新起点六年级上册数学人教版教案比和比的应用

新起点六年级上册数学人教版教案——比和比的应用教材说明这部分内容是在学生已经理解了除法的意义与基本性质、分数的意义与基本性质，以及分数与除法的关系等知识，掌握了分数乘、除法的计算方法，会解答分数乘法实际问题的基础上进行教学的。

内容包括比的意义和比的基本性质。

这些内容过去是安排在小学最后阶段进行教学。

由于比与分数有密切联系，把比的最基础知识提前安排在分数除法单元中教学，既能加强知识间的内在联系，又可以为以后学习比例知识，以及其他方面的知识打下较好的基础。

传统的算术教材在讲比的意义时，只强调比的一种情况，即两个同类量的倍数关系。

但在实际应用中，经常要用到比的另一种情况，即不同类量的比，所以现在的小学数学教材，既讲同类量的比，又讲不同类量的比。

这样，小学生进入中学后就便于理解物理等学科中经常出现的不同类量的比。

如路程和时间的比，质量和体积的比等。

当然，不同类的量相比，有关联的才行。

这时，比的结果产生了新的量，例如，路程和时间的比就形成速度，质量和体积的比就形成密度。

本节教材分成三段。

（1）教学比的意义。

教材选取我国第一艘载人飞船的有关内容作为引入比的载体，通过这一富有时代性的情节内容，引出同类量的比、非同类量的比。

在此基础上概括比的意义，介绍比的读、写及其各部分名称，然后引导学生思考比与除法、分数的联系。

（2）教学比的基本性质。

教材联系比和除法、分数关系，通过“想一想”启发学生找出比中有什么样的规律？然后概括比的基本性质。

接着，应用这个性质，通过例1学习比的化简。

例1有两道题。

第（1）题，化简整数比。

常用的方法是前、后项同时除以它们的最大公约数。

第（2）题，化简分数、小数比。

常用的方法是前、后项同时乘上分母的最小公倍数，或者把前、后项的小数点向右移动相同位数，把分数比、小数比转化为整数比再化简。

此外，还有其他一些化简方法，由于化简的目的都是化成最简单的整数比，即前后项都是整数，公约数只有1。

所以，转化为整数比的方法，思路比较统一，也容易理解和掌握。

这里，教材安排了练习十一，主要练习怎样根据要求写出比，怎样求比值，怎样化简比。

（3）教学比的应用。

在小学数学中，比的应用主要有两个内容，即比例尺和按比例分配。

由于比例尺与比例的联系更多一些，且《标准》把比例尺归入空间与图形领域的图形与位置这部分内容中，因此留在后面教学，这里只教学怎样解答按比例分配的实际问题。

所谓按比例分配就是把一个数量按照一定的比进行分配。

它是“平均分”问题的发展。

例如，把12张画片分给甲、乙两个小朋友，如果按1∶1分，习惯上称平均分。

如果按2∶1分，就是通常所说的按比分配。

显然，平均分是按比分配的特例。

按比例分配还有按正比例和反比例分配两种，由于按反比例分配的实际应用并不广泛，而且可以转化为按正比例分配来解答，因此教材只教学按正比例分配。

按比例分配问题有不同解法，主要有三种：一是把比看作分得的份数，用先求出每一份的方法来解答；二是把比化为分数，用分数乘法来解答；三是用比例知识来解答。

