慧通文府中考数学试题专题矩形

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各地中考数学试卷精选汇编矩形菱形与正方形(含解析)

矩形菱形与正方形一、选择题1.（2018•四川凉州•3 分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD 于点 E，则下到结论不一定成立的是（）A．AD=BC′B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE=【分析】主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正确答案．【解答】解：A、BC=BC′，AD=BC，∴AD=BC′，所以正确．B、∠CBD=∠EDB，∠CBD=∠EBD，∴∠EBD=∠EDB 正确．D、∵sin∠ABE=，∴∠EBD=∠EDB∴BE=DE∴sin∠ABE=．故选：C．【点评】本题主要用排除法，证明 A，B，D 都正确，所以不正确的就是 C，排除法也是数学中一种常用的解题方法．2（2018•山东滨州•3分）下列命题，其中是真命题的为（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．一组邻边相等的矩形是正方形【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、例如等腰梯形，故本选项错误；B、根据菱形的判定，应是对角线互相垂直的平行四边形，故本选项错误；C、对角线相等且互相平分的平行四边形是矩形，故本选项错误；D、一组邻边相等的矩形是正方形，故本选项正确．故选：D．【点评】本题主要考查平行四边形的判定与命题的真假区别．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，难度适中．3．（2018·湖北省宜昌·3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 E，F 分别是对角线 AC 上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为 G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于（）A．1B．C．D．【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可；【解答】解：∵四边形 ABCD 是正方形，∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，∴S阴=S 正方形ABCD=，故选：B．【点评】本题考查正方形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考题型．4．（2018·湖北省孝感·3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AC=10，BD=24，则菱形 ABCD 的周长为（）A．52B．48C．40D．20【分析】由勾股定理即可求得 AB 的长，继而求得菱形 ABCD 的周长．【解答】解：∵菱形 ABCD 中，BD=24，AC=10，∴OB=12，OA=5，在 Rt△ABO 中，AB==13，∴菱形ABCD的周长=4AB=52，故选：A．【点评】此题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考常考题型．5（2018·山东临沂·3 分）如图，点 E、F、G、H 分别是四边形 ABCD 边 AB、BC、CD、DA 的中点．则下列说法：①若AC=BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线 BD=AC 时，中点四边形是菱形，当对角线 AC⊥BD 时，中点四边形是矩形，当对角线 AC=BD，且 AC⊥BD 时，中点四边形是正方形，【解答】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线 BD=AC 时，中点四边形是菱形，当对角线 AC⊥BD 时，中点四边形是矩形，当对角线 AC=BD，且 AC⊥BD 时，中点四边形是正方形，故④选项正确，故选：A．【点评】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线 BD=AC 时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD 时，中点四边形是矩形，当对角线 AC=BD，且 AC⊥BD 时，中点四边形是正方形．6（2018·山东威海·3 分）矩形 ABCD 与 CEFG，如图放置，点 B，C，E 共线，点 C，D，G 共线，连接 AF，取 AF 的中点 H，连接 GH．若 BC=EF=2，CD=CE=1，则 GH=（）A．1B．C．D．【分析】延长 GH 交 AD 于点 P，先证△APH≌△FGH 得 AP=GF=1，GH=PH=PG，再利用勾股定理求得 PG=，从而得出答案．【解答】解：如图，延长 GH 交 AD 于点 P，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2、GF=CE=1，∴AD∥GF，∴∠GFH=∠PAH，又∵H 是 AF 的中点，∴AH=FH，在△APH 和△FGH 中，∵，∴△APH≌△FGH（ASA），∴AP=GF=1，GH=PH=PG，∴PD=AD﹣AP=1，∵CG=2、CD=1，∴DG=1，则 GH=PG= ×= ，故选：C．【点评】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．7（2018•湖南省永州市•4 分）下列命题是真命题的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．任意多边形的内角和为 360°D．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半【分析】根据矩形的判定方法对 A 进行判断；根据菱形的判定方法对 B 进行判断；根据多边形的内角和对 C 进行判断；根据三角形中位线性质对 D 进行判断．【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以 A 选项为假命题；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以 B 选项为假命题；C、任意多边形的外角和为 360°，所以C选项为假命题；D、三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以 D 选项为真命题．故选：D．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．8（2018 年江苏省宿迁）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 为边 CD 的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（）。

2019版中考数学《4.6矩形、菱形、正方形》导向(含答案)

