苏教版高中数学必修四巩固练习_平面向量的基本定理及坐标表示_提高

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江苏版高考数学一轮复习：专题5.2平面向量的基本定理及坐标表示巩固检测题附答案

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】专题5.2 平面向量的基本定理及坐标表示一、填空题1．已知平面向量a ＝(1，－2)，b ＝(2，m )，若a ∥b ，则3a ＋2b ＝【解析】∵a ∥b ，∴m ＋4＝0，∴m ＝－4，∴b ＝(2，－4)，∴3a ＋2b ＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)．2．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是【解析】因为a 与b 方向相反，所以b ＝ma ，m <0，则有(4，x )＝m (x,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得m ＝±2.又m <0， ∴m ＝－2，x ＝m ＝－2.3．已知在平行四边形ABCD 中，AD ＝(2,8)，AB ＝(－3,4)，对角线AC 与BD 相交于点M ，则AM ＝【解析】因为在平行四边形ABCD 中，有AC ＝AB ＋AD ，AM ＝12AC ，所以AM ＝12(AB ＋AD )＝12[(－3,4)＋(2,8)]＝12×(－1,12)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，64．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝5．已知平行四边形ABCD 中，AD ＝(3,7)，AB ＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO 的坐标为【解析】 AC ＝AB ＋AD ＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴OC ＝12AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5.∴CO＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5.6．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|OC |＝2，若OC ＝λOA ＋μOB ，则λ＋μ＝【解析】因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC ＝λOA ＋μOB ，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.7．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若 PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC ＝________.【解析】AQ ＝PQ －PA ＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴AC ＝2AQ ＝2(－3,2)＝(－6,4)．PC ＝PA ＋AC ＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7)，∴BC ＝3PC ＝3(－2,7)＝(－6,21)．8．已知向量AC ，AD 和AB 在正方形网格中的位置如图所示，若AC ＝λAB ＋μAD ，则λμ＝________.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则AC ＝(2，－2)，AB ＝(1,2)，AD ＝(1,0)，由题意可知(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3.9．P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R}，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R}是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．【解析】P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)．10．在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB ＝λAM ＋μAN ，则λ＋μ＝________.二、解答题11．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ， E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ，DF ，CD .解：EF ＝EA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －a ＝16b －a ， CD ＝CF ＋FD ＝－12b －⎝ ⎛⎭⎪⎫16b －a ＝a －23b . 12.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动．若OC ＝x OA ＋y OB ，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．。

苏教版数学高一数学苏教版必修4作业2.3.2平面向量的坐标表示及运算

课下能力提升(十八) 平面向量的坐标表示及运算一、填空题1．已知平面向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，则向量12a －32b ＝________. 2．若A (2,3)，B (x,4)，C (3，y )，且AB ＝2AC ，则BC ＝________.3．已知平行四边形ABCD 中，A (0,0)，B (5,0)，D (2,4)，对角线AC 、BD 相交于点M ，则DM 的坐标是________．4．已知A (－1,2)，B (2,8)．若AC ＝13AB ，DA ＝－23AB ，则CD 的坐标为________． 5．设向量a ＝(m ，n )，b ＝(s ，t )，定义两个向量a ，b 之间的运算“⊕”为a ⊕b ＝(ms ，nt )．若向量p ＝(1,2)，p ⊕q ＝(－3，－4)，则向量q 的坐标为________．二、解答题6．已知三点A (2，－1)、B (3,4)、C (－2,0)，求：(1)3AB ＋12CA ；(2)BC －2AB .7．如图，已知A (－1,2)，B (3,4)，连结A ，B 并延长至P ，使AP＝3BP ，求P 点的坐标．8.如图，在△ABC 中，已知A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M ，N ，D 分别是AB ，AC ，BC 的中点，且MN 与AD 交于点F ，求DF 的坐标．答案1．解析：12a －32b ＝12(2,1)－32(1，－2)＝⎝⎛⎭⎫1，12－⎝⎛⎭⎫32，－3＝⎝⎛⎭⎫1－32，12＋3＝⎝⎛⎭⎫－12，72.答案：⎝⎛⎭⎫－12，722．解析：∵A (2,3)，B (x,4)，C (3，y )，∴AB ＝(x －2,1)，AC ＝(1，y －3)又AB ＝2AC ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝2，1＝2(y －3)，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝72.∴BC ＝(3－x ，y －4)＝⎝⎛⎭⎫－1，－12 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－12 3．解析：DM ＝12DB ＝12[(5,0)－(2,4)]＝12(3，－4) ＝⎝⎛⎭⎫32，－2.答案：⎝⎛⎭⎫32，－24．解析：∵AB ＝(2,8)－(－1,2)＝(3,6)，∴AC ＝13AB ＝(1,2)，DA ＝－23AB ＝(－2，－4)， ∴DC ＝DA ＋AC ＝(－2，－4)＋(1,2)＝(－1，－2)，∴CD ＝－DC ＝(1,2)．答案：(1,2)5．解析：设向量q ＝(x ，y )，p ⊕q ＝(x,2y )＝(－3，－4)，∴x ＝－3，y ＝－2，故向量q ＝(－3，－2)．答案：(－3，－2)6．解：AB ＝(3－2,4＋1)＝(1,5)， BC ＝(－2－3，－4)＝(－5，－4)． CA ＝(2＋2，－1－0)＝(4，－1)．(1)3AB ＋12CA ＝3(1,5)＋12(4，－1)＝⎝⎛⎭⎫5，292. (2)BC －2AB ＝(－5，－4)－2(1,5)＝(－7，－14)．7．解：设P 点坐标为(x ，y )，则AP ＝(x ＋1，y －2)，BP ＝(x －3，y －4)．由AP 、BP 同向共线，得AP ＝3BP ，即(x ＋1，y －2)＝3(x －3，y －4)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝3x －9，y －2＝3y －12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝5. ∴点P 的坐标为(5,5)．8．解：∵A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，∴AB ＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)， AC ＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)．∵D 是BC 的中点，∴AD ＝12(AB ＋AC )＝12(－4－3，－3－5) ＝12(－7，－8)＝⎝⎛⎭⎫－72，－4. ∵M ，N 分别为AB ，AC 的中点，∴F 为AD 的中点．∴DF ＝－FD ＝－12AD ＝－12⎝⎛⎭⎫－72，－4＝⎝⎛⎭⎫74，2.。

苏教版高中数学必修4专题提升：平面向量

专题：平面向量【考纲解读】1. 理解平面向量的概念与几何表示、两个向量相等的含义;掌握向量加减与数乘运算及其意义;理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义.2．了解平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件.3．理解平面向量数量积的含义及其物理意义;了解平面向量数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.【知识网络构建】【重点知识整合】1．平面向量的基本概念2．共线向量定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λ·a.如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1或者x1y2－x2y1＝0，即用坐标表示的两个向量平行的充要条件是它们坐标的交叉之积相等．当其中一个向量的坐标都不是零时，这个充要条件也可以写为x2x1＝y2y1，即对应坐标的比值相等．3．平面向量基本定理对于任意a，若以不共线的向量e1，e2作为基底，则存在唯一的一组实数对λ，μ，使a＝λe1＋μe2.4．向量的坐标运算a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa ＝(λx1，λy1)．5．数量积(1)已知a，b的夹角为〈a，b〉＝θ(θ∈[0，π])，则它们的数量积为a·b＝|a|·|b|cosθ，其中|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影，向量的数量积满足交换律、数乘结合律和分配律，但不满足结合律，即a·(b·c)≠(a·b)·c；(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2；(3)两非零向量a，b的夹角公式为cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22；(4)|a|2＝a·a.(5)两个向量垂直的充要条件就是它们的数量积等于零．【高频考点突破】考点一向量的有关概念和运算(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，与a同向的单位向量为a |a|.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．例1、已知关于x的方程：·x2＋·2x＋＝0(x∈R)，其中点C为直线AB上一点，O是直线AB外一点，则下列结论正确的是()A．点C在线段AB上B．点C在线段AB的延长线上且点B为线段AC的中点C．点C在线段AB的反向延长线上且点A为线段BC的中点D．以上情况均有可能【方法技巧】解决向量的有关概念及运算问题要注意以下几点(1)正确理解向量的基本概念；(2)正确理解平面向量的基本运算律，a＋b＝b＋a，a·b＝b·a，λa·b＝λ(a·b)与a(b·c)≠(a·b)c；(3)相等向量、相反向量、单位向量、零向量，在概念考查中一定要重视，如有遗漏，则会出现错误.考点二平面向量的数量积1．两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值确定．2．求非零向量a，b的夹角一般利用公式cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|先求出夹角的余弦值，然后求夹角；向量a在向量b方向上的投影为a·b |b|.【方法技巧】(1)准确利用两向量的夹角公式cos〈a，b〉＝a·b|a||b|及向量模的公式|a|＝a·a.(2)在涉及数量积时，向量运算应注意：①a·b＝0，未必有a＝0，或b＝0；②|a·b|≤|a||b|；③a(b·c)与(a·b)c不一定相等.考点三平面向量与三角函数的综合应用通过对向量的运算把问题转化为求三角函数的值、最值或研究三角函数的性质等问题，是高考中经常出现的题型．例3.已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)．(1)求向量b＋c的长度的最大值；(2)设α＝π4，且a⊥(b＋c)，求cosβ的值．[解](1)法一：由已知得b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，则|b＋c|2＝(cosβ－1)2＋sin2β＝2(1－cosβ)．∵－1≤cosβ≤1，∴0≤|b＋c|2≤4，即0≤|b＋c|≤2.当cosβ＝－1时，有|b＋c|max＝2，所以向量b＋c的长度的最大值为2.法二：∵|b|＝1，|c|＝1，|b＋c|≤|b|＋|c|＝2.当cosβ＝－1时，有b＋c＝(－2,0)，即|b＋c|＝2，所以向量b＋c的长度的最大值为2.【难点探究】难点一平面向量的概念及线性运算例1、 (1)a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1·λ2＋1＝0D ．λ1λ2－1＝0(2) 设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R)，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R)，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2，已知点C (c,0)，D (d,0)(c ，d ∈R)调和分割点A (0,0)，B (1,0)，则下面说法正确的是( ) A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C 、D 可能同时在线段AB 上D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上【点评】向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中的两个带有根本意义的定理．平面向量基本定理是平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量唯一线性表示，这个定理的一个极为重要的导出结果是，如果a ，b 不共线，那么λ1a ＋λ2b ＝μ1a ＋μ2b 的充要条件是λ1＝μ1且λ2＝μ2.共线向量定理有一个直接的导出结论，即如果OA →＝xOB →＋yOC →，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是x ＋y ＝1.【变式探究】(1)如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB→＝mAM →，AC →＝nAN →(m ，n >0)，则1m ＋4n 的最小值为( )A ．2B ．4 C.92 D ．9(2) 设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．【答案】(1)C (2)(－4，－2)【解析】 (1)MO →＝AO →－AM →＝AB →＋AC →2－1m AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1m AB →＋12AC →，同理NO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n AC →＋12AB →，M ，O ，N 三点共线，故⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1m AB →＋12AC →＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n AC →＋12AB →，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1m －λ2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λ2＋λn AC →＝0.难点二平面向量的数量积例2 如图所示，P 为△AOB 所在平面内一点，向量OA→＝a ，OB →＝b ，且P 在线段AB 的垂直平分线上，向量OP →＝c .若|a |＝3，|b |＝2，则c ·(a －b )的值为( )A ．5B ．3 C.52 D.32 【答案】C【解析】设AB 中点为D ，c ＝OP →＝OD →＋DP →，所以c ·(a －b )＝(OD →＋DP →)·BA →＝OD →·BA →＋DP →·BA →＝OD →·BA →＝12(a ＋b )·(a －b )＝12(|a |2－|b |2)＝52.【点评】平面向量问题的难点就是把平面向量的几何运算与数量积运算的结合，这里要充分利用平面向量的几何运算法则、平面向量的共线向量定理、两向量垂直的条件以及平面向量数量积的运算法则，探究解题的思想．【变式探究】(1)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p 1：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3；p 2：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2π3，π；p 3：|a －b |＞1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3；p 4：|a －b |＞1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π.其中的真命题是( ) A ．p 1，p 4 B ．p 1，p 3 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4(2)在△OAB 中，设OA→＝a ，OB →＝b ，则OA 边上的高等于________．难点三平面向量的共线与垂直的综合运用例3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，左顶点为A ，若|F 1F 2|＝2，椭圆的离心率为e ＝12. (1)求椭圆的标准方程；(2)若P 是椭圆上的任意一点，求PF 1→·P A →的取值范围；(3)已知直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆相交于不同的两点M ，N (均不是长轴的端点)，AH ⊥MN ，垂足为H 且AH →2＝MH →·HN→，求证：直线l 恒过定点．【解答】 (1)由已知得c ＝1，a ＝2，b ＝3，∴所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (2)设P (x 0，y 0)，又A (－2,0)，F 1(－1,0)， ∴PF 1→·P A →＝(－1－x 0)(－2－x 0)＋y 20＝14x 20＋3x 0＋5. 由于P (x 0，y 0)在椭圆上，∴－2≤x 0≤2，可知f (x 0)＝14x 20＋3x 0＋5在区间[－2,2]上单调递增，∴当x 0＝－2时，f (x 0)取最小值为0；当x 0＝2时，f (x 0)取最大值为12，∴PF 1→·P A →的取值范围是[0,12]． (3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，由Δ>0得4k 2＋3>m 2.【点评】本题是以考查解析几何基本问题为主的试题，但平面向量在其中起着关键作用．本题的难点是第三问，即把已知的垂直关系和向量等式转化为AM →·AN →＝0，从而达到使用韦达定理建立直线中参数k ，m 的方程，确定k ，m 的关系，把双参数直线系方程化为单参数直线系方程，实现了证明直线系过定点的目的．【变式探究】已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程为y ＝43x ，右焦点F (5,0)，双曲线的实轴为A 1A 2，P 为双曲线上一点(不同于A 1，A 2)，直线A 1P 、A 2P 分别与直线l ：x ＝95交于M 、N 两点． (1)求双曲线的方程；(2)求证：FM →·FN →为定值．【解答】 (1)依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则 ⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝43，c ＝5，c 2＝a 2＋b 2⇒⎩⎨⎧a ＝3，b ＝4，∴所求双曲线方程为x 29－y 216＝1. (2)A 1(－3,0)、A 2(3,0)、F (5,0)，设P (x ，y )，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫95，y 0，A 1P →＝(x ＋3，y )，A 1M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫245，y 0， ∵A 1、P 、M 三点共线，∴(x ＋3)y 0－245y ＝0， ∴y 0＝24y 5x ＋3，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫95，24y 5x ＋3. 同理得N ⎝⎛⎭⎪⎫95，－6y 5x －3. ∴FM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－165，24y 5x ＋3，FN →＝⎝⎛⎭⎪⎫－165，－6y5x －3， ∴FM →·FN →＝25625－14425·y 2x 2－9. ∵x 29－y 216＝1，∴y 2x 2－9＝169，∴FM →·FN →＝25625－14425·169＝25625－25625＝0，即FM →·FN →＝0为定值．【历届高考真题】【2012年高考试题】1.【2012高考真题重庆理6】设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且c b c a //,⊥，则b a +（A ）5 （B ）10 （C ）25 （D ）102.【2012高考真题浙江理5】设a ，b 是两个非零向量。

