1.5三角函数y=Asin(ωx+ψ)图像变换

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函数y=Asin(ωx+φ)图像变换优质课课件

振动控制
在振动控制领域，函数y=asin(ωx+φ)可以用于设计振动控制器。通过调整控制器的参数，可以实现振动的有效抑制或放大，提高机械设备的稳定性和可靠性。
振动信号处理
在振动信号处理中，函数y=asin(ωx+φ)可以用于信号的调制和解调。通过对信号进行变换，可以实现信号的增强、降噪和特征提取，为故障诊断和状态监测提供依据。
控制系统稳定性分析
利用函数y=asin(ωx+φ)可以分析控制系统的稳定性。通过分析系统的极点和零点分布，可以判断系统的稳定性和动态性能，为控制系统校正和优化提供指导。
控制系统校正与优化
在控制系统设计中，函数y=asin(ωx+φ)可以用于控制系统校正与优化。通过调整控制器的参数，可以提高系统的性能指标，如响应速度、超调和稳态误差等，使系统更好地适应实际应用需求。
ω<0的周期变换
无界周期
当ω<0时，函数y=asin(ωx+φ)的周期是无界的，这意味着函数在x轴上的移动是无限循环的。
波形变化
随着ω的减小，函数的波形会变得更加平缓或尖锐，这取决于绝对值的大小。
04 振幅变换
A>1的振幅变换
总结词
当振幅系数A大于1时，函数y=asin(ωx+φ)的图像将呈现放大的效果。
φ=0的相位变换
总结词
当相位φ等于0时，函数图像不发生平移。
详细描述
当相位φ的值等于0时，函数y=asin(ωx+φ)就变成了标准正弦函数y=asin(ωx)，图像没有发生平移。这是因为此时函数的周期性没有改变，所以图像在x轴方向上没有移动。
03 周期变换
ω>1的周期变换
周期缩短

三角函数Y=Asin(ωx+φ)课件

方法1： (按j , , A顺序变换 )
y
3
2 1
y=3sin(2x+ 3 )
y=sinx
o

3

6 -１
6 3
7 2 5 12 3 6
7 6
5 3
2
x
-2
-3
y=sin(x+ ) 3 y=sin(2x+ ) 3

（1）向左平移 3 函数 y=sinx

-2
2

5 6
x
1.y=sin(x+j )与y=sinx的图象关系例2、试研究 y sin(x + ) 、y sin(x ) 3 6 y sin x 与的图象关系
y
y sin (x +

3
)
1
o
yy y y y y y sin y y sin y sin y sin y sin y sin y sin x sin sin x sin x sin x sin x sin x sin x x x x x x x x
如下图在同一坐标系中作y=sin2x和y=sinx的图像
描点：
y=sin2x
2 y 1 O
2
y=sinx

2
3 x
1
2
对于函数y sin 1 x 2
2. 描点：
y y=sinx 1 2 O 1 3 y=sin 1 x 2 4
的图象间的变化关系。
y
2
1 y sin x 与 y sinx 函数 y sin2 x 、 2
象可以看作是把y=sinx的图象上所有点

