2017_2018学年高中数学2.3变换的复合与矩阵的乘法2.3.2矩阵乘法的简单性质课件苏教版选修4_2

合集下载

2_3变换的复合与矩阵的乘法

2.3变换的复合与矩阵的乘法【教学目标】理解两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵，矩阵乘法的几种运算律．【教学重点】二阶矩阵与二阶矩阵的乘法法则，矩阵乘法的简单性质．【教学难点】二阶矩阵乘法的几何意义，从几何变换理解矩阵乘法不满足消去律．【教学过程】一、引入：1．二阶矩阵与二阶矩阵的乘法法则：一般地，对于矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211a a a a ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211b b b b ，规定乘法法则如下： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211a a a a ______________________________22211211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡b b b b ． 2．矩阵乘法MN 的几何意义为____________________________________________．3．M n =_______________________(n 个M 相乘)．4．两个二阶矩阵的乘法满足．．律，但不满足．．．律和律．即 (AB )C =A (BC ),AB ≠BA ,由 AB =AC 不一定能推出B =C ．5．两个矩阵乘法的几何意义是______________，反过来，____________________________．矩阵AB 对应的复合变换顺序是_______________________________________________．二、新授内容：例1．（1）已知A =11221122⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，B =11221122⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦；计算AB ．（2）已知A =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B =12⎡⎢-⎣ 43⎤⎥⎦，计算AB ，BA ．没有天生的信心，只有持续培养的信心！第 2 页共 4 页（3）已知A =1000⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B =1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦，计算AB ，AC ．反思：例2．已知梯形ABCD ，其中A (0 , 0)，B (3 , 0)，C (2 , 2)，D ((1 , 2)，先将梯形作关于x 轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°．（1）求连续两次变换所对应的变换矩阵M ；（2）求点A ，B ，C ，D 在T M 作用下所得到的结果；（3）在平面直角坐标系内画出两次变换对应的几何图形，并验证（2）中的结论．例3．已知梯形ABCD ，A （0，0），B （3，0），C （2，2），D （1，2），变换T 1对应的矩阵P ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001，变换T 2对应的矩阵Q ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡1002，计算PQ ，QP ，比较它们是否相同，并从几何变换角度予以解释．【变式拓展】曲线y 2＝4x 依次经过矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 00 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0作用下变换得到的曲线方程为x 2＝2y ，求实数t 的值．三、课堂反馈：1．已知A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1220，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2301，则AB =____________，BA =______________． 2．已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡10100111s p n m ，则m = ，n = ，s = ． 3．设a ，b ∈R ，若矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b a 10把直线l ：2x +y -7=0变换为直线l '：9x +y -91=0，试求a ，b 的值．4．已知△ABC ，A （0，0），B （2，0），C （1，2），对它先作M ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡1002对应的变换，再作N ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001 对应的变换，试研究变换作用后的结果，并用一个矩阵来表示这两次变换．5．已知M =12⎡⎢⎣ 23-⎤⎥⎦，N =23⎡⎢-⎣ 11-⎤⎥⎦，试求满足方程MX =N 的二阶方阵X ．四、课后作业：学生姓名：___________1．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1．（1）计算AB ；（2）若矩阵B 把直线l ：x ＋y ＋2＝0变为直线l ′，求直线l ′的方程．2．已知矩阵P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2a 0，Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1b 0，若矩阵PQ 对应的变换把直线l 1：x －y ＋4＝0变为直线l 2：x ＋y ＋4＝0，求a 、b 的值．没有天生的信心，只有持续培养的信心！第 4 页共 4 页 3．已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 002，N 是绕原点逆时针旋转π4变换所对应的矩阵，求曲线y ＝1x 经过矩阵MN 变换后的曲线方程．4．已知二阶矩阵M 满足1112,0012⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦M M ，求121⎡⎤⎢⎥-⎣⎦M ．5．已知A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-θθθθcos sin sin cos ，试求A 2，A 3，A n （n >3，且n ∈N *）呢？6．设m ，n ∈k ，若矩阵A =20m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦把直线l ：x －5y +1=0变换成另一直线l '：2x +y +3=0．试求出m ，n 的值．7．已知△ABC ，其中A (1 , 2)，B (2 , 0)，C (4 , -2)，先将三角形绕原点按顺时针旋转90°，再将所得图形的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变．（1）求连续两次变换所对应的变换矩阵M ；（2）求点A ，B ，C 在变换矩阵M 作用下所得到的结果；（3）假如先将图形的横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图形绕原点顺时针旋转90°，则连续两次变换所对应的变换矩阵M ′是什么呢?作业评价：．。

高二数学变换的复合与矩阵的乘法

§2.3变换的复合与矩阵的乘法教学目标:一、知识与技能：通过变换的实例，了解矩阵与矩阵的乘法的意义；掌握二阶矩阵的乘法法则，并能运用几何图形变换，说明矩阵乘法不满足交换律二、方法与过程借助实例的探究，引入复合变换，寻求二阶矩阵的乘法法则，发现矩阵乘法不满足交换律；通过具体情境的观察、类比、探索、交流和反思等数学活动，培养学生的创新意识，使学生掌握研究问题的方法，从而学会学习体会从具体到抽象再到具体的思想方法。

三、情感、态度与价值观新旧知识的联结，潷学生的求知欲及进一点探索的乐趣。

教学重点:二阶矩阵乘法法则及运用教学难点：说明矩阵乘法不满足交换律教学过程一、复习引入： 1、基本概念（1）二阶矩阵：由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a 称为二阶矩阵。

特别地，称二阶矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000为零矩阵，简记为0。

称二阶矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001为二阶单位矩阵，记为2E 。

（2）向量：向量（y x ,）是一对有序数对，y x ,叫做它的两个分量，且称⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x 为列向量，（y x ,）为行向量。

