比例线段;黄金分割;平行线分三角形两边成比例
初中数学比例线段黄金分割
例 6：若 ABC 三边 a : b : c 6 : 4 : 3 ，三边上的高分别为 h1、h2、h3 ，求 h1 : h2 : h3 的值。
自我检测
一、填空题
1.(1)若 5x-7y = 0,则 x =______. (2)已知 x y 3 , 那么 x =______.
y
y7
y
(3)若
x 2
如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
三角形一边的平行线判定定理的推论: 如果一条直线截 三角形的两边的延长线 (这两边的延长线在第三边的 同侧)所得的 对应线段成比例，那么 这条直
线平行于三角形的 第三边。 平行线分线段成比例定理 ： 两条直线被三条 平行的直线所截，截得的对应线段成 比例。 推论： 两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。
；
7. 若 x：y：z=2：7：5，且 x-2y+3z=6，则 x=
，y=
，z=
；
8.设x3 =y5 =z7 ，则x+yy =__
_，3yy+-32zz =__
__.
3
9.如图是两个相似四边形,已知数据如图所示,则 x=_____,y=_____,α =______.
5 1200 4
300
6
1300
, MN=
PQ, PQ=
MN.
4．如图，C 是线段 AB 的中点，D 在 BC 上，且 AB=24cm，
BD=5cm, 则 AC∶CB=
；AC∶AB=
；A
C
DB
BC∶ BD=
；CD∶AB=
；AD∶CD=
线段的比与比例线段的概念
线段的比与比例线段的概念、比例的性质和黄金分割I 梳理知识比与比例、比例的基本性质、合比性质、等比性质、两线段的比、成比例线段、平行线分 线段成比例、截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定、黄金分割1. 线段的比的定义 在同一单位长度下，两条线段2. 比例线段的定义在四条线段中，如果其中两条线段的_______________________________________ 等于另外两条线段的 _____ ,那么这四条线段叫做 成比例线段，简称 ____________ .在 a ： b = c ： d 中，a 、d 叫做比例的 ___ , b 、c 叫做比例 的 _____ ，称d 为a 、b 、c 的 _____________ .3. 比例的性质(1)比例的基本性质：如果a : b = c : d ，那么 则b 叫a , c 的比例中项.⑵合份)比性质：若a⑶等比性质：若一b4.黄金分割(1) 黄金分割的意义：如图，点 那么称线段 AB 被点C 黄金分割.其中点C 叫做线段AB 的 做 .(2) 黄金分割的作法【例题讲解】 例1.(1)已知1,厉,5三个数，如果再添一个数，使之能与已知的三个数成比例，则这个数应该是 ___________ .⑵在比例尺为1: n 的某市地图上，规划出一块长 5cm X 2cm 的矩形工业区，则该工业区的实际面积是平方米.例 2.(1)已知 X ： y : z = 3 : 4 : 5，①求-—y的值；②若 x +y + z = 6, za(2)已知a 、b 、c 、d 是非零实数，且 --------b c d的值•的比叫做这两条线段的比•特别地，若a : b = b : C,即 ，则C 把线段AB 分成两条线段 AC 和BC,如果 __________________ , ,AC 与AB 的比叫求 X 、y 、z.C bad一d一k ，求 ka b c求x 的值.黄金分割点吗为什么【同步测试】 一、选择题1. 已知一矩形的长 a = 1.35m , (A)9 : 400(B)9 : 402. 下列线段能成比例线段的是( b = 60cm ，贝U a : b 的值为((C)9 : 4(D)90 : 4)(A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm, 72 cm,V 2 cm,2cm (C b/2 cm,亦cm, J 3 cm,1cm(D)2cm,5cm,3cm,4cm3. 如果线段a = 4, (A)84. 已知- b 3 (A)- 25. 已知 (A)— 2(B)16 2 2,则3 4 (B)4 y : z = 1 (B)2b = 16,c = 8, (C)24 「 的值为b5 (C)5 :2 : 3，且 (C)3 那么a 、b 、c 的第四比例项d 为( (D)32 3 (D)- 5 2x + y — 3z =— 15，贝U x 的值为( (D)— 3 6. 在比例尺为1 : 38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约为 7cm ，它的实际长度约为()(A)0.226km (B)2.66km (C)26.6km (D)266km 7. 某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是 影长是1米，旗杆的影长是 8米，则旗杆的高度是( ) (A)12 米 8. 已知点 1.5 米, (B)11 米 (C)10 米 C 是AB 的黄金分割点(AC >BC , (B)(6 — 2也)cm (D)9 米 若AB = 4cm ，贝U AC 的长为( (C)詰—1)cm AD AE (A)(2A /5 — 2)cm )(D)(3 —75 )cm 9.若D 、E 分别是△ ABC 的边AB 、AC 上的点，且AB =疋，那么下列各式中正确的是 ((3)若a 、b 、c 是非零实数，并满足ab c ，且 xa(a b)(b c)(c a)abc例3.(1 )已知线段AB = a ,在线段 AB 上有一点C,若则点 C 是线段AB 的(A)AD DEDB = BCAB(B)A DAE=A CDB AB(C)Ec = ACAD AE(D)DB = AC10.若k丄空 b 2c a + b+ CM0,k的值为（(A)—1 (B)2 (C)1 (D) —二、填空题11.在(5 +x)：2中的x= (5—x) : x 中的x=12.若10 813.若a : 3 = b : 4 = c : 5 ,且a + b —c= 6,贝U a=,b= c=14.已知x : y :z= 4 : 5 ,且x+ y+ z= 12,那么x= ,y=z=15.若b16.已知ace,②(x + y) : (y + z)17.若x 2y18.图纸上画出的某个零件的长是是32 mm,如果比例尺是 1 : 20,这个零件的实际长19.如图，已知AB : DB = AC：EC, AD = 15 cm , AB = 40 cm , AC = 28 cm ,贝U AEA20.已知，线段 2 cm, c (2 73) cm, 则线段a、c的比例中项b是三、解答题21.已知x3 0，求下列各式的值：（1）2x 3y 4z⑵5x 3y za22.已知——x0，求x+y+ z 的值.23.若△ ABC 的三内角之比为 1 : 2 : 3,求^ ABC 的三边之比.24.已知 a 、b 、c 为^ ABC 的三边，且 a + b + c = 60cm , a : b : c = 3 : 4 : 5,求^ ABC 的面 积.25.已知线段AB = 10cm , C 、D 是AB 上的两个黄金分割点，求线段CD 的长.四、挑战中考DE = 12 , BC = 15, GH = 4，求 AH .ABCD,取 AB 的中点 P ,连结 PD ,在BA 的延 长线上取点F ,使PF =PD,以AF 为边作正方形 AMEF ,点M 在AD 上(1)求AM 、MD 的长；1、若一c-a bA . 12B . 1C .— 1则k 的值为()D .-或一12AGABC 中,2、如图，△ 匹，且。
中考数学专题复习 专题20 相似三角形问题(学生版)
中考专题20 相似三角形问题一、比例1．成比例线段(简称比例线段)：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a =(或a ：b=c ：d)，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
如果作为比例内项的是两条相同的线段，即cbb a =或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项。
2．黄金分割：用一点P 将一条线段AB 分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0·618…。
这种分割称为黄金分割，分割点P 叫做线段AB 的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。
3．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
4．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
5．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。
二、相似、相似三角形及其基本的理论1. 相似：相同形状的图形叫相似图形。
相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、大小无关。
2．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似多边形对应边的比叫做相似比。
3．三角形相似的判定方法(1)定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
(2)平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，构成的三角形与原三角形相似。
(3)两个三角形相似的判定定理判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。
比例线段知识点及练习题
第十八章 相似形——比例线段及相似知识点讲解【知识点讲解】一、比例线段1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别是m ，n ，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成nm b a = ,其中a 叫做比的前项;b 叫做比的后项。
2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果dc b a = ，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d 叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项． 4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c 或c b b a =，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．二、比例的性质：(1)比例的基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b cb b a =⇔=2 (2)反比性质： cd a b d c b a =⇔= (3)更比性质: 或 d b c a d c b a =⇒=或ac bd = (4)合比性质: d d c b b a d c b a ±=±⇒= (5)等比性质: n m fe d c b a ====...且 ba n f db m ec a n fd b =++++++++⇒≠++++......0...比例线段练习 １、判断下列四条线段是否成比例① a=2，b=5,c=15，d=23； ② a=2，b=3, c=2，d=3； ③ a=4，b=6, c=5，d=10；④ a=12，b=8, c=15，d=102、已知：ad=bc（1） 将其改写成比例式；（2） 写出所有以a ，d 为内项的比例式；（3） 写出使b 作为第四项比例项的比例式；（4）若db c a =；写出以c 作第四比例项的比例式； 3 、计算.(1)已知：x ∶y=5∶4，y ∶z=3∶7.求x ∶y ∶z.(2)已知：a ，b ，c 为三角形三边长，(a-c) ∶(c+b) ∶(c-b)=2∶7∶(-1)，周长为24.求三边长.4 、在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上影长为50m ，同时，高为1.5m 的测竿的影长为2.5m ，那么，古塔的高是多么米?5、EF BE CD AB =，AB=10cm ，AD=2cm ，BC=7.2cm ，E 为BC 中点.求EF ，BF 的长.6.(1)已知：x ：(x+1)=(1—x)：3，求x 。
相似三角形题型归纳总结非常全面
