第八届华罗庚金杯赛复赛试题及解析

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第八届华杯赛复赛试题及解答

第八届华杯赛复赛试题及解答（一）填空2. 长方形草地ABCD 被分为面积相等的甲、乙、丙和丁四份（如右图）,其中图形甲的长和宽的比是 a : b=2： l ，其中图形乙的长和宽的比是（）：（）。

3. 乘火车从甲城到乙城，1998年孺要19.5小时，1998年火车第一次提速30%, 1999年第二次提速25%, 2000年第三次提速20%,经过这三次提速后，从甲城到乙城乘火车只需（）小时。

4.埃及著名的胡夫金字为正四棱锥形，诈方形底座边长为 230.4，塔高146.7米，假定建筑金字塔所用材料全部是石英石，每立方米重 27001. 1 1 2 2 3-xl.9 + 19.5-4- 3.S+4- + 2 — 3 2 . 3 15—-0.16 0一5』1 丄+4 1I 20 丿=().caB千克那么胡夫金字塔的总重量是（）千克。

5.甲、乙两人从A地到B地，甲前三分之一路程的行走速度是5千米/时，中间三分一路程的行走速度是4.5千米/时，最后三分一的路程的行走速度是4千米/时；乙前二分之一路程速度是5千米/时，后二分之—路程的行走速度是4千米/时。

已知甲比乙早到30秒，A地到B地的路程是（）千米。

6.有很多方法能将2001写成25个自然数（可以相同，也可以不相同）的和，对千每一种分法，这25个自然数均有相应的最大公约数，那么这些最大公约数中的最大值是（）。

（二）解答（要求写出简要过程）7.能否找到自然数a和b,使.■/-".-I8.A，B两邀相距120千米，已知人的步行速度是每小时5千米，摩托车的行玻速度是每小时50千米，摩托车后座可带一人。

问：有三人并配备一辆摩托车从A地到B地最少需要多少小时？（保留一位小徽）9.6个人围成一圈，每人心里想一个数，并把这个数告诉左、右相邻的两个人。

然后每个人把左、右两个相邻人告诉自己的数的平均数亮出来，如图所示。

问：亮出数11的人原来心中想的数是多少？10.2001个球平均分给若干人，恰好分完。

华罗庚竞赛试题及答案初二

华罗庚竞赛试题及答案初二华罗庚数学竞赛是一项旨在培养学生数学兴趣和提高数学能力的比赛。

以下是一份适合初二学生的华罗庚数学竞赛试题及答案。

华罗庚数学竞赛初二试题一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是质数？A. 4B. 9C. 13D. 162. 如果一个数的平方根是2，那么这个数是：A. 2B. 4C. 8D. 163. 一个等差数列的首项是3，公差是2，那么第6项是：A. 13B. 15C. 17D. 194. 一个直角三角形的两个直角边分别是3和4，那么斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 85. 一个圆的半径是5，那么它的面积是：A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π二、填空题（每题2分，共10分）6. 如果一个数的平方是36，那么这个数是_________。

7. 一个数的立方是-27，那么这个数是_________。

8. 一个数的倒数是2/3，那么这个数是_________。

9. 如果一个等差数列的第3项是9，第5项是15，那么这个数列的公差是_________。

10. 一个圆的周长是31.4，那么它的半径大约是_________。

三、解答题（每题5分，共20分）11. 证明：对于任意正整数n，n² - 1总是可以被8整除。

12. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，求证：它的体积V=abc。

13. 已知一个三角形的三边长分别为a、b、c，且a² + b² = c²，证明这个三角形是直角三角形。

14. 一个圆的半径是r，求圆的周长和面积的公式。

四、应用题（每题10分，共20分）15. 一个农场主有一块长方形的土地，长是宽的两倍。

如果这块土地的周长是100米，求这块土地的长和宽。

16. 某公司计划在一年内将销售额提高20%，如果去年的销售额是100万元，求今年计划的销售额。

答案一、选择题1. C2. B3. A4. A5. B二、填空题6. ±67. -38. 3/29. 310. 5（或近似值）三、解答题11. 略12. 略13. 略14. 周长：2πr，面积：πr²四、应用题15. 长：50米，宽：25米16. 计划销售额：120万元结束语：通过这份试题，我们希望同学们能够加深对数学概念的理解，提高解决实际问题的能力。

