yt 122118.(12分)设数列{n}满足1＋32＋…＋(2n －1)n ＝2n.a a a a (1)求{n}的通项公式；a (2)求数列的前n 项和．⎭⎬⎫⎩⎨⎧+12n a n 19.(12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为，b ，c ，已知△ABC 的面积为.a Aa sin 32(1)求sin Bsin C ；(2)若6cos Bcos C ＝1，＝3，求△ABC 的周长．20.（12分）在如图所示的五面体中，面ABCD 为直角梯形，∠BAD=∠ADC=，平面ADE ⊥平面ABCD ，EF=2DC=4AB=4，△ADE 是边长为2的正三角形．（1）证明：BE ⊥AC ；（2）求二面角A ﹣BC ﹣F 的余弦值． 21.(12分)已知椭圆（＞b ＞0）的离心率，过点A （0，﹣b ）和B （，0）的直线与原点的距离为．36e a 23 （1）求椭圆的方程．（2）已知定点E （﹣1，0），若直线y=kx+2（k ≠0）与椭圆交于C 、D 两点．问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由． 22.(12分)已知函数f(x)＝ln x ＋ax2＋(2a ＋1)x. (1)讨论f(x)的单调性；(2)当a<0时，证明f(x)≤－－2.高二下学期开学考试答案（理科） 一选择题：1-5 ACBBA 6-10 BDBDC 11,12 DC 二填空题：13. -2 14. 15. 16.97⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,11162522=+y x17. 解：（1）（2）将2018年对应的t ＝11代入回归方程得＝0.92＋0.10×11＝2.02. 所以预测2018年我国生活垃圾无害化处理量将约为2.02亿吨．18.解 (1)因为a1＋3a2＋…＋(2n －1)an ＝2n ，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n －3)an －1＝2(n －1)， 两式相减，得(2n －1)an ＝2， 所以an ＝(n≥2)．又由题设可得a1＝2，满足上式， 所以{an}的通项公式为an ＝. (2)记的前n 项和为Sn. 由(1)知＝＝－，则Sn ＝－＋－＋…＋－＝.19.解 (1)由题设得acsin B ＝，即csin B ＝. 由正弦定理，得sin Csin B ＝， 故sin Bsin C ＝.(2)由题设及(1)，得cos Bcos C－sin Bsin C＝－，即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝.由题意得bcsin A＝，a＝3，所以bc＝8.由余弦定理，得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝.故△ABC的周长为3＋.20.21.解：（1）∵直线过点A（0，﹣b）和B（a，0），∴直线L：与坐标原点的距离为，∴=．①∵椭圆的离心率 e=，∴．②由①得4a2b2=3a2+3b2，即4a2（a2﹣c2）=3a2+3（a2﹣c2）③由②③得a2=3，c2=2∴b2=a2﹣c2=1∴所求椭圆的方程是+y2=1（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，消去y可得：（1+3k2）x2+12kx+9=0∴△=36k2﹣36＞0，∴k＞1或k＜﹣1设C（x1，y1），D（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=∵=（x1+1，y1），=（x2+1，y2），且以CD为圆心的圆过点E，∴EC⊥ED∴（x1+1）（x2+1）+y1y2=0∴（1+k2）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0∴（1+k2）×+（2k+1）×+5=0，解得k=＞1，∴当k=时以CD为直径的圆过定点E22..解(1)解f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝.若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a<0，则当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0.故f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)证明由(1)知，当a<0时，f(x)在x＝－处取得最大值，最大值为f＝ln－1－，所以f(x)≤－－2等价于ln－1－≤－－2，即ln＋＋1≤0.设g(x)＝ln x－x＋1，则g′(x)＝－1.当x∈(0,1)时，g′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0.所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0.所以当x>0时，g(x)≤0.从而当a<0时，ln＋＋1≤0，即f(x)≤－－2.。
高二数学下学期开学检测试题理试题
卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹安工大附中高二第二学期第一次月考试卷数学〔理〕第一卷〔客观题〕一、 单项选择题〔一共10小题，每一小题3分，一共30分〕1、以下条件中，能断定直线l ⊥平面α的有α内的两条直线垂直；B.l 与平面α内的无数条直线垂直；C.l 与平面α内的任意一条直线垂直；D.l 与平面α内的某一条直线垂直 2、一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如下列图，那么该几何体的俯视图为ABCD“对于∀x ∈R ，∃m ∈R ，使4x+m ·2x+1=0”⌝A ．m ≥2B ．m ≤-2C ．-2≤m ≤2D ．m ≤-2或者m ≥2 4、抛物线y=ax 2的准线方程是y=2,那么a 的值是A.8B.-8C.D.－5、设F 1、F 2是椭圆2211612x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的一点，且P 到两焦点的间隔之差为2，那么ΔPF 1F 2是A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．钝角三角形7、假设a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3),那么132123a a ab b b ==是a ∥b 的A.既不充分也不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.充分不必要条件8、如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=AC=1，AA 1=2，∠B 1A 1C 1=90o,D 为BB 1的中点，那么异面直线C 1D 与A 1C 所成角的余弦值为A．15B．25C．10D．109、假设“⌝〔p∨10、向量a、b、c两两之间的夹角都为60o。
其模都为1，那么|a-b+2c|等于A．5B．C．6D．第二卷〔主观题〕二、填空题〔本大题一一共5小题，每一小题4分，一共20分。
