图的连通性总结
图的连通性判断算法的时间复杂度
图的连通性判断算法的时间复杂度图是数学中一种常见的数据结构，在计算机科学中也有广泛的应用。
图由节点（顶点）和边组成，表示了不同元素之间的关系。
在图中，如果每个节点都可以通过路径相互到达，则该图被称为连通图，否则被称为非连通图。
图的连通性判断算法指的是判断给定的图是否是连通图的问题。
常见的图的连通性判断算法包括深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）算法。
接下来，将分别介绍这两种算法，并分析它们的时间复杂度。
一、深度优先搜索（DFS）算法深度优先搜索算法是一种递归的算法，通过访问节点的方式来遍历整个图。
DFS算法首先选择一个节点作为起始节点，然后通过递归地访问与该节点相邻的节点，直到没有未访问过的节点。
如果所有的节点都被访问过，则图是连通的；否则，图是非连通的。
DFS算法的时间复杂度取决于图的大小和结构。
假设图有n个节点和m条边，那么DFS算法的时间复杂度为O(n + m)。
在最坏的情况下，每个节点都需要被访问一次，并且每个节点都需要遍历它的所有相邻节点。
二、广度优先搜索（BFS）算法广度优先搜索算法是一种迭代的算法，通过按层级的方式遍历整个图。
BFS算法首先选择一个节点作为起始节点，然后按照从起始节点开始的顺序，依次访问每个节点的所有相邻节点。
通过不断扩展搜索的范围，直到所有节点都被访问过。
如果所有的节点都被访问过，则图是连通的；否则，图是非连通的。
BFS算法的时间复杂度也取决于图的大小和结构。
假设图有n个节点和m条边，那么BFS算法的时间复杂度为O(n + m)。
在最坏的情况下，每个节点都需要被访问一次，并且每次访问时都需要遍历其所有相邻节点。
总结：图的连通性判断算法的时间复杂度分别为O(n + m)的DFS算法和BFS算法。
其中，n表示图的节点数，m表示图的边数。
这两种算法在连通性判断问题上表现良好，并且可以在较短的时间内找到问题的解答。
需要注意的是，虽然DFS和BFS可以用于判断图的连通性，但它们在处理大规模图时可能存在效率问题。
离散图论知识点总结
离散图论知识点总结一、基本概念图（Graph）是离散数学中的一个重要概念，它由顶点集合V和边集合E组成。
一般用G （V，E）来表示，其中V={v1,v2,…,vn}是有限非空集合，E是V中元素的无序对的集合。
图分为有向图和无向图。
无向图中的边是无序的，有向图中的边是有序的。
图中存在一些特殊的图，比如完全图、树、路径、回路等。
二、图的表示方法1. 邻接矩阵邻接矩阵是一种常见的图的表示方法，它使用一个二维数组来表示图的关系。
对于一个n 个顶点的图，邻接矩阵是一个n*n的矩阵A，其中A[i][j]表示顶点i到顶点j之间是否存在边。
对于无向图，A[i][j]=1表示顶点i与顶点j之间存在边，A[i][j]=0表示不存在。
对于有向图，A[i][j]=1表示i指向j的边存在，A[i][j]=0表示不存在。
2. 邻接表邻接表是另一种常见的图的表示方法。
它将图的信息储存在一个数组中，数组的每个元素与图的一个顶点相对应。
对于每个顶点vi，数组中储存与该顶点邻接的顶点的信息。
邻接表可以用链表或者数组来表示，链表表示的邻接表比较灵活，但是在查找某个边的相邻顶点时需要遍历整个链表。
三、图的性质1. 度图中每个顶点的度是与其相邻的边的数目。
对于无向图，顶点的度等于与其相邻的边的数目；对于有向图，则分为入度和出度。
2. 连通性对于无向图G，若图中任意两个顶点都有路径相连，则称图G是连通的。
对于有向图G，若从任意一个顶点vi到任意一个顶点vj都存在路径，则称G是强连通的。
3. 路径和回路路径是指图中一系列的边，连接图中的两个顶点；回路是指起点与终点相同的路径。
路径的长度是指路径中边的数目。
4. 树和森林一个无向图，如果是连通图且不存在回路，则称为树。
一个无向图，若它不是连通图，则称为森林。
四、图的常见算法1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于图的遍历的算法，它从图的某个顶点vi出发，访问它的所有邻接顶点，再对其中未访问的顶点继续深度优先搜索。
图连通性算法及应用
图连通性算法及应用图是计算机科学领域中常见的数据结构，用于表示对象之间的关系。
在图论中，图的连通性是一个重要的概念，指的是在图中任意两个顶点之间是否存在路径。
图连通性算法是为了判断图中的连通性而设计的算法，并且在实际应用中有着广泛的应用。
一、连通性的定义与分类在图论中，连通性有两种常见的定义方式：强连通性和弱连通性。
强连通性是指在有向图中，任意两个顶点之间存在互相可达的路径；弱连通性是指在有向图中，将其所有有向边的方向忽略后，剩下的无向图是连通的。
本文将重点介绍无向图的连通性算法及其应用。
二、连通性算法的原理1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是最常用的连通性算法之一。
它从图中的一个顶点开始，沿着一条未访问过的边深入图中的下一个顶点，直到无法深入为止，然后回溯至上一个顶点，继续深入其他未访问过的顶点。
通过深度优先搜索算法，我们可以得到一个图的连通分量，从而判断图是否连通。
2. 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索同样是常用的连通性算法之一。
它从图中的一个顶点开始，沿着一条未访问过的边遍历与该顶点直接相邻的所有顶点，然后再以这些相邻顶点为起点，继续遍历它们的相邻顶点，直到遍历完所有连通的顶点。
通过广度优先搜索算法，我们可以得到一个图的层次遍历树，从而判断图是否连通。
三、连通性算法的应用1. 社交网络分析在社交网络分析中，连通性算法可以用来判断一个社交网络中是否存在分割成多个互不相连的社群。
通过判断社交网络的连通性，我们可以发现隐藏在社交网络背后的关系网络，从而更好地理解和分析社会关系。
2. 网络路由优化在计算机网络中，连通性算法可以用来判断网络节点之间的连通性。
通过分析网络的拓扑结构，我们可以选择合适的路由算法，从而实现快速且可靠的数据传输。
3. 图像分割在计算机视觉和图像处理中，连通性算法可以用来判断图像中的连通区域。
通过判断图像的连通性，我们可以对图像进行分割和提取，从而实现目标检测和图像识别等应用。
离散数学图论(图、树)常考考点知识点总结
