2020年湖南省郴州市中考数学试卷-解析版
2020年湖南省郴州中考数学试卷(附答案与解析)
绝密★启用前2020年湖南省郴州市初中学业水平考试数 学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真填涂和核对答题卡上的姓名、准考证号和科目；2.选择题部分请按题号用2B 铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦擦干净，不留痕迹；3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色签字笔书写，否则作答无效；4.在草稿纸、试题卷上答题无效；5.请勿折叠答题卡，保证字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；6.答题完成后，请将试题卷、答题卡放在桌上，由监考老师统一收回。
本试卷共8页，有三道大题，共26小题，满分为130分，考试时间120分钟.一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1.如图表示互为相反数的两个点是（ ）A .点A 与点B B .点A 与点DC .点C 与点BD .点C 与点D2.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空.北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒（1秒＝1 000 000 000纳秒）用科学记数法表示10纳秒为（ ）A .8110-⨯秒B .9110-⨯秒C .91010-⨯秒D .90.110-⨯秒 3.下列图形是中心对称图形的是（ ）ABCD4.下列运算正确的是 （ ）A .()44a a -=B .236a a a = C=D .325235a a a +=5.如图，直线a ，b 被直线c ，d 所截.下列条件能判定a b 的是 （ ）A .13∠=∠B .24180∠+∠=C .45∠=∠D .12∠=∠6.则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义．．．．．．．的是（ ）A .中位数B .平均数C .众数D .方差7.如图1，将边长为x 的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形.这两个图能解释下列哪个等式（ ）A .()22211x x x -+=-B .()()2111x x x -=+-C .()22211x x x ++=+D .()21x x x x -=-毕业学校_____________ 姓名________________ 准考证号________________ ________________ _____________-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------8.在平面直角坐标系中，点A 是双曲线()110k y x x=＞上任意一点，连接AO ，过点O 作AO 的垂线与双曲线()220k y x x =＜交于点B ，连接AB .已知2AO BO=，则12kk =（ ）A .4B .4-C .2D .2-二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9.若分式11x +的值不存在．．．，则x =________. 10.已知关于x 的一元二次方程2250x x c -+=有两个相等．．．．的实数根，则c =________. 11.质检部门从1 000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品.试据此估计这批电子元件中大约有________件次品.12.某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：86，88，90，92，94，方差为28.0s =.后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差2s =新________.13.小红的仰卧起坐成绩y 与日期x 之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为________.14.在平面直角坐标系中，将AOB △以点O 为位似中心，23为位似比作位似变换，得到11AOB △.已知()23A ，，则点1A 的坐标是________.15.如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，则圆锥主视图的面积为________.16.如图，在矩形ABCD 中，4AD=，8AB =.分别以点B ，D 为圆心，以大于12BD 的长为半径画弧，两弧相交于点E 和F .作直线EF 分别与DC ，DB ，AB 交于点M ，O ，N ，则MN =________.三、解答题：（17～19题每小题6分，20～23题每小题8分，24～25题每小题10分，26题12分，共82分）17.计算：)1°12cos 45113-⎛⎫-+-⎪⎝⎭18.解方程：24111x x x =+--19.如图，在菱形ABCD 中，将对角线AC 分别向两端延长到点E 和F ，使得AE CF =.连接DE ，DF ，BE ，BF . 求证：四边形BEDF 是菱形.20.疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP 等平台进行教学视频推送.某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A .效果很好；B .效果较好；C .效果一般；D .效果不理想）.并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：（1）此次调查中，共抽查了________名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中α∠的度数；（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般.从学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少？（要求画树状图或列表求概率）21.2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功.运载火箭从地面O 处发射，当火箭到达点A 时，地面D 处的雷达站测得4000AD =米，仰角为30°.3秒后，火箭直线上升到达点B 处，此时地面C 处的雷达站测得B 处的仰角为45°.已知C ，D 两处相距460米，求火箭从A 到B 处的平均速度（结果精确到1米/1.7321.414）22.为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1 380万元. （1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？（2）现在计划安排A ，B 两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资.甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A 型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B 型卡车.按此要求安排A ，B 两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？23.如图，ABC △内接于O ，AB 是O 的直径.直线l 与O 相切于点A ，在l 上取一点D 使得DA DC =.线段DC ，AB 的延长线交于点E .（1）求证：直线DC 是O 的切线；（2）若2BC =，°30CAB ∠=，求图中阴影部分的面积（结果保留π）.24.为了探索函数()10y x x x=+＞的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法.描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐毕业学校_____________ 姓名________________ 准考证号________________ ________________ _____________-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------标，描出相应的点，如图1所示：（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象； （2）已知点()11x y ，，()22x y ，在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：若1201x x ＜＜≤，则1y ________2y ；若121x x ＜＜，则1y ________2y ； 若121x x =，则1y ________2y （填“＞”，“＝”，“＜”）.（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米.已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米.设水池底面一边的长为x 米，水池总造价为y 千元. ①请写出y 与x 的函数关系式；②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x 应控制在什么范围内？ 25.如图1，在等腰直角三角形ADC 中，°90ADC ∠=，4AD =.点E 是AD 的中点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接AG ，CE .将正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转，旋转角为()°°090αα＜＜.（1）如图2，在旋转过程中，①判断AGD △与CED △是否全等，并说明理由；②当CE CD =时，AG 与EF 交于点H ，求GH 的长. （2）如图3，延长CE 交直线AG 于点P . ①求证：AG CP ⊥；②在旋转过程中，线段PC 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.26.如图1，抛物线()230y ax bx a =++≠与x 轴交于()10A -，，()30B ，，与y 轴交于点C .已知直线y kx n =+过B ，C 两点.（1）求抛物线和直线BC 的表达式； （2）点P 是抛物线上的一个动点，①如图1，若点P 在第一象限内，连接PA ，交直线BC 于点D .设PDC △的面积为1S ，ADC △的面积为2S ，求12S S 的最大值； ②如图2，抛物线的对称轴l 与x 轴交于点E ，过点E 作EF BC ⊥，垂足为F .点Q 是对称轴l 上的一个动点，是否存在以点E ，F ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，求出点P ，Q 的坐标；若不存在，请说明理由.2020年湖南省郴州市初中学业水平考试 数学答案解析一、 1.【答案】B【解析】根据一个数的相反数定义求解即可.解：在3-，1-，2，3中，3和3-互为相反数，则点A 与点D 表示互为相反数的两个点.故选：B . 【考点】相反数 2.【答案】A【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.∵1秒＝1 000 000 000纳秒，∴10纳秒101000000000=÷秒0.00000001=秒8110-=⨯秒.故选：A .【考点】科学记数法表示较小的数 3.【答案】D【解析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案. 解：A 、不是中心对称图形，故此选项不合题意； B 、不是中心对称图形，故此选项不合题意； C 、不是中心对称图形，故此选项不合题意； D 、是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D .【考点】中心对称图形 4.【答案】A【解析】根据积的乘方、同底数幂的乘法、二次根式的减法以及合并同类项法则进行计算得出结果进行判断即可.A .()44a a -=，计算正确，符合题意；B .232+35=a a a a =，故本选项错误；C==，故本选项错误； D .3223a a +不能计算，故本选项错误； 故选：A .【考点】积的乘方，同底数幂的乘法，二次根式的减法，合并同类项 5.【答案】D【解析】直接利用平行线的判定方法进而分析得出答案. 【详解】A 、当13∠=∠时，c d ，不能判定a b ，故此选项不合题意；B 、当24180∠+∠=时，c d ，不能判定a b ，故此选项不合题意；C 、当45∠=∠时，c d ，不能判定a b ，故此选项不合题意；D 、当12∠=∠时，a b ，故此选项符合题意；故选：D .【考点】平行线的判定 6.【答案】C【解析】鞋店的经理最关心的是各种鞋号的鞋的销售量，特别是销售量最大的鞋号. 解：对这个鞋店的经理来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数. 故选：C .【考点】统计量的意义的理解与运用 7.【答案】B【解析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可.第一个图形空白部分的面积是21x -， 第二个图形的面积是()()11x x +- 则()()2111x x x -=+-. 故选：B .【考点】平方差公式的几何背景8.【答案】B【解析】分别作AE x ⊥轴，BF x ⊥轴，垂足分别为E ，F ，证明AOE OBF △∽△得到24AOE BOF S AO S BO ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△，结合反比例函数的系数的几何意义即可得到答案. 解：过A 作AE x ⊥轴，过B 作BF x ⊥轴，垂足分别为E ，F ，如图，则°90AEO BFO ∠=∠=，°90AOE OAE ∠+∠=∴，°90AOB ∠=∵， °90BOF AOE ∠+∠=∴， OAE BOF ∠=∠∴，AOE OBF ∴△∽△， 24AOE BOF S AO S BO ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△∴，即1212412k k =， 124k k =∴10k ∵＞，20k ＜，124kk =-∴. 故选：B .【考点】反比例函数系数的几何意义，相似三角形的判定与性质，三角形的面积 二、9.【答案】1-【解析】根据分式无意义的条件列出关于x 的方程，求出x 的值即可.∵分式11x +的值不存在， 10x +=∴，解得：1x =-， 故答案为：1-. 【解析】利用判别式的意义得到()2245420b ac c ∆=-=--⨯=，然后解关于c 的方程即可.2a =∵，5b =-，c c =，根据题意得()2245420b ac c ∆=-=--⨯=，解得258c =， 故答案为：258.【考点】根的判别式 11.【答案】20【解析】先求出次品所占的百分比，再根据生产这种零件1 000件，直接相乘得出答案即可.∵随机抽取100件进行检测，检测出次品2件，∴次品所占的百分比是：2100%2%100⨯=， ∴这一批次产品中的次品件数是：：10002%20⨯=（件）， 故答案为：20. 【考点】用样本估计总体 12.【答案】8.0【解析】根据一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案.∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变，∴所得到的一组新数据的方差为28.0S =新；故答案为：8.0. 【考点】方差的意义 13.【答案】337y x =+【解析】利用待定系数法即可求出该函数表达式. 解：设该函数表达式为y kx b =+，根据题意得：40243k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得337k b =⎧⎨=⎩，∴该函数表达式为337y x =+.故答案为：337y x =+.【解析】直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可.解：∵将AOB △以点O 为位似中心，23为位似比作位似变换，得到11AOB △，()23A ，， ∴点1A 的坐标是：222333⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭，，即1423A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.故答案为：423⎛⎫⎪⎝⎭，.【考点】位似变换 15.【答案】48【解析】圆锥的主视图是等腰三角形，根据圆锥侧面积公式S rl π=代入数据求出圆锥的底面半径长，再由勾股定理求出圆锥的高即可.根据圆锥侧面积公式：S rl π=，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，故6010r ππ=⨯⨯， 解得：6r =.由勾股定理可得圆锥的高8=，∵圆锥的主视图是一个底边为12，高为8的等腰三角形，∴它的面积1128=482=⨯⨯，故答案为：48.【解析】连接DN ，在矩形ABCD 中，4AD =，8AB =，根据勾股定理可得BD 的长，根据作图过程可得，MN 是BD 的垂直平分线，所以DN BN =，在Rt ADN △中，根据勾股定理得DN 的长，在Rt DON △中，根据勾股定理得ON 的长，进而可得MN 的长.如图，连接DN ，在矩形ABCD 中，4AD=，8AB =，BD =∴根据作图过程可知：MN 是BD 的垂直平分线，DN BN =∴，OB OD == 8AN AB BN AB DN DN =-=-=-∴，在Rt ADN △中，根据勾股定理，得222DN AN AD =+，()22284DN DN =-+∴，解得5DN =，在Rt DON △中，根据勾股定理，得ON==，CD AB ∵，MDO NBO ∠=∠∴，DMO BNO ∠=∠， OD OB =∵，()DMO BNO AAS ∴△≌△，OM ON ==∴MN =∴故答案为：【解析】根据负整指数幂的性质，特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂的性质，直接计算即可.具体解题过程参照答案. 【考点】实数的混合运算18.【答案】解：24111x x x =+--去分母得，()2141x x x +=+- 解得，3x =，经检验，3x =是原方程的根， 所以，原方程的根为：3x =.【解析】观察可得方程最简公分母为()21x -，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验.具体解题过程参照答案.【考点】解分式方程的基本思想是“转化思想”，解分式方程一定注意要检验 19.【答案】证明：连接BD ，交AC 于O ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，OA OC =∴，OB OD =，AC BD ⊥， AE CF =∵， OE OF =∴，∴四边形BEDF 是平行四边形，•EF BD ⊥∵，∴四边形BEDF 是菱形.【解析】连接BD ，由菱形ABCD 的性质得出OA OC =，OB OD =，AC BD ⊥，得出OE OF =，证出四边形BEDF 是平行四边形，再由EF BD ⊥，即可证出四边形BEDF 是菱形.具体解题过程参照答案.【考点】菱形的判定与性质，平行四边形的判定和性质 20.【答案】（1）200（2）“C ”的人数为：20080602040---=（人）， 补全条形统计图如下：°°40360=72200α∠=⨯； （3）用A ，B ，C ，D 分别表示甲，乙，丙，丁，①画树状图如下：共有12种可能出现的结果，其中“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的有2种，P∴（1人认为效果很好，1人认为效果较好）21 126==；【解析】（1）用评价为“效果很好”的人数除以评价为“效果很好”的人数所占百分比即可得到抽查的总人数.8040%200÷=（人），故答案为：200.（2）首先求出评价为“效果一般”的人数，再补全条形统计图；用评价为“效果一般”的人数除以抽查的总人数，得到评价为“效果一般”的人数所占百分比乘以360°可得到α∠.具体解题过程参照答案.（3）用A，B，C，D分别表示甲，乙，丙，丁四人，画出树状图（或列表）表示所有等可能的情况数，得到“1人认为效果很好，1人认为效果较好”结果数，进而用概率公式求解即可.具体解题过程参照答案.【考点】从条形统计图和扇形统计图21.【答案】解：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可知：3AB x=，在Rt ADO△中，°30ADO∠=，4000AD=，2000AO=∴，2DO=∴460CD=∵，2460OC OD CD=-=∴，在Rt BOC△中，°45BOC∠=，BO OC=∴，20003OB OA AB x=+=+∵，200032460x+=∴，解得335x≈（米/秒）.答：火箭从A到B处的平均速度为335米/秒.【解析】设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可得3AB x=，在Rt ADO△中，°30ADO∠=，4000AD=，可得2000AO=，2DO=，在Rt BOC△中，°45BOC∠=，可得BO OC=，即可得200032460x+=，进而解得x的值.具体解题过程参照答案.【考点】直角三角形的应用-仰角俯角问题22.【答案】（1）解：设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨，依题意，得：540321380x yx y==+⎧⎨+⎩，解得：300240xy==⎧⎨⎩.答：甲物资采购了300吨，乙物质采购了240吨.（2）解：设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50m-）辆，依题意，得：()()75503003750240m mm m⎧+-⎪⎨+-⎪⎩≥≥，解得：125272m ≤≤. m ∵为正整数，m ∴可以为25，26，27，∴共有3种运输方案，方案1：安排25辆A 型卡车，25辆B 型卡车；方案2：安排26辆A 型卡车，24辆B 型卡车；方案3：安排27辆A 型卡车，23辆B 型卡车.【解析】（1）设甲物资采购了x 吨，乙物质采购了y 吨，根据“某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，且采购两种物资共花费1 380万元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论.具体解题过程参照答案.（2）设安排A 型卡车m 辆，则安排B 型卡车（50m -）辆，根据安排的这50辆车一次可运输300吨甲物质及240吨乙物质，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，再结合m 为正整数即可得出各运输方案.具体解题过程参照答案.【考点】二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用 23.【答案】（1）证明：连接OC ，OA OC =∵，OAC OCA ∠=∠∴， DA DC =∵， DAC DCA ∠=∠∴，∵直线l 与O 相切于点A ，°90DAO ∠=∴， °90DAC OAC ∠+∠=∴， °90DCA OCA ∠+∠=∴， °90DCO ∠=∴， OC DC ⊥∴，又∵点C 在O 上，∴直线DC 是O 的切线；（2）解：°30CAB ∠=∵，°260COB CAB ∠=∠=∴，又OB OC =∵，BOC ∴△为等边三角形， 2OB OC BC ===∴，26022=3603BOC S ππ=扇形∴，°90OCE ∠=∵，°60COB ∠=， °°9030E COB ∠=-∠=∴， 24OE OC ==∴，∴在RtCOE △中，CE=12122COE S OC OE==⨯⨯△∴ 23COE BOC S S S π=-△阴影扇形∴∴阴影部分的面积为23π.【解析】（1）连接OC ，根据OA OC =，DA DC =可得OAC OCA ∠=∠，DAC DCA ∠=∠，再根据直线l 与O 相切于点A 可得°90DAO ∠=，进而可得°90DCO ∠=，由此可证得直线DC 是O 的切线.具体解题过程参照答案.（2）先证明BOC △为等边三角形，可得2OB OC BC ===，根据扇形面积公式可求得23BOC S π=扇形，再利用含30°的直角三角形的性质及勾股定理可求得CE =，由此可求得COE S =△23COE BOC S S S π=-△阴影扇形.具体解题过程参照答案.【考点】切线的性质与判定，扇形的面积公式以及含30°的直角三角形的性质，勾股定理 24.【答案】（1）如图1所示；（2）＞＜=（3）①∵底面面积为1平方米，一边长为x 米，∴与之相邻的另一边长为1x米，∴水池侧面面积的和为：1112122x x x x ⎛⎫⨯⨯+⨯⨯=+ ⎪⎝⎭∵底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，111120.51y x x x x ⎛⎫=⨯++⨯=++ ⎪⎝⎭∴即：y 与x 的函数关系式为：11y x x=++；②∵该农户预算不超过3.5千元，即 3.5y ≤11 3.5x x ++∴≤ 12.5x x +∴≤，根据图象或表格可知，当2 2.5y ≤≤时，12x ≤≤，【解析】（1）用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可.具体解题过程参照答案.（2）观察函数图象可以看出有最低点，即函数有最小值，结合表格提供的信息即可解决问题.根据图象和表格可知，当1201x x ＜＜≤时，12y y ＞；当121x x ＜＜，则12y y ＜；当121x x =，则12y y =.（3）①根据底面面积可求出底面另一条边长，进而可求出水池的侧面积，分别表示出底面和侧面的造价，从而可表示出y 与x 的函数关系式.具体解题过程参照答案. ②根据函数关系式结合表格可得出x 的控制范围.具体解题过程参照答案. 【考点】反比例函数的性质25.【答案】解：（1）①全等，理由如下：在等腰直角三角形ADC 中，AD CD =，°90ADC ∠=， 在正方形DEFG 中，GD ED =，°90GDE ∠=， 又90ADE EDC ︒∠+∠=∵，90ADE ADG ︒∠+∠=，ADG CDE ∠=∠∴在AGD △和CED △中，AD CD ADG CDE GD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AGD CED SAS ∴△≌△；②如解图2，过A 点作AM GD ⊥，垂足为M ，交FE 与N ，∵点E 是AD 的中点，∴在正方形DEFG中，2DE GD GF EF ====，由①得C AGD ED ≌△△，AG CE =∴，又CE CD =∵，4AG AD CD ===∴，AM GD ⊥∴，112GM GD ==∴，又90D F ︒∠=∠=∵，∴四边形GMNF 是矩形，2MN GF ==∴，在Rt AGM △中，AM ===，cos 4AM GAM AG ∠==∴ FG AM ∵，GAM AGF ∠=∠∴cos FGAGF GH ∠==∴，cos FGGH AGF==∠∴. （2）①由①得C AGD ED ≅△△，EC GAD D ∠=∠∴，又90ECD ECA DAC ︒∠∠++=∠∵，90GAD ECA DAC ︒∠∠++=∠∴，90APC ︒∠=∴，即：AG CP ⊥；②90APC ︒∠=∵，sin PC AP PAC =∠∴，∴当PAC ∠最大时，PC 最大，°45DAC ∠=∵，是定值，GAD ∠∴最大时，PAC ∠最大，PC 最大，4AD =∵，2GD =，∴当GD AG ⊥，30GAD ︒∠=最大，如解图3，此时AG ===又AG CP ⊥∵，EF FG ⊥，F ∴点与P 点重合，CEFP ∴四点共线，2CP CE EF AG EF =+=+=∴，【解析】（1）①由等腰直角三角形性质和正方形性质根据全等三角形判定定理()SAS 即可证明；②过A 点作AM GD ⊥，垂足为M ，交FE 与N ，利用等腰三角形三线合一性质构造直角三角形，由勾股定理求出AM 的长，进而得出cos cos GAM AGF ∠=∠，再由cos FG GH AGF =∠求出结果.具体解题过程参照答案.（2）①根据全等三角形性质可得C GAD E D ∠=∠，再在APC △和ADC △中由三角形内角和定理得出°90GAD ECA DAC ++=∠∠∠，从而证明结论；②根据°90APC ∠=得出PC 最大值是GAD ∠最大时，即GD AG ⊥时，进而可知CEF 三点共线，F 与P 重合，求出此时CE 长，继而可得CP 最大值.具体解题过程参照答案.【考点】三角形的综合26.【答案】（1）把()10A -，，()30B ，代入23y ax bx =++得： 309330a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：12a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为223y x x =-++，令0x =，则3y =，∴点C 的坐标为()30，， 把()30B ，，()3C 0，代入y kx n =+得： 303k n n +=⎧⎨=⎩， 解得：13k n =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的表达式为3y x =-+；（2）①PA ∵交直线BC 于点D ，∴设点D 的坐标为()3m m -+，， 设直线PA 的表达式为11y k x b =+，11113k b mk b m -+=⎧⎨+=-+⎩∴，解得：113131m k m m b m -+⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩，∴直线PA 的表达式为3311m m y x m m -+-+=+++， 2332311m m x x x m m -+-++=-++++∴， 整理得：()4101m x x m ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭，解得：141mx m =+，21x =-（不合题意，舍去），∴点D 的横坐标为m ，点P 的横坐标为41mm +， 分别过点D 、P 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，如图：DM PN ∴，OM m =，41mON m =+，1OA =， ()()2212223943241111PDCADCm m m S S PD MN m m m S S DA AM m m m ⎛⎫--+- ⎪-+⎝⎭+======+++△△∴， 10-∵＜， ∴当32m =时，分子取得最大值，即12SS 有最大值，最大值为925；②存在，理由如下： 作FG AB ⊥于G ，如图，223y x x =-++∵的对称轴为：12bx a=-=， 1OE =∴，()30B ∵，，()03C ，3OC OB ==∵，°90OCB ∠=，OCB ∴△是等腰直角三角形， °90EFB ∠=∵，2BE OB OE =-=，OCB ∴△是等腰直角三角形， 1EG GB EG ===∴，∴点F 的坐标为()21，， 当EF 为边时，EFPQ ∴为平行四边形， OE PF =∴，QEPF y 轴，∴点P 的横坐标与点F 的横坐标同为2，当2x =时，222233y =-+⨯+=，∴点P 的坐标为()23，， 312QE PF ==-=∴， 点Q 的坐标为()12，； 当EF 为对角线时，如图，∵四边形PEQF 为平行四边形，QE PF =∴，QEPF y 轴，同理求得：点P 的坐标为()23，， 312QE PF ==-=∴， 点Q 的坐标为()12-，； 综上，点P 的坐标为()23，，点Q 的坐标为()12，或()12-，； 【解析】（1）把()10A -，，()30B ，代入()230y ax bx a =++≠可求得抛物线的表达式，再求得点C 的坐标，把()30B ，，C 的坐标代入y kx n =+即可求解.具体解题过程参照答案.（2）①设点D 的坐标为()3m m -+，，利用待定系数法求得直线PA 的表达式为3311m m y x m m -+-+=+++，解方程2332311m m x x x m m -+-++=-++++，求得点P 的横坐标为41mm +，利用平等线分线段成比例定理求得411mmPD MN m DA AM m -+==+，得到()212239241m S S m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=+，利用二次函数的性质即可求解.具体解题过程参照答案. ②根据等腰直角三角形的性质求得点F 的坐标为()21，，分当EF 为边和EF 为对角线时两种情况讨论，即可求解.具体解题过程参照答案. 【考点】一元二次方程的解法。
2020年湖南省郴州市中考数学试题(WORD版有答案)
中考数学试题（湖南郴州）（本试卷满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分） 1．－3的相反数是【 】A ．3B ．－3C ．D ． 【答案】A 。
2．下列计算正确的是【 】A ．a 2•a 3=a 6B ．a+a=a 2C ．（a 2）3=a 6D ．a 8÷a 2=a 4 【答案】C 。
3．以下列各组线段为边，能组成三角形的是【 】A ．1cm ，2cm ，4cmB ．4cm ，6cm ，8cmC ．5cm ，6cm ，12cmD ．2cm ，3cm ，5cm 【答案】B 。
4．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是【 】A ．B ．C ．D ．【答案】A 。
5．函数y=中自变量x 的取值范围是【 】 A ．x=2 B ．x≠2 C ．x ＞2 D ．x ＜2 【答案】B 。
6．不等式x －2＞1的解集是【 】A ．x ＞－1B ．x ＞3C ．x ＜3D ．x ＜－1 【答案】B 。
7．抛物线的顶点坐标是【 】 A ．（－1，2） B ．（－1，－2） C ．（1，－2） D ．（1，2） 【答案】D 。
8．为了解某校2000名师生对我市“三创”工作（创国家园林城市、国家卫生城市、全国文明城市）的知晓情况，从中随机抽取了100名师生进行问卷调查，这项调查中的样本是【 】A ．2000名师生对“三创”工作的知晓情况B ．从中抽取的100名师生1313-1x 2-2y x 12=-+（）C ．从中抽取的100名师生对“三创“工作的知晓情况D ．100 【答案】C 。
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 9．分解因式：x 2－4= ▲ ． 【答案】。
10．一元一次方程3x －6=0的解是 ▲ ． 【答案】x=2。
11．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC=6，BD=8，则这个菱形的边长为 ▲ ．【答案】5。
12．按照《联合国海洋法公约》的规定，我国管辖的海域面积约为3000000平方千米，3000000平方千米用科学记数法表示为 ▲ 平方千米． 【答案】3×106。
2020年湖南省郴州中考数学试卷含答案
数学试卷第1页（共28页）数学试卷第2页（共28页）绝密★启用前2020年湖南省郴州市初中学业水平考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真填涂和核对答题卡上的姓名、准考证号和科目；2.选择题部分请按题号用2B 铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦擦干净，不留痕迹；3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色签字笔书写，否则作答无效；4.在草稿纸、试题卷上答题无效；5.请勿折叠答题卡，保证字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；6.答题完成后，请将试题卷、答题卡放在桌上，由监考老师统一收回。
