高考数学专题五数列第37练数列的前n项和及求法练习

合集下载

数列前n项和的求法例题

数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1 解：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1 ① ①两边同乘以x ，得 x S n =x+5 x 2+9x 3+······+(4n-3)x n ② ①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+ x 2+x 3+······+n x ）-（4n-3）x n当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n当x ≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n ) 1-x +1-（4n-3）x n ]这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1s i n 2s i n 3s i n 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+---[例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1( ∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和）＝2)2()1(2++n n n练习：求数列∙∙∙+∙∙∙),21(,,813,412,211n n 的前n 项和。

专题：数列的前n项和的求法

专题：数列的前n 项和的求法求数列的前n 项和是数列运算的重要内容之一，也是历年高考考查的热点.对于等差、等比数列，可以直接利用求和公式计算，对于一些具有特殊结构的运算数列，常用倒序相加法、裂项相消法、错位相减法等求和. 一、公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n 5、213)]1(21[+==∑=n n k S nk n例1、已知{}n a 是一个首项为a ，公比为(01)q q <≤的等比数列，求2222*123()n n S a a a a n N =++++∈解：由已知得1n n a aq-=，222(1)2212222n n n n a a q q a a q+-+-∴==∴{}2n a 是首项为2a ，公比为2q 的等比数列。

当1q =时，222212.n n S a a a na =+++=当1q ≠时，2222122[1()](1)11n n n a q a q S q q--==-- 练习：1、已知数列{}n a 为等差数列，且p a =1q，1q a p =（p q ≠，p ，*q N ∈），求p q S +。

解：数列{}n a 为等差数列，∴公差p q a a d p q-=-=11q p p q --=1pq()1111p a a p pq q =+-= ()11111a p q pq pq∴=--= 由等差数列求和公式，得()()()()()111122p q p q p q p q p q S a p q pq pq+++-+++=++⋅=2、已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和。

求数列前N项和的七种方法(含例题和答案)

求数列前N 项和的七种方法点拨:1. 公式法等差数列前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。

这个公式在很多时候可以简化运算。

等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论。

其他公式：1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n3、213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n （利用常用公式）∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 nn 8=，即n ＝8时，501)(max =n f2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② ①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位）①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS（错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1 解：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1 ①①两边同乘以x ，得 x S n =x+5 x 2+9x 3+······+(4n-3)x n ② ①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+ x 2+x 3+······+n x ）-（4n-3）x n当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n当x ≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n) 1-x+1-（4n-3）x n ] 3. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.54. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n（分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+---[例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和）＝2)2()1(2++n n n练习：求数列•••+•••),21(,,813,412,211nn 的前n 项和。

求前N项和方法技巧及公式

求前N项和方法技巧及公式前N项和是指将一个数列的前N项相加得到的和。

计算前N项和可以使用不同的方法和技巧，包括数学公式、推导公式和逐项相加等。

一、数学公式法对于一些特定的数列，存在求前N项和的数学公式，可以直接使用这些公式计算前N项和，而无需逐项相加。

1.等差数列的前N项和公式对于等差数列，其通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

前N项和公式如下：Sn = (a1 + an) * N / 2 = N * (a1 + a1 + (N-1)d) / 2 = N *(2a1 + (N-1)d) / 22.等比数列的前N项和公式对于等比数列，其通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

前N项和公式如下：Sn=a1*(1-r^N)/(1-r)3.平方数序列的前N项和公式对于平方数序列，其通项公式为an = n^2，其中n为正整数。

前N项和公式如下：Sn=n*(n+1)*(2n+1)/6二、推导公式法对于一些特殊的数列，我们可以通过推导得到求前N项和的公式。

推导过程中可以使用数学归纳法、代数运算等方法。

1.等差数列的前N项和公式的推导设等差数列的首项为a，公差为d，第N项为an，则有：an = a + (N-1)dSn=a+(a+d)+(a+2d)+...+(a+(N-1)d)根据等差数列的性质，可以将Sn分为两部分：Sn=(a+(N-1)d)+(a+(N-2)d)+...+(a+d)+a将两式相加，可得：2Sn=(N*a)+(N*a+(N-1)*d)+...+((N-1)d+a)+(Nd)化简后得到等差数列的前N项和公式。

2.等比数列的前N项和公式的推导设等比数列的首项为a，公比为r，第N项为an，则有：an = a * r^(N-1)Sn=a+a*r+a*r^2+...+a*r^(N-1)Sn*r=a*r+a*r^2+...+a*r^N将两式相减Sn*(1-r)=a*(1-r^N)化简后得到等比数列的前N项和公式。

数列的前n项和方法总结

数列的前n项和方法总结
数列是数学中常见的一种数值序列，求解数列的前n项和在许多数学和实际问题中都具有重要意义。

下面是关于数列的前n项和的几种常见方法总结：
1. 等差数列的前n项和：
若数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，那么数列的前n项和Sn = (n/2)(a1 + an)。

2. 等比数列的前n项和：
若数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比（r ≠ 0），那么数列的前n项和Sn = a1 * (1-r^n)/(1-r)。