较早的算术课本通常采用第三种方法，按比例分配的名称由此而来。

现在的小学数学教材，一般以第二种方法为主，因为学生在理解了比和分数的关系，并掌握分数乘法实际应用的基础上，比较容易接受这种方法，而且也有利于加强知识间的联系。

考虑到学生尚未学习比例，且教材避开了比例方法，所以教学中不必出现“按比例分配”这一名称。

教材通过例2，以清洁剂浓缩液的稀释为例，提出问题，引导学生把一个数量按照已知的比分成两部分。

进而通过“做一做”的第2题，教学把一个数量按照已知的比分成三部分的问题。

教学建议1. 联系相关知识，促进学生自主学习。

在这部分内容中，因为比与除法、分数有着密切的联系，所以，比的很多基础知识与除法、分数的相关知识，具有明显的、可供利用的内在联系。

比如，比的后项不能为0与除数分母不能为0，比的基本性质与商不变性质和分数的基本性质，求比值与求商，化简比与约分，按比例分配与求一个数的几分之几是多少等等。

因此，教学这部分内容时，应当充分利用原有的学习基础，引导学生联系相关的已学知识，进行类比和推理，尽可能让学生自主学习，通过自己的思考，推出新结论，解决新问题。

2. 让学生感悟相关知识的联系与区别，使新旧知识融会贯通。

在本节内容的学习过程中，新旧知识的联系，不仅有利于生成新知识，也能加深对旧知识的理解，使新旧知识融会贯通。

为此，教学时应当采用适当的方式，让学生看清并理解相关知识的联系，知道它们的区别。

同时也应注意，揭示知识的联系与区别，要考虑学生的理解水平，不宜求全、深究。

因为在小学阶段，很多知识不可能，也没有必要讲深讲透。

具体内容的说明和教学建议1. 比的意义。

编写意图（1）为了帮助学生理解比的意义，教材精心选择了中国人民引以为豪的内容作为载体，这一内容既富有教育意义，又能比较自然地引出比的两种应用情况。

教材先介绍飞船里的两面长方形小旗，给出真实数据，引导学生讨论长与宽的倍数关系，得到长度相除的两个算式，由此引出同类量的比。

然后再介绍飞船的运行路程与时间，让学生用除法表示飞船进入轨道后的速度，由此引出非同类量的比。

进而通过这两种情况的实例，概括比的意义。

接着以这几个比为例，说明比的读、写及比的各部分名称，并由比值计算的实例，引出“比值通常用分数表示”，然后根据分数与除法的关系，具体说明比也可以写成分数形式。

最后，由小精灵提出问题，启发学生思考：“比的前项、后项和比值分别相当于除法算式和分数中的什么？比的后项可以是0吗？”（2）“做一做”，安排了两道练习。

一道是根据条件和要求写出比并求比值的练习，用以巩固比的概念；另一道是求未知的前项或后项的练习，旨在通过求比的未知项，从另一侧面理解比与除法的关系。

教学建议（1）教学比的意义前，可以先复习一些除法的应用，如：①某班统计会骑车的人数，男生有18人，女生有12人。

会骑自行车的男生人数是女生人数的多少倍？女生人数是男生人数的几分之几？②路程÷时间＝（）总价÷数量＝（）教学比的意义时，可以先扼要介绍中国首次载人航天成功的大致情况，然后出示航天员杨利伟在“神舟五号”飞船里展示联合国旗和我国国旗的照片，引出两面旗，给出它们的长和宽，让学生用算式表示长和宽的关系。

