高等数学第六版下册复习纲要

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高等数学下册考试提纲

高等数学下册考试提纲第一篇：高等数学下册考试提纲高等数学下册考试提纲一、二元函数求极限二、求向量投影，已知一定条件求平面方程三、求方向导数最大值（梯度的模），隐函数求一阶偏导，多元抽象复合函数求二阶偏导四、二元分段函数在分界点连续，偏导数、可微性判断五、交换二重积分次序；二重积分在直角坐标计算六、三重积分计算（球面坐标）七、第一类曲线积分计算；第二类曲线积分计算（利用曲线积分与路径无关或格林公式）八、第一类曲面积分计算；第二类曲面积分计算（利用高斯公式）九、求数项级数的和；求幂级数的收敛域与和函数十、数项级数敛散性判断；利用比较法证明数项级数收敛十一、利用条件极值求最大、最小值在几何上的应用题第二篇：《高等数学》考试大纲《高等数学》考试大纲――各专业（工科及管理类专业）适用1.极限与连续数列极限和函数极限的概念和性质，函数的左、右极限概念，无穷小的概念及性质，无穷小与无穷大的关系，无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在准则与两个重要极限，利用存在准则1及两个重要极限求极限。

函数连续的概念及运算，函数间断点及其分类，初等函数的连续性，利用初等函数的连续性求极限，闭区间上连续函数的性质。

2.导数与微分导数的概念，几何意义，可导与连续的关系，基本初等函数的导数公式，导数的四则运算，反函数的导数，复合函数的求导法则，隐函数的求导方法，对数求导法，高阶导数及其计算。

微分的概念，微分基本公式，微分运算法则，微分形式不变性，微分的计算。

3.中值定理及其导数应用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，利用洛必塔（罗彼塔）法则求极限。

函数单调性的判别法，函数单调区间的求法及利用单调性证明不等式，函数取极值的判别法及极值求法，函数最大值与最小值的求法，最值应用。

曲线的凹（上凹）、凸（下凹）的判别法，曲线凹（上凹）、凸（下凹）区间及拐点的求法。

4.不定积分原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式，不定积分的第一、第二换元积分法，分部积分法，简单有理函数及无理函数的不定积分求法。

高等数学下册复习资料

高等数学下册复习资料高等数学下册是一门重要的大学数学课程，也是有挑战性的一门课程。

学生们需要透彻地掌握这门课程的基本概念、理论和实际应用，才能够为以后的学习和工作做好充分的准备。

因此，复习高等数学下册是非常必要的。

一、复习重点1.微分方程微分方程是高等数学下册中比较难理解和掌握的知识点之一。

在这个部分中，学生们需要掌握常微分方程及其解法、初始值问题、高阶微分方程、齐次方程和非齐次方程等。

2.多元函数微积分学多元函数微积分学是高等数学下册的另一个难点，包括多重积分、曲线积分、曲面积分、矢量场的线积分和面积分等。

3.线性代数线性代数是高等数学下册另一个重要的知识点。

这个部分需要学生们掌握线性空间、矩阵、行列式和特征值及其应用、线性方程组及其应用等。

二、复习方法1.理解基本概念和理论高等数学下册有很多基本的概念和理论，这些知识点是这门课程的基础。

学生们需要花费足够的时间来学习和理解这些概念和理论，从而能够透彻地掌握整个课程。

2.做题巩固知识点在学习中，做题是非常重要的一部分。

学生们需要选择一些代表性和难度适当的例题和习题来练习，从而加深对知识点的理解和掌握。

同时，做题也可以帮助学生们检查自己的学习效果。

3.查阅资料和参考书籍在复习过程中，学生们可以查阅相关资料和参考书籍，例如高等数学下册的教材、辅读书和网上资料等。

通过阅读和学习这些资料，学生们可以更深入地了解和掌握相关知识点。

4.参加辅导课和讨论小组参加辅导课和讨论小组，可以让学生们更好地交流和学习。

在这个过程中，学生们可以和老师和同学们一起讨论和解决问题，不断提高自己的学习能力。

三、总结复习高等数学下册需要花费足够的时间和精力，但是这个过程是非常重要的。

通过理解基本概念和理论、做题巩固知识点、查阅资料和参考书籍、参加辅导课和讨论小组等方法，学生们可以逐渐掌握高等数学下册的知识点，为以后的学习和工作打下坚实的基础。

高等数学第六版下册复习纲要

2.第二型曲线积分的计算：
若曲线的参数方程是：，分别对应曲线的两个端点，则第一型曲线积分
3.格林公式(联系曲线积分和二重积分)
设有界闭区域D由分段光滑曲线C所围成，C取正向，函数在D上具有一阶连续偏导数，则有格林公式 .
注：1.可用第二型曲线积分计算该曲线所围成区域的面积：设有界闭区域D由取正向的光滑曲线C所围成，则区域D的面积为 .
2.聚点可以是点集的边界点，也可以是点集的内点，但不可以是点集的外点和点集内的孤立点；
3.开集和闭集内的所有点都是聚点.
二、二元函数的极限、连续性的相关知识点
1.二元函数在点的二重极限： .
2.二元函数在点的连续性： .
3.二元初等函数在其定义区域内连续.
二、二元函数的偏导数的相关知识点
1.函数对自变量的偏导数：及 .
切线方程：
法平面方程：
2). 以一般式方程表示的曲线在点的切线和法平面方程：
先用方程组确定的隐函数组微分法求出，然后得到切线的方向向量
切线方程：
法平面方程：
2.曲面的切平面方程和法线方程
1).以一般式方程表示的曲面在点的切平面和法线方程：
切平面线方程：
法方程：
2).以特殊式方程表示的曲面在点的切平面和法线方程：
2. 函数对自变量的二阶偏导数：、、、
注：若二阶混合偏导数与连续，则二者相等.
三、二元函数的全微分：
四、二元函数连续性、偏导数存在性以及全微分存在性三者之间的关系
1. 函数连续性与偏导数存在性的关系：二者没有任何的蕴涵关系.
2. 偏导数存在性与全微分存在性的关系：
全微分存在，偏导数存在；反之未必.(偏导数不存在，全微分一定不存在)

