北京市西城区高三抽样测试数学试题(文科)

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2022年西城区高三一模数学试题+答案

西城区高三统一测试试卷数学答案及评分参考2022.4 第1页（共8页）西城区高三统一测试试卷数学答案及评分参考 2022.4一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（ 1 ）A （ 2 ）B （ 3 ）D （ 4 ）C （ 5 ）A （ 6 ）B （ 7 ）C （ 8 ）D （ 9 ）B （10）B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）2 （12）124（13）若1A F BE ⊥，则2ADF ABF S S =△△；若2ADF ABF S S =△△，则1A F BE ⊥.（14）①13 ②36 （15）①②④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）在中，因为cos a B c =,所以由正弦定理可得sin cos sin .A B B C = 因为A B C ++=π，所以.cos sin B A B =. 在ABC △中，sin 0B ≠，所以cos A 6A π= . ┄┄┄┄┄┄ 6分（Ⅱ）选条件①：因为在ABC △中，cos B =，所以sin B ==. 因为A B C ++=π，所以1sin sin()sin cos cos sin 2C A B A B A B =+=+=. ABC △sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+西城区高三统一测试试卷数学答案及评分参考设BC 边上高线的长为h ，则sin 1h b C ===. ┄┄┄┄┄┄13分选条件②：ABC △不唯一.选条件③：由余弦定理得 2222cos 932336a b c bc A π=+-=+-⨯=，所以a 所以ABC △为等腰三角形，6C A π==. 设BC 边上高线的长为h ，则13sin 322h b C ==⨯=. ┄┄┄┄┄┄13分（17）（共14分）解：（Ⅰ）证明：在矩形ABCD 中，//AB CD .因为⊄AB 平面CDE ，⊂CD 平面CDE ，所以//AB 平面CDE .因为⊥PA 平面ABCD ，⊥DE 平面ABCD ，所以//PA DE因为⊄PA 平面CDE ，⊂DE 平面CDE ，所以//PA 平面又因为⊂PA 平面PAB ，⊂AB 平面PAB ，PAAB A =. 所以平面//PAB 平面CDE .因为⊂BF 平面PAB ，所以//BF 平面CDE . ┄┄┄┄┄┄ 4分（Ⅱ）因为⊥PA 平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，⊂AB 平面ABCD ，所以⊥PA AD ，⊥PA AB .又因为ABCD 是矩形，⊥AD AB ，所以,,AD AB PA 两两垂直，如图建立空间直角坐标系-A xyz ，则(1,2,0)C ，(0,0,2)P ，(0,2,1)E ，所以(1,0,1)=-CE ，(0,2,1)=-PE .设平面PEC 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则西城区高三统一测试试卷数学答案及评分参考2022.4 第3页（共8页）0,0,⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩CE PE n n 即0,20.-+=⎧⎨-=⎩x z y z 令2=x ，则1=y ，2=z .于是(2,1,2)=n .取平面PEA 的法向量为(1,0,0)=m .则2cos ,||||3⋅〈〉==m n m n m n . 由图可知二面角C PE A --为锐角，所以二面角C PE A --的余弦值是23. ┄┄┄┄┄┄10分（Ⅲ）令线段AF 的长为t ，则(0,0,)F t ，[0,2]t ∈.所以(1,2,)=--CF t ，因为点F 到平面PCE的距离24||3CF t d ⋅-===nn . 所以24133t -=，即241t -=. 解得32t =或52t =（舍）. 所以线段AF 的长为32. ┄┄┄┄┄┄14分西城区高三统一测试试卷数学答案及评分参考2022.4 第4页（共8页）（18）（共13分）解：（Ⅰ）设选取的乘客在积水潭站上车、在牛街站下车为事件A ，由已知，在积水潭站上车的乘客有60人，其中在牛街站下车的乘客有20人，所以201()603P A ==. ┄┄┄┄┄┄ 3分（Ⅱ）由题意可知，0,1,2,3.X =318(0)1327P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭；2131212(1)3327P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；223126(2)3327P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；311(3)327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.随机变量X 的分布列为. ┄┄┄┄┄┄10分（Ⅲ）213D D D ξξξ<<.┄┄┄┄┄┄13分（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题设，c e a ==，解得2a =，1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ┄┄┄┄┄┄ 4分（Ⅱ）由221,4x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得 222(41)8440k x kmx m +++-=，由222(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+->，得22410k m -+>. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122841kmx x k +=-+，812610123127272727EX =⨯+⨯+⨯+⨯=西城区高三统一测试试卷数学答案及评分参考2022.4 第5页（共8页）212122282()224141k m my y k x x m m k k +=++=-+=++. 所以点M 的横坐标1224241M x x kmx k +==-+，纵坐标122241M y y my k +==+. 所以直线MN 的方程为22144141m km y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭.令0x =，则点N 的纵坐标2341N my k =-+所以 230,41m N k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭.因为(0,)P m ，所以点N 、点P 在原点两侧.因为2MOP MNP ∠=∠，所以MNO OMN ∠=∠，所以OM ON =. 又因为22222222224164141(41)km m k m m OMk k k +⎛⎫⎛⎫=-+=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 2222223941(41)m m ON k k ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，所以22222222169(41)(41)k m m m k k +=++，解得21619k +=，所以2k =±. ┄┄┄┄┄┄15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）若，则，. ①在处，，. 所以曲线在处的切线方程为. ┄┄┄┄┄┄ 4分②令()e 1e x x g x x =+-，，在区间(0,)+∞上，，则在区间(0,)+∞上是减函数. 又(1)10,g =>2(2)e 10,g =-+<，所以在(0,)+∞上有唯一零点.1a =()1e 1x x f x =-+2e 1e ()(e 1)x xx x f x +-'=+0x =2111(0)(11)2f +'==+(0)1f =-()y f x =0x =112y x =-()e xg x x '=-()0g x '<()g x ()g x 0x西城区高三统一测试试卷数学答案及评分参考2022.4 第6页（共8页）()'f x 与()f x 的情况如下：所以在(0,)+∞上有唯一极大值点.┄┄┄┄┄┄ 9分（Ⅱ）e ()e x x ax af x a--=+，令，则.①若，则，在上是增函数. 因为，，所以恰有一个零点.令，得.代入，得，解得.所以当时，的唯一零点为0，此时无零点，符合题意. ②若，此时的定义域为.当时，，在区间(,ln )a -∞上是减函数；当时，，在区间(ln ,+)a ∞上是增函数. 所以. 又，由题意，当，即时，无零点，符合题意. 综上，的取值范围是.┄┄┄┄┄┄15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）{}n a ，{}n c .┄┄┄┄┄┄ 5分（Ⅱ）若0d =，则由①可知211a a =，所以10a =∈Z 或11a =∈Z ，且公差0d =∈N .以下设0d ≠.由①，*1213,,,k l k l a a a a a a ∃∈==N ，两式作差得1321()()l k l k d a a a a a a d -=-=-=，因为0d ≠，所以1a l k =-∈Z . 由①，*2324,,,m n m n a a a a a a ∃∈==N ，0()e x h x a ax =+-()e xh x a '=-0a <()0h x '>()h x R 11(e 1)0a h a a ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭(1)e 0h =>()h x 0x 0e 0xa +=0ln()x a =-0()0h x =ln()0a a a a -+--=1a =-1a =-()h x ()f x 0a >()f x R ln x a <()0h x '<()h x ln x a >(0h '>()h x min ()(ln )2ln h x h a a a a ==-(0)10h a =+>2ln 0a a a ->20e a <<()f x a 2{1}(0,e )-西城区高三统一测试试卷数学答案及评分参考2022.4 第7页（共8页）两式作差得2432()()n m n m d a a a a a a d -=-=-=，因为0d ≠，所以2a n m =-∈Z . 因此，21d a a =-∈Z .若0d <，则等差数列{}n a 是递减数列，由①21a 为{}n a 中的项，因此，211a a ≤，解得101a ≤≤，由1a ∈Z 且公差d ∈Z ，所以10a =或1，1d -≤，41313(1)2a a d =++⨯-=-≤，由①，24a 为{}n a 中的项，且2241(2)4a a -=>≥，这与等差数列{}n a 递减矛盾，因此，0d <不成立. 综上，1a ∈Z 且公差d ∈N .┄┄┄┄┄┄10分（Ⅲ）因为公差*d ∈N ，所以1d ≥，即{}n a 是递增数列.若10a <，因为1a ∈Z ,所以*113,2a a --∈N ，则131111(2)(2)2-=+-+-=a a a a d a a ≥，且113112a a a a a -<≤，由①113a a a -为{}n a 中的项，这与等差数列{}n a 是递增数列矛盾. 因此，10a ≥，又由（Ⅱ）1a ∈Z ，故1a ∈N .由1a ∈N ,*d ∈N 知，*,0n n a ∀∈N ≥且{}n a 中存在一项为正整数，取最小的正整数项k a .则由②，*,i j ∃∈N ，使得i j k a a a =且1i ka a ≥≥，1j k a a ≥≥.因此2k i j k a a a a =≥，解得1ka ≤，又*ka ∈N ，故1k a =.因为{}n a 是递增数列，（ⅰ）若10a =，则2121k d a a a a =-===，此时1n a n =-. 因为*,i j ∀∈N ，(1)(1)1i j a a i j ij i j =--=--+，令2k ij i j =--+，有*k ∈N ，且i j k a a a =. 所以{}n a 满足条件①.因为*k ∀∈N ，令2i =，j k =有21i j k k k a a a a a a ==⨯=. 所以{}n a 满足条件②.（ⅱ）若10a ≠，则11k a a ==，1(1)n a n d =+-.西城区高三统一测试试卷数学答案及评分参考2022.4 第8页（共8页）因为*,i j ∀∈N ，11((1))((1))i j a a a i d a j d =+-+-2211(2)(1)(1)a i j da i j d =++-+--1((2)(1)(1))a i j i j d d =++-+--.令(2)(1)(1)1k i j i j d =+-+--+，则*k ∈N ，且i j k a a a =. 所以{}n a 满足条件①.因为*k ∀∈N ，令1i =，j k =，有11i j k k k a a a a a a ==⨯=. 所以{}n a 满足条件②.综上，1n a n =-或1(1)n a n d =+-.┄┄┄┄┄┄15分。

北京市西城区2023届高三一模数学试题

一、单选题二、多选题1.设集合，则（）A．B．C．D．2. 某国际高峰论坛会议中，组委会要从5个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，每个媒体团提问一次，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（）A ．150B ．90C ．48D ．363. 设，，，则a ，b ，c 的大小关系为（）．A．B．C．D．4. 高三年级有11名同学参加男子百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小亮同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道11名同学成绩的（）A ．平均数B ．方差C ．极差D ．中位数5. 如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，A 、B 、C 、D 是它们的公共点，且都在圆上，直线AB 与x 轴交于点P ，直线CP 与双曲线交于点Q ，记直线AC 、AQ的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为（）A ．2B．C ．3D ．46. 复数满足，为虚数单位，则下列说法正确的是（）A．B ．在复平面内对应的点位于第二象限C ．的实部为D ．的虚部为7. 已知无穷数列是各项均为正数且公差不为零的等差数列，其前n 项和为，则（）A．数列不可能是等差数列B ．数列不可能是等差数列C．数列不可能是等差数列D ．数列不可能是等差数列8.设，其中e 是自然对数的底数，则（）注：A．B．C．D．9. 已知直四棱柱，底面为矩形，，，侧棱长为，设为侧面所在平面内且与不重合的任意一点，则直线与直线所成角的余弦值可能为（）A．B．C．D．10. 已知，是上的两个动点，且.设，，线段的中点为，则（）北京市西城区2023届高三一模数学试题三、填空题四、解答题A．B．点的轨迹方程为C．的最小值为6D ．的最大值为11. 已知偶函数满足：，且当0≤x ≤2时，，则下列说法正确的是（）A ．－2≤x ≤0时，B ．点（1，0）是f (x )图象的一个对称中心C ．f (x )在区间[－10，10]上有10个零点D ．对任意，都有12. 黄金比例被公认为是最具美感的比例，其值为．已知椭圆的离心率，设坐标原点为，椭圆的右焦点为，左顶点为A ，下顶点为，过点且垂直于轴的直线交椭圆于点和，则（）A．B．C．D．13. 1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°），该点称为费马点.已知中，其中，，P 为费马点，则的取值范围是__________.14.已知为等腰直角三角形，，圆为的外接圆，，则___________；若P 为圆M上的动点，则的最大值为___________．15.若数列是公差为2的等差数列，，写出满足题意的一个通项公式______．16. 如图，已知菱形所在的平面与所在的平面相互垂直，，，，．(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.17. 已知椭圆的右焦点为，且是椭圆上一点.(1)求椭圆的方程；(2)若过的直线（与轴不重合）与椭圆相交于两点，过的直线与轴交于点，与直线交于点（与不重合），记的面积分别为，若，求直线的方程.18. 某机构为了了解不同年龄的人对一款智能家电的评价，随机选取了50名购买该家电的消费者，让他们根据实际使用体验进行评分.（Ⅰ）设消费者的年龄为，对该款智能家电的评分为.若根据统计数据，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，且年龄的方差为，评分的方差为.求与的相关系数，并据此判断对该款智能家电的评分与年龄的相关性强弱.（Ⅱ）按照一定的标准，将50名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请判断是否有的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关.好评差评青年816中老年206附：线性回归直线的斜率；相关系数，独立性检验中的，其中.临界值表：0.0500.0100.0013.841 6.63510.82819. 已知等比数列的公比为，前项和为，若，且.（1）求；（2）设数列的前项和为，求证：.20. 2018年至今，美国对“中兴”、“华为”等中国高科技公司进行疯狂的打压，引发国内“中国芯”研发热潮，但芯片的生产十分复杂，其中最重要的三种设备，刻蚀机、离子注入机、光刻机所需的核心技术仍被一些欧美国家垄断国内某知名半导体公司组织多个科研团队，准备在未来2年内全力攻关这三项核心技术已知在规定的2年内，刻蚀机、离子注入机和光刻机所需的三项核心技术，被科研团队攻克的概率分别为，，，各项技术攻关结果彼此独立．按照该公司对科研团队的考核标准，在规定的2年内，攻克刻蚀机离子注入机所需的核心技术，每项均可获得30分的考核分，攻克光刻机所需的核心技术，可获得60分的考核分，若规定时间结束时，某项技术未能被攻克，则扣除该团队考核分10分．已知团队的初始分为0分，设2年结束时，团队的总分为，求：（1）已知团队在规定时间内，将三项核心技术都攻克的概率为，求该团队恰能攻克三项核心技术中的一项的概率；（2）已知，求总分不低于50分的概率．21. 为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，某药物研究所科研人员从某市随机选取20000名志愿者，并将该疫苗注射到这些人体内，独立环境下试验一段时间后检测这些人的某项医学指标值，统计得到如表频率分布表：医学指标值X频率0.050.10.150.40.20.060.04（1）根据频率分布表，估计20000名志愿者的该项医学指标平均值(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；（2）若认为注射该疫苗的人群的此项医学指标值X服从正态分布，用（1）中的平均值近似代替，且，且首次注射疫苗的人该项医学指标值不低于14时，则认定其体内已经产生抗体；现从该市随机抽取3人进行第一次疫苗注射，求能产生抗体的人数的分布列与期望．。

2008届北京市西城区高三期末数学文科试题(WORD精校版)

