福建省八县一中2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试卷

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福建省福州八中2013-2014学年高二数学上学期期末考试试题理新人教A版

福州八中2013-2014学年高二上学期期末考试数学〔理〕试题第1卷一、选择题〔本大题共8小题，每一小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上〕1. 命题“∀x R ∈，2210x x -+<〞的否认是A ．∀x R ∈，2210x x -+≥B ．∃x R ∈，2210x x -+≥C ．∃x R ∈，2210x x -+≤D ． ∃x R ∈，2210x x -+< 2．抛物线22y x =的焦点坐标是 A ．1(,0)4B ．1(,0)2C ．1(0,)8D ．1(0,)43. 如图，四面体ABCD 中，设M 是CD 的中点，如此1()2AB BD BC ++化简的结果是A ．DMB ．BMC ．CMD ． 4. 有如下四个命题：①“假设0x y += , 如此,x y 互为相反数〞的逆命题； ②“全等三角形的面积相等〞的否命题；③“假设1q ≤ ,如此220x x q ++=有实根〞的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等〞逆命题；其中真命题为A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④5.设集合{}2|40A x x x =-<，集合{}|03B x x =<<，如此""m A ∈是""m B ∈ 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.双曲线的渐近线为y =，且双曲线的焦点与椭圆192522=+y x 的焦点一样，如此双曲线方程为A ．221824x y -=B ．221124x y -= C ．221248x y -=D ．221412x y -= 7. 直线l : x －2y+2=0过椭圆的左焦点F 和一个顶点B, 如此该椭圆的离心率为 A.15B. 258. 平面α过点(3,0,0)A ，(0,3,0)B ，(0,0,3)C ，如此原点O 到平面α的距离为 A ．3 B ．6 CD．二、填空题〔本大题共3小题，每一小题5分，共15分〕9. 顺次连接椭圆2212516x y +=的四个顶点，得到的四边形面积等于_________。

福州市八县一中2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题

1八县一中2014-2015学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

）1．命题：“0>∀x ，02≥-x x ”的否定形式是（）A 0x ∀≤，20x x ->B 0x ∀>，02≤-x xC 0>∃x ，02<-x xD 0≤∃x ，02>-x x 2．抛物线:C 24x y =的焦点坐标为（） A )1,0( B )0,1( C )161,0( D )0,161( 3．若向量)1,0,1(-=→a ，向量),0,2(kb =→，且满足向量→a //→b ，则k 等于（） A 1 B 1- C 2 D 2-4．“21<<m ”是“方程13122=-+-my m x 表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆”的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件5．经过点(2,2)P -，且与双曲线:C 2212x y -=有相同渐近线的双曲线方程是（）A 12422=-y xB 14222=-x yC 14222=-y xD 12422=-x y6．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面对角线11A C 的中点，若→→→→++=AD y xAB AA BE 1，则（）A 21,21=-=y x B 21,21-==y x C 21,21-=-=y x D 21,21==y x7．ABC ∆中,)0,5(),0,5(B A -，点C 在双曲线191622=-y x 上，则CBA sin sin sin -=（）A53 B 53± C 54 D 54± 8．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱CD 的中点，则→M A与→1DC 所成角的余弦值为（）A 62-B 62C 1010-D 10109．已知抛物线:C )0(22>=p px y 的焦点为F ，准线为l l 于M ，若060=∠PFM ,则PFM ∆的面积为（）A 2pB 23pC 22p D 232p10．如果命题“若y x ⊥，z y //，则z x ⊥”是假命题．．．，那么字母z y x ,,在空间所表示的几何图形可能是( )A z y x ,,全是直线B z y x ,,全是平面C z x ,是直线，y 是平面D y x ,是平面，z 是直线 11．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n -=>>有共同的焦点)0,(c -和)0)(0,(>c c ，且满足c 是a 与m 的等比中项，2n 是22m 与2c 的等差中项，则椭圆的离心率为( ) A33 B 22 C 41 D 2112．在平面直角坐标系中，一条双曲线经过旋转或平移所产生的一系列双曲线都具有相同的离心率和焦距，称它们为一组“共性双曲线”；例如将等轴双曲线222=-y x 绕原点逆时针转动045，就会得到它的一条“共性双曲线”x y 1=；根据以上材料可推理得出双曲线113-+=x x y 的焦距为（）A 4B 24C 8D 28二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