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第八章：空间解析几何与向量代数一、向量 ),,(),,,(),,,(c c c b b b a a a z y x c z y x b z y x a ===1.向量),,(a a a z y x a =与),,(b b b z y x b = 的数量积：b a b b b a z z y x x x b a b a ++==⋅ϕcos；2. 向量),,(a a a z y x a = 与),,(b b b z y x b = 的向量积：bb b a a a z y x z y x kj i b a=⨯.ϕsin b a b a=⨯的几何意义为以b a ,为邻边的平行四边形的面积.3. 向量),,(z y x r=的方向余弦：222222222cos ,cos ,cos zy x y zy x y zy x x ++=++=++=γβα，1cos cos cos 222=++γβα；2sin sin sin 222=++γβα. 4. 向量),,(a a a z y x a =与),,(b b b z y x b =垂直的判定：00=++⇔=⋅⇔⊥b a b b b a z z y x x x b a b a.5. 向量),,(a a a z y x a =与),,(b b b z y x b =平行的判定：k z z y x x x k b k a b a b a ba b b b a ===⇔≠=⇔=⨯⇔0,0//.6. 三向量共面的判定： ⇒=++0c n b m a k c b a ,,共面.7. 向量),,(a a a z y x a = 在),,(b b b z y x b = 上的投影：222Pr aa a ba b b b a a z y x z z y x x x a b a b j ++++=⋅= .二、平面1. 过点),,(000z y x P ，以),,(C B A n=为法向量的平面的点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A .2. 以向量),,(C B A n=为法向量的平面的一般式方程：0=+++D Cz By Ax .3. 点),,(111z y x M 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离222111CB A D cz By Ax d +++++=.4. 平面0:11111=+++D z C y B x A ∏与0:22222=+++D z C y B x A ∏平行的判定：212121212121////D D C C B B A A n n ≠==⇔⇔∏∏.5. 平面0:11111=+++D z C y B x A ∏与0:22222=+++D z C y B x A ∏垂直的判定：021********=++⇔⊥⇔⊥C C B B A A n n∏∏.6. 平面0:11111=+++D z C y B x A ∏与0:22222=+++D z C y B x A ∏的夹角：222222212121212121cos CB AC B A C C B B A A ++⋅++++=θ三、直线1. 过点),,(000z y x P ，以),,(p n m s=为方向向量的直线的点向式(对称式、标准)方程：pz z n y y m x x 000-=-=-.2. 过点),,(000z y x P ，以),,(p n m s = 为方向向量的直线的参数式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-tpz z tn y y tm x x 000.3. 直线的一般式方程：⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A .方向向量为21n n s⨯=.4.直线方程之间的转化： i) 点向式↔参数式 ii) 一般式→点向式第一步：找点第二步：找方向向量21n n s⨯=5. 直线1111111:p z z n y y m x x L -=-=-与2222222:p z z n y y m x x L -=-=-平行的判定：2121212121////p pn n m m s s L L ==⇔⇔ .6. 直线1111111:p z z n y y m x x L -=-=-与2222222:p z z n y y m x x L -=-=-垂直的判定：021********=++⇔⊥⇔⊥p p n n m m s s L L.7. 直线1111111:p z z n y y m x x L -=-=-与2222222:p z z n y y m x x L -=-=-的夹角：222222212121212121cos pn m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ.8. 直线nz z m y y l x x L 000:-=-=-与平面0:=+++D Cz By Ax ∏垂直的判定： CnB m A l N S L ==⇔⇔⊥ //∏.9. 直线nz z m y y l x x L 000:-=-=-与平面0:=+++D Cz By Ax ∏平行的判定： 0//=++⇔⊥⇔Cn Bm Al N S L∏.10. 直线nz z m y y l x x L 000:-=-=-与平面0:=+++D Cz By Ax ∏的夹角：222222sin pn m C B A Cp Bn Am ++⋅++++=ϕ.11.点),,(000z y x P 到直线⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A 的距离：s s PM d⨯=，其中M是直线上任意一点，21n n s⨯=.四、曲线、曲面 1.yoz 平面上的曲线C ：0),(=z y f 绕z 轴旋转一周所得的旋转曲面为S ：0),(22=+±z y x f .2.空间曲线C ：⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 关于xoy 平面上的投影柱面方程为：0),(=y x H ；在xoy 平面上的投影曲线为C ：⎩⎨⎧==00),(z y x H .第九章：多元函数微分法及其应用一、平面点集1.内点一定在点集内，但点集内的点未必是点集的内点，还有孤立点；2.聚点可以是点集的边界点，也可以是点集的内点，但不可以是点集的外点和点集内的孤立点；3.开集和闭集内的所有点都是聚点. 二、二元函数的极限、连续性的相关知识点1.二元函数),(y x f 在),(00y x 点的二重极限：A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00.2.二元函数),(y x f 在),(00y x 点的连续性：),(),(lim00),(),(00y x f y x f y x y x =→.3.二元初等函数在其定义区域内连续. 二、二元函数的偏导数的相关知识点 1.函数),(y x f z= 对自变量y x ,的偏导数：x z ∂∂及yz ∂∂. 2. 函数),(y x f z = 对自变量y x ,的二阶偏导数：22x z∂∂、22y z ∂∂、y x z ∂∂∂2、xy z ∂∂∂2 注：若二阶混合偏导数y x z ∂∂∂2与xy z∂∂∂2连续，则二者相等.三、二元函数的全微分：dy yz dx x z dz∂∂+∂∂=四、二元函数连续性、偏导数存在性以及全微分存在性三者之间的关系 1. 函数连续性与偏导数存在性的关系：二者没有任何的蕴涵关系. 2. 偏导数存在性与全微分存在性的关系：全微分存在，偏导数存在；反之未必.(偏导数不存在，全微分一定不存在) 偏导数连续，全微分存在，反之未必. 3. 连续性与全微分存在性的关系：全微分存在，函数一定连续；(函数不连续，全微分一定不存在) 函数连续，全微分未必存在. 五、二元复合函数的偏(全)导数1.中间变量为两个，自变量为一个的复合函数的全导数：))(),((),(),(),,(t t f z t v t u v u f z ψϕψϕ====，dtdv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂= 2.中间变量为两个，自变量为两个的复合函数的偏导数：)),(),,((),,(),,(),,(y x y x f z y x v y x u v u f z ψϕψϕ====，xv v z x u u z y z x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂, 六、隐函数微分法1.由一个方程确定的隐函数微分法：0),,(=z y x F 确定隐函数),(y x f z=，直接对方程左右两端关于自变量求偏导数，即0=∂∂∂∂+∂∂+∂∂xzz F dx dy y F dx dx x F ，即001=∂∂∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂x z z F y F x F ，解得''zx F F x z-=∂∂2.由方程组确定的隐函数组微分法：⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F 确定隐函数⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u ，直接对方程组左右两端关于自变量求偏导数，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂00xv v G x u u G dx dy y G dx dx x G x vv F x u u F dx dy y F dx dx x F ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂00xv v G x u u G x G xvv F x u u F x F ，可以解出x v x u ∂∂∂∂,. 七、偏导数的几何应用 1.曲线的切线方程和法平面方程1). 以参数式方程⎪⎩⎪⎨⎧===)(),(),(t z t y t x χψϕ表示的曲线在0t t =对应的点),,(000z y x M 的切线方程：)()()(0'00'00'0t z z t y y t x x χψϕ-=-=- 法平面方程：0))(())(())((00'00'00'=-+-+-z z t y y t x x t χψϕ2). 以一般式方程⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 表示的曲线在点),,(000z y x M 的切线和法平面方程：先用方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 确定的隐函数组⎩⎨⎧==)()(x g z x f y 微分法求出dx dzdx dy ,，然后得到切线的方向向量⎪⎭⎫ ⎝⎛===00,,1x x x x dxdz dxdy n切线方程：)()(10'00'00x g zz x f y y x x -=-=- 法平面方程：0))(())((00'00'0=-+-+-z z x g y y x f x x2.曲面的切平面方程和法线方程1).以一般式方程0),,(=z y x F 表示的曲面在点),,(000z y x M 的切平面和法线方程：切平面线方程：0))(())(())((0'0'0'=-+-+-z z M F y y M F x x M F z y x法方程：)()()('0'0'0M F z z M F y y M F x x z x x -=-=-2).