比例线段;黄金分割;平行线分三角形两边成比例

比例线段；黄金分割；平行线分三角形两边成比例

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

第十九章相似形

第一节比例线段

第二节黄金分割

第三节平行线分三角形两边成比例

二. 教学目标：

1. 了解成比例线段的概念，会判断已知线段是否成比例。

2. 了解比例的性质，会运用比例的性质进行简单的比例变形。

3. 了解黄金分割。

4. 掌握平行线截三角形两边成比例定理。

三. 教学重点、难点：

平行线截三角形两边成比例定理

四. 教学过程：

（一）知识要点：

1. 线段的比：

一般地，用同一长度单位（如米或厘米或毫米）去度量线段a,b所得的量数分别为m,n，

那么这两条线段的比为a：b=m：n，或a

b

m

n

=，其中a叫比的前项，b叫比的后项。

注：①用同一长度单位去度量。

②两条线段的比和所选用的长度单位无关。

③两条线段的比总是正数。

2. 成比例线段：

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

如a

b

c

d

=（或a：b=c：d）中，a、b、c、d叫四条线段成比例线段。a、b、c、d叫做

组成比例的项，线段a、d叫比例外项，线段b、c叫做比例内项，线段d叫做a、b、c的第四比例项。

3. 比例的性质：

（1）比例的基本性质：

如果a：b=c：d，那么ad=bc，反之，若ad=bc且bd≠0，那么a：b=c：d。

（2）合比性质：

如果a

b

c

d

=，那么

a b

b

c d

d

+

=

+

。

（3）分比性质：

如果a

b

c

d

=，那么

a b

b

c d

d

-

=

-

。

补充：等比性质： 若a b c d e f b d f ===+++≠…，且…，则0a c e b d f a b

++++++=……。 4. 黄金分割： 若点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB BC AC

=，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫黄金比，

A C A

B =-+152≈0.618。

注：黄金分割重在实际问题中的应用。

5. 平行线截三角形两边成比例定理：

平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例。

如图：△ABC 中，EF//BC ∴A E B E A F F C A E A B A F A C

==，，… A

B C E

F

【典型例题】

例1. 已知：A 、B 两地的实际距离AB=5000m ，而画在地图上A 、B 两点距离A ＇B ＇=5cm ，求该地图的比例尺（即图上距离与实际距离的比）。

解：A B mc m A B c m

===50005000005''

∴==A B A B ''55000001100000

∴该地图的比例尺为1：100000

例2. 已知：a ：：235

=，求a 。

解：∵a ：2=3：5

∴5a=6（比例的基本性质）

∴a =65 例3. 若a b b c

a c m c c m ===，且，43，求

b 。

解：∵a b b c

a c m c c m ===，且，43 ∴=∴=∴=±43

1223

2b b b b ∵b>0 ∴b c m

=23

例4. 证明分比性质。

证明：∵a b c d =

∴-=-a b c d 11 ∴-=-a b b c d d

例5. 证明等比性质。

证明：设a b c d e f k ====… ∴===a b k c d k e f k

，，…， ∴++++++=++++++=++++++=a c e b d f b k d k f k b d f b d f k b d f

k ………………()

∴++++++=a c e b d f a b ……

例6. 已知：

a b b -=57，求a b 。

解：∵a b b -=57

∴-+=+a b b b 577

∴=a b 127

例7. 已知：

a b c d a bc d =≠≠（其中，），求证：a b a b c d c d +-=+-。

证法一：∵a b c d = ∴+=+-=-ab b cd d ab b cd d

，

a b c d -≠-≠00，

∴+÷-=+÷-a b b a b b cd d cd d 即a b a b c d c d +-=+-

证法二：设a b c d k ==

∴a=bk ，c=dk

∵a ≠b ，c ≠d

∴k ≠1 ∴+-=+-=+-=+-ab ab b kb b kb b k b k k k ()()1111

cd cd d kd d kd d k d k k k +-=+-=+-=+-()()1111

∴+-=+-a b a b c d c d

例8. 已知：a b c d e f

bdf ===+-=57，且。求：ace +-。 解： a b c d e f

===5 ∴==--=a b c d e f

5 ∴+-+-=a c e b d f

5 b d f +-=7

∴+-=a c e 7

5

∴+-=⨯=a c e 5735

例9. 已知：

x y z xyz x 234==++=，求?

解：∵x y z 234==

∴++++=x y z x 2342

∴++=x y z x 92

例10. 已知：如图，△ABC 中，DE//BC ，EF//AB ，求证：

AD DB BF FC =。