3. 斐波那契数列的前n项和：
斐波那契数列是一种特殊的数列，前两项为1，后续项为前两项之和。

若n 为正整数，那么斐波那契数列的前n项和为Sn = F(n+2) - 1，其中F(n)表示第n项斐波那契数。

4. 平方数列的前n项和：
平方数列是一种特殊的数列，每一项都是某个正整数的平方。

若数列的通项公式为an = n^2，那么数列的前n项和Sn = (n(n+1)(2n+1))/6。

5. 等差子数列的前n项和：
若一个数列是等差数列的子数列，其公差与等差数列相同，那么子数列的前n项和等于原等差数列的前n项和减去首项之前的和。

以上是几种常见数列的前n项和的求解方法。

在实际应用中，根据数列的特点和通项公式选择适当的方法来计算数列的前n项和会更加高效和方便。

数列前n项和的求法

a3
Cnn an1
分析：注意到
Ck n
C nk n
且当m+n=p+q时，
有：am an a p aq（等差数列的性质）
解： Sn Cn0a1 Cn1a2 Cn2a3 Cnnan1，又
Sn Cnnan1 Cnn1an Cnn2an1 Cn0a1
两式相加得：2Sn (a1 an1)(Cn0 Cn1 Cnn ) (a1 an1) 2n
1 n(n 1)(n 2)(n 3) 4
例4、求
Sn
1 5
1 21
1 45
4n 2
1 4n
3
解：其“通项”an
4n 2
1 4n
3
(2n
1 1)(2n
3)
1( 1 1 )
4 2n 1 2n 3
∴
Sn
1 4
[(1
1) 5
(1 3
1) 7
(1 5
1) 9
(1 2n
3
1) 2n 1
( 1 1 )]
公比q的要求，可得如下解法:
解：当t=1时， S n
n
n[2
(n 2
3)]
n(n 2
3)
t(1 t n ) n(n 5)
当 t 1时， S n 1 t
2
总结：拆项转化常用于通项aann 是多项式
的情况。这时，可把通项拆成两个
（或多个）基本数列的通项，再求和。
有时也应用自然数的方幂和公式求 Sn ，
例1已知数列{an } 中，an t n n 3 且
（ t 0 ，n N ,且t为常数），求 Sn
分析：观察数列的通项公式，数列 {an } 可以
“分解”为一个公比为t的等比数列{t n } 和一

高考数学专题五数列第37练数列的前n项和及求法练

【步步高】（浙江专用）2017年高考数学专题五数列第37练数列的前n 项和及求法练习一、选择题1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－6n (n ∈N *)，则{|a n |}的前n 项和T n 等于( ) A ．6n －n 2B ．n 2－6n ＋18C.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n >3D.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ，n >32．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n(2n －1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( ) A ．－200 B ．－100 C ．200 D ．100 3．已知等比数列{a n }中，a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为( )A ．1－14nB ．1－12nC.23(1－14n ) D.23(1－12n ) 4．已知函数f (x )＝x 2＋2bx 过(1,2)点，若数列{1f (n )}的前n 项和为S n ，则S 2 016的值为( ) A.2 0162 015 B.2 0152 016 C.2 0172 016D.2 0162 0175．设函数f (x )＝12＋log 2x 1－x ，定义S n ＝f (1n )＋f (2n )＋…＋f (n －1n )，其中，n ∈N *，n ≥2，则S n 等于( ) A.n (n －1)2B.n －12－log 2(n －1) C.n －12D.n －12＋log 2(n －1)二、填空题6．若数列{a n }是1，(1＋12)，(1＋12＋14)，…，(1＋12＋14＋…＋12n －1)，…，则数列{a n }的前n项和S n ＝________.7．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝5a n －133a n －7 (n ∈N *)，则数列{a n }的前100项和为________．8．(2015·贵阳一模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4＝4，S 4＝10，则数列{1a n a n ＋1}的前2 015项和为________．9．设{a n }是等比数列，公比q ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．记T n ＝17S n －S 2n a n ＋1，n ∈N *.设Tn 0为数列{T n }的最大项，则n 0＝________. 三、解答题10．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，S n 为其前n 项和，数列{b n }为等差数列，且满足b 1＝a 1，b 4＝S 3.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝1b n ·log 2a 2n ＋2，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：13≤T n <12.答案解析1．C [由S n ＝n 2－6n 得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2.所以a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7，所以n ≤3时，a n <0；n >3时，a n >0.所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n >3.]2．D [由题意知，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝－1＋3－5＋7＋…＋(－1)100(2×100－1) ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199) ＝2×50＝100，选D.] 3．C [依题意，a n ＝2n －1，1a n a n ＋1＝12n －1·2n＝122n －1＝12×14n －1，所以T n ＝12[1－(14)n ]1－14＝23[1－(14)n]，故选C.]4．D [由已知得b ＝12，所以f (n )＝n 2＋n ，所以1f (n )＝1n 2＋n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以S 2 016＝1－12＋12－13＋…＋12 016－12 017＝1－12 017＝2 0162 017.故选D.]5．C [因为f (1n )＋f (n －1n)＝1，所以2S n ＝[f (1n )＋f (n －1n )]＋[f (2n )＋f (n －2n )]＋…＋[f (n －1n )＋f (1n)]＝n －1.故S n ＝n －12.] 6．2n －2＋12n －1解析 a n ＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－(12)n1－12＝2(1－12n )，所以S n ＝2[(1－12)＋(1－122)＋…＋(1－12n )]＝2[(1＋1＋…＋1)n 个－(12＋122＋…＋12n )] ＝2[n －12(1－12n )1－12]＝2[n －(1－12n )]＝2n －2＋12n －1.7．200解析设S n 为数列{a n }的前n 项和，由递推公式可得a 1＝2，a 2＝3，a 3＝1，a 4＝2，a 5＝3，a 6＝1，…所以数列{a n }是周期为3的周期数列，∴S 100＝33(a 1＋a 2＋a 3)＋a 1＝200. 8.2 0152 016解析设等差数列{a n }的公差为d ，则a 4＝a 1＋3d ＝4，S 4＝4a 1＋6d ＝10，联立解得a 1＝d ＝1，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ， 1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以数列{1a n a n ＋1}的前 2 015项和为(1－12)＋(12－13)＋…＋(12 015－12 016)＝1－12 016＝2 0152 016. 9．4解析由等比数列的公比q ＝2得S n ＝a 1[1－(2)n ]1－2，a n ＝a 1·(2)n －1，∴T n ＝17·a 1[1－(2)n ]1－2－a 1[1－(2)2n ]1－2a 1·(2)n＝17[1－(2)n]－[1－(2)2n](1－2)·(2)n＝16－17·(2)n＋(2)2n(1－2)·(2)n＝16(2)n ＋(2)n－171－2≤8－171－2＝9(2＋1)．当且仅当(2)2n＝16，即n ＝4时，等号成立，即T 4为数列{T n }的最大项，此时n 0＝4. 10.(1)解因为数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，所以数列{a n }是等比数列，公比为2，首项为1，所以a n ＝1×2n －1＝2n －1.设等差数列{b n }的公差为d ，满足b 1＝a 1，b 4＝S 3，所以b 1＝1，b 1＋3d ＝1＋2＋22，解得d ＝2，所以b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝2n －1，b n ＝2n －1.(2)证明 c n ＝1b n ·log 2a 2n ＋2＝1(2n －1)·log 222n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)，所以数列{c n }的前n 项和为T n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)] ＝12(1－12n ＋1)，因为数列{1－12n ＋1}为单调递增数列，所以T 1＝13≤T n <12，所以13≤T n <12.。