以特殊式方程),(y x f z =表示的曲面在点),,(000z y x M 的切平面和法线方程：令0),(),,(=-=z y x f z y x F ，有曲面在点),,(000z y x M 的切平面的法向量)1),,(),,(())(),(),((00'00''''-==y x f y x f M F M F M F N y x z y x切平面线方程：0)())(,())(,(0000'000'=---+-z z y y y x f x x y x f y x法方程：1),(),(000'000'0--=-=-z z y x f y y y x f x x x x .3.方向导数与梯度：1). 方向导数：ρ∆∆ρ).(),(lim 0y x f y y x x f l f -++=∂∂→ 2). 方向导数存在条件：可微分函数),(y x f z =在一点沿任意方向l 的方向导数都存在，并且βαcos cos yzx z l f ∂∂+∂∂=∂∂，其中βαcos ,cos 是方向l 的方向余弦.3). 梯度：函数),,(z y x f 在点),,(000z y x M 处的梯度k z y x f j z y x f i z y x f z y x f grad z y x ),,(),,(),,(),,(000000000000++=( ).4). 方向导数与梯度的关系： ①.函数),,(z y x f 在点),,(000z y x M 处增加最快的方向是其梯度),,(000z y x f grad 的方向，减小最快的方向是),,(000z y x f grad -的方向.②. 函数),,(z y x f 在点),,(000z y x M 沿任意方向的方向导数的最大值为),,(000z y x f grad .八、极值、条件极值 1. 函数),(y x f z=的极值点和驻点的关系：函数),(y x f z =的极值在其驻点或不可偏导点取得.2.求函数极值的步骤：(1).对函数),(y x f z =求偏导数，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==0),(0),(''y x f y x f y x ，得所有驻点),(i i y x .(2).对每一个驻点),(i i y x ，求出二阶偏导数的值),(),,(),,(''''''i i yy i i xy i i xx y x f C y x f B y x f A ===.(3).计算AC B -2，根据AC B -2以及A 的符号判定),(i i y x f 是否是极值：若0,02><-A AC B ，则),(i i y x f 是极小值；若0,02<<-A AC B ，则),(i i y x f 是极大值；若,02>-AC B ，则),(i i y x f 不是极小值；若,02=-AC B，则),(i i y x f 是否是极值不能判定，需其他方法验证.3.求函数),(y x f z =在附加条件0),(=y x ϕ下的条件极值的方法：做拉格朗日函数),(),(),(y x y x f y x F λϕ+=，对自变量y x ,求偏导，建立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+==+=0),(),(),(0),(),(),(''''''y x y x f y x F y x y x f y x F y y yx x x λϕλϕ 与附加条件联立的方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+==+=0),(0),(),(),(0),(),(),(''''''y x y x y x f y x F y x y x f y x F y y y x x x ϕλϕλϕ，解出的y x ,就是函数),(y x f z =的可能极值点.第十章：重积分一、二重积分的相关性质 1.有界闭区域上的连续函数),(y x f 在该区域D 上二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(存在；2.若函数),(y x f 在有界闭区域D 上二重积分存在⎰⎰Dd y x f σ),(，则),(y x f 在该区域上有界；3.中值性：若函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续，区域D 的面积为σ，则在D 上至少存在一点),(ηξ，使得σσ⋅=⎰⎰),(),(y x f d y x f D.4.σσ=⎰⎰Dd 1，区域D 的面积为σ.二、二重积分的计算1.利用平面直角坐标计算二重积分 1).先对y 后对x 积分，由于积分区域:D b x a <<；)()(21x y x ϕϕ<<，有⎰⎰⎰⎰=bax x Ddy y x f dx d y x f )()(21),(),(ϕϕσ.2).先对x 后对y 积分，由于积分区域:D d y c <<；)()(21y x y ψψ<<，有⎰⎰⎰⎰=dcy y Ddx y x f dy d y x f )()(21),(),(ψψσ.3).积分换序：⎰⎰⎰⎰⎰⎰==dcy y Dbax x dx y x f dy d y x f dy y x f dx )()()()(2121),(),(),(ψψϕϕσ.2.利用极坐标计算二重积分令⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，由于积分区域:D βθα<<；)()(21θρθρ<<x ，有⎰⎰⎰⎰=βαθρθρρρθρθρθσ)()(21)sin ,cos (),(d f d d y x f D.三、三重积分的相关性质：V dV =⎰⎰⎰Ω1，区域Ω的体积为V . 四、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分积分区域V ：b x a<<；)()(21x y y x y <<；),(),(21y x z z y x z <<，有⎰⎰⎰⎰⎰⎰=),(),()()(2121),,(),,(y x z y x z bax y x y dz z y x f dy dx dV x y x f Ω第十一章：曲线积分曲面积分一、曲线积分的计算 1.第一型曲线积分的计算：若曲线C 的参数方程是：10),(),(t t t t y t x ≤≤⎩⎨⎧==ψϕ，则第一型曲线积分⎰⎰+=Ct t dt t t t t f ds y x f 10)()()](),([),(2'2'ψϕψϕ2.第二型曲线积分的计算：若曲线C 的参数方程是：10),(),(t t t t y t x ≤≤⎩⎨⎧==ψϕ，B A t t t t ==10,分别对应曲线的两个端点，则第一型曲线积分⎰⎰+=+1)())(),(()())(),((),(),(''t t Cdt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P ψψϕϕψϕ3.格林公式(联系曲线积分和二重积分)设有界闭区域D 由分段光滑曲线C 所围成，C 取正向，函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数，则有格林公式⎰=+CQdy Pdx dxdy y P x Q D ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂.注：1.可用第二型曲线积分计算该曲线所围成区域的面积：设有界闭区域D 由取正向的光滑曲线C 所围成，则区域D 的面积为⎰⎰⎰+-==CDxdy ydx dxdy 21σ. 2. 函数),(),,(y x Q y x P 在区域D 上连续. 二、曲面积分的计算 1.第一型曲面积分的计算：若曲面S 的方程是：),(y x z z =具有连续偏导数，且在xoy 平面上的投影区域为xy D ，函数),,(z y x f 在S 上连续，则第一型曲面积分dxdy z z y z z y z f dS z y x f xyD y x S⎰⎰++=2'2'1)],(,,[),,(2.第二型曲面积分的计算：若正向曲面S 的方程是：),(y x z z =，且在xoy 平面上的投影区域为xy D ，函数),,(z y x R 在S 上连续，则第二型曲面积分dxdy y x z y x R dxdy z y x R xyD S⎰⎰=)],(,,[),,(，同理可得dydz z y z y x R dydz z y x P yzD S⎰⎰=)],),,([),,(；dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q zxD S⎰⎰=)]),,(,[),,(3.高斯公式(联系曲面积分和三重积分)若函数),,(),,,(z y x Q z y x P 在空间有界闭区域Ω及其光滑边界曲面S 上具有连续偏导数，则有高斯公式：⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=++S dxdydz z R y Q x P Rdxdy Qdzdx Pdydz Ω.注：设空间有界闭区域Ω由光滑封闭曲面S 所围成，则区域Ω的体积为⎰⎰++=Szdxdy ydzdx xdydz V 31. 4.斯托克斯公式(联系曲面积分和三重积分) 若函数),,(),,,(z y x Q z y x P 在光滑曲面S 及其光滑的边界曲线C 上具有连续偏导数，则有斯托克斯公式⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=++L D dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R Rdz Qdy Pdx . 三、曲线积分与路径无关的条件 (1). 曲线积分⎰+),(),(),(B A C dy y x Q dx y x P 与路径无关；(2).0),(),(=+⎰Cdy y x Q dx y x P ；(3). 存在函数),(y x u ，使得dy y x Q dx y x P du ),(),(+=；(4).yPx Q ∂∂=∂∂ 第十二章：无穷级数一、级数敛散性的相关性质1.∑∞=1n n a 敛散⇔⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑=n k k n a S 1}{敛散 2.∑∞=1n na收敛⇒0lim =∞→n n a3. 0lim ≠∞→nn a ⇒∑∞=1n na 发散4. 正项级数∑=n i n a 1的部分和数列}{n S 有界⇒级数∑=ni n a 1收敛5. ∑=ni na 1收敛⇒∑=ni na 1收敛.二、级数敛散性判别 1.正项级数敛散性判别 (1).比较判别法； (2).比值判别法； (3).根值判别法.2.交错级数收敛性判别法：莱布尼兹判别法精品文档精品文档3.任意项级数敛性判别法：绝对收敛判别法4.两种常用级数收敛和发散的条件(1). 等比级数∑∞=-11n n aq收敛条件是1<q ；发散条件是1≥q .(2). p 级数∑=ni p n11收敛条件是1>p ；发散条件是1≤p .二、幂级数的相关概念 1.收敛域的求法 (1).对标准幂级数∑∞=0n nn xa ，先求其收敛半径nn n a a R 1lim11+∞→==ρ，再判断级数∑∞=0n nn Ra 以及∑∞=-0)(n nnR a的敛散性，最后确定收敛域是),(R R -、R],(R -、)R ,[R -以及]R ,[R -中的哪一个.(2). 对非标准幂级数∑∞=0)(n nx a，先求极限)()()(lim1x x a x a n n n ϕ=+∞→，当1)(<x ϕ时，∑∞=0)(n n x a 绝对收敛，解出),(b a x ∈，再判断级数∑∞=0n nn aa 以及∑∞=0n nn ba 的敛散性，最后确定收敛域是),(b a 、],(b a 、),[b a 以及],[b a 中的哪一个.2.和函数的求法：利用和函数的性质(1).连续性；(2).逐项可微分；(1).逐项可积分.3.函数的幂级数展开式.。

