十字相乘法分解因式
(完整版)初中历史十字相乘法因式分解
(完整版)初中历史十字相乘法因式分解初中历史十字相乘法因式分解十字相乘法是初中数学中常用的一种因式分解方法。
通过这种方法，我们可以将一个多项式分解成两个或多个简化的因式。
什么是十字相乘法？十字相乘法是一种运用代数式的乘法原理来进行因式分解的方法。
它适用于二次方程的因式分解，也可以用于其他多项式的分解。
如何使用十字相乘法进行因式分解？首先，我们需要一个多项式，如$x^2 + 5x + 6$。
我们将该多项式按照标准形式排列（由高次幂到低次幂），得到$x^2 + 5x + 6$。
其次，我们需要寻找一个分解形式，它可以将前一步得到的多项式分解成两个因式的乘积。
在这个例子中，我们需要找到两个因式之间的关系。
我们要找到两个乘数，使得它们相乘得到6，同时相加得到5。
根据这个要求，我们可以尝试以下组合：- 1和6：1 + 6 = 7- 2和3：2 + 3 = 5我们发现，2和3的乘积等于6，同时它们的和等于5。
因此，我们可以将$x^2 + 5x + 6$分解成$(x + 2)(x + 3)$。
总结十字相乘法是一种有效的因式分解方法，适用于多项式的分解。
通过找到两个乘数，使得它们相乘等于常数项，并且相加等于项数系数，我们可以将多项式分解成两个或多个简化的因式。
同时要注意，十字相乘法只适用于特定类型的多项式，特别是二次方程。
在应用这种方法时，我们应该先将多项式按照标准形式排列，然后寻找乘数来进行分解。
希望这份文档对你有帮助，以理解和应用十字相乘法进行因式分解。
如果有任何疑问，请随时提问。
因式分解-十字相乘法
因式分解-十字相乘法一、十字相乘法分解因式十字相乘法：有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。
简单的说十字相乘法就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
注意：十字相乘法不是适合所有二次三项式，只有在一次项系数和二次项系数以及常数项存在一种特殊关系时才能用，这个特殊关系我们通过例题来说明：1、首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即()()()x a x b x a b x ab ++=+++2将上式反过来，()()()x a b x ab x a x b 2+++=++得到了因式分解的一种方法——十字相乘法，用这种方法来分解因式的关键在于确定上式中的a 和b ，例如，为了分解因式x px q 2++，就需要找到满足下列条件的a 、b ；a b pab q +==⎧⎨⎩如把762-+x x 分解因式，首先要把二次项系数2x 分成x x ⨯，常数项-7分成)1(7-⨯，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项，右边两个数的积为常数项。
交叉相乘的和为x x x 67)1(=⨯+-⨯，正好是一次项。
从而)1)(7(762-+=-+x x x x 。
2、二次项系数不为1的二次三项式的因式分解二次三项式ax bx c 2++中，当a ≠1时，如何用十字相乘法分解呢？分解思路可归纳为“分两头，凑中间”，例如，分解因式2762x x -+，首先要把二次项系数2分成1×2，常数项6分成()()-⨯-23，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数。
右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为()()13227⨯-+⨯-=-，正好是一次项系x =-+762x )1)(7(-+x x xx⇓⨯⇓71-xx x 67=+-数，从而得()()2762232x x x x -+=--。
十字相乘法因式分解(经典全面)
十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c （2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）多字母的二次多项式例3、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
十字相乘法因式分解
2
2
2
练习：将下列各式分解因式
1、 7x －13x＋6
2 2 2 2
答案(7x＋6)(x＋1)
2、 －y －4y＋12 答案－ (y＋6)(y－2)
3、 15x ＋7xy－4y 答案 (3x－y)(5x＋4y)
4、 10(x ＋2) －29(x＋2) ＋10
5 2
2 5
2 +6 5 15==11 17
试因式分解5x2–6xy–8y2。
这里仍然可以用十字相乘法。
简记口诀： 首尾分解， 交叉相乘， 求和凑中。
5 x2 – 6 xy – 8 y2
1
5
–2
4
十字相乘法②随堂练习：
1）4a2–9a+2
4 – 10 = –6 ∴5x2–6xy–8y2 =(x–2y)(5x+4y)
例3 分解因式 5x －17x－12 解：5x －17x－12
2
5x
=(5x＋3)(x－4)
－4 x －20x＋3x=－17x