数列常见题型总结经典[超级经典]

高中数学《数列》常见、常考题型总结题型一数列通项公式的求法1．前n 项和法（知n S 求n a ）⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n 例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T1、若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=，求该数列的通项公式。

2、若数列}{n a 的前n 项和323-=n n a S ，求该数列的通项公式。

3、设数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}{n S 的前n 项和为n T ，满足22n S T n n -=，求数列}{n a 的通项公式。

2.形如)(1n f a a n n =-+型（累加法）（1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+.（2）若f(n)为n 的函数时，用累加法.例 1. 已知数列｛a n ｝满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ,证明213-=n n a1. 已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.2. 已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.3.形如)(1n f a a nn =+型（累乘法）（1）当f(n)为常数，即：q a a n n =+1（其中q 是不为0的常数），此数列为等比且n a =11-⋅n q a . （2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法.例1、在数列}{n a 中111,1-+==n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式。

1、在数列}{n a 中1111,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ，求n n S a 与。

2、求数列)2(1232,111≥+-==-n a n n a a n n 的通项公式。

数列前n项和公式解法大全

数列前n项和公式解法大全一、用倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列{a n}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。

我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。

例题1：设等差数列{a n}，公差为d，求证：{a n}的前n项和S n=n(a1+a n)/2解析：S n=a1+a2+a3+...+a n①倒序得：S n=a n+a n-1+a n-2+…+a1②①+②得：2S n=(a1+a n)+(a2+a n-1)+(a3+a n-2)+…+(a n+a1)又∵a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1∴2S n=n(a2+a n) S n=n(a1+a n)/2点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。

二、用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和S n可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。

运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。

三、用裂项相消法求数列的前n项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。

点拨：此题先通过求数列的通项找到可以裂项的规律，再把数列的每一项拆开之后，中间部分的项相互抵消，再把剩下的项整理成最后的结果即可。

四、用错位相减法求数列的前n项和错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。

高考数学一轮复习第五章数列课时作业37数列求和与数列的综合应用课件理新人教A版

化简整理，得 Sn－Sn－1＝－2Sn－1·Sn，两边同除以 Sn－1·Sn，得S1n－Sn1－1＝2(n≥2)，
又S11＝1，所以数列S1n是首项为 1，公差为 2 的等差数列，所以S1n＝ 1＋2(n－1)＝2n－1，所以 Sn＝2n1－1。
答案
1 2n－1
11．已知数列{an}是公差不为 0 的等差数列，对任意大于 2 的正整数 n，设集合{x|x＝ai＋aj，i∈N，j∈N，1≤i<j≤n}的元素个数为 cn，把{cn}的各项摆成如图所示的三角形数阵，则数阵中第 17 行由左向右数第 10 个数为 ________。
14．(2019·山东青岛检测)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 和通项 an 满足 2Sn ＋an＝1，数列{bn}中，b1＝1，b2＝12，bn2＋1＝b1n＋bn1＋2(n∈N*)。
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)数列{cn}满足 cn＝abnn，Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn，是否存在 m 使 Tn≥34 －m 恒成立，若存在，求出 m 的取值范围；若不存在说明理由。
7．(2019·山西八校联考)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝ana＋n 2(n∈N*)，
若 bn＋1＝(n－λ)a1n＋1，b1＝－λ，且数列{bn}是递增数列，则实数 λ 的取值
范围是( )
A．(2，＋∞)
B．(3，＋∞)
C．(－∞，2)
D．(－∞，3)
解析由 an＋1＝ana＋n 2，知an1＋1＝a2n＋1，即an1＋1＋1＝2a1n＋1，所以数列
课时作业(三十七) 递推数列通项公式的求法
一、选择题
1．数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an－1，则 an＝( )

数列的前n项和求法

数列旳前n项和
公式法（倒序相加）错位相减裂项相消分组求和
公式法：利用常见求和公式求和
常见旳求和公式等差数列前n项和公式
等比数列前n项和公式
sn
n(a1 a n ) 2
na1
n(n 1) d(n 2
N)
sn
naa11.(1.1....qq..n...)..............................n...n
利用裂项相消法求和应注意
(1)抵消后并不一定只剩余第一项和最终一项，也有可能前面剩两项，背面也剩两项；
(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使
裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{an}
是等差数列，则
1 anan＋1
＝
1 d
1 － 1 an an＋1
，
1 anan＋2
＝
1 2d
1 9 17 (499 3) 5 13 21 (4100 3)
1 9 17 (4 99 3) (5 13 21 4 100 3)
50(1 44 99 3) 50(5 4 100 3) 200
2
2
分组转化求和法：若一种数列旳通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和旳数列构成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减
＝22＋212＋213＋…＋21n－n2＋n＋11 ＝12＋1211－－1221n－n2＋n＋11 ＝12＋1－21n－n2＋n＋11 ＝32－n2＋n＋31 ， ∴Sn＝3－n＋2n 3.
―→
回忆，查看关键点，易错点及解题规范. 如本题错位相
减时，是否有
漏项
例1、已知数列{an}是等差数列，且a1=2, a1+a2+a3=12, (1)求数列{an}旳通项公式；(2)令bn=anxn(x∈R)，求数列{bn}旳前n项和旳公式。

(完整版)数列前n项和的求法

数列前n项和的求法一.用倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列{a n}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。