高数复习大纲同济六版下册

高等数学下册复习提纲 (向量代数—>无穷级数)第一次课1、向量与空间几何向量：向量表示((a^b));向量的模: 向量的大小叫做向量的模.向量a 、→a 、→AB 的模分别记为|a |、||→a 、||→AB . 单位向量: 模等于1的向量叫做单位向量.零向量: 模等于0的向量叫做零向量, 记作0或→0. 零向量的起点与终点重合, 它的方向可以看作是任意的.向量的平行: 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个向量平行. 向量a 与b 平行, 记作a // b . 零向量认为是与任何向量都平行. 向量运算(向量积)； 1．向量的加法 2. 向量的减法3．向量与数的乘法设a =(a x , a y , a z ), b =(b x , b y , b z )即 a =a x i +a y j +a z k , b =b x i +b y j +b z k ,则 a +b =(a x +b x )i +(a y +b y )j +(a z +b z )k =(a x +b x , a y +b y , a z +b z ). a -b = (a x -b x )i +(a y -b y )j +(a z -b z )k =(a x -b x , a y -b y , a z -b z ).λa =λ(a x i +a y j +a z k ) =(λa x )i +(λa y )j +(λa z )k =(λa x , λa y , λa z ). 向量模的坐标表示式 222||z y x ++=r点A 与点B 间的距离为 →212212212)()()(||||z z y y x x AB AB -+-+-==向量的方向：向量a 与b 的夹角当把两个非零向量a 与b 的起点放到同一点时, 两个向量之间的不超过π的夹角称为向量a 与b 的夹角, 记作^) ,(b a 或^) ,(a b . 如果向量a 与b 中有一个是零向量, 规定它们的夹角可以在0与π之间任意取值. 类似地, 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角.数量积: 对于两个向量a 和b , 它们的模 |a |、|b | 及它们的夹角θ 的余弦的乘积称为向量a 和b 的数量积, 记作a ⋅b , 即a ·b =|a | |b | cos θ .数量积与投影:由于|b | cos θ =|b |cos(a ,^ b ), 当a ≠0时, |b | cos(a ,^ b ) 是向量 b 在向量a 的方向上的投影, 于是a ·b = |a | Prj a b .同理, 当b ≠0时, a·b = |b | Prj b a . 数量积的性质: (1) a·a = |a | 2.(2) 对于两个非零向量 a 、b , 如果 a·b =0, 则 a ⊥b 反之, 如果a ⊥b , 则a·b =0.如果认为零向量与任何向量都垂直, 则a ⊥b ⇔ a ·b =0. 两向量夹角的余弦的坐标表示:设θ=(a , ^ b ), 则当a ≠0、b ≠0时, 有222222||||cos zy x z y x zz y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++=⋅=b a b a θ向量积: 设向量c 是由两个向量a 与b 按下列方式定出:c 的模 |c |=|a ||b |sin θ , 其中θ 为a 与b 间的夹角c 的方向垂直于a 与b 所决定的平面, c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定.那么, 向量c 叫做向量a 与b 的向量积, 记作a ⨯b , 即 c = a ⨯b . 坐标表示:zy x z y x b b b a a a kj i b a =⨯=a y b z i +a z b x j +a x b y k -a y b x k -a x b z j -a z b y i= ( a y b z - a z b y ) i + ( a z b x - a x b z ) j + ( a x b y - a y b x ) k . . 向量的方向余弦:设r =(x , y , z ), 则 x =|r |cos α, y =|r |cos β, z =|r |cos γ . cos α、cos β、cos γ 称为向量r 的方向余弦.||cos r x =α, ||cos r y=β, ||cos r z =γ. 从而 r e r r ==||1)cos ,cos ,(cos γβα向量的投影向量在轴上的投影设点O 及单位向量e 确定u 轴.任给向量r , 作→r =OM , 再过点M 作与u 轴垂直的平面交u 轴于点M '(点M '叫作点M 在u 轴上的投影), 则向量→M O '称为向量r 在u 轴上的分向量. 设→e λ='M O , 则数λ称为向量r 在u 轴上的投影, 记作Prj u r 或(r )u .按此定义, 向量a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标a x , a y , a z 就是a 在三条坐标轴上的投影, 即a x =Prj x a , a y =Prj y a , a z =Prj z a . 投影的性质:性质1 (a )u =|a |cos ϕ (即Prj u a =|a |cos ϕ), 其中ϕ为向量与u 轴的夹角; 性质2 (a +b )u =(a )u +(b )u (即Prj u (a +b )= Prj u a +Prj u b ); 性质3 (λa )u =λ(a )u (即Prj u (λa )=λPrj u a );空间方程：曲面方程(旋转曲面和垂直柱面)； (1)椭圆锥面由方程22222z by a x =+所表示的曲面称为椭圆锥面. (2)椭球面由方程1222222=++cz b y a x 所表示的曲面称为椭球面.(3)单叶双曲面由方程1222222=-+cz b y a x 所表示的曲面称为单叶双曲面. (4)双叶双曲面由方程1222=--cz b y a x 所表示的曲面称为双叶双曲面.(5)椭圆抛物面由方程z by a x =+2222所表示的曲面称为椭圆抛物面 (6)双曲抛物面.由方程z b y a x =-2222所表示的曲面称为双曲抛物面. 椭圆柱面12222=+b y a x ,双曲柱面122=-by a x , 抛物柱面ay x =2, .直线方程(参数方程和投影方程) 空间直线的一般方程空间直线L 可以看作是两个平面∏1和∏2的交线.如果两个相交平面∏1和∏2的方程分别为A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0和A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0, 那么直线L 上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程, 即应满足方程组 ⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A .空间直线的对称式方程与参数方程方向向量: 如果一个非零向量平行于一条已知直线, 这个向量就叫做这条直线的方向向量. 容易知道, 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量.确定直线的条件: 当直线L 上一点M 0(x 0, y 0, x 0)和它的一方向向量s = (m , n , p )为已知时, 直线L 的位置就完全确定了.直线方程的确定: 已知直线L 通过点M 0(x 0, y 0, x 0), 且直线的方向向量为s = (m , n , p ), 求直线L 的方程.设M (x , y , z )在直线L 上的任一点, 那么(x -x 0, y -y 0, z -z 0)//s , 从而有pz z n y y m x x 000-=-=-. 这就是直线L 的方程, 叫做直线的对称式方程或点向式方程 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mtx x 000 直线L 1和L 2的夹角ϕ可由 |) ,cos(|cos 2^1s s =ϕ222222212121212121||p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=直线与平面的夹角设直线的方向向量s =(m , n , p ), 平面的法线向量为n =(A , B , C ), 直线与平面的夹角为ϕ , 那么|) , (2|^n s -=πϕ, 因此|) , cos(|sin ^n s =ϕ. 按两向量夹角余弦的坐标表示式, 有222222||sin p n m C B A Cp Bn Am ++⋅++++=ϕ平面方程：点法式(法向量)、一般式、任一平面都可以用三元一次方程来表示 . Ax +By +Cz +D =0.其中x , y , z 的系数就是该平面的一个法线向量n 的坐标, 即 n =(A , B , C ). 提示:D =0, 平面过原点.n =(0, B , C ), 法线向量垂直于x 轴, 平面平行于x 轴. n =(A , 0, C ), 法线向量垂直于y 轴, 平面平行于y 轴. n =(A , B , 0), 法线向量垂直于z 轴, 平面平行于z 轴.n =(0, 0, C ), 法线向量垂直于x 轴和y 轴, 平面平行于xOy 平面. n =(A , 0, 0), 法线向量垂直于y 轴和z 轴, 平面平行于yOz 平面. n =(0, B , 0), 法线向量垂直于x 轴和z 轴, 平面平行于zOx 平面.截距式；平面夹角和距离两平面的夹角: 两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.设平面∏1和∏2的法线向量分别为n 1=(A 1, B 1, C 1)和n 2=(A 2, B 2, C 2), 那么平面∏1和∏2的夹角θ 应是) ,(2^1n n 和) ,() ,(2^12^1n n n n -=-π两者中的锐角, 因此, |) ,cos(|cos 2^1n n =θ. 按两向量夹角余弦的坐标表示式, 平面∏1和∏2的夹角θ 可由2222222121212121212^1|||) ,cos(|cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++==n n θ.来确定.从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论: 平面∏1和∏2垂直相当于A 1 A 2 +B 1B 2 +C 1C 2=0;平面∏ 1和∏ 2平行或重合相当于212121C C B B A A == 空间曲线的一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线. 设F (x , y , z )=0和G (x , y , z )=0是两个曲面方程, 它们的交线为C . 因为曲线C 上的任何点的坐标应同时满足这两个方程, 所以应满足方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F空间曲线的参数方程（33）空间曲线C 的方程除了一般方程之外, 也可以用参数形式表示, 只要将C 上动点的坐标x 、y 、z 表示为参数t 的函数:⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x .当给定t =t 1时, 就得到C 上的一个点(x 1, y 1, z 1); 随着t 的变动便得曲线C 上的全部点. 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程. 切平面和切线：切线与法平面；设空间曲线Г的参数方程为),(),(),(t z t y t x ωφϕ=== 曲线在点),,(000z y x M 处的切线方程为)(00t x x ϕ'-=.)()(0000t z z t y y ωφ'-='- 向量 )}('),('),('{000t t t T ωφϕ=就是曲线Г在点M 处的一个切向量法平面的方程为0))(('))(('))( ('000000=-+-+-z z t y y t x x t ωφϕ切平面与法线隐式给出曲面方程((,,)0F x y z =)法向量为：)},,,(),,,(),,,({000000000z y x Fz z y x F z y x F n y x = 切平面的方程是))(,,())(,,())(,,(000000000000z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x -+-+-法线方程是.),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-),(y x z =在点),(00y x如果用α、β、γ表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z 轴的正向所成的角γ是一锐角，则法向量的方向余弦为 ,1cos 22yxx ff f ++-=α ,1c o s 22yxy ff f ++-=β.11cos 22yxff ++=γ2、多元函数微分学多元函数极限：简单复习讲解偏微分全微分：如果三元函数),,(z y x u φ=可以微分，那么它的全微分就等于它的三个偏微分之和， du =x u ∂∂dx +y u ∂∂dy ＋zu ∂∂dz 第二次课3、重积分二重积分：利用直角坐标计算二重积分我们用几何观点来讨论二重积分f x y d D(,)σ⎰⎰的计算问题。