西城区抽样测试高三数学（文科） 2008.1一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 已知集合{,}A a b =，{,,}B a b c =，{,,}C b c d =，那么集合()A B C 等于（） A. {,,}a b c B. {,,}a b d C. {,,}b c dD. {,,,}a b c d2. 已知向量a =(1,2)，向量b =(,2)x -，且a ⊥(a -b )，则实数x 等于（） A. 4- B. 4 C. 0 D. 93. 已知3sin 5α=，且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么2sin2cos αα的值等于（）A. 34-B. 34C. 32-D.324. 设函数2 0()() 0.x x f x g x x ⎧<=⎨>⎩，，，若()f x 是奇函数，则(2)g 的值是（）A. 14-B. 4-C. 14D. 45. 平面α⊥平面β的一个充分条件是（）A. 存在一条直线l l l αβ⊥⊥，，B. 存在一个平面////γγαγβ，，C. 存在一个平面γγαγβ⊥⊥，，D. 存在一条直线//l l l αβ⊥，， 6. 若直线l ：1y kx =-与直线10x y +-=的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（） A.(,1)-∞- B. (,1]-∞- C. (1,)+∞ D.[1,)+∞7. 将编号为1，2，3，4，5的五个球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为（）A. 6种B. 10种C. 20种D. 30种8. 对于任意实数a ，b ，定义, ,min{,}, .a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩设函数2()3, ()log f x x g x x =-+=，则函数()min{(),()}h x f x g x =的最大值是（）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 把答案填在题中横线上 .9. 椭圆22 1 4x y +=的离心率是_______ .10. 已知(2)n x +的展开式中共有5项，则=n _______，展开式中的常数项为_______（用数字作答）. 11. 已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =-，其中1,2,3,,n = 那么5a =______ . 12. 在ABC ∆中，已知2AC =，3BC =，5cos 13A =-，则sin B =_________ . 13. 已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,1,10,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩点O 为坐标原点，那么||PO 的最大值等于______，最小值等于__________ .14. 已知点(0,0)A，B ，(0,1)C . 设AD BC ⊥于D ，那么有CD CB λ=，其中λ=________ .三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 15.（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x x ωω=- (0ω>) 的最小正周期是π. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，且()0f x =，求x 的值.16.（本小题满分13分）设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列. （Ⅰ）求21a a 的值；（Ⅱ）若59a =，求n a 及n S 的表达式.17.（本小题满分13分）甲、乙两人进行投篮训练，已知甲投球命中的概率是12，乙投球命中的概率是35.假设两人投球命中与否相互之间没有影响.（Ⅰ）如果两人各投球1次，求恰有1人投球命中的概率；（Ⅱ）如果两人各投球2次，求这4次投球中至少有1次命中的概率. 18.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC CC ==，AC BC ⊥，点D 是AB 的中点.（Ⅰ）求证：11CD A ABB ⊥平面；（Ⅱ）求证：11//AC CDB 平面；（Ⅲ）求直线1B B 和平面1CDB 所成角的大小.19.（本小题满分14分）已知函数()|2|f x x x =-. （Ⅰ）解不等式()3f x <；（Ⅱ）设02a <<，求()f x 在[0]a ，上的最大值.20.（本小题满分14分）设点30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，动圆P 经过点F 且和直线32y =-相切 .记动圆的圆心P 的轨迹为曲线W . （Ⅰ）求曲线W 的方程；（Ⅱ）过点F 作互相垂直的直线12,l l ，分别交曲线W 于,A B 和,C D . 求四边形ACBD 面积的最小值 .西城区抽样测试高三数学（文科）参考答案 2008.1ABCDA 1B 1C 1一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1. D2. D3. C4. A5. D6. C7. B8. B 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.10.4 16； 11. 9 12. 81313.14. 14注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：()sin cos .4f x x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ………….. 3分0ω> ，()f x ∴的最小正周期是2πω.依题意得2ππω=， 2.ω∴= …………..6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得()2.4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭依题意得sin 204x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0,2x π≤≤ 所以32444x πππ-≤-≤，所以20.4x π-= 解得.8x π=………….. 12分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差是d .124 ,,S S S 成等比数列， 2214 S S S ∴=， ………….. 2分即 2111(2)(46)a d a a d +=+，化简得 212d a d =，注意到0d ≠， 1 2d a ∴=. ………….. 5分21111133.a a d a a a a +∴=== ………….. 7分（Ⅱ）解：511 499a a d a =+== ， 1 1a ∴=， 2.d = ………….. 9分1 (1)21n a a n d n ∴=+-=-. ………….. 11分 21().2n n n a a S n +== ………….. 13分17.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记 “甲投球1次命中”为事件A ，“乙投球1次命中”为事件B .根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率是13131()()()()()()1125252P A B P B A P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫+=+=⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ . ………….. 7分（Ⅱ）解：事件“两人各投球2次均不命中”的概率为11221225525P =⨯⨯⨯=， ………….. 10分∴ 两人各投球2次，这4次投球中至少有1次命中的概率为1241.2525-= ………….. 13分18.（本小题满分14分）解法一：（Ⅰ）证明：111 ABC A B C - 是直三棱柱，∴ 平面11.ABC A ABB ⊥平面AC BC =，点D 是AB 的中点，CD AB ∴⊥，11 CD A ABB ∴⊥平面. ………….. 4分（Ⅱ）证明：连结1BC ，设1BC 与1B C 的交点为E ，连结DE .D 是AB 的中点，E 是1BC 的中点，1 //.DE AC ∴ ………….. 7分111 DE CDB AC CDB ⊂⊄ 平面，平面，11 //.AC CDB ∴平面 ………….. 9分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知 11CD A ABB ⊥平面，111 CDB A ABB ∴⊥平面平面，且1111CDB A ABB DB = 平面平面，∴ 直线1B B 和平面1CDB 所成的角就是1B B 和1DB 所成的角，ABCDA 1B 1C 1E即1BB D ∠是直线1B B 和平面1CDB 所成的角. ………….. 12分在1Rt DBB ∆中，11 t a n 2DB BB D B B == ，∴ 直线1B B 和平面1CDB所成角的大小是arctan2. ………….. 14分解法二：在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC CC ==， AC BC ⊥， 1 AC BC CC ∴、、两两垂直 .如图，以C 为原点，直线1CA CB CC ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 . 设12AC BC CC ===.则1(0 0 0)(2 0 0)(0 2 0)(0 0 2)C A B C ，，，，，，，，，，，，1(0 2 2)B ，，，(1 1 0).D ，，（Ⅰ）证明：1 (1 10)(2 20)(0 02)CD AB B B ==-=- ，，，，，，，，，1 00CD AB CD B B ∴==，， 1.CD AB CD B B ⊥⊥，又1AB B B B = ， 11 CD A ABB ∴⊥平面. ………….. 4分（Ⅱ）证明：设1BC 与1B C 的交点为E ，则(0 1 1).E ，，1111 (1 0 1)(2 0 2) //.2DE AC DE AC DE AC =-=-∴=∴ ，，，，，，， ………….. 7分111 DE CDB AC CDB ⊂⊄ 平面，平面，11 //.AC CDB ∴平面 ………….. 9分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知 11CD A ABB ⊥平面，111 CDB A ABB ∴⊥平面平面，且1111CDB A ABB DB = 平面平面，∴ 直线1B B 和平面1CDB 所成的角就是1B B 和1DB 所成的角，即1BB D ∠是直线1B B 和平面1CDB 所成的角. ………….. 12分1 (1 1 2)B D =--，，，1111 cos B B BD B B B D B B BD∴〈〉==， ∴ 直线1B B 和平面1CDB所成角的大小是 ………….. 14分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：2222 |2| 3 2 3 2230230x x x x x x x x x x ≥<⎧⎧-<⇔⇔≤<<⎨⎨--<-+>⎩⎩，，或或，，，∴ 不等式()3f x <的解集为{|3}.x x < ………….. 5分（Ⅱ）解：22222(1)1 2()|2|2(1)1 2.x x x x f x x x x x x x ⎧-=--≥⎪=-=⎨-+=--+<⎪⎩，，，∴ ()f x 的单调递增区间是(1] [2)-∞+∞，和，；单调递减区间是[1 2]，. …………..8分（1）当10≤<a 时，()f x 是[0]a ，上的增函数，此时()f x 在[0]a ，上的最大值是()(2)f a a a =-； ………….. 11分（2）当21<<a 时，()f x 在[0 1]，上是增函数，在[1]a ，上是减函数，此时()f x 在[0]a ，上的最大值是(1)1f =. ………….. 14分20.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：过点P 作PN 垂直直线32y =-于点.N 依题意得||||PF PN =，所以动点P 的轨迹为是以30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，直线32y =-为准线的抛物线， ………….. 4分即曲线W 的方程是26.x y = ………….. 5分（Ⅱ）解：依题意，直线12,l l 的斜率存在且不为0，设直线1l 的方程为32y kx =+，由12l l ⊥ 得2l 的方程为132y x k =-+.将32y kx =+代入26x y =，化简得2690x kx --=. ………….. 8分设1122() () A x y B x y ，，，，则12126 9.x x k x x +==-，2 ||6(1)AB k ∴==+， ………….. 10分同理可得21||61.CD k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ………….. 11分∴四边形ACBD 的面积2222111||||18(1)1182722S AB CD k k k k ⎛⎫⎛⎫=⋅=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当 221k k =，即1k =±时，min 72.S = 故四边形ACBD 面积的最小值是72. ………….. 14分。

北京市西城区2024届高三下学期4月统一测试数学试卷(解析版)

西城区高三统一测试试卷数学2024.4本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集U =R ，集合{}{}3,22A x x B x x =<=-≤≤，则U A B =I ð（）A.()2,3 B.()(),22,3-∞-⋃ C.[)2,3 D.][(),22,3-∞-⋃【答案】B【解析】【分析】利用补集和交集运算求解即可.【详解】因为集合{}22B x x =-≤≤，所以{2U B x x =<-ð或}2x >，又集合{}3A x x =<，所以U A B =I ð{2x x <-或}23x <<=()(),22,3∞--⋃.故选：B2.下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.2y x x=+ B.cos y x =C.2xy = D.2log y x =【答案】D【解析】【分析】利用奇偶函数的判断方法及基本函数的单调性，对各个选项逐一分析判断，即可得出结果.【详解】对于选项A ，当1x =时，112y =+=，当=1x -时，110y =-=，即(1)(1)f f -≠，所以选项A 不满足题意，对于选项B ，因cos y x =在区间()0,∞+上不单调，所以选项B 不满足题意，对于选项C ，因为2x y =图象不关于y 轴对称，所以选项C 不满足题意，对于选项D ，因为2log y x =的定义域为()(),00,∞-+∞U ，关于原点对称，又22()log log ()f x x x f x -=-==，所以2log y x =为偶函数，当0x >时，22log log y x x ==，又2log y x =在区间()0,∞+上单调递增，所以选项D 满足题意，故选：D.3.622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为A.60- B.15-C.15D.60【答案】D【解析】【分析】写出二项式展开通项，整理后令x 的指数为0，得到相应的项数，然后算出常数项.【详解】622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()663166222rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令630r -=，得到2r =所以622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为()226260C -=，故选D 项.【点睛】对二项式展开通项的考查，题目难度不大，考查内容比较单一，属于简单题.4.已知抛物线C 与抛物线24y x =关于直线y x =对称，则C 的准线方程是（）A.=1x - B.2x =-C.1y =- D.=2y -【答案】C【解析】【分析】由对称性可得曲线C 方程，求出准线方程即可.【详解】因为抛物线C 与抛物线24y x =关于直线y x =对称，所以将,x y 互换后可得抛物线C 方程为24x y =，即242p p =⇒=，所以C 的准线方程为12p y =-=-，故选：C.5.设()11,,2a t b t c t t t t =-=+=+，其中10t -<<，则（）A.b a c <<B.c<a<bC.b<c<aD.c b a<<【答案】C【解析】【分析】借助正负性、对勾函数的性质及二次函数的性质判断即可得.【详解】由10t -<<，故()1,1t ∈-∞-，故10a t t =->，由对勾函数性质可得()1112b t t =+<-+=-，()20c t t =+<，且()()2222111c t t t t t =⋅+=+=+-≥-，综上所述，有b<c<a .故选：C.6.已知向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（）A.1- B.1 C.7- D.7【答案】A【解析】【分析】得出()1,3a b -=- 、()2,1c = 后借助向量数量积的坐标运算法则计算即可得.【详解】由图可得()1,3a b -=- ，()2,1c = ，故()()12311c a b ⋅-=⨯+-⨯=- .故选：A.7.已知函数()2,20x x x f x x c ⎧+-<<⎪=⎨≤<⎪⎩，若()f x 存在最小值，则c 的最大值为（）A.116 B.18 C.14 D.12【答案】A【解析】【分析】运用二次函数的性质求得20x -<<的最小值，再结合幂函数的单调性，由题意列出不等式，求解即可.【详解】当20x -<<时，2211()24f x x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，故当12x =-时，()f x 有最小值为14-；0x c ≤<时，()f x =()0f x <≤，由题意()f x 存在最小值，则14≥-，解得1016c <≤，即c 的最大值为116.故选：A8.在等比数列{}n a 中，00n a >．则“001n n a a +>”是“0013n n a a ++>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】结合等比数列的性质与充分条件与必要条件的定义判断即可的.【详解】设等比数列{}n a 的公比为0q ≠，当001n n a a +>时，即有00n n a q a >⋅，又00n a >，故1q <且0q ≠，当1q <-时，有0002311n n n a q a a +++=>，故不能得到0013n n a a ++>，即“001n n a a +>”不是“0013n n a a ++>”的充分条件；当0013n n a a ++>时，即有0002311n n n a q a a +++=<，即21q <且0q ≠，则001n n a q a +=⋅，当()1,0q ∈-时，由00n a >，故010n a +<，故001n n a a +>，当()0,1q ∈时，0001n n n a q a a +=⋅<，亦可得001n n a a +>，故“001n n a a +>”是“0013n n a a ++>”的必要条件；综上所述，“001n n a a +>”是“0013n n a a ++>”的必要不充分条件.故选：B.9.关于函数()sin cos2f x x x =+，给出下列三个命题：①()f x 是周期函数；②曲线()y f x =关于直线π2x =对称；③()f x 在区间[)0,2π上恰有3个零点．其中真命题的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】选项①，根据条件得到()2π()f x f x +=，即可判断出①的正误；选项②，根据条件得出(π)()f x f x -=，根据对称轴的定义，即可得出②的正误；选项③，令()0f x =，直接求出x 的值，即可得出③的正误，从而得出结果.【详解】对于①，因为()sin cos2f x x x =+，所以()2πsin(2π)cos2(2π)sin cos2()f x x x x x f x +=+++=+=，故2πT =，所以选项①正确，对于②，因为(π)sin(π)cos2(π)sin cos2()f x x x x x f x -=-+-=+=，由对称轴的定义知，π2x =为函数()f x 的一条对称轴，所以选项②正确，对于③，因为()2sin cos22sin sin 1f x x x x x =+=-++，令()0f x =，得到22sin sin 10x x -++=，解得1sin 2x =-或sin 1x =，又[)0,2πx ∈，由1sin 2x =-，得到7π6x =或11π6x =，由sin 1x =，得到π2x =，所以选项③正确，故选：D.10.德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率y 随时间t （小时）变化的趋势可由函数0.2710.6y t =-近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为（）（参考数据：lg20.30,lg30.48≈≈）A.2小时B.0.8小时C.0.5小时D.0.2小时【答案】C【解析】【分析】根据题设得到0.2756t =，两边取对数求解，即可得出结果.【详解】根据题意得0.27110.62t =-，整理得到0.2756t =，两边取以10为底的对数，得到5lg 0.27lg 6t =，即1lg 32lg 20.27lg t --=，又lg20.30,lg30.48≈≈，所以8lg 27t =-，得到827100.5t -=≈，故选：C.第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.若复数z 满足(12i)3i z +=+，则z =______【答案】【解析】【分析】利用复数的除法公式计算1i z =-，再计算模长即可.【详解】(12i)3i z +=+，则()()()()3i 12i 3i 55i 1i 12i 12i 12i 5z +-+-====-++-，故z ==..12.已知(),0,παβ∈．使()()tan tan αβαβ+<-成立的一组,αβ的值为α=__________；β=__________．【答案】①.π3②.π3（答案不唯一）【解析】【分析】任取一组(),0,παβ∈，验证是否满足()()tan tan αβαβ+<-即可得.【详解】取π3αβ==，此时()2πtan tan 03αβ+=<，()tan tan00αβ-==，故()()tan tan αβαβ+<-，符合要求.故答案为：π3；π3（答案不唯一）.13.双曲线22:13y M x -=的渐近线方程为__________；若M 与圆222:()0O x y r r +=>交于,,,A B C D 四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则r =__________．【答案】①.y =②.【解析】【分析】结合双曲线渐近线的定义与正方形的性质计算即可得.【详解】由22:13y M x -=，故其渐近线方程为1y x =±=；令(),A m n ，由题意可得m n =，即有2213m m -=，解得232m =，故222232r m n m ===+，即r =.故答案为：y =14.在数列{}n a 中，122,3a a ==-.数列{}n b 满足()*1n n n b a a n +=-∈N.若{}nb 是公差为1的等差数列，则{}n b 的通项公式为n b =______，n a 的最小值为______.【答案】①.6n -②.13-【解析】【分析】求出等差数列{}n b 的首项，直接求出{}n b 的通项公式即可，利用数列{}n a 的单调性得最小项为6a ，利用累加法即可求解.【详解】由题意1215b a a =-=-，又等差数列{}n b 的公差为1，所以()5116n b n n =-+-⋅=-；故16n n a a n +-=-，所以当6n ≤时，10n n a a +-≤，当6n >时，10n n a a +->，所以123456789a a a a a a a a a >>>>>=<<<⋅⋅⋅，显然n a 的最小值是6a .又16n n a a n +-=-，所以()()()()()612132435465a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+-+-()()()()()25432113=+-+-+-+-+-=-，即n a 的最小值是13-.故答案为：6n -，13-15.如图，正方形ABCD 和矩形ABEF 所在的平面互相垂直．点P 在正方形ABCD 及其内部运动，点Q 在矩形ABEF 及其内部运动．设2,1AB AF ==，给出下列四个结论：①存在点,P Q ，使3PQ =；②存在点,P Q ，使//CQ EP ；③到直线AD 和EF 的距离相等的点P 有无数个；④若PA PE ⊥，则四面体PAQE 体积的最大值为13．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①③④【解析】【分析】建立适当空间直角坐标系后，借助空间向量研究位置关系，结合距离公式、三棱锥体积公式逐项判断即可得.【详解】建立如图所示空间直角坐标系A FBD -，则有()0,0,0A 、()1,0,0F 、()0,2,0B 、()0,0,2D 、()0,2,2C 、()1,2,0E ，设()0,,P m n ，(),,0Q s t ，其中0,,2m n t ≤≤，01s ≤≤，对①：(),,PQ s t m n =-- ，则()222PQ s t m n =+-+ ，当1s =，2t n ==，0m =时，有1443PQ =++=，故存在点,P Q ，使3PQ =，故①正确；对②：(),2,2CQ s t =-- ，()1,2,EP m n =-- ，若//CQ EP ，则有()()222s m t sn ⎧-=--⎨=⎩，由0,,2m n t ≤≤，01s ≤≤，故当2sn =时，1s =，2n =，此时有()22m t -=--，即4m t +=，即2m t ==，此时Q 与E 重合，P 与C 重合，故不存在点,P Q ，使//CQ EP ，故②错误；对③：点P 到直线AD 的距离为m ，点P 到直线EF 的距离为，即有m =221m n -=，由0,2m n ≤≤，故其轨迹为双曲线的一部分，即点P 有无数个，故③正确；对④：()0,,AP m n = ，()1,2,EP m n =-- ，由PA PE ⊥，故有()220m m n -+=，则()[]22110,1n m =--∈，又1112122AB AQE FE S S ≤=⨯⨯= 矩形，故11113313P AQE AQE V S n -⨯≤⨯⨯==⨯ ，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：第④个结论的关键点在于借助四面体的体积公式，分别求出高与底面三角形的最大值.三､解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A ACC 为正方形，AB AC ⊥，2AB AC ==，D 为BC 的中点．（1）求证：1//A C 平面1AB D ；（2）若1A C AB ⊥，求二面角11D AB A --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3-【解析】【分析】（1）根据线线平行证明面面平行；（2）向量法求二面角.【小问1详解】如图，连接1A B ，设11A B AB E = ，连接DE ．因为在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11A ABB 是平行四边形，所以E 为1A B 的中点．因为D 为BC 的中点，所以1//DE AC ．又因为1A C ⊄平面1AB D ，DE ⊂平面1AB D ，所以1AC 平面1AB D ．【小问2详解】因为1AB A C ⊥，AB AC ⊥，又1AC AC C ⋂=，1AC ⊂平面11A ACC ，AC ⊂平面11A ACC ，所以AB ⊥平面11A ACC ，又因1AA ⊂平面11A ACC ，所以1AB AA ⊥．又1AA AC ⊥，所以AB ，AC ，1AA 两两相互垂直．如图建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()12,0,2B ，()1,1,0D ，()0,2,0C ．所以()12,0,2AB = ，()1,1,0AD = ．设平面1AB D 的法间量为(),,m x y z = ，则100m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即2200x z x y +=⎧⎨+=⎩，令=1x -，则1y =，1z =于是()1,1,1m =- ．因为AC ⊥平面11A ABB ，所以()0,2,0AC = 是平面11A ABB 的一个法向量．所以cos ,3m AC m AC m AC⋅== ．由题设，二面角11D AB A --的平面角为钝角，所以二面角11D AB A --的余弦值为3-．17.在ABC 中，tan 2sin a B b A =．（1）求B ∠的大小；（2）若8a =，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：BC ；条件②：2cos 3A =-；条件③：7b =．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）π3B ∠=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）借助正弦定理计算即可得；（2）选条件①或③：借助余弦定理与面积公式计算即可得；不可选条件②，不存在这样的ABC .【小问1详解】由tan 2sin a B b A =，得sin 2sin cos a B b A B =，在ABC 中，由正弦定理得sin sin 2sin sin cos A B A B B =，因为sin 0,sin 0A B >>，所以1cos 2B =，又0πB <∠<，所以π3B ∠=；【小问2详解】选条件①：BC ：设BC 边中点为M ，连接AM，则4AM BM ==，在ABM 中，由余弦定理得2222cos AM AB BM AB BM B =+-⋅⋅，即2π21168cos 3AB AB =+-⋅，整理得2450AB AB --=，解得5AB =或1AB =-（舍），所以ABC的面积为11πsin 58sin 223ABC S AB BC B =⋅⋅=⨯=，选条件③：7b =：在ABC 中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即222π7816cos3c c =+-⋅，整理得28150c c -+=，解得3c =或5c =，当3c =时，ABC的面积为11πsin 83sin 223ABC S ac B ==⨯⨯= ．当5c =时，ABC的面积为11πsin 85sin 223ABCS ac B ==⨯⨯=△．不可选条件②，理由如下：若2cos 3A =-，故A为钝角，则5sin 3A ==，则38sin 12152sin 53a Bb A ⨯===，224325b a =>，即b a >，其与A 为钝角矛盾，故不存在这样的ABC .18.10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击60发子弹，总环数排名前8的选手进入决赛．三位选手甲､乙､丙的资格赛成绩如下：环数6环7环8环9环10环甲的射出频数11102424乙的射出频数32103015丙的射出频数24101826假设用频率估计概率，且甲､乙､丙的射击成绩相互独立．（1）若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，说明理由；（2）若甲､乙各射击2次，估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率；（3）甲､乙､丙各射击10次，用()1,2,3i X i =分别表示甲､乙､丙的10次射击中大于a 环的次数，其中{}6,7,8,9a ∈．写出一个a 的值，使()()()321D X D X D X >>．（结论不要求证明）【答案】（1）甲进入决赛，理由见解析（2）13100（3）7a =或8【解析】【分析】（1）分别计算出甲和丙射击成绩的总环数，进行比较即可判断.（2）先根据题中数据，用频率估计概率分别得出甲、乙命中9环的概率和甲、乙命中10环的概率；再根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率公式即可求解.（3）根据题意可知()1,2,3i X i =服从二项分布，利用二项分布求出每一个a 对应的()()()321,,D X D X D X 即可解答.【小问1详解】甲进入决赛，理由如下：丙射击成绩的总环数为26471081892610542⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，甲射击成绩的总环数为16171082492410549⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．因为549542>，所以用样本来估计总体可得甲进入决赛．【小问2详解】根据题中数据：“甲命中9环”的概率可估计为242605=；“甲命中10环”的概率可估计为242605=；“乙命中9环”的概率可估计为301602=；“乙命中10环”的概率可估计为156041=．所以这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率可估计为：222221122212121113.5452524100C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【小问3详解】7a =或8．根据题中数据：当6a =时，在每次射击中，甲击中大于6环的的概率为5960p =；在每次射击中，乙击中大于6环的的概率为5760p =；在每次射击中，丙击中大于6环的的概率为5860p =；由题意可知：15910,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，25710,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，35810,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭.此时()15915901060603600D X =⨯⨯=，()257317101060603600D X =⨯⨯=，()358211601060603600D X =⨯⨯=，不满足()()()321D X D X D X >>.当7a =时，在每次射击中，甲击中大于7环的的概率为5860p =；在每次射击中，乙击中大于7环的的概率为5560p =；在每次射击中，丙击中大于7环的的概率为5460p =；由题意可知：15810,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，25510,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，35410,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭.此时()158211601060603600D X =⨯⨯=，()255527501060603600D X =⨯⨯=，()354632401060603600D X =⨯⨯=，满足()()()321D X D X D X >>.当8a =时，在每次射击中，甲击中大于8环的的概率为4860p =；在每次射击中，乙击中大于8环的的概率为4560p =；在每次射击中，丙击中大于8环的的概率为4460p =；由题意可知：14810,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，24510,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，34410,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭.此时()1481257601060603600D X =⨯⨯=，()2451567501060603600D X =⨯⨯=，()3441670401060603600D X =⨯⨯=，满足()()()321D X D X D X >>.当9a =时，在每次射击中，甲击中大于9环的的概率为2460p =；在每次射击中，乙击中大于9环的的概率为1560p =；在每次射击中，丙击中大于9环的的概率为2660p =；由题意可知：12410,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，21510,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，32610,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭.此时()1243686401060603600D X =⨯⨯=，()2154567501060603600D X =⨯⨯=，()3263488401060603600D X =⨯⨯=，不满足()()()321D X D X D X >>.所以7a =或8．19.已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的一个顶点为()2,0A -，离心率为12．（1）求椭圆G 的方程；（2）设O 为原点．直线l 与椭圆G 交于,C D 两点（,C D 不是椭圆的顶点），l 与直线2x =交于点E ，直线,AC AD 分别与直线OE 交于点,M N ．求证：=OM ON ．【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）结合题意，列出方程组计算即可得；（2）设直线l 为y kx m =+，联立椭圆方程可得与横坐标有关韦达定理，借助C 、D 两点坐标可表示出M x 、N x ，计算可得0M N x x +=，即可得解.【小问1详解】由题意可得222212a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆G 的方程为22143x y +=；【小问2详解】由题意可知直线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+．则()2,2E k m +，直线OE 的方程为2m y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()2224384120k x kmx m +++-=，由()22Δ48430k m =-+>，得2243m k <+，设()()1122,,,C x y D x y ，则21212228412,4343km m x x x x k k -+=-=++，直线AC 的方程为()1122y y x x =++，联立直线AC 和OE 得()11222y m x k x x ⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭，解得()()11111114244422M kx m y y x m mx k mx k k x y +===++⎛⎫++- ⎪⎝⎭，同理可得()2244N kx m x mx k +=+，所以()()()()()()12211244444M N kx m mx k kx m mx k x x mx k mx k ++++++=⨯++，因为()()()()122144kx m mx k kx m mx k +++++()()221212248kmx x k m x x km =++++()()()22222222412848430434343km m km k m km k k k k -++=-+=+++，所以0M N x x +=，即点M 和点N 关于原点O 对称，所以OM ON =．.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.20.已知函数()()1ln e x f x x ax x a=++．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率；（2）当1a =-时，讨论()f x 的单调性；（3）若集合(){}1xf x ≥-∣有且只有一个元素，求a 的值．【答案】（1）2e 2+（2）单调递增区间为(),1-∞-；单调递减区间为()1,0-（3）1a e =-【解析】【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求出结果；（2）对函数求导得到()()11e x f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭'，由函数()f x 定义域知1e 0x x -<，再利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果；（3）对函数求导得到()()1e 1x f x x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭'，再分0a >和a<0两种情况讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出函数的单调区间，结合条件，即可求出结果.【小问1详解】当1a =时，()ln e xf x x x x =++，所以()()111e x f x x x=+++',得到()12e 2f '=+，所以曲线()y f x =在点()(1,)1f 处切线的斜率为2e 2+．【小问2详解】当1a =-时，()()ln e xf x x x x =+--，易知()f x 的定义域为(),0∞-，又()()()1111e 1e x x f x x x x x ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭'，因为(),0x ∈-∞，所以1e 0x x -<，所以(),1x ∈-∞-时，()0f x ¢>，()1,0x ∈-时，()0f x '<所以()f x 的单调递增区间为(),1-∞-；单调递减区间为()1,0-．【小问3详解】因为()()1ln e x f x x ax x a =++，所以()()1e 1x f x x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭'，易知0a ≠，当0a >时，()f x 的定义域为()0,∞+，所以()0f x ¢>恒成立，故()f x 在()0,∞+上单调递增，又12111e 0a f a a a⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以0a >不合题意，当0a <时，()f x 的定义域为(),0∞-，此时1e 0xx a+<，所以(),1x ∈-∞-时，()0f x ¢>，()1,0x ∈-时，()0f x '<，故()f x 的单调递增区间为(),1-∞-，单调递减区间为()1,0-，所以()()max 1()11ln ef x f a a =-=-+--．设()()11ln (0)e g x x x x =-+--<，则()2211e 1e e x g x x x x +=+='，当1,e x ∞⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，1,0e x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，所以()g x 的单调递减区间为1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；单调递增区间为1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以min 1()1e g x g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以集合(){}1xf x ≥-∣有且只有一个元素时1a e =-．【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法：一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.21.对正整数3,6m n ≥≥，设数列{}()12:,,,,0,11,2,,n i A a a a a i n ∈= .B 是m 行n 列的数阵，ij b 表示B 中第i 行第j 列的数，{}()0,11,2,,;1,2,,ij b i m j n ∈== ，且B 同时满足下列三个条件：①每行恰有三个1；②每列至少有一个1；③任意两行不相同．记集合{11220i i n in i a b a b a b +++= 或}3,1,2,,i m = 中元素的个数为K ．（1）若111000:1,1,1,0,0,0,101100000111A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求K 的值；（2）若对任意{},1,2,,(),p q n p q B ∈< 中都恰有r 行满足第p 列和第q 列的数均为1．①B 能否满足3m r =？说明理由；②证明：()21424K n n ≥-．【答案】（1）2K =（2）①不满足，理由见解析；②证明见解析【解析】【分析】（1）记1122i i i n in t a b a b a b =+++ ，计算出1t 、2t 、3t 即可得；（2）①由题意可得B 中满足1ip iq b b ==的(),,i p q 的个数共有3m 个，亦可得其为2n rC 个，当3m r =时，可得2C 9n=，此方程无解，故不满足；②满足1ip iq b b ==，但p q a a ≠的(),,i p q 的个数为2C 23n r K ⎛⎫- ⎪⎝⎭，亦可得其为()rx n x -，即有()2C 23n r rx n x K ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，借助该等式表示出K 后放缩即可得.【小问1详解】记1122i i i n in t a b a b a b =+++ ，则11112123134145156163t a b a b a b a b a b a b +=+++=+，21212223234245256262t a b a b a b a b a b a b +=+++=+，31312323334345356360t a b a b a b a b a b a b +=+++=+，故2K =；【小问2详解】①B 不满足3m r =，理由如下：假设B 满足3m r =，因为B 的每行恰有三个1，故B 中满足1ip iq b b ==的(),,i p q 的个数共有3m 个，另一方面，从B 中任选两列共有2C n 种可能，且对任意两列，都恰有r 行使得这两列的数均为1，故B 中满足1ip iq b b ==的(),,i p q 的个数共有2n rC 个，所以23C n m r =，当3m r =时，得2C 9n =，此方程无解，所以B 不满足3m r =；②由①可得23C nm r =，即2C 3n r m =，下面考虑满足1ip iq b b ==，但p q a a ≠的(),,i p q 的个数：对B 中满足0i t ≠和3的m K -行，每行恰有两组(),p q 使1ip iq b b ==且p q a a ≠，所以满足1ip iq b b ==，但p q a a ≠的(),,i p q 的个数为()2C 223n r m K K ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，设数列A 中有x 项为1,n x -项为0，满足1ip iq b b ==，但p q a a ≠的(),p q 的个数为()x n x -，所以满足1ip iq b b ==，但p q a a ≠的(),,i p q 的个数为()rx n x -，所以()2C 23n r rx n x K ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以()()222C 33326n rx n x r r K x nx n n -=-=-+-()2222233146426424r n n r n n n n n n ⎛⎫⎛⎫≥-+-=-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，关键点在于结合定义，得到满足1ip iq b b ==，但p q a a ≠的(),,i p q 的个数为2C 23n r K ⎛⎫- ⎪⎝⎭且为()rx n x -.。

