等比数列前n和第一节

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等比数列前N项和(一)

则有am an a p aq
与你作一笔交易：一个月30天算，我每天给你5000元，而你只需第1天给我1 分钱，第2天给我2分钱，第3天给我4分钱，第4天给我8分钱，由此类推，这样的交易期为一个月，这笔交易你做吗？
这实际上是求以 1 为首项，2为公比的等比数列的前30项的和。
S30 1 2 2 2 2 (1)
2 3 29
如果用公比2乘以上面等式的两边，得到：
2S30 2 2 2 2 2 (2)
2 3 29 30
为便于对上面两式进行比较，我们将它们列在一起：
S30 1 2 22 23 229 (1)
2 S30 = 2 + 22 + 2 3 +…..+ 2 29 + 230。。。。(2) (2) – (1) : S30 = 2 30 – 1 ≈1073.74万元
错位相减法
这笔交易不能做
等比数列前n项和公式的推导
Sn a1 a2 a3 an …… (1) Sn=a1+a2+ +an=? 1
Sn .an ,q , a1 , n 知三而可求二 .
并能应用.
.了解等比数列的推导过程(错位相减)
an a 2 a 3 a4 因为 a a a a q 1 2 3 n 1 a 2 a 3 a4 a n q 所以 a1 a2 a3 an1 S n a1 q S n an
因为棋盘共有64格,所以各格中的麦子数组成了一个64项的等比数列 1, 2, 22 , 23 ,263
1 2 264 1 1.841019 1 2

《等比数列的前n项和第一课时：定义和公式》名师课件2

假设千粒麦子的质量为40g，据查，目前世界小麦年产量为6亿t。根据以上数据判断国王能不能实现他的诺言？
思考：
❖ (1)棋盘中每格的麦粒数将构成什么样的一个数列？
1,2,22 ,23,,263
❖ (2)国王需要给发明者多少粒小麦？
1 2 22 23 263 ?
问题探究
若{an} 为等比数列，那么等比数列前n项和： Sn a1 a2 a3 an1 an ?
公式辨析
1．口答：
在公比为 q 的等比数列{an}中
(1)若 a1
2,q 3
1 3
，则
S
n
_1__(_1_)_n__
3
（2）若 a1 1,q 1 ，则 Sn __n______
2．判断是非：
①1
2
4
8
(2)n1
1 (1 2n 1 2
)
②1 2 22 23 2n 1
注意：1.对公比q的分类讨论；
3.判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法
国际象棋的传说
在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求．西萨说：“请给我棋盘的64 个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了。
S8
1 [1 (1)8 ] 22
1 1
255 ; 256
2
能否运用q≠1时的另一个公式进行
1 27 • q8 , q 0.解得：q 1
243
3
S8
27 [1 ( 1)8 ] 3
1 ( 1)
1640 . 81
3

等比数列的前N项和(第一课)

第二课
灵活应用
1.等比数列a n 的前n项和Sn，已知a 2 =5,S3 =15,求Sn
2.已知数列a n 满足：a1 1, an an1 p
n
n 2, p是不为零的常数，求数列an 的通项公式.
应用题中提炼递推公式
例1.教科书P28例7
例2.教科书P28例8
n n
类比讨论解决问题
问题3：你会求等比数列 an 前n项和吗？
Sn a1 a2 a3 an a1 a1q a1q a1q
2 n 1
a1 1 q q 2 q n 1
na1 , Sn a1 1 q n a1 an q 1 q 1 q
普通高中课程标准试验教科书（北师大版）
3.2 等比数列的前n项和
(第一课时)
创设情境
明总：在一个月中，
我第一天给你一万，以后每天比前一天多给你一万元。
林总：我第一
天还你一分钱，以后每天还的钱是前一天的两倍
创设情境
林总：哈哈！这么
多钱！我可赚大了，我要是订了两个月，三个月那该多好啊！
1023 . 512
巩固提高
变式训练：
1 1 1 127 的前多少项和为？ 1 等比数列1，，，， 2 4 8 64 n a 1 q 11 127 1 1 1 分析：已知a1 1 1, q，，， , S ,求 n . 由公式 Sn 得n 7 . ，的第5 项到第 10项的和； n 2 求等比数列 64 1 q 2 42 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 63 3 求等比数列 1 ，，，，的前 2 n 项中所有奇数项的和的表达式 . 分析：已知a1 1，q 2 4得8 a5 , a10 , 由公式得S 16 512 2 . 1 2 16 512 512 1 1 2 分析：已知a1 1, q , 项数为n, 求Sn , 4 a1 1 q n 4 由公式Sn 得Sn 1 4 n . 1 q 3