相似三角形题型归纳一、比例的性质：二、成比例线段的概念：…1．比例的项：在比例式::a b c d =（即a cb d =）中，a ，d 称为比例外项，b ，c 称为比例内项．特别地，在比例式::a b b c =（即a bb c=）中，b 称为a ，c 的比例中项，满足b ac 2=．2．成比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．3．黄金分割：如图，若线段AB 上一点C ，把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AC AB BC 2=⋅），则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中.AC AB AB =≈0618，BC AB =.AB ≈0382，AC 与AB 的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB 而言，黄金分割点有两个．）^A三、平行线分线段成比例定理 1．平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果123////l l l ，则AB DE BC EF =，AB DE AC DF =，BC EFAC DF=．AD BE CF1l 2l 3lA D BE CF 1l 2l 3l【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB ）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为=上上下下，=上上全全，=下下全全．2．平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EFAE AF EB FC =AE AF AB AC =BE CFAB AC=A B C EF FECBAAE AF EB FC =AE AFAB AC=BE CFAB AC='//EF BC 'F 'F …△ABC '''△A B C '''△∽△ABC A B C ∽∽B A'A C'B 'C∽△△ABC A B C '''A A '∠=∠，B BC C ''∠=∠∠=∠，∽△△ABC A B C '''AB BC ACk A B B C A C ===''''''k △ABC △A B C '''AM AH 、AD △ABCBC A M ''A H ''A D ''△A B C '''B C ''AB BC AC AM AHADk A B B C A C A M A H A D ======''''''''''''【△ABC △A B C '''AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++△ABC△A B C'''△△ABCA B CBC AHS BC AHkS B C A HB C A H2'''1⋅⋅2==⋅=1''''''''⋅⋅2>'A A∠=∠'B B∠=∠△∽△ABC A B C'''AB BC ACA B B C A C==''''''△∽△ABC A B C'''AB ACA B A C='''''A A∠=∠△∽△ABC A B C'''\BAD EC∥△∽△AD AE DEDE BC ADE ABCAB AC BC⇔⇔==AD CBO∥△∽△AB OA OBAB CD AOB CODCD OC OD⇔⇔== .△ABC△∽△ADG ABCDG ANBC AM=BAC∠=90︒△∽△∽△∽△ADG EBD FGC ABC NMGFEDCBAGFEDCBAG EDCBAGFEDC BA G FEDCB ADEFCBA GAH DFBECAGDF BEC]::::x y z =135x y z x y z +3--3+x y z 234==x y z x y-+3=3-a b c2=3=4abc ≠0a bc b+-2x k =y k =3z k=5x y z k k k x y z k k k +3-+9-55==--3+-9-53113-2:2:3x y =53x y y +=13y x y -=123x y =1314x y +=+23a c e b d f ===a c b d ++2323a c e b d f -+-+b c a c a b a b c a b c +-+-+-==()()()a b b c a c abc+++11x y ≠23a cb d +=+232233a c e b d f -+=-+0a b c ++≠()()()b c a c a b a b c b c a c a b a b c a b c a b c+-+-+-+-++-++-====1++2,2,2b c a a c b a b c +=+=+=()()()a b b c a c abc +++=80a b c ++=()()()()()()a b b c a c c a b abc abc +++-⋅-⋅-==-11-∥∥l l l 123AB DE BC EF=∥∥AD BE CF AB =4AC =10DE =5DF =∥∥l l l 123AB =3BC =5DF =12_______DE =______EF = AD BE CF l 12l 3l A D B E C FAD BE CF l 12l l 3△△ABE CBES AB BC S =∴∥AD BE∵∥BE CF △△ABE DEB S S =∴△△CBE FEB S S =△△△△ABE EDB CBE EFB S S AB DE BC S S EF ===∴25292152∥∥l l l 123.cm AG =06.cm BG =12.cm CD =15CH =△ABCAD BD 2=3AE =3AC =AC =3BD =3CD =2CE =A CH GDBl 1l 2l 3B ADEA B C152∠ADC =90︒∥AD BC ∠∠DFC AEB =△∽△ADF CAE AD =8DC =6∥AD BC∠∠DAF ACE =∠∠DFC AEB =DFA AEC ∠=∠△∽△ADF CAE AD =8DC =6AC =10AF =5△∽△ADF CAEAD AF CA CE =CE 85=10CE 25=4BC 25=2125123⎛⎫=⨯+8⨯6= ⎪222⎝⎭△ABC △DEF 90A ∠=︒90F ∠=︒5AC =13BC =10DF =26EF =85C ∠=︒85E ∠=︒AC DEBC DF=1AB = 1.5AC =2BC =8EF =10DE =16FD =46A ∠=︒80B ∠=︒45E ∠=︒80F ∠=︒△ABC AD AC =DE BC ⊥△∽△ABC FCD △ABC BD CE BC 21⋅=2△∽△ACE DBAAEF DAD B CE AD AC =∵FDC ACB ∠=∠∴DE ∵EB EC =∴ABC FCD ∠=∠△∽△ABC FCD ∴（3）由等腰直角三角形得到BC =条件变为BD CE AB AB AC 2221⋅=⋅2==2，条件变为比例形式：BD BAAC CE=，由于DBA ACE ∠=180︒-45︒=∠，∴△∽△ACE DBA ． A D BECF l 12l 3l F EDCB A题型一 &题型二“A ”字和“8”字模型例题1 （1）如图4-1，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ，若BE =5，EF =2，则FG 的长为____________．（2）如图4-2，已知在□ABCD 中，M 、N 为AB 的三等分点，DM 、DN 分别交AC 于P 、Q 两点，则AP:PQ:QC =____________．G BAF DC EC AD M N PQ图4-1 图4-2解析：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴//AD BC ∴△∽△AEF CEB ，△∽△GFD GBC ，∴AF EF CB EB 2==5，∴DF AD AF CB CB -3==5∴FG DF BG CB 3==5，即FG FG 3=+75．得.FG =105． （2）！（3）由DC ∥AB ，得AP AM PC AB 1==3，AP AC 1=4，同理AQ AC 2=5，PQ AC 2=51-4AC =AC 320，QC =AC 35，故1::::::4AP PQ QC 33==5312205．巩固1： （1）如图4-1，在ABC △中，M 、E 把AC 边三等分，MN//EF//BC ，MN 、EF 把ABC △分成三部分，则自上而下部分的面积比为 ． （2）如图4-2，AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且1AB =，3CD =，则:EF CD 的值为__________．（3）如图4-3，已知在平行四边形ABCD 中，M 为AB 的中点，DM ，DB 分别交AC 于P ，Q 两点，则::AP PQ QC =___________．NM FE C BAACEF DA CBQPD图4-1 图4-2 图4-3~解析：（1）1:3:5；（2）14；（3）AQ CQ AC 1==2∵，又AP AM PC CD 1==2，AP AC 1=3∴ PQ AC AC 111⎛⎫=1--= ⎪236⎝⎭∴，::::AP PQ QC =213∴．题型三 与内接矩形有关的相似问题例题2 （1）如图5-1，△ABC 中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，BC =15，BC 边上的高AD =10，求正方形EFGH S ．（2）如图5-2，已知△ABC 中，四边形DEGF 为正方形，D ，E 在线段AC ，BC 上，F ，G 在AB 上，如果ADF CDE S S ∆∆==1，BEG S ∆=3，求△ABC 的面积．HAB C D E FGACDEGB图5-1 图5-2;解析：（1）设正方形EFGH 的边长为x ，AD 、HG 的交点为M ， 则有AM HG AD BC =，即x x10-=1015，解得，x =6，故EFGH S 2=6=36正方形（2）设正方形边长为x ，则AF x 2=，CI x 2=，BG x6=． 由△∽△CDE CAB ，得CI DE CH AB =，∴xxx x x x2=28++，解得x =2， ?∴AB =6，CH =3，∴ABC S AB CH ∆1=⋅=92巩固2： 如图，已知ABC △中，AC =3，BC =4，C ∠=90︒，四边形DEGF 为正方形，其中D 、E 在边AC 、BC 上，F 、G 在AB 上，求正方形的边长．GF EDC B A H IDC EGF AB解析：法一：由勾股定理可求得AB =5，由AB CH AC BC ⋅=⋅可得.CH =24． 由CDE CAB △∽△可得DE CI AB CH =，设正方形的边长为x ，则..x x 24-=524，解得x 60=37． 法二：设CE k =4，则DE k =5，∴GE k =5，BE k 25=3． ∴CE BE +=4，即k k 254+=43，解得k 12=37，∴DE k 60=5=37．题型四 {题型五“A 字和“8”字模型的构造例题3 如图，ABC △中，D 为BC 边的中点，延长AD 至E ，延长AB 交CE 的延长线于P ．若AD DE =2，求证：3AP AB =．解析：如图，过点D 作PC 的平行线，交AB 于点H ． ∵HD PC ∥，GFED CBA H MACDEG BIHABDECHP ED CBAAH ADAD DE AH PH PH DE=2⇒==2⇒=2， HD PC ∥，BH BDBD CD BH PH PH CD=⇒==1⇒=， ∴AP AH PH PH =+=3，AH BH AB PH BH =+=2=2， -∴AB BH PH ==，∴AP PH AB =3=3． 还可用如下辅助线来证此题：A BCD EKPABCDEK P PKED CBA巩固3： 如图，已知线段AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点K ，E 是线段AD 上一动点． （1）若BK KC 5=2，求CDAB的值； （2）连接BE ，若BE 平分∠ABC ，则当AE AD 1=2时，猜想线段AB 、BC 、CD 三者之间有怎样等量关系请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE AD n1=()n >2，而其余条件不变时，线段AB 、BC 、CD 三者之间又有怎样的等量关系请直接写出你的结论，不必证明．解析：（1）∵BK KC 5=2，∴CK BK 2=5，又∵CD ∥AB ， ：∴KCD KBA △∽△，∴CD CK AB BK 2==5（2）当BE 平分ABC ∠，AE AD 1=2时，AB BC CD =+；证明：取BD 的中点为F ，连接EF 交BC 于G 点，由中位线定理，得EF//AB//CD ， ∴G 为BC 的中点，GEB EBA ∠=∠，又∵EBA GBE ∠=∠，∴GEB GBE ∠=∠，∴EG BG BC 1==2， 而GF CD 1=2，EF AB 1=2，EF EG GF =+，即：AB BC CD 111=+222；AB BC CD ∴=+；当AE AD n1=(n >2)时，(1)BC CD n AB +=-． 题型六 斜“A ”和斜“8”模型例题4 ?例题5 如图，在ABC △中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，ABC △的面积是BDE △面积的4倍，6AC =，求DE 的长．解析：∵AD BC ⊥，CE AB ⊥，ABD CBE ∠=∠， ∴ABD CBE △∽△， ∴BE BCBD AB=，∵EBD CBA ∠=∠，∴BED BCA △∽△，C DEKBA ED CAB∴11322DEDE AC AC===⇒==．巩固4： （1）如图，ABC △是等边三角形，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且BD CE =，AD 与BE 相交于点F ．求证：①BD AD DF 2=⋅；②AF AD AE AC ⋅=⋅；③BF BE BD BC ⋅=⋅． （2）如图，四边形ABCD 是菱形，AF AD ⊥交BD 于E ，交BC 于F ．求证：AD DE DB 21=⋅2．%FECDBAA BDEF C解析：（1）∵等边ABC △，∴AB BC =，ABC ACB BAC ∠=∠=∠=60︒ ∵BD CE = ∴ABD BCE △≌△．∴BAD CBE ∠=∠，∴BFD BAD ABE CBE ABE ABC ∠=∠+∠=∠+∠=∠ ∴ABD BFD △∽△ ∴BD DFAD BD=，∴BD AD DF 2=⋅． ②证明AFE ACD △∽△即可． ③证明BFD BCE △∽△即可．（2）方法一：取DE 中点M ，连接AM ， 】∵AF AD ⊥，M 为DE 中点 ∴MA MD DE 1==2，∴∠1=∠2，又∵AB AC =，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴DAM DBA △∽△，∴DA DM DB 2=⋅，∴AD DE DB 21=⋅2． 方法二：取BD 中点N ，连接AN ．由等腰三角形的性质可知：AN BD ⊥， 又∵EAD ∠=90︒，∴AND EAD △∽△，∴AD DN DE 2=⋅， 又∵DN BD 1=2，∴AD DE BD 21=⋅2． 总结：考查斜“A ”和斜“8”常见结论，看到比例乘积想到斜“A ”和斜“8”，也要会找-巩固5： 在等边ABC △中，点D 为AC 上一点，连结BD ，直线l 与AB ，BD ，BC 分别相交于点E 、P 、F ，且BPF ∠=60︒．（1）如图8-1，写出图中所有与BPF △相似的三角形，并选择其中一对给予证明． （2）若直线l 向右平移到图8-2、图8-3的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由．（3）探究：如图8-1，当BD 满足什么条件时（其它条件不变），PF PE 1=2请写出探究结果，并说明理由．（说明：结论中不得含有未标识的字母）ADEF CM123图3图2图1lP FEDC B AFP EDCB AlFPEDCBA 图3图2l P F E D CB A l FPEDC B A 图3lPFEDC B A图8-1 图8-2 图8-3解析：（1）BPF EBF △∽△与BPF BCD △∽△，以BPF EBF △∽△为例，证明如下：？∵BPF EBF ∠=∠=60，BFP BFE ∠=∠，∴BPF EBF △∽△． （2）均成立，均为BPF EBF △∽△，BPF BCD △∽△．（3）BD 平分ABC ∠时，PF PE 1=2．证明：∵BD 平分ABC ∠，∴ABP PBF ∠=∠=30∵BPF ∠=60，∴BFP ∠=90，∴PF PB 1=2，又BEF ABP ∠=60-30=30=∠，∴BP EP =，∴PF PE 1=2．