第一章 1.5 第一课时函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换

第一课时函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换1．φ对函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响2．ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响3．A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响[点睛] (1)A 越大，函数图象的最大值越大，最大值与A 是正比例关系． (2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系． (3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”.“五点法”作图[典例] 用“五点法”作出函数y ＝32sin （13x －π3）的简图．[活学活用]用“五点法”作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4在[0，π]上的图象．函数图象的平移变换[典例] 要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位[活学活用]1．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6向左平移π6个单位，可得到函数图象是( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 2．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位长度后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，则φ＝________.函数图象的伸缩变换[典例] 说明y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样变换得到的．[活学活用]为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点( )A ．先向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)B ．先向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)C ．先向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D ．先向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)层级一学业水平达标1．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度C ．向上平移π3个单位长度D ．向下平移π3个单位长度2．将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数3．把函数y ＝cos x 的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12，然后将图象沿x 轴负方向平移π4个单位长度，得到的图象对应的解析式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π44．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )5．把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图象所对应的函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3 6．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________________的图象．7．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象可以看作把函数y ＝12sin 2x 的图象向________平移________个单位长度得到的．8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象． 9．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象如何变换得到y ＝sin x 的图象？10．已知函数f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位长度，这样得到的图象与y ＝12sin x 的图象相同，求f (x )的解析式．层级二应试能力达标1．设g (x )的图象是由函数f (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位得到的，则g ⎝⎛⎭⎫π6等于( )A ．1B ．－12C ．0D ．－12．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π4B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π2 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4 3．下列命题正确的是( )A ．y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝sin x 的图象B ．y ＝sin x 的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝cos x 的图象C ．当φ＜0时，y ＝sin x 的图象向左平移|φ|个单位长度得到y ＝sin(x ＋φ)的图象D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象可以由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到 4．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π3个单位长度D ．向左平移π3个单位长度5．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 6．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图象，需将函数y ＝cos x2的图象上所有的点至少向左平移________个单位长度．7．函数f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－3的图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到的？8．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R.(1)利用“五点法”画出函数f (x )在一个周期⎣⎡⎦⎤π2，9π2上的简图．(2)先把f (x )的图象上所有点向左平移π2个单位长度，得到f 1(x )的图象；然后把f 1(x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到f 2(x )的图象；再把f 2(x )的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的13倍(横坐标不变)，得到g (x )的图象，求g (x )的解析式．。

y=asin(ωxφ)的图象变换PPT课件

则
由
韦
达
定
理：xx11
x2
x2
4k 4(ak
b),
又过S、R点的切线方程分别为：
4 y 2 x1 x x12 ,4 y 2 x2 x x22 ,
联立
并
解之得
x y
x1 x2 k
22
1 4
x1 x2
ak
(k为常数) b
消去k, 得 : ax 2 y 2b 0,
c)2
a 2b2 .
即(b2
a4 b2
)x2
2
a4 b2
cx
(
a4c b2
2
a2b2 )
0,
x1
x2
(
a4c b2
2
a2b2 )
b2
a4 b2
0,
b4 a4.
即b2 a2 , c2 a2 a2 .
e2 2. 即e 2.
[例3] 已知点H (0,3),点P在x轴上,点Q
在y轴正半轴上,点M在直线PQ上, 且满足
进y=而A得sin到0（五ω个x关+φ键）2点大作致出图函像数的方法，32
2
是作此类函数图像的主要方法.
78《圆锥曲线背景下的最值与定值问题》
【考点搜索】
1. 圆锥曲线中取值范围问题通常从两个途径思考，一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围.
2. 注意利用某些代数式故B点在直线2ax y b 0上.
[例4] 设双曲线x2 y2 1上两点A、B, AB
2 中点M (1,2).
(1) 求直线AB的方程; (2) 如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点, 那么A、B、C、D是否共圆, 为什么？

三角函数的图像变换省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

看作是把y sin(x )上所有点的纵坐标
伸长(当A 1时)或缩短(当0 A 1时) 到原来的A倍(横坐标不变)而得到.
A引起图象旳纵向伸缩，决定函数旳最大（最小）值,我们把A 叫做振幅。
思索3: 怎么样由y sin x的图象得到y 2sin(2x )的图象？
3
1、画出函数y sin x的图象;
1.5 y=Asin(ωx+φ)旳图像
新课引入
在物理中,简谐运动中单摆对平衡位置旳位移y与时间x旳关系：
新课引入
某次试验测得旳交流电旳电流y随时间x变化旳图象：
y
y
6
6
4 4
2
2
o2 4 6 8
-2
x
o 0.01 0.02 0.03 0.04
x
-2
-4
-4
-6
-6
将测得旳图像放大，能够看出它和正弦曲线很相同
5
把C上所有的点 C
( A)横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变 3
(B)横坐标缩短到原来的 3 倍,纵坐标不变 4
(C)纵坐标伸长到原来的 4 倍,横坐标不变 3
(D)纵坐标缩短到原来的 3 倍,横坐标不变 4
2.把y sin(2x )的图象向右平移个单位,
3
6
这时图象所表示的函数为 D
以上两个函数都是形如y=Asin(ωx+φ) 旳函数（其中A, ω, φ都是常数）.
交流电电流随时间变化旳图象与正弦曲线有何关系?
答 : 交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线很相似,
从解析式来看,函数y sin x就是函数y Asin(x )在 A 1, 1, 0时的情况.
你认为怎样讨论参数,, A对y Asin(x )的