2020年高中数学必修4 平面向量平面向量的基本定理及坐标表示同步练习(含答案解析)

2020年高中数学必修4 平面向量平面向量的基本定理及坐标表示同步练习一、选择题1.已知a =(1,2)，b =(-1,1)，c =2a -b ，则|c |=( )A.26 B ．3 2 C.10 D. 62.已知向量a =(1,2)，b =(m ，-1)，若a ∥b ，则实数m 的值为( )A.0.5 B ．-0.5 C ．3 D ．-33.己知P 1(2,－1) 、P 2(0,5) 且点P 在P 1P 2的延长线上,|2|21PP P P =, 则P 点坐标为( )A 、(－2,11)B 、()3,34 C 、(32,3) D 、(2,－7) 4.若向量a r ＝（x+3，x 2－3x －4）与相等，已知A （1，2）和B （3，2），则x 的值为A 、－1B 、－1或4C 、4D 、1或－45.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个顶点的坐标是（）A 、（1，5）或（5，5）B 、（1，5）或（－3，－5）C 、（5，－5）或（－3，－5）D 、（1，5）或（5，－5）或（－3，－5）6.设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=，()θθcos 2,sin 22-+=OP，则向量21P P 长度的最大值是（）A 、2B 、3C 、23D 、7.已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为（）A 、17B 、18C 、19D 、208.若向量a ϖ= (1,1), b ϖ= (1,－1), c ϖ =(－1,2),则 c ϖ等于( )A 、21-a ϖ+23b ϖB 、21a ϖ23-b ϖC 、23a ϖ21-b ϖ D 、23-a ϖ+ 21b ϖ9.已知点A (-1,1)，B (1,2)，C (-2，-1)，D (3,4)，则向量CD ―→在AB ―→方向上的投影是( )A.322 B ．- 322 C ．3 5 D ．- 3 510.在平面直角坐标系xOy 中，已知A(1,0)，B(0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC=π4，|OC ―→|=2，若OC ―→=λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ=( )A ．2 2 B. 2 C ．2 D ．4 211.如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC ―→=λAM ―→＋μBD ―→，则λ＋μ=( )A.43B.53C.158D ．212.若α,β是一组基底,向量γ=x α+y β(x,y ∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α、β下的坐标.现已知向量a 在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a 在基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为( )A.(2,0)B.(0,-2)C.(-2,0) D .(0,2)二、填空题13.已知向量=⊥=-=m m 则若,),,3(),2,1( 、14.已知点A （－1，5），若向量与向量a r ＝（2，3）同向，且＝3a r，则点B 的坐标为15.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa ＋μb(λ，μ∈R)，则μλ=______.16.已知平面向量a=(2,-1),b=(1,1),c=(-5,1).若(a+kb)∥c,则实数k 的值为 .17.已知向量a=(2,3)，b=(-1,2)，若μa+b 与a-2b 平行，则μ等于__________.18.在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →=2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →=(4,3)，PQ →=(1,5)，则BC →=________.三、解答题19.已知点A(－1,2)，B(2,8)及=AB 31，DA =－BA 31，求点C 、D 和的坐标.20.已知a=(1,0),b=(2,1).(1)当k 为何值时,ka-b 与a+2b 共线?(2)若AB =2a+3b,BC =a+mb 且A,B,C 三点共线,求m 的值.21.已知向量a=(2,3),b=(-1,2).（1）求(a-b)(a+2b)；（2）若向量a+λb 与2a-b 平行，求λ的值.22.已知向量a=（1，2），b=（x ，1）.（1）若a//b ，求x 的值；（2）若＜a ，b ＞为锐角，求λ的范围；（3）当（a+2b ）⊥（2a-b ）时，求x 的值.23.已知向量AB →=(4,3)，AD →=(－3，－1)，点A(－1，－2)．(1)求线段BD 的中点M 的坐标；(2)若点P(2，y)满足PB →=λBD →(λ∈R )，求λ与y 的值．24.已知向量a=⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b=⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4．(1)求a·b 及|a ＋b|；(2)若f(x)=a·b－|a ＋b|，求f(x)的最大值和最小值．25.平面上有A(－2,1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC →=12BC →，连接DC ，点E在CD 上，且CE →=14ED →，求E 点的坐标．答案解析1.答案为：B ；解析：因为c =2a -b =2(1,2)-(-1,1)=(3,3)，所以|c |=32＋32=3 2.故选B.2.答案为：B ；解析：由题意，得1×(-1)-2m =0，解得m =-12，故选B.3.A ；4.A ；5.D ；6.C7.C ；8.B ；9.答案为：C ；解析：依题意得，AB ―→=(2,1)，CD ―→=(5,5)，AB ―→·CD ―→=(2,1)·(5,5)=15，|AB ―→|=5，因此向量CD ―→在AB ―→方向上的投影是AB ―→·CD ―→|AB ―→|=155=3 5.10.答案为：A ；解析：因为|OC ―→|=2，∠AOC=π4，所以C(2，2)，又OC ―→=λOA ―→＋μOB ―→，所以(2，2)=λ(1,0)＋μ(0,1)=(λ，μ)，所以λ=μ=2，λ＋μ=2 2. 11.答案为：B ；解析：以点A 为坐标原点，分别以AB ―→，AD ―→的方向为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系．设正方形的边长为2，则A(0,0)，C(2,2)，M(2,1)，B(2,0)，D(0,2)，所以AC ―→=(2,2)，AM ―→=(2,1)，BD ―→=(－2,2)，所以λAM ―→＋μBD ―→=(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为AC ―→=λAM ―→＋μBD ―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－2μ＝2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ=53.故选B.12.答案为：D ；解析：由已知可得a=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4).设a=xm+yn,则(2,4)=x(-1,1)+y(1,2)=(-x+y,x+2y),∴-x+y=2,x+2y=4,解得x=0,y=2.故选D. 13.414.B （5，14）15.答案为：4;解析：以向量a 的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a=(－1,1)，b=(6,2)，c=(－1，－3).由c=λa ＋ μb ，即(－1，－3)=λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ=－1，λ＋2μ=－3，故λ=－2，μ=－0.5，则μλ=4. 16.答案为：21; 解析:由题意知,a+kb=(2,-1)+k(1,1)=(k+2,k-1),由(a+kb)∥c,得-5(k-1)=k+2,解得k=21. 17.答案为：-0.5.18.答案为：(－6,21)；解析：PQ →－PA →=AQ →=(1,5)－(4,3)=(－3,2)，因为点Q 是AC 的中点，所以AQ →=QC →，所以PC →=PQ →＋QC →=(1,5)＋(－3,2)=(－2,7)．因为BP →=2PC →，所以BC →=BP →＋PC →=3PC →=3(－2,7)=(－6,21)． 19.解:20.解:(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1).a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).∵ka-b 与a+2b 共线,∴2(k-2)-(-1)×5=0,即2k-4+5=0,得k=-21. (2)∵A,B,C 三点共线,∴AB =λBC (λ∈R).即2a+3b=λ(a+mb),∴λ=2,m λ=3,∴m=23. 21.解：22.解：23.解：(1)设B(x 1，y 1)，因为AB →=(4,3)，A(－1，－2)，所以(x 1＋1，y 1＋2)=(4,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝4，y 1＋2＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝1，所以B(3,1)．同理可得D(－4，－3)，设BD 的中点M(x 2，y 2)，则x 2=3－42=－12，y 2=1－32=－1，所以M(－12，－1)．(2)由PB →=(3,1)－(2，y)=(1,1－y)，BD →=(－4，－3)－(3,1)=(－7，－4)，又PB →=λBD →(λ∈R )，所以(1,1－y)=λ(－7，－4)=(－7λ，－4λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝－7λ，1－y ＝－4λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－17，y ＝37.24.解：(1)a·b=cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2=cos2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4． ∵a ＋b=⎝⎛⎭⎪⎫cos 3x2＋cos x 2，sin 3x 2－sin x 2，∴|a ＋b|=⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2－sin x 22=2＋2cos2x=2|cosx|． ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴cosx>0，∴|a ＋b|=2cosx ． (2)f(x)=cos2x －2cosx=2cos 2x －2cosx －1=2⎝⎛⎭⎪⎫cosx －122－32．∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴12≤cosx≤1， ∴当cosx=12时，f(x)取得最小值－32；当cosx=1时，f(x)取得最大值－1．25.解：∵AC →=12BC →，∴2AC →=BC →，∴2AC →＋CA →=BC →＋CA →，∴AC →=BA →.设C 点坐标为(x ，y)，则(x ＋2，y －1)=(－3，－3)， ∴x=－5，y=－2，∴C(－5，－2)．∵CE →=14ED →，∴4CE →=ED →，∴4CE →＋4ED →=5ED →，∴4CD →=5ED →.设E 点坐标为(x′，y′)，则4(9，－1)=5(4－x′，－3－y′)．∴⎩⎪⎨⎪⎧20－5x′＝36，－15－5y′＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－165，y′＝－115.∴E 点坐标为(－165，－115)．。