华罗庚金杯数学邀请赛决赛初二组练习题(含答案)

第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中二年级组) 总分第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（初中二年级组·练习用）一、填空题（每小题10 分, 共80 分）2019 2 2 1009 2 20181.计算1 2 2018.2. 一块正三角形草坪边长为 12 米，三个顶点处都安有喷水装置，每个喷水装置都可以从三角形的一边到另一边旋转60º来回喷水．假定三个喷水装置的射程相等，要使草坪上所有区域都可以被喷水覆盖，那么被重复喷水的最小面积是平方米．3. 从 2， 3， 4， 5 这四个数中，任取两个数p,q( p q) ，构成函数y px 2 和y x q ，如果这两个函数图象的交点在直线x 2 的左侧，那么这样的有序数对( p,q) 共有个．4. 设p 为质数，如果二次方程x2 2px p2 5p 1 0的两个根都是整数，那么p 可能取的值有个.5. 如果1295 (6n 1) （其中n 是整数，且1986≤n≤2018 ），那么满足条件的n 的个数是.6. 如图所示，在正六边形ABCDEF 内放有一个正方形MNPQ ，正方形的顶点分别在正六边形的 4 条边上，且MN //BC ．若正方形MNPQ 的面积为12 6 3 平方厘米，则正六边形ABCDEF 的面积是平方厘米．7. 将 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11 这 11 个数排成一行，使得任意 5个相邻的数的和都是 5 的倍数．那么这样的排列方法有种．8. 四张卡片，每张写着一个自然数，任取 2 张，或者 3 张，或者 4 张，把卡片上的数求和，可以得到 11 个不同的和，那么 4 张卡片上所有数的和最小为．第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中二年级组)二、解答下列各题（每小题10 分, 共40 分, 要求写出简要过程）9. 有 A ，B 两队野外徒步旅行，A 队在 B 队的西偏北 45 度处，两队相距8 2千米．如果 A 队向东继续行走， B 队同时沿西偏南45 度路线行走，且 A队与 B 队的速度比是 2 ，求A，B 两队最近时的距离．10. 如果实数x, y,z 同时满足关系式x( y2 z) z(z xy) ，y(z2 x) x(x yz) ，z(x2 y) y( y zx) ，那么，实数x, y,z 是否一定都相等？请给出证明．11. 如图，在四边形ABCD 中， ABC BCD 120 ，AB BC ．对角线AC ，BD 相交于点E ．若AE 3CE ，求证：AB 2CD ．12. 从 76 个连续自然数 1，2，…，76 中任取 39 个数，其中必有 2 个数的差是p ，求p 的值．三、解答下列各题（每小题15 分, 共30 分, 要求写出详细过程）13. 如图，在五边形ABCDE 中，AB AE 1 ， CAD 45 ， E DE EAB B 90 ，求点A到直线CD 的距离． CA B14. 如图，一个由 81 个小方格组成的9 9 网格．先将其中的任意n 个方格染黑，然后按照以下规则继续染色：如果某个方格至少与 2 个黑格都恰好有 1 个公共顶点，那么就将这个方格染黑．现在要按照这个方法将整个棋盘都染成黑色，那么n的最小值是多少？说明你的结论．第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初中二年级组)第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题·练习用参考答案（初中二年级组）一、填空题（每小题10 分, 共 80 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案2018 1 24π 36 3 5 2 83 322304 14二、解答下列各题（每小题10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）16 1059. 【答案】A ，B 两队最近时的距离是千米．【解答】如图，以B 队初始位置为原点，正东、正北方向为x 轴和y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，B(0,0) ，A( 8,8)．