丰台区高三数学(理)期末试题及答案

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北京市丰台区2023-2024学年高三上学期期末练习数学试卷含答案

丰台区2023～2024学年度第一学期期末练习高三数学（答案在最后）2024.01本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分选择题（共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{3,2,1,0,1,2}U =---，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，则()U A B ⋃=ð（）A.{3,2}-- B.{3,2,1,2}--C.{3,2,1,0,1}--- D.{3,2,1,0,2}---【答案】A【解析】【分析】由补集和并集的定义求解即可.【详解】因为{3,2,1,0,1,2}U =---，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，所以{}1,0,1,2A B ⋃=-，U ð(){}3,2A B ⋃=--.故选：A .2.若(1i)1i z -=+，则||z =（）A.iB.1C. D.2【答案】B【解析】【分析】根据复数的运算法则进行运算，继而直接求模即可.【详解】因为(1i)1i z -=+，所以()()()()1i 1i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z +++====-+-，所以i 1z z =-=，，故选：B ．3.在6(2)x y -的展开式中，42x y 的系数为（）A.120- B.120C.60- D.60【答案】D【解析】【分析】求出6(2)x y -的通项，令2r =即可得出答案.【详解】6(2)x y -的通项为：()()66166C 2C 2r rr r r r r r T x y x y --+=-=-，令2r =可得：42x y 的系数为()226C 215460-=⨯=.故选：D .4.在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质．竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了．竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等．现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积129,,,a a a L （单位：L ）依次成等差数列，若1233a a a ++=，80.4a =，则129a a a +++= （）A.5.4B.6.3C.7.2D.13.5【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质及求和公式求解.【详解】∵129,,,a a a L 依次成等差数列，1233a a a ++=，∴233a =，即21a =，又80.4a =，则()()()81912299910.49 6.3222a a a a a a a +⨯+⨯+⨯+++==== .故选：B.5.已知直线y kx =与圆221x y +=相切，则k =（）A.1± B.C. D.2±【答案】B【解析】【分析】根据题意可得圆心(0,0)O 到0-=kx y 的距离等于半径1，即可解得k 的值．【详解】直线y kx =+即0-=kx y ，由已知直线y kx =+与圆221x y +=相切可得，圆221x y +=的圆心(0,0)O 到0kx y -=的距离等于半径1，1=，解得k =，故选：B ．6.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式π()tan 4f x x >的解集是（）A.{|20}x x -<< B.{|01}x x <<C.{|21}x x -<< D.{|12}x x -<<【答案】C【解析】【分析】利用正切型函数的图象与性质结合分段函数性质即可得到解集.【详解】设()πtan4h x x =，令π242k x k ππππ-<<+，且k ∈Z ，解得4242k x k -<<+，k ∈Z ，令0k =，则22x -<<，则()h x 在()2,2-上单调递增，()00h =1,1BC AC k k =-=，则2,02()2,20x x f x x x -+≤<⎧=⎨+-<<⎩，则当20x -<≤时，()0h x ≤，()0f x >，则满足()()f x h x >，即π()tan 4f x x >，当02x <<时，()11f =，且()f x 单调递减，()11h =，且()h x 单调递增，则()0,1x ∈时，()()f x h x >，即π()tan4f x x >；()1,2x ∈时，()()f x h x <，即()πtan 4f x x <；综上所述：π()tan4f x x >的解集为()2,1-，故选；C.7.在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板ABC 折起，使得二面角A BC D --为直二面角，得图2所示四面体ABCD ．小明对四面体ABCD 中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①CD ⊥平面ABC ；②AB ⊥平面ACD ；③平面ABD ⊥平面ACD ；④平面ABD ⊥平面BCD ．其中判断正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于①中，因为二面角A BC D --为直二面角，可得平面ABC ⊥平面BCD ，又因为平面ABC ⋂平面BCD BC =，DC BC ⊥，且DC ⊂平面BCD ，所以DC ⊥平面ABC ，所以①正确；对于②中，由DC ⊥平面ABC ，且AB ⊂平面ABC ，可得AB CD ⊥，又因为AB AC ⊥，且AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD ，所以AB ⊥平面ACD ，所以②正确；对于③中，由AB ⊥平面ACD ，且AB ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面ACD ，所以③正确；对于④，中，因为DC ⊥平面ABC ，且DC ⊂平面BCD ，可得平面ABC ⊥平面BCD ，若平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面ABC AB =，可得AB ⊥平面BCD ，又因为BC ⊂平面BCD ，所以AB BC ⊥，因为AB 与BC 不垂直，所以矛盾，所以平面ABD 和平面BCD 不垂直，所以D 错误.8.已知,a b 是两个不共线的单位向量，向量c a b λμ=+r r r （,λμ∈R ）．“0λ>，且0μ>”是“()0c a b ⋅+> ”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】举例验证必要性，通过向量的运算来判断充分性.【详解】当0λ>，且0μ>时，()()()()()22cos ,c a b a b a b a a b b a b λμλλμμλμλμ⋅+=+⋅+=++⋅+=+++ ()0λμλμ>+-+=，充分性满足；当()0c a b ⋅+> 时，()()cos ,c a b a b λμλμ⋅+=+++ ，当0λ>，0μ=时，()cos ,c a b a b λλ⋅+=+ 是可以大于零的，即当()0c a b ⋅+> 时，可能有0λ>，0μ=，必要性不满足，故“0λ>，且0μ>”是“()0c a b ⋅+>”的充分而不必要条件.故选：A .9.在八张亚运会纪念卡中，四张印有吉祥物宸宸，另外四张印有莲莲．现将这八张纪念卡平均分配给4个人，则不同的分配方案种数为（）A.18B.19C.31D.37【答案】B【分析】设吉祥物宸宸记为a ，莲莲记为b ，将这八张纪念卡分为四组，共有3种分法，再分给四个人，分别求解即可.【详解】设吉祥物宸宸记为a ，莲莲记为b①每人得到一张a ，一张b ，共有1种分法；②将这八张纪念卡分为()()()(),,,,,,,a a a a b b b b 四组，再分给四个人，则有2242C C 6=种分法③将这八张纪念卡分为()()()(),,,,,,,a b a a a b b b 四组，再分给四个人，则有2142C C 12=种分法共有：161219++=种.故选：B .10.已知函数2()||2||f x x a x =++，当[2,2]x ∈-时，记函数()f x 的最大值为()M a ，则()M a 的最小值为（）A.3.5B.4C.4.5D.5【答案】C【解析】【分析】先利用函数的奇偶性，转化为求()f x 在[]0,2上的最大值；再根据a 的取值范围的不同，讨论函数()f x 在[]0,2上的单调性，求函数()f x 的最大值.【详解】易判断函数()f x 为偶函数，根据偶函数的性质，问题转化为求函数()22f x x a x =++，[]0,2x ∈上的最大值()M a .当0a ≥时，()22f x x x a =++，二次函数的对称轴为1x =-，函数在[]0,2上单调递增，所以()()288M a f a ==+≥；当10a -≤<时，()222,022x x a x f x x x ax ⎧-+-≤≤⎪=⎨++≤⎪⎩，1≤，所以()f x在⎡⎣上递增，在2⎤⎦上也是递增，所以()()287M a f a ==+≥；当41a -<<-时，()222,022x x a x f x x x ax ⎧-+-≤≤⎪=⎨++≤⎪⎩，因为12<<，所以()f x 在[]0,1上递增，在(上递减，在2⎤⎦上递增，所以()()11M a f a ==-或()()28M a f a ==+，若18a a -≥+⇒742a -≤≤-，则()()9112M a f a ==-≥；若18a a -<+⇒712a -<<-，则()()9282M a f a ==+>;当4a ≤-时，()22f x x x a =-+-，[]0,2x ∈2≥），所以函数()f x 在[]0,1上递增，在(]1,2上递减，所以()()115M a f a ==-≥.综上可知：()M a 的最小值为92.故选：C【点睛】关键点点睛：问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题，然后讨论函数在给定区间上的单调性，从而求最大值.认真分析函数的单调性是关键.第二部分非选择题（共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.双曲线2214x y -=的渐近线方程________．【答案】12y x =±【解析】【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【详解】∵双曲线2214x y -=的a=2，b=1，焦点在x 轴上而双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为y=±b x a ∴双曲线2214x y -=的渐近线方程为y=±12x故答案为y=±12x 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想12.已知()44x x f x -=-，则11(()22f f -+=___．【答案】0【解析】【分析】由解析式直接代入求解即可.【详解】因为1122113()442222f -=-=-=，1122113()442222f --=-=-=-，所以11((022f f -+=.故答案为：0.13.矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，且,E F 分为,BC CD 的中点，则AE EF ⋅= ___．【答案】74-##-1.75【解析】【分析】以A 为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系，求出,AE EF ，由数量积的坐标表示求解即可.【详解】以A 为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系，()()()()()10,0,2,0,2,1,0,1,2,,1,12A B C D E F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以112,,1,22AE EF ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()11172122244AE EF ⋅=⨯-+⨯=-+=- .故答案为：74-.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角(0π)αα<<的始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆O 交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ．若记点M 到直线OP 的距离为()f α，则()f α的极大值点为___，最大值为___．【答案】①.π4或3π4②.12##0.5【解析】【分析】根据三角函数的概念得(cos ,sin )P αα及,,OP OM MP ，利用面积法求得()f α，根据α的范围及三角函数的性质讨论()f α的单调性，进而求得答案.【详解】由题意(cos ,sin )P αα，1,cos ,sin OP OM MP αα===，由()1122OP f OM MP α⋅=⋅，得()1πsin 2,0122cos sin sin cos sin 21π2sin 2,π22f αααααααααα⎧<<⎪⎪=⋅===⎨⎪-<<⎪⎩，∴当π04α<<时，()f α单调递增；当ππ42α<<时，()f α单调递减；当π3π24α<<时，()f α单调递增；当3ππ4α<<时，()f α单调递减，则()f α的极大值点为π4或3π4，∵0πα<<，022πα<<，∴当sin 21α=±，即π4α=或3π4α=时，()f α取最大值为12．故答案为：π4或3π4；12.15.在平面直角坐标系内，动点M 与定点(0,1)F 的距离和M 到定直线:3l y =的距离的和为4．记动点M 的轨迹为曲线W ，给出下列四个结论：①曲线W 过原点；②曲线W 是轴对称图形，也是中心对称图形；③曲线W 恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）；④曲线W 围成区域的面积大于则所有正确结论的序号是___．【答案】①③④【解析】【分析】根据题目整理方程，分段整理函数，画出图象，可得答案.【详解】设(),M x y ，则MF =，M 到直线l 的距离3d y =-，34y +-=，222(1)(43)x y y +-=--，22221168369x y y y y y +-+=--+-+，224483x y y =---，当3y ≥时，2214812412x y y x =-=-+，，则2214312,12x x x -+≥≤-≤≤，当3y <时，22144x y y x ==，，则2134x <，212x <，x -<<可作图如下：由图可知：曲线W 过原点，且是轴对称图形，但不是中心对称图形，故①正确，②错误；曲线W 经过()()()()0,02,10,42,1O A C E -，，，4个点，没有其它整点，故③正确；由()B ，()D -，()0,3F ，四边形AFEO 的面积113462S =⨯⨯=，122ABF EFD S S ==⨯= ，112BCD S =⨯⨯= ，多边形ABCDEO 的面积626S =+⨯=+曲线W 围成区域的面积大于，故④正确.故答案为：①③④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在△ABC 中，a =，2π3A =．（1）求C 的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，并求出AC 边上的中线的长度．条件①：2a b =；条件②：△ABC 的周长为4+ABC 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）π6（2【解析】【分析】（1）由正弦定理可解得；（2）条件②由余弦定理可得；条件③由三角形的面积公式和余弦定理可得.【小问1详解】在ABC 中，因为sin sin a cA C=，又a =，所以sin A C =．因为2π3A =，所以1sin 2C =．因为π03C <<，所以π6C =．【小问2详解】选择条件②：因为ABC 中，2π3A =，π6C =，πA B C ++=，所以π6B =，即ABC 为等腰三角形，其中b c =．因为a =，所以24a b c b ++=+=+．所以2b =．设点D 为线段AC 的中点，在ABD △中，1AD =．因为ABD △中，2222cos BD AB AD AB AD BAD=+-⋅∠22221221cos73π=+-⨯⨯⨯=，所以7BD =AC 7．