北京市西城区2001年抽样测试高三数学试卷(文科)2001.5

北京市西城区2001年抽样测试高三数学试卷（文科）2001.5一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

每小题选出答案后，用铅笔在下表中将对应答案标号涂黑。

1、已知集合{}1x |),(=+=y y x P ，{}1|),(22≤+=y x y x Q ，则（）.(A)Q P ⊂ (B)P =Q (C)Q P ⊃ (D)Q Q P =2、α，β均为第二象限角，且βαsin sin >，则下列不等式成立的是（）. (A)βαtg tg > (B) βαctg ctg < (C) βαcos cos > (D) βαsec sec >3、如右图，正方体ABCD –1111D C B A 中，EF 是异面直线AC 和D A 1的公垂线，则EF 和1BD 的关系是（）.（A ）相交不垂直（B ）相交垂直（C ）异面直线（D ）互相平行 4、设︒-︒=6sin 236cos 21a ，︒+︒=1311322tg tg b ，250cos 1︒-=c ，则有（）. (A) a >b >c (B)a <b <c (C)a <c<b (D)b <c <a5、设圆532222=+++y x y x 与x 轴交于A ，B 两点，则AB 的长为（）. (A)6 (B)62 (C)32 (D) 36、甲，乙，丙三个单位分别需要招聘工作人员2名、1名、1名，现从10名应聘人员中招聘4人到甲，乙，丙三个单位，那么不同的招聘方法共有（）. (A) 1260种 (B)2025种 (C) 2520种 (D) 5040种7、设n x x x x f )1()1()1()(2++++++= ，)(x f 中2x 的系数为n T ，则nn T n n 2lim3+∞→等于（）.(A)31 （B ）61（C ）1 （D ）28、直线03=+y x 绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆3)2(22=+-y x 的位置关系是（）.(A)直线与圆相切 (B) 直线与圆相交但不过圆心 (C)直线与圆相离 (D) 直线过圆心9、若)2,1(∈x 时，不等式x x a log )1(2<-恒成立，则a 的取值范围是（）. (A) (0,1) (B) (1,2) (C) (]2,1 (D) []2,110、某产品的总成本y （万元）与产量x （台）之间的函数关系式是),2400(1.02030002N x x x x y ∈<<-+=，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（）. (A) 100台 (B) 120台 (C)150台 (D) 180台11、已知方程12122=-+-my m x 表示焦点y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（）.(A) m <2 (B) 1<m <2 (C) m <–1或1<m <2 (D)m <–1或231<<m 12、对于已知直线a ，如果直线b 同时满足下列三个条件：（1）与a 是异面直线；（2）与a所成的角为定值θ；（3）与a 的距离为定值d . 那样，这样的直线b 有（）. (A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 无数条二、填空题：本大题共4小题，每小题4分。

北京市西城区2008年高三4月一模数学(文科)试题(WORD解析版)