不妨y设B 队的速度为 1，那么A队的速度为 2 ，经过时间t A A1x后，B 队所在位置是 2 2B ( t, t) ，A队所在位置是12 2B1BA1( 8 2t,8) ，于是此时两队的距离d 满足2 2 2 2 2 28 2d ( 8 2t t) (8 t) 5t 16 2t 128，当t 时，d取到最2 2 5小值512 16 10千米．5 510. 【答案】x, y,z 一定都相等．【证明】将原关系式变形，得xy(y z) z(z x) ①，yz(z x) x(x y) ②，zx(x y) y(y z) ③．（1）当(x y()y z ()zx) 0 时，不妨设x y ，由③得y 0 或者y z ．若y z ，则x y z ；若y 0 ，有x 0 ，代入①，得z 0 或者z x 0 ，即x y z 0 ．（2）当(x y)(y z)(z x) 0 时，将①②③相乘得xyz(xyz 1) 0，即xyz 0 或xyz ．如果xyz 0 ，不妨设y 0 ，由（1）知z 0或者z x ，矛盾！如果xyz 1，1- 1 -不妨设x≥y≥z ，显然x 0 ．假设x y ，考虑②式，有x(x y) 0 ，又1yz 0，xz x ，所以yz(z x) 0 ．矛盾！所以x y z ．证毕！11. 【证明】作BM AC于M.因为△ABC 中，AB BC ， ABC=120 ，所以AM CM, CAB ACB 30 ．因此AB 2BM ．由于 ACB 30 ，所以 ACD 90 ．又由AE 3CE 和AM CM 得：AM ME 3CE ，即CM ME 3CE ．即(ME CE) ME 3CE 所以2ME 2CE ，故ME CE ．在 Rt△BME 与 Rt△DCE 中，因为ME CE ， BEM DEC ，所以Rt△BME ≌Rt△DCE ．因此BM CD ．由于AB 2BM （已证），所以AB 2CD ．12. 【答案】p 的值为 1，2，19，38．【解答 1】p 的值是 1，2，19，38．做抽屉，每个抽屉内有差为p 的两个数，或仅有一个数：当p≥39 时, 有两类抽屉，第一类，每个抽屉有 2 个非零自然数，差是p ：{76,76 p}，{75, 75 p}，…，{p 2,2}，{p 1,1}，个数是76 p ；第二类，每个抽屉仅有 1 个不大于p 的非零自然数，但与p 的和大于76：{77 p}，{78 p}，…，{p}个数是76 2 (76 p) 2p 76 ．此时，抽屉总数是p 个．从每个抽屉各取一个数，因为p≥39 ，这些数中不存在差是p 的两个数．当p≤38时，做抽屉：{1, p 1},{2, p 2},{3, p 3} ,{4, p 4}…{p,2 p} ,{2p 1,3p 1},{2p 2,3p 2},{2p 3,3p 3} ,…{3p,4p} ,……,- 2 -76 76 76 762p 1 1, 2p 1 p 1 , 2p 1 2, 2p 1 p 2 ,2p 2p 2p2p76 76．2p p,2p2p2p①若76 762p 2p，则抽屉到此为止，共有 38 个抽屉，从中任取 39 个，必有2 个取自同一个有两个数的抽屉，差是p ．所以，p 1, 2,19, 38 ．②若76 762p 2p，则还有抽屉：76 762p 1 , 2p 2 ,{76}，2p 2p76个数是76 2p2p．得到抽屉的个数是：76 76 76 76 76 76p p p p p76 2 76 76 38p p p p p p2 2 2 2 2 276 76 76其中，2p 2p2p ，此时，p76≥1，抽屉的个数≥39．从其中 392p个抽屉各取 1 个数，不存在两个数的差是p ．所以，p 的值是 1, 2, 19, 38．【解答 2】记76 kp r ，0 r p ，把 1 到 76 按照下面排成p 行，1 2r p 1 p2 pr 2p2p1 (k1)2rp(k1) p(k1) pkp1kp2kprkpk 为偶数时，记k 2l （注,当k 为偶数时，由于 76 是偶数，r 也是偶数），则前r 行可以取l 1个数，后p r 行可以取l 个数，这lp 个数任意两个数的差不等于p ．kp 76 r rr r r 382 2 2k 为奇数时，记k 2l 1（注,当k 为奇数时，由于 76 是偶数，p r 也是偶数），则前r 行可以取l 1个数，后p r 行也可以取l 1个数，这2(l 1) p (2l 1) p p kp p 76 r p p r(l 1) p 38 个数任意两个数2 2 2 2 2的差不等于p ．r 当r 0时， 02p r与 0，因此任取 38+1=39 个数时，任意两个数的差2- 3 -。