苏教版必修四第二章平面向量第三讲向量的坐标表示2平面向量的坐标运算(习题+解析)

高中平面向量的坐标运算数学（答题时间： 40 分钟）1.以下说法中正确的有 ________。

（1）向量的坐标即此向量终点的坐标；（2）地点不一样的向量其坐标可能同样；（3）一个向量的坐标等于它的起点坐标减去它的终点坐标；（4）相等的向量坐标必定同样。

2.已知 a＝（－ 1， x）与 b＝（－ x，2）共线，且方向同样，则实数x＝ ________。

*3.（连云港高一检测）已知点M（ 3，－ 2）， N（－ 6， 1），且MP＝ 2 PN，则点 P 的坐标为 ________。

*4.设 m＝（ a， b），n ＝（ c， d），规定两向量之间的一个运算为m? n ＝（ ac－ bd，ad＋bc），若已知 p＝（ 1， 2）， p? q＝（－ 4，－ 3），则 q＝ ________。

5.以下说法正确的有 ______________。

（1）存在向量 a 与任何向量都是平行向量；（ 2）假如向量 a＝（ x1 122x1x2；， y ）， b＝（ x， y），且 a∥ b，则y2y1（ 3）假如向量a＝（ x1， y1）， b＝（ x2， y2），且 a∥ b，则 x1y2－ x2y1＝ 0；（ 4）假如向量 a＝（ x1 122x1x2， y）， b＝（ x， y），且，则 a∥ b。

y1y2a6.已知向量 m＝（2，3），n＝（－ 1，2），若 am＋ bn 与 m－ 2n 共线，则等于 ________。

b **7.已知A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），设 AB ＝a， BC ＝b， CA ＝c，且 CM ＝3c， CN ＝－2b，（ 1）求 3a＋ b－ 3c；（ 2）求知足 a＝ mb＋ nc 的实数 m，n；（ 3）求 M， N 的坐标及向量MN 的坐标。

**8.已知O（0，0），A（1，2），B（4，5）及OP＝OA＋t AB，求：（ 1）t 为什么值时， P 在 x 轴上？ P 在 y 轴上？ P 在第二象限？（ 2）四边形 OABP 可否为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不可以，请说明原因。

苏教版数学高一必修4试题平面向量基本定理

2.3.1 平面向量基本定理双基达标限时15分钟1．若e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是________． ①e 1－2e 2和e 1＋2e 2；②e 1与3e 2；③2e 1＋3e 2和－4e 1－6e 2；④e 1＋e 2与e 1.解析 2e 1＋3e 2与－4e 1－6e 2共线不能做为基底．答案 ③2．若a ，b 不共线，且(λ－1)a ＋(μ＋1)b ＝0(λ，μ∈R )，则λ＝________，μ＝________. 解析 λ－1＝0，μ＋1＝0，∴λ＝1，μ＝－1.答案 1 －13．设e 1、e 2是平面内两个向量，则有________．(写出正确的所有序号)①e 1、e 2一定平行；②e 1、e 2的模一定相等；③对于平面内的任意向量a 都有a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )；④若e 1、e 2不共线，则对平面内的任一向量a 都有a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )．答案 ④4．设e 1、e 2是表示平面内所有向量的一组基底，则向量a ＝e 1＋λe 2与向量b ＝－e 1＋2e 2共线的条件是λ＝________.解析由于a ∥b ，因此只需基底对应系数成比例即可，即1－1＝λ2，∴λ＝－2. 答案－25．设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底是________．(写出正确的所有序号)答案 ①③6.如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →、NP →，PM →表示出来．解 MN →＝CN →－CM →＝13CA →－23CB →＝－13AC →－23(AB →－AC →)＝13AC →－23AB →＝13b －23a . 同理可得NP →＝13a －23b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13a ＋13b . 综合提高限时30分钟7．若e 1，e 2是表示平面所有向量的一组基底，且a ＝3e 1－4e 2，b ＝6e 1＋k e 2不能作为一组基底，则k 的值为________．解析当a ∥b 时，a ，b 不能作为一组基底，故存在λ，使得a ＝λb ，即3e 1－4e 2＝λ(6e 1＋k e 2)，∴6λ＝3，且kλ＝－4.解得λ＝12，k ＝－8. 答案－88．如图所示，在△ABC 中，P 为BC 边上的一点，且BP →＝32PC →， (1)用AB →、AC →为基底表示AP →＝________.(2)用AB →、PC →为基底表示AP →＝________.答案 (1)25AB →＋35AC → (2)AB →＋32PC → 9．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，试用m ，n 表示p 的结果是________(其中a ，b 不共线)．解析设p ＝x m ＋y n ，即3a ＋2b ＝2x a －3x b ＋4y a －2y b∴3a ＋2b ＝(2x ＋4y)a ＋(－3x －2y)b由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝3，－3x －2y ＝2得：x ＝－74，y ＝138.∴p ＝－74m ＋138n 答案 p ＝－74m ＋138n 10．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.解析设AB →＝a ，AD →＝b 则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ∴AC →＝23(AE →＋AF →)即λ＝μ＝23∴λ＋μ＝43. 答案 4311．如图在▱ABCD 中，M 、N 分别为DC 、BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c 、d 表示AB →和AD →.解设AB →＝a ，AD →＝b ，则由M 、N 分别为DC 、BC 的中点可得：BN →＝12b ，DM →＝12a . AD →＋DM →＝AM →，即b ＋12a ＝c .① AB →＋BN →＝AN →，即a ＋12b ＝d .② 由①②可得a ＝23(2d －c )，b ＝23(2c －d )，即AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )． 12．若e 1，e 2是不共线向量，且AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.(1)若A 、B 、D 三点共线，求实数k 的值；(2)问A 、B 、C 三点能否共线？解 (1)BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2∵A 、B 、D 共线，故存在实数λ使AB →＝λBD →得⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝λ，k ＝－4λ，得k ＝－8. (2)设实数t 使AB →＝tCB →，则⎩⎪⎨⎪⎧2＝t ，k ＝3t ，故存在k ＝6时，AB →＝2CB →，当k ＝6时，A 、B 、C 三点共线．13．(创新拓展)已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？解假设存在λ，μ使d 与c 共线，即d ＝k c (k ∈R )．∵d ＝λa ＋μb ＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2k c ＝2k e 1－9k e 2∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ， ①3μ－3λ＝－9k. ② 由①②知λ＝－2μ.即只要λ＝－2μ，即能使d 与c 共线．。

高中数学苏教版必修四课下能力提升：(十七) 平面向量基本定理-含答案-新整理

答案：①③
2．解析：由平面向量基本定理得解得
∴x＋y＝1.
答案：1
3．解析：如图所示，
＝＋＝＋＝b－＝b－a.
答案：b－a
4.解析：如图，分别在，上取点E，F，
使＝，＝，
在上取点G，使＝，
则EG∥AC，FG∥AE，
∴＝＋＝，
∴M与G重合，∴＝＝.
答案：
5．解析：如图所示，∵B，G，F三点共线，
∴＝λ＋(1－λ)＝λb＋(1－λ)a.
∵E，G，C三点共线，
∴＝μ＋(1－μ)＝μ a＋(1－μ)(a＋b)．
由平面向量基本定理得，∴
∴＝a＋b.
答案：a＋b
6．解：依题意作图，如图所示．
因为＝，EF∥BC，
所以＝.
所以＝＋＝＋＝－＋(－)
＝－＋＝－a＋b.
四边形ODCE，则＝＋.
7.如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，＝λ＋μ (λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
8．以向量＝a，＝b为邻边作平行四边形OADB，C为AB与OD的交点，＝，＝，以a，b为基底表示.
答案
1．解析：如图所示，与为不共线向量，可以作为基底．与为不共线向量，可以作为基底．与，与均为共线向量，不能作为基底．
高中数学苏教版必修四课下能力提升：（十七）平面向量基本定理-含答案-新整理
一、填空题
1．设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD的交点，有下列向量组：①与；②与；③与；④与.其中可作为这个平行四边形所在平面内其他所有向量的基底的是________．
2．已知向量a和b不共线，实数x，y满足向量等式(2x－y)a＋4b＝5a＋(x－2y)b，则x＋y的值等于________．

苏教数学必修四新素养同步练习：. . 平面向量基本定理应用案巩固提升含解析

[学生用书P106(单独成册)])[A 基础达标]1．若e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是( ) ①λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α中的任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数λ，μ有无数多对；③若λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；④若存在实数λ，μ使λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. A ．①② B ．②③ C ．③④D ．②解析：选B ．由平面向量基本定理，可知①④说法正确，②说法不正确．对于③，当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．故选B ．2．e 1，e 2为基底向量，已知向量AB →＝e 1－k e 2，CB →＝2e 1－e 2，CD →＝3e 1－3e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值是( )A ．2B ．－3C ．－2D ．3解析：选A ．DB →＝CB →－CD →＝－e 1＋2e 2＝－(e 1－2e 2)．又A ，B ，D 三点共线，则DB →和AB →是共线向量，所以k ＝2.3．已知△ABC 的边BC 上有一点D ，满足BD →＝3 DC →，则AD →可表示为( ) A ．AD →＝34AB →＋14AC →B ．AD →＝14AB →＋34AC →C ．AD →＝－2AB →＋3 AC →D ．AD →＝23AB →＋13AC →解析：选B ．由BD →＝3 DC →，得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →.4．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a ，b 的夹角为( ) A ．150° B ．120° C ．60°D ．30°解析：选B ．设向量a ，b 的夹角为θ，作BC →＝a ，CA →＝b ，则c ＝a ＋b ＝BA →(图略)， a ，b 的夹角为180°－∠C ．因为|a |＝|b |＝|c |，所以∠C ＝60°，所以θ＝120°.5．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( ) A ．165B ．125C ．85D ．45解析：选C ．因为CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，所以CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，所以r ＝45，s ＝－45.所以3r ＋s ＝125－45＝85.6．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________．解析：如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又因为AC →＝a ＋b ，所以AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，所以λ＋μ＝43.答案：437．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，N 是AC 上一点且AN →＝3NC →，M 是BC 的中点，若用a ，b 表示MN →，则MN →＝________．解析：如图所示，连结BD 交AC 于O 点，则O 为AC ，BD 的中点，又因为AN →＝3NC →，所以AN ＝3NC ，即N 为OC 的中点，又M 是BC 的中点，所以MN ═∥12BO ，又BD →＝AD →－AB →＝b －a ，所以MN →＝12BO →＝14BD →＝14(b －a )．答案：14(b －a )8.如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于H ，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________．解析：因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1，又M 为AH 的中点，BC ＝3，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12(AB →＋13BC →)＝12AB →＋16BC →，所以λ＋μ＝23. 答案：239．用向量法证明三角形的三条中线交于一点．证明：如图所示，设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的中点，令AC →＝a ，BC →＝b 为基底，则AB →＝a －b ，AD →＝a －12b ，BE →＝－12a ＋b .设AD 与BE 交于点G 1，且AG 1→＝λAD →，BG 1→＝μBE →，则有AG 1→＝λa －λ2b ，BG 1→＝－μ2a ＋μb .又有AG 1→＝AB →＋BG 1→＝⎝⎛⎭⎫1－μ2a ＋(μ－1)b ，所以⎩⎨⎧λ＝1－μ2，－λ2＝μ－1，解得λ＝μ＝23.所以AG 1→＝23AD →.再设AD 与CF 交于点G 2，同理求得AG 2→＝23AD →.所以点G 1、G 2重合，即AD 、BE 、CF 交于一点．所以三角形的三条中线交于一点．10.如图，已知点G 是△ABC 的重心，若PQ 过△ABC 的重心G ，且AB →＝a ，AC →＝b ，AP →＝m a ，AQ →＝n b (m >0，n >0)，试问m ，n 的倒数和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．解：因为AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝12(a ＋b )，所以AG →＝23AD →＝13(a ＋b )，由于P 、G 、Q 三点共线，则PG →∥GQ →⇔PG →＝λGQ →(λ为正实数)，因为PG →＝AG →－AP →＝13(a ＋b )－m a＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ， GQ →＝AQ →－AG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝⎛⎭⎫n －13b ，所以⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎡⎦⎤－13a ＋⎝⎛⎭⎫n －13b ，可得⎝⎛⎭⎫13－m ＋13λa ＋⎝⎛⎭⎫13－λn ＋13λb ＝0，由于a ，b 不共线，则必有13－m ＋13λ＝13－λn ＋13λ＝0，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，所以1m ＋1n＝3为定值．[B 能力提升]1．已知平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，AP →＝yAD →，AQ →＝xAB →，其中x ，y ∈R ，且均不为0.若PQ →∥BE →，则x y＝________．解析：因为PQ →＝AQ →－AP →＝xAB →－yAD →，由PQ →∥BE →，可设PQ →＝λBE →，即xAB →－yAD →＝λ(CE →－CB →)＝λ⎝⎛⎭⎫－12AB →＋AD →＝－λ2AB →＋λAD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12λ，y ＝－λ，则x y ＝12. 答案：122.如图，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．解析：由点D 是圆O 外一点，可设BD →＝λBA →(λ＞1)，则OD →＝OB →＋λBA →＝λOA →＋(1－λ)OB →.又C ，O ，D 三点共线，令OD →＝－μOC →(μ＞1)，则OC →＝－λμ·OA →－1－λμ OB →(λ＞1，μ＞1)，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ，且m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1，0)．答案：(－1，0)3.如图所示，在△ABC 中，点M 是边BC 的中点，点N 在边AC 上，AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP →＝4PM →.证明：记BM →＝e 1，CN →＝e 2，所以AC →＝－3e 2，CM →＝－e 1，则AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1，BN →＝BC →＋CN →＝2e 1＋e 2.因为A ，P ，M 共线，且B ，P ，N 共线，所以存在实数λ，μ，使AP →＝λAM →＝－3λe 2－λe 1；BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2，所以BA →＝BP →＋P A →＝2μe 1＋μe 2＋3λe 2＋λe 1＝(2μ＋λ)e 1＋(μ＋3λ)e 2，又BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解之得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.所以AP →＝45AM →，所以AP ∶PM ＝4∶1，即AP →＝4PM →.4．(选做题)如图，已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面上任意一点，求证：若存在实数p ，q ，r 使得pOA →＋qOB →＋rOC →＝0，且p ＋q ＋r ＝0，则必有p ＝q ＝r ＝0.证明：由题意可得r ＝－(p ＋q )．又因为pOA →＋qOB →＋rOC →＝0，所以pOA →＋qOB →－(p ＋q )OC →＝0，所以p (OA →－OC →)－q (OC →－OB →)＝0，即pCA →－qBC →＝0.所以pCA →＋qCB →＝0＝0·CA →＋0·CB →.由平面向量基本定理可知，其分解是唯一的，所以p ＝0，q ＝0，所以p ＋q ＝0，所以r ＝0.故p＝q＝r＝0.。

