数据_课例_建议_浅谈小学数学教研指导工作_顾非石

第24卷第6期数学教育学报Vol.24, No.62015 年 12 月JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION Dec., 2015数据·课例·建议——浅谈小学数学教研指导工作顾非石1，顾泠沅 2（1．华东师范大学数学系，上海200241；2．上海市教育科学研究院，上海200032）摘要：环绕当前小学数学教研工作的需要，运用数据兼叙事的方法，就若干教学案例开展实证研究，结果表明：明白学科的内在逻辑，突出重要的概念类型，遵循合理的认知顺序和提供攀登式的学习机会，是改进教研工作不容忽视的4个重要方面．教学建议：充分重视数学学科知识与教学理论知识的融合，以此推动整个数学教研，可使当前的改革具备更坚实更可信的基础；坚守先设计再改进的循环、前分析后评估的往复，才能使数学教研成为可操作的专业实践过程；基于分析的设计和基于证据的改进，可以作为当前改进教研工作的两个重要的突破口．关键词：逻辑主干；内容要点；渐进顺序；学习机会；实践性知识中图分类号：G420文献标识码：A文章编号：1004–9894（2015）06–0073–071数据的启迪今天，小学数学课程的内容结构如何合理安排？哪些概念类型对日后的数学学习成就产生重要影响？哪种学习机会对学生的数学应用能力有关键意义？这些问题，长期以来引起了教研人员和广大教师的热议，而多年的改革试验正在用事理与数据的方式使这一类讨论引向深入．1.1从隐喻与数据谈起这里有两幅隐喻图（图1）．左边是数学知识发生、发展自然演进的树状图，图中把小学数学内容的主干描述为数的概念（自然数、分数），数和运算（四则运算及应用），数和图形（直观、数形关系及推理）．这样的结构突出知识生长点和认知逻辑，要点明显，易于掌握全貌；与儿童生活的联系和实际应用则作为基础背景去处理．当然，处理不当易被误解为“脱离”，这是这种结构的严重问题．右边是个灌木丛，根据美国2000NCTM《中小学数学教育的原则与课程标准》绘制，前后共有两排，前排是代数、几何、度量衡、数与运算、数据分析和概率的知识分块，后排是联系、推理证明、表述、交流、解决问题的认知方法，然后将它们按螺旋式交替安排，知识早期分块，并突出了分类型的能力要求，是这种结构的创新特色．但中国教师在试验中发觉，熟一块换一块，断断续续会造成不断“烧夹生饭”．马立平基于美国小学的实践对此提出批评，认为这样的内容结构，学科结构瓦解，定义体系涣散，覆辙犹在，这不能不引起教育工作者的担忧和警惕．她据此认定，数学概念体系、内在结构与基本原理的掌握，直接关乎小学生数学学习的成败得失．图1一棵大树还是灌木丛21 世纪初，美国心理学家西格尔（R. S. Siegler）根据小学生数学概念类型，以及学生长期学习的发展过程（包括若干数学技能、能力，还有人口统计学特性等12个变量），在英国选取 3 677名学生（其中599名有动态数据），分析五、六年后学生高中代数发展状况，结果如图2所示．由图可见，对加、减、乘、除四则运算意义的理解和运用，与高中代数成绩的相关十分显著，而且随着四则的顺序不断递增其相关度；另外，一个是除法、另一个是分数概念，对以后代数学习成就有特别重要的影响．该项研究发表于2012年7 月美国的《心理科学》杂志，据说对英国小学的数学课程改革产生了重要影响．当年8月他来沪与作者交流，深感明白数学学科内在逻辑、深度理解核心概念的重要作用．图2除法和分数等概念与高中代数发展状况的回归分析此外，2013年12月公布的国际PISA测试以数学为主，测试成绩最高的国家和地区依次为中国上海、新加坡、中国香港、中国台北、韩国、中国澳门、日本、荷兰、芬兰、加拿大等．