高数(同济第六版)下册多元函数的积分学及其应用知识点

第十章多元函数的积分学及其应用一、二重积分1．二重积分的概念�定义：设(,)f x y 是有界闭区域D 上的有界函数，“分割、近似、求和、取极限”：01(,)lim (,)n i iii D f x y d f λσξησ→==∆∑∫∫其中：D 为积分区域，(,)f x y 称为被积函数，d σ为面积元素。

�几何意义：当(,)0f x y ≥，(,)D f x y d σ∫∫表示以区域D 为底、以曲面(,)z f x y =为顶的曲顶柱体的体积。

�非均匀平面薄片的质量：(,)DM x y d µσ=∫∫。

2．二重积分的性质�性质1（线性性质）.),(),()],(),([∫∫∫∫∫∫±=±DD D d y x g d y x f d y x g y x f σβσασβα�性质2（区域具有可加性）如果闭区域D 可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域1D 和2D ,则.),(),(),(21∫∫∫∫∫∫+=D D Dd y x f d y x f d y x f σσσ�性质3如果在闭区域D 上,σ,1),(=y x f 为D 的面积,则.1σσσ==⋅∫∫∫∫DD d d 几何意义：以D 为底、高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。

�性质4（单调性）如果在闭区域D 上,有),,(),(y x g y x f ≤则.),(),(∫∫∫∫≤DD d y x g d y x f σσ推论1.|),(|),(∫∫∫∫≤DD d y x f d y x f σσ推论2设m M ,分别是),(y x f 在闭区域D 上的最大值和最小值,σ为D 的面积,则.),(σσσM d y x f m D≤≤∫∫这个不等式称为二重积分的估值不等式。

�性质5（积分中值定理）如果函数(,)f x y D 上连续，σ是D 的面积，那么在D 上至少存在一点(,)ξη，使得(,)(,)Df x y d f σξησ=⋅∫∫。

高数下册总结(同济第六版)

高数同济版下高数（下）小结一、微分方程复习要点解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法求出其通解. 一阶微分方程的解法小结：高数同济版下二阶微分方程的解法小结：非齐次方程的特解的形式为：高数同济版下主要一阶1、可分离变量方程、线性微分方程的求解； 2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解； 3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解二、多元函数微分学复习要点一、偏导数的求法 1、显函数的偏导数的求法时，应将看作常量，对求导，在求时，应将看作常量，对求导，所运用的是一元函数的求导法则与求导公式2、复合函数的偏导数的求法设，，，则，几种特殊情况： 1），，，则2），，则 3），则3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况，设是由方程唯一确定的隐函数，则，高数同济版下或者视，由方程两边同时对 2）方程组的情况由方程组 . 两边同时对求导解出即可二、全微分的求法方法1：利用公式方法2：直接两边同时求微分，解出即可.其中要注意应用微分形式的不变性：三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法 1）设空间曲线Г的参数方程为，则当时，在曲线上对应处的切线方向向量为，切线方程为法平面方程为2）若曲面的方程为，则在点处的法向，切平面方程为法线方程为高数同济版下若曲面的方程为，则在点处的法向，切平面方程为法线方程为四、多元函数极值（最值）的求法 1 无条件极值的求法设函数在点的某邻域内具有二阶连续偏导数，由，解出驻点，记， 1）若时有极小值 2）若，则在点处无极值 3）若，不能判定在点处是否取得极值，则在点处取得极值，且当时有极大值，当2 条件极值的求法函数在满足条件下极值的方法如下： 1）化为无条件极值：若能从条件解出代入中，则使函数成为一元函数无条件的极值问题 2）拉格朗日乘数法作辅助函数，其中为参数，解方程组高数同济版下求出驻点坐标，则驻点可能是条件极值点 3 最大值与最小值的求法若多元函数在闭区域上连续，求出函数在区域内部的驻点，计算出在这些点处的函数值，并与区域的边界上的最大（最小）值比较，最大（最小）者，就是最大（最小）值. 主要1、偏导数的求法与全微分的求法；2、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法3、最大值与最小值的求法三、多元函数积分学复习要点七种积分的概念、计算方法及应用如下表所示：高数同济版下高数同济版下*定积分的几何应用定积分应用的常用公式： (1)面积 (2)体积（型区域的面积）（横截面面积已知的立体体积）（所围图形绕的立体体积）（所围图形绕体体积）（所围图形绕轴的立体体积）。