§4.6 矩形、菱形、正方形一、选择题1. (改编题)如图．在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，下列说法错误的是 ( ) A ．AB ∥DC B ．AC ＝BD C ．AC ⊥BDD ．OA ＝OC解析由菱形的对边平行可知AB ∥DC ，故A 正确；由菱形的对角线互相垂直可知AC ⊥BD ，故C 正确；由菱形的对角线互相平分可知OA ＝OC ，故D 正确；菱形的对角线不一定相等，故B 错误，选B. 答案 B2．(原创题)如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使得点A和点C 重合，折痕是EF ，连结EC .若AB ＝2，BC ＝4，则CE 的长为A ．3B ．3.5C ．2.5D ．2.8解析由折叠知，EF 是AC 的垂直平分线，∴AE ＝EC .设CE ＝x ，∵AB ＝2，BC ＝4，∴DE ＝4－x .在Rt △CDE 中，∵CD 2＋DE 2＝CE 2，即22＋(4－x )2＝x 2，解得x ＝2.5，∴CE 的长为2.5.故选C. 答案 C3．(改编题)顺次连结矩形四边中点所得的四边形一定是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形解析连结AC ，BD ，在△ABD 中， ∵AH ＝HD ，AE ＝EB ， ∴EH ＝12BD .同理FG ＝12BD ，HG ＝12AC ，EF ＝12AC .又∵在矩形ABCD中，AC＝BD，∴EH＝HG＝GF＝FE，∴四边形EFGH为菱形．答案 C4．(改编题)已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图1；再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图2；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图3；如此反复操作下去，则第2 014个图形中直角三角形的个数有()A．4 028个B．4 026个C．2 014个D．2 013个解析第1，2个图形中，直角三角形的个数相同，都是4个，第3，4个图形中，直角三角形的个数相同，都是2×4＝8个，…，第n，n＋1(n为奇数)个图形中，直角三角形的个数相同，都是n＋12×4＝2(n＋1)个．∴当n＋1＝2 014时，2(n＋1)＝4 028.故选A.答案 A5．(原创题)如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，AE 与BC相交于点F.有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发，甲沿着A→B→F→C的路径行走至C，乙沿着A→F→E→C→D的路径行走至D，丙沿着A→F→C→D 的路径行走至D.若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序(由先至后)是()A．甲乙丙B．甲丙乙C．乙丙甲D．丙甲乙解析∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝90°.甲行走的距离是AB＋BF＋CF＝AB＋BC＝2AB，乙行走的距离是AF＋EF＋EC＋CD，丙行走的距离是AF＋FC＋CD.∵∠B＝∠ECF＝90°，∴AF＞AB，EF＞CF，∴AF＋FC＋CD＞2AB，AF＋FC＋CD＜AF＋EF＋EC＋CD，∴甲比丙先到，丙比乙先到，即顺序是甲丙乙．答案 B二、填空题6．(改编题)如图，在长方形ABCD中，AB∶BC＝3∶5，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交边AD于点E.若AE·DE＝16，则长方形ABCD的面积为________．解析如图，连结BE，则BE＝BC.设AB＝3x，BC＝5x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3x，AD＝BC＝BE＝5x，∠A＝90°，由勾股定理得：AE＝4x，则DE＝5x－4x＝x.∵AE·DE＝16，∴4x·x＝16，解得：x＝2(负数舍去)，则AB＝3x＝6，BC＝5x＝10，∴矩形ABCD的面积是AB×BC＝6×10＝60.答案607．(改编题)红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志．将宽为1 cm的红丝带交叉成60°角重叠在一起(如图)，则重叠四边形的面积为________cm2.解析过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为红丝带宽度相同，所以AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF.∴四边形ABCD 是平行四边形． ∵S ▱ABCD ＝BC ·AE ＝CD ·AF .又AE ＝AF ， ∴BC ＝CD ，∴四边形ABCD 是菱形．∵∠B ＝60°(图2)，作AE ⊥BC 于E ，则AE 为丝带宽．在Rt △ABE 中，AE ＝1 cm ，∴sin 60°＝AE AB ，∴AB ＝233 cm ，所以S 菱形＝BC ×AE ＝233(cm 2)．答案2338．(原创题)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 顶点A 的坐标为(0，2)，B 点在x 轴上，对角线AC ，BD 交于点M ，OM ＝32，则点C 的坐标为________．解析作CE ⊥x 轴于E ，MN ⊥x 轴于N .∵四边形ABCD 是正方形，∴AM ＝CM ，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°.∵∠ABO ＋∠OAB＝90°，∠ABO ＋∠CBE ＝90°，∴∠OAB ＝∠CBE .∴△OAB ≌△EBC . ∴BE ＝OA ＝2，CE ＝OB .∵AM ＝CM ，MN ⊥x 轴，∴MN 是梯形OACE 的中位线．∴MN ＝12(OA ＋CE )，ON ＝12(OB ＋BE )．∴MN ＝ON .∵OM ＝32，∴MN ＝ON ＝3.∴OE ＝6，CE ＝ 4.∴点C 的坐标为(6，4)．答案 (6，4)9．(原创题)将正方形ABCD 的各边按如图所示延长，从射线AB 开始，分别在各射线上标记点A 1，A 2，A 3，……，按此规律，则点A 2 015在射线________上．解析落在射线AB 上的点依次为：A 1，A 3，A 10，A 12…；落在射线CD 上的点依次为：A 2，A 4，A 9，A 11…；落在射线BC 上的点依次为：A 5，A 7，A 14，A 16…；落在射线DA 上的点依次为：A 6，A 8，A 13，A 15…；即每16个数为一个循环节．因为2 015÷16＝125……15，而A 15落在射线DA 上，所以A 2 015也落在射线DA 上．答案 DA 三、解答题10．(原创题)已知，如图，把一个含45°的三角板的锐角顶点与正方形ABCD 的顶点A 重合，然后将三角板绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC (或它们的延长线)于点M 、N . (1)如图1，当三角板绕点A 旋转到BM ＝DN 时，有BM ＋DN ＝MN .当三角板绕点A 旋转到BM ≠DN 时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；(2)当三角板绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM ，DN 和MN 之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．解 (1)中的结论仍然成立，即 BM ＋DN ＝MN . 证明：如图1，在MB 的延长线上截取BE ＝DN ，连结AE .易证△ABE ≌△ADN (SAS)． ∴ AE ＝AN ，∠EAB ＝∠NAD . ∵∠BAD ＝90°，∠NAM ＝45°， ∴∠BAM ＋∠NAD ＝45°， ∴∠EAB ＋∠BAM ＝45°.∴∠EAM ＝∠NAM .又AM 为公共边， ∴△AEM ≌△ANM . ∴ME ＝MN .∴MN ＝ME ＝BE ＋BM ＝DN ＋BM ，即DN ＋BM ＝MN.图1(2)猜想：线段BM ，DN 和MN 之间的等量关系为：DN －BM ＝MN . 证明：如图2，在DN 上截取DE ＝MB ，连结AE . 易证△ABM ≌△ADE (SAS)． ∴AM ＝AE ，∠MAB ＝∠EAD . 易证△AMN ≌△AEN (SAS)． ∴MN ＝EN .∵DN －DE ＝EN ，∴DN －BM ＝MN .11．(改编题)已知四边形ABCD 是正方形，O 为正方形对角线的交点，一动点P 从B 点开始，沿射线BC 运动，连结DP ，作CN ⊥DP 于点M ，且交直线AB 于点N ，连结OP ，ON .(当点P 在线段BC 上时，如图1；当点P 在BC 的延长线时，如图2)(1)请从图1，图2任选一图证明下面结论： ①BN ＝CP ；②OP ＝ON ，且OP ⊥ON .(2)设AB ＝4，BP ＝x ，试确定以O ，P ，B ，N 为顶点的四边形的面积y 与x 的函数关系．解 (1)选择图1证明． ①∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝CD ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°.∵CN ⊥DP ， ∴∠PCM ＋∠CPD ＝90°，∠CDP ＋∠CPD ＝90°. ∴∠PCM ＝∠CDP .∴△NBC ≌△PCD .∴BN ＝CP . ②∵AB ＝BC ，BN ＝CP ，∴AN ＝BP . 又∵∠OAN ＝∠OBP ＝45°，OA ＝OB ， ∴△AON ≌△BOP .∴OP ＝ON ，∠AON ＝∠BOP . ∵∠AON ＋∠BON ＝90°，∴∠BOP ＋∠BON ＝90°. 即OP ⊥ON .∴OP ＝ON ，且OP ⊥ON . 选择图2证明．①∵CN ⊥DP ，∠PCD ＝90°，∴∠PDC ＝∠PCM ＝∠NCB .在△DCP 与△CBN 中， ∵∠PDC ＝∠NCB ，DC ＝CB ，图2∠DCP ＝∠CBN ＝90°， ∴△DCP ≌△CBN .∴CP ＝BN . ②在△COP 与△BON 中，∵CO ＝BO ，∠OCP ＝∠OBN ＝135°，CP ＝BN ， ∴△COP ≌△BON ，∴OP ＝ON .∴∠COP ＝∠BON ，而∠BON ＋∠NOC ＝90°. ∴∠COP ＋∠NOC ＝90°，即OP ⊥ON . (2)①当P 在BC 上，即0<x <4时， ∵△AON ≌△BOP ，∴S △AON ＝S △BOP .∴S 四边形ONBP ＝S △BOP ＋S △BON ＝S △BON ＋S △AON ＝S △AOB ＝4. ∴y ＝4.当P 在BC 的延长线上，即x >4时．过点O 作OH ⊥AN 于H ，连结PN .如图． ∵AB ＝4，∴OH ＝BH ＝2.∵BN ＝CP ＝BP －BC ＝x －BC ＝x －4， ∴S △OBN ＝12OH ·BN ＝12×2(x －4)＝x －4. ∵OH ＝2，HN ＝BH ＋BN ＝2＋x －4＝x －2， ∴ON ＝OH 2＋HN 2＝4＋（x －2）2. ∴OP ＝ON ＝4＋（x －2）2.∵OP ⊥ON ， ∴S △PON ＝12OP ·ON ＝12×4＋（x －2）2× 4＋（x －2）2＝12[4＋(x －2)2]＝12x 2－2x ＋4. ∴S 四边形OBNP ＝S △OBN ＋S △PON ＝x －4＋12x 2－2x ＋4＝ 12x 2－x .即y ＝12x 2－x .综合上述，以O ，P ，B ，N 为顶点的四边形的面积y 与x 的函数关系是y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，（0<x <4），12x 2－x ，（x >4）.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，四边形ABCD ，AEFG 都是正方形，点E ，G 分别在AB ，AD 上，连接FC ，过点E 作EH ∥FC 交BC 于点H ．若AB=4，AE=1，则BH 的长为（）A.1B.2C.3D.32．定义符号min{a ，b}的含义为：当a≥b 时min{a ，b}=b ；当a ＜b 时min{a ，b}=a ．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则min{﹣x 2+1，﹣x}的最大值是（）A.12B.12C.1D.03．如图，数轴上A 、B 两点分别对应数a 、b ，则下列各式正确的是（）A.ab ＞0B.a+b ＞0C.|a|﹣|b|＞0D.a ﹣b ＞04．立定跳远是体育中考选考项目之一，体育课上老师记录了某同学的一组立定跳远成绩如表：则下列关于这组数据的说法，正确的是（） A ．众数是2.3 B ．平均数是2.4 C ．中位数是2.5D ．方差是0.015．已知a，b 2，则a ，b 的关系是（）A ．a ＝bB ．a ＝﹣bC ．a ＝1bD ．ab ＝﹣16．2019年3月份，雷州市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是35，32，33，35，36，33，35，则这组数据的众数是（）A ．36B ．35C ．33D ．327．由三角函数定义，对于任意锐角A ，有sinA=cos(90°-A)及sin 2A+cos 2A=1成立.如图，在△ABC 中，∠A ，∠B 是锐角，BC=a ，AC=b,AB=c,CD ⊥AB 于D ，DE//AC 交BC 于E ，设CD=h ，BE=a’，DE =b’，BD=c’，则下列条件中能判断△ABC 是直角三角形的个数是（）(1)a 2+b 2=c 2 (2)aa’+bb’=cc’ (3)sin 2A+sin 2B=1 (4)+= A.1个B.2个C.3个D.4个8．一次函数y 1＝kx+1﹣2k （k≠0）的图象记作G 1，一次函数y 2＝2x+3（﹣1＜x ＜2）的图象记作G 2，对于这两个图象，有以下几种说法：①当G 1与G 2有公共点时，y 1随x 增大而减小； ②当G 1与G 2没有公共点时，y 1随x 增大而增大； ③当k ＝2时，G 1与G 2平行，且平行线之间的距离为．下列选项中，描述准确的是（） A.①②正确，③错误 B.①③正确，②错误 C.②③正确，①错误D.①②③都正确9．已知抛物线2(0)y ax bx c a b =++>> 与x 轴最多有一个交点.现有以下四个结论：①24b ac ≥ ；②该抛物线的对称轴在y 轴的左侧；③关于x 的方程210ax bx c +++=有实数根；④0a b c -+≥ .其中正确结论的个数为（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．下列运算正确的是（） A ．236a a a +=B ．3133273⎛⎫-÷-⨯= ⎪⎝⎭C ．22122m m -=D ．()22222961a a a ÷=-+11．实数a,b,c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A ．a b >B ．0a b +>C ．0ac >D ．a c >1213，0，-3，其中无理数是（）A B ．13C ．0D ．-3二、填空题13．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，正三角形OEF 绕点O 旋转，在旋转过程中，当CF ＝DE 时，∠DOF 的大小是_____．14．如图，a∥b，∠1＝110°，∠3＝40°，则∠2＝_____°．15．若用半径为5的半圆围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为____.16．某十字路口设有交通信号灯，东西向信号灯的开启规律如下：红灯开启30秒后关闭，紧接着黄灯开启3秒后关闭，再紧接着绿灯开启17秒，按此规律选一下去．如果不考虑其他因素，一辆汽车沿东西方向随机地行驶到该路口时，遇到红灯的概率是______．17．如图，已知直线AB∥CD，∠GEB的平分线EF交CD于点F，∠1=46°，则∠2=______．18．使分式2x-3有意义的x的取值范围是_____．三、解答题19．某商场计划购进A、B两种新型节能台灯，已知B型节能台灯每盏进价比A型的多40元，且用3000元购进的A型节能台灯与用5000元购进的B型节能台灯的数量相同．（1）求每盏A型节能台灯的进价是多少元？（2）商场将购进A、B两型节能台灯100盏进行销售，A型节能台灯每盏的售价为90元，B型节能台灯每盏的售价为140元，且B型节能台灯的进货数量不超过A型节能台灯数量的2倍．应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时利最多？此时利润是多少元？20．下表是2019年三月份某居民小区随机抽取20户居民的用水情况：（1）求出m＝，补充画出这20户家庭三月份用电量的条形统计图；（2）据上表中有关信息，计算或找出下表中的统计量，并将结果填入表中：（3）为了倡导“节约用水，绿色环保”的意识，台州市自来水公司实行“梯级用水、分类计费”，价格表如下：如果该小区有500户家庭，根据以上数据，请估算该小区三月份有多少户家庭在ⅠI 级标准？并估算这些级用水户的总水费是多少？21．（1）计算：-+；（2）先化简，再求值：211(1)224x x x -+÷--，其中x 1． 22．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点O 是坐标原点，∠OAB ＝90°且OA ＝AB ，OB ＝8，OC ＝5．（1）求点A 的坐标；（2）点P 是从O 点出发，沿X 轴正半轴方向以每秒1单位长度的速度运动至点B 的一个动点（点P 不与点O ，B 重合），过点P 的直线l 与y 轴平行，交四边形ABCD 的边AO 或AB 于点Q ，交OC 或BC 于点R ．设运动时间为t （s ），已知t ＝3时，直线l 恰好经过点 C ．求①点P 出发时同时点E 也从点B 出发，以每秒1个单位的速度向点O 运动，点P 停止时点E 也停止．设△QRE 的面积为S ，求当0＜t ＜3时S 与t 的函数关系式；并直接写出S 的最大值．②是否存在某一时刻t ，使得△ORE 为直角三角形？若存在，请求出相应t 的值；若不存在，请说明理由．23．为响应国家的一带一路经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部分别对A 、B 、C 、D 四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出C 厂家的合格率为95%，并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图：（1）抽查D 厂家的零件为件，扇形统计图中D 厂家对应的圆心角为度；（2）抽查C 厂家的合格率零件为件，并将图1补充完整；（3）通过计算说明A 、C 两厂家谁的合格率更高？24．如图，在ABC ∆中，4AB AC ==，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，点P 是AB 的延长线上一点，且∠PDB=12∠A ，连接DE ，OE ． (1)求证：PD 是O 的切线．(2)填空：①当P ∠的度数为______时，四边形OBDE 是菱形；②当45BAC ∠=︒时，CDE ∆的面积为_________．25．已知A(m ，2)，B(﹣3，n)两点关于原点O 对称，反比例函数y ＝k x的图象经过点A ． (1)求反比例函数的解析式并判断点B 是否在这个反比例函数的图象上；(2)点P(x 1，y 1)也在这个反比例函数的图象上，﹣3＜x 1＜m 且x 1≠0，请直接写出y 1的范围．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13．165°或15°．14．7015．516．3 517．157°18．x≠3三、解答题19．（1）每盏A型节能台灯的进价是60元；（2）A型台灯购进34盏，B型台灯购进66盏时获利最多，利润为3660元．【解析】【分析】（1）设每盏A型节能台灯的进价是x元，则B型节能台灯每盏进价为（x+40）元，根据用3000元购进的A型节能台灯与用5000元购进的B型节能台灯的数量相同，列方程求解；（2）设购进B型台灯m盏，根据商场购进100盏台灯且规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的2倍，列不等式求解，进一步得到商场在销售完这批台灯时获利最多时的利润．【详解】解：（1）设每盏A型节能台灯的进价是x元，则B型节能台灯每盏进价为（x+40）元，根据题意得，3000500040x x=+，解得：x＝60，经检验：x＝60是原方程的解，故x+40＝100，答：每盏A型节能台灯的进价是60元，则B型节能台灯每盏进价为100元；（2）设购进B型节能台灯m盏，购进A型节能台灯（100﹣m）盏，依题意有m≤2（100﹣m），解得m≤6623，90﹣60＝30（元），140﹣100＝40（元），∵m为整数，30＜40，∴m＝66，即A型台灯购进34盏，B型台灯购进66盏时获利最多，34×30+40×66＝1020+2640＝3660（元）．此时利润为3660元．答：（1）每盏A 型节能台灯的进价是60元；（2）A 型台灯购进34盏，B 型台灯购进66盏时获利最多，利润为3660元．【点睛】本题考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．20．.(1)6 ,图见解析； (2)众数25，中位数25，平均数26.5；（3）100,10200【解析】【分析】(1)根据各组户数之和等于数据总数20即可求出m 的值;根据表格数据可补全条形图(2)根据众数、中位数和平均数的定义即可得;(3)用样本的平均数以总户数可得该小区三月份家庭达到Ⅱ级标准的用户数,再根据月用水梯级标准即可求出这些Ⅱ级用水户的总水费【详解】(1)m=20-2-4-4-3-0-1=6这20户家庭三月份用电量的条形统计图如图所示:故答案为6;(2)根据题可知,25出现次数最多有6次,则众数为25由表可知,共有20个数据,则中位数为第10、11个数的平均数,即力25平均数为(15x2+20x4+25x6-30x4+35x3+45)+20=26.5,完成表格如下故答案为:25,25,26.5(3)该小区三月份家庭达到级标准用户为:450025⨯ =100(户) 这些Ⅱ级用水户的总水费是:33514530 2.4100(30)410072003000102004⨯+⨯⨯⨯+-⨯⨯=+=(元)答:估算该小区三月份有100户家庭达到Ⅱ级标准,这些Ⅱ级用水户的总水费是10200元【点睛】此题考查了条形统计图，平均数，众数，中位数，解题关键在于熟悉运算法则21．（1）；（2．【解析】【分析】（1）根据二次根式的运算法则进行计算即可；（2）先通分，进行分式的加法，然后把除法转化为乘法进行化简.化简后代入求值即可.【详解】（1）＝6﹣＝（2）2111224x x x -⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭ 12(2)2(1)(1)x x x x x --=⋅-+- 21x =+，当x 1时，原式==【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键.22．（1）A （4，4）；（2）①2728.S (t 2)33=-+，S 有最大值为283；②t 的值为4或3614. 【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题；（2）①首先求出直线OA 、OB 、OC 、BC 的解析式．①求出P 、Q 的坐标即可解决问题；即可表示出QR 和PE 的长，即可得到三角形面积解析式利用配方法求出最值即可；②分三种情况讨论，即∠REO ＝90°或∠ORE ＝90°或∠ROE ＝90°分别求解即可．【详解】解：（1）由题意△OAB 是等腰直角三角形，∵OB ＝8，即B （8，0）∴A （4，4），（2）∵A （4，4），B （8，0），∴直线OA 的解析式为y ＝x ，直线AB 的解析式y ＝﹣x+6，∵t ＝3时，直线l 恰好过点C ，即OP ＝3，OC ＝5，∴PR ＝4，C （3，﹣4），∴直线OC 的解析式为y ＝-43x ，直线BC 的解析式为y ＝43255x -， ①当0＜t ＜3时，Q （t ，t ），R （t ，-43t ）， ∴QR=t-(-43t)=73t ．PE ＝8﹣2t ． ∴S ＝2117728(82)(2)22333PE QR t t t =-=--+． ∴t ＝2时，S 有最大值为283． ②要使△ORE 为直角三角形，则有三种情况：Ⅰ．若∠REO ＝90°，如图1，则点P 与E 点重合， ∴8﹣2t ＝0，解得t ＝4，Ⅱ．若∠ORE ＝90°，如图2．△ORP ∽△REP ，∴OP RP RP PE=，即RP 2＝OP•PE， ∴24(82)3t t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解之得：t ＝3617， Ⅲ．当t ＞4时，△ORE 不可能为直角三角形．故使得△ORE为直角三角形时，t的值为：4或36 17，【点睛】本题考查四边形综合题、一次函数的应用、二次函数的应用、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会构建一次函数或二次函数解决实际问题，属于中考压轴题．23．（1）500，90；（2）380；（3）C厂家．【解析】【分析】（1）先计算D占的百分比，与总人数的积得抽查D厂家的零件数，与360°的积得扇形统计图中D厂家对应的圆心角的度数；（2）百分比×总数×合格率可得结果；（3）分别计算其合格率，并作比较．【详解】解：（1）（1﹣35%﹣20%﹣20%）×2000＝25%×2000＝500，（1﹣35%﹣20%﹣20%）×360°＝90°，故答案为：500，90；（2）20%×2000×95%＝380；故答案为：380，如图所示；（3）A厂家合格率＝630÷（2000×35%）＝90%，C厂家合格率＝95%，合格率更高的是C厂家．【点睛】本题考查了利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题24．（1）证明见解析；（2）①30°；②2【解析】【分析】（1）要证明切线，按照圆周角定理和已知的2倍角关系，证明∠ODP为直角（2）当四边形OBDE为菱形时，△OBD为等边三角形，则∠P为30°（3）连接AD，过点E作BC的垂线，通过平行相似得到a、b的第一种关系，根据勾股定理得到a、b的第二种关系，用a、b表示出△CDE的面积，再代入a与b的关系，获得面积值．【详解】（1）如图，连接OD∵OB ＝OD ，∠PDB ＝12∠A ∴∠ODB ＝∠ABD ＝90°﹣12∠A ＝90°﹣∠PDB ∴∠ODB+∠PDB ＝90°∴∠ODP ＝90°又∵OD 是⊙O 的半径∴PD 是⊙O 的切线（2）①30°若四边形OBDE 为菱形，则OB ＝BD ＝DE ＝EO ＝OD∴△OBD 为等边三角形∴∠ABD ＝∠A ＝60°∴∠PDB ＝30°∴∠P ＝30°即当∠P 为30°时，四边形OBDE 为菱形②2如图所示∵AO ＝OE ＝2，∠AOE ＝90°∴AE ＝12x x ∴EC ＝4﹣12x x∵∠BAC ＝45°∴∠EDB ＝135°∴∠EDC ＝45°设DF ＝EF ＝b ，FC ＝a∵△EFC ∽△ADC ∴CF EF EC CD AD AC==∴44a ab -=+ ∵a 2+b 2＝（4﹣12x x ）2解得21),4a b b ==-211())2222CDE S a b b b b b ∆=+=-+==. 【点睛】本题考查了圆的基本性质，菱形的性质，（3）是本题的难点，需要以相似和勾股的关系建立方程并表示出关于面积的代数式．25．（1）6y x =，点B 在这个反比例函数的图象上;（2）y 1＜－2或y 1＞2．【解析】【分析】(1)先求出m 的值，进而得出A 、B 的坐标，代入k y x=，求出反比例函数的解析式，再判断点B 是否在反比例函数的图象上;(2)根据反比例函数的性质求解即可.【详解】（1）∵A （m ，2），B （－3，n ）两点关于原点O 对称，∴m ＝3，n ＝－2，即A （3，2），B （－3，－2）， ∵反比例函数k y x =的图象经过点A ，∴23k =，解得k ＝6， ∴反比例函数的解析式为6y x=．当x ＝－3时，6623y x ===--，∴点B 在这个反比例函数的图象上．（2）根据k>0,y 随x 的增大而减小可得：y 1＜－2或y 1＞2．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，注意数形结合数学思想的应用．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．已知关于x的不等式组314(1)x xx m--⎧⎨⎩无解，则m的取值范围是（）A．m≤3B．m＞3 C．m＜3 D．m≥32．一副学生用的三角板如图放置，则∠AOD的度数为（）A.75°B.100°C.105°D.120°3．3月30日，我区航空经济产业功能区2019年一季度重大项目集中开工仪式在电子科大产业园四期项目用地举行．参加此次集中开工仪式项目共计71个，总投资超过249亿元，未来随着这一波又一波项目的建成投产，必将为双流航空经济插上腾飞之翼，助力双流打造中国航空经济之都．用科学记数法表示249亿元为（）A．249×108元B．24.9×109元C．2.49×1010元D．0.249×1011元4．如图，嘉淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东30°的方向行驶30公里到达B地游玩，之后打算去距离A地正东30公里处的C地，则他们行驶的方向是（）A．南偏东60°B．南偏东30°C．南偏西60°D．南偏西30°5．如图，已知直线MN：y＝kx+2交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，∠BAO＝30°，点C是x轴上的一点，且OC＝2，则∠MBC的度数为（）A．75°B．165°C．75°或45°D．75°或165°6．如图，这是健健同学的小测试卷，他应该得到的分数是（）A ．40B ．60C ．80D ．1007．如图，点A （m ，1），B （2，n ）在双曲线ky x=（k≠0），连接OA ，OB ．若S △ABO ＝8，则k 的值是（）A ．﹣12B ．﹣8C ．﹣6D ．﹣48．已知抛物线223y x mx m =+-（m 是常数），且无论m 取何值，该抛物线都经过某定点H ，则点H 的坐标为 A ．3,12⎛⎫-⎪⎝⎭B ．3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．39,24⎛⎫⎪⎝⎭D ．39,24⎛⎫-⎪⎝⎭ 9．下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个10．在边长为2的正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，P 是BD 上一动点，过P 作EF ∥AC ，分别交正方形的两条边于点E ，F ．设BP=x ，△BEF 的面积为y ，则能反映y 与x 之间关系的图象为( )A ．B ．C． D ．11．一个正多边形，它的每一个外角都等于40°，则该正多边形是（） A ．正六边形B ．正七边形C ．正八边形D ．正九边形12．如图，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，AC 与BD 相交于点O ，则下列判断不正确的是（）A ．△ABC ≌△DCB B ．△AOD ≌△COBC ．△ABO ≌△DCOD ．△ADB ≌△DAC二、填空题13．某学校组织600名学生分别到野生动物园和植物园开展社会实践活动，到野生动物园的人数比到植物园人数的2倍少30人，若设到植物园的人数为x 人，依题意，可列方程为________________． 14．因式分解：222x x -+=______________。