等比数列前n项和(第一课时)

n 1 n 1
等比数列前n项和公式的推导
思考：有没有其他的方法推导出公式呢？
思路1：s n = a 1 + a 1 q + a 1 q 2 + + a 1 q n -1
= a 1 + q ( a 1 + a 2 + a n -1 )
思路2：
a2 a1
=
a3 a2
=
a4 a3
= =
an a n -1
= q
sn a1 qsn 1
典型例题
例 1: 求等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , 前 8项和 . 2 4 8 16
练习：
1 , 1 , 1 , 1 , 前多少项的和是 6 3 ? 1 、等比数列 2 4 8 16 64
典型例题
例 3：求和 1 + a + a + a + + a
2 3 n1
.
等比数列的前n项和
学习目标 1、理解公式的推导过程 2、会利用公式求解计算
阅读课本55页：印度国际象棋发明者的故事
（西萨）
问：西萨要的是多少小麦？
1 +2 +2 +2 + +2
2 3
2 3
63
=
①
S 64 1 + 2 2 2 2
2 S 64
② -①得
63
63 64
2 2 2 2
2 3
2 ②
64
2 S 64 2 2 2 2 2
2 3 4
S 64 2

第30讲等比数列及其前n项和1

d＝2，由于{bn}是各项都为正整数的等比数列，∴ q＝2，
从而 an＝1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝qn－1＝2n－1. (2)∵bn＝2n－1，∴log2bn＋1＝n， 1 1 ∴dndn＋1＝2－8＋n，∴dn＋1dn＋2＝2－7＋n， dn＋2 1 两式相除，得 d ＝2. n 1 由 d1＝16，d1d2＝2－8＋1＝128，可得 d2＝8，
学科能力
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第30讲
等比数列及其前n项和
[ 方法解读 ]
a1 在等比数列的求和公式 Sn ＝ (1 － qn)(q≠1) 1－q
a1 a1 中，求和公式中的是不变的，所以可以考虑将作为一个 1－q 1－q 整体，即当作一个量参与化简与运算.
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第30讲
【跟踪练习】 A．5 2 B．7
例 1 【配例 1 使用】[2015· 青岛二模] 设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正整数的等比数列，且 a1＝b1＝1，a13b2＝50，a8＋b2＝a3＋a4 ＋5. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； 1 (2)若数列{dn}满足 dndn＋1＝－8＋log2bn＋1(n∈N*)，且 d1＝16，试求数 2 列{dn}的通项公式及其前 2n 项和 S2n.
(2)1
第30讲
等比数列及其前n项和
思想方法
14.整体处理思想在等比数列运算中的应用
【典例】若等比数列{an}的前 n 项、前 2n 项、前 3n 项的和分别为 Sn，S2n，S3n，求证：Sn2＋S2n2＝Sn(S2n＋S3n)．
思路利用等比数列前 n 项和公式求解或者把前 n 项和作为一个整体进行证明．
31 4
[总结反思] (1)与等差数列一样，求等比数列的基本量时也常运用方程的思想方法．从方程的观点看等比数列的通项公式和求和公式，共有五个量 a1，n，q，an，Sn，知道其中的三个通过构造方程(组)可求出另外两个． (2)应用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对公比 q＝1 与 q≠1 的情况进行分类讨论．

等比数列的前n项和 (1)

等比数列
第四课时
例1(A)已知数列n a
范例讲解
的通项公式
an 3 2n 为
，这个数列是等比数列吗？
分析：用定义法证明
等比数列的例题
例2 已知 a n , bn 是项数相同的等比数列，证明:设数列 an 首项为a1,公比为q1 n 首项为b1,公比为q 2 ;b 那么数列 an bn 的第n项与第n+1项分别为：
课堂小结
a1 (1 q n ) (q 1) Sn 1 q 或S n na (q 1) 1
减)并能应用.
由
a1 an q (q 1) 1 q . na (q 1) 1
.理解等比数列的推导过程(错位相
Sn .an ,q , a1 , n 知三而可求二 .
公式应用：
例1：求等比数列
1 1 1 , , , 的前8项的和。 2 4 8
1 1 1 1 解:由 a1 , q , n 8 ,得 2 4 2 2
1 1 8 [1 ( ) ] 2 2 255 Sn 1 256 1 2
公式应用：
例2 已知等比数列 an ,
课堂总结
1．等比数列的前 n 项和公式分两类，一类是当公比 q＝1 时，其公式为 Sn＝na1；另一类是当 q≠1 a11－qn a1－anq 时，Sn＝＝ 1－q 1－q
复习:
等差数列等比数列
定义
通项公式
an1 an d
an a1 (n 1)d
an am (n m)d
错解：Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝(a2＋a4＋…＋a2n)－(a＋a2＋…＋an) a21－a2n a1－an ＝ . 2 － 1－a 1－a

