椭圆及其标准方程基础练习

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椭圆的定义与标准方程__基础练习（含答案）

椭圆的定义与标准方程一．选择题（共19小题）1．若F1（3，0），F2（﹣3，0），点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是（）A．B．C．D．或2．一动圆与圆x2+y2+6x+5=0及圆x2+y2﹣6x﹣91=0都内切，则动圆圆心的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆3．椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（）A．4B．5C．6D．10 4．已知坐标平面上的两点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P到A、B两点距离之和为常数2，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．线段5．椭圆上一动点P到两焦点距离之和为（）A．10 B．8C．6D．不确定6．已知两点F1（﹣1，0）、F2（1，0），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是（轨迹方程是（）A．B．C．D．7．已知F1、F2是椭圆=1的两焦点，经点F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF 1|+|BF1|等于（等于（）A．16 B．11 C．8D．38．设集合A={1，2，3，4，5}，a，b∈A，则方程表示焦点位于y轴上的椭圆（）A．5个B．10个C．20个D．25个9．方程=10，化简的结果是（，化简的结果是（）A．B．C．D．10．平面内有一长度为2的线段AB和一动点P，若满足|PA|+|PB|=8，则|P A|的取值范围是（围是（）A．[1，4]B．[2，6]C．[3，5]D．[3，6]11．设定点F1（0，﹣3），F2（0，3），满足条件|PF1|+|PF2|=6，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．椭圆或线段或不存在圆或线段或不存在 D．不存在存在12．已知△ABC 的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A 的轨迹方程是（是（） A ．（x ≠0）B ．（x ≠0） C ．（x ≠0）D ．（x ≠0）13．已知P 是椭圆上的一点，则P 到一条准线的距离与P 到相应焦点的距离之比为（比为（）A ．B ．C ．D ．14．平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以A ．B 为焦点的椭圆”，那么（，那么（） A ．甲是乙成立的充分不必要条件是乙成立的充分不必要条件 B ．甲是乙成立的必要不充分条件是乙成立的必要不充分条件 C ．甲是乙成立的充要条件是乙成立的充要条件 D ．甲是乙成立的非充分非必要条件是乙成立的非充分非必要条件15．如果方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（的取值范围是（）A ． 3＜m ＜4 B ．C ．D ．16．“mn ＞0”是“mx 2+ny 2=mn 为椭圆”的（的（）条件．）条件． A ．必要不充分要不充分 B ．充分不必要分不必要 C ．充要 D ．既不充分又不必要不充分又不必要17．已知动点P （x 、y ）满足10=|3x+4y+2|，则动点P 的轨迹是（） A ．椭圆 B ．双曲线曲线C ．抛物线物线D ．无法确定法确定18．已知A （﹣1，0），B （1，0），若点C （x ，y ）满足=（） A ． 6 B ．4 C ．2 D ．与x ，y 取值有关取值有关19．在椭圆中，F 1，F 2分别是其左右焦点，若|PF 1|=2|PF 2|，则该椭圆离心率的取值范围是（离心率的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．二．填空题（共7小题） 20．方程+=1表示椭圆，则k 的取值范围是的取值范围是 _________ ．21．已知A （﹣1，0），B （1，0），点C （x ，y ）满足：，则|AC|+|BC|=_________ ．22．设P 是椭圆上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则PF 1+PF 2= _________ ．23．若k ∈Z ，则椭圆的离心率是的离心率是 _________ ．24．P 为椭圆=1上一点，M 、N 分别是圆（x+3）2+y 2=4和（x ﹣3）2+y 2=1上的点，则|PM|+|PN|的取值范围是的取值范围是 _________ ． 25．在椭圆+=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标是标是 _________ ．26．已知⊙Q ：（x ﹣1）2+y 2=16，动⊙M 过定点P （﹣1，0）且与⊙Q 相切，则M 点的轨迹方程是：迹方程是： _________ ．三．解答题（共4小题）27．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f （x ）满足，且当x ＞1时f （x ）＜0．（1）求f （1）的值）的值（2）判断f （x ）的单调性）的单调性（3）若f （3）=﹣1，解不等式f （|x|）＜2 28．已知对任意x ．y ∈R ，都有f （x+y ）=f （x ）+f （y ）﹣t （t 为常数）并且当x ＞0时，f （x ）＜t （1）求证：f （x ）是R 上的减函数；上的减函数；（2）若f （4）=﹣t ﹣4，解关于m 的不等式f （m 2﹣m ）+2＞0．29．已知函数y=f（x）的定义域为R，对任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），且对任意x＞0，都有f（x）＜0，f（3）=﹣3．上的单调减函数；（1）试证明：函数y=f（x）是R上的单调减函数；）是奇函数；（2）试证明：函数y=f（x）是奇函数；）上的值域．（3）试求函数y=f（x）在[m，n]（m、n∈Z，且mn＜0）上的值域．30．已知函数是奇函数．是奇函数．恒成立．（1）求a的值；（2）求证f（x）是R上的增函数；（3）求证xf（x）≥0恒成立．参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．若F1（3，0），F2（﹣3，0），点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是（）A．B．C．D．或考点：椭圆的定义。

椭圆的定义和标准方程基础练习[含答案解析]

. WORD格式.资料.椭圆的定义与标准方程一．选择题（共19小题）或22223．椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（）5．椭圆上一动点P到两焦点距离之和为（）B7．已知F1、F2是椭圆=1的两焦点，经点F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（）8．设集合A={1，2，3，4，5}，a，b∈A，则方程表示焦点位于y轴上的椭圆（）9．方程=10，化简的结果是（）B（x≠0）（x≠0）（x≠0）（x≠0）13．已知P是椭圆上的一点，则P到一条准线的距离与P到相应焦点的距离之比为（）B14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A．B为焦15．如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）2217．已知动点P（x、y）满足10=|3x+4y+2|，则动点P的轨迹是（）18．已知A（﹣1，0），B（1，0），若点C（x，y）满足=（）19．在椭圆中，F1，F2分别是其左右焦点，若|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是（）B二．填空题（共7小题）20．方程+=1表示椭圆，则k的取值范围是_________ ．21．已知A（﹣1，0），B（1，0），点C（x，y）满足：，则|AC|+|BC|= _________ ．22．设P是椭圆上的点．若F1、F2是椭圆的两个焦点，则PF1+PF2= _________ ．23．若k∈Z，则椭圆的离心率是_________ ．24．P为椭圆=1上一点，M、N分别是圆（x+3）2+y2=4和（x﹣3）2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的取值范围是_________ ．25．在椭圆+=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标是_________ ．26．已知⊙Q：（x﹣1）2+y2=16，动⊙M过定点P（﹣1，0）且与⊙Q相切，则M点的轨迹方程是：_________ ．三．解答题（共4小题）27．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足，且当x＞1时f（x）＜0．（1）求f（1）的值（2）判断f（x）的单调性（3）若f（3）=﹣1，解不等式f（|x|）＜228．已知对任意x．y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）﹣t（t为常数）并且当x＞0时，f（x）＜t（1）求证：f（x）是R上的减函数；（2）若f（4）=﹣t﹣4，解关于m的不等式f（m2﹣m）+2＞0．29．已知函数y=f（x）的定义域为R，对任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），且对任意x＞0，都有f（x）＜0，f（3）=﹣3．（1）试证明：函数y=f（x）是R上的单调减函数；（2）试证明：函数y=f（x）是奇函数；（3）试求函数y=f（x）在[m，n]（m、n∈Z，且mn＜0）上的值域．30．已知函数是奇函数．（1）求a的值；（2）求证f（x）是R上的增函数；（3）求证xf（x）≥0恒成立．参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）或，，22223．椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（），∴a=5，5．椭圆上一动点P到两焦点距离之和为（）B7．已知F1、F2是椭圆=1的两焦点，经点F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（）8．设集合A={1，2，3，4，5}，a，b∈A，则方程表示焦点位于y轴上的椭圆（）9．方程=10，化简的结果是（）B）的距离，所以椭圆的方程为：．（x≠0）（x≠0）（x≠0）（x≠0）13．已知P是椭圆上的一点，则P到一条准线的距离与P到相应焦点的距离之比为（）Bc===14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A．B为焦15．如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）．22可化为17．已知动点P（x、y）满足10=|3x+4y+2|，则动点P的轨迹是（），等式左边为点到定直线的距离的，由椭圆定义即可判断解：∵10的距离的18．已知A（﹣1，0），B（1，0），若点C（x，y）满足=（），整理得：．可知点）满足，．c=19．在椭圆中，F1，F2分别是其左右焦点，若|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是B代入得，，即，即故该椭圆离心率的取值范围是二．填空题（共7小题）20．方程+=1表示椭圆，则k的取值范围是k＞3 ．+=1表示椭圆，则解：方程=121．已知A（﹣1，0），B（1，0），点C（x，y）满足：，则|AC|+|BC|= 4 ．，按照椭圆的第二定义，=，∴a=2，22．设P是椭圆上的点．若F1、F2是椭圆的两个焦点，则PF1+PF2= 10 ．解：椭圆是椭圆上的点，23．若k∈Z，则椭圆的离心率是．，=，=故答案为24．P为椭圆=1上一点，M、N分别是圆（x+3）2+y2=4和（x﹣3）2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的取值范围是[7，13] ．+解：依题意，椭圆25．在椭圆+=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标是．+=1解：由椭圆+，右准线方程为：=2﹣x=故答案为：26．已知⊙Q：（x﹣1）2+y2=16，动⊙M过定点P（﹣1，0）且与⊙Q相切，则M点的轨迹方程是：=1 ．=故答案为：三．解答题（共4小题）27．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足，且当x＞1时f（x）＜0．（1）求f（1）的值（2）判断f（x）的单调性（3）若f（3）=﹣1，解不等式f（|x|）＜2，（，，或28．已知对任意x．y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）﹣t（t为常数）并且当x＞0时，f（x）＜t（1）求证：f（x）是R上的减函数；（2）若f（4）=﹣t﹣4，解关于m的不等式f（m2﹣m）+2＞0．29．已知函数y=f（x）的定义域为R，对任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），且对任意x＞0，都有f（x）＜0，f（3）=﹣3．（1）试证明：函数y=f（x）是R上的单调减函数；（2）试证明：函数y=f（x）是奇函数；（3）试求函数y=f（x）在[m，n]（m、n∈Z，且mn＜0）上的值域．30．已知函数是奇函数．（1）求a的值；（2）求证f（x）是R上的增函数；（3）求证xf（x）≥0恒成立．是奇函数，其定义域为）∵函数的定义域为）可得＞＞=﹣。

椭圆及其标准方程练习题

圆锥曲线标准方程复习题1 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F =2a ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点21,F F 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（2c ）2、椭圆定义的符号表述：1222MF MF a c +=>3、椭圆标准方程：12222=+by a x椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的性质（1）)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k by a x 。

（2）)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k by a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 一．椭圆专题：1.椭圆两焦点为 1(4,0)F -，2(4,0)F ，P 在椭圆上，若 △12PF F 面积最大值为12，则椭圆方程为（）A.221169x y += B . 221259x y += C . 2212516x y += D . 221254x y += 2．焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P(0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.求椭圆的标准方程.3.椭圆2214x y +=的两个焦点为12F F ，，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF 等于4.已知椭圆的方程为18222=+my x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（） A.228m - B.2m -22 C.282-m D.222-m5.椭圆171622=+y x 的左右焦点为21,F F ，一直线过1F 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为（）6.已知12F 、F p 为椭圆C 上一点，且7. 已知点P 在椭圆1244922=+y x 上，F 1、F 2是椭圆的焦点，且PF 1求（1）| PF 1 |·| PF 2 | （2）△PF 1F 2的面积8. 椭圆1244922=+x y 上一点P 与两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21的面积为（）A. 20B. 22C. 28D. 24`9.椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（）A. 0B. 1C. 3D. 610（2012新课标）设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b +（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（）A ．12 B ．23 C ．34 D ．4511.在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．（2013新课标）12设椭圆C ：12222=+by a x (a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C上的点PF 2⊥F 1F 2，∠P F 1F 2=30。