高等数学第六版(同济版)第六章复习资料

第六章定积分的应用引入：前面学习了定积分的理论，这一章要应用这些理论来分析和解决一些实际问题中出现的量.用定积分计算这些量，必须把它们表示成定积分，先介绍将所求量表示成定积分的方法——元素法.第一节定积分的元素法我们先用定积分的引例——曲边梯形的面积，引出元素以及元素法的概念：一、元素及元素法1.元素：由连续曲线)0)(()(≥=x f x f y 与直线b x a x ==、以及x 轴所围成的曲边梯形的面积为：∑==ni i A A 1∆∑=≈ni i i x f 1)(∆ξ∑==ni i i x d f 1)(ξ⎰=bax d x f )(.(由微分知识得i i x d x =∆)，称x d x f )(为面积元素或面积微元,记为x d x f dA )(=.2.元素法：用元素法将所求量表示成定积分的方法，称为元素法. 由此可知，曲边梯形的面积是将面积微元累加得到的.下面我们通过曲边梯形的面积来总结出实际问题中所求的量能用定积分表示的条件：二、用元素法将所求量能表示成定积分的条件：(设所求量为U ) 1．量U 与变量x 的所在区间],[b a 有关; 2．量U 对于区间],[b a 具有可加性；3．量U 的部分量有近似值，即i i i x f U ∆ξ∆)(≈. 三、用元素法将所求量能表示成定积分的步骤：1．由实际情况选一变量如x 为积分变量，确定该其变化区间],[b a .2．分],[b a 为n 个小区间，取其中一个小区间],[x d x x +，计算其上的部分量U ∆的近似值：x d x f U d )(=，的所求量的一个元素.3．以x d x f U d )(=为被积表达式，在],[b a 上作定积分，即得所求量的定积分表达式：⎰=bax d x f U )(.注：元素的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳等.内容小结：本节介绍了元素法以及用元素法将所求量表示成定积分的方法与步骤.第二节定积分在几何上的应用一、平面图形的面积1.直角坐标情形:曲线)0)((≥=x f y 与直线)(b a b x a x <==、及x 轴所围成的曲边梯形面积为x d x f A ba )(⎰=，因为面积元素为x d x f A d )(=.2.参数方程情形：若曲线],[,)0)(()(b a x x f x f y ∈≥=的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ，且满足(1). a =)(αϕ, b =)(βϕ;(2). )(t x ϕ=在],[βα或],[αβ上具有连续导数，且)(t y ψ=连续，则由曲线)(x f y =所围成的曲边图形的面积为：x d x f A ba )(⎰=t d t t )(')(ϕψβα⎰=.3.极坐标情形：设曲线的极坐标方程为]),[,0)(()(βαθθϕθϕρ∈≥=，且)(θϕ在],[βα上连续，则由曲线)(θϕρ=与射线αθ=以及βθ=所围成图形的面积为θθϕβαd A ⎰=)(212. 由于当θ在],[βα上变动时，极径)(θϕρ=也随之变动，故不能直接利用扇形面积公式θ221R A =来计算. 推导： ①.取极角θ为积分变量，],[βαθ∈.②.在],[βα上任取一小区间],[θθθd +，其上的曲边扇形面积的近似值：[]θθϕd A d 2)(21=. ③.以[]θθϕd 2)(21为被积表达式，在],[βα上作定积分，得曲边扇形的面积公式： θθϕβαd A ⎰=)(212.例1. 计算两条抛物线22x y x y ==、在第一象限所围所围图形的面积.解：首先确定图形的范围，由⎪⎩⎪⎨⎧==22xy xy 得交点)0,0(、)1,1(，取x 为积分变量，由于面积元素()x d x x A d 2-=，所以所求面积为()⎰-=102x d x x A 103233132⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=x x 31=.注：⎰=10x d x A ⎰-12x d x ()⎰-=102x d x x .例2. 计算抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围图形的面积.解：由⎩⎨⎧-==422x y xy 得交点)2,2(-、)4,8(，若取x 为积分变量，则有⎰⎰--+=8220)]4(2[22x d x x x d x A 822238223421322324⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x x 18=. 若取y 为积分变量，则有18642248232422=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰-y y y y d y y A . 例3. 求椭圆12222=+by a x 所围图形的面积.解：由于椭圆关于两个坐标轴对称，设椭圆在第一象限所围成的面积为1A ，则所求面积为x d y A A a⎰==0144.设π)20(sin cos ≤≤⎩⎨⎧==t tb y t a x ，当0=x 时，2π=t ，当a x =时，0=t ，且t d t a x d sin -=，于是t d t a t b x d y A a )sin (sin 4402/0-⋅==⎰⎰πt d t ab ⎰=2/02sin 4πt d ts ab ⎰-=2/022cos 14πb a π=. 例4.计算阿基米德螺线)0(>=a a θρ对应θ从0变到π2所围图形面积. 解：由题可知，积分变量],[βαθ∈，于是所求面积为θθπd a A ⎰=202)(211032312θ⋅=a 23π34a =.例5.计算心形线)0()cos 1(>+=a a θρ所围图形的面积.解：心形线所围成的图形关于极轴对称,设极轴上半部分图形的面积为1A ，则心形线所围成的图形面积为12A .取极角θ为积分变量，],[βαθ∈，于是⎰+=πθθ022)cos 1(212d a A ⎰++=πθθθ022)cos 2cos 1(d a ⎰⎪⎭⎫⎝⎛++=πθθθ02cos 22cos 2123d a 2π23a =.二、体积1．旋转体的体积：(1).旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体，该直线称为旋转轴.注：圆柱体、圆台、球体等都是旋转体，它们都可以看做是由连续曲线)(x f y =与直线a x =、b x =以及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所围成的立体.(2).旋转体的体积：①．由曲线)(x f y =与直线a x =、b x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积：)()]([2b a x d x f V ba <=⎰π.推导：取x 为积分变量，],[b a x ∈，在],[b a 上任取一小区间],[x x x ∆+，其上的窄曲边梯形绕x 轴旋转而成的薄层的体积近似等于以)(x f 为底面半径、以x d 为高的扁圆柱体的体积，即体积元素为x d x f V d 2)]([π=，以x d x f 2)]([π为被积表达式，在],[b a 上作定积分即得所求旋转体的体积：)()]([2b a x d x f V ba<=⎰π.②．由曲线)(y x ϕ=与直线c y =、d y =以及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积：)()]([2d c y d y V dc <=⎰ϕπ.例6.连接坐标原点O 及点),(r h P 的直线、直线h x = 及x 轴围成一个直角三角形，将它绕x 轴旋转构成一个底半径为r 、高为h 的圆锥体，求其体积.解：过)0,0(O 及),(r h P 的直线方程为：x hry =. 取x 为积分变量，],0[h x ∈，则所求旋转体的体积为⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=hx d x h r V 02πh r 231π=.例7.计算由椭圆12222=+by a x 所围成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积.解：该旋转椭球体可看做是由半椭圆与x 轴所围成的绕x 轴旋转而成的立体，半椭圆方程为：22x a ab y -=. 取x 为积分变量，],[a a x -∈，则所求立体体积为⎰--=aa x d x a ab V )(2222π234ab π=.例8.计算由摆线)sin (t t a x -=，)cos 1(t a y -=相应于π20≤≤t 的一拱，直线0=y 所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转而成的旋转体的体积.解：记摆线绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为x V ，取x 为积分变量，],[a a x -∈，则⎰=a x x d x y V ππ202)(⎰--=ππ2022)cos 1()cos 1(t d t a t •a⎰-+-=ππ20323)cos cos 3cos 31(t d t t t •a⎰-=ππ203)cos 31(t d t •a⎰++ππ203)12(cos 23t d t •a ⎰--ππ2023)(sin )sin 1(t d t •a 325a π=.记摆线绕y 轴旋转而成的旋转体的体积为y V ，取y 为积分变量，]2,0[a y ∈，则⎰⎰-=aay y d y x y d y x V 20212022)()(ππ⎰⎰---=πππππ022222sin )sin (sin )sin (t d t a t t a t d t a t t a⎰-=0222sin )sin (ππt d t a t t a ⎰-+ππ022sin )sin (t d t a t t a ⎰--ππ022sin )sin (t d t a t t a⎰+--=ππ203223)sin sin 2sin (t d t t t t t a⎰-=ππ2023sin t d t t a ⎰-+ππ203)2cos 1(t d t t a ⎰-+ππ2023)(cos )cos 1(t d t a336a π=.2．平行截面面积为已知的立体的体积：设一非旋转体的立体介于过点a x =、b x =且垂直于x 轴的两个平面之间，该立体过x 轴上的点x 且垂直于x 轴的截面面积为)(x A ，则该立体的体积为：⎰=ba dx x A V )(.推导：若)(x A 为连续函数且已知，取x 为积分变量，],[b a x ∈,在],[b a 上任取一小区间],[x d x x +，其上的薄层的体积近似等于底面积为)(x A 、高为x d 的扁圆柱体的体积，即得体积元素：x d x A V d )(=，以x d x A )(为被积表达式，在],[b a 上作定积分，得所求立体的体积公式：⎰=ba dx x A V )(.例9.一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆的中心，并与底面交成角α，计算着平面截圆柱体所得立体的体积.解：取该平面与圆柱体的底面的交线为x 轴，底面上过圆中心且垂直于x 轴的直线为y 轴，则底面圆方程为：222R y x =+，该立体中过x 轴上的点x 且垂直于x 轴的截面是一个直角三角形，两直角边分别为y 和αtan y ，即22x R -和22tan x R -α，从而截面面积为αtan )(21)(22x R x A -=，于是所求体积为⎰--=R R x d x R V αtan )(2122⎰-=R x d •x R 022)(tan ααtan 223R =.例4.求以半径为R 的圆为底、以平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h 的正劈锥体的体积.解：取底面圆所在的平面为xoy 平面，圆心o 为原点，并使x 轴与正劈锥体的顶平行，底面圆方程为：222R y x =+，过x 轴上的点]),[(b a x x ∈作垂直于x 轴的平面截正劈锥体得等腰三角形，截面面积为22)(x R h y h x A -==，于是，所求正劈锥体的体积为⎰--=RRx d x R h V 22⎰-=R x d x R h 0222⎰=2/022cos 2πθθd h R ⎰+=2/02)2cos 1(πθθd h R 22hR π=.三、平面曲线的弧长引入：我们知道，用刘徽的割圆术可以定义圆的周长，即利用圆的内接正多边形的周长当边数无限增加时的极限来确定，现在将刘徽的割圆术加以推广，来定义平面曲线的弧长，从而应用定积分来计算平面曲线的弧长. 1.平面曲线弧长的相关概念(1).平面曲线弧长：若在曲线弧B A 上任取分点0M A =， ,,,,,121i i M M M M -，B M M n n =-,1，依次连接相邻分点得到该曲线弧的一内接折线，记|}{|max 11i i ni M M -≤≤=λ，若当分点的数目无限增加且每一个小弧段i i M M1-都缩向一点，即0→λ时，折线的长∑=-n i i i M M 11||的极限存在，则称此极限值为曲线弧B A的弧长，并称该曲线弧是可求长的，记作||lim 10i i M M s -→=λ.(2).光滑曲线：若曲线上每一点处都存在切线，且切线随切点的移动而连续转动，则称该曲线为光滑曲线.(3).定理：光滑曲线可求长. 2.光滑曲线弧长的计算(1).直角坐标情形：设曲线弧的直角坐标方程为)(x f y =，b x a ≤≤，若)(x f 在],[b a 上具有一阶连续函数，则曲线弧长为x d x f s ba ⎰'+=)(12.推导：取x 为积分变量，曲线)(x f y =上的相应于],[b a 上任意小区间],[x d x x +上的一段弧的长度近似等于曲线在点))(,(x f x 处切线上相应的一段的长度，又切线上相应小段的长度为x d x f y d x d 222))('(1)()(+=+，从而有弧长元素x d x f s d 2))('(1+=，以x d x f 2))('(1+为被积表达式，在],[b a 上作定积分，得弧长公式：x d x f s ba⎰'+=)(12.(2).参数方程情形：设曲线弧的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ，βα≤≤t ，若)(t ϕ及)(t ψ在],[βα上具有连续导数，则曲线弧长为t d t t s ⎰'+'=βαψϕ)()(22.推导：取参数t 为积分变量，曲线上相应于],[βα上任意小区间],[t d t t +上的一段弧的长度的近似值即为弧长元素22)()(y d x d s d +=t d t t )(')('22ψϕ+=，以t d t t )(')('22ψϕ+为被积表达式，在],[βα上作定积分，得弧长公式：t d t t s ⎰+=βαψϕ)(')('22.(3).参数方程情形：设曲线弧的极坐标方程为)(θρρ=，],[βαθ∈，若)(θρ在],[βα上具有连续导数，则曲线弧长为：θθρθρβαd s ⎰+=)(')(22.推导：由直角坐标与极坐标的关系得：⎩⎨⎧==θθρθθρsin )(cos )(y x ，βθα≤≤，即为曲线的以极角θ为参数的参数方程，弧长元素为 θθρθρθθθd d y x s d )(')()]([)]([2222+='+'=，于是曲线弧长为：θθρθρβαd s ⎰+=)(')(22.例11.计算曲线2332x y =上相应于x 从a 到b 的一段弧的长度.解：x d x x d x y s baba⎰⎰+=+=1)('12])1()1[(32)1(322323123a b x +-+=+=.例12.计算摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (θθθa y a x )0(>a 一拱π)20(≤≤θ的弧长.解：由于弧长元素为θθθd y x s d )(')('22+=θθθd a a 2222sin )cos 1(+-=θθd a )cos 1(2-=θθd a 2sin 2=，于是，所求弧长为a d a s 82sin2π20==⎰θθ.例13.求阿基米德螺线)0(>=a a θρ相应于π20≤≤θ一段的一拱. 解：弧长元素为θθρθρd s d )(')(22+=θθd a a 222+=θθd a 21+=，于是，所求弧长为θθd a s ⎰+=π2021⎥⎦⎤+++⎢⎣⎡+=πθθθθ20221ln 2112a )π41π2ln(2π41π22++++=a a .。

