数的整除知识讲解

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数的整除

数的整除性质、特征【知识要点】：整除性质：（1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差（a－b）也能被c整除。

（2）如果数a能被自然数b整除，自然数b能被自然数c整除，则数a必能被数c整除。

（3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。

（4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能被这两个互质数的积整除。

反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。

整除特征：1、能被2整除的数：个位数能被2整除，则这个数就能被2整除。

如个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。

2、每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。

3、最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。

4、个位上是0或5的数都能被5整除。

5、一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。

6、把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

另外，把末三位数字截去，再从余下的数中减去截去的末三位数，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

7、最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。

8、每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。

9、若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。

10、若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差值能被11整除，则这个数能被11整除。

另外1，把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数，如果差是11的倍数，则原数能被11整除。

另外2，把末三位数字截去，再从余下的数中减去截去的末三位数，如果差是11的倍数，则原数能被11整除.12、若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

13、若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。

另外，把末三位数字截去，再从余下的数中减去截去的末三位数，如果差是13的倍数，则原数能被13整除.14、若一个整数能被2和7整除，则这个数能被14整除。

小学数学知识归纳数的整除性质

小学数学知识归纳数的整除性质整除是数学上一个重要的概念，它在小学数学的学习中起着至关重要的作用。

本文将归纳整除的性质，并探讨它们在解决数学问题中的应用。

一、整除的定义在数学中，如果一个整数a除以另一个整数b，余数为0，则称a能够被b整除，记作b|a。

其中，a称为被除数，b称为除数，0称为余数。

二、整除性质的归纳总结1. 任何整数a都能被1整除：1|a。

2. 任何整数a都能被自身整除：a|a。

3. 0是唯一一个既能被任何一个整数整除，又能整除任何一个整数的整数。

4. 如果a能被b整除，而b又能被c整除，那么a也能被c整除：如果b|a且c|b，则c|a。

5. 如果a能被b整除，而b不等于0，那么a也能被b的倍数整除：如果b|a，则kb|a，其中k为任意整数。

6. 如果a能被b整除，而b不等于0，那么a也能被b的因数整除：如果b|a且c|b，则c|a。

三、整除性质的应用举例1. 判断数字的整除性：根据整除性质，可以快速判断一个数字是否能够整除另一个数字。

例如，如果一个数字能被2和3同时整除，那么它一定能被6整除。

2. 约数和因数的关系：根据整除性质，可以推导出约数和因数之间的关系。

例如，如果a能被b整除，那么b一定是a的约数，同时a一定是b的倍数。

3. 整除关系的推理：通过整除性质，我们可以在解决数学问题时进行推理和判断。

例如，如果a能被b整除，并且b能被c整除，那么我们可以得出结论：a一定能被c整除。

4. 整除性质在分数操作中的应用：在分数运算中，整除性质被广泛应用。

例如，当我们要进行两个分数的相加、相减、相乘、相除时，可以利用整除性质对分数进行化简和约分。

四、总结整除是小学数学中的重要概念，它帮助我们理解了数字之间的整除关系，并且在解决数学问题时起到了重要的作用。

通过对整除性质的归纳总结和应用举例，我们可以更好地理解和运用整除性质，提高数学解题的能力。

以此为基础，我们可以进一步学习更多关于整除的内容，如最大公约数和最小公倍数等，从而拓宽自己的数学知识面，为未来的学习打下坚实的基础。

数的整除知识点范文

数的整除知识点范文数的整除是数学中一个重要的概念和知识点，它在数论、代数、几何等领域都有广泛的应用。

本文将详细讨论数的整除的定义、性质、判定方法以及一些常见的相关概念和定理。

一、整除的定义和性质在数学中，如果一个整数a能够被另一个整数b整除（即a能够被b整除），则称a是b的倍数，b是a的约数。

用数学符号表示为：如果a是b的倍数，则记作b，a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。

如果a不能被b整除，则记作b∤a，读作“b不整除a”或“a不能被b整除”。

整除具有以下几个基本的性质：1.对于任意整数a，a，a（即一个数能够整除它自身）。

2.如果a，b且b，c，则a，c（即如果a能够整除b，b能够整除c，那么a可以整除c）。

3.对于任意整数a，1，a且a，a（即1能够整除任何数，任何数整除它本身）。

4.如果a，b且b≠0，则，a，≤，b，（即如果一个数能够整除另一个非零数，那么它的绝对值要小于等于另一个数的绝对值）。

二、整除的判定方法和性质1.朴素整除判定法：要判断一个数a是否能够被另一个数b整除，可以用以下方法：（1）求出a的所有约数；（2）判断b是否为a的约数之一这种方法的时间复杂度是O(a)。