15÷10＝1.5，表示长是宽的多少倍；10÷15＝2/3，表示宽是长的几分之几。

由此引出：长和宽之间的倍数关系，除了用除法表示之外，还有一种表示方法，即说成“长和宽的比是15比10；或宽和长的比是10比15”。

教师还可以说明，不论长和宽的比，还是宽和长的比，都是两个长度的比，相比的两个量是同类的量。

接着，出示“神舟五号”进入运行轨道后的运行数据：平均90分钟绕地球一周，大约运行42252 km。

让学生用算式表示飞船的速度。

由此引出：表示路程和时间的关系也还有一种形式，就是用路程和时间的比来表示,如“神舟五号”运行路程和时间的比是42252比90。

然后通过提问：路程和时间，是不是同类的量？使学生知道两个不同类量的关系也可以用比表示。

教师还可以指出，两个同类量的比表示这两个量之间的倍数关系，两个不同类量的比可以表示一个新的量。

如“路程比时间”又表示速度。

进一步就可以概括出比的意义，着重说明这些例子都是通过两数相除来表示两个数量之间的关系，它们都可以用比来表示，所以“两个数相除又叫作两个数的比”。

然后，可以让学生看书自学。

通过交流，搞清楚以下几点：①几比几怎样写、怎样读？（可以写成比的形式，也可以写成分数形式，但仍读作几比几）②比的各部分名称是什么？③怎样求比值？④比值可以怎样表示？（通常用最简分数表示，能除尽时也可以用小数表示，能整除时就用整数表示）⑤比和比值有什么联系与区别？这个问题是个难点，可以组织学生讨论。

两者的联系在于，比值是比的前项除以后项所得的商，它通常用分数表示，而比也可以写成分数。

它们的区别主要是，比值是一个数，有时可以用小数甚至整数表示，而比表示两个数的关系，不能用一个小数或一个整数表示。

这个问题也可以让学生举例说明：什么情况下比和比值的表示形式完全相同，什么情况下它们的表示形式有区别？前者如：8∶3＝8/3，8/3既可以看作比，又可以看作比值。

后者如：8∶4＝2，2是比值。

8∶4＝2/1，2/1是比。

接下去，再让学生思考回答课本上小精灵提出的两个问题。

关于比和除法、分数的联系，教师可以将学生的回答整理成下表：或者用字母表示三者之间的内在关系，即a∶b＝a÷b＝a/b（b≠0）关于比和除法、分数的区别，学生只要知道除法是一种运算，分数是一种数，而比表示两个数的关系就行了。

至于为什么比的后项不能是0，一般学生都能回答。

事实上，在用字母表示比和除法、分数的关系时，就能捎带解决这个问题。

（2）“做一做”可以让学生把答案填写在书上。

因为还没有学比的基本性质和化简比，所以第1题中练习本的本数之比写成6∶8就可以了，这里不要求化成最简单的整数比，花的钱数之比也是如此。

交流、校对答案之后，还可以让学生说说，为什么两人买练习本的本数之比和所花钱数之比，它们的比值相等。

这是因为单价相同，买的本数越多，花的钱数也越多，所以本数的倍数关系与总价的倍数关系相同。

如果有学生写出的比，前后项互换了位置，可以通过质疑，使学生明白：交换了比的前、后项，比的具体含义就变了，由小敏是小亮的几分之几，变成了小亮是小敏的几倍。

（实际上得到了一个新的比，叫做原来的比的反比，这个概念不必教给学生。

）第2题则可以让学生说说，未知的前项或后项是怎样求的。

2. 比的基本性质。

编写意图（1）教材首先让学生回忆商不变性质和分数的基本性质，然后启发学生思考：“在比中有什么样的规律？”进而按照将比与除法、分数类比的思路，举出例子，并先利用比和除法的关系对实例加以研究，再让学生自己根据比和分数的关系加以研究。

在此基础上，概括出比的基本性质。

（2）作为比的基本性质的直接运用，例1教学怎样根据比的基本性质化简比。

例题由两道题组成。

第（1）题仍采用“神州五号”的题材，但讨论的是两面一大一小的联合国旗。

题目告诉两面旗的长和宽，要求这两面旗长和宽的最简单的整数比。

其中15∶10的化简给出了完整的过程并启发学生思考为什么这样化简；180∶120的化简则留空让学生自己完成。

这里的两个答案相同，实际上渗透了两面旗按比例缩小的相似变换思想，同时也便于学生感悟化简的必要性，即能使数量关系更加简单明了。

从中也可以看出，教材精心选取的这一内容载体，既有思想性和趣味性，又有数学内涵，而且数据真实，适合教学的需要。

第（2）题也有两个比，比中分别出现了分数和小数。

教材同样提出了启发思考化简过程的问题，并留有空白让学生自己完成。

（3）第46页上的“做一做”，安排了化简比的练习。