离散数学图论（图、树）常考考点知识点总结图的定义和表示1.图：一个图是一个序偶＜V , E ＞，记为G =< V ，E >，其中：① V ={V1,V2,V3,…, Vn}是有限非空集合，Vi 称为结点，V 称为节点集② E 是有限集合，称为边集，E中的每个元素都有V中的结点对与之对应，称之为边③与边对应的结点对既可以是无序的，也可以是有序的表示方法集合表示法，邻接矩阵法2.邻接矩阵：零图的邻接矩阵全零图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点，两个端点相同的边称为环或者自回路3.零图：仅有孤立节点组成的图4.平凡图：仅含一个节点的零图无向图和有向图5.无向图：每条边都是无向边的图有向图：每条边都是有向边的图6.多重图：含有平行边的图(无向图中，两结点之间包括结点自身之间的几条边；有向图中同方向的边)7.线图：非多重图8.重数：平行边的条数9..简单图：无环的线图10.子图，真子图，导出子图，生成子图，补图子图：边和结点都是原图的子集，则称该图为原图的子图真子图（该图为原图的子图，但是不跟原图相等）11.生成子图：顶点集跟原图相等，边集是原图的子集12.导出子图：顶点集是原图的子集，边集是由顶点集在原图中构成的所有边构成的图完全图（任何两个节点之间都有边）13.完全图：完全图的邻接矩阵主对角线的元素全为0，其余元素都是114.补图：完全图简单图15.自补图：G与G的补图同构，则称自补图16.正则图：无向图G=<V,E>,如果每个顶点的度数都是k，则图G称作k-正则图17.结点的度数利用邻接矩阵求度数：18.握手定理：图中结点度数的总和等于边数的两倍推论：度数为奇数的结点个数为偶数有向图中，所有结点的入度=出度=边数19.图的度数序列：出度序列+入度序列20.图的同构：通俗来说就是两个图的顶点和边之间有双射关系，并且每条边对应的重数相同（也就是可任意挪动结点的位置，其他皆不变）21.图的连通性及判定条件可达性：对节点vi 和vj 之间存在通路，则称vi 和vj 之间是可达的22.无向图的连通性：图中每两个顶点之间都是互相可达的23..强连通图：有向图G 的任意两个顶点之间是相互可达的判定条件：G 中存在一条经过所有节点至少一次的回路24.单向连通图：有向图G 中任意两个顶点之间至少有一个节点到另一个节点之间是可达的判定条件：有向图G 中存在一条路经过所有节点25.弱连通图：有向图除去方向后的无向图是连通的判定条件：有向图邻接矩阵与转置矩阵的并是全一的矩阵26.点割：设无向图G=<V,E>为联通图，对任意的顶点w  V,若删除w及与w相关联的所有边后，无向图不再联通，则w称为割点；27.点割集：设无向图G=<V,E>为连通图，若存在点集 ，当删除 中所有顶点及与V1顶点相关联的所有边后，图G不再是联通的；而删除了V1的任何真子集 及与V2中顶点先关的所有边后，所得的子图仍是连通图，则称V1是G的一个点割集设无向图G=<V,E>为连通图，任意边e  E,若删除e后无向图不再联通，则称e 为割边，也成为桥28.边割集：欧拉图，哈密顿图，偶图（二分图），平面图29.欧拉通路（回路）：图G 是连通图，并且存在一条经过所有边一次且仅一次的通路（回路）称为拉通路（回路）30.欧拉图：存在欧拉通路和回路的图31.半欧拉图：有通路但没有欧拉回路32.欧拉通路判定：图G 是连通的，并且有且仅有零个或者两个奇度数的节点欧拉回路判定：图G 是连通的，并且所有节点的度数均为偶数有向欧拉图判定：图G 是连通的，并且所有节点的出度等于入度33.哈顿密图：图G 中存在一条回路，经过所有点一次且仅一次34..偶图：图G 中的顶点集被分成两部分子集V1,V2，其中V1nV2= o ,V1UV2= V ，并且图G 中任意一条边的两个端点都是一个在V1中，一个在V2中35.平面图：如果把无向图G 中的点和边画在平面上，不存在任何两条边有不在端点处的交叉点，则称图G 是平面图，否则是非平面图36.图的分类树无向树和有向树无向树：连通而不含回路的无向图称为无向树生成树：图G 的某个生成子图是树有向树：一个有向图，略去所有有向边的方向所得到的无向图是一棵树最小生成树最小生成树：设G -< V . E 是连通赋权图，T 是G 的一个生成树，T 的每个树枝所赋权值之和称为T 的权，记为W ( T . G 中具有最小权的生成树称为G 的最小生成树最优树（哈夫曼树）设有一棵二元树，若对所有的树叶赋以权值w1,w2… wn ，则称之为赋权二元树，若权为wi 的叶的层数为L ( wi )，则称W ( T )= EWixL ( wi ）为该赋权二元树的权，W ）最小的二元树称为最优树。
dfs常用命令
DFS常用命令1. 什么是DFSDFS（Depth First Search，深度优先搜索）是一种用于遍历或搜索图或树的算法。
它从一个起始节点开始，沿着路径直到达到最深的节点，然后回溯到前一个节点并继续探索其他路径。
DFS通常使用递归或栈来实现。
2. DFS的应用场景DFS在许多领域都有广泛的应用，包括图形算法、人工智能、网络路由等。
下面是一些常见的DFS应用场景：2.1 图的连通性DFS可以用于判断图的连通性。
从一个起始节点开始，通过DFS遍历图中的所有节点，如果能够访问到所有节点，则图是连通的。
2.2 图的拓扑排序DFS可以用于对有向无环图进行拓扑排序。
拓扑排序是将图中的节点按照依赖关系进行排序的过程。
通过DFS可以得到一个拓扑排序的序列。
2.3 回溯算法回溯算法是一种通过尝试所有可能的解来求解问题的方法。
DFS可以用于实现回溯算法。
在回溯算法中，DFS用于遍历所有可能的解空间。
2.4 迷宫求解DFS可以用于解决迷宫问题。
通过DFS可以遍历迷宫中的所有路径，找到一条从起点到终点的路径。
3. DFS常用命令在使用DFS算法时，我们需要掌握一些常用的命令来实现DFS的功能。
下面是一些常用的DFS命令：3.1 dfs(node)该命令用于从节点node开始进行DFS遍历。
它会递归地访问node的邻居节点，并继续向下递归访问邻居的邻居节点，直到到达最深的节点。
3.2 visited[node]该命令用于标记节点node是否已经被访问过。
在DFS遍历过程中，我们可以使用一个布尔数组visited来记录每个节点的访问状态。
3.3 stack.push(node)该命令用于将节点node压入栈中。
在DFS算法中，我们通常使用一个栈来保存待访问的节点。
每次访问一个节点时，将其邻居节点压入栈中。
3.4 stack.pop()该命令用于从栈中弹出一个节点。
在DFS算法中，我们通常在访问完一个节点的所有邻居节点后，将该节点从栈中弹出。
拓扑结构知识点总结
拓扑结构知识点总结拓扑结构是图论中的一个重要概念，它是指图中各个点之间的连接关系。
拓扑结构的研究对于理解和解决计算机网络、社交网络、交通网络等实际问题具有重要意义。
在这篇文章中，我们将系统地总结拓扑结构的知识点，包括拓扑结构的定义、性质、常见类型以及拓扑结构在实际问题中的应用。
一、拓扑结构的定义拓扑结构是图论中的一个重要概念，它描述了图中各个点之间的连接关系。
在拓扑结构中，点和边是图的基本元素。
点表示图中的节点，边表示节点之间的连接关系。
图可以用一个三元组(G,V,E)来表示，其中G表示图，V表示图中的节点集合，E表示图中的边集合。
拓扑结构描述了图中各个节点之间的连接方式，因此它可以帮助我们理解和分析图中的各种关系。
二、拓扑结构的性质1. 连通性：拓扑结构中的一个重要性质是连通性。
连通性是指图中任意两个节点之间都存在一条路径。
如果图中任意两个节点之间都存在一条路径，则称该图是连通图，否则称为非连通图。
连通图与非连通图在拓扑结构中具有不同的性质，因此连通性是一个图的重要性质。
2. 无向图和有向图：根据图中边的方向，可以将图分为无向图和有向图。
在无向图中，边的方向没有明确的规定；而在有向图中，每条边都有一个明确的方向。
无向图和有向图在拓扑结构中具有不同的性质，因此它们的研究和分析方法也有所不同。
3. 权重：在一些实际问题中，图的边上可能会有一些权重。
这些权重可以表示边的长度、成本、距离等属性。
