2014高二数学数学数列及不等式
高中数学数列与不等式综合问题放缩法
数列与不等式综合问题一裂项放缩 放缩法证明与数列求和有关的不等式中，很多时候要留一手，即采用有保留的方法，保留数列第一项或前两项，从数列第二项或第三项开始放缩，这样才不至于结果放得过大或过小。
常见裂项放缩技巧：例1 求证（1） 变式训练 [2016·湖南怀化质检]设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *. 求数列{a n }的通项(1)公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n<74. [2014·广东高考]设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1?a 1＋1?＋1a 2?a 2＋1?＋…＋1a n ?a n ＋1?<13. 二等比放缩（一般的，形如 的数列，求证都可以等比放缩）例4 [2014·课标全国卷Ⅱ]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n<32. 变式训练【2012.广东理】已知数列{a n }满足111221,1n n n s a a ++=-+=（1）求{a n }的通项公式2311111()21212121n n *++++<∈++++N 例求证：,n n n n n a a b a a b =-=-12111....nk a a a +++<231111+++......+12222n<（2）证明：对一切正整数n ，都有121113 (2)n a a a +++< 三伯努利不等式应用及推广 对任意的实数()()*1,11nx x nx n N >-+≥+∈有伯努利不等式 例：求证()1111+11+1....13521n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++> ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭变式训练【2008，福建理】已知函数()()ln 1f x x x =+-（1）求f （x ）的单调区间（2）记f （x ）在[]()0,n n N ∈上的最小值是n b ，令()ln 1n n a x b =+-，求证1313211224242......1...n na a a a a a a a a a a a -+++< 伯努利不等式的推广对任意的实数，例，【2006，江西理】已知数列{a n }满足()11133,2221n n n na a a n a n --==≥+- （1）已知数列{a n }满足（2）证明：对于一切正整数n ，不等式123...2!n a a a a n <恒成立。
2014高三数学理科尖子生辅导材料(3)--数列与不等式
尖子生辅导材料3──数列与不等式 姓名________导语:数列与不等式是高中数学的重要内容,高考对本内容的考查比较全面,等差数列与等比数列、不等式的解法与证明的考查每年都不会漏.高考对于数列的命题,客观题突出 “小而巧”,主要考查等差(比)数列的概念、性质、通项公式与求和公式；主观题一般“大而全”，常与函数、不等式、解析几何等知识相结合，注重考查题目的综合性与新颖性，这也体现了高考在“知识点交汇处”命题的理念.数列求和问题是数列中的重要知识,在高考中经常出现,对于等差(比)数列的求和主要是运用公式;而非等差(比)数列的求和问题,一般用通项化归法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法等.高考对于不等式的命题,往往是一到两个选择或填空题,重点考查一元二次不等式、简单的线性规划问题和基本不等式在求最值中的应用,解答题一般没有纯不等式的题目,而会穿插在其他知识中进行综合考查.一元二次不等式是高中数学的重要内容,是分析、解决相关数学问题的基础与工具,在高考中试题形式活泼且多种多样,既有选择或填空题,又有解答题,与函数、方程、数列、三角、解析几何、立体几何及实际问题相互交叉和渗透，考查不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法，以及逻辑思维能力、运算能力、分析问题和解决问题的综合数学能力，充分体现了不等式的知识所具有的极强的辐射作用.问题展示解密高考:1. 在1和256之间顺次插入三个数a b c 、、,使1256a b c 、、、、成一个等比数列,则这5个数之积．．为( ) 18()2A 19()2B 20()2C 21()2D2. 下列选项中,使不等式21x x x<<成立的x 的取值范围是( )()(,1)A -∞- ()(1,0)B - ()(0,1)C ()(1,)D +∞则2315[()]f a a a -=( )()0A 21()16B π 21()8C π 213()16D π14.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足11221()n n n S a n N +++=-+∈,且1235a a a +、、成等差数列.()Ⅰ求1a 的值;()Ⅱ求数列{}n a 的通项公式;()Ⅲ证明:对一切正整数n ,有1211132n a a a +++<.15. 设函数2*()1,(,)1!2!!nn x x x f x x R n N n =-++++∈∈. ()Ⅰ证明对每一个*n N ∈,存在唯一的1,12n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,满足()0n n f x =;()Ⅱ由()Ⅰ中的n x 构成数列{}n x ,判断数列{}n x 的单调性并证明;()Ⅲ对任意*p N ∈,n n p x x +、满足()Ⅰ,试比较n n p x x +-与1n的大小.巩固训练:1. 下列结论一定恒成立的是( )1()sin 2(,)sin A x x k k Z x π+≠∈≥ ()B 若a b 、为正实数,则2abab a b+≥ ()C 若12(0,1)a a ∈、,则12121a a a a >+-()312D a a a a+-++-≥ 7.设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S an n N *+=--∈且2514a a a 、、构成等比数列. ()Ⅰ证明:2145a a =+; ()Ⅱ求数列{}n a 的通项公式； ()Ⅲ证明:对一切正整数n ,有1223111112n n a a a a a a ++++<.8. 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列,其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且335544S a S a S a +++、、成等差数列.()Ⅰ求数列{}n a 的通项公式;()Ⅱ设*()1n n n T S n S ∈=-N ,求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.问题展示解密高考答案: 1─6 CAA BCD7.128 8.(13)-，9.23 10.[1,2] 11.99212.54[点评]本题难度较大,综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用,需考生加强知识系统、网络化学习.7. 分子、分母之和为2的有1项,为3的有2项,,为16的有15项,而89是分子、分母之和为17的第8项.故共有1511581282+⨯+=项.11.提示:利用()()1f x f x -+=求和(逆序相加法求数列的和).12.解:由12()()1f x f x +=得21243441x x x +=-,12121212412()141441x xx x x x f x x ++-+==-++ 222164(41)41x x =-+-+-222142(41)641x x --+-≥14155=-=,当且仅当2244141x x -=-,即243x =,24log 3x =时取得最小值.于是112111111131331113323213nnn n a a a -⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭++++++==-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-≤点评:上述证法实质上是证明了一个加强命题1211131123nn a a a ⎡⎤⎛⎫+++-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≤,该加强命题的思考过程如下.考虑构造一个公比为q 的等比数列{}n b ,其前n 项和为()111n n b q T q-=-,希望能得到()1121111312n n b q a a a q -+++<-≤,考虑到()11111n b q b q q -<--,所以令1312b q =-即可.由n a 的通项公式的形式可大胆尝试令13q =,则11b =,于是113n n b -=,此时只需证明1113n n nb a -=≤就可以了.当然,q 的选取并不唯一,也可令12q =,此时134b =,132n n b +=,与选取13q =不同的地方在于,当1n =时,1n n b a >,当2n ≥时,1n nb a <,∴此时我们不能从第一项就开始放缩,应该保留前几项,之后的再放缩,下面给出其证法.当1n =时,11312a =<;当2n =时,121113152a a +=+<;当3n =时,12311111315192a a a ++=++<.当4n ≥时,1n nb a<,∴31231132211111113311151951916212n n a a a -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+++<+++<+++<-.综上所述,命题获证.两式相减：并结合0n p n x x +-<，以及1[,1]2n x ∈2111111111111!!!!(1)1kk k k n pn pn p n p n pnn pnn pn pn n p k k n k n k n k n k n xxxxx x k k k k k k k k n n p n +++++++++==+=+=+=+=+-⎡⎤-=+<<=-=-<⎢⎥--+⎣⎦∑∑∑∑∑∑≤所以有1||n n p x x n+-<(14分)巩固训练答案: 1─3 C DD 4.122n +- 20145.20156.2e4.解：()()11222,:222(2)n n n x y n y n x --='=-++=-+-切线方程为,令0x =，求出切线与y 轴交点的纵坐标为()012ny n =+,所以21n n a n =+,则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和()12122212n n n S +-==--. 分析：本题主要考查利用导数求切线方程，再与数列知识结合起来，解决相关问题.5.解:当0x =时,21y n =+;当0y =时,2x n=,所以三角形的面积12211121(1)1n S n n n n n n =⨯⨯==-+++, 所以12320141111112014112232014201520152015S S S S ++++=-+-++-=-=.则()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞上分别单调递增,∵1(1)0,()n n n nf T S f S S ==-=,当n 为奇数时,n S 随n 的增大而减小,所以1312n S S <=≤，故11113250236n n S S S S <--=-=≤.当n 为偶数时,n S 随n 的增大而增大,所以2314n S S =<≤，故221134704312n n S S S S >--=-=-≥. 综上,对于*n N ∈,总有715126n nS S --≤≤.∴数列{}n T 的最大项的值为56,最小项的值为712-.注: 本题考查等差数列的概念，等比数列的概念、通项公式、前n 项和公式，数列的基本性质等基础知识.考查分类讨论的思想，考查运算能力、分析问题和解决问题的能力.。
数列与不等式54页PPT
小结与说明
本题这类问题的求解，原则上可通过布列关于 a1 和 d 的方程组并求出 a1 和 d ，然后利用通项公式将 欲求之式化为关于 a1 和 d 的表达式再代入求解，这
是函数与方程思想的具体体现．而这里，我们通过整 体换元巧列方程组，收到了出奇制胜的效果，既体现 了方程思想的重要价值，又展示了整体换元下布列方 程的技能．所有这些，都需要我们在相关问题的求解 训练中逐步领悟和熟练．
二、典型问题精讲
考点1： 等差数列、等比数列的通项
公式与前 n 项和
例1 在等差数列 a n 中,公差 d
1 2
，且
S100 145 ，则 a1a3a5La99
______.
解：设 P a 1 a 3 a 5 L a 9 9,
Q a 2 a 4 a 6 L a 1 0 0 ,
则 QQPPS51000d12455,, 解得 P 60. 所以 a 1 a 3 a 5 L a 9 9 6 0 .