同时，向量、点以及有序实数对三者不加区别。

2、几类特殊线性变换及其二阶矩阵在平面直角坐标系中，把形如⎩⎨⎧+=+=dycx y byax x ``（其中a ，b ，c ，d 为常数）的几何变换叫做线性变换。

（2）旋转变换坐标公式为⎩⎨⎧+=-=ααααcos sin sin cos ``y x y y x x ，变换对应的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ααααcos sin sin cos （3）反射变换①关于x 的反射变换坐标公式为⎩⎨⎧-==y y xx ``对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001； ②关于y 的反射变换坐标公式为⎩⎨⎧=-=y y xx ``对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1001； ③关于x y =的反射变换坐标公式为⎩⎨⎧==x y yx ``对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛0110；（4）伸缩变换坐标公式为⎩⎨⎧==yk y x k x 2`1`对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛210k k ；（5）投影变换①投影在x 上的变换坐标公式为⎩⎨⎧==0``y x x 对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001； ②投影在y 上的变换坐标公式为⎩⎨⎧==yy x ``0对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000①平行于x 轴的切变变换坐标公式为⎩⎨⎧=+=y y syx x ``对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101s ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101s ②平行于y 轴的切变变换坐标公式为⎩⎨⎧+==ysx y xx ``对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛101s 3、定理1 设A ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111y x X ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222y x X ，t ，k 是实数。

高中数学2.3变换的复合与矩阵的乘法2.3.1矩阵乘法的概念教学案苏教版选修0

[思路点拨 ] 先由对称变换确定 F 与 F′的关系，再通过计算 NM 确定 F 与 F0 的关系，
由上述关系即可说明由 NM 确定的变换的几何意义．
[精解详析 ] (1)变换 TM 把平面上的图形 F 变换成与 F 关于 x 轴对称的图形 F1，变换 TN
把平面上的图形 F1 变换成与 F1 关于 y 轴对称的图形 F′，所以 F 与 F′关于原点对称．
10
5．已知圆 C：x2＋ y2＝ 1，先将圆 C 作关于矩阵 P＝
的线性变换，再将所得的图形
02
绕原点逆时针旋转 90°，求所得的曲线方程．
0 －1
解：绕原点逆时针旋转 90°的变换矩阵 Q＝
，
10
0 －1 1 0 0 － 2
则 M＝ QP＝
＝
，
1 0 02 1 0
设 A(x， y)为圆 C 上任意一点，在矩阵 M 对应的变换作用下变为 A′(x′， y′ )
＝
，在曲线
10 02 1 0
C1 上任意选一点 P(x0，y0)，设它在矩阵 BA 对应的变换作用下变为
0 2b P′ (x′，y′ )，则有
10
1
x0 x′
2by0 x′
＝
，即
＝
，所以
2by0＝ x′，
即
y0＝ 2bx′，
y0 y′
x0
y′
x0＝ y′，
x0＝ y′ .
1
1
1
代入曲线
C1 方程，得
矩阵 MN 的几何意义是对向量连续实施的两次变换 (先 N 再 M )的复合变换，进行复合变换时，一定要注意先后顺序，顺序不同，所得变换结果就可能不同．
马鸣风萧萧整理