选择条件③：因为ABC 中，2π3A =，π6C =，πA B C ++=，所以π6B =，即ABC 为等腰三角形，其中b c =．因为ABC 的面积为312πsin 323ABC S bc ∆==，所以2b c ==．设点D 为线段AC 的中点，在ABD △中，1AD =．因为ABD △中，2222cos BD AB AD AB AD BAD=+-⋅∠22221221cos73π=+-⨯⨯⨯=，所以7BD =AC 7．由题可知3a b =，故①不合题意.17.如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AD PA =，点E 为PA 中点．（1）求证：AD //平面BCE ；（2）点Q 为棱BC 上一点，直线PQ 与平面BCE 所成角的正弦值为515，求BQ BC 的值．【答案】（1）证明见解析（2）12BQ BC =【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可得Q 的坐标，即可得解.【小问1详解】因为正方形ABCD 中，//BC AD ．因为BC ⊂平面BCE ，AD ⊄平面BCE ，所以//AD 平面BCE ．【小问2详解】因为PA ⊥底面ABCD ，正方形ABCD 中AB AD ⊥，分别以,,AB AD AP的方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，如图不妨设2PA =，因为AD PA =，点E 为PA 的中点，点Q 为棱BC 上一点，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,0,1)E ，(0,0,2)P ，(2,,0)Q m (02)m ≤≤．所以(0,2,0)BC = ，(2,0,1)BE =- ，(2,,2)PQ m =-．设(,,)n x y z =为平面BCE 的法向量，则BCn ⊥ ，BE n ⊥．所以2020BC n y BE n x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，得102x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以(1,0,2)n = ．设直线PQ 与平面BCE 所成角为θ，则sin cos ,15PQ n PQ n PQ n θ⋅==== ，解得21m =，因为02m ≤≤，所以1m =，所以12BQ BC =．18.2023年冬，甲型流感病毒来势汹汹．某科研小组经过研究发现，患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异．在某地的两类人群中各随机抽取20人的该项医学指标作为样本，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值a ，将该指标小于a 的人判定为阳性，大于或等于a 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p a ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q a ．假设数据在组内均匀分布，用频率估计概率．（1）当临界值20a =时，求漏诊率()p a 和误诊率()q a ；（2）从指标在区间[20,25]样本中随机抽取2人，记随机变量X 为未患病者的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）在该地患病者占全部人口的5%的情况下，记()f a 为该地诊断结果不符合真实情况的概率．当[20,25]a ∈时，直接写出使得()f a 取最小值时的a 的值．【答案】（1）(20)0.1p =，(20)0.05q =（2）分布列见解析；期望为65（3）20a =【解析】【分析】（1）由频率分布直方图计算可得；（2）利用超几何分布求解；（3）写出()f a 的表达式判单调性求解.【小问1详解】由频率分布直方图可知(20)0.0250.1p =⨯=，(20)0.0150.05q =⨯=．【小问2详解】样本中患病者在指标为区间[20,25]的人数是200.0252⨯⨯=，未患病者在指标为区间[20,25]的人数是200.0353⨯⨯=，总人数为5人．X 可能的取值为0，1，2．202325C C 1(0)10C P X ===，112325C C 3(1)C 5P X ===，022325C C 3(2)10C P X ===．随机变量X 的分布列为X012P11035310随机变量X 的期望为1336()012105105E X =⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】由题，()()()95%5%f a q a p a =⨯+⨯，[20,25]a ∈时，令()20,0,1,2,3,4,5a t t =+=()()50.010.03,50.020.0255t t q a p a ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯=⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()()50.010.0395%50.020.025%55t t f a g t ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯⨯+⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，关于t 的一次函数系数为()50.0319%0.021%0⨯-⨯>，故()g t 单调递增，则0=t 即20a =时()f a 取最小值19.已知函数2()e ()x f x x ax a =--．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求实数a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间．【答案】（1）1（2）答案见解析【解析】【分析】（1）先求函数()f x 的导函数，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，只需保证()01f '=，求实数a 的值即可；（2）求得()0f x '=有两个根“2x =-和x a =”，再分2a <-、2a =-和2a >-三种情况分析函数()f x 的单调性即可.【小问1详解】由题可得2()e [(2)2]x f x x a x a '=+--，因为()f x 在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，所以()01f '=，即e(33)0a -=，解得1a =，经检验1a =符合题意．【小问2详解】因为2()e [(2)2]x f x x a x a '=+--，令()0f x '=，得2x =-或x a =．当2a <-时，随x 的变化，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：x(,)a -∞a(,2)a -2-(2,)-+∞()f 'x +-+()f x 单调递增()f a 单调递减(2)f -单调递增所以()f x 在区间(,)a -∞上单调递增，在区间(,2)a -上单调递减，在区间(2,)-+∞上单调递增．当2a =-时，因为2()e (2)0x f x x '=+≥，当且仅当2x =-时，()0f x '=，所以()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递增．当2a >-时，随x 的变化，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：x(,2)-∞-2-(2,)a -a(,)a +∞()f 'x +-+()f x 单调递增(2)f -单调递减()f a 单调递增所以()f x 在区间(,2)-∞-上单调递增，在区间(2,)a -上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增．综上所述，当2a <-时，()f x 的单调递增区间为(,)a -∞和(2,)-+∞，单调递减区间为(,2)a -；当2a =-时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；当2a >-时，()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-和(,)a +∞，单调递减区间为(2,)a -．20.已知椭圆22:143x y E +=．（1）求椭圆E 的离心率和焦点坐标；（2）设直线1:l y kx m =+与椭圆E 相切于第一象限内的点P ，不过原点O 且平行于1l 的直线2l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，点A 关于原点O 的对称点为C ．记直线OP 的斜率为1k ，直线BC 的斜率为2k ，求12k k 的值．【答案】（1）离心率为12，焦点坐标分别为(1,0)-，(1,0)（2）121k k =【解析】【分析】（1）根据椭圆方程直接求出离心率与焦点坐标；（2）根据直线1l 与椭圆E 相切求出P 坐标并得到134k k=-，法一：设直线2l 的方程为y kx n =+，由韦达定理求出234k k=-证得结论．法二：记1122(,),(,)A x y B x y ，由点差法求2k k ⋅可证得结论．【小问1详解】由题意得2222243a b c a b ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．所以椭圆E 的离心率为12c e a ==，焦点坐标分别为(1,0)-，(1,0)．【小问2详解】由22,143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得：222()4384120k x kmx m +++-=①其判别式Δ0=得222(8)4(43)(412)0km k m -+-=，化简为2243m k =+．此时方程①可化为2228160m x kmx k ++=，解得4kx m=-，(由条件知,k m 异号)．记00(,)P x y ，则04k x m=-，所以220443()k m k y k m m m m -=-+==，即点43(,)k P m m -．所以OP 的斜率13344m k k k m==--．法一：因为12//l l ，所以可设直线2l 的方程为(0,)y kx n n n m =+≠≠．由22,143y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得：222(43)84120k x knx n +++-=．当其判别式大于零时，有两个不相等的实根，设1122(,),(,)A x y B x y ，则21212228412,4343kn n x x x x k k -+=-=++．因为C 是A 关于原点O 的对称点，所以点C 的坐标为11(,)C x y --．所以直线BC 的斜率22121221212122243384443y y kx n kx n n n k k k k k kn x x x x x x k k k +++++===+=+=-=-+++-+．所以121k k =．法二：记1122(,),(,)A x y B x y ，因为点C 与点A 关于原点对称，所以11(,)C x y --．因为12//l l ，所以直线AB 的斜率为k ，所以22212121222212121y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-．因为点,A B 在椭圆上，所以2211143x y +=，2222143x y+=．两式相减得：22222121043x x y y --+=．所以2221222134y yx x-=--，即234k k⋅=-，所以234kk=-．所以121kk=．【点睛】方法点睛：将P视为1l与椭圆相交弦中点，由中点弦定理得212bk ka⋅=-，设AB中点为M，由中点弦定理得22OMbk ka⋅=-，由2OMk k=得222bk ka⋅=-，故12k k=.21.对于数列{}n a，如果存在正整数T，使得对任意*()n n∈N，都有n T na a+=，那么数列{}na就叫做周期数列，T叫做这个数列的周期．若周期数列{}n b，{}n c满足：存在正整数k，对每一个*(,)i i k i∈N≤，都有i ib c=，我们称数列{}n b和{}n c为“同根数列”．（1）判断下列数列是否为周期数列．如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；①sinπna n=；②121,1,3,2,, 3.nn nnb nb b n--=⎧⎪==⎨⎪-≥⎩（2）若{}n a和{}n b是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证：6k≤；（3）若{}n a和{}n b是“同根数列”，且周期的最小值分别是2m+和4m+*()m∈N，求k的最大值．【答案】（1）{}n a、{}n b均是周期数列，数列{}n a周期为1（或任意正整数），数列{}n b周期为6（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）由周期数列的定义求解即可；（2）由“同根数列”的定义求解即可；（3）m是奇数时，首先证明25k m+≥不存在数列满足条件，其次证明24k m=+存在数列满足条件.当m 是偶数时，首先证明24k m+≥时不存在数列满足条件,其次证明23k m=+时存在数列满足条件．【小问1详解】{}n a 、{}n b 均是周期数列，理由如下：因为1sin (1)π0sin πn n a n n a +=+===，所以数列{}n a 是周期数列，其周期为1（或任意正整数）．因为32111n n n n n n n b b b b b b b +++++=-=--=-，所以63n n n b b b ++=-=．所以数列{}n b 是周期数列，其周期为6（或6的正整数倍）．【小问2详解】假设6k ≤不成立，则有7k ≥，即对于17i ≤≤，都有i i a b =．因为71a a =，722b b a ==，所以12a a =．又因为63a a =，611b b a ==，所以13a a =．所以123a a a ==，所以1=n n a a +，与1T 的最小值是3矛盾．所以6k ≤．【小问3详解】当m 是奇数时，首先证明25k m +≥不存在数列满足条件．假设25k m +≥，即对于125i m +≤≤，都有i i a b =．因为()54m t m t a b t m ++=≤≤+，所以()24454t t t a b a t m ---==≤≤+，即1352m a a a a +==== ，及2461m a a a a +==== ．又5t m =+时，12(2)12511m m m m a a b b a +++++====，所以1=n n a a +，与1T 的最小值是2m +矛盾．其次证明24k m =+存在数列满足条件．取(2)31,=21(1)212,2(1)2m l im i k k a m i k k +++⎧-≤≤⎪⎪=⎨+⎪=≤≤⎪⎩()l ∈N及()431,=21(1)212,2(1)21,32,4m l i m i k k m i k k b i m i m +++⎧-≤≤⎪⎪+⎪=≤≤=⎨⎪=+⎪⎪=+⎩()l ∈N ，对于124i m +≤≤，都有i i a b =．当m 是偶数时，首先证明24k m +≥时不存在数列满足条件．假设24k m +≥，即对于124i m +≤≤，都有i i a b =．因为()53m t m t a b t m ++=≤≤+，所以()24453t t t a b a t m ---==≤≤+，即1351m a a a a +==== ，及246m a a a a ==== ．又4t m =+时，2m m m a b a +==，所以2=n n a a +，与1T 的最小值是2m +矛盾．其次证明23k m =+时存在数列满足条件．取()221,=21(1)22,2(1)23,2m l i m i k k a m i k k i m +++⎧-≤≤⎪⎪=⎨=≤≤⎪⎪=+⎩()l ∈N 及()421,=21(1)22,2(1)23,21,32,4m l im i k k m i k k b i m i m i m +++⎧-≤≤⎪⎪⎪=≤≤⎪=⎨⎪=+⎪=+⎪⎪=+⎩()l ∈N ，对于123i m +≤≤，都有i i a b =．综上，当m 是奇数时，k 的最大值为24m +；当m 是偶数时，k 的最大值为23m +．【点睛】关键点睛：本题(3)的突破口是利用“同根数列”的定义分类讨论，当m 是奇数时，首先证明25k m +≥不存在数列满足条件，其次证明24k m =+存在数列满足条件.当m 是偶数时，首先证明24k m +≥时不存在数列满足条件，其次证明23k m =+时存在数列满足条件．。