例4 将 2(6x ＋x) －11(6x ＋x) ＋5 分 解因式 2 2 2 解：2(6x ＋x)－11(6x ＋x) ＋5 2 2 = [(6x ＋x) －5][2(6x ＋x)－1] 2 2 = (6x ＋x－5) (12x ＋2x－1 ) 2 = (6x －5)(x ＋1) (12x ＋2x－1 )
所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成 两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外 两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式 分解就成功了。
6 x2 + 7 x + 2
2
3
十字相乘法-因式分解(经典版)
ax+（-ax）=0
③首项有负号时（也是提取公因式时第一要点）
- x2 x 6 - (x 2)(x 3)
转化到我们熟悉分解方式
- x2 x 6 （- x2 - x - 6）
x 2
x 3 3x 2x -x
总结：
- x2 2ax - a2（- x2 - 2ax a2） 完全平方公式
（ 2 y2 1） -（ 3 y2 1）
x ⑥ 2 系数不为1
2x 2 -11xy - 6y 2
则需对前后两个因式的系数均分解，口算，心算能 力不足时需要在草稿纸上写出多种十字交叉分解的 情形，特别是当前后两项系数数值比较大。
2xx- 6yy (x y)(x 6y)
⑦首项和末项为多个因式相乘，如abc
中间项多了一个因式（y2 1）
回到我们熟悉的分解方式
x 2
x 3
只需在右边分解的因式 分别乘以多了的那个因 式
题型④ x2 - xy - 6y 2
x
2 分别乘以
x
2y
x
x 3 另一个因式y
3y
题型⑤ x2 - x（y2 1）-（6 y2 1）2
x x 2
分别乘以
x x 3 另一个因式（y2+1）
这种的分解方式比较多，难度较大，建议 后期的学习中再慢慢了解
最后：关于十字相乘法的项数及次数问题，笔者认 为，这个没有特定要求，如前面的例子平方差公式， 只有两项也能用这种思想，再比如题型⑤
x2 - x（y2 1）-（ 6 y2 1）2
如果（）里面是一个很项数的很多项式，同样 看作一个整体，那也是可以用这种思想的，我 认为类似于三个整式的代数和形式代数式均可 考虑使用十字相乘法。
十字相乘法因式分解
2
请同学出常数项是 12的因式分解的题，看谁出的多 2 2 2
x +4x-12 x13x＋1 2 2 x +x-12 x +13x＋
2 2
x +8x+12 x +11x-12 x -11x-1
2
练习：分解因式 (x－y) ＋(x－y) －6
x-y x-y －2
1 －5 6 1 －5＋6=1 －5 1 2 －1 －1－10=－11
2
2
2
练习：将下列各式分解因式
1、 7x －13x＋6
2 2 2 2
答案(7x＋6)(x＋1)
2、 －y －4y＋12 答案－ (y＋6)(y－2)
3、 15x ＋7xy－4y 答案 (3x－y)(5x＋4y)
4、 10(x ＋2) －29(x＋2) ＋10
在整式的乘法中，我们学习了形如 (x 2 ＋p)(x＋q)=x ＋(p＋q)x＋pq的式子。
讨论：
我们如何解决式子x ＋(p＋q)x＋pq 的因式分解问题呢？
2
x2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
实际在使用此公式时，需要把一次项系 数和常数项进行分拆，在试算时，会带来一 些困难。 下面介绍的方法，正好解决了这个困难。
2 2
2
x
x y
-2
-3
-3x-2x=-5x
y
=（y+6)(y-1)
+6 -1
x -5x-6
讨论：
2
x +5x＋6
2
+6y-y=+5y
常数项的符号与一次项的符号之间的关系
常数项为正，取两个同号的数（与一次项同号） 常数项为负，取两个异号的数（绝对值较大的数与一次项同号）
十字相乘法分解因式
练习：在 横线上 填 、符号
__ __ x2 4x 3 =（x + 3）（x + 1）
-__ __ x2 2x 3 =（x
3）（x + 1）
- - __ __ y2 9y 20 =（y
4）（y 5）
_-_ __ t2 10t 56=（t
a2 13a 42
1、含有x的二次三项式，其中x2系数 是1，常数项为12，并能分解因式， 这样的多项式共有几个？
若一次项的系数为整数， 则有6个；否则有无数个！！
2、分解因式
(1).x2+(a-1)x-a；
(1)(x+a)(x-1)
(2)(x+y+12)(x+y-4)
(2).(x+y) 2+8(x+y)-48；
反过来，得 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
一个二次三项式 因式分解
两个一次二项式相乘的积
如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数q能分 解成两个因数a、b的积，而且一次项系数p又恰好 是a+b，那么x2+px+q就可以进行如上的因式分解。
x2 px q x2 (a b)x ab (x + a )(x + b)
用十字相乘法把形如
x
5
x
3
x2 px q
二次三项式分解因式使
q ab, p a b
(3x) (5x) 8x
练一练： 将下列各式分解因式
x2 5x 6
x2 x 6
十字相乘法分解因式