题型七 射影定理例题6 如图，已知AD 、CF 是ABC △的两条高，EF AC ⊥与E ，交CB 延长线于G ，交AD 于H ，求证：EF EH EG 2=⋅． ~解析：∵CF AB ⊥，EF AC ⊥，∴EF AE CE 2=⋅， 又由AD BC ⊥可知，AEH CEG ∠=∠=90︒，EAH EGC ∠=∠，∴AEH GEC △∽△，∴EH EAEC EG=， ∴EH EG EA EC ⋅=⋅，∴EF EH EG 2=⋅．巩固6： （1）如图9-1，在ABC △中，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ．求证：CEF CBA △∽△．/（2）如图9-2，在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，DE AC ⊥于E ，DF AB ⊥于F ，求证：AB FB FD AC EC ED44⋅=⋅．C AEFDBBAEDC F图9-1 图9-2解析：（1）分别在ADC △与CDB △中由射影定理得到：2CD CE CA =⋅，2CD CF CB =⋅， CE CA CF CB ⋅=⋅∴，即CE CFCB CA=，ECF BCA ∠=∠∵，ECF BCA ∴△∽△． GHFED CB A（2）由射影定理可以依次得到422422AB BD BC BF ABAC DC BC EC AC⋅⋅==⋅⋅， 于是仅需证明AB FDAC ED=， 由于BDA ADC △∽△，DF DE 、分别是AB 与AC 上的高，所以有AB DFAC DE=，得证． 题型八 ?题型九三垂直模型例题7 如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ． （1）求证：AMF BGM △∽△．（2）连接FG ，如果45α=︒，42AB =，3AF =，求FG 的长．解析：（1）由题意得，DME A B α∠=∠=∠=， ∴180AMF BMG α∠+∠=︒-，180AMF AFM α∠+∠=︒-，∴BMG AFM ∠=∠， 又E A B α∠=∠=∠=，∴△AMF ∽△BGM ．￥（2）∵AMF BGM △∽△，∴AM AF BG BM =∴，∵M 为AB 的中点，∴12AM BM AB ==∴， ∵42AB =，3AF =，∴83BG =∴， ∵45α=︒∵，∴90ACB ∠=︒∴，4AC BC ==，∴1CF AC AF =-=∴，43CG BC BG =-=， ∴2253FG CF CG =+=．巩固7： （1）如图10-1，矩形ABCD 中，由8个面积均为1的小正方形组成的L 型模板如图放置，则矩形ABCD 的周长为____________．（2）如图10-2，在直角坐标系中，矩形ABCO 的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为(1,3)，将矩形沿对角线AC 翻折，使得B 点落在D 点的位置，且AD 交y 轴于点E ，则D 点坐标为___________．GFE DCB ABy D E OAxC图10-1 图10-2%解析：（1）ABE ECF FDG △∽△∽△，2AB AEFD FG==，∴2AB DF =，∴2AB CF =，1AB AE BEEC EF CF===， ∴AB CE =，BE CF =，∴2CE CF =， 又∵4EF =，∴855CE =，455CF =1255BC ，855AB ， ∴矩形ABCD 的周长为5EDCG FBM A（2）过D 点做DF x ⊥轴于F 点，BC 与FD 的延长线交于G 点 则CGD DFA △∽△，∴13CG GD CD DF AF AD ===， 设CG x =，则3DF x =，1AF x =+，33GD x =-，:由于3AF GD =，列得方程：()1333x x +=-， 解得45x =，故45CG =，125DF =， 求得D 点坐标为41255⎛⎫- ⎪⎝⎭，．巩固8： 如图11-1，ABC △和DEF △是两个全等的等腰直角三角形，90BAC EDF ∠=∠=︒，DEF △的顶点E 与ABC △的斜边BC 的中点重合．将DEF △绕点E 旋转到如图11-2，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与线段CA 的延长线相交于点Q ． （1）求证：BPE CEQ △∽△．（2）已知BP a =，92CQ a =，求P 、Q 两点间的距离（用含a 的代数式表示）．B DFA PQECBDFAP Q图11-1 图11-2，解析：（1）∵ABC △和DEF △是两个全等的等腰直角三角形，∴45B C DEF ∠=∠=∠=︒， ∴135BEP CEQ ∠+∠=︒，135CQE CEQ ∠+∠=︒，∴BEP CQE ∠=∠， 又∵45B C ∠=∠=︒，∴BPE CEQ △∽△． （2）连接PQ ，∵BPE CEQ △∽△，∴BP BECE CQ=， ∵BP a =，92CQ a =，BE CE =，∴BE CE ==，∴BC =，∴3AB AC a ==，∴32AQ a =，2PA a =，在Rt APQ △中，52PQ a =．题型十 三平行模型例题8 (例题9 已知：如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，M 是AB 的中点，分别连接AC 、BD 、MD 、MC ，且AC 与MD 交于点E ，DB 与MC 交于F ． （1）求证：EF//CD ；（2）若AB a =，CD b =，求EF 的长．解析：（1）∵AB CD ∥，∴ME AM ED CD =，MF BMFC CD=， ∵AM BM =，∴AM BM CD CD =（中间过渡量），∴ME MF EF CD ED FC=⇒∥． （2）∵AM EF CD ∥∥，∴111EF AM CD =+，∴2abEF a b=+．DFAPQFEMDCBA巩固9： 如图所示，在ABC △中，120BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ．求证：111AD AB AC=+．ABDABCEF.解析：分别过B 、C 两点做AD 的平行线，分别交CA 、BA 的延长线于E 、F 两点． 由于EB//AD//FC ，有111AD BE FC=+；由于60EBA BAD ∠=∠=︒，18060EAB BAC ∠=︒-∠=︒所以EAB △为正三角形，同理FAC △亦为正三角形．BE AB =∴，FC AC =．故111AD AB AC=+． 题型十一角平分线定理例题10 在ABC △中，B ∠的平分线交AC 于D ，C ∠的平分线交AB 于E ，且BE CD =．求证：AB AC =．解析：由角平分线定理得到AB AD BC DC =，AC AEBC BE=， ∵BE CD =∵，∴AD DC BE AE AB BC BC AC===∴ 即AD AEAB AC=，∴AD AC CD =-∴，AE AB BE =- &∴()()AC AC CD AB AB CD -=-，整理得到()()0AC AB AC AB CD -+-= 明显0AC AB CD +-≠，故AC AB =．巩固10：（1）如图13-1，在ABC △中，C ∠=90︒，CA =3，CB =4，且CD 是C ∠的平分线．则AD 的长为__________．（2）如图13-2，I 是ABC △内角平分线的交点，AI 交对应边于D 点，求证：AI AB ACID BC+=．CADBIAD B C图13-1 图13-2解析：（1）由角平分线定理34AD AC DBBC ==，由于5AB =，31577AD AB ==∴ 》（2）由角平分线定理得到AI AB AC ID BD CD ==，由等比性质得到：AI AB AC AB AC ID BD CD BC++==+． 巩固11：若AP PB =，2APB ACB ∠=∠，AC 与PB 相交于点D ，且4PB =，3PD =．求AD DC ⋅的值．B CAEDP DCBAEA BCDP解析：过P 点做APB ∠的角平分线PE ，交AD 于E 点．∵EPD APE C ∠=∠=∠∵，且PDE CDB ∠=∠，∴PDE CDB ∴△∽△，∴3ED DC PD DB ⋅=⋅=∴， 又由于PE 是角平分线，∴PA AE PD ED =∴，∵4PA PB ==∵，∴43AE ED =∴，∴73AD ED =∴， 773AD DC ED DC ⋅=⋅=∴． 题型十二 线束模型例题11 、例题12 如图，M 、N 为ABC △边BC 上的两点，且满足BM MN NC ==，一条平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F ．求证：3EF DE =． 法一：如下左图，过D 作DG BC ∥交AC 于G ，交AM 、AN 于P 、Q ， 由线束定理可知DP PQ QG ==，∵DF AC ∥，∴DE DP AG PG 1==2，DF DQ AG QG ==2， ∴DE DF 1=4，∴EF DE =3．过E 点或F 点作BC 的平行线也可得到类似的证法． 法二：如下右图，过M 作PQ DF ∥，交AB 于P ， 交AF 延长线于Q ，则有AC DF PQ ∥∥， ∴PM BM AC BC 1==3，QM MNAC NC==1， ∴PM QM 1=3，由线束定理可知DE PM EF QM 1==3， （即EF DE =3．过B 点或N 点作DF 的平行线也可得到类似的证法．QPABCMN D EFQP GABCMN DEF巩固12： （1）如图15-1，AB ∥CD ，AD 与BC 交于点P ，过P 点的直线与AB 、CD 分别交于E ，F ．求证：AE DFBE CF=． （2）如图15-2，AB ∥CD ，AD 与BC 交于点P ，连接CA 、DB 并延长相交于O ，连接OP 并延长交CD 于M ，求证：点M 为CD 的中点．FED NMCBA（3）如图15-3，在图15-2中，若点G 从D 点向左移动（不与C 点重合），AG 与BC 交于点P ，连OP 并延长交CD 于M ，直接写出MC 、MG 、MD 之间的关系式．AC FDE B POABCM D POAB CM D P G图15-1 图15-2 图15-3"解析：（1）证明：如图1，∵AB //CD ，AD 与BC 交于点P ， ∴AEP DFP △∽△，BFP CFP △∽△， ∴AE EP DF FP =,BE EP CF FP =，∴AE BE DF CF =，∴AE DFBE CF=； （2）证明：如图2，设OM 交AB 于点N ．∵AB //CD ，∴AON COM △∽△，BON DOM △∽△，AOB COD △∽△， ∴OA AN OC CM =，OB BN OD DM =，OA OB OC OD =，∴AN BNCM DM=①， ∵ANP DMP △∽△，BNP CMP △∽△，APB DPC △∽△， ∴AN AP DM DP =，DN BP CM CP =，AP BP DP CP =，∴AN BNDM CM=②， ①÷②，DM CMCM DM=，∴CM =DM ，即点M 为CD 的中点； （3）解：MC 2=MG •MD ，理由如下：如图3，设OM 交AB 于点N ． ∵AB //CD ，∴MCP NBP △∽△，NAP MGP △∽△，∴MC MP NB NP =①，NA NPMG MP=②， ①×②，得MC NA MP NP NB MG NP MP ⨯=⨯=1，∴MC NB MG NA=． ∵AON COM △∽△，BON DOM △∽△，∴NA ON MC OM =，NB ONMD OM=， ∴NA NB MC MD =，∴MD NB MC NA =，∴MC MDMG MC=，∴MC MG MD 2=⋅． 题型十三相似综合例题13 如图，点A 的坐标为(2,2)，点C 是线段OA 上的一个动点（不与O 、A 两点重合），过点C 作CDx 轴，垂足为D ，以CD 为边在右侧作正方形CDEF ．连接AF 并延长交x 轴的正半轴于点B ，连接OF ．若以B 、E 、F 为顶点的三角形与OFE △相似，则点B 的坐标是 ．解析：要使BEF △与OFE △相似， ∵FEO FEB ∠=∠=90︒ ∴只要OE EF EB EF =或OE EF EF EB =，即BE t =2或EB t 1=2． ② 当BE t =2时，BO t =4， ∴t t t2=42-，∴t =0（舍去）或t 3=2，∴(,)B 60．②当EB t 1=2时，（i ）当B 在E 的左侧时，OB OE EB t 3=-=2，∴ttt23=2-2，∴t=0（舍去）或t2=3，∴(,)B10．（ii）当B在E的右侧时，OB OE EB t5=+=2，∴ttt25=2-2，∴t=0（舍去）或t6=5，∴(,)B30．巩固13：如图，Rt ABC△中，ACB∠=90︒，CD AB⊥于D，过点D作DE BC⊥，BDE△边DE上的中线BF延长线交AC于点G．（1）求证：AD BD CE CB⋅=⋅；（2）若AG FG=，求:BF GF；（3）在（2）的条件下，若BC=62BD的长度．AFECDGAFECDG P解析：（1）证明：∵CD AB⊥，∴BCD△是直角三角形．∵DE BC⊥，∴CD CE CB2=⋅．∵ABC△是直角三角形，CD AB⊥，∴CD AD BD2=⋅，∴AD BD CE CB⋅=⋅；（2）解：过G作GP DF⊥交DF于P，连结DG，∵AC BC⊥，DE BC⊥，GF DE⊥，∴四边形CEPG是矩形，∴CG EP=在Rt ADC△中，∵G是边AC中点，∴AG DG CG==．又∵AG FG=，∴DG FG=，∴GFD△是等腰三角形．∴GP是FD的中线，DP FP=，即FP DF EF1=1=22．∵CG EP=，FP EF=12，∴::PF CG=13，∴::PF FG=13．∵PFG EFB CGB△△△∽∽，∴::::CG BG EF BF PF GF===13，∴::FG BG=13，::BF GF=21；（3）解：∵BC=62:::CE BE GF BF==12，∴CE=22，BE=42．∵::EF BF=13，设EF x=，则BF x=3，∴()x x222+2=9，解得x=2，∴BF=6，GF=3，AC=6，∴()AB AC BC2222+6+6263BD=43。
比例线段和平行线分线段成比例定理
复习目标
1.熟练掌握成比例线段及有关概念。 2.熟练掌握比例的有关性质及其应用。 3.熟练掌握平行线分线段成比例定理 及其应用。
一、比例线段的主要知识点
1 两条线段的比：
(1) 定义： 同一单位度量的两条线段a、b，长度分别为m、n， 那么就写成 a m
a:b= m:n 或 b = n .
c 5k 5k 5 = = = . a + b + c 3k + 4k + 5k 12k 12
(2) 若a+b+c≠0,
Q a+ b a+ c b+ c a+b+a+c+b+c = = = k, \ = k = 2. c b a a+b+c
若a+b+c=0, 则a+b=－c.