中考数学真题分类汇编(150套)专题三十四·矩形、菱形、正方形.pdf

C．矩形的对角线相等 D．相等的角是对顶角．【答案】D 21．（2010 浙江义乌）下列说法不．正．确．的是（ ▲ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
【答案】D
22．（2010 陕西西安）若一个菱形的边长为 2，则这个菱形两条对角线长的平方和为
学无止境
x ， y 表示直角三角形的两直角边（ x y ），下列四个说法： ① x2 + y2 = 49 ，② x − y = 2 ，③ 2xy + 4 = 49 ，④ x + y = 9 .
其中说法正确的是【】
A．①②
B. ①②③
C. ①②④
D. ①②③④
y
x
图5
【答案】B 41．（2010 广东肇庆）菱形的周长为 4，一个内角为 60°，则较短的对角线长为( )
( ).
第 7 题图
A. 669
B. 670
C.671
D. 672
学无止境
【答案】B
13．（2010 山东济南）如图所示，两个全等菱形的边长为 1 厘米，一只蚂蚁由 A 点开始按 ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动，行走 2010 厘米后停下，则这只蚂蚁停在
点．
G
D
A
C
E
B
F
【答案】C 14．（2010 江苏连云港）如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 互相垂直，则下列条件能判定四边形 ABCD 为菱形的是（）
B．36cm
C．40cm D．72cm
【答案】B
D
A

2024成都中考数学复习专题矩形、菱形、正方形的性质与判定(含答案)