十字相乘法分解因式十字相乘法是一种用于分解多项式因式的数学方法，也被称为乘法法则，是通过乘法运算将多项式分解为两个或多个乘积的过程。
它可以用来解决数学术语中的多项式因式化，也就是将多项式分解为简单的乘积形式。
例如，有一个多项式 (x + 2)(x + 3)它可以分解为 (x + 2) (x + 3) 。
十字相乘法分解因式（也称为十字相乘法）是一种以固定的乘法表格的形式，用于将一个多项式中的系数（即多项式的常数项）和未知数（即多项式的变量项）分开，分解多项式为两个或多个乘积的方法。
它由四列组成，每列包括未知数和系数。
这些四列组成了一个十字表格，由因式和被乘数组成，每一列可以在这些乘数和被乘数之间进行乘法运算，从而实现将多项式分解为两个或多个乘积的目的。
二、十字相乘法分解因式的步骤1.先，将多项式中的未知数或变量项和系数项分别放在一列中（这些元素可能有一个或多个），并在十字表格的其余列中填写数字。
2.后，从每列中找出未知数，并从其他列中乘以对应的系数。
3.得到的乘积求和，检查该和是否恰好等于多项式的常数项，如果是，则多项式已被成功地分解为两个或多个因式的乘积。
4.果求得的乘积和不等于多项式的常数项，则表明十字相乘法分解因式未能成功进行，此时应重新检查步骤是否正确。
三、十字相乘法分解因式的应用十字相乘法分解因式可以用来分解一维、二维和三维多项式，以及高阶多项式。
它可以被用来求解有关二次函数、三次函数和更高阶函数的问题。
它还可以用于求解不等式，以及解决其他复杂的数学问题。
十字相乘法分解因式在很多数学领域的应用不言而喻，它可以用来分析空间问题，解决几何问题，以及分析计算机科学中的复杂问题。
此外，它还可以用于推理推理问题，解决物理问题，以及解决金融学等统计问题。
四、十字相乘法分解因式的优缺点十字相乘法分解因式有有许多优点。
首先，它可以用于分解多项式中繁杂的系数和未知数。
其次，它还可以查找多项式的根和根之和和积，以及计算出未知数的值。
十字相乘法分解因式
十字相乘法分解因式同学们都知道，型的二次三项式是分解因式中的常见题型，那么此类多项式该如何分解呢？观察=，可知=。
这就是说，对于二次三项式，如果常数项b可以分解为p、q的积，并且有p+q=a，那么=。
这就是分解因式的十字相乘法。
下面举例具体说明怎样进行分解因式。
例1、因式分解。
分析：因为7x+(-8x) =-x解：原式=（x+7）（x-8）例2、因式分解。
分析：因为-2x+（-8x）=-10x解：原式=（x-2）（x-8）例3、因式分解。
分析：该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字相乘法进行因式分解。
因为9y+10y=19y解：原式=（2y+3）（3y+5）例4、因式分解。
分析：因为21x + (-18x)=3x解：原式=（2x+3）（7x-9）例5、因式分解。
分析：该题可以将（x+2）看作一个整体来进行因式分解。
因为-25（x+2）+[-4(x+2)]= -29（x+2）解：原式=[2（x+2）-5][5（x+2）-2]=（2x-1）（5x+8）例6、因式分解。
分析：该题可以先将（）看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十字相乘。
因为-2+[-12]=-14a+(-2a)=-a3a +（-4a）=-a解：原式=[-2][ -12]=(a+1)(a-2)(a+3)(a-4)从上面几个例子可以看出十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握。
但要注意，并不是所有的二次三项式都能进行因式分解，如在实数范围内就不能再进一步因式分解了因式分解的一点补充——十字相乘法宜昌九中尤启平教学目标1．使学生掌握运用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解；2．进一步培养学生的观察力和思维的敏捷性。
教学重点和难点重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式因式分解。
难点：灵活运用十字相乘法因分解式。
教学过程设计一、导入新课前一节课我们学习了关于x2+（p+q）x+pq这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是：二次项系数为1，常数项是两个数之积，一次项系数是常数项的两个因数之和。
十字相乘法因式分解(经典全面)
十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）多字母的二次多项式例3、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
初中数学中十字相乘法分解因式
初中数学中十字相乘法分解因式总结知识归纳： 对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式 2 X +(a+b)x+ab = (x +a '[x +b 进行因式分解。
掌握这种方法的关键是确定适合条件的 两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。
