工程数学-CH03-级数

则称级数∑ f n ( z ) 在z点收敛.
n =1
若在区域D内,能找到一个N = N (ε ), 使得对区域D内 所有z都有N (ε , z ) < N (ε ), 就称级数∑ f n ( z )在区域D
n =1 ∞
内一致收敛.
收敛域
使级数∑ f n ( z ) 收敛(一致收敛)的那些点
n =1
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x →0
≠ ∑ lim
n =1 x →0
(1 + x )
2 n −1
=0
2 x (2) f n ( x ) = 在x = 0连续，但S ( x)不连续. 1 n − 2 1 + x ( ) x=0 0, 事实上 S ( x) = 2 1 , x≠0 + x
k =1
∞
极限
S = lim S n = lim ∑ zk = ∑ zk
n →∞ n →∞ k =1 k =1
2
n
∞
称为级数的和.
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级数收敛的充要条件－柯西收敛判据
对任意的ε > 0,都存在正整数N = N (ε ),使得 当n > N时, 对一切正整数p, Sn + p − Sn =
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收敛和一致收敛
对任意的ε > 0,都存在正整数N = N (ε , z ),使得当 n > N时, 对一切正整数p, 都有 Sn + p − Sn =
∞ k = n +1
∑
n+ p
fk ( z) < ε .
n =1 n =1
在D 内是解析的；
（m ) (ii ) 级数的m阶导数∑ f n ( z ) 在D 内也收敛,并且其 n =1 （m ) ( z ). 和等于S ∞
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外尔斯特拉斯（Weierstrass)定理证明: 由于∑ f k (ξ )在Γ上一致收敛,因此由达朗贝尔判别法,对
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§3.1 复数项级数
复数项级数是复数序列{ zn = xn + iyn } 构成的无穷级数
复数项级数
∑z
n =1
∞
n
= z1 + z2 + ... + zn + ...
n
其部分和为 S n = ∑ zk = z1 + z2 + ... + zn .
k =1
若当n → ∞时, S n 的极限存在, 则称级数 ∑ zk 为收敛的.
复变函数项级数是由函数序列{ f n ( z )} 构成的无穷级数
∞
∑f
n =1
n
( z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) + L + f n ( z ) + L
其中f n ( z )是定义在区域D内的复变函数.
n 级数的部分和构成函数序列 Sn ( z ) = ∑ f k ( z ) . k =1 若对 D 内某一点 z, 极限 lim Sn ( z ) = S ( z )存在, 则称级数 n →∞
• 函数项级数
∑
n =1 ∞
(1 + x 2 )
x2
n −1
x2 x2 =x + + + ⋅⋅⋅ 2 2 2 (1 + x ) (1 + x )
2
• 级数的部分和
S n ( x) = ∑
k =1 n
(1 + x 2 )
x2
k −1
• 级数的和
n →∞
1 x 1 − n (1 + x 2 ) 1 2 = = (1 + x ) 1 − n 1 (1 + x 2 ) 1− 2 + 1 x ( )
∑z
n =1 ∞
n
并称后者为绝对收敛. 事实上
∑x
n =1 ∞ n =1
∞
n
≤ ∑ xn ≤ ∑ zn ,
n =1 n =1 ∞
∞
∑y
n =1
∞
n
≤ ∑ yn ≤ ∑ z n .
n =1 n =1
∞
∞
若∑ zn收敛,但 ∑ zn 发散称前者为条件收敛.
n =1
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k =1 ∞
在D 内一致收敛,则级数和S ( z ) = ∑ f k ( z ) 也是D
k =1
∞
内的连续函数. （2）一致收敛级数的积分和求和次序可以互换,即
∫∑ f
l n =1
∞
n
( z )dz = ∑ ∫ f n ( z )dz.
n =1 l
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∞
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达朗贝尔(d’Alembert)判别法
若级数 ∑ zn 满足条件
n =1 ∞
zn +1 = l, lim n →∞ z n 则当l < 1时, ∑ zn绝对收敛.当l > 1时, ∑ zn发散.
∞ ∞ （3） f ( x ) dx f n ( x) dx ≠ ∑ ∑ n ∫ ∫ S ( x)dx = ∫ n =1 n =1 d d ∞ ∞ d ≠ (4) S ( x) = f ( x ) f ( x ) ∑ ∑ n n dx dx n =1 dx n =1
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• 非一致收敛级数的部分特性
（） 1 lim S ( x) = lim ∑
x →0 x →0 ∞ n =1 ∞
(1 + x )
x2
x2
2 n −1
= lim (1 + x 2 ) = 1
∞
的集合称为该级数的收敛(一致收敛)域.
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达朗贝尔判别法
若级数 ∑ f n ( z )满足条件
n =1 ∞
f n +1 ( z ) lim = l, n →∞ fn ( z) 则当l < 1时, ∑ f n ( z )在z点绝对收敛.当l > 1时, ∑ fn ( z )
级数的乘积
如果Sa = ∑ an ,Sb = ∑ bn ,则乘积级数
n =0 n=0 ∞ ∞ ∞
∑ a g ∑b = ∑c
n =0 n n=0 n n=0
∞
∞
n
= S a Sb
其中 cn = ∑ ak bn − k
k =0
n
两个复数项级数的和、差、积的定义以及收 敛理论与实数项级数相应的理论没有区别.
n =1 n =1 ∞ ∞
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例: 讨论级数 ∑ z 的敛散性.
n n =0 n z 1 − 解 : (1) Sn = 1 + z + z 2 + L + z n -1 = (z ≠ 1) 1− z 1− zn S = lim S n = lim n →∞ n →∞ 1 − z 1 根据收敛定义, 当 z < 1 时, S = , 级数收敛; 1− z 当 z ≥ 1 时, S不存在, 级数发散.
k = n +1
∑z
n+ p
k
< ε.
复数项级数的收敛条件
复数项级数收敛的充要条件是它的实部级数 x1 + x2 + ... + xn + ... 和虚部级数 y1 + y2 + ... + yn + ... 都收敛.
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k =1 ∞
1 ∞ f k (ξ ) D 内的任意一点z (即z ≠ ξ ), 级数 在Γ上也 ∑ 2π i k =1 (ξ − z ) 一致收敛,所以沿Γ的积分存在.由于该积分
∞ f k (ξ ) 1 1 n =1 d dξ = ∑ fk ( z) ξ = ∑ Ñ ∫ Ñ ∫ 2π i Γ k =1 (ξ − z ) 2π i Γ (ξ − z ) n =1 ∞ k
∑f
∞
(ξ )
因此级数∑ f k ( z )的和存在,即级数在D内(任意z点)收敛.
n =1
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∞
m ! ∞ f k (ξ ) 同理,对整数m > 1, 级数 在Γ上也一致收敛. ∑ m 2π i k =1 (ξ − z ) f k (ξ ) m! m ! n =1 dξ = dξ = ∑ f k ( z ) 由于 ∑ m m Ñ ∫ Ñ ∫ 2π i Γ k =1 (ξ − z ) 2π i Γ (ξ − z ) n =1
（3）外尔斯特拉斯（Weierstrass)定理：若函数 f n ( z ) ( n = 1, 2, ⋅⋅⋅) 在区域 D 内解析并且在 D上连续,级数
∑f
n =1