2024成都中考数学复习专题矩形、菱形、正方形的性质与判定基础题1. (2023上海)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝C D.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是()A. AB∥CDB. AD＝BCC. ∠A＝∠BD. ∠A＝∠D2. (2023自贡)如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是()A. (3，－3)B. (－3，3)C. (3，3)D. (－3，－3)第2题图3. (2022玉林)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD 的两条对角线AC，BD一定是()A. 互相平分B. 互相垂直C. 互相平分且相等D. 互相垂直且相等4. (2023深圳)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a 个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为()第4题图A. 1B. 2C. 3D. 45. (2023十堰)如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误的是()A. 四边形ABCD由矩形变为平行四边形B. 对角线BD的长度减小C. 四边形ABCD的面积不变D. 四边形ABCD的周长不变第5题图6. 如图，菱形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点，EF＝2，BD＝8，则该菱形的面积为()第6题图A. 12B. 16C. 20D. 327. (2023杭州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB＝60°，则ABBC＝()A. 12 B.3－12 C.32 D.33第7题图8. (2023大庆)将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若∠BAD＝α，∠CBE＝β，则β＝()第8题图A. 45°＋12α B. 45°＋32αC. 90°－12αD. 90°－32α 9. (2023河北)如图，在Rt △ABC 中，AB ＝4，点M 是斜边BC 的中点，以AM 为边作正方形AMEF .若S 正方形AMEF ＝16，则S △ABC ＝( ) A. 4 3 B. 8 3 C. 12 D. 16第9题图10. [新考法—条件开放](2023齐齐哈尔)如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，AC ⊥BD 于点O .请添加一个条件：________，使四边形ABCD 成为菱形．第10题图 11. (2023怀化)如图，点P 是正方形ABCD 的对角线AC 上的一点，PE ⊥AD 于点E ，PE ＝3.则点P 到直线AB 的距离为________．第11题图12. (2023绍兴)如图，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝40°，连接AC ，以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交直线AD 于点E ，连接CE ，则∠AEC 的度数是________．第12题图13. (2023河南)矩形ABCD 中，M 为对角线BD 的中点，点N 在边AD 上，且AN ＝AB ＝1.当以点D ，M ，N 为顶点的三角形是直角三角形时，AD 的长为________．14. [新考法—条件开放](2023十堰)如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，分别以点B ，C 为圆心，12AC ，12BD 长为半径画弧，两弧交于点P ，连接BP ，CP . (1)试判断四边形BPCO 的形状，并说明理由；(2)请说明当▱ABCD 的对角线满足什么条件时，四边形BPCO 是正方形？第14题图15. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，且BE ＝DF ，连接AE ，CF ，EH ⊥CF 于点H ，FG ⊥AE 于点G .(1)判断四边形EGFH 的形状，并说明理由；(2)若AE ＝5，tan ∠DAE ＝2，EG ＝2GF ，求AG 的长．第15题图拔高题16. (2022青羊区模拟)我们规定菱形与正方形接近程度称为“接近度”，设菱形相邻两个内角的度数分别为α，β，将菱形的“接近度”定义为|α－β|，于是|α－β|越小，菱形越接近正方形．第16题图①若菱形的一个内角为80°，则该菱形的“接近度”为________；②当菱形的“接近度”等于________时，菱形是正方形．课时2基础题1. (2023湘潭)如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为()A. 20°B. 60°C. 70°D. 80°第1题图2. 如图，在菱形ABCD中，AC，BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC 中点，则EF的长为()第2题图A. 3B. 4C. 5D. 63. 如图所示，将一张矩形纸片沿虚线对折两次，当剪刀与纸片的夹角∠ABC＝45°时，已知AB＝4 cm，则剪下来图形的周长为()第3题图A. 4 cmB. 4 2 cmC. 16 cmD. 16 2 cm4. (2022青岛改编)如图，O 为正方形ABCD 对角线AC 的中点，△ACE 为等边三角形．若AB ＝2，则OE 的长度为________．第4题图5. [新考法—数学文化](2023内江)出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝12，对角线AC 与BD 交于点O ，点E 为BC 边上的一个动点，EF ⊥AC ，EG ⊥BD ，垂足分别为点F ，G ，则EF ＋EG ＝________.第5题图6. (2023天津)如图，在边长为3的正方形ABCD 的外侧，作等腰三角形ADE ，EA ＝ED ＝52.第6题图(1)△ADE 的面积为________；(2)若F 为BE 的中点，连接AF 并延长，与CD 相交于点G ，则AG 的长为________．7. (2023内江)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF ∥BC 交CE 的延长线于点F .(1)求证：F A ＝BD ；(2)连接BF ，若AB ＝AC ，求证：四边形ADBF 是矩形．第7题图8. (2023兰州)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE.(1)判断四边形OCDE的形状，并说明理由；(2)当CD＝4时，求EG的长．第8题图拔高题9. (2023绍兴改编)如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD＝60°，动点E 在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE＝OF.点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2.当E，F，O三点重合时，当点E，F分别为OB，OD的中点时，当E，F分别运动到B，D两点时，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是()第9题图A. 菱形→平行四边形→矩形B. 菱形→矩形→菱形C. 平行四边形→矩形→平行四边形D. 平行四边形→菱形→正方形10. (2023武侯区二诊节选)如图①，在矩形ABCD中，AD＝nAB(其中n>1)，点P是AD边上一动点(点P不与点A重合)，点E是AB边的中点，连接PE，将矩形ABCD沿直线PE进行翻折，其顶点A翻折后的对应点为O，连接PO并延长，交BC边于点F(点F不与点C重合)，过点F作∠PFC的平分线FG，交矩形ABCD的边于点G.(1)求证：PE∥FG；(2)如图②，在点P运动过程中，若E，O，G三点在同一条直线上时，点G与点D刚好重合，求n的值．图①图②第10题图参考答案与解析1. C2. C 【解析】∵正方形的边长为3，∴DC ＝BC ＝3，DC 与BC 分别垂直于y 轴和x 轴．∵点C 在第一象限，∴点C 的坐标为(3，3).3. D 【解析】如解图，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则EH ∥DB ∥GF ，HG ∥AC ∥EF ，EF ＝12 AC ，FG ＝12BD ，∴四边形EFGH 为平行四边形．要使其为正方形，即EF ⊥FG ，FE ＝FG ，则AC ⊥BD ，AC ＝BD ，即对角线一定互相垂直且相等．第3题解图4. B 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，CE ∥FD ，CD ＝AB ＝4.∵将线段AB 水平向右平移得到线段EF ，∴AB ∥EF ∥CD ，∴四边形ECDF 为平行四边形，当CD ＝CE ＝4时，▱ECDF 为菱形，此时a ＝BE ＝BC －CE ＝6－4＝2.5. C 【解析】将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD ，然后向左扭动框架，∵两组对边的长度分别相等，∴四边形ABCD 是平行四边形，故A 正确，∵向左扭动框架，∴BD 的长度减小，故B 正确；∵平行四边形ABCD 的底不变，高变小了，∴平行四边形ABCD 的面积变小，故C 错误；∵平行四边形ABCD 的四条边长度不变，∴四边形ABCD 的周长不变，故D 正确．6. B 【解析】如解图，连接AC ，∵点E ，F 分别为AB ，BC 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴AC ＝2EF ＝4.∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴S 菱形ABCD ＝12 AC ·BD ＝12×4×8＝16.第6题解图7. D 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∠ABC ＝90°，∴∠OBC ＝∠OCB .∵∠AOB ＝60°，∴∠ACB ＝12 ∠AOB ＝30°，∴AB BC ＝tan ∠ACB ＝tan 30°＝33. 8. D 【解析】∵四边形ABCD 和四边形BGHF 是完全相同的菱形，∴∠DBE ＝∠BAD ＝α，AB ＝AD ，∠ABD ＝∠CBD ＝∠CBE ＋∠DBE ＝β＋α.∴∠ADB ＝∠ABD ＝β＋α.∵∠BAD ＋∠ADB ＋∠ABD ＝180°，∴α＋β＋α＋β＋α＝180°，∴β＝90°－32α. 9. B 【解析】∵S 正方形AMEF ＝16，∴AM ＝4.∵M 是斜边BC 的中点，∴AM 是Rt △ABC 斜边上的中线，∴BC ＝2AM ＝8.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC ＝BC 2－AB 2 ＝43 ，∴S △ABC ＝12 AB ·AC ＝12×4×43 ＝83 . 10. AD ∥BC (答案不唯一) 【解析】当AD ∥BC ，AD ＝BC 时，四边形ABCD 为平行四边形，又∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形．11. 3 【解析】如解图，过点P 作PF ⊥AB 于点F ，∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，∴∠DAC ＝∠BAC .∵PE ⊥AD ，PF ⊥AB ，∴∠AEP ＝∠AFP .∵AP ＝AP ，∴△AEP ≌△AFP (AAS)，∴PE ＝PF .∵PE ＝3，∴点P 到直线AB 的距离为PF ＝3.第11题解图12. 10°或80° 【解析】如解图，以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交直线AD 于点E 和E ′.在菱形ABCD 中，∠DAC ＝∠BAC ，∵∠DAB ＝40°，∴∠DAC ＝20°.∵AC ＝AE ，∴∠AEC ＝(180°－20°)÷2＝80°.∵AE ′＝AC ，∴∠AE ′C ＝∠ACE ′＝10°.综上所述，∠AEC 的度数是10°或80°.第12题解图 13. 2或2 ＋1 【解析】分两种情况，①当∠DNM ＝90°时，如解图①，则MN ∥AB ，∴AN BM＝AD BD.∵M 是BD 的中点，∴BD ＝2BM ，∴AD ＝2AN ＝2；②当∠DMN ＝90°时，如解图②，连接BN ，∵M 是BD 的中点，∠DMN ＝90°，∴BN ＝DN ＝AB 2＋AN 2 ＝12＋12 ＝2 ，∴AD ＝2 ＋1.综上所述，AD 的长为2或2 ＋1.图①图②第13题解图14. 解：(1)四边形BPCO 为平行四边形．理由如下：由作法得，BP ＝12 AC ，CP ＝12BD ， ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴OC ＝12 AC ，OB ＝12BD, ∴OC ＝BP ，OB ＝CP ,∴四边形BPCO 为平行四边形．(2)当▱ABCD 的对角线垂直且相等时，四边形BPCO 为正方形．理由：∵AC ⊥BD ，∴四边形BPCO 为矩形，∵AC ＝BD ，∴OB ＝OC ，∴四边形BPCO 为正方形．15. 解：(1)四边形EGFH 是矩形．理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC .∵BE ＝DF ，∴AD －DF ＝BC －BE ，∴AF ＝CE ，∴四边形AECF 是平行四边形，∴AE ∥CF ，∴∠AEH ＋∠FHE ＝180°.∵EH ⊥CF ，FG ⊥AE ，∴∠FGE ＝∠FHE ＝∠GEH ＝90°，∴四边形EGFH 是矩形；(2)∵FG ⊥AE ，∴∠AGF ＝90°.在Rt △AGF 中，tan ∠DAE ＝GF AG＝2， ∴GF ＝2AG .∵EG ＝2GF ，∴EG ＝4AG .∵AE ＝AG ＋EG ＝5，∴AG ＝1，即AG 的长为1.16. 20°；0° 【解析】①∵菱形相邻两个内角的度数和为180°，∴α＋β＝180°，即80°＋β＝180，解得β＝100°，∴该菱形的“接近度”为|α－β|＝|80°－100°|＝20°；②∵当α＝β＝90°时，菱形是正方形，∴|α－β|＝0°时，菱形是正方形．课时21. C 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AC ⊥BD ，∴∠DCA ＝∠1＝20°，∴∠2＝90°－∠DCA ＝70°.2. C 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴BC ＝DC ，BE ＝DE ，∵∠DBC ＝60°，∴△BDC是等边三角形，∴CD ＝BD ＝10.∵点F 为BC 中点，∴EF ＝12CD ＝5. 3. D 【解析】由折叠可知，剪下的图形两条对角线互相垂直且平分，此时图形为菱形，∵∠ABC ＝45°，∴剪下的图形有一个角为90°，∴有一个角为90°的菱形是正方形，∵AB ＝4 cm ，根据勾股定理得BC ＝42 cm ，故剪下来图形的周长为4×42 ＝16 2 cm. 4. 6 【解析】∵四边形ABCD 为正方形，AB ＝2，∴AC ＝22 .∵O 为正方形ABCD 对角线AC 的中点，△ACE 为等边三角形，∴∠AOE ＝90°，∴AC ＝AE ＝22 ，AO ＝2 ，∴OE＝6 .5. 6013【解析】如解图，连接OE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°， AB ＝CD ＝5，AD ＝BC ＝12.在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2＋AD 2 ＝13.∴AC ＝BD ＝13.∵AC 与BD 交于点O ，∴AO ＝CO ＝BO ＝DO ＝132 .∵S △BCO ＝14 S 四边形ABCD ＝14×12×5＝15，∴S △BCO ＝S △BEO ＋S △CEO ＝12 BO ·EG ＋12 CO ·EF ＝12 ×132 (EG ＋EF )＝15，∴EF ＋EG ＝15×413 ＝6013.第5题解图6. (1)3 【解析】(1)如解图，过点E 作EM ⊥AD 于点M ，∵△ADE 是等腰三角形，EA ＝ED ＝52 ，AD ＝3，∴AM ＝12 AD ＝32，∴EM ＝AE 2－AM 2 ＝（52）2－（32）2 ＝2，∴S △ADE ＝12 AD ·EM ＝12 ×3×2＝3. (2)13 【解析】如解图，延长EM 交AG 于点N ，∵∠BAD ＝∠AME ＝90°，∴AB ∥NE ，∴∠ABF ＝∠FEN ，∠BAF ＝∠ENF .又∵点F 为BE 中点，∴BF ＝EF ，∴△AFB ≌△NFE ，∴EN ＝BA ＝3.由(1)知，EM ＝2，∴NM ＝1.∵∠NMD ＝∠ADC ＝90°，且M 为AD 中点，∴NM ∥GD ，∴NM 为△AGD 的中位线，∴GD ＝2NM ＝2，∴AG ＝AD 2＋GD 2 ＝13 .第6题解图7. 证明：(1)∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE .又∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE .在△AFE 和△DCE 中，∵ ⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠DCE ，∠AEF ＝∠DEC ，AE ＝DE ，∴△AFE≌△DCE，∴AF＝DC.又∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝BD；(2)∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．又∵D是BC的中点，∴∠ADB＝90°，由(1)知F A＝BD，又∵F A∥BD，∴四边形ADBF是平行四边形．又∵∠ADB＝90°，∴四边形ADBF是矩形．8. 解：(1)四边形OCDE为菱形，理由如下：∵CE是线段OD的垂直平分线，∴OF＝DF，OC＝DC.∵CD∥OE，∴∠EOF＝∠CDF.∵∠EFO＝∠CFD，∴△OFE≌△DFC，∴OE＝CD，∴四边形OCDE是平行四边形．又∵OC＝CD，∴四边形OCDE是菱形；(2)∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝OC＝OA，由(1)可知，OC＝DC，∴OC＝DO＝CD，∴△OCD 是等边三角形，∴∠DCO ＝∠CDO ＝60°，∴∠FDG ＝90°－60°＝30°.∵四边形OCDE 是菱形，∴∠DEC ＝∠DCE ＝30°，∠CGD ＝90°－∠DCE ＝60°，∴∠EDG ＝30°，∴DG ＝EG .∵CD ＝4，∴tan ∠DCG ＝DG CD ＝DG 4， ∴DG ＝4·tan 30°＝4×33 ＝433， ∴EG ＝433. 9. B 【解析】∵四边形ABCD 为矩形，∠ABD ＝60°，∴∠CDF ＝60°，∠EDA ＝∠CBD ＝30°.∵OE ＝OF ，O 为对角线BD 的中点，∴DF ＝EB .由对称的性质得DF ＝DF 2，BF ＝BF 1，BE ＝BE 2，DE ＝DE 1，∠F 2DC ＝∠CDF ＝60°，∠EDA ＝∠E 1DA ＝30°，∠F 1BC ＝∠FBC ＝30°，∴E 1F 2＝E 2F 1，∠E 1DB ＝60°，∠F 1BD ＝60°，∴DE 1∥BF 1，∴E 1F 2∥E 2F 1，∴四边形E 1E 2F 1F 2是平行四边形，如解图①，当E ，F ，O 三点重合时，DO ＝BO ，∴DE 1＝DF 2＝AE 1＝AE 2，即E 1E 2＝E 1F 2，∴四边形E 1E 2F 1F 2是菱形，如解图②，当E ，F 分别为OB ，OD 的中点时，设DB ＝4，则DF 2＝DF ＝1，DE 1＝DE ＝3，在Rt △ABD 中，AB ＝2，AD ＝23 ，连接AE ，易得AE ＝32 AB ＝3 ，根据对称性可得AE 1＝AE ＝3 ，∵AD 2＝12，DE 21 ＝9，AE 21 ＝3，即AD 2＝AE 21 ＋DE 21 ，∴△DE 1A 是直角三角形，且∠E 1＝90°，∴四边形E 1E 2F 1F 2是矩形；如解图③，当F ，E 分别与D ，B 重合时，△BE 1D ，△BDF 1都是等边三角形，则四边形E 1E 2F 1F 2是菱形，∴在这三个位置时，四边形E 1E 2F 1F 2形状的变化依次是菱形→矩形→菱形．图①图②图③第9题解图10. (1)证明：由翻折知，∠APE＝∠OPE，∵FG平分∠PFC，∴∠PFG＝∠CFG.∵AD∥BC，∴∠APF＝∠CFP，∴∠EPF＝∠PFG，∴PE∥FG；(2)解：由翻折知，EA＝EO，∠EOP＝90°.∵E，O，D三点在同一条直线上，∴∠DOF＝∠EOF＝∠C＝90°.又∵DF＝DF，∠OFG＝∠CFG，∴△DOF≌△DCF(AAS)，∴DO＝DC＝AB.∵E是AB的中点，∴设EA＝EB＝EO＝a，∴OD＝CD＝AB＝2a，∴DE＝OE＋OD＝3a.在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD2＋AE2＝DE2，∴AD＝（3a）2－a2＝22a.∵AD＝nAB，∴22a＝2na，∴n＝2.。

中考数学专题训练：矩形、菱形、正方形(附参考答案)

中考数学专题训练：矩形、菱形、正方形（附参考答案）1．下列命题正确的是( )A ．正方形的对角线相等且互相平分B ．对角互补的四边形是平行四边形C ．矩形的对角线互相垂直D ．一组邻边相等的四边形是菱形2．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则以下说法错误的是( )A ．△BDE 和△DCF 的面积相等B ．四边形AEDF 是平行四边形C ．若AB ＝BC ，则四边形AEDF 是菱形D ．若∠A ＝90°，则四边形AEDF 是矩形3．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，CE ，DF 交于点G ，连接AG .下列结论：①CE ＝DF ；②CE ⊥DF ；③∠AGE ＝∠CDF .其中正确的结论是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，∠ABC ＝60°，BC ＝2AB .下列结论：①AB ⊥AC ；②AD ＝4OE ；③四边形AECF 是菱形；④S △BOE ＝14S △ABC .其中正确结论的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝9 cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2 cm，BD，EF交于点G.若G是EF的中点，则BG的长为______cm.6．如图，在菱形ABCD中，AC，BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC的中点，则EF的长为_____．7．已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点G，过点B作BM⊥CE，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H.(1)如图1，求证：CE＝BH；(2)如图2，若AE＝AB，连接CF，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中的四个三角形(△AEG除外)，使写出的每个三角形都与△AEG全等．8．如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且BE ＝BF＝CG＝AH.若菱形的面积等于24，BD＝8，则EF＋GH＝_____．9．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F.(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；(3)若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．10．(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G.求证：△ADE∽△DCF.【问题解决】(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC 到点H，使CH＝DE，连接DH.求证：∠ADF＝∠H.【类比迁移】(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．参考答案1．A 2．C 3．A 4．D5．√13 6．5 7．(1)证明略 (2)略8．6解析：如图，连接AC ，交BD 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，BD ＝8，∴AB ＝BC ＝AD ＝CD ，AC ⊥BD ，AO ＝OC ＝12AC ，BO ＝OD ＝12BD ＝4. ∵S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝24，∴AC ＝6，∴AO ＝3，∴AB ＝√AO 2+BO 2＝5＝AD .∵BE ＝BF ＝CG ＝AH ，∴AE ＝CF ＝DH ＝DG ，∴BE AE ＝BF CF ，∴EF ∥AC .同理可得GH ∥AC ，设BE ＝BF ＝CG ＝AH ＝a ，则有DH ＝5－a ，∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ，∴BE AB ＝EF AC ，即a 5＝EF 6，∴EF ＝65a ，同理可得DH DA ＝GH CA ，即5−a 5＝GH 6，∴GH ＝6－65a ，∴EF ＋GH ＝6.9．(1)证明略(2)与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF，理由略(3)DE＝3＋√1910．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠ADE＝90°，∴∠CDF＋∠DFC＝90°.∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°，∴∠CDF＋∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF.(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°.∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)，∴DE＝CF.∵CH＝DE，∴CF＝CH.∵点H在BC的延长线上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°.又∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH(SAS)，∴∠DFC＝∠H.∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∴∠ADF＝∠H.(3)解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCG(SAS)，∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG. ∵AE＝DF，∴DG＝DF，∴△DFG是等边三角形，∴FG＝DF＝11.∵CF＋CG＝FG，∴CF＝FG－CG＝11－8＝3，即CF的长为3.。

1-平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形

∵ 116－t
＝
t 6－m
，即
6 t
＝
11－t 6－m
∴
6 36－12m
＝
6 t
，∴36－12m＝t 2，即
12m＝36－t 2
又
m＝
1 6
t
2－
11 6
t＋6，即
12m＝2t
2－22t＋72
∴2t2－22t＋72＝36－t2，即 3t2－22t＋36＝0
解得：t＝
11± 3
13
∴点 P 的坐标为（11－3 13 ，6）或（11＋3 13 ，6）
又∠OBP＝∠C＝90°，∴△OBP∽△PCQ，∴OPCB
＝
BP CQ
由题设 BP＝t，AQ＝m，BC＝11，AC＝6，则 PC＝11－t，CQ＝6－m
∴
6 11－t
＝
t 6－m
，∴m＝
1 6
t
2－
11 6
t＋6（0＜t
＜11）
y BP
B′
O
（Ⅲ）点 P 的坐标为（11－3 13 ，6）或（11＋3 13 ，6）
提示：过点 P 作 PH⊥OA 于 H
易证△PC′H∽△C′QA，∴APCH′
＝
PC′ C′Q
∵PC′＝PC＝11－t，PH＝OB＝6，AQ＝m，C′Q＝CQ＝6－m
∴AC′＝ C′Q 2－AQ 2＝ 36－12m
y BP
B
∴
6 36－12m
＝
11－t 6－m
OH
C Q C′ Ax
C Q C A x
BF AB
＝
FG EG
∵AB∥CD，∴EBCF
＝
FG EG
∴ BAFB