例题1：设等差数列{a n}，公差为d，求证：{a n}的前n项和S n=n(a1+a n)/2解：S n=a1+a2+a3+...+a n ①倒序得：S n=a n+a n-1+a n-2+…+a1②①+②得：2S n=(a1+a n)+(a2+a n-1)+(a3+a n-2)+…+(a n+a1)又∵a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1∴2S n=n(a2+a n) S n=n(a1+a n)/2点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。

二.用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和S n可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。

运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

例题2：求数列的前n项和S n解：点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。

三.用裂项相消法求数列的前n项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。

例题3：求数列(n∈N*)的和解：点拨：此题先通过求数列的通项找到可以裂项的规律，再把数列的每一项拆开之后，中间部分的项相互抵消，再把剩下的项整理成最后的结果即可。

高中数学-数列求前n项和方法汇总及练习(含答案)

高中数学-数列求和方法汇总及经典练习（含答案）一、公式法:利用以下公式求数列的和 1.d n n na a a n Snn 2)1(2)(11-+=+=({}n a 为等差数列)2.qqa a q q a Sn n n --=--=11)1(11 (1≠q )或)1(1==q na Sn ({}n a 为等比数列) 3.6)12)(1(3212222++=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++n n n n4.23333]2)1([321+=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++n n n 等公式例已知数列{}n a ，其中()12111,3,22n n n a a a a a n +-===+≥，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}ln n S 的前n 项和为n U ，求n U 。

解：由题意，{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列前n 项和()211212n n S n n ++-=⋅=，2ln ln 2ln n S n n ==()()2ln1ln 2ln 2ln !n U n n =+++=L二、分组求和法对于数列{}n a ，若⋅⋅⋅⋅⋅⋅±±=n n n C b a 且数列{}n b 、{}n c ……都能求出其前n 项的和，则在求{}n a 前n 项和时，可采用该法例如：求和：321999.09999.0999.099.09.0个n Sn ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++= 解：设n n na --=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=10199.0943421个 n a a a a a Sn +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++=∴4321)101()101()101()101()101(4321n------+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-+-=)1010101010()111(43211n n -----+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=4434421相加个 )101(91n n ---= 三、倒序相加法（或倒序相乘法）将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +，S n 表示从第一项依次到第n 项的和，然后又将S n 表示成第n 项依次反序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到S n 的一种求和方法。

高考数学专题《等比数列及其前n项和》练习

专题7.3 等比数列及其前n 项和1．（2021·全国高考真题（文））记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（） A ．7B ．8C ．9D ．102．（2021·山东济南市·）已知S n 是递增的等比数列{a n }的前n 项和，其中S 3＝72，a 32＝a 4，则a 5＝（） A ．116B ．18C ．8D ．163．（2021·重庆高三其他模拟）设等比数列{}n a 的前n 项和为271,8,4n S a a =-=，则6S =（） A ．212-B ．152C ．212D ．6324．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））若等比数列{}n a 满足12451,8a a a a +=+=，则7a ＝（） A ．643B ．643-C ．323D ．323-5.（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人第二天走了（） A ．6里B ．24里C ．48里D ．96里6．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“112n n n S S S -++>”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高三其他模拟（文））在数列{}n a 中，44a =，且22n n a a +=，则21nni a==∑___________.8．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知数列{}n a 满足21n n S a =-，则1a =_____，n S =_______．练基础9.（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知数列{}n a 满足21n n S a =-，则3a =________，n S =________．10.（2018·全国高考真题（文））等比数列{a n }中，a 1=1 ， a 5=4a 3．（1）求{a n }的通项公式；（2）记S n 为{a n }的前n 项和．若S m =63，求m ．1．（辽宁省凌源二中2018届三校联考)已知数列{}n a 为等比数列，且2234764a a a a =-=-，则46tan 3a a π⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭（）A.B. C. 3-D. 2．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，“数塔”的第i 行第j 个数为12j -(其中i ，*j N ∈，且i j ≥).将这些数依次排成一列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，记作数列{}n a ，设{}n a 的前n 项和为n S .若1020n S =，则n =（）A ．46B ．47C ．48D ．493．【多选题】（2021·江苏高三其他模拟）已知数列{}n a 满足11a =，()1lg 1091n a n a +=++，其前n 项和为n S ，则下列结论中正确的有（）A ．{}n a 是递增数列B ．{}10n a +是等比数列C ．122n n n a a a ++>+D ．(3)2n n n S +<练提升4. （2019·浙江高三期末）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，()11.n n a S n N ++=+∈(Ⅰ)求通项公式n a ； (Ⅱ)记12111n n T S S S =++⋯+，求证：31222n n T -≤<． 5．（2021·河北衡水中学高三三模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足13a =，()122n n a xa n n -=+-≥，其中x ∈R .（1）若1x =，求出n a ；（2）是否存在实数x ，y 使{}n a yn +为等比数列？若存在，求出n S ，若不存在，说明理由. 6．（2021·辽宁本溪市·高二月考）已知数列{}n a ，满足11a =，121n n a a n +=+-，设n n b a n =+，n n c a n λ=+（λ为实数）．（1）求证：{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）若{}n c 是递增数列，求实数λ的取值范围．7．（2021·河南商丘市·高二月考（理））在如图所示的数阵中，从任意一个数开始依次从左下方选出来的数可组成等差数列，如：2，4，6，8，…；依次选出来的数可组成等比数列，如：2，4，8，16，….122344468858121616记第n 行第m 个数为(),f n m .（Ⅰ）若3n ≥，写出(),1f n ，(),2f n ，(),3f n 的表达式，并归纳出(),f n m 的表达式；（Ⅱ）求第10行所有数的和10S .8．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，12n n S na +=，*n ∈N . （1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足11b =，12n n n b b +=，*n ∈N ，按照如下规律构造新数列{}n c ：123456,,,,,,a b a b a b ，求{}n c 的前2n 项和.9．（2019·浙江高考模拟）已知数列{}n a 中，()110,2*n n a a a n n N +==+∈，（1）令+11n n n b a a =-+，求证：数列{}n b 是等比数列；（2）令3nn na c =，当n c 取得最大值时，求n 的值. 10.（2021·浙江高三其他模拟）已知数列{}n a 满足112a =，123n n a a ++=，数列{}n b 满足11b =，()211n n nb n b n n +-+=+.（1）数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若()1n n n n c b b a +=-，求使[][][][]1222021n c c c c +++⋅⋅⋅+≤成立([]n c 表示不超过n c 的最大整数)的最大整数n 的值.1．（2021·全国高考真题（理））等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2.（2020·全国高考真题（文））记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则nnS a =（） A ．2n –1B ．2–21–nC ．2–2n –1D ．21–n –13.（2019·全国高考真题（文））已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（） A ．16B ．8C ．4D ．24．（2019·全国高考真题（文））记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若13314a S ==，，则S 4=___________．练真题5．（2020·海南省高考真题）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-.6．（2021·浙江高考真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-. （1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=∈，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，求实数λ的取值范围.。