椭圆及其标准方程练习题五

椭圆练习题一1.如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（）A ()+∞,0B ()2,0C ()+∞,1D ()1,02.椭圆122=+my x 的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（）A ．41B ．21 C ．2 D ．4 3.椭圆2214x y +=的两个焦点为12F F ，，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF 等于（）Ｃ．72 Ｄ．44.椭圆22213x y m m+=-的一个焦点为(01)，，则m 等于（）Ａ．1 Ｂ．2-或1Ｄ．535.椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为1F ，且满足1ABF △为等边三角形，则a c =（）Ａ．14 Ｂ．126.21,F F 是椭圆17922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则 Δ12AF F 的面积为（）A 7B 47C 27D 257 7.已知椭圆的方程为18222=+my x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（） A.228m - B.2m -22 C.282-m D.222-m 8.方程1)42sin(322=+-παy x 表示椭圆，则α的取值范围是（）Ａ. 838παπ≤≤- Ｂ. k k k (838ππαππ+<<-∈Ｚ）Ｃ. 838παπ<<- Ｄ. k k k (83282ππαππ+<<-∈Ｚ） 9.已知F 1, F 2是定点，| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F 1|+|M F 2|=8，则点M 的轨迹是（）（A ）椭圆（B ）直线（C ）圆（D ）线段 10.1244922=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21F PF 的面积为（）A 20B 22C 28D 2411.已知M 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，两焦点为12,F F ，点P 是12MF F ∆的内心，连接MP 并延长交21F F 于N ，则||||PN MP 的值为（） A ．22b a a - B ．22b a b- C ．b b a 22- D ．b b a 22- 12.椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 13.椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为14.1,6==c a ,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是 15.椭圆以坐标轴为对称轴，长、短半轴之和为10，焦距为45，则椭圆方程为 .16.P 点在椭圆452x +202y =1上，F 1，F 2是椭圆的焦点，若PF 1⊥PF 2，则P 点的坐标是 . 17.椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k18.椭圆14922=+y x 的焦点1F 、2F ，点P 为其上的动点，当∠1F P 2F 为钝角时,点P 横坐标的取值范围是19.设直线l ：y ＝2x ＋2，若l 与椭圆x 2＋y 24＝1的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使△P AB 的面积为2－1的点P 的个数为________20.两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10的椭圆方程为，两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,25）的椭圆方程为21.若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个顶点，且焦点1，求椭圆的方程．。

【重点推荐】2019高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程作业1 北师大版选修1-1

2.1.1 椭圆及其标准方程[基础达标]1.椭圆2x 2＋y 2＝8的焦点坐标是( ) A ．(±2，0) B ．(0，±2) C ．(±23，0) D ．(0，±23)解析：选B.椭圆标准方程为x 24＋y 28＝1，∴椭圆焦点在y 轴上，且c 2＝8－4＝4， ∴焦点坐标为(0，±2)．2.椭圆x 225＋y 2m＝1的一个焦点坐标为(3，0)，那么m 的值为( )A ．－16B ．－4C ．16D ．4解析：选C.焦点在x 轴且c ＝3，由25＝m ＋9，∴m ＝16.3.已知方程x 2k ＋1＋y23－k＝1(k∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是( )A ．k <1或k >3B ．1<k <3C ．k >1D ．k <3 解析：选B.由题意知k ＋1>3－k >0，∴1<k <3.4.过点(－3，2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程是( )A.x 215＋y 210＝1B.x 2225＋y 2100＝1C.x 210＋y 215＝1 D.x 2100＋y 2225＝1 解析：选A.c 2＝9－4＝5，由题意可设所求椭圆方程为x 2b 2＋5＋y 2b 2＝1，代入(－3，2)得9b 2＋5＋4b 2＝1，∴b 2＝10，椭圆方程为x 215＋y 210＝1. 5.如图，椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到焦点F 1的距离为2，N 为MF 1的中点，则|ON |(O 为坐标原点)的值为( )A ．8B ．2C ．4 D.32解析：选C.由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，又|MF 1|＝2，∴|MF 2|＝8，由于N 为MF 1的中点，ON 为中位线，∴|ON |＝12|MF 2|＝4.6.已知两定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹方程是________．解析：由题意得：|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4>|F 1F 2|＝2， ∴动点P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆，且a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3，轨迹方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝17.已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________．解析：由于|AB |＋|F 2A |＋|F 2B |＝4a ＝20，∴|AB |＝20－(|F 2A |＋|F 2B |)＝20－12＝8. 答案：88.若方程x 2k －2＋y 25－k＝1表示椭圆，则实数k 的取值范围是________．解析：由方程x 2k －2＋y 25－k＝1表示椭圆，可得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，5－k >0，k －2≠5－k ，解得2<k <5且k ≠72.即当2<k <72或72<k <5时，方程x 2k －2＋y 25－k＝1表示椭圆．答案：(2，72)∪(72，5)9.设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点，(1)PF 1⊥PF 2，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值． (2)当∠F 1PF 2为钝角时，|PF 2|的取值范围．解：(1)∵PF 1⊥PF 2，∴∠F 1PF 2为直角，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2.∴⎩⎪⎨⎪⎧20＝|PF 1|2＋|PF 2|2，|PF 1|＋|PF 2|＝6，解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，∴|PF 1||PF 2|＝2.(2)设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则r 1＋r 2＝6. ∵∠F 1PF 2为钝角，∴cos ∠F 1PF 2<0.又∵cos ∠F 1PF 2＝r 21＋r 22－202r 1r 2<0，∴r 21＋r 22<20，∴r 1r 2>8，∴(6－r 2)r 2>8，∴2<r 2<4.即|PF 2|的取值范围是(2，4)．10.(1)等腰直角三角形ABC 中，斜边BC 长为42，一个椭圆以C 为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB 上，且椭圆经过A ，B 两点，求该椭圆的标准方程．(2)在△ABC 中， ∠A ，∠B ，∠C 所对的三边分别是a ，b ，c ，且|BC |＝2，求满足b ，a ，c 成等差数列且c >a >b 的顶点A 的轨迹．解：(1)如图，设椭圆的方程为x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)，有|AM |＋|AC |＝2a ，|BM |＋|BC |＝2a ，两式相加，得8＋42＝4a ，∴a ＝2＋2，|AM |＝2a －|AC |＝4＋22－4＝2 2.在直角三角形AMC 中，∵|MC |2＝|AM |2＋|AC |2＝8＋16＝24， ∴c 2＝6，b 2＝4 2. 故所求椭圆的标准方程为x 26＋42＋y 242＝1.(2)由已知条件可得b ＋c ＝2a ，则|AC |＋|AB |＝2|BC |＝4>|BC |，结合椭圆的定义知点A 在以B ，C 为焦点的一个椭圆上，且椭圆的焦距为2.以BC 所在的直线为x 轴，BC 的中点为原点O ，建立平面直角坐标系，如图所示．设顶点A 所在的椭圆方程为x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0)，则m ＝2，n 2＝22－12＝3，从而椭圆方程为x 24＋y 23＝1.又c >a >b 且A 是△ABC 的顶点，结合图形，易知x >0，y ≠0.故顶点A 的轨迹是椭圆x 24＋y 23＝1的右半部分(x >0，y ≠0)．[能力提升]1.设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2PA →，且OQ →·AB →＝1，则P 点的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) B.32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) C ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)解析：选A.由题意Q 坐标为(－x ，y )(x >0，y >0)，设A (x 0，0)，B (0，y 0)，由BP →＝2PA →得(x ，y －y 0)＝2(x 0－x ，－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0－2xy －y 0＝－2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝3y x 0＝32x . 由OQ →·AB →＝1得(－x ，y )·(－x 0，y 0)＝1，∴x 0x ＋y 0y ＝1，把⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝3y x 0＝32x 代入上述得32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．2.设α∈(0，π2)，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是________．解析：方程x 2sin α＋y 2cos α＝1可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1.∵椭圆的焦点在y 轴上，∴1cos α>1sin α>0.又∵α∈(0，π2)，∴sin α>cos α>0， ∴π4<α<π2. 答案：(π4，π2)3.已知F 1，F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点．(1)若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积；(2)求|PF 1|·|PF 2|的最大值．解：(1)设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n (m >0，n >0)．根据椭圆的定义，得m ＋n ＝20. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2，即m 2＋n 2－2mn ·cos π3＝122，∴m 2＋n 2－mn ＝144，即(m ＋n )2－3mn ＝144.∴202－3mn ＝144，即mn ＝2563.又∵S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin∠F 1PF 2＝12mn ·sin π3，∴S △F 1PF 2＝12×2563×32＝6433.(2)∵a ＝10，∴根据椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝20.∵|PF 1|＋|PF 2|≥2|PF 1|·|PF 2|，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2022＝100，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，等号成立， ∴|PF 1|·|PF 2|的最大值是100.4．(2014·玉溪一中高二期末)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点，过F 2作垂直于x 轴的直线MF 2交椭圆于M ，设|MF 2|＝d .(1)证明：d ，b ，a 成等比数列；(2)若M 的坐标为()2，1，求椭圆C 的方程；(3)在(2)的椭圆中，过F 1的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若OA →·OB →＝0，求直线l 的方程．解：(1)证明：由条件知M 点的坐标为()c ，y 0，其中|y 0|＝d ，∴c 2a 2＋d 2b2＝1，d ＝b ·1－c 2a 2＝b 2a ，∴d b ＝ba，即d ，b ，a 成等比数列． (2)由条件知c ＝2，d ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝a ·1a 2＝b 2＋2，∴⎩⎨⎧a ＝2b ＝2，∴椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(3)设点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，当l ⊥x 轴时，A (－2，－1)、B (－2，1)，所以OA →·OB →≠0. 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入椭圆方程得(1＋2k 2)x 2＋42k 2x ＋4k 2－4＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－42k21＋2k 2，x 1·x 2＝4k 2－41＋2k2，由OA →·OB →＝0得x 1·x 2＋y 1·y 2＝0， x 1·x 2＋k 2(x 1＋2)(x 2＋2)＝(1＋k 2)x 1·x 2＋2k 2(x 1＋x 2)＋2k 2＝0，代入得（1＋k 2）（4k 2－4）1＋2k 2－42k 2·2k 21＋2k2＋2k 2＝0，解得k ＝± 2. 所以直线l 的方程为y ＝±2(x ＋2)．。

椭圆的标准方程(基础)

椭圆的标准方程一、选择题1、（2019•北镇市校级月考）焦点坐标为（0，3），（0，-3），长轴长为10，则此椭圆的标准方程为（）A 、19110022=+y x B 、19110022=+x y C 、1162522=+y x D 、1251622=+x y 2、（2019•益阳模拟）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为31，则=ba（）A 、89 B 、223 C 、34D 、4233、（2019•沙坪坝区校级月考）已知椭圆122222=-+-mn y n m x 的焦点在x 轴上，若椭圆的短轴长为4，则n 的取值范围是（）A 、),12(+∞B 、)12,4(C 、)6,4(D 、),6(+∞4、（2019•雁峰区校级期中）设直线L 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到L 的距离为其短轴长的61，则该椭圆的离心率为（）A 、31 B 、21 C 、32 D 、43 5、（2018•末央区校级期末）若曲线11122=++-ky k x 表示椭圆，则K 的取值范围是（） A 、1>k B 、1-<k C 、11<<-k D 、01<<-k 或10<<k6、（2018•昌平区期末）“0,0>>n m ”是“方程122=+ny m x 表示椭圆”的（） A 、充分而不必要条件 B 、必要而不充分条件 C 、充分必要条件 D 、既不充分也不必要条件 7、（2018•南关区校级期末）椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程是（）A 、18410022=+y x B 、192522=+y x C 、18410022=+y x 或11008422=+y x D 、192522=+y x 或125922=+y x8、（2019•西城区校级模拟）若曲线122=+by ax 为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a,b 满足（） A 、22b a > B 、ba 11< C 、b a <<0 D 、a b <<09、（2018•广安期末）ABC ∆的周长是8，B （-1，0），C （1，0），则顶点A 的轨迹方程是（）A 、)3(18922±≠=+x y xB 、)0(18922≠=+x y xC 、)0(13422≠=+y y xD 、)0(14322≠=+y y x 10、（2019•金山区一模）已知方程12222=++m y m x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（） A 、2>m 或1-<m B 、2->m C 、21<<-m D 、2>m 或12-<<-m二、填空题11、（2019•越城区校级月考）椭圆19422=+y x 的半焦距是________，离心率是_________12、（2019•五华区校级月考）已知定点A （0，-2），点B 在圆C ：032422=--+y y x 上运动，C 为圆心，线段AB 的垂直平分线交BC 于点P ，则动点P 的轨迹E 的方程为_______________13、（2019•东宝区校级期末）椭圆122=+my x 的长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为________14、（2019•虹口区期中）椭圆的长轴长是短轴长的2倍，它的一个焦点为)0,3(，则椭圆的标准方程是_______15、（2019•兴庆区校级四模）若方程16222=++a y a x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是_______16、（2018•勇桥区期末）若椭圆12222=+by a x 过抛物线x y 82=的焦点，且与双曲线122=-y x 有相同的焦点，则该椭圆的方程为__________________三、解答题17、（2019•西湖区校级模拟）如图，椭圆)1(1222>=+a y ax 的离心率为22，过点P （2，0）作直线L 交椭圆于不同两点A ，B 。