2020年中考(全国通用版含解析)数学必考考点专题：矩形

专题：矩形1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2．矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线平分且相等。

3．矩形判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形。

4．矩形的面积：S 矩形=长×宽=ab【例题1】（2019广西桂林）将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，BE ，EG ，FG 为折痕，若顶点A ，C ，D 都落在点O 处，且点B ，O ，G 在同一条直线上，同时点E ，O ，F 在另一条直线上，则AD AB 的值为()A ．65B 2C ．32D 3【答案】B【解析】由折叠可得，AE OE DE ==，CG OG DG ==，E ∴，G 分别为AD ，CD 的中点，设2CD a =，2AD b =，则2AB a OB ==，DG OG CG a ===，3BG a =，2BC AD b ==，90C ∠=︒ ，Rt BCG ∴∆中，222CG BC BG +=，即222(2)(3)a b a +=，222b a ∴=，即2b a =，∴2b a =，∴AD AB的值为2【例题2】（2019贵州省安顺市）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 为斜边BC 上的一个动点，过D 分别作DM ⊥AB 于点M ，作DN ⊥AC 于点N ，连接MN ，则线段MN 的最小值为.BD M NC A【答案】512【解析】连接AD ，即可证明四边形AMDN 是矩形；由矩形AMDN 得出MN ＝AD ，再由三角形的面积关系求出AD 的最小值，即可得出结果．连接AD ，如图所示：BD M NC A∵DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴∠AMD ＝∠AND ＝90°，又∵∠BAC ＝90°，∴四边形AMDN 是矩形；∴MN ＝AD ，∵∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，∴BC ＝5，当AD ⊥BC 时，AD 最短，此时△ABC 的面积＝21BC •AD ＝21AB •AC ，∴AD 的最小值＝125AB AC BC ⋅=，∴线段MN 的最小值为512。

2019中考数学试题分类汇编考点25矩形含解析.doc

2019中考数学试题分类汇编：考点25 矩形一．选择题（共6小题）1．（2019•遵义）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（）A．10 B．12 C．16 D．18【分析】想办法证明S△PEB=S△PFD解答即可．【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，∴S△DFP=S△PBE=×2×8=8，∴S阴=8+8=16，故选：C．2．（2019•枣庄）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（）A．B．C．D．【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF=AF，EF=AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出EF=DE，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出DF==2x，再由三角函数定义即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∵点E 是边BC 的中点，∴BE=BC=AD ，∴△BEF ∽△DAF ，∴=，∴EF=AF ，∴EF=AE ，∵点E 是边BC 的中点，∴由矩形的对称性得：AE=DE ，∴EF=DE ，设EF=x ，则DE=3x ，∴DF==2x ，∴tan ∠BDE===；故选：A ．3．（2019•威海）矩形ABCD 与CEFG ，如图放置，点B ，C ，E 共线，点C ，D ，G 共线，连接AF ，取AF 的中点H ，连接GH ．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（）A ．1B ．C ．D ．【分析】延长GH 交AD 于点P ，先证△APH ≌△FGH 得AP=GF=1，GH=PH=PG ，再利用勾股定理求得PG=，从而得出答案．【解答】解：如图，延长GH 交AD 于点P ，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2、GF=CE=1，∴AD∥GF，∴∠GFH=∠PAH，又∵H是AF的中点，∴AH=FH，在△APH和△FGH中，∵，∴△APH≌△FGH（ASA），∴AP=GF=1，GH=PH=PG，∴PD=AD﹣AP=1，∵CG=2、CD=1，∴DG=1，则GH=PG=×=，故选：C．4．（2019•杭州）如图，已知点P是矩形ABCD内一点（不含边界），设∠PAD=θ1，∠PBA=θ2，∠PCB=θ3，∠PDC=θ4，若∠APB=80°，∠CPD=50°，则（）A．（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）=30°B．（θ2+θ4）﹣（θ1+θ3）=40°C．（θ1+θ2）﹣（θ3+θ4）=70°D．（θ1+θ2）+（θ3+θ4）=180°【分析】依据矩形的性质以及三角形内角和定理，可得∠ABC=θ2+80°﹣θ1，∠BCD=θ3+130°﹣θ4，再根据矩形ABCD中，∠ABC+∠BCD=180°，即可得到（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）=30°．【解答】解：∵AD∥BC，∠APB=80°，∴∠CBP=∠APB﹣∠DAP=80°﹣θ1，∴∠ABC=θ2+80°﹣θ1，又∵△CDP中，∠DCP=180°﹣∠CPD﹣∠CDP=130°﹣θ4，∴∠BCD=θ3+130°﹣θ4，又∵矩形ABCD中，∠ABC+∠BCD=180°，∴θ2+80°﹣θ1+θ3+130°﹣θ4=180°，即（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）=30°，故选：A．5．（2019•聊城）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（﹣，）【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出△ONC1三边关系，再利用勾股定理得出答案．【解答】解：过点C1作C1N⊥x轴于点N，过点A1作A1M⊥x轴于点M，由题意可得：∠C1NO=∠A1MO=90°，∠1=∠2=∠3，则△A1OM∽△OC1N，∵OA=5，OC=3，∴OA1=5，A1M=3，∴OM=4，∴设NO=3x，则NC1=4x，OC1=3，则（3x）2+（4x）2=9，解得：x=±（负数舍去），则NO=，NC1=，故点C的对应点C1的坐标为：（﹣，）．故选：A．6．（2019•上海）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC【分析】由矩形的判定方法即可得出答案．【解答】解：A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；故选：B．二．填空题（共6小题）7．（2019•金华）如图2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，则的值是．【分析】设七巧板的边长为x，根据正方形的性质、矩形的性质分别表示出AB，BC，进一步求出的值．【解答】解：设七巧板的边长为x，则AB=x+x，BC=x+x+x=2x，==．故答案为：．8．（2019•达州）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，2）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为（﹣2，6）．【分析】连接OB1，作B1H⊥OA于H，证明△AOB≌△HB1O，得到B1H=OA=6，OH=AB=2，得到答案．【解答】解：连接OB1，作B1H⊥OA于H，由题意得，OA=6，AB=OC﹣2，则tan∠BOA==，∴∠BOA=30°，∴∠OBA=60°，由旋转的性质可知，∠B1OB=∠BOA=30°，∴∴∠B1OH=60°，在△AOB和△HB1O，，∴△AOB≌△HB1O，∴B1H=OA=6，OH=AB=2，∴点B1的坐标为（﹣2，6），故答案为：（﹣2，6）．9．（2019•上海）对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如图1），那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称为该矩形的高．如图2，菱形ABCD的边长为1，边AB水平放置．如果该菱形的高是宽的，那么它的宽的值是．【分析】先根据要求画图，设矩形的宽AF=x，则CF=x，根据勾股定理列方程可得结论．【解答】解：在菱形上建立如图所示的矩形EAFC，设AF=x，则CF=x，在Rt△CBF中，CB=1，BF=x﹣1，由勾股定理得：BC2=BF2+CF2，，解得：x=或0（舍），即它的宽的值是，故答案为：．10．（2019•连云港）如图，E、F，G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC，GA，GF．已知AG⊥GF，AC=，则AB的长为 2 ．【分析】如图，连接BD．由△ADG∽△GCF，设CF=BF=a，CG=DG=b，可得=，推出=，可得b=a，在Rt△GCF中，利用勾股定理求出b，即可解决问题；【解答】解：如图，连接BD．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠DCB=90°，AC=BD=，∵CG=DG，CF=FB，∴GF=BD=，∵AG⊥FG，∴∠AGF=90°，∴∠DAG+∠AGD=90°，∠AGD+∠CGF=90°，∴∠DAG=∠CGF，∴△ADG∽△GCF，设CF=BF=a，CG=DG=b，∴=，∴=，∴b2=2a2，∵a＞0．b＞0，∴b=a，在Rt△GCF中，3a2=，∴a=，∴AB=2b=2．故答案为2．11．（2019•株洲）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC=10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为 2.5 ．【分析】根据矩形的性质可得AC=BD=10，BO=DO=BD=5，再根据三角形中位线定理可得PQ=DO=2.5．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=10，BO=DO=BD，∴OD=BD=5，∵点P、Q是AO，AD的中点，∴PQ是△AOD的中位线，∴PQ=DO=2.5．故答案为：2.5．12．（2019•嘉兴）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点E在CD上，DE=1，点F是边AB上一动点，以EF为斜边作Rt△EFP．若点P在矩形ABCD的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则AF的值是0或1＜AF或4 ．【分析】先根据圆周角定理确定点P在以EF为直径的圆O上，且是与矩形ABCD的交点，先确定特殊点时AF的长，当F与A和B重合时，都有两个直角三角形．符合条件，即AF=0或4，再找⊙O与AD 和BC相切时AF的长，此时⊙O与矩形边各有一个交点或三个交点，在之间运动过程中符合条件，确定AF的取值．【解答】解：∵△EFP是直角三角形，且点P在矩形ABCD的边上，∴P是以EF为直径的圆O与矩形ABCD的交点，①当AF=0时，如图1，此时点P有两个，一个与D重合，一个交在边AB上；②当⊙O与AD相切时，设与AD边的切点为P，如图2，此时△EFP是直角三角形，点P只有一个，当⊙O与BC相切时，如图4，连接OP，此时构成三个直角三角形，则OP⊥BC，设AF=x，则BF=P1C=4﹣x，EP1=x﹣1，∵OP∥EC，OE=OF，∴OG=EP1=，∴⊙O的半径为：OF=OP=，在Rt△OGF中，由勾股定理得：OF2=OG2+GF2，∴，解得：x=，∴当1＜AF＜时，这样的直角三角形恰好有两个，③当AF=4，即F与B重合时，这样的直角三角形恰好有两个，如图5，综上所述，则AF的值是：0或1＜AF或4．故答案为：0或1＜AF或4．三．解答题（共5小题）13．（2019•张家界）在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证．DF=AB；（2）若∠FDC=30°，且AB=4，求AD．【分析】（1）利用“AAS”证△ADF≌△EAB即可得；（2）由∠ADF+∠FDC=90°、∠DAF+∠ADF=90°得∠FDC=∠DAF=30°，据此知AD=2DF，根据DF=AB可得答案．【解答】证明：（1）在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DAF，又∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°，∴∠DFA=∠B，又∵AD=EA，∴△ADF≌△EAB，∴DF=AB．（2）∵∠ADF+∠FDC=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠FDC=∠DAF=30°，∴AD=2DF，∵DF=AB，∴AD=2AB=8．14．（2019•连云港）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．【分析】（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根据E是AD的中点，可得AD=2CD，依据AD=BC，即可得到BC=2CD．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠FAE=∠CDE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，又∵∠FEA=∠CED，∴△FAE≌△CDE，∴CD=FA，又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形；（2）BC=2CD．证明：∵CF平分∠BCD，∴∠DCE=45°，∵∠CDE=90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD=DE，∵E是AD的中点，∴AD=2CD，∵AD=BC，∴BC=2CD．15．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．（1）求证：△ADE≌△BCE；（2）若AB=6，AD=4，求△CDE的周长．【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS证得结论；（2）由（1）中全等三角形的对应边相等和勾股定理求得线段DE的长度，结合三角形的周长公式解答．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AD=BC，∠A=∠B=90°．∵E是AB的中点，∴AE=BE．在△ADE与△BCE中，，∴△ADE≌△BCE（SAS）；（2）由（1）知：△ADE≌△BCE，则DE=EC．在直角△ADE中，AE=4，AE=AB=3，由勾股定理知，DE===5，∴△CDE的周长=2DE+AD=2DE+AB=2×5+6=16．16．（2019•沈阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D 作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是 4 ．【分析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD=90°．∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∠COD=90°，∴平行四边形OCED是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则CE=OD=1，DE=OC=2．∵四边形ABCD是菱形，∴AC=2OC=4，BD=2OD=2，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD=×4×2=4．故答案是：4．17．（2019•玉林）如图，在▱ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM'与NN'，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF．（1）求证：四边形EFNM是矩形；（2）已知：AE=4，DE=3，DC=9，求EF的长．【分析】（1）要说明四边形EFNM是矩形，有ME⊥CD．FN⊥CD条件，还缺ME=FN．过点E、F分别作AD、BC的垂线，垂足分别是G、H．利用角平分线上的点到角两边的距离相等可得结论．（2）利用平行四边形的性质，证明直角△DEA，并求出AD的长．利用全等证明△GEA≌△CNF，△DME ≌△DGE从而得到DM=DG，AG=CN，再利用线段的和差关系，求出MN的长得结论．【解答】解：（1）证明：过点E、F分别作AD、BC的垂线，垂足分别是G、H．∵∠3=∠4，∠1=∠2，EG⊥AD，EM⊥CD，EM′⊥AB∴EG=ME，EG=EM′∴EG=ME=ME′=MM′同理可证：FH=NF=N′F=NN′∵CD∥AB，MM′⊥CD，NN′⊥CD，∴MM′=NN′∴ME=NF=EG=FH又∵MM′∥NN′，MM′⊥CD∴四边形EFNM是矩形．（2）∵DC∥AB，∴∠CDA+∠DAB=180°，∵，∠2=∠DAB ∴∠3+∠2=90°在Rt△DEA，∵AE=4，DE=3，∴AB==5．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=∠DCB，又∵∠2=∠DAB，∠5=∠DCB，∴∠2=∠5由（1）知GE=NF在Rt△GEA和Rt△CNF中∴△GEA≌△CNF∴AG=CN在Rt△DME和Rt△DGE中∵DE=DE，ME=EG∴△DME≌△DGE∴DG=DM∴DM+CN=DG+AG=AB=5∴MN=CD﹣DM﹣CN=9﹣5=4．∵四边形EFNM是矩形．∴EF=MN=4。

中考数学复习满分突破(全国通用)：专题18 矩形折叠问题(解析版)