苏教版高中数学必修四高考一轮理平面向量基本定理及坐标表示一轮复习限时提分训练基础到提升含答案

平面向量基本定理及坐标表示分层训练A 级基础达标演练 (时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．在▱ABCD 中，若AB →＝(1,3)，AC →＝(2,5)，则AD →＝________，BD →＝________. 解析 AD →＝BC →＝AC →－AB →＝(1,2)，BD →＝AD →－AB →＝(0，－1)．答案 (1,2) (0，－1)2．(2012·揭阳一模)已知a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ＝________. 解析由a －λb ＝(1＋λ，2－λ)与a ＝(1,2)垂直，得1＋λ＋2(2－λ)＝0，解得λ＝5. 答案 53．在△ABC 中，a ，b ，c 为内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(1，3)与n ＝(cos A ，sin A )平行，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B ＝________. 解析由m 与n 平行，得 3cos A －sin A ＝0，所以tan A ＝3，A ＝π3.又由a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，得sin C ＝1，C ＝π2，所以B ＝π6.答案π64．已知A (7,1)、B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2 CB →，则实数a ＝________.解析设C (x ，y )，则AC →＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x,4－y )，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －7＝21－x ，y －1＝24－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.∴C (3,3)．又∵C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ·3，∴a ＝2.答案 25.如图，在四边形ABCD 中，AB ＝2AD ＝1，AC ＝3，且∠CAB ＝π6，∠BAD ＝2π3，设AC →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ＝______.解析建立直角坐标系如图，则由AC →＝λAB ＋μAD →，得(3，0)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，即⎩⎪⎨⎪⎧32λ＝3，－12λ＋12μ＝0，解得λ＝μ＝2，所以λ＋μ＝4. 答案 46．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b . 解析由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b .又因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.答案 23 －13二、解答题(每小题15分，共30分)7．(2012·盐城二模)在△ABC 中，A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(1,2sin A )，n ＝(sin A,1＋cos A )，且满足 m ∥n ，b ＋c ＝3a .(1)求A 的大小；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6的值．解 (1)由m ∥n ，得2sin 2A ＝1＋cos A ，即2cos 2A ＋cos A －1＝0，所以cos A ＝12或cos A ＝－1.因为A 是△ABC 的内角，cos A ＝－1应舍去，所以A ＝π3.(2)b ＋c ＝3a ，由正弦定理，得sin B ＋sin C ＝3sin A ＝32.因为B ＋C ＝2π3，所以sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝32.所以32cos B ＋32sin B ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝32.8.(2012·无锡调研)如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，OP →＝x ·OA →＋y ·OB →. (1)若BP →＝PA →，求x ，y 的值；(2)若BP →＝3PA →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°时，求OP →·AB →的值．解 (1)因为BP →＝PA →，所以BO →＋OP →＝PO →＋OA →，即2OP →＝OB →＋OA →，所以OP →＝12OA →＋12OB →，所以x ＝12，y ＝12.(2)因为BP →＝3PA →，所以BO →＋OP →＝3PO →＋3OA →，即OP →＝34OA →＋14OB →，所以x ＝34，y ＝14.故OP →·AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34OA →＋14OB →·(OB →－OA →)＝14OB →·OB →－34OA →·OA →＋12OA →·OB →＝14×22－34×42＋12×4×2×12＝－9.分层训练B 级创新能力提升1．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为________．解析设D (x ，y )，则由BC →＝2AD →，得(4,3)＝2(x ，y －2)，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝4，2y －2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，722．(2012·深圳调研)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，S 为△ABC 的面积，若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(1，S )满足p ∥q ，则C ＝________.解析由p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(1，S )且p ∥q ，得4S ＝a 2＋b 2－c 2，即2ab cos C ＝4S ＝2ab sin C ，所以tan C ＝1.又0＜C ＜π，所以C ＝π4.答案π43．(2012·青岛模拟)设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)和b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m2＋sin α，其中λ，m ，α为实数．若a ＝2b ，则λm的取值范围是________．解析由a ＝2b ，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝2m ，λ2－cos 2α＝m ＋2sin α.由λ2－m ＝cos 2α＋2sin α＝2－(sin α－1)2，得－2≤λ2－m ≤2，又λ＝2m －2，则－2≤4(m －1)2－m ≤2，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m 2－9m ＋2≤0，4m 2－9m ＋6≥0.解得14≤m ≤2，而λm ＝2m －2m ＝2－2m ，故－6≤λm ≤1.答案 [－6,1]4.(2012·南通调研)如图，在边长为单位长度的正六边形ABCDEF 中，点P 是△CDE 内(包括边界)的动点，设AP →＝αAB →＋βAF →(α，β∈R )，则α＋β的取值范围是________．解析不妨以点A 为原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设P (x ，y )．则(x ，y )＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＋β⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，∴α＋β＝2x ，当点P 在CE 上时，α＋β＝3，当P 在D 点时，α＋β＝4.答案 [3,4]5．已知a ＝k sin θe 1＋(2－cos θ)e 2，b ＝e 1＋e 2，且a ∥b ，e 1，e 2分别是x 轴与y 轴上的单位向量，θ∈(0，π)． (1)求k 与θ的关系式： (2)求k ＝f (θ)的最小值．解 (1)由a ∥b ，得a ＝λb ，即k sin θe 1＋(2－cos θ)·e 2＝λ(e 1＋e 2)．因为e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k sin θ＝λ，2－cos θ＝λ，即k sin θ＝2－cos θ，所以k ＝2－cos θsin θ，θ∈(0，π)．(2)k ＝2－cos θsin θ＝2－⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin 2θ22sin θ2cos θ2＝3sin 2θ2＋cos2θ22sin θ2cosθ2＝1＋3tan 2θ22tan θ2＝32tan θ2＋12tanθ2≥3，当且仅当tan θ2＝33，即θ＝π3时等号成立，所以k 的最小值为 3.6．已知向量v ＝(x ，y )与向量d ＝(y,2y －x )的对应关系用d ＝f (v )表示． (1)设a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，求向量f (a )与f (b )的坐标； (2)求使f (c )＝(p ，q )(p ，q 为常数)的向量c 的坐标；(3)证明：对任意的向量a ，b 及常数m ，n 恒有f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )． (1)解 f (a )＝(1,2×1－1)＝(1,1)，f (b )＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(2)解设c ＝(x ，y )，则由f (c )＝(y,2y －x )＝(p ，q )，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝p ，2y －x ＝q ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p －q ，y ＝p ，所以c ＝(2p －q ，p )．(3)证明设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则m a ＋n b ＝(ma 1＋nb 1，ma 2＋nb 2)，所以f (m a ＋n b )＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1) 又mf (a )＝m (a 2,2a 2－a 1)，nf (b )＝n (b 2,2b 2－b 1)，所以mf (a )＋nf (b )＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1) 故f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b ).。