\ a+ b - c = = k = - 1. c c
A
A. 1个.
B. 2个.
C. 3个.
D. 4个.
D
E
B
F
C
四、平行线分线段成比例定理的例题和练习：
例2.已知：如图，若DE∥BC, D在AB上，E在AC上， AD : DB=2 : 3, BC=20. 求：DE的长. 解： Q
AD 2 = . DB 3 \
\
A
AD 2 = . AB 5
AD DE 2 = = . AB BC 5
D
E
Q DE // BC.
即
DE 2 = . 20 5
B
\ DE=8.
C
四、平行线分线段成比例定理的例题和练习：
例3：已知：如图，在ABC中，AD是BC边上的 AF 1 AE 如果 求： 的值 FD 5 AC A
线段的比与比例线段的概念
线段的比与比例线段的概念、比例的性质和黄金分割 Ⅰ梳理知识比与比例、比例的基本性质、合比性质、等比性质、两线段的比、成比例线段、平行线分线段成比例、截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定、黄金分割1.线段的比的定义在同一单位长度下，两条线段的比叫做这两条线段的比.2.比例线段的定义在四条线段中，如果其中两条线段的等于另外两条线段的，那么这四条线段叫做成比例线段，简称.在a ：b ＝c ：d 中，a 、d 叫做比例的，b 、c 叫做比例的，称d 为a 、b 、c 的.3.比例的性质(1)比例的基本性质：如果a ∶b ＝c ∶d ，那么.特别地，若a ∶b ＝b ∶c ，即，则b 叫a ，c 的比例中项.(2)合(分)比性质：若dc b a =，则. (3)等比性质：若nm f e d c b a ==== ，且，则. 4.黄金分割(1)黄金分割的意义：如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果，那么称线段AB 被点C 黄金分割.其中点C 叫做线段AB 的，AC 与AB 的比叫做.(2)黄金分割的作法【例题讲解】例1.(1)已知1，5，5三个数，如果再添一个数，使之能与已知的三个数成比例，则这个数应该是.(2)在比例尺为1：n 的某市地图上，规划出一块长5cm ×2cm 的矩形工业区，则该工业区的实际面积是平方米.例2.(1)已知x ∶y ∶z ＝3∶4∶5，①求zy x +的值；②若x ＋y ＋z ＝6，求x 、y 、z. (2)已知a 、b 、c 、d 是非零实数，且k c b a d d a b c d c a b d c b a =++=++=++=++，求k 的值.(3)若a 、b 、c 是非零实数，并满足a c b a b c b a c c b a ++-=+-=-+，且abc a c c b b a x ))()((+++=，求x 的值.例3.(1)已知线段AB ＝a ，在线段AB 上有一点C ，若AC ＝a 253-，则点C 是线段AB 的黄金分割点吗？为什么？【同步测试】一、选择题1.已知一矩形的长a ＝1.35m ，宽b ＝60cm ，则a ∶b 的值为（ ）(A)9∶400 (B)9∶40 (C)9∶4 (D)90∶42.下列线段能成比例线段的是（ ） (A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm,2cm,2cm,2cm (C)2cm,5cm,3cm,1cm (D)2cm,5cm,3cm,4cm3.如果线段a ＝4，b ＝16，c ＝8，那么a 、b 、c 的第四比例项d 为（ ）(A)8 (B)16 (C)24 (D)324.已知32=b a ，则bb a +的值为（ ） (A)23(B)34(C)35(D)53 5.已知x ∶y ∶z ＝1∶2∶3，且2x ＋y －3z ＝－15，则x 的值为（ ）(A)－2 (B)2 (C)3 (D)－36.在比例尺为1∶38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约为7cm ，它的实际长度约为（ ）(A)0.226km (B)2.66km (C)26.6km (D)266km7.某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5米，影长是1米，旗杆的影长是8米，则旗杆的高度是（ ）(A)12米(B)11米(C)10米(D)9米8.已知点C 是AB 的黄金分割点(AC >BC)，若AB ＝4cm ，则AC 的长为（ ） (A)(2 5 －2)cm(B)(6－2 5 )cm (C)( 5 －1)cm (D)(3－ 5 )cm9.若D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、AC 上的点，且AD AB ＝AE AC，那么下列各式中正确的是（ ） (A)AD DB ＝DE BC (B)AB AD ＝AE AC (C)DB EC ＝AB AC (D)AD DB ＝AE AC10.若ba c a cbc b a k 222-=-=-=，且a ＋b ＋c ≠0，则k 的值为（ ） (A)－1 (B)21(C)1 (D)－12 二、填空题11.在x ∶6＝ (5 ＋x)∶2 中的x ＝；2∶3 ＝ ( 5－x)∶x 中的x ＝.12.若9810z y x ==, 则______=+++zy z y x . 13.若a ∶3 ＝b ∶4 ＝c ∶5 , 且a ＋b －c ＝6, 则a ＝，b ＝，c ＝.14.已知x ∶y ∶z ＝ 3∶4∶5 , 且x ＋y ＋z ＝12, 那么x ＝，y ＝，z ＝.15.若43===f e d c b a , 则______=++++fd be c a . 16.已知x ∶4 ＝y ∶5 ＝z ∶6 , 则①x ∶y ∶z ＝, ② (x ＋y)∶(y ＋z)＝.17.若322=-y y x , 则_____=yx . 18.图纸上画出的某个零件的长是32 mm ，如果比例尺是 1∶20，这个零件的实际长是.19.如图，已知 AB ∶DB ＝ AC ∶EC ，AD ＝15 cm , AB ＝40 cm , AC ＝28 cm , 则 AE ＝；20.已知，线段a ＝2 cm ，)32(-=c cm ，则线段a 、c 的比例中项b 是.三、解答题21.已知0753≠==z y x ，求下列各式的值：(1)y z y x +-(2)z y x z y x +-++35432. 22.已知0≠-=-=-z a c y c b x b a ，求x ＋y ＋z 的值. 23.若ΔABC 的三内角之比为1∶2∶3，求ΔABC 的三边之比.24.已知a 、b 、c 为ΔABC 的三边，且a ＋b ＋c ＝60cm ，a ∶b ∶c ＝3∶4∶5，求ΔABC 的面积.25.已知线段AB ＝10cm ，C 、D 是AB 上的两个黄金分割点，求线段CD 的长.四、挑战中考1、若k ca b c b a b a c =+=+=+＝k ，则k 的值为（ ） A ．12 B ．1 C ．－1 D ．12或－1 2、如图，△ABC 中，AG DE AH BC =，且DE ＝12，BC ＝15，GH ＝4，求AH ．3、 以长为2的定线段AB 为边作正方形ABCD ，取 AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上（1）求AM、MD的长；（2）你能说明点M是线段AD的黄金分割点吗？。
初二下第7讲-比例线段、黄金分割
第7讲：相似形（一）专题一 比例线段一、知识梳理1、两条线段的比：同一长度单位下两条线段长度的比叫两条线段的比。
求线段的比例时要把两条线段化为 （注两条线段的比没有单位），并要注意其 ；成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，若 ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段，如果a ∶b=c ∶d （或ac b =2），则b 叫做a 、c 的比例中项。
2、比例线段的性质：（1）比例的基本性质：如果 b a = d c ，那么 。
若b a = c b，即 __，则称ｂ是ａ,ｃ的 （2）比例的更比性质：如果d c b a =，那么d b c a =。
（3）比例的反比性质：如果d c b a =，那么cda b =。
（4）比例的合、分比性质：如果 b a = d c，那么 。
（5）、比例的等比性质：如果 b a = d c …=nm（b+d+…+n ≠0），那么 。
二、重难点高效突破线段的比与成比例线段 例1、 线段a=5cm,b=0.3m.则ba=____ 例2、 已知四条线段a ，b ，c ，d 的长度，试判断它们是否是成比例线段。
（1） a =8，b=4，c=2.5，d=5； （２）a=16，b=0.1，c=1.2 d=20；例3、已知1，5，5三个数，再添一个数，使之能与已知的三个数组成比例式，这个数应该是_____例4、AB 两地相距320km ，那么在比例尺1∶20,000,000的地图上，它们相距________cm.例5、小颖测得2m 高的标杆在太阳下的影长为1.2m ，同时又测得一棵树的影长为3.6m ，这棵树的高度为___________.例6.（1）已知;,3d d c b b a d c b a ++==和求 （2）如果成立吗？为什么？那么为常数）ddc b b a k kd c b a +=+==,(（3）已知线段a=2,b=3,c=7,d 是a 、b 、c 的第四比例项，则d=_________。
比例性质及比例线段
比例性质及比例线段（初二4.16）一、知识点与方法概述：1、比例的性质：基本性质：如果a:b=c:d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:b=c:d.合比性质：等比性质：如果，那么.2、（成）比例线段：比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比. 那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项.3、黄金分割：如图，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点.注意：1、AC 0.618AB；2、0.618叫做黄金比；3、一条线段有两个黄金分割点.4、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的线段对应成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 推论的扩展：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.（三角形一边平行线的性质）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（三角形一边平行线的判定定理）5、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5）:推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.已知：在梯形ACFD 中，CF AD //，AB=BC求证：DE=EF推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.已知：在△ACF 中，CF BE //，AB=BC 求证：AE=EF6、三角形的中位线定理：三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
比例线段 黄金分割 相似三角形
学科教师辅导讲义六．三角形重心的定义：证（解）题规律、辅助线1．“等积”变“比例”，“比例”找“相似”。
2．找相似找不到，找中间比。
方法：将等式左右两边的比表示出来。
⑴)(,为中间比nm n m d c n m b a == ⑵'',,n n nm d c n m b a === ⑶),(,''''''nm n m n n m m n m d c n m b a =====或 3．添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。
4．对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k 。
5．对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。
例题分析：例1：如图 4－85． AB ⊥于l. CD ⊥l 于 C,E 为 AD 中点．求证：△EBC 是等腰三角形．例2：如图4－86，CB ⊥AB ，DA ⊥AB ，M 为CD 中点．求证：∠MAB ＝∠MBA ．例3：若25a c eb d f ===，求ac bd --，234234a ce b df +-+-4.已知：如图20□AB C D 中E 为AD 的中点，AF ：AB =1：6，EF 与AC 交于M 。
求：AM ：AC 。
5.已知：E 是正方形ABCD 的AB 边延长线上一点，DE 交CB 于M ，MN ∥AE ，求证：MN =MB6、已知线段AB 长为1cm ，P 是AB 的黄金分割点，则线段PA= ;7、已知：M 是线段AB 的黄金分割点，AM>BM. 求证：AMAB AB AB AM =+。
初中数学新课标对平行线分线段成比例的要求
初中数学新课标对平行线分线段成比例的要求
初中数学新课标对平行线分线段成比例的要求如下：
1. 掌握平行线分线段成比例定理及其推论。
2. 能够利用平行线分线段成比例定理解决一些实际问题，了解黄金分割等特殊的线段比例关系。
3. 理解平行线相似的基本概念，能够利用平行线相似进行简单的几何图形设计和图案设计。
具体来说，学生需要掌握平行线分线段成比例定理的基本内容，即一组平行线（不少于3条）截两条直线，所得的对应线段成比例。
同时，学生也需要理解推论，即平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
在此基础上，学生应能够利用平行线分线段成比例定理解决一些实际问题，如求解线段的长度、证明三角形相似等。
此外，学生还需要了解黄金分割等特殊的线段比例关系，理解平行线相似的概念，并能够利用平行线相似进行简单的几何图形设计和图案设计。
在学习过程中，学生需要通过观察、实验、推理、归纳等过程，探索平行线分线段成比例的规律，培养自己的几何直观能力和逻辑思维能力。
同时，也
需要培养自己的问题解决能力和创新意识，能够将实际问题转化为数学问题，运用所学知识解决实际问题，并能够进行简单的创新设计和实践。
比例线段知识要点
比例线段知识要点比例线段及平行截相似定理：1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==()b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。
