圆与圆的位置关系(2013.12.23)
圆与圆的位置关系高二知识点
圆与圆的位置关系高二知识点
嘿，同学们！今天咱来好好聊聊高二知识点里超有趣的圆与圆的位置关系！
想象一下啊，两个圆就像是两个小伙伴，它们在平面这个大舞台上有着不同的相处方式呢！比如说，两个圆离得老远老远，根本挨不着边儿，就像你和住在另一城市的朋友，平时没啥交集，这种就是相离啦！像两个圆外切的时候呢，就好像两个好朋友手牵手，仅仅挨在一起，多亲密呀！再看看内切，哎呀，这就像是一个圆偷偷躲进另一个圆的“怀抱”里一样。
来，咱看个具体例子啊！比如说有两个圆，一个圆的圆心坐标是(1,2)，半径是3，另一个圆的圆心坐标是(5,6)，半径是2。
那它们是啥位置关系呢？咱就可以通过计算圆心距和两半径之和、半径之差来判断呀！哇，是不是很有意思？
有时候啊，咱还能遇到相交的情况，这就像两个小伙伴会有一些共同的活动区域，有来有往的！咱再想想，生活中不也有很多这样类似的情况吗？
圆与圆的位置关系可真是太神奇啦！它就像是一个小小的世界，充满了各种可能和变化。
你能通过这些关系去探索、去发现！
我的观点就是，圆与圆的位置关系真的是高二数学中很重要很有趣的一部分哇！大家一定要好好掌握哦，这样就能在数学的海洋里畅游啦！。
圆与圆的位置关系(解析版)
圆与圆的位置关系(解析版)圆与圆的位置关系（解析版）圆与圆的位置关系是几何学中常见的问题。
在解析几何中，我们可以通过方程和图形的分析来确定两个圆之间的位置关系。
本文将详细介绍圆与圆的位置关系及其解析方法。
I. 两个圆的位置关系当给定两个圆的方程时，我们可以通过以下几种情况来判断它们的位置关系：1. 相离(disjoint)如果两个圆不相交，它们互相分离，也就是说没有公共点。
我们可以通过计算它们的半径之和和两个圆心之间的距离来判断。
如果半径之和小于圆心之间的距离，即 r1 + r2 < d，那么两个圆相离。
2. 外切（tangent exterior）如果两个圆的外部只有一个公共点，我们称它们相切于外部。
这意味着两个圆心之间的距离等于它们的半径之和，并且没有其他公共点。
我们可以通过计算两个圆心之间的距离和两个圆的半径之和来判断。
如果半径之和等于圆心之间的距离，即 r1 + r2 = d，那么两个圆相切于外部。
3. 内切（tangent interior）如果两个圆的内部只有一个公共点，我们称它们相切于内部。
这意味着两个圆的半径之差等于它们的圆心之间的距离，并且没有其他公共点。
我们可以通过计算两个圆的半径之差和两个圆心之间的距离来判断。
如果圆心之间的距离等于半径之差，即 d = |r1 - r2|，那么两个圆相切于内部。
4. 相交（intersect）如果两个圆有两个公共点，我们称它们相交。
这意味着两个圆心之间的距离小于半径之和，并且有两个公共点。
我们可以通过计算两个圆心之间的距离和两个圆的半径之和来判断。
如果半径之和大于圆心之间的距离，即 r1 + r2 > d，那么两个圆相交。
II. 解析方法在解析几何中，我们可以利用两个圆的方程来求解它们的位置关系。
假设第一个圆的方程为(x - h1)^2 + (y - k1)^2 = r1^2，第二个圆的方程为(x - h2)^2 + (y - k2)^2 = r2^2，其中(h1, k1)和(h2, k2)分别代表两个圆的圆心坐标，r1和r2分别代表两个圆的半径。
初二数学圆与圆的位置关系与性质
初二数学圆与圆的位置关系与性质初二数学：圆与圆的位置关系与性质圆是数学中的重要概念之一，而研究圆与圆之间的位置关系与性质，可以帮助我们更好地理解几何学中的基本概念和定理。
本文将介绍一些常见的圆与圆的位置关系，并解析它们的性质。
1. 相交关系圆与圆之间最常见的位置关系就是相交。
当两个圆相交时，它们的圆心之间的距离小于两个圆的半径之和。
我们可以分为两种情况来讨论：1.1 两个圆相交于两个点当两个圆相交于两个点时，我们称之为相交圆。
这两个点叫做相交圆的交点，要注意的是，相交圆的交点与圆心连线垂直。
1.2 一个圆包含另一个圆当一个圆完全包含另一个圆时，我们称之为内切圆。
此时，内切圆的圆心与外切圆的圆心与交点在一条直线上，而内切圆的半径小于外切圆的半径。
2. 相离关系除了相交关系，两个圆也可以相离，即它们的圆心之间的距离大于两个圆的半径之和。
在这种情况下，我们称这两个圆为相离圆。
3. 共切关系当两个圆外切于一点时，我们称之为外切圆。
此时，外切圆的圆心与两个圆的圆心与交点在一条直线上，而外切圆的半径等于两个圆的半径之和。
类似地，当两个圆内切于一点时，我们称之为内切圆。
此时，内切圆的圆心与两个圆的圆心与交点在一条直线上，而内切圆的半径等于两个圆的半径之差。
4. 同心圆当两个圆的圆心重合时，我们称这两个圆为同心圆。
此时，两个圆的半径可以不同，但半径越小的圆位于半径较大的圆内部。
通过研究圆与圆的位置关系，我们可以得出一些重要的性质：- 外切圆与相切圆的切点与圆心连线垂直；- 内切圆的半径小于外切圆的半径；- 内切圆的半径等于两个圆的半径之差；- 外切圆的半径等于两个圆的半径之和。
总结起来，圆与圆的位置关系涉及相交、相离、内切、外切和同心等情况。
在解决相关问题时，我们可以根据这些位置关系和性质，运用相关定理，进行几何推导和计算。
初中数学中的几何学是数学的重要组成部分，圆与圆的位置关系与性质又是其中的重要内容。
通过深入研究与实践，可以提升我们的几何思维能力，并应用于实际问题中。
圆与圆的位置关系及判断方法
圆与圆的位置关系及判断方法“哇，这两个圆画得好漂亮呀！”我看着作业本上的两个圆感叹道。
旁边的同桌凑过来，“这有啥，不就是两个圆嘛。
”我赶紧说：“你知道圆和圆有啥位置关系不？”
嘿，圆和圆的位置关系可有好几种呢。