初中竞赛数学第八届“华杯赛”初一年级组复赛试题(含答案)

第八届“华杯赛”初一年级组复赛试题一、填空题:1、计算:41112111111+++++2、某种零件的合格品规格为Фmm 4.02.050+-，其中有一个不合格零件与合格品的要求相差0.02mm ．这个不合格的零件的直径，其最大的可能值与最小的可能值的差是______mm ．3、令 ||||||ab ab b b a a x ++=，则x 的最大值与最小值的和是___________． 4、已知 c a c b a +=+=321，则有 ba c += ____________. 5、1998年火车第一次提速30%，1999年第二提速25%，2000年第三次提速20%．经过这三次提速后，从北京到G 城的特快列车只需运行10小时，提速前则需要运行___________小时．6、有很多方法能将2001写成25个自然数（可以相同，也可以不相同）的和，对于每一种分法，这25个自然数均有相应的最大公约数，那么这些最大公约数中的最大值是__________.二、解答下列各题7、已知如图两个同心圆的半径为R 和r ，均为自然数，圆环（阴影部分）面积是713π，问：这两个同心圆的半径R 和r 各多少？8、已知m 是整数，方程组⎩⎨⎧=+=-,266,634my x y x 有整数解，求出m 的值．9、已知 AC DC 31=，DOC ∆是等边三角形，OB 和OC 都垂直于BC （如图），阴影部分面积的2倍与扇形DMC 的面积相比，哪个面积大？10、10个人围成一圈，每人心里想一个数，并把这个数告诉左右相邻的两个人，然后每个人把左右两个相邻人告诉自己的数的平均数亮出来，如图所示，问亮5的人心中想的数是多少？三、解答下列各题11、电子跳蚤游戏盘（如图所示）为ABC ∆，AB =8，AC =9，BC =10，如果电子跳蚤开始时在BC 边上0P 点，40=BP ．第一步跳蚤跳到AC 边上1P 点，且01CP CP =；第二步跳蚤从1P 跳到AB 边上2P 点，且12AP AP =；第三步跳蚤从2P 跳回到BC 边3P 点，且23BP BP =；……跳蚤按上述规则跳下去，第2001次落点为2001P ，请计算0P 与2001P 之间的距离．12、某工厂每天用于生产玩具小狗和小猫的全部劳动力为90个工时，原料为80个单位．生产一个小狗要用2个工时和4个单位的原料；生产一个小猫要用3个工时和1个单位的原料．问：每天生产玩具小狗和小猫的总数最多是多少？第八届“华杯赛”初一年级组复赛试题答案一、填空题1、223242 解：原式=5421111111++++=1+14511111++=19141111++=1+22324222319=． 2、0.64解：既然合格品规格为Фmm 4.02.050+-，这个不合格零件的直径，可能在（50-0.22）mm 到（50+0.42）mm 之间．所以，这个不合格的零件的直径最大的可能值与最小的可能值的差是0.64mm ．3、2解：既然 ⎩⎨⎧<->=时当时当0,10,1||y y y y ， x 有三项类似于||y y 的式子，x 的最大值是3，x 的最小值是-1．所以，x 的最大值与最小值的和是2．4、2解：⎩⎨⎧=+=+,3,2a c a a c b ⎩⎨⎧==+⇒,2,2a c a c b ⎩⎨⎧==⇒.2,0a c b 所以， 202=+=+a a b a c ． 5、19.5解：设3次提速前的速度是v ，3次提速后的速度是v (1+30%)(1+25%)(1+20%)，设北京到G 城的路程是s ，则有10%)201%)(251%)(301(=+++v s （小时），所以，提速前则需要运行的时间=5.19%)201%)(251%)(301(10=+++⨯=vs （小时）．6、3，23，29，69解：首先需要说明，本题中的自然数是指正整数，即不包括0．分解因子2001=3×23×29．