等比数列的前n项和(1)

等比数列的前n 项和（1）【学习目标】1. 探索并掌握等比数列的前n 项和公式；学会用公式解决一些简单问题。

2.掌握从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的水平。

【课前导学】1. 在等比数列{a n }中，a 1=81,q =2,则a 4与a 8的等比中项是 2．在等比数列{a n }中，已知a 5=－2,则这个数列的前9项的乘积等于3．2，x ,y ,z ,162是成等比数列的五个正整数，则z 的值等于【答案】（1）4 ；（2）－512；（3）54【课堂活动】一、建构数学1. 等比数列}{n a 的前n 项的和()111(1)1(1)n n a q q S q na q ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩【注意】（1）证法：错位相减法（2）当q=1时，等比数列的前n 项和公式为11S na =，应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况．（3）注意求和公式中是n q ，通项公式中是1-n q 不要混淆；（4）如果已知a 1, a n ,q,n,Sn 五个量中的任意三个就能够求出其余两个（5）当ｑ≠１时，()111n n a q S q-=-1111n a a q q q -=+-- 当0,0A q ≠≠时⇔=++=)0(B A Bq A S n n ｛n a ｝是等比数列。

二、应用数学1、,,,,1a d n a S n n 五个量，知三个量，就能够求余下的两个量【例1】在等比数列｛a n ｝中，（１）已知1a ＝－4，q ＝12，求10S ；（２）已知1a ＝１，k a ＝243，q ＝3，求k S ．【解】（1）根据等比数列的前ｎ项和公式，得（2）根据等比数列的前ｎ项和公式，得【解后反思】在等差数列的通项公式与前ｎ项和公式中，含有1a ，ｄ，ｎ，n a ，n S 五个量，只要已知其中的三个量，就能够求出余下的两个量．合理使用用种形式，优化过程【例2】（1）在等比数列｛a n ｝中，263,2763==S S ，求a n . （2）等比数列｛a n ｝中，a 3=7,前 3项之和S 3=21, 求公比q 的值【解】（1）若ｑ＝１，则Ｓ６＝２Ｓ３，这与已知263,2763==S S 是矛盾的，所以ｑ≠１．从而将上面两个等式的两边分别相除，得所以ｑ＝２，由此可得211=a ，所以（2）若ｑ＝１，a 3=71a =，S 3=21=13a ，满足题意；ｑ≠１．从而2313137(1)211a a q a q S q ⎧==⎪⎨-==⎪-⎩，将上面两个等式的两边分别相除，解得12q =-。

必修五等比数列前n项和的公式(第一课时,精校版,优质课件)

求：Sn 解：Sn=a1+a2 + a3 +a4 + …+an 2 3 … a1qn-1 =a1+a1q + a1q + a1q + + q n=a1q a1q (1-q)Sn=
1 1
a a
s
2
a1q3 a1qn1 a1qn
若q=1,
n
作减法
a -a qn
Sn na1
分析：解：（1）该数列为等比数列，记为{an}，其中a1=a,q=a 当q=1时,Sn=na a (1 a n ) 当q≠1时,Sn= 1 a
反思推导求和公式的方法——错位相减法，可以求形如 xn yn 的数列的和，其中 xn 为等差数列， yn 为等比数列.
思考：
1 2 3 4 n Sn n . 求和： 2 4 8 16 2
n 1 设 an 2 n n 2 n （提示：
，其中n为等差数列，，利用错位相减法求和.）
1 1 n 为等比数列，公比为 2 2
三、小结：
1.等比数列前 n 项和公式推导中蕴含的思想方法以及公式的应用； 2.灵活运用等比数列求和公式进行求和，求和时注意公比q
引入新课
请同学们考虑如何求出这个和？
2 3 29
30 S30 1 2 S 2 1 1073741823 分
S30 2S30 1 230
30 30
即2S30 2 2 2 2 2 .
S30 1 2 2 2 2 . 2 3 29 2 2 2 2 ). 2S30 2(1 2 3 29 30
等差数列定义通项公式