专题18矩形折叠问题模型的概述：已知矩形的长与宽，利用勾股定理、相似三角形及翻折的性质，求各线段边长。

解题方法：不找以折痕为边长的直角三角形，利用未知数表示其它直角三角形三边，通过勾股定理/相似三角形知识求解。

问题：根据已知信息，求翻折后各边长。

模型一：思路：模型二：思路：模型三：思路：尝试借助一线三垂直知识利用相似的方法求解模型四：思路：模型五：思路：模型六：点M,点N分别为DC，AB中点思路：模型七：点A’为BC 中点思路：过点F 作FH ⊥AE ，垂足为点H设AE=A’E=x ，则BE=8-x 由勾股定理解得x=ퟏ �∴BE=ퟏ �由于△EBA’∽△A ’CG ∽△FD ’G∴A’G=ퟑ�ퟏCG=ퟏ ퟏGD’=ퟐ ퟏDF=D’F=AH=ퟏퟑ�HE=1EF=ퟏ【培优过关练】1．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）如图，在正方形ABCD 中，9AB ，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，120.FEB 若将四边形EBCF 沿EF 折叠，点C 恰好落在AD 边C 上，则C D 的长度为（）A ．3B ．C ．D【答案】B【分析】根据翻折的性质和正方形及勾股定理的有关性质求解．【详解】解：在正方形ABCD 中，9CD AB ，CD AB ∥，90D Ð=°，180FEB EFC ，60EFC C FE ，18060C FD EFC C FE ，30DC F ，2C F DF ，又C F CF ∵，9CF DF ，3DF ，6C F ，2．（2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，在矩形纸片ABCD中，点E在边AD上，沿着BE折叠使点A落在边CD上的点F处，若1tan3ABE，3AD ，则DF的长为（）A．1B．2C．43D．323．（2022秋·福建泉州·九年级福建省惠安第一中学校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为 1,3，将矩形沿对角线AC 折叠，使点B 落在D 点的位置，且交y 轴交于点E ，则点D 的坐标是（）A ．（3853，）B ．（35-，2）C ．（41455 ，）D ．412,55【答案】D【分析】过D 作DF AO 于F ，根据折叠可以证明CDE AOE ≌，然后利用全等三角形的性质得到,1OE DE OA CD ，设OE m ，那么3CE m DE m ，，利用勾股定理即可求出m ，然后利用已知条件可以证明AEO ADF ∽，而3AD AB ，接着利用相似三角形的性质即可求出DF 、AF 的长度，也就求出了点D 的坐标．【详解】如图，过D 作DF AO 于F ，∵点B 的坐标为 1,3，∴13AO AB ，，根据折叠可知CD BC OA ，而90ADC AOE DEC AEO ，∴CDE AOE ≌，∴,1OE DE OA CD ，设OE m ，那么3CE mDE m ，，4．（2023春·广东广州·九年级专题练习）如图，矩形纸片ABCD 中，4AB ，3AD ，折叠纸片使AD 落在对角线BD 上，折痕为DG ，点A 的对应点为A ，那么AG 的长为（）A ．1B ．43C ．32D ．2【答案】C【分析】首先设AG x ，由矩形纸片ABCD 中，4AB ，3AD ，可求得BD 的长，又由折叠的性质，可求得A B 的长，然后由勾股定理可得方程： 222x 24x ，解此方程即可解决问题．5．（2022秋·湖南邵阳·九年级校联考期中）如图，在矩形纸片ABCD 中，6,10AB BC ，点E 在CD 上，将BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△퐴� 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①45EBG ；②DEF HFG △∽△；③四边形BGDE 的面积等于35；④AG DF FG ．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．6．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD 中，8AB ，12BC ，点E 为BC 的中点，将ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为（）A ．185B ．6C ．325D ．365∵12BC ，点E 为BC ∴6BE ，又∵8AB ，∴22AE AB BE7．（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）如图，在矩形纸片ABCD 中，8AB ，11BC ，M 是BC 上的点，且3CM ，将矩形纸片ABCD 沿过点M 的直线折叠，使点D 落在AB 上的点P 处，点C 落在点C 处，折痕为MN ，当PC 与线段BC 交于点H 时，则线段BH 的长是（）A ．3B ．5516C ．4D ．7316【答案】B【分析】连接PM ，证明PBM PC M ≌即可得到3CM C M PB ，证明PBH C MH ≌，得出BH HC x ，然后列出关于x 的方程，解方程即可．【详解】解：连接PM ，如图所示：∵矩形纸片ABCD 中，8AB ，11BC ，∴8CD AB ，90A B C D ，∵3CM ，∴1138BM ，根据折叠可知，8CD PC ，90C C ，3C M CM ，∴B C ，8．（2022秋·山东枣庄·九年级校考期中）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM （）A．1B．2C1D129．（2022·辽宁营口·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中，点M 在AB 边上，把BCM 沿直线CM 折叠，使点B 落在AD 边上的点E 处，连接EC ，过点B 作BF EC ，垂足为F ，若1,2CD CF ，则线段AE 的长为（）A2B1 C ．13D ．1210．（2022·贵州毕节·统考中考真题）矩形纸片ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE ，将ABE 沿AE 折叠得到AFE △，连接CF ．若4AB ，6BC ，则CF 的长是（）A．3B．175C．72D．18511．（2022·四川宜宾·统考中考真题）如图，在矩形纸片ABCD 中，5AB ，3BC ，将BCD △沿BD 折叠到BED 位置，DE 交AB 于点F ，则cos ADF 的值为（）A ．817B ．715C ．1517D ．815【答案】C【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明AFD EFB ≌，得出AF EF ，DF BF ，设AF EF x ，则5BF x ，根据勾股定理列出关于x 的方程，解方程得出x 的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可．【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴CD =AB =5，AB =BC =3，90A C ，根据折叠可知，3BE BC ，5DE DE ，90 E C ，∴在△AFD 和△EFB 中903A E AFD EFB AD BE，∴AFD EFB ≌（AAS ），∴AF EF ，DF BF ，设AF EF x ，则5BF x ，在Rt BEF 中，222BF EF BE ，即 22253x x ，12．（2022·浙江湖州·统考中考真题）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确．．．的是（）A．BD＝10B．HG＝2C．EG FH∥D．GF⊥BC13．（2022·江苏连云港·统考中考真题）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB；③GE DF；④OC OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④⑤D．②③④14．（2021·广西来宾·统考中考真题）如图，矩形纸片ABCD ，::1AD AB ，点E ，F 分别在AD ，BC 上，把纸片如图沿EF 折叠，点A ，B 的对应点分别为A ，B ，连接AA 并延长交线段CD 于点G ，则EF AG的值为（）A ．22B ．23C ．12D 3【答案】A【分析】根据折叠性质则可得出EF 是AA 的垂直平分线，则由直角三角形性质及矩形性质可得∠AEO =∠AGD ，∠FHE ＝∠D ＝90°，根据相似三角形判定推出△EFH ∽△GAD ，再利用矩形判定及性质证得FH ＝AB ，即可求得结果．【详解】解：如图，过点F 作FH ⊥AD 于点H ，∵点A，B的对应点分别为A ，B ，15．（2011·吉林长春·中考真题）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC 重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为()A．3B．4C．5D．616．（2020·广东深圳·统考中考真题）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12．将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K,FG 交CD于点H．给出以下结论：①EF⊥BG；②GE=GF；③△GDK和△GKH的面积相等；④当点F与点C 重合时，∠DEF=75°．其中正确的结论共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】由折叠的性质可得四边形EBFG是菱形从而判断①②正确;由角平分线定理即可判断DG≠GH,由此推出③错误;根据F、C重合时的性质,可得∠AEB=30°,进而算出④正确．【详解】连接BE,由折叠可知BO=GO，∵EG//BF，∴∠EGO=∠FBO，又∵∠EOG=∠FOB，∴△EOG≌△FOB(ASA)，∴EG=BF，∴四边形EBFG是平行四边形，由折叠可知BE=EG，则四边形EBFG为菱形，故EF⊥BG，GE=GF，∴①②正确；∵四边形EBFG为菱形，∴KG平分∠DGH，∴,DG≠GH，∴S△GDK≠S△GKH,故③错误；17．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF ，GH 折叠（点E 、H 在AD 边上，点F ，G 在BC 边上），使点B 和点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A 、D 点的对称点为D ¢，若90FPG Ð=°，A EP ¢△的面积为8，D PH ¢△的面积为2，则矩形ABCD 的长为（）A ．10B ．C ．10D ．18．如图，矩形纸片ABCD ，AB=4，BC=3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE 、DE 分别交AB 于点O 、F ，且OP=OF ，则cos ∠ADF 的值为（）A ．1113B ．1315C ．1517D ．1719【答案】C【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE 、CP=EP ，由∠EOF=∠BOP 、∠B=∠E 、OP=OF 可得出△OEF ≌△OBP （AAS ），根据全等三角形的性质可得出OE=OB 、EF=BP ，设EF=x ，则BP=x 、DF=4﹣x 、BF=PC=3﹣x ，进而可得出AF=1+x ，在Rt △DAF 中，利用勾股定理可求出x 的值，再利用余弦的定义即可求出cos ∠ADF 的值．【详解】根据折叠，可知：△DCP ≌△DEP ，∴DC=DE=4，CP=EP ．在△OEF 和△OBP 中，90EOF BOP E B OF OP，∴△OEF ≌△OBP （AAS ），19．（2022·山东泰安·统考中考真题）如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AB ，则DP的长度为___________．AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若6【答案】2【分析】连接AP，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，设PF ＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x，然后根据勾股定理即可解决问题．【详解】解：连接AP，如图所示，20．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，分别延长ME、DE交AB于点F、G，若点M是BC边的中点，则FG ______cm．【答案】53##213∵四边形ABCD 是正方形，∴4,AB BC CD DA A ∵点M 为BC 的中点，21．（2022·浙江丽水·统考中考真题）如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点P 处，折痕为EF ．(1)求证：PDE CDF △≌△；(2)若4cm,5cm CD EF ，求BC 的长．22．（2022·河南·统考中考真题）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．1cm FQ DF FC ∵，1cm 4cm FQ DF FC ∵，，5QC ∴cm ，DQ =3cm ，由（2）可知，QM QC设8AP PM x PD x ，，222PD DQ PQ ∴，即222835x x23．（2022·吉林长春·统考中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A 4纸，如图①，矩形ABCD 为它的示意图．他查找了A 4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中AD ．他先将A 4纸沿过点A 的直线折叠，使点B 落在AD 上，点B 的对应点为点E ，折痕为AF ；再沿过点F 的直线折叠，使点C 落在EF 上，点C 的对应点为点H ，折痕为FG ；然后连结AG ，沿AG 所在的直线再次折叠，发现点D 与点F 重合，进而猜想ADG AFG △≌△．【问题解决】(1)小亮对上面ADG AFG △≌△的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：证明：四边形ABCD 是矩形，∴90BAD B C D ．由折叠可知，1452BAF BAD ，BFA EFA ．∴45EFA BFA ．∴AF AD．请你补全余下的证明过程．【结论应用】(2)DAG 的度数为________度，FG AF的值为_________；(3)在图①的条件下，点P 在线段AF 上，且12AP AB ，点Q 在线段AG 上，连结FQ 、PQ ，如图②，设AB a =，则FQ PQ 的最小值为_________．（用含a 的代数式表示）24．（2021·湖北荆州·统考中考真题）在矩形ABCD 中，2AB ，4 AD ，F 是对角线AC 上不与点A ，C 重合的一点，过F 作FE AD 于E ，将AEF △沿EF 翻折得到GEF △，点G 在射线AD 上，连接CG ．（1）如图1，若点A 的对称点G 落在AD 上，90FGC ，延长GF 交AB 于H ，连接CH ．①求证：CDG GAH △∽△；②求tan GHC ．（2）如图2，若点A 的对称点G 落在AD 延长线上，90GCF ，判断GCF 与AEF △是否全等，并说明理由．。

初三矩形数学试卷及答案

1. 已知矩形的对角线长度分别为6cm和8cm，则该矩形的面积是多少平方厘米？A. 24cm²B. 36cm²C. 48cm²D. 64cm²2. 矩形的长和宽分别为a和b，且a+b=10，a²+b²=68，则该矩形的面积是多少平方厘米？A. 50cm²B. 52cm²C. 54cm²D. 56cm²3. 已知矩形的长是宽的2倍，且对角线长度为10cm，则该矩形的周长是多少厘米？A. 30cmB. 32cmC. 34cmD. 36cm4. 矩形的长和宽分别为x和y，且x+y=14，x²+y²=182，则该矩形的面积是多少平方厘米？A. 60cm²B. 62cm²C. 64cm²D. 66cm²5. 矩形的长和宽分别为m和n，且m+n=12，m²+n²=120，则该矩形的面积是多少平方厘米？B. 42cm²C. 44cm²D. 46cm²6. 已知矩形的长和宽分别为p和q，且p²+q²=100，p/q=3/4，则该矩形的周长是多少厘米？A. 20cmB. 22cmC. 24cmD. 26cm7. 矩形的长和宽分别为r和s，且r²+s²=196，r/s=4/3，则该矩形的面积是多少平方厘米？A. 144cm²B. 150cm²C. 156cm²D. 162cm²8. 已知矩形的长是宽的3倍，且对角线长度为15cm，则该矩形的周长是多少厘米？A. 30cmB. 35cmC. 40cmD. 45cm9. 矩形的长和宽分别为t和u，且t²+u²=256，t/u=5/4，则该矩形的面积是多少平方厘米？A. 100cm²C. 120cm²D. 130cm²10. 已知矩形的长和宽分别为v和w，且v²+w²=324，v/w=6/5，则该矩形的面积是多少平方厘米？A. 108cm²B. 112cm²C. 116cm²D. 120cm²二、填空题（每题5分，共20分）11. 矩形的对角线长度为10cm，则该矩形的周长最小值为________cm。

2022年中考数学精选真题41 矩形A(含答案)