椭圆定义及标准方程专项练习含解析

定义及标准方程一、单选题（共28题；共56分）1.已知椭圆＋＝1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|－|MF2|＝1，则△MF1F2是( )A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形2.已知椭圆上的一点到左焦点的距离为6，则点到右焦点的距离为（）A. 4B. 6C. 7D. 143.已知椭圆的两个焦点是，椭圆上任意一点与两焦点距离的和等于4，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D. 24.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（）.A. B. C. D.5.已知椭圆的一点到椭圆的一个焦点的距离等于6，那么点到椭圆的另一个焦点的距离等于( )A. 2B. 4C. 6D. 86.椭圆的左右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点，则的周长为（）A. B. 6 C. D. 127.已知椭圆的一个焦点坐标为，则k的值为（）A. 1B. 3C. 9D. 818.已知椭圆的中点在原点，焦点在轴上，且长轴长为，离心率为，则椭圆的方程为（）．A. B. C. D.9.椭圆的焦距为8，且椭圆的长轴长为10，则该椭圆的标准方程是（）A. B. 或C. D. 或10.方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（）A. B. C. D.11.若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（）A. B. C. 或 D. 以上答案都不对12.已知椭圆C：中，，，则该椭圆标准方程为A. B. C. D.13.已知方程的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 且14.已知椭圆的两个焦点是，且点在椭圆上，则椭圆的标准方程是（）A. B. C. D.15.P为椭圆上一点，、为左右焦点，若则△的面积为（）A. B. C. 1 D. 316.已知椭圆：（）的左、右焦点为，，离心率为，过的直线交于，两点.若的周长为，则的方程为（）A. B. C. D.17.以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A. B. C. D.18.椭圆的焦点在轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰好为边长为的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.19.椭圆的焦距为2，则m的值等于A. 5或3B. 8C. 5D. 或20.焦点坐标为，长轴长为10，则此椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.21.点A(a,1)在椭圆的内部，则a的取值范围是（）A. －<a<B. a<－或a>C. －2<a<2D. －1<a<122.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（）A. B. C. D.23.椭圆的一个焦点坐标是（）A. B. C. D.24.已知F1F2为椭圆的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若的周长为16，椭圆的离心率，则椭圆的方程为（）A. B. C. D.25.“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的( ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件26.已知、为椭圆两个焦点，P为椭圆上一点且,则（）A. 3B. 9C. 4D. 527.已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，则的值为（）A. B. C. D. 或28.方程2x2＋ky2＝1表示的是焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )A. (0，＋∞)B. (2，＋∞)C. (0,2)D. (0，1)二、填空题（共17题；共19分）29.已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍.则该椭圆的长轴长为________；其标准方程是________．30.已知椭圆的左、右两个焦点分别为,若经过的直线与椭圆相交于两点,则的周长等于________31.已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A,B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.32.已知两定点、，且是与的等差中项，则动点P的轨迹方程是________ .33.已知点，点B是圆F：（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为________．34.已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则________．35.已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以为圆心作半经为1的圆，为椭圆上一点，为圆上一点，则的取值范围为________.36.焦点在x轴上，短轴长等于16，离心率等于的椭圆的标准方程为________．37.椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则的大小为________.38.P是椭圆上的点，F1和F2是该椭圆的焦点，则k＝|PF1|·|PF2|的最大值是________。

椭圆的定义与标准方程练习专题

椭圆的定义与标准方程专题1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左，右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．52．(优质试题·天津红桥区一模)已知椭圆C 的焦点在y 轴上，焦距等于4，离心率为22，则椭圆C 的标准方程是( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 24＋y 28＝1 D.x 28＋y 24＝1 3．(优质试题·兰州质检)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，若|OP |＝12|F 1F 2|，且|PF 1||PF 2|＝a 2，则该椭圆的离心率为( ) A.34B.324．(优质试题·衡水模拟)已知F 1、F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使|PF 1|·|PF 2|取最大值的点P 的坐标为( ) A ．(－2,0) B ．(0,1)C ．(2,0)D ．(0,1)或(0，－1)5．(优质试题·三明模拟)设F 1，F 2是椭圆x 249＋y 224＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为( ) A ．30 B ．25 C ．24D ．406．(优质试题·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( ) A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 28＋y 24＝1 D.x 216＋y 24＝1 7．(优质试题·衡水冀州中学月考)若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋2bx ＋c ＝0的两个实数根分别是x 1，x 2，则点P (x 1，x 2)到原点的距离为 ( )A. 2B.72 C ．2D.748．已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为( ) A.x 212＋y 211＝1 B.x 236－y 235＝1 C.x 23－y 22＝1 D.x 23＋y 22＝1 二、填空题9．(优质试题·池州模拟)已知M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y＝k (x ＋3)交于点A ，B ，则△ABM 的周长为________．10．(优质试题·豫北六校联考)如图所示，A ，B 是椭圆的两个顶点，C 是AB 的中点，F 为椭圆的右焦点，OC 的延长线交椭圆于点M ，且|OF |＝2，若MF ⊥OA ，则椭圆的方程为____________．11．(教材改编)已知点P (x ，y )在曲线x 24＋y 2b2＝1(b >0)上，则x 2＋2y的最大值f (b )＝__________________.(用含b 的代数式表示)12．(优质试题·合肥一模)若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是________________.答案精析1．A [由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.]2．C [由题意可得2c ＝4，故c ＝2，又e ＝2a ＝22，解得a ＝22，故b ＝(22)2－22＝2，因为焦点在y 轴上，故选C.]3．C [由|OP |＝12|F 1F 2|，且|PF 1||PF 2|＝a 2，可得点P 是椭圆的短轴端点，即P (0，±b )，故b ＝12×2c ＝c ，故a ＝2c ，即离心率e ＝c a ＝22，故选C.]4．D [由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝4，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝2，即P (0，－1)或P (0,1)时，取“＝”．] 5．C [∵|PF 1|＋|PF 2|＝14，又|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3， ∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6. ∵|F 1F 2|＝10，∴PF 1⊥PF 2.∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×8×6＝24.]6．A [设椭圆的标准方程为a 2＋b2＝1(a >b >0)．由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3b2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2·2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立得a 2＝8，b 2＝6.]7．A [由e ＝c a ＝12，得a ＝2c ，所以b ＝a 2－c 2＝3c ，则方程ax 2＋2bx ＋c ＝0为2x 2＋23x ＋1＝0，所以x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝12，则点P (x 1，x 2)到原点的距离为d ＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝3－1＝2，故选A.] 8．D [圆F 的方程转化为标准方程得，(x －1)2＋y 2＝12⇒F (1,0)，半径r ＝23，由已知可得|FB |＝|PF |＋|PB |＝|PF |＋|PA |＝23>2＝|AF |⇒动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆⇒a ＝3，c ＝1⇒b 2＝a 2－c 2＝2⇒动点P 的轨迹方程是x 23＋y 22＝1，故选D.]9．8解析依题意得，a ＝2，M (3，0)与F (－3，0)是椭圆的焦点，则直线AB 过椭圆的左焦点F (－3,0)，且|AB |＝|AF |＋|BF |，△ABM 的周长等于|AB |＋|AM |＋|BM |＝(|AF |＋|AM |)＋(|BF |＋|BM |)＝4a ＝8. 10.x 24＋y 22＝1解析设所求的椭圆方程为a 2＋b2＝1(a >b >0)，则A (a,0)，B (0，b )，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，F (a 2－b 2，0)，依题意，得a 2－b 2＝2，所以M ⎝⎛⎭⎪⎫2，ba a 2－2，由于O ，C ，M 三点共线，所以b a a 2－22＝b 2a 2，即a 2－2＝2，所以a 2＝4，b 2＝2，所以所求的椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.11.⎩⎪⎨⎪⎧b 24＋4，0<b ≤4，2b ，b >4解析由x 24＋y 2b 2＝1，得x 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－y 2b 2，令T ＝x 2＋2y ，将其代入得T ＝4－4y 2b2＋2y .即T ＝－4b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －b 242＋b 24＋4(－b ≤y ≤b )．当b 24≤b ，即0<b ≤4，y ＝b 24时，f (b )＝b 24＋4；当b 24>b ，即b >4，y ＝b 时，f (b )＝2b .所以f (b )＝⎩⎪⎨⎪⎧b 24＋4，0<b ≤4，2b ，b >4.12.x 25＋y 24＝1解析由题意可设斜率存在的切线的方程为y －12＝k (x －1)(k 为切线的斜率)，即2kx －2y －2k ＋1＝0，由|－2k ＋1|4k 2＋4＝1，解得k ＝－34，所以圆x 2＋y 2＝1的一条切线方程为3x ＋4y －5＝0，求得切点A (35，45)，易知另一切点为B (1,0)，则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋2. 令y ＝0得右焦点为(1,0)，即c ＝1，令x ＝0得上顶点为(0,2)，即b ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝5，故所求椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.。

人教A版高中数学选修第一册同步练习3.1.1 椭圆及其标准方程-A基础练(详细解析版)