等比数列的前n项和第一课时

等比数列的前n 项和（第一课时）赤壁市蒲圻高中张可菊 2012.3.16教学目标： 1．知识与技能目标理解并掌握等比数列前n 项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．2．过程与方法目标通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．3．情感、态度与价值观通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点．教学重点：等比数列的前n 项和公式的推导、公式的特点和公式的运用.教学难点：等比数列的前n 项和公式的推导方法及公式应用中公比与1的关系．教学过程：一、复习等比数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式二、引入新课给出如下小故事：张明和王勇是中学同学。

张明学习成绩优异，考上了重点大学。

王勇虽然很聪明，但对学习无兴趣，中学毕业后做起了生意，凭着机遇和才智，几年后成了大款。

一天，已在读博士的张明遇到了王勇，寒暄后王勇流露出对张明清苦的不屑，表示要资助张明，张明说：“好吧，你只要在一个月30天内，第一天给我1分钱，第二天给我2分钱，第三天给我4分钱，第四天给我8分钱，依此类推，每天给我的钱都是前一天的2倍，直到第30天。

”王勇听了，立刻答应下来心想:这太简单了。

没想到不到30天，王勇就后悔不迭，不该夸下海口。

同学们，你们知道王勇一共应送给张明多少钱吗？引导学生求的和.三、讲授新课1、推导等比数列的前n 项和公式① ② ③2、例题精讲293222221+++++例点评：例2 求和 .例3 某商场第1年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年增加10％，那么从第1年起，约几年内可使总销售量达到30000台（保留到个位）？四、随堂练习 1、判断是非 ① ② ③若且，则2、求和 .备用题：求和. 五、课堂小结1、两个公式：2、一种求和方法：3、四种思想：4、注意事项：六、课堂作业 1、（必做题）.10516181,41,21项的和项到第的第，，求等比数列（选做题）{})0(543≠++++a a a a a n ()212112222132--⋅=+++++n n 0≠c 1≠c ()[]222264211c c c c c c c n n --=++++ ()()()2121121684211---⋅=-+-+-+--n n 426421++++++n a a a a .n 1614,813,412,2111项和的前，求数列变式 .n 164,83,42,212项和的前，求数列变式 n n 33433323432⋅++⋅+⋅+⋅+2、研究性作业：查阅“芝诺悖论”，从等比数列求和的角度加以解释.。

]第1课时等比数列的前n项和

探究点三等比数列前n项和公式的实际应用
【典例3】从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产
业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少
1 5
，本年度当地旅游业收入
估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后旅游业收入每年会比上年增加
1 4.
【补偿训练】各项都是正数的等比数列{an}，前n项和记为Sn，若S10＝10，S30＝70，求S40.
【解析】设等比数列{an}的公比为q. 由题意知q≠±1，由S10，S20－S10，S30－S20， S40－S30成公比为q10的等比数列，则S30＝S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＝S10＋q10S10 ＋q20S10，即q20＋q10－6＝0，得q10＝2或q10＝－3(舍)，所以S40＝S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＋(S40－S30) ＝10×(1＋2＋22＋23)＝150.
－4 000×1－45n
>0，化简得5×54
n
＋2×45
n
－7>0，即45
n
2 <5
，可得n≥5.所
以，至少要经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．
【类题通法】解答数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征． (3)求解——求出该问题的数学解． (4)还原——将所求结果还原到实际问题中．具体解题步骤用框图表示如下：
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋k)－(3n－1＋k)＝3n－3n－1＝ 2·3n－1. 由已知知{an}为等比数列，所以a1＝3＋k＝2，则k＝－1. 方法二：由已知知，{an}是等比数列， a1＝3＋k，a2＝S2－S1＝6，a3＝S3－S2＝18，由a22 ＝a1a3得18(3＋k)＝36，解得k＝－1. 答案：－1