西城区抽样测试高三数学（文科） 2008.4一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1. 若集合{||2|1}A x x =-<，{}(1)(4)0B x x x =--<，则下列结论正确的是（）A.A B =∅B.A B =RC.A B⊆ D.B A ⊆2. 已知向量a =，向量b =(1,-，那么a 与b 夹角的大小为（）A. 30︒B. 60︒C. 120︒D. 150︒ 3. 函数2(2)x y x x-=>的反函数的定义域为（） A. (0)+∞， B. (01)， C. (0)-∞， D. (10)-，4. 函数()sin cos 2f x x x π⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭的最小正周期是（） A.2πB. πC. 32πD. 2π5. 若双曲线221x ky +=的离心率是2，则实数k 的值是（）A.3B.13 C. 3- D. 13-6. 设a ∈R ，函数32()(3)f x x ax a x =++-的导函数是()f x '，若()f x '是偶函数，则曲线()y f x =在原点处的切线方程为（）A.3y x =-B. 2y x =-C. 3y x =D. 2y x = 7. 下列四个正方体图形中，A B 、为正方体的两个顶点，M N P 、、分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（）A. ①、③B. ②、③C. ①、④D. ②、④8. 设不等式组1123350x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，表示的平面区域是W ，则W 中的整点（即横、纵坐标均为整数的点）共有（）A. 85个B. 88个C. 91个D. 94个二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 把答案填在题中横线上 .9. 某体校有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本进行体能测试，则女运动员应抽出 _________ 人 . 10. 在10()x a -的展开式中，7x 的系数是15，则实数a =__________ .11. 数列{}n a 的通项公式为2 (123)nn a n n =+= ，，，，则{}n a 的前n 项和n S =_______________ .12. 设函数22()log log (1)f x x x =+-，则()f x 的定义域是__________；()f x 的最大值是_______ .13. 已知A B C ，，三点在球心为O ，半径为3的球面上，且几何体O ABC -为正四面体，那么A B ，两点的球面距离为________；点O 到平面ABC 的距离为__________ .14. 设点(0)A b ，，F 是抛物线24y x =的焦点，若抛物线上的点M 满足M F M A M O ++=0（O 为坐标原点），则b =_________ .三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 15.（本小题满分12分）在ABC ∆中，cos 5A =，cos 10B =. （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）设AB =，求AB 边上的高.16.（本小题满分13分）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球. 规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得1-分 . 现从盒内任取3个球.（Ⅰ）求取出的3个球颜色互不相同的概率；（Ⅱ）求取出的3个球得分之和是正数的概率.17.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB =，30PA PB AB BC BAC ⊥⊥∠=︒，，，平面PAB ⊥平面ABC .（Ⅰ）求证：PA BC ⊥；（Ⅱ）求PC 的长度；（Ⅲ）求二面角P AC B --的大小 .18.（本小题满分13分）用总长14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果容器底面的长比宽多0.5 m ，那么长和宽分别为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积 .19.（本小题满分14分）已知定点)01(，-C 及椭圆5322=+y x ，过点C 的动直线与椭圆相交于A B ，两点. （Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标是12-，求直线AB 的方程；（Ⅱ）设点M 的坐标为703⎛⎫- ⎪⎝⎭，，求⋅的值 .20.（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的各项均为整数，其公差0d ≠，65=a . （Ⅰ）若2100a a ⋅>，求d 的值；（Ⅱ）若23=a ，且，，，，，，t n n n a a a a a 2153 )5(21 <<<<<t n n n 成等比数列，求t n ；（Ⅲ）若，，，，，，t n n n a a a a a 2153 )5(21 <<<<<t n n n 成等比数列，求1n 的取值集合.西城区抽样测试高三数学（文科）参考答案 2008.4一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1. C2. D3. B4.B5. D6. A7.C8. C二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9. 12 10. 12-11. 1(1)222n n n +++- 12.(01)，；2- 13. π 14.±注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分；两解的题目少一解给2分，有错解不给分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：由cos A =，cos B =，得02A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、，，所以sin sinA B == ………….. 3分因为c o 2C Aπ=-， ………….. 6分且0C π<<，故.4C π=………….. 7分（Ⅱ）解：根据正弦定理得sin sin sin sin AB AC AB B AC C B C ⋅=⇒==， ………….. 10分所以AB边上的高为sin 5AC A ⋅=………….. 12分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记 “取出1个红色球，1个白色球，1个黑色球”为事件A ，则11123439C C C 2()C 7P A ==. …………..5分（Ⅱ）解：先求取出的3个球得分之和是1分的概率1P ：记 “取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C ，则1221232413399C C C C 5()()()C C 42P P B C P B P C =+=+=+=； ………….. 9分记 “取出2个红色球，1个白色球”为事件D ，则取出的3个球得分之和是2分的概率：2123239C C 1()C 28P P D ===. ………….. 11分所以，取出的3个球得分之和是正数的概率125113422884P P P =+=+=. ………….. 13分17.（本小题满分14分）解法一：（Ⅰ）证明：平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB 平面ABC AB =，且BC AB ⊥，BC PAB ∴⊥平面 . ………….. 3分PA PAB ⊂ 平面，PA BC ∴⊥. ………….. 4分（Ⅱ）解：PA PB == ，PA PB ⊥，AB ∴=.30AB BC BAC ⊥∠=︒ ，，tan302BC AB ∴=⋅︒=. ………….. 7分BC ⊥ 平面PAB ，BC PB ∴⊥，PC ∴== ………….. 9分（Ⅲ）解：作PO AB ⊥于点O ，OM AC ⊥于点M ，连结PM .平面PAB ⊥平面ABC ，PO ABC ∴⊥平面，根据三垂线定理得 PM AC ⊥，PMO∴∠是二面角P A--的平面角. ………….. 12分在Rt AMO ∆中， sin 302AOOM AO =⋅︒=，易知POAO =，t a n 2P O A OP M O O M O M∴===， ………….. 13分即二面角P A--的大小是arctan 2. ………….. 14分解法二：作PO AB ⊥于点O ，平面PAB ⊥平面ABC ，PO ABC ∴⊥平面 .过点O 作BC 的平行线，交AC 于点D .如图，以O 为原点，直线OD OB OP ，，分别为x 轴， y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 . ………….. 2分PA PB == ，PA PB ⊥，AB PO BO AO ∴====， 30AB BC BAC ⊥∠=︒ ，，tan302BC AB ∴=⋅︒=.(0 0 0)(0 0)(0(2O A B C ∴，，，，，，，(0 0P ，(1 0 0).D ，， ………….. 4分（Ⅰ）证明：(0 (2 00)PA BC == ，，，，，0PA BC ∴=，PA BC ∴⊥. ………….. 7分（Ⅱ）解：(2PC =，PC ∴==即线段PC的长度为………….. 10分（Ⅲ）解：作OM AC ⊥于点M ，连结PM .PO ABC ⊥ 平面，根据三垂线定理得 PM AC ⊥，PMO∴∠是二面角P A--的平面角. ………….. 12分在Rt AMO ∆中，sin 302AO OM AO =⋅︒==3 04M ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，，从而33044MO MP ⎛⎫⎛=-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝ ，，cos MO MP MO MP MO MP∴〈〉==，， ………….. 13分即二面角P A--的大小是. ………….. 14分18.（本小题满分13分）解：设容器底面长方形宽为mx ，则长为(0.x +， ………….. 1分依题意，容器的高为1[14.844(0.5)] 3.22.4x x x --+=- ………….. 3分显然0 01.63.220x x x >⎧⇒<<⎨->⎩，，，即x的取值范围是(01.6)，. ………….. 5分记容器的容积为3m y ，则32(0.5)(3.22)2 2.2 1.6y x x x x x x =+-=-++ (01.6)x ∈，. ………….. 7分求导数得，2'6 4.4 1.6.y x x =-++ ………….. 9分令'0y >，解得01x <<；令'0y <，解得1 1.6x <<.所以，当1x =时，y 取得最大值1.8，这时容器的长为5.15.01=+. ………….. 12分答：容器底面的长为5.1m 、宽为1m 时，容器的容积最大，最大容积为31.8 m . ………….. 13分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)y k x =+，将(1)y k x =+代入5322=+y x ，消去y整理得2222(31)6350.k x k x k +++-= ………….. 2分设1122() ()A x yB x y ，，，，则4222122364(31)(35)0 (1)6. (2)31k k k k x x k ⎧∆=-+->⎪⎨+=-⎪+⎩， ………….. 4分由线段AB 中点的横坐标是12-，得2122312312x x k k +=-=-+，解得k =，适合(. ………….. 5分所以直线AB的方程为10x -+=，或10x ++=. ………….. 6分（Ⅱ）解： ①当直线AB与x轴不垂直时，由（Ⅰ）知22121222635. (3)3131k k x x x x k k -+=-=++，所以2121212127777(1)(1)3333MA MB x x y y x x k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+++=+++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2221212749(1)().39k x x k x x k ⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭ ………….. 8分将(3)代入，整理得2222227(1)(35)(6)493319k k k k MA MB k k ⎛⎫+-++- ⎪⎝⎭⋅=+++ 4.9= ……….. 11分② 当直线AB 与x 轴垂直时，此时点A B ，的坐标分别为11⎛⎛-- ⎝⎝、，此时亦有4.9MA MB ⋅=综上，4.9MA MB ⋅= (14)分20.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为等差数列{}n a 的各项均为整数，所以d ∈Z . ………….. 1分由2100a a ⋅>，得55(3)(5)0a d a d -+>，即(36)(56)0d d -+<，解得625d -<<. 注意到d ∈Z ，且0d ≠，所以1d =-，或1.d = ………….. 3分（Ⅱ）解：由23=a ，65=a ，得53253a a d -==-，从而3(3)2(3)224n a a n d n n=+-=+-⨯=-，故24t n t a n =-. ………….. 5分由，，，，，，t n n n a a a a a 2153成等比数列，得此等比数列的公比为533a a =，从而113323.t t t n a a ++=⋅=⋅由12423t t n +-=⋅，解得132t t n +=+，123t = ，，，. ………….. 7分（Ⅲ）解：由5336532a a a d --==-，得113313(3)(6)(3)2n n a a a n d a --=+-=+. 由，，，，，，t n n n a a a a a 2153成等比数列，得1253336n a a a a ==.由1333(3)(6)362n a a a --+=，化简整理得13125.n a =+………….. 9分因为15n >，从而30a >，又1n ∈Z 且0d ≠，从而3a 是12的非6的正约数，故3123412.a =，，，， ………….. 10分 ① 当31a =或33a =时，3542a a a +=∉Z ，这与{}n a 的各项均为整数相矛盾，所以，31a ≠且33a ≠. ………….. 11分 ② 当34a =时，由11253 9n n a a a a =⋅⇒=，但此时1225n n a a a =∉Z ，这与{}n a 的各项均为整数相矛盾，所以，34a ≠. ………….. 12分③ 当312a =时，同理可检验2n a ∉Z ，所以，312a ≠. ………….. 13分当23=a 时，由（Ⅱ）知符合题意. 综上，1n 的取值只能是111n =，即1n 的取值集合是{11}. ………….. 14分。

北京市西城区2002届高三文科数学一模试题

北京市西城区2002年抽样测试高三数学试卷（文科）（2002.5）参考公式：三角函数的和差化积公式球体的体积公式2c o s2s i n 2s i n s i n βαβαβ-+=+a334R V π=球 2s i n 2c o s 2s i n s i n βαβαβ-+=-a 其中R 表示球的半径2c o s 2c o s 2c o s c o s βαβαβ-+=+a2s i n 2s i n 2c o s c o s βαβαβ-+-=-a一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

请选出正确答案。

1．已知集合{}0|2>-=x x x M ，}1|{≥=x x N ，则M ∩N= （） A. {x|x ≥1} B.{x |x>1 } C.Φ D. {x|x<0 或x>1} 2．已知)2sin()(π+=x x f ，)2cos()(x x g -=π，则f(x)的图象（）A.与g(x)的图象相同B.与g(x)的图象关于y 的轴对称C.是由g(x)的图象向左平移2π个单位得到的 D.是由g(x)的图象向右平移2π个单位得到的3．复数i 623-的幅角主值是（） A.32π B. 611π C.65π D. 35π 4．已知直线03:1=++ay x l 与直线012:2=+-y x l 垂直，则a 的值为（） A.2 B.-2 C.21-D.215．函数)0(12≤+=x x y 的反函数是（） A.1-=x y B.1+=x y C.1--=x x D. 1+-=x y6．某乒乓球队共有男女队员18人，现从中选出男女队员各一人组成一对双打组合由于在男队员中有两人主攻单打项目，不参与双打组合，这样一共有64种组合方式，则乒乓球队中男队员的人数为 ( )A. 10人B. 8人C. 6人D. 12人7．一个圆柱的轴截面是正方形，其体积与一个球的体积之比为3:2。

北京市西城区2010年高三抽样测试数学试题(文科)2010[1].5

北京市西城区2010年高三抽样测试数学试题（文科）2010．5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合{2,3,4}A =，{2,4,6}B =，若x A ∈且x B ∉，则x 等于A ．2B ．3C ．4D ．62. 已知命题:,cos 1p x x ∀∈≤R ，则A ． :,cos 1p x x ⌝∃∈≥RB ．:,cos 1p x x ⌝∀∈≥RC ． :,cos 1p x x ⌝∃∈>RD ．:,cos 1p x x ⌝∀∈>R3. 设变量,x y 满足约束条件3,1,x y x y +≥⎧⎨-≥-⎩则目标函数2z y x =+的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．44. “ln 1x >”是“1x >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱1A A ⊥底面ABC ，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为A． B． C． D ．46. 在数列{}n a 中，11a =，1n n a a n -=+，2n ≥．为计算这个数列前10项的和，现给出该问题算法的程序框图（如图所示），则图中判断框（1）处合适的语句是A ．8i ≥B ．9i ≥C ．10i ≥D ．11i ≥7. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若70a >，80a <，则下列结论正确的是A ．78S S <B ．1516S S <C ．130S >D ．150S >正（主）视图ABCA 1B 1C 18. 给出函数()f x 的一条性质：“存在常数M ，使得()f x M x ≤对于定义域中的一切实数x 均成立.”则下列函数中具有这条性质的函数是 A ．1y x=B ．2y x =C ．1y x =+D ．sin y x x =二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. i 是虚数单位，i 2i=+_____.10. 函数sin cos y x x =+的最小正周期是_________，最大值是________.11. 在抛物线22y px =上，横坐标为2的点到抛物线焦点的距离为3，则p =________. 12. 圆心在x 轴上，且与直线y x =切于(1,1)点的圆的方程为________. 13. 设,,a b c 为单位向量，,a b 的夹角为60 ，则⋅+⋅a c b c 的最大值为________.14. 我们可以利用数列{}n a 的递推公式2,,n n n n a a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数时，为偶数时（n ∈*N ）求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数.则2425a a +=_________；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第_____项.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分12分）在A B C ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3cos 4A =，2C A =.（Ⅰ）求cos C 的值；（Ⅱ）若24ac =，求,a c 的值.在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；……第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.在选取的40名学生中，（Ⅰ）求成绩在区间[80,90)内的学生人数；（Ⅱ）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有1名学生成绩在区间[90,100]内的概率.17.（本小题满分13分）如图，已知四棱柱1111ABC D A B C D -的底面是菱形，侧棱1B B ⊥底面A B C D ，E 是侧棱1C C 的中点. （Ⅰ）求证：A C ⊥平面11BD D B ；（Ⅱ）求证：//A C 平面1B D E .ABDA 1B 1C 1D 1EC已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的离心率为3，椭圆C 上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线:2l y kx =-与椭圆C 交与,A B 两点，点(0,1)P ，且PA PB =，求直线l 的方程.19.（本小题满分14分）设函数2()f x x a =-.（Ⅰ）求函数()()g x xf x =在区间[0,1]上的最小值；（Ⅱ）当0a >时，记曲线()y f x =在点11(,())P x f x （1x >l ，l 与x 轴交于点2(,0)A x ，求证：12x x >>20.（本小题满分14分）如果由数列{}n a 生成的数列{}n b 满足对任意的n ∈*N 均有1n n b b +<，其中1n n n b a a +=-，则称数列{}n a 为“Z 数列”.（Ⅰ）在数列{}n a 中，已知2n a n =-，试判断数列{}n a 是否为“Z 数列”；（Ⅱ）若数列{}n a 是“Z 数列”，10a =，n b n =-，求n a ；（Ⅲ）若数列{}n a 是“Z 数列”，设,,s t m ∈*N ，且s t <，求证：t m s m t s a a a a ++-<-.北京市西城区2010年抽样测试参考答案高三数学试卷（文科） 2010.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BCDABCCD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 12i 55+10. 2π11. 2 12. 22(2)2x y -+=13.14. 28,640注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分.三、解答题：（本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.） 15、解：（Ⅰ）因为3cos 4A =，所以2cos cos 22cos 1C A A ==- …………………3分2312()148=⨯-=. …………………5分（Ⅱ）在A B C ∆中，因为3cos 4A =，所以sin 4A =…………………7分因为1cos 8C =，所以sin 8C ==， …………………9分根据正弦定理sin sin ac AC=， …………………10分所以23a c =，又24ac =，所以4,6a c ==. …………………12分 16、解：（Ⅰ）因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间[80,90)的频率为1(0.00520.0150.0200.045)100.1-⨯+++⨯=， …………………3分所以，40名学生中成绩在区间[80,90)的学生人数为400.14⨯=（人）.…………………5分（Ⅱ）设A 表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选两名学生，至少有一名学生成绩在区间[90,100]内”，由已知和（Ⅰ）的结果可知成绩在区间[80,90)内的学生有4人，记这四个人分别为,,,a b c d ，成绩在区间[90,100]内的学生有2人， …………………7分记这两个人分别为,e f ，则选取学生的所有可能结果为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a c a d a e a f b c b d b e b f (,),(,),(,)c d c e c f ， (,),(,),(,)d e d f e f基本事件数为15， …………………9分事件“至少一人成绩在区间[90,100]之间”的可能结果为：(,),(,),(,),(,),a e a f b e b f (,),(,),(,),(,),(,)c e c f d e d f e f ，基本事件数为9， …………………11分所以93()155P A ==. …………………13分17、证明：（Ⅰ）因为A B C D 是菱形，所以A C B D ⊥，因为1B B ⊥底面A B C D ，所以1BB AC ⊥， …………3分所以A C ⊥平面11BD D B . …………5分（Ⅱ）设A C ,B D 交于点O ，取1B D 的中点F ，连接,OF EF ，则1//O F BB ，且112O F B B =，又E 是侧棱1C C 的中点，112E C C C =，11//BB C C ，11BB CC =，所以1//O F C C ，且112O F C C =, …………………7分所以四边形O C E F 为平行四边形，//O C E F ， …………………9分又A C ⊄平面1B D E ，E F ⊂平面1B D E ， ………………11分所以//A C 平面1B D E . ………………13分 18、解：（Ⅰ）由已知26a =，3c a=， …………………3分解得3a =，c =所以2223b a c =-=， …………………4分所以椭圆C 的方程为22193xy+=. …………………5分（Ⅱ）由221,932x yy kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得，22(13)1230k x kx +-+=，直线与椭圆有两个不同的交点，所以2214412(13)0k k ∆=-+>，AB DA 1B 1C 1D 1ECOF解得219k >. …………………7分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1221213k x x k+=+，122313x x k=+， …………………8分计算121222124()441313k y y k x x k k k+=+-=⋅-=-++，所以，,A B 中点坐标为2262(,)1313k E kk-++， …………………10分因为PA PB =，所以PE AB ⊥，1PE AB k k ⋅=-，所以2221131613k k kk--+⋅=-+， …………………12分解得1k =±， …………………13分经检验，符合题意，所以直线l 的方程为20x y --=或20x y ++=. …………………14分 19、（Ⅰ）解：3()g x x ax =-，2()3g x x a '=-， …………………2分当0a ≤时，()g x 为R 上的增函数，所以()g x 在区间[0,1]上的最小值为(0)0g =； …………………4分0a >'所以，函数()g x 在(,-∞，)+∞上单调递增，在(上单调递减. …………………6分当1<，即03a <<时，()g x 在区间[0,1]上的最小值为g =-……………7分当1≥，即3a ≥时，()g x 在区间[0,1]上的最小值为(1)1g a =-. ……8分综上，当0a ≤时，()g x 在区间[0,1]上的最小值为(0)0g =；当03a <<时，()g x 的最小值为-3a ≥时，()g x 的最小值为1a -.（Ⅱ）证明：曲线()y f x =在点11(,())P x f x （1x >处的切线方程为2111()2()y x a x x x --=-，令0y =，得21212x a x x +=， …………………10分所以212112a x x x x --=，因为1x >21102a x x -<，21x x <. ………11分因为1x >1122x a x ≠，所以211211222x a x a x x x +==+>…………………13分所以12x x >>…………………14分20、解：（Ⅰ）因为2n a n =-，所以221(1)21n n n b a a n n n +=-=-++=--，n ∈*N ， …………………2分所以12(1)1212n n b b n n +-=-+-++=-，所以1n n b b +<，数列{}n a 是“Z 数列”. …………………4分（Ⅱ）因为n b n =-，所以2111a a b -==-，3222a a b -==-，…，11(1)n n n a a b n ---==--，所以1(1)12(1)2n n na a n --=-----=- （2n ≥），…………………6分所以(1)2n n na -=-（2n ≥），又10a =，所以(1)2n n na -=-（n ∈*N ）. …………………8分（Ⅲ）因为 111()()s m s s m s m s s s m s a a a a a a b b +++-++--=-++-=++ ，111()()t m t t m t m t t t m t a a a a a a b b +++-++--=-++-=++ ，………………10分又,,s t m ∈*N ，且s t <，所以s i t i +<+，s i t i b b ++>，n ∈*N ，所以1122,,,s m t m s m t m s t b b b b b b +-+-+-+->>> ， …………………12分所以t m t s m s a a a a ++-<-，即t m s m t s a a a a ++-<-. …………………14分。

2024北京西城区高三二模数学试题及答案

2024北京西城高三二模数学2024.5本试卷共 6 页， 150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是,1)-，则⋅=z z （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（2）已知向量,a b 满足(4,3)=a ，2(10,5)-=-a b ，则（A ）0+=a b （B ）0=⋅a b （C ）||||>a b （D ）//a b（3）已知集合{}1,0,1=-A ，{|}>=x x c B ．若{}0,1=A B I ，则c 的最小值是（A ）1（B ）0（C ）1-（D ）2-（4）设443243210(21)-=++++x a x a x a x a x a ，则1234+++=a a a a （A ）1-（B ）0（C ）1（D ）2（5）已知,R R ∈∈a b ．则“1>ab ”是“222+>a b ”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线22:1+=C mx ny 的焦点在y 轴上，且C 的离心率为2，则（A ）30-=m n （B ）30-=m n （C ）30+=m n （D ）30+=m n （7）将函数()tan =f x x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象再关于y 轴对称，得到函数()g x 的图象，则()=g x （A ）1tan -x （B ）1tan --x （C ）tan (1)--x （D ）tan (1)-+x （8）楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用．如图，某楔体形构件可视为一个五面体ABCDEF ，其中面ABCD 为正方形．若6cm =AB ，3cm =EF ，且EF 与面ABCD 的距离为2cm ，则该楔体形构件的体积为（A ）318cm （B ）324cm （C ）330cm （D ）348cm （9）已知{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和为n S ，1233,2==a S ．若对任意正整数n ，都有(1)0--⋅>n n S A ，则A 的取值范围是（A ）(3,1)-（B ）[2,1)-（C ）3(3,)2-（D ）3[2,)2-（10）一组学生站成一排．若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（A ）5（B ）6（C ）7（D ）8第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