把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。
2. 比例性质：①基本性质：a b cdad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n ab===+++⇒++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理：①平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。
则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF=== ②平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
三③平行的判定定理：如果一条直线截角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
4. 平行截相似定理：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。
基本图形有：ABCDEEDC B A“A ”型和“X ”型1、 比例线段：例1如图，一个矩形ABCD 截去一个边长与宽CD 相等的正方形后，所得矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比是（ ） A ．√5+1 B. √5−1 C. √5+12 D. √5−12例2 已知c a+b=b a+c=ab+c=k,且（a +b ）（b +c ）（a +c ）≠0，则k 的值是（ ）A.12B. 2C. -1或12 D. -1或2例3 已知a 、b 、c 满足a 3=b 4=c5≠0 .⑴求2a+b−cc的值； ⑵若a+3b-2c=10，求a 、b 、c 的值。
比例、黄金分割、平行线分线段成比例定理及例题
要点一、比例线段1成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.2.比例的性质：a c(1)基本性质：如果bd ,那么ad =k .那覚+心+一r那店a(2)合比性质：如果要点诠释：h d b d如果b d b d(1)两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位, 再求它们的比；(2)两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；(3)两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数.要点二、黄金分割AC BC1. 定义：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果」上,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.2. 作一条线段的黄金分割点:(1)经过点B作BD^ AB使BD=-AB(2) 连接AD在DA上截取DE=DB(3) 在AB上截取AOAE则点C为线段AB的黄金分割点要点诠释:二沁0.618AB(二叫做黄金分割值).如图，已知线段AB按照如下方法作图:要点诠释:一条线段的黄金分割点有两个要点三、平行线截线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应线段成比例已知如图，直线丨1、丨2、丨3是一组等距离的平行线，丨4、丨5是任意画的两条直线，分别于这组平行线相交于点A, B, C, D, E, F,则比例式AB _ DE AB DE BC _ EF BC _ EF疋环’庇亦'血血'疋亦、成立.要点诠释：上图的变式图形：分A型和X型;则常用的比例式: AD_AE AD_AE DB_EC 二一三厂三—二匸—二依然成立.要点四、把已知线段AB五等分.已知线段AB,请利用尺规作图把线段AB五等分.A *-------------------------------------------------- B作法2.连结 AB,并过点 A i , A 2, A 3, A 分别作AB 的平行线，依次交 AB 于点B i , B 2, B s ,则点 B i , B 2, B s , B 4就是所求作的把线段 AB 五等分的点下关系式AA M'■/ AA =A l A 2 =A 2A s =AiA 4=A 4A 5 , AB=B i B2=B>B 3=B?B 4=B 4B,•••点B i , B 2, B s , B 4把线段AB 五等分. 要点诠释：在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规 中的直尺是没有刻度的，它的用途是画线或者连线.例题:1. （2016?兰州模拟）若a ： b=2 : 3,则下列各式中正确的式子是（A . 2a=3bB . 3a=2bb 2a-b D. 1 '3 C . 「3 【思路点拨】 根据比例的性质， 对选项一一 分析， 选择正确答案.【答案】B . 【解析】A 、 2a=3b? a ： b=3 : 2,故选项错误;B 、 3a=2b? a ： b=2 : 3,故选项正确;1•以A 为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA =A i A =AA 3=AA 4=A4A.,不能使用直尺进行量取，尺规作图依据：实际上，过点b_ 2C、= ? b: a=2：3,故选项错误；旷b 1D、 b =d?a：b=3 : 2，故选项错误.故选B.【总结升华】考查了比例的性质.在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积.x _ j _ z 2^ - 3yz+z2—-——=— 1 、2.设2 3 4 ,求-2^-z 的值.【思路点拨】由已知条件利用解方程的思想不能求出X, y, z的值，因此用设参数法代入化简.【答案与解析】设L匚=k贝V x = 2k, y= 3k, z= 4k2x（肚）'-稣戏x4上+ （处『_i2t J1原式=（2i）2-2x2ix3i-（4i）3^^ = 2【总结升华】解此类题学生容易误认为设k后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因式约去3.如图所示，矩形ABCD是黄金矩形（即AB 怎-1J - 0.618 ），如果在其内作正方形CDEF得到一个小矩形ABFE试问矩形ABFE是否也是黄金矩形？D E A(1)AE厲1(2)要说明ABFE是不是黄金矩形只要证明AB= =2即可.【答案与解析】矩形ABFE是黄金矩形.AS AD-ED AD ED-------- -------------------------------- — ---------------------------理由如下：因为一二= 一二上匸2__[—2(/ + 1) 1_力 + 1 1 二巧"=7： '" I：： 7 - 二 -所以矩形ABFE也是黄金矩形.【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法AG_AF5. (2014秋?平川区校级期中)已知：如图，在△ABC中，AB=AC且GD FB , EG/ CD证明: AE=AF可得AE=AF .【思路点拨】AG AE由平行可得G D=E C,且AG_AF AE AF GDFB,可得E C= FBAE AF,结合AB=AC ,由比例的性质可得皿血,-G DA G且E£c F- B—--A皿A- F-- --解明d:JIE【思路点拨】AE AF••• M ■丨.=［』■＜二，即■,••• AB=AC ,••• AE=AF .【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段.6.如图，在矩形ABCD中，AB=2 , BC=3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上,EF // AC // HG , EH // BD // FG,则四边形EFGH 的周长是A .工UB . 13 C. -【思路点拨】根据矩形的对角线相等，利用勾股定理求出对角线的长度，然后根据平行线分线段成比例的基本事实列式表示出EF、EH的长度之和，再根据四边形EFGH是平行四边形，即可得解.【答案与解析】在矩形ABCD 中，AB=2 , BC=3 ,根据勾股定理，AC=BD==门•/ EF // AC // HG ,£F_EB•/ EH // BD // FG ,EH _ AE.••莎—五，EF EH EB AE----- H------ -- ------- ------.••二「三匚二左=1 ,AE AFD.D•/ EF // HG , EH // FG ,•••四边形EFGH 是平行四边形, •••四边形EFGH 的周长=2 (EF+EH )= 故选D .【总结升华】 本题考查了平行线分线段成比例的基本事实，矩形的对角线相等，勾股定EF EH 、------ 1 ----- 二 1理，根据平行线分线段成比例的基本事实求出上： 三匚是解题的关键，也是本题的难 占八、、♦作法1•把已知线段a 的两端点分别标注字母 A , B ,再以A 为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段 AA i =A I A 2=A 2A 35.2.连结A 3B ，并过点A i , A 2分别作A 3B 的平行线，依次交 AB 于点B i , B 2•则点B i ,此相等，则在另一条线上截得的线段也都是相等的7.把已知线段a （如图）三等分.【答案与解析】B 2把线段a 三等分.【总结升华】利用平行线截线段成比例的基本事实，一组平行线在一条线上截得线段彼。
数学相似三角形的知识点归纳
数学相似三角形的知识点归纳数学相似三角形的知识点归纳数学是人们认识自然、认识社会的重要工具。
它是一门古老而崭新的科学，是整个科学技术的基础。
随着社会的发展、时代的变化，以及信息技术的发展，数学在社会各个方面的应用越来越广泛，作用越来越重要。
以下是店铺整理的数学相似三角形的知识点归纳，希望帮助到您。
数学相似三角形的知识点归纳篇1本章有以下几个主要内容：一、比例线段1、线段比，2、成比例线段，3、比例中项————黄金分割，4、比例的性质：基本性质；合比性质；等比性质（1）线段比：用同一长度单位度量两条线段a，b，把他们长度的比叫做这两条线段的比。
（2）比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果线段a，b的比等于线段c，d的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。
简称比例线段。
（3）比例中项：如果a：b=b：c，那么b叫做a，c的比例中项（4）黄金分割：把一条线段分成两条线段，如果较长线段是全线段和较短线段的比例中项，那么这种分割叫做黄金分割。
这个点叫做黄金分割点。
顶角是36度的等腰三角形叫做黄金三角形宽和长的比等于黄金数的矩形叫做黄金矩形。
（5）比例的性质基本性质：内项积等于外项积。
（比例=====等积）。
主要作用：计算。
合比性质，主要作用：比例的互相转化。
等比性质，在使用时注意成立的条件。
二、相似三角形的判定平行线等分线段——————平行线分线段成比例————————平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所截线段对应成比例——————（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所截三角形与原三角形相似——————相似三角形的判定：类比于全等三角形的判定。
三、相似三角形的性质1、定义：相似三角形对应角相等对应边成比例。
2、相似三角形对应线段（对应角平分线、对应中线、对应高等）的比等于相似比3、相似三角形周长的比等于相似比4、相似三角形面积的比等于相似比的平方四、图形的位似变换1、几何变换：平移，旋转，轴对称，相似变换2、相似变换：把一个图形变成另一个图形，并保持形状不变的几何变换叫做相似变换。
线段的比例及应用
线段的比例及应用线段的比例是指两条线段之间的长度比值关系。
在线段的比例问题中，常常涉及到两个概念：黄金分割比例和相似三角形比例。
本文将从理论和应用两个方面，探讨线段的比例及其实际应用。
一、线段的比例理论在数学中，两个线段的比例可以用等式表示为：a/b = c/d，其中a、b、c、d分别表示不同线段的长度。
1. 黄金分割比例黄金分割比例是线段比例中一种特殊的比例关系。
对于一个线段AB，将其分成两个部分，使得整个线段与较短部分之间的比例等于较短部分与较长部分之间的比例。
即（AB/AC）=（AC/BC），其中AC 为较短部分，BC为较长部分。
黄金分割比例被广泛应用于建筑、绘画和设计领域，以创造出最美观的比例和比例关系。
例如，帕特农神庙的柱子高度与直径的比例，蒙娜丽莎的脸部特征比例等都借鉴了黄金分割比例。
2. 相似三角形比例相似三角形比例是与黄金分割比例密切相关的概念。
当两个三角形的对应边成比例时，称这两个三角形为相似三角形。
相似三角形的比例关系可以应用于线段的比例问题中。
例如，假设有一个大三角形ABC和一个小三角形DEF。
如果各个对应边的比例相等，即AB/DE = AC/DF = BC/EF，则可以得出这两个三角形是相似的。
根据相似三角形的性质，可以推导出线段的比例关系。
二、线段比例的应用线段比例广泛应用于实际问题中，特别是在几何和工程学领域，以下是一些线段比例应用的实例。
1. 测量与放缩在测量和放缩过程中，线段的比例是十分重要的。
例如，在地图上测量两个城市之间的距离时，可以利用比例尺将实际距离与地图上的长度进行比较，从而得出实际距离。
在工程学中，根据设计要求和实际场景，可以通过线段的比例来放缩工程图纸。
通过比例的缩放，可以实现工程的合理布局和安排。
2. 建筑设计建筑设计中的线段比例应用十分重要。
比如，在设计建筑物的立面时，需要确定楼层之间的线段比例，以保证整体外观的和谐与美观。
同时，在室内设计中，线段比例可以用来确定家具和装饰物件的适当大小和布局。
2022-2023学年上海市浦东新区九年级上学期期中考质量检测数学卷带讲解
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例、比例的基本性质求得 ，则 即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例、比例的性质；由平行线分线段成比例定理得出比例式求出 是解决问题的关键．
13.如图，点 、 分别是 、 的中点，则 ________．
2022学年第一学期期中质量检测九年级数学学科试卷
（完卷时间90分钟，满分150分）