设d 是这25个正整数的最大公约数，则这25个正整数为=⨯k a d k (1，2， (25)， 29233)(2521⨯⨯=+++a a a dda a a 292332521⨯⨯=+++ d 整除2001，并且 1(=k a k ，2，…，25）是正整数，25≤da a a 292332521⨯⨯=+++ ．所以，d 可能的取值是3，23，29和69．答：是69．二、解答下列各题7、27，4解：由圆的面积公式： ππ713)(22=⨯-r R ，已知 713=23×31，只能有 R+r=31， R -r=23，解上面二元一次方程组，得到R =27，r =4．8、-4，-5，-13解：首先将m 看作已知量，解二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-)2(,266)1(,634my x y x第（2）个方程乘2减第（1）个方程乘3，得到（2m +9）y=34=1×2×17．即然y 是整数，（2m +9）|1×2×17．因为m 是整数，所以，m 可能的取值是：-4、-5、4和-13．第（2）个方程乘3加第（1）个方程乘m ，得到 92393++=m m x ，(3) 将m 可能的取值代入（3），为使x 是整数，m 只能是-4，-5和-13．9、2解：因为DOC ∆是等边三角形，︒=∠60DCO ，OC 都垂直于BC ，︒=∠30DCB ，DCB∆是直角三角形，所以，DCB ∆的面积=DCO ∆21的面积，又因为已知AC DC 31=，ACB ∆的面积=DCB ∆3的面积=DCO ∆23的面积．所以，阴影部分面积的2倍=DCO ∆5的面积．既然扇形DMC 的面积>5DCO ∆的面积，所以，扇形DMC 的面积大于图中阴影部分面积的2倍．10、10解：设亮5的人心中想的数是5x ，设亮7的人心中想的数是7x ，设亮9的人心中想的数是9x ，设亮11的人心中想的数是11x ，设亮13的人心中想的数是13x ，可列出方程：1275=+x x ，1697=+x x ，241311=+x x ，28513=+x x ，直接解这组5元一次方程，就可以得到解答，但比较烦琐．可以用尝法，5个方程相加，得到501311975=++++x x x x x ．五个方程两两相减，可以得到7x ，11x ，5x ，9x ，13x 是公差为4的等差数列．所以， 27=x ，611=x ，105=x ，149=x ，1813=x ．三、解答下列各题11、1解：电子跳蚤跳3步回到BC 边，所以，既然2001能被3整除，第2001步落在BC 边上．因40=BP ，BC =10，故 61=CP ．因AC =9，故 32=AP ．因AB =8，故 53=BP ．因BC =10，故 54=CP ．因AC =9，故 45=AP ．因AB =8，故46=BP ，……电子跳蚤跳6步后回到原来位置，2001被6除余3，故52001=BP ，所以，1450200120010=-=-=BP BP P P ．答：0P 与2001P 之是的距离是1．12、35解：设生产玩具小狗和小猫的数量分别是x 和y ，由已知条件，可以得到两个不等式：⎩⎨⎧≤+≤+,804,9032y x y x （1）将（1）的第1个不等式方程乘2加第2个不等式相加，得到8x +7y ≤260．即有不等式7（x+y ）≤260-x ，x+y ≤713777137--=-+x x ． (2) 解二元一次方程组 ⎩⎨⎧=+=+,804,9032y x y x 得到x =15，y =20是满足（1）的一组解，即，可以有x+y ≥35． (3)从（1）的第一个方程y ≤3230x - (4) (4)说明y 最大是30，结合（3），所以 x ≥5．再次利用（4）y ≤3230x -≤31030-≤3226．因为y 必须是整数，所以 y ≤26．再次利用（3）不等式，得到 x ≥9．利用（2）不等式，得到x+y ≤7137--x ≤76357837=-．上式说明x+y 最大不超过35，（3）说明x+y 可以达到35．所以答案是：每天生产玩具小狗和小猫的总数最多可以是35个．。