2 I ------------- 1对于二次三项|ax/bx±c |( a 、b 、c 都是整数，且[q 式0|)来说，如杲存在四个整数a i ，C 1 , a 2， C 2 满足 a i a 2 = a , C [C 2 =C ,并且 a i C 2 + a 2G =b ,那么二次三项式4 3 2例2.如果|x —x +mx ' —2mx — 2|能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求 m 的 值，并把这个多项式分解因式。
分析：应当把 0分成lx 1 2 ‘X 21，而对于常数项-2,可能分解成|(-1〃2|，或者分解成将它与原式的各项系数进行对比，得：a+b = —1, m = 1, 2a —b =—2m 解得：|a 二-1, b 二0, m 二 1 此时，原式=(x 2 +2'j(x 2-x —1]j2 2(2)设原式分解为|(x +cx -2j ；x +dx +1]，其中C 、d 为整数，去括号，得: x 4 +(c +d 只3 x 2 +(c 2d % 2将它与原式的各项系数进行对比，得:c+d=T , m = T, c-2d=-2m厂 厂 ] fIax +bx+c|即 a i a ?x +(a Q 2 +a2G H+C i C ?可以分解为(a i x + G '(a 2X +c ?卜 这里要 确定四个常数|a ；, q , a ?, c ?分析和尝试都要比首项系数是 1的类型复杂，因此一般要 借助画十字交叉线的办法来确定。
下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。
1.在方程、不等式中的应用2例1.已知：|x —11x+24>0|，求x 的取值范围。
十字相乘法因式分解
十字相乘法②
试因式分解6x2+7x+2。
这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。 既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成两 个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两 个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分 解就成功了。
－4x－2x=－6x
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例2：因式分解
2
步骤：
x
x
x 6 x 7 ( x 7)(x 1) ①竖分二次项与常数项
7
②交叉相乘，积相加 ③检验确定，横写因式
1
顺口溜： 竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。
x 7x 6x
试一试：
注 意
1．掌握方法：拆分常数项，验证一次项． 2．符号规律： 当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p 的符号相同； 当q<0时，a、b异号，且绝对值较大的 因数与p的符号相同．
3．书写格式：竖分横积．
(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。)
x x
x 8x 15 ( x 5)(x 3)
2
小结： 用十字相乘法把形如
5 3
x px q
2
二次三项式分解因式使
q ab, p a b
(3x) (5x) 8x
练一练：
将下列各式分解因式
x 5x 6
2
x x6
十字相乘法如何分解因式
1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。
（2）用十字相乘法来解一元二次方程。
3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。
4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。
2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。
3、十字相乘法比较难学。
5、十字相乘法解题实例：1)、用十字相乘法解一些简单常见的题目例1把m²+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为1 -2 1 ╳6所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）例2把5x²+6x-8分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。
当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题解：因为1 2 5 ╳-4所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）例3解方程x²-8x+15=0 分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。
解：因为1 -3 1 ╳-5所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以x1=3 x2=5例4、解方程6x²-5x-25=0分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。