3.1.1椭圆及其标准方程 -A 基础练一、选择题1．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（） A ．到点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B ．到点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C ．到点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆 D ．到点12(4,0),(4,0)F F -距离相等的点的轨迹是椭圆【正确答案】C【详细解析】对于选项A ,128F F =,故到点12,F F 的距离之和等于8的点的轨迹是线段12F F ,所以该选项错误;对于选项B ,到点1,2,F F 的距离之和等于6的点的轨迹不存在,所以该选项错误;对于选项C ,根据椭圆的定义,知该轨迹是椭圆,所以该选项正确;对于选项D ,点的轨迹是线段12F F 的垂直平分线,所以该选项错误．故选:C2．（2020·沙坪坝·重庆一中月考）若椭圆22:184x y C +=的右焦点为F ,过左焦点F '作倾斜角为60︒的直线交椭圆C 于P ,Q 两点,则PQF △的周长为（） A．B．C ．6D ．8【正确答案】B【详细解析】由椭圆方程可知28a a =⇒= 根据椭圆的定义可知'2PF PF a +=,'2QF QF a +=,PQF △的周长为''4PQ PF QF PF QF PF QF a ++=+++==3.（2020·天津一中期中）若椭圆2a 2x 2-ay 2=2的一个焦点是(-2,0),则a =（） ABCD【正确答案】C【详细解析】由原方程可得222y 112x a a -=,因为椭圆焦点是(-2,0),所以2124a a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭,解得a =,因为20a ->,即0a <,所以a =,故选:C 4.（2020·浙江丽水高二月考）已知△ABC 的周长为20,且顶点B （0,﹣4）,C （0,4）,则顶点A 的轨迹方程是（）A ．2213620x y +=（x≠0）B ．2212036x y +=（x≠0）C ．221620x y +=（x≠0）D ．221206x y +=（x≠0）【正确答案】B【详细解析】∵△ABC 的周长为20,顶点B （0,﹣4）,C （0,4）,∴BC ＝8,AB +AC ＝20﹣8＝12,∵12＞8,∴点A 到两个定点的距离之和等于定值,∴点A 的轨迹是椭圆,∵a ＝6,c ＝4,∴b 2＝20,∴椭圆的方程是()22102036x y x +=≠,故选B ．5．（多选题）已知椭圆22:13620x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ,定点(1,4)A ,若点P 是椭圆E 上的动点,则1||PA PF +的值可能为（） A ．7B ．10C ．17D ．19【正确答案】ABC【详细解析】由题意可得2(4,0)F ,则25AF ==,故22|||5PA PF AF -=|．因为点P 在椭圆E 上,所以12212PF PF a +==,所以1212F PF P =-,故1||12||PA PF PA +=+2PF -,由于25||5PA PF --,所以17||17PA PF +,故1||PA PF +的可能取值为7,10,17．6．（多选题）（2020全国高二课时练习）已知P 是椭圆2214x y +=上一点,12,F F 是其两个焦点,则12F PF ∠的大小可能为（）A ．34π B ．23π C ．2π D ．4π 【正确答案】BCD【详细解析】设12,PF m PF n ==,则0,0m n >>,且24m n a +==,在12FPF △中,由余弦定理可得2221212()2122cos 122m n m n mn F PF mn mn mn +-+--∠===-,因为242m n mn +⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以121cos 2F PF ∠-,当且仅当m n =时取等号,故12F PF ∠的最大值为23π,所以12F PF ∠的大小可能为2,,324πππ．故选:BCD 二、填空题7.（2020全国高二课时练）已知椭圆的焦点在y 轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2√15,则此椭圆的标准方程为 . 【正确答案】y 216+x 2=1【详细解析】由已知2a=8,2c=2√15,所以a=4,c=√15,所以b 2=a 2-c 2=16-15=1.又椭圆的焦点在y 轴上,所以椭圆的标准方程为y 216+x 2=1. 8.椭圆x 212+y 23=1的一个焦点为F 1,点P 在椭圆上,若线段PF 1的中点M 在y 轴上,则点M 的纵坐标为.【正确答案】±√34【详细解析】∵线段PF 1的中点M 在y 轴上且O 是线段F 1F 2的中点,∴OM 为△PF 1F 2的中位线,∴PF 2⊥x 轴,∴点P 的横坐标是3或-3,∵点P 在椭圆上,∴912+y 23=1,即y 2=34,∴y=±√32.∴点M 的纵坐标为±√34.9．（2020河北石家庄二中高二月考）已知椭圆()222:1024x y C b b +=<<的左、右焦点分别为1F 、2F ,P 为椭圆上一点,13PF =,123F PF π∠=,则b =______．【正确答案】32【详细解析】根据椭圆的定义:2231PF a =-=,在焦点12PF F △中,由余弦定理可得:222212121242cos73c F F PF PF PF PF π==+-⋅=,274c ∴=,则22279444b ac =-=-=,所以,32b =.10．（2020·江西南昌二中高二月考）如图所示,12F F 分别为椭圆2222x y 1a b+=的左右焦点,点P 在椭圆上,2POF ,则2b 的值为 .【正确答案】【详细解析】2POF ,2=解得2c =．(P ∴代入椭圆方程可得:22131a b+=,与224a b =+联立解得:2b = 三、解答题11．求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在y 轴上,焦距是4,且经过点M (3,2);(2)c ∶a=5∶13,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. 【详细解析】 (1)由焦距是4可得c=2,且焦点坐标为(0,-2),(0,2).由椭圆的定义知,2a=√32+(2+2)2+√32+(2-2)2=8, 所以a=4,所以b 2=a 2-c 2=16-4=12.又焦点在y 轴上,所以椭圆的标准方程为y 216+x 212=1. (2)由题意知,2a=26,即a=13,又c ∶a=5∶13,所以c=5, 所以b 2=a 2-c 2=132-52=144,因为焦点所在的坐标轴不确定,所以椭圆的标准方程为x 2169+y 2144=1或y 2169+x 2144=1.12. （2020·富平县富平中学高二月考）已知某椭圆C,它的中心在坐标原点,左焦点为F （﹣,0）,且过点D （2,0）．（1）求椭圆C 的标准方程;（2）若已知点A（1,）,当点P在椭圆C上变动时,求出线段PA中点M的轨迹方程．【详细解析】（1）由题意知椭圆的焦点在x轴上,∵椭圆经过点D（2,0）,左焦点为F（﹣,0）,∴a=2,c=,可得b=1因此,椭圆的标准方程为．（2）设点P的坐标是（x0,y0）,线段PA的中点为M（x,y）,由根据中点坐标公式,可得,∵点P（x0,y0）在椭圆上,∴可得,化简整理得,∴线段PA中点M的轨迹方程是．。

椭圆及其标准方程--基础练习

课题：椭圆及其标准方程椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 距离的和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫椭圆。

教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。

令椭圆上任一点M ，则有)22(22121F F c a a MF MF =>=+问题：如图已知焦点为21,F F 的椭圆，且21F F =2c,对椭圆上任一点M ，有a MF MF 221=+，尝试推导椭圆的方程。

方案一22a x +22by =1（0>>b a ），其中b 2 = a 2－c 2( b > 0 )；选定方案二建立坐标系，由学生完成方程化简过程，可得出22ay +22b x =1，同样也有a 2－c 2 = b 2 ( b >0 )。

我们所得的两个方程22a x +22b y =1和22ay +22b x =1（0>>b a ）都是椭圆的标准方程。

（四）归纳概括，方程特征1、观察椭圆图形及其标准方程，归纳总结（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴；（2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；（3）椭圆标准方程中三个参数a,b,c 关系：222c a b -=)0(>>b a ；（4）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定；（5）求椭圆标准方程时，可运用待定系数法求出a,b 的值。

M 2F 1F2、归纳总结如下表[例1].判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距以及b a ,的值（口答）①1342222=+y x ②1)3(42222=-+y x ③ 14322=+y x [例2].已知椭圆两个焦点的坐标分别为)0,2(),0,2(-，并且经过点)23,25(-；求它的标准方程.变式训练1.如图，圆Ｏ的半径为定长r ，A 是圆Ｏ内的一定点，P 为圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆周上运动时，点Q 的轨迹是什么？为什么？2.已知B 、C 是两个定点，|BC|=6，ABC ∆的周长为16.问点A 的轨迹是什么曲线？你能写出它的方程吗？椭圆的标准方程一、填空题1．方程x 225－m ＋y 216＋m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________．解析：因为焦点在y 轴上，所以16＋m >25－m ，即m >92，又因为b 2＝25－m >0，故m <25，所以m的取值范围为92<m <25.答案：92<m <252．椭圆x2－m ＋y2－n＝1(m<n<0)的焦点坐标是________．解析：因为m<n<0，所以－m>－n>0，故焦点在x轴上，所以c＝－m－－n＝n－m，故焦点坐标为(n－m，0)，(－n－m，0)．答案：(n－m，0)，(－n－m，0)3．已知椭圆的标准方程是x2a2＋y225＝1(a>5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为________．解析：因为F1F2＝8，即即所以2c＝8，即c＝4，所以a2＝25＋16＝41，即a＝41，所以△ABF2的周长为4a＝441.答案：4414．过点(－3,2)且与椭圆x29＋y24＝1有相同焦点的椭圆的标准方程是________．解析：因为c2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为x2a2＋y2a2－5＝1.由点(－3,2)在椭圆上知9a2＋4a2－5＝1，所以a2＝15.所以所求椭圆的标准方程为x215＋y210＝1.答案：x215＋y210＝15．已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，则椭圆的标准方程是________．解析：由PF1＋PF2＝2F1F2＝2×2＝4，得2a＝4.又c＝1，所以b2＝3.所以椭圆的标准方程是y24＋x23＝1.答案：y24＋x23＝16．已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且2a＝10，则椭圆的标准方程是________．解析：由椭圆定义知c＝1，∴b＝52－1＝24.∴椭圆的标准方程为x225＋y224＝1.答案：x225＋y224＝17．若△ABC的两个顶点坐标A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为________．解析：顶点C到两个定点A，B的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C的轨迹为椭圆，并且2a＝10，所以a＝5,2c＝8，所以c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，故顶点C的轨迹方程为x2 25＋y29＝1.又A、B、C三点构成三角形，所以y≠0.所以顶点C的轨迹方程为x225＋y29＝1(y≠0)答案：x225＋y29＝1(y≠0)8．已知椭圆x216＋y29＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上的一点，Q是PF1的中点，若OQ＝1，则PF1＝________.解析：如图所示，连结PF2，由于Q是PF1的中点，所以OQ是△PF12的中位线，所以PF2＝2OQ＝2，根据椭圆的定义知，PF1＋PF2＝2a＝8，所以PF1＝6.答案：69．设F1、F2是椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，则△PF1F2的面积等于________．解析：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝5，∴PF1＋PF2＝2a＝6.又PF1∶PF2＝2∶1，∴PF1＝4，PF2＝2，由22＋42＝(25)2可知△PF1F2是直角三角形，故△PF1F2的面积为12PF1·PF2＝12×2×4＝4.答案：4二、解答题10．已知椭圆x 2＋2y 2＝a 2(a >0)的左焦点F 1到直线y ＝x －2的距离为22，求椭圆的标准方程．解：原方程可化为x 2a 2＋y 2a 22＝1(a >0)，∴c ＝a 2－a 22＝22a ，即左焦点F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0.由已知得⎪⎪⎪⎪⎪⎪－22a －22＝22，解得a ＝22或a ＝－62(舍去)，即a 2＝8.∴b 2＝a 2－c 2＝8－4＝4.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.11．已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝100及点A (－3,0)，P 是圆C 上任意一点，线段PA 的垂直平分线l 与PC 相交于点Q ，求点Q 的轨迹方程．解：如图所示．∵l 是线段PA 的垂直平分线，∴AQ ＝PQ .∴AQ ＋CQ ＝PQ ＋CQ ＝CP ＝10，且10>6.∴点Q 的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆，且2a ＝10，c ＝3，即a ＝5，b ＝4.∴点Q 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.12．已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上任意一点．(1)若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积； (2)求PF 1·PF 2的最大值．解：(1)设PF 1＝m ，PF 2＝n (m >0，n >0)．根据椭圆的定义得m ＋n ＝20.在△F 1PF 2中，由余弦定理得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2·cos ∠F 1PF 2＝F 1F 22，即m 2＋n 2－2mn ·cos π3＝122.∴m 2＋n 2－mn ＝144，即(m ＋n )2－3mn ＝144.∴202－3mn ＝144，即mn ＝2563.又∵S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2·sin ∠F 1PF 2＝12mn ·sin π3，∴S △F 1PF 2＝12×2563×32＝6433.(2)∵a ＝10，∴根据椭圆的定义得PF 1＋PF 2＝20.∵PF 1＋PF 2≥2PF 1·PF 2，∴PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2022＝100，当且仅当PF 1＝PF 2＝10时，等号成立．∴PF 1·PF 2的最大值是100.。

(完整版)椭圆及其标准方程简单练习题及答案

一、课前练习：1.判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距。

（1）14322=+y x （2）1422=+y x （3）1422=+y x 2.求适合下列条件的椭圆标准方程：两个焦点的坐标分别为)0,4(),0,4(-，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10。

3.方程221||12x y m +=-表示焦点在y 轴的椭圆时，实数m 的取值范围是____________ 二、典例：例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程．变式练习1：与椭圆x 2+4y 2=16有相同焦点,且过点()6,5-的椭圆方程是 . 例2 如图，在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？例3如图，设A ，B 的坐标分别为()5,0-，()5,0．直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为49-，求点M 的轨迹方程．变式练习2：已知定圆x 2+y 2-6x -55=0，动圆M 和已知圆内切且过点P (-3，0)，求圆心M 的轨迹及其方程．三、巩固练习：1.平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以A ．B 为焦点的椭圆”，那么（ B ） A ．甲是乙成立的充分不必要条件B ．甲是乙成立的必要不充分条件C ．甲是乙成立的充要条件D ．甲是乙成立的非充分非必要条件2.椭圆2255x ky -=的一个焦点是(0,2)，那么k 等于（ A ）A. 1-B. 1C. 5D. 53.椭圆191622=+y x 的焦距是，焦点坐标为；若CD 为过左焦点1F 的弦，则CD F 2∆的周长为4.若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ D ）A ．（0，+∞）B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）。

2020高中数学 7 椭圆及其标准方程(含解析)2-1

课时分层作业(七）椭圆及其标准方程(建议用时：60分钟)［基础达标练］一、选择题1．椭圆错误!＋错误!＝1的焦点坐标为( ）A．（5，0)，（－5，0）B．（0,5)，（0，－5）C．（0,12）,（0,－12) D．(12,0)，（－12,0）C［c2＝169－25＝144.c＝12，故选C.］2．已知椭圆过点P错误!和点Q错误!,则此椭圆的标准方程是（) A．x2＋错误!＝1 B。

错误!＋y2＝1或x2＋错误!＝1C。

错误!＋y2＝1 D．以上都不对A［设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n〉0,m≠n),则错误!∴错误!∴椭圆的方程为x2＋错误!＝1.]3．设F1,F2是椭圆错误!＋错误!＝1的两个焦点，P是椭圆上的点,且｜PF1｜∶｜PF2|＝2∶1,则△F1PF2的面积等于（）A．5 B．4C．3 D．1B［由椭圆方程，得a＝3，b＝2,c＝5,∴|PF1|＋|PF2｜＝2a ＝6,又｜PF1|∶|PF2|＝2∶1,∴｜PF1|＝4,|PF2|＝2，由22＋42＝(2错误!)2，可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为错误!｜PF1|·|PF2|＝错误!×4×2＝4，故选B。