关于测试数据的一项“学习机会”分析值得注意，那就是各国（地区）学生接触“正式数学”（主要指概念、法则、定理演绎体系的数学）和接触“应用数学”的频率分布，如图3所示．由图可知：测试成绩最高的10个国家（地区）有9个都属于高正式数学的两个象限，足见接触数学逻辑体系与基本原理的重要意义，其中东亚的6个国家（地区）集中在高正式、低应用的象限（欧洲的芬兰也是），这更是一种文化特点．新加坡和加拿大处于高正式、高应用象限，几个发达国家如俄罗斯、美国等也处于双高象限；测试成绩收稿日期：2015–08–10作者简介：顾非石（1980—），男，上海人，博士生，主要从事数学教学研究．74数学教育学报第24卷排位较前，但处于高应用的国家，如荷兰、德国、澳大利亚、新西兰、法国等，这些国家的经验也很值得研究与借鉴．由此可推测，数学教学理应坚守应用、论理和心理3大原理的平衡，重视应用并非处处充斥实用材料，运算和推理仍是最基本的思想方法，而所有的论理与应用都必须站在儿童学数学的立场之上．图3 各国（地区）学生学习机会的频率分布图1.2教研指导的实证分析受到上述问题的启发，研究者从微观的教学工作入手，开展典型课例的实证研究．自2011年开始，中、日、美3国联合，对小学数学教师指导者的实践与理论作深化研究．采用的方法主要有教研指导录像与课堂录像的数据编码分析，兼以精致化的叙事研究技术．这里的教研指导录像分析，主要集中在指导内容与指导方式两部分．初步研究表明，中国的教研指导不停留于空谈知识与理论，而是集中于数学教学的实践性知识（技能），即前端分析、任务设计、过程测评、行为改进4个方面，非常务实，且有明显的工作优势．教研指导者有丰富的课堂教学经验，因此他们的指导以估计问题然后讲评和一般讲评为主．当然，不足之处也很显然．比如前端分析与过程测评相对薄弱，未能将其用于设计与改进；指导过程中生成性问题应对不足，偏于强势、平等讨论少．下面，选择该项研究中的4个课例，以例说理，简述如后．2用课例说事2.1明白学科的内在逻辑（以“退位减法”为例）两位数退位减法一课，在小学数学教学中受到广泛关注，且是教研指导工作的一个典型范例．在研究时，选取新手和专家两类教师分别任教．指导者则本着更新教学理念的出发点，从情境设计、学具使用、估算与算法多样化等方面介入指导．预研究经过两次指导、两次改进，但出乎意料的是，结果并不令人满意．当堂实录显示，课堂的散乱、浮闹时有所见，安静的思考机会偏少．授课前与授课后的测查统计呈现表1所述的情况．其中，课前已有84%的学生会用竖式计算，他们在以前的学习中（如不退位减法等）已完成了从学具、圈划、数数等具体摆弄到形式化抽象的重要一步，问题仅在“20以内减法出错”、“十位上没有退一以后再减”，而课后在这些问题上有所改善的学生仅占三成左右．执教老师觉得，要靠较多课后的作业去补救，足见实效并不明显．问题出在哪里？经教师和指导者的进一步分析，他们认为：（1）这节课在减法情境的“ 漂亮” 上花了不少功夫，如小动物、卡通图，等等，但在促进儿童理解上考虑甚少．（2）学具操作意在利于抽象为竖式运算，在大多数学生已会列竖式的情况下，是否还要回到圈划、小棒摆弄？繁复又费时，反而淹没了本课的主要问题．在这里，重温一下两位数计算器可能是个合适的选择，比如用“ 悬珠” 引出“ 退位点” ．（3）估算是一种重要的“ 毛估性思维” ，但要分清它是计算课的教学环节还是一种意识？两位数退位减法是否也先要估算？（4）算法多样化在何时何处出现为佳？此处过多纠缠是否会淡化“ 退 1 为 10” 的基本算理？