【教育资料】2.3 2.3.1+2.3.2学习精品

2.3.1 矩阵乘法的概念 2.3.2 矩阵乘法的简单性质1.熟练掌握两个矩阵的乘法法则，并能从变换的角度理解它们.2.会从几何变换的角度求MN 的乘积矩阵.3.通过具体的几何图形变换，理解矩阵乘法不满足交换律.[基础·初探]1.矩阵的乘法一般地，对于矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22，规定乘法法则如下： MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22＝⎣⎢⎡⎦a 11b 11＋a 12b 21 a 11b 12＋a 12b 22a 21b 11＋a 22b 21 a 21b 12＋a 22b 22. 2.矩阵乘法的几何意义(1)变换的复合：在数学中，一一对应的平面几何变换常可以看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换；对应的矩阵叫做初等变换矩阵.(2)矩阵乘法的几何意义：矩阵乘法MN 的几何意义为：对向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 连续实施的两次几何变换(先T N后T M )的复合变换.(3)当连续对向量实施n ·(n ＞1，且n ∈N *)次变换T M 时，对应地我们记M n ＝.3.矩阵乘法的运算性质 (1)矩阵乘法不满足交换律对于二阶矩阵A 、B 来说，尽管AB 、BA 均有意义，但可能AB ≠BA . (2)矩阵乘法满足结合律设A 、B 、C 均为二阶矩阵，则一定有(AB )C ＝A (BC ). (3)矩阵乘法不满足消去律设A 、B 、C 为二阶矩阵，当AB ＝AC 时，可能B ≠C .[思考·探究]1.矩阵的乘法与实数的乘法有什么异同？【提示】 (1)运算条件不同，任何两个实数均可作乘法，而两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相同时，才能作乘法.(2)从运算律上看，实数的乘法满足交换律、结合律及消去律，而矩阵的乘法只满足结合律.2.矩阵的乘法与变换的复合有什么关系？简单变换与复合变换有什么关系？【提示】矩阵的乘法对应着变换的复合，这样使得若干个简单变换可以复合成较为复杂的变换；反过来较为复杂的变换可以分解成若干个简单的变换.3.矩阵乘法MN 与NM 的几何意义一致吗？为什么？【提示】不一致；因为前一个对应着先T N 后T M 的两次几何变换，而后者对应着先T M 后T N 的两次几何变换.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：(1)已知A ＝⎣⎢⎦⎥0 0，B ＝⎣⎢⎦⎥0 1，计算AB . (2)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，计算AB ，BA .(3)已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 －1，计算A 2、B 2.【精彩点拨】利用矩阵乘法法则计算，根据矩阵乘法的几何意义说明. 【自主解答】 (1)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1×0＋0×0 1×0＋0×10×0＋0×0 0×0＋0×1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 0. (2)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1×0＋0×1 1×（－1）＋0×00×0＋2×1 0×（－1）＋2×0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0， BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0×1＋（－1）×0 0×0＋（－1）×21×1＋0×0 1×0＋0×2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0. (3)A 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 121212⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤121212 12， B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 0. 这些计算只需利用矩阵的乘法公式即可，但对揭示矩阵乘法的性质却有着重要的意义.(1)中尽管A 、B 均为非零矩阵，但它们的乘积却是零矩阵；(2)中AB ≠BA ；(3)中尽管B ≠C ，但有AB ＝AC ，这与一般数乘有着本质的区别；(4)中A 2＝A ，B 2＝0，这里0是一个二阶零矩阵.证明下列等式并从几何变换的角度给予解释. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1301⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 1301⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0 【导学号：30650025】【解】 ∵左＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1×1＋3×0 1×0＋3×00×1＋1×0 0×0＋1×0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0，右＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×1＋13×0 1×0＋13×00×1＋1×0 0×0＋1×0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000， ∴左＝右.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0对应的变换将平面上的点垂直投影到x 轴，而x 轴上的点沿x 轴的切变变换是不动点.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 130 1均为沿x 轴的切变变换，自然有等式成立.，变换T 1所对应的矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，变换T 2所对应的矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，计算MN 、NM ，比较它们是否相同，并从几何变换的角度予以解释.【精彩点拨】利用具体的几何变换验证.【自主解答】 MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －112 0， NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －121 0. 故MN ≠NM .从几何变换的角度来看，矩阵M 表示T 1为向x 轴压缩为一半的变换，矩阵N 表示T 2为逆时针旋转90°的变换.这样MN 表示矩阵ABCD 先经T 2，再经T 1的变换，变换结果如图(1)所示：而NM 表示矩形ABCD 先经T 1，再经T 2的变换，变换结果如图(2)所示.(2)从图(1)以及图(2)可知，MN 和NM 表示的不是同一个变换.一个旋转变换与一个伸压变换的乘积一般不满足交换律.但两个旋转变换、两个反射变换满足交换律.算式⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12表示AB ＝AC ，但A ≠0且有B ≠C ，请通过计算验证这个结果，并从几何上给予解释.【导学号：30650026】【解】左边＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1×1＋0×0 1×0＋0×20×1＋0×0 0×0＋0×2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0 右边＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1×1＋0×0 1×0＋0×120×1＋0×0 0×0＋0×12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0. ∴左边＝右边.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2表示先将平面上的点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，再往x 轴上投影.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0012表示先将平面上的点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的12，再往x 轴上投影.已知圆C ：x 2＋y 2＝1，先将圆C 作关于矩阵P ＝⎣⎢⎦⎥02的伸压变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°，求所得曲线的方程.【精彩点拨】先求出旋转90°的矩阵Q ，进而求QP ，再求曲线方程. 【自主解答】绕原点逆时针旋转90°的变换矩阵Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则M ＝QP ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0. 设A (x 0，y 0)为圆C 上的任意一点，在T M 变换下变为另一点A ′(x ′0，y ′0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′0＝－2y 0，y ′0＝x 0，所以⎩⎨⎧x 0＝y ′0，y 0＝－x ′02.又因为点A (x 0，y 0)在曲线x 2＋y 2＝1上，所以(y ′0)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ′022＝1.故所得曲线的方程为x 24＋y 2＝1.矩阵的乘法对应着变换的复合，而两个变换的复合仍是一个变换，且两个变换的复合过程是有序的，不能颠倒.若将本例中两次变换的顺序交换，则曲线的方程如何？【解】绕原点逆时针旋转90°的变换矩阵 Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则M ＝PQ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0. 设A (x 0，y 0)为圆C 上的任意一点，在T M 变换下变为另一点A ′(x ′0，y ′0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′0＝－y 0，y ′0＝2x 0，所以⎩⎨⎧x 0＝y ′02，y 0＝－x ′0.又因为点A (x 0，y 0)在曲线x 2＋y 2＝1上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y ′022＋(－x ′0)2＝1.故所得曲线的方程为x 2＋y 24＝1.[真题链接赏析](教材第47页习题2.3第5题)已知△ABC ，A (0，0)，B (2，0)，C (1，2)，对它先作M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1对应的变换，再作N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2对应的变换，试研究变换作用后的结果，并用一个矩阵来表示这两次变换.已知曲线C 1：x 2＋y 2＝1，对它先作矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002对应的变换，再作矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 b 1 0对应的变换，得到曲线C 2：x 24＋y 2＝1.求实数b 的值. 【命题意图】本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力.【解】从曲线C 1变到曲线C 2的变换对应的矩阵为BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 b 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0. 在曲线C 1上任意选一点P (x 0，y 0)，设它在矩阵BA 对应的变换作用下变为P ′(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2by 0x 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′. 故⎩⎪⎨⎪⎧2by 0＝x ′，x 0＝y ′.解得⎩⎨⎧y 0＝12b x ′，x 0＝y ′.代入曲线C 1方程得，y ′2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12b x ′2＝1.即曲线C 2方程为：⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2x 2＋y 2＝1.与已知的曲线C 2的方程x 24＋y 2＝1比较得(2b )2＝4. 所以b ＝±1. 1.若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 4－23，则AB ＝________，BA ＝________. 【解析】 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 4－2 3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1×1＋0×（－2） 1×4＋0×30×1＋2×（－2） 0×4＋2×3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 4－4 6，【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 4－4 6 2.若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤124 4，则AB ＝________，AC ＝________. 【导学号：30650027】【解析】 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 0， AC ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 24 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 0.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤120 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤120 03.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b a ＋b a ＋b a －b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b a －b a －b a ＋b ＝__________.【解析】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a －b a ＋b a ＋b a －b ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a ＋b a －b a －b a ＋b＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤（a －b ）（a ＋b ）＋（a ＋b ）（a －b ）（a －b ）2＋（a ＋b ）2（a ＋b ）2＋（a －b ）2（a ＋b ）（a －b ）＋（a －b ）（a ＋b ）＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 2－2b 2 2a 2＋2b 22a 2＋2b 2 2a 2－2b 2. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 2－2b 2 2a 2＋2b 22a 2＋2b 2 2a 2－2b 24.矩阵乘法⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12的几何意义是________.【解析】几何意义是先施以沿y 轴方向的伸压变换，再施以原点为中心的反射变换.【答案】先施以沿y 轴方向的伸压变换，再施以原点为中心的反射变换我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。