高中数学第一章三角函数1.8.1函数y=asin(ωxφ)的图像

1
2
【做一做 1】函数 y= 5 sin 3��- 3 , �� ∈R 的值域是初相是 ,周期是 .
1 1 2π 3 1 5
1
π
,振幅是
,
答案: - 5 , 5
−3
π
1
2
2.四种变换画图方法
1
2
【做一做 2】填空: (1)函数 y=sin �� + 4 的图像是由�� = sin ��的图像向平移
π π
个单位长度得到的;
(2)函数 y=sin 2��- 4 的图像是由�� = sin 2��的图像向平移个单位长度得到的; 1 (3)函数 y=sin x− 5 的图像是由�� = sin ��的图像向平移个单位长度得到的; (4)函数 y=sin x 的图像上每个点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的 5 倍,可得函数的图像;再将所得图像上的各点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 5 倍,可得函数的图像.
(��∈R, ω>0)的最小正周期平移
π
个单位长
度可得到函数 g(x)=cos ωx 的图像. (填写一个正确答案即可)
解析:由 T=π, 得 ω=2, 因此 f (x)=sin 2�� + 4 . 因为g(x)=cos 2x=sin 2�� + 2 , 而f (x+φ)=sin 2(�� + ��) + 4 = sin 2�� + 2�� + 4 , 故�� = , 所以只要将函数y=f (x)的图像上所有点向左平移个单位长度可得到函数g(x)=cos ωx 的图像.

人教版数学必修四1.5 函数y=Asin(wx φ )的图象和性质教案

三角函数)sin(ϕω+=x A y 的图像和性质高考考纲解读：三角函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定ϕω,,A 问题是高考的热点，题型多样，难度中低档，主要考查识图、用图的能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力。

本节课的指导思想是以2015湖北高考17题为典型母题，在此基础上进行了三个变式，分散考点，逐步加深对知识的理解，帮助学生掌握解题技能。

教学目标：掌握五点作图法作出三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的图像理解三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的图像和性质。

教学重点：三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的图像伸缩变换和性质。

教学难点：解决三角函数的综合问题教学手段：合作学习，讲练结合教学过程：（一）高考考纲解读函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定ϕω,,A 问题是高考的热点，题型多样，难度中低档，主要考查识图、用图的能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力。

（二）高考母题引领三角函数)sin(ϕω+=x A y 复习母题鉴析(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并写出函数f(x)的解析式；(2)将y ＝f(x)图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g(x)的图象，求y ＝g(x)的图象离原点O 最近的对称中心．选题意义：本题叙述简洁明了，不拖泥带水．题目的大条件是以学生十分熟悉的一元二次方程的根为背景给出的，显得平和而贴切．试题一共设置了两问，设问角度新颖，梯度明显，体现了浅入深出、简局表哥约而不简单的命题风格．本题所包含的主要数学知识有：五点作图法、三角函数的图像变换、由图表求三角函数解析式，三角函数的性质等；所涉及的数学思想有换元思想、整体代换思想和函数与方程思想等；考查的主要数学技能有数学运算和逻辑推理。