拓扑结构中的权重可以帮助我们更好地理解图中的关系，并对图进行相关的分析和优化。
三、常见类型的拓扑结构1. 树：树是一种特殊的图，它是一种没有环的连通图。
树有许多重要的性质，例如树中任意两个节点之间都存在唯一的路径，树的边数比节点数少1，树中任意两个节点之间都有一条唯一的简单路径等。
由于这些性质，树在实际问题中有着广泛的应用，例如在计算机科学、网络设计、组织结构设计等方面。
2. 网状拓扑：网状拓扑是一种分布式拓扑结构，它是由多个节点之间相互连接而成的。
图论常考知识点总结
图论常考知识点总结1. 图的基本概念图是由顶点集合和边集合构成的。
顶点之间的连接称为边，边可以有方向也可以没有方向。
若图的边没有方向，则称图为无向图；若图的边有方向，则称图为有向图。
图的表示方式：邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵适合存储稠密图，邻接表适合存储稀疏图。
2. 图的连通性连通图：如果图中任意两点之间都存在路径，则称该图是连通图。
强连通图：有向图中，任意两个顶点之间都存在方向相同的路径，称为强连通图。
弱连通图：有向图中，去掉每条边的方向之后，所得到的无向图是连通图，称为弱连通图。
3. 图的遍历深度优先搜索（DFS）：从起始顶点出发，沿着一条路往前走，走到不能走为止，然后退回到上一个分支点，再走下一条路，直到走遍图中所有的顶点。
广度优先搜索（BFS）：从起始顶点出发，先访问它的所有邻居顶点，再按这些邻居顶点的顺序依次访问它们的邻居顶点，依次类推。
4. 最短路径狄克斯特拉算法：用于计算图中一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
弗洛伊德算法：用于计算图中所有顶点之间的最短路径。
5. 最小生成树普里姆算法：用于计算无向图的最小生成树。
克鲁斯卡尔算法：用于计算无向图的最小生成树。
6. 拓扑排序拓扑排序用于有向无环图中对顶点进行排序，使得对每一条有向边(u,v)，满足排序后的顶点u在顶点v之前。
以上就是图论中一些常考的知识点，希望对大家的学习有所帮助。
当然，图论还有很多其他的知识点，比如欧拉图、哈密顿图、网络流等，这些内容都值得我们深入学习和探讨。
图论在实际应用中有着广泛的应用，掌握好图论知识对于提升计算机科学和工程学的技能水平有着重要的意义。
图的点连通度边连通度总结
图的点连通度边连通度总结点连通度的定义：一个具有N个点的图G中，在去掉任意k-1个顶点后（1<=k<=N）,所得的子图仍然连通，去掉K个顶点后不连通，则称G是K连通图，K称作图G的连通度，记作K（G）。
独立轨：A，B是图G（有向无向均可）的两个顶点，我们称为从A到B的两两无公共内顶点的轨为独立轨，其最大的条数记作p(A,B)。
在上图中有一个具有7个定点的连通图，从顶点1到顶点3有3条独立轨，即p(1,3)=3; 1—2—3 , 1—7—3 , 1—6—5—4—3如果分别从这3条独立轨中，每条轨抽出一个内点，在G图中删掉，则图不连通。
若连通图G的两两不相邻顶点间的最大独立轨数最小的P（A，B）值即为K（G）。
若G为完全图（两两点可达），则K（G）=n-1，即完全把某个点的所有边删掉后才不连通。
既然独立轨是只能经过一次的边，那么可以构造网络流模型，其中每条边的容量为1，就可以限制只经过一次。
构建网络流模型：若G为无向图：（1）原G图中的每个顶点V变成N网中的两个顶点V`和V``,顶点V`至V``有一条弧容量为1；（2）原图G中的每条边e=UV，在N网中有两条弧e`=U``V`,e``=V``U`与之对应，e`与e``容量均为无穷；（3）以A``为源点，B`为汇点，求最大流。
若G为有向图（1）原G图中的每个顶点V变成N网中的两个顶点V`和V``,顶点V`至V``有一条容量为1的弧；（2）原G图中的每条弧e=UV变成一条有向轨U`U``V`V``,其中轨上的弧U``V`的容量为无穷；（3）以A``为源点，B`为汇点求最大流。
上面的模型只是求出了以A为源点B为汇点的最大流max_flow，等价于在G中只要去掉max_flow个点就会使得A与B不连通。
而图的连通度是要求去掉最少的点使得整个图不连通，做法是固定一个点为源点，枚举与源点不相邻的点为汇点，求最大流。
在所有的枚举结果中最小的max_flow值就是要求的K(G).注意如果某次枚举的汇点求出的最大流为无穷则说明此此枚举的源点与汇点是强连通的。
Python编程实例：计算图的连通分量
06
总结与展望
总结连通分量计算的重要性和应用场景
连通分量计算是图论中的基本问题，对于理解图的结构和性质至关重 要。
连通分量计算在社交网络分析、网页排名、图像分割等领域有着广泛 的应用。
连通分量计算可以帮助我们更好地理解数据的分布和关联，从而为实 际问题提供有效的解决方案。
未来，随着图数据的不断增加，连通分量计算的重要性和应用场景将 会更加广泛。
计算连通分量：使用 networkx库的
connected_compon ents函数
输出结果：将计算 结果打印或保存到 文件中
05
连通分量计算的应用
在社交网络分析中的应用
社交网络中的连通分量：表 示社交网络中相互连接的用 户群体
连通分量的应用：分析社交 网络的结构和特性，例如找 出核心用户群、检测社交网 络中的社区结构等
添加标题
顶点表：存储图中所有顶点的信息，如顶点编号 、顶点名称等
添加标题
边表：存储图中所有边的信息，如起始顶点、终 止顶点、边的权重等
添加标题
邻接表表示法的优点：易于实现图的基本操作， 如添加顶点、删除顶点、添加边、删除边等
添加标题
邻接表表示法的缺点：占用空间较大，不适合表 示稀疏图
添加标题
Python实现图的连通分量计算时，可以使用邻接 表表示法来存储图结构，方便地进行图的遍历和 操作。
在交通运输网络中的应用
计算图的连通分量可以帮助我们理解交通运输网络的结构
通过计算连通分量，可以找出交通网络的关键节点和关键路径
在交通网络优化中，连通分量的计算可以帮助我们找到最优的交通路 线
连通分量的计算还可以帮助我们预测交通网络的拥堵情况，并采取相 应的措施进行缓解
图论总结（超强大）
图论总结（超强⼤）1.图论Graph Theory1.1.定义与术语Definition and Glossary1.1.1.图与⽹络Graph and Network1.1.2.图的术语Glossary of Graph1.1.3.路径与回路Path and Cycle1.1.4.连通性Connectivity1.1.5.图论中特殊的集合Sets in graph1.1.6.匹配Matching1.1.7.树Tree1.1.8.组合优化Combinatorial optimization1.2.图的表⽰Expressions of graph1.2.1.邻接矩阵Adjacency matrix1.2.2.关联矩阵Incidence matrix1.2.3.邻接表Adjacency list1.2.4.弧表Arc list1.2.5.星形表⽰Star1.3.图的遍历Traveling in graph1.3.1.深度优先搜索Depth first search (DFS)1.3.1.1.概念1.3.1.2.求⽆向连通图中的桥Finding bridges in undirected graph1.3.2.