课上有学生说 12-8=4 可以这样算：2 减 8 不够可以倒过来 8-2 得 6，但答案是 4，再把 6 对应为 4，这实际上助长了死记硬套．总起来说，这样的课，形式的理念似乎多了点，为学生理解而教的办法似乎少了些．表 1 课堂前后测学生情况统计表（%）测查 不列竖式 20 以内减 十位未退 能正确得 直接数数 法出错 1 后再减 出结果前测 15.611.113.360.0 如 26-17后测0.04.48.986.7如 67-28看来，如何依据课前的扎实分析（前端分析）有针对性地设计教学任务，如何通过施教过程中的测评即时改进教学行为，业已成为指导工作有待突破的要害所在．加涅（R. M. Gagne ）等人所著《教学设计原理》一书就非常重视退位减法的教学设计．他们所作的前端分析有如下几种．例如层级分析（如图 4），从简单减法到任何整数的减法，共分为 11 个层级，从算理上说一步一步十分细腻，每个细节都注意到了，但每一个层级自有不同的难易度，关系又偏复杂，贯穿怎样的逻辑主干，不甚明白，当然较难记住．又如减法运算流程分析（如图 5）．该项分析突出了个位上的借位与十位上的退 1 后再减，已将两位数减法运算作了信息加工的机械处理，但却隐去了“ 退 1 为 10” 的算理理解，同样不利于学生的学习，因为对学生的教学不应等同于给机器输入一种预定的程序．在这里，专家教师却采用了强调算理理解“ 不掉链子” 的主干分析，把技能层级与认知逻辑融合在一起，见图 6．他们指出，两位数退位减法的教学应当站在两个基础上：一是掌握不退位的两位数减法，数位对齐，逐位相减；二是 20 以内退位减法，不仅理解其意义并且能自动化运算．然后进入第二个台阶，就是两位数退位减法的规范运算，突出“ 个位上的借位相减” 与“ 十位上退 1 后再减” ．这里的基本算理是退 1 为 10．第三个台阶是在加深理解此一原理的前提下倡导学生灵活与探索．在教过两位数退位减法一课之后，用未教过的如 100-47 等隔位退位或灵活组合的试题作测查，专家教师突出主干的班正确率达 70%，未采用这一设计的班正确率仅 47%，可见算理理解的重要作用．第 6 期 顾非石等：数据·课例·建议 75图 4 减法教学的层级分析图 5 减法运算的流程分析图例中，单位是 15 、 54和 52同单位所以可以相加，结果的单位保持不变，还是 15 ，“ 4 个 15 加上 2 个 15 ，一共是6 个 15 ” ，也就是 65 ．查清了原因，研究者认为，尽管对分数 mn 的理解，可以是 m 除以 n 的商，也可以是 m 与 n 之比，但对小学生来说，理解这一概念类型的重要之点应为 m 个度量单位为1n 的数．基于这样的认识，以分数的单位为重点，适当调整了分数部分的教材：先直观后用 m 个 1n 引入分数的概念，学生容易接受；用同单位才能比较的道理，导出同分母分数的大小比较；接着很自然地得出单位放大、缩小的分数基本性质和通分、约分的技能；由此到了分数的运算规则就变得简易明了．其实，幼儿园的孩子都会说，3 头牛加 5 匹马等于 8 个动物，他们已经有了同单位才能相加的认识．美国的学校，由于未讲清分数的单位，小学生常有这样的疑问“ 4 ÷15 = 20 ，怎么会越除越大了？” 后来老师解释这除法的意义是 4 中间有几个 15 ，学生终于明白．试验表明，突出此一概念的要点，组织好相关概念之间的关系，教学效果便事半功倍，反之则负担沉重，不得要领．至于试验的效果数据与录像分析，因与前一节的方法相同，限于篇幅，这里就不再重复了．