当 p 1时，通常先引进参数 ，并设 an1 p(an ) ， 再利用待定系数法求出参数 ，即可得一个等比数列 {an }，然后再求解．
考点3： 数列与其他知识的交汇问题
例4 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这
n 2 个数构成递增的等比数列，将这 n 2 个 数的乘积记作 Tn ，再令 an lg Tn ， n 1.
考点2： 数列递推问题
例 3 已知数列{an} 满足 3an1 an 4(n 1) ，
且 a1 9 ，其前 n 项和为 Sn ，则满足不等式
|
Sn
n
6
|
1 125
的最小整数
n
是（
）．A.6B.7源自C. 8D.9解：由 3an1
2014高二数学数学数列和不等式
厦门市翔安一中2014-2015学年度高二上理科数学练习（9）数列、不等式班级 姓名 座号 成绩一、选择题 ：1．下列选项中的正确的是 ( )A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bdB ．若|a |＞b ，则a 2＞b 2C ．若a ＞b ，则a 2＞b 2D ．若a ＞|b |，则a 2＞b 2 2. 等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（ ）A ．81B ．120C ．168D ．192 3. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若63S S ＝13，则126S S ＝( )． A ．310 B ．13 C ．18D ．194．在等差数列{a n }中，3(a 2＋a 6)＋2(a 5＋a 10＋a 15)＝24，则此数列前13项之和为( )． A ．26B ．13C ．52D ．1565．已知等差数列{a n }的前三项依次为a －1，172－a,3，则该数列中第一次出现负值的项为( )A ．第9项B ．第10项C ．第11项D ．第12项 6．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( )． A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2n D ．3n－17．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝41，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )． A ．16(1－4－n) B ．16(1－2－n) C ．332(1－4－n)D ．332(1－2－n) 8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则n S ＝A ．12n - B ． 132n -⎛⎫⎪⎝⎭C ． 123n -⎛⎫⎪⎝⎭D ．112n -二、填空题9．数列{a n }中的前n 项和S n ＝n 2－2n ＋2，则通项公式a n ＝__________. 10.不等式x －1x ＋2＜0的解集为( ) 11．若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是 。
高中数学备课教案不等式与数列
高中数学备课教案不等式与数列高中数学备课教案：不等式与数列一、引言在高中数学教学中，不等式与数列是重要的内容之一。
不等式是数学中用于表示大小关系的工具，而数列则是一系列有规律的数字的排列。
本教案旨在帮助教师充分了解不等式与数列的相关知识，并提供备课思路和教学方法，以提升学生对这些概念的理解和应用能力。
二、不等式的基础知识1. 不等式的定义和性质不等式是指数之间的大小关系，包括大于等于、小于等于、大于、小于等四种形式。
教师应当对不等式的定义和常见的性质进行介绍，例如不等式的传递性、加减乘除法则等。
2. 不等式的解法a. 直接法：对于简单的一元一次不等式，可以直接通过变量的加减乘除运算得到解。
b. 图像法：通过将不等式转化为图像，利用图像上的区域来得到解，特别适用于复杂的二次不等式。
c. 区间法：将不等式转化为区间表示，通过判断变量所在的区间来得到解。
三、不等式的应用1. 不等式的图像表示及应用a. 了解不等式的图像表示方式，例如用数轴来表示不等式中变量的取值范围。
b. 掌握利用不等式解决实际问题的方法，如利用不等式求解范围、判断条件等。
2. 不等式的证明a. 了解和掌握不等式的比较原理和证明方法，如数学归纳法、反证法等。
b. 引导学生从不等式的定义和性质出发，运用合适的证明方法来证明不等式的成立。
四、数列的基础知识1. 数列的定义和表示方法a. 数列由一系列有规律的数字所组成，通常用数学表达式表示。
b. 掌握等差数列和等比数列的定义和常见特点。
2. 数列的通项公式a. 等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d。
b. 等比数列的通项公式：an = a1 * r^(n-1)。
3. 数列的求和公式a. 等差数列的求和公式：Sn = n/2 * (a1 + an)。
b. 等比数列的求和公式：Sn = a1 * (1-r^n) / (1-r)。
五、数列的应用1. 数列的图像表示及应用a. 掌握数列的图像表示方法，如坐标表示、直方图表示等。
2014届高三数学《考前指导》4不等式、数列
2014届高三数学《考前指导》专题四 不等式、数列（本专题内容来自必修5）一、知识归纳不等式部分1、比较大小的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量与“0”比，与“1”比或放缩法 ；(8)图象法。
2、常用不等式：若0,>b a ，（12211a b a b+≥≥≥+（当且仅当b a =时取等号） ；（2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；（3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）3、基本不等式的应用①一正二定三取等；②积定和最小,和定积最大。
常用的方法为：拆、凑、平方；数列部分1、数列前n 项和S n与第n 项a a的关系：S 1 (n =1)a n = S n -S n-1 (n ≥2) 2、等差数列的主要性质：已知{a n },{b n }为等差数列，则：①{ka n },{a n }+{b n },{ka n +b},(k,b 为常数)等仍成等差数列； ②a n =a m +(n-m)d (m,n ∈N +)； ③2a n =a n-m +a n+m ; ④如果m+n=p+q ，则a m +a n =a p +a q ;⑤如果S n 为{a n }的前n 项和，则S n ,S 2n –S n, S 3n -S 2n 成等差数列. ⑥在等差数列{a n }中，若项数为2n,则S 偶-S 奇=nd, S 奇/S 偶 = a n /a n+1 ;若项数为2n-1,则S 奇=na n , S 偶 =(n-1)a n ,S 2n-1 =(2n-1)a n ,即a n =S 2n-1/2n-1 3、等比数列的主要性质：已知{a n },{b n }为等比数列，则：①{ka n },{a n k },{a n b n },(k ≠0,k 为常数)等仍成等比数列； ②a n =a m ·q n-m(m,n ∈N +)；③a n 2=a n-m ·a n+m ; ④如果m+n=p+q ，则a m ·a n =a p ·a q ;⑤如果S n 为{a n }的前n 项和，则S n ,S 2n –S n, S 3n -S 2n 成等比数列.⑥在等比数列{a n }中，n 为偶数时，S 偶/S 奇=q,n 为奇数时，(S 奇-a 1)/S 偶 = q. ⑦特别注意等比数列的前n 项和公式及推导方法(错位相减)的应用. na 1 (q=1)S n = [a 1(1-q n)]/(1-q)(q ≠1)4、能用等差、等比数列的定义进行解题。
数列不等式
数列不等式数列不等式是数学中最基础的概念之一，也是解决特定问题的基本技术之一。
它能够帮助人们了解数学直觉，构建可操作的数学模型，以及深入挖掘生活中的数学关系。
一般地，数列不等式表示一个或多个等号组成的不等式，通常是以两两等式相结合的形式出现，即：若X1≤X2≤X3≤ (X)则，X1+X2+X3+…+Xn≤n(X1+Xn)2数学研究者经常使用这类不等式来描述给定的数列的范围，以及这些数列的几何发展情况。
例如，某数列的前n项和可以用如下变量替代：Sn=X1+X2+X3+ (X)这些变量可作为连续的函数。
通过不等式的方式来描述这些函数，通常可以提出一定的结论，甚至可以形成一个系统的数学研究体系。
不等式可以用来描述给定的数列和函数，例如可以利用不等式提出如下结论：若给定函数f(x)满足f(x)≤a，则f(x1)+f(x2)+…+f(xn)≤na2此外，如果f(x)的导函数的值存在，不等式往往用来描述导函数的大小或值的确定性。
例如，若函数f(x)的导函数g(x)存在，可以提出如下结论：若g(x)≤g1，则f(x1)+f(x2)+…+f(xn)≤ng1n不等式用来描述函数的空间形状和时间发展也是如此。
比如，有一类函数叫做凸函数，它以特定的形式出现：f(x)≤f(x1)+f′(x1)(xx1)其中，f′(x1)是函数f(x)在x1点处的导函数。
上述不等式可用来表示函数f(x)的单调性和凸性。
此外，不等式可以用来解释随机事件的发生，特别是事件的概率关系。
例如，假设有A、B、C三次事件，看作A事件概率P(A)，B事件概率P(B)，C事件概率P(C)。
那么根据不等式的概念，可以推出： P(A∪B∪C)≤P(A)+P(B)+P(C)这个不等式说明，A、B和C三个事件同时发生的概率一定比分别发生的概率之和要小。
数列不等式在各个学科领域都有着重要的作用，尤其是经济学、金融学、管理学等社会科学。
它能够有效地提升模型的效率，模拟实际发生事件的过程，开发更为实用的决策策略。
数列不等式知识点归纳总结
数列不等式知识点归纳总结数列不等式是数学中重要的一个分支，它与数列和不等式的结合使我们可以更深入地理解和解决实际问题。
在这篇文章中，我将对数列不等式的相关知识点进行归纳总结，希望能帮助读者更好地理解和应用数列不等式。
1. 数列的概念首先，我们需要了解数列的基本概念。
数列是按照一定的顺序排列的一组数，可以用常数项或通项公式来表示。
数列常用的表示方法有：通项公式、递推式和列表法。
通项公式表示第n项与n的关系，递推式表示后一项与前一项的关系，而列表法则将所有项罗列出来。
2. 数列不等式的性质数列不等式有一些基本的性质，对于求解不等式问题非常有用。
（1）同号性质：对于给定的数列，如果数列中相邻两项的差值同号，即大于零或小于零，那么这个数列就是同号数列。
（2）双边性质：对于同号数列，如果将数列中的每一项都乘以一个正数或负数，不等号的方向保持不变。
（3）单调性：对于数列a1, a2, a3, ...，如果对于任意的n，有an≤an+1或an≥an+1，则这个数列是递增数列或递减数列。
3. 数列不等式的解法接下来，我们将介绍一些常见的数列不等式的解法。
（1）柯西不等式：柯西不等式是指对于任意的实数ai和bi，有(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)² ≤ (a₁² + a₂² + ... + an²) × (b₁² + b₂² + ... + bn²)。
柯西不等式在计算机科学、金融等领域有很广泛的应用。
（2）排序不等式：对于给定的数列，在求解不等式问题时，可以将数列按照大小顺序排序，然后根据排序后的数列性质来进行分析和推导。
（3）图形法：对于一些复杂的数列不等式问题，可以利用图形来进行辅助推导和分析。
例如，通过作图可以更直观地观察数列的趋势和规律，从而找到解决问题的方法。
4. 数列不等式的应用数列不等式的应用非常广泛，可以涉及到各个领域。
数列与不等式证明方法归纳(解析版)
数列与不等式证明方法归纳共归纳了五大类，16种放缩技巧，30道典型例题及解析，供日后学习使用。