本试卷共8页，有三道大题，共26小题，满分为130分，考试时间120分钟.一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1.如图表示互为相反数的两个点是（ ）A .点A 与点B B .点A 与点DC .点C 与点BD .点C 与点D2.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空.北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒（1秒＝1 000 000 000纳秒）用科学记数法表示10纳秒为（ ）A .8110-⨯秒B .9110-⨯秒C .91010-⨯秒D .90.110-⨯秒 3.下列图形是中心对称图形的是（ ）ABCD4.下列运算正确的是 （ ）A .()44a a -= B .236a a a = C=D .325235a a a +=5.如图，直线a ，b 被直线c ，d 所截.下列条件能判定a b 的是 （ ）A .13∠=∠B .24180∠+∠=C .45∠=∠D .12∠=∠6.则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义．．．．．．．的是（ ）A .中位数B .平均数C .众数D .方差7.如图1，将边长为x 的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形.这两个图能解释下列哪个等式（ ）A .()22211x x x -+=- B .()()2111x x x -=+- C .()22211x x x ++=+D .()21x x x x -=-毕业学校_____________ 姓名________________ 准考证号________________ ________________ _____________-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------数学试卷第3页（共28页）数学试卷第4页（共28页）8.在平面直角坐标系中，点A 是双曲线()110k y x x=＞上任意一点，连接AO ，过点O 作AO 的垂线与双曲线()220k y x x =＜交于点B ，连接AB .已知2AOBO=，则12k k =（ ）A .4B .4-C .2D .2-二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9.若分式11x +的值不存在．．．，则x =________. 10.已知关于x 的一元二次方程2250x x c -+=有两个相等．．．．的实数根，则c =________. 11.质检部门从1 000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品.试据此估计这批电子元件中大约有________件次品.12.某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：86，88，90，92，94，方差为28.0s =.后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差2s =新________.13.小红的仰卧起坐成绩y 与日期x 之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为________.14.在平面直角坐标系中，将AOB △以点O 为位似中心，23为位似比作位似变换，得到11AOB △.已知()23A ，，则点1A 的坐标是________.15.如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，则圆锥主视图的面积为________.16.如图，在矩形ABCD 中，4AD =，8AB =.分别以点B，D 为圆心，以大于12BD 的长为半径画弧，两弧相交于点E 和F .作直线EF 分别与DC ，DB ，AB 交于点M ，O ，N ，则MN =________.三、解答题：（17～19题每小题6分，20～23题每小题8分，24～25题每小题10分，26题12分，共82分）17.计算：)1°12cos 45113-⎛⎫-+-⎪⎝⎭18.解方程：24111x x x =+--19.如图，在菱形ABCD 中，将对角线AC 分别向两端延长到点E 和F ，使得AE CF =.连接DE ，DF ，BE ，BF . 求证：四边形BEDF 是菱形.数学试卷第5页（共28页）数学试卷第6页（共28页）20.疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP 等平台进行教学视频推送.某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A .效果很好；B .效果较好；C .效果一般；D .效果不理想）.并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：（1）此次调查中，共抽查了________名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中α∠的度数；（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般.从学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少？（要求画树状图或列表求概率）21.2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功.运载火箭从地面O 处发射，当火箭到达点A 时，地面D 处的雷达站测得4000AD =米，仰角为30°.3秒后，火箭直线上升到达点B 处，此时地面C 处的雷达站测得B 处的仰角为45°.已知C ，D 两处相距460米，求火箭从A 到B 处的平均速度（结果精确到1米/1.7321.414≈）22.为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1 380万元. （1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？（2）现在计划安排A ，B 两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资.甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A 型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B 型卡车.按此要求安排A ，B 两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？23.如图，ABC △内接于O ，AB 是O 的直径.直线l 与O 相切于点A ，在l 上取一点D 使得DA DC =.线段DC ，AB 的延长线交于点E .（1）求证：直线DC 是O 的切线；（2）若2BC =，°30CAB ∠=，求图中阴影部分的面积（结果保留π）.24.为了探索函数()10y x x x=+＞的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法.描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐毕业学校_____________ 姓名________________ 准考证号________________ ________________ _____________-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------数学试卷第7页（共28页）数学试卷第8页（共28页）标，描出相应的点，如图1所示：（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象； （2）已知点()11x y ，，()22x y ，在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：若1201x x ＜＜≤，则1y ________2y ；若121x x ＜＜，则1y ________2y ； 若121x x =，则1y ________2y （填“＞”，“＝”，“＜”）.（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米.已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米.设水池底面一边的长为x 米，水池总造价为y 千元. ①请写出y 与x 的函数关系式；②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x 应控制在什么范围内？ 25.如图1，在等腰直角三角形ADC 中，°90ADC ∠=，4AD =.点E 是AD 的中点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接AG ，CE .将正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转，旋转角为()°°090αα＜＜.（1）如图2，在旋转过程中，①判断AGD △与CED △是否全等，并说明理由；②当CE CD =时，AG 与EF 交于点H ，求GH 的长. （2）如图3，延长CE 交直线AG 于点P . ①求证：AG CP ⊥；②在旋转过程中，线段PC 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.26.如图1，抛物线()230y ax bx a =++≠与x 轴交于()10A -，，()30B ，，与y 轴交于点C .已知直线y kx n =+过B ，C 两点.（1）求抛物线和直线BC 的表达式； （2）点P 是抛物线上的一个动点，①如图1，若点P 在第一象限内，连接PA ，交直线BC 于点D .设PDC △的面积为1S ，ADC △的面积为2S ，求12S S 的最大值； ②如图2，抛物线的对称轴l 与x 轴交于点E ，过点E 作EF BC ⊥，垂足为F .点Q 是对称轴l 上的一个动点，是否存在以点E ，F ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，求出点P ，Q 的坐标；若不存在，请说明理由.数学试卷第9页（共28页）数学试卷第10页（共28页）2020年湖南省郴州市初中学业水平考试 数学答案解析一、 1.【答案】B【解析】根据一个数的相反数定义求解即可.解：在3-，1-，2，3中，3和3-互为相反数，则点A 与点D 表示互为相反数的两个点.故选：B . 【考点】相反数 2.【答案】A【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.∵1秒＝1 000 000 000纳秒，∴10纳秒101000000000=÷秒0.00000001=秒8110-=⨯秒.故选：A .【考点】科学记数法表示较小的数 3.【答案】D【解析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案. 解：A 、不是中心对称图形，故此选项不合题意； B 、不是中心对称图形，故此选项不合题意； C 、不是中心对称图形，故此选项不合题意； D 、是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D .【考点】中心对称图形 4.【答案】A【解析】根据积的乘方、同底数幂的乘法、二次根式的减法以及合并同类项法则进行计算得出结果进行判断即可.A .()44a a -=，计算正确，符合题意； B .232+35=a a a a =，故本选项错误；C==，故本选项错误； D .3223a a +不能计算，故本选项错误； 故选：A .【考点】积的乘方，同底数幂的乘法，二次根式的减法，合并同类项 5.【答案】D【解析】直接利用平行线的判定方法进而分析得出答案. 【详解】A 、当13∠=∠时，c d ，不能判定a b ，故此选项不合题意；B 、当24180∠+∠=时，c d ，不能判定a b ，故此选项不合题意；C 、当45∠=∠时，c d ，不能判定a b ，故此选项不合题意；D 、当12∠=∠时，a b ，故此选项符合题意；故选：D .【考点】平行线的判定 6.【答案】C【解析】鞋店的经理最关心的是各种鞋号的鞋的销售量，特别是销售量最大的鞋号. 解：对这个鞋店的经理来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数. 故选：C .【考点】统计量的意义的理解与运用 7.【答案】B【解析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可.第一个图形空白部分的面积是21x -， 第二个图形的面积是()()11x x +- 则()()2111x x x -=+-. 故选：B .【考点】平方差公式的几何背景数学试卷第11页（共28页）数学试卷第12页（共28页）8.【答案】B【解析】分别作AE x ⊥轴，BF x ⊥轴，垂足分别为E ，F ，证明AOE OBF △∽△得到24AOE BOF S AO S BO ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△，结合反比例函数的系数的几何意义即可得到答案. 解：过A 作AE x ⊥轴，过B 作BF x ⊥轴，垂足分别为E ，F ，如图，则°90AEO BFO ∠=∠=，°90AOE OAE ∠+∠=∴，°90AOB ∠=∵， °90BOF AOE ∠+∠=∴， OAE BOF ∠=∠∴，AOE OBF ∴△∽△，24AOE BOF S AO S BO ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△∴，即1212412k k =， 124k k =∴10k ∵＞，20k ＜，124kk =-∴. 故选：B .【考点】反比例函数系数的几何意义，相似三角形的判定与性质，三角形的面积 二、9.【答案】1-【解析】根据分式无意义的条件列出关于x 的方程，求出x 的值即可.∵分式11x +的值不存在， 10x +=∴，解得：1x =-，故答案为：1-. 【解析】利用判别式的意义得到()2245420b ac c ∆=-=--⨯=，然后解关于c 的方程即可.2a =∵，5b =-，c c =，根据题意得()2245420b ac c ∆=-=--⨯=，解得258c =， 故答案为：258.【考点】根的判别式 11.【答案】20【解析】先求出次品所占的百分比，再根据生产这种零件1 000件，直接相乘得出答案即可.∵随机抽取100件进行检测，检测出次品2件，∴次品所占的百分比是：2100%2%100⨯=， ∴这一批次产品中的次品件数是：：10002%20⨯=（件）， 故答案为：20. 【考点】用样本估计总体 12.【答案】8.0【解析】根据一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案.∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变，∴所得到的一组新数据的方差为28.0S =新；数学试卷第13页（共28页）数学试卷第14页（共28页）故答案为：8.0. 【考点】方差的意义 13.【答案】337y x =+【解析】利用待定系数法即可求出该函数表达式. 解：设该函数表达式为y kx b =+，根据题意得：40243k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得337k b =⎧⎨=⎩，∴该函数表达式为337y x =+.故答案为：337y x =+.【解析】直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可.解：∵将AOB △以点O 为位似中心，23为位似比作位似变换，得到11AOB △，()23A ，， ∴点1A 的坐标是：222333⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭，，即1423A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.故答案为：423⎛⎫⎪⎝⎭，.【考点】位似变换 15.【答案】48【解析】圆锥的主视图是等腰三角形，根据圆锥侧面积公式S rl π=代入数据求出圆锥的底面半径长，再由勾股定理求出圆锥的高即可.根据圆锥侧面积公式：S rl π=，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，故6010r ππ=⨯⨯， 解得：6r =.由勾股定理可得圆锥的高8==，∵圆锥的主视图是一个底边为12，高为8的等腰三角形，∴它的面积1128=482=⨯⨯，故答案为：48.【解析】连接DN ，在矩形ABCD 中，4AD =，8AB =，根据勾股定理可得BD 的长，根据作图过程可得，MN 是BD 的垂直平分线，所以DN BN =，在Rt ADN △中，根据勾股定理得DN 的长，在Rt DON △中，根据勾股定理得ON 的长，进而可得MN 的长.如图，连接DN ，在矩形ABCD 中，4AD =，8AB =，BD =∴，根据作图过程可知：MN 是BD的垂直平分线， DN BN =∴，OB OD == 8AN AB BN AB DN DN =-=-=-∴，在Rt ADN △中，根据勾股定理，得222DN AN AD =+，()22284DN DN =-+∴，解得5DN =，在Rt DON △中，根据勾股定理，得ON==，CD AB ∵，数学试卷第15页（共28页）数学试卷第16页（共28页）MDO NBO ∠=∠∴，DMO BNO ∠=∠， OD OB =∵，()DMO BNO AAS ∴△≌△，OM ON ==∴MN =∴故答案为：【解析】根据负整指数幂的性质，特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂的性质，直接计算即可.具体解题过程参照答案. 【考点】实数的混合运算18.【答案】解：24111x x x =+--去分母得，()2141x x x +=+- 解得，3x =，经检验，3x =是原方程的根， 所以，原方程的根为：3x =.【解析】观察可得方程最简公分母为()21x -，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验.具体解题过程参照答案.【考点】解分式方程的基本思想是“转化思想”，解分式方程一定注意要检验 19.【答案】证明：连接BD ，交AC 于O ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，OA OC =∴，OB OD =，AC BD ⊥， AE CF =∵， OE OF =∴，∴四边形BEDF 是平行四边形，•EF BD ⊥∵，∴四边形BEDF 是菱形.【解析】连接BD ，由菱形ABCD 的性质得出OA OC =，OB OD =，AC BD ⊥，得出OE OF =，证出四边形BEDF 是平行四边形，再由EF BD ⊥，即可证出四边形BEDF 是菱形.具体解题过程参照答案.【考点】菱形的判定与性质，平行四边形的判定和性质 20.【答案】（1）200（2）“C ”的人数为：20080602040---=（人）， 补全条形统计图如下：°°40360=72200α∠=⨯； （3）用A ，B ，C ，D 分别表示甲，乙，丙，丁，①画树状图如下：共有12种可能出现的结果，其中“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的有2种，P∴（1人认为效果很好，1人认为效果较好）21 126==；【解析】（1）用评价为“效果很好”的人数除以评价为“效果很好”的人数所占百分比即可得到抽查的总人数.8040%200÷=（人），故答案为：200.（2）首先求出评价为“效果一般”的人数，再补全条形统计图；用评价为“效果一般”的人数除以抽查的总人数，得到评价为“效果一般”的人数所占百分比乘以360°可得到α∠.具体解题过程参照答案.（3）用A，B，C，D分别表示甲，乙，丙，丁四人，画出树状图（或列表）表示所有等可能的情况数，得到“1人认为效果很好，1人认为效果较好”结果数，进而用概率公式求解即可.具体解题过程参照答案.【考点】从条形统计图和扇形统计图21.【答案】解：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可知：3AB x=，在Rt ADO△中，°30ADO∠=，4000AD=，2000AO=∴，2DO=∴460CD=∵，2460OC OD CD=-=∴，在Rt BOC△中，°45BOC∠=，BO OC=∴，20003OB OA AB x=+=+∵，200032460x+=∴，解得335x≈（米/秒）.答：火箭从A到B处的平均速度为335米/秒.【解析】设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可得3AB x=，在Rt ADO△中，°30ADO∠=，4000AD=，可得2000AO=，2DO=，在Rt BOC△中，°45BOC∠=，可得BO OC=，即可得200032460x+=，进而解得x的值.具体解题过程参照答案.【考点】直角三角形的应用-仰角俯角问题22.【答案】（1）解：设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨，依题意，得：540321380x yx y==+⎧⎨+⎩，解得：300240xy==⎧⎨⎩.答：甲物资采购了300吨，乙物质采购了240吨.（2）解：设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50m-）辆，依题意，得：()()75503003750240m mm m⎧+-⎪⎨+-⎪⎩≥≥，数学试卷第17页（共28页）数学试卷第18页（共28页）数学试卷第19页（共28页）数学试卷第20页（共28页）解得：125272m ≤≤. m ∵为正整数，m ∴可以为25，26，27，∴共有3种运输方案，方案1：安排25辆A 型卡车，25辆B 型卡车；方案2：安排26辆A 型卡车，24辆B 型卡车；方案3：安排27辆A 型卡车，23辆B 型卡车.【解析】（1）设甲物资采购了x 吨，乙物质采购了y 吨，根据“某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，且采购两种物资共花费1 380万元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论.具体解题过程参照答案.（2）设安排A 型卡车m 辆，则安排B 型卡车（50m -）辆，根据安排的这50辆车一次可运输300吨甲物质及240吨乙物质，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，再结合m 为正整数即可得出各运输方案.具体解题过程参照答案.【考点】二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用 23.【答案】（1）证明：连接OC ，OA OC =∵， OAC OCA ∠=∠∴，DA DC =∵， DAC DCA ∠=∠∴，∵直线l 与O 相切于点A ，°90DAO ∠=∴， °90DAC OAC ∠+∠=∴， °90DCA OCA ∠+∠=∴， °90DCO ∠=∴， OC DC ⊥∴，又∵点C 在O 上，∴直线DC 是O 的切线；（2）解：°30CAB ∠=∵，°260COB CAB ∠=∠=∴，又OB OC =∵，BOC ∴△为等边三角形，2OB OC BC ===∴，26022=3603BOC S ππ=扇形∴，°90OCE ∠=∵，°60COB ∠=， °°9030E COB ∠=-∠=∴， 24OE OC ==∴，∴在Rt COE△中，CE==12122COE S OC OE==⨯⨯△∴， 23COE BOC S S S π=--△阴影扇形∴∴阴影部分的面积为23π.【解析】（1）连接OC ，根据OA OC =，DA DC =可得OAC OCA ∠=∠，DAC DCA ∠=∠，再根据直线l 与O 相切于点A 可得°90DAO ∠=，进而可得°90DCO ∠=，由此可证得直线DC 是O 的切线.具体解题过程参照答案.（2）先证明BOC △为等边三角形，可得2OB OC BC ===，根据扇形面积公式可求得23BOC S π=扇形，再利用含30°的直角三角形的性质及勾股定理可求得CE =，由此可求得COE S =△23COE BOC S S S π=-△阴影扇形.具体解题过程参照答案.【考点】切线的性质与判定，扇形的面积公式以及含30°的直角三角形的性质，勾股定理24.【答案】（1）如图1所示；（2）＞＜=（3）①∵底面面积为1平方米，一边长为x 米，∴与之相邻的另一边长为1x米，∴水池侧面面积的和为：1112122x x x x ⎛⎫⨯⨯+⨯⨯=+ ⎪⎝⎭∵底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，111120.51y x x x x ⎛⎫=⨯++⨯=++ ⎪⎝⎭∴即：y 与x 的函数关系式为：11y x x=++；②∵该农户预算不超过3.5千元，即 3.5y ≤11 3.5x x ++∴≤ 12.5x x +∴≤，根据图象或表格可知，当2 2.5y ≤≤时，122x ≤≤，【解析】（1）用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可.具体解题过程参照答案.（2）观察函数图象可以看出有最低点，即函数有最小值，结合表格提供的信息即可解决问题.根据图象和表格可知，当1201x x ＜＜≤时，12y y ＞；当121x x ＜＜，则12y y ＜；当121x x =，则12y y =.（3）①根据底面面积可求出底面另一条边长，进而可求出水池的侧面积，分别表示出底面和侧面的造价，从而可表示出y 与x 的函数关系式.具体解题过程参照答案. ②根据函数关系式结合表格可得出x 的控制范围.具体解题过程参照答案. 【考点】反比例函数的性质25.【答案】解：（1）①全等，理由如下：在等腰直角三角形ADC 中，AD CD =，°90ADC ∠=， 在正方形DEFG 中，GD ED =，°90GDE ∠=， 又90ADE EDC ︒∠+∠=∵，90ADE ADG ︒∠+∠=，ADG CDE ∠=∠∴在AGD △和CED △中，AD CDADG CDE GD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AGD CED SAS ∴△≌△；②如解图2，过A 点作AM GD ⊥，垂足为M ，交FE 与N ，∵点E 是AD 的中点，∴在正方形DEFG 中，2DE GD GF EF ====，由①得C AGD ED ≌△△，AG CE =∴，又CE CD =∵，4AG AD CD ===∴， AM GD ⊥∴，112GM GD ==∴，又90D F ︒∠=∠=∵，∴四边形GMNF 是矩形，2MN GF ==∴，在Rt AGM △中，AM ==cos AM GAM AG ∠==∴ FG AM ∵，GAM AGF ∠=∠∴cos FGAGF GH ∠==∴，cos 15FGGH AGF===∠∴. （2）①由①得C AGD ED ≅△△，EC GAD D ∠=∠∴，又90ECD ECA DAC ︒∠∠++=∠∵，90GAD ECA DAC ︒∠∠++=∠∴，90APC ︒∠=∴，即：AG CP ⊥；②90APC ︒∠=∵，sin PC AP PAC =∠∴，∴当PAC ∠最大时，PC 最大，°45DAC ∠=∵，是定值，GAD ∠∴最大时，PAC ∠最大，PC 最大，4AD =∵，2GD =，∴当GD AG ⊥，30GAD ︒∠=最大，如解图3，此时AG ==，又AG CP ⊥∵，EF FG ⊥，F ∴点与P 点重合，CEFP ∴四点共线，2CP CE EF AG EF =+=+=∴，【解析】（1）①由等腰直角三角形性质和正方形性质根据全等三角形判定定理()SAS 即可证明；②过A 点作AM GD ⊥，垂足为M ，交FE 与N ，利用等腰三角形三线合一性质构造直角三角形，由勾股定理求出AM 的长，进而得出cos cos GAM AGF ∠=∠，再由cos FG GH AGF =∠求出结果.具体解题过程参照答案.（2）①根据全等三角形性质可得C GAD E D ∠=∠，再在APC △和ADC △中由三角形内角和定理得出°90GAD ECA DAC ++=∠∠∠，从而证明结论；②根据°90APC ∠=得出PC 最大值是GAD ∠最大时，即GD AG ⊥时，进而可知CEF 三点共线，F 与P 重合，求出此时CE 长，继而可得CP 最大值.具体解题过程参照答案.【考点】三角形的综合26.【答案】（1）把()10A -，，()30B ，代入23y ax bx =++得： 309330a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：12a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为223y x x =-++，令0x =，则3y =，∴点C 的坐标为()30，， 把()30B ，，()3C 0，代入y kx n =+得： 303k n n +=⎧⎨=⎩， 解得：13k n =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的表达式为3y x =-+；（2）①PA ∵交直线BC 于点D ，∴设点D 的坐标为()3m m -+，， 设直线PA 的表达式为11y k x b =+，11113k b mk b m -+=⎧⎨+=-+⎩∴，解得：113131m k m m b m -+⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩，∴直线PA 的表达式为3311m m y x m m -+-+=+++， 2332311m m x x x m m -+-++=-++++∴， 整理得：()4101m x x m ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭，解得：141mx m =+，21x =-（不合题意，舍去），∴点D 的横坐标为m ，点P 的横坐标为41mm +， 分别过点D 、P 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，如图：DM PN ∴，OM m =，41mON m =+，1OA =， ()()2212223943241111PDCADCm m m S S PD MN m m m S S DA AM m m m ⎛⎫--+- ⎪-+⎝⎭+======+++△△∴， 10-∵＜， ∴当32m =时，分子取得最大值，即12SS 有最大值，最大值为925；②存在，理由如下： 作FG AB ⊥于G ，如图，223y x x =-++∵的对称轴为：12bx a=-=， 1OE =∴， ()30B ∵，，()03C ，3OC OB ==∵，°90OCB ∠=，OCB ∴△是等腰直角三角形，°90EFB ∠=∵，2BE OB OE =-=，OCB ∴△是等腰直角三角形，1EG GB EG ===∴，∴点F 的坐标为()21，， 当EF 为边时，EFPQ ∴为平行四边形， OE PF =∴，QEPF y 轴，∴点P 的横坐标与点F 的横坐标同为2，当2x =时，222233y =-+⨯+=，∴点P 的坐标为()23，， 312QE PF ==-=∴， 点Q 的坐标为()12，； 当EF 为对角线时，如图，∵四边形PEQF 为平行四边形，QE PF =∴，QEPF y 轴，同理求得：点P 的坐标为()23，， 312QE PF ==-=∴， 点Q 的坐标为()12-，； 综上，点P 的坐标为()23，，点Q 的坐标为()12，或()12-，； 【解析】（1）把()10A -，，()30B ，代入()230y ax bx a =++≠可求得抛物线的表达式，再求得点C 的坐标，把()30B ，，C 的坐标代入y kx n =+即可求解.具体解题过程参照答案.（2）①设点D 的坐标为()3m m -+，，利用待定系数法求得直线PA 的表达式为3311m m y x m m -+-+=+++，解方程2332311m m x x x m m -+-++=-++++，求得点P 的横坐标为41mm +，利用平等线分线段成比例定理求得411mmPD MN m DA AM m -+==+，得到()212239241m S S m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=+，利用二次函数的性质即可求解.具体解题过程参照答案. ②根据等腰直角三角形的性质求得点F 的坐标为()21，，分当EF 为边和EF 为对角线时两种情况讨论，即可求解.具体解题过程参照答案. 【考点】一元二次方程的解法。
2020年湖南省郴州市中考数学试卷
2020年湖南省郴州市中考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）（2020•郴州）如图表示互为相反数的两个点是( )A ．点A 与点BB ．点A 与点DC ．点C 与点BD ．点C 与点D2．（3分）（2020•郴州）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒(1秒1000000000=纳秒）．用科学记数法表示10纳秒为( ) A ．8110-⨯秒B ．9110-⨯秒C ．91010-⨯秒D ．90.110-⨯秒3．（3分）（2020•郴州）下列图形是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．4．（3分）（2020•郴州）下列运算正确的是( ) A ．44()a a -=B ．236a a a =C ．826-=D ．325235a a a +=5．（3分）（2020•郴州）如图，直线a ，b 被直线c ，d 所截．下列条件能判定//a b 的是( )A ．13∠=∠B ．24180∠+∠=︒C ．45∠=∠D ．12∠=∠6．（3分）（2020•郴州）某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表： 鞋的尺码()cm 24 24.5 25 25.5 26 26.5 销售数量（双)27181083则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是( ) A ．中位数B ．平均数C ．众数D ．方差7．（3分）（2020•郴州）如图1，将边长为x 的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式( )A ．2221(1)x x x -+=-B ．21(1)(1)x x x -=+-C ．2221(1)x x x ++=+D ．2(1)x x x x -=-8．（3分）（2020•郴州）在平面直角坐标系中，点A 是双曲线11(0)k y x x =>上任意一点，连接AO ，过点O 作AO 的垂线与双曲线22(0)k y x x =<交于点B ，连接AB ，已知2AOBO=，则12(k k = )A ．4B ．4-C ．2D ．2-二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）（2020•郴州）若分式11x +的值不存在，则x = ． 10．（3分）（2020•郴州）已知关于x 的一元二次方程2250x x c -+=有两个相等的实数根，则c = ．11．（3分）（2020•郴州）质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有 件次品．12．（3分）（2020•郴州）某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分)分别为：86，88，90，92，94，方差为28.0S =，后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差2S =新． 13．（3分）（2020•郴州）小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系： 日期x （日) 1 2 3 4 成绩y （个)40434649小红的仰卧起坐成绩y 与日期x 之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为 ．14．（3分）（2020•郴州）在平面直角坐标系中，将AOB ∆以点O 为位似中心，23为位似比作位似变换，得到△11A OB ，已知(2,3)A ，则点1A 的坐标是 ．15．（3分）（2020•郴州）如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，则圆锥主视图的面积为 ．16．（3分）（2020•郴州）如图，在矩形ABCD 中，4AD =，8AB =．分别以点B ，D 为圆心，以大于12BD 的长为半径画弧，两弧相交于点E 和F ．作直线EF 分别与DC ，DB ，AB 交于点M ，O ，N ，则MN = ．三、解答题（17～19题每小题6分，20～23题每小题6分，24～25题每小题6分，26题12分，共82分） 17．（6分）（2020•郴州）计算：101()2cos45|12(31)3--︒+-．18．（6分）（2020•郴州）解方程：24111x x x =+--．19．（6分）（2020•郴州）如图，在菱形ABCD 中，将对角线AC 分别向两端延长到点E 和F ，使得AE CF =．连接DE ，DF ，BE ，BF ． 求证：四边形BEDF 是菱形．20．（8分）（2020•郴州）疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP等平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A．效果很好；B．效果较好；C．效果一般；D．效果不理想），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：（1）此次调查中，共抽查了名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中α∠的度数；（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少？（要求画树状图或列表求概率）21．（8分）（2020•郴州）2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运較火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得4000AD=米，仰角为30︒．3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45︒．已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B≈．处的平均速度（结果精确到1米/秒，参考数据：3 1.732≈，2 1.414)22．（8分）（2020•郴州）为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元．（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？（2）现在计划安排A ，B 两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A 型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B 型卡车．按此要求安排A ，B 两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？23．（8分）（2020•郴州）如图，ABC ∆内接于O ，AB 是O 的直径．直线l 与O 相切于点A ，在l 上取一点D 使得DA DC =，线段DC ，AB 的延长线交于点E ． （1）求证：直线DC 是O 的切线；（2）若2BC =，30CAB ∠=︒，求图中阴影部分的面积（结果保留)π．24．（10分）（2020•郴州）为了探索函数1(0)y x x x=+>的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．列表：x⋯ 14 13 12 1 2 3 4 5 ⋯ y⋯17410352252103174263⋯描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象； （2）已知点1(x ，1)y ，2(x ，2)y 在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：若1201x x <<，则1y 2y ；若121x x <<，则1y 2y ； 若121x x =，则1y 2y （填“>”，“ =”或“<” )．（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边的长为x 米，水池总造价为y 千元． ①请写出y 与x 的函数关系式；②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x 应控制在什么范围内？25．（10分）（2020•郴州）如图1，在等腰直角三角形ADC 中，90ADC ∠=︒，4AD =．点E 是AD 的中点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接AG ，CE ．将正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转，旋转角为(090)αα︒<<︒． （1）如图2，在旋转过程中，①判断AGD ∆与CED ∆是否全等，并说明理由； ②当CE CD =时，AG 与EF 交于点H ，求GH 的长． （2）如图3，延长CE 交直线AG 于点P ． ①求证：AG CP ⊥；②在旋转过程中，线段PC 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．26．（12分）（2020•郴州）如图1，抛物线23(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ．已知直线y kx n =+过B ，C 两点． （1）求抛物线和直线BC 的表达式； （2）点P 是抛物线上的一个动点．①如图1，若点P 在第一象限内，连接PA ，交直线BC 于点D ．设PDC ∆的面积为1S ，ADC ∆的面积为2S ，求12S S 的最大值；②如图2，抛物线的对称轴l 与x 轴交于点E ，过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ．点Q 是对称轴l 上的一个动点，是否存在以点E ，F ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P ，Q 的坐标；若不存在，请说明理由．。
2020年湖南省郴州市中考数学试题和答案.