一、选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分）
1.已知 ，那么 的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用比例的性质，进行计算即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
【答案】
【解析】【分析】点 、 分别是 、 的中点，可知 是 的中位线，则 ，即相似比是 ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得到 ，且 ，由此即可求解．
【详解】解：∵点 、 分别是 、 的中点，
∴ ， ， ，即 是 的中位线，
且 ，
∴ ，
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴ ，则 ，
∴ ，
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】【分析】（1）由 ， ，可得 ，根据相似三角形的性质可得 ，变形为 ，即可证明 ，得到 ，即可推导出 ，结合 即可证明 ；
（2）由 ，根据相似三角形的对应边成比例可得答案．
【小问1详解】
证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
比例性质、平行线分线段成比例、黄金分割压轴题六种模型—2023-2024学年九年级数学下(苏科版)
比例性质、平行线分线段成比例、黄金分割压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一 比例的性质之等比性质】 (1)【考点二 由平行判断成比例的线段】 (4)【考点三 由平行截线求相关线段的长或比值】 (6)【考点四 构造平行线截线求相关线段的长或比值】 (9)【考点五 利用黄金分割求线段的长】 (12)【考点六 与黄金分割有关的证明】 (13)【过关检测】 (18)【典型例题】【考点一 比例的性质之等比性质】【答案】6或3−【分析】分两种情况：当0x y z ++≠时，当0x y z ++=时，分别求出m 的值即可．【详解】解：当0x y z ++≠时，根据比例的等比性可得：3333336x y y z z x m z x y +++++==++； 当0x y z ++=时，可得x y z +=−，∴()333x y z m z z +−===−．【点睛】本题主要考查比例的等比性质，但需要注意对式子用等比性时一定要注意根据分母是否为0进行分类讨论．【变式训练】【答案】12【分析】根据比例的性质解答即可；【详解】解：由 0346x y z ==≠，可设 0346x y z k ==≠=，即 34,6x k y k z k ===，， 把3,4,6x k y k z k ===代入3131262x k y z k k ==−−，故答案为：12．【点睛】此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质解答．【答案】6【分析】将已知等式35a c e b d f ===变形为53b d f a c e ===，得到555,,333b a d c f e ===，代入计算即可． 【详解】解：∵35a c e b d f ===， ∴53b d f a c e ===， ∴555,,333b a d c f e ===， ∵10b d f ++=，∴55510333a c e ++=，∴()5103a c e ++=，∴6a c e ++=故答案为：6．【点睛】此题考查了比例的性质，正确理解题意得到555,,333b a d c f e ===是解题的关键．【答案】8或1−【分析】观察 ()()()a b b c c a c a b +++== 与 ()()()+++a b b c c a abc 发 现，后者是通过前者相乘得来，那么只要找出 ()()()a b b c c a c a b +++== 的值解出，因此设()()()a b b c c a k c a b +++=== 通过变换化为 ()(2)0a b c k ++−= 那么可能是 0a b c ++= 或 2k = 对这两种情况分别讨论；【详解】设,a b b c c a k c a b +++===则 ,,a b kc b c ka c a kb +=+=+=()()()a b b c c a kc ka +++++=+kb +2()()a b c k a b c ++=++即()(2)0a b c k ++−=所以 0 a b c ++=或2k =当0a b c ++=时，则,a b c +=−1, a b c +=−同理1, b c a +=−1c a b +=−所以()()()()a b b c c a a b abc c ++++=()()(1)(1)b c c a a b ++⨯⨯=−⨯−(1)1⨯−=− 当 2 k =时，()()()2a b b c c a c a b +++===所以()()()()a b b c c a a b abc c ++++=()()2228b c c a a b ++⨯⨯=⨯⨯=故答案为 8 或 -1【点睛】做好本题的关键是找出a 、b 、c 三个变量间的关系，因而假设,a b b c c a k c a b +++===做到这步已经成功了一半，因而同学们在解题中一定要仔细观察已知与结论找出其存在或隐含的关系【考点二 由平行判断成比例的线段】 九年级统考开学考试）如图，在ABC 中， A ．BD DF AD AC = B ．BF FC 【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例判断各项即可．【详解】解：A ．由DF AC ∥，得BD DF BA AC =，故A 选项错误； B ．由DF AC ∥，得BF BD FC DA =，又由DE BC ∥，得BD CE DA EA =，则 BF CE FCEA =，故B 选项错误，D 选项正确； C ．由DF AC ∥，得BF DF BC AC =，故C 选项错误；故选：D ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，平行于【变式训练】A ．AB DE AF EA = B ．【答案】D【分析】根据平行四边形的性质得出CD AB ∥，AD BC ∥，AD BC =，AB CD =，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可．【详解】解：A ．∵四边形ABCD 为平行四边形，∴CD AB ∥，AD BC ∥，AD BC =，AB CD =，∵CD AB ∥， ∴CD DE AF EA =， ∵AB CD =， ∴AB DE AF EA =，故A 正确，不符合题意； B ．∵AE BC ∥， ∴AE AF BC FB =， ∵AD BC =， ∴AE AF AD FB =，故B 正确，不符合题意； C ．∵AE BC ∥， ∴FA FE AB EC =，故C 正确，不符合题意；D ．∵AE BC ∥， ∴FA AE FB BC =， 即FA AE FA AB BC =+，∵AB CD =， ∴FA AE FA CD BC =+， ∴C FA CD AE B ≠，故D 错误，符合题意． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． 2．（2023秋·广东佛山·九年级统考期末）如图，直线a b c ∥∥，分别交直线m 、n 于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，下列结论不正确的是（ ）A ．AC BD CE DF =【答案】B【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【详解】解：a b c ∥∥，∴=AC BD CE DF ，AC BD AE BF =，CE DF AE BF =，AE BF AC BD =；∴选项A 、C 、D 正确，故选：B ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练运用平行线分线段成比例定理是解题的关键．【考点三 由平行截线求相关线段的长或比值】【答案】10【分析】利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．【详解】解：AB CD EF ，∴BE AF CE DF =，6CE =，4EO =，5BO =，6AF =，∴966DF =，4DF ∴=，6410AD AF DF ∴=+=+=．故答案为：10．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式训练】【答案】6【分析】由平行线所截线段对应成比例可知AB DE BC EF =，然后代入4DE =求解即可．【详解】解：∵AD BE CF ∥∥，∴23AB DE BC EF ==，∵4DE =，∴6EF =，故答案为：6．【点睛】本题主要考查平行线所截线段对应成比例，熟练掌握比例线段的计算是解决本题的关键． 分别在ABC 的边【答案】43/4:3/113【分析】设CG 、AB 交于点H ，结合2BD AD =可得BH DH AD ==；由平行线分线段成比例定理可得2AG BC =，即有2AG BC =，再证明EF CG ∥，进一步可得13AF AE AG AC ==，易知23AF BC =，可得43FG AG AF BC =−=，即可获得答案．【详解】解：如下图，设CG 、AB 交于点H ，∵2BD AD =，CG 平分线段BD ， ∴12BH DH BD AD ===，∵AF BC ∥， ∴2AG AH AD DH BC BH BH +===，∴2AG BC =，∵DE BC ∥，∴AED ACB ∠=∠，13AE AD AD AC AB AD BD ===+，∵EF 平分AED ∠，CG 平分ACB ∠ ∴12AEF AED ∠=∠，12ACG ACB ∠=∠，∴AEF ACG ∠=∠，∴EF CG ∥， ∴13AF AE AG AC ==， ∴1233AF AG BC ==， ∴24233FG AG AF BC BC BC =−=−=， ∴4433BC FG BCBC ==． 故答案为：43．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、平行线的判定、角平分线的定义等知识，熟练运用平行线分线段定理是解题关键．【考点四 构造平行线截线求相关线段的长或比值】 例题：（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在ABC 中，D 为BC 边的中点，点E 在线段AD 上，BE 的延长线交AC 边于点F ，若13AE ED ：＝：，2AF ＝，则线段FC 的长为 ．【答案】12【分析】过点D 作DG BF ∥于点G ,由平行线分线段成比例定理得AE AF ED FG =，求得6FG =，再结合中点进一步可得12GF GC FC ==，从而得到答案．【详解】解：如图，过点D 作DG BF ∥于点G ；则AE AF ED FG =； 而13AE ED =，2AF =， 6FG ∴=；D 为BC 边的中点，12GF GC FC ∴==，212CF FG ∴==，故答案为：12．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，正确构造平行线是解决此题的关键．【变式训练】 是ABC 边BC【答案】78/0.875【分析】过D 作DG BE ∥，交AC 于G ，依据平行线分线段成比例定理，即可得到::BD CD EG GC =，::DF AF EG AE =，进而可得CEAE 的值．【详解】解：如图所示，过D 作DG BE ∥，交AC 于G ，则::2:5BD CD EG GC ==，即：52CG EG =，72EC CG EG EG =+=，::1:4DF AF EG AE ==，即：4AE EG =，∴77248EG CE AE EG ==．故答案为：78．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．在ABC 中，【答案】32【分析】先过E 作EG BC ∥，交AD 于G ，再作∥DH A B 交CE 于H ，由平行线分线段成比例定理的推论，再结合已知条件，可分别求出EF FC 和AFFD 的值，相加即可．【详解】解：作EG BC ∥交AD 于G ，作∥DH A B 交CE 于H ，如图所示：∵:1:3AE EB =， ∴14AE AB =，∵EG BC ∥， ∴14EG AE BD AB ==， ∴14EG BD=，∵:2:1BD DC =， ∴12EG CD=，∵EG BC ∥， ∴12EF EG FC CD ==， ∵:2:1BD DC =， ∴13CD BC =， ∵∥DH A B ， ∴13DH CD BE BC ==， ∴13DH BE AE==， ∵∥DH A B ，∴1AF AEFD DH ==， ∴13122EF AF FC FD +=+=． 故答案为：32．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练的掌握平行线分线段成比例定理．【考点五 利用黄金分割求线段的长】例题：（2023·全国·九年级假期作业）一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为14cm ，则它的宽为（ ）【答案】D【分析】根据黄金比例求解即可．【详解】解：∵一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为14cm ，∴它的宽()147cm ==，故选：D ．【点睛】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是是解题的关键．【变式训练】【答案】C【分析】较长的线段MP 的长为x cm ，则较短的线段长是(2)cm x −．根据黄金分割的定义即可列方程求解． 【详解】解：较长的线段MP 的长为x cm ，则较短的线段长是(2)cm x −．则22(2)x x =−，解得1x =或1（舍去）．较短的线段长是21)3−=故选：C ．【点睛】本题考查了黄金分割，与一元二次方程的解法，正确理解黄金分割的定义是关键．2．（2023春·河南郑州·九年级郑州外国语中学校考开学考试）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P 是AB 的黄金分割点()AP BP >，若线段AB 的长为4cm ，则AP 的长为（ ）【答案】A【分析】根据黄金分割的定义可得AP =据此求解即可．【详解】解：∵P 是AB 的黄金分割点()AP BP >，4cm AB =，∴()42cm AP ==；故选：A ．