【高中教育】高中数学 2.3.1平面向量基本定理练习及解析苏教版必修4.doc

2．3 向量的坐标表示2．3.1 平面向量基本定理情景：“神舟”十号宇宙飞船在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度．在力的分解的平行四边形法则中，我们看到一个力可以分解为两个不共线方向的力的和．思考：平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢？1．如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使________．这个定理叫________________．答案：a＝λ1e1＋λ2e2平面向量基本定理2．不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组________．答案：基底3．基底的特征是________、________．答案：两个向量不共线平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．向量的正交分解：一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量的分解．当e1，e2互相垂直时，就称为向量的正交分解．重点诠释：对平面向量基本定理的理解主要体现在以下几个方面：(1)基底不唯一，关键是两基底不共线；(2)由定理可将任一向量a在给出基底e1，e2的条件下进行分解；(3)基底给定时，分解形式唯一；(4)以共线向量为基础，通过把一个向量在其他两个向量上分解，就可以揭示出该定理的本质，由此定理可以得到一个常用结论：若e1，e2不共线，则λ1e1＋λ2e2＝0⇔λ1＝λ2＝0.基础巩固1．e1，e2是平面内的一组基底，则下面四组向量中，不能作为一组基底的是( )A．e1和e1＋e2B．e1－2e2和e2－2e1C．e1－2e2和4e2－2e1 D．e1＋e2和e1－e2答案：C2．下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．其中正确的说法是________(填序号)．答案：②③3．已知向量a，b不共线，且c＝λ1a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1＝________．答案：04．若3x＋4y＝a且2x－3y＝b，其中a，b为已知向量，则x＋y＝________(用a，b表示)．答案：517a＋117b能力升级5．向量OA→，OB→，OC→的终点A、B、C在一条直线上，且AC→＝－3CB→，设OA→＝p，OB→＝q，OC→＝r，则以下等式成立的是( )A．r＝－12p＋32q B．r＝－p＋2qC ．r ＝32p －12q D ．r ＝－q ＋2q解析：由AC →＝－3CB →，得OC →－OA →＝－3(OB →－OC →)，2OC →＝－OA →＋3OB →，OC →＝－12OA→＋32OB →，即r ＝－12p ＋32q . 答案：A6．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么AO →＝________AD→. 解析：由D 为BC 边中点可得：OD →＝12(OB →＋OC →)，又2OA →＋OB →＋OC →＝0，所以2OA →＋2OD →＝0.故AO →＝OD →，从而AO→＝12AD →. 答案：127．在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________．解析：CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，故λ＝23.答案：238．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________．解析：依题意可知M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于点D ，则AM →＝23AD →.①因为AD 为中线，所以AB →＋AC →＝2AD→＝mAM →，即2AD →＝mAM →.②联立①②解得m ＝3. 答案：39．用向量证明三角形的三条边的中线共点．证明：设AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条中线．设AC →＝a ，BC →＝b ，AG →＝23AD →，则AB →＝a －b ，AD →＝a －12b ，BE →＝－12a ＋b .设AD 与BE 交于点G 1，并设AG 1→＝λAD →，BG 1→＝μBE →，则AG 1→＝λa －λ2b ，BG 1→＝－μ2a ＋μb .又因为AG 1→＝AB →＋BG 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－μ2a ＋(μ－1)b . 所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1－μ2，－λ2＝μ－1，解得λ＝μ＝23，即AG 1→＝23AD →. 再设AD 与CF 交于点G 2，同理可得AG 2→＝23AD →，故点G 1与点G 2重合，即AD 、BE 、CF 相交于一点．所以三角形的三条边的中线共点．10．如右下图，在△ABC 中，M 是边AB 的中点，E 是CM 的中点，AE 的延长线交BC 于点F ，MH ∥AF.求证：BH →＝HF →＝FC →.证明：设BH →＝a ，BM →＝b .则BA →＝2b ，MH →＝a －b ，AF →＝2MH →＝2a －2b ，BF →＝AF →＋BA →＝2a －2b ＋2b ＝2a . 所以HF →＝BF →－BH →＝a .因此BH →＝HF →. 同理可证：HF →＝FC →. 因此结论成立．11．如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为60°，OA →与OC →，OB →与OC →的夹角都为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →，求λ＋μ的值．解析：过点C 分别作CN ∥OA ，交射线OB 于点N ，作CM ∥OB ，交射线OA 于点M ，则OC →＝OM →＋ON →＝λOA →＋μOB →.所以OM →＝λOA →，ON →＝μOB →.由已知，|OA →|＝|OB →|＝1，在平行四边形OMCN 中， ∠MOC ＝∠NOC ＝∠NCO ＝30°，所以△NOC 为等腰三角形．所以ON ＝NC ＝OM .所以平行四边形OMCN 为菱形．连接MN 交OC 于点H ，则OC ⊥MN ，且H 为O C 中点．在Rt △OHM 中，cos ∠HOM ＝OH OM ＝12OC OM，即cos 30°＝3OM ＝32，解得OM ＝2，所以ON ＝2.所以λ＝|OM →||OA →|＝2，μ＝|ON →||OB →|＝2.故λ＋μ＝4.12．在一个平面内有不共线的三个定点O 、A 、B ，动点P 关于点A 的对称点为Q ，Q 关于点B 的对称点为R.已知OA →＝a ，OB →＝b ，用a 、b表示PR →.解析：如右图所示．方法一由题意知A 为PQ 的中点，B 为QR 的中点， ∴PR ∥AB 且PR ＝2AB .∴PR →＝2·AB →＝2(OB →－OA →)＝2(b －a )．方法二PR→＝OR→－OP→，在△OQR中，B为QR的中点，∴2OB→＝OR→＋OQ→.∴OR→＝2OB→－OQ→.同理有2OA→＝OP→＋OQ→，∴OP→＝2OA→－OQ→.则PR→＝2OB→－OQ→－(2OA→－OQ→)＝2b－OQ→－2a＋OQ→＝2b－2a.。

苏教版高中数学必修4高一随堂练习及答案：平面向量的基本定理(1)

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作随堂练习：平面向量的基本定理（1）1．若AD 是△ABC 的中线，已知AB ＝a ，AC ＝b ，则AD 等于2．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，若AC ＝a ，BD ＝b ，则AE ＝3．已知▱ABCD 中∠DAB ＝30°，则AD 与CD 的夹角为4．已知向量a ，b 不共线，若AB ＝λ1a ＋b ，AC ＝a ＋λ2b ，且A ，B ，C 三点共线，则关于实数λ1，λ2满足的关系为__________．5．设e 1，e 2是平面内的一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝________a ＋________b .6．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DC AB ＝k ，设AD ＝e 1，AB＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量BC .答案：1.解析：AD ＝12(AB ＋AC )＝12(a ＋b )．答案：12(a ＋b )2.解析：如图，∵AE ＝12(AO ＋AD )，且AO ＝12a ，AD ＝AO ＋OD＝12a ＋12b ，∴AE ＝12(12a ＋12a ＋12b )＝12a ＋14b .答案：12a ＋14b3.解析：如图，AD 与CD 的夹角为∠ADC ＝150°. 答案：150°4.解析：∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ＝k AC (k ≠0)．∴λ1a ＋b ＝k (a ＋λ2b )＝ka ＋kλ2b .又∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝k ，1＝kλ2.∴λ1λ2＝1.答案：λ1λ2＝15.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，解得⎩⎨⎧ e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b .故e 1＋e 2＝⎝⎛⎭⎫13a －23b ＋⎝⎛⎭⎫13a ＋13b＝23a ＋⎝⎛⎭⎫－13b .答案：23 －136.解：如图，因为AB ＝e 2，DC ∥AB 且DCAB ＝k ，所以DC ＝k AB ＝ke 2.因为AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝0，所以BC ＝－AB －CD －DA ＝－AB ＋DC ＋AD ＝e 1＋(k －1)e 2.。

苏教版数学高一必修4练习平面向量基本定理

学业分层测评(十八) 平面向量基本定理(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 的交点，有下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为这个平行四边形所在平面内其他所有向量的基底的是________．【解析】如图所示，AD →与AB →为不共线向量，可以作为基底.CA →与DC →为不共线向量，可以作为基底.DA →与BC →，OD →与OB →均为共线向量，不能作为基底．【答案】 ①③2．已知向量a 和b 不共线，实线x ，y 满足向量等式(2x －y )a ＋4b ＝5a ＋(x －2y )b ，则x ＋y 的值等于________．【解析】由平面向量基本定理得⎩⎨⎧ 2x －y ＝5，4＝x －2y ，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，∴x ＋y ＝1.【答案】 13．(2016·苏州高一检测)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.【解析】 ∵AD →＝2DB →，∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →.又∵CD →＝13CA →＋λCB →，∴λ＝23. 【答案】 234．若e 1，e 2是表示平面所有向量的一组基底，且a ＝3e 1－4e 2，b ＝6e 1＋k e 2不能作为一组基底，则k 的值为________．【解析】易知a ∥b ，故设3e 1－4e 2＝λ(6e 1＋k e 2)， ∴⎩⎨⎧3＝6λ，－4＝kλ，∴k ＝－8. 【答案】－85．如图2-3-7所示，平面内的两条直线OP 1和OP 2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅰ部分，则a ________0，b ________0.(填“＞”或“＜”)图2-3-7【解析】由向量的分解可知，a ＜0，b ＞0. 【答案】＜＞6．设e 1，e 2是不共线向量，e 1＋2e 2与m e 1＋n e 2共线，则nm ＝________. 【解析】由e 1＋2e 2＝λ(m e 1＋n e 2)，得mλ＝1且nλ＝2， ∴nm ＝2. 【答案】 27．(2016·南京高一检测)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.【导学号：06460053】【解析】设BC →＝b ，BA →＝a ，则AF →＝12b －a ， AE →＝b －12a ，AC →＝b －a ，代入AC →＝λAE →＋μAF →，得b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2b －⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μa ，即⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ2＋μ，1＝λ＋μ2，解得λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.【答案】 438．如图2-3-8，在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，三边BC ，CA ，AB 的中点依次为D ，E ，F ，则AD →＋BE →＋CF →＝________.图2-3-8【解析】原式＝12(AB →＋AC →)＋12(BA →＋BC →)＋12(CB →＋CA →)＝0. 【答案】 0 二、解答题9．如图2-3-9，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，G 点使DG →＝13DC →，试以a ，b 为基底表示向量AF →与EG →.图2-3-9【解】 AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →＝a ＋12b . EG →＝EA →＋AD →＋DG → ＝－12AB →＋AD →＋13DC → ＝－12a ＋b ＋13a ＝－16a ＋b .10．设e 1，e 2为两个不共线的向量，a ＝－e 1＋3e 2，b ＝4e 1＋2e 2，c ＝－3e 1＋12e 2，试用b ，c 为基底表示向量a .【解】设a ＝λ1b ＋λ2c ，λ1，λ2∈R ，则－e 1＋3e 2＝λ1(4e 1＋2e 2)＋λ2(－3e 1＋12e 2)，即－e 1＋3e 2＝(4λ1－3λ2)e 1＋(2λ1＋12λ2)e 2， ∴⎩⎨⎧4λ1－3λ2＝－1，2λ1＋12λ2＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－118，λ2＝727，∴a ＝－118b ＋727c .[能力提升]1．如图2-3-10，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.图2-3-10【解析】 ∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC → ＝AB →＋34(AC →－AB →) ＝34AC →＋14AB → ＝34b ＋14a . 【答案】 34b ＋14a2.如图2-3-11，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为________．图2-3-11【解析】设NP →＝λNB →，NP →＝AP →－AN →＝mAB →＋29AC →－14AC →＝mAB →－136AC →， λNB →＝λ(AB →－AN →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－14AC →＝λAB →－λ4AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，－136＝－λ4，∴m ＝λ＝19.【答案】 193．点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足AM →＝34AB →＋14AC →，则△ABM 与△ABC 的面积之比为________．【解析】如图，分别在AB →，AC →上取点E ，F ，使AE →＝34AB →，AF →＝14AC →，在BC →上取点G ，使BG →＝14BC →，则EG ∥AC ，FG ∥AE ， ∴AG →＝AE →＋AF →＝AM →， ∴M 与G 重合，∴S △ABM S △ABC ＝BM BC ＝14. 【答案】 144．如图2-3-12，△ABC 中，D 为BC 的中点，G 为AD 的中点，过点G 任作一直线MN 分别交AB ，AC 于M ，N 两点，若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，试问：1x ＋1y 是否为定值？图2-3-12【解】设AB →＝a ，AC →＝b ，则AM →＝x a ，AN →＝y b ，AG →＝12AD →＝14(AB →＋AC →)＝14(a ＋b )，∴MG →＝AG →－AM →＝14(a ＋b )－x a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x a ＋14b ，MN →＝AN →－AM →＝y b －x a ＝－x a ＋y b .∵MG →与MN →共线，∴存在实数λ，使MG →＝λMN →， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x a ＋14b ＝λ(－x a ＋y b )＝－λx a ＋λy b .∵a 与b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧14－x ＝－λx ，14＝λy ，消去λ，得1x ＋1y ＝4，∴1x ＋1y 为定值.。

苏教版高中数学必修4第2章平面向量全章复习讲义(含答案解析)