]4．已知椭圆错误!＋错误!＝1（a〉b〉0),M为椭圆上一动点,F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是（)A．圆B．椭圆C．线段D．直线B[｜PF1｜＋|PO|＝错误!｜MF1｜＋错误!|MF2｜＝错误!（｜MF1|＋｜MF2｜）＝a>｜F1O|，因此点P的轨迹是椭圆．]5．如果方程错误!＋错误!＝1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是( ）A．(3，＋∞）B．（－∞,－2)C．(3，＋∞)∪(－∞，－2）D．(3，＋∞)∪(－6，－2)D[由于椭圆的焦点在x轴上，所以错误!即错误!解得a＞3或－6＜a＜－2,故选D.]二、填空题6．已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为____________．x2＋错误!＝1 ［由题意知错误!解得错误!则b2＝a2－c2＝3,4故椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1.］7．已知F1，F2是椭圆C:错误!＋错误!＝1(a〉b>0）的两个焦点，P 为椭圆C上一点,且错误!⊥错误!.若△PF1F2的面积为9，则b＝________．3 ［依题意，有错误!可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3。

椭圆的定义和标准方程的基本练习(包括答案).doc

椭圆的定义和标准方程的基本练习(包括答案)椭圆和标准方程1的定义。

选择题(共19题)1。

如果F1 (3，0)，F2 ({3，0)，从点p到F1，F2的距离之和是10，那么点p的轨迹方程是()a.b.c.d .或2。

移动圆内接圆x2 y2 6x 5=0，圆x2y2-6x-91=0。

那么运动圆的中心轨迹是()a。

椭圆b。

双曲线c。

抛物线d。

圆3。

从椭圆上的点p到一个焦点的距离是5，那么从点p到另一个焦点的距离是()。

已知坐标平面上的两点a ({1，0)和b (1，0 ),从移动点p到a和b的距离之和为常数2。

那么运动点p的轨迹是()a .椭圆b .双曲线c .抛物线d .线段5。

从椭圆上的移动点p到两个焦点的距离之和为()a. 10b.8c.6d。

已知两点f1 ({1，0)，F2 (1，0)，并且|f1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中值，则移动点p的轨迹方程为()a.b.c.d.7。

已知F1和F2是椭圆的两个焦点=1，并且穿过点F2的直线在点a和b处与椭圆相交。

如果|AB|=5，则|AF1| |BF1|等于()A.16B.11C.8D.3 8。

设a={1，2，3，4，5}，A，b∈A，则该方程表示焦点在y轴上的椭圆()A.5 B.10 C.20 D.25 9。

简化的结果是在平面上有一个长度为2的线段AB和一个移动点p(a . b . c . d . 10)。

如果满足|PA| |PB|=8，则|PA|的取值范围为()a. [1，4] b. [2，6] c. [3，5] d. [3，6] 11。

设定点F1(0，651233)，F2(0，3)并满足条件|PF1| |PF2|=6，则运动点P的轨迹是()a .椭圆b .线段c .椭圆或线段d .不存在。

12.已知△ABC的周长为20，顶点为B (0，651234)，C (0，4)，那么顶点a的轨迹方程为()a. (x ≠ 0) b. (x ≠ 0) c. (x ≠ 0) d. (x ≠ 0) 13。

椭圆及其标准方程(复习)

2 2 变式：试口答完成（）变式：若椭圆的方程为 16 x + 9 y = 144 ,试口答完成（1）. 试口答完成
x2 y2 + =1 9 16
a = 4, b = 3, c = 7
练习4.求满足下列条件的椭圆的标准方程：练习求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两焦点的坐标分别是（-4，0）、（，0），两焦点的坐标分别是（，）、（）、（4，），两焦点的坐标分别是椭圆上一点P到两焦点距离之和等于。椭圆上一点到两焦点距离之和等于10。到两焦点距离之和等于
2 2
(3)两个焦点分别是 1(－2,0)、F2(2,0),且过两个焦点分别是F 两个焦点分别是且过 P(2,3)点； x + y = 1 点
16 12
(4)经过点经过点P(－2,0)和Q(0,－3). 经过点和
x2 y2 + =1 4 9
(5)《三维设计》 (5)《三维设计》P168.3 定位：确定焦点所在的坐标轴； ①定位：确定焦点所在的坐标轴小结：求椭圆标准方程的步骤：小结：求椭圆标准方程的步骤：；定量：的值. ②定量：求a, b的值的值
x B O C
∴
b 2 = 5 2 − 3 2 = 16 .b = 4
但当点A在直线BC上，即y=0时，A,B,C三点不能构成三角形 2 x2 y ∴ 点A的轨迹为 + = 1(y ≠ 0) 25 16 注意求出曲线的方程后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都是符合题义。
⑴∆ABC 的周长为 20 ，且 B (－4,0),C(4,0)，则点A的轨迹方程是 x2/36+y2/20=1(y≠0) _____________. ⑵已知A(－1,0),B(1,0)，线段CA、 AB、CB的长成等差数列，则点C的 x2/4+y2/3= 轨迹方程是_____________. _____________. 1 ⑶过点A(0,2)，且与圆B：x2 ＋(y＋ 2)2 ＝36内切的动圆圆心C的轨迹方 x2/5+y2/9=1 程是__________.

椭圆及其标准方程(基础)-学生版

椭圆及其标准方程（基础）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设定点1(2,0)F -，2(2,0)F ，平面内满足124PF PF +=的动点P 的轨迹是（） A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．不存在2．方程221mx y +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（） A ．()1,+∞B ．()0,∞+C ．()0,1D ．()0,23．已知椭圆22:1169x y C +=的左右焦点分别是12,F F ，过1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点则2ABF ∆的周长为（）A ．B ．16-C ．8D ．164．椭圆2218x y +=上的点P 到一个焦点的距离为P 到另一个焦点的距离为（）A ．4B ．CD ．25．设p 是椭圆2212516x y+=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于( )A ．4B ．5C ．8D ．106．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆的两个焦点，过F 1的直线l 交椭圆于M ，N 两点，若△MF 2N 的周长为8，则椭圆方程为( )A ．22143x y +=B ．22143y x +=C ．2211615x y +=D ．2211615y x +=7．已知()1F 、)2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过F 1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点.若2ABF ∆周长是( )A ．2213x y +=B ．22132x y +=C ．2211210x y +=D ．22143x y +=8．已知椭圆222:1(0)25x y C m m +=>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在C 上，且12PF F ∆的周长为16，则m 的值是A ．2B ．3C ．D ．49．与椭圆221259x y +=有相同的焦点，且经过点()5,3的椭圆的标准方程是（）A ．2212440x y +=B ．2214024x y +=C ．2213620x y +=D ．2214026x y +=10．椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,长轴长为4,短轴长为2,则椭圆方程是( )A ．22143x y +=B ．2214x y +=C ．221164x y +=D ．2211612x y +=11．已知a ，b R ∈，则“0a b >>”是“221x ya b-=表示椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件1210=的化简结果为（）A ．2212516x y +=B ．2212516y x +=C ．221259x y +=D ．221259y x +=13．方程2214x y m+=表示椭圆，则实数m 的取值范围（）A ．0m >B ．4m >C ．04m <<D ．0m >且4m ≠14．已知方程22112x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（）A ．(1,2)B ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．(,1)(2,)-∞⋃+∞D ．3(,1),2⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭15．如果222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（） A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,)+∞D ．(0,)+∞16．椭圆221123x y +=的左焦点为1F ，点P 在椭圆上．如果线段1PF 的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是（）A ．4±B ．2±C ．2±D ．34±二、填空题17．一个椭圆中心在原点，焦点12F F ，在x 轴上，(P 是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为____．18．点P 为椭圆2212516x y +=上一点，M 、N 分别是圆()2234x y ++=和()2231x y -+=上的动点，则PM PN +的取值范围是_______．19．焦点坐标为()5,0-和()5,0，且点()0,12B 在椭圆上，那么这个椭圆的标准方程___________.20．能够说明“方程22(1)(3)(1)(3)m x m y m m -+-=--的曲线是椭圆”的一个m 的值是______.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，焦距为则椭圆的方程为____.22．设定点()10,3F -，()20,3F ，动点P 满足条件129PF PF t t+=+（t 为常数，且0t >），则点P 的轨迹是______.三、解答题23．已知椭圆()22(3)0x m y m m ++=>的离心率2e =，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．24．动点P (x ，y )8=.试确定点P 的轨迹．25．如图所示，在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1,0)．Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．26．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．27．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点()0,2A 和12B ⎛ ⎝，求椭圆C 的标准方程.28．已知点()3,4P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，1F 、2F 为椭圆的两焦点，若12PF PF ⊥，试求：（1）椭圆的方程；（2）12PF F △的面积．参考答案1．B2．A3．D4．C5．D6．A7．A8．D9．B10．B11．B12．D13．D14．B15．A16．A17．221 86x y+18．[]7,1319．221 169144x y+=20．32（答案不唯一，只要在m的取值范围内的任何一个值都可以）21．221 4xy+=22．线段12F F或椭圆23．见解析24．点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆25．221 252144x y+=26．221 4015x y+=27．2214yx+=28．（1）2214520x y+=；（2）20。

椭圆基础练习题及其完整答案

解析几何——椭圆精炼专题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的．） 1．椭圆63222=+y x 的焦距是（）A ．2B ．)23(2-C ．52D ．)23(2+2．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是（） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆 3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是（）A ．14822=+x y B ．161022=+x y C ．18422=+x y D ．161022=+y x4．方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（）A ．),0(+∞B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）5．过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是（） A ． 22 B ． 2 C ． 2 D ． 16．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为31，长轴长为12，则椭圆方程为（） A ．112814422=+y x 或114412822=+y x B ． 14622=+y x C ．1323622=+y x 或1363222=+y x D ． 16422=+y x 或14622=+y x 7．已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和14922=-+-k y k x 有（） A ．相同的短轴 B ．相同的焦点 C ．相同的离心率 D ．相同的长轴8．椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（）A ．9B ．12C ．10D ．89．椭圆131222=+y x 的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的（）A ．4倍B ．5倍C ．7倍D ．3倍 10．椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（）A ．01223=-+y xB ．01232=-+y xC ．014494=-+y xD ． 014449=-+y x11．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（）A ．3B ．11C ．22D ．1012．过点M （－2，0）的直线M 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线M 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（）A ．2B ．－2C ．21 D ．－21二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．）13．椭圆2214x y m +=的离心率为12，则m = ． 14．设P 是椭圆2214x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF 的最大值为；最小值为．15．直线y =x －21被椭圆x 2+4y 2=4截得的弦长为．16．已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:22及点=++为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则点M 的轨迹方程为．三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．） 17．已知三角形ABC 的两顶点为(2,0),(2,0)B C -，它的周长为10,求顶点A 轨迹方程． 18．椭圆的一个顶点为A （2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 19．点P 到定点F （2，0）的距离和它到定直线x =8的距离的比为1：2，求点P 的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形． 20．中心在原点，一焦点为F 1（0，52）的椭圆被直线y =3x －2截得的弦的中点横坐标是21，求此椭圆的方程．21.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程 22．椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点．（1）求2211ba +的值；（2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围．椭圆练习题参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A CDDABD13、3或316 14、 4 ， 1 15、5382 16、121425422=+y x 17、3)(x 15922±≠=+y x 18、解：（1）当A (2,0)为长轴端点时，a =2 , b =1，椭圆的标准方程为：；（2）当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；19．解：设P （x ，y ），根据题意，|PF|=(x-2)2-y 2,d=|x-8|,因为|PF|d =12 ,所以 (x-2)2-y 2 |x-8| = 12.化简，得3x 2+4y 2=48,整理，得x 216 +y 212=1,所以，点P 的轨迹是椭圆。