三角函数y=Asin(ωxφ)图像解读

函数 y =sin x , x R（其中 >0且 1）的图像，可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短（当 >1时）或伸长（当 0< <1时）到原来的1/ 倍（纵坐标不变）而得到。
问题：画出y=sin(x+ 3 ), x R, y=sin(x- )的 4
图像。演示
4.9 函数 y=Asin ( x+ )的图像
4.9 函数 y=Asin ( x+ )的图像
复习：函数 y=Asin ( x+ ) ,x R中, A是指振幅, T= 2 。

要求：弄清楚 A ，，这三个变量对图像的影响。
1 画出函数y= 2 sinx, x R , y= sinx, x R的图像 2
解：
x sinx 0 0

2
1

0
3 2
-1
2
0
2sinx
0
0
2
0
0
-2
0
0
1 sinx 2
1 2
1 2
y
-2
1
2
o -1
2

3 2
2
x
-2
弦曲线上所有点的纵坐标伸长到原来的 2倍（横坐标不作把正弦曲线上所有点的纵坐标缩短到原来的变）而得到。从而函数 y= 2 sinx, x R 的值域是[-2,2], 1/2（横坐标不变）而得到。最大值是2，最小值是 –2。
6
12
3
7 12
5 6
0

2
3

0
3 2
-3
2
0
0
演示：

三角函数y=asin(ωx+ψ)的图像变换

三角函数y=asin(ωx+ψ)的图像变换
三角函数是数学中非常重要的函数之一，特别是在几何和曲线的
分析方面，其中三角函数y=asin(ωx+ψ)是三角函数中一类很重要的
函数，其图像变换是数学家们比较关心的问题。

首先，要了解三角函数y=asin(ωx+ψ)的图像变换，就要知道
y=asin(ωx+ψ)函数的基本特征。

通过对rad(radian）和deg(degree)的换算，当ω=2πrad，ψ=0rad时，y=asin(ωx+ψ)函数可以得出如
下结论：当x从-∞到+∞时，y的值从-π到+π；而当x从-1到+1变
化时，y的值从-90°到+90°。

可以看出，y=asin(ωx+ψ)的图像呈现的是一波的形状，它的图形可以由以下几个主要步骤来完成变换：首先，在观察y=asin(ωx+ψ)函数图像时，需要对ω以及ψ进行变化，可以通过给定ω以及ψ变换0°到360°或者π到2π范
围内的数值，使函数图像在x轴上移动或者旋转，即可实现图像位移
或者旋转变换。

其次，图像中参数ω可以进行放大或者缩小，当ω变换为kω时，可以使函数图像相对应的朝水平方向或者竖直方向放大或者缩小k 倍，这样就可以得到不同的图形变换。

最后，除了上述的位移和缩放之外，还可以通过改变
y=asin(ωx+ψ)中的常数ψ来进行旋转变换，当ψ每次增大2π时，可以使函数图像旋转2π角度，这样就可以实现函数图像的旋转变换。