〕11、如图，一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，那么该多面体的体积是12、假设抛物线为y2=x的焦点弦AB，满足|AB|=4，那么弦AB的中点C到直线x+=0的间隔为13．O为坐标原点，OA=〔1,2,3〕，OB=〔2,1,2〕，OP=〔1,1,2〕，点Q在OP上运动，当QBQA⋅取最小值时，Q点坐标为14.假设动点P〔x,y〕到定点F〔5,0〕的间隔是它到直线x=95的间隔的53倍，那么动点P的轨迹方程是15、如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，Q为线段AP的中点，AB=3，BC=4，PA=2，那么P到平面BQD的间隔为二零二零—二零二壹安工大附中高二第二学期第一次月考答题卷数学〔理〕一、单项选择题〔30分〕题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案二、填空题〔本大题一一共5小题，每一小题4分，一共20分。
高二数学下学期开学考试试题理含解析试题
云天化中学2021-2021学年高二数学下学期开学考试试题 理〔含解析〕第一卷〔选择题〕一、选择题:〔每一小题5分，一共30分．每一小题只有一个选项符合题意．〕 1.在复平面内，复数21z i=-对应的点到直线1y x =+的间隔 是〔 〕A.12B.2D. 1【答案】B 【解析】 【分析】化简复数得出对应点，根据点到直线间隔 公式即可求解.【详解】22(1)11(1)(1)i i i i i +==+--+,所以复数21i-对应的点为(1，1)，点(1，1)到直线y ＝x ＋1的间隔 . 应选:B ．【点睛】此题考察复数的根本运算，根据复数的几何意义得其在平面内对应点，根据点到平面间隔 公式求解.2.用反证法证明命题“设,a b 为实数，那么方程30x ax b ++=至少有一个实根〞时，要做的假设是〔 〕A. 方程30x ax b ++=没有实根B. 方程30x ax b ++=至多有一个实根C. 方程30x ax b ++=至多有两个实根D. 方程30x ax b ++=恰好有两个实根 【答案】A 【解析】分析：反证法证明命题时，假设结论不成立．至少有一个的对立情况为没有．故假设为方程30x ax b ++=没有实根．详解：结论“方程30x ax b ++=至少有一个实根〞的假设是“方程30x ax b ++=没有实根．〞点睛：反证法证明命题时，应假设结论不成立，即结论的否认成立．常见否认词语的否认形式如下：3.ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .假设()226,c a b =-+,3C π=那么ABC 的面积为〔 〕A. 3B.2C.2D.【答案】C 【解析】 【分析】根据条件进展化简，结合三角形的面积公式，即可求解，得到答案. 【详解】由()226c a b =-+，整理得22226c a ab b =-++， 即22226a b c ab +-=-，又因为3C π=，由余弦定理可得222261cos 3222a b c ab ab ab π+--===，解得6ab =，所以三角形的面积为11sin 622S ab C ==⨯=. 应选：C .【点睛】此题主要考察理解三角形的余弦定理的应用，以及三角形面积的计算，其中解答中根据余弦定理求得6ab =是解答此题的关键，着重考察了推理与运算才能.4.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，那么不同的安排方式一共有( ) A. 12种 B. 18种C. 24种D. 36种【答案】D 【解析】4项工作分成3组,可得：24C=6， 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：36363A ⨯=种． 应选D.5.某调查了200名学生每周的自习时间是〔单位：小时〕，制成了如下图的频率分布直方图，其中自习时间是的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20〕，20，22.5〕，22.5,25〕，25，27.5〕，27.5，30〕.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间是不少于22.5小时的人数是〔 〕A 56 B. 60 C. 140 D. 120【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题意得，自习时间是不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04) 2.50.7++⨯=，故自习时间是不少于22.5小时的频率为0.7200140⨯=，应选C.考点：频率分布直方图及其应用．6.〔2021新课标全国卷Ⅲ文科〕椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，那么C 的离心率为A.63B.33C.3D.13【答案】A 【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的间隔 等于半径，即d a ==，整理可得223a b ，即()2223,a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，那么椭圆的离心率c e a ===， 应选A.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或者不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或者不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.第二卷〔非选择题〕二、填空题：〔每一小题5分，一共20分．〕 7.观察以下等式11=2349++=3456725++++= 4567891049++++++=照此规律，第n 个等式为__________．【答案】()221n - 【解析】 【分析】根据式子的开场项和中间一项及右边结果的特点得出. 【详解】根据题意，由于观察以下等式11=2349++= 3456725++++= 4567891049++++++=照此规律，等式左边的第一个数就是第几行的行数，且相加的连续自然数的个数是中间数字，右边是最中间数字的平方，故第n 个等式为()()()()2123221n n n n n +++++⋯+-=-. 【点睛】此题考察了归纳推理，属于中档题．8.〔2021新课标全国II 理科〕等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，那么11nk kS ==∑____________． 【答案】21nn + 【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，由题意有1123434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩ ， 数列的前n 项和()()()111111222n n n n n n n S na d n --+=+=⨯+⨯=， 裂项可得12112()(1)1k S k k k k ==-++，所以1111111122[(1)()()]2(1)223111nk knS n n n n ==-+-++-=-=+++∑． 