2.整除的性质：（1）如果a，b且a，c，则a，(bx+cy)，其中x和y是任意整数。

（2）如果a，b且a，c，则a，(b±c)。

（3）如果a，b且a，(b±c)，则a，c。

三、相关概念和定理1. 最大公约数和最小公倍数：最大公约数是指整数a和b的最大正约数，记作gcd(a, b)；最小公倍数是指整数a和b的最小正倍数，记作lcm(a, b)。

两者满足以下性质：（1）gcd(a, b) = gcd(b, a)；（2）如果a能够整除b，则gcd(a, b) = ，a；（3）gcd(a, b) * lcm(a, b) = ，a * b。

2.质因数分解定理：每个大于1的整数都可以唯一地分解为若干个质数的乘积。

数的整除知识要点和例题讲解

要点考点一、整数和除尽的联系和区别整除和除尽，它们所除的结果都没有余数，这是它们的共同点。

“除尽”包括“整除”，“整除”是除尽的一种特殊情况。

二、整除数的特征1．能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8。

2．能被5整除的数的特征：个位上是0或5。

3．能被3(或9)整除的数的特征：一个数的各个数位上的数之和能被3(或9)整除，这个数就能被3(或9)整除。

例如：6，12，108，204，354都能被3整除，其中108又能被9整除。

注意：能被3整除的数不一定能被9整除，但能被9整除的数一定能被3整除。

三、质数和合数1．一个数只有l和它本身两个约数，这个数叫做质数(素数)。

2．一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

3．1既不是质数，也不是合数。

4．自然数按约数的个数可分为：1、质数、合数。

5．自然数按能否被2整除分为：奇数、偶数。

四、分解质因数1．每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数。

例如：18=3×3×2，3、3和2叫作18的质因数。

2．把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

通常用短除法来分解质因数。

3．特殊情况下几个数的最大公约数和最小公倍数。

(1)如果几个数中，较大数是较小数的倍数，较小数是较大数的约数，则较大数是它们的最小公倍数；较小数是它们的最大公约数。

(2)如果几个数两两互质，则它们的最大公约数是1，最小公倍数是这几个数连乘的积。

五、名师讲解例1：下面的式子中哪个表示除尽，哪个表示整除?A．6÷0．5=12 B．10÷0．2=50 C．5÷10=0。

5D．38÷19=2 E．1÷7=1/7[分析]根据除尽的概念可知，算式A、B、C、D的余数都为零，所以A、B、C、D都属于除尽。

整除不仅要求余数为零，而且被除数、除数、商都必须是自然数，所以符合整除的只有D。

数的整除知识点总结

数的整除知识点总结数的整除是数论中的一个基本概念，也是初等数学中的重要内容。

它与因数、倍数和约数等概念密切相关，对于解题和推理都有着重要的作用。

下面将对数的整除进行详细总结。

一、定义：如果整数a能够被整数b整除，即a/b是整数，那么称a是b的倍数，b是a的因数。

可以用数学表达式a=b*k来表示，其中k是整数。

二、性质：1.任何一个整数都是它自身的倍数，也是它自身的因数，即a是a的倍数，a是a的因数。

2.任何一个正整数都是1的倍数，即对于任何整数a，都有a是1的倍数。

3.任何一个整数都是它自身的因数，即对于任何整数a，都有a是a的因数。

4.如果a是b的倍数，b是c的倍数，那么a也是c的倍数，即若a是b的倍数且b是c的倍数，则a是c的倍数。

5.如果a是b的倍数，b是a的倍数，那么a和b是互为倍数，即a是b的倍数且b是a的倍数，则a和b互为倍数。

6.如果a是b的因数，b是c的因数，那么a也是c的因数，即若a是b的因数且b是c的因数，则a是c的因数。

三、判断一个数能否整除另一个数的方法：1.因式分解法：将被除数和除数都分解成质因数的乘积形式，然后进行比较。

如果被除数的质因数包含除数的质因数，并且对应质因数的指数均大于等于相应的质因数的指数，则被除数能够整除除数。

2.试商法：用除数去除被除数，如果商是整数且余数为0，则被除数能够整除除数，否则不能整除。

四、整除的性质：1.整除关系具有传递性，即如果a能够整除b，b能够整除c，则a 能够整除c。

2.整除关系具有反对称性，即如果a能够整除b，b能够整除a，则a 和b相等或互为相反数。

3.整除关系具有自反性，即任何一个数都能整除它本身。

4.整除关系具有非传递性，即如果a能够整除b，b能够整除c，但a 不能整除c。

例如：2能整除4，4能整除8，但2不能整除8五、整数的混合运算与整除的关系：1.若a整除b，b整除c，则a整除c。

2. 若a整除b，b整除c，则a整除bc。

数的整除知识整理【数的整除知识点总结】

数的整除知识整理【数的整除知识点总结】一.数的分类第一种分法:树状图韦恩图整数正整数零负整数整数自然数负整数零正整数正奇数正偶数第二种分法整数奇数偶数整数奇数偶数第三种分法：正整数素数1合数整数素数合数1一些关于数的结论:1.0是最小的自然数,-1是最大的负整数,1是最小的正整数2.没有最大的整数,没有最小的负整数,没有最大的正整数3.正整数、负整数、整数的个数都是无限的二．整除1.整除定义（概念）：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a注意点：一定要看清楚谁被谁整除或谁整除谁，这里的a 相当于被除数，b相当于除数2.整除的条件：1.除数、被除数都是整数2.被除数除以除数，商是整数而且余数为零注意点：区分整除与除尽：整除是特殊的除尽（如正方形是特殊的长方形一样），即a能被b整除,则a一定能被b除尽，反之则不一定（即a能被b除尽，则a不一定能被b整除）。

如4÷2=2,4既能被2除尽，也能被2整除；4÷5=0.8,4能被5除尽，却不能说4能被5整除三．因数与倍数1.因数与倍数的定义：整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（约数）。