西城区2023-2024学年第一学期期末高三数学试题答案

20232024学年度第一学期期末试卷第1页（共6页）北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考 2024.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（ 1 ）C （ 2 ）A （ 3 ）D （ 4 ）D （ 5 ）C（ 6 ）B（ 7 ）D（ 8 ）A（ 9 ）B（10）A二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）12（12）3 （答案不唯一）（13）(4,)+∞ 4（14）2x =−2（15）①②④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）由题设2πππ2sin cos 2cos 0666a −=，解得a………3分所以2()cos 2cos f x x x x =−2cos21x x =−− ………5分 π2sin (2)16x =−−．………6分所以()f x 的最小正周期为π．………7分（Ⅱ）因为π02x ≤≤，所以ππ5π2666x −−≤≤．………9分所以1πsin (2)126x −−≤≤，即π22sin (2)116x −−−≤≤．20232024学年度第一学期期末试卷第2页（共6页）当ππ262x −=，即π3x =时，()f x 取得最大值1；当ππ266x −=−，即0x =时，()f x 取得最小值2−． ………11分由题设2m −≤，且1M ≥．所以m 的最大值是2−；M 的最小值是1．………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）记“这2人都最喜爱使用跑步软件一”为事件A ，则80303(A)2008020P =⨯=． ………4分（Ⅱ）因为抽取的8人中最喜爱跑步软件二的人数为208280⨯=，所以X 的所有可能取值为0,1,2．………5分3638C 5(0)14C P X ===， 122638C C 15(1)28C P X ===， 212638C C 3(2)28C P X ===． ………8分所以X 的分布列为故X 的数学期望0121428284EX =⨯+⨯+⨯=． ………10分（Ⅲ）222231s s s ．………13分20232024学年度第一学期期末试卷第3页（共6页）（18）（共14分）解：（Ⅰ）因为PD AD =，E 为PA 中点，所以DE PA ⊥．………1分又因为平面PAB ⊥平面PAD ，平面PAB 平面PAD PA =，且DE ⊂平面PAB ．所以DE ⊥平面PAB ． ………2分所以DE AB ⊥．………3分因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AB ⊥．所以AB ⊥平面PAD ．………4分（Ⅱ）因为AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，所以CD ⊥平面PAD ．又PD ⊥平面ABCD ，所以,,DA DC DP 两两相互垂直． ………5分如图建立空间直角坐标系D x y z −，………6分则(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)P ，(1,0,1)E ．所以(2,0,0)CB =,(0,2,2)CP =−,(1,0,1)DE =．设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =m ，则0,0.CB CP ⎧=⎪⎨=⎪⎩⋅⋅m m 即20,220.x y z =⎧⎨−+=⎩令1y =，则1z =．于是(0,1,1)=m ． ………8分设直线DE 与平面PBC 所成角为α，则 1||sin ,|cos |2||||DE DE DE α=〉=〈=⋅m m m ．………10分所以直线DE 与平面PBC 所成角的大小为30．………11分（Ⅲ）因为(1,0,1)EP =−，所以点E 到平面PBC 的距离为2||||EP d ==⋅m m ． ………13分因为CB CP ⊥，所以四面体PEBC 的体积为11123323PBC V S d CB CP d =⋅=⋅⋅⋅⋅=△． ………14分20232024学年度第一学期期末试卷第4页（共6页）（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题设，22222,411,c a a b c ab ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩………3分解得228,2a b ==．………4分所以椭圆E 的方程为22182x y +=．………5分（Ⅱ）若直线AB 与y 轴重合，则点M 与原点重合，符合题意，此时直线AB 的方程为0x =．………6分若直线AB 与y 轴不重合，设其方程为1y k x =+．由221,48y k x x y =+⎧⎨+=⎩ 得22(41)840k x kx ++−=． ………8分设1122(,),(,)A x y B x y ，则122841kx x k −+=+． ………9分所以1224241M x x k x k +−==+，21141M M y kx k =+=+．………10分因为M 是CD 的中点，所以282241D M C k x x x k −=−=−+，222141D M Cy y y k =−=−+． ………11分因为2248D D x y +=，………12分所以222282(2)4(1)804141k k k −−+−−=++．整理得340k k +=． ………13分解得0k =．………14分但此时直线AB 经过点C ，不符合题意，舍去．综上，直线AB 的方程为0x =．………15分20232024学年度第一学期期末试卷第5页（共6页）（20）（共15分）解：（Ⅰ）当1a =时，e ()x f x x =，所以2(1)e ()xx f x x −'=．………1分所以(1)e f =，(1)0f '=．………3分所以曲线()y f x =在点(,())11f 处的切线方程为e 0y −=． ………4分（Ⅱ）()f x 的定义域为(,0)(0,)−∞+∞，且2(1)e ()axax f x x −'=．………6分令()0f x '=，得1x a=． ()f x '与()f x 的情况如下：所以()f x 的单调递增区间为(,)a +∞；单调递减区间为(,0)−∞和1(0,)a．………10分（Ⅲ）当12x x <且120x x ⋅>时，121211()()f x f x x x −<−，证明如下：令1()()g x f x x=−，则2(1)e 1()ax ax g x x −+'=．设()(1)e 1ax x h ax =−+，则2()e ax x h a x '=．………12分所以当(0),x ∈−∞时，()0x h '<；当()0,x ∈+∞时，()0x h '>．所以()h x 在(0),−∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增．从而()(0)0h x h >=，即()0g x '>．所以()g x 的单调递增区间为(0),−∞和()0,+∞．………14分当120x x <<时，12()()g x g x <，即121211()()f x f x x x −<−；当120x x <<时，12()()g x g x <，即121211()()f x f x x x −<−．综上，当12x x <且120x x ⋅>时，121211()()f x f x x x −<−．………15分20232024学年度第一学期期末试卷第6页（共6页）（21）（共15分）解：（Ⅰ）:(1,2),(2,3),(3,1)A ，或:(1,3),(3,2),(2,1)A ．………4分（Ⅱ）因为(,)p q 和(,)q p 不同时出现在A 中，故26C 15m =≤，所以1,2,3,4,5,6每个数至多出现5次．又因为1(1,2,,1)i i x y i m +==−，所以只有1,m x y 对应的数可以出现5次，故1(4425)132m ⨯⨯+⨯=≤．………9分（Ⅲ）当N 为奇数时，先证明(2)()21T N T N N +=++．因为(,)p q 和(,)q p 不同时出现在A 中，所以21()C (1)2N T N N N =−≤．当3N =时，构造:(1,2),(2,3),(3,1)A 恰有23C 项，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1．对奇数N ，如果可以构造一个恰有2C N 项的序列A ，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1，那么对奇数2N +而言，可按如下方式构造满足条件的序列A '：首先，对于如下21N +个数对集合：{(1,1),(1,1)}N N ++，{(1,2),(2,1)}N N ++， {(2,1),(1,2)}N N ++，{(2,2),(2,2)}N N ++， ……，{(,1),(1,)}N N N N ++，{(,2),(2,)}N N N N ++，{(1,2),(2,1)}N N N N ++++，每个集合中都至多有一个数对出现在序列A '中，所以(2)()21T N T N N +++≤．其次，对每个不大于N 的偶数{2,4,,1}i N ∈−，将如下4个数对并为一组：(1,),(,2),(2,1),(1,1)N i i N N i i N ++++++，共得到12N −组，将这12N −组数对以及(1,1),(1,2),(2,1)N N N N ++++按如下方式补充到A 的后面，即：,(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,1),,A N N N N N +++++(1,1),(1,2),(2,),(,1),(1,2),(2,1)N N N N N N N N N N N +−−++++++．此时恰有()21T N N ++项，所以(2)()21T N T N N +=++．综上，当N 为奇数时，()(()(2))((2)(4))((5)(3))(3)T N T N T N T N T N T T T =−−+−−−++−+[2(2)1][2(4)1](231)3N N =−++−+++⨯++1(1)2N N =−． ………15分。

北京市西城区2009届高三一模(数学文)

北京市西城区 2009年抽样测试高三数学试卷（文科） 2009.4本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共40分)一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{|13},{|||2}A x x B x x =<<= ，那么集合A B 等于（） A. {|12}x x << B. {|23}x x << C. {|1<2}x x ≤ D. {|23}x x ≤<2. 函数()sin cos f x x x = 的最小正周期为（） A.2pB. pC. 2pD. 4p 3. 若数列{}n a 是公差为2的等差数列，则数列{2}n a是（）A. 公比为4的等比数列B. 公比为2的等比数列C. 公比为12的等比数列 D. 公比为14的等比数列 4. 由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有（） A. 48 个 B. 72 个 C. 96 个 D. 120 个5.设实数x , y 满足5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最小值为（）A. 6-B. 3-C. 5D. 276. 在平面直角坐标系中， A 为平面内一个动点，(2,0)B . 若||OA BA OB ?u u r u u r u u u r（O 为坐标原题号点），则动点A 的轨迹是（）A. 椭圆B.双曲线C.抛物线D. 圆 7．已知直线a 和平面a ，那么//a a 的一个充分条件是（）A. 存在一条直线b ，//,a b b a ÌB. 存在一条直线b ，,a b b a ^^C. 存在一个平面,,//a ββαβ⊂ D. 存在一个平面,,a ββαβ⊥⊥8. 函数f (x )的定义域为D ，若对于任意12,x x D Î，当12x x <时，都有12()()f x f x £，则称函数()f x 在D 上为非减函数设函数f (x )在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：○1(0)0f =； ○21()()32xf f x =； ○3(1)1()f x f x -=-. 则11()()38f f +等于（） A.34 B. 12 C. 1 D. 23北京市西城区 2009年抽样测试高三数学试卷（文科） 2009.4第Ⅱ卷( 共110分)二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上 . 9. 某单位有27名老年人，54名中年人，81名青年人. 为了调查他们的身体情况，用分层抽样的方法从他们中抽取了n 个人进行体检，其中有6名老年人，那么n =_________. 10. 522()x x+的展开式中2x 的系数是___________.(用数字作答) 11. 设a 为常数，2()43f x x x =-+.若函数()f x a +为偶函数，则a =__________；(())f f a =_______.12. 设O 为坐标原点，向量 (1,2)OA = .将OA 绕着点 O 按逆时针方向旋转 90得到向量 OB , 则2OA OB +的坐标为____________.13. 已知一个正方体的八个顶点都在同一个球面上. 设此正方体的表面积为1S ，球的表面积2S ，则12S S =_____________. 14．如图，从双曲线221925x y -=的左焦点F 1引圆229x y +=的切线，切点为T ，延长F 1T 交双曲线右支于P 点. 设M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则1||FT =_____________；||||MO MT -=__________.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分12分）设ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c，且3,5,a b c ===（Ⅰ）求cos C 的值；（Ⅱ）求6sin()3cos2C Cπ+的值.16.（本小题满分12分）某个高中研究性学习小组共有9名学生，其中有3名男生和6名女生. 在研究学习过程中，要进行两次汇报活动（即开题汇报和结题汇报），每次汇报都从这9名学生中随机选1人作为代表发言. 设每人每次被选中与否均互不影响.（Ⅰ）求两次汇报活动都是由小组成员甲发言的概率；（Ⅱ）求男生发言次数不少于女生发言次数的概率.17.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，90,//,BCDAB CD ?o 又1,2,AB BC PC PB CD AB PC =====^.(Ⅰ) 求证：PC ^平面ABCD ；(Ⅱ) 求PA 与平面ABCD 所成角的大小； (Ⅲ) 求二面角B-PD-C 的大小. 18.（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n n S n a a c =+-（c 是常数，n ÎN *），26a =.（Ⅰ）求c 的值及{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1223111118n n a a a a a a ++++<L . 19.（本小题满分14分）已知椭圆C 22:14y x +=，过点M (0, 1)的直线l 与椭圆C 相交于两点A 、B . （Ⅰ）若l 与x 轴相交于点P ，且P 为AM 的中点，求直线l 的方程；（Ⅱ）设点1(0,)2N ，求||NA NB + 的最大值.20.（本小题满分14分）已知函数32()(,f x x ax b a b =-++∈R ).（Ⅰ）若a =1，函数()f x 的图象能否总在直线y b =的下方？说明理由；（Ⅱ）若函数()f x 在（0，2）上是增函数，求a 的取值范围；（Ⅲ）设123,,x x x 为方程()0f x =的三个根，且1(1,0)x ∈-，2(0,1)x ∈，BD CP3(,1)(1,)x ∈-∞-+∞ ,求证：||1a >.北京市西城区 2009年抽样测试参考答案高三数学试卷（文科） 2009.4一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9. 36 10. 10 11. 2, 8 12. (0,5) 13. 2p14. 5, 2 注：两空的题目，第一个空3分，第二个空2分. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：由余弦定理222cos 2a b c C ab+-=， ---------------3分得925142cos 2353C +-==创. ----------5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 cos 0C >,所以角C为锐角，所以sin C =， -------------7分则26sin()6(sin cos cos sin )333cos22cos 1C C C C C πππ+⨯+⨯=- --------------10分1232324219+=⨯- 13=.所以6sin()3cos2C Cπ+= -----------12分 16.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：记 “2次汇报活动都是由小组成员甲发言” 为事件A . -------------1分由题意，得事件A 的概率111()9981P A =?，即2次汇报活动都是由小组成员甲发言的概率为181. --------------5分（Ⅱ）解：由题意，每次汇报时，男生被选为代表的概率为3193=，女生被选为代表的概率为12133-=. --------6分记“男生发言次数不少于女生发言次数”为事件B ，由题意，事件B 包括以下两个互斥事件：○1事件B 1：男生发言2次女生发言0次，其概率为02012111()C ()(1)339P B =-=， -------8分 ○2事件B 2：男生发言1次女生发言1次，其概率为 11122114()C ()(1)339P B =-=， --------------10分所以，男生发言次数不少于女生发言次数的概率为125()()()9P B P B P B =+=.----12分 17.（本小题满分14分）方法一：（Ⅰ）证明：在PBC V中，1,BC PC PB ===222BC PC PB \+=， 90PCB\?o ，即PC BC ^， ------------1分,AB PC AB BC B ^=Q I ，PC \^平面ABCD . -------------4分（Ⅱ）如图，连接AC ，由（Ⅰ）知PC ^平面ABCD ， \AC 为PA 在平面ABCD 内的射影，PAC \ 为PA 与平面ABCD 所成的角. --------------6分在ABC V 中，90ABC?o ，1AB BC ==，D CPMAC \=在PAC V 中，90PCA ?o ，1,PC AC ==t a n PC PACAC \?=，\PA 与平面ABCD 所成角的大小为arctan 2. ----------------8分（Ⅲ）由（Ⅰ）知PC BC ^，又,BC CD PC CD C ^=I ，BC \^平面PCD . -------------9分如图，过C 作CM PD ^于M ，连接BM ， CM \是BM 在平面PCD 内的射影， BM PD \^，CMB \ 为二面角B -PD -C 的平面角. -----11分在PCD V 中, 90PCD ?o , PC=1, 2CD =，PD \=又CM PD ^，PD CM PC CD \? ，PC CD CM PD ×\==，在CMB V 中, 90BCM?o , BC=1, CM =tan BC CMBCM \?=\二面角B -PD -C 的大小为. -------14分方法二：（Ⅰ）同方法一. ------4分（Ⅱ）解：连接AC ，由（Ⅰ）知PC ^平面ABCD ， \AC 为PA 在平面ABCD 内的射影，PAC \ 为PA 与平面ABCD 所成的角. ----------6分如图，在平面ABCD 内，以C 为原点， CD 、CB 、CP 分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系C -xyz ，则(0,0,0),(0,1,0),(2,0,0),(0,0,1),(1,1,0)C B D P A ,(1,1,0),(1,1,1)AC AP =--=--uu u r uu u r，----------7分cos ||||AC AP PACAC AP ×\?=×uuu r uu u r uuu r uu u r ， \PA 与平面ABCD所成角的大小为arccos3-------------------9分（Ⅲ）过C 作CM DP ^于M ，连接BM ，设(,,)M x y z ，则(,,),(2,,),(MC x y z DM x y z DP =---=-=-uuu r uuu u r uu u r MC DP ^u u u r u u u r Q ， 20MC DPx z \?-=u u u r u u u r ； ○1 ,DM DP u u u u r u u u rQ 共线， 20,2x y z -\==-， ○2 由○1○2，解得24,0,55x y z ===， M \点的坐标为24(,0,)55，24(,1,)55MB =--uuu r ，24(,0,)55MC =--uuu r ，440055MB DP ?+-=uuu r uu u r Q ,MB DP \^，又CM DP ^，CMB \ 为二面角B -PD -C 的平面角. -------12分24(,0,)55MC =--uuu r Q ，24(,1,)55MB =--uuu r ，2cos 3||||MB MC CMB MB MC ×\?=×uuu r uuu r uuu r uuu r ， \二面角B -PD -C 的大小为2arccos 3. -----------14分18.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为12n n n S na a c =+-，所以当1n =时，11112S a a c =+-，解得12a c=，---------------------------2分当2n =时，222S a a c =+-，即1222a a a c +=-，解得23a c =，所以36c =，解得2c =； --------5分则14a =，数列{}n a 的公差212d a a =-=，所以1(1)22n a a n d n =+-=+. ---------------8分（Ⅱ）因为12231111n n a a a a a a ++++L 1114668(22)(24)n n =+++创++L ---------9分 111111111()()()24626822224n n =-+-++-++L ----------------12分 1111111[()()()]246682224n n =-+-++-++L 111()2424n =-+1184(2)n =-+. 因为*N n Î，所以1223111118n n a a a a a a ++++<L . ----------14分注：为降低难度，此题故意给出多余条件，有多种解法，请相应评分. 19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设A (x 1, y 1)，因为P 为AM 的中点，且P 的纵坐标为0，M 的纵坐标为1，所以1102y +=，解得11y =-， ---------------1分又因为点A (x 1, y 1)在椭圆C 上，所以221114y x +=，即21114x +=，解得12x =±，则点A的坐标为1)-或(1)-， ---------3分所以直线l的方程为330y -+=，或330y +-=. ------------5分（Ⅱ）设A (x 1, y 1)，B (x 2, y 2)，则112211(,),(,),22NA x y NB x y =-=-所以1212(,1)NA NB x x y y +=++-，则||NA NB += ---------------7分当直线AB 的斜率不存在时，其方程为0x =，(0,2),(0,2)A B -，此时||1NA NB +=； -----------8分当直线AB 的斜率存在时，设其方程为1y kx =+，由题设可得A 、B 的坐标是方程组22114y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩的解，消去y 得22(4)230k x kx ++-=，所以221222(2)12(4)0,4kk k x x k -∆=++>+=+， -----------10分则121228(1)(1)4y y kx kx k+=+++=+，所以222222222812||()(1)1144(4)k k NA NB k k k --+=+-=+≤+++ ，当0k =时，等号成立, 即此时||NA NB +取得最大值1. --------13分综上，当直线AB 的方程为0x =或1y =时，||NA NB +有最大值1. --------14分20.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：当1a =时，32()f x x x b =-++，因为(1)2f b b -=+>，所以，函数()f x 的图象不能总在直线y b =的下方. ----------3分（Ⅱ）解：由题意，得2()32f x x ax ¢=-+，令()0f x ¢=，解得0x =或23x a =， ------4分当0a <时，由()0f x ¢>，解得203a x <<，所以()f x 在2(,0)3a 上是增函数，与题意不符，舍去；当0a =时，由2()30f x x ¢=- ，与题意不符，舍去； -------6分当0a >时，由()0f x ¢>，解得203x a <<，所以()f x 在2(0,)3a 上是增函数，又()f x 在(0，2)上是增函数，所以223a ³，解得3a ³，综上，a 的取值范围为[3,)+ . --------9分（Ⅲ）解：因为方程32()0f x x axb =-++=最多只有3个根，由题意，得在区间(1,0)-内仅有一根，所以(1)(0)(1)0f f b a b -?++<， ○1 同理(0)(1)(1)0f f b a b ?-++<， ○2 ----------11分当0b >时，由○1得 10a b ++<，即1a b <--，由○2得10a b -++<，即1a b <-+，因为11b b --<-+，所以11a b <--<-，即1a <-；当0b <时，由○1得 10a b ++>，即1a b >--，由○2得10a b -++>，即1a b >-+，因为11b b --<-+，所以11a b >-+>，即1a >；当0b =时，因为(0)0f =，所以()0f x =有一根0，这与题意不符.综上，||1a >. --------------14分注：在第（Ⅲ）问中，得到○1○2后，可以在坐标平面aOb内，用线性规划方法解. 请相应评分.。