北京市丰台区2022-2023学年高三上学期期末考试+数学+PDF版含答案

丰台区2022～2023学年度第一学期期末练习高三数学 2023.01第一部分（选择题40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知全集U =R ，集合{|10}A x x =−<≤，则U A = （A ）(1)(0+)−∞−∞,, （B ）(1](0+)−∞−∞,, （C ）(1)[0+)−∞−∞,, （D ）(1][0+)−∞−∞,,2．已知复数i(1i)z =+，则在复平面内，复数z 对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．在42()x x−的展开式中，常数项为（A ）-24 （B ）24 （C ）-48 （D ）48 4．已知向量(2)λ=,a ，(1)λ=,b，则“λ=//a b ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5．下列函数是偶函数，且在区间(01),上单调递增的是（A ）21y x =− （B ）tan y x = （C ）cos y x x = （D ）e e x x y −=+6．已知抛物线2:2C y px =(0)p >过点A (1，焦点为F .若点(0)B m ,满足AF BF =,则m 的值为（A ）2 （B1 （C ）2或1− （D1或1 1.答题前,考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名,在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。

2.本次练习所有答题均在答题卡上完成。

选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑,如需改动,用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。

非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写,要求字体工整、字迹清楚。

3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答,超出答题区域书写的答案无效，在练习卷、草稿纸上答题无效。

{高中试卷}北京丰台区高三上学期期末数学(理)试题答案[仅供参考]

20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：丰台区20XX ～20XX 学年度第一学期期末练习高三数学（理科）参考答案一、选择题二、填空题：9．20； 10.[-2,2] ； 11. x+2y-3=0； 12．(只写一个答案给3分)；13．2； 14．5,1612n m+ (第一个空2分，第二个空3分) 三．解答题15．（本题共13分）函数2()lg(23)f x x x =--的定义域为集合A ，函数()2(2)x g x a x =-≤的值域为集合B ．（Ⅰ）求集合A ，B ；（Ⅱ）若集合A ，B 满足AB B =,求实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）A=2{|230}x x x -->={|(3)(1)0}x x x -+>={|1,3}x x x <->或，..………………………..……3分 B={|2,2}{|4}xy y a x y a y a =-≤=-<≤-． ………………………..…..7分（Ⅱ）∵A B B =，∴B A ⊆， ..……………………………………………. 9分∴41a -<-或3a -≥， …………………………………………………………...11分∴3a ≤-或5a >，即a 的取值范围是(,3](5,)-∞-+∞．…………………….13分16．（本题共13分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．（Ⅰ）若点A 的横坐标是35，点B 的纵坐标是1213，求sin()αβ+的值；（Ⅱ）若∣AB ∣=32, 求OA OB ⋅的值. 解：（Ⅰ）根据三角函数的定义得，3cos 5α=， 12sin 13β=． ………………………………………………………2分 ∵α的终边在第一象限，∴4sin 5α=． ……………………………………………3分∵β的终边在第二象限，∴5cos 13β=-．………………………………………4分∴sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+=455()13⨯-+351213⨯=1665．……………7分（Ⅱ）方法（1）∵∣AB ∣=|AB |=|OB OA -|, ……………………………………9分又∵222||222OB OA OB OA OA OB OA OB -=+-⋅=-⋅，…………………11分 ∴9224OA OB -⋅=， ∴18OA OB ⋅=-．…………………………………………………………………13分方法（2）∵222||||||1cos 2||||8OA OB AB AOB OA OB +-∠==-， …………………10分 ∴OA OB ⋅=1||||cos 8OA OB AOB ∠=- ． ………………………………… 13分 17．(本题共14分)如图，在三棱锥P-ABC 中，PA=PB=AB=2，3BC =，90=∠ABC °,平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点．EAPxy BAO（Ⅰ）求证：DE//平面PBC; （Ⅱ）求证：AB ⊥PE ；（Ⅲ）求二面角A-PB-E 的大小．解：（Ⅰ） D 、E 分别为AB 、AC 中点， ∴DE//BC ．DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴DE //平面PBC ．…………………………4分（Ⅱ）连结PD ，PA=PB ，∴ PD ⊥ AB ． …………………………….5分 //DE BC ，BC ⊥ AB ，∴ DE ⊥ AB ． .... .......................................................................................................6分又 PDDE D = ，∴AB ⊥平面PDE ．......................................................................................................8分 PE ⊂平面PDE ，∴AB ⊥PE ． ..........................................................................................................9分（Ⅲ）平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB 平面ABC=AB ，PD ⊥ AB ，∴PD ⊥平面ABC ．................................................................................................10分如图,以D 为原点建立空间直角坐标系∴B (1,0,0)，P (0,0,3)，E(0,32,0) , ∴PB =(1,0,3-，PE =(0, 32, 3_E_ D _ _ A _ P_ A_ Pz设平面PBE 的法向量1(,,)n x y z =，∴30,330,2x z y z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩令3z = 得1(3,2,3)n =．............................11分DE ⊥平面PAB ，∴平面PAB 的法向量为2(0,1,0)n =．………………….......................................12分设二面角的A PB E --大小为θ，由图知，121212||1cos cos ,2n n n n n n θ⋅=<>==⋅，所以60,θ=︒即二面角的A PB E --大小为60︒． ..........................................14分18．（本题共14分）已知函数2()(0)xax bx cf x a e++=>的导函数'()y f x =的两个零点为-3和0.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若f(x)的极小值为3e -，求()f x 在区间[5,)-+∞上的最大值.解：（Ⅰ）222(2)()(2)()()x x x xax b e ax bx c e ax a b x b cf x e e+-++-+-+-'==．.......2分令2()(2)g x ax a b x b c =-+-+-，因为0xe >，所以'()yf x =的零点就是2()(2)g x ax a b x b c =-+-+-的零点，且()f x '与()g x 符号相同.又因为0a >，所以30x -<<时，g(x)>0,即()0f x '>， ………………………4分当3,0x x <->时,g(x)<0 ,即()0f x '<， …………………………………………6分所以()f x 的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3），（0，+∞）．……7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x =-3是()f x 的极小值点，所以有3393,0,93(2)0,a b c e eb c a a b b c --+⎧=-⎪⎪-=⎨⎪---+-=⎪⎩解得1,5,5a b c ===， …………………………………………………………11分所以255()xx x f x e++=. ()f x 的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3）,（0，+∞）， ∴(0)5f =为函数()f x 的极大值, …………………………………………………12分∴()f x 在区间[5,)-+∞上的最大值取(5)f -和(0)f 中的最大者. …………….13分而555(5)5f e e--==>5，所以函数f(x)在区间[5,)-+∞上的最大值是55e ．.…14分 19．（本题共13分）曲线12,C C 都是以原点O 为对称中心、离心率相等的椭圆 . 点M 的坐标是（0,1）,线段MN 是1C 的短轴，是2C 的长轴 . 直线:(01)l y m m =<<与1C 交于A,D 两点（A 在D 的左侧），与2C 交于B,C 两点（B 在C 的左侧）．（Ⅰ）当3 54AC =时，求椭圆12,C C 的方程；（Ⅱ）若OB ∥AN ，求离心率e 的取值范围．解：（Ⅰ）设C 1的方程为2221x y a +=,C 2的方程为2221x y b +=,其中1,01a b ><<．..2分C 1 ,C 2的离心率相同，所以22211a b a -=-,所以1ab =，……………………….…3分∴C 2的方程为2221a x y +=．当m=32时，A 3(,)22a -,C 13(,)22a ． .………………………………………….5分又 54AC =,所以，15224a a +=，解得a=2或a=12(舍)， ………….…………..6分 ∴C 1 ,C 2的方程分别为2214x y +=，2241x y +=．………………………………….7分（Ⅱ）A(-21a m -,m), B(-211m a-,m) ． …………………………………………9分 OB ∥AN,∴OB AN k k =,∴22111m a m m a=----,∴211m a =- ． …………………………………….11分 2221a e a -=，∴2211a e=-，∴221e m e -=． ………………………………………12分 01m <<，∴22101e e-<<，∴212e <<．........................................................13分 20.（本题共13分）已知曲线2:2(0)C y x y =≥，111222(,),(,),,(,),n n n A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是曲线C 上的点，且满足120n x x x <<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，一列点(,0)(1,2,)i i B a i =⋅⋅⋅在x 轴上，且10(i i i B A B B -∆是坐标原点）是以i A 为直角顶点的等腰直角三角形．（Ⅰ）求1A ，1B 的坐标；（Ⅱ）求数列{}n y 的通项公式；（Ⅲ）令21,2iy i i ib c a -==，是否存在正整数N ，当n≥N 时，都有11n niii i b c ==<∑∑，若存在，写出N 的最小值并证明;若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）∆B 0A 1B 1是以A 1为直角顶点的等腰直角三角形，∴直线B 0A 1的方程为y=x ．由220y x y x y =⎧⎪=⎨⎪>⎩得112x y ==，即点A 1的坐标为（2，2），进而得1(4,0)B ．…..3分（Ⅱ）根据1n n n B A B -∆和11n n n B A B ++∆分别是以n A 和1n A +为直角顶点的等腰直角三角形可得11n n nn n n a x y a x y ++=+⎧⎨=-⎩ ，即11n n n n x y x y +++=- ．（*） …………………………..5分 n A 和1n A +均在曲线2:2(0)C y x y =≥上，∴22112,2n n n n y x y x ++==，∴2211,22n n n n y y x x ++==，代入（*）式得22112()n n n n y y y y ++-=+，∴*12()n n y y n N +-=∈， ………………………………………………………..7分 ∴数列{}n y 是以12y =为首项，2为公差的等差数列，∴其通项公式为2n y n =(*n N ∈)． ……………………………………………....8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，2222nn y x n ==， ∴2(1)n n n a x y n n =+=+， ……………………………………………………9分∴12(1)i b i i =+，12122iy i i c -+==． ∴11112(12)2(23)2(1)ni i b n n ==+++⨯⨯+∑=111111(1)22231n n -+-++-+ =11(1)21n -+．….……………..…………10分 231111(1)1111142(1)12222212nn in ni c+=-=+++==--∑． ……………………….11分（方法一）1ni i b =∑-1ni i c =∑=1111111112(1)-(1)()21222212(1)nn n n n n n n ++---=-=+++．当n=1时11b c =不符合题意，当n=2时22b c <，符合题意，猜想对于一切大于或等于2的自然数，都有11n niii i b c ==<∑∑．（*）观察知，欲证（*）式，只需证明当n≥2时，n+1<2n 以下用数学归纳法证明如下：(1)当n=2时，左边=3，右边=4，左边<右边； (2)假设n=k （k≥2）时，(k+1)<2k ,当n=k+1时，左边=（k+1）+1<2k +1<2k +2k =2k+1=右边,∴对于一切大于或等于2的正整数，都有n+1<2n ，即1n ii b =∑<1nii c =∑成立．综上，满足题意的n 的最小值为2. ……………………………………………..13分（方法二）欲证11n niii i b c ==<∑∑成立，只需证明当n≥2时，n+1<2n．()012323211...1...nn n nn n n n n n n n C C C C C n C C C =+=+++++=+++++，并且23...0nn n n C C C ++>，∴当2n ≥时，21n n ≥+.。