总之，三角函数y=asin(ωx+ψ)对数学家们来说非常重要，通过对其参数ω、ψ的变化，可以实现其图像的位移、缩放和旋转变换等。

函数y=Asin(ωx+ψ)的图像与性质

函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质1.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.x －φω－φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω 2π－φωωx ＋φ 0 π2π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相A T ＝2πω f ＝1T ＝ω2πωx ＋φ φ3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径强化训练1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)将函数y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( )(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( )(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )(4)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( )2.(必修4P56T3改编)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的振幅、频率和初相分别为( )A.2，4π，π3B.2，14π，π3C.2，14π，－π3D.2，4π，－π33.(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况：月份x 1 2 3 4 收购价格y (元/斤)6765选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________________________.4.(2019·北京通州区模拟)函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象是( )5.(2016·全国Ⅰ卷)若将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 C.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 D.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π36.(2018·济南模拟改编)y ＝cos(x ＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.考点一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换【例1】某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象.若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2(2)(2018·青岛调研)若把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图象向左平移π3个单位长度，所得到的图象与函数y ＝cos ωx 的图象重合，则ω的一个可能取值是( )A.2B.32C.23D.12考点二求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】 (1)(一题多解)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________.(2)(2019·长郡中学、衡阳八中联考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，已知A ⎝⎛⎭⎪⎫5π12，1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，－1，则f (x )图象的对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋5π6，0(k ∈Z)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋5π6，0(k ∈Z)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，0(k ∈Z)【训练2】 (1)(2019·衡水中学一模)已知函数f (x )＝－2cos ωx (ω>0)的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为( )A.π6 B.5π6 C.π12 D.5π12(2)(2019·山东省重点中学质检)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，|φ|<π2，ω>0的图象的一部分如图所示，则f (x )图象的对称轴方程是________.考点三 y ＝A sin(ωx ＋φ)图象与性质的应用角度1 三角函数模型的应用【例3－1】如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O 离地面1米，点O 在地面上的射影为A .风车圆周上一点M 从最低点O 开始，逆时针方向旋转40秒后到达P 点，则点P 到地面的距离是________米.角度2 三角函数性质与图象的综合应用【例3－2】已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值.【训练3】 (1)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.(2)已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋523(其中x ∈R)，求：①函数f (x )的最小正周期； ②函数f (x )的单调区间； ③函数f (x )图象的对称轴和对称中心.类型1 三角函数的周期T 与ω的关系【例1】为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为( ) A.98π B.1972π C.1992π D.100π类型2 三角函数的单调性与ω的关系【例2】若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω的取值范围是( )A.0≤ω≤23B.0≤ω≤32C.23≤ω≤3D.32≤ω≤3类型3 三角函数对称性、最值与ω的关系【例3】 (1)(2019·枣庄模拟)已知f (x )＝sin ωx －cos ωx ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>23，若函数f (x )图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是________.(结果用区间表示)(2)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________.【基础巩固题组】一、选择题1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 2.(2019·杭州期中)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是( )A.－3π4B.－π4C.π4D.5π43.(2019·咸阳模拟)已知点P (32，－332)是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M ，N 是与点P 相邻的两个最高点，若∠MPN ＝60°，则该函数的最小正周期是( ) A.3 B.4 C.5 D.64.(2018·天津卷)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0上单调递减C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减5.(2019·张家界模拟)将函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x 的图象向左平移t (t >0)个单位后，得到函数g (x )的图象，若g (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x ，则实数t 的最小值为( )A.5π24B.7π24C.5π12D.7π12二、填空题6.将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________________.7.(2018·沈阳质检)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.8.已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝____________________________________.三、解答题9.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24). (1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差.10.已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻最高点的距离为π.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值； (2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.11.(2019·天津和平区调研)已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为( )A.－2B.－1C.－ 2D.－ 312.函数f (x )＝220sin 100πx －220sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πx ＋2π3，且已知对任意x ∈R，有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，则|x 2－x 1|的最小值为( ) A.50π B.1100π C.1100D.44013.(2019·广东省际名校联考)将函数f (x )＝1－23·cos 2x －(sin x －cos x )2的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则函数g (x )的单调递增区间是________.14.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示.(1)求函数f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上的最小值.15.