北京市西城区2012届高三第一次模拟文科数学试题(2012西城一模)

北京市西城区2012年高三一模试卷数学（文科） 2012.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{|1}A x x =>，2{|4}B x x =<，那么A B =（）（A ）(2,2)-（B ）(1,2)-（C ）(1,2)（D ）(1,4) 【答案】C【解析】}22{}4{2<<-=<=x x x x B ，所以}21{<<=⋂x x B A ，选C.2．执行如图所示的程序框图，若输入3x =，则输出y 的值为（）（A ）5（B ）7（C ）15（D ）31 【答案】D【解析】输入3=x ，7=y 。

8473<=-，15,7==y x ，88157==-，31,15==y x ，8163115>=-，满足条件，输出31=y ，选D.3．若2log 3a =，3log 2b =，41log 3c =，则下列结论正确的是（）（A ）a c b <<（B ）c a b <<（C ）b c a <<（D ）c b a << 【答案】D【解析】13log 2>，12log 03<<，031log 4<，所以a b c <<，选D . 4．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，则复数12z z 对应的点位于（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限【答案】B【解析】由复数的几何意义知i z i z =--=21,2，所以i ii z z +-=--=1221，对应的点在第二象限，选B.5．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm ，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（）（A）2（B）2（C ）28cm （D ）24cm【答案】A【解析】正六棱柱的左视图是一个以AB 长为宽，高为2的矩形，32=AB所以左视图的面积为34232=⨯，选A.6．若实数x ，y 满足条件0,10,01,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩则|3|x y -的最大值为（）（A ）6（B ）5（C ）4（D ）3 【答案】B【解析】做出可行域，如图，设z y x =-3，则，则z x y -=31，由图象可知当直线经过A 和C 点时，Z 取得最值。

北京市西城区抽样测试高三数学(文科)答案及评分标准

北京市西城区抽样测试高三数学（文科）答案及评分标准2001.6一、CCDCB DDABA AB . 二、（13）;)1(1+n n （14）53;（15）36cm ；（16）①③⇒②④；②③⇒①④. 三、解答题：其它解法仿此给分.（17）解：原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧≤->----分221240124222x x x 设t x =-22则t >0且⎪⎩⎪⎨⎧≤-->-分401201222t t t⎩⎨⎧≤≤--<>⇔分或6.43,3232 t t t ∴分8.432 ≤<t 即.22321423222≤-<⇔≤<-x og x∴43log 2132≤<+x .………………………………………11分 ∴原不等式的解集为}43log 213|{2≤<+x x .……………12分（18）解：（1）证明∵a +c =2b ∴B C A sin 2sin sin =+.………………1分∴2sin 2cos 42cos 2sin 42cos 2sin 2CA C AB BC A C A ++==-+.…4分∵02sin≠+CA . ∴2cos 22cos CA C A +=-.…………………………………………6分（2）解：C A C A C A sin sin 31sin cos sin cos +-+61)]cos()[cos(212cos 2cos 2--++--+=C A C A C A C A)]cos()[cos(C A C A --+…………………………………………9分 )]cos()cos(2[312cos 42C A C A C A -++-+= ]12cos 2)12cos 2(2[312cos 4222--+-+-+=C A C A C A ………11分 )32cos 82cos 4(312cos 4222-+++-+=CA C A C A=1.…………………………………………………………………12分（19）解：（1）P A ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，∴PD ⊥CD.故∠PDA 是平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的平面角.…2分在Rt △P AD 中，P A ⊥AD ，P A =AD ，∴∠PDA =45°.………3分（2）取PD 中点E ，连结AE ，EN ，又M ，N 分别是AB ，PC 的中点，∴ENCD 21AB 21∴AMNE 是平行四边形， ∴MN ∥AE.…………………………………………………………5分在等腰Rt △P AD 中，AE 是斜边的中线， ∴AE ⊥PD.又CD ⊥AD ，CD ⊥PD ∴CD ⊥平面P AD∴CD ⊥AE ，………………………………………………………7分又PD ∩CD =D ，∴AE ⊥平面PCD.∴MN ⊥平面PCD.…………………………………………………8分（3）∵AD ∥BC ，所以∠PCB 为异面直线PC ，AD 所成的角.………………………9分由三垂线定理知PB ⊥BC ，设AB =x (x >0).∴222)(1axa x a PCB tg +=+=∠.…………………………10分),,0(∞∈ax∴),1(+∞∈∠PCB tg ………………………………11分又∠PCB 为锐角，∴)2,4(ππ∈∠PCB . 即异面直线PC ，AD 所成的角的范围为)2,4(ππ.……………12分（20）解：（1）椭圆2C 的两个焦点坐标是)1,3(),1,7(21F F -.离心率752=e .……3分由21121=+e e 可知双曲线1C 的离心率351=e .……………………4分∴16,9,2522222=-===a c b a c .………………………………5分故双曲线1C 的方程为116)1(9)2(22=--+y x .……………………6分（2）∵圆D 经过双曲线的两个焦点，∴圆心D 在直线x = –2上.……7分设圆D 的方程为2222)1(5)()2(-+=-++b b y x .………………8分整理得：02222422=-+-++b by x y x .令y =0，得022242=-++b x x .……………………………………9分设圆D 与x 轴的两个交点为（0,1x ），（0,2x ），则222,42121-=-=+b x x x x ..依题意|21x x -|=84)(21221=-+x x x x .即16–4（2b –22）=64，解得b =5.……………………………………12分所以圆的方程为41)5()2(22=-++y x .……………………………13分（21）解：依题意，价格上涨x %后，销售总金额为：%)1(%)1(kx b x a y -⋅+=……………………………………………2分]10000)1(100[100002+-+-=x k kx ab.………………………………4分（1）取21=k]100005021[100002++-=x x ab y .∴x =50即商品价格上涨50%时，y 最大为ab 89.……………………7分（2）因为]10000)1(100[100002+-+-=x k kx aby . 此二次函数开口向下，对称轴为kk x )1(50-=,……………………………9分在适当涨价过程中，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x 在{x |x >0}的一个子集内增大时，y 也增大。

北京市西城区2022-2023学年高三上学期期末考试数学试卷(含答案)

北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷高三数学第1页（共6页）北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷高三数学 2023.1本试卷共 6 页， 150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集{2,1,0,1,2,3}U ，集合2{|2}A x x Z ≤，则U A（A ）{1,0,1} （B ）{2,2,3} （C ）{2,1,2}（D ）{2,0,3}（2）设复数3i z ，则复数i z 在复平面内对应的点的坐标是（A ）(1,3) （B ）(1,3) （C ）(3,1)（D ）(3,1)（3）已知函数()lg ||f x x ，则()f x（A ）是奇函数，且在(0,) 上是增函数（B ）是奇函数，且在(0,) 上是减函数（C ）是偶函数，且在(0,) 上是增函数（D ）是偶函数，且在(0,) 上是减函数（4）已知双曲线22:33C x y ，则C 的焦点到其渐近线的距离为（A（B（C ）2 （D ）3北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷高三数学第2页（共6页）（5）设,x y R ，且01x y ，则（A ）22x y （B ）tan tan x y （C ）42x y（D ）1(2)x y y x（6）在ABC △中，若4c ，1b a ，1cos 4C ，则ABC △的面积是（A ）1 （B ）34（C（D ）3154（7）“空气质量指数（AQI ）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当AQI 大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天024~时的空气质量指数y 随时间t变化的趋势由函数10290,012,24,1224t t y t≤≤≤描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（A ）5小时（B ）6小时（C ）7小时（D ）8小时（8）设, 均为锐角，则“2 ”是“sin()sin ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）在ABC △中，1,90AC BC C ．P 为AB 边上的动点，则PB PC的取值范围是（A ）1[,1]4（B ）1[,1]8（C ）1[,2]4（D ）1[,2]8北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷高三数学第3页（共6页）（10）如图，正方形ABCD 和正方形CDEF 所在的平面互相垂直．1 是正方形ABCD 及其内部的点构成的集合，2 是正方形CDEF 及其内部的点构成的集合．设1AB ，给出下列三个结论：① 1M ,2N ，使2MN ； ② 1M ,2N ，使EM BN ；③ 1M ,2N ，使EM 与BN 所成的角为60 ．其中所有正确结论的个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）3北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷高三数学第4页（共6页）第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2024北京西城区高三一模数学试题及答案

2024北京西城高三一模数学2024.4本试卷共 6 页， 150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集U =R ，集合{|3}A x x =<，{|22}B x x =−≤≤，则U AB=（A ）(2,3) （B ）(,2)(2,3)−∞−（C ）[2,3)（D ）(,2][2,3)−∞−（2）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）2=+y x x （B ）cos y x = （C ）2=x y （D ）2||log =x y（3）在622()−x x的展开式中，常数项为（A ）60 （B ）15 （C ）60−（D ）15−（4）已知抛物线C 与抛物线24y x =关于直线y x =对称，则C 的准线方程是（A ）1x =− （B ）2x =− （C ）1y =−（D ）2y =−（5）设1=−a t t ，1=+b t t，(2)=+c t t ，其中10−<<t ，则（A ）<<b a c （B ）<<c a b （C ）<<b c a（D ）<<c b a（6）已知向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()⋅−=c a b （A ）1− （B ）1 （C ）7− （D ）7（7）已知函数2,20,(),0.⎧+−<<⎪=⎨<⎪⎩≤x x x f x x c 若()f x 存在最小值，则c 的最大值为（A ）116 （B ）18（C ）14（D ）12（8）在等比数列{}n a 中，00>n a ．则“001+>n n a a ”是“0013++>n n a a ”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）关于函数()sin cos 2f x x x =+，给出下列三个命题：① ()f x 是周期函数；② 曲线()y f x =关于直线π2x =对称；③ ()f x 在区间[0,2π)上恰有3个零点．其中真命题的个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）3（10）德国心理学家艾•宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率y 随时间t （小时）变化的趋势可由函数0.2710.6=−y t 近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）（A ）2小时（B ）0.8小时（C ）0.5小时（D ）0.2小时第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北京市西城区高三数学第二次模拟考试文(西城二模)(含解析)北师大版