一、数列求和（1）放缩成等比数列再求和（2）放缩成差比数列再错位相减求和（3）放缩成可裂项相消再求和（4）数列和比大小可比较单项二、公式、定理（1）利用均值不等式（2）利用二项式定理（3）利用不动点定理（4）利用二次函数性质三、累加、累乘（1）累加法（2）利用类等比数列累乘四、证明不等式常用方法（1）反证法（2）数学归纳法及利用数学归纳法结论五、其它方法（1）构造新数列（2）看到“指数的指数”取对数（3）将递推等式化为递推不等式（4）符号不同分项放缩一、数列求和（1）放缩成等比数列再求和[典例1]已知数列{}n a ，0≥n a ，01=a ，)(1*2121N n a a a n n n ∈=-+++。
（Ⅰ）求证：当*N n ∈时：1+<n n a a ；（Ⅱ）记)1()1)(1(1)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=，求证)(3*N n T n ∈<。
[解析]（Ⅰ）令1=n ，得12a a >（*）；又21211nn n a a a =-+++，2121-=-+n n na a a ，两式相减得011111>+++=--++-+n n n n n n n n a a a a a a a a ，即n n a a -+1与1--n n a a 同号（**）；由（*）、（**）得1+<n n a a ；（Ⅱ）令1=n ，得212152>-=a ； 由（Ⅰ）得{}n a 单调递减，即23112=+>+a a n ； 所以12222)1(1)1(1111-+++++++<n n a a a T ； 即321)32(121321)32(1321)32()32(3211112=+<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=--⋅+=++++<---n n n n T 。
高中数学数列与不等式(解析版)
数列与不等式在新高考卷的考点中，数列主要以两小和一大为主的考查形式，在小题中主要以数列极限和等差等比数列为主，大题考察位置21题，题型可以是多条件选择的开放式的题型。
由于三角函数与数列属于解答题第二题或第五题的位置，三角函数考查的内容相对比较简单，这一部分属于必得分。
数列大题属于压轴题难度较高。
对于小题部分，一般分布为一题简单题一道中等难度题目。
对于不等式主要考察不等式性质和基本不等式和线性规划。
基本不等式考察往往都是已基本不等式作为切入点形式出现，题目难度中等。
专题针对高考中数列、不等式等高频知识点，预测并改编一些题型，通过本专题的学习，能够彻底掌握数列，不等式。
请学生务必注意题目答案后面的名师点睛部分，这是对于本类题目的一个总结。
【满分技巧】1、等差、等比数列如果记住基本的通项公式以及求和公式和性质，基本上所有的等差、等比数列问题都可以解决。
2、数列求通项主要方法有：公式法、利用前n项和求通项、累加、累乘、构造等方法；这里要注意各个方法中递推关系的模型结构特点。
3、数列求和问题主要包含裂项求和，分组求和，绝对值求和，错位相减求和，掌握固定的求和方式即可快速得到答案；这里要注意各个方法中数列通项的结构模型；本专题有相应的题目供参考。
4、对于基本不等式类的题目应注意等号成立地条件和基本不等式的模型结构，对“1”的活用。
【考查题型】选择题、填空、解答题【常考知识】数列的概念、等差等比数列的概念和公式和性质、数列求通项的方法、数列求和的方法、不等式的性质、基本不等式【限时检测】（建议用时：120分钟）1.（2020•上海卷）已知2230x yyx y+≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2z y x=-的最大值为【答案】－12.（2020•上海卷）下列不等式恒成立的是（）A 、222a b ab +≤B 、22-2a b ab +≥C 、2a b ab +≥-D 、2a b ab +≤【答案】B3.（2020•上海卷）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910a a a a ++⋅⋅⋅=【答案】2784．（2020·上海大学附属中学高三三模）已知O 是正三角形ABC 内部的一点，230OA OB OC ++=，则OAC ∆的面积与OAB ∆的面积之比是A ．32B ．23C ．2D ．1【答案】B试题分析：如下图所示，D 、E 分别是BC 、AC 中点，由230OA OB OC ++=得()2OA OC OB OC +=-+即2OE OD =-，所以2OE OD =，设正三角形的边长为23a ，则OAC ∆底边AC 上的高为13AC h BE a ==，OAB ∆底边AB 上的高为1322AB h BE a ==，所以123221332322ACOACOABAB AC h S a a S AB h a a ∆∆⋅⨯===⋅⨯，故选B .考点：1.向量的几何运算；2.数乘向量的几何意义；3.三角形的面积. 5．（2020·上海高三二模）设12,z z 是复数，则下列命题中的假命题是（） A ．若120z z -=，则12z z = B ．若12z z =，则12z z = C ．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D ．若12=z z ，则2212z z =【答案】D试题分析：对（A ），若120z z -=，则12120,z z z z -==，所以为真；对（B ）若12z z =，则1z 和2z 互为共轭复数，所以12z z =为真； 对（C ）设111222,z a b z a i b i =+=+，若12=z z 22221122a b a b +=+，222211112222,z z a b z z a b ⋅=+⋅=+，所以1122z z z z ⋅=⋅为真；对（D ）若121,z z i ==，则12=z z 为真，而22121,1z z ==-，所以2212z z =为假．故选D ．考点：1.复数求模；2.命题的真假判断与应用．6．（2020·上海杨浦区·高三二模）设z 是复数，则“z 是虚数”是“3z 是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义及复数的概念进行判断．可取特例说明一个命题为假． 【详解】充分性：取132z =-+，故31z =是实数，故充分性不成立；必要性：假设z 是实数，则3z 也是实数，与3z 是虚数矛盾，∴z 是虚数，故必要性成立． 故选：B ．.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查复数的概念，属于基础题． 7．（2020·上海松江区·高三其他模拟）若复数z =52i-，则|z |=（ ） A ．1 B 5C ．5D ．5【答案】B【分析】利用复数的模的运算性质，化简为对复数2i -求模可得结果 【详解】|z |=5||2i -=5|2i|-5 故选：B.【点睛】此题考查的是求复数的模，属于基础题8．（2020·上海高三一模）设12,z z 为复数,则下列命题中一定成立的是( ) A ．如果120z z ->,那么12z z >B ．如果12=z z ,那么12=±z zC ．如果121z z >,那么12z z > D ．如果22120z z +=,那么12 0z z ==【答案】C【分析】根据复数定义,逐项判断,即可求得答案.【详解】对于A,取13z i =+,21z i =+时,120z z ->,即31i i +>+,但虚数不能比较大小, ,故A 错误; 对于B,由12=z z ,可得2222+=+a b c d ,不能得到12=±z z ,故B 错误;对于C ,因为121z z >,所以12z z >,故C 正确; 对于D ,取11z =,2z i =,满足22120z z +=,但是12 0z z ≠≠,故D 错误. 故选:C.【点睛】本题解题关键是掌握复数定义,在判断时可采用特殊值法检验,考查了分析能力,属于基础题. 9．（2020·上海高三二模）关于x 的实系数方程2450x x -+=和220x mx m ++=有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是（ ） A ．{}5 B ．{}1- C ．()0,1 D ．(){}0,11-【答案】D【分析】根据条件分别设四个不同的解所对应的点为ABCD ，讨论根的判别式，根据圆的对称性得到相应判断.【详解】解：由已知x 2﹣4x +5＝0的解为2i ±，设对应的两点分别为A ，B ， 得A （2，1），B （2，﹣1），设x 2+2mx +m ＝0的解所对应的两点分别为C ，D ，记为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），（1）当△＜0，即0＜m ＜1时，220x mx m ++=的根为共轭复数，必有C 、D 关于x 轴对称，又因为A 、B 关于x 轴对称，且显然四点共圆；（2）当△＞0，即m ＞1或m ＜0时，此时C （x 1，0），D （x 2，0），且122x x +＝﹣m ， 故此圆的圆心为（﹣m ，0），半径122x x r -====，又圆心O 1到A 的距离O 1A =，解得m ＝﹣1，综上：m ∈（0，1）∪{﹣1}. 故选：D.【点睛】本题考查方程根的个数与坐标系内点坐标的对应，考查一元二次方程根的判别式，属于难题. 10．（2020·上海徐汇区·高三一模）已知x ∈R ，条件p ：2x x <，条件q ：11x>，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】分别求两个命题下的集合，再根据集合关系判断选项. 【详解】201x x x <⇔<<，则{}01A x x =<<，1101x x>⇔<<，则{}01B x x =<<，因为A B =， 所以p 是q 的充分必要条件. 故选：C11．（2020·上海市建平中学高三月考）数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线22322():16C x y x y =+为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（ ）（1）方程22322()16x y x y +=（0xy <），表示的曲线在第二和第四象限； （2）曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2； （3）曲线C 构成的四叶玫瑰线面积大于4π；（4）曲线C 上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）； A ．（1）（2） B ．（1）（2）（3） C ．（1）（2）（4） D ．（1）（3）（4）【答案】A【分析】因为0xy <，所以x 与y 异号，仅限与第二和四象限，从而判断（1）．利用基本不等式222x y xy +即可判断（2）；将以O 为圆心、2为半径的圆的面积与曲线C 围成区域的面积进行比较即可判断（3）；先确定曲线C 经过点，再将x <y <(1,1)，(1,2)和(2,1)逐一代入曲线C 的方程进行检验即可判断（4）；【详解】对于（1），因为0xy <，所以x 与y 异号，仅限与第二和四象限，即（1）正确．对于（2），因为222(0,0)x yxy x y +>>，所以222x y xy +，所以22222322222()()16164()4x y x y x y x y ++=⨯=+， 所以224x y +，即（2）正确；对于（3），以O 为圆点，2为半径的圆O 的面积为4π，显然曲线C 围成的区域的面积小于圆O 的面积，即（3）错误；对于（4），只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，把(1,1)，(1,2)和(2,1)代入曲线C 的方程验证可知，等号不成立，所以曲线C 在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线C 只经过整点(0,0)，即（4）错误； 故选：A.【点睛】本题考查曲线的轨迹方程，涉及特殊点代入法、均值不等式、圆的面积等知识点，有一定的综合性，考查学生灵活运用知识和方法的能力，属于中档题．12．（2020·上海市七宝中学高三其他模拟）已知F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，当0FA FB FC ++=时，则存在横坐标2x >的点A 、B 、C 有（ ） A ．0个 B ．2个 C ．有限个，但多于2个 D ．