福建省福州市2014-2015学年第一学期高三质量检查理科数学试卷

福建省福州市2014-2015学年第一学期高三质量检查理科数学试卷（满分：150分;完卷时间：120分钟）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中有且只有一个选项是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．如图，复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 到原点的距离都相等．若复数z 所对应的点为1Z ，则复数z 的共轭复数所对应的点为（）． A ．1Z B ．2Z C ．3ZD ．4Z2．已知πtan()34+=α，则tan α的值是（）．A ．2B ．12C ．1-D ．3-3．已知A ⊂≠B ，则“x A ∈”是“x B ∈”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某班有49位同学玩“数字接龙”游戏，具体规则按如图所示的程序框图执行（其中a 为座位号），并以输出的值作为下一个输入的值．若第一次输入的值为8，则第三次输出的值为（）． A ．8 B ．15 C ．29D ．365．如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为A ．1π（）． C ．3πD ．126．已知函数()lg(1)=-f x x 的值域为(,1]-∞，则函数()f x 的定义域为（）．A ．[9,)-+∞B ．[0,)+∞C ．(9,1)-D ．[9,1)-7．已知抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5．现采用随机模拟试验的方法估计抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率：先由计算器产生0或1的随机数，用0表示正面朝上，用1表示反面朝上；再以第1第4题图第5题图每三个随机数做为一组，代表这三次投掷的结果．经随机模拟试验产生了如下20组随机数： 101 111 010 101 010 100 100 011 111 110 000 011 010 001 111 011 100 000 101 101 据此估计，抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率为（）． A ．0.30B ．0.35C ．0.40D ．0.658． ABC △的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若cos cos A bB a==C 的大小为（）． A ．60︒B ． 75︒C ．90︒D ．120︒9．若双曲线2222:1x y a bΓ-=（0,0a b >>）的右焦点()4,0到其渐近线的距离为，则双曲线Γ的离心率为（）． ABC ．2D ．410．定义运算“”为：,0,2,0a b ab a a b a +<⎧⎪*=⎨⎪⎩≥.若函数()(1)f x x x =+*，则该函数的图象大致是（）．AC11．已知ABC ∆的三个顶点,,A B C 的坐标分别为())()0,1,,0,2-，O 为坐标原点，动点P 满足1CP =，则OA OB OP ++的最小值是（）．A ．4-B 1C 1+D 12．已知直线:l y ax b =+与曲线:Γ1x y y=+没有公共点．若平行于的直线与曲线Γ有且只有一个公共点，则符合条件的直线（）． A ．不存在B ．恰有一条C ．恰有两条D ．有无数条第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置上．） 13．若变量,x y 满足约束条件0,0,2x y y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≥≤，则z x y =+的最小值为 ★★★ ．14．已知6234560123456(1)x a a x a x a x a x a x a x +=++++++，则016,,,a a a ⋅⋅⋅中的所有偶数．．的和等于 ★★★ ． 15．已知椭圆2239x y +=的左焦点为1F ，点P 是椭圆上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．若点D 是线段1PF 的中点，则1F OD ∆的周长为 ★★★ ．16. 若数列{}n a 满足112n n n a a a +-+≥（2n ≥），则称数列{}n a 为凹数列．已知等差数列{}n b 的公差为d ，12b =，且数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是凹数列，则d 的取值范围为 ★★★ ．三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的公比1q >，1a ，2a 是方程2320x x -+=的两根．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}2n n a ⋅的前n 项和n S ．18.（本小题满分12分）“ALS 冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动.假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.（Ⅰ）若某被邀请者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？（Ⅱ）假定（Ⅰ）中被邀请到的3个人中恰有两人接受挑战.根据活动规定，现记X 为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，求X 的分布列和均值（数学期望）.19.（本小题满分12分）已知函数()4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭在同一半周期内的图象过点,,O P Q ，其中O 为坐标原点，P 为函数()f x 图象的最高点，Q 为函数()f x 的图象与x 轴的正半轴的交点．（Ⅰ）试判断OPQ ∆的形状，并说明理由．（Ⅱ）若将OPQ ∆绕原点O 按逆时针方向旋转角02ααπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭时，点,P Q ''恰好同时落在曲线ky x=()0x >上（如图所示），求实数k 的值．20.（本小题满分12分）一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用m （14m ≤≤且m ∈R ）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y （克）随着时间x （小时）变化的函数关系式近似为)(x f m y ⋅=，其中()10,06,4.4,682x xf x x x ⎧<⎪⎪+=⎨⎪-⎪⎩≤≤≤(Ⅰ)若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？(Ⅱ)若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m 个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m 的最小值．21.（本小题满分12分）已知抛物线Γ的顶点为坐标原点，焦点为(0,1)F ．（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）若点P 为抛物线Γ的准线上的任意一点，过点P 作抛物线Γ的切线PA 与PB ，切点分别为,A B ，求证：直线AB 恒过某一定点；(Ⅲ)分析(Ⅱ)的条件和结论，反思其解题过程，再对命题(Ⅱ)进行变式和推广．请写出一个你发现的真命题．．．，不要求证明（说明：本小题将根据所给出的命题的正确性和一般性酌情给分）． 22.（本小题满分14分）已知函数()()e sin cos ,cos x x f x x x g x x x =-=，其中是自然对数的底数．（Ⅰ）判断函数()y f x =在π(0,)2内的零点的个数，并说明理由；（Ⅱ）12ππ0,,0,22x x ⎡⎤⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，使得不等式12()()f x g x m +≥成立，试求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若1x >-，求证：()()0f x g x ->．福州市2014－2015学年度第一学期高三质量检查理科数学试卷参考答案及评分细则一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．C 2．B 3．A 4．A 5．B 6．D 7．B 8．C 9．C 10．D 11．B 12．C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，13．2- 14．32 15．3+16．(,2]-∞ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．本题主要考查一元二次方程的根、等比数列的通项公式、错位相减法求数列的和等基础知识，考查应用能力、运算求解能力，考查函数与方程思想．解：（Ⅰ）方程2320x x -+=的两根分别为1,2， ·························································· 1分依题意得11a =，22a =． ································································································ 2分所以2q =， ······················································································································· 3分所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=． ·········································································· 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知22n n n a n ⋅=⋅， ··················································································· 5分所以212222n n S n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯， ············································ ①23121222(1)22n n n S n n +⋅=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⨯， ························· ② 由①－②得23222n S -=+++⋅⋅⋅122n n n ++-⨯， ················································································ 8分即 1222212n n n S n +-⋅-=-⨯-， ······················································································· 11分所以12(1)2n n S n +=+-⋅． ····························································································· 12分18．本题主要考查离散型随机变量的概率、分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．解法一：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为A 、B 、C ，则,,A B C 分别表示这3个人不接受挑战．这3个人参与该项活动的可能结果为：{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ．共有8种； ····································································································· 2分其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，共有4种． 3分根据古典概型的概率公式，所求的概率为4182P ==． ·················································· 4分（说明：若学生先设“用(),,x y z 中的,,x y z 依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑战的情况”，再将所有结果写成(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C ，(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C ，不扣分．）（Ⅱ）因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，所以每个人接受挑战的概率为12，不接受挑战的概率也为12． ···································· 5分所以()060611102264P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()51611631226432P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2426111522264P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()3336112053226416P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()4246111542264P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()515611635226432P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()60661116.2264P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭······················································································· 9分故X 的分布列为：10分所以()1315515310123456364326416643264E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．故所求的期望为． ··········································································································· 12分解法二：因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，所以每个人接受挑战的概率为12，不接受挑战的概率也为12． ···································· 1分（Ⅰ）设事件M 为“这3个人中至少有2个人接受挑战”，则2323331111()2222P M C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ·········································································· 4分（Ⅱ）因为X 为接下来被邀请的6个人中接受挑战的人数，所以1~6,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭． ··········································································································· 5分所以()060611102264P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()51611631226432P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2426111522264P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()3336112053226416P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()4246111542264P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()515611635226432P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()6661116.2264P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭······················································································· 9分故X 的分布列为：10分所以()1632E X =⨯=．故所求的期望为． ········································································································· 12分19．本题主要考查反比例函数、三角函数的图象与性质、三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、两角和的正弦公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．解法一：（Ⅰ）OPQ ∆为等边三角形． ············································································ 1分理由如下：因为函数()4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2π84T ==π，所以函数()f x 的半周期为4，所以4OQ =． ·················································································································· 2分又因为P 为函数()f x 图象的最高点，所以点P坐标为(2，，所以4OP =， ···································································· 4分又因为Q 坐标为(4,0)，所以4PQ ==，所以OPQ ∆为等边三角形． ··························································································· 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，4OP OQ ==，所以点P ',Q '的坐标分别为4cos 4sin 33αα⎛⎫ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,(4cos 4sin )αα,，················ 7分代入k y x =，得216cos sin 8sin(2π)333k αααππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且16sin cos 8sin 2k ααα==， ························································································· 9分所以2sin 2sin(2π)3αα=+，结合22sin (2)cos (2)1αα+=，02απ<<，解得1sin 22α=，············································································································· 11分所以4k =，所以所求的实数k 的值为4． ····································································· 12分解法二：（Ⅰ）OPQ ∆为等边三角形． ·········································································· 1分理由如下：因为函数()4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2π84T ==π，所以函数()f x 的半周期为4，所以4OQ =， ··································· 2分因为P 为函数()f x 的图象的最高点，所以点P坐标为(2，，所以4OP =，所以OP OQ =．······································· 4分又因为直线OP的斜率k ==，所以60POQ ∠=︒，所以OPQ ∆为等边三角形． ··························································································· 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，4OP OQ ==，所以点P ',Q '的坐标分别为4cos 4sin 33αα⎛⎫ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,,(4cos 4sin )αα,，·················· 7分因为点P ',Q '在函数(0)ky x x=>的图象上，所以16cos sin ,3316sin cos k k ⎧ππ⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪=⎩αααα, ················································································ 8分所以28sin(2π),38sin 2k k ⎧=+⎪⎨⎪=⎩αα, ·································································································· 9分消去k 得， 2sin 2sin(2π)3αα=+，所以22sin 2sin 2cos πcos 2sin π33ααα=+，所以3sin 222αα=，所以tan 2α=， ···························································· 10分又因为 02απ<<，所以26απ=，所以1sin 22α=， ···················································· 11分所以4k =．所以所求的实数k 的值为4． ····································································· 12分解法三：（Ⅰ）同解法一或同解法二；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OPQ ∆为等边三角形．因为函数(0)ky x x=>的图象关于直线y x =对称， ························································ 8分由图象可知，当12απ=时，点P ',Q '恰在函数(0)ky x x=>的图象上． ······················ 10分此时点Q '的坐标为(4cos 4sin )1212ππ,， ········································································· 11分所以16sin cos 8sin 412126k πππ===，所以所求的实数k 的值为4．····························· 12分20．本题主要考查分段函数模型的应用问题、一元二次函数的最值、解不等式等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类讨论思想等．解：（I ）因为3m =，所以30,06,4312,682x xy x x ⎧<⎪⎪+=⎨⎪-⎪⎩≤≤≤． ······················································ 1分当06x <≤时，由3024x+≥，解得x ≤11，此时06x <≤； ······································· 3分当68x ≤≤时，由31222x -≥，解得203x ≤，此时2063x ≤≤． ····························· 5分综上所述，2003x ≤≤．故若一次服用3个单位的药剂，则有效治疗的时间可达203小时． ······························· 6分（Ⅱ）当6x ≤≤8时，110102(4)[]824(6)2my x m x x x =⨯-+=-++--， ······················· 8分因为10822mx x -+-≥对6x ≤≤8恒成立，即281210x x m -+≥对6x ≤≤8恒成立，等价于2max 812)10x x m -+≥(，6x ≤≤8． ······································································ 9分令2812()10x x g x -+=，则函数2(4)4()10x g x --=在[6,8]是单调递增函数， ·············· 10分当x =8时，函数2812()10x x g x -+=取得最大值为65， ················································ 11分所以65m ≥，所以所求的m 的最小值为65． ································································ 12分解法二：（Ⅰ）同解法一；（Ⅱ）当6x ≤≤8时，110102(4)[]824(6)2my x m x x x =⨯-+=-++--， ······················· 8分注意到18y x =-及2102my x =-（14m ≤≤且m ∈R ）均关于x 在[6,8]上单调递减，。