“华罗庚金杯”少年数学邀请赛(口试)试题1-10届

华罗庚金杯少年数学邀请赛口试试题第01届华罗庚金杯少年数学邀请赛口试试题1. 这是七巧板拼成的正方形，正方形边长20厘米，问七巧板中平行四边形的一块（如右图中阴影部分）的面积是多少？2．从所有分母小于10的真分数中，找出一个最接近0.618的分数。

3．有49个小孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同，请你挑选出若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，你最多能挑选出多少个小孩子？4．有一路公共汽车，包括起点和终点站共有15个车站，如果有一辆车，除终点到站外，每一站上车的乘客中，恰好各有一位乘客从这一站到以后的每一站，为了使每位乘客都有座位，问这辆公共汽车最少要有多少个座位？5．正方形的树林每边长1000米，里面有白杨树和榆树，小明从树林的西南角走入树林，碰见一株白杨树就往正北走，碰见一株榆树就往正东走，最后他走了东北角上，问：小明一共走了多少米的距离？6．自然数按从小到大的顺序排成螺旋形，在2处拐第一个弯，在3处拐第二个弯，在5处拐第三个弯……问拐第二十个弯的地方是哪一个数？第02届华罗庚金杯少年数学邀请赛口试试题1、如下图是一个对称的图形，黑色部分面积大还是阴影部分面积大？2、你能不能将自然数1到9分别填入右面的方格中，使得每个横格中的三个数之和都是偶数？3、司机开车按顺序到五个车站接学生到学校（如下图），每个站都有学生上车，第一站上了一批学生，以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半，车到学校时，车上最少有多少学生？4、如图中五个正方形的边长分别是1米、2米、3米、4米、5米。