丰台高三期末数学考试试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. √9C. √16D. √252. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的图像与x轴的交点个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 03. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a·b的值为（）A. 7B. -1C. 0D. -74. 下列命题中，正确的是（）A. 若a > b，则a^2 > b^2B. 若a > b，则|a| > |b|C. 若a > b，则ac > bcD. 若a > b，则a/c > b/c5. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10 = 110，S20 = 330，则第15项a15的值为（）A. 11B. 15C. 20D. 256. 已知圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 4y + 12 = 0，则圆心坐标为（）A. (3, 2)B. (2, 3)C. (3, -2)D. (-2, 3)7. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1时取得最小值，则a、b、c的关系是（）A. a > 0，b = 0，c < 0B. a < 0，b = 0，c > 0C. a > 0，b ≠ 0，c ≠ 0D. a < 0，b ≠ 0，c ≠ 08. 下列各函数中，有最大值的是（）A. y = x^2 - 2xB. y = -x^2 + 2xC. y = x^2 + 2xD. y = -x^2 - 2x9. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10 = 120，S20 = 240，则公比q的值为（）A. 2B. 1/2C. 3D. 1/310. 已知函数f(x) = log2(x - 1) + log2(3 - x)，则f(x)的定义域为（）A. (1, 3)B. (1, 2)C. (2, 3)D. (1, +∞)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 若等差数列{an}的第一项a1 = 3，公差d = 2，则第10项a10 = ________。

高三丰台期末考试卷数学

考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每小题5分，共50分）1. 函数$f(x)=\frac{1}{x^2-1}$的图像中，不正确的说法是（）A. 函数在$x=1$和$x=-1$处无定义B. 函数的图像关于原点对称C. 函数在$x>1$时单调递减D. 函数在$x<-1$时单调递增2. 下列各数中，不是无理数的是（）A. $\sqrt{2}$B. $\pi$C. $\frac{1}{3}$D. $\sqrt{3}$3. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1=3$，$S_5=45$，则该数列的公差为（）A. 3B. 6C. 9D. 124. 下列各函数中，不是奇函数的是（）A. $f(x)=x^3$B. $f(x)=\sin x$C. $f(x)=\frac{1}{x}$D. $f(x)=\cos x$5. 已知复数$z=a+bi$（其中$a,b\in\mathbb{R}$），若$|z-2i|=|z+1|$，则实数$a$的值为（）A. 1B. 2C. -1D. -2二、填空题（每小题5分，共50分）6. 函数$y=2x-3$与$y=5x+1$的交点坐标为________。

7. 已知等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，若$a_1=4$，$a_4=32$，则$q=$________。

8. 函数$f(x)=x^2-4x+3$的顶点坐标为________。

9. 复数$z=\sqrt{3}+i$的共轭复数为________。

10. 在三角形ABC中，$\angle A=60^\circ$，$\angle B=45^\circ$，若$AB=6$，则$BC=$________。

三、解答题（共50分）11. （15分）已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-6$，求：（1）函数$f(x)$的单调区间；（2）函数$f(x)$的极值。

12. （15分）已知等差数列$\{a_n\}$的首项$a_1=2$，公差$d=3$，求：（1）该数列的前$n$项和$S_n$；（2）满足$a_{n+1}=15$的$n$的值。