⼴度优先搜索Breadth first search (BFS)1.4.拓扑排序Topological sort1.5.路径与回路Paths and circuits1.5.1.欧拉路径或回路Eulerian path1.5.1.1.⽆向图1.5.1.2.有向图1.5.1.3.混合图1.5.1.4.⽆权图Unweighted2.Hamiltonian Cycle 哈⽒路径与回路1.5.2.1.⽆权图Unweighted1.5.2.2.有权图Weighed —旅⾏商问题The travelling salesman problem1.6.⽹络优化Network optimization1.6.1.最⼩⽣成树Minimum spanning trees1.6.1.1.基本算法Basic algorithms1.6.1.1.1.Prim1.6.1.1.2.Kruskal1.6.1.1.3.Sollin（Boruvka）1.6.1.2.扩展模型Extended models1.6.1.2.1.度限制⽣成树Minimum degree-bounded spanning trees1.6.1.2.2.k⼩⽣成树The k minimum spanning tree problem(k-MST)1.6.2.最短路Shortest paths1.6.2.1.单源最短路Single-source shortest paths1.6.2.1.1.基本算法Basic algorithms1.6.2.1.1.1. ..................................................................................................... D ijkstra1.6.2.1.1.2. .......................................................................................... B ellman-Ford1.6.2.1.1.2.1.....................................Shortest path faster algorithm(SPFA)1.6.2.1.2.应⽤Applications1.6.2.1.2.1. ........................... 差分约束系统System of difference constraints2.1.2.2. .......................... 有向⽆环图上的最短路Shortest paths in DAG1.6.2.2.所有顶点对间最短路All-pairs shortest paths1.6.2.2.1.基本算法Basic algorithms1.6.2.2.1.1. ....................................................................................... F loyd-Warshall1.6.2.2.1.2. .................................................................................................... Johnson 1.6.3.⽹络流Flow network1.6.3.1.最⼤流Maximum flow1.6.3.1.1.基本算法Basic algorithms1.6.3.1.1.1. ........................................................................ Ford-Fulkerson method 1.6.3.1.1.1.1.......................................................... E dmonds-Karp algorithm1.6.3.1.1.1.1.1. ................................................... M inimum length path1.6.3.1.1.1.1.2. ........................................... Maximum capability path1.6.3.1.1.2. ............................................... 预流推进算法Preflow push method1.6.3.1.1.2.1.................................................................................. P ush-relabel1.6.3.1.1.2.2........................................................................... Relabel-to-front1.6.3.1.1.3. .......................................................................................... Dinic method1.6.3.1.2.扩展模型Extended models1.6.3.1.2.1. ............................................................................... 有上下界的流问题1.6.3.2.最⼩费⽤流Minimum cost flow1.6.3.2.1.找最⼩费⽤路Finding minimum cost path1.6.3.2.2.找负权圈Finding negative circle2.3.⽹络单纯形Network simplex algorithm1.6.4.匹配Matching1.6.4.1.⼆分图Bipartite Graph1.6.4.1.1.⽆权图-匈⽛利算法Unweighted - Hopcroft and Karp algorithm1.6.4.1.2.带权图-KM算法Weighted –Kuhn-Munkres(KM) algorithm1.6.4.2.⼀般图General Graph1.6.4.2.1.⽆权图-带花树算法Unweighted - Blossom (Edmonds)1.图论Graph Theory1.1. 定义与术语Definition and Glossary1.1.1.图与⽹络Graph and Network⼆元组(),V E称为图(graph)。
图论课期末总结
图论课期末总结首先，我在课程中学习了图的基本概念和性质。
图是由一组顶点和一组边组成的数据结构，可以用来描述很多现实生活中的问题。
在图的定义中，顶点表示问题中的对象，而边表示对象之间的关系。
图可以分为有向图和无向图，有向边表示关系有方向性，无向边表示关系无方向性。
另外，图还可以分为带权图和非带权图，带权图中的边上有权重，非带权图中的边没有权重。