无限多个【答案】A【分析】首先判断出F 为ABC 的重心，根据重心坐标公式可得2312313,x x x y y y +=-+=-，结合基本不等式可得出()2221232y y y ≤+，结合抛物线的定义化简得出12x ≤，同理得出232,2x x ≤≤，进而得出结果.【详解】设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，先证12x ≤，由0FA FB FC ++=知，F 为ABC 的重心， 又131132(1,0),1,033x x x y y yF ++++∴==，2312313,x x x y y y ∴+=-+=-， ()()222222323232322y y y y y y y y ∴+=++≤+，()2221232y y y ∴≤+， 2223122444y y y ⎛⎫∴≤+ ⎪⎝⎭，()1232x x x ∴≤+，()1123x x ∴≤-12x ∴≤， 同理232,2x x ≤≤， 故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，基本不等式的应用，解本题的关键是判断出F 点为三角形的重心，属于中档题.13．（2020·上海杨浦区·高三二模）不等式102x x -≤-的解集为（ ） A ．[1,2] B ．[1,2)C ．(,1][2,)-∞⋃+∞D ．(,1)(2,)-∞⋃+∞【答案】B【分析】把分式不等式转化为整式不等式求解．注意分母不为0．【详解】原不等式可化为(1)(2)020x x x --≤⎧⎨-≠⎩，解得12x ≤<．故选：B ．【点睛】本题考查解分式不等式，解题方法是转化为整式不等式求解，转化时要注意分式的分母不为0． 14．（2020·上海市南洋模范中学高三期中）下列不等式恒成立的是（ ） A ．222a b ab +≤ B ．222a b ab +≥-C ．a b +≥-D ．a b +≤【答案】B【分析】根据基本不等式即可判断选项A 是否正确，对选项B 化简可得()20a b +≥，由此即可判断B 是否正确；对选项C 、D 通过举例即可判断是否正确.【详解】A.由基本不等式可知222a b ab +≥，故A 不正确；B. 2222220a b ab a b ab +≥-⇒++≥，即()20a b +≥恒成立，故B 正确； C.当1,0a b =-=时，不等式不成立，故C 不正确；D.当3,1a b ==时，不等式不成立，故D 不正确. 故选：B.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用以及不等式大小的比较，属于基础题.15．（2020·上海崇明区·高三一模）设{}n a 为等比数列，则“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】对于任意的*2,m m m N a a +∈> ，即()210m a q >﹣.可得：2010m a q ⎧⎨-⎩＞＞，2010m a q ⎧⎨-⎩＜＜，任意的*m N ∈，解出即可判断出结论.【详解】解：对于任意的*2,m m m N a a +∈>，即()210m a q >﹣. ∴2010m a q ⎧⎨-⎩＞＞，2010m a q ⎧⎨-⎩＜＜，任意的*m N ∈， ∴01m a q ⎧⎨⎩＞＞，或001m a q ⎧⎨⎩＜＜＜. ∴“{}n a 为递增数列”，反之也成立.∴“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查等比数列的单调性，充分必要条件，是基础题.16．（2020·上海高三其他模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“()1n n a a n *+<∈N ”是“()11n n S S n n n *+<∈+N ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先证明充分性，由条件1n n a a +<，可得121n n a a a na +++⋅⋅⋅+<，通过变形得到11n n S S n n +<+，再由条件11n n S S n n +<+，列举特殊数列，说明是否成立. 【详解】充分性：若1n n a a +<，则有121n n a a a na +++⋅⋅⋅+<，即()1n n n S n S S +<-，得()11n n n S nS ++<，于是有()11n n S S n n n *+<∈+N 成立，故充分性成立. 必要性：若()11n n S S n n n *+<∈+N 成立，取数列{}n a 为0,1,1,1,⋅⋅⋅，但推不出()1n n a a n *+<∈N ，故必要性不成立. 故选:A【点睛】本题考查判断充分不必要条件，数列的递推公式和前n 项和公式的综合应用，重点考查转化与化归的思想，逻辑推理能力，属于中档题型.17．（2020·上海交大附中高三其他模拟）已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且20,2,n n n n a S a a n >=+∈*N ,1121(2)(2)n n n n n n b a a +++=++，对任意的*,n n N k T ∈>恒成立，则k 的最小值是（ ） A ．13B ．12C ．16D ．1【答案】A【分析】由22n n n S a a =+可得21112n n n S a a ---=+，两式相减整理后可知11n n a a --=，则{}n a 首项为1，公差为1的等差数列，从而可得n a n =，进而可以确定111221n n n b n n +=-+++，则可求出121111 (3213)n n n T b b b n +=+++=-<++，进而可求出k 的最小值. 【详解】解：因为22n n n S a a =+，所以当2,n n N *≥∈时，21112n n n S a a ---=+，两式相减得22112n n n n n a a a a a --=+-- ，整理得，()()1101n n n n a a a a --+--=，由0n a > 知， 10n n a a -+≠，从而110n n a a ---=，即当2,n n N *≥∈时，11n n a a --=，当1n =时，21112a a a =+，解得11a =或0（舍），则{}n a 首项为1，公差为1的等差数列，则()111n a n n =+-⨯=.所以112111(2)(21)221n n n n n n b n n n n +++==-++++++，则1211111111111 (366112213213)n n n n n T b b b n n n ++=+++=-+-++-=-<+++++，所以13k ≥.则k 的最小值是13. 故选:A【点睛】本题考查了由递推数列求数列通项公式，考查了等差数列的定义，考查了裂项相消法求数列的和.一般如果已知了,n n S a 的关系式，一般地代入11,1,2,n n n S n a S S n n N*-=⎧=⎨-≥∈⎩ 进行整理运算.求数列的和常见的方法有，公式法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法等.18．（2020·上海大学附属中学高三三模）已知0a b >>，若12lim 25n n n nn a b a b ++→∞-=-，则（ ）A ．25a =-B ．5a =-C ．25b =-D ．5b =-【答案】D【分析】由0a b >>，可得01ab<<，将原式变形，利用数列极限的性质求解即可 【详解】因为0a b >>，且12lim 25n n n nn a b a b ++→∞-=-，所以01ab<<， 可得12limn n n nn a b a b ++→∞-=-2220lim 25011nn n a a b b b b a b →∞⎛⎫⋅- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭， 5b ∴=-，故选：D.【点睛】本题主要考查数列极限的性质与应用，属于基础题.19．（2020·上海市七宝中学高三其他模拟）如图，已知函数()y f x =与y x =的图象有唯一交点()1,1，无穷数列{}()*n a n N∈满足点()1,n n n P a a +()*n N ∈均落在()y f x =的图象上，已知()13,0P ，()20,2P ，有下列两个命题：（1）lim 1n n a →∞=；（2）{}21n a -单调递减，{}2n a 单调递增；以下选项正确的是（ ）A ．（1）是真命题，（2）是假命题B ．两个都是真命题C ．（1）是假命题，（2）是真命题D ．两个都是假命题【答案】B【分析】根据函数()y f x =的图象和()11f =可得出n a 的取值范围，再根据函数()y f x =的单调性判断{}21n a -和{}2n a 的单调性，结合数列各项的取值范围和单调性可得数列的极限值.【详解】()1n n a f a +=，当01n a <<时，由图象可知，112n a +<<；当13n a <<时，101n a +<<.13a =，20a =，32a =，401a ∴<<，512a <<，601a <<，712a <<，，因为函数()y f x =在区间()0,3上单调递减，因为5302a a <<=，()()53f a f a ∴>，即64a a >，()()64f a f a <，即75a a <，()()75f a f a >，即86a a >，，以此类推，可得1357a a a a >>>>，数列{}21n a -单调递减，2468a a a a <<<<，数列{}2n a 单调递增，命题（2）正确；当2n ≥时，2112n a -<≤，201n a <<，且数列{}21n a -单调递减，{}2n a 单调递增，所以，lim 1n n a →∞=，命题（1）正确. 故选：B.【点睛】本题考查数列单调性的判断以及数列极限的求解，考查推理能力，属于难题. 二、填空题20．（2019·上海高考真题）在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P ⋅≤，则1F P 与2F Q 的夹角范围为____________【答案】1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】通过坐标表示和121F P F P ⋅≤得到[]21,2y ∈；利用向量数量积运算得到所求向量夹角的余弦值为：222238cos 322y y y θ-==-+++；利用2y 的范围得到cos θ的范围，从而得到角的范围.【详解】由题意：()1F，)2F设(),P x y ，(),Q x y -，因为121F P F P ⋅≤，则2221x y -+≤ 与22142x y +=结合 224221y y ⇒--+≤，又y ⎡∈⎣ []21,2y ⇒∈(22221212cos F P F Q F P F Qθ⋅===⋅与22142x y +=结合，消去x ，可得：2222381cos 31,223y y y θ-⎡⎤==-+∈--⎢⎥++⎣⎦所以1arccos ,3θππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦本题正确结果：1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查向量坐标运算、向量夹角公式应用，关键在于能够通过坐标运算得到变量的取值范围，将问题转化为函数值域的求解.21．（2018·上海高考真题）在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =，则的AE BF ⋅最小值为____． 【答案】-3【分析】据题意可设E （0，a ），F （0，b ），从而得出|a ﹣b|=2，即a=b +2，或b=a +2，并可求得2AE BF ab ⋅=-+，将a=b +2带入上式即可求出AE BF ⋅的最小值，同理将b=a +2带入，也可求出AE BF ⋅的最小值． 【详解】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）；∴2EF a b =-=； ∴a=b+2，或b=a +2；且()()12AE a BF b ==-，，，； ∴2AE BF ab ⋅=-+；当a=b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b=a +2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3．