丰台区高三数学理科期末试题及

丰台区 2021 年第一学期期末练习高三数学〔理科〕第一局部〔选择题共40 分〕选择题共8 小题，每题 5 分，共40 分．在每题列出的四个选项中，选出吻合题目要求的一项．1．设会集A{ x x2x20}，B{1,2,3}，那么A B(A){ 1,0,1,2,3}(B){1,0,3}(C) {1,2,3}(D){1,2} 2．向量a(2,1) ，b( x, y) ，那么“x 4 且y 2 〞是“a∥ b〞的(A)充分不用要条件(C) 充分必要条件(B) 必要不充分条件(D) 既不充分也不用要条件3．高二年级某研究性学习小组为了认识本校高一学生课外阅读状况，分成了两个检查小组分别对高一学生进行抽样检查．假设这两组同学抽取的样本容量相同且抽样方法合理，那么以下结论正确的选项是(A)两组同学制作的样本频率分布直方图必然相同(B)两组同学的样本平均数必然相等(C)两组同学的样本标准差必然相等(D)该校高一年级每位同学被抽到的可能性必然相同4．a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，b7 ， c 3 ， B6，那么 a 等于(A) 1(B) 2(C) 4(D)1 或 45．函数y log b( x a) 〔b>0且b≠1〕的图象以以下图，那么函数y1y的图象可能是a s i nb x O1234x y y-1Oπ2π3πx2-11-2Oπ 2 π3πx(A)(B)yy32211Oπ 2 π3πxOπ2π3πx(C)(D)6．2021年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表．此间组委会安排这21 位领导人或代表合影纪念，他们站成两排，前排11 人，后排10 人，中国领导人站在第一排正中间地址，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，若是对其他领导人或代表所站的地址不做要求，那么不相同的排法共有(A)A1818种(B) A22A1818种(C) A32A188A1010种(D) A2021种7．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，那么该三棱锥的正视图可能是(A)(B)侧视图俯视图(C)(D)8．在平面直角坐标系xOy 中，若是菱形OABC 的边长为2，点 B 在 y 轴上，那么菱形内〔不含界线〕的整点〔横纵坐标都是整数的点〕个数的取值会集是(A) {1 ， 3}(B) {0 ， 1， 3}(C) {0 ， 1， 3， 4}(D) {0 ，1， 2， 3，4}第二局部〔非选择题共110分〕一、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是A， B〔以以下图〕，那么复数z1的值是．z210．等差数列{ a n}的前n项和为S n，若是a1=2，a3+a5=22，那么S3等于．11．执行以以下图的程序框图，那么输出的结果是___．开始a=1， b=1， S=2yA c=a+bb= c1S=S+ca= b-1 O1x否c>5-1B是输出 S结束2x y10,12．假设变量x，y满足条件x y0,且 z x y 的最大值是10，那么 k 的值是．y k,13．过点M (3, y0 ) 作圆O： x2y21的切线，切点为 N ，若是 y0 =0 ，那么切线的斜率是；若是OMN，那么 y0的取值范围是．614．设函数y f (x) 的定义域为 D ，若是存在非零常数 T ，关于任意 x D ，都有 f (x T )T f ( x) ，那么称函数y f ( x) 是“似周期函数〞，非零常数T 为函数 y f ( x) 的“似周期〞．现有下面四个关于“似周期函数〞的命题：①若是“似周期函数〞y f ( x) 的“似周期〞为- 1，那么它是周期为 2 的周期函数；②函数 f ( x)x 是“似周期函数〞；③函数 f ( x)2- x是“似周期函数〞；④若是函数 f (x) cos x 是“似周期函数〞，那么“k ,k Z 〞．其中是真命题的序号是．〔写出所有满足条件的命题序号〕．．二、解答题共 6 小题，共80 分．解同意写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.〔本小题共13 分〕函数 f ( x) 2 3 sin( x)cos( x) 2cos 2 ( x) 1，x R ．444〔Ⅰ〕求函数 f (x) 的最小正周期；〔Ⅱ〕求函数 f (x) 在区间 [0, ] 上的最大值和最小值及相应的x 的值．216.〔本小题共 13 分〕某市为了认识本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图以以下图，其中频率样本数据分组区间为[50, 60) ， [60,70) ， [70,80) ， [80,90) ，[90,100] ．〔Ⅰ〕试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；〔Ⅱ〕若是从参加本次考试的同学中随机采用 1 名同学，求这名同学考试成绩在80 分以上〔含80 分〕的概率；〔Ⅲ〕若是从参加本次考试的同学中随机采用 3 名同学，这 3名同学中考试成绩在 80 分以上〔含 80 分〕的人数记为X，求X的分布列及数学希望．〔注：频率可以视为相应的概率〕组距O50 60 70 80 90 100 考试成绩〔分〕17. 〔本小题共 14 分〕如图，四棱锥P-ABCD 中，底面 ABCD为平行四边形， PA ⊥底面 ABCD ，M 是棱 PD 的中点，且PA=AB=AC=2， BC2 2 ．〔Ⅰ〕求证： CD ⊥平面 PAC ； P〔Ⅱ〕求二面角M- AB- C 的大小；〔Ⅲ〕若是 N 是棱 AB 上一点，且直线 CN 与平面 MABM所成角的正弦值为10，求AN的值．5NBADBNC18.〔本小题共13 分〕函数f (x)x e x 1 ．〔Ⅰ〕求函数 f (x) 的极小值；〔Ⅱ〕若是直线 y kx 1 与函数 f (x) 的图象无交点，求k 的取值范围．19.〔本小题共 14 分〕椭圆 C ：x2y 2的右焦点F ( 3,0) ，点M ( 3, 1 )在椭圆C 上．a 2b 21(a b 0)2 〔Ⅰ〕求椭圆 C 的标准方程；〔Ⅱ〕直线 l 过点 F ，且与椭圆 C 交于 A ，B 两点，过原点 O 作直线 l 的垂线，垂足为 P ，若是△ OAB的面积为|AB| 4〔为实数〕，求的值．2|OP |20.〔本小题共 13 分〕数列 { a n } 满足 a 11， a n a n 1 1 ， (1， n 2 且 n N *) ．1〔Ⅰ〕求证：当0 时，数列 { a n} 为等比数列； 1〔Ⅱ〕若是2 ，求数列 { na n } 的前 n 项和 S n ；〔Ⅲ〕若是 [ a n ] 表示不高出 a n 的最大整数，当2 1 时，求数列 {[(1)a n ]} 的通项公式．〔考生务必然答案答在答题卡上，在试卷上作答无效〕丰台区 2021 年第一学期期末练习高三数学〔理科〕答案及评分参照一、共8 小，每小 5 分，共 40分．号12345678答案D A D C B B A D二、填空共 6 小，每小 5 分，共30 分．9．1 i10．1511． 2012． 513．2； 1 y0 114．①③④2注：第 13 第一个空 2 分；第二个空 3 分。

丰台区高三数学期末试卷

考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|的图像大致是：A. 两个开口向左的绝对值函数图像拼接而成B. 两个开口向右的绝对值函数图像拼接而成C. 一个开口向上的绝对值函数图像D. 一个开口向下的绝对值函数图像2. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z的取值范围是：A. 实轴上B. 纯虚轴上C. 垂直于实轴的直线D. 垂直于虚轴的直线3. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an = 2^n - 1，则S10的值为：A. 1023B. 2046C. 4094D. 81904. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，其图像的对称中心是：A. (0, 0)B. (1, 0)C. (0, -1)D. (1, -1)5. 若向量a = (2, 3)，向量b = (1, -2)，则向量a·b的值为：A. 7B. -1C. -7D. 16. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4在区间[0, 2]上的最大值是：A. 0B. 2C. 4D. 67. 在等差数列{an}中，若a1 = 3，d = 2，则第10项an的值为：A. 19B. 21C. 23D. 258. 若圆C的方程为x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，则圆C的半径是：A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知函数f(x) = log2(x + 1)，其定义域是：A. (-1, +∞)B. (-∞, -1)C. (-1, 0)D. (0, +∞)10. 若等比数列{an}的公比q = 1/2，首项a1 = 8，则第5项an的值为：A. 1/2B. 1/4C. 1/8D. 8二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。

把答案填在题目的横线上。

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正视图俯视图丰台区高三数学第一学期期末试卷（理科）201X.1一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．集合2{90}P x x =-<，{13}Q x x =∈-≤≤Z ，则P ∩Q =A ．{33}x x -<≤B ．{13}x x -≤<C ．{10123}-，，，，D ．{1012}-，，，2．若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是A3225+π B．3225π C．3225π D．12825π 3．已知命题p ：1x ∃>，210x ->，那么p ⌝是A ．1x ∀>，210x -> B ．1x ∀>，210x -≤ C ．1x ∃>，210x -≤D ．1x ∃≤，210x -≤4．如果向量(,1)a k =与(61)b k =+，共线且方向相反，那么k 的值为 A ．-3B ．2C ．17-D ．175．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能值周一或周二，那么5名同学值日顺序的编排方案共有 A ．24种B ．48种C ．96种D ．120种6．设偶函数()f x 在[0)+∞，上为增函数，且(2)(4)0f f ⋅<，那么下列四个命题中一定正确的是A ．(3)(5)0f f ⋅≥B ．(3)(5)f f ->-C ．函数在点(4(4))f --，处的切线斜率10k < D ．函数在点(4(4))f ，处的切线斜率20k ≥7．程序框图如图所示，将输出的a 的值依次记为a 1，a 2，…，a n ，其中*n ∈N 且2010n ≤．那么数列{}n a 的通项公式为A ．123n n a -=⋅B ．31nn a =-C ．31n a n =-D ．21(3)2n a n n =+8．用m a x {}a b ，表示a ，b 两个数中的最大数，设2()max{f x x =1()4x ≥，那么由函数()y f x =的图象、x 轴、直线14x =和直线2x =所围成的封闭图形的面积是A ．3512B ．5924 C ．578D ．9112二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 9．复数21ii+= ． 10．在△ABC 中，如果::3:2:4a b c =，那么cos C = ．11．某年级举行校园歌曲演唱比赛，七位评委为学生甲打出的演唱分数茎叶图如右图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为，．12．过点(34)-，且与圆22(1)(1)25x y -+-=相切的直线方程为．13．已知x ，y 满足约束条件1260y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，，，那么3z x y =+的最小值为．14．定义方程()()f x f x '=的实数根x 0叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数()g x x=，()ln(1)h x x =+，()cos x x ϕ=（()x π∈π2，）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是．三、解答题：本大题共6小题，共80分 15.（本小题共13分）已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=-（0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的距离等于2π．（Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值．16.（本小题共14分）直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =5，AC =4，BC =3，AA 1=4，点D 在AB 上．（Ⅰ）求证：AC ⊥B 1C ；（Ⅱ）若D 是AB 中点，求证：AC 1∥平面B 1CD ；（Ⅲ）当13BD AB =时，求二面角1B CD B --的余弦值．17.（本小题共13分）某校组织“上海世博会”知识竞赛．已知学生答对第一题的概率是0.6，答对第二AA 1BC DB 1C 1题的概率是0.5，并且他们回答问题相互之间没有影响．（I ）求一名学生至少答对第一、二两题中一题的概率；（Ⅱ）记ξ为三名学生中至少答对第一、二两题中一题的人数，求ξ的分布列及数学期望E ξ．18.（本小题共13分）已知O 为平面直角坐标系的原点，过点(20)M -，的直线l 与圆221x y +=交于P ，Q 两点．（I ）若12OP OQ ⋅=-，求直线l 的方程；（Ⅱ）若OMP ∆与OPQ ∆的面积相等，求直线l 的斜率．19.（本小题共14分）设函数2()(1)2ln(1)f x x x =+-+．（I ）求()f x 的单调区间；（II ）当0<a <2时，求函数2()()1g x f x x ax =---在区间[03]，上的最小值．20.（本小题共13分）已知函数2()1f x x=+，数列{}n a 中，1a a =，1()n n a f a +=*()n ∈N ．当a 取不同的值时，得到不同的数列{}n a ，如当1a =时，得到无穷数列1，3，53，115，…；当2a =时，得到常数列2，2，2，…；当2a =-时，得到有穷数列2-，0．（Ⅰ）若30a =，求a 的值；（Ⅱ）设数列{}n b 满足12b =-，1()n n b f b +=*()n ∈N ．求证：不论a 取{}n b 中的任何数，都可以得到一个有穷数列{}n a ；（Ⅲ）若当2n ≥时，都有533n a <<，求a 的取值范围．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区高三数学第一学期期末理科参考答案及评分标准201X.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