福建省八县一中高二上期末数学理科试卷

2015-2016学年福建省八县一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1．命题：“若x2＞1，则x＜﹣1或x＞1”的逆否命题是（）A．若x2＞1，则﹣1≤x≤1 B．若﹣1≤x≤1，则x2≤1C．若﹣1＜x＜1，则x2＜1 D．若x＜﹣1或x＞1，则x2＞12．双曲线=1的焦距是（）A．4 B．2C．6 D．与m有关3．以正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点O，如图建立空间直角坐标系，则与共线的向量的坐标可以是（）A．（2，﹣2，2） B．（﹣2，﹣2，2）C．（﹣2，2，2） D．（﹣2，﹣2，﹣2）4．直线l：2x﹣y+2=0过椭圆左焦点F1和一个顶点B，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．5．“点P的轨迹方程为y=|x|”是“点P到两条坐标轴距离相等”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．不充分不必要条件6．已知O（0，0，0），A（2，1，1），B（1，1，﹣1），点P（λ，1，3）在平面OAB内，则λ=（）A．2 B．3 C．4 D．57．在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题p∨q表示（）A．甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米B．甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米C．甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米D．甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米8．双曲线x2﹣y2=1的两条渐近线与抛物线y2=4x交于O，A，B三点，O为坐标原点，则|AB|等于（）A．4 B．6 C．8 D．169．在空间直角坐标系O﹣xyz中，平面OAB的法向量为，O为坐标原点．已知P （﹣1，﹣3，8），则P到平面OAB的距离等于（）A．4 B．2 C．3 D．110．已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若，则|QF|=（）A．B．C．3 D．611．如图，在正三棱柱ABC﹣A′B′C′中，若AA′=2AB，则异面直线AB′与BC′所成角的余弦值为（）A．0 B．C．D．12．已知集合D=，有下面四个命题：p1：∃（x，y）∈D，≥3 p2：∃（x，y）∈D，＜1p3：∀（x，y）∈D，＜4 p4：∀（x，y）∈D，≥2其中的真命题是（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M．设，，，用，，表示向量，则=．14．已知p：（x+2）（x﹣3）≤0，q：|x+1|≥2，命题“p∧q”为真，则实数x的取值范围是．15．直线l：y=k（x+1）与抛物线y2=x只有一个公共点，则实数k的值为．16．椭圆的左焦点为F1，P为椭圆上的动点，M是圆上的动点，则|PM|+|PF1|的最大值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知命题p：关于x的方程x2﹣ax+a+3=0有实数根，命题q：m﹣1≤a≤m+1．（Ⅰ）若￢p是真命题，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．18．已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，虚轴长为4．（Ⅰ）求双曲线的标准方程；（Ⅱ）过点（0，1），倾斜角为45°的直线l与双曲线C相交于A、B两点，O为坐标原点，求△OAB 的面积．19．如图所示，DC⊥平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC=CE=4，BC=BF=2．（Ⅰ）求证：AF∥平面CDE；（Ⅱ）求平面AEF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．20．点P在圆O：x2+y2=8上运动，PD⊥x轴，D为垂足，点M在线段PD上，满足．（Ⅰ）求点M的轨迹方程；（Ⅱ）过点Q（1，）作直线l与点M的轨迹相交于A、B两点，使点Q为弦AB的中点，求直线l的方程．21．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=2，BC=2，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上，且．（Ⅰ）证明：无论λ取何值，总有AM⊥PN；（Ⅱ）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角取最大值时的正切值．22．已知抛物线C：y2=x，过点M（2，0）作直线l：x=ny+2与抛物线C交于A，B两点，点N是定直线x=﹣2上的任意一点，分别记直线AN，MN，BN的斜率为k1，k2，k3．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）试探求k1，k2，k3之间的关系，并给出证明．2015-2016学年福建省八县一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1．命题：“若x2＞1，则x＜﹣1或x＞1”的逆否命题是（）A．若x2＞1，则﹣1≤x≤1 B．若﹣1≤x≤1，则x2≤1C．若﹣1＜x＜1，则x2＜1 D．若x＜﹣1或x＞1，则x2＞1【考点】四种命题．【分析】根据逆否命题的定义进行判断即可．【解答】解：命题的逆否命题为：若﹣1≤x≤1，则x2≤1，故选：B．2．双曲线=1的焦距是（）A．4 B．2C．6 D．与m有关【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的a，b，由c2=a2+b2，解得c，即可得到双曲线的焦距2c．【解答】解：由双曲线=1，可得4﹣m2＞0，即有a2=5+m2，b2=4﹣m2，可得c2=a2+b2=9，解得c=3，即有双曲线的焦距为2c=6．故选：C．3．以正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点O，如图建立空间直角坐标系，则与共线的向量的坐标可以是（）A．（2，﹣2，2） B．（﹣2，﹣2，2）C．（﹣2，2，2） D．（﹣2，﹣2，﹣2）【考点】共线向量与共面向量．【分析】设正方体的棱长为1，由图形求出B1点的坐标，表示出，从而求出与它共线的向量坐标．【解答】解：由图形可知，B1点在正方体的上底面上，设正方体的棱长为1，∴B1点的坐标是（1，1，1），则与共线的向量的坐标可以是λ（1，1，1）；λ=﹣2时，为（﹣2，﹣2，﹣2）．故选：D．4．直线l：2x﹣y+2=0过椭圆左焦点F1和一个顶点B，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】分别令直线方程中y=0和x=0，进而求得b和c，进而根据b，c和a的关系求得a，则椭圆的离心率可得．【解答】解：∵直线l：2x﹣y+2=0中，令x=0，得y=2；令y=0，得x=﹣1，直线l：2x﹣y+2=0过椭圆左焦点F1和一个顶点B，∴椭圆左焦点F1（﹣1，0），顶点B（0，2），∴c=1，b=2，a==，∴该椭圆的离心率为e===．故选：C．5．“点P的轨迹方程为y=|x|”是“点P到两条坐标轴距离相等”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．不充分不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：设动点P（x，y），则它到两坐标轴x，y距离的分别为|y|，|x|，∴到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是|x|=|y|，即y=±|x|，“点P的轨迹方程为y=|x|”是“点P到两条坐标轴距离相等”的充分不必要条件，故选：A．6．已知O（0，0，0），A（2，1，1），B（1，1，﹣1），点P（λ，1，3）在平面OAB内，则λ=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】空间中的点的坐标．【分析】问题转化为=a+b，根据坐标相等求出λ的值即可．【解答】解：∵O（0，0，0），A（2，1，1），B（1，1，﹣1），点P（λ，1，3）在平面OAB内，∵=a+b，∴（λ，1，3）=（2a，a，a）+（b，b，﹣b）=（2a+b，a+b，a﹣b），∴，解得：λ=3，故选：B．7．在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题p∨q表示（）A．甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米B．甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米C．甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米D．甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米【考点】逻辑联结词“或”．【分析】根据命题p∨q的意义，即可得到结论．【解答】解：∵命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题p∨q表示：甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米，故选：D．8．双曲线x2﹣y2=1的两条渐近线与抛物线y2=4x交于O，A，B三点，O为坐标原点，则|AB|等于（）A．4 B．6 C．8 D．16【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，代入抛物线的方程，求得交点A，B的坐标，可得AB的长．【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的两条渐近线方程为y=±x，代入抛物线的方程y2=4x，可得A（4，4），B（4，﹣4），可得|AB|=8．故选：C．9．在空间直角坐标系O﹣xyz中，平面OAB的法向量为，O为坐标原点．已知P （﹣1，﹣3，8），则P到平面OAB的距离等于（）A．4 B．2 C．3 D．1【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】直接利用空间点到平面的距离公式d=求解即可．【解答】解：平面OAB的一个法向量为=（2，﹣2，1），已知点P（﹣1，﹣3，8），则点P到平面OAB的距离d====4．故选：A．10．已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若，则|QF|=（）A．B．C．3 D．6【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线的焦点坐标和准线方程，设出P，Q的坐标，得到向量PF，QF的坐标，由向量共线的坐标关系，以及抛物线的定义，即可求得．【解答】解：抛物线C：x2=4y的焦点为F（0，1），准线为l：y=﹣1，设P（a，﹣1），Q（m，），则=（﹣a，2），=（﹣m，1﹣），∵，∴a=4m，2=4（1﹣），∴m2=2，由抛物线的定义可得|QF|=+1=．故选：B．11．如图，在正三棱柱ABC﹣A′B′C′中，若AA′=2AB，则异面直线AB′与BC′所成角的余弦值为（）A．0 B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以A为原点，在平面ABC中作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB′与BC′所成角的余弦值．【解答】解：以A为原点，在平面ABC中作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，设AA′=2AB=2，则A（0，0，0），B′（，，2），B（，，0），C′（0，1，2），=（，，2），=（﹣，，2），设异面直线AB′与BC′所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线AB′与BC′所成角的余弦值为．故选：D．12．已知集合D=，有下面四个命题：p1：∃（x，y）∈D，≥3 p2：∃（x，y）∈D，＜1p3：∀（x，y）∈D，＜4 p4：∀（x，y）∈D，≥2其中的真命题是（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【考点】命题的真假判断与应用；全称命题；特称命题．【分析】集合D=表示焦点在x轴上，长轴长为4，短轴长为2的椭圆，表示椭圆上的点到（1，0）点的距离，进而得到答案．【解答】解：集合D=表示焦点在x轴上，长轴长为4，短轴长为2的椭圆，表示椭圆上的点到（1，0）点的距离d，则d∈[1，3]，故p1：∃（x，y）∈D，≥3，为真命题，p2：∃（x，y）∈D，＜1，为假命题，p3：∀（x，y）∈D，＜4，为真命题，p4：∀（x，y）∈D，≥2，为假命题，故p1，p3是真命题，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M．设，，，用，，表示向量，则=﹣+﹣．【考点】空间向量的加减法．【分析】结合图形，利用空间向量的线性表示与运算，进行运算即可．【解答】解：平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，∴==（+）=（﹣）=（﹣），=﹣=﹣；∴向量=+=（﹣）﹣=﹣+﹣．故答案为：﹣+﹣．14．已知p：（x+2）（x﹣3）≤0，q：|x+1|≥2，命题“p∧q”为真，则实数x的取值范围是[1，3] ．【考点】复合命题的真假．【分析】分别解出p，q的x的范围，再利用命题“p∧q”为真即可得出．【解答】解：p：（x+2）（x﹣3）≤0，解得﹣2≤x≤3．q：|x+1|≥2，解得x≥1或x≤﹣3．命题“p∧q”为真，∴，解得1≤x≤3．则实数x的取值范围是[1，3]．故答案为：[1，3]．15．直线l：y=k（x+1）与抛物线y2=x只有一个公共点，则实数k的值为0或±．【考点】抛物线的简单性质．【分析】当斜率k=0时，直线l：y=0，与抛物线y2=4x仅有一个公共点，当斜率不等于0时，把l：y=k（x+1）代入抛物线的方程化简，由判别式△=0求得实数k的值．【解答】解：当斜率k=0时，直线l：y=0，与抛物线y2=4x仅有一个公共点．当斜率不等于0时，把l：y=k（x+1）代入抛物线y2=4x得k2x2+（2k2﹣1）x+k2=0，由题意可得，此方程有唯一解，故判别式△=（2k2﹣1）2﹣4k4=0，∴k=±，故答案为：0或±．16．椭圆的左焦点为F1，P为椭圆上的动点，M是圆上的动点，则|PM|+|PF1|的最大值是17．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设C，|PF1|+|PF2|=2a，取|PM|=|PC|+1，可得|PM|+|PF1|=11+|PC|﹣|PF2|≤11+|CF2|，即可得出．【解答】解：设C，F1（﹣4，0），F2（4，0）．∵|PF1|+|PF2|=2a=10，取|PM|=|PC|+1，∴|PM|+|PF1|=11+|PC|﹣|PF2|≤11+|CF2|=11+=17．∴|PM|+|PF1|的最大值是17．故答案为：17．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知命题p：关于x的方程x2﹣ax+a+3=0有实数根，命题q：m﹣1≤a≤m+1．（Ⅰ）若￢p是真命题，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．【分析】（Ⅰ）根据命题的否定是真命题，进行转化求解即可．（Ⅱ）根据充分条件和必要条件的定义和关系建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：法一：（Ⅰ）当命题p是真命题时，满足△≥0则a2﹣4（a+3）≥0，解得a≤﹣2或a≥6；…∵￢p是真命题，则p是假命题即﹣2＜a＜6，∴实数a的取值范围是（﹣2，6）．…（Ⅱ）∵p是q的必要非充分条件，则[m﹣1，m+1]⊊（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞，即m+1≤﹣2或m﹣1≥6，…解得m≤﹣3或m≥7，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[7，+∞）．…法二：（Ⅰ）命题¬p：关于x的方程x2﹣ax+a+3=0没有实数根∵￢p是真命题，则满足△＜0即a2﹣4（a+3）＜0…解得﹣2＜a＜6∴实数a的取值范围是（﹣2，6）．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可得当命题p是真命题时，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞，∵p是q的必要非充分条件，则[m﹣1，m+1]是（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）的真子集即m+1≤﹣2或m﹣1≥6…解得m≤﹣3或m≥7，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[7，+∞）．…18．已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，虚轴长为4．（Ⅰ）求双曲线的标准方程；（Ⅱ）过点（0，1），倾斜角为45°的直线l与双曲线C相交于A、B两点，O为坐标原点，求△OAB 的面积．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（Ⅰ）运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，解方程即可得到a=1，b=2，进而得到双曲线的方程；（Ⅱ）直线l的方程为y=x+1，代入双曲线的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，由三角形的面积公式计算即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）依题意可得，解得，∴双曲线的标准方程为．（Ⅱ）直线l的方程为y=x+1，设A（x1，y1）、B（x2，y2），由可得3x2﹣2x﹣5=0，由韦达定理可得，，即，原点到直线l的距离为，于是，∴△AOB的面积为．19．如图所示，DC⊥平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC=CE=4，BC=BF=2．（Ⅰ）求证：AF∥平面CDE；（Ⅱ）求平面AEF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能证明AF∥平面CDE．（Ⅱ）求出平面AEF的一个法向量和平面ABCD一个法向量，利用向量法能求出平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系．则C（0，0，0），B（2，0，0），D（0，0，4），E（0，4，0），A（2，0，4），F（2，2，0），则=（0，2，﹣4），=（2，0，0）．=（2，0，0）为平面CDE的一个法向量．…又=0，AF⊄平面CDE，∴AF∥平面CDE．…解：（Ⅱ）设平面AEF的一个法向量为=（x1，y1，z1），则，∵，∴，取z1=1，得．…又∵CE⊥平面ABCD，∴平面ABCD一个法向量为，设平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为α，则因此，平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值为．…20．点P在圆O：x2+y2=8上运动，PD⊥x轴，D为垂足，点M在线段PD上，满足．（Ⅰ）求点M的轨迹方程；（Ⅱ）过点Q（1，）作直线l与点M的轨迹相交于A、B两点，使点Q为弦AB的中点，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）判断M线段PD的中点，设M（x，y），则P（x，2y），运用代入法，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）方法一、运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，化简整理可得斜率k，由点斜式方程可得直线方程；方法二、设A（x1，y1），B（x2，y2），A、B两点在椭圆上，代入椭圆方程，运用作差法和斜率公式，再由点斜式方程可得直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵点M在线段PD上，满足，∴点M是线段PD的中点，设M（x，y），则P（x，2y），∵点P在圆O：x2+y2=8上运动，则x2+（2y）2=8，即，故点M的轨迹方程为．（Ⅱ）方法一：当直线l⊥x轴时，由椭圆的对称性可得弦AB的中点在x轴上，不可能是点Q，这种情况不满足题意．设直线l的方程为，由，可得，由韦达定理可得x1+x2=﹣，由AB的中点为，可得﹣=2，解得，即直线l的方程为y﹣=﹣（x﹣1），则直线l的方程为x+2y﹣2=0．方法二：当直线l⊥x轴时，由椭圆的对称性可得弦AB的中点在x轴上，不可能是点Q，这种情况不满足题意．设A（x1，y1），B（x2，y2），A、B两点在椭圆上，满足，由（1）﹣（2）可得，则，由AB的中点为，可得x1+x2=2，y1+y2=1，代入上式，即直线l的方程为，∴直线l的方程为x+2y﹣2=0．21．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=2，BC=2，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上，且．（Ⅰ）证明：无论λ取何值，总有AM⊥PN；（Ⅱ）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角取最大值时的正切值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）建立空间直角坐标系，求出，的坐标，只需证明即可；（II）显然平面ABC的法向量为=（0，0，1），根据sinθ=|cos＜，＞|求出sinθ的最大值，利用同角三角函数的关系求出tanθ．【解答】证明：（I）∵AB=AC=2，，∴AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC，即AB、AC、AA1两两相互垂直．以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则A1（0，0，2），B1（2，0，2），M（0，2，1），N（1，1，0）．∵，∴P（2λ，0，2），∴=（1﹣2λ，1，﹣2）.，∴．∴无论λ取何值，AM⊥PN．（Ⅱ）∵=（0，0，1）是平面ABC的一个法向量．∴=．∴当λ=时，θ取得最大值，此时sinθ=，cosθ=，tanθ=2．22．已知抛物线C：y2=x，过点M（2，0）作直线l：x=ny+2与抛物线C交于A，B两点，点N是定直线x=﹣2上的任意一点，分别记直线AN，MN，BN的斜率为k1，k2，k3．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）试探求k1，k2，k3之间的关系，并给出证明．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由可得y2﹣ny﹣2=0，再由韦达定理得的值；（Ⅱ）三条直线AN，MN，BN的斜率成等差数列，证明k1+k3=2k2即可．【解答】解：（Ⅰ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）由可得y2﹣ny﹣2=0由韦达定理可得y1+y2=n，y1y2=﹣2…∴=x1x2+y1y2=y12y22+y1y2=4﹣2=2，…（Ⅱ）当n=0时，A（2，）、不妨取N（﹣2，2），则k1=，k2=，k3=易得k1+k3=2k2．…设N（﹣2，y0），k2=﹣k1+k3=+===﹣=2k2∴k1+k3=2k2，k1，k2，k3成等差数列．…高中数学-打印版2016年8月1日校对打印版。