【点睛】本题主要考查了黄金分割比例，熟知黄金分割比例是解题的关键．【考点六 与黄金分割有关的证明】九年级假期作业）ABC 中，ACD ABD ABCABDS SSS=，则称为ABC 的黄为ABC 的黄金分割线，则(2)若20ABCS=，求ACD 的面积．（结果保留根号）【答案】(1)见解析(2)30−【分析】（1）先由等高的两个三角形面积之比等于底之比，可得ABD ABCSBDS BC =，ACD ABDS CDSBD =，又因为ACD ABD ABCABDS S SS=，等量代换得出BD CDBC BD =，根据黄金分割点的定义即可证明D 是BC 的黄金分割点； （2）由（1）知BDCDBC BD =，那么BD =，DC BC BD BC BC =−==，又等高的两个三角形面积之比等于底之比ACD ABCSCD S BC ==，将20ABCS=代入，即可求出ACD 的面积．【详解】（1）证明：∵ABD ABCSBD S BC =，ACD ABDSCD SBD =，又∵ACD ABD ABCABDS S SS=，∴BD CDBC BD =， ∴D 是BC 的黄金分割点； （2）解：由（1）知BD CDBC BD =， ∴BD，∴DC BC BD BC =−==，∵ACD ABCSCD S BC ==，∴3535203022ACDABCSS =−−==−【点睛】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．也考查了三角形的面积．【变式训练】1．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，以长为2的定线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF PD =，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．(1)求,AM DM 的长；(2)点M 是AD 的黄金分割点吗？为什么？【答案】(1)AM 1，DM 的长为3 (2)点M 是AD 的黄金分割点，理由见解析【分析】（1）要求AM 的长，只需求得AF 的长，又AF PF AP =−，PF PD ==，则1,3AM AF DM AD AM ===−=（2）根据（1）中的数据得：AM AD=，根据黄金分割点的概念，则点M 是AD 的黄金分割点． 【详解】（1）在Rt APD 中，1,2AP AD ==，由勾股定理知∶PD∴1AM AF PF AP PD AP ==−=−=，3DM AD AM =−=故AM 1，DM 的长为3（2）点M 是AD 的黄金分割点．∵AM AD=， ∴点M 是AD 的黄金分割点．【点睛】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段,AM DM 的长，然后求得线段AM 和AD 之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）在直角三角形△ABD 中设BD x =则2AB x = ，利用勾股定理求出AD =，再求出)1AE x=，即)1AC x=，则AC AB=，即可得出结论；（2）若BD ＝1，则22AB BD == ，把AB 代入到AC AB =即可求出AC ，进而可求出BC ． 【详解】解：（1）∵BD ⊥AB ，∴△ABD 是直角三角形，∵BD ＝12AB ，∴设BD x =则2AB x = ，∴AD ，∵DE ＝DB ，AC ＝AE ， ∴DE x = ，∴)1AE x =∴)1AC x=，∴)12x ACAB x= ，故C 是线段AB 的黄金分割点． （2）若BD ＝1，则22AB BD == ，由（1）知AC AB =，∴2AC =，∴1AC = ，∴)213BC AB AC =−=−=．【点睛】本题考查黄金分割、勾股定理等知识，解题关键是正确理解题意，掌握黄金分割的定义．【过关检测】一、单选题【答案】B【分析】根据 12x y =，可以得到2y x =，代入x y x y −+即可求解； 【详解】解：∵12x y =， 2y x ∴=，21.233x y x x x x y x x x −−−∴===−++故选：B ．【点睛】把两个未知数的问题转化为一个未知数的问题，消元是解决本题的基本思想．九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中， A ．AD DGDB CG= B ．【答案】C【分析】根据平行四边形的性质得出DE BF =，,EF AB DE BC ∥∥，，根据相似三角形的判定得出DGE CGF ∽，再根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质逐个判断即可．【详解】解：A ．四边形BDEF 是平行四边形，DE BF ∴=，,EF AB DE BC ∥∥，∴AD AE BFDB EC FC ==，DGE CGF ∽， ∴DG DE BFCG CF CF ==，∴AD DGDB CG =，故本选项错误；B ．四边形BDEF 是平行四边形，DE BF ∴=，,EF AB DE BC ∥∥，∴AD AE BFDB EC FC ==，DGE CGF ∽， ∴EG DE BFGF CF CF ==，∴AD EGDB GF =，故本选项错误；C ．DE BC ∥，DE BF =，∴AD DE BF ADAB BC BC DB ==≠，故本选项正确；D ．,EF AB DE BC ∥∥Q DE BF =， ∴AD AE BF DEDB EC FC FC ===，故本选项错误； 故选：C ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．A ．32B ．【答案】A【分析】利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：∵AB EF CD ∥∥， ∴BE AFEC FD =， ∵2AO =，1OF =，2FD =， ∴2+13=22BE EC =， 故选：A ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例性质是解答的关键．4．（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图所示，3BE EC =，D 是线段AC 的中点，BD 和AE 交于点F ，已知ABC 的面积是28，求四边形DCEF 的面积（ ）A ．4B ．5C ．7D ．8【答案】B【分析】如图，过D 点作DH ∥，交BC 于H ，先证得EH CH =，再证明6BEEH =，由此得到11281422ABD ABC S S ==⨯=，根据3BE CE =， 求出ACE ∆的面积，即可得到答案．【详解】如图，过D 点作DH AE ∥，交BC 于H ，∵点D 是AC 的中点，∴1AD EH CD CH ==，即EH CH =，∵3BE CE =，∴32BE BE CE EH ==， ∴6BE EH =， ∴6BF BE DF EH ==， ∵11281422ABD ABC S S ==⨯=，∴1114277ADF ABD S S ==⨯=，∵3BE CE =，∴1128744ACE ABC S S ==⨯=， ∴725ACE ADF DCEF S S S =−=−=四边形，故选：B ．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例，三角形中线的性质，根据线段比的关系求出三角形的面积，题中由中点引出辅助线是解题的关键． ，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在ABC 中，，ABC 看，BCD 看作第二个黄金三角形；作，CDE 看作第三个黄金三角形；⋯⋯【答案】A【分析】由黄金三角形的定义得BC AB ==，同理BCD △是第二个黄金三角形，CDE 看作第三个黄金三角形，则2CD ==，得出规律，即可得出结论．【详解】1AB AC ==，36A ∠=︒，ABC 是第一个黄金三角形，∴底边与腰之比等于，即BC AB=，BC AB ∴=，同理：BCD △是第二个黄金三角形，CDE 是第三个黄金三角形，则2CD ==，即第一个黄金三角形的腰长为01=，第二个黄金三角形的腰长为第一个黄金三角形的腰长为1，第三个黄金三角形的腰长为，⋯，∴第2023个黄金三角形的腰长是20231−，即2022，故选：A ．【点睛】本题考查了黄金三角形，等腰三角形的性质，规律型等知识；熟练掌握黄金三角形的定义，得出规律是解题的关键．二、填空题【答案】53/213 【分析】设235a b c k ===，则2a k =，3b k =，5c k =，代入a b c a +−求解即可． 【详解】解：设235a b c k ===，则2a k =，3b k =，5c k =， ∴23555233a b k k k c a k k k ++===−−． 故答案为：53．【点睛】本题主要考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解答本题的关键． 7．（2023春·江苏淮安·九年级校联考阶段练习）如图，直线123l l l ∥∥，直线AC 和DF 被直线1l 、2l 、3l 所截，2AB =，5BC =，6EF =，则DE 的长为 ．【答案】125【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．【详解】解：直线123l l l ∥∥，AB DE BC EF ∴=，2AB =，5BC =，6EF =， 256DE ∴=，125DE ∴=，故答案为：125．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．【答案】35/0.6 【分析】根据题意可得333,,555a b c d e f ===，再代入，即可求解． 【详解】解：∵35a c e b d f ===， ∴333,,555a b c d e f ===， ∴2323a c eb d f −+−+3232335535b d f b d f −⨯+⨯=−+()335223b d f b d f −+=−+35=． 故答案为：35【点睛】本题考查比例的基本性质，能够熟练掌握整体代入思想是解决本题的关键．【分析】根据黄金分割定义，由黄金分割点的位置离A 近，根据黄金分割比列式求解即可得到答案．【详解】解：由题意可知，当黄金分割点C 离A 近，如图所示：20m AB =，∴由黄金分割比可知AC BC BC AB =，设m AC x =，则()20m BC x =−，代入得到202020xx x−=−， 解得123030x x =−=+经检验，123030x x =−=+30AC ∴=−3020AC =+>（舍弃）；综上所述，主持人站在离A 点(30m −处最自然得体，故答案为：(30−．【点睛】本题考查利用黄金分割解决实际问题，还考查了解分式方程，解一元二次方程，读懂题意，熟练掌握黄金分割比与黄金分割点是解决问题的关键．【答案】4或9/9或4【分析】分当52CE CF ==时，当52CE EF ==时，当CF EF =时三种情况求解即可． 【详解】当52CE CF ==时，如图，∵点F 为AC 的中点，∴25AC CF ==，∵四边形ABCD 是矩形，∴90D Ð=°，AB CD =，∴4AB CD =；当52CE EF ==时，如图，作FH CD ⊥于点H ，∵90D Ð=°，∴FH AD∥，∴1 CH CFHD AF==，∴CH DH=，∴EF是ACD的中位线，∴1322 FH AD==，∴2 HE==，∴92 CH HE CE=+=∴99922AB CD==+=；当CF EF=时，∵点F为AC的中点，∴DF CF=，∴DF EF=，∴点D与点E重合，∴52CD CE==，这与3AB CD=>矛盾，故不符合题意，舍去．综上可知，AB的长度为4或9．故答案为：4或9．【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形中位线的性质，以及平行线分线段成比例定理，分类讨论是解答本题的关键．三、解答题【答案】(1)2(2)10【分析】（1）利用等比性质，进行计算即可解答；（2）利用等比性质，进行计算即可解答．【详解】（1）解：2a c e b d f ===，且0b d f ++≠，∴2a c e b d f ++=++， ∴a c eb d f ++++的值为2；（2）解：2a c e b d f ===，∴23223a c e b d f −===−， ∴23223a c e b d f −+=−+，235b d f −+=，232510a c e ∴−+=⨯=，23a c e ∴−+的值为10．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键． 12．（2023秋·河北邢台·九年级统考阶段练习）如图，已知直线1l ，2l ，3l 分别截直线4l 于点A ，B ，C ，截直线5l 于点D ，E ，F ，且123l l l ∥∥．(1)如果4AB =，8BC =，12EF =，求DE 的长；(2)如果:2:3DE EF =，25AC =，求AB 的长．【答案】(1)6DE =(2)10AB =【分析】对于（1），根据平行线分线段成比例的性质得AB DE BC EF =，再代入计算； 对于（2），根据平行线分线段成比例得性质得AB DE BC EF =，再代入计算即可． 【详解】（1）∵123l l l ∥∥，4AB =，=8BC ，=12EF ， ∴AB DE BC EF =， 即4812DE =， 解得6DE =；（2）∵123l l l ∥∥，2=3DE EF ，=25AC ， ∴AB DE BC EF =， 即2253AB AB =−，解得10AB =．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，理解定理是解题的关键．即一组平行线被两条直线所截，所得的对应线段成比例．【答案】-9或6． 【分析】当a+b+c+d≠0时，依据等比性质可得2()3()a b c d a b c d ++++++=k ，当a+b+c+d=0时，得b+c+d=﹣a ，代入即可计算出k 的值．【详解】∵2222a b c d b c d a c d a b d a b c ===++++++++=k ，∴当a+b+c+d≠0时，由等比性质可得，2()3()a b c d a b c d ++++++=k ， k=2()3()a b c d a b c d ++++++=23；当a+b+c+d=0时，b+c+d=﹣a ，∴k=22a a b c d a =++−=-2；当k=23时，2222343433k k ⎛⎫−−=−⨯−=− ⎪⎝⎭509； 当2k =−时，()()223423246k k −−=−−⨯−−=．【点睛】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质． 