(多填题)已知函数f (x )＝23sinωx2cosωx2＋2cos2ωx2－1(ω>0)的最小正周期为π，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，方程f (x )＝m 恰有两个不同的实数解x 1，x 2，则x 1＋x 2＝________，f (x 1＋x 2)＝________.答案 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√【解析】 (1)将函数y ＝3sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3cos 2x .(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω.故当ω≠1时平移的长度不相等.2. 【答案】 C【解析】由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3.3. 【答案】 y ＝6－cos π2x【解析】设y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)，由题意得A ＝1，B ＝6，T ＝4，因为T ＝2πω，所以ω＝π2，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ＋6.因为当x ＝2时，y ＝7，所以sin(π＋φ)＋6＝7，即sin φ＝－1，则φ＝－π2＋2k π(k ∈Z)，可取φ＝－π2. 所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π2＋6＝6－cos π2x .4. 【答案】 A【解析】由y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6可知，函数的最大值为2，故排除D ；又因为函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，故排除B ；又因为函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，2，故排除C. 5. 【答案】 D【解析】函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D. 6. 【答案】π2＋4【解析】相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为π2＋4.【例1】【答案】见解析【解析】(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)(k ∈Z).令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z，解得x ＝k π2＋π12－θ(k ∈Z). 由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12(k ∈Z)，解得θ＝k π2－π3(k ∈Z). 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6. 【训练1】【答案】 (1)D (2)A【解析】 (1)易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，因此D 项正确. (2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋ω3π－π6和函数y ＝cos ωx 的图象重合，可得ω3π－π6＝π2＋2k π，k ∈Z，则ω＝6k ＋2，k ∈Z.∴2是ω的一个可能值.【例2】【答案】 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 (2)C 【解析】 (1)由题图可知A ＝2，法一 T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，故ω＝2，因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对应五点法作图中的第三个点，因此2×π3＋φ＝π＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝π3＋2k π(k ∈Z).又|φ|<π2，所以φ＝π3.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.法二以⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0为第二个“零点”，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2为最小值点，列方程组⎩⎪⎨⎪⎧ω·π3＋φ＝π，ω·7π12＋φ＝3π2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π＝2πω，∴ω＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ).由五点作图法知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，1是第二点，得2×5π12＋φ＝π2，2×5π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝－π3＋2k π(k ∈Z)，又|φ|<π2，所以φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.由2x －π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z).∴f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z).【训练2】【答案】 (1)C (2)x ＝k π2＋π6(k ∈Z)【解析】 (1)由题图知，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴f (x )＝－2cos 2x ，∴f (x ＋φ)＝－2cos(2x ＋2φ)，则由图象知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＋φ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋2φ＝2.∴5π6＋2φ＝2k π＋π(k ∈Z)，则φ＝π12＋k π(k ∈Z).又0<φ<π2，所以φ＝π12.(2)由图象知A ＝2，又1＝2sin(ω×0＋φ)，即sin φ＝12，又|φ|<π2，∴φ＝π6. 又11π12×ω＋π6＝2π，∴ω＝2， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，令2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z). ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z). 【例3－1】【答案】 4【解析】以圆心O 1为原点，以水平方向为x 轴方向，以竖直方向为y 轴方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2米，圆上最低点O 离地面1米，12秒转动一周，设∠OO 1P ＝θ，运动t (秒)后与地面的距离为f (t )，又周期T ＝12，所以θ＝π6t ，则f (t )＝3＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2＝3－2cos π6t (t ≥0)，当t ＝40 s 时，f (t )＝3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×40＝4. 【例3－2】【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1)＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 由最小正周期为π，得ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，整理得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z). (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin 2x ＋1的图象；所以g (x )＝2sin 2x ＋1.令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z)，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可.所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π12. 【训练3】【答案】 20.5【解析】因为当x ＝6时，y ＝a ＋A ＝28；当x ＝12时，y ＝a －A ＝18，所以a ＝23，A ＝5，所以y ＝f (x )＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6），所以当x ＝10时，f (10)＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4 ＝23－5×12＝20.5. 【答案】见解析【解析】①因为f (x )＝52sin 2x －532(1＋cos 2x )＋532＝5(12sin 2x －32cos 2x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以函数的最小正周期T ＝2π2＝π. ②由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z). 由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z). ③由2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z).由2x －π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，所以函数f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z). 【例1】【答案】 B【解析】由题意，至少出现50次最大值即至少需用4914个周期，所以1974T ＝1974·2πω≤1，所以ω≥1972π.【例2】【答案】 D【解析】令π2＋2k π≤ωx ≤32π＋2k π(k ∈Z)，得π2ω＋2k πω≤x ≤3π2ω＋2k πω，因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋2k πω≤π3，π2≤3π2ω＋2k πω，得6k ＋32≤ω≤4k ＋3. 又ω>0，所以k ≥0，又6k ＋32<4k ＋3，得0≤k <34，所以k ＝0. 故32≤ω≤3. 【例3】【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，78 (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫ω|ω≤－2或ω≥32 【解析】 (1)f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4，令ωx －π4＝π2＋k π(k ∈Z)，解得x ＝3π4ω＋k πω(k ∈Z). 