2.3变换的复合与矩阵的乘法

2.3变换的复合与矩阵的乘法第一课时矩阵乘法的概念[教学目的]一、知识与技能：熟练掌握二解矩阵及其乘法，理解从几何角度上矩阵乘法是两个变换的复合二、过程与方法：自学指导法三、情感态度与价值观：体会实数乘法与矩阵乘法的不同 [教学难点、重点]矩阵的乘法运算 [教学过程]一、看书：教材35---37页二、汇总：1、矩阵乘法的来由是因为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211a a a a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡y xb b b b 22211211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++22221221212211212212121121121111b a b a b a b a b a b a b a b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x因而有⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211a a a a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211b b b b =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++22221221212211212212121121121111b a b a b a b a b a b a b a b a两个二阶矩阵的乘法结果为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯⨯⨯右矩阵第二列左矩阵第二行右矩阵第一列左矩阵第二行右矩阵第二列左矩阵第一行右矩阵第一列左矩阵第一行 2、矩阵乘法要能进行的前提条件是什么？（左矩阵的列数等于右矩阵的行数）3、二阶矩阵M n =个n M MMM ...... 4、例题与练习例1、A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001,B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001,C=⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 001,求AB,AC 解：AB=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001,AC=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001 说明1：AB 的几何意义是先恒等变换，再投影到x 轴上的变换；AC 的意义是先y 轴上伸压变换，再x 轴上投影变换。

注意矩阵乘机的顺序与变换的顺序相反说明2：在矩阵乘法中AB=AC,未必有B=C练习1：A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001,B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3241,求AB,BA 二者相等吗？（AB=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6441,BA=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6281,不等）说明：在矩阵运算中，交换律未必成立练习2：A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001,求A 20(⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001)例2、梯形ABCD ，A(0,0),B(3,0),C(2,2),D(1,2),先作关于x 轴的反射变换，再将图形绕原点逆时针旋转900（1）求连续两次变换所对应的变换映射M （2）A 、B 、C 、D 在T M 作用下所得的点的坐标（3）作图验证所得的结论（教材P39---例2）例3、A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ααααcos sin sin cos ,B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ββββcos sin sin cos ,求AB 并对其几何意义进行解释（教材P40—例3）练习：、A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ααααcos sin sin cos ,B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ββββcos sin sin cos ,求AB ，BA 三、小结：矩阵乘法的规则四、作业：教材P46---1,2,3,5,71、写出两个不同的矩阵，使⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--21112A=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-021012、(1)L 为平面内过原点且倾斜角为α的一条直线，求出关于L 的反射矩阵M (2)对(1)中求出的M ，A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 011求AM 及MA [补充习题答案] 1、答案不唯一，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡0101⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111等 2、(1)设OP=r,P(x,y)→P /(x /,y /),OX 到OP 的角为θ，则⎩⎨⎧-=-=+=-=ααθαααθα2cos 2sin )2sin(2sin 2cos )2cos(//y x r y y x r x ，M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-αααα2cos 2sin 2sin 2cos(2)AM=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+αααααα2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin k k ,MA=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+αααααα2cos 2sin 2sin 2sin 2cos 2cos k k[情况反馈]第二课时矩阵乘法的简单性质 [教学目的]一、知识与技能：理解矩阵乘法不满足交换吕和消去律，会验证矩阵乘法满足结合律二、过程与方法：比较演算法三、情感态度和价值观：体会类比推理中结论全真的含义 [教学重点、难点]结合律验证 [教学过程]一、复习二阶矩阵的乘法运算规律与实数乘法性质实数乘法运算性质：交换律ab=ba 结合律 (ab)c=a(bc) 消去律：ab=ac,a ≠0则b=c 零律：0a=a0=0 1律：1a=a1=a 分配律 a(b+c)=ab+ac 问题：对于矩阵乘法，这些结论是否还成立？二、矩阵的简单性质1、由上节知识知：消去律未必成立，即AB=AC,A ≠0，则未必有B=C2、交换律呢？例1、（1）已知P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001k ,Q=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1002k ,求PQ 及QP,说明二者的几何意义及是否相等（2）A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001,B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3241,求AB 、BA,说明二者是否相等解：（1）PQ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1200k k ,QP=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1200k k ,二者相等， PQ:(x,y)倍横坐标变为原来的2:k T Q (k 2x 2,y)倍纵坐标变为原来的1k (k 2x,k 1y)QP:⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡y k x k k T y k x k T y x Q P 12211::倍横坐标变为原来的倍纵坐标变为原来的(2)AB=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6441,BA=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6281,AB ≠BA 说明：对于矩阵乘法，交换律未必成立 3、结合律是否成立？ A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1111d c b a ,B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2222d c b a ,C=⎥⎦⎤⎢⎣⎡3333d c b a , 则AB=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++2121212121212121d d b c c d a c d b b a c b a a ,BC=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++3232323232323232d d b c c d a c d b b a c b a a(AB)C=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++2121212121212121d d b c c d a c d b b a c b a a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3333d c b a=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++++++++321321321321321321321321321321321321321321321321d d d d b c b c d b a c c d d c b c a c d a a c d d b d b a b c b b a a c d b c b a a c b a a aA(BC)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1111d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++3232323232323232d d b c c d a c d b b a c b a a=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++++++++321321321321321321321321321321321321321321321321d d d d b c b c d b a c c d d c b c a c d a a c d d b d b a b c b b a a c d b c b a a c b a a a说明：矩阵乘法满足结合律4、自己验证：矩阵乘法满足结合律，即：A(B+C)=AB+AC5、零律是否满足，证明你的结论，即AO=OA=O 是否成立？（成立）6、一律是否满足？证明你的结论，即EA=AE=A 是否成立？（成立）备用练习与例题1、计算（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡011010210110（2）32301⎥⎦⎤⎢⎣⎡- （解答（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1101（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-8901） 2、求使式子成立的a 、b 、c 、d ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡34120032dc b a （解答：a=1,b=4,c=1,d=1） 3、a 、b 为实数，矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a 10将直线L:2x+y-7=0变为自身，求a,b （解答a=1/2,b=1）三、习题：教材P46---4,6,8[补充习题]1、对于三个非零二阶矩阵。