14．（2023秋·全国·九年级专题练习）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.6．(1)求该女士下半身长x ；(2)为尽可能达到美的效果，求她应穿的高跟鞋的高度．（结果精确到0.1）【答案】(1)该女士下半身x 为99cm ；(2)她应穿的高跟鞋的高度为7.8cm ．【分析】（1）列式计算即可求解；（2）设需要穿的高跟鞋是cm y ，列方程求解即可．【详解】（1）解：1650.699cm x =⨯=；答：该女士下半身x 为99cm ；（2）解：设需要穿的高跟鞋是cm y ，则：()990.618165y y +=+，解得：7.8y ≈，答：她应穿的高跟鞋的高度为7.8cm ．【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用．明确黄金分割所涉及的线段的比是解题关键．15．（2023秋·四川自贡·九年级四川省荣县中学校校考阶段练习）阅读下面的材料：如图1，在线段AB 上找一点C ()AC BC >，若::BC AC AC AB =，则称点C 为线段AB 的黄金分割点，这我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图，在OEF 中，且12EF OE =，连接OF ；以F 为圆心，EF 长为半径作弧，【答案】(1)EF FH =，OH OP =(2)1OP =(3)见解析【分析】（1）由题意知，EF FH =，OH OP =，然后作答即可；（2）由勾股定理得OF =OP OH OF FH ==−，计算求解即可；（3）由1OP ，可得)2216OP ==−，)213PE OE OP =−=−=，(236OE PE ⋅=−=−2·OP OE PE =，即::PE OP OP OE =，进而结论得证．【详解】（1）解：由题意知，EF FH =，OH OP =，故答案为：EF FH =，OH OP =；（2）解：∵EF OE ⊥，∴90OEF ∠=︒∵2OE =，∴112EF OE ==，由勾股定理得OF =∵1FH EF ==∴1OP OH OF FH ==−，∴1OP ．（3）证明：∵1OP =，∴)2216OP ==−)213PE OE OP =−=−=−(236OE PE ⋅==−∴2·OP OE PE =，即::PE OP OP OE =，∴点P 是线段OE 的黄金分割点．【点睛】本题考查了画线段，勾股定理，黄金分割．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．为边AB 上的点，过点于点O ．若2AE =，中，点G 在DA 的延长线上，直线点G 是边AD 上任意一点，连接GB 、GC 分别交EF 于点M 、N ，则GMN ∆周长的最小值是 ．【答案】（1）2.7；（2）见解析；（33【分析】（1）ABCD Y ，AD BC ∥，EF AD ∥，EF AD BC ∥∥，AE GO EB OH =，即可求得OH ；（2）ABCD Y ，AD BC ∥，ODG OBC ∆∆∽，OD GO OB CO =，同理OBE ODC ∆∆∽，OD OC OB OE =，即可证明GO OC CO OE =；（3）过点C 作以AD 所在直线为对称轴的对称点C '，交AD 于点M '，易得GC GC '=，EF BC ∥，且E 、F 分别是边AB ，CD 的中点，MN 为GBC ∆的中位线，12MNG BCG C C ∆∆=，连接BC '，此时与AD 的交点G ，此时BCG ∆周长最小，根据勾股定理即可求出BCC '∆进而求出MNG C ∆作答．【详解】解（1）：ABCD ，AD BC ∴∥，又EF AD ∥，EF AD BC ∴∥∥，∴AE GO EB OH =，即2 1.83OH =， 2.7OH ∴=，故答案为：2.7；（2）证明：ABCD ，AD BC ∴∥，ADB CBD ∴∠=∠，DGO OCB ∠=∠，ODG OBC ∴∆∆∽，∴OD GO OB CO =，同理OBE ODC ∆∆∽，∴OD OC OB OE =， ∴GO OC CO OE =；（3）解：过点C 作以AD 所在直线为对称轴的对称点C '，交AD 于点M '，易得GC GC '=，如图，EF BC ∥，且E 、F 分别是边AB ，CD 的中点，MN ∴为GBC ∆的中位线，11()22MNG BCG C MN MG GN BC BG GC C ∆∆∴=++=++=，连接BC '，此时与AD 的交点G ，此时BCG ∆周长最小，60ABC ∠=︒，90BCC '∠=︒，30DCM '∴∠=︒，4CM '==2CC CM ''∴==在Rt AOE '中，BC '=111()6)3222MNG BCG C C BC BC ∆∆'∴==+==，3．【点睛】本题考查平行四边形的性质，中位线，平行线的性质，三角形等综合问题，解题的关键是对将军饮马问题的灵活运用．。
相似三角形知识点总结(初中数学)
图形的相似知识点一、比例的基本性质1.有关概念：如果d c b a ::=或dc b a =，那么a,b,c,d 成比例，其中b,c 称为比例内项，a,d 称为比例外项。
2.（1）若dc b a =，那么bc ad =。
（2）反比性质： a c b d b d a c=⇔=。
（3）合比性质：若d c b a =，那么dd c b b a ±=±。
（4）等比性质：若)0(≠+++===n d b n m d c b a ，那么b a n d b m c a =++++++ 。
知识点二、成比例线段在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称为比例线段。
知识点四、黄金分割把线段AB 分成两条线段AC,BC （AC>BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项，即AB AC AC BC =或2AC AB BC =⋅，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点． ==AB AC AC BC 618.0215≈-，称为黄金分割比。
知识点五、平行线分线段成比例的基本事实1.两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线截得的线段也相等。
如图所示，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC,DF 被直线l 1,l 2,l 3截得的线段分别为AB ，BC 和DE ，EF ，若AB=BC ，则DE=EF 。
2.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
如图所示，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC,DF 被直线l 1,l 2,l 3所截，那么DFEF AC BC DF DE AC AB EF DE BC AB ===,,。
知识点六、相似图形1.相似图形定义：直观上，把一个图形放大（或缩小）得到的图形与原图形是相似的。
相似的图形特点：形状相同，但大小不一定相等。
2.相似三角形的有关概念（1）定义：我们把三个角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形（如图所示）；（2）表示方法：ABC ∆和C B A '''∆相似，记作C B A ABC '''∆∆∽,读作ABC ∆相似于C B A '''∆，符号“∽”读作“相似于”。
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比例线段；黄金分割；平行线分三角形两边成比例
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
第十九章相似形
第一节比例线段
第二节黄金分割
第三节平行线分三角形两边成比例
二. 教学目标：
1. 了解成比例线段的概念，会判断已知线段是否成比例。
2. 了解比例的性质，会运用比例的性质进行简单的比例变形。
3. 了解黄金分割。
4. 掌握平行线截三角形两边成比例定理。
三. 教学重点、难点：
平行线截三角形两边成比例定理
四. 教学过程：
（一）知识要点：
1. 线段的比：
一般地，用同一长度单位（如米或厘米或毫米）去度量线段a,b所得的量数分别为m,n，
那么这两条线段的比为a：b=m：n，或a
b
m
n
=，其中a叫比的前项，b叫比的后项。
注：①用同一长度单位去度量。
②两条线段的比和所选用的长度单位无关。
③两条线段的比总是正数。
2. 成比例线段：
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
如a
b
c
d
=（或a：b=c：d）中，a、b、c、d叫四条线段成比例线段。
a、b、c、d叫做
组成比例的项，线段a、d叫比例外项，线段b、c叫做比例内项，线段d叫做a、b、c的第四比例项。
3. 比例的性质：
（1）比例的基本性质：
如果a：b=c：d，那么ad=bc，反之，若ad=bc且bd≠0，那么a：b=c：d。
（2）合比性质：
如果a
b
c
d
=，那么
a b
b
c d
d
+
=
+。
（3）分比性质：
如果a
b
c
d
=，那么
a b
b
c d
d
-
=
-。
补充：等比性质： 若a b c d e f b d f ===+++≠…，且…，则0a c e b d f a b
++++++=……。
4. 黄金分割： 若点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB BC AC
=，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫黄金比，
A C A
B =-+152≈0.618。
注：黄金分割重在实际问题中的应用。
5. 平行线截三角形两边成比例定理：
平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例。
如图：△ABC 中，EF//BC ∴A E B E A F F C A E A B A F A C
==，，… A
B C E
F
【典型例题】
例1. 已知：A 、B 两地的实际距离AB=5000m ，而画在地图上A 、B 两点距离A ＇B ＇=5cm ，求该地图的比例尺（即图上距离与实际距离的比）。
解：A B mc m A B c m
===50005000005''
∴==A B A B ''55000001100000
∴该地图的比例尺为1：100000
例2. 已知：a ：：235
=，求a 。
解：∵a ：2=3：5
∴5a=6（比例的基本性质）
∴a =65 例3. 若a b b c
a c m c c m ===，且，43，求
b 。
解：∵a b b c
a c m c c m ===，且，43 ∴=∴=∴=±43
1223
2b b b b ∵b>0 ∴b c m
=23
例4. 证明分比性质。
证明：∵a b c d =
∴-=-a b c d 11 ∴-=-a b b c d d
例5. 证明等比性质。
证明：设a b c d e f k ====… ∴===a b k c d k e f k
，，…， ∴++++++=++++++=++++++=a c e b d f b k d k f k b d f b d f k b d f
k ………………()
∴++++++=a c e b d f a b ……
例6. 已知：
a b b -=57，求a b 。
解：∵a b b -=57
∴-+=+a b b b 577
∴=a b 127
例7. 已知：
a b c d a bc d =≠≠（其中，），求证：a b a b c d c d +-=+-。
证法一：∵a b c d = ∴+=+-=-ab b cd d ab b cd d
，
a b c d -≠-≠00，
∴+÷-=+÷-a b b a b b cd d cd d 即a b a b c d c d +-=+-
证法二：设a b c d k ==
∴a=bk ，c=dk
∵a ≠b ，c ≠d
∴k ≠1 ∴+-=+-=+-=+-ab ab b kb b kb b k b k k k ()()1111
cd cd d kd d kd d k d k k k +-=+-=+-=+-()()1111
∴+-=+-a b a b c d c d
例8. 已知：a b c d e f
bdf ===+-=57，且。
求：ace +-。
解： a b c d e f
===5 ∴==--=a b c d e f
5 ∴+-+-=a c e b d f
5 b d f +-=7
∴+-=a c e 7
5
∴+-=⨯=a c e 5735
例9. 已知：
x y z xyz x 234==++=，求?
解：∵x y z 234==
∴++++=x y z x 2342
∴++=x y z x 92
例10. 已知：如图，△ABC 中，DE//BC ，EF//AB ，求证：
AD DB BF FC =。
证明：在△ABC 中，
∵DE//BC ∴A D D B A E A C =
∵EF//AB ∴AE EC BF FC = ∴AD DB BF FC
= 小结：本周研究了成比例线段、黄金分割、平行线截三角形两边成比例定理，这些内容都是很好地研究后续课的基础。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 求下列各式中的x ：
（1）x ：6=2：5
（2）1：x=2：7 （3）3：5=x ：4
（4）2：5=3：x 2. 已知：a b =53，则（1）a b b +=_________，（2）a b b
-=_________，（3）a b a b
+-=_________。
3. 已知：a b c d e f
===2，且ac e ++=5，则b d f ++=_________。
4. 已知：
=+-+-===f 3d b e 3c a 32f e d c b a ，则_________。
5. 已知：a b c a bc b
1232==+-=，则_________。
6. 已知：如图，△ABC 中，DE//BC ，AD=4，DB=3，AC=10。
求AE 、EC 。
A
B C D E
7. 已知：如图，△ABC 中，DE//AC ，DF//AB ，AE=2，BE=3，FC=3。
求AF 。
A
B C D
E F
【试题答案】
1. （1）x =125 （2）x =72 （3）x =125
（4）x =152 2. （1）83 （2）23
（3）4 3. 52
4. 23
5. 1
6. A E E C ==407307
，（提示：利用平行线截三角形两边成比例定理，有比例式AD DB AE EC
=，设AE=x ） 7. AF =92。