图 6 减法教学的主干分析图2.2 突出重要的概念类型（以“分数的单位”为例）对于小学数学教学来说，直观、形象、管用是与学习兴趣连在一起的，这毋庸置疑．但任何直观都有缺陷，它无法代替数学意义的理解．有一节课，内容是同分母分数的加法．课上出示了如下的一幅“ 饼图” （图 7），用以说明 54 加 52的运算道理．结果当然是 65 ，但也有学生说结果是 106，因为等号左边的饼明明分为 10 块，两人共吃了其中的 6 块．错在哪里呢？老师说，分数是部分，整体应该是 1 个饼，这样 的理由学生听不懂．老师又说，如果答案是 106 ，那就是 53，怎么比 54还小了呢？学生更糊涂了．仔细查阅了那位老师所用的新编教材，发觉教材采用“ 分饼” 引进分数的意义，却并未突出分数概念的一个重点——分数的单位．其实在上图7饼图这样的处理，本来就是中国数学教学的优秀传统，那就是突出教材重点、针对学习疑难、找到攻坚克难的关键．不仅如此，它还牵涉到小学数学教学的重要主干：数的概念扩展，从自然数到分数是小学的核心内容．自然数n，单位是1；到了分数mn，单位变小了为1n，这是概念扩展的首次突破，理解其中的意义至关重要．到了中学要学无理数，沿着这一思路，那是不能用mn表示的一类新数，也就是不能用分数单位直接表示的数，数的概念扩展一脉相承，可为后续学习打下扎实基础．其实，人类对分数的认识就是从单位分数开始的．大约在公元前2000年，古埃及人就是把分子大于1的正分数表示成单位分数的和，例如5 写成1+1 的形式．稍微复杂一62 3点，如31 可以表示为1+ 1 或者1 + 1 + 1 ； 5 可以表60 2 60 3 10 12 121示为 1 + 1 + 1 ，或者 1 + 1 + 1 ．用单位分数759 20 875 33 121 36325表示分数，有许多有趣的性质，由此产生不少有趣的问题．如阿拉伯的那个古老传说，说的是一个老人有11匹马，他76数学教育学报第24卷打算把12分给大儿子，14分给二儿子，16分给小儿子，应该怎么分呢？一个聪明人提出“借”一匹马的办法，大儿子得12⨯12=6、二儿子得12⨯14=3、小儿子得12⨯16=2，6 + 3 + 2 = 11 ，多了一匹正好“还去”．用单位分数表示分数，还有许多有趣的性质和应用，例如用正多边形的砖来铺满地面、莱布尼兹单位分数三角形，等等，其中有的是至今尚未解决的数论问题和猜想．数学家柯召写过一本科普小册子《单位分数》，可供老师参阅．2.3遵循合理的认知顺序（以“周长与面积”为例）先简单后复杂、先容易后繁难，这是数学教学的常识性做法．至于改革，原先不合理的可以颠覆，原来合情合理的却不可以“倒个”．例如，小学生通常都是先学周长再学面积，某省市正好来了个“倒个”，三年级上学期第四章学面积，三年级下学期第五章学周长．先学面积的理由据说有两条：一是儿童往往先看到整体（长方体），再摸到面（长方形），之后才是线．二是长方形面积公式是“长⨯宽”，而周长公式“(长⨯宽)⨯2”，更复杂．这样的理由站得住吗？为此做了两种顺序的对比试验．试验“先学面积”遇到的问题是：新教师教得费时费力，学生只是记住了长方形、正方形的面积或周长的计算公式，周长、面积概念混淆；有经验教师试教，即便在技能上有所改进，但学习实效仍不明显．顺过来，先学周长再学面积：在学习加法时，结合长方形、正方形的周长概念——四周一圈的长度，它是“一段一段加起来的”（加法法则），单位是厘米，师生合作计算，注重概念、运算法则和度量单位3个要素．