习题-椭圆及其性质

9.2 椭圆及其性质基础篇固本夯基考点一椭圆的定义及标准方程1.(2022届黑龙江大庆月考,4)与双曲线y 22-x 2=1共焦点,且离心率为√32的椭圆的标准方程为 ( )A.y 22+x 2=1 B.x 22+y 2=1 C.y 24+x 2=1 D.x 24+y 2=1 答案 C2.(2021新高考Ⅰ,5,5分)已知F 1,F 2是椭圆C:x 29+y 24=1的两个焦点,点M 在C 上,则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( )A.13B.12C.9D.6 答案 C3.(2021合肥一模,5)已知F 是椭圆E:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点,椭圆E 上一点P(2,1)关于原点的对称点为Q,若△PQF 的周长为4√2+2√5,则a-b=( ) A.√2 B.√22 C.√3 D.√32答案 A4.(2022届云南师大附中月考,8)已知椭圆x 24+y 23=1,F 是椭圆的左焦点,P 是椭圆上一点,若椭圆内一点A(1,1),则|PA|+|PF|的最小值为 ( )A.3B.√10C.√5+12 D.√5+1答案 A5.(2022届贵阳一中月考,15)已知m,n ∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},则方程C 9m x 2+C 9ny 2=1表示不同的椭圆的个数为 . 答案 206.(2022届四川树德中学开学考,15)已知椭圆C:x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1、F 2,M 为椭圆C 上任意一点,N 为圆E:(x-3)2+(y-2)2=1上任意一点,则|MN|-|MF 1|的最小值为 .答案 2√2-57.(2019课标Ⅲ,15,5分)设F 1,F 2为椭圆C:x 236+y 220=1的两个焦点,M 为C 上一点且在第一象限.若△MF 1F 2为等腰三角形,则M 的坐标为 . 答案 (3,√15)8.(2020哈尔滨三中二模,14)已知圆C:(x+1)2+y 2=36与定点M(1,0),动圆N 过点M 且与圆C 相切,则动圆圆心N 的轨迹方程为 . 答案x 29+y 28=1 9.(2019浙江,15,4分)已知椭圆x 29+y 25=1的左焦点为F,点P 在椭圆上且在x 轴的上方.若线段PF 的中点在以原点O 为圆心,|OF|为半径的圆上,则直线PF 的斜率是 . 答案 √1510.(2021河南名校4月冲刺考试,15)已知点F 1,F 2分别为椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左,右焦点,点A 为C 的左顶点,C 上的点到点F 2的最小距离为2.过原点O 的直线l 交C 于P,Q 两点,直线QF 1交AP 于点B,且|AB|=|BP|,则椭圆C 的标准方程为 . 答案x 29+y 28=1 考点二椭圆的几何性质1.(2019北京,4,5分)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为12,则( ) A.a 2=2b 2B.3a 2=4b 2C.a=2bD.3a=4b答案 B2.(2017课标Ⅲ,10,5分)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A 1、A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C 的离心率为( ) A.√63B.√33C.√23D.13答案 A3.(2021河南、河北名校联盟联考,11)点P 在椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)上,F 1,F 2是椭圆的两个焦点,∠F 1PF 2=90°,且△F 1PF 2的三条边长成等差数列,则此椭圆的离心率为( ) A.57B.56C.45D.35答案 A4.(2022届安徽蚌埠开学考,10)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的右顶点为A,坐标原点为O,若椭圆上存在一点P 使得△OAP 是等腰直角三角形,则该椭圆的离心率为( ) A.√33B.√22C.√63D.√32答案 C5.(2022届山西长治月考,11)古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线,用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥,得到的截面是圆;把平面渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用周长为72的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆τ,且τ与矩形ABCD 的四边相切,椭圆τ的离心率为0.6,若点M,N 为椭圆τ长轴的两个端点,P 为椭圆上除去长轴端点外的任意一点,则△PMN 面积的取值范围是( ) A.(0,80) B.(0,80] C.(0,160) D.(0,160] 答案 B6.(2021全国甲,15,5分)已知F 1,F 2为椭圆C:x 216+y 24=1的两个焦点,P,Q 为C 上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F 1F 2|,则四边形PF 1QF 2的面积为 . 答案 87.(2021皖北协作体4月联考,14)“天问一号”推开了我国行星探测的大门,通过一次发射,将实现火星环绕、着陆、巡视,是世界首创,也是我国真正意义上的首次深空探测.2021年2月10日,天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体,球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时,天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”,同时将近火点高度调整至约265公里.若此时远火点距离约为11 945公里,火星半径约为3 400公里,则调整后“天问一号”的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为 .(精确到0.1) 答案 0.68.(2022届云南玉溪质量检测一,15)已知A,B 为椭圆E:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左,右顶点,点P 在E 上,在△APB 中,tan ∠PAB=12,tan ∠PBA=29,则椭圆E 的离心率为 . 答案2√239. (2022届广西柳铁一中“韬智杯”大联考,16)椭圆C:x 218+y 2b 2=1的上、下顶点分别为A 、C,如图,点B 在椭圆上,平面四边形ABCD 满足∠BAD=∠BCD=90°,且S △ABC =2S △ADC ,则该椭圆的短轴长为 .答案 6考点三直线与椭圆的位置关系1.(2022届江西景德镇模拟,11)已知椭圆C:x 29+y 24=1上有一动点E(异于顶点),点F,G 分别在x,y 轴上,使得E 为FG 的中点,若x 轴上一点H,满足FG ⊥EH,则|GH|的最小值为( ) A.3 B.43√5 C.45√5 D.5答案 B2.(2021名校联盟4月押题卷(一),12)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点为F(-1,0),过点F 的直线交椭圆C 于A,B 两点,若A(1,y 1),则点B 横坐标的取值范围为( ) A.(-3,0) B.(-3,-1) C.(-2,0) D.(-2,-1) 答案 B3.(2021南昌重点中学联考,14)已知椭圆E:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F 的直线交E 于A,B 两点.若弦AB 的中点坐标为(1,-1),则E 的标准方程为 . 答案x 218+y 29=1 4.(2018课标Ⅰ,19,12分)设椭圆C:x 22+y 2=1的右焦点为F,过F 的直线l 与C 交于A,B 两点,点M 的坐标为(2,0).(1)当l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程; (2)设O 为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB. 解析 (1)由已知得F(1,0),l 的方程为x=1, 由已知可得,点A 的坐标为(1,√22)或(1,−√22).所以AM 的方程为y=-√22x+√2或y=√22x-√2.(2)当l 与x 轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,当l 与x 轴垂直时,直线OM 为AB 的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.当l 与x 轴不重合也不垂直时,设l 的方程为y=k(x-1)(k ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1<√2,x 2<√2,直线MA,MB 的斜率之和为k MA +k MB =y 1x 1-2+y 2x 2-2,由y 1=kx 1-k,y 2=kx 2-k 得k MA +k MB =2kx 1x 2-3k(x 1+x 2)+4k (x 1-2)(x 2-2).将y=k(x-1)代入x 22+y 2=1得(2k 2+1)x 2-4k 2x+2k 2-2=0,所以,x 1+x 2=4k 22k 2+1,x 1x 2=2k 2-22k 2+1.则2kx 1x 2-3k(x 1+x 2)+4k=4k 3-4k -12k 3+8k 3+4k2k 2+1=0,从而k MA +k MB =0,故MA,MB 的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB.综上,∠OMA=∠OMB.5.(2022届云南师大附中月考,17)椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率是√32,且点A(2,1)在椭圆C 上,O 是坐标原点.(1)求椭圆C 的方程;(2)直线l 过原点,且l ⊥OA,若l 与椭圆C 交于B,D 两点,求弦BD 的长度. 解析 (1)由e=√32,得c=√32a,b=12a,又点A(2,1)在椭圆上,所以4a 2+1a24=1,解得a=2√2,b=√2,所以椭圆C 的方程是x 28+y 22=1.(2)由题意得直线OA 的方程是y=12x,因为l ⊥OA,且l 过原点O,所以直线l 的方程是y=-2x,与椭圆联立,得17x 2=8,即x=±√2√17,不妨令B (√2√17√2√17),D (-2√217√2√17),则|BD|=√(√2√17√2√17)2+(√2√17√2√17)2=4√17017.6.(2022届甘肃嘉峪关一中开学考,20)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,且|F 1F 2|=2,点M (√3,√32)在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)已知点P(1,t)为椭圆C 上一点,过点F 2的直线l 与椭圆C 交于异于点P 的A,B 两点,若△PAB 的面积是9√27,求直线l 的方程.解析 (1)设椭圆的半焦距为c,由题意可得{2c =2,3a 2+34b2=1,a 2=b 2+c 2,解得a 2=4,b 2=3,故椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)因为P(1,t)在椭圆C 上,所以14+t 23=1,解得|t|=32.当直线l 的斜率为0时,|AB|=2a=4,S △PAB =12|AB||t|=12×4×32=3.因为△PAB 的面积是9√27,所以直线l 的斜率为0不符合题意,故可设直线l 的方程为x=my+1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立{x =my +1,x 24+y 23=1,整理得(3m 2+4)y 2+6my-9=0,则y 1+y 2=-6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4.故|AB|=√m 2+1|y 1-y 2|=√m 2+1·√(-6m 3m 2+4)2-4(-93m 2+4)=12(m 2+1)3m 2+4.因为点P 到直线l 的距离d=32|m|√=3|m|√,所以S △PAB =12|AB|d=12·12(m 2+1)3m 2+4·3|m|√=9|m|√m 2+13m 2+4,因为△PAB 的面积是9√27,所以9|m|√m 2+13m 2+4=9√27,整理得31m 4+m 2-32=0,解得m 2=1,即m=±1.故直线l 的方程为x=±y+1,即x±y -1=0,7.(2020天津,18,15分)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,-3),右焦点为F,且|OA|=|OF|,其中O 为原点.(1)求椭圆的方程;(2)已知点C 满足3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点),直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P,且P 为线段AB 的中点.求直线AB 的方程.解析 (1)由已知可得b=3.记半焦距为c,由|OF|=|OA|可得c=b=3.又由a 2=b 2+c 2,可得a 2=18.所以,椭圆的方程为x 218+y 29=1. (2)因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P,所以AB ⊥CP.依题意,直线AB 和直线CP 的斜率均存在.设直线AB 的方程为y=kx-3.由方程组{y =kx -3,x 218+y 29=1,消去y,可得(2k 2+1)·x 2-12kx=0,解得x=0,或x=12k 2k 2+1.依题意,可得点B 的坐标为(12k2k 2+1,6k 2-32k 2+1).因为P 为线段AB 的中点,点A 的坐标为(0,-3),所以点P 的坐标为(6k 2k 2+1,-32k 2+1).由3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得点C 的坐标为(1,0),故直线CP 的斜率为-32k 2+1-06k 2k 2+1-1,即32k 2-6k+1.又因为AB ⊥CP,所以k ·32k 2-6k+1=-1,整理得2k 2-3k+1=0,解得k=12或k=1.所以直线AB 的方程为y=12x-3或y=x-3.8.(2021北京,20)已知椭圆E:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)过点A(0,-2),以四个顶点围成的四边形面积为4√5. (1)求椭圆E 的标准方程;(2)过点P(0,-3)的直线l 的斜率为k,交椭圆E 于不同的两点B,C,直线AB 交y=-3于点M,直线AC 交y=-3于点N,若|PM|+|PN|≤15,求k 的取值范围.解析 (1)将A(0,-2)代入椭圆方程得b=2,由椭圆四个顶点围成的四边形面积为2ab=4√5,解得a=√5, 所以椭圆E 的标准方程为x 25+y 24=1.(2)由题意得直线l 的方程为y+3=k(x-0),即y=kx-3,将y=kx-3代入椭圆方程并化简得(4+5k 2)x 2-30kx+25=0,由Δ=(-30k)2-4×25(4+5k 2)>0,解得k<-1或k>1,设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),不妨设点B 位于第一象限,点C 位于第四象限,如图所示.