第1课时等比数列的前n项和公式

首项、公比与末项公式二
a11－－aqnqq≠1， Sn＝__n_a_1_q_＝__1________
注意点：(1)用等比数列前 n 和公式求和，一定要对该数列的公比 q＝1 和 q≠1 进行分类讨论；(2)公式一中的 n 表示的是所求数列的项数；(例
1×1－2n＋1 如 1＋2＋22＋…＋2n＝ 1－2 )；(3)公式二中的 an 在求和时，表示
1234
课堂小结
1.知识清单： (1)等比数列前n项和公式的推导. (2)等比数列前n项和公式的基本运算. (3)等比数列前n项和公式的结构特点. 2.方法归纳：公式法、错位相减法. 3.常见误区：等比数列前n项和公式中项数的判断易出错.
解得q＝－12，故此数列共有 5 项. n＝3，
反思感悟求等比数列的前n项和，要确定首项、公比、项数或首项、末项、公比，应注意公比q＝1是否成立.
二、等比数列中与前n项和有关的基本运算
例2 在等比数列{an}中. (1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
解由题意知aa1111＋＋qq＋＝q320＝，155，
解得aq1＝＝55，
a1＝180，或q＝－56.
从而
Sn＝14×5n＋1－54或
1 Sn＝
080×111－－56n.
(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝54 ，求S5；
a1＋a1q2＝10，解方法一由题意知a1q3＋a1q5＝54，从而 S5＝a111－－qq5＝321. 方法二由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，得 q3＝18，从而 q＝12. 又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，从而 S5＝a111－－qq5＝321.
延伸探究 1.若将本题改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，

等比数列前n项和1-

发明者要求旳麦粒总数： 1＋ 2＋ 22 ＋＋ 263
问题就转化为求这么一种以１为首项、２为公比旳等比数列旳前６４项和
S64 1 2 22 262 263
⑴⑵
问题就转化为求这么一种以１为首项、２为公比旳等比数列旳前６４项和
S64 1 2 22 262 263
2S64 2 22 23 263 264
③
c2
c4
c6
c2n
c2[1 (c2 )n ] 1 c2
c 2可能为1 或0
3. 已知 {an} 是等比数列，请完毕下表：
题号 a1
q
(1)
1 2
1 2
(2) 27
2 3
(3)
3
2
n
an
Sn
1
255
8
256
256
4
8Байду номын сангаас
65
6
96
63
a1、q、n、an、Sn中
知三求二
4. 已知等比数列6，3，1.5，…，求使得该数列前
两式相减可将两式中旳许多相同项消去，从而简化运算
S64 264 1
S64 264 1 ＝18,446,744,073,709,551,615
一般每千粒小麦重50克
这位宰相所要求旳麦粒竟超出922亿吨，是全世界在两千年内所产旳小麦旳总和！
假如造一种宽四米，高四米旳粮仓来储存这些粮食，那么这个粮仓就要长三亿千米，能够绕地球赤道7500 圈，或在太阳和地球之间打个来回。
an
S1，
Sn
Sn1,
n 1 n2
（四）从函数旳观点看等比数列
数列an为等比数列 an k qn k、q为非零常数数列an为等比数列 Sn k k qn k、q为非零常数

等比数列的前n项和(第一课)

1. 探究问题
棋盘上各个格子里的麦粒数依次是
1, 2, 2 , 2 , L, 2
于是棋盘上的麦粒总数就是
2
3
63
1+ 2 + 2 + 2 +⋅⋅⋅+ 2
2 3
63
1+ 2 + 2 +L+ 2
1 2
63
= 2 −1
64
= 18446744073709551615(粒) 18446744073709551615(粒
2、设数列{an}的通项公式为： an = 2n −1，则、设数列的通项公式为：的通项公式为其前99项和的值为（其前项和 S99的值为（ C ） A．2100 − 1 B． − 2100 C． 99 − 1 D． − 299 ．．．． 1 2 1
1 3、等比数列 {an}的公比 q = ，且、的公比 2
(1) a1 = 3, q = 2, n = 6
1 ( 2 ) a 2 = 4, q = , n = 5 2
a1 = 8,
3 × (1 − 2 ) S6 = = 189 1− 2
6
5 1 8 × 1 − 2 31 = S5 = 2 1 1− 2
n
②
①－② ，得
当
(1 − q) S n = a1 − a1q
③
n
q ≠ 1 时，由③得 S = a1 (1 − q ) 当 n
q = 1 时，由①得 Sn = na1
1− q
3. 等比数列的前n项和
(q = 1) na1 公式一 : S n = a1 (1 − q n ) (q ≠ 1) 1− q