【点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．22．（2020·上海高三三模）设点O 为ABC 的外心，且3A π=，若(),R AO AB AC αβαβ=+∈，则αβ+的最大值为_________. 【答案】23【分析】利用平面向量线性运算整理可得()1OA OB OC αβαβ+-=+，由此得到1αβ+<；由3A π=可求得cos BOC ∠，设外接圆半径为R ，将所得式子平方后整理可得()213αβαβ+=+，利用基本不等式构造不等关系，即可求得所求最大值. 【详解】()()AO AB AC OB OA OC OA αβαβ=+=-+-()1OA OB OC αβαβ∴+-=+ 10αβ∴+-<，即1αβ+<，1cos 2A =1cos cos 22BOC A ∴∠==-， 设ABC 外接圆半径为R ，则()22222222222212cos R R R R BOC R R R αβαβαβαβαβ+-=++∠=+-，整理可得：()()22321313124αβαβαβαβ+⎛⎫+=+≤+⨯=++ ⎪⎝⎭， 解得：23αβ+≤或2αβ+≥（舍）,当且仅当13时，等号成立， αβ∴+的最大值为23.故答案为：23.【点睛】本题考查利用基本不等式求解最值的问题，关键是能够利用平面向量线性运算和平方运算将已知等式化为与外接圆半径有关的形式，进而消去外接圆半径得到变量之间的关系.23．（2020·上海高三一模）已知非零向量a 、b 、c 两两不平行，且()a b c //+，()//b a c +，设c xa yb =+，,x y ∈R ，则2x y +=______.【答案】－ 3【分析】先根据向量共线把c 用a 和b 表示出来，再结合平面向量基本定理即可求解． 【详解】解：因为非零向量a 、b 、c 两两不平行，且()//a b c +，()//b a c +，(),0a m b c m ∴=+≠， 1c a b m∴=- (),0b n a c n ∴=+≠ 1c b a n∴=-1111m n ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩，解得11m n =-⎧⎨=-⎩c xa yb =+1x y ∴==- 23x y ∴+=-故答案为：3-．【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量共线的合理运用．解题时要认真审题， 属于基础题.24．（2020·上海高三一模）已知向量1,22AB ⎛= ⎝⎭，31,22AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则BAC ∠=________． 【答案】6π【分析】利用平面向量数量积的坐标运算计算出AB 、AC 的夹角的余弦值，进而可求得BAC ∠的大小.【详解】由平面向量的数量积的坐标运算可得3442AB AC ⋅=+=，1AB AC ==， 3cos 2AB AC BAC AB AC⋅∴∠==⋅， 0BAC π≤∠≤，6BAC π∴∠=．故答案为：6π 【点评】本题考查了向量坐标的数量积运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．25．（2020·上海崇明区·高三二模）在ABC 中，()()3cos ,cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==，则ABC面积的最大值是____________ 【答案】34【分析】计算113sin 22624ABC S x π⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭△，得到答案.【详解】()22211sin ,1cos,2ABCS AB AC AB AC AB ACAB AC=⋅=⋅-△()22212AB AC AB AC=⋅-⋅=2113sin cos sin 22624x x x x π⎛⎫=-=--≤ ⎪⎝⎭， 当sin 216x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时等号成立.此时262x ππ-=-，即6x π=-时，满足题意.故答案为：34.【点睛】本题考查了三角形面积的最值，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.26．（2020·上海高三其他模拟）已知ABC 的面积为1，点P 满足324AB BC CA AP ++=，则PBC 的面积等于__________． 【答案】12【分析】取BC 的中点D ，根据向量共线定理可得,,A P D 共线，从而得到1122PBC ABC S S ∆∆==． 【详解】取BC 的中点D ，1()2AD AC AB ∴=+． 432()()AP AB BC CA AB BC CA AB BC AB AC AB =++=+++++=+，1()4AP AC AB ∴=+∴12AP AD =，即,,A P D 共线．1122PBC ABC S S ∆∆==．故答案为：12．【点睛】本题主要考查向量共线定理，中点公式的向量式的应用以及三角形面积的计算，属于基础题．27．（2020·上海大学附属中学高三三模）设11(,)x y 、22(,)x y 、33(,)x y 是平面曲线2226x y x y +=-上任意三点，则12A x y =-212332x y x y x y +-的最小值为________ 【答案】-40【分析】依题意看做向量()22,a x y =与()33,b y x =-的数量积，()22,a x y =与()11,c y x =-的数量积之和，根据点所在曲线及向量数量积的几何意义计算可得；【详解】解：因为2226x y x y +=-，所以()()221310x y -++=，该曲线表示以()1,3-为圆心，10为半径的圆．12212332A x y x y x y x y =-+-，可以看做向量()22,a x y =与()33,b y x =-的数量积，()22,a x y =与()11,c y x =-的数量积之和，因为点22(,)x y 在2226x y x y +=-上，点()33,y x -在2226x y y x +=+，点()11,y x -在2226x y y x +=--上，结合向量的几何意义，可知最小值为()()210102101040-+-=-，即()()()()2,64,22,62,440--+-=-故答案为：40-【点睛】本题考查向量数量积的几何意义的应用，属于中档题.28．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三月考）若复数z 满足i 1i z ⋅=-+，则复数z 的虚部为________ 【答案】1【分析】求解z 再得出虚部即可. 【详解】因为i 1i z ⋅=-+，故1111i iz i i i i i-+-==+=+=+，故虚部为1. 故答案为：1【点睛】本题主要考查了复数的运算与虚部的概念，属于基础题. 29．（2020·上海高三一模）复数52i -的共轭复数是___________. 【答案】2i -+【分析】由复数代数形式的除法运算化简复数52i -，求出z 即可． 【详解】解：55(2)5(2)22(2)(2)5i i i i i i ----===----+--， ∴复数52i -的共轭复数是2i -+ 故答案为2i -+【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础题．30．（2020·上海大学附属中学高三三模）已知复数22(13)(3)(12)i i z i +-=-，则||z =______【答案】【分析】根据复数乘法与除法运算法则化简，再根据共轭复数概念以及模的定义求解.【详解】22(13)(3)(13)(68)26(12)34i i i i z i i i +-++===-----|||26|z i ∴=-+==故答案为：【点睛】本题考查复数乘法与除法运算、共轭复数概念以及模的定义关系，考查基本分析求解能力，属基础题.31．（2020·上海高三其他模拟）若复数z 满足i 12i01z+=，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________【答案】1-【分析】根据行列式得到(12)0iz i -+=，化简得到复数的虚部.【详解】i 12i 01z +=即12(12)0,2iiz i z i i+-+===-，z 的虚部为1- 故答案为1-【点睛】本题考查了行列式的计算，复数的虚部，意在考查学生的计算能力.32．（2020·上海市建平中学高三月考）设复数z 满足||1z =，使得关于x 的方程2220zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为________ 【答案】32-【分析】设z a bi =+，（,a b ∈R 且221a b +=），将原方程变为()()222220ax ax bx bx i +++-=，则2220ax ax ++=①且220bx bx -=②；再对b 分类讨论可得；【详解】解：设z a bi =+，（,a b ∈R 且221a b +=）则原方程2220zx zx ++=变为()()222220ax ax bx bx i +++-= 所以2220ax ax ++=，①且220bx bx -=，②；（1）若0b =，则21a =解得1a =±，当1a =时①无实数解，舍去； 从而1a =-，此时1x =-1z =-满足条件；（2）若0b ≠，由②知，0x =或2x =，显然0x =不满足，故2x =，代入①得14a =-，b =所以144z =-±综上满足条件的所以复数的和为113144442⎛⎛-+-++--=- ⎝⎭⎝⎭故答案为：32-【点睛】本题考查复数的运算，复数相等的充要条件的应用，属于中档题.33．（2020·上海高三其他模拟）从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，使得关于x 的方程2220x ax b ++=有两个虚根，则不同的选取方法有________种 【答案】3【分析】关于x 的方程x 2+2ax +b 2＝0有两个虚根，即△＜0，即a ＜b ．用列举法求得结果即可． 【详解】∵关于x 的方程x 2+2ax +b 2＝0有两个虚根，∴△＝4a 2﹣4b 2＜0，∴a ＜b ． 所有的（a ，b ）中满足a ＜b 的（a ，b ）共有（1，2）、（1，3）、（2，3），共计3个， 故答案为3．【点睛】本题考查列举法表示满足条件的事件，考查了实系数方程虚根的问题，属于中档题．34．（2020·上海市七宝中学高三其他模拟）已知复数13z i =-+（i 是虚数单位）是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的一个虚根，则::a b c =________.【答案】1:2:10【分析】利用求根公式可知，一个根为13i -+，另一个根为13i --，利用韦达定理即可求出a 、b 、c 的关系，从而可得 ::a b c【详解】利用求根公式可知，一个根为13i -+，另一个根为13i --，由韦达定理可得()()()13131313b i i a c i i a ⎧-++--=-⎪⎪⎨⎪-+--=⎪⎩ ，整理得：210bac a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2b a =，10c a =，所以:::2:101:2:10a b c a a a == 故答案为：1:2:10【点睛】本题主要考查了实系数一元二次方程的虚根成对的原理，互为共轭复数，考查了韦达定理，属于基础题.35．（2020·上海高三其他模拟）设复数2i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，则pq =________【答案】20-【分析】由题意复数2i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，利用一元二次方程根与系数的关系求出p q 、的值，可得答案.