2020年湖南省郴州市中考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图表示互为相反数的两个点是（）A．点A与点B B．点A与点D C．点C与点B D．点C与点D 2．（3分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒（1秒＝1000000000纳秒）．用科学记数法表示10纳秒为（）A．1×10﹣8秒B．1×10﹣9秒C．10×10﹣9秒D．0.1×10﹣9秒3．（3分）下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）下列运算正确的是（）A．（﹣a）4＝a4B．a2•a3＝a6C．﹣＝D．2a3+3a2＝5a55．（3分）如图，直线a，b被直线c，d所截．下列条件能判定a∥b 的是（）A．∠1＝∠3B．∠2+∠4＝180°C．∠4＝∠5D．∠1＝∠26．（3分）某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：鞋的尺码（cm）2424.52525.52626.5销售数量（双）27181083则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（）A．中位数B．平均数C．众数D．方差7．（3分）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（）A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）C．x2+2x+1＝（x+1）2D．x2﹣x＝x（x﹣1）8．（3分）在平面直角坐标系中，点A是双曲线y1＝（x＞0）上任意一点，连接AO，过点O作AO的垂线与双曲线y2＝（x ＜0）交于点B，连接AB，已知＝2，则＝（）A．4B．﹣4C．2D．﹣2二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）若分式的值不存在，则x＝．10．（3分）已知关于x的一元二次方程2x2﹣5x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝．11．（3分）质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有件次品．12．（3分）某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：86，88，90，92，94，方差为S2＝8.0，后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差S新2＝．13．（3分）小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：日期x（日）1234成绩y（个）40434649小红的仰卧起坐成绩y与日期x之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为．14．（3分）在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是．15．（3分）如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，则圆锥主视图的面积为．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8．分别以点B，D为圆心，以大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点E和F．作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N，则MN＝．三、解答题（17～19题每小题6分，20～23题每小题6分，24～25题每小题6分，26题12分，共82分）17．（6分）计算：（）﹣1﹣2cos45°+|1﹣|﹣（+1）0．18．（6分）解方程：＝+1．19．（6分）如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．求证：四边形BEDF是菱形．20．（8分）疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP等平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A．效果很好；B．效果较好；C．效果一般；D．效果不理想），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：（1）此次调查中，共抽查了名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠α的度数；（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少？（要求画树状图或列表求概率）21．（8分）2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°．3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．已知C，D两处相距460米，求火箭从A 到B处的平均速度（结果精确到1米/秒，参考数据：≈1.732，≈1.414）．22．（8分）为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元．（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？（2）现在计划安排A，B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安排A，B两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？23．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D使得DA＝DC，线段DC，AB 的延长线交于点E．（1）求证：直线DC是⊙O的切线；（2）若BC＝2，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．24．（10分）为了探索函数y＝x+（x＞0）的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．列表：x…12345…y…2…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：若0＜x1＜x2≤1，则y1y2；若1＜x1＜x2，则y1y2；若x1•x2＝1，则y1y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．①请写出y与x的函数关系式；②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内？25．（10分）如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD ＝4．点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．（1）如图2，在旋转过程中，①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；②当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．①求证：AG⊥CP；②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．26．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．已知直线y＝kx+n过B，C 两点．（1）求抛物线和直线BC的表达式；（2）点P是抛物线上的一个动点．①如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D．设△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，求的最大值；②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F．点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．答案一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．参考答案：解：3和﹣3互为相反数，则点A与点D表示互为相反数的两个点．故选：B．2．参考答案：解：∵1秒＝1000000000纳秒，∴10纳秒＝10÷1000000000秒＝0.000 00001秒＝1×10﹣8秒．故选：A．3．参考答案：解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．4．参考答案：解：A、（﹣a）4＝a4，正确；B、a2•a3＝a5，故此选项错误；C、﹣＝2﹣＝，故此选项错误；D、2a3+3a2，不是同类项，无法合并，故此选项错误；故选：A．5．参考答案：解：A、当∠1＝∠3时，c∥d，故此选项不合题意；B、当∠2+∠4＝180°时，c∥d，故此选项不合题意；C、当∠4＝∠5时，c∥d，故此选项不合题意；D、当∠1＝∠2时，a∥b，故此选项符合题意；故选：D．6．参考答案：解：对鞋店下次进货来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数．故选：C．7．参考答案：解：由图可知，图1的面积为：x2﹣12，图2的面积为：（x+1）（x﹣1），所以x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．故选：B．8．参考答案：解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，∵点A是双曲线y1＝（x＞0）上的点，点B是双曲线y2＝（x ＜0）上的点，∴S△AOD＝|k1|＝k1，S△BOE＝|k2|＝﹣k2，∵∠AOB＝90°，∴∠BOE+∠AOD＝90°，∵∠AOD+∠OAD＝90°，∴∠BOE＝∠OAD，∵∠BEO＝∠ADO＝90°，∴△BOE∽△OAD，∴＝（）2，∴＝22，∴＝﹣4，故选：B．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9．参考答案：解：若分式的值不存在，则x+1＝0，解得：x＝﹣1，故答案为：﹣1．10．参考答案：解：根据题意得△＝（﹣5）2﹣4×2×c＝0，解得c＝．故答案为：．11．参考答案：解：1000×＝20（件），即这批电子元件中大约有20件次品，故答案为：20．12．参考答案：解：∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变，∴所得到的一组新数据的方差为S新2＝8.0；故答案为：8.0．13．参考答案：解：设该函数表达式为y＝kx+b，根据题意得：，解得，∴该函数表达式为y＝3x+37．故答案为：y＝3x+37．14．参考答案：解：∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3），∴点A1的坐标是：（×2，×3），即A1（，2）．故答案为：（，2）．15．参考答案：解：根据圆锥侧面积公式：S＝πrl，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，故60π＝π×10×r，解得：r＝6．由勾股定理可得圆锥的高＝＝8，∵圆锥的主视图是一个底边为12，高为8的等腰三角形，∴它的面积＝＝48，故答案为：48．16．参考答案：解：如图，连接DN，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8，∴BD＝＝4，根据作图过程可知：MN是BD的垂直平分线，∴DN＝BN，OB＝OD＝2，∴AN＝AB﹣BN＝AB﹣DN＝8﹣DN，在Rt△ADN中，根据勾股定理，得DN2＝AN2+AD2，∴DN2＝（8﹣DN）2+42，解得DN＝5，在Rt△DON中，根据勾股定理，得ON＝＝，∵CD∥AB，∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，∵OD＝OB，∴△DMO≌△BNO（AAS），∴OM＝ON＝，∴MN＝2．故答案为：2．三、解答题（17～19题每小题6分，20～23题每小题6分，24～25题每小题6分，26题12分，共82分）17．参考答案：解：原式＝3﹣2×+﹣1﹣1＝3﹣+﹣2＝1．18．参考答案：解：＝+1，方程两边都乘（x﹣1）（x+1），得x（x+1）＝4+（x﹣1）（x+1），解得x＝3，检验：当x＝3时，（x﹣1）（x+1）＝8≠0．故x＝3是原方程的解．19．参考答案：证明：方法一：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠DCA＝∠BCA，∴∠DCF＝∠BCF，∵CF＝CF，∴△CDF≌△CBF（SAS），∴DF＝BF，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∴∠DAE＝∠BCF，∵AE＝CF，DA＝AB，∴△DAE≌△BFC（SAS），∴DE＝BF，同理可证：△DCF≌△BAE（SAS），∴DF＝BE，∴四边形BEDF是平行四边形，∵DF＝BF，∴平行四边形BEDF是菱形．方法二：∵ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAC＝∠DCA＝∠BCA＝∠BAC，∴∠EAD＝∠EAB＝∠FCD＝∠FCB，所以就能得到四个三角形全等，所以四条边相等，所以四边形BEDF为菱形．20．参考答案：解：（1）80÷40%＝200（名），故答案为：200；（2）200﹣80﹣60﹣20＝40（名），360°×＝72°，补全条形统计图如图所示：（3）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有12种可能出现的结果，其中“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的有4种，∴P（1人认为效果很好，1人认为效果较好）＝＝．21．参考答案：解：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可知：AB＝3x，在Rt△ADO中，∠ADO＝30°，AD＝4000，∴AO＝2000，∴DO＝2000，∵CD＝460，∴OC＝OD﹣CD＝2000﹣460，在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，∴BO＝OC，∵OB＝OA+AB＝2000+3x，∴2000+3x＝2000﹣460，解得x≈335（米/秒）．答：火箭从A到B处的平均速度为335米/秒．22．参考答案：解：（1）设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨，依题意，得：，解得：．答：甲物资采购了300吨，乙物质采购了240吨．（2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50﹣m）辆，依题意，得：，解得：25≤m≤27．∵m为正整数，∴m可以为25，26，27，∴共有3种运输方案，方案1：安排25辆A型卡车，25辆B型卡车；方案2：安排26辆A型卡车，24辆B型卡车；方案3：安排27辆A型卡车，23辆B型卡车．23．参考答案：（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，∴∠DAB＝90°，∵DA＝DC，OA＝OC，∴∠DAC＝∠DCA，∠OAC＝∠OCA，∴∠DCA+∠ACO＝∠DAC+∠CAO，即∠DCO＝∠DAO＝90°，∴OC⊥CD，∴直线DC是⊙O的切线；（2）解：∵∠CAB＝30°，∴∠BOC＝2∠CAB＝60°，∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴OC＝OB＝BC＝2，∴CE＝OC＝2，∴图中阴影部分的面积＝S△OCE﹣S扇形COB＝﹣＝2﹣．24．参考答案：解：（1）函数图象如图所示：（2）若0＜x1＜x2≤1，则y1＞y2；若1＜x1＜x2，则y1＜y2，若x1•x2＝1，则y1＝y2．故答案为＞，＜，＝．（3）①由题意，y＝1+（2x+）×0.5＝1+x+（x＞0）．②由题意1+x+≤3.5，∵x＞0，可得2x2﹣5x+2≤0，解得：≤x≤2，∴长x应控制在≤x≤2的范围内．25．参考答案：解：（1）①如图2中，结论：△AGD≌△CED．理由：∵四边形EFGD是正方形，∴DG＝DE，∠GDE＝90°，∵DA＝DC，∠ADC＝90°，∴∠GDE＝∠ADC，∴∠ADG＝∠CDE，∴△AGD≌△CED（SAS）．②如图2中，过点A作AT⊥GD于T．∵△AGD≌△CED，CD＝CE，∴AD＝AG＝4，∵AT⊥GD，∴TG＝TD＝1，∴AT＝＝，∵EF∥DG，∴∠GHF＝∠AGT，∵∠F＝∠ATG＝90°，∴△GFH∽△ATG，∴＝，∴＝，∴GH＝．（2）①如图3中，设AD交PC于O．∵△AGD≌△CED，∴∠DAG＝∠DCE，∵∠DCE+∠COD＝90°，∠COD＝∠AOP，∴∠AOP+∠DAG＝90°，∴∠APO＝90°，∴CP⊥AG．②∵∠CPA＝90°，AC是定值，∴当∠ACP最小时，PC的值最大，∴当DE⊥PC时，∠ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F 与P重合（如图4中），∵∠CED＝90°，CD＝4，DE＝2，∴EC＝＝＝2，∵EF＝DE＝2，∴CP＝CE+EF＝2+2，∴PC的最大值为2+2．26．参考答案：解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：，解得∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，∴点C坐标为（0，3），把B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+n得：，解得∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3．（2）①∵PA交直线BC于点D，∴设点D的坐标为（m，﹣m+3），设直线AD的表达式为y＝k1x+b1，∴，解得，∴直线AD的表达式，y＝x+，∴x+＝﹣x2+2x+3，整理得，（x﹣）（x+1）＝0解得x＝或﹣1（不合题意，舍去），∴点D的横坐标为m，点P的横坐标为，分别过点D、P作x轴的垂线，垂足分别为M、N，如图1中：∴DM∥PN，OM＝m，ON＝，OA＝1，∴＝＝＝＝＝，设＝t，则t＝整理得，（t+1）m2+（2t﹣3）m+t＝0，∵△≥0，∴（2t﹣3）2﹣4t（t+1）≥0，解得t≤∴有最大值，最大值为．②存在，理由如下：过点F作FG⊥OB于G，如图2中，∵y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝﹣1，∴OE＝1，∵B（3，0），C（0，3）∵OC＝OB＝3，∠COB＝90°，∴△OCB是等腰直角三角形，∵∠EFB＝90°，BE＝OB﹣OE＝2，∴△EFB是等腰直角三角形，∴FG＝GB＝EG＝1，∴点F的坐标为（2，1），当EF为边时，∵四边形EFPQ为平行四边形，∴QE＝PF，QE∥PF∥y轴，∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2，当x＝2时，y＝﹣22+2×2+3＝3，∴点P的坐标为（2，3），∴QE＝PF＝3﹣1＝2，点Q的坐标为（1，2），根据对称性当P（0，3）时，Q（1，4）时，四边形EFQP也是平行四边形．当EF为对角线时，如图3中，∵四边形PEQF为平行四边形，∴QE＝PF，QE∥PF∥x轴，同理求得：点P的坐标为（2，3），∴QE＝PF＝3﹣1＝2，点Q的坐标为（1，﹣2）；综上，点P的坐标为（2，3），点Q的坐标为（1，2）或（1，﹣2），P（0，3）时，Q（1，4）．3。
2020年湖南省郴州市中考数学试卷(解析版)
2020年郴州市中考数学试卷一、选择题（共8小题）.1．如图表示互为相反数的两个点是（）A．点A与点B B．点A与点D C．点C与点B D．点C与点D 2．2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒（1秒＝1000000000纳秒）．用科学记数法表示10纳秒为（）A．1×10﹣8秒B．1×10﹣9秒C．10×10﹣9秒D．0.1×10﹣9秒3．下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．下列运算正确的是（）A．（﹣a）4＝a4B．a2?a3＝a6C．﹣＝D．2a3+3a2＝5a55．如图，直线a，b被直线c，d所截．下列条件能判定a∥b的是（）A．∠1＝∠3B．∠2+∠4＝180°C．∠4＝∠5D．∠1＝∠26．某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：鞋的尺码（cm）2424.52525.52626.5销售数量（双）27181083则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（）A．中位数B．平均数C．众数D．方差7．如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（）A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）C．x2+2x+1＝（x+1）2D．x2﹣x＝x（x﹣1）8．在平面直角坐标系中，点A是双曲线y1＝（x＞0）上任意一点，连接AO，过点O 作AO的垂线与双曲线y2＝（x＜0）交于点B，连接AB，已知＝2，则＝（）A．4B．﹣4C．2D．﹣2二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9．若分式的值不存在，则x＝．10．已知关于x的一元二次方程2x2﹣5x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝．11．质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有件次品．12．某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：86，88，90，92，94，方差为S2＝8.0，后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差S新2＝．13．小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：日期x（日）1234成绩y（个）40434649小红的仰卧起坐成绩y与日期x之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为．14．在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是．15．如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，则圆锥主视图的面积为．16．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8．分别以点B，D为圆心，以大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点E和F．作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N，则MN＝．三、解答题（17～19题每小题6分，20～23题每小题6分，24～25题每小题6分，26题12分，共82分）17．计算：（）﹣1﹣2cos45°+|1﹣|﹣（+1）0．18．解方程：＝+1．19．如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．求证：四边形BEDF是菱形．20．疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP等平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A．效果很好；B．效果较好；C．效果一般；D．效果不理想），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：（1）此次调查中，共抽查了名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠α的度数；（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少？（要求画树状图或列表求概率）21．2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运較火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°．3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1米/秒，参考数据：≈1.732，≈1.414）．22．为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元．（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？（2）现在计划安排A，B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安排A，B两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？23．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D使得DA＝DC，线段DC，AB的延长线交于点E．（1）求证：直线DC是⊙O的切线；（2）若BC＝2，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．24．为了探索函数y＝x+（x＞0）的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．列表：x…12345…y…2…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：若0＜x1＜x2≤1，则y1y2；若1＜x1＜x2，则y1y2；若x1?x2＝1，则y1y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．①请写出y与x的函数关系式；②若该农户预算不超过 3.5千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内？25．如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．（1）如图2，在旋转过程中，①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；②当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．①求证：AG⊥CP；②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．26．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．已知直线y＝kx+n过B，C两点．（1）求抛物线和直线BC的表达式；（2）点P是抛物线上的一个动点．①如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D．设△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，求的最大值；②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F．点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．如图表示互为相反数的两个点是（）A．点A与点B B．点A与点D C．点C与点B D．点C与点D 解：3和﹣3互为相反数，则点A与点D表示互为相反数的两个点．故选：B．2．2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒（1秒＝1000000000纳秒）．用科学记数法表示10纳秒为（）A．1×10﹣8秒B．1×10﹣9秒C．10×10﹣9秒D．0.1×10﹣9秒解：∵1秒＝1000000000纳秒，∴10纳秒＝10÷1000000000秒＝0.000 00001秒＝1×10﹣8秒．故选：A．3．下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．4．下列运算正确的是（）A．（﹣a）4＝a4B．a2?a3＝a6C．﹣＝D．2a3+3a2＝5a5解：A、（﹣a）4＝a4，正确；B、a2?a3＝a5，故此选项错误；C、﹣＝2﹣＝，故此选项错误；D、2a3+3a2，不是同类项，无法合并，故此选项错误；故选：A．5．如图，直线a，b被直线c，d所截．下列条件能判定a∥b的是（）A．∠1＝∠3B．∠2+∠4＝180°C．∠4＝∠5D．∠1＝∠2解：A、当∠1＝∠3时，c∥d，故此选项不合题意；B、当∠2+∠4＝180°时，c∥d，故此选项不合题意；C、当∠4＝∠5时，c∥d，故此选项不合题意；D、当∠1＝∠2时，a∥b，故此选项符合题意；故选：D．6．某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：鞋的尺码（cm）2424.52525.52626.5销售数量（双）27181083则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（）A．中位数B．平均数C．众数D．方差解：对鞋店下次进货来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数．故选：C．7．如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（）A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）C．x2+2x+1＝（x+1）2D．x2﹣x＝x（x﹣1）解：由图可知，图1的面积为：x2﹣12，图2的面积为：（x+1）（x﹣1），所以x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．故选：B．8．在平面直角坐标系中，点A是双曲线y1＝（x＞0）上任意一点，连接AO，过点O 作AO的垂线与双曲线y2＝（x＜0）交于点B，连接AB，已知＝2，则＝（）A．4B．﹣4C．2D．﹣2解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，∵点A是双曲线y1＝（x＞0）上的点，点B是双曲线y2＝（x＜0）上的点，∴S△AOD＝|k1|＝k1，S△BOE＝|k2|＝﹣k2，∵∠AOB＝90°，∴∠BOE+∠AOD＝90°，∵∠AOD+∠OAD＝90°，∴∠BOE＝∠OAD，∠BEO＝∠OAD＝90°，∴△BOE∽△OAD，∴＝（）2，∴＝22，∴＝﹣4，故选：B．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9．若分式的值不存在，则x＝﹣1．解：若分式的值不存在，则x+1＝0，解得：x＝﹣1，故答案为：﹣1．10．已知关于x的一元二次方程2x2﹣5x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝．解：根据题意得△＝（﹣5）2﹣4×2×c＝0，解得c＝．故答案为：．11．质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有20件次品．解：1000×＝20（件），即这批电子元件中大约有20件次品，故答案为：20．12．某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：86，88，90，92，94，方差为S2＝8.0，后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差S新2＝8.0．解：∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变，∴所得到的一组新数据的方差为S新2＝8.0；故答案为：8.0．13．小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：日期x（日）1234成绩y（个）40434649小红的仰卧起坐成绩y与日期x之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为y＝3x+37．解：设该函数表达式为y＝kx+b，根据题意得：，解得，∴该函数表达式为y＝3x+37．故答案为：y＝3x+37．14．在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是（，2）．解：∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3），∴点A1的坐标是：（×2，×3），即A1（，2）．故答案为：（，2）．15．如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，则圆锥主视图的面积为48．解：根据圆锥侧面积公式：S＝πrl，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，故60π＝π×10×r，解得：r＝6．由勾股定理可得圆锥的高＝＝8，∵圆锥的主视图是一个底边为12，高为8的等腰三角形，∴它的面积＝＝48，故答案为：48．16．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8．分别以点B，D为圆心，以大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点E和F．作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N，则MN＝2．解：如图，连接DN，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8，∴BD＝＝4，根据作图过程可知：MN是BD的垂直平分线，∴DN＝BN，OB＝OD＝2，∴AN＝AB﹣BN＝AB﹣DN＝8﹣DN，在Rt△ADN中，根据勾股定理，得DN2＝AN2+AD2，∴DN2＝（8﹣DN）2+42，解得DN＝5，在Rt△DON中，根据勾股定理，得ON＝＝，∵CD∥AB，∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，∵OD＝OB，∴△DMO≌△BNO（AAS），∴OM＝ON＝，∴MN＝2．故答案为：2．三、解答题（17～19题每小题6分，20～23题每小题6分，24～25题每小题6分，26题12分，共82分）17．计算：（）﹣1﹣2cos45°+|1﹣|﹣（+1）0．解：原式＝3﹣2×+﹣1﹣1＝3﹣+﹣2＝1．18．解方程：＝+1．解：＝+1，方程两边都乘（x﹣1）（x+1），得x（x+1）＝4+（x﹣1）（x+1），解得x＝3，检验：当x＝3时，（x﹣1）（x+1）＝8≠0．故x＝3是原方程的解．19．如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．求证：四边形BEDF是菱形．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠DCA＝∠BCA，∴∠DCF＝∠BCF，∵CF＝CF，∴△CDF≌△CBF（SAS），∴DF＝BF，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵AE＝CF，DA＝AB，∴△DAE≌△BFC（SAS），∴DE＝BF，同理可证：△DCF≌△BEA（SAS），∴DF＝BE，∴四边形BEDF是平行四边形，∵DF＝BF，∴平行四边形BEDF是菱形．20．疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP等平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A．效果很好；B．效果较好；C．效果一般；D．效果不理想），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：（1）此次调查中，共抽查了200名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠α的度数；（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少？（要求画树状图或列表求概率）解：（1）80÷40%＝200（名），故答案为：200；（2）200﹣80﹣60﹣20＝40（名），360°×＝72°，补全条形统计图如图所示：（3）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有12种可能出现的结果，其中“1人认为效果很好，1人认为效果较好”即：1人为A，1人为B的有2种，∴P（1人认为效果很好，1人认为效果较好）＝＝．21．2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运較火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°．3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1米/秒，参考数据：≈1.732，≈1.414）．解：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可知：AB＝3x，在Rt△ADO中，∠ADO＝30°，AD＝4000，∴AO＝2000，∴DO＝2000，∵CD＝460，∴OC＝OD﹣CD＝2000﹣460，在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，∴BO＝OC，∵OB＝OA+AB＝2000+3x，∴2000+3x＝2000﹣460，解得x≈335（米/秒）．答：火箭从A到B处的平均速度为335米/秒．22．为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元．（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？（2）现在计划安排A，B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安排A，B两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？解：（1）设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨，依题意，得：，解得：．答：甲物资采购了300吨，乙物质采购了240吨．（2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50﹣m）辆，依题意，得：，解得：25≤m≤27．∵m为正整数，∴m可以为25，26，27，∴共有3种运输方案，方案1：安排25辆A型卡车，25辆B型卡车；方案2：安排26辆A型卡车，24辆B型卡车；方案3：安排27辆A型卡车，23辆B型卡车．23．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D使得DA＝DC，线段DC，AB的延长线交于点E．（1）求证：直线DC是⊙O的切线；（2）若BC＝2，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【解答】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，∴∠DAB＝90°，∵DA＝DC，OA＝OC，∴∠DAC＝∠DCA，∠OAC＝∠OCA，∴∠DCA+∠ACO＝∠DAC+∠CAO，即∠DCO＝∠DAO＝90°，∴OC⊥BD，∴直线DC是⊙O的切线；（2）解：∵∠CAB＝30°，∴∠BOC＝2∠CAB＝60°，∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴OC＝OB＝BC＝2，∴CE＝OC＝2，∴图中阴影部分的面积＝S△OCE﹣S扇形COB＝﹣＝2﹣．24．为了探索函数y＝x+（x＞0）的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．列表：x…12345…y…2…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：若0＜x1＜x2≤1，则y1＞y2；若1＜x1＜x2，则y1＜y2；若x1?x2＝1，则y1＞y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．①请写出y与x的函数关系式；②若该农户预算不超过 3.5千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内？解：（1）函数图象如图所示：（2）若0＜x1＜x2≤1，则y1＞y2；若1＜x1＜x2，则y1＜y2，若x1?x2＝1，则y1＞y2．故答案为＞，＜，＞．（3）①由题意，y＝1+（2x+）×0.5＝1+x+（x＞0）．②由题意1+x+≤3.5，∵x＞0，可得2x2﹣5x+2≤0，解得：≤x≤2，∴长x应控制在≤x≤2的范围内．25．如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．（1）如图2，在旋转过程中，①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；②当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．①求证：AG⊥CP；②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）①如图2中，结论：△AGD≌△CED．理由：∵四边形EFGD是正方形，∴DG＝DE，∠GDE＝90°，∵DA＝DC，∠ADC＝90°，∴∠GDE＝∠ADC，∴∠ADG＝∠CDE，∴△AGD≌△CED（SAS）．②如图2中，过点A作AT⊥GD于T．∵△AGD≌△CED，CD＝CE，∴AD＝AG＝4，∵AT⊥GD，∴TG＝TD＝1，∴AT＝＝，∵EF∥DG，∴∠GHF＝∠AGT，∵∠F＝∠ATG＝90°，∴△GFH∽△ATG，∴＝，∴＝，∴GH＝．（2）①如图3中，设AD交PC于O．∵△AGD≌△CED，∴∠DAG＝∠DCE，∵∠DCE+∠COD＝90°，∠COD＝∠AOP，∴∠AOP+∠DAG＝90°，∴∠APO＝90°，∴CP⊥AG．②∵∠CPA＝90°，AC是定值，∴当∠ACP最小时，PC的值最大，∴当DE⊥PC时，∠ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合（如图4中），∵∠CED＝90°，CD＝4，DE＝2，∴EC＝＝＝2，∵EF＝DE＝2，∴CP＝CE+EF＝2+2，∴PC的最大值为2+2．26．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．已知直线y＝kx+n过B，C两点．（1）求抛物线和直线BC的表达式；（2）点P是抛物线上的一个动点．①如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D．设△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，求的最大值；②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F．点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：，解得，∴抛物线的表达式，y＝﹣x2+2x+3，∴点C坐标为（0，3），把B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+n得：，解得，∴直的表达式：y＝﹣x+3．（2）①∵PA交直线BC于点，∴设点D的坐标为（m，﹣m+3），设直线PA的表达式为y＝k1x+b1，∴，解得，∴直线PA的表达式，y＝x+，∴x+＝﹣x2+2x+3，整理得，（x﹣）（x+1）＝0解得x＝或﹣1（不合题意，舍去），∴点D的横坐标为m，点P的横坐标，分别过点D、P作x轴的垂线，垂足分别为M、N，如图1中：∴DM∥PN，OM＝m，ON＝，OA＝1，∴＝＝＝＝＝，设＝t，则t＝整理得，（t+1）m2+（2t﹣3）m+t＝0，∵△≥0，∴（2t﹣3）2﹣4t（t+1）≥0，解得t≤∴有最大值，最大值为．②存在，理由如下：过点F作FG⊥OB于G，如图2中，∵y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝﹣1，∴OE＝1，∵B（3，0），C（0，3）∵OC＝OB＝3，∠OCB＝90°，∴△OCB是等腰直角三角形，∵∠EFB＝90°，BE＝OB﹣OE＝2，∴△OCB是等腰直角三角形，∴EG＝GB＝EG＝1，∴点F的坐标为（2，1），当EF为边时，∵EFPQ为平行四边形，∴QE＝PF，QE∥PF∥y轴，∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2，当x＝2时，y＝﹣22+2×2+3＝3，∴点P的坐标为（2，3），∴QE＝PF＝3﹣1＝2，点Q的坐标为（1，2）；当EF为对角线时，如图3中，∵PEQF为平行四边形，∴QE＝PF，QE∥PF∥轴，同理求得：点P的坐标为（2，），∴QE＝PF＝3﹣1＝2，点Q的坐标为（1，﹣2）；综上，点P的标为（2，3），点Q的坐标为（1，2）或（1，﹣2）；。