注意点：1.因数和倍数是相互依存的，不能简单的说某个数是因数，某个数是倍数。

如：6÷3=2，不能说6是倍数，3是因数；要说6是3的倍数，3是6的因数。

2.因数与倍数是建立在整除的基础上的，所以如4÷0.2=20，一般是不说4是0.2的倍数，0.2是4的因数。

2.因数与倍数的特点：一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

一个数的倍数中最小的倍数是这个数本身，没有最大的倍数。

因数的个数是有限的，都能一一列举出来，倍数的个数是无限的。

3.求一个数因数的方法：利用积与因数的关系一对一对找，找出哪两个数的乘积等于这个数，那么这两个数就是这个数的因数。

如16=1×16=2×8=4×4，那么16的因数就有1、2、4、8、16，计算时一定不要忘了1和这个数本身都是它的因数，注意按照一定的顺序以防遗漏。

数的整除知识要点

第一章：数的整除基本知识:(1)零和正整数统称为自然数。

最小的自然数为0,最小的正整数为1。

(2)正整数、零和负整数，统称为整数。

(3)整除的条件：1、被除数、除数都是整数。

2、商是整数而且没有余数。

a* b若整除，则有两种表述方法：a能被b整除，b能整除a(4)一个数的因数的个数是有限的。

最小的因数是1，最大的因数是它本身。

一个数的倍数的个数是无限的。

最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

a* b若整除，则a是b的倍数，b是a的因数。

相互依存，不能说成a是倍数、b是因数。

(5)能被2整除的整数，个位上数字为0、2、4、6、8。

能被5整除的整数，个位上数字为0、5。

能被3整除的整数，各个数位上数字之和能被3整除。

(6)—个整数能被2整除为偶数，不能被2整除为奇数。

(7)奇+奇=偶偶+偶=偶奇+偶=奇奇奇=奇偶偶=偶奇偶=偶(8)相邻的两个整数相差1。

相邻的两个奇数相差2。

相邻的两个偶数相差2。

(9)只含有因数1和本身的整数叫做素数或质数。

除了1和它本身之外还有别的因数，这样的数叫做合数。

1既不是素数也不是合数。

(10)整数按奇偶可以分为奇数和偶数这两类。

整数按因数个数可以分为素数、1、合数这三类。

(11)100 以内的素数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

(12)51 = 3X 17, 91=7X 13 57=19 X 3 68=17 X 4(13)2是唯一的偶素数。

最小的素数是2，最小的合数是4。

(14)几个整数公有的因数，叫做它们的公因数，其中最大的一个叫做它们的最大公因数。

几个整数的公有的倍数叫做他们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。

(15)如果两个整数只有公因数1,那么称这两个数互素。

(16)求两个整数的最大公因数：把所有公有的素因数连乘。

求两个整数的最小公倍数：把所有公有的素因数和各自剩余的素因数连乘。

数的整除知识点总结数的整除知识整理

数的整除知识点总结数的整除知识整理数的整除知识点总结如下：1. 除数和被除数：一个数被另一个数整除时，被除数称为整数，除数称为除数。

2. 整除关系：如果一个数a能被另一个数b整除，即a ÷ b = c，则称a能被b整除，或者说b能整除a，记作b｜a。

3. 余数：当一个数a被另一个数b整除时，如果除完后还有剩余部分，即a ÷ b = c 余 r（0 ≤ r < |b|），则r称为数a除以b的余数。

4. 因数：对于一个数a，如果存在一个数b，使得b能整除a，即a = b × c，则称b 是a的因数，c是a的倍数。

a的因数包括1和a本身。