点睛:等差数列的通项公式及前n 项和公式，一共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，表达了用方程的思想解决问题．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个根本量，用它们表示和未知是常用得方法．使用裂项法求和时，要注意正、负项相消时消去了哪些项，保存了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．9.复数512iz i=+〔i 是虚数单位〕，那么||z =________．【解析】 【分析】化简复数，根据模长公式求解. 【详解】5(12)2(12)(12)i i z i i i -==++-，所以||z =故答案为【点睛】此题考察复数的根本运算，关键在于纯熟掌握复数的运算法那么，根据模长公式计算模长.10.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，那么不同的选法一共有_____________种．〔用数字填写上答案〕 【答案】16 【解析】 【分析】首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果.【详解】根据题意，没有女生入选有344C =种选法，从6名学生中任意选3人有3620C =种选法，故至少有1位女生入选，那么不同的选法一共有20416-=种，故答案是16.【点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少〞问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.三、解答题：(解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．其中第11题15分，12每一小题15分，13每一小题20分一共50分．){}n a 的前n 项和为n S ，123a =-，满足12n n n S a S ++=〔n ≥2〕．〔Ⅰ〕求1S ，2S ，3S 并猜测n S 表达式； 〔Ⅱ〕试用数学归纳法证明你的猜测． 【答案】〔Ⅰ〕123S =-，234S =-，345S =-，12n n S n +=-+〔Ⅱ〕见解析 【解析】 【分析】〔Ⅰ〕利用1(2)n n n a S S n -=-≥，化简整理得112n n S S -=-+〔n ≥2〕，依次代入数据，即可求解．〔Ⅱ〕根据数学归纳法步骤证明即可．【详解】〔Ⅰ〕由112n n n n n S a S S S -++==-，得112n n S S -=-+〔n ≥2〕． ∵ 123a =-， ∴ 123S =-， 2111322423S S =-=-=-+-+，3211432524S S =-=-=-+-+， 猜测：12n n S n +=-+．〔Ⅱ〕证明：① 当1n =时，左边＝1123S a ==-，右边＝11122123n n ++-=-=-++，猜测成立．② 假设当n k =〔*k N ∈〕时猜测成立，即12k k S k +=-+， 那么，()()()()11111221212231222k k k k k S k S k k k k k +++++=-=-=-=-=-++-++++++-++， 即当1n k =+时猜测也成立．根据①②，可知猜测对任何*n N ∈都成立．【点睛】此题考察数列中n a 和n S 的关系，利用数学归纳法证明猜测的公式，考察计算化简，推理证明的才能，属根底题．12.如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距()533+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间是？【答案】救援船到达D 点需要1小时．【解析】 【详解】5(33)906030,45,105sin sin •sin 5(33)?sin 455(33)?sin 45sin sin105sin 45?cos 60sin 60?cos 45AB DBA DAB ADB DB ABDAB DAB ADB AB DAB DB ADB =+∠=︒-︒=︒∠=︒∴∠=︒∆=∠∠∠+︒+︒∴===∠︒︒︒+︒︒解：由题意知海里，在中，由正弦定理得海里又海里中，由余弦定理得,海里，那么需要的时间是答：救援船到达D 点需要1小时13.如图，在四棱锥A BCDE -中，平面ABC ⊥平面BCDE ，090,2,1,2CDE BED AB CD DE BE AC ∠=∠======．〔1〕证明：DE ⊥平面ACD ； 〔2〕求二面角B AD E --的大小． 【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕6π． 【解析】试题分析：〔1〕依题意，易证AC ⊥平面BCDE ，于是可得AC DE ⊥，又DE DC ⊥，从而DE ⊥平面ACD ；〔2〕作BF AD ⊥，与AD 交于点F ，过点F 作//FG DE ，与AE交于点G ，连接BG ，由〔1〕知DE AD ⊥，那么FG AD ⊥，所以BFG ∠是二面角B AD E --的平面角，可在三角形BFG ∆中，利用解三角形的知识，即可求解BFG ∠的大小．试题解析：〔1〕证明：在直角梯形BCDE 中，由1,2DE BE CD ===得BD BC ==2AC AB ==得222AB AC BC =+，即AC BC ⊥． 又平面ABC ⊥平面BCDE ，从而AC ⊥平面BCDE ，所以AC DE ⊥，又DE DC ⊥，从而DE ⊥平面ACD ．〔2〕解：作BF AD ⊥，与AD 交于点F ，过点F 作//FG DE ，与AE 交于点G ，连接BG ，由〔1〕知DE AD ⊥，那么FG AD ⊥．所以BFG ∠是二面角B AD E --的平面角．在直角梯形BCDE 中，由222CD BC BD =+，得BD BC ⊥，又平面ABC ⊥平面BCDE ，得BD ⊥平面ABC ，从而BD AB ⊥，由于AC ⊥平面BCDE ，得AC CD ⊥．在Rt ACD ∆中，由2,AC DC ==AD =在Rt AED ∆中，由1,ED AD ==AE =在Rt ABD ∆中，由2,BD AB AD ===2,33BF AF AD ==，从而23GF =．在,ABE ABG ∆∆中，利用余弦定理分别可得2cos ,143BAE BG ∠==．在BFG ∆中，222cos 2GF BF BG BFG BF GF +-∠==⋅所以，6BFG π∠=，即二面角B AD E --的大小是6π．考点：直线与平面垂直的而断定与证明；二面角的求解．【方法点晴】此题主要考察了空间点、线、面的位置关系的断定与证明及二面角的求解等根底知识，着重考察了学生的空间想象才能和推理与论证才能，其中熟记线面位置关系的断定定理和性质定理是解答问题的关键，属于中档试题，此题第二问的解答中，找到BFG ∠是二面角B AD E --的平面角是解答的一个重点和难点．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