湖南省郴州市中考数学真题试题(含解析)
2020年湖南省郴州市中考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，数轴上表示﹣2的相反数的点是（）A．M B．N C．P D．Q2．（3分）如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）邓小平曾说：“中东有石油，中国有稀土”．稀土是加工制造国防、军工等工业品不可或缺的原料．据有关统计数据表明：至止，我国已探明稀土储量约4400万吨，居世界第一位，请用科学记数法表示 44 000 000为（）A．44×106B．4.4×107C．4.4×108D．0.44×1094．（3分）下列运算正确的是（）A．（x2）3＝x5B．+＝C．x•x2•x4＝x6D．＝5．（3分）一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根6．（3分）下列采用的调查方式中，合适的是（）A．为了解东江湖的水质情况，采用抽样调查的方式B．我市某企业为了解所生产的产品的合格率，采用普查的方式C．某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查，采用抽样调查的方式D．某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况，采用普查的方式7．（3分）如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O．在直线EF上任取一点P（不与O重合），连接PA，PB，则下列结论不一定成立的是（）A．PA＝PB B．OA＝OB C．OP＝OF D．PO⊥AB8．（3分）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF的边长是（）A．B．2 C．D．4二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）二次根式中，x的取值范围是．10．（3分）若＝，则＝．11．（3分）如图，直线a，b被直线c，d所截．若a∥b，∠1＝130°，∠2＝30°，则∠3的度数为度．12．（3分）某校举行演讲比赛，七个评委对小明的打分如下：9，8，7，6，9，9，7，这组数据的中位数是．13．（3分）某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表所示：观察此表，利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为瓶．14．（3分）如图是甲、乙两人6次投篮测试（每次投篮10个）成绩的统计图，甲、乙两人测试成绩的方差分别记作s甲2、s乙2，则s甲2s乙2．（填“＞”，“＝”或“＜”）15．（3分）已知某几何体的三视图如图，其中主视图和左视图都是腰长为5，底边长为4的等腰三角形，则该几何体的侧面展开图的面积是．（结果保留π）16．（3分）如图，点A，C分别是正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象的交点，过A点作AD⊥x轴于点D，过C点作CB⊥x轴于点B，则四边形ABCD的面积为．三、解答题（17～19题每题6分，20～23题每题8分，24～25题每题10分，26题12分，共82分）17．（6分）计算：（3﹣π）0﹣2cos30°+|1﹣|+（）﹣1．18．（6分）先化简，再求值：﹣，其中a＝．19．（6分）如图，▱ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．求证：四边形ACDF是平行四边形．（8分）我市去年成功举办2018郴州国际休闲旅游文化节，获评“全国森林旅游示范市”．我20．市有A，B，C，D，E五个景区很受游客喜爱．一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是人，m＝，并补全条形统计图；（2）若该小区有居民1200人，试估计去B地旅游的居民约有多少人？（3）小军同学已去过E地旅游，暑假期间计划与父母从A，B，C，D四个景区中，任选两个去旅游，求选到A，C两个景区的概率．（要求画树状图或列表求概率）21．（8分）如图所示，巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东45°方向上，距离A处30km．在灯塔C的正南方向B处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救．已知B 处在A处的北偏东60°方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？（精确到0.01km．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）22．（8分）某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A，B两种型号的机器．已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等．（1）每台A，B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？（2）如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于72件，同时为了保障机器的正常运转，两种机器每小时加工的零件不能超过76件，那么A，B两种型号的机器可以各安排多少台？23．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点D，且AD∥OC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）延长CO交⊙O于点E．若∠CEB＝30°，⊙O的半径为2，求的长．（结果保留π）24．（10分）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与性质．列表：描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点A（﹣5，y1），B（﹣，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1y2，x1x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）②当函数值y＝2时，求自变量x的值；③在直线x＝﹣1的右侧的函数图象上有两个不同的点P（x3，y3），Q（x4，y4），且y3＝y4，求x3+x4的值；④若直线y＝a与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围．25．（10分）如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把∠BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．（1）求证：△A1DE∽△B1EH；（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断△DEF 的形状，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点G为△DEF内一点，且∠DGF＝150°，试探究DG，EG，FG的数量关系．26．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y 轴交于点C．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点．①如图1，设k＝，当k为何值时，CF＝AD？②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．2020年湖南省郴州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．【解答】解：﹣2的相反数是2，故选：D．2．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．3．【解答】解：将 44 000 000用科学记数法可表示为4.4×107．故选：B．4．【解答】解：A、（x2）3＝x6，故本选项错误；B、+＝+2＝3，故本选项错误；C、x•x2•x4＝x7，故本选项错误；D、＝，故本选项正确；故选：D．5．【解答】解：一元二次方程2x2﹣3x+5＝0中，△＝32﹣4×2×9（﹣5）＞0，∴有两个不相等的实数根．故选：B．6．【解答】解：A、为了解东江湖的水质情况，采用抽样调查的方式，合适；B、我市某企业为了解所生产的产品的合格率，因调查范围广，工作量大采用普查的方式不合适；C、某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查，因调查范围小采用抽样调查的方式不合适；D、某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况，因调查范围广，采用普查的方式不合适，故选：A．7．【解答】解：∵由作图可知，EF垂直平分AB，∴PA＝PB，故A选项正确；OA＝OB，故B选项正确；OE＝OF，故C选项错误；PO⊥AB，故D选项正确；故选：C．8．【解答】解：设正方形ADOF的边长为x，由题意得：BE＝BD＝4，CE＝CF＝6，∴BC＝BE+CE＝BD+CF＝10，在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，即（6+x）2+（x+4）2＝102，整理得，x2+10x﹣24＝0，解得：x＝2，或x＝﹣12（舍去），∴x＝2，即正方形ADOF的边长是2；故选：B．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）9．【解答】解：根据题意，得x﹣2≥0，解得，x≥2；故答案是：x≥2．10．【解答】解：∵＝，∴2x+2y＝3x，故2y＝x，则＝．故答案为：．11．【解答】解：∵a∥b，∴∠3＝∠4，∵∠1＝∠2+∠4＝∠2+∠3，∠1＝130°，∠2＝30°，∴130°＝30°+∠3，解得：∠3＝100°．故答案为：100．12．【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：6，7，7，8，9，9，9，故这组数据的中位数是8．故答案为：8．13．【解答】解：这是一个一次函数模型，设y＝kx+b，则有，解得，∴y＝5x+115，当x＝7时，y＝150，∴预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为150瓶，故答案为150．14．【解答】解：由图象可知：乙偏离平均数大，甲偏离平均数小，所以乙波动大，不稳定，方差大，即S甲2＜S乙2．故答案为：＜．15．【解答】解：由三视图可知，该几何体是圆锥，∴侧面展开图的面积＝π•2•5＝10π，故答案为10π．16．【解答】解：∵A、C是两函数图象的交点，∴A、C关于原点对称，∵CD⊥x轴，AB⊥x轴，∴OA＝OC，OB＝OD，∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD，又∵反比例函数y＝的图象上，∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD＝×4＝2，∴S四边形ABCD＝4S△AOB＝4×2＝8，故答案为：8．三、解答题（17～19题每题6分，20～23题每题8分，24～25题每题10分，26题12分，共82分）17．【解答】解：原式＝1﹣2×+﹣1+2＝2．18．【解答】解：﹣＝＝＝＝＝，当a＝时，原式＝＝＝1．19．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，又∵∠FEA＝∠CED，∴△FAE≌△CDE（ASA），∴CD＝FA，又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形．20．【解答】解：（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是20÷10%＝200（人），则m%＝×100%＝35%，即m＝35，C景区人数为200﹣（20+70+20+50）＝40（人），补全条形图如下：故答案为：200，35；（2）估计去B地旅游的居民约有1200×35%＝420（人）；（3）画树状图如下：由树状图知，共有12种等可能结果，其中选到A，C两个景区的有2种结果，所以选到A，C两个景区的概率为＝．21．【解答】解：延长CB交过A点的正东方向于D，如图所示：则∠CDA＝90°，由题意得：AC＝30km，∠CAD＝90°﹣45°＝45°，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝CD＝AC＝15，AD＝BD，∴BD＝＝5，∴BC＝CD﹣BD＝15﹣5≈15×1.414﹣5×2.449≈8.97（km）；答：巡逻船与渔船的距离约为8.97km．22．【解答】解：（1）设每台B型机器每小时加工x个零件，则每台A型机器每小时加工（x+2）个零件，依题意，得：＝，解得：x＝6，经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意，∴x+2＝8．答：每台A型机器每小时加工8个零件，每台B型机器每小时加工6个零件．（2）设A型机器安排m台，则B型机器安排（10﹣m）台，依题意，得：，解得：6≤m≤8．∵m为正整数，∴m＝6，7，8．答：共有三种安排方案，方案一：A型机器安排6台，B型机器安排4台；方案二：A型机器安排7台，B型机器安排3台；方案三：A型机器安排8台，B型机器安排2台．23．【解答】（1）证明：连接OD，∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODC＝90°，∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD∥OC，∴∠COB＝∠OAD，∠COD＝∠ODA，∴∠COB＝∠COD，在△COD和△COB中，∴△COD≌△COB（SAS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵∠CEB＝30°，∴∠COB＝60°，∵∠COB＝∠COD，∴∠BOD＝120°，∴的长：＝π．24．【解答】解：（1）如图所示：（2）①A（﹣5，y1），B（﹣，y2），A与B在y＝﹣上，y随x的增大而增大，∴y1＜y2；C（x1，），D（x2，6），C与D在y＝|x﹣1|上，观察图象可得x1＜x2；故答案为＜，＜；②当y＝2时，2＝﹣，∴x＝﹣（不符合）；当y＝2时，2＝|x﹣1|，∴x＝3或x＝﹣1；③∵P（x3，y3），Q（x4，y4）在x＝﹣1的右侧，∴﹣1≤x≤3时，点关于x＝1对称，∵y3＝y4，∴x3+x4＝2；④由图象可知，0＜a＜2；25．【解答】解：（1）证明：由折叠的性质可知：∠DAE＝∠DA1E＝90°，∠EBH＝∠EB1H＝90°，∠AED＝∠A1ED，∠BEH＝∠B1EH，∴∠DEA1+∠HEB1＝90°．又∵∠HEB1+∠EHB1＝90°，∴∠DEA1＝∠EHB1，∴△A1DE∽△B1EH；（2）结论：△DEF是等边三角形；理由如下：∵直线MN是矩形ABCD的对称轴，∴点A1是EF的中点，即A1E＝A1F，在△A1DE和△A1DF中，∴△A1DE≌△A1DF（SAS），∴DE＝DF，∠FDA1＝∠EDA1，又∵△ADE≌△A1DE，∠ADF＝90°．∴∠ADE＝∠EDA1＝∠FDA1＝30°，∴∠EDF＝60°，∴△DEF是等边三角形；（3）DG，EG，FG的数量关系是DG2+GF2＝GE2，理由如下：由（2）可知△DEF是等边三角形；将△DGE逆时针旋转60°到△DG'F位置，如解图（1），∴G'F＝GE，DG'＝DG，∠GDG'＝60°，∴△DGG'是等边三角形，∴GG'＝DG，∠DGG'＝60°，∵∠DGF＝150°，∴∠G'GF＝90°，∴G'G2+GF2＝G'F2，∴DG2+GF2＝GE2，26．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣3，0），B（1，0），∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）①∵在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝3，∴AC2＝OA2+OC2＝18，∵D（﹣1，4），C（0，3），A（﹣3，0），∴CD2＝12+12＝2∴AD2＝22+42＝20∴AC2+CD2＝AD2∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°．∵，∴F为AD的中点，∴，∴．②在Rt△ACD中，tan，在Rt△OBC中，tan，∴∠ACD＝∠OCB，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∴∠FAO＝∠ACB，若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，则可分两种情况考虑：当∠AOF＝∠ABC时，△AOF∽△CBA，∴OF∥BC，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，∴直线OF的解析式为y＝﹣3x，设直线AD的解析式为y＝mx+n，∴，解得：，∴直线AD的解析式为y＝2x+6，∴，解得：，∴F（﹣）．当∠AOF＝∠CAB＝45°时，△AOF∽△CAB，∵∠CAB＝45°，∴OF⊥AC，∴直线OF的解析式为y＝﹣x，∴，解得：，∴F（﹣2，2）．综合以上可得F点的坐标为（﹣）或（﹣2，2）．。
2020年湖南省郴州市中考数学试卷
2020年湖南省郴州市中考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1．（3分）如图表示互为相反数的两个点是( )A ．点A 与点BB ．点A 与点DC ．点C 与点BD ．点C 与点D2．（3分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒(1秒1000000000=纳秒）．用科学记数法表示10纳秒为( ) A ．8110-⨯秒B ．9110-⨯秒C ．91010-⨯秒D ．90.110-⨯秒3．（3分）下列图形是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．4．（3分）下列运算正确的是( ) A ．44()a a -=B ．236a a a =C ．826-=D ．325235a a a +=5．（3分）如图，直线a ，b 被直线c ，d 所截．下列条件能判定//a b 的是( )A ．13∠=∠B ．24180∠+∠=︒C ．45∠=∠D ．12∠=∠6．（3分）某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表： 鞋的尺码()cm 24 24.5 25 25.5 26 26.5 销售数量（双)27181083则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是( )A ．中位数B ．平均数C ．众数D ．方差7．（3分）如图1，将边长为x 的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式( )A ．2221(1)x x x -+=-B ．21(1)(1)x x x -=+-C ．2221(1)x x x ++=+D ．2(1)x x x x -=-8．（3分）在平面直角坐标系中，点A 是双曲线11(0)k y x x=>上任意一点，连接AO ，过点O 作AO 的垂线与双曲线22(0)k y x x =<交于点B ，连接AB ，已知2AOBO=，则12(k k = )A ．4B ．4-C ．2D ．2-二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）若分式11x +的值不存在，则x = ． 10．（3分）已知关于x 的一元二次方程2250x x c -+=有两个相等的实数根，则c = ． 11．（3分）质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有 件次品．12．（3分）某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分)分别为：86，88，90，92，94，方差为28.0S =，后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差2S =新． 13．（3分）小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：日期x （日) 1 2 3 4 成绩y （个)40434649小红的仰卧起坐成绩y 与日期x 之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为 ． 14．（3分）在平面直角坐标系中，将AOB ∆以点O 为位似中心，23为位似比作位似变换，得到△11A OB ，已知(2,3)A ，则点1A 的坐标是 ．15．（3分）如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，则圆锥主视图的面积为 ．16．（3分）如图，在矩形ABCD 中，4AD =，8AB =．分别以点B ，D 为圆心，以大于12BD的长为半径画弧，两弧相交于点E 和F ．作直线EF 分别与DC ，DB ，AB 交于点M ，O ，N ，则MN = ．三、解答题（17～19题每小题6分，20～23题每小题6分，24～25题每小题6分，26题12分，共82分）17．（6分）计算：101()2cos45|12(31)3--︒+-．18．（6分）解方程：24111x x x =+--． 19．（6分）如图，在菱形ABCD 中，将对角线AC 分别向两端延长到点E 和F ，使得AE CF =．连接DE ，DF ，BE ，BF ．求证：四边形BEDF 是菱形．20．（8分）疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP 等平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A．效果很好；B．效果较好；C．效果一般；D．效果不理想），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：（1）此次调查中，共抽查了名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中α∠的度数；（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少？（要求画树状图或列表求概率）21．（8分）2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运較火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD=米，仰角为30︒．3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测4000得B处的仰角为45︒．已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度（结果≈．精确到1米/3 1.732≈2 1.414)22．（8分）为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元．（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？（2）现在计划安排A，B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安排A，B两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？23．（8分）如图，ABC∆内接于O，AB是O的直径．直线l与O相切于点A，在l上取一点D使得DA DC=，线段DC，AB的延长线交于点E．（1）求证：直线DC是O的切线；（2）若2BC=，30CAB∠=︒，求图中阴影部分的面积（结果保留)π．24．（10分）为了探索函数1(0)y x xx=+>的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．列表：x⋯14131212345⋯y⋯17410352252103174263⋯描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象； （2）已知点1(x ，1)y ，2(x ，2)y 在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题： 若1201x x <<，则1y 2y ；若121x x <<，则1y 2y ； 若121x x =，则1y 2y （填“>”，“ =”或“<” )．（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边的长为x 米，水池总造价为y 千元． ①请写出y 与x 的函数关系式；②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x 应控制在什么范围内？25．（10分）如图1，在等腰直角三角形ADC 中，90ADC ∠=︒，4AD =．点E 是AD 的中点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接AG ，CE ．将正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转，旋转角为(090)αα︒<<︒． （1）如图2，在旋转过程中，①判断AGD ∆与CED ∆是否全等，并说明理由； ②当CE CD =时，AG 与EF 交于点H ，求GH 的长． （2）如图3，延长CE 交直线AG 于点P ． ①求证：AG CP ⊥；②在旋转过程中，线段PC 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．26．（12分）如图1，抛物线23(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ．已知直线y kx n =+过B ，C 两点． （1）求抛物线和直线BC 的表达式； （2）点P 是抛物线上的一个动点．①如图1，若点P 在第一象限内，连接PA ，交直线BC 于点D ．设PDC ∆的面积为1S ，ADC ∆的面积为2S ，求12S S 的最大值； ②如图2，抛物线的对称轴l 与x 轴交于点E ，过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ．点Q 是对称轴l 上的一个动点，是否存在以点E ，F ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P ，Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2020年湖南省郴州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1．（3分）如图表示互为相反数的两个点是( )A ．点A 与点BB ．点A 与点DC ．点C 与点BD ．点C 与点D【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号，求解即可． 【解答】解：3和3-互为相反数，则点A 与点D 表示互为相反数的两个点． 故选：B ．2．（3分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒(1秒1000000000=纳秒）．用科学记数法表示10纳秒为( ) A ．8110-⨯秒B ．9110-⨯秒C ．91010-⨯秒D ．90.110-⨯秒【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：1秒1000000000=纳秒，10∴纳秒101000000000=÷秒0.000= 00001秒8110-=⨯秒．故选：A ．3．（3分）下列图形是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据中心对称图形的概念和各图的性质求解． 【解答】解：A 、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B 、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C 、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D 、是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D ．4．（3分）下列运算正确的是( ) A ．44()a a -=B ．236a a a =C ．826-=D ．325235a a a +=【分析】直接利用合并同类法则以及二次根式的加减运算法则、同底数幂的乘法运算分别化简得出答案．【解答】解：A 、44()a a -=，正确；B 、235a a a =，故此选项错误；C 、822222-=-=，故此选项错误；D 、3223a a +，不是同类项，无法合并，故此选项错误；故选：A ．5．（3分）如图，直线a ，b 被直线c ，d 所截．下列条件能判定//a b 的是( )A ．13∠=∠B ．24180∠+∠=︒C ．45∠=∠D ．12∠=∠【分析】直接利用平行线的判定方法进而分析得出答案． 【解答】解：A 、当13∠=∠时，//c d ，故此选项不合题意；B 、当24180∠+∠=︒时，//c d ，故此选项不合题意；C 、当45∠=∠时，//c d ，故此选项不合题意；D 、当12∠=∠时，//a b ，故此选项符合题意；故选：D ．6．（3分）某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表： 鞋的尺码()cm 24 24.5 25 25.5 26 26.5 销售数量（双)27181083则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是( )A ．中位数B ．平均数C ．众数D ．方差【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对鞋店下次进货最具有参考意义的是众数．【解答】解：对鞋店下次进货来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数． 故选：C ．7．（3分）如图1，将边长为x 的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式( )A ．2221(1)x x x -+=-B ．21(1)(1)x x x -=+-C ．2221(1)x x x ++=+D ．2(1)x x x x -=-【分析】根据图形可以用代数式表示出图1和图2的面积，由此得出等量关系即可． 【解答】解：由图可知， 图1的面积为：221x -， 图2的面积为：(1)(1)x x +-， 所以21(1)(1)x x x -=+-． 故选：B ．8．（3分）在平面直角坐标系中，点A 是双曲线11(0)k y x x=>上任意一点，连接AO ，过点O 作AO 的垂线与双曲线22(0)k y x x =<交于点B ，连接AB ，已知2AOBO=，则12(k k = )A ．4B ．4-C ．2D ．2-【分析】作AD x ⊥轴于D ，BE x ⊥轴于E ，根据反比例函数系数k 的几何意义得出112AOD S k ∆=，212BOE Sk ∆=-，然后通过证得BOE OAD ∆∆∽，即可证得结论． 【解答】解：作AD x ⊥轴于D ，BE x ⊥轴于E ，点A 是双曲线11(0)k y x x =>上的点，点B 是双曲线22(0)k y x x =<上的点， 1111||22AOD S k k ∆∴==，2211||22BOE S k k ∆==-， 90AOB ∠=︒，90BOE AOD ∴∠+∠=︒，90AOD OAD ∠+∠=︒，BOE OAD ∴∠=∠，90BEO OAD ∠=∠=︒，BOE OAD ∴∆∆∽，∴212()S OA S OB=， ∴12212212k k =-， ∴124k k =-， 故选：B ．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）若分式11x +的值不存在，则x = 1- ． 【分析】直接利用分式有意义的条件得出x 的值，进而得出答案．【解答】解：若分式11x +的值不存在， 则10x +=，解得：1x =-，故答案为：1-．10．（3分）已知关于x 的一元二次方程2250x x c -+=有两个相等的实数根，则c = 258 ． 【分析】利用判别式的意义得到△2(5)420c =--⨯⨯=，然后解关于c 的方程即可．【解答】解：根据题意得△2(5)420c =--⨯⨯=， 解得258c =． 故答案为：258． 11．（3分）质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有 20 件次品．【分析】根据随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品，可以计算出这批电子元件中大约有多少件次品．【解答】解：2100020100⨯=（件)， 即这批电子元件中大约有20件次品，故答案为：20．12．（3分）某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分)分别为：86，88，90，92，94，方差为28.0S =，后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差2S =新8.0 ． 【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．【解答】解：一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变，∴所得到的一组新数据的方差为28.0S =新；故答案为：8.0． 13．（3分）小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系： 日期x （日)1 2 3 4 成绩y （个) 40 43 46 49 小红的仰卧起坐成绩y 与日期x 之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为 337y x =+ ．【分析】利用待定系数法即可求出该函数表达式．【解答】解：设该函数表达式为y kx b =+，根据题意得：40243k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得337k b =⎧⎨=⎩， ∴该函数表达式为337y x =+．故答案为：337y x =+．14．（3分）在平面直角坐标系中，将AOB ∆以点O 为位似中心，23为位似比作位似变换，得到△11A OB ，已知(2,3)A ，则点1A 的坐标是 4(3，2) ．【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可．【解答】解：将AOB ∆以点O 为位似中心，23为位似比作位似变换，得到△11A OB ，(2,3)A ， ∴点1A 的坐标是：2(23⨯，23)3⨯， 即14(3A ，2)． 故答案为：4(3，2)． 15．（3分）如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，则圆锥主视图的面积为 48 ．【分析】主视图是从正面看所得到的图形即可，可根据圆锥的特点作答．【解答】解：根据圆锥侧面积公式：S rl π=，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，故6010r ππ=⨯⨯，解得：6r =． 由勾股定理可得圆锥的高221068=-=，圆锥的主视图是一个底边为12，高为8的等腰三角形，∴它的面积1128482=⨯⨯=， 故答案为：48．16．（3分）如图，在矩形ABCD 中，4AD =，8AB =．分别以点B ，D 为圆心，以大于12BD 的长为半径画弧，两弧相交于点E 和F ．作直线EF 分别与DC ，DB ，AB 交于点M ，O ，N ，则MN = 25 ．【分析】连接DN ，在矩形ABCD 中，4AD =，8AB =，根据勾股定理可得BD 的长，根据作图过程可得，MN 是BD 的垂直平分线，所以DN BN =，在Rt ADN ∆中，根据勾股定理得DN 的长，在Rt DON ∆中，根据勾股定理得ON 的长，进而可得MN 的长．【解答】解：如图，连接DN ，在矩形ABCD 中，4AD =，8AB =，2245BD AB AD ∴=+=根据作图过程可知：MN 是BD 的垂直平分线，DN BN ∴=，25OB OD ==8AN AB BN AB DN DN ∴=-=-=-，在Rt ADN ∆中，根据勾股定理，得222DN AN AD =+，222(8)4DN DN ∴=-+，解得5DN =，在Rt DON ∆中，根据勾股定理，得225ON DN OD =-=//CD AB ，MDO NBO ∴∠=∠，DMO BNO ∠=∠，OD OB =，()DMO BNO AAS ∴∆≅∆，5OM ON ∴=25MN ∴=． 故答案为：25三、解答题（17～19题每小题6分，20～23题每小题6分，24～25题每小题6分，26题12分，共82分）17．（6分）计算：101()2cos45|12|(31)3--︒+--+． 【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式232211=-⨯+-- 3222=-+- 1=．18．（6分）解方程：24111x x x =+--． 【分析】方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：24111x x x =+--， 方程两边都乘(1)(1)x x -+，得(1)4(1)(1)x x x x +=+-+，解得3x =，检验：当3x =时，(1)(1)80x x -+=≠．故3x =是原方程的解．19．（6分）如图，在菱形ABCD 中，将对角线AC 分别向两端延长到点E 和F ，使得AE CF =．连接DE ，DF ，BE ，BF ．求证：四边形BEDF 是菱形．【分析】四边形ABCD 是菱形，可得AB BC CD DA ===，DCA BCA ∠=∠，DAC BAC ∠=∠，可以证明CDF CBF ∆≅∆，DAE BFC ∆≅∆，DCF BEA ∆≅∆，进而证明平行四边形BEDF 是菱形．【解答】证明：四边形ABCD 是菱形，BC CD ∴=，DCA BCA ∠=∠，DCF BCF ∴∠=∠，CF CF=，CDF CBF SAS∴∆≅∆，()∴=，DF BFAD BC，//∴∠=∠，DAE BCF=，=，DA ABAE CF∴∆≅∆，DAE BFC SAS()∴=，DE BF同理可证：()∆≅∆，DCF BEA SASDF BE∴=，∴四边形BEDF是平行四边形，=，DF BF∴平行四边形BEDF是菱形．20．（8分）疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP 等平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A．效果很好；B．效果较好；C．效果一般；D．效果不理想），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：（1）此次调查中，共抽查了200名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中α∠的度数；（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少？（要求画树状图或列表求概率）【分析】（1）从统计图可知，“A效果很好”的有80人，占调查人数的40%，可求出调查人数；（2）求出“C效果一般”的人数即所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数，补全条形统计图；（3）用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“”的结果数，进而求出概率．【解答】解：（1）8040%200÷=（名)，故答案为：200；（2）20080602040---=（名)，4036072200︒⨯=︒，补全条形统计图如图所示：（3）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有12种可能出现的结果，其中“1人认为效果很好，1人认为效果较好”即：1人为A，1人为B的有2种，() 1,121 126P∴==人认为效果很好人认为效果较好．21．（8分）2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运較火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得4000AD=米，仰角为30︒．3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45︒．已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1米/3 1.732≈2 1.414)≈．【分析】设火箭从A 到B 处的平均速度为x 米/秒，根据题意可得3AB x =，在Rt ADO ∆中，30ADO ∠=︒，4000AD =，可得2000AO =，20003DO =，在Rt BOC ∆中，45BCO ∠=︒，可得BO OC =，即可得2000320003460x +=，进而解得x 的值．【解答】解：设火箭从A 到B 处的平均速度为x 米/秒，根据题意可知：3AB x =，在Rt ADO ∆中，30ADO ∠=︒，4000AD =，2000AO ∴=，20003DO ∴=，460CD =，20003460OC OD CD ∴=-=，在Rt BOC ∆中，45BCO ∠=︒，BO OC ∴=，20003OB OA AB x =+=+，2000320003460x ∴+=，解得335x ≈（米/秒）．答：火箭从A 到B 处的平均速度为335米/秒．22．（8分）为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元．（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？（2）现在计划安排A ，B 两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A 型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B 型卡车．按此要求安排A ，B 两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？【分析】（1）设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨，根据“某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，且采购两种物资共花费1380万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车(50)m-辆，根据安排的这50辆车一次可运输300吨甲物质及240吨乙物质，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各运输方案．【解答】解：（1）设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨，依题意，得：540 321380x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：300240xy=⎧⎨=⎩．答：甲物资采购了300吨，乙物质采购了240吨．（2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车(50)m-辆，依题意，得：75(50)300 37(50)240m mm m+-⎧⎨+-⎩，解得：1 25272m．m为正整数，m∴可以为25，26，27，∴共有3种运输方案，方案1：安排25辆A型卡车，25辆B型卡车；方案2：安排26辆A 型卡车，24辆B型卡车；方案3：安排27辆A型卡车，23辆B型卡车．23．（8分）如图，ABC∆内接于O，AB是O的直径．直线l与O相切于点A，在l上取一点D使得DA DC=，线段DC，AB的延长线交于点E．（1）求证：直线DC是O的切线；（2）若2BC=，30CAB∠=︒，求图中阴影部分的面积（结果保留)π．