5.倍数：对于一个数a，如果存在一个数b，使得a能整除b，即b = a × c，则称b 是a的倍数，c是a的因数。

a的倍数包括0和任意正负整数。

6.公约数：对于两个数a和b，如果存在一个数c，既能整除a又能整除b，即c｜a 且c｜b，则称c是a和b的公约数。

7.最大公约数：对于两个数a和b的公约数中，最大的一个公约数称为a和b的最大公约数，记作gcd(a, b)。

8.最小公倍数：对于两个数a和b的公倍数中，最小的一个公倍数称为a和b的最小公倍数，记作lcm(a, b)。

9.质数：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，无法被其他自然数整除的数称为质数。

质数只有两个因数，即1和该数本身。

10.合数：一个自然数，除了1和它本身外，还有其他因数的数称为合数。

合数有多个因数。

11.互质：两个数的最大公约数为1时，称这两个数互质。

12.互质数性质：互质数的乘积等于它们的最小公倍数。

13.素数分解：将一个合数分解成质数的乘积的过程，这个过程叫做素数分解。

这些是数的整除的基本知识点。

数的整除知识点

数的整除知识点数的整除问题，容丰富，思维技巧性强。

它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的容之一。

数的整除1.整除——因数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。

记作b｜a.如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a 的因数。

例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的因数；63是7的倍数，7是63的因数。

2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c 整除。

即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。

例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c 的积能整除a。

即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。

例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除.⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

数的整除知识梳理

第一章数的整除一、知识整理1.1整数和整除整除的条件：1．除数、被除数都是整数。

2．被除数除以除数，商是整数，而且余数为零。

除尽的条件：1．除数、被除数不一定是整数。

2．被除数除以除数，商是整数或有限小数，而且余数为零。

☆整除是除尽的一种特殊情况。

1.2整数和整除的意义整数a能整除整数b，b叫做a的倍数。

a叫做b的因数。

☆倍数和因数是相互依存的。

1.3能被2、5整除的数1.4素数、合数与分解素因数正整数素数（2是唯一的偶素数）合数既不是素数也不是合数。

素数：除1与本身外没有其他因数的数。

合数：除1与本身外有其他因数的数。

分解素因数用短除法。

（用等式些写结论，分解的书写在最前。

）1.5公因数与最大公因数求两数的最大公因数：1.定义法2.分解素因数3.短除法a 和b 的最大公因数是c 的表示方法：（a ，b ）=c☆若两数互素，那么它们的最大公因数就是1。

☆若两数是倍数关系，那么它们的最大公因数就是较小数。

1.6公倍数与最小公倍数求两数的最小公倍数：1.定义法2.分解素因数3.短除法a 和b 的最小公倍数是c 的表示方法：[a ，b]=c☆若两数互素，那么它们的最小公倍数就是两数的乘积。