接着，我学习了图的连通性和路径的概念。
在图中，如果任意两个顶点之间都存在路径，那么这个图就是连通的。
连通图中的任意两个顶点都是连通的，非连通图中存在孤立的顶点。
路径是从一个顶点出发，经过若干个顶点，到达另一个顶点的序列。
在有向图中，路径有方向性，即从起点到终点的方向。
而在无向图中，路径没有方向性，即可以从任意一端出发。
然后，我学习了图的表示方法。
常见的图的表示方法有邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵是一个二维数组，其中数组的行和列分别代表图的顶点，数组元素的值表示顶点之间是否有边相连。
邻接表是由一组链表组成的数据结构，链表的每个节点表示一个顶点，链表节点中存储了与该顶点相邻的其他顶点。
除了学习图的基本概念和表示方法，我还学习了一些图的算法和应用。
其中包括最短路径算法、最小生成树算法和网络流算法等。
最短路径算法是用来寻找图中两个顶点之间最短路径的算法，其中最著名的算法是Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
最小生成树算法是用来寻找连通图中一棵包含所有顶点的生成树的算法，其中最著名的算法是Prim算法和Kruskal算法。
网络流算法是用来解决网络中最大流和最小割问题的算法，其中最著名的算法是Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法。
在图的应用方面，图论在计算机科学、通信网络、交通运输等领域都有广泛的应用。
在计算机科学中，图可以用来表示网页链接、社交网络和路由问题等。
在通信网络中，图可以用来建模网络拓扑和路由算法。
在交通运输中，图可以用来建模交通流量和路径规划。
拓扑学第五章-连通性
第五章 连通性普通几何中的图形“连通”性是一个非常直观的概念，似乎无需给出数学的定义。
然而，对于一些复杂的图形，单凭直观是不行的，例如：例： 设2E 的一个子集（曲线）有,A B 两部分构成，其中1{(,sin )(0,1)}A x x x=∈{(0,)11}B y y =-≤≤如右图，细线为A ，粗线为B ，我们很难判断它们是否连通的。
▲有两种描述图形连通的方法： 1）、利用集合是否相交来判定；2）、利用任何亮点是否有图形内的线段相连。
前者称为“连通性”，后者称为“道路连通性”。
在上例中，X 是连通的，但是，不是道路连通的。
§5-1 连通空间先看一个例子：考虑R 上的两个子集(0,1)与[1,2)。
它们是不交的，（即交为空集）。
但是，它们的并为(0,2)却构成了一个“整体”；而(0,1)与(1,2)也是不相交的，但它们的并仍是两个部分。
原因是：(0,1)的一个聚点1，属于[1,2)，而不属于(1,2)。
为此，给出一个“分离”的概念。
定义1 设A 和B 是拓扑空间X 的两个非空子集，如果A B ⋂=∅与A B ⋂=∅，则称A 与B 是分离的。
定义2 称拓扑空间X 是连通的，如果X 不能表示为两个非空分离集合的并。
●显然，连通与下面几种说法是等价的。
① X 不能分解为两个非空不相交开集的并； ② X 不能分解为两个非空不相交闭集的并； ③ X 没有既开又闭的非空真子集； ④ X 中只有X 和∅是既开又闭的。
上述的四种说法与连通是等价的，可以作为习题，有同学们自己去证明。
例1 （1）(,)f R τ是连通的，因为它的任意两个非空开集一定相交。
（2）双曲线不连通，它的两支是互不相交的的非空闭集。
（3）1E 空间是连通的。
结论（3）是明显的。
但是，人们常常里利用已知连通空间论证其它空间的连通性，所以，1E 常常被作为论证一维流形连通的出发点。
因此，有必要去证明一下。
证明的思路：1E 中任何非空真子集不可能既是闭的又是开的，则1E 是连通的。
图的基本概念(连通性)汇总
V=vertex E=edge
有向图： 图G中的每条边都是有方向的； 无向图： 图G中的每条边都是无方向的；
若 n 个顶点的无向图有 n(n-1)/2 条边, 称为无向完全图 若 n 个顶点的有向图有n(n-1) 条边, 称为有向完全图
例：判断下列4种图形各属什么类型？
无向完全图
无向图(树)
有向图
图的基本概念遍历以及拓扑排序算法
2009年7月15日
什么是图？
什么是图?可用一句话概括，即：图是用点 和线来刻划离散事物集合中的每对事物间以 某种方式相联系的数学模型.因为它显得太 抽象，不便于理解，所以有必要给出另外的 回答.
1 图的基本术语
图：记为 G＝( V, E ) 其中：V 是G的顶点集合，是有穷非空集； E 是G的边集合，是有穷集。
路径： 在图 G＝(V, E) 中, 若从顶点 vi 出发, 沿一些边经过一
连通图：
在无向图中, 若从顶点v1到顶点v2有路径, 则称 顶点v1与v2是连通的。如果图中任意一对顶点 都是连通的, 则称此图是连通图。 非连通图的极大连通子图叫做连通分量。
强连通图： 在有向图中, 若对于每一对顶点vi和vj, 都存在一条从
0 1 0 0 1 0 1 0
0 0 1 0 1 1 0 0
1 2 3 4 5
例2 ：有向图的邻接矩阵
v1 v2 v4
A
v3
顶点表： 邻 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 v1 v2 v3 v4
A.Edge =
注：在有向图的邻接矩阵中， 第i行含义：以结点vi为起点的边(即出边）； 第i列含义：以结点vi为终点的弧(即入边）。
特别讨论 ：网（即有权图）的邻接矩阵
图的连通性
有向图中，极大强连通子图=强连通分量
G1的两个强连通分量 G1
V’是连通图G的一个顶点子集。在G中删去V’及与V’ 相关联的边后图不连通，则称V’是G的割顶集。 最小割顶集中顶点的个数，记成K(G)，叫做G的连通度。
规定： K(完全图)＝顶点数-1 K(不连通图)＝K(平凡图)＝0
K(G)＝l时，割顶集中的那个顶点叫做割顶。 没有割顶的图叫做块，G中成块的极大子图叫做G的块。
LOW(U)值的计算步骤如下：
在算法执行中，对任何顶点U计算LOW(U)值是不断修改 的，只有当以U为根的dfs子树和后代的LOW值、dfn值产 生后才停止。
图中（7，1）应为（7，7）
如r被选为根，则r 成为割顶当且仅当 它有不止一个儿子 点。
顶点U的标号函数LOW(U): LOW(U)=min{dfn(),LOW(s),dfn(W)} 其中：S是U的一个儿子，（U，W）是后向边
LOW(U)是U或U的后代所能追溯到的最早 （序号小）的祖先结点序号。
顶点U<>r作为图的割顶当且仅当U有一个儿子， 使得LOW(S)>=dfn(U),即S和S的后代不会追溯 到比U更早的祖先点。
G1 K(G1)=0
G2 K(G2)=1
G3 K(G3)=3
G4 K(G4)=5-1=
威廉王迷宫
前向边（实线部分） 后向边（虚线部分） Dfn(x):顶点x被首次访问的次序。 Dfn(x)=I表示x是第I个首次被访问的节点 称为深度优先搜索序数。
Dfs树
如U不是根，U成 为割顶当且仅当 存在U的某一个儿 子顶点S，从S或S 的后代点到U的祖 先点之间不存在 后向边
图的连通性
G1
G2