【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质得到90DAB ∠=︒，根据等腰三角形的性质得到90DCO DAO ∠=∠=︒，于是得到结论；（2）根据圆周角定理得到260BOC CAB ∠=∠=︒，根据等边三角形的性质得到2OC OB BC ===，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC ，AB 是O 的直径．直线l 与O 相切于点A ，90DAB ∴∠=︒， DA DC =，OA OC =，DAC DCA ∴∠=∠，OAC OCA ∠=∠， DCA ACO DAC CAO ∴∠+∠=∠+∠，即90DCO DAO ∠=∠=︒， OC BD ∴⊥，∴直线DC 是O 的切线；（2）解：30CAB ∠=︒， 260BOC CAB ∴∠=∠=︒， OC OB =，COB ∴∆是等边三角形， 2OC OB BC ∴===， 323CE OC ∴==，∴图中阴影部分的面积2160222232323603OCE COBS S ππ∆⋅⨯=-=⨯⨯-=-扇形．24．（10分）为了探索函数1(0)y x x x=+>的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．列表：x⋯ 14 13 12 1 2 3 4 5 ⋯ y⋯17410352252103174263⋯描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象； （2）已知点1(x ，1)y ，2(x ，2)y 在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题： 若1201x x <<，则1y > 2y ；若121x x <<，则1y 2y ； 若121x x =，则1y 2y （填“>”，“ =”或“<” )．（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边的长为x 米，水池总造价为y 千元． ①请写出y 与x 的函数关系式；②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x 应控制在什么范围内？ 【分析】（1）用光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可． （2）利用图象法解决问题即可．（3）①总造价=对面的造价+侧面的造价，构建函数关系式即可． ②转化为一元二次不等式解决问题即可． 【解答】解：（1）函数图象如图所示：（2）若1201x x <<，则12y y >；若121x x <<，则12y y <， 若121x x =，则12y y >． 故答案为>，<，>．（3）①由题意，211(2)0.51(0)y x x x x x=++⨯=++>．②由题意11 3.5x x++， 0x >，可得22520x x -+， 解得：122x ， ∴长x 应控制在122x 的范围内． 25．（10分）如图1，在等腰直角三角形ADC 中，90ADC ∠=︒，4AD =．点E 是AD 的中点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接AG ，CE ．将正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转，旋转角为(090)αα︒<<︒． （1）如图2，在旋转过程中，①判断AGD ∆与CED ∆是否全等，并说明理由； ②当CE CD =时，AG 与EF 交于点H ，求GH 的长． （2）如图3，延长CE 交直线AG 于点P ． ①求证：AG CP ⊥；②在旋转过程中，线段PC 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①结论：AGD CED∆≅∆．根据SAS证明即可．②如图2中，过点A作AT GD⊥于T．解直角三角形求出AT，GT，再利用相似三角形的性质求解即可．（2）①如图3中，设AD交PC于O．利用全等三角形的性质，解决问题即可．②因为90⊥时，∠最小时，PC的值最大，推出当DE PC CPA∠=︒，AC是定值，推出当ACP∠的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合（如图4中）．ACP【解答】解：（1）①如图2中，结论：AGD CED∆≅∆．理由：四边形EFGD是正方形，DG DE∠=︒，GDE∴=，90∠=︒，ADCDA DC=，90∴∠=∠，GDE ADCADG CDE∴∠=∠，∴∆≅∆．AGD CED SAS()②如图2中，过点A作AT GD⊥于T．AGD CED ∆≅∆，CD CE =， 4AD AG ∴==， AT GD ⊥， 1TG TD ∴==，2215AT AG TG ∴=-=， //EF DG ， GHF AGT ∴∠=∠， 90F ATG ∠=∠=︒， GFH ATG ∴∆∆∽， ∴GH FGAG AT =， ∴415GH =， 815GH ∴=．（2）①如图3中，设AD 交PC 于O ．AGD CED ∆≅∆， DAG DCE ∴∠=∠，90DCE COD ∠+∠=︒，COD AOP ∠=∠， 90AOP DAG ∴∠+∠=︒，90APO ∴∠=︒， CP AG ∴⊥．②90CPA ∠=︒，AC 是定值，∴当ACP ∠最小时，PC 的值最大，∴当DE PC ⊥时，ACP ∠的值最小，此时PC 的值最大，此时点F 与P 重合（如图4中），90CED ∠=︒，4CD =，2DE =，22224223EC CD DE ∴=-=-=2EF DE ==，223CP CE EF ∴=+=+PC ∴的最大值为223+26．（12分）如图1，抛物线23(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ．已知直线y kx n =+过B ，C 两点． （1）求抛物线和直线BC 的表达式； （2）点P 是抛物线上的一个动点．①如图1，若点P 在第一象限内，连接PA ，交直线BC 于点D ．设PDC ∆的面积为1S ，ADC ∆的面积为2S ，求12S S 的最大值； ②如图2，抛物线的对称轴l 与x 轴交于点E ，过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ．点Q 是对称轴l 上的一个动点，是否存在以点E ，F ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P ，Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把(1,0)A -，(3,0)B 代可求得抛物线的表达式，再求得点C 的坐标，把(3,0)B ，C 的坐标代即可求解；（2）①设点D 的坐标为(,3)m m -+，利用待定系数法求得直线PA 的表达式3311m m y x m m -+-+=+++，解方程2332311m m x x x m m -+-++=-++++，求得点P 的横坐标为41mm +，利用平等线分线段成比例定理求得21224311(1)PDCADCmmS S PD MN m mm S S DA AM m m ∆∆--++=====++， 设12S t S =，则223(1)m mt m -+=+，整理得2(1)(23)0t m t m t ++-+=，根据△0，即可解决问题． ②根据等腰直角三角形的性质求得的点F 坐标为(2,1)，分当EF 为边和EF 为对角线时两种情况讨论，即可求解．【解答】解：（1）把(1,0)A -，(3,0)B 代入23y ax bx =++得：309330a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得，12a b =-⎧⎨=⎩∴抛物线的表达式，223y x x =-++， ∴点C 坐标为(0,3)，把(3,0)B ，(0,3)C 代入y kx n =+得：303k n n +=⎧⎨=-⎩，解得，13k n =-⎧⎨=-⎩∴直的表达式：3y x =-+．（2）①PA 交直线BC 于点，∴设点D 的坐标为(,3)m m -+，设直线PA 的表达式为11y k x b =+， ∴111103k b mk b m -+=⎧⎨+=-+⎩，解得，113131m k m mb m -+⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩∴直线PA 的表达式，3311m m y x m m -+-+=+++， ∴2332311m m x x x m m -+-++=-++++， 整理得，4()(1)01mx x m -+=+ 解得41mx m =+或1-（不合题意，舍去）， ∴点D 的横坐标为m ，点P 的横坐标41mm +， 分别过点D 、P 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，如图1中：//DM PN ∴，OM m =，41mON m =+，1OA =， ∴21224311(1)PDCADCmmS S PD MN m mm S S DA AM m m ∆∆--++=====++， 设12S t S =，则223(1)m mt m -+=+整理得，2(1)(23)0t m t m t ++-+=， △0，2(23)4(1)0t t t ∴--+， 解得916t∴12S S 有最大值，最大值为916．②存在，理由如下：过点F 作FG OB ⊥于G ，如图2中，223y x x =-++的对称轴为1x =-， 1OE ∴=，(3,0)B ，(0,3)C3OC OB ==，90OCB ∠=︒， OCB ∴∆是等腰直角三角形， 90EFB ∠=︒，2BE OB OE =-=， OCB ∴∆是等腰直角三角形， 1EG GB EG ∴===，∴点F 的坐标为(2,1)，当EF 为边时，EFPQ 为平行四边形， QE PF ∴=，////QE PF y 轴，∴点P 的横坐标与点F 的横坐标同为2，当2x =时，222233y =-+⨯+=，∴点P 的坐标为(2,3)，312QE PF ∴==-=，点Q 的坐标为(1,2)；当EF 为对角线时，如图3中，PEQF为平行四边形，QE PF轴，QE PF∴=，////同理求得：点P的坐标为(2,)，∴==-=，QE PF312点Q的坐标为(1,2)-；综上，点P的标为(2,3)，点Q的坐标为(1,2)或(1,2)-；。
2020年湖南省郴州市中考数学试卷和答案解析
2020年湖南省郴州市中考数学试卷和答案解析一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图表示互为相反数的两个点是（）A．点A与点B B．点A与点D C．点C与点B D．点C与点D 解析：根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．参考答案：解：3和﹣3互为相反数，则点A与点D表示互为相反数的两个点．故选：B．点拨：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．2．（3分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒（1秒＝1000000000纳秒）．用科学记数法表示10纳秒为（）A．1×10﹣8秒B．1×10﹣9秒C．10×10﹣9秒D．0.1×10﹣9秒解析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．参考答案：解：∵1秒＝1000000000纳秒，∴10纳秒＝10÷1000000000秒＝0.000 00001秒＝1×10﹣8秒．故选：A．点拨：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（3分）下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解析：根据中心对称图形的概念和各图的性质求解．参考答案：解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．点拨：此题主要考查了中心对称图形的概念．要注意，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．（3分）下列运算正确的是（）A．（﹣a）4＝a4B．a2•a3＝a6C．﹣＝D．2a3+3a2＝5a5解析：直接利用合并同类项法则以及二次根式的加减运算法则、同底数幂的乘法运算分别化简得出答案．参考答案：解：A、（﹣a）4＝a4，正确；B、a2•a3＝a5，故此选项错误；C、﹣＝2﹣＝，故此选项错误；D、2a3+3a2，不是同类项，无法合并，故此选项错误；故选：A．点拨：此题主要考查了合并同类项以及二次根式的加减运算、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．（3分）如图，直线a，b被直线c，d所截．下列条件能判定a∥b 的是（）A．∠1＝∠3B．∠2+∠4＝180°C．∠4＝∠5D．∠1＝∠2解析：直接利用平行线的判定方法进而分析得出答案．参考答案：解：A、当∠1＝∠3时，c∥d，故此选项不合题意；B、当∠2+∠4＝180°时，c∥d，故此选项不合题意；C、当∠4＝∠5时，c∥d，故此选项不合题意；D、当∠1＝∠2时，a∥b，故此选项符合题意；故选：D．点拨：此题主要考查了平行线的判定，正确掌握判定方法是解题关键．6．（3分）某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：鞋的尺码（cm）2424.52525.52626.5销售数量（双）27181083则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（）A．中位数B．平均数C．众数D．方差解析：众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对鞋店下次进货最具有参考意义的是众数．参考答案：解：对鞋店下次进货来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数．故选：C．点拨：此题考查了众数、平均数、中位数和方差意义，属于基础题，难度不大，只要了解各个统计量的意义就可以轻松确定本题的正确答案．7．（3分）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（）A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）C．x2+2x+1＝（x+1）2D．x2﹣x＝x（x﹣1）解析：根据图形可以用代数式表示出图1和图2的面积，由此得出等量关系即可．参考答案：解：由图可知，图1的面积为：x2﹣12，图2的面积为：（x+1）（x﹣1），所以x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．故选：B．点拨：本题考查平方差公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．8．（3分）在平面直角坐标系中，点A是双曲线y1＝（x＞0）上任意一点，连接AO，过点O作AO的垂线与双曲线y2＝（x ＜0）交于点B，连接AB，已知＝2，则＝（）A．4B．﹣4C．2D．﹣2解析：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，根据反比例函数系数k 的几何意义得出S△AOD＝k1，S△BOE＝﹣k2，然后通过证得△BOE ∽△OAD，即可证得结论．参考答案：解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，∵点A是双曲线y1＝（x＞0）上的点，点B是双曲线y2＝（x ＜0）上的点，∴S△AOD＝|k1|＝k1，S△BOE＝|k2|＝﹣k2，∵∠AOB＝90°，∴∠BOE+∠AOD＝90°，∵∠AOD+∠OAD＝90°，∴∠BOE＝∠OAD，∵∠BEO＝∠ADO＝90°，∴△BOE∽△OAD，∴＝（）2，∴＝22，∴＝﹣4，故选：B．点拨：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）若分式的值不存在，则x＝﹣1．解析：直接利用分式不存在的条件得出x的值，进而得出答案．参考答案：解：若分式的值不存在，则x+1＝0，解得：x＝﹣1，故答案为：﹣1．点拨：此题主要考查了分式不存在的条件，正确把握分式有意义的条件：分式存在的条件是分母不等于零是解题关键．反之，则是分式不存在的条件：分母＝0．10．（3分）已知关于x的一元二次方程2x2﹣5x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝．解析：利用判别式的意义得到△＝（﹣5）2﹣4×2×c＝0，然后解关于c的方程即可．参考答案：解：根据题意得△＝（﹣5）2﹣4×2×c＝0，解得c＝．故答案为：．点拨：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．11．（3分）质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有20件次品．解析：根据随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品，可以计算出这批电子元件中大约有多少件次品．参考答案：解：1000×＝20（件），即这批电子元件中大约有20件次品，故答案为：20．点拨：本题考查用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用样本中的数据，可以计算出总体中次品数．12．（3分）某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：86，88，90，92，94，方差为S2＝8.0，后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差S新2＝8.0．解析：根据一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．参考答案：解：∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变，∴所得到的一组新数据的方差为S新2＝8.0；故答案为：8.0．点拨：本题考查方差的意义，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变．13．（3分）小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：日期x（日）1234成绩y（个）40434649小红的仰卧起坐成绩y与日期x之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为y＝3x+37．解析：利用待定系数法即可求出该函数表达式．参考答案：解：设该函数表达式为y＝kx+b，根据题意得：，解得，∴该函数表达式为y＝3x+37．故答案为：y＝3x+37．点拨：本题考查了一次函数的应用，会利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键．14．（3分）在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是（，2）．解析：直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可．参考答案：解：∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3），∴点A1的坐标是：（×2，×3），即A1（，2）．故答案为：（，2）．点拨：此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．15．（3分）如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，则圆锥主视图的面积为48．解析：主视图是从正面看所得到的图形即可，可根据圆锥的特点作答．参考答案：解：根据圆锥侧面积公式：S＝πrl，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，故60π＝π×10×r，解得：r＝6．由勾股定理可得圆锥的高＝＝8，∵圆锥的主视图是一个底边为12，高为8的等腰三角形，∴它的面积＝＝48，故答案为：48．点拨：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8．分别以点B，D为圆心，以大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点E和F．作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N，则MN＝2．解析：连接DN，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8，根据勾股定理可得BD的长，根据作图过程可得，MN是BD的垂直平分线，所以DN＝BN，在Rt△ADN中，根据勾股定理得DN的长，在Rt △DON中，根据勾股定理得ON的长，进而可得MN的长．参考答案：解：如图，连接DN，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8，∴BD＝＝4，根据作图过程可知：MN是BD的垂直平分线，∴DN＝BN，OB＝OD＝2，∴AN＝AB﹣BN＝AB﹣DN＝8﹣DN，在Rt△ADN中，根据勾股定理，得DN2＝AN2+AD2，∴DN2＝（8﹣DN）2+42，解得DN＝5，在Rt△DON中，根据勾股定理，得ON＝＝，∵CD∥AB，∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，∵OD＝OB，∴△DMO≌△BNO（AAS），∴OM＝ON＝，∴MN＝2．故答案为：2．点拨：本题考查了作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．三、解答题（17～19题每小题6分，20～23题每小题6分，24～25题每小题6分，26题12分，共82分）17．（6分）计算：（）﹣1﹣2cos45°+|1﹣|﹣（+1）0．解析：直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简得出答案．参考答案：解：原式＝3﹣2×+﹣1﹣1＝3﹣+﹣2＝1．点拨：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（6分）解方程：＝+1．解析：方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．参考答案：解：＝+1，方程两边都乘（x﹣1）（x+1），得x（x+1）＝4+（x﹣1）（x+1），解得x＝3，检验：当x＝3时，（x﹣1）（x+1）＝8≠0．故x＝3是原方程的解．点拨：考查了解分式方程，把分式方程转化为整式方程求解．最后注意需验根．19．（6分）如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．求证：四边形BEDF是菱形．解析：可以用两种方法证明：根据四边形ABCD是菱形，可得AB ＝BC＝CD＝DA，∠DCA＝∠BCA，∠DAC＝∠BAC，可以证明△CDF≌△CBF，△DAE≌△BCF，△DCF≌△BAE，进而证明平行四边形BEDF是菱形；或者通过证明四条边相等可得四边形BEDF是菱形．参考答案：证明：方法一：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠DCA＝∠BCA，∴∠DCF＝∠BCF，∵CF＝CF，∴△CDF≌△CBF（SAS），∴DF＝BF，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∴∠DAE＝∠BCF，∵AE＝CF，DA＝AB，∴△DAE≌△BFC（SAS），∴DE＝BF，同理可证：△DCF≌△BAE（SAS），∴DF＝BE，∴四边形BEDF是平行四边形，∵DF＝BF，∴平行四边形BEDF是菱形．方法二：∵ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAC＝∠DCA＝∠BCA＝∠BAC，∴∠EAD＝∠EAB＝∠FCD＝∠FCB，所以就能得到四个三角形全等，所以四条边相等，所以四边形BEDF为菱形．点拨：本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质．20．（8分）疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP等平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A．效果很好；B．效果较好；C．效果一般；D．效果不理想），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：（1）此次调查中，共抽查了200名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠α的度数；（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少？（要求画树状图或列表求概率）解析：（1）从统计图可知，“A效果很好”的有80人，占调查人数的40%，可求出调查人数；（2）求出“C效果一般”的人数即所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数，补全条形统计图；（3）用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的结果数，进而求出概率．参考答案：解：（1）80÷40%＝200（名），故答案为：200；（2）200﹣80﹣60﹣20＝40（名），360°×＝72°，补全条形统计图如图所示：（3）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有12种可能出现的结果，其中“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的有4种，∴P（1人认为效果很好，1人认为效果较好）＝＝．点拨：本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，列表法或树状图求随机事件的概率，理解统计图中的数量关系，列出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键．21．（8分）2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°．3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．已知C，D两处相距460米，求火箭从A 到B处的平均速度（结果精确到1米/秒，参考数据：≈1.732，≈1.414）．解析：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可得AB ＝3x，在Rt△ADO中，∠ADO＝30°，AD＝4000，可得AO＝2000，DO＝2000，在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，可得BO＝OC，即可得2000+3x＝2000﹣460，进而解得x的值．参考答案：解：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可知：AB＝3x，在Rt△ADO中，∠ADO＝30°，AD＝4000，∴AO＝2000，∴DO＝2000，∵CD＝460，∴OC＝OD﹣CD＝2000﹣460，在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，∴BO＝OC，∵OB＝OA+AB＝2000+3x，∴2000+3x＝2000﹣460，解得x≈335（米/秒）．答：火箭从A到B处的平均速度为335米/秒．点拨：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．22．（8分）为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元．（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？（2）现在计划安排A，B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安排A，B两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？解析：（1）设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨，根据“某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，且采购两种物资共花费1380万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50﹣m）辆，根据安排的这50辆车一次可运输300吨甲物质及240吨乙物质，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各运输方案．参考答案：解：（1）设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨，依题意，得：，解得：．答：甲物资采购了300吨，乙物质采购了240吨．（2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50﹣m）辆，依题意，得：，解得：25≤m≤27．∵m为正整数，∴m可以为25，26，27，∴共有3种运输方案，方案1：安排25辆A型卡车，25辆B型卡车；方案2：安排26辆A型卡车，24辆B型卡车；方案3：安排27辆A型卡车，23辆B型卡车．点拨：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．23．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D使得DA＝DC，线段DC，AB 的延长线交于点E．（1）求证：直线DC是⊙O的切线；（2）若BC＝2，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．解析：（1）连接OC，根据切线的性质得到∠DAB＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠DCO＝∠DAO＝90°，于是得到结论；（2）根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠CAB＝60°，根据等边三角形的性质得到OC＝OB＝BC＝2，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．参考答案：（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，∴∠DAB＝90°，∵DA＝DC，OA＝OC，∴∠DAC＝∠DCA，∠OAC＝∠OCA，∴∠DCA+∠ACO＝∠DAC+∠CAO，即∠DCO＝∠DAO＝90°，∴OC⊥CD，∴直线DC是⊙O的切线；（2）解：∵∠CAB＝30°，∴∠BOC＝2∠CAB＝60°，∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴OC＝OB＝BC＝2，∴CE＝OC＝2，∴图中阴影部分的面积＝S△OCE﹣S扇形COB＝﹣＝2﹣．点拨：本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．24．（10分）为了探索函数y＝x+（x＞0）的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．列表：x…12345…y…2…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：若0＜x1＜x2≤1，则y1＞y2；若1＜x1＜x2，则y1＜y2；若x1•x2＝1，则y1＝y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．①请写出y与x的函数关系式；②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内？解析：（1）用光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可．（2）利用图象法解决问题即可．（3）①总造价＝底面的造价+侧面的造价，构建函数关系式即可．②转化为一元二次不等式解决问题即可．参考答案：解：（1）函数图象如图所示：（2）若0＜x1＜x2≤1，则y1＞y2；若1＜x1＜x2，则y1＜y2，若x1•x2＝1，则y1＝y2．故答案为＞，＜，＝．（3）①由题意，y＝1+（2x+）×0.5＝1+x+（x＞0）．②由题意1+x+≤3.5，∵x＞0，可得2x2﹣5x+2≤0，解得：≤x≤2，∴长x应控制在≤x≤2的范围内．点拨：本题考查反比例函数的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．25．（10分）如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD ＝4．点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．（1）如图2，在旋转过程中，①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；②当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．①求证：AG⊥CP；②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．解析：（1）①结论：△AGD≌△CED．根据SAS证明即可．②如图2中，过点A作AT⊥GD于T．解直角三角形求出AT，GT，再利用相似三角形的性质求解即可．（2）①如图3中，设AD交PC于O．利用全等三角形的性质，解决问题即可．②因为∠CPA＝90°，AC是定值，推出当∠ACP最小时，PC的值最大，推出当DE⊥PC时，∠ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合（如图4中）．参考答案：解：（1）①如图2中，结论：△AGD≌△CED．理由：∵四边形EFGD是正方形，∴DG＝DE，∠GDE＝90°，∵DA＝DC，∠ADC＝90°，∴∠GDE＝∠ADC，∴∠ADG＝∠CDE，∴△AGD≌△CED（SAS）．②如图2中，过点A作AT⊥GD于T．∵△AGD≌△CED，CD＝CE，∴AD＝AG＝4，∵AT⊥GD，∴TG＝TD＝1，∴AT＝＝，∵EF∥DG，∴∠GHF＝∠AGT，∵∠F＝∠ATG＝90°，∴△GFH∽△ATG，∴＝，∴＝，∴GH＝．（2）①如图3中，设AD交PC于O．∵△AGD≌△CED，∴∠DAG＝∠DCE，∵∠DCE+∠COD＝90°，∠COD＝∠AOP，∴∠AOP+∠DAG＝90°，∴∠APO＝90°，∴CP⊥AG．②∵∠CPA＝90°，AC是定值，∴当∠ACP最小时，PC的值最大，∴当DE⊥PC时，∠ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合（如图4中），∵∠CED＝90°，CD＝4，DE＝2，∴EC＝＝＝2，∵EF＝DE＝2，∴CP＝CE+EF＝2+2，∴PC的最大值为2+2．点拨：本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题．26．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．已知直线y＝kx+n过B，C 两点．（1）求抛物线和直线BC的表达式；（2）点P是抛物线上的一个动点．①如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D．设△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，求的最大值；②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F．点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入可求得抛物线的表达式，再求得点C的坐标，把B（3，0），C的坐标代入即可求解；（2）①设点D的坐标为（m，﹣m+3），利用待定系数法求得直线AD的表达式y＝x+，解方程x+＝﹣x2+2x+3，求得点P的横坐标为，利用平行线分线段成比例定理求得＝＝＝＝＝，设＝t，则t＝，整理得（t+1）m2+（2t﹣3）m+t＝0，根据△≥0，即可解决问题．②根据等腰直角三角形的性质求得的点F坐标为（2，1），分EF 为边和EF为对角线两种情况讨论，即可求解．参考答案：解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：，解得∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，∴点C坐标为（0，3），把B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+n得：，解得∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3．（2）①∵PA交直线BC于点D，∴设点D的坐标为（m，﹣m+3），设直线AD的表达式为y＝k1x+b1，∴，解得，∴直线AD的表达式，y＝x+，∴x+＝﹣x2+2x+3，整理得，（x﹣）（x+1）＝0解得x＝或﹣1（不合题意，舍去），∴点D的横坐标为m，点P的横坐标为，分别过点D、P作x轴的垂线，垂足分别为M、N，如图1中：∴DM∥PN，OM＝m，ON＝，OA＝1，∴＝＝＝＝＝，设＝t，则t＝整理得，（t+1）m2+（2t﹣3）m+t＝0，∵△≥0，∴（2t﹣3）2﹣4t（t+1）≥0，解得t≤∴有最大值，最大值为．②存在，理由如下：过点F作FG⊥OB于G，如图2中，∵y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝﹣1，∴OE＝1，∵B（3，0），C（0，3）∵OC＝OB＝3，∠COB＝90°，∴△OCB是等腰直角三角形，∵∠EFB＝90°，BE＝OB﹣OE＝2，∴△EFB是等腰直角三角形，∴FG＝GB＝EG＝1，∴点F的坐标为（2，1），当EF为边时，∵四边形EFPQ为平行四边形，∴QE＝PF，QE∥PF∥y轴，∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2，当x＝2时，y＝﹣22+2×2+3＝3，∴点P的坐标为（2，3），∴QE＝PF＝3﹣1＝2，点Q的坐标为（1，2），根据对称性当P（0，3）时，Q（1，4）时，四边形EFQP也是平行四边形．当EF为对角线时，如图3中，∵四边形PEQF为平行四边形，∴QE＝PF，QE∥PF∥x轴，同理求得：点P的坐标为（2，3），∴QE＝PF＝3﹣1＝2，点Q的坐标为（1，﹣2）；综上，点P的坐标为（2，3），点Q的坐标为（1，2）或（1，﹣2），P（0，3）时，Q（1，4）．点拨：本题主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等高的三角形的面积的比等于底边的比，二次函数的性质以及平行四边形的判定和性质，（3）注意要分EF是对角线与边两种情况讨论．。
2020年湖南省郴州市中考数学试卷 (解析版)