☆若两数是倍数关系，那么它们的最大公因数就是较大数。

总结：一个整数正整数零负整数☆任何一个合数都可以分解质因数。

1.整除 “三整一零” 整除是除尽的一种特殊情况。

2.倍数，因数整数间的关系 3.互素（两两互素）4.公因数（最大）最小公倍数5.公倍数（最小） =最大公因数×各自独有的因数奇数（2n 加1，n 为正整数）偶数（2n ，n 为正整数）素数：只有1和它本身这两个因数合数：除了1和它本身还有其它因数二、习题练习1.求下列各数的最大公因数和最小公倍数。

（1）56，108，72 （2）36，28,15三、拓展知识对于“每/每隔/每过”不同情况的区分：。

数的整除知识点整理

数的整除知识点整理
一、基本概念和符号：
1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。

2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；
二、整除判断方法：
1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

5.能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

6.能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

7.能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

三、整除的性质：
1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。

2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

数学整除知识点总结

数学整除知识点总结一、整除的基本概念1.1 整数的定义首先，我们需要了解一下整数的概念。

在数学中，整数是指包括正整数、负整数和零在内的所有整数，用…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…来表示。

整数是一个非常宽泛的概念，其中包含了无穷尽的实数，因此整数之间的关系也有着非常复杂的性质。

1.2 整除的定义在整数之间，如果存在一个整数a，使得另一个整数b能够被a整除，那么我们就说a能够整除b，记作a|b。

即如果存在一个整数c，使得b=ac，那么我们就说a能够整除b。

此时，a称为除数，b称为被除数，c称为商。

另外，如果a不等于0，且存在一个整数c，使得b=ac，那么我们就说a能够整除b；如果a等于0，那么b等于0时，我们也说a能够整除b。

1.3 整数除法整数除法是整除概念的具体实现。

在整数除法中，我们需要用到除数、被除数、商以及余数等概念。

具体来说，对于整数a、b（a≠0）、r，如果整数b能够被整数a整除，即a|b，那么一定存在整数q使得b=aq；此时q称为商，r称为余数，并且0≤r<|a|。

1.4 整数的倍数我们知道，整数之间是存在整数除法的，一个整数能够整除另一个整数，那么它们之间是具有一定倍数关系的。

在数学中，如果一个整数a能够整除另一个整数b，也就是a|b，那么我们就说b是a的倍数，a是b的因数。

1.5 整除的运算规律在整数之间的整除运算中，有一些规律是需要引起我们的注意的。

首先，对于任意整数a，0能够整除a；其次，任意整数a，a都能够整除自己，即a能够整除a，且a|a。

以上就是整除的基本概念及其相关内容。

从这些内容中我们可以看到，整除是一个非常基础的概念，但是它对于数学的发展和应用有着非常重要的作用。

下面我们就来具体讨论一下整除的性质。

二、整除的性质整除的性质是整数之间的一种特殊关系，它具有一些特殊的性质。

下面我们将介绍一下整除的性质。

2.1 整数的连通性一个整数a能够整除另一个整数b，那么我们可以得到一个推论：对于任意整数a、b、c （a、b、c≠0），如果a能够整除b，b能够整除c，那么a一定能够整除c。