福建省福州市第八中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学(文)试卷

一、选择题：本大题共小题，每小题5分，共0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若，则复数 A．B．C． D． 2. 已知取值如下表： 0 1 4 5 6 8 1.3 1.8 5.6 6.1 7.4 9.3 从所得的散点图分析可知：与线性相关，且，则＝A. 1.30B. 1.45C. 1.65D. 1.80 3．下列框图中是结构图的是 A．1个B．2个C．3个4．4个 4．的图象在点处的切线方程为 A．B． C．D． 5．过椭圆的上焦点和一个顶点B，该椭圆的离心率为 A．B．C．D． 6．已知下列命题：命题”的否定是”；已知、为两个命题，若“或”为假命题，则“且为真命题”； “”是“”的充分不必要条件； “若，则且”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号是 A．B．C．D． 7．的双曲线的焦点在轴上，则它的渐近线方程为Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 8．若实数满足，则称与互补．记，那么是与互补的A．必要而不充分的条件 B．充分而不必要的条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件 9.已知结论：“在正三角形中，若是边的中点，是三角形的，则”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体中，若的中心为，”，则 A．1B．2C．3 D．4 ．是定义在R上的偶函数，且对任意的R，都有.当0≤≤1时，=，若直线与的图象在[0，2]恰有两个不同的公共点，则实数的值是A.0B.0或C.0或D.或二、填空题：本大题共小题，每小题4分，共分.若命题“”是真命题，则实数的取值范围是__________. ．设是复数， (其中表示的共轭复数)，已知的实部是－3，则的虚部为__________．．中的参数不能刻画椭圆的扁平程度，而能刻画椭圆的扁平程度；③已知椭圆的中心在原点，经过两点和的椭圆的标准方程是唯一确定的．④由可类比推理得把以上各小题正确的答案填在横线上．三、解答题：本大题共3小题，共38分。