2020年郴州市中考数学试卷一、选择题（共8小题）.1．如图表示互为相反数的两个点是（）A．点A与点B B．点A与点D C．点C与点B D．点C与点D 2．2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒（1秒＝1000000000纳秒）．用科学记数法表示10纳秒为（）A．1×10﹣8秒B．1×10﹣9秒C．10×10﹣9秒D．0.1×10﹣9秒3．下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．下列运算正确的是（）A．（﹣a）4＝a4B．a2•a3＝a6C．﹣＝D．2a3+3a2＝5a55．如图，直线a，b被直线c，d所截．下列条件能判定a∥b的是（）A．∠1＝∠3B．∠2+∠4＝180°C．∠4＝∠5D．∠1＝∠26．某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：鞋的尺码（cm）2424.52525.52626.5销售数量（双）27181083则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（）A．中位数B．平均数C．众数D．方差7．如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（）A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）C．x2+2x+1＝（x+1）2D．x2﹣x＝x（x﹣1）8．在平面直角坐标系中，点A是双曲线y1＝（x＞0）上任意一点，连接AO，过点O 作AO的垂线与双曲线y2＝（x＜0）交于点B，连接AB，已知＝2，则＝（）A．4B．﹣4C．2D．﹣2二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9．若分式的值不存在，则x＝．10．已知关于x的一元二次方程2x2﹣5x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝．11．质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有件次品．12．某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：86，88，90，92，94，方差为S2＝8.0，后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差S新2＝．13．小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：日期x（日）1234成绩y（个）40434649小红的仰卧起坐成绩y与日期x之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为．14．在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是．15．如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，则圆锥主视图的面积为．16．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8．分别以点B，D为圆心，以大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点E和F．作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N，则MN＝．三、解答题（17～19题每小题6分，20～23题每小题6分，24～25题每小题6分，26题12分，共82分）17．计算：（）﹣1﹣2cos45°+|1﹣|﹣（+1）0．18．解方程：＝+1．19．如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．求证：四边形BEDF是菱形．20．疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP等平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A．效果很好；B．效果较好；C．效果一般；D．效果不理想），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：（1）此次调查中，共抽查了名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠α的度数；（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少？（要求画树状图或列表求概率）21．2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运較火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°．3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1米/秒，参考数据：≈1.732，≈1.414）．22．为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元．（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？（2）现在计划安排A，B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安排A，B两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？23．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D使得DA＝DC，线段DC，AB的延长线交于点E．（1）求证：直线DC是⊙O的切线；（2）若BC＝2，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．24．为了探索函数y＝x+（x＞0）的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．列表：x…12345…y…2…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：若0＜x1＜x2≤1，则y1y2；若1＜x1＜x2，则y1y2；若x1•x2＝1，则y1y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．①请写出y与x的函数关系式；②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内？25．如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．（1）如图2，在旋转过程中，①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；②当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．①求证：AG⊥CP；②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．26．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．已知直线y＝kx+n过B，C两点．（1）求抛物线和直线BC的表达式；（2）点P是抛物线上的一个动点．①如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D．设△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，求的最大值；②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F．点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．如图表示互为相反数的两个点是（）A．点A与点B B．点A与点D C．点C与点B D．点C与点D 解：3和﹣3互为相反数，则点A与点D表示互为相反数的两个点．故选：B．2．2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒（1秒＝1000000000纳秒）．用科学记数法表示10纳秒为（）A．1×10﹣8秒B．1×10﹣9秒C．10×10﹣9秒D．0.1×10﹣9秒解：∵1秒＝1000000000纳秒，∴10纳秒＝10÷1000000000秒＝0.000 00001秒＝1×10﹣8秒．故选：A．3．下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．4．下列运算正确的是（）A．（﹣a）4＝a4B．a2•a3＝a6C．﹣＝D．2a3+3a2＝5a5解：A、（﹣a）4＝a4，正确；B、a2•a3＝a5，故此选项错误；C、﹣＝2﹣＝，故此选项错误；D、2a3+3a2，不是同类项，无法合并，故此选项错误；故选：A．5．如图，直线a，b被直线c，d所截．下列条件能判定a∥b的是（）A．∠1＝∠3B．∠2+∠4＝180°C．∠4＝∠5D．∠1＝∠2解：A、当∠1＝∠3时，c∥d，故此选项不合题意；B、当∠2+∠4＝180°时，c∥d，故此选项不合题意；C、当∠4＝∠5时，c∥d，故此选项不合题意；D、当∠1＝∠2时，a∥b，故此选项符合题意；故选：D．6．某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：鞋的尺码（cm）2424.52525.52626.5销售数量（双）27181083则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（）A．中位数B．平均数C．众数D．方差解：对鞋店下次进货来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数．故选：C．7．如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（）A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）C．x2+2x+1＝（x+1）2D．x2﹣x＝x（x﹣1）解：由图可知，图1的面积为：x2﹣12，图2的面积为：（x+1）（x﹣1），所以x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．故选：B．8．在平面直角坐标系中，点A是双曲线y1＝（x＞0）上任意一点，连接AO，过点O 作AO的垂线与双曲线y2＝（x＜0）交于点B，连接AB，已知＝2，则＝（）A．4B．﹣4C．2D．﹣2解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，∵点A是双曲线y1＝（x＞0）上的点，点B是双曲线y2＝（x＜0）上的点，∴S△AOD＝|k1|＝k1，S△BOE＝|k2|＝﹣k2，∵∠AOB＝90°，∴∠BOE+∠AOD＝90°，∵∠AOD+∠OAD＝90°，∴∠BOE＝∠OAD，∠BEO＝∠OAD＝90°，∴△BOE∽△OAD，∴＝（）2，∴＝22，∴＝﹣4，故选：B．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9．若分式的值不存在，则x＝﹣1．解：若分式的值不存在，则x+1＝0，解得：x＝﹣1，故答案为：﹣1．10．已知关于x的一元二次方程2x2﹣5x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝．解：根据题意得△＝（﹣5）2﹣4×2×c＝0，解得c＝．故答案为：．11．质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有20件次品．解：1000×＝20（件），即这批电子元件中大约有20件次品，故答案为：20．12．某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：86，88，90，92，94，方差为S2＝8.0，后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差S新2＝8.0．解：∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变，∴所得到的一组新数据的方差为S新2＝8.0；故答案为：8.0．13．小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：日期x（日）1234成绩y（个）40434649小红的仰卧起坐成绩y与日期x之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为y＝3x+37．解：设该函数表达式为y＝kx+b，根据题意得：，解得，∴该函数表达式为y＝3x+37．故答案为：y＝3x+37．14．在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是（，2）．解：∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3），∴点A1的坐标是：（×2，×3），即A1（，2）．故答案为：（，2）．15．如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，则圆锥主视图的面积为48．解：根据圆锥侧面积公式：S＝πrl，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，故60π＝π×10×r，解得：r＝6．由勾股定理可得圆锥的高＝＝8，∵圆锥的主视图是一个底边为12，高为8的等腰三角形，∴它的面积＝＝48，故答案为：48．16．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8．分别以点B，D为圆心，以大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点E和F．作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N，则MN＝2．解：如图，连接DN，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8，∴BD＝＝4，根据作图过程可知：MN是BD的垂直平分线，∴DN＝BN，OB＝OD＝2，∴AN＝AB﹣BN＝AB﹣DN＝8﹣DN，在Rt△ADN中，根据勾股定理，得DN2＝AN2+AD2，∴DN2＝（8﹣DN）2+42，解得DN＝5，在Rt△DON中，根据勾股定理，得ON＝＝，∵CD∥AB，∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，∵OD＝OB，∴△DMO≌△BNO（AAS），∴OM＝ON＝，∴MN＝2．故答案为：2．三、解答题（17～19题每小题6分，20～23题每小题6分，24～25题每小题6分，26题12分，共82分）17．计算：（）﹣1﹣2cos45°+|1﹣|﹣（+1）0．解：原式＝3﹣2×+﹣1﹣1＝3﹣+﹣2＝1．18．解方程：＝+1．解：＝+1，方程两边都乘（x﹣1）（x+1），得x（x+1）＝4+（x﹣1）（x+1），解得x＝3，检验：当x＝3时，（x﹣1）（x+1）＝8≠0．故x＝3是原方程的解．19．如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．求证：四边形BEDF是菱形．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠DCA＝∠BCA，∴∠DCF＝∠BCF，∵CF＝CF，∴△CDF≌△CBF（SAS），∴DF＝BF，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵AE＝CF，DA＝AB，∴△DAE≌△BFC（SAS），∴DE＝BF，同理可证：△DCF≌△BEA（SAS），∴DF＝BE，∴四边形BEDF是平行四边形，∵DF＝BF，∴平行四边形BEDF是菱形．20．疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP等平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A．效果很好；B．效果较好；C．效果一般；D．效果不理想），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：（1）此次调查中，共抽查了200名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠α的度数；（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少？（要求画树状图或列表求概率）解：（1）80÷40%＝200（名），故答案为：200；（2）200﹣80﹣60﹣20＝40（名），360°×＝72°，补全条形统计图如图所示：（3）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有12种可能出现的结果，其中“1人认为效果很好，1人认为效果较好”即：1人为A，1人为B的有2种，∴P（1人认为效果很好，1人认为效果较好）＝＝．21．2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运較火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°．3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1米/秒，参考数据：≈1.732，≈1.414）．解：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可知：AB＝3x，在Rt△ADO中，∠ADO＝30°，AD＝4000，∴AO＝2000，∴DO＝2000，∵CD＝460，∴OC＝OD﹣CD＝2000﹣460，在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，∴BO＝OC，∵OB＝OA+AB＝2000+3x，∴2000+3x＝2000﹣460，解得x≈335（米/秒）．答：火箭从A到B处的平均速度为335米/秒．22．为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元．（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？（2）现在计划安排A，B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安排A，B两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？解：（1）设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨，依题意，得：，解得：．答：甲物资采购了300吨，乙物质采购了240吨．（2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50﹣m）辆，依题意，得：，解得：25≤m≤27．∵m为正整数，∴m可以为25，26，27，∴共有3种运输方案，方案1：安排25辆A型卡车，25辆B型卡车；方案2：安排26辆A型卡车，24辆B型卡车；方案3：安排27辆A型卡车，23辆B型卡车．23．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D使得DA＝DC，线段DC，AB的延长线交于点E．（1）求证：直线DC是⊙O的切线；（2）若BC＝2，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【解答】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，∴∠DAB＝90°，∵DA＝DC，OA＝OC，∴∠DAC＝∠DCA，∠OAC＝∠OCA，∴∠DCA+∠ACO＝∠DAC+∠CAO，即∠DCO＝∠DAO＝90°，∴OC⊥BD，∴直线DC是⊙O的切线；（2）解：∵∠CAB＝30°，∴∠BOC＝2∠CAB＝60°，∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴OC＝OB＝BC＝2，∴CE＝OC＝2，∴图中阴影部分的面积＝S△OCE﹣S扇形COB＝﹣＝2﹣．24．为了探索函数y＝x+（x＞0）的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．列表：x…12345…y…2…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：若0＜x1＜x2≤1，则y1＞y2；若1＜x1＜x2，则y1＜y2；若x1•x2＝1，则y1＞y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．①请写出y与x的函数关系式；②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内？解：（1）函数图象如图所示：（2）若0＜x1＜x2≤1，则y1＞y2；若1＜x1＜x2，则y1＜y2，若x1•x2＝1，则y1＞y2．故答案为＞，＜，＞．（3）①由题意，y＝1+（2x+）×0.5＝1+x+（x＞0）．②由题意1+x+≤3.5，∵x＞0，可得2x2﹣5x+2≤0，解得：≤x≤2，∴长x应控制在≤x≤2的范围内．25．如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．（1）如图2，在旋转过程中，①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；②当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．①求证：AG⊥CP；②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）①如图2中，结论：△AGD≌△CED．理由：∵四边形EFGD是正方形，∴DG＝DE，∠GDE＝90°，∵DA＝DC，∠ADC＝90°，∴∠GDE＝∠ADC，∴∠ADG＝∠CDE，∴△AGD≌△CED（SAS）．②如图2中，过点A作AT⊥GD于T．∵△AGD≌△CED，CD＝CE，∴AD＝AG＝4，∵AT⊥GD，∴TG＝TD＝1，∴AT＝＝，∵EF∥DG，∴∠GHF＝∠AGT，∵∠F＝∠ATG＝90°，∴△GFH∽△ATG，∴＝，∴＝，∴GH＝．（2）①如图3中，设AD交PC于O．∵△AGD≌△CED，∴∠DAG＝∠DCE，∵∠DCE+∠COD＝90°，∠COD＝∠AOP，∴∠AOP+∠DAG＝90°，∴∠APO＝90°，∴CP⊥AG．②∵∠CPA＝90°，AC是定值，∴当∠ACP最小时，PC的值最大，∴当DE⊥PC时，∠ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合（如图4中），∵∠CED＝90°，CD＝4，DE＝2，∴EC＝＝＝2，∵EF＝DE＝2，∴CP＝CE+EF＝2+2，∴PC的最大值为2+2．26．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．已知直线y＝kx+n过B，C两点．（1）求抛物线和直线BC的表达式；（2）点P是抛物线上的一个动点．①如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D．设△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，求的最大值；②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F．点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：，解得，∴抛物线的表达式，y＝﹣x2+2x+3，∴点C坐标为（0，3），把B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+n得：，解得，∴直的表达式：y＝﹣x+3．（2）①∵PA交直线BC于点，∴设点D的坐标为（m，﹣m+3），设直线PA的表达式为y＝k1x+b1，∴，解得，∴直线PA的表达式，y＝x+，∴x+＝﹣x2+2x+3，整理得，（x﹣）（x+1）＝0解得x＝或﹣1（不合题意，舍去），∴点D的横坐标为m，点P的横坐标，分别过点D、P作x轴的垂线，垂足分别为M、N，如图1中：∴DM∥PN，OM＝m，ON＝，OA＝1，∴＝＝＝＝＝，设＝t，则t＝整理得，（t+1）m2+（2t﹣3）m+t＝0，∵△≥0，∴（2t﹣3）2﹣4t（t+1）≥0，解得t≤∴有最大值，最大值为．②存在，理由如下：过点F作FG⊥OB于G，如图2中，∵y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝﹣1，∴OE＝1，∵B（3，0），C（0，3）∵OC＝OB＝3，∠OCB＝90°，∴△OCB是等腰直角三角形，∵∠EFB＝90°，BE＝OB﹣OE＝2，∴△OCB是等腰直角三角形，∴EG＝GB＝EG＝1，∴点F的坐标为（2，1），当EF为边时，∵EFPQ为平行四边形，∴QE＝PF，QE∥PF∥y轴，∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2，当x＝2时，y＝﹣22+2×2+3＝3，∴点P的坐标为（2，3），∴QE＝PF＝3﹣1＝2，点Q的坐标为（1，2）；当EF为对角线时，如图3中，∵PEQF为平行四边形，∴QE＝PF，QE∥PF∥轴，同理求得：点P的坐标为（2，），∴QE＝PF＝3﹣1＝2，点Q的坐标为（1，﹣2）；综上，点P的标为（2，3），点Q的坐标为（1，2）或（1，﹣2）；。
2020年郴州市中考数学试题、试卷(解析版)
2020年郴州市中考数学试题、试卷（解析版）一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）（2020•郴州）如图表示互为相反数的两个点是（）A．点A与点B B．点A与点D C．点C与点B D．点C与点D 2．（3分）（2020•郴州）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒（1秒＝1000000000纳秒）．用科学记数法表示10纳秒为（）A．1×10﹣8秒B．1×10﹣9秒C．10×10﹣9秒D．0.1×10﹣9秒3．（3分）（2020•郴州）下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）（2020•郴州）下列运算正确的是（）A．（﹣a）4＝a4B．a2•a3＝a6C．√8−√2=√6D．2a3+3a2＝5a55．（3分）（2020•郴州）如图，直线a，b被直线c，d所截．下列条件能判定a∥b的是（）A．∠1＝∠3B．∠2+∠4＝180°C．∠4＝∠5D．∠1＝∠2 6．（3分）（2020•郴州）某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：鞋的尺码（cm）2424.52525.52626.5销售数量（双）27181083则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（）A ．中位数B ．平均数C ．众数D ．方差7．（3分）（2020•郴州）如图1，将边长为x 的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）A ．x 2﹣2x +1＝（x ﹣1）2B ．x 2﹣1＝（x +1）（x ﹣1）C ．x 2+2x +1＝（x +1）2D ．x 2﹣x ＝x （x ﹣1）8．（3分）（2020•郴州）在平面直角坐标系中，点A 是双曲线y 1=k1x （x ＞0）上任意一点，连接AO ，过点O 作AO 的垂线与双曲线y 2=k2x（x ＜0）交于点B ，连接AB ，已知AOBO=2，则k 1k 2=（ ）A ．4B ．﹣4C ．2D ．﹣2二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）（2020•郴州）若分式1x+1的值不存在，则x ＝ ．10．（3分）（2020•郴州）已知关于x 的一元二次方程2x 2﹣5x +c ＝0有两个相等的实数根，则c ＝ ．11．（3分）（2020•郴州）质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有 件次品．12．（3分）（2020•郴州）某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：86，88，90，92，94，方差为S 2＝8.0，后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差S 新2＝ ．13．（3分）（2020•郴州）小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：日期x （日） 1 2 3 4 成绩y （个）40434649小红的仰卧起坐成绩y 与日期x 之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为 ． 14．（3分）（2020•郴州）在平面直角坐标系中，将△AOB 以点O 为位似中心，23为位似比作位似变换，得到△A 1OB 1，已知A （2，3），则点A 1的坐标是 ．15．（3分）（2020•郴州）如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，则圆锥主视图的面积为 ．16．（3分）（2020•郴州）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝4，AB ＝8．分别以点B ，D 为圆心，以大于12BD 的长为半径画弧，两弧相交于点E 和F ．作直线EF 分别与DC ，DB ，AB 交于点M ，O ，N ，则MN ＝ ．三、解答题（17～19题每小题6分，20～23题每小题6分，24～25题每小题6分，26题12分，共82分）17．（6分）（2020•郴州）计算：（13）﹣1﹣2cos45°+|1−√2|﹣（√3+1）0．18．（6分）（2020•郴州）解方程：xx−1=4x2−1+1．19．（6分）（2020•郴州）如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．求证：四边形BEDF是菱形．20．（8分）（2020•郴州）疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP等平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A．效果很好；B．效果较好；C．效果一般；D．效果不理想），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：（1）此次调查中，共抽查了名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠α的度数；（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少？（要求画树状图或列表求概率）21．（8分）（2020•郴州）2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°．3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C 处的雷达站测得B处的仰角为45°．已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1米/秒，参考数据：√3≈1.732，√2≈1.414）．22．（8分）（2020•郴州）为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元．（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？（2）现在计划安排A，B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安排A，B两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？23．（8分）（2020•郴州）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D使得DA＝DC，线段DC，AB的延长线交于点E．（1）求证：直线DC是⊙O的切线；（2）若BC＝2，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．24．（10分）（2020•郴州）为了探索函数y＝x+1x（x＞0）的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．列表：x (1)4131212345…y (17)410352252103174265…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：若0＜x1＜x2≤1，则y1y2；若1＜x1＜x2，则y1y2；若x1•x2＝1，则y1y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．①请写出y与x的函数关系式；②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内？25．（10分）（2020•郴州）如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．（1）如图2，在旋转过程中，①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；②当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．①求证：AG⊥CP；②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．26．（12分）（2020•郴州）如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ．已知直线y ＝kx +n 过B ，C 两点． （1）求抛物线和直线BC 的表达式； （2）点P 是抛物线上的一个动点．①如图1，若点P 在第一象限内，连接P A ，交直线BC 于点D ．设△PDC 的面积为S 1，△ADC 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值；②如图2，抛物线的对称轴l 与x 轴交于点E ，过点E 作EF ⊥BC ，垂足为F ．点Q 是对称轴l 上的一个动点，是否存在以点E ，F ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P ，Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2020年湖南省郴州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）（2020•郴州）如图表示互为相反数的两个点是（）A．点A与点B B．点A与点D C．点C与点B D．点C与点D 【解答】解：3和﹣3互为相反数，则点A与点D表示互为相反数的两个点．故选：B．2．（3分）（2020•郴州）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒（1秒＝1000000000纳秒）．用科学记数法表示10纳秒为（）A．1×10﹣8秒B．1×10﹣9秒C．10×10﹣9秒D．0.1×10﹣9秒【解答】解：∵1秒＝1000000000纳秒，∴10纳秒＝10÷1000000000秒＝0.000 00001秒＝1×10﹣8秒．故选：A．3．（3分）（2020•郴州）下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．4．（3分）（2020•郴州）下列运算正确的是（）A．（﹣a）4＝a4B．a2•a3＝a6C．√8−√2=√6D．2a3+3a2＝5a5【解答】解：A、（﹣a）4＝a4，正确；B、a2•a3＝a5，故此选项错误；C、√8−√2=2√2−√2=√2，故此选项错误；D、2a3+3a2，不是同类项，无法合并，故此选项错误；故选：A．5．（3分）（2020•郴州）如图，直线a，b被直线c，d所截．下列条件能判定a∥b的是（）A．∠1＝∠3B．∠2+∠4＝180°C．∠4＝∠5D．∠1＝∠2【解答】解：A、当∠1＝∠3时，c∥d，故此选项不合题意；B、当∠2+∠4＝180°时，c∥d，故此选项不合题意；C、当∠4＝∠5时，c∥d，故此选项不合题意；D、当∠1＝∠2时，a∥b，故此选项符合题意；故选：D．6．（3分）（2020•郴州）某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：鞋的尺码（cm）2424.52525.52626.5销售数量（双）27181083则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（）A．中位数B．平均数C．众数D．方差【解答】解：对鞋店下次进货来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数．故选：C．7．（3分）（2020•郴州）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（）A ．x 2﹣2x +1＝（x ﹣1）2B ．x 2﹣1＝（x +1）（x ﹣1）C ．x 2+2x +1＝（x +1）2D ．x 2﹣x ＝x （x ﹣1）【解答】解：由图可知， 图1的面积为：x 2﹣12， 图2的面积为：（x +1）（x ﹣1）， 所以x 2﹣1＝（x +1）（x ﹣1）． 故选：B ．8．（3分）（2020•郴州）在平面直角坐标系中，点A 是双曲线y 1=k 1x（x ＞0）上任意一点，连接AO ，过点O 作AO 的垂线与双曲线y 2=k2x （x ＜0）交于点B ，连接AB ，已知AO BO=2，则k 1k 2=（ ）A ．4B ．﹣4C ．2D ．﹣2【解答】解：作AD ⊥x 轴于D ，BE ⊥x 轴于E ，∵点A 是双曲线y 1=k 1x （x ＞0）上的点，点B 是双曲线y 2=k2x （x ＜0）上的点，∴S △AOD =12|k 1|=12k 1，S △BOE =12|k 2|=−12k 2， ∵∠AOB ＝90°， ∴∠BOE +∠AOD ＝90°， ∵∠AOD +∠OAD ＝90°， ∴∠BOE ＝∠OAD ，∠BEO ＝∠OAD ＝90°， ∴△BOE ∽△OAD ， ∴S 1S 2=（OAOB）2，∴12k 1−12k 2=22，∴k 1k 2=−4，故选：B ．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）（2020•郴州）若分式1x+1的值不存在，则x ＝ ﹣1 ．【解答】解：若分式1x+1的值不存在，则x +1＝0， 解得：x ＝﹣1， 故答案为：﹣1．10．（3分）（2020•郴州）已知关于x 的一元二次方程2x 2﹣5x +c ＝0有两个相等的实数根，则c ＝258．【解答】解：根据题意得△＝（﹣5）2﹣4×2×c ＝0， 解得c =258． 故答案为：258．11．（3分）（2020•郴州）质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有 20 件次品． 【解答】解：1000×2100=20（件）， 即这批电子元件中大约有20件次品，故答案为：20．12．（3分）（2020•郴州）某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：86，88，90，92，94，方差为S 2＝8.0，后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差S 新2＝ 8.0 ．【解答】解：∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变， ∴所得到的一组新数据的方差为S 新2＝8.0； 故答案为：8.0．13．（3分）（2020•郴州）小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：日期x （日） 1 2 3 4 成绩y （个）40434649小红的仰卧起坐成绩y 与日期x 之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为 y ＝3x +37 ．【解答】解：设该函数表达式为y ＝kx +b ，根据题意得： {k +b =402k +b =43， 解得{k =3b =37，∴该函数表达式为y ＝3x +37． 故答案为：y ＝3x +37．14．（3分）（2020•郴州）在平面直角坐标系中，将△AOB 以点O 为位似中心，23为位似比作位似变换，得到△A 1OB 1，已知A （2，3），则点A 1的坐标是 （43，2） ．【解答】解：∵将△AOB 以点O 为位似中心，23为位似比作位似变换，得到△A 1OB 1，A（2，3），∴点A 1的坐标是：（23×2，23×3），即A 1（43，2）．故答案为：（43，2）．15．（3分）（2020•郴州）如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，则圆锥主视图的面积为 48 ．【解答】解：根据圆锥侧面积公式：S ＝πrl ， 圆锥的母线长为10， 侧面展开图的面积为60π， 故60π＝π×10×r ， 解得：r ＝6．由勾股定理可得圆锥的高=√102−62=8，∵圆锥的主视图是一个底边为12，高为8的等腰三角形， ∴它的面积=12×12×8=48， 故答案为：48．16．（3分）（2020•郴州）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝4，AB ＝8．分别以点B ，D 为圆心，以大于12BD 的长为半径画弧，两弧相交于点E 和F ．作直线EF 分别与DC ，DB ，AB 交于点M ，O ，N ，则MN ＝ 2√5 ．【解答】解：如图，连接DN ，在矩形ABCD 中，AD ＝4，AB ＝8， ∴BD =√AB 2+AD 2=4√5， 根据作图过程可知： MN 是BD 的垂直平分线， ∴DN ＝BN ，OB ＝OD ＝2√5， ∴AN ＝AB ﹣BN ＝AB ﹣DN ＝8﹣DN ， 在Rt △ADN 中，根据勾股定理，得 DN 2＝AN 2+AD 2， ∴DN 2＝（8﹣DN ）2+42， 解得DN ＝5，在Rt △DON 中，根据勾股定理，得 ON =√DN 2−OD 2=√5， ∵CD ∥AB ， ∴∠MDO ＝∠NBO ， ∠DMO ＝∠BNO ， ∵OD ＝OB ，∴△DMO ≌△BNO （AAS ）， ∴OM ＝ON =√5， ∴MN ＝2√5． 故答案为：2√5．三、解答题（17～19题每小题6分，20～23题每小题6分，24～25题每小题6分，26题12分，共82分）17．（6分）（2020•郴州）计算：（13）﹣1﹣2cos45°+|1−√2|﹣（√3+1）0．【解答】解：原式＝3﹣2×√22+√2−1﹣1＝3−√2+√2−2＝1．18．（6分）（2020•郴州）解方程：xx−1=4x−1+1．【解答】解：xx−1=4x2−1+1，方程两边都乘（x﹣1）（x+1），得x（x+1）＝4+（x﹣1）（x+1），解得x＝3，检验：当x＝3时，（x﹣1）（x+1）＝8≠0．故x＝3是原方程的解．19．（6分）（2020•郴州）如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．求证：四边形BEDF是菱形．【解答】证明：方法一：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠DCA＝∠BCA，∴∠DCF＝∠BCF，∵CF＝CF，∴△CDF≌△CBF（SAS），∴DF＝BF，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵AE＝CF，DA＝AB，∴△DAE≌△BFC（SAS），∴DE＝BF，同理可证：△DCF≌△BEA（SAS），∴DF＝BE，∴四边形BEDF是平行四边形，∵DF＝BF，∴平行四边形BEDF是菱形．方法二：∵ABCD为菱形∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAC＝∠DCA＝∠BCA＝∠BAC，∴∠EAD＝∠EAB＝∠FCD＝∠FCB，所以就能得到四个三角形全等，所以四条边相等，所以四边形BEDF为菱形．20．（8分）（2020•郴州）疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP等平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A．效果很好；B．效果较好；C．效果一般；D．效果不理想），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：（1）此次调查中，共抽查了200名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠α的度数；（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少？（要求画树状图或列表求概率）【解答】解：（1）80÷40%＝200（名），故答案为：200；（2）200﹣80﹣60﹣20＝40（名），360°×40200=72°，补全条形统计图如图所示：（3）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有12种可能出现的结果，其中“1人认为效果很好，1人认为效果较好”即：1人为A，1人为B的有2种，∴P（1人认为效果很好，1人认为效果较好）=212=16．21．（8分）（2020•郴州）2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°．3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C 处的雷达站测得B处的仰角为45°．已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1米/秒，参考数据：√3≈1.732，√2≈1.414）．【解答】解：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可知：AB＝3x，在Rt△ADO中，∠ADO＝30°，AD＝4000，∴AO＝2000，∴DO ＝2000√3， ∵CD ＝460，∴OC ＝OD ﹣CD ＝2000√3−460， 在Rt △BOC 中，∠BCO ＝45°， ∴BO ＝OC ，∵OB ＝OA +AB ＝2000+3x ， ∴2000+3x ＝2000√3−460， 解得x ≈335（米/秒）．答：火箭从A 到B 处的平均速度为335米/秒．22．（8分）（2020•郴州）为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元． （1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？（2）现在计划安排A ，B 两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A 型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B 型卡车．按此要求安排A ，B 两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？ 【解答】解：（1）设甲物资采购了x 吨，乙物质采购了y 吨， 依题意，得：{x +y =5403x +2y =1380，解得：{x =300y =240．答：甲物资采购了300吨，乙物质采购了240吨．（2）设安排A 型卡车m 辆，则安排B 型卡车（50﹣m ）辆， 依题意，得：{7m +5(50−m)≥3003m +7(50−m)≥240，解得：25≤m ≤2712．∵m 为正整数，∴m 可以为25，26，27，∴共有3种运输方案，方案1：安排25辆A 型卡车，25辆B 型卡车；方案2：安排26辆A 型卡车，24辆B 型卡车；方案3：安排27辆A 型卡车，23辆B 型卡车． 23．（8分）（2020•郴州）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径．直线l 与⊙O 相切于点A ，在l 上取一点D 使得DA ＝DC ，线段DC ，AB 的延长线交于点E ．（1）求证：直线DC是⊙O的切线；（2）若BC＝2，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【解答】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，∴∠DAB＝90°，∵DA＝DC，OA＝OC，∴∠DAC＝∠DCA，∠OAC＝∠OCA，∴∠DCA+∠ACO＝∠DAC+∠CAO，即∠DCO＝∠DAO＝90°，∴OC⊥BD，∴直线DC是⊙O的切线；（2）解：∵∠CAB＝30°，∴∠BOC＝2∠CAB＝60°，∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴OC＝OB＝BC＝2，∴CE=√3OC＝2√3，∴图中阴影部分的面积＝S△OCE﹣S扇形COB=12×2×2√3−60⋅π×22360=2√3−2π3．24．（10分）（2020•郴州）为了探索函数y＝x+1x（x＞0）的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．列表：x (1)4131212345…y (17)410352252103174265…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：若0＜x1＜x2≤1，则y1＞y2；若1＜x1＜x2，则y1＜y2；若x1•x2＝1，则y1＝y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．①请写出y与x的函数关系式；②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内？【解答】解：（1）函数图象如图所示：（2）若0＜x 1＜x 2≤1，则y 1＞y 2；若1＜x 1＜x 2，则y 1＜y 2，若x 1•x 2＝1，则y 1＝y 2．故答案为＞，＜，＝．（3）①由题意，y ＝1+（2x +2x ）×0.5＝1+x +1x（x ＞0）．②由题意1+x +1x ≤3.5，∵x ＞0，可得2x 2﹣5x +2≤0，解得：12≤x ≤2， ∴长x 应控制在12≤x ≤2的范围内． 25．（10分）（2020•郴州）如图1，在等腰直角三角形ADC 中，∠ADC ＝90°，AD ＝4．点E 是AD 的中点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接AG ，CE ．将正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．（1）如图2，在旋转过程中，①判断△AGD 与△CED 是否全等，并说明理由；②当CE ＝CD 时，AG 与EF 交于点H ，求GH 的长．（2）如图3，延长CE 交直线AG 于点P ．①求证：AG ⊥CP ；②在旋转过程中，线段PC 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）①如图2中，结论：△AGD≌△CED．理由：∵四边形EFGD是正方形，∴DG＝DE，∠GDE＝90°，∵DA＝DC，∠ADC＝90°，∴∠GDE＝∠ADC，∴∠ADG＝∠CDE，∴△AGD≌△CED（SAS）．②如图2中，过点A作AT⊥GD于T．∵△AGD≌△CED，CD＝CE，∴AD＝AG＝4，∵AT⊥GD，∴TG＝TD＝1，∴AT =√AG 2−TG 2=√15，∵EF ∥DG ，∴∠GHF ＝∠AGT ，∵∠F ＝∠ATG ＝90°，∴△GFH ∽△ATG ，∴GH AG =FG AT ， ∴GH 4=√15， ∴GH =8√1515． （2）①如图3中，设AD 交PC 于O ．∵△AGD ≌△CED ，∴∠DAG ＝∠DCE ，∵∠DCE +∠COD ＝90°，∠COD ＝∠AOP ，∴∠AOP +∠DAG ＝90°，∴∠APO ＝90°，∴CP ⊥AG ．②∵∠CP A ＝90°，AC 是定值，∴当∠ACP 最小时，PC 的值最大，∴当DE ⊥PC 时，∠ACP 的值最小，此时PC 的值最大，此时点F 与P 重合（如图4中），∵∠CED ＝90°，CD ＝4，DE ＝2，∴EC =2−DE 2=√42−22=2√3，∵EF ＝DE ＝2，∴CP ＝CE +EF ＝2+2√3，∴PC 的最大值为2+2√3．26．（12分）（2020•郴州）如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于A （﹣1，0），B（3，0），与y 轴交于点C ．已知直线y ＝kx +n 过B ，C 两点．（1）求抛物线和直线BC 的表达式；（2）点P 是抛物线上的一个动点．①如图1，若点P 在第一象限内，连接P A ，交直线BC 于点D ．设△PDC 的面积为S 1，△ADC 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值； ②如图2，抛物线的对称轴l 与x 轴交于点E ，过点E 作EF ⊥BC ，垂足为F ．点Q 是对称轴l 上的一个动点，是否存在以点E ，F ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P ，Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把A （﹣1，0），B （3，0）代入y ＝ax 2+bx +3得：{a −b +3=09a +3b +3=0， 解得，{a =−1b =2∴抛物线的表达式，y ＝﹣x 2+2x +3，∴点C 坐标为（0，3），把B （3，0），C （0，3）代入y ＝kx +n 得：{3k +n =0n =−3， 解得，{k =−1n =−3∴直线BC 的表达式：y ＝﹣x +3．（2）①∵P A 交直线BC 于点，∴设点D 的坐标为（m ，﹣m +3），设直线P A 的表达式为y ＝k 1x +b 1，∴{−k 1+b 1=0mk 1+b 1=−m +3， 解得，{k 1=−m+3m+1b 1=−m+3m+1∴直线P A 的表达式，y =−m+3m+1x +−m+3m+1，∴−m+3m+1x +−m+3m+1=−x 2+2x +3， 整理得，（x −4m m+1）（x +1）＝0解得x =4m m+1或﹣1（不合题意，舍去）， ∴点D 的横坐标为m ，点P 的横坐标4m m+1，分别过点D 、P 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，如图1中：∴DM ∥PN ，OM ＝m ，ON =4m m+1，OA ＝1，∴S 1S 2=S △PDC S △ADC =PD DA =MN AM =4m m+1−m m+1=−m 2+3m(m+1)2，设S 1S 2=t ，则t =−m 2+3m (m+1)2整理得，（t +1）m 2+（2t ﹣3）m +t ＝0，∵△≥0，∴（2t ﹣3）2﹣4t （t +1）≥0，解得t ≤916∴S 1S 2有最大值，最大值为916．②存在，理由如下：过点F 作FG ⊥OB 于G ，如图2中，∵y ＝﹣x 2+2x +3的对称轴为x ＝﹣1，∴OE ＝1，∵B （3，0），C （0，3）∵OC ＝OB ＝3，∠OCB ＝90°，∴△OCB 是等腰直角三角形，∵∠EFB ＝90°，BE ＝OB ﹣OE ＝2，∴△OCB 是等腰直角三角形，∴EG ＝GB ＝EG ＝1，∴点F 的坐标为（2，1），当EF 为边时，∵EFPQ 为平行四边形，∴QE ＝PF ，QE ∥PF ∥y 轴，∴点P 的横坐标与点F 的横坐标同为2，当x ＝2时，y ＝﹣22+2×2+3＝3，∴点P 的坐标为（2，3），∴QE＝PF＝3﹣1＝2，点Q的坐标为（1，2）；当EF为对角线时，如图3中，∵PEQF为平行四边形，∴QE＝PF，QE∥PF∥轴，同理求得：点P的坐标为（2，3），∴QE＝PF＝3﹣1＝2，点Q的坐标为（1，﹣2）；综上，点P的标为（2，3），点Q的坐标为（1，2）或（1，﹣2）；。