高二数学下学期开学考试试题 理含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校第十八二零二零—二零二壹高二数学下学期开学考试试题理〔含解析〕本卷须知：①试卷一共4页，答题卡2页.考试时间是是120分钟，总分值是150分； .第一卷〔选择题，一共60分〕一、选择题〔此题包括12小题.每一小题只有一个选项符合题意.每一小题5分，一共60分〕 1.假设集合A ={x |–2<x <1}，B={x |x <–1或者x >3}，那么A B =A.{x |–2<x <–1}B.{x |–2<x <3}C.{x |–1<x <1}D.{x |1<x <3}【答案】A 【解析】试题分析：利用数轴可知{}21A B x x ⋂=-<<-，应选A.【考点】集合的运算【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，假设集合个数比较少时可以用列举法表示；假设集合是无限集合就用描绘法表示，并注意代表元素是什么.集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或者韦恩图进展处理. 2.:p x R ∃∈， 1cos x >，那么〔〕A.:p x R ⌝∃∈, 1cos x ≤B.:p x R ⌝∀∈, 1cos x ≤C.:p x R ⌝∃∈, 1cos x <D.:p x R ⌝∀∈, 1cos x <【答案】B 【解析】详解：根据含有一个量词的否认，:,?1p x R cos x ∃∈>〞的否认是“:,?1p x R cos x ⌝∀∈≤〞，应选B ．点睛：此题主要考察了含有一个量词的否认，其中解答中熟记含有一个量词的否认形式是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能． 3.以下复数中虚部最大的是〔〕 A.92i + B.34i -C.()23i +D.()45ii +【答案】C 【解析】对于A ，虚部是2；对于B ，虚部是4-；对于C ，2(3)96186i i i +=+-=+，虚部是6；对于D ，(45)54i i i +=-+，虚部是4.∴虚部最大的是C 应选C.4.变量x ，y 满足约束条件x 2y 1x y 1y 10+≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，那么z=x-2y 的最大值为〔〕A.3-B.1C.3D.0【答案】B 【解析】 【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，再将目的函数z ＝x ﹣2y 对应的直线进展平移，可得当x ＝1，y ＝0时，z 获得最大值1．【详解】作出不等式组21110x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A 〔﹣1，1〕，B 〔2，1〕，C 〔1，0〕 设z ＝F 〔x ，y 〕＝x ﹣2y ，将直线l ：z ＝x ﹣2y 进展平移， 当l 经过点C 时，目的函数z 到达最大值 ∴z 最大值＝F 〔1，0〕＝1 应选B ．【点睛】此题给出二元一次不等式组，求目的函数z ＝x ﹣2y 的最大值，着重考察了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于根底题．5.假设角α的终边经过点(-，那么tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭〔〕A.B.【答案】B 【解析】由题意可得：tan α==- 那么：tan tan3tan 31tan tan 3παπαπα+⎛⎫+=== ⎪⎝⎭-. 此题选择B 选项.6.()712x x-的展开式中2x 的系数为〔〕A.84-B.84C.280-D.280【答案】C 【解析】由题意，根据二项式定理展开式的通项公式1C k n k kk n T ab -+=，得()712x -展开式的通项为()172kk kk T C x+=-，那么()712x x-展开式的通项为()1172kk k k T C x -+=-，由12k -=，得3k =，所以所求2x 的系数为()3372280C -=-.应选C.点睛：此题主要考察二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是常考知识点.在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式1C r n r rr n T ab -+=，再根据所求问题，通过确定未知的次数，求出r ，将r 的值代入通项公式进展计算，从而问题可得解.7.函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数.假设(1)1f =-，那么满足1(2)1f x -≤-≤的x 取值范围是〔〕 A.[2,2]- B.[1,1]-C.[0,4]D.[1,3]【答案】D 【解析】 【分析】 根据奇函数的性质由(1)1f =-，可以求出(1)f -的值，再利用函数的单调性结合1(2)1f x -≤-≤，可以求出x 取值范围. 【详解】()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-.(1)1f =-，(1)(1)1f f ∴-=-=.故由1(2)1f x -≤-≤，得(1)(2)(1)f f x f ≤-≤-.又()f x 在(,)-∞+∞单调递减，121x ∴-≤-≤，应选：D【点睛】此题考察了利用奇函数的单调性求解不等式问题，考察了数学运算才能.8.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如下列图，那么该几何体的正视图、侧视图与俯视图分别为() A.②①①B.②①②C.②④①D.③①①【解析】由可得正视图应当是②，排除D ；侧视图是一个正方形，中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，对角线的方向应该从左上到右下，即侧视图应当是①，排除C ；俯视图应当是①，排除B.应选A.点睛：作三视图时，首先要掌握三视图的规律，其次要掌握根本几何体的三视图．要注意三视图是由正投影得出的，其中看见的线用实线，看不见〔被面遮住的轮廓线〕用虚线表示． 9.执行如下列图的程序框图，那么输出S 的值是() A.4097 B.9217C.9729D.20481【答案】B 【解析】阅读流程图可知，该流程图的功能是计算：229122232102S =⨯+⨯+⨯++⨯，那么234102122232102S=⨯+⨯+⨯++⨯，以上两式作差可得：102310111012222210210212S --=++++-⨯=-⨯-，那么：109219217S=⨯+=.此题选择B 选项.10.设双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与抛物线2y x =的一个交点的横坐标为0x ，假设01x >，那么双曲线C 的离心率e 的取值范围是〔〕A.(B.()1,2C.)2D.()1,3【答案】A 【解析】根据题意，求得两曲线的交点坐标，根据01x >，求得0,,a b x 之间的不等关系，即可求得结果.【详解】不妨设交点为()00,Px y ，故可得200y x =，不妨取00y x =，又因为点P 在渐近线上，故可得00bx x a= 整理可得0a x b =，由01x >，可得1ba<，故212b e a ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，又因为1e >， 故可得()1,2e ∈.