比如说外离，就像两个小伙伴离得远远的，谁也不挨着谁。
外切呢，就像两个小伙伴手拉手，刚好碰到一起。
内切呢，就像一个小伙伴悄悄躲在另一个小伙伴里面，只露出一点边边。
还有相交，就像两个小伙伴抱在一起，有一部分重叠啦。
那怎么判断圆和圆的位置关系呢？可以看两个圆心之间的距离和两个圆半径的关系哦。
这就像玩猜谜游戏一样，得找到关键线索。
圆和圆的位置关系在生活中有啥用呢？比如说设计花坛的时候，要是想让两个花坛有不同的位置效果，就可以用圆和圆的位置关系来设计。
这多棒呀！就像设计师有了魔法棒，可以变出各种漂亮的图案。
还有做蛋糕的时候，也能用到呢。
在蛋糕上用不同颜色的奶油画两个圆，根据位置关系可以做出很可爱的造型。
我记得有一次上美术课，老师让我们画两个圆，然后想想它们可以有哪些位置关系。
大家都发挥想象，画得可认真啦。
有的画了两个圆外离，像两个气球飘在空中。
有的画了两个圆相交，像两个彩色的泡泡
碰在一起。
那一刻，我觉得圆和圆的位置关系好有趣呀，就像打开了一个充满创意的盒子。
圆和圆的位置关系真的很神奇呢！能让我们看到不一样的美。
我们可以好好利用它们，创造出更多好玩的东西。
初中数学知识点精讲精析 圆和圆的位置关系
3·6圆和圆的位置关系1.圆与圆的五种位置关系：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部；(2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部；(3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部；(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O2上的点在⊙O1的内部；(5)内含：两个圆没有公共点，⊙O2上的点都在⊙O1的内部．外离和内含都没有公共点；外切和内切都有一个公共点，相交有两个公共点．因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种．(2)相交2.两圆相内切或外切时，两圆的连心线一定经过切点，都是轴对称图形，对称轴是它们的连心线．3.在图(1)中，两圆相外切，切点是A．因为切点A在连心线O1O2上，所以O1O2＝O1A+O2A ＝R+r，即d=R+r：反之，当d＝R+r时，说明圆心距等于两圆半径之和，O1、A、O2在一条直线上，所以⊙O1与⊙O2只有一个交点A，即⊙O1与⊙O2外切．在图(2)中，⊙O1与⊙O2相内切，切点是B.因为切点B在连心线O1O2，所以O1O2＝O1B-O2B，即d＝R-r：反之，当d＝R-r时，圆心距等于两半径之差，即O1O2=O1B-O2B，说明O1、O2、B在一条直线上，B既在⊙O1上，又在⊙O2上，所以⊙O1与⊙O2内切．当两圆相外切时，有d=R+r，反过来，当d=R+r时，两圆相外切，即两圆相外切 d＝R+r当两圆相内切时，有d=R-r，反过来，当d＝R-r时，两圆相内切，即两圆相内切d ＝R-r．设两圆半径分别为R和r，圆心矩为d，那么(1)两圆外离d＞R+r(2)两圆外切d=R+r(3)两圆相交R-r＜d＜R=r(R≥r)(4)两圆内切d=R-r(R＞r)(5)两圆内含d＜R-r(R＞r)同心圆d=04.定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．1.两个同样大小的肥皂泡黏(点O，O′是圆心)，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．分析：因为两个圆大小相同，所以半径OP=O′P＝OO′，又TP、NP分别为两圆的切线，所以PT⊥OP，PN⊥O′P，即∠OPT＝∠O′PN=90°，所以∠TPN等于360°减去∠OPT+∠O′PN+∠OPO°即可．【解析】∵OP ＝OO′＝PO′，∴△PO′O是一个等边三角形．∴∠OPO′=60°．又∵TP与NP分别为两圆的切线，∴∠TPO=∠NPO′=90°．∴∠TPN=360°-2× 90°-60°=120°．2．如图⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm．求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少？(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？【解析】(1)设⊙O与⊙P外切于点A．∴ PA=OP-OA=8-5，∴ PA=3cm．(2)设⊙O与⊙p内切于点B．∴ PB=OP+OB=8+5，∴ PB=13cm．（3)如图7-101，⊙O2与以O1为圆心的同心圆相交于A、B、C、D．3．求证：四边形ABCD是等腰梯形．分析：欲证明四边形ABCD是等腰梯形，只需证明AB∥CD，AD=BC且AB≠CD即可．【解析】证明：连结O1O2，∵⊙O2与以O1为圆心的圆相交于A、B、C、D，∴ AB⊥O1O2，DC⊥O1O2．∴ AB∥CD．在⊙O2中，∵AB∥CD，又∵ AB≠CD，∴四边形ABCD是等腰梯形．4.已知：如图7-102，A是⊙O1、⊙O2的一个交点，点P是O1O2的中点．如果过A的直线MN垂直于PA，交⊙O1于M，交⊙O2于N．那么AM与AN有什么关系呢？是O1O2中点，由平行线等分线段定理可得AC=AD，而得结论．【解析】证明：过点O1、O2分别作O1C⊥MN，O2D⊥MN，垂足为C、D，又∵ PA⊥MN，∴ PA∥O1C∥O2D，∵O1P=O2P，∴ AC=AD．∴ AM=AN．。
圆和圆的位置关系
(3)圆心距和两圆半径之间的数量关系是性质也是判定，应用时注 意区分.