高考数学复习考点知识与结论专题讲解37 等比数列的前n项和与

高考数学复习考点知识与结论专题讲解第37讲等比数列的前n 项和等比数列的前n 项和公式 ()()()111 11 111n n n na q s a q a a q q q q =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩推导过程：（1）利用等比数列性质由等比数列定义，有32121nn a a a q a a a -===.根据等比性质，有()23111211n n n n n n na a a s a q q s a a q a a a s a -+++-==⇒-=-+++-，所以当1q ≠时11n n a a q s q -=-，或()111n n a q s q -=-. （2）错位相减法等比数列{}n a 的前n 项和123n n s a a a a =++++.①当1q =时，1n a a =，1231n n s a a a a na =++++=；②当1q ≠时，由11n n a a q -=得22111111n n n s a a q a q a q a q --=+++++，23111111n nn qs a q a q a q a q a q -=+++++，所以()()111111nnn n q s a a qa a q a q -=-=-=-，所以()111n n a q s q-=-或1 1n n a a qs q-=-，即()()()111 11 111n n n na q s a q a a q q q q =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩.要点诠释：（1）错位相减法是一种非常常见和重要的舒蕾求和方法，适用于一个等差舒蕾和等比数列对应项的积组成的数列求和问题，要求理解并掌握此法.（2）在求等比数列前n 项和时，要注意区分1q =和1q ≠.（3）当1q ≠时，等比数列的两个求和公式涉及1a ，n ，q ，n a ，n s 五个量，已知其中任意三个变量，通过解方程组，便可求出其余两个量.结论一、等比数列前n 项和（当1q ≠时）变形公式1.1111n n n a as q k kq q q=-=---（系数互为相反数）； 2.111n n n a qs a A Ba q q=-=+--（一次线性关系）. 【例1】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，且满足122n n s λ+=+，则λ的值为（）.A.4B.2C.-2D.-4 【答案】C【解析】解法一：根据题意，当1n =时，1224n s a λ==+；当2n ≥时，112n n n n a s s --=-=.因为数列{}n a 是等比数列，则11a =，故412λ+=，解得2λ=-.故选C. 解法二：由122n n s λ+=+得22n n s λ=+结合等比数列前n 项结构特征n n s k kq =-（系数互为相反数），得12λ=-，解得2λ=-.故选C.【变式】设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，则（）. A. 21n n s a =- B.32n n s a =- C.43n n s a =- D.32n n s a =- 【答案】D【解析】解法一：12123322313nn n s -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭-，123n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，代入选项验证.故选D.解法二：根据等比数列前n 项和结构特征111n n n a q s a A Ba q q =-=+--，1132113a A q ===--，232213B =-=--.故选D.结论二、项数相同的和构造等比数列等比数列的前n 项和为n s ，则232n n n n n n n n n s s s s s --第n 个项和第一个项和第二个项和第三个项和，，，，也成等比数列，且公比n q q '=.评注：（1）第一个n 项和，第二个n 项和，……，即每n 项和为一段. （3）当1q ≠-且n 为偶数时，232,,,n n n n n s s s s s --不是等比数列. 【例】2已知等比数列的前n 项和为n s ，若1020s =，2060s =，则30s =. 【答案】140【解析】解法一：由1020s =，2060s =，易得公比1q ≠±，根据等比数列的性质，可得2020101011s q s q -=-，即2010106011201q q q -==+-，解得102q =，又3030101011s q s q -=-，所以3301272012s -==-，30140s =. 解法二：根据等比数列前n 项和的性质，可得10201010s s q s =+，即10602020q =+，解得102q =，所以1030102020220140s s q s =+=+⨯=.解法三：根据等比数列前n 项和的性质，可知1020103020,,s s s s s --成等比数列，则()()22010103020s s s s s -=-，即()()23060202060s -=-，解得30140s =.【变式】设等比数列{}n a 前n 项和为n s ，若23s =，415s =，则6s =（）.A.31 B .32 C .63 D .64 【答案】C【解析】212s a a =+，()2423412s s a a a a q -=+=+，()4645612s s a a a a q -=+=+，所以24264,,s s s s s --成等比数列，即63,12,15s -成等比数列可得()2612315s =-，解得663s =.故选C.结论三、等比数列前n 项和关系特征等比数列{}n a 前n 项和为n s ，则n m m n n m m n s s q s s q s +=+=+. 【例3】设等比数列{}n a 前n 项和为n s ，则3692s s s +=.，则公比q =.【答案】【解析】根据等比数列求和公式n m n n m s s q s +=+得3936s s q s =+，代入3692s s s +=得()336210s q s +-=，所以()()()336111211011a q q a q qq---+=--，化简整理得()3211q -=-解得q =. 【变式】等比数列{}n a 前n 项和为n s ，已知123,23,s s s 成等比数列，则等比数列{}n a 的公比为. 【答案】13【解析】设等比数列公比为q ()0q ≠，易知1q ≠.由题意可得21343s s s =+，所以31234s s s =-+①；又根据等比数列分段求和公式m m n m n s s q s +=+得2321s s q s =+②；由4⨯②-①得()23141s q s =++.又()()331131111a q s q s qq--==--，所以()321411q qq-=+-，解得13q =. 结论四、等比数列奇数项和与偶数项和性质在等比数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，=s q s 偶奇；当项数为奇数21n -时，1s a qs =+奇偶或()212n s q s a -=-奇偶，1211n a a qs s q-+-=+奇偶.【例4】一个等比数列首项为1，项数为偶数，其奇数项和为85，偶数项和为170，求此数列的公比和项数.【解析】由题意知，170=285s q s ==偶奇.因为()11=17085=1n n a q s s s q -=++-奇偶，所以8n =.【变式】等比数列{}n a 共有奇数项，所有奇数项和=255s 奇，所有偶数项和=126s 偶，末项是192，则首项1a 的值为（）. 【答案】C【解析】设等比数列{}n a 共有21k +项，则21192k a +=，则132121211126==192255k k ks aa aa s a q q -++++++=++=奇偶，2q =，代入121=1k a a q s s q++-+奇偶，解得13a =.故选C.结论五、等比数列前n 项积的运算技巧设等比数列前n 项积12n n a a a T =，则232,,n nn n nT T T T T ，……，成等比数列. 当n 为奇数时，()nn T =中项；当n 为偶数时，()2n n T =首末两项积.