十字相乘法分解因式
十字相乘法讲解观察下列各式由上面各式得到：等式特点：(1) 等式左边是一个关于x 的二次项系数为1的二次三项式.(2) 等式左边的常数项可分解成两个因数的乘积,且这两个数的和等于一次项系数.(3) 等式右边为两个关于x 的一次因式的乘积.例1 分解因式归纳（1）十字相乘法主要对二次三项式进行因式分解；（2）基本步骤：①对二次项系数和常数项进行竖式分解；②验证交叉相乘后，和是否等于一次项系数；③横向相加，分解因式。
=++)2)(3(x x =+-)3)(4(x x =--)7)(6(x x =-+)2)(5(x x =++))((q x p x 652++x x 122--x x 42132+-x x 1032-+x x pqqx px x +++2652++x x )2)(3(++=x x 122--x x )3)(4(+-=x x 42132+-x x )7)(6(--=x x 1032-+x x )2)(5(-+=x x ))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++1=++107.12x x =--82.22x x =-+65.32x x =+-107.42x x 2310.5x x --92721.62-+x x探索新知计算：反过来 首项系数非1的整系数二次三项式的因式分解例3 分解因式86.124++x x ()()34.32++-+b a b a 107.222+-xy y x 2223.4y xy x +-()2044.5222---+x x x x =++)1)(32(x x 3522++x x =++3522x x )1)(32(++x x =++c bx ax 2))((2211c x a c x a ++=++276.12x x =++10113.22x x =+-82315.32x x =-+36196.42x x =++-22865.5y xy x 7)(15)(2.62++++b a b a 22224954.7y y x y x --223231.8y xy x +-补充作业分解因式：（1）232++x x （2）672+-x x （3）2142--x x（4）1072++x x （5）822--x x （6）1272+-y y ；（7）1872-+x x （8）101132++x x （9）6752-+x x(10) 3722+-x x (11) 101332+-x x (12) 101332--x x ;(13) 5762--x x (14) ;86522y xy x -+ (15) 223116y xy x +-(16) ;7624-+x x (17) 12322--mn n m （18）;1032-+x x()1222.12++++k x k x ()212.222-+++-m m x m x ()2223.32+++-m x m mx课外作业（1）;2142-+a a （2）;1242-+m m （3）;1522-+x x（4）;1832--y y （5）;122--x x （6）.841522b ab a +-（7）;2762++x x （8）;101162--y y （9）;1562-+x x（10）;4832+-a a（11）;6752-+x x （12）2675m m -+（13）71522++x x ； （14）;622-+y y （15）;6732--a a（16）;61362+-x x（17）;15442-+n n （18）;10722+-xy y x（19）91024+-x x。
(完整版)十字相乘法因式分解
当q>0时，q分解的因数a、b( 当q<0时， q分解的因数a、b(
) 同号 ) 异号
观察：p与a、b符号关
系
x2 14x 45 (x 5)(x 9)
x2 29x 138 (x 23)(x 6)
小结： 当q>0时，q分解的因数a、b(
) 同号
且（a、b符号）与p符号相同
x2 7x 60 (x 12)(x 5) x2 14x 72 (x 4)(x 18)
当q<0时， q分解的因数a、b(
) 异号
（其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
练习：在 横线上 填 、 符号
__ __ x2 4x 3 =（x + 3）（x + 1）
_-_ __ x2 2x 3 =（x
3）（x + 1）
_-_ _-_ y2 9y 20 =（y
4）（y 5）
_-_ __ t2 10t 56 =（t
4）（t +14）
当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符号相同
当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
试将 x2 6x 16 分解因式
x2 6x 16
x2 6x 16
x 8x 2
提示：当二次项系数为 -1 时 ， 先提出负号再因式分解 。
十字相乘法②
试因式分解6x2+7x+2。
这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。
既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