【知识梳理】知识点一：向量的有关概念 1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度). 2.向量的表示方法：(1)字母表示法：如,,,a b c r r rL 等.(2)几何表示法：用一条有向线段表示向量.如AB uuu r ，CD uuu r等.(3)坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA u u u r的起点O 为在坐标原点，终点A 坐标为(),x y ，则(),x y 称为OA u u u r 的坐标，记为OA u u u r=(),x y .3.相等向量：长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移，平移前后的向量相等.两向量a r 与b r相等，记为a b =r r .4.零向量：长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个，其方向是任意的. 5.单位向量：长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量. 6.共线向量：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定：0r与任一向量共线.注：共线向量又称为平行向量. 7.相反向量：长度相等且方向相反的向量. 知识点二、向量的运算 1.运算定义运算图形语言符号语言坐标语言加法与减法OA --→+OB --→=OC --→OB --→OA --→-=AB --→记OA --→=(x 1，y 1)，OB --→=(x 2，y 2)则OA OB +uu u r uuu r=(x 1+x 2，y 1+y 2) OB OA -uuu r uu u r=(x 2-x 1，y 2-y 1)OA --→+AB --→=OB --→实数与向量的乘积AB a λ--→→=R λ∈记a →=(x ，y) 则()a x y λλλ→=，两个向量的数量积cos ,a b a b a b ⋅=⋅r r r r r r记1122(,),(,)a x y b x y ==r r则a b →→⋅=x 1x 2+y 1y 22.运算律坐标语言：设非零向量()()1122,,,a b x y x y ==r r，则⇔⊥→→b a 02121=+y y x x(4)两个向量数量积的重要性质：①22||→→=a a 即 2||→→=a a (求线段的长度)；②(垂直的判断)；③cos a ba bθ⋅=⋅r r r r (求角度).注：1. 向量的线性运算(1)在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明；(2)向量的加法表示两个向量可以合成，利用它可以解决有关平面几何中的问题，减法的三角形法则应记住：连接两端(两向量的终点)，指向被减(箭头指向被减数).记清法则是灵活运用的前提. 2. 共线向量与三点共线问题向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的.通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题. (1)用向量证明几何问题的一般思路：先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来证明. (2)向量在几何中的应用：①证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件)0(//→→→→→→≠=⇔b b a b a λ⇔(x 1，y 1)=λ(x 2，y 2)②证明垂直问题，常用垂直的充要条件⇔02121=+y y x x③求夹角问题，利用cos a ba bθ⋅=⋅r r r r⇔⊥→→b a 0=⋅→→b a ⇔⊥→→b a 0=⋅→→b a 222221212121y x y x y y x x +++=222222222(3)(75)0,(4)(72)0.716150730802,112cos .602a b a b a b a b a a b b a a b b a b b a b b a b a b bθθ+-=--=+-=-+===∴===∴=or r r r r r r rg g r r r r g r r r r g r r r r r g r r r g r r r g 由已知：即两式相减，得代入其中任一式，得，例10.已知向量(cos(),sin()),(cos(),sin())22a b ππθθθθ=--=--r r ，（1）求证：a b ⊥r r ;（2）若存在不等于0的实数k 和t ，使2(3),,x a t b y ka tb =++=-+r r r u r r r 满足x y ⊥r u r 试求此时2k t t+的最小值。

苏教版数学必修四同步练习：2.5 向量的应用巩固提升

[学生用书P113(单独成册)])[A 基础达标]1．已知平面内四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且a ＋c ＝b ＋d ，则四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形解析：选D ．由题意知a －b ＝d －c ，所以BA →＝CD →，所以四边形ABCD 为平行四边形．故选D ．2．如果一架飞机先向东飞行200 km ，再向南飞行300 km ，设飞机飞行的路程为s km ，位移为a km ，则( )A ．s >|a |B ．s <|a |C ．s ＝|a |D ．s 与|a |不能比较大小解析：选A ．物理量中的路程是数量，位移是向量，从而s ＝500，由位移的合成易得|a |<500，故s >|a |.3．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3的作用而处于平衡状态．已知F 1与F 2的夹角为60°，且F 1，F 2的大小分别为2 N 和4 N ，则F 3的大小为( )A ．6 NB ．2 NC ．2 5 ND ．27 N解析：选D ．由向量的平行四边形法则及力的平衡，得|F 3|2＝|－F 1－F 2|2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1|·|F 2|·cos 60°＝22＋42＋2×2×4×12＝28，所以|F 3|＝27 N.4．在△ABC 中，AB ＝3，AC 边上的中线BD ＝5，AC →·AB →＝5，则AC 的长为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ．因为BD →＝AD →－AB →＝12AC →－AB →，所以BD →2＝⎝⎛⎭⎫12AC →－AB →2＝14AC →2－AC →·AB →＋AB →2，即14AC →2＝1，所以|AC →|＝2，即AC ＝2. 5．在△ABC 中，有下列四个命题：①AB →－AC →＝BC →； ②AB →＋BC →＋CA →＝0；③若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形； ④若AC →·AB →>0，则△ABC 为锐角三角形．其中正确的命题有( ) A ．①② B ．①④ C ．②③D ．②③④解析：选C ．因为AB →－AC →＝CB →＝－BC →≠BC →，所以①错误.AB →＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝AC →－AC →＝0，所以②正确．由(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2＝0，得|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 为等腰三角形，③正确.AC →·AB →>0⇒cos A >0，所以A 为锐角，但不能确定B ，C 的大小，所以不能判定△ABC 是否为锐角三角形，所以④错误．故选C ．6．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上两点，且|AB |＝5，则AC →·CB →＝________．解析：由已知得△ABC 为正三角形，向量AC →与CB →的夹角为120°. 所以AC →·CB →＝5·5cos 120°＝－52.答案：－527．点P 在平面上做匀速直线运动，速度v ＝(4，－3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位)．设开始时点P 0的坐标为(－10，10)，则5秒后点P 的坐标为________．解析：由题意知，P 0P →＝5v ＝(20，－15)，设点P 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋10＝20，y －10＝－15，解得点P 的坐标为(10，－5)．答案：(10，－5)8．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．解析：如图，向量α与β在单位圆O 内，其中因|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，故以向量α，β为边的三角形的面积为14，故β的终点在如图的线段AB ⎝⎛α∥AB →且圆心O 到AB 的距离为⎭⎫12上，因此夹角θ取值范围为⎣⎡⎦⎤π6，5π6.答案：⎣⎡⎦⎤π6，5π69．如图，已知直角梯形ABCD ，AD ⊥AB ，AB ＝2AD ＝2CD ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，M 为CE 的中点，用向量的方法证明：(1)DE ∥BC ；(2)D ，M ，B 三点共线．证明：以E 为原点，AB 所在直线为x 轴，EC 所在直线为y 轴建立直角坐标系．令|AD →|＝1，则|DC →|＝1，|AB →|＝2.因为CE ⊥AB ，而AD ＝DC ，所以四边形AECD 为正方形．所以可求得各点坐标分别为E (0，0)，B (1，0)， C (0，1)，D (－1，1)，A (－1，0)． (1)因为ED →＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)， BC →＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，所以ED →＝BC →，所以ED →∥BC →，即DE ∥BC ．(2)连接MD ，MB ，因为M 为EC 的中点，所以 M ⎝⎛⎭⎫0，12，所以MD →＝(－1，1)－⎝⎛⎭⎫0，12 ＝⎝⎛⎭⎫－1，12，MB →＝(1，0)－⎝⎛⎭⎫0，12＝⎝⎛⎭⎫1，－12. 因为MD →＝－MB →，所以MD →∥MB →. 又MD 与MB 有公共点M ，所以D ，M ，B 三点共线．10．已知点P (－3，0)，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足P A →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．解：设点M (x ，y )为轨迹上的任一点，设A (0，b )，Q (a ，0)(a >0)，则AM →＝(x ，y －b )，MQ →＝(a －x ，－y )，因为AM →＝－32MQ →，所以(x ，y －b )＝－32(a －x ，－y )，所以a ＝x 3，b ＝－y2，即A ⎝⎛⎭⎫0，－y 2，Q ⎝⎛⎭⎫x3，0， P A →＝⎝⎛⎭⎫3，－y 2，AM →＝⎝⎛⎭⎫x ，32y ，因为P A →·AM →＝0，所以3x －34y 2＝0，即所求轨迹方程为y 2＝4x (x >0)．[B 能力提升]1．已知P 为△ABC 所在平面内一点，且满足AP →＝15AC →＋25AB →，则△APB 的面积与△APC的面积之比为________．解析：5AP →＝AC →＋2AB →， 2AP →－2AB →＝AC →－AP →－2AP →，－2(P A →＋PB →)＝PC →，如图所示，以P A ，PB 为邻边作▱P AEB ，则C ，P ，E 三点共线，连接PE 交AB 于点O ，则PC →＝2EP →＝4OP →，所以S △APB S △APC ＝2S △APO S △APC ＝2|OP ||PC |＝12.答案：1∶22．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝12DC．求：(1)AD的长；(2)∠DAC的大小．解：(1)设AB→＝a，AC→＝b，则AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋13BC→＝AB→＋13(AC→－AB→)＝23AB→＋13AC→＝23a＋13b.所以|AD→|2＝AD→2＝⎝⎛⎭⎫23a＋13b2＝49a2＋2×29a·b＋19b2＝49×9＋2×29×3×3×cos 120°＋19×9＝3.故AD＝ 3.(2)设∠DAC＝θ，则θ为向量AD→与AC→的夹角．因为cos θ＝AD→·AC→|AD→||AC→|＝⎝⎛⎭⎫23a＋13b·b3×3＝13b2＋23a·b33＝13×9＋23×3×3×⎝⎛⎭⎫－1233＝0，所以θ＝90°，即∠DAC＝90°.3.(选做题)如图，在直角三角形ABC中，已知BC＝a，若长为2a的线段PQ以A为中点，问PQ→与BC→的夹角θ取何值时，BP→·CQ→的值最大，并求出这个最大值．解：以直角顶点为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，设AB＝c，AC＝b，则A(0，0)，B(c，0)，C(0，b)，且PQ ＝2a ，BC ＝a .设点P (x ，y )，则 Q (－x ，－y )，所以BP →＝(x －c ，y )，CQ →＝(－x ，－y －b )，BC →＝(－c ，b )， PQ →＝(－2x ，－2y )，所以BP →·CQ →＝－x (x －c )＋y (－y －b )＝－(x 2＋y 2)＋cx －by . 所以cos θ＝PQ →·BC →|PQ →||BC →|＝cx －bya 2，所以cx －by ＝a 2cos θ，所以BP →·CQ →＝－a 2＋a 2cos θ，故当cos θ＝1，即θ＝0(BC →与PQ →的方向相同)时，BP →·CQ →最大，其最大值为0.由Ruize收集整理。

苏教版必修4高中数学2.3.1《平面向量基本定理》同步训练

2.3 向量的坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理一、填空题1．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是________． ①e 1－e 2，e 2－e 1 ②2e 1＋e 2，e 1＋2e 2 ③2e 2－3e 1,6e 1－4e 2 ④e 1＋e 2，e 1－e 22．下面三种说法中，正确的是________．①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量． 3．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________.4．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则OP →＝________.5．M 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为三边BC ，AB ，AC 的中点，则MA →＋MB →＋MC →＝________.6．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________.7. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.8．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF FD ＝15，连结CF 并延长交AB 于E ，则AE EB＝________.二、解答题9. 如图，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，G 点使DG →＝13DC →，试以a ，b 为基底表示向量AF →与EG →.10．如图，▱OACB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，BD ＝13BC ，OD 与BA 相交于E .求证：BE ＝14BA .11. 如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1.三、探究与拓展12. 如图，△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AG GD 及BGGE的值．答案1．②④ 2.②③ 3.－74m ＋138n 4.11＋λa ＋λ1＋λb5．0 6.23b ＋13c 7.43 8.1109．解 AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →＝a ＋12b .EG →＝EA →＋AD →＋DG →＝－12AB →＋AD →＋13DC →＝－12a ＋b ＋13a ＝－16a ＋b .10．证明设BE →＝λBA →.则OE →＝OB →＋BE →＝OB →＋λBA → ＝OB →＋λ(OA →－OB →)＝λOA →＋(1－λ)OB →＝λa ＋(1－λ)b . OD →＝OB →＋BD →＝13a ＋b .∵O 、E 、D 三点共线，∴OE →与OD →共线， ∴λ13＝1－λ1，∴λ＝14.即BE ＝14BA . 11．证明设AB →＝b ，AC →＝c ，则AM →＝12b ＋12c ，AN →＝23AC →，BN →＝BA →＋AN →＝23c －b .∵AP →∥AM →，BP →∥BN →，∴存在λ，μ∈R ，使得AP →＝λAM →， BP →＝μBN →，又∵AP →＋PB →＝AB →，∴λAM →－μBN →＝AB →，∴由λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c －μ⎝ ⎛⎭⎪⎫23c －b ＝b 得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μb ＋⎝⎛⎭⎪⎫12λ－23μc ＝b . 又∵b 与c 不共线． ∴⎩⎪⎨⎪⎧12λ＋μ＝1，12λ－23μ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.故AP →＝45AM →，即AP ∶PM ＝4∶1.12．解设AG GD ＝λ，BG GE＝μ.∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)．又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)，∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ2 1＋λ AB →＋λ2 1＋λ AC →.又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)，∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →.又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ3 1＋μ AC →.∵AB →，AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ2 1＋λ ＝11＋μ，λ2 1＋λ ＝2μ3 1＋μ .解之，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝32.∴AG GD ＝4，BG GE ＝32.。