福建省福州市第八中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试卷

福州八中2014—2015学年第二学期期末考试高二数学（理）考试时间：120分钟试卷满分：150分 2015.6.9 第I卷（共100分）一、选择题：（10小题，每小题5分，共50分） 1. 已知集合A={x|x2+x＞2}，B={x|2x<1}，则(RA)∩B等于A．[0，1] B．(-2，1) C．[-2，0)　D．[-1，0] 2. 若点的极坐标为，则点的直角坐标是 A． B． C． D． 3. 若集合＝{1，2，3}，＝{x|0＜x，x∈R}，则下列论断正确的是 A．x∈是x∈的充分不必要条件B．x∈是x∈的必要不充分条件 C．x∈是x∈的充分必要条件D．x∈是x∈的既不充分也不必要条件 . 在一次跳伞训练中，甲.乙两位学员各跳一次，设命题是“甲降落在指定范围”，是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A．B．C．D． 5. 下列点在曲线上的是 A． B． C． D． . 设，则下列不等式中不恒成立的是 A．≥2 B．≥2（） C．≥ D．≥2 7. 设是正数，且，，，则 A． B． C． D． 8.给出下列四个命题：命题“若，则”的否命题为“若”；命题．则，使； “”是“函数为偶函数”的充要条件；命题“，使”；命题“设是任意两个向量，则“”是“”的充分不必要条件”，那么为真命题．其中正确的个数是．．．． 9. 直线（其中t为参数，）的倾角为 A. B. C. D. 10.不等式组的解集记为D，有下面四个命题： p1：?(x，y)∈D，x＋2y≥，p2：?(x，y)∈D，x＋2y≥2， p3：?(x，y)∈D，x＋2y≤3，p4：?(x，y)∈D，x＋2y≤－1. 其中的真命题是 A．p2，p3 B．p1，p2C．p1，p4 D．p1，p3二、填空题：（4小题，每小题4分，共16分） 11. 对于任意实数和b，不等式恒成立，则实数x的取值范围是 12. 若点在曲线（为参数，）上，则的取值范围是．在极坐标系内，已知曲线C1的方程为，以极点为原点，极轴方向为正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为(为参数)．设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的两条切线，则这两条切线所成角的最大值是_______． 1.一个矩形的周长为l，面积为S，给出：①（4，1）；②（8，6）；③（10，8）；④.其中可作为取得的实数对的序号是_______.三、解答题：（3小题，共34分） 15.（本小题10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为：（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线的平面直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线交于点，若点的坐标为，求．16.（本小题12分）函数，其中. （Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式的解集为，求a的值.17.（本小题12分）已知集合，若，求实数的取值范围. 第Ⅱ卷（共50分）一、选择题：（3小题，每小题4分，共12分） 18.在极坐标系中，直线与直线关于极轴对称，则直线L的方程为 A． B． C． D． .设、、为实数，，则下列四个结论中正确的是 A．B．C．且D．且 20.设非空集合满足：当时，有,给出如下三个命题：①若，则②若，则；③若，则其中正确命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3三、解答题：（3小题，共38分） 21.（本小题12分）已知三个集合A＝{x|x2－x＋＝0}，B＝{x|x2－a+2)x＋a＝0}，C＝{x|bx2－x＋＝0}，问同时满足BA，A∪C＝A的实数a、b是否存在？若存在，求出a、b；若不存在，请说明理由． 22.（本小题12分）已知， ()求证:，并指出等号成立的条件; ()利用不等式求函数的最小值，并求出等号成立时的值. 23.（本小题14分）的离心率为，且过点，抛物线的焦点坐标为. (Ⅰ)求椭圆和抛物线的方程； (Ⅱ)若点是直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别是，直线交椭圆于两点. 求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；当的面积取最大值时，求直线的方程.福州八中2014—2015学年第二学期期末考试高二数学（理）试卷参考答案及评分标准第I卷（共100分）一、选择题：（10小题，每小题5分，共50分）1. C2.A3. A4.A5.C6.D7.C8. B9.C 10.A 二、填空题：（4小题，每小题4分，共16分） 12. 13. 14．①④ 三、解答题：（3个小题，共3分）（本小题10分）【】（Ⅰ）由，得，当时，得，对应直角坐标方程为：.当，有实数解，说明曲线过极点，而方程所表示的曲线也过原点. ∴曲线的直角坐标方程为．（Ⅱ）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，即，由于，故可设是上述方程的两实根，则 ∵直线过点， ∴由的几何意义，可得.…………10分 16.（本小题1分）【】（Ⅰ）当时，可化为由此可得或故不等式的解集为或( Ⅱ) 由，得此不等式化为不等式组或………………6分即或，………………………………9分因为，所以不等式组的解集为………………11分由题设可得=，故.……………………12分 17.（本小题1分）【】由已知得，，得 ①当即时，集合. 要使成立，只需，解得②当即时，，显然有，所以符合③当即时，集合. 要使成立，只需，解得综上所述，所以的取值范围是［-，］.第Ⅱ卷（共50分）一、选择题：（3小题，每小题4分，共12分）A 19.B 20. D．三、解答题：（3小题，共38分） 21 （本小题12分）【解析】∵A＝{x|x2－x＋＝0}＝{2，}， B＝{x|x2－(a+2)x＋a＝0}＝{x|(x－)(x－a＝0}，又∵BA，∴a＝2. 4分∵A∪C＝A，∴C?A，则C中元素有以下三种情况： ①若C＝，即方程bx2－x＋＝0无实根， ∴Δ＝b0， x3+x4=- ；x3x4=………………………………9分 (PQ(=·=·………………10分点O到PQ的距离为：d=从而S(OPQ=·(PQ(·d=×·×=2×(=1 13分当且仅当y02=4x02- y02+1时等号成立，又2x0-4y0+3=0联立解得：x0=，y0=1或x0=- ，y0=；从而所求直线AB的方程为：x+2y+2=0 或x-14y-10=014分 … 第23 题图 P Q L A B M y x O。

数学(理)卷·2014届福建省福州八县(市)一中高二下学期期末联考(2013.07)

11、甲和乙等五位志愿者被随机地分到Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个不同岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲和乙不在同一岗位服务的概率为（）。 A、
9 10
B、
1 10
C、
1 4
D、
48 625
12、若数列 {a n } 满足规律： a1 > a 2 < a 3 > L < a 2 n -1 > a 2 n < L ，则称数列 {a n } 为余弦数列，现将 1，1，2，3，4，5 六个数排列成一个余弦数列的排法种数为（）。 A. 32 B. 36 C.28 D. 24 二、填空题（本大题共 4 小题,每小题 4 分，共 16 分） 13、某篮球运动员在三分线外投球的命中率是
1.323
n(ad - bc) 2 , 其中 n = a + b + c + d 为样本容量。 (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
（3）：b $=
å xi yi - nx y
i =1 n
åx
i =1
2
i
- nx
2
=
å (x
i =1 n
n
i
- x)( yi - y )
i
å (x
21、2010 年国庆节期间,上海世博会中国馆异常火爆，若 10 月 1 日 10 时中国馆内有三个不同省份的旅游团共 10 个，其中福建旅游团 x 个，浙江旅游团 y 个，江苏旅游团 z 个，现从中国馆中的 10 个旅游团中任意选出 1 个旅游团，选到福建旅游团的概率是
2 ；从这 5
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)
A2 4个

2014-2015年福建省八县一中高二第一学期数学期末试卷(理科)及解析

的距离为
（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知 A（2，﹣1），过原点且斜率为 k（k＞0）的直线 l 与椭圆交于 P、Q 两点，求△APQ 面积的最大值． 22．（14 分）如图（1），△ABD 为等边三角形，△BCD 是以 C 为直角顶点的等腰直角三角形且 CD=2，E 为线段 CD 中点，将△ABD 沿 BD 折起（如图 2），使得线段 AC 的长度等于 2，对于图二，完成以下各小题：（1）证明：AC⊥平面 BCD；
A．充分不必要条件 C．充要条件 5．（5 分）过点（2，﹣2）且与双曲线是（ A．）
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ﹣y2=1 有相同渐近线的双曲线的方程
B．C．D．6．（5 分）如图所示，在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，点 E 为上底面对角线 A1C1 的中点，若 = +x +y ，则（）
有相同的焦点（﹣c，0）和（c，0），若 c 是 a、m 的等比中项，n2 是 2m2 与 c2 的等差中项，则椭圆的离心率是（）
第2页（共21页）
A．
B．
C．
D．
12．（5 分）在平面直角坐标系中，曲线经过旋转或平移所产生的新双曲线与原双曲线具有相同的离心率和焦距，称它们为一组 “任性双曲线”；例如将等轴双曲线 x2﹣y2=2 绕原点逆时针转动 45°，就会得到它的一条“任性双曲线”y= ；根据以上材料可推理得出双曲线 y= A．4 B．4 的焦距为（ C．8 ） D．8
三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12 分）命题 p：∀x＞0，x+ ＞a；命题 q：∃x0∈R，x02﹣2ax0+1≤0．若￢q 为假命题，p∧q 为假命题，则求 a 的取值范围． 18．（12 分）已知双曲线 C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的焦距为 4，且经过点（﹣