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②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式
1
1
顺口溜：竖分常数交叉验，
x 7x 6x
横写因式不能乱。
(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。)
试一试： 2
x x
x 8x 15 ( x 5)(x 3)
5 3
(3x) (5x) 8x
练一练： 将下列各式分解因式
2
( x 4)(x 18)
x px q
2
x (a b) x ab (x + a )(x + b)
2
p
q
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
步骤：
x
x
x 6 x 7 ( x 7)(x 1) ①竖分二次项与常数项
2
7
7
或
因 式 分 解
a1
a2
c1
c2
a1c2+a2c1=b
ax2+bx+c=(a1x+c1) (a2x+c2) (a≠0)
(a1x+c1y) (a2x+c2y)
整 式 运 算
2 2 =ax +bxy+cy
a1
a2
c1
c2
因 式 分 解
a1c2+a2c1=b
ax2+bxy+cy2=(a1x+c1y) (a2x+c2y)
＋3y
解：5x2 －17xy－12y2
=(5x＋3y)(x－4y)
－4y x －20x＋3x=－17x
练习：将下列各式分解因式 1、 2x ＋7x+3
2
答案 (x ＋ 3)(2x＋1)
答案(2x ＋1)(3x －5) 答案－ (y＋6)(y－2) 答案(7x-6)(x-1) 答案 (x－1)(x－a)
例1:2x2－7x+3
总结: 1、由常数项的符号确定分解的两数的符号 2、由一次项系数确定分解的方向
3、勿忘检验分解的合理性
例2 分解因式 3x2 －10x＋3 解：3x2 －10x＋3 =(x－3)(3x－1) 例3 分解因式 5x2－17xy－12y
x
－3
3x －1 －9x－x=－10x
5x
1 2 3 5 2 a ab b 答案 1/4(a-5b)(a+2b) 8、 4 4 2
1、含有x的二次三项式，其中x2系数 是1，常数项为12，并能分解因式， 这样的多项式共有几个？
若一次项的系数为整数， 则有6个；否则有无数个！！
2、分解因式 (1).x2+(a-1)x-a；
(1)(x+a)(x-1) (2)(x+y+12)(x+y-4)
(2).(x+y) 2+8(x+y)-48；
将 2(6x2 ＋x) 2－11(6x2 ＋x) ＋5 分解因式 解：2(6x2 ＋x)2－11(6x2 ＋x) ＋5 = [(6x2 ＋x) －5][2(6x2 ＋x)－1]
= (6x2 ＋x－5) (12x2 ＋2x－1 )
= (6x －5)(x ＋1) (12x2 ＋2x－1 )
2
y 17 y 30
十字相乘法分解因式（2）
本节课解决两个问题： 第一：对形如ax2+bx+c (a≠0)的二次三项式 进行因式分解； 第二：对形如ax2+bxy+cy2 (a≠0)的二次三项式 进行因式分解；
(a1x+c1) (a2x+c2)
整 式 运 算
2 =ax +bx+c
(a≠0)
2、 6x － 7x －5
3、 7x －13x＋6 2 4、 －y －4y＋12
2
2
5、 x －(a＋1) x＋a
2
5、x2+11xy+10y2; 6、2x2-7xy+3y2; 7、-3a2+15ab-12b2;
答案(x+10y)(x+y) 答案 (2x-y)(x-3y) 答案 -3(a-b)(a-4b)
2
( x a)(x b) x (a b) x ab
下列各式是因式分解吗？
x 14x 45 ( x 5)(x 9)
2
x 2 7 x 60 ( x 12)(x 5)
x 29x 138 ( x 23)(x 6)
2
x 14x 72
1
－5
6 1 －5＋6=1
－5 1
2 －1 －1－10=－11
2( x y) ( x y)(x y) 6( x y)
2
2
( x y)(2x 2 y 3) 2
(1)(-x+5y)(3x-y) (2)(2x-2y+1)(x-y-2)
一、计算：
(1)
( x 5)(x 9) x 14x 45
2
(2) ( x 12)(x 5) (3) (4)
x 2 7 x 60
( x 23)(x 6) x 2 29x 138
( x 4)(x 18) x 2 14x 72
x 5x 6
2
x x6
2
x 7 x 12
2
小结： 用十字相乘法把形如
2
x 3 x 10
2
x px q 二次三项式分解因式 q ab, p a b
当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 ) 当q<0时， q分解的因数a、b( 异号 )
试将
x 6 x 16 分解因式
2
x 2 6 x 16
x 6x 16
2
x 8x 2
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出负号再因式分解 。
六、独立练习：把下列各式分解因式
x 2 x 15
பைடு நூலகம்2 2
y 3 y 18
2 2
x 13x 12
a 13a 42