当k ＝0时，3π4ω≤π，即34≤ω，当k ＝1时，3π4ω＋πω≥2π，即ω≤78. 综上，34≤ω≤78. (2)显然ω≠0，分两种情况：若ω>0，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4时，－π3ω≤ωx ≤π4ω. 因函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以－π3ω≤－π2，解得ω≥32. 若ω<0，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，因函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以π4ω≤－π2，解得ω≤－2. 综上所述，符合条件的实数ω≤－2或ω≥32. 【基础巩固题组】1. 【答案】 A【解析】由题图可知，A ＝2，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，所以ω＝2，由五点作图法知2×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 2. 【答案】 B【解析】将y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φ2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＝12sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位后得到的图象对应的函数为y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ，由题意得π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，∴φ＝k π＋π4(k ∈Z)，当k ＝－1，0，1时，φ的值分别为－3π4，π4，5π4，φ的取值不可能是－π4. 3. 【答案】 D【解析】由P 是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M ，N 是与P 相邻的两个最高点，知|MP |＝|NP |，又∠MPN ＝60°，所以△MPN 为等边三角形.由P (32，－332)，得|MN |＝2×3323×2＝6. ∴该函数的最小正周期T ＝6.4. 【答案】 A【解析】 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π10，将其图象向右平移π10个单位长度，得到函数y ＝sin 2x 的图象.由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z.令k ＝0，可知函数y ＝sin 2x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增. 5. 【答案】 B【解析】由题意得，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，则g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π6，从而2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x ＋2t －π6＝－2sin(2x －2t )＝2sin(2x －2t ＋π)，又t >0，所以当2t －π6＝－2t ＋π＋2k π(k ∈Z)时，即t ＝7π24＋k π2(k ∈Z)，实数t min ＝724π.6. 【答案】 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10―————————―→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10.7. 【答案】 3【解析】由图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，∴T ＝π，∴ω＝2.∵当x ＝π6时，函数f (x )取得最大值，∴2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝2cos π6＝ 3.8. 【答案】 143【解析】依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4·ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2 (k ∈Z).∴ω＝8k ＋143 (k ∈Z)，因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143. 9. 【答案】见解析【解析】(1)f (8)＝10－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8 ＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2(32cos π12t ＋12sin π12t ) ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.10. 【答案】见解析【解析】(1)因为f (x )的图象上相邻最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2. 又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，因为－π2≤φ＜π2，所以k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4－π6＝3sin π3＝32. (2)将f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12的图象，所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，即k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z)时，g (x )单调递减. 因此g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z). 11. 【答案】 B【解析】 ∵x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴，∴π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝k π＋π6(k ∈Z). ∵0<φ<π，∴φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴g (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－1. 12. 【答案】 C【解析】 f (x )＝220sin 100πx －220sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πx ＋2π3 ＝220⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 100πx －⎝⎛⎭⎪⎫sin 100πx ·cos 2π3＋cos 100πx sin 2π3 ＝220⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 100πx ＋12sin 100πx －32cos 100πx ＝2203⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 100πx －12cos 100πx ＝2203×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πx －π6，则由对任意x ∈R，有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立得当x ＝x 2时，f (x )取得最大值，当x ＝x 1时，f (x )取得最小值，所以|x 2－x 1|的最小值为12T ＝12×2π100π＝1100(T 为f (x )的最小正周期)，故选C. 13. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12 【解析】 ∵f (x )＝1－23cos 2 x －(sin x －cos x )2＝sin 2x －3cos 2x －3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－3， ∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π3－3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3，由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z)，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z)， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2， ∴函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12.14. 【答案】见解析【解析】(1)设函数f (x )的最小正周期为T ，由题图可知A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2，即T ＝π，所以π＝2πω，解得ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，又过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，由0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ可得π3＋φ＝2k π(k ∈Z)，则φ＝2k π－π3(k ∈Z)，因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. (2)根据条件得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8时，4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，所以当x ＝π8时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝12. 15. 【答案】 π31 【解析】函数f (x )＝23sin ωx 2cos ωx 2＋2cos 2ωx 2－1＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6. 由T ＝2πω＝π，可得ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－1≤f (x )≤2. 画出f (x )的图象(图略)，结合图象知x 1＋x 2＝π3，则f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝2sin 5π6＝1.。