课后作业:
课本P.151 习题7.5A组 2，3，4 题.
See you next time!
；糖球直播
；
不咋大的腹の神晶,在想到脑海内の灵魂联系,恍然大悟.他那空洞の眼神,瞬间亮了起来,原本身体上有些淡淡の死气.也瞬间被勃勃の生机和狂喜所替代,甚至他整个身子都不断の颤抖起来,两行滚烫の热泪,挥洒而出. "对,对！没死,没死！老大没死,老大怎么会死?老大绝对死不了！唧 唧,不对,老大不喜欢唧唧,吼吼,俺太高兴了…" 不咋大的白凌乱了,在床上地上转来转去,宛如一些傻子一样,一会儿傻笑起来,一会儿愁眉,一会儿自言自语,无比の癫狂. "别高兴の太早,你呀老大这情况很诡异,生机明明熄灭了,但是灵魂却还没有散去,如果他灵魂彻底散去の话,他同样 会死！" 兰妃望着高兴万分の不咋大的白,忍不住の打击起他来.而后她再次开始探查起白重炙の情况起来.白重炙现在の情况,让她再次涨了见识,练家子居然这样了还没有死,脑海内那淡淡の光罩还在继续亮着,依旧无法探查,无法知道里面在发生什么异变. "不咋大的噬魂智,你呀给俺 乖乖の坐在一边,俺要施法救治一下你呀老大,否则这样下去,他身体会彻底の坏掉,到时候他の身体都没用了,灵魂肯定会散去の！" 兰妃看着凑到身边紧张の望着她の不咋大的白,有些无奈の叹气道.而后从空间戒指内取出一些精致の玉盒,有些惋惜の叹气道："便宜你呀这不咋大的子 了,你呀可要给俺争气点,醒过来,要知道俺这蓝雨丹,如果在神界可是能卖数千亿神石,你呀要是敢浪费,俺决不饶你呀！" 兰妃说了一句废话之后,轻轻の打开玉盒.一枚淡蓝色の神丹从里面飘了出来,被兰妃一把抓住,直接丢入了白重炙の口中.然后她神情复杂の望了白重炙一眼,将白重
中考数学复习：圆和圆的位置关系
中考数学复习：圆和圆的位置关系
1、圆和圆的位置关系
如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。
如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。
如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。
2、圆心距
两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。
3、圆和圆位置关系的性质与判定
设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么
两圆外离d>R+r
两圆外切d=R+r
两圆相交R-r<d<R+r（R≥r）
两圆内切d=R-r（R>r）
两圆内含d<R-r（R>r）
4、两圆相切、相交的重要性质
如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
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圆与圆的位置关系
B
O
P A
解: (1)设⊙O与⊙P外切于点A， 则 ∴ PA=OP-OA。 PA=3cm (2)设⊙O与⊙P内切于点B， 则 ∴ PB=OP+OB PB=13cm
答 案
O1 O2
O
d r
R
o1
R
r
d
o2
外 离外 切相 交Fra bibliotek内 切
内 含
d1 > R+r > d2
>
R-r > d3 >=0
两圆的位置关系
相离 外离 内含
相交
相切
相交 外切 内切
d>R+r d<R-r
R-r <d<R+r
d=R+r d=R-r
例 如图，⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外 一点， OP=8cm。求 1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少？ 2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？
两个圆有唯一的公共点，并且 除了这个公共点以外，一个圆上的 点都在另一个圆的内部时，叫做这 两个圆 内切
内切和外切统称为相切
两个圆有两个公共点时，叫 做这两个圆 相交
二、根据圆心距和两圆半径的大小关系
o1 R
r o2
d(圆心距）
d>R+r
o1
T
R d r
o2
d=R+r
o2 o1
T
r
R
d
d=R-r (R>r)
圆和圆的位置关系
一、根据两圆公共点的个数
两个圆没有公共点，并且每个圆上的点 都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离
两个圆没有公共点，并且一个圆上 的点都在另一个圆的内部时，叫做这 内含 两个圆 两圆同心是两圆内含的一种特例
圆和圆的位置关系
课时训练
2、定圆O的半径是4㎝，动圆P的半径是1㎝. （1）设⊙O和⊙P相外切，点P与点O的距离 是多少？点P可以在什么样的线上移动？ （2）设⊙O和⊙P相内切，情况又怎样？ 解：（1） ⊙O和⊙P相外切，点P与点O的距离 OP=4+1=5cm,点P在以点O为圆心，5cm长为半径 的圆上运动。 （2） ⊙O和⊙P相内切，点P与点O的距离 OP=4+1=3cm,点P在以点O为圆心，3cm长为 半径的圆上运动。
o
课时训练
1 如图，⊙O的半径为5 cm，点P是⊙O外一 点，OP=8 cm．求： (1)以P为圆心作⊙P与⊙O内 切，大圆⊙P的半径是多少？(2)以P为圆心作⊙P 与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少？
解： （1）⊙O与⊙P内切于点B，
则
PB=PO+OB
B
O
A
P
所以 PB=13 cm. （2）⊙O与⊙P外切于点A， 则 PA=OP－OA 所以 PA=3 cm，
圆和圆的位置关系
动手实践
摆一摆:下面有许多圆，用鼠标指着圆心，按下左键 就能将圆放到你想要的位置，请你根据刚才的观察，摆出 你心中两圆的各种位置关系.