福建省八县(市)一中2014-2015学年高二上学期期中联考数学(理)试卷

福建省八县（市）一中2014-2015学年高二上学期期中联考数学（理）试卷考试日期：11 月13日完卷时间：120 分钟满分：150 分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

）1．如果3a <，则下列结论一定正确的是（）A ．29a >B ．29a <C ．327a >D ．327a <2．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足ab b a c ++=222, 则角C 的大小为（）A ．120°B ．60°C ．150°D ．30°3．若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且32=a ，则4a =（）A ．3B ．7C ．8D ．9 4．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足1=a ，2=b ，C =120°,则sin sin AC的值为（） A ．71 BCD5．已知等比数列{}n a 的前n 项和121+⋅=-n n t S ，则实数t 的值为（） A ．-2 B ．-1 C ．2 D ．0.56．已知实数、x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则22)1(y x ++的最大值为（）A ．80B ． 54C ．25D ．1727．若0<x ，则xx 345++的最大值为（） A ．345+ B ．345± C ．345- D ．以上都不对 8．ABC ∆的外接圆半径和ABC ∆的面积都等于2，则sin sin sin A B C =（） A ．81 B ．1 C ．21 D ． 14第 1 页共 9 页9. 已知等比数列{}n a ，n S 是其前n 项和，若9,3105==S S ，则15S 的值为（） A ．27 B ．21 C ．18 D ．1510． △ABC 的三个内角A 、B 、C 满足13:11:5sin :sin :sin =C B A ，则△ABC （） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形11．若011<<b a ，则下列不等式：①||||a b >；②ab b a <+；③2>+b a a b ；④22a a b b<-中，正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．已知数列{}n a 是递增数列，且满足n n a n λ+=22，则实数λ的取值范围是( )A ．()∞+，0B ．()∞+-，4C ．[)+∞-,4D ．()∞+-，6二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

福建省福州八县(市)一中高二数学上学期期末联考试题理.doc

福建省福州八县（市）一中-高二数学上学期期末联考试题理完卷时间：1 满分：150分一、选择题（每小题各5分, 共60分）1．命题2x R,x x 0∀∈-≥的否定（）A.2x R,x x 0∀∈-≥B. 2x R,x x 0∃∈-<C.2x R,x x 0∀∈-<D. 2x R,x x 0∃∈-≥2．抛物线214y x =的准线方程是（）A ．116y =B ．116y =- C ．1y = D ．1y =-3．已知命题p 、q,“非p 为真命题”是“p 或q 是假命题”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知平面α的法向量是()2,3,1-，平面β的法向量是()4,,2λ-，若βα//，则实数λ的值是（）A ．103-B ．6-C ．6D ．1035.已知,a b R ∈，命题“若1a b +=，则2212a b +≥”的否命题是（）A ．若2211,2a b a b +≠+<则B ．若2211,2a b a b +=+<则C ．若221,12a b a b +<+≠则D ．若221,12a b a b +≥+=则6.设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，该双曲线的一条渐近线方程是043=+y x ， 21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，若101=PF ，则2PF 等于（）A ．2B ．18C ．2或18D ．16 7.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线 BE 与1CD 所成的角的余弦值为( )A ．10 B ． 15 C ． 10 D ． 358. 已知(4,1,3)A 、(2,3,1)B 、(3,7,5)C -，点(,1,3)P x -在平面ABC 内，则实数x 的值为（） A ．4- B ．1 C ．10 D ．119．经过点P （4，2-）的抛物线的标准方程为（）A ．x y 82-=B ．y x 82-=C ．x y =2或y x 82-= D ．x y =2或x y 82=10. 已知A 、B 、C 三点不共线，点O 为平面ABC 外的一点，则下列条件中，能得到∈M 平面ABC 的充分条件是（）A ．1133OM OA OB OC =-+； B ．111222OM OA OB OC =++；C ．OM OA OB OC =++；D ．2OM OA OB OC =-- 11. 已知抛物线22y px =与直线40ax y +-=相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标是(1，2)。