在无向图中，如果从顶点V到V’有路径，则称V和V’是连通的。 在有向图中，如果从顶点V到V’有路径，并且从V’到V有路径， 则称V和V’是强连通的。 如果对于图中任意两个顶点Vi,Vj,Vi和Vj都是连通的，则称连通图。
图论知识点总结笔记
图论知识点总结笔记一、图的基本概念1. 图的定义图是由节点（顶点）和连接节点的边构成的一种数据结构。
图可以用来表示各种关系和网络，在计算机科学、通信网络、社交网络等领域有着广泛的应用。
在图论中，通常将图记为G=(V, E)，其中V表示图中所有的节点的集合，E表示图中所有的边的集合。
2. 节点和边节点是图中的基本单位，通常用来表示实体或者对象。
边是节点之间的连接关系，用来表示节点之间的关联性。
根据边的方向，可以将图分为有向图和无向图，有向图的边是有方向的，而无向图的边是没有方向的。
3. 度度是图中节点的一个重要度量指标，表示与该节点相连的边的数量。
对于有向图来说，可以分为入度和出度，入度表示指向该节点的边的数量，出度表示由该节点指向其他节点的边的数量。
4. 路径路径是图中连接节点的顺序序列，根据路径的性质，可以将路径分为简单路径、环路等。
在图论中，一些问题的解决可以归结为寻找合适的路径，如最短路径问题、汉密尔顿路径问题等。
5. 连通性图的连通性是描述图中节点之间是否存在路径连接的一个重要特征。
若图中每一对节点都存在路径连接，则称图是连通的，否则称图是非连通的。
基于图的连通性，可以将图分为连通图和非连通图。
6. 子图子图是由图中一部分节点和边组成的图，通常用来描述图的某个特定属性。
子图可以是原图的结构副本，也可以是原图的子集。
二、图的表示1. 邻接矩阵邻接矩阵是一种常见的图表示方法，通过矩阵来表示节点之间的连接关系。
对于无向图来说，邻接矩阵是对称的，而对于有向图来说，邻接矩阵则不一定对称。
2. 邻接表邻接表是另一种常用的图表示方法，它通过数组和链表的组合来表示图的节点和边。
对于每一个节点，都维护一个邻接点的链表，通过链表来表示节点之间的连接关系。
3. 关联矩阵关联矩阵是另一种图的表示方法，通过矩阵来表示节点和边的关联关系。
关联矩阵可以用来表示有向图和无向图，是一种比较灵活的表示方法。
三、常见的图算法1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种常见的图遍历算法，通过递归或者栈的方式来遍历图中所有的节点。
像素点的连通的计算方法
像素点的连通的计算方法像素点的连通是计算机图形学中的重要概念之一，它描述了图像中相邻像素点之间的关系。
在图像处理和计算机视觉领域，像素点的连通性被广泛应用于对象分割、边缘检测、图像识别等任务中。
本文将介绍像素点连通的计算方法及其在图像处理中的应用。
一、像素点连通的定义像素点连通是指在图像中，可以通过一系列相邻的像素点从一个像素点到达另一个像素点。
这里的相邻指的是像素点的位置关系，通常是指在图像中相邻的上、下、左、右、左上、左下、右上、右下八个方向。
二、像素点连通的计算方法1. 四邻域连通四邻域连通是指在图像中，一个像素点与其上、下、左、右四个相邻像素点连通。
在计算机中，我们可以通过扫描图像的每个像素点，判断其与相邻像素点之间是否连通，从而确定像素点的连通区域。
2. 八邻域连通八邻域连通是指在图像中，一个像素点与其上、下、左、右四个相邻像素点以及左上、左下、右上、右下四个斜对角方向的像素点连通。
与四邻域连通相比，八邻域连通更加严格，可以更准确地描述像素点的连通性。
三、像素点连通的应用1. 对象分割像素点连通可以用于对象分割，即将图像中的不同对象或区域分离出来。
通过计算像素点的连通性，可以将图像划分为不同的连通区域，并对每个区域进行标记，从而实现对象的分割。
2. 边缘检测像素点连通可以用于边缘检测，即找出图像中物体的边界。
通过计算像素点的连通性，可以确定像素点是否位于边界上，从而实现边缘检测的目的。
3. 图像识别像素点连通可以用于图像识别和模式匹配，即识别图像中的特定对象或模式。
通过计算像素点的连通性，可以将图像中的目标对象与背景分离出来，并进行特征提取和匹配，从而实现图像识别的任务。
四、总结像素点连通是计算机图形学中的重要概念，它描述了图像中相邻像素点之间的关系。
通过计算像素点的连通性，可以实现对象分割、边缘检测、图像识别等图像处理任务。
在实际应用中，根据具体需求选择合适的连通计算方法，如四邻域连通或八邻域连通，并结合其他图像处理算法进行综合应用。
电子科技大学《图论及其应用》复习总结--第一章图的基本概念
电⼦科技⼤学《图论及其应⽤》复习总结--第⼀章图的基本概念⼀、重要概念图、简单图、图的同构、度序列与图序列、偶图、补图与⾃补图、两个图的联图、两个图的积图1.1 图⼀个图G定义为⼀个有序对(V, E)，记为G = (V, E)，其中（1）V是⼀个有限⾮空集合，称为顶点集或边集，其元素称为顶点或点；（2）E是由V中的点组成的⽆序点对构成的集合，称为边集，其元素称为边，且同⼀点对在E中可出现多次。
注：图G的顶点数（或阶数）和边数可分别⽤符号n(G) 和m(G)表⽰。
连接两个相同顶点的边的条数，叫做边的重数。
重数⼤于1的边称为重边。
端点重合为⼀点的边称为环。
1.2 简单图⽆环⽆重边的图称为简单图。
（除此之外全部都是复合图）注： 1.顶点集和边集都有限的图称为有限图。
只有⼀个顶点⽽⽆边的图称为平凡图。
其他所有的图都称为⾮平凡图。
边集为空的图称为空图。
2.n阶图：顶点数为n的图，称为n阶图。
3.(n, m) 图：顶点数为n的图，边数为m的图称为(n, m) 图1.3 邻接与关联：顶点u与v相邻接：顶点u与v间有边相连接(u adj v)；其中u与v称为该边的两个端点。
注：1.规定⼀个顶点与⾃⾝是邻接的。
2.顶点u与边e相关联：顶点u是边e的端点。
3.边e1与边e2相邻接：边e1与边e2有公共端点。
1.4 图的同构设有两个图G1=(V1,E1)和G2=(V2,E2),若在其顶点集合间存在双射，使得边之间存在如下关系：u1,v1∈V1,u2,v2∈ V2 ，设u1↔u2，v1↔v2,; u1v1∈E1 当且仅当u2v2∈E2,且u1v1与u2v2的重数相同。
称G1与G2同构，记为：G1≌G2注：1、图同构的两个必要条件： (1) 顶点数相同；(2) 边数相同。
2、⾃⼰空间的理解：通过空间的旋转折叠可以进⾏形态转换1.5 完全图、偶图1、在图论中，完全图是⼀个简单图，且任意⼀个顶点都与其它每个顶点有且只有⼀条边相连接。
强连通图的名词解释
强连通图的名词解释强连通图是图论中的一个重要概念，它描述了在一个有向图中，任意两个顶点之间都存在一条有向路径。
正如其名字所示，强连通图强调了图中的顶点之间能够互相连通，并且可以沿着有向边进行无限次地往返。
一、强连通图的定义和性质强连通图是一个有向图，其中的每一个顶点都可以通过有向路径相互到达。
换句话说，对于有向图中的任意两个顶点u和v，存在一条从u到v的有向路径，同时也存在一条从v到u的有向路径。
强连通图具有以下一些重要性质：1. 强连通图是连通图的一种特殊情况。
连通图指的是在无向图中，任意两个顶点之间都存在一条路径。
与之类似，强连通图在有向图中满足同样的条件。
2. 每个顶点在强连通图中都是可达的，也即任意一个顶点可以到达其他每一个顶点。
这是强连通图与其他类型图的重要区别之一。
3. 强连通图中的有向环是存在的。