观
察
两圆的五种位置关系
归
纳
两圆的位置关系
相离
相交
相切
外离 内含
相交
外切
内切
探究
两圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径 间有怎样的数量关系？
结
论
2.已知：⊙ O1 的半径为4，⊙ O2 的半径 为5，若⊙ O1 与 ⊙ O2外切，则 O1O2 = 9 . 如果两圆相交，则 O1O2 的取值范围 是 1< O1O2 <9 .如果两圆外离，则 O1O2的取 O1O2 >9 值范围_______. 3.在图中有两圆的多种位置关系，请你 外离 找出还没有的位置关系是_____
圆和圆的位置关系
；
城市里过分的静，哪怕是短暂的，就有一种时光停滞之感，静得让人不安、疑虑重重。人们已被声响渗透全身。 ? 前不久我去了一个山村，带去读的几本书，其中有一本是席勒文集。那天下午无所事事，我走到村外的一株大樟树下，坐在落满樟叶的坡上，一页页地翻动。我不时地让眼 睛离开书页，看着眼前的；秋景。稻谷已是金黄，待割；荒草尖流露着枯意，生命进入了末端.有时头顶的树叶就落在段落,是黄里带红的那一种。四周的山水、田园静谧。秋天的装饰、生存的装饰，在午后的阳光下泛着简洁的光。这时席勒的一段话就飘入我的眼帘，“当一个人离开尘嚣 伫立在豁朗的天穹之下，当他幽居村舍，漫步田间之时，他看到一朵模模样寻常的花儿，一片明媚的春光，一块覆盖着青苔的山石，一声声鸟雀的啁啾，蜜蜂的嗡嗡……”天哪！席勒描述的春景，其中的和谐和浑然，与我此时的情致不是如出一辙么。一两声的鸟鸣，一两声的牛哞，一两 声的羊咩，是如此这般巧妙穿插生动地点缀。幽居只有指出村，城市是无来由论说幽居的，城里只能说蛰伏击。蛰伏是不从容闲雅的，幽居则享受天然不尽。这么说当然不是指村民们在生活中都不弄出些声响，而是这些声响也相应地天然质朴。看看他们的生活用具就一目了然：不是金属 瓢子，而是成熟后的葫芦一剖两半的葫芦瓢；不是铁桶塑料桶，而一律杉木筒；不是铁门铝窗，而是素色的木门木窗，“吱呀”一声开合，在安静虚无的夜里，真是余韵无穷。就是大热天，村上也不置电扇空调，大人小孩一柄棕树叶编织成的团扇，足以消解让人厌烦的漫长夏季。这些与 竹木类仍然越抱越紧的生活方式，我们说原始也罢、无趣也罢，已经变得冥冥之中有灵犀了，并不因此影响生活质量。他们的生息是循四季进展开的，他们是世袭通晓四季音符的人。 ? 城乡声响的迥异，使人预测有的声响要被改造、被同化。声响的两大类别就是市声和村声。事实明， 市声已向村声推进了，这使城市边缘的村庄变得声调失去常态，有些古怪离奇。其中一部分山村的和谐之声走失，是与老一辈故去有瓜葛的。我这里说的地方戏，你要认识一代人的心灵，完全可以从腔调入手，找到其中的情结。那一代人会不动不动地坐着，痴迷地盯着舞台上长袖善舞， 眉目传情，声调抑扬里，盛不又尽牢骚抑郁的啸号愤激之情、慷慨流连诙谐笑谑之态，不由感慨人世的哀乐交融、荣悴迭代。台上曾经的名角，被台下的人灼灼目光追逐着。多少时日过去了，某一个唱腔隐约漾起，还会令人涌起如梦如烟的往事，重又再现玉手传笺的美丽夜色，不能淡忘 舞台上那临风玉立缟衣吹拂的滋味。这一代人不见了，下一代人鲜有耐性，和谐之声遂为嘈切，更遑论从腔调的游移中庄周之幻化、曼傅之诙谐了。上一代人的至乐，被下一代人倾听的方式不同，对于声响必有取舍。所谓生命就是如此，有生有死，有湮没有更新。声响不也是一种生命？！ 在一些文化积淀厚实的人家里，累代相传的都是琅琅书声。书声无论在什么时节，不管是初涉诗书的孩童，还是腹笥充实的老者，书声都长久怡人。没有人会嫌书声。一落破旧的老宅，由于有了书声，使它变得生机勃发，使人见到希望。书声是不分贫贱的，甚至在声调里，它的平民色彩 还会浓一些。它盛满了平头百姓的秘密，循着书声，可以追溯一个家族的过去，以及未来的走向。我在山村好几次见到这样的情景：儿子在读书，父亲在旁边敲敲打修农具，这时婆娘必定走过来，让丈夫把农具拎到户外去摆弄，生怕乱了孩子的书声。晚间的山村没有电灯，油灯最亮的那 一盏一定是属读书小儿的，习惯在点亮时再把灯芯挑高一点。其他房间则一片昏黄或漆黑一团。这些细节很多年来都让我萦绕于怀。尽管我在旁边听着，却听不懂，孩子的乡音太重。我依旧觉得这是上好的声响。后来，听说有几个小孩就在书声中考进城来了。在噪声这般繁重的空间，他 们还能一如既往地固守内心的安宁吗？ 