北京市西城区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）（•西城区二模）复数i•（1﹣i）=（）A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：复数i•（1﹣i）=1+i．故选A．点评：熟练掌握复数的运算法则及i2=﹣1是解题的关键．2．（5分）（•西城区二模）已知向量=，=．若与共线，则实数λ=（）A．﹣1 B．1C．﹣3 D．3考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理即可得出，解出即可．解答：解：∵，∴，解得λ=﹣1．故答案为A．点评：熟练掌握向量共线定理是解题的关键．3．（5分）（•西城区二模）给定函数：①y=x2；②y=2x；③y=cosx；④y=﹣x3，其中奇函数是（）A．①B．②C．③D．④考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数奇偶性的定义逐项判断即可得到答案．解答：解：：①y=x2是偶函数，故排除A；②y=2x非奇函数也非偶函数，故排除B；③y=cosx为偶函数，故排除C；④令f（x）=﹣x3，定义域为R，且f（﹣x）=﹣（﹣x）3=x3=﹣f（x），所以f（x）是奇函数，故选D．点评：本题考查函数奇偶性的判断，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．4．（5分）（•西城区二模）若双曲线的离心率是2，则实数k=（）A．3B．﹣3 C．D．考点：程序框图．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据双曲线方程可知a和b，进而求得c的表达式，利用离心率为2求得k的值．解答：解：依题意可知，k＜0，故a=1，b=，∴c=，∴==2，求得k=﹣3．故选B．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生的基础知识．5．（5分）（•石景山区二模）如图所示的程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，则判断框内可以填入（）A．k≤10B．k≤16C．k≤22D．k≤34考点：程序框图．专题：图表型．分析：由程序运行的过程看这是一个求几个数的乘积的问题，验算知2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次．运行5次后，k值变为33，即可得答案．解答：解：由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘入的数是2，由于程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，以后所乘的数依次为3，5，9，17，2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次，运行5次后，k值变为33，故判断框中应填k＜33，或者k≤22．故选C．点评：本题考查识图的能力，考查根据所给信息给循环结构中判断框填加条件以使程序运行的结果是题目中所给的结果．6．（5分）（•石景山区二模）对于直线m，n和平面α，β，使m⊥α成立的一个充分条件是（）A．m⊥n，n∥αB．m∥β，β⊥αC．m⊥β，n⊥β，n⊥αD．m⊥n，n⊥β，β⊥α考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据题意，结合正方体模型，对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的简单说明一下即可．解答：解：对于A，”m⊥n，n∥α”，如正方体中AB⊥BC，BC∥平面A′B′C′D′，但AB与平面A′B′C′D′不垂直，故推不出m⊥α，故A不正确；1 / 7对于B，“m∥β，β⊥α”，如正方体中A′C′∥面ABCD，面ABCD⊥面BCC′B′，但A′C′与平面BCC′B′不垂直．推不出m⊥α，故不正确；对于C，根据m⊥β，n⊥β，得m∥n，又n⊥α，根据线面垂直的判定，可得m⊥α，可知该命题正确；对于D，“m⊥n，n⊥β，β⊥α”，如正方体中AD′⊥AB，AB⊥面BCC′B′，面ABCD⊥面BCC′B′，但AD′与面BCC′B′不垂直，故推不出m⊥α，故不正确．故选C．点评：本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．7．（5分）（•西城区二模）已知函数f（x）=e|x|+|x|．若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：将方程f（x）=k恰有两个不同的实根，转化为方程e|x|=k﹣|x|恰有两个不同的实根，再转化为一个函数y=e|x|的图象与一条折线y=k﹣|x|的位置关系研究．解答：解：方程f（x）=k化为：方程e|x|=k﹣|x|令 y=e|x|，y=k﹣|x|，y=k﹣|x|表示过斜率为1或﹣1的平行折线系，折线与曲线y=e|x|恰好有一个公共点时，有k=1，如图，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（1，+∞）．故选B．点评：本题主要考查根的存在性及根的个数判断，解答关键是利用直线与曲线的位置关系．8．（5分）（•西城区二模）已知集合{1，2，3，4，5}的非空子集A具有性质P：当a∈A时，必有6﹣a∈A．则具有性质P的集合A的个数是（）A．8B．7C．6D．5考点：子集与真子集．专题：计算题．分析：根据题意，分析可得，满足当a∈A时，必有6﹣a∈A的有3；1、5；2、4三组，列举满足条件的集合，进而可得答案．解答：解：根据题意，满足题意的子集有{3}、{ 1，5}、{ 2，4}、{3，1，5}、{3，2，4}、{3，1，5，2，4}、{1，5，2，4}，共7个；故选B．点评：本题考查集合的子集，关键是理解题意中“当a∈A时，必有6﹣a∈A”的含义．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（•西城区二模）已知直线l1：x﹣3y+1=0，l2：2x+my﹣1=0．若l1∥l2，则实数m= ﹣6 ．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：求出已知直线的斜率，利用两条直线的平行斜率相等，求出m的值即可．解答：解：直线l1：x﹣3y+1=0的斜率为：，因为直线l1：x﹣3y+1=0，l2：2x+my﹣1=0．l1∥l2，所以=，解得m=﹣6；故答案为：﹣6．点评：不考查直线与直线平行的充要条件的应用，考查计算能力．10．（5分）（•石景山区二模）如图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：cm）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为和，则＞．（填入：“＞”，“=”，或“＜”）考点：茎叶图．专题：图表型．分析：由茎叶图，分别确定出甲、乙两班同学身高数，通过计算平均数比较出大小．解答：解：由茎叶图，甲班平均身高为（151+153+165+167+170+172）÷6=163乙班平均身高为（150+161+162+163+164+172）÷6=162＜163．则＞．故答案为：＞．点评：本题考查茎叶图和平均数，解题的关键是看清所给的数据的个数，以及准确的读取数据．属于基础题．11．（5分）（•石景山区二模）在△ABC中，BC=2，，，则AB= 3 ；△ABC的面积是．考点：正弦定理；三角形的面积公式．专题：计算题；解三角形．分析：根据余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，建立关于边AB 的方程，解之即可得到边AB的值，再由正弦定理关于面积的公式，代入题中数据即可求出△ABC的面积．解答：解：∵在△ABC中，BC=2，，，∴由余弦定理，得AC 2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos，即7=AB2+22﹣2×2×ABcos，化简整理得AB2﹣2AB﹣3=0，可得AB=3（舍去﹣1）根据正弦定理，得△ABC的面积为S=BC•ABsinB=×2×3×sin=故答案为：3，点评：本题给出三角形的两边和其中一边的对角，求第三边的长并求三角形的面积，着重考查了利用正、余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于基础题．12．（5分）（•西城区二模）设a，b随机取自集合{1，2，3}，则直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点的概率是．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；直线与圆相交的性质．专题：概率与统计．分析：由题意可得，直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，化简即a2+b2≥9．所有的（a，b）共有3×3个，用列举法求得满足条件的（a，b）共有5个，由此求得直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点的概率．解答：解：直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，即≤1，即a2+b2≥9．所有的（a，b）共有3×3=9个，而满足条件的（a，b）共有：（1，3）、（2，3）、（3，3）、（3，1）、（3，2），共有5个，故直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点的概率是，故答案为．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．还考查了直线和圆的位置关系的应用，属于基础题．13．（5分）（•西城区二模）已知命题p：函数y=（c﹣1）x+1在R上单调递增；命题q：不等式x2﹣x+c≤0的解集是∅．若p且q为真命题，则实数c的取值范围是（1，+∞）．考点：复合命题的真假．专题：计算题．分析：由函数y=（c﹣1）x+1在R上单调递增可得c﹣1＞0可求p为真时c的范围，由不等式x2﹣x+c≤0的解集是∅可得△=1﹣4c＜0可求q为真时c的范围，然后由p且q为真命题，则p，q都为真命题，可求解答：解：∵函数y=（c﹣1）x+1在R上单调递增∴c﹣1＞0即p：c＞1；∵不等式x2﹣x+c≤0的解集是∅△=1﹣4c＜0∴c即q：c若p且q为真命题，则p，q都为真命题∴，即c＞1故答案为：（1，+∞）点评：本题主要考查了复合命题真假关系的应用，解题的个关键是命题p，q为真是对应c的范围的确定14．（5分）（•西城区二模）在直角坐标系xOy中，已知两定点A（1，0），B（1，1）．动点P（x，y）满足则点P构成的区域的面积是 2 ；点Q（x+y，x﹣y）构成的区域的面积是 4 ．考点：平面向量数量积的运算；简单线性规划．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得，画出可行域为：直角梯形OABD及其内部区域，数形结合求得直角梯形OABD的面积．设点Q（s，t），则x+y=s，x﹣y=t，可得，点Q的可行域为直角三角形OMN及其内部区域，数形结合求得点Q（s，t）构成的区域的面积．解答：解：由题意可得，即，画出可行域为：平行四边形OABD及其内部区域，其中D（0，2），E（1，0），故点P构成的区域的面积是OD×QE=2×1=2．3 / 7设点Q（s，t），则x+y=s，x﹣y=t，即．再由可得，∴点Q的可行域为平行四边形ORMN及其内部区域，如图所示：M（2，0）、N（0，2），故点Q（s，t）构成的区域的面积是2×S△OMN =2×=2×=4，故答案为2，4．点评：本题主要考查简单的线性规划问题，两个向量的数量积的定义，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（•西城区二模）已知等比数列{a n}的各项均为正数，a2=8，a3+a4=48．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log4a n．证明：{b n}为等差数列，并求{b n}的前n项和S n．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用等比数列的通项公式即可得出；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论和对数的运算法则进行化简，再计算b n+1﹣b n是否是一个常数即可判定，若是利用等差数列的前n项和公式即可．解答：（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，依题意 q＞0．∵a2=8，a3+a4=48，∴a1q=8，．两式相除得 q2+q﹣6=0，解得 q=2，舍去 q=﹣3．∴．∴数列{a n}的通项公式为．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得．∵，∴数列{b n}是首项为1，公差为的等差数列．∴．点评：熟练掌握等比数列的通项公式、对数的运算法则、等差数列的定义、等差数列的前n项和公式是解题的关键．16．（13分）（•石景山区二模）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．考点：两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由三角函数定义，得 x1=cosα=，由此利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再根据，利用两角和的余弦公式求得结果．（Ⅱ）依题意得 y1=sinα，，分别求得S1 和S2 的解析式，再由S1=2S2 求得cos2α=0，根据α的范围，求得α的值．解答：（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 x1=cosα，．因为，，所以．所以．（Ⅱ）解：依题意得 y1=sinα，．所以，．依题意S1=2S2 得，即sin2α=﹣2[sin2αcos +cos2αsin]=sin2α﹣cos2α，整理得cos2α=0．因为，所以，所以，即．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．17．（14分）（•西城区二模）如图1，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，面ABCD为正方形，E为侧棱PD上一点，F为AB上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）求四面体PBFC的体积；（Ⅱ）证明：AE∥平面PFC；（Ⅲ）证明：平面PFC⊥平面PCD．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）利用左视图可得 F为AB的中点，即可得到三角形BFC的面积，由PA⊥平面ABCD，可知PA是四面体PBFC 的底面BFC上的高，利用三棱锥的体积计算公式即可得到；（II）利用三角形的中位线定理即可得到EQ∥CD，．再利用底面正方形的性质可得AF∥CD，，利用平行四边形的判定和性质定理即可得到AE∥FQ，利用线面平行的判定定理即可证明结论；（III）利用线面垂直的性质定理和判定定理即可得到CD⊥平面PAD，从而得到CD⊥AE，由等腰三角形的性质可得AE⊥PD，利用线面垂直的判定定理即可得到AE⊥平面PCD，而FQ∥AE，可得FQ⊥平面PCD，利用面面垂直的判定定理即可证明结论．解答：（Ⅰ）解：由左视图可得 F为AB的中点，∴△BFC的面积为．∵PA⊥平面ABCD，∴四面体PBFC 的体积为=．（Ⅱ）证明：取PC中点Q，连接EQ，FQ．由正（主）视图可得 E为PD的中点，∴EQ∥CD，．又∵AF∥CD，，∴AF∥EQ，AF=EQ．∴四边形AFQE为平行四边形，∴AE∥FQ．∵AE⊄平面PFC，FQ⊂平面PFC，∴直线AE∥平面PFC．（Ⅲ）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵平面ABCD为正方形，∴AD⊥CD．∴CD⊥平面PAD．∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE．∵PA=AD，E为PD中点，∴AE⊥PD．∴AE⊥平面PCD．∵AE∥FQ，∴FQ⊥平面PCD．∵FQ⊂平面PFC，∴平面PFC⊥平面PCD．点评：正确理解三视图，熟练掌握三角形BFC的面积、三棱锥的体积计算公式、三角形的中位线定理、正方形的性质、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理、线面垂直的性质定理和判定定理、等腰三角形的性质、面面垂直的判定定理是解题的关键．18．（13分）（•西城区二模）已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[2，3]上的最小值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）把a=2代入函数解析时候，求出f（1）及f′（1），利用直线方程的点斜式求切线方程；（Ⅱ）求出原函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，判断出原函数在各区间段内的单调性，然后根据a的范围分析原函数在区间[2，3]上的单调性，利用函数单调性求出在a的不同取值范围内函数f（x）在区间[2，3]上的最小值．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，且 f'（x）=2x2﹣4x+2﹣a．当a=2时，，f'（1）=2﹣4=﹣2，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，即 6x+3y﹣5=0．（Ⅱ）解：方程f'（x）=0的判别式△=8a＞0，5 / 7令 f'（x）=0，得，或．f（x）和f'（x）的情况如下：x （﹣∞，x1） x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗↘↗故f（x ）的单调增区间为，；单调减区间为．①当0＜a≤2时，x2≤2，此时f（x）在区间（2，3）上单调递增，所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是=．②当2＜a＜8时，x1＜2＜x2＜3，此时f（x）在区间（2，x2）上单调递减，在区间（x2，3）上单调递增，所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是=．③当a≥8时，x1＜2＜3≤x2，此时f（x）在区间（2，3）上单调递减，所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是f（3）==7﹣3a．综上，当0＜a≤2时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是；当2＜a＜8时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是；当a≥8时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是7﹣3a．点评：本题考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，考查了利用导数判断函数的单调性，训练了利用函数单调性求函数的最值，解答此题的关键是对参数a的分类，考查了分类讨论的数学思想，是中档题．19．（14分）（•石景山区二模）如图，椭圆的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称．（Ⅰ）若点P 的坐标为，求m的值；（Ⅱ）若椭圆C上存在点M，使得OP⊥OM，求m的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意知M是线段AP的中点，由中点坐标公式可得M坐标，代入椭圆方程即可得到m值；（Ⅱ）设M（x0，y0）（﹣1＜x0＜1），则，①由中点坐标公式可用M坐标表示P点坐标，由OP⊥OM得②，联立①②消去y0，分离出m用基本不等式即可求得m的范围；解答：解：（Ⅰ）依题意，M是线段AP的中点，因为A（﹣1，0），，所以点M 的坐标为．由于点M在椭圆C上，所以，解得．（Ⅱ）设M（x0，y0）（﹣1＜x0＜1），则，①因为 M是线段AP的中点，所以 P（2x0+1，2y0）．因为OP⊥OM，所以，所以，即．②由①，②消去y0，整理得．所以，当且仅当时，上式等号成立．所以m 的取值范围是．点评：本题考查直线与圆锥曲线位置关系、椭圆的简单性质，属中档题，垂直问题转化为向量的数量积为0是常用手段，要灵活运用．20．（13分）（•西城区二模）已知集合S n={（x1，x2，…，x n）|x1，x2，…，x n是正整数1，2，3，…，n的一个排列}（n≥2），函数对于（a1，a2，…a n）∈S n，定义：b i=g（a i﹣a1）+g（a i﹣a2）+…+g（a i﹣a i﹣1），i∈{2，3，…，n}，b1=0，称b i为a i的满意指数．排列b1，b2，…，b n为排列a1，a2，…，a n的生成列．（Ⅰ）当n=6时，写出排列3，5，1，4，6，2的生成列；（Ⅱ）证明：若a1，a2，…，a n和a'1，a'2，…，a'n为S n中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（Ⅲ）对于S n中的排列a1，a2，…，a n，进行如下操作：将排列a1，a2，…，a n从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据定义直接可求出n=6时的生成列（Ⅱ）证明：设a1，a2，…，a n的生成列是b1，b2，…，b n；a'1，a'2，…，a'n的生成列是与b'1，b'2，…，b'n．从右往左数，设排列a1，a2，…，a n与a'1，a'2，…，a'n第一个不同的项为a k与a'k，则通过比较可知a k≠a'k，只要证明：b k≠b'k．即可（Ⅲ）先设排列a1，a2，…，a n的生成列为b1，b2，…，b n，且a k为a1，a2，…，a n中从左至右第一个满意指数为负数的项，则可得b1≥0，b2≥0，…，b k﹣1≥0，b k≤﹣1．然后进行操作，排列a1，a2，…，a n变为排列a k，a1，a2，…a k﹣1，a k+1，…，a n，设该排列的生成列为b'1，b'2，…，b'n，可证解答：（Ⅰ）解：当n=6时，排列3，5，1，4，6，2的生成列为0，1，﹣2，1，4，3．（Ⅱ）证明：设a1，a2，…，a n的生成列是b1，b2，…，b n；a'1，a'2，…，a'n的生成列是与b'1，b'2，…，b'n．从右往左数，设排列a1，a2，…，a n与a'1，a'2，…，a'n第一个不同的项为a k与a'k，即：a n=a'n，a n﹣1=a'n﹣1，…，a k+1=a'k+1，a k≠a'k．显然 b n=b'n，b n﹣1=b'n﹣1，…，b k+1=b'k+1，下面证明：b k≠b'k．由满意指数的定义知，a i的满意指数为排列a1，a2，…，a n中前i﹣1项中比a i小的项的个数减去比a i大的项的个数．由于排列a1，a2，…，a n的前k项各不相同，设这k项中有l项比a k小，则有k﹣l﹣1项比a k大，而b k=l﹣（k﹣l﹣1）=2l﹣k+1．同理，设排列a'1，a'2，…，a'n中有l'项比a'k小，则有k﹣l'﹣1项比a'k大，从而b'k=2l'﹣k+1．因为 a1，a2，…，a k与a'1，a'2，…，a'k是k个不同数的两个不同排列，且a k≠a'k，所以l≠l'，从而 b k≠b'k．所以排列a1，a2，…，a n和a'1，a'2，…，a'n的生成列也不同．（Ⅲ）证明：设排列a1，a2，…，a n的生成列为b1，b2，…，b n，且a k为a1，a2，…，a n中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 b1≥0，b2≥0，…，b k﹣1≥0，b k≤﹣1．依题意进行操作，排列a1，a2，…，a n变为排列a k，a1，a2，…a k﹣1，a k+1，…，a n，设该排列的生成列为b'1，b'2，…，b'n．所以（b'1+b'2+…+b'n）﹣（b1+b2+…+b n）=[g（a1﹣a k）+g（a2﹣a k）+…+g（a k﹣1﹣a k）]﹣[g（a k﹣a1）+g（a k﹣a2）+…+g（a k﹣a k﹣1）]=﹣2[g（a k﹣a1）+g（a k﹣a2）+…+g（a k﹣a k﹣1）]=﹣2b k≥2．所以，新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．点评：本题以新定义为载体，主要考查了数列知识的综合应用及一定的逻辑推理与运算的能力．7 / 7。

北京市西城区2023-2024学年高三上学期期末考试数学含答案

北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高三数学（答案在最后）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}13A x x =-<<，{}24B x x =≥，则A B = （）A.()1,-+∞B.(]1,2-C.(](),21,-∞--+∞D.(](),21,3-∞-- 2.在复平面内，复数2i i-对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设a ，b ∈R ，且a b >，则（）A.11a b< B.tan tan a b> C.32a b-<- D.a a b b>4.已知双曲线C 的一个焦点是()10,2F ，渐近线为y =，则C 的方程是（）A.2213y x -= B.2213x y -= C.2213x y -= D.2213y x -=5.已知点()0,0O ，点P 满足1PO =.若点(),4A t ，其中t ∈R ，则PA 的最小值为（）A.5B.4C.3D.26.在ABC △中，60B ∠=︒，b =，2a c -=，则ABC △的面积为（）A.2B.4 C.32D.347.已知函数()1ln1xf x x+=-，则（）A.()f x 在()1,1-上是减函数，且曲线()y f x =存在对称轴B.()f x 在()1,1-上是减函数，且曲线()y f x =存在对称中心C.()f x 在()1,1-上是增函数，且曲线()y f x =存在对称轴D.()f x 在()1,1-上是增函数，且曲线()y f x =存在对称中心8.设a ，b 是非零向量，则“a b <”是“2a b b ⋅< ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.设{}n a 是首项为正数，公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为n S .若存在无穷多个正整数k ，使0k S ≤，则q 的取值范围是（）A.(),0-∞ B.(],1-∞- C.[)1,0- D.()0,110.如图，水平地面上有一正六边形地块ABCDEF ，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板111111A B C D E F .若其中三根柱子1AA ，1BB ，1CC 的高度依次为12m ，9m ，10m ，则另外三根柱子的高度之和为（）A.47mB.48mC.49mD.50m第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.在(4x -的展开式中，2x 的系数为______.（用数字作答）12.设0ω>，函数()sin f x x ω=.若曲线()y f x =关于直线6x π=对称，则ω的一个取值为______.13.已知函数()()222log log 4f x x x =--，则()f x 的定义域是______；()f x 的最小值是______.14.已知抛物线C ：28y x =.①则C 的准线方程为______.②设C 的顶点为O ，焦点为F .点P 在C 上，点Q 与点P 关于y 轴对称若OF 平分PFO ∠，则点P 的横坐标为______.15.设a ∈R ，函数()322,,,.x x a f x x a x a ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩给出下列四个结论：①()f x 在区间()0,+∞上单调递减；②当0a ≥时，()f x 存在最大值；③当0a <时，直线y ax =与曲线()y f x =恰有3个交点；④存在正数a 及点()()11,M x f x （1x a >）和()()22,N x f x （2x a ≤），使1100MN ≤.其中所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题13分）已知函数()22sin cos 2cos f x a x x x =-的一个零点为6π.（Ⅰ）求a 的值及()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()m f x M ≤≤对0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求m 的最大值和M 的最小值.17.（本小题13分）生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：跑步软件一跑步软件二跑步软件三跑步软件四中学生80604020大学生30202010假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.（Ⅰ）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率；（Ⅱ）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人.记X 为这3人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为1x ，2x ，3x ，4x ，其方差为21s ；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为1y ，2y ，3y ，4y ，其方差为22s ；1x ，2x ，3x ，4x ，1y ，2y ，3y ，4y 的方差为23s .写出21s ，22s ，23s 的大小关系.（结论不要求证明）18.（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，平面PAB ⊥平面PAD ，E 为PA 中点，2PD AD ==.（Ⅰ）求证：AB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求直线DE 与平面PBC 所成角的大小；（Ⅲ）求四面体PEBC 的体积.19.（本小题15分）已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为2，且经过点()2,1C .（Ⅰ）求E 的方程：（Ⅱ）过点()0,1N 的直线交E 于点A ，B （点A ，B 与点C 不重合）.设AB 的中点为M ，连接CM 并延长交E 于点D .若M 恰为CD 的中点，求直线AB 的方程.20.（本小题15分）已知函数()e axf x x=，其中0a >.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）当12x x <且120x x ⋅>时，判断()()12f x f x -与1211x x -的大小，并说明理由.21.（本小题15分）给定正整数3N ≥，已知项数为m 且无重复项的数对序列A ：()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y 满足如下三个性质：①{},1,2,,i i x y N ∈⋅⋅⋅，且i i x y ≠（1,2,,i m =⋅⋅⋅）；②1i i x y +=（1,2,,1i m =⋅⋅⋅-）；③(),p q 与(),q p 不同时在数对序列A 中.（Ⅰ）当3N =，3m =时，写出所有满足11x =的数对序列A ；（Ⅱ）当6N =时，证明：13m ≤；（Ⅲ）当N 为奇数时，记m 的最大值为()T N ，求()T N .北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.C2.A3.D4.D5.C6.B7.D8.A9.B10.A二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.1213.3（答案不唯一）13.()4,+∞14.2x =-215.①②④三、解答题（共6小题，共85分）16.（共13分）解：（Ⅰ）由题设22sincos 2cos 0666a πππ-=，解得a =所以()2cos 2cos f x x x x=-2cos 212sin 216x x x π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为π.（Ⅱ）因为02x π≤≤，所以52666x πππ-≤-≤.所以1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，即22sin 2116x π⎛⎫-≤--≤ ⎪⎝⎭.当262x ππ-=，即3x π=时，()f x 取得最大值1，当266x ππ-=-，即0x =时，()f x 取得最小值2-.由题设2m ≤-，且1M ≥.所以m 的最大值是2-；M 的最小值是1.17.（共13分）解：（Ⅰ）记“这2人都最喜爱使用跑步软件一”为事件A ，则()803032008020P A =⨯=.（Ⅱ）因为抽取的8人中最喜爱跑步软件二的人数为208280⨯=，所以X 的所有可能取值为0，1，2.()3638C 50C 14P X ===，()122638C C 151C 28P X ===，()212638C C 32C 28P X ===.所以X 的分布列为X012P5141528328故X 的数学期望515330121428284EX =⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）222231s s s <<.18.（共14分）解：（Ⅰ）因为PD AD =，E 为PA 中点，所以DE PA ⊥.又因为平面PAB ⊥平面PAD ，平面PAB 平面PAD PA =，且DE ⊂平面PAB .所以DE ⊥平面PAB .所以DE AB ⊥.因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AB ⊥.所以AB ⊥平面PAD .（Ⅱ）因为AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，所以CD ⊥平面PAD .又PD⊥平面ABCD ，所以DA ，DC ，DP 两两相互垂直.如图建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()0,0,2P ，()1,0,1E .所以()2,0,0CB = ，()0,2,2CP =- ，()1,0,1DE =.设平面PBC 的法向量为(),,m x y z = ，则0,0.m CB m CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,220.x y z =⎧⎨-+=⎩令1y =，则1z =.于是()0,1,1m =.设直线DE 与平面PBC 所成角为α，则1sin cos ,2m DE m DE m DE α⋅===⋅ .所以直线DE 与平面PBC 所成角的大小为30°.（Ⅲ）因为()1,0,1EP =-，所以点E 到平面PBC 的距离为22m EP d m⋅==.因为CB CP ⊥，所以四面体PEBC 的体积为11123323PBC V S d CB CP d =⋅=⋅⋅⋅⋅=△.19.（共15分）解：（Ⅰ）由题设，222223,2,411,c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得28a =，22b =.所以椭圆E 的方程为22182x y +=.（Ⅱ）若直线AB 与y 轴重合，则点M 与原点重合，符合题意，此时直线AB 的方程为0x =.若直线AB 与y 轴不重合，设其方程为1y kx =+.由221,48y kx x y =+⎧⎨+=⎩得()2241840k x kx ++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122841kx x k -+=+.所以1224241M x x k x k +-==+，21141M M y kx k =+=+.因为M 是CD 的中点，所以282241D M C k x x x k -=-=-+，222141D M C y y y k =-=-+.因为2248D D x y +=，所以222282241804141k k k -⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.整理得340k k +=.解得0k =.但此时直线AB 经过点C ，不符合题意，舍去.综上，直线AB 的方程为0x =.20.（共15分）解：（Ⅰ）当1a =时，()e x f x x =，所以()()21e xx f x x -='.所以()1e f =，()10f '=.所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为e 0y -=.（Ⅱ）()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞ ，且()()21e ax ax f x x -='.令()0f x '=，得1x a=.()f x '与()f x 的情况如下：x (),0-∞10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1a1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '－－＋()f x所以()f x 的单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭；单调递减区间为(),0-∞和10,a ⎛⎫⎪⎝⎭.（Ⅲ）当12x x <且120x x ⋅>时，()()121211f x f x x x -<-，证明如下：令()()1g x f x x=-，则()()211ax ax e g x x -+='.设()()1e 1axh x ax =-+，则()2e axh x a x ='.所以当(),0x ∈-∞时，()0h x '<；当()0,x ∈+∞时，()0h x '>.所以()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增.从而()()00h x h >=，即()0g x '>.所以()g x 的单调递增区间为(),0-∞和()0,+∞.当120x x <<时，()()12g x g x <，即()()121211f x f x x x -<-；当120x x <<时，()()12g x g x <，即()()121211f x f x x x -<-.综上，当12x x <且120x x ⋅>时，()()121211f x f x x x -<-.21.（共15分）解：（Ⅰ）A ：()1,2，()2,3，()3,1，或A ：()1,3，()3,2，()2,1.（Ⅱ）因为(),p q 和(),q p 不同时出现在A 中，故2615m C ≤=，所以1，2，3，4，5，6每个数至多出现5次.又因为1i i x y +=（1,2,,1i m =⋅⋅⋅-），所以只有1x ，m y 对应的数可以出现5次，故()14425132m ≤⨯⨯+⨯=.（Ⅲ）当N 为奇数时，先证明()()221T N T N N +=++.因为(),p q 和(),q p 不同时出现在A 中，所以()()21C 12N T N N N ≤=-.当3N =时，构造A ：()1,2，()2,3，()3,1恰有23C 项，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1.对奇数N ，如果可以构造一个恰有2C N 项的序列A ，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1，那么对奇数2N +而言，可按如下方式构造满足条件的序列A '：首先，对于如下21N +个数对集合：()(){}1,1,1,1N N ++，()(){}1,2,2,1N N ++，()(){}2,1,1,2N N ++，()(){}2,2,2,2N N ++，……，()(){},1,1,N N N N ++，()(){},2,2,N N N N ++，()(){}1,2,2,1N N N N ++++每个集合中都至多有一个数对出现在序列A '中，所以()()221T N T N N +≤++.其次，对每个不大于N 的偶数{}2,4,,1i N ∈⋅⋅⋅-，将如下4个数对并为一组：()1,N i +，(),2i N +，()2,1N i ++，()1,1i N ++，共得到12N -组，将这12N -组数对以及()1,1N +，()1,2N N ++，()2,1N +按如下方式补充到A 的后面，即：A ，()1,1N +，()1,2N +，()2,2N +，()2,3N +，()3,1N +，…，()1,1N N +-，()1,2N N -+，()2,N N +，(),1N N +，()1,2N N ++，()2,1N +.此时恰有()21T N N ++项，所以()()221T N T N N +=++.综上，当N 为奇数时，()()()()()()()()()()()224533T N T N T N T N T N T T T =--+---+⋅⋅⋅+-+。