然后到学习乘法时，再出长方形、正方形的面积概念——整个块面的大小，它是“一格一格数出来的”，总共几个格可用几行几列相乘得到（乘法法则），单位是平方厘米，1平方厘米大约有“一片指甲那么大”，老师指导学生用学周长3个要素的方法自行学习面积这一新内容，将乘法运算与面积概念结合起来，既解决数形分章导致的两者割裂，又将学周长的要素迁移到学面积的过程中来，这样的改进颇有实效．据此作了一次不对等的数据比较，让仅有两年教龄的新教师按“先学周长”的顺序教，让17年教龄的有经验教师按“先学面积”的教材教，各自都上了不断改进的3次课，结果有经验老师的课反而效果不理想．选取组合图形周长、面积计算的正确率和综合运用单位出借人数百分比3组数据作比较，结果如图8、9、10所示．由图可知，到了第三次课，组合图形周长计算正确率，先学周长的正确率接近100%，先学面积的至多近6成；组合图形面积计算正确率，先学周长的至少有一成半（15.7%）全会，先学面积的几乎都不会（0%）；至于周长与面积单位，概念混淆度，先学面积的明显高于先学周长的安排．可见，两种顺序，对周长、面积概念的理解完全不一样，即使是有经验教师，也难免其中的概念混淆，这是很值得引起重视的．再说周长与面积的关系，它是一个重要的数学问题．很多教材都有以火柴棒为单位搭正方形和长方形的游戏，然后让学生考察它们的周长和面积，并问你们“发现了什么”，这样的问题对学生来说并不明确，虽可发散，但思考的指向不明．其实是要导向“周长相等，面积不一定相等”的结论．如果再进一步，周长一定的长方形拉得越“扁”，面积变得越小，从而让他们体验正方形的面积最大，这是一个较好的数学问题，到了中学还可引出这一问题的简要证明：设长方形长为a+ x、宽为a-x，它的周长是l=4a（定长），面积是S =(a + x)(a - x)= a2- x2，当x=0时，面积最大，此时就是每边为a 的正方形．教材还有用火柴棒搭组合图形的游戏，学生操作时会显得杂乱、费时，教师常改用画格子图的方法让学生从中探索周长与面积的关系（如图11）．其实无非是要说明：凹进去的图形，周长不变甚至增加，面积却会变小．有老师要学生“探索”凹在角上有什么规律？凹在边上有什么规律？再凹进去怎么样？这也许就不是一个好的数学问题，节外生枝钻牛角尖，学生反而犯糊涂．这样的“深挖洞”究竟有多大的思维价值？图8组合图形周长计算正确率统计图9组合图形面积计算正确率统计图10综合运用周长和面积单位出错率统计图11“探索”周长与面积的关系怎样设计好的数学问题，是对专业知识的一种挑战．这里不妨让教师了解一点“等周问题”．先是等周长的四边形第 6 期 顾非石等：数据·课例·建议 77正方形面积最大，然后等周长的多边形正多边形面积最大，最终是个著名的数学问题：平面上等周长的封闭曲线中，圆围成的面积最大．这可以用有趣的肥皂膜上的实验来演示．近世几何学家施泰纳有一种证明，共分 3 步： （1）等周长面积最大的图形一定是凸的．如果是凹的，如图，一定可把ABC 翻成AB'C ，此时周长不变，但面积比前者更大，出现矛盾．（2）平分该图形周长的弦一定平分它的面积．如果 AC 不平分该图形 ABCD 的面积，上半部分大下半部分小，可把ABC 翻成AB'C ，此时周长不变，但图形 ABCB ’面积更大，出现矛盾．（3）该图形一定是圆．因为平分，可只研究该图形的一半，P 为ABC 上任一点，如图 12，Ⅰ 、Ⅱ 两块图形不变，第 Ⅲ 块是三角形，只有当∠ P 为直角时面积最大，因此 P 在半圆弧上．这个定理在数学史上占有重要地位，它对变分法的产生和发展起了重大作用．各种各样的等周问题，不但有趣、而且管用，人们称为是一个好的数学问题．1984 年苏步青先生在上海科学会堂为中学数学教师办讲习班，苏老专著《微分几何五讲》，第一讲都是圆的等周问题，他是用高等数学方法证明的．