数的整除与倍数知识点总结

数的整除与倍数知识点总结整数运算是我们数学学习的基础，其中数的整除与倍数是重要的概念。

理解和掌握数的整除与倍数的概念和运算规律，对于解决数学问题和提高计算能力具有重要意义。

本文将重点总结数的整除和倍数的相关知识点，帮助读者加深对这一概念的理解。

一、数的整除1. 定义：对于整数a和b，如果存在整数q使得a = b × q，则称a能整除b，记作a|b。

其中，a称为除数，b称为被除数，q称为商。

2. 零的情况：任何非零整数a都能整除零，即a|0。

3. 一的情况：任何整数a都能整除1，即a|1。

4. 整除的性质：a) 如果a|b且b|c，则a|c（传递性）。

b) a|b且a|c，则a|(b ± c)。

c) a|b且a|c，则a|(mb ± nc)，其中m、n为任意整数。

5. 整除的判定定理：a) 末位数字法：一个整数能被2整除，当且仅当它的个位数是0、2、4、6、8。

b) 各位数字之和法：一个整数能被3整除，当且仅当它的各位数字之和能被3整除。

c) 末位为0或5法：一个整数能被5整除，当且仅当它的个位数是0或5。

d) 末位为0且前两位数能被4整除法：一个整数能被4整除，当且仅当它的末位和十位组成的两位数能被4整除。

e) 末位为0或者奇数位之和与偶数位之和之差能被11整除：一个整数能被11整除，当且仅当它的个位数是0或者奇数位之和与偶数位之和之差能被11整除。

二、数的倍数1. 定义：对于整数a和b，如果存在整数q使得b = a × q，则称b 是a的倍数，a称为因数。

2. 特殊倍数：a) 正整数a的倍数都是正整数。

b) 零是任何整数的倍数。

c) 一个整数是自身的倍数。

3. 最小公倍数：最小公倍数是指某两个数同时是另一个数的倍数的最小值。

4. 求最小公倍数的方法：a) 分解质因数法：将两个数分解质因数，取每个因数的最高次幂相乘即为最小公倍数。

b) 列表法：列出两个数的倍数，找出它们的公共倍数中最小的一个即为最小公倍数。

数的整除性及性质

数的整除性及性质数的整除性是指一个整数能够被另一个整数整除，即没有余数的除法运算。

整除性是数学中的一个重要概念，它有一些基本的性质。

性质1：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它也能够被这个整数的因子整除。

性质2：如果一个整数能够被两个整数整除，那么它也能够被这两个整数的公倍数整除。

性质3：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的倍数也能够被这个整数整除。

性质4：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数也能够被这个整数整除。

性质5：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数倍也能够被这个整数整除。

性质6：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数加减这个整数也能够被这个整数整除。

性质7：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数乘以这个整数也能够被这个整数整除。

性质8：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数除以这个整数也能够被这个整数整除。

性质9：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数次方也能够被这个整数整除。

性质10：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的倒数也能够被这个整数整除。

性质11：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数的倒数也能够被这个整数整除。

性质12：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数倍数的倒数也能够被这个整数整除。

性质13：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数加减这个整数的倒数也能够被这个整数整除。

性质14：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数乘以这个整数的倒数也能够被这个整数整除。

性质15：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数除以这个整数的倒数也能够被这个整数整除。

性质16：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数次方的倒数也能够被这个整数整除。

性质17：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数的次方也能够被这个整数整除。

数的整除六年级知识点

数的整除六年级知识点整数是数学中的一种基本概念，它包括正整数、负整数和零。

在六年级的数学学习中，数的整除是一个重要的知识点。

在本文中，我们将详细介绍数的整除的概念、性质以及相应的解题方法。

概念:在数学中，将一个整数a除以另一个整数b，如果结果恰好为整数且余数为0，那么我们说a可以被b整除，或者说b是a的因数。

我们用符号"|"来表示"整除"的关系。

例如，如果a可以被b整除，我们可以写作a|b。