2014-2015年福建省福州八中高二(上)期末数学试卷(理科)及答案

2014-2015学年福建省福州八中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）在复平面内，复数﹣|2i|对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）用反证法证明命题：“如果a＞b＞0，那么|a|＞|b|”时，假设的内容应是（）A．|a|=|b|B．|a|＜|b|C．|a|≤|b|D．|a|＞|b|且|a|=|b|3．（5分）曲线y=4x﹣x3在点（﹣1，﹣3）处的切线方程是（）A．y=7x+4B．y=7x+2C．y=x﹣4D．y=x﹣24．（5分）在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有（）A．①③B．②③C．①④D．③④5．（5分）对于非零复数a，b，以下有四个命题：①a+≠0；②（a+b）2=a2+2ab+b2；③若|a|=1，则a=±1或±i；④若a2=ab，则a=b或a=0．则其中一定为真命题的是（）A．②④B．①③C．①②D．③④6．（5分）利用数学归纳法证明＜1（n∈N*，且n≥2）时，第一步不等式左端是（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）=，则f（x）dx的值为（）A．π+6B．π﹣2C．2πD．88．（5分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以F2为圆心，OF2（O为椭圆中心）为半径作圆F2，若它与椭圆的一个交点为M，且MF1恰好为圆F2的一条切线，则椭圆的离心率为（）A．﹣1B．2﹣C．D．9．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则=（）A．；B．C．D．10．（5分）当a＞0时，函数f（x）=（x2﹣ax）e x的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．二.填空题：（5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）函数y=lnx ﹣x 2的单调递增区间为．12．（4分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，CC 1中点为E ，则直线AE 与BC 1所成的角的大小为．13．（4分）设a=，b=，c=，则a 、b 、c 的大小关系为．（按从大到小的顺序排列，否则不给分） 14．（4分）已知点A （x 1，a），B （x 2，a）是函数y=a x （a ＞1）的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图象的上方，因此有结论＞a成立．运用类比思想方法可知，若点A（x 1，lnx 1），B （x 2，lnx 2）是函数y=lnx 的图象上任意不同两点，则类似地有．15．（4分）已知f （x ）=，定义f 1（x ）=f′（x ），f 2（x ）=[f 1（x ）]′，…，f n +1（x ）=[f n （x ）]′，n ∈N *．经计算f 1（x ）=，f 2（x ）=，f 3（x ）=，…，照此规律，则f n （x ）= ．三、解答题：（3小题，共30分）16．（10分）复数z 1=+（10﹣a2）i，z2=+（2a﹣5）i，若+z2是实数，求实数a的值．17．（10分）设函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R．①若f（x）在x=3处取得极值，求常数a的值；②若f（x）在（1，3）上不单调，求a的取值范围．18．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，E为CB1与BC1的交点．（1）求证：DE∥平面ACC1A1；（2）求直线BC1与平面DB1C所成角的正弦值．第Ⅱ卷（共50分）一、选择题：（2个小题，每小题5分，共10分）19．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点（1，2）在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（1，）D．（1，）20．（5分）已知数列{a n}，，把数列{a n}的各项排成三角形状，如图所示．记A（m，n）表示第m行，第n列的项，则A（10，8）=（）A．B．C．D．二、填空题：（1个小题，共4分）21．（4分）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P点为函数y=h（x）的“类对称中心点”，则函数f（x）=+lnx的“类对称中心点”的坐标是．三、解答题：（3个小题，共36分）22．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PBD；（Ⅱ）问侧棱PC上是否存在异于端点的一点E，使得二面角E﹣BD﹣P的余弦值为．若存在，试确定点E的位置；若不存在，说明理由．23．（12分）如图，直线l：y=x+b（b＞0），抛物线C：y2=2px（p＞0），已知点P （2，2）在抛物线C上，且抛物线C上的点到直线l的距离的最小值为．（1）求直线l及抛物线C的方程；（2）过点Q（2，1）的任一直线（不经过点P）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在实数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．24．（12分）已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣6．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）对一切x∈[3，+∞）恒有f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当x∈（0，2π），求证：lnx+cosx+．2014-2015学年福建省福州八中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）在复平面内，复数﹣|2i|对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：化简可得﹣|2i|=﹣2=1+i﹣2=﹣1+i对应的点为（﹣1，1）在第二象限，故选：B．2．（5分）用反证法证明命题：“如果a＞b＞0，那么|a|＞|b|”时，假设的内容应是（）A．|a|=|b|B．|a|＜|b|C．|a|≤|b|D．|a|＞|b|且|a|=|b|【解答】解：由于结论|a|＞|b|的否定为：|a|≤|b|，用反证法证明命题时，要首先假设结论的否定成立，故应假设：|a|≤|b|，由此推出矛盾．故选：C．3．（5分）曲线y=4x﹣x3在点（﹣1，﹣3）处的切线方程是（）A．y=7x+4B．y=7x+2C．y=x﹣4D．y=x﹣2【解答】解：∵y=4x﹣x3，∴y'︳x==4﹣3x2︳x=﹣1=1，﹣1∴曲线在点（﹣1，﹣3）处的切线的斜率为k=1，即利用点斜式求出切线方程是y=x﹣2，故选：D．4．（5分）在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有（）A．①③B．②③C．①④D．③④【解答】解：图①中；图②中；图③中；图④中．故选：D．5．（5分）对于非零复数a，b，以下有四个命题：①a+≠0；②（a+b）2=a2+2ab+b2；③若|a|=1，则a=±1或±i；④若a2=ab，则a=b或a=0．则其中一定为真命题的是（）A．②④B．①③C．①②D．③④【解答】解：①a=i时，a+=0，故不成立；②（a+b）2=a2+2ab+b2，成立；③设a=x+yi（x，y∈Z），|a|=1，则x2+y2=1，故不成立；④若a2=ab，则a（a﹣b）=0，∴a=b或a=0，成立．故选：A．6．（5分）利用数学归纳法证明＜1（n∈N*，且n≥2）时，第一步不等式左端是（）A．B．C．D．【解答】解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证证明当n取第一个值时命题成立；结合本题，要验证n=2时，不等式左边为．故选：D．7．（5分）函数f（x）=，则f（x）dx的值为（）A．π+6B．π﹣2C．2πD．8【解答】解：f（x）dx=（∫﹣20（2﹣x）dx+∫2dx）∵∫﹣20（2﹣x）dx=（2x﹣x2）|﹣20=6，∵∫02dx表示的几何意义是以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一，∴∫02dx==π∴﹣22f（x）dx=∫﹣20（2﹣x）dx+∫02dx=π+6故选：A．8．（5分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以F2为圆心，OF2（O为椭圆中心）为半径作圆F2，若它与椭圆的一个交点为M，且MF1恰好为圆F2的一条切线，则椭圆的离心率为（）A．﹣1B．2﹣C．D．【解答】解：∵以F2为圆心，OF2（O为椭圆中心）为半径作圆F2，若它与椭圆的一个交点为M，且MF1恰好为圆F2的一条切线，∴F1M⊥F2M．∵，∴|F1M|=c．∴c+c=2a，∴．∴椭圆的离心率为﹣1．故选：A．9．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则=（）A．；B．C．D．【解答】解：=====﹣=．故选：C．10．（5分）当a＞0时，函数f（x）=（x2﹣ax）e x的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：由f（x）=0，解得x2﹣2ax=0，即x=0或x=2a，∵a＞0，∴函数f（x）有两个零点，∴A，C不正确．设a=1，则f（x）=（x2﹣2x）e x，∴f'（x）=（x2﹣2）e x，由f'（x）=（x2﹣2）e x＞0，解得x＞或x＜﹣．由f'（x）=（x2﹣2）e x＜0，解得，＜x＜即x=﹣是函数的一个极大值点，∴D不成立，排除D．故选：B．二.填空题：（5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）函数y=lnx﹣x2的单调递增区间为（0，）．【解答】解：函数的定义域为为（0，+∞），则函数的导数f′（x）=﹣2x=，由f′（x）=＞0，得1﹣2x2＞0，解得0＜x＜，故函数的单调递增区间为（0，），故答案为：（0，）12．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1中点为E，则直线AE与BC1所成的角的大小为．【解答】解：如图，连接D1A，D1E，∠D1AE（或其补角）为异面直线BC1与AE 所成角设边长为1，则D1A=，D1E=，AE=，利用余弦定理得cos∠D1AE==∴∠D1AE=故答案为：．13．（4分）设a=，b=，c=，则a、b、c的大小关系为c＞a＞b．（按从大到小的顺序排列，否则不给分）【解答】解：∵（=﹣9＜0，∴＜4，∴c==＞=a，又﹣2==a，∴c＞a＞b．故答案为：c＞a＞b．14．（4分）已知点A（x1，a），B（x2，a）是函数y=a x（a＞1）的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论＞a成立．运用类比思想方法可知，若点A （x1，lnx1），B（x2，lnx2）是函数y=lnx的图象上任意不同两点，则类似地有＜ln（）．【解答】解：由题意知，点A、B是函数y=a x（a＞1）的图象上任意不同两点，函数是变化率逐渐变大的函数，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有＞a成立；点A（x1，lnx1），B（x2，lnx2）是函数y=lnx的图象上任意不同两点，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的下方，故可类比得到结论＜ln （）．故答案为：＜ln（）．15．（4分）已知f（x）=，定义f1（x）=f′（x），f2（x）=[f1（x）]′，…，f n+1（x）=[f n（x）]′，n∈N*．经计算f1（x）=，f2（x）=，f3（x）=，…，照此规律，则f n（x）=．【解答】解：∵f1（x）==，f2（x）==，f3（x）==，…，由此归纳可得：f n（x）=，故答案为：三、解答题：（3小题，共30分）16．（10分）复数z 1=+（10﹣a2）i，z2=+（2a﹣5）i，若+z2是实数，求实数a的值．【解答】解：∵z1=+（10﹣a2）i，z2=+（2a﹣5）i，∴+z 2是=[+（a2﹣10）i]+[+（2a﹣5）i]=（+）+（a2﹣10+2a﹣5）i=+（a2+2a﹣15）i，∵+z 2是实数，∴a2+2a﹣15=0，解得a=﹣5或a=3．又分母a+5≠0，∴a≠﹣5，故a=3．17．（10分）设函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R．①若f（x）在x=3处取得极值，求常数a的值；②若f（x）在（1，3）上不单调，求a的取值范围．【解答】解：①f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣a）（x﹣1），∵f（x）在x=3处取得极值，∴f′（3）=6（3﹣a）（3﹣1）=0，解得a=3．经过检验，当a=3时，x=3为函数f（x）的极值点．②令f′（x）=6（x﹣a）（x﹣1）=0，解得x=a或1．当a≤1时，f′（x）≥0，可知：函数f（x）在（1，3）上单调递增，不合题意舍去；当1＜a＜3时，当1＜x＜a时，f′（x）＜0，可知：函数f（x）在（1，3）上单调递减；当a＜x＜3时，f′（x）＞0，可知：函数f（x）在（1，3）上单调递增，满足题意；当a≥3时，f′（x）＜0，可知：函数f（x）在（1，3）上单调递减，不合题意舍去．综上可得：a的取值范围是（1，3）．18．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，E为CB1与BC1的交点．（1）求证：DE∥平面ACC1A1；（2）求直线BC1与平面DB1C所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵E为CB1与BC1的交点，∴E为BC1的中点，又点D是AB的中点，即DE为三角形ABC1的中位线，∴DE∥AC1，又DE⊄平面ACC1A1，∴DE∥平面AC C1 A1，（2）解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，∵AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，而由条件知，AC⊥C1C，且BC⊥C1C=C，以CA．CB．CC1分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，∵AC=3，BC=4，AA1=4，∴，．设平面DB1C的法向量=（x0，y0，z0），则由，令x0=4，则y0=﹣3，z0=3，∴=（4，﹣3，3），又直线BC1与平面DB1C所成角θ的正弦值即直线BC1与平面DB1C的法向量夹角的余弦值，∴，∴直线BC1与平面DB1C所成角的正弦值为．第Ⅱ卷（共50分）一、选择题：（2个小题，每小题5分，共10分）19．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点（1，2）在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（1，）D．（1，）【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为：y=x，∵点（1，2）在“上”区域内，∴×1＜2，即＜2，∴e==＜，又e＞1，则双曲线离心率e的取值范围是（1，）．故选：D．20．（5分）已知数列{a n}，，把数列{a n}的各项排成三角形状，如图所示．记A（m，n）表示第m行，第n列的项，则A（10，8）=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得，第一行有1项，第二行有2项，…，第n行有n项，则前9行共有1+2+3+…+9==45，所以第10行第8个数是数列的第45+8=53项，因为，所以A（10，8）=，故选：D．二、填空题：（1个小题，共4分）21．（4分）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P点为函数y=h（x）的“类对称中心点”，则函数f（x）=+lnx的“类对称中心点”的坐标是．【解答】解：由题意得，f′（x）=，f（x0）=（x＞0），即函数y=f（x）的定义域D=（0，+∞），所以函数y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程l方程为：y﹣（）=（）（x﹣x0），则g（x）=（）（x﹣x0）+（），设F（x）=f（x）﹣g（x）=+lnx﹣[（）（x﹣x0）+（）]，则F（x0）=0，所以F′（x）=f′x）﹣g′（x）=﹣（）===当0＜x0＜e时，F（x）在（x0，）上递减，∴x∈（x0，）时，F（x）＜F（x0）=0，此时，当x0＞e时，F（x）在（，x0）上递减；∴x∈（，x0）时，F（x）＞F（x0）=0，此时，∴y=F（x）在（0，e）∪（e，+∞）上不存在“类对称点”．若x0=e，=＞0，则F（x）在（0，+∞）上是增函数，当x＞x0时，F（x）＞F（x0）=0，当x＜x0时，F（x）＜F（x0）=0，故，即此时点P是y=f（x）的“类对称点”，综上可得，y=F（x）存在“类对称点”，e是一个“类对称点”的横坐标，又f（e）==，所以函数f（x）的“类对称中心点”的坐标是，故答案为：．三、解答题：（3个小题，共36分）22．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PBD；（Ⅱ）问侧棱PC上是否存在异于端点的一点E，使得二面角E﹣BD﹣P的余弦值为．若存在，试确定点E的位置；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，所以PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD．如图，以D为原点建立空间直角坐标系D﹣xyz．则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1），=（1，1，0）．=（﹣1，1，0）所以，所以BC⊥BD，又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，又PD∩DB=D，所以BC⊥平面PBD．（Ⅱ）因为=（0，2，﹣1），又且λ∈（0，1），设E（x0，y0，z0），则（x0，y0，z0﹣1）=（0，2λ，﹣λ），所以，E（0，2λ，1﹣λ），即=（0，2λ，1﹣λ），．…（6分）设平面EBD的法向量为=（a，b，c），因为=（1，1，0），由，，得，令a=﹣1，则可得平面EBD的一个法向量为=（﹣1，1，）…（9分）而平面PDB的法向量即为…（10分）所以，=||=，解得或λ=﹣1，…（11分）又由题意知λ∈（0，1），故，即点E在靠近点P的三等分处．…（12分）23．（12分）如图，直线l：y=x+b（b＞0），抛物线C：y2=2px（p＞0），已知点P （2，2）在抛物线C上，且抛物线C上的点到直线l的距离的最小值为．（1）求直线l及抛物线C的方程；（2）过点Q（2，1）的任一直线（不经过点P）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在实数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵点P（2，2）在抛物线C上，∴p=1，∴y2=2x．…（2分）设与直线l平行且与抛物线C相切的直线l′方程为y=x+m，代入抛物线方程可得x2+（2m﹣2）x+m2=0，∴△=（2m﹣2）2﹣4m2=4﹣8m=0，得m=，则直线l′方程为y=x+．∵两直线l、l′间的距离即为抛物线C上的点到直线l的最短距离，∴有，解得b=2或b=﹣1（舍去）．∴直线l的方程为y=x+2，抛物线C的方程为y2=2x．…（6分）（2）由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y﹣1=k（x﹣2），与抛物线联立，消去x得ky2﹣2y﹣4k+2=0，设点A、B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，∵k1===，k2=，…（9分）∴．…（10分）由得，y M =，∴k3==，…（13分）∴k1+k2=2k3．因此，存在实数λ，使得k1+k2=λk3成立，且λ=2．…（14分）24．（12分）已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣6．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）对一切x∈[3，+∞）恒有f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当x∈（0，2π），求证：lnx+cosx +．【解答】解：（Ⅰ）由条件知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1，故f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；故f min（x）=f （）=﹣；（Ⅱ）对一切x∈[3，+∞）恒有f（x）≥g（x）成立，即xlnx≥﹣x2+ax﹣6恒成立，（x∈[3，+∞））；即a≤lnx+x +恒成立，（x∈[3，+∞））；令h（x）=lnx+x +，则h′（x）==；第21页（共22页）故h（x）在[3，+∞）上是增函数；故h min（x）=h（3）=5+ln3；故实数a的取值范围为（﹣∞，5+ln3]．（Ⅲ）证明：由题意，当x∈（0，2π）时，要证：lnx+cosx +成立，只需证xlnx≥sinx﹣xcosx ﹣；设P（x）=sinx﹣xcosx ﹣，则P′（x）=xsinx，故P（x）在（0，π）上是增函数，在（π，2π）上是减函数；故P max（x）=P（π）=﹣；由（Ⅰ）知，f min（x）=f （）=﹣＞﹣；故当x∈（0，2π），lnx+cosx+恒成立．第22页（共22页）。