高数下期末考试复习大纲

高数下期末考试复习大纲第8章1.掌握空间向量的基本概念及运算，会求单位向量、向量的方向角及方向余弦2.会求空间直线的向量方程与参数方程，空间曲线在某点处的切线方程与法平面方程3.会求平面方程及点法式方程，空间曲面在某点处的切平面方程与法平面方程4.理解空间曲面的一般方程，认识简单的旋转曲面方程（例如锥面等），会求柱面方程5.理解空间曲线的一般方程，理解空间曲线的向量方程及参数方程，认识常见的空间曲线的参数方程，例如螺旋线，直线。

第9章1.理解多元函数的定义域，值域的概念，弄清多元函数与一元函数定义域的区别，理解二元函数的等位线与三元函数的等位面。

2.掌握二元函数极限的概念，会求简单二元函数的极限，会利用双路径法判断二元函数在某点处的极限不存在。

3.理解二元函数的连续的概念。

4.理解多元函数的偏导数的定义及其几何意义，会求多元函数的偏导数及高阶偏导（不超过三阶），会求隐函数的偏导数，会利用树状图求复合函数的偏导数，会求二元函数的全微分。

5.弄清二元函数偏导数存在与连续的关系6. 会求多元函数的梯度与方向导数，了解方向导数与函数增长的关系，理解二元函数的梯度与等位线的关系。

7.会求二元函数的驻点及极值，会利用拉格朗日数乘法求二元函数的极值。

8.弄清极值的存在性与驻点的关系,认识马鞍面的鞍点第10章1.理解二重积分的背景,会利用二重积分表示平面状物体的质量及面积,会将二重积分化累次积分计算直角坐标系下二重积分.2.会计算简单的极坐标系下的二重积分.3. 理解三重积分的背景,会利用三重积分表示空间物体的质量及体积, 会将简单的三重积分化累次积分计算直角坐标系下三重积分.4.会利用二重积分计算平面状物体的质心与形心.第11章1.掌握两类曲线积分的背景及其表示形式,会求简单的两类曲线积分.2.会判断第二类曲线积分是否与路径无关,会计算积分与路径无关的第二类曲线积分.3.理解格林公式的含义.4.会表示曲线状物体的质量及变力沿曲线做功.6.掌握两类曲面积分的背景及其表示形式,会利用公式将第一类曲面积分化为二重积分.会用向量表示有向曲面的侧.7.了解高斯公式与斯托克斯公式第12章1.理解级数收敛与发散的定义, 会利用第n项判别法判断级数的发散.会求简单级数的和(等比级数,叠项级数),认识P-级数及掌握P-级数收敛与发散的条件.2.会利用比较(极限形式),比值,根值判别法判断正项级数的敛散性.3.会利用莱布尼茨判别法判断交错级数的敛散性,理解绝对收敛与条件收敛.4.会求幂级数的收敛域与收敛区间,了解幂级数的和函数的概念.5.会利用公式将函数展开成幂级数,了解泰勒级数.6.了解傅里叶级数的概念及其收敛性，了解傅里叶正弦级数和余弦级数.。