图 12 圆围成的面积最大2.4 提供攀登式的学习机会（以“有余数的除法”为例）这是一个根据测评反思然后改进教学行为的生动范例．早在 1996 年，弗赖登塔尔研究所的达朗其（Jan deLange ）在 ICME-8 的大会报告中介绍了荷兰的一堂课：81 名家长出席学校家长会，每张桌子可坐 6 人，需要布置多少张桌子？一类学生具体地摆桌子；第二类学生经历了具体摆到抽象为算式运算的过程；第三类学生只是套用现存的算式去做．他认为，三类学生中只有第二类才真正体验到了“ 数学化” 的含义．原先中国某校一位老师的课，第一个环节是复习，要学生区分除法有两种，一种是等分除法，还有一种是包含除法，例如前面达朗其的问题，81 中包含几个 6，属于包含除法．第二个环节是程式化的训练，如 3⨯ ( ) < 7 ，( )里最大能填几，为试商作铺垫．第三个环节才进入有余数的除法，学生并不清楚前两个环节的用意是什么？跟着走，一头雾水．到第三环节才点出今天这堂课的主题，单就计算（包括余数概念和试商技能）而言学生不觉得很难．第四个环节要 “ 跳一跳” ，引导学生“ 攀登” ，即自行寻找余数与除数之间有什么规律？学生都说不知道．老师具体列出16 ÷ 5 = 3 1 、17 ÷ 5 = 3 2 、 18 ÷ 5 = 3 3 、 19 ÷ 5 = 3 4 ，再问学生可以看出什么规律？学生还是不知道．老师说，余数分别是 1、2、3、4，除数是 5，它们之间有什么关系？学生说 1+4=5、2+3=5，还是不着边际．此时下课铃响了，老师只好这样问，1、2、3、4比5大还是小？学生恍然大悟齐声说：1、2、3、4比5小．老师接着小结：我们通过师生共同探索，余数一定小于除数．课后组织研讨，大家一致认为，在这堂课上学生没有真正体验数学化的过程，这是假的攀登式学习．其中一位农村教师说，在我们乡下教除法，用的是一句话：“除法就是分豆子”．教师们由此得到启发，试验了如图13所示的改进方法：7颗豆平均分放3个盘子．这样一改，课上得顺畅了，一边是从实物到算式的形式化，另一边是从算式到实物寻找意义，真的体验了数学化的全过程．余下的豆子………………余数概念每个盘子试放几颗………试商技能图13“除法就是分豆子”可是，这样的试验还碰到了问题：学生只会动手做，除法要拿豆子来．虽然热热闹闹，却陷入了教学的浅薄．老师们针对该问题作了进一步的改进，分了几次豆子之后，要学生“放掉豆子和盘子，然后在脑中分豆子，这一改进很见效，学生学会了动脑想，看似静悄悄，却能拒绝思维的贫乏．到了需要“攀登”的环节，老师还是问：余数与除数有什么规律？以前是都说不知道，这次不少学生都说：余数要小于除数．老师问为什么？学生则说：余数是余下的豆子数，除数是盘子数，如果余下的豆子数比盘子数大，那每个盘子至少还可以放一颗．由此足见，安排适合儿童的认知情境和学习台阶，由此组织学生的探索和攀登，潜力无穷，这正是近年来中国教师的实践创造．为了对这类创造性改进作量化的分析，研究者曾采用弗兰德师生语言互动作时间考量，以探讨“余数小于除数”的环节为例，数据如表2．制成统计图见图14．由图可见，改进后与改进前相比较：（1）课堂静止或不理解的时间、教师指示或命令、批评或辩护权威行为，在改进课中下降为零；教师演讲、学生按老师要求表述，明显减少．（2）教师的提问、学生主动表达自己的发现的语言在改进课中明显增加；教师接纳学生感觉的语言也有上升．这就清楚显示了教学的理念与行为正在发生有益的改变．图14改进前后师生语言互动状况统计图3结语与建议前文用了4个课例，作散点式的典型考察，其意义不在具体内容，而在4类普遍性问题的深化讨论，那就是在小学。