有向环指的是可以从某个顶点出发经过多次有向边返回该顶点的路径。
在强连通图中，每个顶点都至少包含自己到自己的有向环。
二、强连通分量强连通分量是强连通图中的一个重要定义。
强连通分量是指一个最大的顶点集合，其中的每两个顶点之间都存在一条路径。
换句话说，一个强连通分量是一个强连通图的极大子图，不可再加入更多的顶点。
强连通分量具有以下一些性质：1. 在一个强连通分量内部，任意两个顶点之间都是互相可达的。
也就是说，强连通分量内的所有顶点都可以通过有向边相互到达。
2. 强连通分量之间是相互独立的，无法通过任意的有向路径互相到达。
这意味着在一个强连通分量内的顶点和其他强连通分量内的顶点之间不存在直接的有向边。
3. 强连通分量的数量可以作为判断一个有向图是否为强连通图的依据。
如果一个有向图只有一个强连通分量，那么它就是一个强连通图。
三、强连通图和实际应用强连通图不仅是图论中的一个重要概念，也在现实世界中有着广泛的应用。
1. 在社交网络分析中，强连通图可以用来描述人与人之间的关系。
如果一个社交网络中的每个人都可以通过某种方式与其他人联系到，那么这个社交网络就是一个强连通图。
离散数学公式大全总结
离散数学公式大全总结离散数学是数学中的一个分支，涵盖了许多概念和公式。
以下是一些离散数学中常见的公式和概念的总结：1. 集合理论：集合并：$A \cup B = {x | x \in A \text{或} x \in B}$集合交：$A \cap B = {x | x \in A \text{且} x \in B}$集合补：$A' = {x | x \notin A}$集合差：$A - B = {x | x \in A \text{且} x \notin B}$幂集：如果$A$有$n$个元素，$P(A)$有$2^n$个子集。
容斥原理：$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$2. 排列和组合：排列数：$P(n, k) = \frac{n!}{(n - k)!}$组合数：$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}$二项定理：$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n}C(n, k)a^{n-k}b^k$3. 图论：手握定理：$2 \cdot \text{边数} = \sum \text{度数}$欧拉图：一个连通图是欧拉图，当且仅当每个顶点的度数都是偶数。
哈密顿图：包含图中每个顶点的圈。
图着色：给定图中的顶点，用尽量少的颜色对它们进行着色，使得相邻的顶点颜色不相同。
图的最短路径：Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法用于找到图中的最短路径。
4. 布尔代数：布尔变量：$0$表示假，$1$表示真。
逻辑与：$A \land B$逻辑或：$A \lor B$逻辑非：$\lnot A$逻辑与门：$AND$逻辑或门：$OR$逻辑非门：$NOT$布尔恒等定律：$A \land 1 = A$，$A \lor 0 = A$德·摩根定律：$\lnot (A \land B) = \lnot A \lor \lnot B$，$\lnot (A \lor B) = \lnot A \land \lnot B$5. 树和图：树的顶点数与边数关系：$V = E + 1$二叉树的性质：最多有$2^k$个叶子节点，高度为$h$的二叉树最多有$2^{h+1} - 1$个节点。
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图的连通性总结boboo目录1.图的遍历及应用1.1.DFS遍历1.2.DFS树的边分类1.3.DFS树的性质1.4.拓补排序1.5.欧拉回路2.无向图相关2.1求割顶2.2求图的桥2.3求图的块3.有向图相关3.1求强连通分量（SCC划分）3.2求传递闭包4.最小环问题一、图的遍历及应用1.1 DFS遍历DFS是求割顶、桥、强连通分量等问题的基础。
DFS对图进行染色，白色：未访问；灰色：访问中（正在访问它的后代）；黑色：访问完毕一般在具体实现时不必对图的顶点进行染色，只需进行访问开始时间和访问结束时间的记录即可，这样就可以得出需要的信息了。
-发现时间D[v]:变灰的时间-结束时间f[v]:变黑的时间-1<=d[v]<f[v]<=2|V|伪代码：DFS(G)for every vertex u ∈ V[G] docolor[u] = WHITEπ[u] = NILtime = 0for every vertex u ∈ V[G] doif color[u] = WHITE then DFS_VISIT(u)DFS_VISIT(u)color[u] = GRA Yd[u] = time += 1for every vertex v ∈ Adj[u] doif color[v] = WHITE thenπ[v] = uDFS_VISIT(v)color[u] = BLACKf[u] = time += 11.2 DFS树的边分类在深度优先遍历中，我们所关心的另一个问题是对产生的搜索树中的分进行分类，这种分类可以发现图中的很多重要信息。
一般地，我们可以把图G所产生的深度优先搜索树（或森林）的边分为四类：A）树枝：深度优先搜索树G中普通的边，即如果结点v在搜索边(u, v)时第一次被发现，那么边(u, v)就是一个树枝。
B）反向边：深度优先搜索树中连结结点u到它的祖先v的那些边，自环也被认为是反向边。
C）正向边：深度优先搜索树中连接顶点u到它的后裔的非树枝的边。
D）交叉边：所有其它类型的边，它们可以连结同一棵深度优先搜索树中的两个结点，只要一结点不是另一结点的祖先（一般来讲两个结点是一种兄弟关系），也可以连结分属两棵深度优先搜索树的结点。
我们可以把DFS遍历算法做一下补允，使之遇到边时能对其进行分类。
算法的核心思想在于可以根据第一次被搜索的边所达到的结点v的颜色来对该边(u, v)进行分类（但正向边和交叉分不能用颜色区分出）。
1、白色表明它是树枝。
2、灰色表明它是反向边。
3、黑色表明它是正向边或交叉边，其中，如果d[u] < d[v]，则边(u, v)就是正向边；反之，或d[u] > d[v]，则(u, v)就是交叉边。
上述证明比较简单，可根据定义证明。
另外，如果图G为无向图的话，那么G的深度优先搜索树中的边只能是树枝或反向边。