【例5】已知等比数列{}n a 满足0n a >，且()252523nn a a n -=≥，则当3n ≥时，3211222l o g l o g l o g n a aa -+++=（）. A. ()21n n - B.()21n +C.2nD.()21n -【答案】C【解析】由已知可得2nn a =，原式()13212222loglog nn n a a a n -===.故选C.【变式】设{}n a 是各项为正数的等比数列，q 是其公比，n K 是其前n 项积，且56K K <，678K K K =>，则下列结论错误的是（）. A. 01q << B.71a = C.95K K > D.6K 与7K 均为n K 的最大值【答案】C【解析】设等比数列11n n a a q-=，n K 是其前n 项积，所以()112n n nn K a q-=，由56K K <511a q ⇒<，66711K K a q =⇒=，77811K K a q >⇒>，所以6711a a q ==，所以B 选项正确；因为57111,01a q a q <<<所以721511a q q a q =<，所以01q <<，所以A 正确；611a q =，()112n n nn K a q -=可知()()111322n n n n nn K a qq--==，又01q <<，所以x q 单调递减，()132n n -在6n =或7n =时取最小值，所以n K 在6n =或7n =时取最大值，所以D 选项正确.故选C.第38讲数列通项公式题型全归纳通关一、“叠加法”求通项在求等差数列通项公式时，由11221n n n n a a da a da a d----=⎧⎪-=⎪⎨⎪⎪-=⎩这1n -个式子叠加得()()112n a a n d n =+-≥，当1n =时也成立.由此可得形如()()12n n a a f n n -=+≥的递推式均可采用“叠加法”求得()()()()1232n a a f f f n n =++++≥.上式中“()()()()232f f f n n +++≥”通常是可以化简的，即数列(){}f n “可求和”.通关二、“叠乘法”求通项在求等比数列通项公式时，由11221nn n n a q a a q a a q a ---⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪⎪=⎪⎩这1n -个式子叠乘得()112n n a a q n -=≥，当1n =时也成立.由此可得形如()()12n n a a g n n -=≥的递推式均可采用“叠乘法”求得()()()()1232n a a g g g n n =≥.上式中“()()()()232g g g n n ≥”通常是可以化简的，即数列(){}g n “可求积”.题型一：1(n 2,pq(p 1)0)n n a pa q -=+≥-≠可以转化为1(n 2)11n n qq a p a p p -⎛⎫+=+≥ ⎪--⎝⎭.从而数列1n q a p ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭为等比数列，故可由等比数列通项公式求解.题型二：()1(2,(1)10)n n n a pa r q n pqr p q -=+⨯≥--≠，两边同除以“n q ”可以转化为()112n n n n a a p r n q q q--=⨯+≥. （1）当p q =时，数列n n a q ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，故可由等差数列通项公式求解. （2）当p q ≠时，数列n n a q ⎧⎫⎨⎬⎩⎭符合题型一，故可由题型一中的方法求解. 通关三、“倒数法”求通项（1）形如11q (n 2,pq 0)n n n n a a pa a --=+≥≠，两边同除以1n n a a -转化为()11112n n p n a q a q-⎛⎫=-⨯+≥ ⎪⎝⎭ ①当0p q +=时，“倒数数列”1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，由等差数列通项公式求解.②当0p q +≠时，“倒数数列”1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭符合方法二中的题型一，故可转化为等比数列求解.(2)形如11(2,0)n n n ra a n pqr pa q --=≥≠+，取倒数得111(2)n n q pn a r a r-=⨯+≥.①当q r =时，“倒数数列”1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，由等差数列通项公式求解.②当q r ≠时，“倒数数列”1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭符合方法二中得题型一，故可转化为等比数列求解.通关四、“待定系数法”求通项1(2,(1)0)n n a pa qn r n pq p -=++≥-≠，令n n a b An B =++，则1[(1)]n n b An B p b A n B qn r -++=+-+++(2)n ≥，整理得1()()(2)n n b pb pA A q n pB B pA r n -=+-++--+≥.令00pA A q pB B pA r -+=⎧⎨--+=⎩，则21(1)1q A p pq r B p p ⎧=-⎪-⎪⎨⎪=--⎪--⎩.此时，1n n b pb -=，即数列{}n b 为等比数列，故可由等比数列通项公式求解，从而21(1)n n qn r pqa b p p +=----也可求解. 【结论第讲】结论一、1()n n a a f n +=+把原递推公式转化为1()n n a a f n +-=，再利用叠加法(逐差相加法)求解. 【例1】已知数列{}n a 中，11a =，12n n a a n -=+，则n a =_____. 【答案】21n n +-【解析】已知12n n a a n -=+，所以12n n a a n --=. 2122a a -=⨯ 3223a a -=⨯ 4324a a -=⨯ 5425a a -=⨯……122(1)n n a a n ---=- 12n n a a n --=累加后，得21(1)2(2345)2(123)22222n n n a a n n n n +-=⨯+++++=⨯++++-=⨯-=+-. 故21n a n n =+-.【变式】数列{}n a 满足：11a =，且121n n n a a +-=+，求n a . 【答案】22n n +-【解析】121n n n a a +-=+，1121n n n a a ---=+，…，12121a a -=+，叠加可得211222(1)n n a a n --=++++-=12(21)12321n n n n --+-=+--，所以22n n a n =+-. 结论二、1()n n a f n a +=把原递推公式转化为1()n na f n a +=，再利用叠乘法(逐商相乘法)求解. 【例2】数列{}n a 中，123a =，11n n na a n +=+，则n a =_____. 【答案】23n【解析】因为在数列{}n a 中，11n n n a a n +=+，所以11n n a n a n +=+，所以2112a a =，3223a a =，4334a a =，…，11n n a n a n--=，所以3241123121231212323433n n n a a a a n a a a a a a n n n--==⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=. 【变式】已知数列{}n a 满足11a =，且*1()()n n n a n a a n N +=-∈，则2a =_____；n a =_____. 【答案】2n【解析】由1()n n n a n a a +=-得11n n n a a n ++=，又11a =，所以2122a a ==.由11n n n a a n++=得11n n a n a n ++=，所以212a a =，3232a a =，4343a a =，…，11n n a n a n -=-，所以324112313412231n n n a a a a na a n a a a a n -==⨯⨯⨯⨯⨯=-.