1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像(一)

左平移
2
个单位得到．
便可得到函数y sin 2x的图像．
三、正弦曲线的相关术语
函数 y A sin( x )( A 0， 0 )中的常数 A、、对其图像的影响：振幅 A：使图像发生纵向伸缩变换，决定函数 y A sin( x )的值域为[ A ， A ]；角频率：使图像发生横向伸缩变换， 2 决定函数 y A sin( x )的周期 T ； 1 频率( frequency)：f 初相 ( initial phase )： T 2 初相：决定了 y A sin( x ) 在 x 0时所对应的角，也决定了该正弦曲线的左右位置．相位移：使图像发生左右平移变换，决定 y A sin( x )图像的起点( ， 0)．
探索与研究
探索 y A sin( x )( A 0， 0 )的图像 1、探索 y A sin x ( A 0， A 1)的图像； 2、探索 y sin x ( 0， 1)的图像； 3、探索 y sin( x )( 0 )的图像；
பைடு நூலகம்
所求解析式为 y 3 sin( x ) 3
1 又 3 3
7 T 2( ) 2 6 6
3
O 3
6
7 6
x
例7、已知正弦曲线 y A sin(x )图像上一个最高点是 (2, 2 )，由这个最高点到相邻的最低点时曲线与 x轴交于点 (6， 0)，求此函数解析式． (其中 A 0， 0， ) 2 解：由题意： A 2 2 T 4 ( 6 2 ) 16 T 8 y 2 sin( x ) 8 2 sin( 6 ) 0 8 4

高中数学必修4：1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图像(人教版高中数学必修4第一章三角函数+含高考真题演练)

y sin 2( x 5
5
12
)
个单位所得图象的函数
表达式为
12
⑵ 函数y=3cos(x+ 4 )图象向左平移
函数表达式为
y 3 cos(x 7 )
12
3
个单位所得图象的
练习2. 完成下列填空
⑶函数y=2loga2x图象向左平移3个单位所得图象的函数表
达式
y 2 log a 2( x 3)
图1
4 （2019年全国2卷理9）
图1
4 （2019年全国2卷理9）
图2
4 （2019年全国2卷理9）
图2
5 （2018年全国3卷理15）
5 （2018年全国3卷理15）
y
1
O
y cos3x 6
y cos3x
2
3
2
x
2
y cos x
6 （2017年全国1卷理9）
6 （2017年全国1卷理9）
y sin( x（) ＞ 0）
函数图像的伸缩变换
例作函数y 3 sin( 2 x )的简图.
3
y 3sin(2x )
3
3
1
x
o
2
-1
y sin x
-3
3
1
3
o -1
-3
y 3sin(2x )
3
y sin( x )
3x
5 2
y 3sin x
3
6
1
3
o -1
-3
5
6
y sin(2x )
3
y 3sin(2x )
3
y sin( x )
3x 5 2 y 3sin x