则x 1+x 2=30k 4+5k2,x 1x 2=254+5k2,直线AB 的方程为y+2y 1+2=x -0x 1-0,令y=-3,解得x=-x 1y 1+2,得M (-x 1y 1+2,-3),同理可得N (-x 2y 2+2,-3),∴|PM|+|PN|=x 1y 1+2+x2y 2+2=x 1(y 2+2)+x 2(y 1+2)(y 1+2)(y 2+2)=x 1(kx 2-1)+x 2(kx 1-1)[(kx 1-3)+2][(kx 2-3)+2]=2kx 1x 2-(x 1+x 2)(kx 1-1)(kx 2-1)=2kx 1x 2-(x 1+x 2)k 2x 1x 2-k(x 1+x 2)+1=2k ·254+5k 2-30k 4+5k2k 2·254+5k2-k ·30k 4+5k2+1=50k -30k25k 2-30k 2+4+5k2=5k ≤15,解得k ≤3,又k>1,所以1<k ≤3.由椭圆的对称性知,当点B 位于第二象限,点C 位于第三象限时,-3≤k<-1. 综上,k 的取值范围为[-3,-1)∪(1,3].9.(2022届四川石室中学开学考,21)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,椭圆C 1的长轴是圆C 2:x 2+y 2=2的直径. (1)求椭圆C 1的标准方程;(2)过椭圆C 1的右焦点F 作两条相互垂直的直线l 1,l 2,其中l 1交椭圆C 1于P,Q 两点,l 2交圆C 2于M,N 两点,求四边形PMQN 面积的取值范围. 解析由题意得,c a =√22,2a=2√2,解得a=√2,c=1,又a 2=b 2+c 2,所以b=1,故椭圆C 1的标准方程为x 22+y 2=1. (2)由(1)知椭圆C 1的右焦点F(1,0), 当直线l 1的斜率不存在时,|PQ|=2b 2a =√2,|MN|=2√2,故四边形PMQN 的面积S=12×√2×2√2=2, 当直线l 1的斜率为0时,|PQ|=2a=2√2,|MN|=2, 故四边形PMQN 的面积S=12×2√2×2=2√2,当直线l 1的斜率存在且不为0时,设直线l 1的方程为x=my+1,P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),由{x =my +1,x 22+y 2=1,得(2+m 2)y 2+2my-1=0,所以y 1+y 2=-2m 2+m 2,y 1·y 2=-12+m 2,所以|PQ|=√1+m 2√(y 1+y 2)2-4y 1·y 2=2√2(1+m 2)2+m 2,此时l 2的方程为mx+y-m=0,坐标原点到l 2的距离为d=|m|√,所以|MN|=2√2−(|m|√)2=2√2+m 21+m2,故四边形PMQN 的面积S=12×2√2(1+m 2)2+m 2×2√2+m 21+m 2=2√2√1+m 22+m 2=2√2√1−12+m 2∈(2,2√2),综上,四边形PMQN 面积的取值范围是[2,2√2].综合篇知能转换考法一求椭圆的标准方程1.(2022届陕西西北工业大学附属中学月考,5)如果点M(x,y)在运动过程中,总满足关系式√x 2+(y +3)2+√x 2+(y -3)2=4√3,则点M 的轨迹是( ) A.不存在 B.椭圆 C.线段 D.双曲线答案 B2.(2021豫北名校5月联考,10)已知F 1(-1,0)为椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点,过F 1的直线与椭圆C 交于A,B 两点,与y 轴交于D 点.若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AD|=|F 1B|,则椭圆C 的标准方程为( ) A.x 22+y 2=1 B.x 23+y 22=1 C.x 24+y 23=1 D.x 25+y 24=1 答案 D3.(2021四川绵阳二模,15)已知F(1,0)为椭圆E:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的右焦点,过E 的下顶点B 和F 的直线与E 的另一个交点为A,若4BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =5FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则a= . 答案 34.(2022届贵州部分重点中学月考,16)已知圆C:x 2+(y+1)2=16,P 是圆C 上的动点,若A(0,1),线段PA 的垂直平分线与直线PC 相交于点Q,则点Q 的轨迹方程是 ;若M(2,1),则|MQ|+|QC|的最大值为 . 答案x 23+y 24=1;6 5.(2020课标Ⅲ,20,12分)已知椭圆C:x 225+y 2m 2=1(0<m<5)的离心率为√154,A,B 分别为C 的左、右顶点. (1)求C 的方程;(2)若点P 在C 上,点Q 在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BP ⊥BQ,求△APQ 的面积. 解析 (1)由题设可得√25−m 25=√154,得m 2=2516,所以C 的方程为x 225+y 22516=1. (2)设P(x P ,y P ),Q(6,y Q ),根据对称性可设y Q >0,由题意知y P >0.由已知可得B(5,0),直线BP 的方程为y=-1y Q(x-5),所以|BP|=y P √1+y Q 2,|BQ|=√1+y Q 2.因为|BP|=|BQ|,所以y P =1,将y P =1代入C 的方程,解得x P =3或-3.由直线BP 的方程得y Q =2或8.所以点P,Q 的坐标分别为P 1(3,1),Q 1(6,2);P 2(-3,1),Q 2(6,8).|P 1Q 1|=√10,直线P 1Q 1的方程为y=13x,点A(-5,0)到直线P 1Q 1的距离为√102,故△AP 1Q 1的面积为12×√102×√10=52.|P 2Q 2|=√130,直线P 2Q 2的方程为y=79x+103,点A 到直线P 2Q 2的距离为√13026,故△AP 2Q 2的面积为12×√13026×√130=52.综上,△APQ 的面积为52.6.(2022届四川乐山月考,20)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0),过点P (-1,√22),离心率e=√22.(1)求椭圆C 的方程;(2)过椭圆C 的左焦点F 1的直线l 交椭圆C 于A,B 两点,若在直线x=-2上存在点P,使得△ABP 为正三角形,求点P 的坐标.解析 (1)由题意得{ 1a 2+12b 2=1,c a =√22,a 2=b 2+c 2,则a 2=2,b 2=1,c 2=1,所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(2)由题知,F 1(-1,0),当直线l 的斜率不存在或斜率为0时,易知,不存在符合条件的点P.当直线l 的斜率存在且不为0时,设直线l 的方程为y=k(x+1)(k ≠0),线段AB 的中点为M,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),将y=k(x+1)代入x 22+y 2=1,整理得(1+2k 2)x 2+4k 2x+2k 2-2=0,所以x 1+x 2=-4k 21+2k 2,x 1x 2=2k 2-21+2k 2,则x M =-2k 21+2k 2,y M =k(x M +1)=k 1+2k2,故|AB|=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=√(1+k 2)[16k4(1+2k 2)2-8k 2-81+2k2]=2√2×1+k21+2k2.因为△ABP为正三角形,所以PM ⊥AB,则k PM ·k AB =-1,即k PM =-1k ,故直线PM 的方程为y-k 1+2k 2=-1k (x +2k 21+2k2),将x=-2代入直线PM 的方程可得y=2k +3k 1+2k 2,故P (-2,2k +3k 1+2k2),所以点P 到直线l 的距离为|k+2k +3k2|√1+k ,又|PM|=√32|AB|,所以|k+2k +3k 2|√1+k =√32×2√2×1+k21+2k2,解得k 2=2,即k=±√2,故P 的坐标为(-2,±4√25). 7.(2022届四省八校期中联考,19)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1和F 2,若A 为椭圆上一动点,直线AF 2与椭圆交于另一点B,若三角形ABF 1的周长为8,且点(1,−32)在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程;(2)设直线F 1A 、F 1B 与直线x=4分别交于点M 、N,记直线MF 2和直线NF 2的斜率分别为k 1和k 2,若k 1k 2=54,试求直线AB 的斜率.解析 (1)由题意可得,4a=8,所以a=2,又点(1,−32)在椭圆上,易得b=√3,所以椭圆的标准方程为x 24+y 23=1. (2)由题意得直线AB 的斜率不为0,故可设直线AB 的方程为x=my+1,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立方程组{x =my +1,x 24+y 23=1,整理得(3m 2+4)y 2+6my-9=0,故y 1+y 2=-6m 3m 2+4,y 1·y 2=-93m 2+4,故k AF 1=y 1x 1+1,k BF 1=y 2x 2+1,所以直线F 1A 的方程为y=y 1x 1+1(x+1),故可得M (4,5y 1x 1+1),同理可得N (4,5y 2x 2+1),故k 1=5y 13(x 1+1),k 2=5y 23(x 2+1),所以k 1k 2=25y 1y 29(x 1+1)(x 2+1)=259×y 1y 2(my 1+2)(my 2+2)=259×y 1y 2m 2y 1y 2+2m(y 1+y 2)+4=259×-93m 2+4-9m 23m 2+4-12m23m 2+4+4=-2516−9m 2.故-2516−9m 2=54,解得m=±2.所以直线AB 的斜率k=±12. 8.(2018天津,19,14分)设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为√53,点A 的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|=6√2. (1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l 与直线AB 交于点Q.若|AQ||PQ|=5√24sin ∠AOQ(O 为原点),求k 的值.解析 (1)设椭圆的焦距为2c,由已知有c 2a 2=59, 又由a 2=b 2+c 2,可得2a=3b.由已知可得,|FB|=a,|AB|=√2b,由|FB|·|AB|=6√2,可得ab=6,从而a=3,b=2. 所以,椭圆的方程为x 29+y 24=1.(2)设点P 的坐标为(x 1,y 1),点Q 的坐标为(x 2,y 2). 由已知有y 1>y 2>0,故|PQ|sin ∠AOQ=y 1-y 2. 又因为|AQ|=y 2sin ∠OAB ,而∠OAB=π4,故|AQ|=√2y 2.由|AQ||PQ|=5√24sin ∠AOQ,可得5y 1=9y 2. 由方程组{y =kx,x 29+y 24=1消去x,可得y 1=√9k +4. 易知直线AB 的方程为x+y-2=0,由方程组{y =kx,x +y -2=0消去x,可得y 2=2kk+1.由5y 1=9y 2,可得5(k+1)=3√9k 2+4,两边平方,整理得56k 2-50k+11=0,解得k=12或k=1128. 所以,k 的值为12或1128. 考法二求椭圆的离心率(或其范围)1.(2020长沙一模,8)设椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,点E(0,t)(0<t<b).已知动点P 在椭圆上,且P,E,F 2三点不共线,若△PEF 2的周长的最小值为3b,则椭圆C 的离心率为( ) A.√32B.√22C.12D.√53答案 D2.(2022届甘肃靖远开学考,10)已知F 1、F 2分别是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P,Q 是C 上位于x 轴上方的任意两点,且PF 1∥QF 2,若|PF 1|+|QF 2|≥b,则C 的离心率的取值范围是( ) A.(0,12] B.[12,1) C.(0,√32] D.[√32,1)答案 C3.(2022届河南部分名校联考,11)已知点F 1,F 2,分别为椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左,右焦点,点M 在直线l:x=-a 上运动,若∠F 1MF 2的最大值为60°,则椭圆C 的离心率是( ) A.13 B.12C.√32D.√33答案 C4.(2018课标Ⅱ,12,5分)已知F 1,F 2是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率为√36的直线上,△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P=120°,则C 的离心率为( )A.23B.12C.13D.14答案 D5.(2021全国乙理,11,5分)设B 是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的上顶点,若C 上的任意一点P 都满足|PB|≤2b,则C 的离心率的取值范围是( ) A.[√22,1) B.[12,1) C.(0,√22] D.(0,12]答案 C6.(2021九师联盟4月联考,11)设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)上有一个点A,它关于原点的对称点为B,点F 为椭圆的右焦点,且满足AF ⊥BF,设∠ABF=θ,且θ∈(π12,π3),则椭圆的离心率的取值范围为( ) A.(√33,√62] B.[√22,√63) C.(√33,√62) D.(√22,√63)答案 B7.(2021东北三省四市联考,12)第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会,北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市.同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”(先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会)国家.根据规划,国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示,内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆,若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC,BD(如图2),且两切线斜率之积等于-916,则椭圆的离心率为( )图1 图2A.34B.√74C.916 D.√32答案 B8. (2022届重庆第十一中学月考,15)美学四大构件是:史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学.素描是学习绘画的必要一步,它包括了明暗素描和结构素描,而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱,底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中,发现“切面”是一个椭圆,若“切面”所在平面与底面成30°角,则该椭圆的离心率为 .