应选：A【点睛】此题考察双曲线离心率范围的求解，涉及抛物线方程，属综合根底题. 11.定义在R 上的函数()f x ，()g x ，其中()g x 为偶函数，当0x >时，'()0g x >恒成立；且()f x 满足：①对x R ∀∈，都有(3)(3)f x f x +=-；②当[3,3]x ∈-时，3()3f x x x =-.假设关于x 的不等式2[()](2)g fx g a a ≤-+对3323,2322x ⎡⎤∀∈---⎢⎥⎣⎦恒成立，那么a 的取值范围是〔〕 A.RB.[0,1]C.133133,2424⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦D.(,0][1,)-∞⋃+∞【答案】D 【解析】∵函数()g x 满足：当0x >时，()0g x '>恒成立，∴函数()g x 为R 上的偶函数，且在[0)+∞，上为单调递增函数，且有(||)()g x g x =，∴2[()](2)g f x g a a ≤-+，33232322x ⎡⎤∈---⎢⎥⎣⎦，恒成立2|()||2|f x a a ⇔-+≤恒成立，只要使得定义域内2max min |()||2|f x a a -+≤，由(3)(3)f x f x +=-，得(23)()f x f x +=，即函数()f x 的周期23T=，∵[33]x ∈-，时，3()3f x x x =-，求导得2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，该函数过点(30)(00)(30)-，，，，，，如图，且函数在1x =-处获得极大值(1)2f -=，在1x =处获得极小值(1)2f =-，即函数()f x 在R 上的最大值为2，∵33232322x ⎡⎤∈---⎢⎥⎣⎦，，函数的周期是23，∴当33232322x ⎡⎤∈---⎢⎥⎣⎦，时，函数()f x 的最大值为2，由22|2|a a -+≤，即222a a -+≤，那么20a a -≥，解得1a ≥或者0a ≤.应选D ．【点睛】此题考察了利用导函数求得函数在定义域上为单调递增函数，还考察了函数的周期的定义，及利用周期可以求得[33]x ∈-，时，3()3f x x x =-的值域为[22]-，，还考察了函数恒成立． 12.在三棱锥P ABC -中，90BAC ∠=，4AB AC ==，10PA =，2PC =，侧面PAC ⊥底面ABC ，那么三棱锥P ABC -外接球的外表积为〔〕A.24πB.28πC.32πD.36π【答案】D 【解析】如图，取BC 的中点D ，连接AD ，过P 作PE ⊥平面ABC ，交AC 于点E ，过E 作//EF BC ，交AD 于点F ，以D 为原点，DB 为x 轴，AD 为y 轴，过D 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，那么11616222DA DB DC ==+=，22AP AE -22PC CE =-22102(4)AE AE ---3AE =，1CE =，1PE =，AF EF =00)B ，，1P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设球心(00)O t ，，，那么OB OP ==，解得1t=-，∴三棱锥P ABC -的外接球的半径R =3=，∴三棱锥P ABC -外接球的外表积为244936S R =π=π⨯=π.应选D ．第二卷〔本卷一共90分〕二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分〕 13.假设向量()21,m k k =-与向量()4,1n =一共线，那么k =__________．【答案】12- 【解析】 因为向量()21,m k k =-与向量()4,1n =一共线，所以12140,.2kk k --==-14.假设在区间⎡⎤⎣⎦上随机取一个数k ，那么“直线y kx =+222x y +=相交〞的概率为______.【答案】2【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系，即可求得k 的取值范围，结合几何概型的概率求解，即可容易求得.【详解】因为直线y kx =+222x y +=相交，<212k >，解得2k >或者2k <-.又k ∈⎡⎤⎣⎦，故可得222k ⎡⎛⎤∈-⋃ ⎢⎥ ⎣⎭⎝⎦.由几何概型的概率求解，那么满足题意的概率2222222222222P -+-===-++. 故答案为：22-.【点睛】此题考察由直线与圆的位置关系求参数范围，涉及几何概型的概率求解，属综合根底题.15.f (x )＝23,123,1x x x x x +≤⎧⎨-++>⎩，那么函数g (x )＝f (x )－e x的零点个数为________． 【答案】2 【解析】 【详解】把函数的零点个数转化为方程解的个数转化为两个函数图象与象交点的个数，在同一坐标系中画出这两个函数的图象，由图象可知，函数g (x )＝f (x )－e x的零点个数为2. 16.记{}ave,,a b c 表示实数a ，b ，c 的平均数，{}max ,,a b c 表示实数a ，b ，c 的最大值，设11ave 2,,122A x x x ⎧⎫=-++⎨⎬⎩⎭，11max 2,,122M x x x ⎧⎫=-++⎨⎬⎩⎭，假设31M A =-，那么x 的取值范围是__________． 【答案】{|4x x =-或者}2x ≥．【解析】【详解】作出112122Mmax x x x ⎧⎫=-++⎨⎬⎩⎭，的图象如下列图由题意113A x =+，故0310x x A x x x -<⎧-==⎨≥⎩，，∴当0x <时，122x x -=-+，得4x =- 当01x ≤<时，122x x =-+，得43x =，舍去当12x ≤<时，112x x =+，得2x =，舍去 当2x≥时，x x =，恒成立综上所述，x 的取值范围是{}|42x x x =-≥或三、解答题：〔此题包括6题，一共70分〕解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 17.等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为n S ，假设570S =，且2a ，7a ，22a 成等比数列. 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1368nT ≤<. 【答案】〔1〕()42n a n n N *=+∈〔2〕详见解析【解析】 【分析】〔1〕根据等差数列前n 项和公式以及等比中项、等差数列通项公式列方程组，解方程组求得1,a d ，由此求得数列{}n a 的通项公式.〔2〕由〔1〕求得数列{}n a 的前n 项和n S 的表达式，由此求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的表达式，利用裂项求和法求得n T 的的表达式，进而根据单调性等知识求得n T 的取值范围. 【详解】解：(1)解：因为数列{}n a 是等差数列，所以()11na a n d +-=，()112n n n S na d -=+ 依题意，有52722270,.S a a a =⎧⎨=⎩ 即()()()1211151070621a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得16a =，4d =.