2022年中考数学精选真题41 矩形 A一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)1．（3分）（2022·陕西）在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（）A．AB=AC B．AC⊥BD C．AB=AD D．AC=BD2．（3分）（2022·淮安）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中点，若AB=10，则DE的长是（）A．8B．6C．5D．43．（3分）（2022·聊城）要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（）A．测量两条对角线是否相等B．度量两个角是否是90°C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等D．测量两组对边是否分别相等4．（3分）（2022·绵阳）如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH＝CF，AE ＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°．若AH＝2，AD＝5＋3．则四边形EFGH的周长为（）A．4(2+6)B．4(2+3+1)C．8(2+3)D．4(2+6+2) 5．（3分）（2022·菏泽）如图所示，将一矩形纸片沿AB折叠，已知∠ABC=36°，则∠D1AD=（）A．48°B．66°C．72°D．78°6．（3分）（2022·包头）如图，在矩形ABCD中，AD>AB，点E，F分别在AD，BC边上，EF∥AB，AE=AB，AF与BE相交于点O，连接OC，若BF=2CF，则OC与EF之间的数量关系正确的是（）A．2OC=5EF B．5OC=2EF C．2OC=3EF D．OC=EF7．（3分）（2022·湖州）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB=6，BC=8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是（）A．BD=10B．HG=2C．EG∥FH D．GF⊥BC8．（3分）（2022·达州）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD=3BF，BE=4，则AD的长为（）A．9B．12C．15D．189．（3分）（2022·黔西）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，AB交x轴于点E，AF⊥x轴，垂足为F．若OE=3，EF=1．以下结论正确的个数是（）①OA=3AF；②AE平分∠OAF；③点C的坐标为(―4，―2)；④BD=63；⑤矩形ABCD 的面积为242．A．2个B．3个C．4个D．5个10．（3分）（2022·连云港）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D 恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上.小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB=43AD；③GE=6DF；④OC=22OF；⑤△COF∽△CEG.5其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④⑤D．②③④二、填空题（每空3分，共18分）(共6题；共18分)11．（3分）（2022·镇江）如图，在△ABC和△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，若DE=1，则FG= ．12．（3分）（2022·青海）如图矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD 和BC于点E，F，AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为．13．（3分）（2022·台州）如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为 cm2．14．（3分）（2021·盐城）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E、F分别是边BC、CD上一点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得△E C′F，连接A C′，当BE= 时，△AE C′是以AE为腰的等腰三角形.15．（3分）（2022·宿迁）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M、N分别是边AD、BC的中点，某一时刻，动点E从点M出发，沿MA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动；同时，动点F从点N出发，沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF，过点B作EF的垂线，垂足为H.在这一运动过程中，点H所经过的路径长是 .16．（3分）（2021·福建）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，点E，F分别是边AB，BC 上的动点，点E不与A，B重合，且EF=AB，G是五边形AEFCD内满足GE=GF且∠EGF=90°的点.现给出以下结论：①∠GEB与∠GFB一定互补；②点G到边AB，BC的距离一定相等；③点G到边AD，DC的距离可能相等；④点G到边AB的距离的最大值为22.其中正确的是 .（写出所有正确结论的序号）三、解答题（共8题，共72分）(共8题；共72分)17．（8分）（2022·鄂州）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF=∠BDC、∠DCF=∠ACD.（1）（4分）求证：DF=CF；（2）（4分）若∠CDF=60°，DF=6，求矩形ABCD的面积.18．（8分）（2022·苏州）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E，AE与CD交于点F.（1）（4分）求证：△DAF≌△ECF；（2）（4分）若∠FCE=40°，求∠CAB的度数.19．（8分）（2021·徐州）如图，将一张长方形纸片ABCD沿E折叠，使C，A两点重合.点D落在点G处.已知AB=4，BC=8.（1）（4分）求证：ΔAEF是等腰三角形；（2）（4分）求线段FD的长.20．（8分）（2021·雅安）如图，△OAD为等腰直角三角形，延长OA至点B使OB=OD，其对角线AC，BD交于点E.（1）（4分）求证：△OAF≌△DAB；的值.（2）（4分）求DFAF21．（10分）（2022·威海）如图：（1）（6分）将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图1叠放．①判断四边形AGCH的形状，并说明理由；②求四边形AGCH的面积．（2）（4分）如图2，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝25，BC＝7，CF＝5，求四边形AGCH 的面积．22．（10分）（2022·常德）在四边形ABCD中，∠BAD的平分线AF交BC于F，延长AB到E使BE=FC，G 是AF的中点，GE交BC于O，连接GD.（1）（5分）当四边形ABCD是矩形时，如图，求证：①GE=GD；②BO⋅GD=GO⋅FC.（2）（5分）当四边形ABCD是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明. 23．（10分）（2021·日照）问题背景：如图1，在矩形ABCD中，AB=23，∠ABD=30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD 于点F．（1）（2分）实验探究：在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到= ；②直线AE与DF所夹锐角的度数为．结论：①AEDF（2）（4分）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．（3）（2分）拓展延伸：在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为．24．（10分）（2021·荆州）在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，F是对角线AC上不与点A，C 重合的一点，过F作FE⊥AD于E，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，点G在射线AD上，连接CG.（1）（6分）如图1，若点A的对称点G落在AD上，∠FGC=90°，延长GF交AB于H，连接CH.①求证：△CDG∽△GAH；②求tan∠GHC.（2）（4分）如图2，若点A的对称点G落在AD延长线上，∠GCF=90°，判断△GCF与△AEF是否全等，并说明理由.答案解析部分1．【答案】D2．【答案】C3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】C6．【答案】A7．【答案】D8．【答案】C9．【答案】C10．【答案】B11．【答案】112．【答案】613．【答案】814．【答案】78 或 4315．【答案】52π16．【答案】①②④17．【答案】（1）证明：在△DCF 和△DCO 中，∠DCF =∠DCO CD =CD ∠CDF =∠CDO，∴△DCF ≌△DCO （ASA ），∴DF=DO ，CF=CO ，∵四边形ABCD 是矩形，∴OC =OD =12AC =12BD ，∴DF=CF=OC=OD（2）解：∵△DCF ≌△DCO ，∴∠CDO=∠CDF=60°，OD=DF=6，又∵OD=OC ，∴△OCD 是等边三角形，∴CD=OD=6，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，∴BC=CD⋅tan∠BDC=63，∴S矩形ABCD=BC⋅CD=36318．【答案】（1）证明：将矩形ABCD沿对角线AC折叠，则AD=BC=EC，∠D=∠B=∠E=90°.在△DAF和△ECF中，∠DFA=∠EFC，∠D=∠E，DA=EC，∴△DAF≌△ECF.（2）解：∵△DAF≌△ECF，∴∠DAF=∠ECF=40°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°.∴∠EAB=∠DAB―∠DAF=90°―40°=50°，∵∠FAC=∠CAB，∴∠CAB=25°.19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形∴AD//BC∴∠FEC=∠AFE因为折叠，则∠FEC=∠AEF∴∠AEF=∠AFE ∴ΔAEF是等腰三角形（2）解：∵四边形ABCD是矩形∴AD=BC=8，CD=AB=4，∠D=90°设FD=x，则AF=AD―x=8―x因为折叠，则FG=x，AG=CD=4，∠G=∠D=90°在Rt△AGF中FG2=AF2―AG2即x2=(8―x)2―42解得： x =3∴ FD =320．【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形∴E 为BD 中点∵OB =OD∴OE ⊥BD∴∠FDE +∠DFE =90°又∵△OAD 为等腰直角三角形∴∠OAF =∠DAB =90° ， AO =AD∴∠FDE +∠DBA =90°∴∠DFE =∠DAB∵∠DFE =∠OFA∴∠OFA =∠DBA在 △OAF 与 △DAB 中∠OFA =∠DBA ∠OAF =∠DAB AO =AD∴△OAF≌△DAB(AAS) ；（2）解：设 AO =AD =x∵△OAD 为等腰直角三角形∴OD =OB =2x ， AB =2x ―x ， ∠OAF =∠DAB =90°∵OE ⊥BD∴∠DEF =90°∴∠DEF =∠DAB又∵∠EDF =∠ADB∴△DEF ∽△DAB∴DE DA =DF DB∵AB =2x ―x ， AD =x∴DB =(2x ―x)2+x 2=(4―22)x 2∵E 是DB 中点∴DE =12DB =12(4―22)x 2=(4―22)x 24∴(4―22)x 24 x =DF(4―22)x2∴DF=(2―2)x∴DF AF =(2―2)xx―(2―2)x=2―22―1=2.21．【答案】（1）解：①∵四边形ABCD，四边形AECF都是矩形∴AH//CG，AG//HC∴四边形AHCG为平行四边形∵∠D=∠F=90°，∠AHE=∠CHD，AE=DC∴△AEH≌△CDH(AAS)∴AH=HC∴四边形AHCG为菱形；②设AH=CG=x，则DH=AD-AH=8-x在Rt△CDH中H C2=D H2+D C2即x2=(8―x)2+16解得x=5∴四边形AHCG的面积为5×4=20；（2）解：由图可得矩形ABCD和矩形AFCE对角线相等∴A C2=A B2+B C2=A E2+E C2=69∴EC=8设AH=CG=x则HD=7-x在Rt△AEH中，EH=AH2―AE2=x2―5在Rt△CDH中，CH=DH2+DC2=(7―x)2+20∵EC=EH+CH=8∴x=3∴四边形AGCH的面积为3×25=65．22．【答案】（1）证明：①证明过程：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC=∠BAD=90°∵AF平分∠BAD∴∠BAF=∠DAF=45°∴△ABF为等腰直角三角形∴AB=BF∵BE=FC∴AB+BE=BF+CF，即AE=BC=AD∵AG=AG∴△ADG≌△AEG∴GE=GD②证明：连接BG，CG，∵G为AF的中点，四边形ABCD为矩形，∴∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC∴BG=AG=FG∵AF平分∠BAD，△ABF为等腰直角三角形，∴∠BAF=∠DAF=45°=∠ABG=∠CBG∴△ADG≌△BCG∴∠ADG=∠BCG∵△ADG≌△AEG∴∠E=∠ADG∴∠E=∠BCG∵∠BOE=∠GOC∴△BOE∽△GOC∴BOBE=GOGC=GOGD=BOCF ∴BO⋅GD=GO⋅FC（2）解：作DM⊥BC交BC于M，连接GM，作GN⊥DM交DM于点N，如图所示∴∠DMB=90°=∠GNM=∠GND=∠DMC 由（1）同理可证：△ADG≌△AEG∴∠E=∠ADG∵四边形ABCD为平行四边形∴AD∥BC∴∠ADM=∠DMC=90°∴BC∥GN∥AD∵G为AF的中点，由平行线分线段成比例可得DN=MN∴DG=MG，∴∠GDM=∠GMD，∴∠ADG=∠BMG=∠E∵∠BOE=∠GOM∴△BOE∽△GOM∴BOBE=GOGM=GOGD=BOCF ∴BO⋅GD=GO⋅FC23．【答案】（1）32；30°（2）解：结论仍然成立，理由如下：如图3，设AE与BD交于点O，AE与DF交于点H，∵将ΔBEF绕点B按逆时针方向旋转，∴∠ABE =∠DBF ，又∵BE BF =AB DB =32，∴ΔABE ∽ΔDBF ，∴AE DF =BE BF =32，∠BDF =∠BAE ，又∵∠DOH =∠AOB ，∴∠ABD =∠AHD =30°，∴直线AE 与DF 所夹锐角的度数为30°．（3）133+398或133―39824．【答案】（1）解：①证明：在矩形ABCD 中，∠BAD=∠D=90° ∴∠DCG+∠DGC=90°又∵∠FGC=90°∴∠AGH+∠DGC=90°∴∠DCG=∠AGH∴△CDG ~ △GAH②设EF=x∵△AEF 沿EF 折叠得到△GEF ∴AE=EG∵EF ⊥AD∴∠AEF=90°=∠D∴EF//CD//AB ∴△AEF ~ △ADC∴EF CD = AE AD∴EF AE = CD AD = 24 = 12∴AE=EG=2x∴AG=4x∵AE=EG ，EF//AB∴EF AH = EG AG = 12∴AH=2EF=2x∵△CDG ~ △GAH∴AG DC = AHDG= HGCG∴4x2= 2x4―4x= HGCG∴x= 34∴4x2= 32= HGCG∵∠FCG=90°∴tan∠GHC= CGHG = 23（2）解：不全等理由如下：在矩形ABCD中，AC= AB2+AD2= 22+42= 25由②可知：AE=2EF∴AF= AE2+EF2= 5EF由折叠可知，AG=2AE=4EF，AF=GF∵∠AEF=∠GCF，∠FAE=∠GAC∴△AEF ~△ACG∴AE AC = AFAG∴2EF25= 54∴EF= 54∴AE= 52，AF= 545∴FC=AC-AF=2 5- 545= 345∴AE ≠FC，EF ≠FC ∴不全等。