性质:1. 如果a能被b整除，那么a肯定也能被b的倍数整除。

2. 如果a能被b整除，b能被c整除，那么a也能被c整除。

3. 如果a能被b整除，那么a+b、a-b也能被b整除。

解题方法:1. 整除的判断：在判断一个数是否能被另一个数整除时，可以通过试除法进行验证。

即用这个数去除以可能的因数，如果余数为0，则可以确定它能被整除。

2. 整除的求解：要求解一个数的所有因数，可以通过列举法进行求解。

逐个尝试可能的因数，看是否能整除给定的数。

例如，我们来看一个具体的例子：问题：找出100以内能被7整除的所有数。

解析：我们可以通过列举法逐个尝试并验证每个数是否能被7整除。

首先我们可以观察到7 x 1 = 7，7 x 2 = 14，7 x 3 = 21，可以确定7是100以内能被7整除的数之一。

接下来我们逐渐增加7的倍数，即 7 x 4 = 28, 7 x 5 = 35, ...，一直到 7 x 14 = 98。

可以得出结论：100以内能被7整除的数为7、14、21、28、35、42、49、56、63、70、77、84、91、98。

通过上述例子，我们可以看出，在解决整除问题时，我们可以通过试除法或者列举法来判断和求解整除的数，这是六年级数学学习中的重要技巧之一。

综上所述，数的整除是六年级数学学习中的重要知识点。

了解整除的概念、性质以及相应的解题方法，能够帮助我们更好地理解和应用整除的概念，同时也提升了我们解决数学问题的能力。

小升初数学知识点总结数的整除

千里之行，始于足下。

小升初数学学问点总结数的整除数的整除是数学中的一个重要概念，它表示一个数能够被另一个数整除，也就是说能够整除的数在被除数中可以整除出一个整数，而不会有余数。

把握数的整除是数学学习中的基础，对于小升初数学也尤为重要。

下面我们将对小升初数学中与数的整除相关的学问点进行总结。

一、能否整除1. 能够整除的性质一个数能否整除是其整除性质的基础。

当一个数a能够被另一个数b整除时，我们可以使用求余运算符（%）来推断，假如a%b==0，则a能够被b整除。

2. 数的整数倍假如一个数a能够整除另一个数b，那么a就是b的一个因数，而b是a的一个倍数。

例如，4是12的一个因数，而12是4的一个倍数。

3. 推断能否整除的方法在小升初数学中，我们需要把握推断能否整除的方法。

最常用的方法是除法算法，即将被除数除以除数，假如得到的商是一个整数，那么被除数就能够整除除数，否则不能整除。

二、整除的性质1. 整除的传递性假设有三个整数a、b和c。

假如a能够整除b，b能够整除c，那么a也能够整除c。

例如，假如4能够整除12，12能够整除48，那么4也能够整除48。

2. 整除的安排性第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。

假设有两个整数a、b和一个正整数n。

假如a能够整除b，那么an能够整除bn。

例如，假如3能够整除6，那么3*2=6也能够整除6*2=12。

3. 整除的乘法性假设有两个整数a、b和一个正整数n。

假如a能够整除b，那么a*n能够整除b*n。

例如，假如2能够整除8，那么2*3=6也能够整除8*3=24。

三、数的整除的性质和推断方法1. 偶数和奇数偶数能够被2整除，而奇数除以2会有余数。

所以，一个数能够被2整除，那么它是一个偶数；否则它是一个奇数。

2. 末位数字一个数能够被10整除，当且仅当它的末位数字是0。

3. 数的整除法则3的倍数的特征是：各位数字之和是3的倍数。

例如，123的各位数字的和为1+2+3=6，同时6也是3的倍数，所以123是3的倍数。

数的整除知识点整理

数的整除知识点整理数的整除是数学中基础而重要的概念之一，常常涉及到算术基本定理、欧几里得算法、最大公因数等其他基本概念。

本文将对数的整除知识点做一个简要的整理和总结，帮助读者更好地掌握这一概念。

一、数的整除的定义在数学中，数的整除被定义为若存在整数q使得a=q*b，则b 被称为a的因数，a被称为b的倍数。

即b能够整除a。

例如，可以说9是3的倍数，因为存在一个整数q=3，使得9=3*3。

因此，3是9的因数，9是3的倍数。

需要注意的是，每个整数都能够被1和它自己整除，因此1和本身也是任何整数的因数。

二、整除的基本性质1. 除数不为0任何数都不能被0整除，即0没有因数，所以任何数除以0都是无意义的。

2. 唯一分解定理为了更好地理解整除，还需要知道数的分解定理。

唯一分解定理，也称为质因数分解定理，指出了任何大于1且不是素数的整数都能够唯一地分解成若干个质数的积。

例如，一个正整数20可以分解成2*2*5。

20的因数可以是1、2、4、5、10和20，而这些因数都是2和5的某种组合。

唯一分解定理是整除的基本性质，它保证了唯一性，即一组因数的乘积只能唯一地分解成若干个质数的积。

这个定理的证明常常采用归纳法的方法，其中用到了欧几里得算法等技巧。

3. 关于最小公倍数在整除中，还经常使用到最小公倍数的概念。

最小公倍数是指一个或多个整数的公共倍数中最小的那个，通常记为lcm(a,b)。

求最小公倍数的方法包括因数分解法、质因数分解法和倍数相减法等多种方法。

这些方法都采用了整除的基本性质，通过确定两个整数的公共因数和公共倍数，最终确定它们的最小公倍数。

例如，最小公倍数lcm(9,15)就是45，因为9和15的公共倍数有：45、90、135等，其中45是最小的。

三、深入了解整除的相关知识1. 余数和模在整除的基础上，还有进一步的概念需要了解，其中包括余数和模。

余数是指一个整数除以另一个整数所得到的余数，也称为“取余数”运算，其符号通常为“%”。