福建省八县一中2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题

B 1B 福建省八县一中2014-2015学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

）1．命题：“0>∀x ，02≥-x x ”的否定形式是（）A 0x ∀≤，20x x ->B 0x ∀>，02≤-x xC 0>∃x ，02<-x xD 0≤∃x ，02>-x x 2．抛物线:C 24x y =的焦点坐标为（） A )1,0( B )0,1( C )161,0( D )0,161( 3．若向量)1,0,1(-=→a ，向量),0,2(kb =→，且满足向量→a //→b ，则k 等于（） A 1 B 1- C 2 D 2-4．“21<<m ”是“方程13122=-+-my m x 表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件5．经过点(2,2)P -，且与双曲线:C 2212x y -=有相同渐近线的双曲线方程是（）A 12422=-y xB 14222=-x yC 14222=-y xD 12422=-x y6．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面对角线11A C 的中点，若→→→→++=AD y xAB AA BE 1，则（）A 21,21=-=y x B 21,21-==y x C 21,21-=-=y x D 21,21==y x7．ABC ∆中,)0,5(),0,5(B A -，点C 在双曲线191622=-y x 上，则CBA sin sin sin -=（）A53 B 53± C 54 D 54± 8．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱CD 的中点，则→M A与→1DC 所成角的余弦值为（）A 62-B62 C 1010- D 1010 9．已知抛物线:C )0(22>=p px y 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点P 作PM 垂直l 于M ，若060=∠PFM ,则PFM ∆的面积为（）A 2pB 23pC 22p D 232p10．如果命题“若y x ⊥，z y //，则z x ⊥”是假命题．．．，那么字母z y x ,,在空间所表示的几何图形可能是( )A z y x ,,全是直线B z y x ,,全是平面C z x ,是直线，y 是平面D y x ,是平面，z 是直线 11．已知椭圆22221(0)x y a b ab+=>>与双曲线22221(0,0)x y m n mn-=>>有共同的焦点)0,(c -和)0)(0,(>c c ，且满足c 是a 与m 的等比中项，2n 是22m 与2c 的等差中项，则椭圆的离心率为( )A33 B 22 C 41 D 2112．在平面直角坐标系中，一条双曲线经过旋转或平移所产生的一系列双曲线都具有相同的离心率和焦距，称它们为一组“共性双曲线”；例如将等轴双曲线222=-y x 绕原点逆时针转动045，就会得到它的一条“共性双曲线”xy 1=；根据以上材料可推理得出双曲线113-+=x x y 的焦距为（） A 4B 24C 8D 28二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

【数学】福建省福州市第八中学2014-2015学年高二上学期期末考试(文)

福建省福州市第八中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学（文）试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若()()R y x i y i i x ∈+=-,,3，则复数=+yi xA ．i +-3B ．i +3C ．i 31-D ．13i +2. 已知取值如下表：从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且a x y +=95.0，则a ＝A. 1.30B. 1.45C. 1.65D. 1.803．下列四个框图中是结构图的个数是A ．1个B ．2个C ．3个4．4个4．函数的图象在点处的切线方程为 A ．B ．C ．D ．5．直线过椭圆的上焦点和一个顶点B ，该椭圆的离心率为A ．B ．C ．D ．6．已知下列命题： ①命题“020031,x x R x >+∈∃”的否定是“x x R x 31,2<+∈∀”；②已知p 、q 为两个命题，若“p 或q ”为假命题，则“p ⌝且q ⌝为真命题”；③“5>a ”是“2>a ”的充分不必要条件； ④“若0=xy ，则0=x 且0=y ”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号是A ．①②③B ．②④C ．②③D ．④7．中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在轴上，则它的渐近线方程为Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．8.若实数b a ,满足00,0=≥≥ab b a 且，则称a 与b 互补．记()b a b a b a --+=22,φ，那么()0,=b a φ是a 与b 互补的A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件9.已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的内切圆的圆心，则2=GDAG”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若BCD ∆的中心为M ，O 是这个四面体的内切球的球心”，则=OMAOA ．1B ．2C ．3D ．4 10．已知函数是定义在R 上的偶函数，且对任意的R ，都有.当0≤≤1时，=，若直线与的图象在[0，2]恰有两个不同的公共点，则实数的值是A.0B.0或C.0或D.或二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.11.若命题“022,2≤--∈∀ax ax R x ”是真命题，则实数的取值范围是__________.12．设1z 是复数，112z i z z -= (其中1z 表示1z 的共轭复数)，已知2z 的实部是－3，则2z 的虚部为__________．13．下列命题：①平面内到两定点距离的差等于定长的点的轨迹不一定是双曲线；②椭圆中的参数不能刻画椭圆的扁平程度，而能刻画椭圆的扁平程度；③已知椭圆的中心在原点，经过两点和的椭圆的标准方程是唯一确定的．④由()()","221221e e aR ，e e a μλμλμλ+=∈+=则若向量可类比推理得()()22,,"bi a z R b a bi a z +=∈+=则若复数把以上各小题正确的答案填在横线上．三、解答题：本大题共3小题，共38分。

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