矩形中考试题及答案

矩形中考试题及答案
考试题一：计算矩形面积
给定一个矩形的长为a，宽为b，请计算该矩形的面积。

考试题二：计算矩形周长
给定一个矩形的长为a，宽为b，请计算该矩形的周长。

考试题三：判断矩形是否为正方形
给定一个矩形的长为a，宽为b，请判断该矩形是否为正方形。

考试题四：判断两个矩形是否相等
给定两个矩形的长和宽分别为a1、b1和a2、b2，请判断这两个矩形是否相等。

答案及解析：
考试题一：计算矩形面积
答案：矩形的面积可以用公式S = a * b来计算，其中a和b分别代表矩形的长和宽。

将a和b代入公式，即可得到矩形的面积。

注意单位要一致。

考试题二：计算矩形周长
答案：矩形的周长可以用公式C = 2 * (a + b)来计算，其中a和b分别代表矩形的长和宽。

将a和b代入公式，即可得到矩形的周长。

注意单位要一致。

考试题三：判断矩形是否为正方形
答案：矩形如果长和宽相等，则该矩形为正方形；反之，则该矩形不是正方形。

考试题四：判断两个矩形是否相等
答案：两个矩形是否相等可以通过比较它们的长和宽是否相等来判断。

如果两个矩形的长和宽均相等，则它们相等；反之，则它们不相等。

以上是矩形中的考试题及答案，通过这些题目可以帮助学生巩固对矩形面积、周长以及判断矩形是否为正方形的概念。

希望同学们能认真思考并在解答问题时灵活应用所学的知识。

2024年中考数学考点针对复习提升测试题——矩形-试卷

2024年中考数学考点针对复习提升测试题——矩形一、选择题（本大题共10道小题）1. (2023•安徽模拟)在矩形ABCD 中,AB ＝9,BC ＝15,点E 在CD 边上,ED ＝5,点F 在BC 边上,BF ＜CF,且∠AFE ＝90°,则△AEF 的面积为( )A.30B.60C.80D.902. (2023·贵州)如图,在矩形ABCD 中,A(-3,2),B(3,2),C(3,-1),则D 的坐标为( )A.(-2,-1)B.(4,-1)C.(-3,-2)D.(-3,-1)3. [2023·广州]如图,矩形ABCD 的对角线AC,BD 交于点O,AB=6,BC=8,过点O 作OE ⊥AC,交AD 于点E,过点E 作EF ⊥BD,垂足为F,则OE+EF 的值为( )A.548B.532C.524D.5124. (2023嘉兴模拟)如图,矩形纸片ABCD 中,AD ＝6,E 是CD 上一点,连接AE,△ADE 沿直线AE 翻折后点D 落到点F,过点F 作FG ⊥AD,垂足为G.若AD ＝3GD,则DE 的值为( )A. 5B.52C.655D.5335. (2023·安徽·合肥市五十中学新校一模)如图,矩形ABCD 的边长AD=3,AB=2,E 为AB 的中点,F 在边BC 上,且BF=2FC,AF 分别与DE 、DB 相交于点M,N,则MN 的长为( )A.225B.9220C.324D.4256. (2023·贵州毕节)如图,在矩形纸片ABCD 中,AB=7,BC=9,M 是BC 上的点,且CM=2.将矩形纸片ABCD 沿过点M 的直线折叠,使点D 落在AB 上的点P 处,点C 落在点C ’处,折痕为MN,则线段PA 的长是( )A.4B.5C.6D.25 7. (2023·合肥模拟)如图,点P 是矩形ABCD 的边AD 上的一个动点,矩形的两条边AB,BC 的长分别为6和8,若S △APC ＝15,那么点P 到对角线BD 的距离是( )A.65B.95C.125D.2458. (2023·湖北恩施)如图,在矩形ABCD 中,连接BD,分别以B 、D 为圆心,大于21BD 的长为半径画弧,两弧交于P 、Q 两点,作直线PQ,分别与AD 、BC 交于点M 、N,连接BM 、DN.若AD=4,AB=2.则四边形MBND 的周长为( )A.25B.5C.10D.209. (2023·河北保定)如图,矩形AEHC 是由三个全等矩形拼成的,AH 与BE 、BF 、DF 、DG 、CG 分别交于点P 、Q 、K 、M 、N.设△BPQ,△DKM,△CNH 的面积依次为S 1,S 2,S 3.若S 1+S 3＝20,则S 2的值为( )A.6B.8C.10D.1210. (2023·湖北荆州)如图,已知矩形ABCD 的边长分别为a,b,进行如下操作:第一次,顺次连接矩形ABCD 各边的中点,得到四边形A 1B 1C 1D 1;第二次,顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边的中点,得到四边形A 2B 2C 2D 2;…如此反复操作下去,则第n 次操作后,得到四边形A n B n C n D n 的面积是( )A.n 2abB.1-n 2abC.1n 2abD.2n 2ab二、填空题（本大题共8道小题）11. (2023·河北唐山)将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转ɑ(0°＜ɑ＜360°),得到矩形AEFG.当GC=GB 时,下列针对ɑ值的说法正确的是( )A.60°或300°B.60°或330°C.30°D.60°12. (2023·河北石家庄)如图,△ABC中,∠ACB=90o,∠ABC=40o.将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A’BC’,使点C的对应点C’恰好落在边AB上,则∠CAA’的度数是( )A.50oB.70oC.110oD.120o13. [2023·甘孜州]如图,有一张长方形纸片ABCD,AB=8 cm,BC=10 cm,点E为CD上一点,将纸片沿AE折叠,BC的对应边B'C'恰好经过点D,则线段DE的长为cm.14. (2023•西宁)如图,在矩形ABCD中,E为AD的中点,连接CE,过点E作CE的垂线交AB于点F,交CD的延长线于点G,连接CF.已知AF＝,CF＝5,则EF＝.15. (2023·贵州黔东南)如图,矩形纸片ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC 重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为____.16. (2023•内江)如图,矩形ABCD,AB＝1,BC＝2,点A在x轴正半轴上,点D在y轴正半轴上.当点A在x轴上运动时,点D也随之在y轴上运动,在这个运动过程中,点C到原点O的最大距离为.17. (2023·浙江宁波)如图,在矩形ABCD中,点E在边AB上,△BEC与△FEC关于直线EC对称,点B的对称点F在边AD上,G为CD中点,连接BG分别与CE,CF交于M,N两点.若BM＝BE,MG ＝1,则BN的长为____,sin∠AFE的值为____.18. (2023•瑶海区校级三模)如图,在矩形ABCD中,AB＝8,AD＝6,点E是BC边上一点,将△ABE 沿AE折叠得到△AFE,AF的延长线交边BC于点G.(1)当点G与点C重合时,EG的长为;(2)当DF＝AF时,AG的长为.三、解答题（本大题共6道小题）19. (2023九上·乐山期中)如图,在矩形ABCD和矩形AEGH中,AD:AB=AH:AE=1:2.则DH:CG:BE= .20. [2023·恩施州]如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,且DE∥AC,AE∥BD,连接OE.求证:OE⊥AD.21. (2023·长沙中考)如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△OAB是等边三角形,AB＝4.(1)求证:▱ABCD是矩形;(2)求AD的长.22. (2023云南模拟)如图,在平行四边形ABCD中,P是AB上一点(不与点A,B重合),CP＝CD,过点P作PQ⊥CP,交AD于点Q,连接CQ,∠BPC＝∠AQP.(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)当AP＝3,AD＝9时,求AQ和CQ的长.23. [2023·大庆]如图,在平行四边形ABCD中,AB=3,点E为线段AB的三等分点(靠近点A),点F为线段CD的三等分点(靠近点C),且CE⊥AB.将△BCE沿CE对折,BC边与AD边交于点G,且DC=DG.(1)证明:四边形AECF为矩形;(2)求四边形AECG的面积.24. (2023·绍兴中考)如图,矩形ABCD中,AB＝4,点E是边AD的中点,点F是对角线BD上一动点,∠ADB＝30°.连接EF,作点D关于直线EF的对称点P.(1)若EF⊥BD,求DF的长;(2)若PE⊥BD,求DF的长;(3)直线PE交BD于点Q,若△DEQ是锐角三角形,求DF长的取值范围.。

题目: 中考矩形证明与计算(含答案)

题目: 中考矩形证明与计算(含答案)中考矩形证明与计算（含答案）矩形的定义矩形是一个具有四个直角的四边形。

矩形的性质1. 矩形的四条边相等，相邻两边互相垂直。

2. 矩形对角线相等，互相平分。

3. 矩形内角均为直角。

4. 矩形的面积为长乘以宽，周长为长、宽之和的两倍。

矩形的证明矩形的四条边相等略矩形对角线相等略矩形内角均为直角略矩形的面积公式假设矩形的长为 $l$，宽为 $w$。

根据定义，矩形的面积为长乘以宽，即 $S=lw$。

而矩形的周长为长、宽之和的两倍，即 $C=2(l+w)$。

矩形的计算例1已知矩形的长 $l=5$，宽 $w=3$，求矩形的面积与周长。

解：矩形的面积为 $S=lw=5\times3=15$。

矩形的周长为 $C=2(l+w)=2(5+3)=16$。

例2已知矩形的周长为$C=20$，面积为$S=24$，求矩形的长和宽。

解：已知 $C=2(l+w)$，代入 $C=20$，解得 $l+w=10$。

已知 $S=lw$，代入 $S=24$，解得 $lw=24$。

又有 $l+w=10$，解得 $l=10-w$。

将 $l=10-w$ 代入 $lw=24$，得 $(10-w)w=24$，解得 $w=4$ 或$w=6$。

由 $l+w=10$ 可知 $w=4$ 时 $l=6$，$w=6$ 时 $l=4$。

因此矩形的长为 $6$，宽为 $4$ 或者长为 $4$，宽为 $6$。

答案例1矩形的面积为 $15$，周长为 $16$。

例2矩形的长为 $6$，宽为 $4$，或长为 $4$，宽为 $6$。

中考专题——矩形的证明题

中考专题——矩形的证明题矩形是几何学中常见的形状之一，下面我们来研究一些关于矩形的证明题。

1. 矩形的性质矩形有以下几个性质：- 对角线相等：一个矩形的两条对角线相等。

- 对角线互相垂直：一个矩形的两条对角线互相垂直。

- 两对邻边相等：一个矩形的两对邻边相等。

2. 矩形的证明题例子证明矩形的四个顶点共圆给定一个矩形ABCD，我们需要证明其四个顶点A、B、C、D 共圆。

证明过程：我们可以使用圆内接矩形的性质来证明矩形的四个顶点共圆。

设矩形ABCD的中心为O，连接OA、OB、OC、OD四条边。

根据圆内接矩形的性质可知，OA、OB、OC、OD四条边互相垂直，并且交于同一点O。

由于矩形的性质，我们知道OA、OC 和OB、OD两对边相等。

因此，四个顶点A、B、C、D共圆。

至此，我们证明了矩形的四个顶点共圆。

证明矩形的两条对角线相等给定一个矩形ABCD，我们需要证明其两条对角线AC和BD 相等。

证明过程：通过观察矩形的性质，我们知道矩形ABCD的两条对角线AC和BD分别是两组互相垂直的边。

由矩形对角线相等的性质可知，我们只需要证明其中一对对角线相等即可。

假设AC和BD的交点为O。

连接AO、OC、BO、OD四条边。

根据矩形的性质，我们知道OA、OC和OB、OD两对边相等。

又因为OA和OB两条边互相垂直，OC和OD两条边互相垂直，所以三角形OAC和三角形OBD是直角三角形。

根据直角三角形的性质，我们可知OAC与OBD两个直角三角形的两条腰分别相等。

因此，我们可以得出结论，矩形ABCD的对角线AC和BD相等。

至此，我们证明了矩形的两条对角线相等。

3. 总结矩形是一个有很多性质的几何形状。

通过理解矩形的性质，我们可以根据这些性质来推导和证明一些相关的问题。

以上是关于矩形的证明题的例子，希望对你有所帮助。

2019年中考真题矩形,菱形,正方形分类汇编(PDF版含解析)

与五边形 MCNGF 面积相等，∴（OF＋FM）2＝GF＋ 1 GF＝ 5 GF2，∴ 2 GF＋FM＝ 5 GF，∴
4
4
2
2
FM＝ 5 GF－ 2 GF，∴ FM ＝ 5 2 .故选 A．
2
2
GF
2
. (2019·台州)如图,有两张矩形纸片 ABCD 和 EFGH,AB＝EF＝2cm,BC＝FG＝8cm,把纸片 ABCD
【解析】连接 AC，交 BD 于点 F，过点 D 作 DM CE ，垂足为 M，
因为四边形 ABCD 是平行四边形，
所以 F 是 BD 的中点，AD//BC，
所以 DBC ADB ，
因为 BD 是 ABC 的平分线，
所以 ABD DBC ，
所以 ABD ADB ，
所以 AB AD ，
AD 于点 E，交 BC 于点 F，则 DE 的长是
A．1
B． 7
4
C．2
D． 12
5
【答案】B 【解析】连接 CE，∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ADC=90°，OC=OA，AD=BC=8，DC=AB=6， ∵EF⊥AC，OA=OC，∴AE=CE，在 Rt△DEC 中，DE2+DC2=CE2，即 DE2+36=（8-DE）2，解得： x= 7 ，故选 B.
积
EC CD
相等，故选 D.
．（2019·烟台）如图，面积为 24 的□ABCD 中，对角线 BD 平分 ABC ，过点 D 作 DE BD
交 BC 的延长线于点 E， DE 6 ，则 sin DCE 的值为（）．
A． 24 25
B． 4 5
C． 3 4
D． 12 25

2022年中考数学真题解析矩形的性质与判定直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半含答案

(1月最新最细）全国中考真题解析120考点汇编矩形旳性质与鉴定,直角三角形斜边上旳中线等于斜边旳二分之一一、选择题1.（•南通）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2cm，点E在BC上，且AE=CE．若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上旳点B1重叠，则AC= 4 cm．考点：翻折变换（折叠问题）。

分析：根据题意推出AB= A'B=2，由AE=CE推出AB1=B1C，即AC=4．解答：解：∵AB=2cm，A'B=AB，，∴A'B=2，∵矩形ABCD，AE=CE，∴∠ABE=∠AB1E=90°，∵AE=CE，∴A'B='B C，∴AC=4．故答案为4．点评：本题重要考察翻折旳性质、矩形旳性质、等腰三角形旳性质，解题旳关键在于推出AB= A'B．2.（江苏无锡，5，3分）菱形具有而矩形不一定具有旳性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补考点：矩形旳性质；菱形旳性质。

专题：推理填空题。

分析：根据菱形对角线垂直平分旳性质及矩形对交线相等平分旳性质对各个选项进行分析，从而得到最终旳答案．解答：解：A、菱形对角线互相垂直，而矩形旳对角线则不垂直；故本选项错误；B、菱形和矩形旳对角线都相等；故本选项对旳；C、菱形和矩形旳对角线都互相平分；故本选项对旳；D、菱形对角相等，但不互补；故本选项对旳；故选A．点评：此题重要考察了学生对菱形及矩形旳性质旳理解及运用．菱形和矩形都具有平行四边形旳性质，不过菱形旳特性是：对角线互相垂直、平分，四条边都相等．3.（•宁夏，2，3分）如图，矩形ABCD旳两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，则AB旳长是（）A、2B、4C、23D、43考点：矩形旳性质；等边三角形旳鉴定与性质。

分析：本题旳关键是本题旳关键是运用等边三角形和矩形对角线旳性质即锐角三角函数关系求长度．解答：解：∵在矩形ABCD 中，AO=21AC ，DO=21BD ，AC=BD ， ∴AO=DO，又∵∠AOD=60°， ∴∠ADB=60°， ∴∠ABD=30°， ∴AB AD=tan30°，即AB2=33， ∴AB=23．故选C ．点评：本题考察了矩形旳性质和锐角三角函数关系，具有一定旳综合性，难度不大属于基础性题目．4. （台湾，29，4分）如图，长方形ABCD 中，E 为BC 中点，作∠AEC 旳角平分线交AD 于F 点．若AB ＝6，AD ＝16，则FD 旳长度为何？（）A ．4B ．5C ．6D ．8考点：矩形旳性质；角平分线旳性质；勾股定理。