北京西城区2002高三文科数学二模试卷

北京市西城区2002年抽样测试高三数学试卷（文科）（2002．6）参考公式：三角函数的和差化积公式2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )'(21+=台侧其中c',c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长。

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

每小题选出答案后，用铅笔在下表中将对应答案标号涂黑。

1．)335(π-ctg 的值是（）. A ．33- B.3 C.33D. 3-2.下列函数中没有反函数的是（） A ．y=2x B. 2x y = C. x y = D.xy 2=3.设}{,,|2R x x y y p ∈== }{,,2|R x y y Q x ∈==则( ). A. Q=P B. P Q ⊂ C. }{)4,2(=⋂Q P D. P ∩Q={（2，4）}4.过原点且与圆0222=-+x y x 截得的弦长为3的一条直线的方程是（）. A. y=x B. x y 3= C. y=-x D. 33-=y x 5.双曲线116922=-y x 的一个焦点到一条渐近线的距离等于( ). A.3 B.3C. 4D. 26.在△ABC 中,sinA: sinB:sinC=3:2:4,则cosC 的值为( ).A.41-B.41C.32- D.327.某企业2001年12月份的产值是这年1月份产值的p 倍，则该企业2001年年度产值的月平均增长率为（）。

Ａ.1-P P B.111-P C.11P D.111-P8.学校要选派4名爱好摄影的同学中的3名分别参加校外摄影小组的3期培训(每期只派1名),由于时间上的冲突,甲、乙两位同学都不能参加第1期培训，则不同的选派方式有（）。

2007届北京市西城区高三期末数学文科试题(WORD精校版)

北京市西城区2007年高三抽样测试数学试卷（文科）本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共50分，考试时间120分钟。

第一卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．已知集合S R =,2{|230}A x x x =--≤，那么集合A 等于A ．{|31}x x -≤≤B ．{|13}x x -≤≤C ．{|3,1}x x x <->或D ．{|1,3}x x x <->或2．将函数1y x =的图像按向量a 平移后，得到121y x =++的图像，则A ．(1,2)a =B ．(1,2)a =-C ．(1,2)a =-D ．(1,2)a =--3．在空间中，有如下四个命题： ①平行于同一个平面的两条直线是平行直线， ②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面α内有不共线的三个点到平面β距离相等，则α//β；④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直。

其中正确的两个命题是 A ．①、③B ．②、④C ．①、④D ．②、③4．在6(12)x -的展开式中3x 的系数是A ．20B ．－20C ．160D ．－1605．在1，2，3，4，5这五个数字所组成的没有重复数字的三位数中，其各个数字之和为9的三位数共有A ．6个B ．9个C ．12个D ．18个6．在函数sin y x ω=在[,]33ππ-上是增函数，则ω的值可以是A ．1B ．2C ．－1D ．－27．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，若2{log }n a 是公差为－1的等差数列，且638S =，那么1a 的值是A ．421B ．631C ．821D ．12318．在ABC ∆中，3AB BC = ,ABC ∆的面积3]2S ∈，则AB 与BC 夹角的取值范围是A ．[,]43ππB ．[,]64ππC ．[,]63ππD ．[,]32ππ第二卷（非选择题共110分）二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上。

2023年北京西城区高三一模数学试题及答案

2023北京西城高三一模数学2023.3本试卷共 6 页， 150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{1,0,1,2,3}A =−，2{|30}B x x x =−<，则A B =（A ）{1}− （B ）{1,2} （C ）{1,2,3}（D ）{1,0,1,2}−（2）下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（A ）||y x =− （B ）22y x x =− （C ）sin y x =（D ）1y x x=−（3）设lg 2a =，cos2b =，0.22c =，则（A ）b c a << （B ）c b a << （C ）b a c <<（D ）a b c << （4）在52()x x−的展开式中，x 的系数为（A ）40 （B ）10 （C ）40−（D ）10−（5）已知P 为ABC △所在平面内一点，2BC CP =，则（A ）1322AP AB AC =−+（B ）1233AP AB AC =+ （C ）3122AP AB AC =− （D ）2133AP AB AC =+ （6）函数()sin 2tan f x x x =⋅是（A ）奇函数，且最小值为0（B ）奇函数，且最大值为2 （C ）偶函数，且最小值为0（D ）偶函数，且最大值为2（7）已知双曲线C 的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“C 的离心率为2”是“的一条渐近线为y =”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件C（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度(km /s)v 和燃料的质量(kg)M 以及火箭（除燃料外）的质量(kg)N 间的关系为2ln (1)Mv N=+．若火箭的最大速度为12km /s （参考数据：e 2.71828=）（A ）200 （B ）400 （C ）600（D ）800（9）设c ∈R ，函数,0,()22,0.x x c x f x c x −⎧⎪=⎨−<⎪⎩≥ 若()f x 恰有一个零点，则c 的取值范围是（A ）(0,1)（B ）{0}[1,)+∞（C ）1(0,)2（D ）1{0}[,)2+∞（10）n 名学生参加某次测试，测试由m 道题组成．若一道题至少有23n 名学生未解出来，则称此题为难题；若一名学生至少解出了23m 道题，则该生本次测试成绩合格．如果这次测试至少有23n 名学生成绩合格，且测试中至少有23m 道题为难题，那么mn 的最小值为（A ）6 （B ）9 （C ）18（D ）27第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

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北京市西城区2010年高三抽样测试数学试题（文科）、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.设集合 A 珂2,3,4} , B ={2,4,6},若已知命题R ,cosx_1，则A . 一p : x R ,cos x -1B . 一p : -x R ,cos x _ 1C . —p : x R ,cos x 1D . - p : 一 x R ,cos x 1设变量x,y 满足约束条件x y—3, l x _ y —1, 则目标函数z = y • 2x 的最小值为（）“ In x • 1 ” 是“ x 1 ”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件既不充分也不必要条件如图，三棱柱 ABC -A 1B 1C 1的侧棱长和底面边C . 2.27.等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若a 7 0 ,：：： 0 ,则下列结论正确的是2010. 5C .充要条件长均为2，且侧棱AA| _底面ABC ，其正视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）图的面积为A . 、、32.36.在数列｛a n ｝中,a n = a n4 n , n _2 .计算这个数列前10项的和，现给出该问题算法的程序框图（如图所示），则图中判断框（1）处合适的语句是A . i -8B . i 一9C . i -10D . i -11Ai =i +1J La = a + i 工s = s + a-是输出sA . S z :: S 8B.S 15 ：：'S 16i = 0,a = 0, s = 结束8.给出函数f(x)的一条性质：“存在常数M，使得f (x) < M x对于定义域中的一切实数x均成立.”则下列函数中具有这条性质的函数是1 2A. yB. y = xxC. y = x 1D. y = xsin x二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.i是虚数单位，— = .2+i10._________________________________________ 函数y=sin x+cosx的最小正周期是，最大值是.211.在抛物线y =2px上，横坐标为2的点到抛物线焦点的距离为3，则p= ________ .12._________________________________________________________ 圆心在x轴上，且与直线y=x切于(1,1)点的圆的方程为________________________________________________ .13.设a, b, c为单位向量，a, b的夹角为60，则ac + bc的最大值为_____________ .千n, n为奇数时，14.我们可以利用数列｛a*｝的递推公式an=$an n为偶数时(n E N )求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数.则a24 a25 二___________ ;研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第______ 项.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15.(本小题满分12分)3在-ABC中，角代B, C的对边分别为a,b,c , cos A , C = 2A.4(i)求cosC的值；(n)若ac = 24，求a,c的值•在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分; 第二组，成绩大于等于50分且小于60分；……第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图•在选取的40名学生中，(I)求成绩在区间［80,90)内的学生人数；(H)从成绩大于等于80分的学生中随机选求至少有1名学生成绩在区间［90,100］内的概率•17.(本小题满分13分)如图，已知四棱柱ABCD - A3GD1的底面是菱形，侧棱BB _底面ABCD , E是侧棱C®的中点.(I)求证：AC _ 平面BDD1B1；(n)求证：AC//平面B1DE .C1ECA B为6.(I)求椭圆C 的方程;(n)设直线l:y=kx —2与椭圆C 交与代B 两点，点P(0,1)，且PA =| PB ，求直线l 的方程•佃.(本小题满分14分)设函数 f (x) = x 2 - a •(I)求函数g(x)二xf(x)在区间［0,1］上的最小值；(n)当a 0时，记曲线y =f(x)在点卩(捲「(洛))(% .二)处的切线为I , I 与x 轴交于点 A (X 2,0)，求证：为X 2 .a .20.(本小题满分14分)如果由数列｛a n ｝生成的数列｛b n ｝满足对任意的n • N *均有b 1 ：：： d ,其中g = a . 1 - a .，则称数列｛a n ｝为“ Z 数列”.2(I)在数列｛a n ｝中，已知a n 二- n ，试判断数列｛a .｝是否为“ Z 数列”； (n)若数列｛a n ｝是“ Z 数列”,印=0 , 6 = -n ，求a .；(川)若数列｛a n ｝是“ Z 数列”，设 s,t,m N *，且 s ：：： t ，求证：a t - a sa^a s .2 2已知椭圆C :笃•爲=1( a ■ b .0)的离心率为a b椭圆C 上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和北京市西城区2010年抽样测试参考答案高三数学试卷（文科）2010.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345 6 7 8答案B C D A B C C D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.1 2.匸2 2 —9. i10.2211. 212. (x-2) y =25 513. 314.28,640注：两空的题目，第一个空2分，第二个空：3分.三、解答题：（本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.）15、解：（I）因为COSA 3,所以cosC 二cos2A = 2cos2A-1 ........ 3分3 21=2 (汀-1 . ........ 5分4 8n)在ABC中，因为cosA = 3，所以sin A = V ,… ........ 7分441 t 12 3.7因为cosC ，所以sin C = . 1 - L)-8 ，......... 9分根据正弦定理 a c, ........ 10分sin A sinC所以a,c 3又ac =24，所以a = 4, c = 6 ......... 12分16、解：（I）因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间［80,90）的频率为1 -（0.0052 0.015 0.020 0.045） 10 =0.1 , ....................3 分所以，40名学生中成绩在区间［80,90）的学生人数为40 0.1 =4 （人）•............. 5分（n）设A表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选两名学生，至少有一名学生成绩在区间［90,100］内”由已知和（I）的结果可知成绩在区间［80,90）内的学生有4人，记这四个人分别为a,b,c,d , 成绩在区间［90,100］内的学生有2人，记这两个人分别为e, f ,则选取学生的所有可能结果为:(a,b),(a,c),( a,d),( a,e),( a, f),( b,c),( b, d),( b,e),( b, f), (c,d),( c,e),( c, f)，(d,e),(d, f),(e, f) 基本事件数为15,事件“至少一人成绩在区间［90,100］之间”的可能结果为:(a,e),(a, f),( b,e),( b, f), (c,e),(c, f),( d,e),(d, f),( e, f)，基本事件数为9,9 3 所以P（AH--15 511分13分17、证明：（I）因为ABCD是菱形，所以AC _ BD ,因为BE _ 底面ABCD，所以BB1 _ AC，所以AC _ 平面BDD1B1.(n)设AC , BD交于点O ,取B1D的中点F，连接OF ,EF , 小1则OF // BE，且OF BB1,21又E 是侧棱CC1的中点，EC CC1, BB1//CC1, BB^CC1,1 所以OF // CG，且OF CC「••…2所以四边形OCEF为平行四边形, OC//EF，又AC二平面B1DE，EF 平面BDE，11分所以AC //平面B1DE .13分c 18、解：（I）由已知2a =6,- _±6a _ 3 ，所以b2 = a2-c2= 3，2所以椭圆C的方程为x y 1.9 3'2 21—1 2 2(n)由9 3'得，(1 3k )x -12kx 3=0, y 二kx「2 C1 E C直线与椭圆有两个不同的交点，所以- 144k2-12（1 • 3k2） 0 ,19、(I)解：g(x) =x 3「ax , g(x)=3x 2「a ,..................... -分当a^O 时，g(x)为R 上的增函数，所以g(x)在区间［0,1］上的最小值为g(0) =0 ；............. 4分当a 0时，g (x)的变化情况如下表:x宀網)(卜)g(x )+ —+a c 1，即 0ca£3时，当片a -1，即a-3时，g(x)在区间［0,1］上的最小值为g(1) = 1-a .……8分综上，当a 乞0时，g(x)在区间［0,1］上的最小值为 g(0) = 0；当0 ：：： a ：：： 3时，g(x)的最小值为2 1 解得k 2 .-.9设 A(x -,y -), B(X 2, y 2),12k3则 x x 22 , X t X 22 ,1 3k 21 3k 212k 计算％ y = k(x 「x ) -4 = k :2 - 4 =— 1 3k 2 1 3k6k 2所以，A,B 中点坐标为E( 6 2 ,- 2), 1+3k 2 1+3k 210分因为 PA = PB ，所以 PE 丄 AB , k pE k AB = -1 ,所以2 1 3k 2 6k 1 3k 2解得k = 1, 经检验，符合题意,12分13分所以直线丨的方程为x-y-2=0或x y ^0.14分畑)上单调递增，在(一订孑以，函数g(x)在(-：：上单调递a 3g(x)在区间［0,1］上的最小值为2a ———J 3a ；当a _3时，g(x)的最小值为1-a . 9(n)证明：曲线 y = f (x)在点 P(x“ f(xj) ( x^ ■, a )处的切线方程为 y - (x ： - a) =2x d x - xj ,2 2x 12所以 x 2 =兰x^ — .a , ................... 13 分 2x 1 2 2x 1所以％ x 2 - a. ................... 14分20、解：(i)因为 a n - -n 2,2 2 *所以 b n = a n q . —a n = -(n 1) ■ n 2n —1 , n ■ N , .................. 2 分所以 b n “ -b n - -2(n 1)-12n 1 - -2 ,所以b n 「：：b n ，数列｛a .｝是“ Z 数列”............. 4分(n)因为 b n - -n ,所以去 - a 1 = 0 = -1 ,玄 - a 2 = b 2 = -2，…，％ - a n 」=0」=-(n - J , 所以 a n _a 1 =—1 —(n_ 1) = _(n_1)n( n 启2), ................... 6 分2所以 a n( n —2),2又印二0，所以a n=-5加(n N *) ............. 8分2(川)因为 a s.m— a s =(a s 「a s m_>) 71「何 1 -a $)二b s V b s ,a t m -a t = (a t m -a t m4MH '佝 1 -ajb ,.......... 10分又 s,t,m N *，且 s ：：： t ，所以 s i < t i , b s ■ bt., , n • N * , 所以 b sm4 bm — b sm, ' b t m J H , b s ■ bt ,............ 12 分所以 a t m —a 「：： a s m -a s ，即 a m 一a $ m ”： a t -a $............. 14 分令八0,得x2=；j ，—……10分2 2所以x 2生，因为x^. a ，所以 a - X [-::0 , X :： x .… ……11分2%2x 12因为为• a ，所以x i—。

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