所以数列{}n a 的通项公式为()42n a n n N *=+∈.(2)证明：由(1)可得224nS n n =+.所以()21112422n S n n n n ==++111()42n n =-+. 所以123111111n n n T S S S S S -=+++++=11111111143424435⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111141142n n n n ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭11113111142128412n n n n ⎛⎫⎛⎫+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭.因为311108412nT n n ⎛⎫-=-+< ⎪++⎝⎭，所以38n T <. 因为11110413n nT T n n +⎛⎫-=-> ⎪++⎝⎭，所以数列{}n T 是递增数列，所以116n T T ≥=，所以1368n T≤<. 【点睛】本小题主要考察等差数列通项和前n 项和根本量的计算，考察等比中项的性质，考察裂项求和法，考察数列的单调性以及数列的取值范围的求法，属于中档题. 18.点，1)，Q(cosx ，sinx)，O 为坐标原点，函数()f x OP QP =⋅.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)假设A 为△ABC 的内角，f(A)＝4，BC ＝3，△ABC 的面积为4，求△ABC 的周长． 【答案】〔1〕2π；〔2〕3+【解析】【详解】(1)由题易知，()3,1OP=，()3cos ,1sin QP x x=-，所以())cos 1sin 42sin 3f x x x x π⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2π.(2)因为()4f A =，所以sin 03A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，那么3x k ππ+=，k Z ∈，即,3xk k Zππ=-∈，因为0A π<<，所以23A π=，因为ABC 的面积1sin 2S bc A ==，所以3bc =.由2222cos a b c bc A =+-，可得226b c +=，所以222()212b c b c bc +=++=，即b c +=，所以ABC 的周长为3+19.根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如下列图． 〔1〕[30，40〕，[40，50〕，[50，60〕三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求,a b 的值； 〔2〕该电子商务平台将年龄在[30，50〕内的人群定义为高消费人群，其他年龄段的人群定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进展回访，求此3人获得代金券总和X〔单位：元〕的分布列与数学期望．【答案】〔1〕0.035,0.025；〔2〕见解析 【解析】 【分析】 〔1〕根据题意[)[)[)30,40,40,50,50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，列出方程组，即可求解；〔2〕利用分层抽样的方法，从中取出三人，得出三人所获得代金券的总和X的取值，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解. 【详解】〔1〕由题意知[)[)[)30,40,40,50,50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，所以(0.0150.0150.010)10120.015a b b a ++++⨯=⎧⎨=+⎩，解得0.035,0.025a b ==.〔2〕利用分层抽样从样本中抽取10人，其中属于高消费人群的为6人属于潜在消费人群的为4人，从中取出三人，并计算三人所获得代金券的总和X，那么X的所有可能取值为：150,200,250,300，32166433101011(150),(200)62C C C P X P X C C ======，12364433101031(250),(300)1030C C C P X P X C C ======，∴X的分布列为()150200250300210621030E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】此题主要考察了离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题. 20.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，36AD BC ==，PB =点M 在线段AD 上，且4MD =，AD AB ⊥，PA ⊥平面ABCD .〔1〕求证：平面PCM⊥平面PAD ；〔2〕当四棱锥P ABCD -的体积最大时，求平面PCM 与平面PCD 所成二面角的余弦值.【答案】〔1〕见解析;〔2. 【解析】 【详解】〔1〕由6,4AD DM ==可得2AM =，易得四边形ABCM 是矩形，∴CM AD ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴PA CM ⊥，又PMAD M ⋂=，,PM AD ⊂平面PAD ，∴CM ⊥平面PAD ，又CM⊂平面PCM ，∴平面PCM ⊥平面PAD〔2〕四棱锥P ABCD -的体积为()114323VAD BC AB PA AB PA =⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅， 要使四棱锥P ABCD -的体积取最大值，只需AB PA ⋅获得最大值.由条件可得22272PA AB PB +==，∴722PA AB ≥⋅，即36PA AB ⋅≤， 当且仅当6PA AB ==时，PA AB ⋅获得最大值36.分别以,,AP AB AD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -.那么()6,0,0P，()0,6,2C ，()0,0,6D ，()0,0,2M ，()6,6,2PC =-，()6,0,6PD =-，()6,0,2PM =-，设平面PCD 的一个法向量为()1111,,n x y z =，由10n PC ⋅=，10n PD ⋅=可得111116620660x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩，令12y =可得()13,2,3n =， 同理可得平面PCM 的一个法向量为()21,0,3n =，设平面PCM 与平面PCD 所成二面角为θ，121210n n cos n nθ⋅===⋅由于平面PCM 与平面PCD 21.椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k 〔k>0〕的直线交E 于A ，M 两点，点N在E 上，MA⊥NA. 〔Ⅰ〕当t=4，AM AN=时，求△AMN 的面积；〔Ⅱ〕当2AM AN=时，求k 的取值范围.【答案】〔Ⅰ〕14449；〔Ⅱ〕)2.