结论三、1n n a pa q +=+（其中,p q 均为常数，(1)0pq p -≠）先用待定系数法把原递推公式转化为1()n n a t p a t +-=-，其中1qt p=-，再利用换元法转化为等比数列求解.【例3】已知数列{}n a 满足121n n a a +=+，且11a =，则n a =_____. 【答案】21n -【解析】已知121n n a a +=+，且11a =，构造12()n n a a λλ++=+，即122n n a a λλ++=+.因为12n n a a λ+=+，所以1λ=.由112(1)n n a a ++=+得112n n a a λ++=+，令1n n b a =+，1112b a =+=，12n nbq b +==，{}n b 是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以111222n n n n b b q --===.又因为12n n n b a =+=，所以21n n a =-.【变式】已知数列{}n a 中，11a =，1213n n a a +=+，则n a =_____.【答案】2333n⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭【解析】解法一：设12()()3n n a t a t +-=-，解得3t =，即原式化为12(3)(3)3n n a a +-=-.设3n n b a =-，则数列{}n b 为等比数列，且1132b a =-=-，所以1223(2)3333n nn n n b a a -⎛⎫⎛⎫=-=-⨯⇒=-⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.解法二：因为1213n n a a +-=①，121(2)3n n a a n --=≥②，由①-②得：112()3n n n n a a a a +--=-.设1n n n b a a +=-，则数列{}n b 为等比数列，所以11222333n n n n n b a a -+⎛⎫⎛⎫=-=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以22133nn n a a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以2333nn a ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭.解法三：21213a a =+，23222211333a a ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，32432222113333a a ⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…，1213n n a a +=+==122133n -⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，所以2333nn a ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭. 结论四、1nn n a pa q +=+（其中,p q 均为常数，(1)0pq p -≠）1.一般地，要先将递推公式两边同除以1n q +，得111n n n n a a p q q q q ++=+，引入辅助数列{}n b （其中nnna b q =），得11n n p b b q q+=+，再用待定系数法解决； 2.也可以将原递推公式两边同除以1n p +，得111nn n n n a a q p p p p ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，引入辅助数列{}n b （其中n n n a b p =），得11nn n q b b p p +⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再利用叠加法（逐差相加法）求解.【例4】已知数列{}n a 中，156a =，111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则n a =_____.【答案】3223n n- 【解析】解法一：将111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭两边分别乘以12n +，得1122(2)13n n n n a a ++=+.令2n n n b a =，则1213n n b b +=+，根据待定系数法，得123(3)3n n b b +-=-.所以数列{}3n b -是首项为15432363b -=⨯-=-，公比为23的等比数列.所以142333n n b -⎛⎫-=-⎪⎝⎭，即2323nn b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.于是32223n n n nn b a ==-. 解法二：将111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭两边分别乘以13n +，得1113332n n nn n a a +++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.令3n n n b a =，则1132n n n b b ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以132nn n b b -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，11232n n n b b ---⎛⎫-= ⎪⎝⎭，…，22132b b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.将以上各式叠加，得2113322n n b b -⎛⎫⎛⎫-=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32n⎛⎫ ⎪⎝⎭.又11553331622b a ==⨯==+，所以21333312222n nn b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1131[1]32223212n n ++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=- ⎪⎝⎭-，即13222n n b +⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故32323n n n n nb a ==-.【变式】已知数列{}n a 满足112a =，1112(2)2n n n a a n --⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，则n a =_____.【答案】2nn【解析】由题意知11122nn n a a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，两边同乘以2n 得11221n n n n a a --=+，即数列{}2n n a 为等差数列，所以122(1)n n a a n n =+-=.所以(2)2n n n a n =≥，当1n =时也成立.所以*()2n n na n N =∈. 结论五、1n n a pa anb +=++（1,0,0p p a ≠≠≠）这种类型的题目一般是利用待定系数法构造等比数列，即令1(1)()n n a A n B p a An B ++++=++，然后与已知递推公式比较，解出,A B ，从而得到{}n a An B ++是公比为p 的等比数列. 【例】设数列{}n a 满足14a =，1321(2)n n a a n n -=+-≥，则n a =_____. 【答案】231n n --【解析】设递推公式可以转化为13[(1)]n n a An B a A n B -++=+-+，化简后与原递推式比较，得22231A B A =⎧⎨-=-⎩，解得11A B =⎧⎨=⎩.令1n n b a n =++（*），则13n n b b -=，又16b =，故16323n n n b -==，代入（*）得231n n a n =--.【变式】已知数列{}n a 满足12a =，*1431()n n a a n n N +=-+∈，则n a =_____. 