【详解】解：由复数2i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，故2-i 是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，故2+2i i p +-=-，(2+)(2)i i q -=， 故4p =-，5q =，故20pq =-， 故答案为：20-.【点睛】本题主要考查实系数的一元二次方程虚根成对定理，一元二次方程根与系数的关系，属于基础题型.36．（2020·上海徐汇区·高三一模）已知函数()f x ax b =+(其中,a b ∈R )满足：对任意[]0,1x ∈，有()1f x ≤，则()()2121a b ++的最小值为_________．【答案】9-【分析】根据题意()0f b =，()1f a b =+，可得()0b f =，()()10a f f =-，且()101f -≤≤，()111f -≤≤，所以将()()2121a b ++用()0f 和()1f 表示，即可求最值. 【详解】因为()f x ax b =+，对任意[]0,1x ∈，有()1f x ≤， 所以()0f b =，()1f a b =+，即()0b f =，()()10a f f =-，所以()()()()()()()21214214100211a b ab a b f f f f ++=+++=-⨯++⎡⎤⎣⎦()()()()()()2224040111211f f f f f f =-+-+++()()()()()22212011120f f f f f =--++≥--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，当()11f =-，()01f =时()()2120f f -⎡⎤⎣⎦最大为9， 此时()()2120f f --⎡⎤⎣⎦最小为9-， 所以()()2121a b ++的最小值为9-， 故答案为：9-【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据[]0,1x ∈，有()1f x ≤，可知()101f -≤≤，()111f -≤≤，由()0f b =，()1f a b =+可得()0b f =，()()10a f f =-，所以()()2121a b ++可以用()0f 和()1f 表示，再配方，根据平方数的性质求最值. 37．（2020·上海高三其他模拟）设全集U ＝R ，若A ＝{x |21x x-＞1}，则∁U A ＝_____． 【答案】{x |0≤x ≤1}【分析】先解得不等式,再根据补集的定义求解即可 【详解】全集U ＝R ,若A ＝{x |21x x-＞1}, 所以211x x -＞,整理得10x x-＞,解得x ＞1或x ＜0, 所以∁U A ＝{x |0≤x ≤1} 故答案为：{x |0≤x ≤1}【点睛】本题考查解分式不等式,考查补集的定义38．（2020·上海市建平中学高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|(|||2|4)(|2|||4)0}K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为________【答案】323【分析】利用不等式对应区域的对称性求出在第一象限的面积，乘以4得答案．【详解】解：(||2||4)(2||||4)0x y x y +-+-对应的区域关于原点对称，x 轴对称，y 轴对称，∴只要作出在第一象限的区域即可．当0x ，0y 时，不等式等价为(24)(24)0x y x y +-+-，即240240x y x y +-⎧⎨+-⎩或240240x y x y +-⎧⎨+-⎩，在第一象限内对应的图象为， 则(2,0)A ，(4,0)B ，由240240x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得4343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即44(,)33C ，则三角形ABC 的面积1442233S =⨯⨯=，则在第一象限的面积48233S =⨯=，则点集K 对应的区域总面积832433S =⨯=．故答案为：323．【点睛】本题考查简单的线性规划，主要考查区域面积的计算，利用二元一次不等式组表示平面区域的对称性是解决本题的关键，属于中档题．39．（2020·上海高三其他模拟）已知()22log 2log a b ab +=4a b +的最小值是______．【答案】9【分析】根据对数相等得到111b a +=，利用基本不等式求解()114a b b a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值得到所求结果. 【详解】因为22222log log log ab abab ==，所以()22l og og l a b ab +=，所以a b ab +=，所以111a b+=， ()1144414a ba b a b a b b a ⎛⎫∴+=++=+++ ⎪⎝⎭，由题意知0ab >，则0a b >，40b a >，则441459a b a b b a +=+++≥=，当且仅当4a b b a =，即2a b =时取等号，故答案为：9.【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到111b a+=的关系，从而构造出符合基本不等式的形式，属于中档题.40．（2020·上海高三二模）已知0,0x y >>，且21x y +=，则11x y+的最小值为________．【答案】3+【分析】先把11x y+转化为11112(2)()3y x x y x y x y x y +=++=++，然后利用基本不等式可求出最小值 【详解】解：∵21x y +=，0,0x y >>，∴11112(2)()33y x x y x y x y x y +=++=++≥+(当且仅当2y xx y=，即x =时，取“=”)． 又∵21x y +=，∴11x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴当1x =，12y =-时，11x y +有最小值，为3+．故答案为：3+【点睛】此题考查利用基本不等式求最值，利用1的代换，属于基础题.41．（2020·上海高三月考）已知实数x 、y 满足条件01x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩.则目标函数2z x y =+的最大值为______. 【答案】2【分析】作出约束条件所表示的可行域，当目标函数所表示的直线过点(1,0)A 时，目标函数取得最大值. 【详解】作出约束条件所表示的可行域，易得点(1,0)A ，当直线2y x z =-+过点A 时，直线在y 轴上的截距达到最大，∴max 2z =，故答案为：2【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意利用直线截距的几何意义进行求解.42．（2020·上海高三其他模拟）若()211,1nn N n x *⎛⎫-∈> ⎪⎝⎭的展开式中的系数为n a ，则23111lim n n a a a →∞⎛⎫+++⎪⎝⎭=____________． 【答案】2试题分析：由二项式定理知4x -的系数是2(1)2n n n n a C -==，12112()(1)1n a n n n n ==---，所以 231111lim()lim[2(1)]2n n n a a a n→∞→∞+++=-=.考点：二项式定理，裂项相消求和，数列极限.43．（2020·上海高三其他模拟）设正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项之积为n T ，且1n n S T +=，则lim n n S →∞=______． 【答案】1【分析】令1n =可得11112a S T ===，利用n T 的定义，1(2)n n n T S n T -=≥，可得n T 的递推关系，从而得1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求出n T 后可得n S ，从而可得lim n n S →∞．【详解】111T a S ==，∴121a =，112a =，即1112S T ==，1(2)n n n T S n T -=≥，∴11n n n T T T -+=，∴1111n n T T --=，即{}n T 是以2为首项，1为公差的等差数列， 故1211n n n T =+-=+，11n T n =+，1n n S n =+，112S =也符合此式，所以1n n S n =+， 所以lim limlim lim +1111111n n n n n n n S n n n →∞→∞→∞→∞-⎛⎫==-= ⎪++⎝⎭=，故答案为：1.【点睛】本题考查求数列的通项公式，解题中注意数列的和、数列的积与项的关系，进行相应的转化． 如对积n T 有1(2)nn n T S n T -=≥，对和n S 有1(2)n n n a S S n -=-≥，另外这种关系中常常不包括1n =的情形，需讨论以确定是否一致，属于较难题．三、解答题44．（2020·上海徐汇区·高三一模）设()x μ表示不小于x 的最小整数，例如(0.3)1,( 2.5)2μμ=-=-． （1）解方程(1)3x μ-=；（2）设()(())f x x x μμ=⋅，*n N ∈，试分别求出()f x 在区间(]0,1、(]1,2以及(]2,3上的值域；若()f x 在区间(0,]n 上的值域为n M ，求集合n M 中的元素的个数； （3）设实数0a >，()()2x g x x a xμ=+⋅-，2sin 2()57x h x x x π+=-+，若对于任意12,(2,4]x x ∈都有12()()g x h x >，求实数a 的取值范围．【答案】（1）34x <≤；（2）当(]0,1x ∈时，值域为{}1；当(]1,2x ∈时，值域为{}3,4；当(]2,3x ∈时，值域为{}7,8,9；(1)2n n +个；（3）(3,)+∞． 【分析】（1）根据()x μ的定义，列式解不等式；（2）根据定义分别列举()f x 在区间(]0,1、(]1,2以及(]2,3上的值域，和(1,]x n n ∈-时函数的值域，最后利用等差数列求和；（3）分别求两个函数的值域，并转化为()()max g x f x >，利用参变分离求实数a 的取值范围. 【详解】【解】（1）由题意得：213x <-≤，解得：34x <≤． （2）当(]0,1x ∈时，(]()1,()0,1x x x x μμ=⋅=∈，于是(())1x x μμ⋅=，值域为{}1当(]1,2x ∈时，(]()2,()22,4x x x x μμ=⋅=∈，于是(())3x x μμ⋅=或4，值域为{}3,4 当(]2,3x ∈时，(]()3,()36,9x x x x μμ=⋅=∈，于是(())7x x μμ⋅=或8或9，值域为{}7,8,9设*n N ∈，当(1,]x n n ∈-时，()x n μ=，所以()x x nx μ⋅=的取值范围为22(,]n n n -，-所以()f x 在(1,]x n n ∈-上的函数值的个数为n ，-由于区间22(,]n n n -与22((1)(1),(1)]n n n +-++的交集为空集， 故n M 中的元素个数为(1)1232n n n +++++=．- （3）由于2140573x x <≤-+，1sin 23x π≤+≤，因此()4h x ≤，当52x =时取等号，即即(2,4]x ∈时，()h x 的最大值为4，由题意得(2,4]x ∈时，()4g x >恒成立，当(2,3]x ∈时，223x a x >-恒成立，因为2max (2)33x x -=，所以3a >当(3,4]x ∈时，2324x a x >-恒成立，因为239244x x -<，所以94a ≥综合得，实数a 的取值范围是(3,)+∞．【点睛】关键点点睛：1.首先理解()x μ的定义，2.第三问，若对于任意12,(2,4]x x ∈都有12()()g x h x >，转化为()()max g x f x >，再利用参变分离求a 的取值范围.45．（2020·上海市建平中学高三月考）已知数列{}n a 满足：10a =，221n n a a =+，2121n n a a n +=++，*n ∈N .（1）求4a 、5a 、6a 、7a 的值； （2）设212n n na b -=，212333nn n S b b b =++⋅⋅⋅+，试求2020S ；（3）比较2017a 、2018a 、2019a 、2020a 的大小关系. 【答案】（1）3、5、5、8；（2）202120204037398S ⋅+=；（3）2017201820202019a a a a ==<. 【分析】。