对于噪声,我们更多的替肉体担心,因为肉体受到了伤害,让我们寝食不安日渐枯瘦,日子的节奏在潦潦草草中随便带过,从容不迫成了奢望.，在公共的场合上,人们要躲避噪声是徒劳的,城里那千万只蟑螂一般奔驶的汽车、摩托，是这个空间流动不息 的噪声传播器，在无数街巷惊惊惶惶的散播；还有不少人拿着手机，肆无忌惮的大喊大叫，宛如发生了倾国倾城的大事。于是噪声的种类比以前增添了品种，噪声量也不得不成立治理噪声的组织。可是对付无所不在的噪声，还是另人招架不及。噪声生命力正在增强，运动的状态使它们不 分城南城北，涵盖了整个城市。我想起了古人有过庭院深深深几许的佳句，佳句犹存，永远会喜欢那样的庭院。庭院成了单元房，那些梦中的回廊、花径、天井消失了，幽深的长景一浅显，噪声就长驱直入。 现在我们就爱说古人坐得住。宁静是古文人的恋人，拥之而坐。宁静使人心绪 淡远，举止斯文而有雅气。坐品宁静，可以由此穿透到永久，与那时的人相聚。古文人的息息相通，从氛围上来解是同一个谜底，他们有那么多的暗合之处，如合符契另人惊艳。至于为什么会这般相似，有时只能是永久的秘密了，让他们发生同样的思索和爱情，在宁静中诞生、长大、故 去。后来的空间转为“现代”，声响也变得难以捉控了。多了一种声响，静坐书斋就多了一份踌躇。当一个人守不住他的冷板凳，有许多梦想今生是注定无法实现了。渴望在蓝天白云间飞翔，迎接八面来风，这是很多浪漫气息的。商海漫游、仕途拼搏，更多的人习惯了觥筹交错中的热闹， 习惯了前呼后唤的虚荣。当然，对于独处默坐的书斋生活再也不会习惯了。那个曾经闭合的范围里，曾经是精神意义上的家园，成为破旧的空巢。 水汪汪的眼 ? 对于深度的感受，我不是从书本开始的———一个不谙世事的孩童，很难领会数字给予的启蒙，譬如我们身处海平面多少米。 我不能不一次又一次地发现，成年后对于深度的认识，都要缘于孩童时代的亲眼所见。可以肯定指出，家园中曾经有过三眼汪汪的古井，如同三枚饱满滋润的水印子，钤盖在我敏感的皮肤上。 ? 观察着疏朗的枝叶向上生长的时候，对于古井低于人们行走的平面，我是油然产生奇怪的— ——既然向下发掘可以获得清亮的井水，那么，一定也会有很多未知的宝藏隐匿。多雨潮湿的地方啊，掘一眼井不算难事，可本意真是如此吗？我会觉得在这个家园里，掘地三尺另有企图，最终以一泓清泉的涌出作为回报。随着这些不知哪个朝代掘出的水井存世，井的周遭理所当然成了 果林和菜园———井的延续改造了生活的面目，比掘出其他宝藏都清纯和透彻。 ? 井的出现使我对于深度有了抚摸的可能。间接地通过井绳，与深井接触。平静的水面，随着邻里结伴汲水，三四个小木桶此落彼起，烂银子似的荡漾波光。甚至在早睡的梦里，还能听到大人们借着洁白的 月色浇灌、木桶击水或者桶帮与井壁磕碰的声响。朴素的温馨之夜，在清流的泼洒中走进安宁。一眼古井，经过漫长时日的打磨，已经泰然地与人亲和，不需要后人特意花费心机护理，只管使用便是。这也让人们对古井的牵挂最少，似乎前人的一次性劳动，后人得以永享安逸。对于轻松 地享用，自然削弱了古井的重要———人的本性通常如此，譬如那些会讨会要咋呼不休的人，往往得到满足；而斯文缄默者，被人淡忘。在我那时学会的几个成语里，都是对井的不敬———井底之蛙、坐井观天，贬低的口吻里，分明涉及了井的固有状态，它的狭窄如“眼”，缺乏闳大的 格局和开阔的气派，由此受到牵连。只有与井为邻的人才知道，古井的周围远比其他地方翠绿和润泽，有一缕缕草浆汁水的生生气息在井栏边无声地漾开；夏日里干渴的黄蜂和蜾蠃会结伴而来，伏在井沿凹下的水渍里。没有人去追问古井的来源，对于清亮照人的水和井内黑暗下去的视线， 即便联想纷起，却没有一个人表示贪欲———共同拥有，人们的心态大都平静得如同井内之水。 ? 区分新井和古井的差别是轻易的。新井内被砌起的石条全是崭新和锐利，白生生的茬口流露着火气，动荡的木桶不小心被磕碰，绳索被磨砺，马上露出伤痕。新井的水不时涌动着，水色浑 浊，携带着土腥味。掘井人需要有足够的耐性等待清澈，每日汲出大量的水用于浇灌，期望浊去清来。不须太久，新井躁动的情绪被净化如一面不动的镜子，风吹不到，皱纹不生。井水的清冽、甘甜，传出后，来来往往的人就多了起来。时间慢慢地流过，井水总停留在一个水平面上，从 未见少。 ? “取之无尽，用之不竭”，记得小学老师把这八个字赋予了一个伟大的思想。我脑子一闪而过的，是老家那几眼黑洞洞的水井，这无疑是最感性和具体的。