变换的复合与二阶矩阵的乘法

课题：选修4-2 2.3变换的复合与矩阵的乘法
让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧 !
在直角坐标系 xOy 内，由矩阵 B x' : ' y 3 2 1 2
3 2 1 2
1 2 确定的变换 3 2
让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧 !
投影变换 P( x, y) l：Ax By C 0
y

P( x, y )
O
x
2 2 B A 2 AB 2 A B
B2
AB A2 B 2 A2 A2 B 2

问题：
矩阵
1 k 0 1 把平面上的点P(x, y)沿x轴方向
课题：选修4-2 2.3变换的复合与矩阵的乘法
让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧 !
2.3变换的复合与矩阵的乘法
课题：选修4-2 2.3变换的复合与矩阵的乘法
让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧 !
再回首想一想：对于矩阵主要学习了哪些知识？
x ax by 在平面直角坐标系xOy内，形如 ……① y cx dy
x a1 b1 a 2 b2 x x x ' f ( g ) f ( B ) y y c1 d1 c 2 d 2 y y a1 b1 a 2 x b2 y a1 a 2 b1c 2 a1b2 b1 d 2 x c d c x d y c a d c c b d d 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 y

26. 3变换的复合与矩阵的乘法

26.3变换的复合与矩阵的乘法【知识网络】1、通过变换的实例，了解矩阵与矩阵的乘法的意义。

2、变换的复合——二阶方阵的乘法。

3、通过具体的几何图形变换，说明矩阵乘法不满足交换律与消去律，验证二阶方阵乘法满足结合律。

【典型例题】例1：<1）结果是( >A、B、C、D、答案：A。

解读：根据矩阵乘法的法则。

<2）关于矩阵乘法下列说法中正确的是( >A、不满足交换律,但满足消去律B、不满足交换律和消去律C、满足交换律不满足消去律D、满足交换律和消去律答案：B。

解读：矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律。

<3）( >A、 B、 C、 D、答案：A。

解读：。

<4）若=，则。

答案：x0.7<x0.8。

解读：∵====，∴3x=1 ∴ x = ，考察y=(>x 的图象和性质得：x0.7<x0.8。

<5）设A=，则A6=。

答案：。

解读：A=，∴A6=例2：已知矩阵，向量求。

答案：∵M=，∴M2=，∴M3=M2M=，∴M3例3：设A=，E=，，求使An=E的最小正整数n的值。

答案：An=∴,又因为，所以当时，。

例4：求出曲线依次经过矩阵A=，B=作用下变换得到的曲线方程。

答案：由已知AB==任取曲线上一点，它在矩阵AB对应的变换作用下变为，则有故，∵P在曲线上，∴，因此，从而曲线在矩阵AB作用下变成椭圆。

b5E2RGbCAP【课内练习】1．若，则a的值为< ）A、 B、 C、 D、答案：D。

解读：由矩阵的乘法法则知。

2．已知A=，B=，P=，则矩阵ABP表示的几何意义是< ）A、点对x轴反射后，再绕原点逆时针旋转α角所得的坐标B、点对y轴反射后，再绕原点逆时针旋转α角所得的坐标C、点绕原点逆时针旋转α角后，再对x轴反射所得的坐标D、点绕原点逆时针旋转α角后，再对y轴反射所得的坐标答案：A。

解读：矩阵乘法不满足交换律，故首先排除C、D选项，矩阵B把点P变换为关于x轴对称的点。

2.3变换的复合与矩阵的乘法

科目数学主备人时间课题 2.3变换的复合与矩阵乘法的简单性质课时1教学目标1．理解变换的复合，会用矩阵乘法的简单性质。

2．会用矩阵乘法的简单性质解题。

教学重、难点从几何变换的角度理解变换的复合。

教学过程设计（教法、学法、课练、作业）个人主页一：情境引入1知△ABC ，A （0，0），B （2，0），C （1，2），对它先作M ＝1⎡⎢⎣0-1⎤⎥⎦对应的变换，再作N ＝1⎡⎢⎣02⎤⎥⎦对应的变换，（1）试研究两次变换后的结果。

（2）两次变换能否用一个变换矩阵表示。

2，矩阵的乘法规则及几何意义 3，次变换的表示方式——M n二：数学建构乘法的运算律：（1）交换律例1已知正方形ABCD ，A （0，0），B （1，0），C （1，1），D （0，1）变换T 1对应矩阵为M ＝01⎡⎢⎣ -10⎤⎥⎦，变换T 2对应矩阵为N ＝10⎡⎢⎣ 00.5⎤⎥⎦对应的变换，计算MN ，NM ，比较它们是否相同，并从几何变换的角度解释。