问：白色部分面积与阴影部分面积之比是多少？5、用1、2、3、4、5这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积，问乘积中是偶数多还是奇数多？6、7、将右边的硬纸片沿虚线折起来，便可作成一个正方体，问：这个正方体的2号面对面是几号面？（如下图）8、下面是一个11位数，它的每三个相邻数之和都是20，你知道打“？”的数字是几？9、有八张卡片，右图分别写着自然数1到8，从中取出三张，要使这三张卡片上的数字之和为9，问有多少种不同的取法？第03届华罗庚金杯少年数学邀请赛团体决赛口试1．一条白色的正方形手帕，它的边长是18厘米，手帕上横竖各有二道红条，如右图阴影所示部分，红条宽都是2厘米．问：这条手帕白色部分的面积是多少？2．伸出你的左手，从大拇指开始如图所示的那样数数字，1，2，3，……，问：数到1991时，你数在那个手指上？3．有3个工厂共订300份吉林日报，每个工厂订了至少99份，至多101份．问：一共有多少种不同的订法？4．图上有两条垂直相交的直线段AB、CD，交点为E（如下图）．已知：DE=2CE，BE=3AE．在AB和CD上取3个点画一个三角形．问：怎样取这3个点，画出的三角形面积最大？5．如下图中有两个红色的圆，两个蓝色的圆，红色圆的直径分别是1992厘米和1949厘米，蓝色圆的直径分别是1990厘米和1951厘米．问：红色二圆面积大还是蓝色二圆面积大？6．在一张9行9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来（如下图），填在这个方格中，例如a=5＋3=8．问：填入的81个数字中，奇数多还是偶数多？7．能不能在下式：1□2□3□4□5□6□7□8□9=10的每个方框中，分别填入加号或减号，使等式成立？8．把一个时钟改装成一个玩具钟（如右图），使得时针每转一圈，分针转16圈，秒针转36圈．开始时3针重合．问：在时针旋转一周的过程中，3针重合了几次？（不计起始和终止的位置）．9．将1，2，3，4，5，6，7，8这8个数分成3组，分别计算各组数的和．已知这3个和互不相等，且最大的和是最小的和的2倍．问：最小的和是多少？10.这是一个棋盘，将一个白子和一个黑子放在棋盘线交叉点上，但不能在同一条棋盘线上．问：共有多少种不同的放法（如下图）？11.这是两个圆，它们的面积之和为1991平方厘米，小圆的周长是大圆周长的90％（如右图）．问：大圆的面积是多少？12.有一根1米长的木条，第一次去掉它的，第二次去掉余下木条的；第三次又去掉第二次余下木条的，等等；这样一直下去，最后一次去掉上次余下木条的．问：这根木条最后还剩下多长？13.这是一个楼梯的截面图（如下图），高2.8米，每级台阶的宽和高都是20厘米．问：此楼梯截面的面积是多少？14.请找出6个不同的自然数，分别填入6个括号中，使这个等式成立．第04届华罗庚金杯少年数学邀请赛团体决赛口试1．2×3×5×7×11×13×17这个算式中有七个数连乘，请回答：最后得到的乘积中，所有数位上的数字和是多少？请讲一讲你是怎样算的？2．这是一个中国象棋盘（图中小方格都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方形边长），黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8，9，10，11，12， 13，14中的两个位置．问：这三个棋子（一个“象”和两个“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？3．将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种形状的短管（加工损耗忽略不计）问：剩余部分的管子最少是多少厘米？4．乙两人同时从A出发向B行进，甲速度始终不变，乙在走前面路程时，速度为甲的2倍，而走后面路程时，速度是甲的，问甲、乙二人谁选到B？请你说明理由。

华杯数论

华杯赛数论专辑A1.哥德巴赫猜想是说：“每个大于2的偶数都可以袤示成两个质数之和”。

问：168是哪两个两位数的质数之和，并且其中的一个的个位数字是1?【第六届华杯赛初赛试题】2.任意写一个两位数，再将它依次重复3遍成一个8位数．将此8位数除以该两位数所得到的商再除以9，问：得到的余数是多少？【第九届华杯赛初赛试题】3．将l999表示为两个质数之和：l999=口+口，在口中填入质数。

共有多少种表示法?【第七届华杯赛初赛试题】4．五个比0大的数它们两两的乘积是1，80，35，1.4，50，56，1.6，2，40，70这十个值，问这五个数中最大数是最小数的多少倍？【第07届华罗庚金杯少年数学邀请赛团体决赛口试试题】5.能将1，2，3，4，5，6，7，8，9填在3×3的方格表中（如下图），使得横向与竖向任意相邻两数之和都是质数吗？如果能，请给出一种填法：如果不能，请你说明理由．【第07届华罗庚金杯少年数学邀请赛团体决赛口试试题】6.将1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数排成一行，使得第二个数整除第一个数，第三个数整除前两个数的和，第四个数整除前三个数的和，…，第九个数整除前八个数的和，如果第一个数是6，第四个数是2，第五个数是1．问排在最后的数是几？【第07届华罗庚金杯少年数学邀请赛团体决赛口试试题】7.能否找到自然数a和b，使a2=2002+b2.【第八届华杯赛复赛试题及解答】8.1到100所有自然数中与100互质各数之和是多少？【第九届华杯赛总决赛一试试题】9.a，b和c都是二位的自然数，a，b的个位分别是7与5，c的十位是1。