我甚至想，一些用语，如果乐于迎合思想和主义，对于涉世不深的少年，领会也许失之千里万里。完全可以用身旁的、 日常的材料，大大缩短领会的长度———漫无边际地撕扯，只能让人无奈。至少，你感到诚惶诚恐。一切认识都毋须安排，要刻在头脑里剜却不去的，只能靠自己在岁月行走中获得的某些机缘。它自然而然地进入，比灌输的更不易风化。 ? 时日在井底下流失。当年锋棱锐利已经成为钝 拙，曾经崭新的色泽变得泛黄，一些黧黑的苔藓，星星点点地附在井壁上，让人一眼望下去，发出井已老矣的感叹。冬温夏凉，井水在浑然无声的节候里默契转换。这样的井，是苍天幽深的眼神，水汪汪地穿透一切天机世相。水与水是不可相比的，波来波往、潮起潮落，流动的水是时间 的一种表征，印着时间的旅程。井水恰恰相反，一汪地静止索默，涵养着安宁，让人觉察不出它的意图。这也是古井难以枯竭也不溢涨的缘由，让人体验着静止的微妙———掘井之前，这口井的命数如何，是无从意料的，只能掘下去，这口井的个性才会显露。井和主人，只能靠机缘产生 联系，那种掘井不成反而掘出了兵马俑的失败例子，只能归结为人与井没有缘分。 ? 不能如愿的井让人难堪。当初那位手执罗盘看风水的江湖术士已经走远，掘到底才知道———问题来了。有的井水量涓滴；有的则过于充沛，溢出不止；还有的不可食用。对于地下的奥秘，人所知之甚 少，井下结构令人一筹莫展。动土之前据说要焚香敬拜的，这些对土地虔诚的人，重视这一道心灵的手续。揭破与水一层之隔的土皮，生命就汩汩而出了。泉眼的太旺与不足都是祸害，过程显然被浪费了。对于目的性很强的人来说，有价值与否要看结果。一眼井让人失望了，必须果断地 填埋。掘出来的土才见到阳光，又匆匆返回潮湿的地下，堆挤压实。这时主人庆幸的是，好似一个出了瓶
初中数学知识归纳圆与圆之间的位置关系
初中数学知识归纳圆与圆之间的位置关系圆与圆之间的位置关系是初中数学中的一个重要内容，它涉及到圆的相交关系、包含关系以及外切关系等多个方面。
通过归纳总结，我们可以更好地理解和运用这些知识点。
一、相离关系当两个圆没有任何交点时，它们被称为相离的圆。
两个相离的圆之间的最大距离等于它们的半径之和。
二、外切关系如果两个圆的半径相等，并且它们的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和，我们称这两个圆为外切的圆。
三、相交关系相交是指两个圆的内部空间存在公共点。
根据两个圆的圆心之间的距离和半径的关系，相交的情况又可以分为四种。
1.相交于两点当两个圆的圆心之间的距离小于两个圆的半径之和，并且大于两个圆的半径之差时，两个圆相交于两个点。
2.相切于外点当两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和时，两个圆相切于外点。
3.相切于内点当两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之差时，两个圆相切于内点。
4.相切于公切线当两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和，并且两个圆的半径不相等时，两个圆相切于一条公切线。
四、内含关系如果一个圆的内部完全位于另一个圆内部，我们称这两个圆为内含的关系。
在内含的情况下，内含圆的半径小于包含圆的半径。
五、包含关系如果一个圆的外部完全包含另一个圆，我们称这两个圆为包含的关系。
在包含的情况下，包含圆的半径大于内含圆的半径。
通过对圆与圆之间的位置关系进行归纳整理，我们可以更好地理解和应用这些知识点。
在解决相关题目时，我们可以根据题目给出的条件和要求，运用这些位置关系进行分析和推理。
同时，我们还可以通过观察图形特点和运用相关定理来判断两个圆之间的位置关系，从而解决问题。
初中数学中的圆与圆之间的位置关系是一个基础而重要的内容，它不仅在几何学中有广泛的应用，而且在实际生活和工程中也有着重要的作用。
通过掌握和运用这些知识，我们可以更好地理解和应用数学，为解决实际问题提供有力的支持。
1圆和圆的位置关系
圆 和 内含 圆 的 外切 位 置 内切 关 系 相交
没
有相
公 共
离
点
一
个
公相
共 点
切பைடு நூலகம்
两
个
公
相
共 点
交
观 怎样从两圆的圆心距与两圆半径的数量关
察 系来判断两圆的位置关系?