【解析】试题分析：〔Ⅰ〕先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN 的面积；〔Ⅱ〕设()11,M x y ，写出A 点坐标，并求直线AM 的方程，将其与椭圆方程组成方程组，消去y ，用,t k 表示1x ，从而表示AM，同理用,t k 表示AN ，再由2AM AN=及t 的取值范围求k 的取值范围.试题解析：〔Ⅰ〕设()11,M x y ，那么由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22143x y +=，()2,0A -.由及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或者127y =，所以1127y =.因此AMN 的面积AMNS11212144227749=⨯⨯⨯=. 〔Ⅱ〕由题意3t >，0k >，()A .将直线AM的方程(y k x =+代入2213x y t +=得()22222330tk x x t k t +++-=.由(221233t k tx tk -⋅=+得)21233tk xtk -=+，故1AM x =+=.由题设，直线AN 的方程为(1y x k=-，故同理可得AN ==，由2AM AN=得22233ktk k t=++，即()()32321kt k k -=-.当k=因此()33212k k tk -=-.3t >等价于()()232332122022k k k k k k k -+-+-=<--， 即3202k k -<-.由此得320{20k k ->-<，或者320{20k k -<->2k <<.因此k 的取值范围是)2.【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系【名师点睛】由直线〔系〕和圆锥曲线〔系〕的位置关系，求直线或者圆锥曲线中某个参数〔系数〕的范围问题，常把所求参数作为函数值，另一个元作为自变量求解． 22.函数2()(23)e x f x x ax a =+--．〔1〕假设2x=是函数()f x 的一个极值点，务实数a 的值．〔2〕设0a <，当[1,2]x ∈时，函数()f x 的图象恒不在直线2e y =的上方，务实数a 的取值范围．【答案】〔1〕5a =-；〔2〕[2,0)e --． 【解析】 【详解】〔1〕由()()223e x f x x ax a =+--可得()()()()222e 23e 23e x x xf x x a x ax a x a x a ⎡⎤=+++--=++--⎣⎦'，∵2x =是函数()f x 的一个极值点，∴()20f '=，∴()25e 0a +=，计算得出5a =-．代入()()()()()31e 21e x x f x x a x x x =++=--'-，当12x <<时，()0f x '<；当2x >时，()0f x '>，∴2x=是()f x 的极值．∴5a =-． 〔2〕当[]1,2x ∈时，函数()f x 的图象恒不在直线2e y =上方，等价于[]1,2x ∈，()2e f x ≤恒成立，即[]1,2x ∈，()2max e f x ≤恒成立，由〔1〕知，()()()31e x f x x a x =++-'，令()0f x '=，得13x a =--，21x =，当5a ≤-时，32a --≥，∴()f x 在[]1,2x ∈单调减，()()()2max 12e e f x f a ==--≤，e 2a ≥--与5a ≤-矛盾，舍去．当54a -<<-时，132a <--<，()f x 在()1,3x a ∈--上单调递减，在()3,2x a ∈--上单调递增，∴()max f x 在()1f 或者()2f 处取到，()()12f a e =--，()22f e =，∴只要()()212e f a e =--≤，计算得出e 24a --≤<-． 当40a -≤<时，31a --≤，()f x 在[]1,2x ∈上单调增，()()max 2x f x f e ==，符合题意，∴实数a 的取值范围是[)e 2,0--．。
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高二下学期开学测试（理科数学）一、选择题（共12小题，每题5分）1．已知集合A ＝{x|x<1}，B ＝{x|3x <1}，则( ) A ．A ∩B ＝{x|x<0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x|x>1}D ．A ∩B ＝∅2．设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z|等于( ) A ．12B ．22C ． 2D ．23.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A ．14B ．π8C ．12D ．π44.设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（）A.2B.3C.4D.5 5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.13π+ B.23π+ C.123π+ D.223π+6.“1x >”是“12log (2)0x +<的”（ ）A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件7.执行右侧的程序框图，如果输入的a ＝－1，则输出的S 等于( ) A ．-4 B ．-3 C ．2 D ．38.已知F 1、F 2为双曲线的焦点，过F 2垂直于实轴的直线交双曲线于A 、B 两点，BF 1交y 轴于点C ，若AC ⊥BF 1，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．2D ．29.若函数y ＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f(x)具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝lnxC ．y ＝exD ．y ＝sinx10.已知正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE ，SD 所成的角的余弦值为( ) A ．31B ．32 C ．33D ．3211.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px(p>0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM 的斜率的最大值为( )A ．1B ．32C ．33D ．2212．已知函数f(x)＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a 等于( )A ．－12B ．13C ．12D ．1二、填空题（共4小题，每题5分）13.设向量＝(m,1)，＝(1,2)，且| |2＝||2＋||2，则m ＝________.14.已知sin 31cos )6(=--ααπ，则cos （32πα+）= .15.已知函数f(x)＝x 3－2x ＋e x－1ex ，其中e 是自然对数的底数，若f(a －1)＋f(2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．