2019-2020学年高中数学苏教版必修四课下能力提升：(十七) 平面向量基本定理 Word版含答案

课下能力提升(十七) 平面向量基本定理一、填空题1．设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 的交点，有下列向量组：①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB .其中可作为这个平行四边形所在平面内其他所有向量的基底的是________．2．已知向量a 和b 不共线，实数x ，y 满足向量等式(2x －y )a ＋4b ＝5a ＋(x －2y )b ，则x ＋y 的值等于________．3．已知▱ABCD 中，BP ＝23BC ，若AB ＝a ，BC ＝b ，则PD ＝________. 4．点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足AM ＝34AB ＋14AC ，则△ABM 与△ABC 的面积之比为________．5．在平行四边形ABCD 中，AE ＝13AB ，AF ＝14AD ，CE 与BF 相交于G 点．若AB ＝a ，AD ＝b ，则AG ＝________(用a ，b 表示)．二、解答题6．△ABC 中，AE ＝15AB ，EF ∥BC ，交AC 于点F .设AB ＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 表示BF .7.如图，平面内有三个向量OA ，OB ，OC ，其中OA 与OB 的夹角为120°，OA与OC 的夹角为30°，且|OA |＝|OB |＝1，|OC |＝23，OC ＝λOA ＋μOB (λ，μ∈R )，求λ＋μ的值．8．以向量OA ＝a ，OB ＝b 为邻边作平行四边形OADB ，C 为AB 与OD 的交点，BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，以a ，b 为基底表示MN .答案1．解析：如图所示，AD 与AB 为不共线向量，可以作为基底．CA 与DC 为不共线向量，可以作为基底．DA 与BC ，OD 与OB 均为共线向量，不能作为基底．答案：①③2．解析：由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝5，4＝x －2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1. ∴x ＋y ＝1. 答案：1 3．解析：如图所示， PD ＝PC ＋CD ＝13BC ＋CD ＝13b －AB ＝13b －a .答案：13b －a4.解析：如图，分别在AB ，AC 上取点E ，F ，使AE ＝34AB ，AF ＝14AC ，在BC 上取点G ，使BG ＝14BC ，则EG ∥AC ，FG ∥AE ，∴AG ＝AE ＋AF ＝AM ，∴M 与G 重合，∴S△ABM S△ABC ＝BM BC ＝14. 答案：145．解析：如图所示，∵B ，G ，F 三点共线，∴AG ＝λAF ＋(1－λ)AB ＝14λb ＋(1－λ)a . ∵E ，G ，C 三点共线，∴AG ＝μAE ＋(1－μ)AC ＝13μ a ＋(1－μ)(a ＋b )．由平面向量基本定理得，⎩⎪⎨⎪⎧ λ4＝1－μ，1－λ＝1－23μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝47，μ＝67，∴AG ＝37a ＋17b . 答案：37a ＋17b 6．解：依题意作图，如图所示．因为AE ＝15AB ，EF ∥BC ，所以EF ＝15BC . 所以BF ＝BE ＋EF ＝BE ＋15BC ＝－45AB ＋15(AC －AB )＝－AB ＋15AC ＝－a ＋15b . ODCE ，则OC ＝7.解：如图，以OA ，OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形OD ＋OE .在Rt △OCD 中，∵|OC |＝23，∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°，∴|OD |＝4，|CD |＝2，故OD ＝4OA ，OE ＝2 OB ，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.8．解：如图所示，CD ＝12OD ＝12(a ＋b )， CN ＝13CD ＝13×12(a ＋b )＝16(a ＋b )， BC ＝12BA ＝12(a －b )，MC ＝23BC ＝13(a －b )，在△MNC 中，MN ＝MC ＋CN ＝13(a －b )＋16(a ＋b )＝12a －16b .。