年郴州市中考数学试卷解析
年郴州市中考数学试卷解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）（2020•郴州）5的倒数是（）A．﹣5 B．5C．D．﹣考点：倒数．分析：依照倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．解答：解：∵5×=1，∴5的倒数是．故选C．点评：本题要紧考查倒数的定义，要求熟练把握．需要注意的是：倒数的性质：负数的倒数依旧负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2．（3分）（2020•郴州）函数y=中自变量x的取值范畴是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x≠﹣3 考点：函数自变量的取值范畴．分析：依照分母不等于0列式运算即可得解．解答：解：依照题意得，3﹣x≠0，解得x≠3．故选C．点评：本题考查了函数自变量的范畴，一样从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．3．（3分）（2020•郴州）下列图案中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形．分析：依照中心对称图形的概念求解．解答：解：A、是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项正确；C、是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项错误；故选B．点评：本题考查了中心对称图形的知识，解题的关键是把握中心对称图形的概念．中心对称图形是要查找对称中心，旋转180度后重合．4．（3分）（2020•郴州）下列运算正确的是（）A．x•x4=x5B．x6÷x3=x2C．3x2﹣x2=3 D．（2x2）3=6x6考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：结合各选项分别进行同底数幂的乘法、同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方等运算，然后选出正确选项即可．解答：解：A、x•x4=x5，原式运算正确，故本选项正确；B、x6÷x3=x3，原式运算错误，故本选项错误；C、3x2﹣x2=2x2，原式运算错误，故本选项错误；D、（2x2）3=8x，原式运算错误，故本选项错误；故选A．点评：本题考查了同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方等运算，属于基础题，把握各运算法则是解题的关键．5．（3分）（2020•郴州）化简的结果为（）A．﹣1 B．1C．D．考点：分式的加减法．分析：先把分式进行通分，把异分母分式化为同分母分式，再把分子相加，即可求出答案．解答：解：=﹣==1；故选B．点评：此题考查了分式的加减，依照在分式的加减运算中，假如是同分母分式，那么分母不变，把分子直截了当相加减即可；假如是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减即可．6．（3分）（2020•郴州）数据1，2，3，3，5，5，5的众数和中位数分别是（）A．5，4 B．3，5 C．5，5 D．5，3考点：众数；中位数．分析：依照众数的定义即众数是一组数据中显现次数最多的数和中位数的定义即中位数是将一组数据从小到大重新排列后，最中间的那个数即可求出答案．解答：解：数据1，2，3，3，5，5，5中，5显现了3次，显现的次数最多，则众数是5；最中间的数是3，则中位数是3；故选D．点评：此题考查了众数和中位数，把握众数和中位数的定义是解题的关键，众数是一组数据中显现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．7．（3分）（2020•郴州）在一年一度的“安仁春分药王节”市场上，小明的妈妈用280元买了甲、乙两种药材．甲种药材每斤20元，乙种药材每斤60斤，且甲种药材比乙种药材多买了2斤．设买了甲种药材x斤，乙种药材y斤，你认为小明应该列出哪一个方程组求两种药材各买了多少斤？（）A．B．C．D．考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．分析：设买了甲种药材x斤，乙种药材y斤，依照甲种药材比乙种药材多买了2斤，两种药材共花费280元，可列出方程．解答：解：设买了甲种药材x斤，乙种药材y斤，由题意得：．故选A．点评：本题考查了有实际问题抽象出二元一次方程组，难度一样，关键是读明白题意设出未知数找出等量关系．8．（3分）（2020•郴州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A．25°B．30°C．35°D．40°考点：翻折变换（折叠问题）．分析：先依照三角形内角和定理求出∠B的度数，再由图形翻折变换的性质得出∠CB′D的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．解答：解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，∴∠B=90°﹣25°=65°，∵△CDB′由△CDB反折而成，∴∠CB′D=∠B=65°，∵∠CB′D是△AB′D的外角，∴∠ADB′=∠CB′D﹣∠A=65°﹣25°=40°．故选D．点评：本题考查的是图形的翻折变换及三角形外角的性质，熟知图形反折不变性的性质是解答此题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）（2020•郴州）据统计，我国今年夏粮的播种面积大约为415000000亩，415000000用科学记数法表示为 4.15×108．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将415000000用科学记数法表示为4.15×108．故答案为4.15×108．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10．（3分）（2020•郴州）已知a+b=4，a﹣b=3，则a2﹣b2=12．考点：平方差公式．分析：依照a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），然后代入求解．解答：解：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=4×3=12．故答案是：12．点评：本题重点考查了用平方差公式．平方差公式为（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．本题是一道较简单的题目．11．（3分）（2020•郴州）已知一个多边形的内角和是1080°，那个多边形的边数是8．考点：多边形内角与外角．分析：依照多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）可得方程180（x﹣2）=1080，再解方程即可．解答：解：设多边形边数有x条，由题意得：180（x﹣2）=1080，解得：x=8，故答案为：8．点评：此题要紧考查了多边形内角和定理，关键是熟练把握运算公式：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．12．（3分）（2020•郴州）已知关于x的一元二次方程x2+bx+b﹣1=0有两个相等的实数根，则b的值是2．考点：根的判别式．专题：运算题．分析：依照方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值等于0，即可求出b的值．解答：解：依照题意得：△=b2﹣4（b﹣1）=（b﹣2）2=0，则b的值为2．故答案为：2点评：此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．13．（3分）（2020•郴州）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，∠BAC=70°，则∠OCB= 20°．考点：圆周角定理．分析：依照圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得：∠BOC=2∠BAC，在等腰三角形OBC中可求出∠OCB．解答：解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=70°，∴∠B0C=2∠BAC=2×70°=140°，∵OC=OB（差不多上半径），∴∠OCB=∠OBC=（180°﹣∠BOC）=20°．故答案为：20°．点评：此题考查了圆周角定理，注意把握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．14．（3分）（2020•郴州）如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是∠B=∠C（答案不唯独）（只写一个条件即可）．考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析：由题意得，AE=AD，∠A=∠A（公共角），可选择利用AAS、SAS进行全等的判定，答案不唯独．解答：解：添加∠B=∠C．在△ABE和△ACD中，∵，∴△ABE≌△ACD（AAS）．故答案可为：∠B=∠C．点评：本题考查了全等三角形的判定，属于开放型题目，解答本题需要同学们熟练把握三角形全等的几种判定定理．15．（3分）（2020•郴州）掷一枚质地平均的骰子，骰子的六个面上分别标有数字1～6，掷得朝上的一面的数字为奇数的概率是．考点：概率公式．分析：让向上一面的数字是奇数的情形数除以总情形数6即为所求的概率．解答：解：正方体骰子，六个面上分别刻有的1，2，3，4，5，6六个数字中，奇数为1，3，5，则向上一面的数字是奇数的概率为=．故答案为：．点评：此题要紧考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情形数与总情形数之比．16．（3分）（2020•郴州）圆锥的侧面积为6πcm2，底面圆的半径为2cm，则那个圆锥的母线长为3cm．考点：圆锥的运算．分析：圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．解答：解：设母线长为R，底面半径是2cm，则底面周长=4π，侧面积=2πR=6π，∴R=3．故答案为：3．点评：本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．比较基础，重点是把握公式．三、解答题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）17．（6分）（2020•郴州）运算：|﹣|+（2020﹣）0﹣（）﹣1﹣2sin60°．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；专门角的三角函数值．专题：运算题．分析：先分别依照0指数幂及负整数指数幂的运算法则，专门角的三角函数值运算出各数，再依照实数混合运算的法则进行运算即可．解答：解：原式=2+1﹣3﹣2×=2+1﹣3﹣=﹣2．点评：本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂及负整数指数幂的运算法则，专门角的三角函数值是解答此题的关键．18．（6分）（2020•郴州）解不等式4（x﹣1）+3≥3x，并把解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．分析：第一去括号，然后移项、合并同类项，系数化成1，即可求得不等式的解集．解答：解：去括号得：4x﹣4+3≥3x，移项得：4x﹣3x≥4﹣3则x≥1．把解集在数轴上表示为：点评：本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的差不多性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．19．（6分）（2020•郴州）在图示的方格纸中（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1通过如何样的平移得到的？考点：作图-轴对称变换；作图-平移变换．专题：作图题．分析：（1）依照网格结构找出点A、B、C关于MN的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）依照平移的性质结合图形解答．解答：解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）向右平移6个单位，再向下平移2个单位（或向下平移2个单位，再向右平移6个单位）．点评：本题考查了利用轴对称变换作图，利用平移变换作图，熟练把握网格结构准确找出对应点的位置以及变化情形是解题的关键．20．（6分）（2020•郴州）已知：如图，一次函数的图象与y轴交于C（0，3），且与反比例函数y=的图象在第一象限内交于A，B两点，其中A（1，a），求那个一次函数的解析式．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：把A点坐标代入反比例函数解析式，即可求出a，求得A点坐标，然后再把A、C点的坐标代入一次函数的解析式，利用待定系数法求出一次函数的解析式．解答：解：∵A（1，a）在y=的图象上，∴a=2，∴A（1，2）．又∵C（0，3）在一次函数的图象，设一次函数的解析式为y=kx+b，则解得：k=﹣1，b=3，故一次函数的解析式为y=﹣x+3．点评：考查了反比例函数与一次函数的交点问题，本类题目的解决需把点的坐标代入函数解析式，灵活利用方程组求出所需字母的值，从而求出函数解析式．21．（6分）（2020•郴州）游泳是一项深受青青年喜爱的体育活动，学校为了加强学生的安全意识，组织学生观看了纪实片“小孩，请不要私自下水”，并于观看后在本校的2000名学生中作了抽样调查．请依照下面两个不完整的统计图回答以下问题：（1）这次抽样调查中，共调查了400名学生；（2）补全两个统计图；（3）依照抽样调查的结果，估算该校2000名学生中大约有多少人“一定会下河游泳”？考点：条形统计图；用样本估量总体；扇形统计图．分析：（1）依照一定会的人数和所占的百分比即可求出总人数；（2）用总人数减去其它人数得出可不能的人数，再依照家长陪同的人数除以总人数得出家长陪同时会的所占的百分比，从而补全统计图；（3）用2000乘以一定会下河游泳所占的百分百，即可求出该校一定会下河游泳的人数．解答：解：（1）总人数是：20÷5%=400（人）；（2）一定可不能的人数是400﹣20﹣50﹣230=100（人），家长陪同的所占的百分百是×100%=57.5%，补图如下：（3）依照题意得：2000×5%=100（人）．答：该校2000名学生中大约有多少人“一定会下河游泳”有100人．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读明白统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清晰地表示出每个项目的数据；扇形统计图直截了当反映部分占总体的百分比大小，用到的知识点是频率=．22．（6分）（2020•郴州）我国为了爱护队钓鱼岛P的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（AP∥BD），当轮船航行到距钓鱼岛20km 的A处时，飞机在B处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C处时，飞机在轮船正上方的E处，现在EC=5km．轮船到达钓鱼岛P时，测得D处的飞机的仰角为30°．试求飞机的飞行距离BD（结果保留根号）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：作AF⊥BD，PG⊥BD，在Rt△ABF和△PDG中分别求出BF、GD的值，继而可求得BD=BF+FG+DC的值．解答：解：作AF⊥BD，PG⊥BD，垂足分别为F、G，由题意得：AF=PG=CE=5km，FG=AP=20km，在Rt△AFB中，∠B=45°，则∠BAF=45°，∴BF=AF=5，∵AP∥BD，∴∠D=∠DPH=30°，在Rt△PGD中，tan∠D=，即tan30°=，∴GD=5，则BD=BF+FG+DC=5+20+5=25+5（km）．答：飞机的飞行距离BD为25+5km．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是依照仰角和俯角构造直角三角形，然后解直角三角形，难度一样．四、证明题（本题8分）23．（8分）（2020•郴州）如图，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE，求证：四边形DEBF是平行四边形．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：第一依照平行线的性质可得∠BEC=∠DFA，再加上条件∠ADF=∠CBE，AF=CE，可证明△ADF≌△CBE，再依照全等三角形的性质可得BE=DF，依照一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可．解答：证明：∵BE∥DF，∴∠BEC=∠DFA，在△ADF和△CBE中，∴△ADF≌△CBE（AAS），∴BE=DF，又∵BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形．点评：此题要紧考查了平行四边形的判定，关键是把握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．五、应用题（本题8分）24．（8分）（2020•郴州）乌梅是郴州的特色时令水果．乌梅一上市，水果店的小李就用3000元购进了一批乌梅，前两天以高于进价40% 的价格共卖出150kg，第三天她发觉市场上乌梅数量陡增，而自己的乌梅卖相已不大好，因此果断地将剩余乌梅以低于进价20%的价格全部售出，前后一共获利750元，求小李所进乌梅的数量．考点：分式方程的应用．分析：先设小李所进乌梅的数量为xkg，依照前后一共获利750元，列出方程，求出x的值，再进行检验即可．解答：解：设小李所进乌梅的数量为xkg，依照题意得：•40%﹣150（x﹣150）••20%=750，解得：x=200，经检验x=200是原方程的解，答：小李所进乌梅的数量为200kg．点评：此题考查了分式方程的应用，解题的关键是读明白题意，找出之间的等量关系，列出方程，解分式方程时要注意检验．六、综合题（本大共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）（2020•郴州）如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．（1）证明：△PCE是等腰三角形；（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关系；（3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值．考点：等腰三角形的判定与性质；二次函数的最值；解直角三角形．分析：（1）依照等边对等角可得∠A=∠C，然后依照两直线平行，同位角相等求出∠CPE=∠A，从而得到∠CPE=∠C，即可得证；（2）依照等腰三角形三线合一的性质求出CM=CP，然后求出EM，同理求出FN、BH的长，再依照结果整理可得EM+FN=BH；（3）分别求出EM、FN、BH，然后依照S△PCE，S△APF，S△ABC，再依照S=S△ABC ﹣S△PCE﹣S△APF，整理即可得到S与x的关系式，然后利用二次函数的最值问题解答．解答：（1）证明：∵AB=BC，∴∠A=∠C，∵PE∥AB，∴∠CPE=∠A，∴∠CPE=∠C，∴△PCE是等腰三角形；（2）解：∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP，∴CM=CP=，tanC=tanA=k，∴EM=CM•tanC=•k=，同理：FN=AN•tanA=•k=4k﹣，由于BH=AH•tanA=×8•k=4k，而EM+FN=+4k﹣=4k，∴EM+FN=BH；（3）解：当k=4时，EM=2x，FN=16﹣2x，BH=16，因此，S△PCE=x•2x=x2，S△APF=（8﹣x）•（16﹣2x）=（8﹣x）2，S△ABC=×8×16=64，S=S△ABC﹣S△PCE﹣S△APF，=64﹣x2﹣（8﹣x）2，=﹣2x2+16x，配方得，S=﹣2（x﹣4）2+32，因此，当x=4时，S有最大值32．点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函数，二次函数的最值问题，表示出各三角形的高线是解题的关键，也是本题的难点．26．（10分）（2020•郴州）如图，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O为原点，OC、OA所在直线为轴建立坐标系．抛物线顶点为A，且通过点C．点P在线段AO上由A向点O运动，点O在线段OC上由C向点O运动，QD⊥OC 交BC于点D，OD所在直线与抛物线在第一象限交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点E′是E关于y轴的对称点，点Q运动到何处时，四边形OEAE′是菱形？（3）点P、Q分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时动身，运动的时刻为t秒，当t为何值时，PB∥OD？考点：二次函数综合题．分析：（1）依照顶点式将A，C代入解析式求出a的值，进而得出二次函数解析式；（2）利用菱形的性质得出AO与EE′互相垂直平分，利用E点纵坐标得出x的值，进而得出BC，EO直线解析式，再利用两直线交点坐标求法得出Q点坐标，即可得出答案；（3）第一得出△APB∽△QDO，进而得出=，求出m的值，进而得出答案．解答：解：（1）∵A（0，2）为抛物线的顶点，∴设y=ax2+2，∵点C（3，0），在抛物线上，∴9a+2=0，解得：a=﹣，∴抛物线为；y=﹣x2+2；（2）假如四边形OEAE′是菱形，则AO与EE′互相垂直平分，∴EE′通过AO的中点，∴点E纵坐标为1，代入抛物线解析式得：1=﹣x2+2，解得：x=±，∵点E在第一象限，∴点E为（，1），设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（1，2），C（3，0），代入得：，解得：，∴BC的解析式为：y=﹣x+3，将E点代入y=ax，可得出EO的解析式为：y=x，由，得：，∴Q点坐标为：（，0），∴当Q点坐标为（，0）时，四边形OEAE′是菱形；（3）法一：设t为m秒时，PB∥DO，又QD∥y轴，则有∠APB=∠AOE=∠ODQ，又∵∠BAP=∠DQO，则有△APB∽△QDO，∴=，由题意得：AB=1，AP=2m，QO=3﹣3m，又∵点D在直线y=﹣x+3上，∴DQ=3m，因此：=，解得：m=，经检验：m=是原分式方程的解，∴当t=秒时，PB∥OD．法二：作BH⊥OC于H，则BH=AO=2，OH=AB=1，HC=OC﹣OH=2，∴BH=HC，∴∠BCH=∠CBH=45°，易知DQ=CQ，设t为m秒时PB∥OE，则△ABP∽△Q OD，∴=，易知AP=2m，DQ=CQ=3m，QO=3﹣3m，∴=，解得m=，经检验m=是方程的解，∴当t为秒时，PB∥OD．点评：此题要紧考查了菱形的判定与性质以及顶点式求二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质等知识，依照数形结合得出△APB∽△QDO是解题关键．。
湖南省郴州市2020年中考数学试卷
湖南省郴州市2020年中考数学试卷一、单选题（共8题；共16分）1.如图表示互为相反数的两个点是（）A. 点与点B. 点与点C. 点与点D. 点与点2.年月日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达纳秒（秒= 纳秒）用科学记数法表示纳秒为（）A. 秒B. 秒C. 秒D. 秒3.下列图形是中心对称图形的是（）A. B. C. D.4.下列运算正确的是（）A. B. C. D.5.如图，直线被直线所截下列条件能判定的是（）A. B. C. D.6.某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：鞋的尺码（）则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（）A. 中位数B. 平均数C. 众数D. 方差7.如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（）A. B.C. D.8.在平面直角坐标系中，点是双曲线上任意一点，连接，过点作的垂线与双曲线交于点，连接．已知，则（）A. B. C. D.二、填空题（共8题；共8分）9.若分式的值不存在，则________．10.已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________．11.质检部门从件电子元件中随机抽取件进行检测，其中有件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有________件次品．12.某人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：，方差为．后来老师发现每人都少加了分，每人补加分后，这人新成绩的方差________．13.小红在练习仰卧起坐，本月日至日的成绩与日期具有如下关系：日期（日）成绩（个）小红的仰卧起坐成绩y与日期之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为________．14.在平面直角坐标系中，将以点为位似中心，为位似比作位似变换，得到．已知，则点的坐标是________．15.如图，圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则圆锥主视图的面积为________．16.如图，在矩形中，．分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和．作直线分别与交于点，则________．三、解答题（共10题；共82分）17.计算：18.解方程：19.如图，在菱形中，将对角线分别向两端延长到点和，使得．连接．求证：四边形是菱形．20.疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机等平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：．效果很好；．效果较好；．效果一般；．效果不理想）并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：（1）此次调查中，共抽查了________-名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠a的度数；（3）某班人学习小组，甲、乙人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取人，则“ 人认为效果很好，人认为效果较好”的概率是多少?（要求画树状图或列表求概率）21.2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运较火箭在海南文昌首飞成功．运载火箭从地面处发射、当火箭到达点时，地面处的雷达站测得米，仰角为．3秒后，火箭直线上升到达点处，此时地面处的雷达站测得处的仰角为．已知两处相距米，求火箭从到处的平均速度（结果精确到米，参考数据：）22.为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共吨，甲物资单价为万元/吨，乙物资单价为万元吨，采购两种物资共花费万元．（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨?（2）现在计划安排两种不同规格的卡车共辆来运输这批物资．甲物资吨和乙物资吨可装满一辆型卡车；甲物资吨和乙物资吨可装满一辆型卡车．按此要求安排两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案?23.如图，内接于⊙，是⊙的直径．直线与⊙相切于点，在上取一点使得．线段，的延长线交于点．（1）求证：直线是⊙的切线；（2）若，，求阴影部分的面积（结果保留）．24.为了探索函数的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．列表：描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（1）如图，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；（2）已知点在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：若，则________ ；若，则________ ；若，则________ （填“>”，“=”，“<”）．（3）某农户要建造一个图所示的长方体形无盖水池，其底面积为平方米，深为米．已知底面造价为千元/平方米，侧面造价为千元/平方米，设水池底面一边的长为米，水池总造价为千元．①请写出与的函数关系式；②若该农户预算不超过千元，则水池底面一边的长应控制在什么范围内?25.如图，在等腰直角三角形中，．点是的中点，以为边作正方形，连接．将正方形绕点顺时针旋转，旋转角为．（1）如图，在旋转过程中，①判断与是否全等，并说明理由；②当时，与交于点，求的长．（2）如图，延长交直线于点．①求证：；②在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．26.如图，抛物线与轴交于，与轴交于点．已知直线过两点．（1）求抛物线和直线的表达式；（2）点是抛物线上的一个动点，①如图，若点在第一象限内，连接，交直线于点．设的面积为，的面积为，求的最大值；②如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作，垂足为．点是对称轴上的一个动点，是否存在以点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分一、单选题1.【解析】【解答】解：在-3，-1,2,3中，3和-3互为相反数，则点A与点D表示互为相反数的两个点．故答案为：B．【分析】根据一个数的相反数定义求解即可．2.【解析】【解答】∵1秒=1000000000纳秒，∴10纳秒=10÷1000000000秒=0.000 00001秒=1×10-8秒．故答案为：A．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意；故答案为：D．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．4.【解析】【解答】A. ，计算符合题意，符合题意；B. ，故本选项不符合题意；C. ，故本选项不符合题意；D. 不能计算，故本选项不符合题意；故答案为：A．【分析】根据积的乘方、同底数幂的乘法、二次根式的减法以及合并同类项法则进行计算得出结果进行判断即可．5.【解析】【解答】A、当∠1=∠3时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；B、当∠2+∠4=180°时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；C、当∠4=∠5时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；D、当∠1=∠2时，a∥b，故此选项符合题意；故答案为：D．【分析】直接利用平行线的判定方法进而分析得出答案．6.【解析】【解答】解：对这个鞋店的经理来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数．故答案为：C．【分析】鞋店的经理最关心的是各种鞋号的鞋的销售量，特别是销售量最大的鞋号．7.【解析】【解答】第一个图形空白部分的面积是x2-1，第二个图形的面积是（x+1）（x-1）．则x2-1=（x+1）（x-1）．故答案为：B．【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．8.【解析】【解答】解：过A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，垂足分别为E，F，如图，则∠AEO=∠BFO=90°，∴∠AOE+∠OAE=90°，∵∠AOB=90°，∴∠BOF+∠AOE=90°，∴∠OAE=∠BOF，∴△AOE∽△OBF，∴，即，∴∵，，∴．故答案为：B．【分析】分别作AE⊥x轴，BF⊥x轴，垂足分别为E，F，证明△AOE∽△OBF得到，结合反比例函数的系数的几何意义即可得到答案．二、填空题9.【解析】【解答】∵分式的值不存在，∴x+1=0，解得：x=-1，故答案为：-1．【分析】根据分式无意义的条件列出关于x的方程，求出x的值即可．10.【解析】【解答】∵，，，根据题意得，解得，故答案为：．【分析】利用判别式的意义得到，然后解关于c的方程即可．11.【解析】【解答】∵随机抽取100件进行检测，检测出次品2件，∴次品所占的百分比是：，∴这一批次产品中的次品件数是：：(件)，故答案为：20．【分析】先求出次品所占的百分比，再根据生产这种零件1000件，直接相乘得出答案即可．12.【解析】【解答】∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变，∴所得到的一组新数据的方差为S新2=8.0；故答案为：8.0．【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．13.【解析】【解答】解：设该函数表达式为y=kx+b，根据题意得：，解得，∴该函数表达式为y=3x+37．故答案为：y=3x+37．【分析】利用待定系数法即可求出该函数表达式．14.【解析】【解答】解：∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A （2，3），∴点A1的坐标是：，即A1．故答案为：．【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可．15.【解析】【解答】根据圆锥侧面积公式：S=πrl，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，故60π=π×10×r，解得：r=6．由勾股定理可得圆锥的高= =8∵圆锥的主视图是一个底边为12，高为8的等腰三角形，∴它的面积= ，故答案为：48【分析】圆锥的主视图是等腰三角形，根据圆锥侧面积公式S=πrl代入数据求出圆锥的底面半径长，再由勾股定理求出圆锥的高即可．16.【解析】【解答】如图，连接DN，在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，∴BD= ，根据作图过程可知：MN是BD的垂直平分线，∴DN=BN，OB=OD=2 ，∴AN=AB-BN=AB-DN=8-DN，在Rt△ADN中，根据勾股定理，得DN2=AN2+AD2，∴DN2=（8-DN）2+42，解得DN=5，在Rt△DON中，根据勾股定理，得ON= ，∵CD∥AB，∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，∵OD=OB，∴△DMO≌△BNO（AAS），∴OM=ON= ，∴MN=2 ．故答案为：2 ．【分析】连接DN，在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，根据勾股定理可得BD的长，根据作图过程可得，MN 是BD的垂直平分线，所以DN=BN，在Rt△ADN中，根据勾股定理得DN的长，在Rt△DON中，根据勾股定理得ON的长，进而可得MN的长．三、解答题17.【解析】【分析】根据负整指数幂的性质，特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂的性质，直接计算即可．18.【解析】【分析】观察可得方程最简公分母为(x2-1)，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．19.【解析】【分析】连接BD，由菱形ABCD的性质得出OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，得出OE=OF，证出四边形BEDF是平行四边形，再由EF⊥BD，即可证出四边形BEDF是菱形．20.【解析】【解答】（1）80÷40%=200（人），故答案为：200；【分析】（1）用评价为“效果很好”的人数除以评价为“效果很好”的人数所占百分比即可得到抽查的总人数；（2）首先求出评价为“效果一般”的人数，再补全条形统计图；用评价为“效果一般”的人数除以抽查的总人数，得到评价为“效果一般”的人数所占百分比乘以360°可得到∠∝；（3）用A，B，C，D分别表示甲，乙，丙，丁四人，画出树状图（或列表）表示所有等可能的情况数，得到“ 人认为效果很好，人认为效果较好”结果数，进而用概率公式求解即可.21.【解析】【分析】设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可得AB=3x，在Rt△ADO中，∠ADO=30°，AD=4000，可得AO=2000，DO=2000 ，在Rt△BOC中，∠BCO=45°，可得BO=OC，即可得2000+3x=2000 -460，进而解得x的值．22.【解析】【分析】（1）设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨，根据“某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，且采购两种物资共花费1380万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50-m）辆，根据安排的这50辆车一次可运输300吨甲物质及240吨乙物质，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各运输方案．23.【解析】【分析】（1）连接OC，根据OA＝OC，DA＝DC可得∠OAC＝∠OCA，∠DAC＝∠DCA，再根据直线与⊙相切于点可得∠DAO＝90°，进而可得∠DCO＝90°，由此可证得直线是⊙的切线；（2）先证明BOC为等边三角形，可得OB＝OC＝BC＝2，根据扇形面积公式可求得，再利用含30°的直角三角形的性质及勾股定理可求得，由此可求得，最后便可得．24.【解析】【解答】（2）根据图象和表格可知，当时，＞；当，则＜；当，则＝；【分析】（1）用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可；（2）观察函数图象可以看出有最低点，即函数有最小值，结合表格提供的信息即可解决问题；（3）①根据底面面积可求出底面另一条边长，进而可求出水池的侧面积，分别表示出底面和侧面的造价，从而可表示出与的函数关系式；②根据函数关系式结合表格可得出x的控制范围．25.【解析】【分析】（1）①由等腰直角三角形性质和正方形性质根据全等三角形判定定理（SAS）即可证明；②过A点作AM⊥GD，垂足为M，交FE与N，利用等腰三角形三线合一性质构造直角三角形，由勾股定理求出AM的长，进而得出，再由求出结果；（2）①根据全等三角形性质可得，再在和中由三角形内角和定理得出，从而证明结论；②根据∠APC=90°得出PC最大值是∠GAD最大时，即GD⊥AG时，进而可知CEF三点共线，F与P重合，求出此时CE长，继而可得CP最大值．26.【解析】【分析】（1）把A(-1，0)，B(3，0)代入可求得抛物线的表达式，再求得点C的坐标，把B(3，0)，C的坐标代入即可求解（2）①设点D的坐标为( ，)，利用待定系数法求得直线PA的表达式为，解方程，求得点P的横坐标为，利用平等线分线段成比例定理求得，得到，利用二次函数的性质即可求解；②根据等腰直角三角形的性质求得点的坐标为(2，)，分当EF为边和EF为对角线时两种情况讨论，即可求解．。
2020年湖南郴州中考数学试题及答案