在程序具体使显示颜色值以及时间戳可以省略, 用意义更加明确的pre数组和post代替d 和f数组, pre[u]和post[u]代表点u的先序/后序编号, 则检查(u,v)可以写为if (pre[v] = -1) then dfs(v) //树边, 递归遍历else if (post[v] = -1) then show(“B”) //后向边else if (pre[v] > pre[u]) then show(“F”) // 前向边else show(“C”); // 交叉边• pre和post的初值均为-1(0), 方便了判断程序实现：1.3 DFS树的性质•括号结构性质对于任意结点对(u, v), 考虑区间[d[u], f[u]]和[d[v], f[v]], 以下三个性质恰有一个成立:–完全分离– u的区间完全包含在v的区间内, 则在dfs树上u是v的后代– v的区间完全包含在u的区间内, 则在dfs树上v是u的后代•定理1(嵌套区间定理):在DFS森林中v是u的后代当且仅当d[u]<d[v]<f[v]<f[u], 即区间包含关系. 由区间性质立即得到.•定理2(白色路径定理):在DFS森林中v是u的后代当且仅当在d[u]时刻(u刚刚被发现), v可以由u出发只经过白色结点到达. 证明: 由嵌套区间定理可以证明1.4 拓补排序算法一：•对图G使用DFS算法, 每次把一个结点变黑的同时加到链表首部•定理1: 有向图是DAG当且仅当没有B边–如果有B边, 有环(易证)–如果有环c, 考虑其中第一个被发现的结点v, 环中v的上一个结点为u, 则沿环的路径v u是白色路径, 有白色路径定理, u是v的后代, 因此(u,v)是B边•定理2: 该算法正确的得到了一个拓扑顺序算法二：其实还有更方便的方法，不必进行dfs遍历，统计入度的情况即可。
程序实现：(这里只给出DFS的方法)1.5 欧拉回路每条边经过一次且仅一次的路径。
经典的递归实现.算法：从一个点u出发DFS，每次标记边(u,v)和(v,u)，递归调用EulerRoute(v)，然后把(u,v)放到栈中.程序实现：二、无向图相关2.1 求割顶割顶是去掉后让无向图不再连通的点。
求割顶的算法在DFS遍历的算法上形成。
什么样的点是割顶？在一棵DFS树中，1.根root是割顶 ------------- 它至少有两个儿子2.其他点v是割顶 ------------- 它有一个儿子u, 从u或者u的后代出发没有指向v祖先(不含v)的B边, 则删除v以后u和v的父亲不连通, 故为割顶。
割顶判定算法:引入lowlink数组为从当前点以及它的后代所能到达的点的开始访问时间的最小值。
Lowlink [u]= Min { pre[u]Pre[v] (u,v)是后向边Lowlink [v] (u，v）是树边，u在dfs树中是v的父亲 }–对于DFS树根, 判断度数是否大于1–对于其他点u, 如果不是根的直接儿子, 且Lowlink[u] >= d[P[u]], 则它的父亲v=P[u]是割点。
程序实现2.2 求图的桥桥（割边）是去掉后让无向图不再连通的边。
求割边的算法也在DFS遍历的算法上形成。
什么样的边是桥（割边）？边(u,v)为桥当且仅当它不在任何一个简单回路中。
发现树边(u,v)时若发现v和它的后代不存在一条连接u或其祖先的后向边, 则删除(u,v)后u和v不连通, 因此(u,v)为桥。
桥（割边）的判定算法：发现树边(u, v)时若Lowlink[v]>d[u](注意不能取等号,区别于求割顶), 则(u,v)为桥实际代码是测试若lowlink[v]=pre[v]则(u,v)是桥程序实现2.3 求图的块一些连通性的基本定义：•点连通度(等价性: Whitney定理)–定义1: 把图变非连通所需删除的最少点数•1-连通: 一般连通•2-连通: 双连通, 删除一个点后仍连通(无割顶)–定义1: 把图变非连通所需删除的最小边数–定义2: 任意两个点至少有k个不含相同边的路(edge-disjoint path).块的定义以及性质：一个图的块(biconnectedcomponent, bcc)是双连通的极大子图。
块与块之间没有公共边，以割顶相连。
•性质1. 每条边都包含在某个BCC中. 证明: 对于(u, v), {u, v}是双连通的, 这是某BCC的一部分•性质2. 不同的两个BCC最多有一个公共结点, 此结点是原图的割顶•性质3. 不同的两个BCC不含公共边. 证明: 如果有相同边, 则含有两个公共结点.•根据性质2和性质3可知: BCC是G的边划分块可以表示成点或边的集合。
一个显而易见的算法：先求出所有的割顶，去掉后，对不是割顶的点进行种子染色法（此时要把割顶当成不能再扩展的边界），这样就可以得到所有的块了。
有没有更快更直接的方法呢？有！求块的算法：♦在求割点的算法中，我们找到割点u时，我们把u下方的整块和u导出作为图中的一个块。
♦程序实现时用栈即可。
程序实现：（用floodfill）（用栈）三、有向图相关3.1求强连通分量（SCC划分）在有向图中，如果结点u 可达到结点v ，并不意味着结点v 也可达到结点u ，如果两个结点相互可达，那么称这两个结点处于同一个强连通分量（Strongly Connected Component, SCC ）。
SCC 有一个比较有趣的性质，即：图G 的SCC 与G 的转制G T的SCC 相同。
如果把SCC 的每个分量都收缩成一个点，那么，生成的图为一个DAG 。
有关求有向图SCC 划分的算法有很多，其中各有特点，也都比较优美，效率都还不错，实现起来也比较简单，同时，SCC 划分也是有向图一个很基本但重要的算法，要熟练掌握，这里记录三种算法。
• Kosaraju 算法这个算法是一个应用了SCC 图转制的性质与拓扑排序的一些思想的算法，整体算法非常之优美，是一个精美的算法，同时实现起来也非常简单，思想也不难理解。
这里就直接给出整体思想，具体证明目前先从略，待以后补上。
Kosaraju-SCC(G)1、调用DFS(G)以计算出每个结点的完成时刻f[u]；2、计算出G T ；3、调用DFS(G T )，但在DFS 的主循环按f[u]递减的顺序访问各结点；4、输出3中产生的深度优先森林中每棵树的结点，作为各自独立的SCC 。
这个算法需要做两次DFS ，而且需要做一个图的转制，时间复杂度为：O (V +E )。
虽然这个复杂度渐进意义上是不错的，但是其中的常数较高，效率较其它的求SCC 划分的算法稍差。
• T arjan 算法这个算法是建立在图的DFS 遍历基础上的。
首先，它对每个图G 中的点v 定义了一个low 函数（这个函数比较重要，在求图的割顶与桥等多种算法中也要用到），定义如下： ()),(][][min ][w u u v w w d v d v low 所连的某条后向边的后裔为⎩⎨⎧=定义这个函数以后，我们就可以得如出下性质：处于同一强连通分量里的点u 与v 的low 函数值相同。
根据这个性质，对DFS 算法改进一下后，求出每个点的low 函数值，进而也就可以求出图的强连通分量了，伪代码如下：Tarjan-SCC(G)for every vertex u ∈ V[G] docolor[u] = WHITEtime = 0for every vertex u ∈ V[G] doif color[u] = WHITE then VISIT(u)VISIT(u)min = low[u] = time += 1color[u] = GRA Yfor every vertex v ∈ Adj[u] doif color[v] = WHITE thenvisit(v)else if (color[v] = GRA Y) and (low[v] < min) thenmin = low[v]if min < low[u] then low[u] = mincolor[u] = BLACK很显然，算法的时间复杂度为：O(V+E)，整个算法只执行一遍DFS遍历，相对比Kosaraju算法效率稍高，整体实现起来也很简单，可以做为一个实用的求图SCC划分的算法。