高中数学必修4平面向量的基本定理及坐标表示_基础知识点巩固练习

目录平面向量的基本定理及坐标表示 (1)【学习目标】 (1)【要点梳理】 (1)【典型例题】 (3)【巩固练习】 (9)平面向量的基本定理及坐标表示编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.【要点梳理】要点一：平面向量基本定理1．平面向量基本定理如果12,e e 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+，称1122e e λλ+为12,e e 的线性组合.①其中12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的基底；②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量12,e e 的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.这说明如果1122a e e λλ=+且''1122a e e λλ=+，那么1122λλλλ''=,=.③当基底12,e e 是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.要点诠释：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量.2．如何使用平面向量基本定理平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不供线的向量的线性组合．（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的．（2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量1e 、 2e ，平面上的任何一个向量a 都可以用1e 、 2e 唯一表示为a =1λ1e +2λ2e ，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有1e 、 2e 的代数运算．要点二：向量的夹角已知两个非零向量a 与b ，在平面上任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则00(0180)AOB θθ∠=≤≤叫做a 与b 的夹角，记为〈a ，b 〉．当向量a 与b 不共线时，a 与b 的夹角()000,180θ∈；当向量a 与b共线时，若同向，则00θ=；若反向，则0180θ=，综上可知向量a 与b 的夹角000,180θ⎡⎤∈⎣⎦．当向量a 与b 的夹角是90，就说a 与b 垂直，记作a ⊥b ．要点诠释：（1）向量夹角是指非零向量的夹角，零向量与任何向量不能谈夹角问题．（2）向量a ⊥b 是两向量夹角的特殊情况，可以理解为两向量所在直线互相垂直．要点三：平面向量的坐标表示1．正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．要点诠释：如果基底的两个基向量1e 、2e 互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．2．平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于平面上的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数,x y ，使得a =x i +y j .这样，平面内的任一向量a 都可由,x y 唯一确定，我们把有序数对(,)x y 叫做向量a 的（直角）坐标，记作a =(,)x y ，x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标．把a =(,)x y 叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系．要点诠释：（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即12a b x x =⇔=且12y y =，其中1122(,),(,)a x y b x y ==．（2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若(2,3)A ，(5,8)B ，则(3,5)AB =；若(4,3)C -，(1,8)D -，则(3,5)CD =，AB CD =，显然A 、B 、C 、D 四点坐标各不相同．（3）(,)x y 在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．要点四：平面向量的坐标运算2在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．要点五：平面向量平行(共线)的坐标表示1．平面向量平行(共线)的坐标表示设非零向量()()1122,,,a b x y x y ==，则a →∥b →⇔(x 1，y 1)=λ(x 2，y 2)，即1212x x y y λλ=⎧⎨=⎩，或x 1y 2-x 2y 1=0. 要点诠释：若()()1122,,,a b x y x y ==，则a →∥b →不能表示成,2121y y x x =因为分母有可能为0. 2.三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y AB --→=(x 2-x 1，y 2-y 1)，AC --→=(x 3-x 1，y 3-y 1)，若21313121()()()()0,x x y y x x y y -----=则A ，B ，C 三点共线.【典型例题】类型一：平面向量基本定理例1．如果1e 、2e 是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（）①12e e λμ+(,R)λμ∈可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数对(,)λμ有无穷多个；③若向量1112e e λμ+与2122e e λμ+共线，则有且只有一个实数λ，使得11122122()e e e e λμλλμ+=+；④若实数λ，μ使得120e e λμ+=，则0λμ==．A ．①②B ．②③C ．③④D ．②【思路点拨】考查平面向量基本定理．【答案】 B【解析】由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当向量1112e e λμ+与2122e e λμ+均为零向量，即12120λλμμ====时，满足条件的实数λ有无数个．故选B ．【总结升华】考查两个向量能否构成基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示．例2．如图所示，四边形OADB 是以向量OA a =，OB b =为邻边的平行四边形，C 为对角线的交点．又13BM BC =，13CN CD =，试用a ，b 表示OM ，ON ．【解析】由题意，得OB BA OA +=，所以BA a b =-，则1()2BC a b =-，11()36BM BC a b ==-， 115()666OM OB BM b a b a b =+=+-=+． 144122()333233ON OC CN OC CD OC a b a b =+=+==⨯+=+．【总结升华】用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平面四边形法则结合实数与向量的积的定义，解题时要注意解题途径的优化与组合．举一反三：【高清课堂：平面向量基本定理及坐标运算394885 例1】【变式1】如图，在ABC ∆中，:1:2OA a OB b BE EA ===，，，F 是OA 中点，线段OE 与BF 交于点G ，试用基底,a b 表示：（1）OE ；（2）BF ；（3）OG .【解析】（1）OE OB BE =+ =13b BA +=1()3b OA OB +- =1()3b a b +- =1233a b + （2）BF OF OB =-=1122OA b a b -=- （3）在OAE ∆中，取13MN BA = //FM OE ∴1||||2FM OE ∴= 同理：//GE FM1||||2GE FM =∴G 是BF 的中点1()2OG OB OF ∴=+ =111222b a +⋅=1142a b + 类型二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题例3．设两个非零向量1e 和2e 不共线．（1）如果12AB e e =-，1232BC e e =+，1282CD e e =--，求证：A 、C 、D 三点共线；（2）如果12AB e e =+，1223BC e e =-，122CD e ke =-，且A 、B 、C 三点共线，求k 的值．【思路点拨】向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想．【解析】（1）证明：12AB e e =-，1232BC e e =+，1282CD e e =--，1212114(82)22AC AB BC e e e e CD =+=+=---=-， ∴AC 与CD 共线．又∵AC 与CD 有公共点，∴A 、C 、D 三点共线．（2）121212()(23)32AC AB BC e e e e e e =+=++-=-，∵A 、C 、D 三点共线，∴AC 与CD 共线，从而存在实数λ使得AC CD λ=，即31e ―22e =λ(21e ―k 2e )，由平面向量的基本定理，得322kλλ=⎧⎨-=-⎩，解之得32λ=，43k =．【总结升华】证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．举一反三：【变式1】设1e ，2e 是平面内的一组基底，如果124AB e e =-，12BC e e =+，1269CD e e =-，求证：A ，C ，D 三点共线．【解析】因为1212121(4)()233AC AB BC e e e e e e CD =+=-++=-=，所以AC 与CD 共线．类型三：平面向量的正交分解例4．如下图，分别用基底i ，j 表示向量a 、b 、c ，并求出它们的坐标．【解析】由图可知23a OA OB i j =+=-+，∴a =（―2，3）．同理可知b =3i +4j =（3，4）． c =4i ―4j =（4，―5）．举一反三：【变式1】已知O 是坐标原点，点M 在第二象限，||63OM =，∠xOM=120°，求OM 的坐标．【解析】设M （x ，y ），则63cos 6033x =-︒=-．63sin 609y =︒=，即(33,0)M -，所以(33,9)OM =-．【总结升华】向量的坐标表示是向量的另一种表示方法，对此要从两个方面加深理解：一是相等向量的坐标相同；二是当向量的起点在原点时，终点坐标即为向量的坐标．类型四：平面向量的坐标运算例5．已知(2,4),(3,1),(3,4)A B C ----，且3,2,CM CA CN CB ==求M 、N 及MN 的坐标.【思路点拨】根据题意可设出点M 、N 的坐标，然后利用已知的两个关系式，列方程组，求出坐标.【解析】(2,4),(3,1),(3,4)A B C ----(1,8),(6,3).3(3,24),2(12,6).CA CB CM CA CN CB ∴==∴==== 设(,)M x y ，则(3,4)(3,24),CM x y =++=33,0,,(0,20).424,20x x M y y +==⎧⎧∴∴∴⎨⎨+==⎩⎩同理可求(9,2)N ，因此(9,18).MN =-(0,20),(9,2),(9,18).M N MN ∴=-【总结升华】向量的坐标是向量的另一种表示形式，它只与起点、终点、相对位置有关，三者中给出任意两个，可求第三个.在求解时，应将向量坐标看做一“整体”，运用方程的思想求解.向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算，必须熟练掌握.举一反三：【变式1】已知点)8,2(),2,1(B A -以及11,,33AC AB DA BA ==-求点C ，D 的坐标和CD 的坐标. 【解析】设点C 、D 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，由题意得1122(1,2),(3,6),(1,2),(3,6).AC x y AB DA x y BA =+-==---=--因为11,,33AC AB DA BA ==-，所以有1111,22x y +=⎧⎨-=⎩和2211,22x y --=⎧⎨-=⎩，解得110,4x y =⎧⎨=⎩和222,0x y =-⎧⎨=⎩ 所以点C 、D 的坐标分别是(0，4)，(-2，0)，从而(2,4).CD =--类型五：平面向量平行的坐标表示例6．如图所示，在平行四边形ABCD 中，A （0，0）、B （3，1）、C （4，3）、D（1，2），M 、N 分别为DC 、AB 的中点，求AM 、CN 的坐标，并判断AM 、CN是否共线．【解析】已知A （0，0）、B （3，1）、C （4，3）、D （1，2），又M 、N 分别为DC 、AB 的中点，∴由中点坐标公式可得M （2.5，2.5），N （1.5，0.5），∴(2.5,2.5)AM =，( 2.5, 2.5)CN =--，其坐标满足2.5×(―2.5)―2.5×(－2.5)=0，∴AM 、CN 共线．【总结升华】求出两向量的坐标，验证x 1y 2－x 2y 1=0即可．举一反三：【变式1】向量(,12)PA k =，(4,5)PB =，(10,)PC k =，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？【解析】 (,12)(4,5)(4,7)BA PA PB k k =-=-=-，(,12)(10,)(10,12)CA PA PC k k k k =-=-=--．∵A 、B 、C 三点共线，∴//BA CA ，即(k ―4)(12―k)―(k ―10)×7=0．整理，得k 2―9k ―22=0．解得k 1=―2或k 2=11．∴当k=―2或11时，A 、B 、C 三点共线．【总结升华】以上方法是用了A 、B 、C 三点共线即公共点的两个向量BA ，CA 共线，本题还可以利用A 、B 、C 三点共线6(1)11PB PA k λλλ=-⎧⇔=+-⇔⎨=⎩或122k λ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，即得k=―2或11时，A 、B 、C 三点共线．【变式2】已知向量a =（1，2），b =（1，0），c =（3，4）．若λ为实数，（a +λb ）∥c ，则λ=（）A ．14B ．12C ．1D ．2 【答案】B【高清课堂：平面向量基本定理及坐标运算394885 例4】例7．如图，已知点A （4，0），B （4，4），C （2，6），求AC 与OB 的交点P 的坐标．【解析】方法一：由O 、P 、B 三点共线，可设(4,4)OP OB λλλ==，则(44,4)AP OP OA λλ=-=-．(2,6)AC OC OA =-=-，由AP 与AC 共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)=0，解得34λ=，所以3(3,3)4OP OB ==．所以P 点坐标为（3，3）．方法二：设P （x ，y ），则(,)OP x y =，因为(4,4)OB =，且OP 与OB 共线，所以44x y =，即x=y ．又(4,)AP x y =-，(2,6)AC =-，且AP 与AC 共线，则得(x －4)×6－y ×(－2)=0，解得x=y=3，所以P 点坐标为（3，3）．【总结升华】（1）平面向量的坐标表示，使向量问题完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样很多几何问题的证明，就转化为熟悉的数量运算．（2）要注意把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有当始点在原点时，向量坐标才与终点坐标相等．举一反三：【变式1】如图，已知ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（―2，1）、（―1，3）、（3，4），试求顶点D 的坐标．【解析】设顶点D 的坐标为（x ，y ）．∵(1(2),31)(1,2)AB =----=，(3,4)DC x y =--．由AB DC =，得（1，2）=（3―x ，4―y ）．∴1324x y =-⎧⎨=-⎩，∴22x y =⎧⎨=⎩．∴顶点D 的坐标为（2，2）．【巩固练习】1．设1e 、2e 是同一平面内的两个向量，则有（）A ．1e 、2e 一定平行B ．1e 、2e 的模相等C ．对一平面内的任一向量a ，都有a =λ1e +μ2e （λ、μ∈R ）D ．若1e 、2e 不共线，则对同一平面内的任一向量a ，都有a =λ1e +μ2e （λ、μ∈R ） 2．已知四边形ABCD 的三个顶点(0,2)A ，(1,2),(3,1)B C --，且2BC AD =，则顶点D 的坐标为（）A ．7(2,)2B ． 1(2,)2-C ．（3，2）D ．（1，3） 3.已知向量()()()1,2,2,3,3,4,a b c ===且12c a b λλ=+.则1λ，2λ的值分别为( )A. –2，1B.1，-2C.2，-1D.-1，24．已知向量a ，b 不共线，且4AB a b =+，9BC a b =-+，3CD a b =-，则一定共线的是（）A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D5．已知向量a =（3，2），b =（x ，4），且a ∥b ，则x 的值是（）A ．―6B ．6C ．83D ．83- 6．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =，(1,3)AC =，则BD 等于（）A ．（―2，―4）B ．（―3，―5）C ．（3，5）D ．（2，4）7．已知向量a 、b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向8．设点A （2，3），B （5，4）C （7，10），若()AP AB AC R λλ=+∈，若点P 在第三象限，则λ的取值范围是（）A ． 0λ<B ．1λ<-C ．1λ>D ．2λ>9．如图在正方形ABCD 中，设AB a =，AD b =，BD c =，则在以a ，b 为基底时，AC 可表示为________，在以a ，c 为基底时，AC 可表示为________．10.若M(1，0)，N(0，1)，P(2，1)，Q(1， y)，且MN PQ =，则y 的值为_______ .11.(2,3),2,(3,0)AB CD AB C ==，则点D 的坐标是__________.12．已知a =―1e +32e ，b =41e +22e ，c =―31e +122e ，若用b 与c 表示a ，则应有a =________．13．如图所示，在ABCD 中，M 、N 分别是DC 、BC 的中点，已知AM c =，AN d =，试用c 、d 表示AB 与AD ．14．已知a =（1，2），b =（―3，2），当k 为何值时，k a +b 与a ―3b 平行？平行时它们是同向还是反向？15．已知点(0,0),(1,4),(4,2)O A B -，线段AB 的三等分点,C D （点C 靠近A ）．（1）求点C ，D 的坐标；（2）若点E 相对点B 的位置向量为2OC OD +，求点E 的坐标．【答案与解析】1．【答案】D【解析】 1e 、2e 是任意向量，A 、B 、C 都不一定成立，只有1e 、2e 不共线，由平面向量基本定理知，D 正确．2．【答案】A3. 【答案】D4．【答案】A【解析】282(4)2BD BC CD a b a b AB =+=+=+=，故A 、B 、D 共线． 5．【答案】B【解析】由a ∥b ⇒3×4=2x ，∴x=6．6．【答案】B【解析】设AC 与BD 交于O 点，则2BD BO =，而12BO AC AB =-， ∴22(1,3)(4,8)(3,5)Bd BO AC AB ==-=-=--． 7．【答案】D【解析】不妨设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)．依题意d ＝a －b ＝(1，－1)，又c ＝k a ＋b ＝(k,1)，∵c ∥d ，∴12－(－1)·k ＝0，∴k ＝－1，又k ＝－1时，c ＝(－1,1)＝－d ，∴c 与d 反向． 8．【答案】B9．【答案】a +b 2a +c【解析】以d ，c 为基底时将BD 平移，使B 与A 重合，再由三角形法则或平面四边形法则即得．10. 【答案】2【解析】(01,10)(12,1)112MN PQ y y y =∴--=--∴-=∴=11. 【答案】(7，6)【解析】(2,3),2(4,6)AB CD AB ===，而C(3，0)，设D 点的坐标为(x ，y)，则⎩⎨⎧⎩⎨⎧==∴=-=-676043y x y x 12．【答案】171827b c -+ 【解析】设a b c λμ=+，则1212123(42)(312)e e e e e e λμ-+=++-+12(43)(212)e e λμλμ=-++，故12(431)(2123)0e e λμλμ-+++-=．∴431021230λμλμ-+=⎧⎨+-=⎩，解得118727λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故171827a b c =-+． 13．【解析】可以借鉴解方程组的思想，设AB a =，AD b =，在△ABN 中，有12a b d +=；在△ADM 中，有12b ac +=，联立以上两式可得 2(2)3ABd c =-，2(2)3AD c d =-． 14．【解析】 k a +b =k （1，2）+（―3，2）=（k ―3，2k+2），a ―3b =（1，2）―3（―3，2）=（10，―4）．当k a +b 与a ―3b 平行时，存在唯一实数λ使k a +b =λ(a －3b )．由（k ―3，2k+2）=λ（10，―4）得310224k k λλ-=⎧⎨+=-⎩，解得1313k λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．当13k =-时，k a +b 与a ―3b 平行，这时11(3)33ka b a b a b +=-+=--， ∵10λ=-<，∴k a +b 与a －3b 反向． 15．【解析】）OC OA AC =+=1(1,4)3OA AB +=点C 坐标为（2，2）． 2(1,4)3OD OA AD OA AB =+=+=D 坐标为（3，0）．（2）2(2,2)2(3,0)(8,2),OC OD +=+=2(4,2)(8,2)(12,0)OE OB OC OD =++=-+= 点E 坐标为（12，0）．。

苏教版高中数学必修四巩固练习_平面向量的实际背景及基本概念_提高

【巩固练习】1．下列说法中正确的有（）．①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上；②向量a 与向量b 平行，则a 、b 方向相同或相反；③若向量AB 、CD 满足||||AB CD >，且AB 与CD 同向，则AB CD >；④若a =b ，则a ，b 的长度相等且方向相同或相反；⑤由于零向量0方向不确定，故0不能与任何向量平行．A ．0个B ．2个C ．3个D ．4个2．在同一平面上，把所有长度为1的向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是（）．A ．一条线段B ．一段圆弧C ．圆上一群孤立的点D ．一个半径为1的圆3．若=AB AD 且=BA CD ，则四边形ABCD 的形状为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形4．若a 是任一非零向量，b 是单位向量，则下列式子正确的是（）．A ．a ＞bB ．a ∥bC ．a ＞0D ．||=a b a 5．如图，点D 是正六边形ABCDEF 的中心，则以A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA 外，与向量OA 共线且模相等的向量共有（）．A ．2个B ．3个C ．6个D ．7个6．正多边形有n 条边，它们对应的向量依次为1a ，2a ，…，n a ，则这n 个向量（）． A ．都相等 B ．都共线 C ．都不共线 D ．模都相等7．下列说法中，正确的是（）．A ．若a ＞b ，则a ＞bB ．若a =b ，则a =bC ．若a =b ，则a ∥bD ．若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量 8．下列命题正确的是( )A ．向量a 与b 共线，向量b 与c 共线，则向量a 与c 共线B ．向量a 与b 不共线，向量b 与c 不共线，则向量a 与c 不共线C ．向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点一定共线D ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量9．在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，||1AB =，||2AC =，则||BC =__________．10．已知四边形ABCD 中，12AB DC =，且||||AD BC =，则四边形ABCD 的形状是________．11．若某人从点A 出发向东走3km 至点B ，从点B 向北走km 至点C ，则点C 相对于点A 的位置向量为。