答案 129.(2020课标Ⅱ,19,12分)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合,C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A,B 两点,交C 2于C,D 两点,且|CD|=43|AB|. (1)求C 1的离心率;(2)设M 是C 1与C 2的公共点.若|MF|=5,求C 1与C 2的标准方程.解析 (1)由已知可设C 2的方程为y 2=4cx,其中c=√a 2-b 2.不妨设A,C 在第一象限,由题设得A,B 的纵坐标分别为b 2a ,-b 2a ;C,D 的纵坐标分别为2c,-2c,故|AB|=2b 2a ,|CD|=4c.由|CD|=43|AB|得4c=8b 23a ,即3×c a =2-2(c a)2.解得c a =-2(舍去)或c a =12.所以C 1的离心率为12. (2)由(1)知a=2c,b=√3c,故C 1:x 24c 2+y 23c 2=1. 设M(x 0,y 0),则x 024c 2+y 023c 2=1,y 02=4cx 0,故x 024c 2+4x 03c=1.① 由于C 2的准线为x=-c,所以|MF|=x 0+c,而|MF|=5,故x 0=5-c,代入①得(5-c)24c2+4(5−c)3c =1,即c 2-2c-3=0,解得c=-1(舍去)或c=3.所以C 1的标准方程为x 236+y 227=1,C 2的标准方程为y 2=12x. 考法三直线与椭圆位置关系问题1.(2021兰州诊断,11)已知P(2,-2)是离心率为12的椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)外一点,经过点P 的光线被y 轴反射后,所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切,则此条切线的斜率是 ( ) A.-18 B.-12 C.1 D.18答案 D2.(2022届安徽怀宁中学月考,20)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)过点-12,-√154,(√303,√66).(1)求椭圆C 的方程;(2)已知直线l:y=kx-2与椭圆C 交于M,N 两点. (i)若k=1,求线段MN 的中点坐标;(ii)当△OMN 的面积取到最大值时,求k 的值.解析 (1)由题意得{14a 2+1516b 2=1,103a 2+16b2=1,解得{a 2=4,b 2=1,故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),MN 的中点P 的坐标为(x 0,y 0),联立{y =kx -2,x 24+y 2=1,整理得(4k 2+1)x 2-16kx+12=0,∴Δ=(-16k)2-48(4k 2+1)>0,即k 2>34,x 1+x 2=16k4k 2+1,x 1x 2=124k 2+1.(i)∵k=1,∴x 1+x 2=165,∴x 0=85,y 0=x 0-2=-25,∴线段MN 的中点坐标为(85,-25). (ii)|MN|=√1+k 2|x 1-x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=4√(k 2+1)(4k 2-3)4k 2+1,又点O 到直线l 的距离d=√1+k ,∴S △OMN =12d ·|MN|=12·√1+k·4√(k 2+1)(4k 2-3)4k 2+1=4√4k 2-34k 2+1,令√4k 2-3=t,则t>0,∴S △OMN =4t t 2+4=4t+4t ≤44=1,当且仅当t=2时等号成立,此时k=±√72,且满足Δ>0,∴△OMN 面积的最大值是1,此时k 的值为±√72.3.(2022届陕西西北工业大学附属中学月考,21)过点A(0,1)作圆x 2+y 2=12的切线,两切线分别与x 轴交于点F 1(x 1,0),F 2(x 2,0)(x 1<x 2),以F 1,F 2为焦点的椭圆C 经过点A.(1)求椭圆C 的方程;(2)直线AF 2与椭圆C 的另一个交点为B,求直线BF 1被椭圆C 截得的线段长.解析 (1)过点A(0,1)作圆x 2+y 2=12的切线,显然切线斜率存在,故可设切线方程为y=kx+1,即kx-y+1=0,则圆心(0,0)到该切线的距离d=|0-0+1|k 2+(−1)2=1k 2+1,又圆x 2+y 2=12的半径r=√22,∴1k 2+1=√22,解得k=±1,故切线方程为y=x+1或y=-x+1.令y=0,解得x 1=-1,x 2=1,故F 1(-1,0),F 2(1,0).依题意可设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),又椭圆过点A(0,1),∴b=1,又c=1,∴a 2=b 2+c 2=2,故椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(2)由题知A(0,1),F 2(1,0),故直线AF 2的方程为x 1+y 1=1,即x+y-1=0.设直线AF 2与椭圆C 的另一个交点为B(x 3,y 3),联立{x +y -1=0,x 22+y 2=1,整理得3y 2-2y-1=0,∴y 3+1=23,解得y 3=-13,故x 3=1-(-13)=43,∴B 43,-13,则k BF 1=-13-043-(-1)=-17,故直线BF 1的方程为y=-17(x+1).设直线BF 1与椭圆C 的另一个交点为M(x 4,y 4),联立{y =−17(x +1),x22+y 2=1,整理得51y 2+14y-1=0,∴y 4-13=-1451,解得y 4=117,故x 4=-2417,∴M (-2417,117),∴|BM|=√(-2417-43)2+(117+13)2=√1402512+202512=100√251,所以直线BF 1被椭圆C 截得的线段长为100√251. 4.(2022届昆明一中双基检测二)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,且F 与椭圆C 上点的距离的取值范围为[2-√3,2+√3]. (1)求a,b;(2)若点P 在圆M:x 2+y 2=5上,PA,PB 是C 的两条切线,A,B 是切点,求△PAB 面积的最小值. 解析 (1)由题意得{a -c =2−√3,a +c =2+√3,解得{a =2,c =√3,则b=√a 2-c 2=1.(2)由(1)得,椭圆C 的方程为x 24+y 2=1,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),P(x 0,y 0),由x 124+y 12=1,得A 在直线l 1:x 1x4+y 1y=1上,将直线l 1与椭圆C 联立得,y 12x 24+y 12y 2=y 12x 24+(1−x 1x 4)2=y 12,即(x 12+4y 12)x 2-8x 1x+16-16y 12=0,则Δ=64x 12-4(x 12+4y 12)(16-16y 12)=64y 12(x 12+4y 12-4)=0,故直线l 1与C 相切,故C 在A 处的切线方程为l 1:x 1x 4+y 1y=1,同理C 在B 处的切线方程为l 2:x 2x4+y 2y=1.∵直线l 1与直线l 2相交于点P(x 0,y 0),故有x 1x 04+y 1y 0=1且x 2x 04+y 2y 0=1,∴直线AB 的方程为l:x 0x4+y 0y=1,将直线l 与椭圆C 联立得(x 02+4y 02)x 2-8x 0x+16-16y 02=0,则x 1+x 2=8x 0x 02+4y 02,x 1·x 2=16−16y 02x 02+4y 02,,故当y 0≠0时, |AB|=√1+x 0216y 02·√(x 1+x 2)2-4x 1·x 2 =√x 02+16y 024|y 0|·√(8x 0x 02+4y 02)2-4·16−16y 02x 02+4y 02 =2√x 02+16y 02·√x 02-(1-y 02)(x 02+4y 02)|y 0|(x 02+4y 02)=2√x 02+16y 02·√x 02+4y 02-4x 02+4y 02,故|AB|=2√x 02+16y 02·√x 02+4y 02-4x 02+4y 02.易验证当y 0=0时,该式也成立.∵点P 到直线l 的距离d=|x 024+y 02-1|√x 0216+y 02=0202√020,∴△PAB 的面积S=12|AB|·d=(x 02+4y 02-4)√x 02+4y 02-4x 02+4y 02,令t=√x 02+4y 02-4=√5−y 02+4y 02-4=√1+3y 02∈[1,4],则S=t 3t 2+4=11t +4t 3,易知S=11t +4t 3在t ∈[1,4]上单调递增,∴当t=1,即y 0=0,x 0=±√5时,△PAB 面积取得最小值15.5.(2021合肥二模,20)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为12,右顶点M 到左焦点的距离为3,直线l 与椭圆C 交于点A,B. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)设直线MA,MB 的斜率为k 1,k 2.若4k 1k 2+9=0,求|AB|的最小值.解析 (1)设椭圆的半焦距为c,由题意得{ca =12,a +c =3,解得{a =2,c =1.∴b=√3,∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)由题意知,直线l 的斜率不为0,设其方程为x=my+n,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 由{x =my +n,x 24+y 23=1得(3m 2+4)y 2+6mny+3n 2-12=0, ∴y 1+y 2=-6mn 3m 2+4,y 1y 2=3n 2-123m 2+4,Δ=(6mn)2-4(3m 2+4)·(3n 2-12)=48(3m 2-n 2+4)>0. 由(1)知M(2,0),则直线MA,MB 的斜率分别为k 1=y 1x 1-2,k 2=y 2x 2-2,∴k 1k 2=y 1y 2(x 1-2)(x 2-2)=y 1y 2(my 1+n -2)(my 2+n -2)=y 1y 2m 2y 1y 2+m(n -2)(y 1+y 2)+(n -2)2=3n 2-123m 2+4m 2·3n 2-123m 2+4+m(n -2)(-6mn 3m 2+4)+(n -2)2=3n 2-124(n -2)2=3(n+2)4(n -2)=-94,解得n=1. ∴直线l 的方程为x=my+1,直线l 过定点(1,0),此时,y 1+y 2=-6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4, ∴|AB|=√1+m 2|y 1-y 2|=√1+m 2·√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=√1+m 2√(-6m 3m 2+4)2+363m 2+4=√1+m 2·√144(m 2+1)(3m 2+4)2=12(m 2+1)3m 2+4=4·3m 2+33m 2+4=4(1−13m 2+4)≥3(当且仅当m=0时取等号),∴|AB|的最小值为3.6.(2021天一大联考顶尖计划第三次联考,20)已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0)(c>0),离心率为√32,经过F 且垂直于x 轴的直线交Γ于第一象限的点M,O 为坐标原点,且|OM|=√132.(1)求椭圆Γ的方程;(2)设不经过原点O 且斜率为12的直线交椭圆Γ于A,B 两点,A,B 关于原点O 对称的点分别是C,D,试判断四边形ABCD 的面积有没有最大值.若有,请求出最大值;若没有,请说明理由. 解析 (1)由题意知c a =√32,即a 2=43c 2,① 又由a 2=b 2+c 2,可得b 2=c 23.②联立{x =c,x 2a 2+y 2b 2=1,解得{x =c,y =±b 2a,则点M (c,b2a ).则|OM|=√c 2+(b2a )2=√132.③联立①②③,解得c=√3,a=2,b=1. 故椭圆Γ的方程为x 24+y 2=1.(2)设直线AB 的方程为y=12x+m,联立{y =12x +m,x 24+y 2=1,消去y 得2x 2+4mx+4(m 2-1)=0, 由题意得Δ=(4m)2-4×2×4(m 2-1)=16(2-m 2)>0,解得-√2<m<√2. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=-2m,x 1x 2=2(m 2-1).则|AB|=√1+(12)2|x 1-x 2|=√52√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√52√(-2m)2-4×2(m 2-1)=√52√8−4m 2.原点O 到直线AB 的距离d=√(12)+(−1)2=2√55·|m|,则直线CD 到直线AB 的距离d'=2d=4√55|m|, 显然四边形ABCD 是平行四边形, 所以S 四边形ABCD =|AB|d'=√52√8−4m 2·4√55|m| =2√m 2(8-4m 2)=2√14·4m 2(8-4m 2)≤2√14·(4m 2+8−4m 22)2=4,当且仅当4m 2=8-4m 2,即m=±1时,等号成立,故四边形ABCD 的面积存在最大值,且最大值为4.7.(2021宁夏名校二模,20)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为12,过点E(√7,0)的椭圆C 1的两条切线相互垂直.(1)求椭圆C 1的方程;(2)在椭圆C 1上是否存在这样的点P,过点P 引抛物线C 2:x 2=4y 的两条切线l 1、l 2,切点分别为B 、C,且直线BC 过点A(1,1)?若存在,指出这样的点P 有几个(不必求出点的坐标);若不存在,请说明理由.解析 (1)由椭圆的对称性,不妨设在x 轴上方的切点为M,x 轴下方的切点为N,则k NE =1,NE 的直线方程为y=x-√7,因为椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为12,所以c a =12,则a=2c,由a 2=b 2+c 2得b 2=3c 2,所以椭圆C 1:x 24c 2+y 23c 2=1,联立直线NE 与椭圆的方程得{y =x -√7,x 24c 2+y 23c 2=1,消去y 得7x 2-8√7x+28-12c 2=0,则有Δ=0,即(-8√7)2-4×7×(28-12c 2)=0,解得c 2=1,所以椭圆C 1的方程为x 24+y 23=1.(2)设点B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),P(x 0,y 0),由x 2=4y,即y=14x 2,得y'=12x,∴抛物线C 2在点B 处的切线l 1的方程为y-y 1=x 12(x-x 1).即y=x12x+y 1-12x 12,∵y 1=14x 12,∴y=x 12x-y 1.∵点P(x 0,y 0)在切线l 1上,∴y 0=x 12x 0-y 1.① 同理,y 0=x 22x 0-y 2.②由①、②得,点B(x 1,y 1),C(x 2,y 2)的坐标都满足方程y 0=x 2x 0-y.∵经过B(x 1,y 1),C(x 2,y 2)两点的直线是唯一的,∴直线BC 的方程为y 0=x 2x 0-y, ∵点A(1,1)在直线BC 上,∴y 0=12x 0-1, ∴点P 的轨迹方程为y=12x-1.又∵点P 在椭圆C 1上,在直线y=12·x-1上,直线y=12x-1经过椭圆C 1内一点(0,-1),∴直线y=12x-1与椭圆C 1交于两点,∴满足条件的点P 有两个.。