数列及函数不等式
证：
1 4 x2n x2n1
1
1 1
4 (2n 1)(2n 1) 4 4n2 1 4 4n2
2 2n
1 n1 n
1
显然成立
2n
n1 n
左 2(1 2 2 3 .... n n 1） 2( n 1 1)
(三)其他结构裂项 *例1、数列 满足：
求 解：
的整数部分。
例2、
求证：
1
1
a1 a2 ... an1 a1 a2 ... an
左(1 1 )( 1
1 ) ... (
1
1
)
a1 a1 a2 a1 a2 a1 a2 a3
a1 a2 ... an1 a1 a2 ... an
1
1
1
a1 a1 a2 ... an a1
*2、an n(n 1), bn (n 1)2
背景：递归数列，数列不等式。 策略：递归公式变形，迭代，函数思想，恒等变形， 裂项求和，放缩法。
解析(1)
解析(2)
Sn
(a1
a2 )
(a2
a3 )
... (an
an1 )
1 2
an1
1
1 Sn 2 an1 1
2n 2 n
n 2(n 1)
练习：
*1、设 a1 1，an1 an n 1
2
... 2( 1
(k 1) k k k 1
k
1) k 1
累加得证。
例4、求证：
证：注意观察不等式两端结构，裂成n份比较。 累加得证。
练习：
1、设 x1 1，xn nn(n（1为n奇为数偶）数），求证：
1 1 ... 1 2( n 1 1)
数列与不等式的求解
数列与不等式的综合应用
数列与不等式在数学建模中的应用
描述数列与不等式在数学 建模中的重要性
举例说明数列与不等式在 解决实际问题中的应用
分析数列与不等式在数学 建模中的求解方法
总结数列与不等式在数学 建模中的实际意义
数列与不等式在实际问题中的应用
金融领域：数列和不等式用于计算 复利、保险和投资组合优化等问题。
汇报人：XX
计算机科学：在算法设计和数据结 构中，数列和不等式用于解决排序、 搜索和图论等问题。
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物理科学：在研究物理现象和解决 物理问题时，数列和不等式用于描 述和解决连续或离散的变化。
社会科学：在经济学、社会学和心 理学等领域，数列和不等式用于研 究人口增长、市场供需关系和决策 制定等问题。
性质：等差数列 中任意一项都是 前一项与后一项 的算术平均值
等比数列的求解
定义：等比数列是指每一项与它的前一项的比值都等于同一个常数的数列。 通项公式：an=a1*q^(n-1)，其中a1是首项，q是公比，n是项数。 求和公式：Sn=(a1*(1-q^n))/(1-q)，当q≠1时；Sn=a1*n，当q=1时。 应用：等比数列在数学、物理、工程等领域有广泛应用，如等比数列求和在实际问题中的应用。
数列与不等式的求解Байду номын сангаас
汇报人：XX
数列的求解方法 不等式的求解方法 数列与不等式的综合应用
数列的求解方法
等差数列的求解
定义：等差数列 是一种常见的数 列，其相邻两项 之差相等
通项公式： an=a1+(n-1)d， 其中an是第n项， a1是首项，d是 公差
求和公式： Sn=(n/2)(a1+a n)，其中Sn是前 n项和，a1是首 项，an是第n项
2014年高考数学复习口诀：不等式和数列_答题技巧
2014年高考数学复习口诀：不等式和数列_答题技巧
2014年高考数学复习口诀：不等式和数列
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不等式
解不等式的途径，利用函数的性质。
对指无理不等式，化为有理不等式。
高次向着低次代，步步转化要等价。
数形之间互转化，帮助解答作用大。
证不等式的方法，实数性质威力大。
求差与0比大小，作商和1争高下。
直接困难分析好，思路清晰综合法。
非负常用基本式，正面难则反证法。
还有重要不等式，以及数学归纳法。
图形函数来帮助，画图建模构造法。
数列
等差等比两数列，通项公式N项和。
两个有限求极限，四则运算顺序换。
数列问题多变幻，方程化归整体算。
数列求和比较难，错位相消巧转换，
取长补短高斯法，裂项求和公式算。
归纳思想非常好，编个程序好思考：
一算二看三联想，猜测证明不可少。
还有数学归纳法，证明步骤程序化：
首先验证再假定，从K向着K加1，推论过程须详尽，归纳原理来肯定。
总之，在倒计时的百天里，考生只要在全面复习的基础上，抓住重点、难点、易错点，各个击破，夯实基础，规范答题，一定会稳中求进，在高考中取得优异的成绩。
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高二必修五数学试题数列2014
高二必修五数学试题数列2014-2015学年度考卷一、选择题1．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是（ ） A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列2．设为等差数列的前项和，.若，则（ ） A.的最大值为 B.的最小值为 C.的最大值为 D.的最小值为3．（12分）已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，11b =，且1111313444131444n n n n n n a a b b a b ----⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩（2n ≥）（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．4．若{}n a 是等差数列，首项110071008100710080,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（ ）A ．2012B ．2013C ．2014D ．20155．在数列{}n a 中，3721a a ＝，＝，如果数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，那么11a 等于 （ ）A ．13 B ．12 C ．23D ．1 6．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于 （ ）A ．22B ．21C ．19D ．187．在数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，有1221n n a a a ⋯＋＋＋＝－，则22212na a a ⋯＋＋＋等于（ ）n S {}n a n )()1(1*+∈+N n nS S n n n ＜1-78＜a a n S 8S n S 8S n S 7S n S 7SA ．2(2)1n －B ．2(2)1n －C ．41n－ D ．1(341)n －8．设1111,(*)1232n a n N n n n n =+++⋅⋅⋅+∈+++，那么1n n a a ＋－等于（ ） A ．121n + B ．122n + C ．112122n n +++ D ．112122n n -++9．等比数列中，a 5a 14＝5，则a 8·a 9·a 10·a 11＝（ ）A ．10B ．25C ．50D ．7510．已知等差数列{}n a 中，247,15a a ==，则前10项的和10S ＝ （ ） A ．100 B ．210 C ．380 D ．400 11．已知1,,4x --成等比数列，则x 的值为 （ ） A ．2 B ．52-C ．2 或2-D ．2-或2 12．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公 差为（ ）A ． 5 B.4 C. 3 D. 213．已知－7，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－4，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则= （ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．±114．已知1234a ,a ,a ,a 成等差数列，且14a ,a 为方程22x 5x 20-+=的两个根，则23a a + 等于（ ）A ．1- B.1 C.52-D.5215．已知数列的前项和，则=（ ） A. -7 B. -9 C. 7 D. 9 16． 已知等比数列的前三项为1，2，4，则（ ） A ．8 B. 32 C. 16 D.6417．设是公比为q 的等比数列，其前n 项积为，并满足条件，给出下列结论：① ② ③④使成立的最小自然数n 等于199，则其中正确的是（ ） A.①②③ B.①③④ C.②③ D ①②③④ 18．已知等比数列中，各项都是正数，且，成等差数列，则=（ ） 212b a a -{}n a n 2n S n =4a {}n a =6a {}n a n T 9919910010011,10,01a a a a a ->-><-0q 1<<1981T <991011a a <1n T <{}n a 2,3,1221a a a 87109a a a a ++A. B. C. D. 19．设等差数列的前n 项和为,若,,则当取最小值时,n 等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．920．已知是首项为1的等比数列，是的前n 项和，且，则数列的前5项和为（ ） A或5 B 或5 C D 21．已知数列{a }的前n 项和满足：，且=1．那么=（ ） A ．1 B ．9 C ．10 D ．5522．已知等差数列的前项和为,则数列的前100项和为（ ） A ．B ．C ．D ． 23．已知数列中，，则数列通项公式为（ ） A ． B ． C ． D ．24．公比为2的等比数列{} 的各项都是正数,且 =16,则（ ） A ． B ． C ． D ． 25．已知数列{}n a 是等比数列，nS 是其前n 项和,且3a =2, 63=S ，则5a =A ．2或-21 B ．21或-2 C ．2± D ．2或21 26．在等差数列{}n a 中，21=a，3a +5a =10，则7a =A ．5B ．8C ．10D ．1427．设n S 、n T 分别是两个等差数列}{n a 、{}n b 的前n 项之和，如果对于所有正整数n ，都有5213++=n n T S n n ，则55:b a 的值为（ ） A ．3：2 B ．2：1 C ．28：23 D ．以上都不对12+12-322+322-{}n a n s 111a =-466a a +=-ns {}n a n s {}n a 639s s =na 181********15n n s n m n m s s s +=+1a 10a {}n a n 55,5,15n S a S ==11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭1001019910199100101100{}n a 111,34(*2)n n a a a n N n -==+∈≥且{}n a n a 13n -138n +-32n -3n n a 3a 11a 5a =124828．数列 ,817,275,31,31--的一个通项公式是 A ．n n a n n 312)1(1--=+B ．n n a n n 312)1(--=C ．n n n n a 312)1(1--=+D ．nn nn a 312)1(--= 29．用n a 表示正整数n 的最大奇因数（如33=a 、510=a ），记数列}{n a 的前n 项的和为n S ，则64S 值为（ ）A ． 342B ．1366C ．2014D ．546230．