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丰台区第一学期期末练习高三数学（理科）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{(2)(1)0}A x x x =∈+-<Z ，{2,B =-1}-，那么A B U 等于（A ）{2101}，，，-- （B ）{210}，，-- （C ）{21}，-- （D ）{1}-2．已知0a b >>，则下列不等式一定成立的是（A ）a b <（B ）11a b> （C ）11()()22ab>（D ）ln ln a b >3．如果平面向量(20)，=a ，(11)，=b ，那么下列结论中正确的是（A ）=a b （B ）⋅=a b （C ）()-⊥a b b（D ）//a b4．已知直线m ，n 和平面α，如果n α⊂，那么“m n ⊥”是“m α⊥”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5．在等比数列}{n a 中，31=a ，123+=a a a +9，则456+a a a +等于（A ）9（B ）72（C ）9或72（D ） 9或726．如果函数()s i n 3c o s f x x x ωω=+的两个相邻零点间的距离为2，那么(1)(2)(3)(9)f f f f ++++L 的值为（A ）1 （B ）1（C （D ）7.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中4115.16寸表示115寸416分（1寸=10分）．的惊蛰的晷影长应为（A ）72.4寸（B ）81.4寸（C ）82.0寸（D ）91.6寸8.对于任何集合S ，用|S |表示集合S 中的元素个数，用()n S 表示集合S 的子集个数. 若集合A ，B 满足条件：|A|=2017，且()()()n A n B n A B +=U ，则|A B |I 等于（A ）2017（B ）2016（C ）2015（D ）2014第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9. i 是虚数单位，复数2i1i-= ． 10. 设椭圆C ：222+1(0)16x y a a =>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，如果12||+||10PF PF =，那么椭圆C 的离心率为．11．在261()x x-的展开式中，常数项是（用数字作答）．12．若，x y 满足202200，，，x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩+则=2z x y -的最大值为．13．如图，边长为2的正三角形ABC 放置在平面直角坐标系Oy 中，AC 在轴上，顶点B 与y轴上的定点P 重合．将正三角形ABC 沿轴正方向滚动，即先以顶点C 为旋转中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当△ABC 滚动到△111A B C 时，顶点B 运动轨迹的长度为；在滚动过程中，OB OP ⋅uu u r uu u r的最大值为．DCBA14．已知()f x为偶函数，且0≥x时，][)(xxxf-=（][x表示不超过的最大整数）．设()()()g x f x kx k k=--∈R，若1k=，则函数()g x有____个零点；若函数()g x三个不同的零点，则k的取值范围是____．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）如图，在△ABC中，D是BC上的点，3AC=，2CD=，AD sin B=（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求边AB的长.16.（本小题共14分）如图所示的多面体中，面ABCD是边长为2的正方形，平面PDCQ⊥平面ABCD，PD DC^，E F G，，分别为棱，，BC AD PA的中点.（Ⅰ）求证：EG‖平面PDCQ；（Ⅱ）已知二面角P BF C--求四棱锥P ABCD-的体积．PGQ17.（本小题共14分）数独游戏越越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如下表所示：为了解参赛学生的数独水平，该科技馆采用分层抽样的方法从这四所中学的参赛学生中抽取30名参加问卷调查．（Ⅰ）问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？（Ⅱ）从参加问卷调查的30名学生中随机抽取2名，求这2名学生自同一所中学的概率；（Ⅲ）在参加问卷调查的30名学生中，从自甲、丙两所中学的学生中随机抽取2名，用表示抽得甲中学的学生人数，求的分布列．18.（本小题共13分）已知函数()e x f x x =与函数21()2g x x ax =+的图象在点(00)，处有相同的切线. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设()()()()h x f x bg x b =-∈R ，求函数()h x 在[12]，上的最小值.19.（本小题共13分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，且经过点(12)，A ，过点F 的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，直线OP ，OQ 与直线2px =-分别交于S ，T 两点，试判断FS FT ⋅uu r uu u r 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.20.（本小题共13分）已知无穷数列{}n c 满足1112n n c c +=--. （Ⅰ）若117c =，写出数列{}n c 的前4项；（Ⅱ）对于任意101c ≤≤，是否存在实数M ，使数列{}n c 中的所有项均不大于M ？若存在，求M 的最小值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当1c 为有理数，且10c ≥时，若数列{}n c 自某项后是周期数列，写出1c 的最大值.（直接写出结果，无需证明）丰台区第一学期期末练习高三数学（理科）参考答案及评分参考一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．1i -+ 10．5311． 15 12．4 13．83π； 14．2；1111,,3432⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）在△ADC 中，由余弦定理，得CDAC AD CD AC C ⋅-+=2cos 222 ……………….2分2123272322=⨯⨯-+=……………….4分因为0C <<π，所以3C π=. ……………….6分（Ⅱ）因为3C π=，所以23sin =C . ……………….8分在△ABC 中，由正弦定理，得CABB AC sin sin =， ……………….10分即2213=AB ，所以边AB 的长为2213. ……………….13分 16.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）取PD 中点H ，连接GH ，HC ，因为ABCD 是正方形，所以AD ‖BC ，AD BC =. 因为G,H 分别是PA ,PD 中点，所以GH ‖AD ,12GH AD =. 又因为EC ‖AD 且12EC AD =，所以GH ‖EC ，GH EC =，所以四边形GHCE 是平行四边形, ………….3分所以EG ‖HC .又因为EG Ë平面PDCQ ，HC Ì平面PDCQ所以EG ‖平面PDCQ ． ……………….5分（Ⅱ）因为平面PDCQ ⊥平面ABCD ，平面PDCQ I 平面ABCD CD =， P D D C^，PD Ì平面PDCQ ，所以PD ^平面ABCD ． ……………….6分如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为,y ,轴正方向，建立空间直角坐标系．设PD a =，则 ()()()00002201 P ,,a F ,,B ,,，，． (7)分因为PD ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)=m . ……………….8分设平面PFB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，()10PF ,,a uu u r =- ()120 FB ,,uu r =, 则0,=0.PF FB ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩uu u r uu r n n即0+2=0x az x y -=⎧⎨⎩令=1，得11,2z y a ==-，所以11(1,,)2a=-n ．……………….10分由已知，二面角P BF C --所以得cos <,>||||⋅===m nm n m n……………….11分解得a =2,所以2PD =．……………….13分因为PD 是四棱锥P ABCD -的高，所以其体积为182433P ABCD V -=⨯⨯=．……………….14分17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意知，四所中学报名参加数独比赛的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为30310010=，所以甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数分别为9，12，6，3. ………………3分（Ⅱ）设“从30名学生中随机抽取两名学生，这两名学生自同一所中学”为事件A ，从30名学生中随机抽取两名学生的取法共有230435C =种， ………………5分自同一所中学的取法共有222291263120C C C C +++=． ………………7分所以1208()43529P A ==．答：从30名学生中随机抽取两名学生自同一所中学的概率为829． ………………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，30名学生中，自甲、丙两所中学的学生人数分别为9，6．依题意得，X 的可能取值为0,1,2， ………………9分262151(0)7C P X C === ，119621518(1)35C C P X C === ，2921512(2)35C P X C ===． ……………12分所以X 的分布列为：……………….14分18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为()e e xxf x x '=+，所以(0)1f '=. ……………….2分因为()g x x a '=+，所以(0)g a '=. ...................4分因为()f x 与()g x 的图象在（0,0）处有相同的切线，所以(0)(0)f g ''=，所以1a =. . (5)分（Ⅱ）由（Ⅰ）知, 21()2g x x x =+, 令21()()()e 2xh x f x bg x x bx bx =-=--，[1,2]x ∈，则()e e (1)(1)(e )xxxh x x b x x b '=+-+=+-． ……………….6分 (1)当0b ≤时，[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1,2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -； ……………….7分 (2)当0b >时，由()=0h x '得，ln x b =， ……………….8分①若ln 1b ≤，即0e b <≤，则[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1,2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -. ……………….9分②若1ln 2b <<，即2e e b <<，则(1,l n )x b ∀∈，()0h x '<，(ln 2)x b ∀∈，，()0h x '>，所以()h x 在(1,ln )b 上是减函数，在(ln 2)b ，上是增函数，故()h x 的最小值为21(ln )=ln 2h b b b -； ……………….11分③若ln 2b ≥，即2e b ≥，则[1,2]x ∀∈，()0h x '<，所以()h x 在[1,2]上是减函数，故()h x 的最小值为2(2)=2e 4h b -. ……………….12分综上所述，当e b ≤时，()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -，当2e e b <<时，()h x 的最小值为21ln 2b b -，当2e b ≥时，()h x 的最小值为22e 4b -. ……………….13分 19.（本小题共13分）解：（Ⅰ）把点(1,2)A 代入抛物线C 的方程22y px =，得42p =，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =. ……………….4分（Ⅱ）因为2p =，所以直线2px =-为1x =-，焦点F 的坐标为(1,0) 设直线PQ 的方程为1x ty =+，211(,)4y P y ，222(,)4y Q y ，则直线OP 的方程为14y x y =,直线OQ 的方程为24y x y =. ……………….5分由14,1,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得14(1,)S y --，同理得24(1,)T y --． ……………….7分所以14(2,)FS y =--uu r ，24(2,)FT y =--uu u r ，则12164FS FT y y ⋅=+uu r uu u r ． ……………….9分由21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，所以124y y =-， ……………….11分则164(4)FS FT ⋅=+-uu r uu u r 440=-=．所以，FS FT ⋅uu r uu u r 的值是定值，且定值为0. ……………….13分20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）12462,,,,77777……………….4分（Ⅱ）存在满足题意的实数M , 且M 的最小值为1.解法一：猜想10≤≤n c ，下面用数学归纳法进行证明.（1）当1n =时,101c ≤≤，结论成立.（2）假设当)(*N k k n ∈=时结论成立，即10≤≤k c ，当1+=k n 时,022k c ≤≤ ,所以1121k c -≤-≤,即0121k c ≤-≤,所以01121k c ≤--≤,故01121k c ≤--≤.又因为+1=112k k c c --,所以+101k c ≤≤,所以1+=k n 时结论也成立.综上,由（1）,（2）知,10≤≤n c 成立所以1M ≥,当112c =时,可得当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1.解法二：当2≥n 时，若存在2,3,4...,k =满足11k c -<,且1k c >.显然1,21,01≠-k c ，则 1211<<-k c 时，1221<-=-k k c c 与1>k c 矛盾； 2101<<-k c 时，121<=-k k c c 与1>k c 矛盾；所以01(2)n c n ≤≤≥所以1M ≥,当112c =时,可得当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1. ……………………10分（Ⅲ）2 ………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

2019北京市丰台区高三上学期期末考试数学(理)试题(有)