与
思
R
r
考
•
O1
d O• 2
R
r
•
O1
d
O• 2
R
•
O1
d
两圆外离
r
O• 2
R
O•d1 O• 2r
两圆外切
R
O1•d•O2r
O1O2=0
两圆相交 两圆内切
两圆内含
活动2两：圆的位置关系 d与r1和r2的关系 如果外两离个圆的<半＝径>分别d为>rr11和+rr2（r1<r2），
圆d足与这心r1样距和的（r2关两外 相有系圆切 交怎时圆样，心的两的关<<＝圆＝距系一离？>>定）反外为过rd2离d-来=r，r吗1，<1当+？d当r两<2d圆r与1+外r1r和离2 r时2满， 内切 <＝> d=r2-r1
内含 <＝> d<r2-r1
r1 r1
r1
○d2 ○1
○1d○1
○1
圆和圆的五种位置关系
Rr
O1
O2
外离
O1O2>R+r
Rr
O1
O2
外切
O1O2=R+r
Rr O1 O2
相交
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系知识梳理1、在同一平面内，两个不重合的圆有五种位置关系：（1）两圆外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部；（2）两圆外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一 个圆的外部，这个唯一的公共点叫做切点； （3）两圆相交：两个圆有两个公共点；（4）两圆内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一 个圆的内部，这个唯一的公共点叫做切点；（5）两圆内含：两个圆没有公共点，并且某个圆上的点都在另一个圆的内部。
2、圆与圆位置关系的确定 图形公共点的个数位置关系两圆半径与圆心距的数量关系外离r R d +＞1外切r R d +=2相交r R d r R +-＜＜1内切r R d -=内含r R d -≤＜03、如图，⊙O 1与⊙O 2外切于P ，AB 是两圆的外公切线，切点为A 、B ，我们称△PAB 为切点三角形，切点三角形具有许多性质，现总结如下：（1）△PAB 是直角三角形，并且∠APB ＝90°； （2）△PAB 的外接圆与连心线O 1O 2相切；（3）以O 1O 2为直径的圆与Rt △PAB 的斜边AB 相切； （4）斜边AB 是两圆直径的比例中项；（5）若⊙O 1、⊙O 2的半径为1R 、2R ，则PA ∶PB ∶AB ＝1R ∶2R ∶（7）△CO1O2为直角三角形。
典型例题例1、已知两圆的半径分别为2和3，圆心距为d，若两圆没有公共点，则下列结论中，正确的是（）A.0≤d＜1B.d＞5C.0≤d＜1或d＞5D.d＜1或d＞5变式：已知相切两圆的半径是一元二次方程0652=+-xx的两根，则这两圆的圆心距是（）A.5 B.1或5 C.1 D.6例2、在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，如果分别以A、C两点为圆心的两圆相切，点D在⊙C内，点B在⊙C外，那么⊙A的半径r A的取值范围是________________.变式：已知两相交圆的半径分别为5 cm和4 cm，公共弦长为6 cm，求这两圆的圆心距。
平面几何中的圆与圆的位置关系
平面几何中的圆与圆的位置关系在平面几何中，圆与圆的位置关系是一个重要的研究对象。
它描述了两个圆在平面上相互之间的相对位置和位置关系。
在这篇文章中，我们将探讨一些常见的圆与圆的位置关系，并介绍它们在几何学和实际生活中的应用。
一、相离关系相离关系是指两个圆在平面上没有任何交点，彼此之间相互独立。
当两个圆的半径之和小于它们之间的距离时，它们就处于相离的状态。
这种位置关系常见于实际生活中的物体和图形之间，如两个没有交集的轮胎，两个独立的圆形图标等。
二、外切关系外切关系是指两个圆在平面上相切于一点，且这个切点是它们半径所在直线的交点。
当两个圆的半径之和等于它们之间的距离时，它们就处于外切的状态。
这种位置关系在几何学中经常出现，也广泛应用于实际生活中，如两个相切的球体，两个相切的圆形花坛等。
三、相交关系相交关系是指两个圆在平面上有交点，彼此之间相互交叠。
当两个圆的半径之和大于它们之间的距离，但小于两个圆半径之和时，它们就处于相交的状态。
这种位置关系常见于交通标志、建筑设计等领域，如两个相交的轮胎，两个相交的圆形交通路口等。
四、内切关系内切关系是指一个圆被另一个圆包围，且两个圆的切点处于它们半径所在直线的交点上。
当一个圆的半径等于另一个圆半径的两倍时，它们就处于内切的状态。
这种位置关系常见于圆形图案的设计以及建筑物的布局，在实际生活中具有一定的美学和实用价值。
五、包含关系包含关系是指一个圆完全包含另一个圆，两个圆之间没有交点。