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项的和，20141-=a ，20072005220072005S S -=，则2014S 的值为（ ）A 、-2013B 、-2014C 、2013D 、2014 31．已知数列{}n a 满足nn a a -=+111,若211=a ,则=2014a （ ）A 、21B 、2C 、-1D 、1 32．已知数列的前n 项和,3,2,1,12=-=n S n n …，那么数列（ ） A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列33．在等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和9S 等于 （ ）A ．297B ．144C ．99D ． 66 34．数列1,3,5,7,9,--……的一个通项公式为（ ） A ．(1)(12)n n a n =-- B ．21n a n =- C ．(1)(21)n n a n =-- D ．(1)(21)n n a n =-+35．已知函数()f x 在[0,)+∞上可导，其导函数记作()()'02f x f =-， ,且{}n a {}n a()()12f x f x π+=,当,[)0x π∈时，()()()'c o s 22'f x x f x s i n x f x ⋅>⋅-,若方程s (0)ec n f x k x +=在[0,+∞）上有n 个解，则数列2{}nnk 的前n 项和为（ ） A ．()121nn -⋅+ B ．()1122n n +-⋅+ C ． 1 2n n -⋅D ．(21)314n n -⋅+36．已知{}n a 为等差数列,225355701,,sin 2sin cos sin ,2n k d a a a a a S π<<≠+=为数列{}n a 的前n 项和，若10n S S ≥对一切*n N ∈都成立，则首项a 1的取值范围是（ ）A ．[9,8ππ--） B ．9,]8[ππ-- C ．59,48ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．59[,]48ππ--37．已知数列{}n a ,定直线():324)90(l m x m y m +-+--=,若(),n n a 在直线l 上，则数列{}n a 的前13项和为（ ）A ．10B ．21C ．39D ．7838．已知数列{}n a ,定直线():324)90(l m x m y m +-+--=,若(),n n a 在直线l 上，则数列{}n a 的前13项和为（ ）A ．10B ．21C ．39D ．78 39．已知*)(10123N n n a n ∈-=，数列}{n a 的前项和为n S ，则使0>n S 的n 最小值：（ ）A ．99B ．100C ．101D ．10240．已知函数()cos f x x =，(,3)2x ππ∈，若方程()f x m =有三个不同的实数根，且三个根从小到大依次成等比数列，则实数m 的值可能是（ ） A ．12- B ．12C ．22-D ．2241．已知实数等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论一定成立的是（ ） A ．若03>a ，则02013<a B ．若04>a ，则02014<a C ．若03>a ，则02013>S D ．若04>a ，则02014>S42．已知实数等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论中一定成立的（ ）A ．若03>a ，则02013<aB ．若04>a ，则02014<aC ．若03>a ，则02013>SD ．若04>a ，则02014>S43．已知等差数列满足，，，，则的值为（ ） A ． B ． C ． D ．44．在等差数列中，若，则的值是（ ） A ． B ． C ． D ．45．已知等比数列{n a }的前n 项和为n S ,且317S a =，则数列{}n a 的公比q 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．2或-3 D ．2或3二、填空题46．若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n = 时{}n a 的前n 项和最大.47．数列{}n a 的通项公式为2n a n n λ=+，对于任意自然数(1)n n ≥都是递增数列， 则实数λ的取值范围为 ． 48．在数列{a n }中，a 1=1，a n+1=22+n n a a （n ∈N *），则这个数列的通项公式是n a = ． 49．已知在数列中，，且，则=n a 50． 在等比数列{an}中，, , 那么= 51．已知等差数列的前项和为，若，则52．设数列满足且（Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）设，记数列的前n 项和为，证明。
高三数列与不等式知识点
高三数列与不等式知识点在高中数学中，数列和不等式是数学学科中非常重要的知识点。
它们在解题过程中经常出现，具有广泛的应用价值。
本文将详细介绍高三数列与不等式的相关知识点，帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、数列数列是按照一定顺序排序的一组数。
我们常见的数列包括等差数列、等比数列和递推数列等。
接下来将依次介绍这些数列的特点和求解方法。
1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
设数列的首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为：an = a₁ + (n - 1)d其中，an表示数列的第n项。
对于等差数列，我们常常需要求其前n项和Sn。
求解方法有两种常见的方式：一种是利用求和公式，如果数列的首项为a₁，末项为an，共有n项，则等差数列前n项和Sn的计算公式为：Sn = (a₁ + an) * n / 2另一种是利用递推关系式，通过依次累加求得：S₁ = a₁S₂ = a₁ + a₂S₃ = a₁ + a₂ + a₃...Sn = a₁ + a₂ + ... + an2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
设数列的首项为a₁，公比为q，则等比数列的通项公式为：an = a₁ * q^(n - 1)等比数列的前n项和Sn的计算公式为：Sn = (a₁ * (q^n - 1)) / (q - 1)需要注意的是，当公比q为1时，等比数列将退化为等差数列。
3. 递推数列递推数列是一种通过前一项或前几项直接得到下一项的数列。
递推数列无法使用通项公式表示，但可以根据题目给出的递推关系式逐步求解。
以斐波那契数列为例，斐波那契数列的递推关系式为：Fn = Fn−1 + Fn−2其中，F₁ = 1，F₂ = 1为斐波那契数列的前两项。
二、不等式不等式是数学中用于表示数之间大小关系的一种符号组合。
常见的不等式包括一元一次不等式、二次不等式和绝对值不等式等。
下面将分别介绍这些不等式的解集表示法和求解方法。
数列不等式知识点
数列不等式知识点在数学中，不等式是一种比较数值大小关系的表示方法。
而数列不等式则是指涉及数列的不等式问题。
1. 数列的定义数列是由按照一定规律排列的一系列数所组成的集合。
数列通常用{a₀, a₁, a₂, a₃, ...}来表示，其中a₀, a₁, a₂, a₃, ...是数列的项。
数列可以是有穷的，也可以是无穷的。
2. 数列不等式的基本概念数列不等式是指涉及数列的不等式问题。
其基本概念包括以下几点：- 第n项：数列中的第n个数，记作aₙ。
- 通项公式：数列中第n项的计算公式，记作aₙ = f(n)。
- 收敛：数列的项随着n的增大逐渐趋近于一个确定的数，称为收敛数列。
- 发散：数列的项没有趋近于一个确定的数，称为发散数列。
3. 数列不等式的解法解数列不等式的关键是找到数列的通项公式。
根据不等式的性质，我们可以采用以下几种方法求解数列不等式：- 猜想法：根据数列的观察和猜想，推导出数列的通项公式，然后通过数学推导求解不等式。
- 数学归纳法：通过数学归纳法证明数列不等式的正确性。
- 数列性质法：利用数列的性质和特点，推导出数列的通项公式，并进一步求解不等式。
4. 数列不等式的常见形式数列不等式有多种常见形式，包括以下几个方面：- 随机数列不等式：数列的项之间没有明确的规律，需要通过观察和推导来解决。
- 递推数列不等式：数列的项之间存在递推关系，可以通过递推公式和递推关系求解。
- 斐波那契数列：斐波那契数列是一种特殊的数列，每一项都是前两项的和，可用于解决一些特殊的数列不等式问题。
5. 数列不等式的应用数列不等式在数学中有着广泛的应用。
一些典型的应用包括：- 研究数列的收敛性和发散性。
- 证明数列的性质和特征。
- 解决数学中的一些优化问题，如求最大值、最小值等。
- 解决一些实际问题，如经济学中的消费模型、物理学中的运动模型等。
总之，数列不等式是数学中一个重要的研究方向，通过解决数列不等式可以培养我们的思维能力和数学分析能力。
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A．B．C．D．
4．在等差数列{an}中，3(a2＋a6)＋2(a5＋a10＋a15)＝24，则此数列前13项之和为( )．
A．26B．13C．52D．156
5．已知等差数列{an}的前三项依次为a－1，－a,3，则该数列中第一次出现负值的项为()
C． (1－4－n)D． (1－2－n)
8．已知数列 的前n项和为 ， ， ，则 ＝
A． B． C． D．
二、填空 题
9．数列{an}中的前n项和Sn＝n2－2n＋2，则通项公式an＝__________.
10.不等式＜0的解集为()
11．若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是。
12．已知等比数列{a n}的前10项和为32，前20项和为56，则它的前30项和为．
13．等比数列{an}的公比q＞0，已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝．
14．已知f(n＋1)＝f(n)－(n∈N*)且f(2)＝2，则f(101)＝________.
三：解答题
15．解下列不等式：
(1)8x－1≤16x2；(2)
(3)x2－2ax－3a2＜0(a )
16．在等差数列 中， 且 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式及前 项和 ；
（Ⅱ）若 ，求数列 的前 项和 ．
17．在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB
18：公差为d的等差数列 中， 且 成等比数列，求数列 前20项的和 ．
A．第9项B．第10项C．第11项D．第12项
6．在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn等于( )．
A．2n＋1－2B．3nC．2nD．3n－1
7．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝ ，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝( )．
A．16(1－4－n)B．16(1－2－n)
19.设数列 的前n项和为Sn=2n2， 为等比数列，且
（Ⅰ）求数列 和 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前n项和
厦门市翔安一中2014-2015学年度高二上理科数学练习（9）
数列、不等式班级姓名座号成绩 Nhomakorabea一、选择题：
1．下列选项中的正确的是()
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bdB．若|a|＞b，则a2＞b2
C．若a＞b，则a2＞b2D．若a＞|b|，则a2＞b2
2.等比数列 中, 则 的前 项和为（）
A． B． C． D．