2020年湖南郴州中考数学试题及答案第Ⅰ卷（共24分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如图表示互为相反数的两个点是（ ）A. 点A 与点BB. 点A 与点DC. 点C 与点BD. 点C 与点D2.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒（1秒=1000000000纳秒）用科学记数法表示10纳秒为（ ）A 8110-⨯秒B. 9110-⨯秒C. 91010-⨯秒D. 90.110-⨯秒3.下列图形是中心对称图形的是（ ）A.B.C.D.4.下列运算正确的是（ ） A. 44()a a -=B. 236a a a ⋅=C.= D. 325235a a a +=5.如图，直线,a b 被直线,c d 所截下列条件能判定//a b 的是（ ）A. 13∠=∠B. 24180∠+∠=.C. 45∠=∠D. 12∠=∠6.某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（ ） A. 中位数B. 平均数C. 众数D. 方差7.如图1，将边长为x 的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）A. 2221(1)x x x -+=-B. 21(1)(1)x x x -=+-C. 2221(1)x x x ++=+D. 2(1)x x x x -=- 8.在平面直角坐标系中，点A 是双曲线11(0)k y x x=>上任意一点，连接AO ，过点O 作AO 的垂线与双曲线22(0)k y x x=<交于点B ，连接AB ．已知2AOBO =，则12k k =（ ）A. 4B. 4-C. 2D. 2-第Ⅰ卷（共106分）二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）9.若分式11x +的值不存在，则x =__________． 10.已知关于x一元二次方程2250x x c -+=有两个相等的实数根，则c =__________．11.质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件次品．试据此估计这批电子元件中大约有__________件次品．12.某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：86,88,90,92,94，方差为28.0s =．后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差2s =新__________．13.小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：小红的仰卧起坐成绩y 与日期x 之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为__________． 14.在平面直角坐标系中，将AOB ∆以点O 为位似中心，23为位似比作位似变换，得到11A OB ∆．已知(2,3)A ，则点1A 的坐标是__________．15.如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，则圆锥主视图的面积为__________．16.如图，在矩形ABCD 中，4,8AD AB ==．分别以点,B D 为圆心，以大于12BD 的长为半径画弧，两弧相交于点E 和F ．作直线EF 分别与,,DC DB AB 交于点,,M O N ，则MN =__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.计算：101()2cos 4511)3--+-18.解方程：24111x x x =+-- 19.如图，在菱形ABCD 中，将对角线AC 分别向两端延长到点E 和F ，使得AE CF =．连接,,,DE DF BE BF ．求证：四边形BEDF 是菱形．20.疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP 等平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A ．效果很好；B ．效果较好；C ．效果一般；D ．效果不理想）并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：（1）此次调查中，共抽查了 名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠a 的度数；（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少?（要求画树状图或列表求概率） 21.2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运较火箭在海南文昌首飞成功．运载火箭从地面O 处发射、当火箭到达点A 时，地面D 处的雷达站测得4000AD =米，仰角为30．3秒后，火箭直线上升到达点B 处，此时地面C 处的雷达站测得B 处的仰角为45︒．已知,C D 两处相距460米，求火箭从A 到B 处的平均速度（结果精确到1 1.414≈≈）22.为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元吨，采购两种物资共花费1380万元． （1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨?（2）现在计划安排,A B 两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A 型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B 型卡车．按此要求安排,A B 两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案?23.如图，ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径．直线l 与⊙O 相切于点A ，在l 上取一点D 使得DA DC =．线段DC ，AB 的延长线交于点E ．（1）求证：直线DC 是⊙O 的切线；（2）若2BC =，30CAB ∠=︒，求阴影部分面积（结果保留π）．24.为了探索函数1(0)y x x x=+>的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法． 列表：描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象； （2）已知点1122(,),(,)x y x y 在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题： 若1201x x <<≤，则1y 2y ； 若121x x <<，则1y 2y ；若121x x ⋅=，则1y 2y （填“>”，“=”，“<”）．（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，设水池底面一边的长为x 米，水池总造价为y 千元．的①请写出y 与x 的函数关系式；②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x 应控制在什么范围内?25.如图1，在等腰直角三角形ADC 中，90,4ADC AD ∠==．点E 是AD 的中点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接,AG CE ．将正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转，旋转角为(090)αα<<．（1）如图2，在旋转过程中，⊙判断AGD ∆与CED ∆是否全等，并说明理由； ⊙当CE CD =时，AG 与EF 交于点H ，求GH 的长． （2）如图3，延长CE 交直线AG 于点P ． ⊙求证：AG CP ⊥；⊙在旋转过程中，线段PC 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 26.如图1，抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于(1,0),(3,0)A B -，与y 轴交于点C ．已知直线y kx n =+过,B C 两点．（1）求抛物线和直线BC 的表达式； （2）点P 是抛物线上的一个动点，①如图1，若点P 在第一象限内，连接PA ，交直线BC 于点D ．设PDC ∆的面积为1S ，ADC ∆的面积为2S ，求12S S 的最大值； ②如图2，抛物线的对称轴l 与x 轴交于点E ，过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ．点Q 是对称轴l 上的一个动点，是否存在以点,,,E F P Q 为顶点的四边形是平行四边形? 若存在，求出点,P Q 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案.1-8 BADAD CBB17. 118. x=3．19. 证明：连接BD，交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC ，OB=OD，AC⊥BD，∵AE=CF，∴OE=OF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．1（1）80÷40%=200（人），故答案为：200；（2）“C”的人数为：200-80-60-20=40（人），补全条形统计图如下：（3）用A，B，C，D分别表示甲，乙，丙，丁，①画树状图如下：共有12种可能出现的结果，其中“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的有2种，②列表如下共有12种可能出现的结果，其中“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的有2种，21. 火箭从A到B处的平均速度为335米/秒．解：设火箭从A到B处平均速度为x米/秒，根据题意可知：AB=3x，在Rt△ADO中，∠ADO=30°，AD=4000，∴AO=2000，∵CD=460，在Rt△BOC中，∠BCO=45°，∴BO=OC，∵OB=OA+AB=2000+3x ，解得x≈335（米/秒）．答：火箭从A到B处的平均速度为335米/秒．22. （1）甲物资采购了300吨，乙物质采购了240吨；（2）共有3种运输方案，方案1：安排25辆A型卡车，25辆B型卡车；方案2：安排26辆A型卡车，24辆B型卡车；方案3：安排27辆A型卡车，23辆B型卡车．解：（1）设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨，依题意，得：540 321380x yx y+⎧⎨+⎩＝＝，解得：300240xy⎧⎨⎩＝＝．答：甲物资采购了300吨，乙物质采购了240吨．的（2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50-m）辆，依题意，得：()() 7550300 3750240m mm m⎧+-≥⎪⎨+-≥⎪⎩，∵m为正整数，∴m可以为25，26，27，∴共有3种运输方案，方案1：安排25辆A型卡车，25辆B型卡车；方案2：安排26辆A型卡车，24辆B型卡车；方案3：安排27辆A型卡车，23辆B型卡车．（1）证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠O A C＝∠OCA，∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠D CA，∵直线l与⊙O相切于点A，∴∠DAO＝90°，∴∠DAC+∠OAC＝90°，∴∠DCA+∠OCA＝90°，∴∠DCO＝90°，∴OC⊥DC，又∵点C在⊙O上，∴直线DC是⊙O的切线；（2）解：∵∠CAB＝30°，∴∠COB＝2∠CAB＝60°，又∵OB＝OC，∴BOC为等边三角形，∴OB＝OC＝BC＝2，∵∠OCE＝90°，∠COB＝60°，∴∠E＝90°－∠COB＝30°，∴OE＝2OC＝4，Rt COE（1）如图1所示；（2）根据图象和表格可知，当1201x x <<≤时，1y ＞2y ；当121x x <<，则1y ＜2y ；当121x x ⋅=，则1y ＝2y ；（3）①∵底面面积为1平方米，一边长为x 米，∵底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，②∵该农户预算不超过3.5千元，即y ≤3.5解：（1）①全等，理由如下：在等腰直角三角形ADC 中，AD =CD ，90ADC ∠=， 在正方形DEFG 中，GD =ED ，90GDE ∠=， 又∵90ADE EDC ∠+∠=︒，90ADE ADG ∠+∠=︒， ∴ADG CDE ∠=∠在AGD △和CED 中，AD CD ADG CDE GD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴C AGD ED ≅（SAS ）；②如解图2，过A 点作AM ⊥GD ，垂足为M ，交FE 与N ，∵点E 是AD 的中点，∴在正方形DEFG 中，DE =GD =GF =EF =2， 由①得C AGD ED ≅， ∴AG CE =， 又∵CE CD =， ∴4AG AD CD ===， ∵AM ⊥GD ， 又∵90D F ∠=∠=︒ ， ∴四边形GMNF 是矩形， ∴2MN GF ==，Rt AGM 中，∵//FG AM ，∴GAM AGF∠=∠（2）①由①得C≅，AGD ED∴C∠=∠，GAD E D又∵90ECD ECA DAC∠∠︒，++∠=∴90∠∠︒，++∠=GAD ECA DAC∴90⊥；APC∠=︒，即：AG CP②∵90APC∠=︒，∴sin=∠，PC AP PAC∴当PAC∠最大时，PC最大，∵∠DAC=45°，是定值，∴GAD∠最大，PC最大，∠最大时，PAC∵AD=4，GD=2，∴当GD⊥AG，30GAD∠=︒最大，如解图3，又∵AG CP⊥，⊥，EF FG∴F点与P点重合，∴CEFP四点共线，3)，点Q 的坐标为(1，2)或(1，2-)（1）把A(-1，0)，B(3，0)代入23y ax bx =++得：309330a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得：12a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为2y x 2x 3=-++， 令0x =，则3y =， ∴点C 的坐标为(0，3)，把B(3，0)，C(0，3)代入y kx n =+得：303k n n +=⎧⎨=⎩， 解得：13k n =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的表达式为3y x =-+； （2）①∵PA 交直线BC 于点D ， ∴设点D 的坐标为(m ，3m -+)， 设直线PA 的表达式为11y k x b =+，∴11113k b mk b m -+=⎧⎨+=-+⎩，分别过点D、P作x轴的垂线，垂足分别为M、N，如图：4mPDCADCSS=m∵10-<，②存在，理由如下：作FG AB⊥于G，如图，∴OE=1，∵B(3，0)，C(0，3)∵OC=OB=3，∠OCB=90︒，∴△OCB是等腰直角三角形，∵∠EFB=90︒，BE=OB-OE=2，∴△OCB是等腰直角三角形，∴EG=GB=EG=1，∴点F的坐标为(2，1)，当EF为边时，∵EFPQ为平行四边形，∴QE=PF，QE∥PF∥y轴，∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2，当2x=时，222233y=-+⨯+=，∴点P的坐标为(2，3)，∴QE=PF=3-1=2，点Q的坐标为(1，2)；当EF为对角线时，如图，∵四边形PEQF平行四边形，∴QE=PF，QE∥PF∥y轴，同理求得：点P的坐标为(2，3)，∴QE=PF=3-1=2，点Q的坐标为(1，2-)；综上，点P的坐标为(2，3)，点Q的坐标为(1，2)或(1，2-)；。
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2020年湖南省郴州市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.如图表示互为相反数的两个点是()A. 点A与点BB. 点A与点DC. 点C与点BD. 点C与点D2.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒(1秒= 1000000000纳秒).用科学记数法表示10纳秒为()A. 1×10−8秒B. 1×10−9秒C. 10×10−9秒D. 0.1×10−9秒3.下列图形是中心对称图形的是()A. B. C. D.4.下列运算正确的是()A. (−a)4=a4B. a2⋅a3=a6C. √8−√2=√6D. 2a3+3a2=5a55.如图，直线a，b被直线c，d所截．下列条件能判定a//b的是()A. ∠1=∠3B. ∠2+∠4=180°C. ∠4=∠5D. ∠1=∠26.鞋的尺码(cm)2424.52525.52626.5销售数量(双)27181083则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是()A. 中位数B. 平均数C. 众数D. 方差7.如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分)，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式()A. x2−2x+1=(x−1)2B. x2−1=(x+1)(x−1)C. x2+2x+1=(x+1)2D. x2−x=x(x−1)8.在平面直角坐标系中，点A是双曲线y1=k1x(x>0)上任意一点，连接AO，过点O作AO的垂线与双曲线y2=k2x (x<0)交于点B，连接AB，已知AOBO=2，则k1k2=()A. 4B. −4C. 2D. −2二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.若分式1x+1的值不存在，则x=______．10.已知关于x的一元二次方程2x2−5x+c=0有两个相等的实数根，则c=______．11.质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有______件次品．12.某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩(分)分别为：86，88，90，92，94，方差为S2=8.0，后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差S新2=______．13.小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：日期x(日)1234成绩y(个)40434649小红的仰卧起坐成绩y与日期x之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为______．14.在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，23为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A(2,3)，则点A1的坐标是______．15.如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，则圆锥主视图的面积为______．16.如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=8.分别以点B，D为圆心，以大于12BD的长为半径画弧，两弧相交于点E和F.作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N，则MN=______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）17.2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运較火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD=4000米，仰角为30°.3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°.已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度(结果精确到1米/秒，参考数据：√3≈1.732，√2≈1.414)．四、解答题（本大题共9小题，共74.0分）18.计算：(13)−1−2cos45°+|1−√2|−(√3+1)0．19.解方程：xx−1=4x2−1+1．20.如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE=CF.连接DE，DF，BE，BF．求证：四边形BEDF是菱形．21.疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP等平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查(学习效果分为：A.效果很好；B.效果较好；C.效果一般；D.效果不理想)，并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：(1)此次调查中，共抽查了______名学生；(2)补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠α的度数；(3)某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少？(要求画树状图或列表求概率)22.为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元．(1)求甲、乙两种物资各采购了多少吨？(2)现在计划安排A，B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安排A，B两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？23.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D使得DA=DC，线段DC，AB的延长线交于点E．(1)求证：直线DC是⊙O的切线；(2)若BC=2，∠CAB=30°，求图中阴影部分的面积(结果保留π)．24.为了探索函数y=x+1x(x>0)的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．列表：x (1)4131212345…y (17)410352252103174263…描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：(1)如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；(2)已知点(x1,y1)，(x2,y2)在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：若0<x1<x2≤1，则y1______y2；若1<x1<x2，则y1______y2；若x1⋅x2=1，则y1______y2(填“>”，“=”或“<”)．(3)某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．①请写出y与x的函数关系式；②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内？25.如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC=90°，AD=4.点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE.将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α(0°<α<90°)．(1)如图2，在旋转过程中，①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；②当CE=CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．(2)如图3，延长CE交直线AG于点P．①求证：AG⊥CP；②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．26.如图1，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C.已知直线y=kx+n过B，C两点．(1)求抛物线和直线BC的表达式；(2)点P是抛物线上的一个动点．①如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D.设△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，求S1的最大值；S2②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F.点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：3和−3互为相反数，则点A与点D表示互为相反数的两个点．故选：B．根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号，求解即可．本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．2.【答案】A【解析】解：∵1秒=1000000000纳秒，∴10纳秒=10÷1000000000秒=0.00000001秒=1×10−8秒．故选：A．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.【答案】D【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．根据中心对称图形的概念和各图的性质求解．此题主要考查了中心对称图形的概念．要注意，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4.【答案】A【解析】解：A、(−a)4=a4，正确；B、a2⋅a3=a5，故此选项错误；C、√8−√2=2√2−√2=√2，故此选项错误；D、2a3+3a2，不是同类项，无法合并，故此选项错误；故选：A．直接利用合并同类法则以及二次根式的加减运算法则、同底数幂的乘法运算分别化简得出答案．此题主要考查了合并同类以及二次根式的加减运算、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5.【答案】D【解析】解：A、当∠1=∠3时，c//d，故此选项不合题意；B、当∠2+∠4=180°时，c//d，故此选项不合题意；C、当∠4=∠5时，c//d，故此选项不合题意；D、当∠1=∠2时，a//b，故此选项符合题意；此题主要考查了平行线的判定，正确掌握判定方法是解题关键．6.【答案】C【解析】解：对鞋店下次进货来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数．故选：C．众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对鞋店下次进货最具有参考意义的是众数．此题考查了众数、平均数、中位数和方差意义，属于基础题，难度不大，只要了解各个统计量的意义就可以轻松确定本题的正确答案．7.【答案】B【解析】解：由图可知，图1的面积为：x2−12，图2的面积为：(x+1)(x−1)，所以x2−1=(x+1)(x−1)．故选：B．根据图形可以用代数式表示出图1和图2的面积，由此得出等量关系即可．本题考查列代数式平方差公式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．8.【答案】B【解析】解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，∵点A是双曲线y1=k1x(x>0)上的点，点B是双曲线y2=k2x(x<0)上的点，∴S△AOD=12|k1|=12k1，S△BOE=12|k2|=−12k2，∵∠AOB=90°，∴∠BOE+∠AOD=90°，∵∠AOD+∠OAD=90°，∴∠BOE=∠OAD，∠BEO=∠OAD=90°，∴△BOE∽△OAD，∴S1S2=(OAOB)2，∴12k1−12k2=22，∴k1k2=−4，故选：B．作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOD=12k1，S=−1k，然后通过证得△BOE∽△OAD，即可证得结论．似的判定和性质，数形结合是解题的关键．9.【答案】−1的值不存在，【解析】解：若分式1x+1则x+1=0，解得：x=−1，故答案为：−1．直接利用分式有意义的条件得出x的值，进而得出答案．此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式有意义的条件：分式有意义的条件是分母不等于零是解题关键．10.【答案】258【解析】解：根据题意得△=(−5)2−4×2×c=0，．解得c=258故答案为：25．8利用判别式的意义得到△=(−5)2−4×2×c=0，然后解关于c的方程即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．11.【答案】20=20(件)，【解析】解：1000×2100即这批电子元件中大约有20件次品，故答案为：20．根据随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品，可以计算出这批电子元件中大约有多少件次品．本题考查用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用样本中的数据，可以计算出总体中次品数．12.【答案】8.0【解析】解：∵一组数据中的每一个数据都加上(或都减去)同一个常数后，它的平均数都加上(或都减去)这一个常数，方差不变，∴所得到的一组新数据的方差为S新2=8.0；故答案为：8.0．根据一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．本题考查方差的意义，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变．13.【答案】y=3x+37【解析】解：设该函数表达式为y =kx +b ，根据题意得： {k +b =402k +b =43， 解得{k =3b =37，∴该函数表达式为y =3x +37． 故答案为：y =3x +37．利用待定系数法即可求出该函数表达式．本题考查了一次函数的应用，会利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键．14.【答案】(43,2)【解析】解：∵将△AOB 以点O 为位似中心，23为位似比作位似变换，得到△A 1OB 1，A(2,3)， ∴点A 1的坐标是：(23×2,23×3)， 即A 1(43,2)． 故答案为：(43,2)．直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可．此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．15.【答案】48【解析】解：根据圆锥侧面积公式：S =πrl ， 圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π， 故60π=π×10×r ， 解得：r =6．由勾股定理可得圆锥的高=√102−62=8，∵圆锥的主视图是一个底边为12，高为8的等腰三角形， ∴它的面积=12×12×8=48，故答案为：48．主视图是从正面看所得到的图形即可，可根据圆锥的特点作答． 本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．16.【答案】2√5【解析】解：如图，连接DN ，在矩形ABCD 中，AD =4，AB =8， ∴BD =√AB 2+AD 2=4√5，根据作图过程可知：MN是BD的垂直平分线，∴DN=BN，OB=OD=2√5，∴AN=AB−BN=AB−DN=8−DN，在Rt△ADN中，根据勾股定理，得DN2=AN2+AD2，∴DN2=(8−DN)2+42，解得DN=5，在Rt△DON中，根据勾股定理，得ON=√DN2−OD2=√5，∵CD//AB，∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，∵OD=OB，∴△DMO≌△BNO(AAS)，∴OM=ON=√5，∴MN=2√5．故答案为：2√5．连接DN，在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，根据勾股定理可得BD的长，根据作图过程可得，MN是BD的垂直平分线，所以DN=BN，在Rt△ADN中，根据勾股定理得DN的长，在Rt△DON中，根据勾股定理得ON的长，进而可得MN的长．本题考查了作图−基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．17.【答案】解：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可知：AB=3x，在Rt△ADO中，∠ADO=30°，AD=4000，∴AO=2000，∴DO=2000√3，∵CD=460，∴OC=OD−CD=2000√3−460，在Rt△BOC中，∠BCO=45°，∴BO=OC，∵OB=OA+AB=2000+3x，∴2000+3x=2000√3−460，解得x≈335(米/秒)．答：火箭从A到B处的平均速度为335米/秒．【解析】设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可得AB=3x，在Rt△ADO 中，∠ADO=30°，AD=4000，可得AO=2000，DO=2000√3，在Rt△BOC中，∠BCO= 45°，可得BO=OC，即可得2000+3x=2000√3−460，进而解得x的值．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．18.【答案】解：原式=3−2×√2+√2−1−12=3−√2+√2−2=1．【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．19.【答案】解：xx−1=4x2−1+1，方程两边都乘(x−1)(x+1)，得x(x+1)=4+(x−1)(x+1)，解得x=3，检验：当x=3时，(x−1)(x+1)=8≠0．故x=3是原方程的解．【解析】方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．考查了解分式方程，把分式方程转化为整式方程求解．最后注意需验根．20.【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠DCA=∠BCA，∴∠DCF=∠BCF，∵CF=CF，∴△CDF≌△CBF(SAS)，∴DF=BF，∵AD//BC，∴∠DAE=∠BCF，∵AE=CF，DA=AB，∴△DAE≌△BFC(SAS)，∴DE=BF，同理可证：△DCF≌△BEA(SAS)，∴DF=BE，∴四边形BEDF是平行四边形，∵DF=BF，∴平行四边形BEDF是菱形．【解析】四边形ABCD是菱形，可得AB=BC=CD=DA，∠DCA=∠BCA，∠DAC=∠BAC，可以证明△CDF≌△CBF，△DAE≌△BFC，△DCF≌△BEA，进而证明平行四边形BEDF是菱形．本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质．21.【答案】200【解析】解：(1)80÷40%=200(名)，故答案为：200；(2)200−80−60−20=40(名)，360°×40200=72°，补全条形统计图如图所示：(3)用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有12种可能出现的结果，其中“1人认为效果很好，1人认为效果较好”即：1人为A ，1人为B 的有2种，∴P (1人认为效果很好,1人认为效果较好)=212=16．(1)从统计图可知，“A 效果很好”的有80人，占调查人数的40%，可求出调查人数； (2)求出“C 效果一般”的人数即所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数，补全条形统计图；(3)用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“”的结果数，进而求出概率． 本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，列表法或树状图求随机事件的概率，理解统计图中的数量关系，列出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键．22.【答案】解：(1)设甲物资采购了x 吨，乙物质采购了y 吨， 依题意，得：{x +y =5403x +2y =1380，解得：{x =300y =240．答：甲物资采购了300吨，乙物质采购了240吨．(2)设安排A 型卡车m 辆，则安排B 型卡车(50−m)辆， 依题意，得：{7m +5(50−m)≥3003m +7(50−m)≥240，解得：25≤m ≤2712．∵m 为正整数，∴m 可以为25，26，27，∴共有3种运输方案，方案1：安排25辆A 型卡车，25辆B 型卡车；方案2：安排26辆A 型卡车，24辆B 型卡车；方案3：安排27辆A 型卡车，23辆B 型卡车．【解析】(1)设甲物资采购了x 吨，乙物质采购了y 吨，根据“某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，且采购两种物资共花费1380万元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； (2)设安排A 型卡车m 辆，则安排B 型卡车(50−m)辆，根据安排的这50辆车一次可运输300吨甲物质及240吨乙物质，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，再结合m 为正整数即可得出各运输方案．本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．23.【答案】(1)证明：连接OC ，∵AB 是⊙O 的直径．直线l 与⊙O 相切于点A ， ∴∠DAB =90°，∵DA =DC ，OA =OC ，∴∠DAC=∠DCA，∠OAC=∠OCA，∴∠DCA+∠ACO=∠DAC+∠CAO，即∠DCO=∠DAO=90°，∴OC⊥BD，∴直线DC是⊙O的切线；(2)解：∵∠CAB=30°，∴∠BOC=2∠CAB=60°，∵OC=OB，∴△COB是等边三角形，∴OC=OB=BC=2，∴CE=√3OC=2√3，∴图中阴影部分的面积=S△OCE−S扇形COB =12×2×2√3−60⋅π×22360=2√3−2π3．【解析】(1)连接OC，根据切线的性质得到∠DAB=90°，根据等腰三角形的性质得到∠DCO=∠DAO=90°，于是得到结论；(2)根据圆周角定理得到∠BOC=2∠CAB=60°，根据等边三角形的性质得到OC=OB=BC=2，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．24.【答案】><>【解析】解：(1)函数图象如图所示：(2)若0<x1<x2≤1，则y1>y2；若1<x1<x2，则y1<y2，若x1⋅x2=1，则y1>y2．故答案为>，<，>．(3)①由题意，y=1+(2x+2x )×0.5=1+x+1x(x>0)．②由题意1+x+1x≤3.5，∵x>0，可得2x2−5x+2≤0，解得：12≤x≤2，∴长x应控制在12≤x≤2的范围内．(1)用光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可．(2)利用图象法解决问题即可．(3)①总造价=对面的造价+侧面的造价，构建函数关系式即可．②转化为一元二次不等式解决问题即可．本题考查反比例函数的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．25.【答案】解：(1)①如图2中，结论：△AGD≌△CED．理由：∵四边形EFGD是正方形，∴DG=DE，∠GDE=90°，∵DA=DC，∠ADC=90°，∴∠GDE=∠ADC，∴∠ADG=∠CDE，∴△AGD≌△CED(SAS)．②如图2中，过点A作AT⊥GD于T．∵△AGD≌△CED，CD=CE，∴AD=AG=4，∵AT⊥GD，∴TG=TD=1，∴AT=√AG2−TG2=√15，∵EF//DG，∴∠GHF=∠AGT，∵∠F=∠ATG=90°，∴△GFH∽△ATG，∴GHAG =FGAT，∴GH4=√15，∴GH=8√1515．(2)①如图3中，设AD交PC于O．∵△AGD≌△CED ， ∴∠DAG =∠DCE ，∵∠DCE +∠COD =90°，∠COD =∠AOP ， ∴∠AOP +∠DAG =90°， ∴∠APO =90°， ∴CP ⊥AG ．②∵∠CPA =90°，AC 是定值， ∴当∠ACP 最小时，PC 的值最大，∴当DE ⊥PC 时，∠ACP 的值最小，此时PC 的值最大，此时点F 与P 重合(如图4中)，∵∠CED =90°，CD =4，DE =2，∴EC =√CD 2−DE 2=√42−22=2√3， ∵EF =DE =2，∴CP =CE +EF =2+2√3， ∴PC 的最大值为2+2√3．【解析】(1)①结论：△AGD≌△CED.根据SAS 证明即可．②如图2中，过点A 作AT ⊥GD 于T.解直角三角形求出AT ，GT ，再利用相似三角形的性质求解即可．(2)①如图3中，设AD 交PC 于O.利用全等三角形的性质，解决问题即可．②因为∠CPA =90°，AC 是定值，推出当∠ACP 最小时，PC 的值最大，推出当DE ⊥PC 时，∠ACP 的值最小，此时PC 的值最大，此时点F 与P 重合(如图4中)．本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题．26.【答案】解：(1)把A(−1,0)，B(3,0)代入y =ax 2+bx +3得：{a −b +3=09a +3b +3=0，解得，{a =−1b =2∴抛物线的表达式，y =−x 2+2x +3， ∴点C 坐标为(0,3)，把B(3,0)，C(0,3)代入y =kx +n 得：{3k +n =0n =−3，解得，{k =−1n =−3∴直的表达式：y =−x +3．(2)①∵PA 交直线BC 于点， ∴设点D 的坐标为(m,−m +3)，设直线PA 的表达式为y =k 1x +b 1， ∴{−k 1+b 1=0mk 1+b 1=−m +3， 解得，{k 1=−m+3m+1b 1=−m+3m+1∴直线PA 的表达式，y =−m+3m+1x +−m+3m+1，∴−m+3m+1x +−m+3m+1=−x 2+2x +3，整理得，(x −4mm+1)(x +1)=0 解得x =4mm+1或−1(不合题意，舍去)， ∴点D 的横坐标为m ，点P 的横坐标4mm+1，分别过点D 、P 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，如图1中：∴DM//PN ，OM =m ，ON =4mm+1，OA =1， ∴S 1S 2=S △PDCS△ADC=PD DA =MN AM=4mm+1−m m+1=−m 2+3m (m+1)2，设S1S 2=t ，则t =−m 2+3m (m+1)2整理得，(t +1)m 2+(2t −3)m +t =0， ∵△≥0，∴(2t −3)2−4t(t +1)≥0， 解得t ≤916∴S 1S 2有最大值，最大值为916．②存在，理由如下：过点F 作FG ⊥OB 于G ，如图2中，∵y=−x2+2x+3的对称轴为x=−1，∴OE=1，∵B(3,0)，C(0,3)∵OC=OB=3，∠OCB=90°，∴△OCB是等腰直角三角形，∵∠EFB=90°，BE=OB−OE=2，∴△OCB是等腰直角三角形，∴EG=GB=EG=1，∴点F的坐标为(2,1)，当EF为边时，∵EFPQ为平行四边形，∴QE=PF，QE//PF//y轴，∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2，当x=2时，y=−22+2×2+3=3，∴点P的坐标为(2,3)，∴QE=PF=3−1=2，点Q的坐标为(1,2)；当EF为对角线时，如图3中，∵PEQF为平行四边形，∴QE=PF，QE//PF//轴，同理求得：点P的坐标为(2,)，∴QE=PF=3−1=2，点Q的坐标为(1,−2)；综上，点P的标为(2,3)，点Q的坐标为(1,2)或(1,−2)；【解析】(1)把A(−1,0)，B(3,0)代可求得抛物线的表达式，再求得点C的坐标，把B(3,0)，C的坐标代即可求解；x+ (2)①设点D的坐标为(m,−m+3)，利用待定系数法求得直线PA的表达式y=−m+3m+1−m+3m+1，解方程−m+3m+1x +−m+3m+1=−x 2+2x +3，求得点P 的横坐标为4mm+1，利用平等线分线段成比例定理求得S 1S 2=S △PDCS△ADC=PDDA =MN AM=4mm+1−m m+1=−m 2+3m (m+1)，设S 1S 2=t ，则t =−m 2+3m (m+1)2，整理得(t +1)m 2+(2t −3)m +t =0，根据△≥0，即可解决问题．②根据等腰直角三角形的性质求得的点F 坐标为(2,1)，分当EF 为边和EF 为对角线时两种情况讨论，即可求解．本题主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，平行线公线段成比例定理，等高的三角形的面积的比等于底边的比，二次函数的性质以及平行四边形的对边的判定和性质，(3)注意要分AB 是对角线与边两种情况讨论．。