高数下册复习资料(同济第六版)

高数下册复习资料(同济第六版)前言高等数学作为大学数学教育中的一门基础课程，对于学生的学习和打好数学基础起着至关重要的作用。

本文为高数下册的复习资料，是根据同济大学数学系教授精心编写的同济第六版教材精华所整理而成，帮助大家更好地掌握高数知识。

第一章序列与极限本章主要讲述了数列和极限的基本概念，以及对于极限运算的一些基础性质。

在数学中，序列可以看作是一种精确的数学表达式，是数学运算过程中的重要工具之一。

在学习高数下册的过程中，掌握好数列的各种性质以及它与极限的关系，对于深入理解数学知识和解决数学问题会有很大的帮助。

第二章一元函数微分学本章主要介绍了一元函数微分学的基本概念和方法。

其中包括导数与微分的概念，微分法则，函数的凹凸性以及最值和最优化等内容。

通过学习这些内容，可以更好地理解和掌握函数的性质，提高解决实际问题的能力。

第三章一元函数积分学本章主要阐述了一元函数积分学的基本概念和方法。

其中包括不定积分和定积分的概念，牛顿-莱布尼茨公式，变量代换法以及分部积分法等内容。

掌握好这些概念和方法，可以在高数的学习中更加深入地理解函数的性质和运算，以及在数学上更高效地处理各种复杂问题。

第四章微分方程微分方程作为一种重要的数学工具，具有广泛的应用价值。

本章主要介绍了微分方程的基本概念和一些解法的方法，包括常微分方程的一些基本解法以及一些特殊类型微分方程的解法。

通过学习这些内容，可以更加深入地理解微分方程的概念和运用，为今后在工程技术等领域的应用打下坚实的数学基础。

第五章无穷级数本章介绍了无穷级数的基本概念和运算方法，以及级数收敛和发散的相关性质和定理。

无穷级数作为数学中的一种重要的概念和操作，对于数学的进一步发展和应用也起到了重要的作用。

在高数下册的学习过程中，不仅需要掌握各个章节的知识和方法，更需要从根本上提升自己的数学思维和解决问题的能力。

通过不断的练习和思考，相信大家可以很好地掌握高数下册的知识，为今后的学习和工作打下牢固的数学基础。

高等数学(下)总复习PPT(同济六版)

b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限;
d.利用无穷小运算性质求极限;
e.利用左右极限求分段函数极限. 5、判定极限存在的准则
夹逼定理、单调有界原理
2016/8/10 3
6、两个重要极限
(1)
(2)
sin x lim 1 x0 x 1 x lim(1 ) e x x
某过程
3、求导法则
2016/8/10 19
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
(2) 反函数的求导法则 (3) 复合函数的求导法则——注意不要漏层 (4) 对数求导法——注意适用范围 (5) 隐函数求导法则——注意y的函数的求导 (6) 参变量函数的求导法则——注意不要漏乘
4、高阶导数 (二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)
无论x是自变量还是中间变量,函数y f ( x ) 的微分形式总是 dy f ( x )dx
2016/8/10 21
1 例12 设 f (a)存在，则 lim n[ f (a) f (a )]. n n
解
1 f (a ) f (a) n 原式= lim n 1 n
(
0 ) 0
sec 2 x 1 lim x 0 3x2
tan x 1 lim 2 x 0 3 x 3
2016/8/10
(
0 ) 0
2
12
1 例8 求极限 lim [ x x ln( 1 )]. ( ) x x
2
1 解： lim[ x x ln(1 )] x x
所以x k , k 0是第二类间断点
(3) x k

2
, k 0， 1， 2
x lim 0 x k tan x

《高等数学》下册期末总复习第六版

3、面面、线线、线面关系：
3）一般式方程： ⎨
⎧ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ⎩ A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
G G | n1 ⋅ n2 | G G n 1)面面： cos θ =| cos(n1 , n2 ) |= G G = | n1 || n2 |
G G | s1 ⋅ s2 | | m1m2 + n1n2 + p1 p2 | G G n ； 2)线线： cos θ =| cos( s1 , s2 ) |= G G = 2 | s1 || s2 | m1 + n12 + p12 m2 2 + n2 2 + p2 2 m n p G G G G （或重合） ⇔ s1 & s2 ⇔ 1 = 1 = 1 L1 ⊥ L2 ⇔ s1 ⋅ s2 = 0 ⇔ m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0 ； L1 & L 2 m2 n2 p2 G G | s ⋅n | G G m 3)线面： sin ϕ =| cos( s , n ) |= G G = | s || n | A B C G G L⊥Π⇔ s &n⇔ = = ； m n p
2、隐函数： 1）一个方程的情形：
Fx dy ⎧ ⎪公式法：dx = − F y ⎪ ⎪ y= y( x) 二元方程可确定一个一元隐函数： F ( x, y ) = 0 ⎯⎯⎯ → ⎨隐函数求导法：方程两边对x求导，注意y = ⎪微分法：方程两边取微分，F dx + F dy = 0 x y ⎪ ⎪ ⎩
2）方程组的情形：（隐函数求导法）
⎧ F ( x, y, z ) = 0 ⎩ z = z ( x ) dy dz ⇒ , 三元方程组确定两个一元隐函数： ⎨ ⎩G ( x, y, z ) = 0 对x求导 dx dx

考研高等数学复习要点

考研高等数学复习要点考研高等数学复习要点（篇1）一、备考资料高等数学(上、下)第六版，同济大学数学系编高等数学习题全解指南(与上配套)工程数学-线性代数第五版，同济大学数学系编线性代数附册学习辅导与习题全解(与上配套)概率论与数理统计第四版，浙江大学盛骤概率论与数理统计习题全解指南(与上配套)考研数学复习全书考研数学复习全书分阶习题同步训练(与上配套)数学基础过关660题数学历年真题权威解析线性代数辅导讲义我用的都是最基础最核心的资料，没有买其它花哨的辅导书。

可能我整个备考规划中最明智的一个安排就是把大部分时间分配给了数学。

我想即使在一般情况下这也是个真理，应该把最多的时间花在最能拉开分数的科目上。

对一般人来说，在同等的付出下，数学拉开20分比英语拉开20分的可能性要大得多。

二、备考经验就备考经验来说，其实比起学习别人的经验，我认为大家更应该去努力养成自己良好的学习习惯。

就考研来说，我认为把你和别人区分开来的并不是一本二本三本，也不是你准备的时间有多长多短，而是你自己的学习态度和学习习惯。

这才是贯穿始终的东西。

1、钻研精神看书做题必须明白每一步是为什么，不懂得问题可以请教大神研友，实在不明白可以在旁边标注，也许下一轮复习再看时就想通了。

这样看书的确会很慢，但是学得很扎实。

后期做题时必会感激自己前期这样扎实的学习。

2、尽量独立做题包括第一轮看教材时，书上的例题也先盖住答案自己做。

包括教材的章节习题和复习全书的例题等等，切勿看完题目就看答案，给自己留时间思考。

拿出做不出来誓死不看答案的决心，和一些数学大神交流后我发现这是他们的共性，既然是大神们的共性，那必然有可取之处，就像我发现身边诸多英语口语很棒的大神都爱看美剧，于是想练口语的我自然就要多看美剧。

一些小伙伴像看小说一样全书，扫过题目和答案一页页翻过，貌似效率很高。

但看完之后把书拿开，会做的题目又有几道呢?不排除个别大神有特立独行的学习方式，但我认为对大多数人来说，拿出笔和纸，盖住答案先自己做题，做完拿自己的答案和例题答案比对，虽说看似低效，但做一道题就掌握一道题目其实是最高效的。