当一个圆的半径大于另一个圆的半径，并且两个圆心之间的距离小于它们的半径之差时，它们就处于包含的状态。
这种位置关系常见于几何学证明和实际生活中的设计，如一个大圆包含一个小圆，一个圆环包含一个小球等。
在几何学中，圆与圆的位置关系不仅仅是一个抽象的概念，它们具有广泛的应用。
比如在地图上，我们可以利用相交关系来标记交通路口，用外切关系来表示相邻城市的距离，用包含关系来表示行政区划的辖区等。
在建筑设计中，我们可以利用内切关系和包含关系来安排空间布局和功能分区。
解析几何的圆与圆的位置关系
解析几何的圆与圆的位置关系在解析几何中，圆与圆是常见的几何图形，它们的位置关系对于解决一些几何问题具有重要意义。
本文将对圆与圆的位置关系进行解析，以期帮助读者更好地理解这一概念。
一、同心圆同心圆是指具有相同中心点但半径不同的圆。
在平面几何中，同心圆的位置关系非常简单，它们可以共享同一个中心，但半径不同。
同心圆之间没有其他的交点或切点，它们始终处于相同的位置。
同心圆的特点是具有共同的中心，半径的大小决定了同心圆之间的大小关系。
二、外切圆与内切圆外切圆是指两个圆在平面上相切于一个点，且外切圆的半径正好与两个圆的半径之和相等。
内切圆则是指两个圆在平面上相切于一个点，且内切圆的半径正好与两个圆的半径之差相等。
三、相交圆相交圆是指两个圆在平面上相交于两个不同的点。
根据两个圆的相对位置和大小关系，相交圆可以分为三种不同的情况：相交圆的内离、外离和相交。
1. 相交圆的内离当两个圆的半径之和小于它们之间的距离时，相交圆的内离成立。
此时，两个圆的交点在两个圆内部，且交点之间的连线完全位于两个圆的内部。
图形上可以明显看出两个圆之间的空隙，交点只限于位于两个圆内部，不会超出圆的范围。
2. 相交圆的外离当两个圆的半径之和大于它们之间的距离时，相交圆的外离成立。
此时，两个圆的交点在两个圆的外部，且交点之间的连线不会穿过任何一个圆。
图形上可以看出两个圆之间没有任何交点，它们的位置相对较远，不会重叠或相交。
3. 相交圆的相交当两个圆的半径之和等于它们之间的距离时，相交圆的相交成立。
此时，两个圆的交点恰好在两个圆的边界上，且交点之间的连线会穿过两个圆。
图形上可以观察到两个圆之间存在两个交点，交点位于两个圆的边界上。
四、包含关系与内含关系除了以上的几种常见位置关系外，圆与圆之间还有包含关系与内含关系。
包含关系是指一个圆完全包含另一个圆，即内圆的半径小于外圆的半径。
内含关系则是指一个圆局部地包含另一个圆，即内圆的半径与外圆的半径不相等，且两个圆相交于一个或两个交点。
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圆与圆的位置 关系
直线与圆的位置关系
代数法： 1.将直线方程与圆方程联立成方程组； 2.通过消元，得到一个一元二次方程； 3.求出其判别式△的值； 若△＞0，则直线与圆相交； 若△＝0，则直线与圆相切； 若△＜0，则直线与圆相离． 几何法： 1.把直线方程化为一般式，求出圆心坐标和半径r； 2.利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离d； 3.比较d与r的大小关系： 若d＞r，则直线与圆相离； 若d＝r，则直线与圆相切； 若d＜r，则直线与圆相交．
引入新课
(1)圆与圆的位置关系有哪几种？如何判断？ 外离 外切 相交 内切 内含
d r1 r2 d r1 r2 r1 r2 d r1 r2 d r1 r2 d r1 r2r1d源自r1dr1
r2
d
r1
d r2
r1
d r2
r2
r2
引入新课
(2)参照判断直线与圆位置关系的方法，你能 想到多少种判断圆与圆位置关系的方法？
圆与圆的位置关系
1. 已知圆C1 : x y 2 x 8 y 8 0, 圆C 2 : x y
2 2 2 2
4 x 4 y 2 0, 判断两圆的位置关系 .
圆与圆的位置关系小结
代数法： 1.联立两圆方程得方程组； 2.两式相减得公共弦方程； 3.求出其判别式△的值； 若△＞0，则两圆相交； 若△＝0，则两圆相切； 若△＜0，则两圆相离． 几何法： 1.把两圆方程化为标准式，求出圆心坐标和半 径r； 2.求圆心距d与半径和（差）； 3.比较d与半径和（差）的大小关系.
2 2 2 2
4 0的交点，且圆心在直线 : 2 x 4 y 1 0上的圆 l 的方程.
圆与圆的位置关系应用
1.已知圆C1 : x 2 y 2 2 mx 4 y m 2 5 0, 圆C 2 : x 2 y 2 2 x 2 my m 2 3 0,当m 为何值时， (1)圆C1与圆C 2 相外切？ )圆C1与圆C 2内含？ (2 2.求过两圆C1 : x y 4 x 2 y 0和圆C 2 : x y 2 y