16.已知椭圆E 的中心为原点O ，焦点在x 轴上，E 上的点与E 的两个焦点构成的三角形面积的最大值为12，直线01254=++y x 交椭圆于E 于N M ,两点.设P 为线段MN 的中点，若直线OP 的斜率等于54，则椭圆方程为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.）17.(10分)如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图：注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)(2)预测2018年我国生活垃圾无害化处理量． 附注： 参考数据：i ＝9.32，ii y ＝40.17，＝0.55，≈2.646.参考公式：回归方程＝＋t 中斜率和截距最小二乘估计公式分别为＝=∑∑-=--ni ini iitn ty t n yt 1221，＝－.18.(12分)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+12n a n 的前n 项和． 19.(12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC的面积为Aa sin 32.(1)求sin Bsin C ；(2)若6cos Bcos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．20.（12分）在如图所示的五面体中，面ABCD 为直角梯形，∠BAD=∠ADC=，平面ADE ⊥平面ABCD ，EF=2DC=4AB=4，△ADE 是边长为2的正三角形． （1）证明：BE ⊥AC ；（2）求二面角A ﹣BC ﹣F 的余弦值．21.(12分)已知椭圆12222=+by a x （a ＞b＞0）的离心率36=e ，过点A （0，﹣b ）和B （a ，0）的直线与原点的距离为23．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．22.(12分)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a<0时，证明f(x)≤－34a－2.高二下学期开学考试答案（理科） 一选择题：1-5 ACBBA 6-10 BDBDC 11,12 DC 二填空题： 13.-2 14.97 15.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,1 16.1162522=+y x17. 解：（1）（2）将2018年对应的t ＝11代入回归方程得y ^＝0.92＋0.10×11＝2.02.所以预测2018年我国生活垃圾无害化处理量将约为2.02亿吨． 18.解 (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ， 故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)， 两式相减，得(2n －1)a n ＝2， 所以a n ＝22n －1(n ≥2)．又由题设可得a 1＝2，满足上式， 所以{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)记⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n . 由(1)知a n 2n ＋1＝22n ＋12n －1＝12n －1－12n ＋1，则S n ＝11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n2n ＋1.19.解 (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a 3sin A .由正弦定理，得12sin C sin B ＝sin A3sin A ，故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)，得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题意得12bc sin A ＝a 23sin A ，a ＝3，所以bc ＝8.由余弦定理，得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9.由bc ＝8，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33. 20.21.解：（1）∵直线过点A（0，﹣b）和B（a，0），∴直线L：与坐标原点的距离为，∴=．①∵椭圆的离心率e=，∴．②由①得4a2b2=3a2+3b2，即4a2（a2﹣c2）=3a2+3（a2﹣c2）③由②③得a2=3，c2=2∴b2=a2﹣c2=1∴所求椭圆的方程是+y2=1（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，消去y可得：（1+3k2）x2+12kx+9=0 ∴△=36k2﹣36＞0，∴k＞1或k＜﹣1设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），则有x 1+x 2=，x 1x 2=∵=（x 1+1，y 1），=（x 2+1，y 2），且以CD 为圆心的圆过点E ， ∴EC ⊥ED∴（x 1+1）（x 2+1）+y 1y 2=0∴（1+k 2）x 1x 2+（2k +1）（x 1+x 2）+5=0 ∴（1+k 2）×+（2k +1）×+5=0，解得k =＞1，∴当k =时以CD 为直径的圆过定点E 22..解 (1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x ＋2ax ＋2a ＋1＝x ＋12ax ＋1x.若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a <0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞时，f ′(x )<0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞上单调递减．(2)证明 由(1)知，当a <0时，f (x )在x ＝－12a处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －1－14a ，所以f (x )≤－34a －2等价于ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －1－14a ≤－34a －2，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12a＋1≤0.设g (x )＝ln x －x ＋1， 则g ′(x )＝1x－1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 故当x ＝1时，g (x )取得最大值，最大值为g (1)＝0. 所以当x >0时，g (x )≤0.从而当a <0时，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12a＋1≤0，即f (x )≤－34a －2.。