丰台区第一学期期末练习高三数学（理科）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．1．已知会合A{x Z(x2)(x1)0}，B{2,1}，那么AUB等于（A）{2，1，0，1}（B）{2，1，0}（C）{2，1}（D）{1}2．已知ab0，则以下不等式必定成立的是（A）ab（B）11ab（C）11ab()()22（D）lnalnb3．假如平面向量a(2，0)，b(1，1)，那么以下结论中正确的选项是（A）ab（B）ab22（C）(ab)b（D）a//b4．已知直线m，n和平面，假如n，那么“mn”是“m”的（A）充足而不用要条件（B）必需而不充足条件（C）充足必需条件（D）既不充足也不用要条件5．在等比数列{a n}中，a13，a1+a2a3=9，则a4+a5a6等于（A）9（B）72（C）9或72（D）9或726．假如函数f(x)sinx3cox的s两个相邻零点间的距离为2，那么f(1)f(2)fL(3)f的值为（A）1（B）1（C）3（D）37.中国历法推断依据以测为辅、以算为主的原则．比如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测获得的，其余节气的晷影长则是依据等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，此中115.1 46寸表示115寸461分（1寸=10分）．节小寒大寒立春雨水惊蛰春分清明谷雨立夏小满芒种气冬至(大(小(立(霜(寒(秋(白(处(立(大(小夏至雪)雪)冬)降)露)分)露)暑)秋)暑)暑)晷影长（寸135125.56115.14636105.295.32685.42675.5566.5655.64645.73635.82625.91616.）已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为（A）72.4寸（B）81.4寸（C）82.0寸（D）91.6寸8.关于任何会合S，用|S|表示会合S中的元素个数，用n(S)表示会合S的子集个数.若会合A，B知足条件：|A|2017，且n(A)n(B)n(AUB)，则|AIB|等于（A）2017（B）2016（C）2015（D）2014第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每题5分，共30分．9.i是虚数单位，复数2i1i=．10.设椭圆C：22xy2+1(a0)a16的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，假如|PF|+|PF|10，那么椭圆C的离心率为．1211．在126(x)x的睁开式中，常数项是（用数字作答）．x+y20，12．若x，y知足则z=2xy的最大值为．2xy20，y0，13．如图，边长为2的正三角形ABC搁置在平面直角坐标系Oy中，AC在轴上，极点B与y轴上的定点P重合．将正三角形ABC沿轴正方向转动，即先以极点C为旋转中心顺时针旋转，当极点B落在x轴上时，再以极点B为旋转中心顺时针旋转，这样持续．当△ABC转动到yP (B) B1AOCA1C1x△uuuruuurABC时，极点B运动轨迹的长度为；在转动过程中，OBOP111的最大值为．14．已知f(x)为偶函数，且x0时，f(x)x[x]（[x]表示不超出的最大整数）．设g(x)f(x)kxk(k R)，若k1，则函数g(x)有____个零点；若函数g(x)三个不一样的零点，则k的取值范围是____．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）如图，在△ABC中，D是BC上的点，AC3，CD2，AD7，sin7B.7 （Ⅰ）求角C的大小；A （Ⅱ）求边AB的长.B D C16.（本小题共14分）以下图的多面体中，面ABCD是边长为2的正方形，平面PDCQ⊥平面ABCD，PD^DC，E，F，G分别为棱BC，AD，PA的中点.P （Ⅰ）求证：EG‖平面PDCQ；（Ⅱ）已知二面角P-BF-C的余弦值为66，QG求四棱锥P-ABCD的体积．DCFEAB17.（本小题共14分）数独游戏越越受人们喜欢，今年某地域科技馆组织数独竞赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生踊跃参赛，参赛学生的人数以下表所示：中甲乙丙丁学人30402010为认识参赛学生的数独水平，该科技馆采数用分层抽样的方法从这四所中学的参赛学生中抽取30名参加问卷检查．（Ⅰ）问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？（Ⅱ）从参加问卷检查的30名学生中随机抽取2名，求这2名学生自同一所中学的概率；（Ⅲ）在参加问卷检查的30名学生中，从自甲、丙两所中学的学生中随机抽取2名，用表示抽得甲中学的学生人数，求的散布列．18.（本小题共13分）x 已知函数()efxx与函数1gxxax的图象在点(0，0)处有同样的切线. ()22（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设h(x)f(x)bg(x)(b R)，求函数h(x)在[1，2]上的最小值.19.（本小题共13分）已知抛物线C：22(0)ypxp的焦点为F，且经过点A(1，2)，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点.（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）O为坐标原点，直线OP，OQ与直线p uuruuurx分别交于S，T两点，试判断FSFT 2能否为定值？假如，求出这个定值；若不是，请说明原因.20.（本小题共13分）已知无量数列{c n}知足c n1112c n.1（Ⅰ）若17c，写出数列{c n}的前4项；（Ⅱ）关于随意0c11，能否存在实数M，使数列{c n}中的全部项均不大于M？若存在，求M的最小值；若不存在，请说明原因；（Ⅲ）当c1为有理数，且c10时，若数列{c n}自某项后是周期数列，写出c1的最大值.（直接写出结果，无需证明）丰台区第一学期期末练习高三数学（理科）参照答案及评分参照一、选择题共8小题，每题5分，共40分．题号12345678答案BDCBDACB二、填空题共6小题，每题5分，共30分．9．1i10．3511．158 12．413．3 ；2314．2；1111,U,3432三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）在△ADC中，由余弦定理，得22 ACCD2 ADcosC⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分.2ACCD2 322 7232⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分.12由于0C，因此C.⋯⋯⋯⋯⋯6⋯.3分（Ⅱ）由于C，因此33sinC.⋯⋯⋯⋯⋯8⋯.2分在△ABC中，由正弦定理，得ACsinBABsinC，⋯⋯⋯⋯⋯1⋯0.分即321AB，因此边AB的长为23 212.⋯⋯⋯⋯⋯⋯13.分16.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）取PD中点H，连结GH，HC，由于ABCD是正方形，因此AD‖BC，AD=BC.由于G,H分别是PA,PD中点，因此GH‖AD, 1GH=AD. 2又由于EC‖AD且1 EC=AD，2因此GH‖EC，GH=EC，因此四边形GHCE是平行四边形,⋯⋯⋯⋯3.分因此EG‖HC.又由于EG?平面PDCQ，HCì平面PDCQ因此EG‖平面PDCQ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分.（Ⅱ）由于平面PDCQ⊥平面ABCD，平面PDCQ I平面ABCD=CD，PD^DC，PDì平面PDCQ，因此PD^平面ABCD．⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分.如图，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为,y,轴正方向，成立空间直角坐标系．设PD=a，则P(0,0,a)，F(1,0,0)，B(2,2,0)．⋯⋯⋯⋯⋯7⋯分由于PD⊥底面ABCD，因此平面ABCD的一个法向量为m(0,0,1).⋯⋯⋯⋯⋯8⋯.分设平面PFB的一个法向量为n(x,y,z)，yuuuruurPF,,a=,=(10-)FB(1,2,0) PuuurPFuur 则FB nn0,=0. GHQ即x az0x+2y=0AFDCxEBz令=1，得11z,ya2，因此11n(1,,)．⋯⋯⋯⋯⋯1⋯0.分2a6，由已知，二面角P-BF-C的余弦值为61因此得cos<m,n>mn6a|m||n|516，⋯⋯⋯⋯⋯1⋯1.4 2 a分解得a=2,因此PD=2．⋯⋯⋯⋯⋯1⋯3.分由于PD是四棱锥P-ABCD的高，18因此其体积为V24．PABCD33⋯⋯⋯⋯⋯1⋯4.分17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意知，四所中学报名参加数独竞赛的学生总人数为100名，抽取的样本容量与整体个数的比值为303 10010，因此甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数分别为9，12，6，3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯分3（Ⅱ）设“从30名学生中随机抽取两名学生，这两名学生自同一所中学”为事件A，从30名学生中随机抽取两名学生的取法共有 2C30435种，⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分自同一所中学的取法共有2222C9C12C6C3120．⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分因此()1208PA．43529答：从30名学生中随机抽取两名学生自同一所中学的概率为8．⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分29（Ⅲ）由（Ⅰ）知，30名学生中，自甲、丙两所中学的学生人数分别为9，6．依题意得，X的可能取值为0,1,2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分P(X0) 2 C C 6 2 151 7 ， P(X1) 11 CC 962 C 1518 35 ，P(X2) 2 C C 921512 35 ．⋯⋯⋯⋯⋯ 12分因此X 的散布列为：X012P 1718351235⋯⋯⋯⋯⋯⋯14.分18．（本小题共13分）xx解：（Ⅰ）由于()eefxx，因此f(0)1.⋯⋯⋯⋯⋯2⋯.分由于g(x)xa，因此g(0)a.⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分.由于f(x)与g(x)的图象在（0,0）处有同样的切线，因此f(0)g(0)，因此a1.⋯⋯5.分（Ⅱ）由（Ⅰ）知,12 g(x)xx,2令1x2h(x)f(x)bg(x)xebxbx，x[1,2]，2则h(x)e x xe x b(x1)(x1)(e x b)．⋯⋯⋯⋯⋯6⋯分.(1)当b0时，x[1,2]，h(x)0，因此h(x)在[1,2]上是增函数，故h(x)的最小值为3h(1)=eb；⋯⋯⋯⋯⋯7⋯分.(2)当b02时，由h(x)=0得，xlnb，⋯⋯⋯⋯⋯8⋯分.①若lnb1，即0be，则x[1,2]，h(x)0，因此h(x)在[1,2]上是增函数，故h(x)的最小值为3h(1)=eb.⋯⋯⋯⋯⋯9⋯分.2②若1lnb2，即 2ebe，则x1(,nl)b，h(x)0，x(lnb，2)，h(x)0，因此h(x)在(1,lnb)上是减函数，在(lnb，2)上是增函数，故h(x)的最小值为12h(lnb)=blnb；⋯⋯⋯⋯⋯⋯11.分2③若lnb2，即 2be，则x[1,2]，h(x)0，因此h(x)在[1,2]上是减函数，故h(x)的最小值为2h(2)=2e4b.⋯⋯⋯⋯⋯1⋯2.分3 综上所述，当be时，h(x)的最小值为h(1)=eb，2当2ebe时，h(x)的最小值为122blnb，当b时，h(x)的最小值为2e2e4b.⋯⋯⋯⋯⋯⋯13.分219.（本小题共13分）解：（Ⅰ）把点A(1,2)代入抛物线C的方程22ypx，得42p，解得p2，24因此抛物线C的方程为yx.⋯⋯⋯⋯⋯4⋯分.p（Ⅱ）由于p2，因此直线x为x1，焦点F的坐标为(1,0) 2设直线PQ的方程为xty1，2y1P(,y)，142y2Q(,y)，244yx则直线OP的方程为y1,直线OQ的方程为4yxy2.⋯⋯⋯⋯⋯5⋯分.由4yx,y1x1,得4S(1,)y1，同理得T4(1,)y2．⋯⋯⋯⋯⋯7⋯分.因此uurFS4(2,)y1，u uurFT4(2,)y2uuruuur，则FSFT416yy12．⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分.由x ty1,得2y4x,2440yty，因此y1y24，⋯⋯⋯⋯⋯⋯11.分uuruuurFSFT则416(4)440．uuruuur因此，FSFT 的值是定值，且定值为0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯13.分20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）12462,,,,77777⋯⋯⋯⋯⋯4⋯.分（Ⅱ）存在知足题意的实数M,且M的最小值为1.解法一：猜想01c，下边用数学概括法进行证明.n（1）当n1时,0c11，结论成立.（2）假定当nk(kN*)时结论成立，即01c，k 当nk1时,02c k2,因此112c k1,即012ck1,因此0112c k1,故0112c k1.又由于ck+1=112c k,因此0c k1,+1因此nk1时结论也成立.综上,由（1）,（2）知,01c成立n1c时,可适当n2时,c n1,此时,M的最小值为1因此M1,当12故M的最小值为1.解法二：当n2时，若存在k2,3,4...,知足c11,且c k1.k1明显c0,,1，则k121 2 c1时，c k22c k11与c k1矛盾；k110c k1时，c k2c k11与c k1矛盾；2019-2020年的北京市丰台区高三上学期期末考试数学(理)试题(有答案)2因此0c n1(n2)1c时,可适当n2时,c n1,此时,M的最小值为1因此M1,当12故M的最小值为1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分（Ⅲ）2⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分2019-2020年的北京市丰台区高三上学期期末考试数学(理)试题(有答案) （若用其余方法解题，请酌情给分）。