-1-0.500.511.5-1.5-1-0.50.511.5系列1系列2系列3（2）结合律（AB ）C ＝A （BC ）（3）消去律三：例题讲解例1计算： ① A ＝⎢⎣⎡21⎥⎦⎤11-，B ＝⎢⎣⎡21 ⎥⎦⎤10②A=1⎡⎢⎣00⎤⎥⎦，B ＝10⎡⎢⎣ 01⎤⎥⎦，C ＝10⎡⎢⎣ 02⎤⎥⎦解： ① AB=⎢⎣⎡21⎥⎦⎤11-⎢⎣⎡21⎥⎦⎤10= ⎢⎣⎡⨯+⨯⨯+⨯21122(-1)11 ⎥⎦⎤⨯+⨯⨯+⨯11021(-1)01=⎢⎣⎡41-⎥⎦⎤11-BA=⎢⎣⎡21 ⎥⎦⎤10⎢⎣⎡21 ⎥⎦⎤11-=⎢⎣⎡⨯+⨯⨯+⨯21122011 ⎥⎦⎤⨯+-⨯⨯+-⨯11)1(2101)(1=⎢⎣⎡41 ⎥⎦⎤1-1-∵⎢⎣⎡41- ⎥⎦⎤11-≠⎢⎣⎡41 ⎥⎦⎤1-1- 结论：矩阵乘法不满足交换律。

3、计算： ① X =（⎢⎣⎡21 ⎥⎦⎤11-⎢⎣⎡21 ⎥⎦⎤10）⎢⎣⎡21 ⎥⎦⎤10②X =⎢⎣⎡21⎥⎦⎤11-（⎢⎣⎡21 ⎥⎦⎤10⎢⎣⎡21⎥⎦⎤10）解：①X =（⎢⎣⎡21 ⎥⎦⎤11-⎢⎣⎡21 ⎥⎦⎤10）⎢⎣⎡21 ⎥⎦⎤10=⎢⎣⎡41- ⎥⎦⎤11-⎢⎣⎡21 ⎥⎦⎤10=⎢⎣⎡63- ⎥⎦⎤11-②X =⎢⎣⎡21⎥⎦⎤11-（⎢⎣⎡21 ⎥⎦⎤10⎢⎣⎡21 ⎥⎦⎤10）=⎢⎣⎡21 ⎥⎦⎤11-⎢⎣⎡41 ⎥⎦⎤10=⎢⎣⎡63- ⎥⎦⎤11- 可以验证结论：矩阵乘法满足结合律。

高二数学选修4-2~2.3 变换的复合与矩阵的乘法

分析：
3 4 后天的天气可用 1 4 即后天晴的概率为 1 13 161 3 24 288 来刻画， 2 11 127 3 24 288 ，阴的概率为 127 288 。
（1）求MN,NM (2)求 M (3)求 M
2 n
建构数学
3、三种运算律对比
例题与练习：
• 例2、已知梯形 ABCD, A(0,0),B(3,0),C(2,2),D(1,2),先将梯形作关于 x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90度， • 求连续两次变换所对应的变换矩阵M;
• 例2、已知梯形 ABCD, A(0,0),B(3,0),C(2,2),D(1,2),先将梯形作关于 x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90度， • 求连续两次变换所对应的变换矩阵M;
x x 2 x : y y y
集中记忆几种常见的平面变换:
1 0 单位矩阵E 1、恒等变换： 0 1 1 0 M 2、伸压变换： 1 沿y轴方向伸压，x轴上的点不动。 0 k
练一练如图示：在变换T作用下，正方形ABCD变成了矩形 A′B′C′D′，其中A,B,C,D的象点分别为A′，B′，C′，D′，则变换T对应的矩阵M为________;
161 288
注意：转移矩阵每列的元素的和应该为1,否则
做乘法时,容易出问题.
分析：
今天明天晴 M= 阴晴 3 4 1 4 阴 1 3 2 3
分析：
清晨的天气预报今天阴的概率为 1 2 ，则今天晴的概率为 1 2 ， 1 2 于是今天的天气可用N 来刻画，因此明天的天气可用 1 2 3 4 1 4 率为 1 1 13 13 3 2 24 ，阴的概来刻画，即明天晴的概率为 2 1 24 11 24 3 2 11 24 。

高中数学2.3变换的复合与矩阵的乘法课件苏教版选修4-2

矩阵乘法的简单性质
已知正方形 ABCD，点 A(1，0)、B(1，1)、C(0，1)、D(0，0)，变
1 换 T1 所对应的矩阵 M＝0
0 1，变换 2
T2
所对应的矩阵
N＝01
－10，计算 MN、
NM，比较它们是否相同，并从几何变换的角度予以解释.
【精彩点拨】利用具体的几何变换验证.
一个旋转变换与一个伸压变换的乘积一般不满足交换律.但两个旋转变换、两个反射变换满足交换律.
矩阵的乘法运算
(1)已知 A＝10 00，B＝00 01，计算 AB. (2)已知 A＝10 02，B＝01 －10，计算 AB，BA.
1 (3)已知 A＝21
2 【精彩点拨】
1 21，B＝－11 2
－11，计算 A2、B2.
利用矩阵乘法法则计算，根据矩阵乘法的几何意义说明.
这些计算只需利用矩阵的乘法公式即可，但对揭示矩阵乘法的性质却有着重要的意义.(1)中尽管 A、B 均为非零矩阵，但它们的乘积却是零矩阵；(2)中 AB≠BA；(3)中尽管 B≠C，但有 AB＝AC，这与一般数乘有着本质的区别；(4) 中 A2＝A，B2＝0，这里 0 是一个二阶零矩阵.
MN＝aa1211
a12b11 a22b21
bb1222＝aa1211bb1111＋＋aa1222bb2211
aa1211bb1122＋＋aa1222bb2222.
2.矩阵乘法的几何意义 (1)变换的复合：在数学中，一一对应的平面几何变换常可以看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换；对应的矩阵叫做初等变换矩阵. (2)矩阵乘法的几何意义：矩阵乘法 MN 的几何意义为：对向量 α＝xy连续实施的两次几何变换 (先 TN 后 TM )的复合变换.