【答案】14n n -+ 【解析】由题意知1434(2)n n a a n n -=-+≥.令n n a b An B=++，则14[(1)]34n n b An B b A n B n -++=+-+-+(2n ≥，整理得14(33)(344)(2)n n b b A n B A n -=+-+-+≥.令3303440A B A -=⎧⎨-+=⎩，则10A B =⎧⎨=⎩.此时n n a b n =+，14n n b b -=，即数列{}n b 为等比数列，所以111114(1)44n n n n b b a ---=⨯=-=.所以14(2)n n n a b n n n -=+=+≥，1n =时也成立.所以1*4()n n a n n N -=+∈.结论六、1rn n a pa +=（0,n p a >>0）这种类型的题目一般是将等式两边取对数后转化为1n n a pa q +=+型，再利用待定系数法求解. 【例6】已知数列{}n a 中，11a =，211(0)n n a a a a+=>，则n a =_____. 【答案】121n a a -⎛⎫⎪⎝⎭【解析】将211n n a a a +=两边取对数，得11lg 2lg lg n n a a a +=+.令lg n n b a =，则112lg n n b b a+=+.由此得111lg2(lg )n n b b a a ++=+，记1lg n n c b a =+，则12n n c c +=.所以数列{}n c 是首项1111lg lg c b a a=+=，公比为2的等比数列.所以112l g n n c a-=.所以1211111l g 2l g l g l g []n n n n b c a a aa a --⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，即121l g l g []n n a a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以121n n a a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.【变式】已知在数列{}n a 中，13a =，且2*1()n n a a n N +=∈，则数列的通项n a =_____. 【答案】123n -【解析】由题意知0n a >，因为13a =，所以21n n a a +=将两边取以3为底的对数，得313log 2log n n a a +=，故{}3log n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以13log 2n n a -=，所以123n n a -=.结论七、1nn n pa a qa r+=+（,,0p q r ≠且0,0n n a qa r ≠+≠）这种类型的题目一般是将等式两边取倒数后，再进一步处理. 若p r =，则有111n n n n r qa q a pa a p ++==+，此时1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列.若p r ≠，则有111n n r q a p a p+=+，此时可转化为结论三来处理. 【例7】在数列{}n a 中，已知12a =，112(2)2n n n a a n a --=≥+，则n a =_____. 【答案】2n【解析】将等式1122n n n a a a --=+两边取倒数得到11112n n a a -=+，11112n n a a --=，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列，1112a =.根据等差数列的通项公式的求法得到111(1)222n nn a =+-⨯=，故2n a n=.【变式】已知数列{}n a 满足11a =，*1()21nn n a a n N a +=∈+，则20a =_____. 【答案】139【解析】因为121n n n a a a +=+，所以121112n n n n a a a a ++==+，即1112n n a a +-=，又111a =，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列，所以112(1)21nn n a =+-=-，所以121n a n =-，故2011220139a ==⨯-.结论八、1()n n a a f n ++=将原递推公式改写成21(1)n n a a f n +++=+，两式相减即得2(1)()n n a a f n f n +-=+-，然后将n 分奇数、偶数分类讨论即可.【例8】已知数列{}n a 中，11a =，12n n a a n ++=.则n a =_____. 【答案】*,(1,)1,n n n n N n n ⎧≥∈⎨-⎩为奇数为偶数【解析】因为12n n a a n ++=，所以2122n n a a n +++=+，故22n n a a +-=，即数列{}n a 的奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列.当n 为偶数时，21a =，故22(1)12n na a n =+-=-；当n 为奇数时，因为12n n a a n ++=，1n a n +=（1n +为偶数），故n a n =.综上，*,(1,)1,n n n a n n N n n ⎧=≥∈⎨-⎩为奇数为偶数. 【变式】在数列{}n a 中，11a =，16n n a n a +=-，则n a =_____. 【答案】32()31()n n n n -⎧⎨-⎩为奇数为偶数【解析】因为16n n a n a +=-，所以16n n a a n ++=，所以2166n n a a n +++=+，所以26n n a a +-=，即数列{}n a 的奇数项与偶数项都是公差为6的等差数列.当n 为偶数时，25a =，所以26(1)312n na a n =+-=-.当n 为奇数时，因为16n n a a n ++=，所以132n a n +=+（1n +是偶数），所以32n a n =-.综上，32()31()n n n a n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数. 结论九、1()n n a a f n +=将原递推公式改写成21(1)n n a a f n ++=+，两式作商可得2(1)()n n a f n a f n ++=，然后将n 分奇数、偶数分类讨论即可.【例9】已知数列{}n a 中，13a =，12n n n a a +=，则n a =_____.【答案】12*232,(1,)12,3n nn n n N n -⎧⎪≥∈⎨⎪⎩为奇数为偶数【解析】因为12n n n a a +=，所以1212n n n a a +++=，故22n na a +=，即数列{}n a 的奇数项与偶数项都是公比为2的等比数列.当n 为偶数时，223a =，故112222223n n n a a --==，即2123n n a =；当n 为奇数时，1n +是偶数，故121123n n a ++=，代入12n n n a a +=得1232n n a -=.综上，12*232,(1,)12,3n nn n a n n N n -⎧⎪=≥∈⎨⎪⎩为奇数为偶数. 【变式】已知数列{}n a 满足11a =，*12()n n n a a n N +=∈，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（）.20182018.2A a =10092018.323B S =-{}21.n C a -数列是等差数列{}.n D a 数列是等比数列【答案】B【解析】数列{}n a 满足11a =，*12()n n n a a n N +=∈.当2n ≥时，112n n n a a --=，两式作商可得112n n a a +-=，所以数列{}n a 的奇数项135,,,,a a a 成等比，偶数项246,,,,a a a 成等比，对于选项A 来说，201812018222aa -=⨯=10081009222⨯=，错误；对于选项B 来说，100920181320172420181(12)()()12S a a a a a a ⨯-=+++++++=+-100910092(12)32312⨯-=⨯--，正确；对于选项C 来说，数列{}21n a -是等比数列，错误；对于选项D 来说，数列{}n a 不是等比数列，错误.故选B .。