丰台区高三数学理期末试卷及答案

丰台区—学年度第一学期期末练习高三数学（理科）第一部分（选择题共分）一、选择题共小题，每小题分，共分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

．已知集合{1,0,1,2,3}A =-，{|22}B x x =-≤≤，那么A B = （）{1,0,1}- （）{1,0,1,2}- （）{1,0,1,2,3}-（）{|22}x x -≤≤．若复数(2i)(i)a -+的实部与虚部互为相反数，则实数a =（）（）13（）13-（）3-．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（）34 （）45 （）56（）67．已知等差数列{}n a 中，13a =，26a =.若2n n b a =，则数列{}n b 的前项和等于（）（）（）（）．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为（）（）（）．设a ，b 是非零向量，则“=a b ”是“2=a a b ”的（）充分而不必要条件（）必要而不充分条件（）充分必要条件（）既不充分也不必要条件．一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB通过O处的铰链与固定好的短杆OA连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A ，另一端固定在点B ，套上铅笔（如图所示）.作图时，使铅笔紧贴长杆OB ，拉紧绳子，移动笔尖M（长杆OB绕O转动），画出的曲线即为双曲线的一部分.若||10OA =，||12OB =，细绳长为，则所得双曲线的离心率为（）65 （）54 （）32 （）52．如图，在棱长为的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分C 1A 1俯视图侧（左）视图正（主）视图别是棱1,,AB BC CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，则三角形1PBB 的面积的最小值为（）（）（）2第二部分（非选择题共分）二、填空题共小题，每小题分，共分。

．在极坐标系中，圆：2sin =ρθ的圆心到点(1,0)的距离为．．5(21)x -展开式中2x 的系数为．．能够说明“设,a b 是任意非零实数．若1>ba ，则>b a ”是假命题的一组整数,a b的值依次为．．若,x y 满足1,1,210,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩≥≤≥则2z x y =-的最大值为．．动点(,)A x y 在圆221x y +=上沿逆时针方向匀速旋转，秒旋转一周.已知时间0t =时，点A的坐标是1)2，则当06t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t（单位：秒）的函数的值域为．．已知函数33,,()2,.x x x a f x x x a ⎧-+=⎨<⎩≥ ①若0a =，则函数()f x 的零点有个；②若存在实数m，使得函数()y f x m=+总有三个不同的零点，则实数a的取值范围是．三、解答题共小题，共分。

2019届北京市丰台区高三上学期期末考试数学(理)试卷(word版)

北京市丰台区2018-2019学年度第一学期期末练习高三数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合，，那么（）A. B. C. D.【答案】B2.若复数的实部与虚部互为相反数，则实数A. 3B.C.D.【答案】D3.执行如图所示的程序框图，输出的的值为A. B. C. D.【答案】B4.已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（）A. 30B. 45C. 90D. 186【答案】C5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为A. 2B.C.D.【答案】D6.设是非零向量，则是的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A7.一种画双曲线的工具如图所示，长杆通过处的铰链与固定好的短杆连接，取一条定长的细绳，一端固定在点，另一端固定在点，套上铅笔（如图所示）.作图时，使铅笔紧贴长杆，拉紧绳子，移动笔尖（长杆绕转动），画出的曲线即为双曲线的一部分.若，，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】D8.如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面不存在公共点，则三角形的面积的最小值为A. B. 1 C. D.【答案】C第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.在极坐标系中，圆C：的圆心到点的距离为____．【答案】11.能够说明“设是任意非零实数．若，则”是假命题的一组整数．．的值依次为____．【答案】（答案不唯一）12.若满足则的最大值为____．【答案】113.动点在圆上沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的值域为____．【答案】14.已知函数(1) 若，则函数的零点有____个；(2) 若存在实数，使得函数总有三个不同的零点，则实数的取值范围是____．【答案】(1). 2(2). 且三、解答题共6小题，共80分。

北京丰台实验学校高三数学理下学期期末试题含解析

北京丰台实验学校高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：B【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，n的值，当n=4时，不满足条件n＜i，退出循环，输出s的值为19，输入的整数i的最大值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得s=0，n=0满足条件n＜i，s=2，n=1满足条件n＜i，s=5，n=2满足条件n＜i，s=10，n=3满足条件n＜i，s=19，n=4满足条件n＜i，s=36，n=5所以，若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为4，有n=4时，不满足条件n＜i，退出循环，输出s的值为19．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．2.已知的图象经过点(2，1)，且，则的值为（）A．4 B．2 C．3 D．9参考答案：答案：A3. 在边长为2的正方形ABCD中，E为CD的中点，则（）A．B．C．－1 D．1参考答案：D如图所示，以A点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则：，据此可得：，由数量积的坐标运算法则可得：.本题选择D选项.4. 某地2010年降雨量与时间X的函数图象如图所示，定义“落量差函数”为时间段内的最大降雨量与最小降雨量的差，则函数的图象可能是（）A． B．C． D．参考答案：B5. 已知函数的部分图象如图所示，若将图像上的所有点向右平移个单位得到函数的图像，则函数的单调递增区间为（）A．, B．,C．, D．,参考答案：A由图可知：A＝2，T＝＝，所以，，又，得，所以，，向右平移个单位得到函数＝，由，得，所以，选A6. 若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（）A．1 B． C． D．2参考答案：B7.已知，，，夹角为，则以，为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为 ( )A. B.5 C.9D.27参考答案：答案：A8. 已知函数，则A ．4032B ．2016C ．4034D ．2017参考答案：A 9. 由曲线，直线及坐标轴所围成图形的面积为 ( )A .B .C .D .参考答案：C 略设函数10. 若，则.参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知是第二象限的角，，则__________。

北京市丰台区高三上学期期末——数学(理)数学(理)

北京市丰台区2015届高三上学期期末练习数学（理）试题第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．在复平面内，复数对应的点的坐标是 (A)（，1）(B)（，）(C)（1，）(D)（1,1） 2．等差数列的前项和为，如果，，那么等于(A)8 (B)15 (C)24 (D)303．命题，则是(A) (B) (C)(D) 4．已知，，则a ，b ，c 的大小关系是(A) a > b > c (B) c > b > a(C) c > a > b(D) a > c > b5．甲、乙两位同学在5次体能测试中的成绩的茎叶图如图所示，设分别表示甲、乙两名同学测试成绩的平均数，分别表示甲、乙两名同学测试成绩的标准差，则有 (A) (B)(C)(D)6．已知函数sin (01)y a bx b b =+>≠且的图象如图所示，那么函数的图象可能是7．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图，则该锥体的正视图可能是8．在平面直角坐标系xOy 中，如果菱形OABC 的边长为2，点A 在x 轴上，则菱形内（不含边界）的整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是 (A) (B)(C)(D)第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9．已知集合2{|20},{1,2,3,4}A x x x B =->=，那么A ∩B = ________． 10．已知向量，且，那么实数______； _______.11．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是____.12．如果变量x ，y 满足条件240,280,0,x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩且，那么的取值范围是_____.13．已知圆22:240C x y x y ++-=，那么圆心坐标是_______；如果圆C 的弦AB 的中点坐标是（，3），那么弦AB 所在的直线方程是__________.14．设函数与是定义在同一区间上的两个函数，如果函数在区间上有个不同的零点，那么称函数和在区间上为“k 阶关联函数”.现有如下三组函数： ①(),()sin2f x xg x x π==；②()2,()ln xf xg x x -==；③()|1|,()f x x g x =-=其中在区间[0，4]上是“2阶关联函数”的函数组的序号是_______（写出所有．．满足条件的函数组序号）三、解答题共6小题，共80分。

丰台高三期末考试数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 若函数f(x) = 2x - 3在区间[1, 4]上的图像是线段，则该线段的斜率为（）A. -1B. 1C. 2D. 32. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为（）A. -1/5B. 1/5C. 2/5D. 3/53. 已知数列{an}满足an = an-1 + 2an-2，且a1 = 1，a2 = 2，则数列{an}的通项公式为（）A. an = 2^n - 1B. an = 2^n + 1C. an = 2^nD. an = 2^n - 24. 若函数g(x) = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且顶点坐标为(1, -2)，则a、b、c的值分别为（）A. a = 1, b = -2, c = -2B. a = 1, b = 2, c = -2C. a = -1, b = -2, c = -2D. a = -1, b = 2, c = -25. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1 + a3 + a5 = 12，a2 + a4 + a6 = 18，则a1和d的值分别为（）A. a1 = 2, d = 2B. a1 = 3, d = 2C. a1 = 2, d = 3D. a1 = 3, d =36. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1在区间[0, 2]上的最大值为5，则f(x)在区间[-1, 1]上的最小值为（）A. -1B. 0C. 1D. 27. 已知函数h(x) = x^2 - 4x + 4在区间[1, 3]上的图像是抛物线，则该抛物线的顶点坐标为（）A. (1, 0)B. (2, 0)C. (3, 0)D. (1, 4)8. 若复数z = 1 + i，则|z|^2的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 89. 已知圆C的方程为x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，则圆C的半径为（）A. 1B. 2C. 3D. 410. 若函数p(x) = log2(x - 1)在区间[2, 3]上单调递增，则p(x)在区间[1, 2]上的单调性为（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1 + a3 + a5 = 12，a2 + a4 + a6 = 18，则a1和d的值分别为______。