2。3变换的复合与矩阵的乘法.

本文由chenjiweihua贡献 doc文档可能在WAP端浏览体验不佳。

建议您优先选择TXT，或下载源文件到本机查看。

高中数学湘教版选修 4－2 教案 §2.3 变换的复合与矩阵的乘法教学目标: 教学目标: 一、知识与技能：通过变换的实例，了解矩阵与矩阵的乘法的意义；掌握二阶矩阵的乘法法则，并能运用几何图形变换，说明矩阵乘法不满足交换律二、方法与过程借助实例的探究，引入复合变换，寻求二阶矩阵的乘法法则，发现矩阵乘法不满足交换律；通过具体情境的观察、类比、探索、交流和反思等数学活动，培养学生的创新意识，使学生掌握研究问题的方法，从而学会学习体会从具体到抽象再到具体的思想方法。

三、情感、态度与价值观新旧知识的联结，潷学生的求知欲及进一点探索的乐趣。

教学重点: 教学重点:二阶矩阵乘法法则及运用教学难点：教学难点：说明矩阵乘法不满足交换律难点教学过程一、复习引入：复习引入： 1、基本概念 ?a b? （1）二阶矩阵：由四个数 a ， b ， c ， d 排成的正方形数表 ? ? c d ? 称为二阶矩阵。

特别地， ? ? ? 称二阶矩阵 ? ? 0 0? ?1 0? ? 为零矩阵，简记为 0。

称二阶矩阵 ? ? ? 0 1 ?为二阶单位矩阵，记为 E 2 。

? ? 0 0? ? ? ? x? ? y? （2）向量：（ x , y ）向量是一对有序数对，x , y 叫做它的两个分量，且称 ? ? 为列向量， x , y ）（ ? ? 为行向量。

同时，向量、点以及有序实数对三者不加区别。

2、几类特殊线性变换及其二阶矩阵（1）线性变换在平面直角坐标系中，把形如 ? x ` = ax + by （其中 a ，b ，c ，d 为常数）的几何变换叫做线性 y ` = cx + dy ? 变换。

（2）旋转变换福建省霞浦第六中学郑卿第 1页高中数学湘教版选修 4－2 教案x ` = x cos α ? y sin α ? cos α 坐标公式为 ? ` ，变换对应的矩阵为? ? sin α ? ? y = x sin α + y cos α （3）反射变换①关于 x 的反射变换坐标公式为? sin α ? ? cos α ? ? x` = x ?1 0 ? 对应的二阶矩阵为 ? ? 0 ?1? ； ? ` ? ? ?y = ?y ?x ` = ?x ? ?1 0? 对应的二阶矩阵为 ? ? 0 1? ； ? ` ? ? ?y =y ②关于 y 的反射变换坐标公式为 ? x ` = y ?0 1? ③关于 y = x 的反射变换坐标公式为 ? ` 对应的二阶矩阵为 ? ?1 0? ； ? ? ? ?y = x （4）伸缩变换坐标公式为 ? x ` = k1 x ? k1 对应的二阶矩阵为 ? ` ?0 ? ? y = k2 y 0? ?； k2 ? ? （5）投影变换 x` = x ?1 0? 对应的二阶矩阵为 ? ①投影在 x 上的变换坐标公式为 ? ` ? 0 0? ； ? ? ? ?y =0 ②投影在 y 上的变换坐标公式为 ? x` = 0 ? 0 0? 对应的二阶矩阵为 ? ?0 1? ? ` ? ? ?y = y （6）切变变换 x ` = x + sy ? 1s ? ?1 0? 对应的二阶矩阵为 ? ①平行于 x 轴的切变变换坐标公式为 ? ? 0 1? ? s1 ? ?? ? ` ? ?? ? ? y =y ②平行于 y 轴的切变变换坐标公式为 ? x` = x ?1 0? 对应的二阶矩阵为 ? ? s 1? ? y ` = sx + y ? ? ? x1 ? ? x2 ? ?a b? 3、定理 1 设 A＝ ? ? c d ? ， X 1 = ? y ? ， X 2 = ? y ? ， t ， k 是实数。

高二数学(变换的复合与矩阵的乘法)学案

高二数学（变换的复合与矩阵的乘法）学案姓名【知识要点】1、熟练掌握二阶矩阵与二阶矩阵的乘法（１）两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡222212212122112122121211211211112221121122211211a a b a b a b a b b a b a b a b b b b b a a a a （２）两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律即 (AB)C=A(BC), AB ≠BA, 由 AB=AC 不一定能推出B=C. 2、理解矩阵的乘法运算与变换的复合之间的内在联系：（1）两个二阶矩阵相乘的结果从几何的角度来看它表示的是原来两个矩阵对应的连续两次变换.（2）一般地两个变换之间是不能随意交换位置的，只有在特殊情况下才可以交换位置（3）矩阵AB 对应的复合变换顺序是先进行矩阵B 对应的变换再进行矩阵A 对应的变换.如果连续对一个向量实施n 次矩阵A 对应的变换可以记为n A 的形式.（4）在数学中，一一对应的平面几何变换都可以看是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换，对应的矩阵叫做初等变换矩阵. 【例题选讲】例1、已知矩阵M=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-21232321和N=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-22222222 （1）求证：MN=NM（2）说明M 、N 所表示的几何变换，并从几何上说明满足MN=NM ．例２、记0,0a b k A S c d k ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，其中k R ∈，作矩阵乘法SA ，AS ，（1）运算结果有何规律？（2）S 与单位矩阵、零矩阵的关系？（3）当k>0时，矩阵S 对应的变换T S 有何几何意义？（4）研究T S 与伸压变换的关系？例3.已知2102A⎛⎫= ⎪⎝⎭，试分别计算：2A,3A,4A,n A例4、利用矩阵变换的几何意义，请构造满足下列条件的矩阵，并给出几何解释：（1）构造两个矩阵M，N，它们不满足MN=NM；（2）构造两个不同的矩阵A，B，使等式01010101A B⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦成立；（3）构造两个不同的矩阵A，B，使等式00000101A B⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦成立．例5、求关于直线y=3x的反射变换对应的矩阵A．高二数学（变换的复合与矩阵的乘法）作业姓名1、已知A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1220,B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2301则AB=____________,BA=______________2、⎥⎦⎤⎢⎣⎡101k =______⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 1103、1011⎛⎫ ⎪⎝⎭1002⎛⎫ ⎪⎝⎭1101⎛⎫ ⎪⎝⎭0111⎛⎫ ⎪⎝⎭＝4、1203⎛⎫ ⎪⎝⎭2312⎛⎫ ⎪⎝⎭4624-⎛⎫ ⎪-⎝⎭＝5、已知，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡10100111s p n m 则m= ，n= ，s= ．6、设,,a b R ∈若M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a 01把直线l ：2x+y+7=0变换为自身，则a = ，b = 7、设a ，b ∈R ，若矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b a 10把直线l ：2x+y-7=0变换为另一直线l ’：9x+y-91=0，试求a ，b 的值。

高中数学 2.3 变换的复合与矩阵的乘法 2.3.2 矩阵乘法的简单性质教案苏教版选修4-2(2

江苏省铜山县高中数学2.3 变换的复合与矩阵的乘法2.3.2 矩阵乘法的简单性质教案苏教版选修4-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省铜山县高中数学2.3 变换的复合与矩阵的乘法2.3.2 矩阵乘法的简单性质教案苏教版选修4-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为江苏省铜山县高中数学2.3 变换的复合与矩阵的乘法2.3.2 矩阵乘法的简单性质教案苏教版选修4-2的全部内容。

2.3.2矩阵乘法的简单性质乘法的运算律:（1）交换律例1已知正方形ABCD,A （0,0），B （1， 0），C （1，1），D （0，1）变换T 1对应矩阵为M ＝01⎡⎢⎣-10⎤⎥⎦,变换T 2对应矩阵为N ＝10⎡⎢⎣ 00.5⎤⎥⎦对应的变换，计算MN,NM ，比较它们是否相同,并从几何变换的角度解释. -1-0.50.511.5-1.5-1-0.500.51 1.5系列1系列2系列3 -1-0.500.511.5-1.5-1-0.500.511.5系列1系列2系列3(2）结合律(AB ）C ＝A （BC ）（3）消去律例2已知：A=1⎡⎢⎣⎤⎥⎦,B＝1⎡⎢⎣1⎤⎥⎦，C＝1⎡⎢⎣2⎤⎥⎦，计算AB,AC。

2017_2018学年高中数学2.3变换的复合与矩阵的乘法2.3.1矩阵乘法的概念课件苏教版选修4_2

2.3 变换的复合与矩阵的乘法
理解教材新知 2.3.1 矩阵乘法的概念把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三
2.3
变换的复合与矩阵的乘法
2．3.1
矩阵乘法的概念
1．二阶矩阵乘法法则：
a11 a12 b11 b12 a b ＝ a b 21 22 21 22 a11×b11＋a12b21 a11×b12＋a12×b22 . a21×b11＋a22b21 a21×b12＋a22×b22 __________________________________
1 3 (1)已知 A＝ 1 3
1 A＝ 0
1 1 3 3 ，B＝ 1 －1 3 3
1 －3 ，， B ＝ 3 －2
2 ，计算 AB，BA；并观察 AB 4
与 BA 相等吗？
[例 2]
已知矩阵
0 . 1
(1)若对平面上的图形 F 先实施 TM 变换，再把所得的图形实施 TN 变换，得到图形 F′，那么 F 与 F′有什么关系？ (2)计算 NM，若对平面上的图形 F 实施 TNM 变换，得到图形 F0，那么 F 与 F0 什么关系？ (3)根据(1)(2)，说明由矩阵 NM 确定的变换的几何意义．
0 1 2 －2
4 ，计算 AB，BA. 3
4 ； 6
1 解：AB＝ 0 1 BA＝－2
4 1 ＝ 3 －4
4 1 0 18 0 2＝－2 6. 3
矩阵 MN 的几何意义是对向量连续实施的两次变换(先 N 再 M)的复合变换，进行复合变换时，一定要注意先后顺序，顺序不同，所得变换结果就可能不同．

2017_2018学年高中数学2.3变换的复合与矩阵的乘法2.3.2矩阵乘法的简单性质课件苏教版选修4_2

2_3变换的复合与矩阵的乘法

高二数学变换的复合与矩阵的乘法

高中数学2.3变换的复合与矩阵的乘法2.3.1矩阵乘法的概念教学案苏教版选修0

【教育资料】2.3 2.3.1+2.3.2学习精品

2.3变换的复合与矩阵的乘法

变换的复合与二阶矩阵的乘法

26. 3变换的复合与矩阵的乘法

2.3变换的复合与矩阵的乘法

高二数学选修4-2~2.3 变换的复合与矩阵的乘法

高中数学2.3变换的复合与矩阵的乘法课件苏教版选修4-2

2。3变换的复合与矩阵的乘法.

高二数学(变换的复合与矩阵的乘法)学案

高中数学 2.3 变换的复合与矩阵的乘法 2.3.2 矩阵乘法的简单性质教案 苏教版选修4-2(2

2017_2018学年高中数学2.3变换的复合与矩阵的乘法2.3.1矩阵乘法的概念课件苏教版选修4_2

高中数学 2.3 变换的复合与矩阵的乘法 2.3.2 矩阵乘法的简单性质教案苏教版选修4-2(2