如果它们满足等式ab+c=2005，则a+b+c=( )。

【第十届华杯赛决赛试题】10.小于10且分母为36的最简分数共有多少个? 【第十届华杯赛口赛试题】11.构成自然数的所有数字互不相同，这些数字的乘积等于360。

求n的最大值。

【第十届华杯赛口赛试题】12.将两个不同的自然数中较大的数换成这两个数的差，称为一次操作，如对18和42可连续进行这样的操作。

历届华杯赛初赛、复赛真题及答案

华罗庚金杯少年数学邀请赛（简称“华杯赛”）是为了纪念我国杰出数学家华罗庚教授，于1986年始创的全国性大型少年数学竞赛活动，由中国少年报社（现为中国少年儿童新闻出版社）、中国优选法、统筹法与经济数学研究会、中央电视台青少中心等单位联合发起主办的。

华杯赛堪称国内小学阶段规模最大、最正式也是难度最高的比赛。

对一个对于学校课堂内容学有余力的学生来讲，适当学习小学奥数能够有以下方面的好处
1、促进在校成绩的全面提高，培养良好的思维习惯；
2、使学生获得心理上的优势，培养自信；
3、有利于学生智力的开发；
4、数学是理科的基础，学习奥数对于这个学生进入初中后的学习物理化学都非常有好处（很多重点中学就是因为这个原因招奥数好的学生）。

5、很多重点中学招生要看学生的奥数成绩是否优秀。

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历年华罗庚金杯试题

历年华罗庚金杯试题第一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题1．1966、1976、1986、1996、2006这5个数的总和是多少？2．每边长是10厘米的正方形纸片，正中间挖一个正方形的洞，成为一个宽度是1厘米的方框。

把5个这样的方框放在桌面上，成为这样的图案。

问桌面上被这些方框盖住的部分面积是多少平方厘米？3．105的约数共有几个？4．妈妈让小明给客人烧水沏茶。

洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟。

小明估算了一下，完成这些工作要花20分钟，为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？5．右面的算式里，4个小纸片各盖住了一个数字。

被盖住的4个数字总和是多少？6．松鼠妈妈采松籽。

晴天每天可以采20个。

有雨的天每天只能采12个。

它一连几天采了112个松籽，平均每天采14个。

问这几天当中有几天有雨？7．边长1米的正方体2100个，堆成一个实心的长方体。

它的高是10米，长、宽都大于高。

问长方体的长与宽的和是几米？8．早晨8点多钟，有两辆汽车先后离开化肥厂，向幸福村开去。

两辆汽车的速度都是每小时60公里。

8点32分的时候，第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的3倍。

到了8点39分的时候，第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的2倍．那么，第一辆汽车是8点几分离开化肥厂的？9．有一个整数，除300、262、205，得到相同的余数．问这个整数是几？10．甲、乙、丙、丁4个人比赛乒乓球，每两个人都要赛一场．结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙3个胜的场数相同．问丁胜了几场？11．两个十位数1111111111和9999999999的乘积有几个数字是奇数？12．黑色、白色、黄色的筷子各有8根，混杂地放在一起。

黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子。

问至少要取多少根才能保证达到要求？13．有一块菜地和一块麦地，菜地的21和麦地的31放在一起是13亩，麦地的21和菜地的31放在一起是12亩，那么，菜地是几亩？14．71427和19的积被7除，余数是几？15．科学家进行一项实验，每隔5小时做一次记录．做第十二次记录时，挂钟的时针恰好指向9，问做第一次记录时，时针指向几？16．有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站。

初二华罗庚杯试题及答案

初二华罗庚杯试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是华罗庚杯的全称？A. 华罗庚数学竞赛B. 华罗庚杯数学竞赛C. 华罗庚杯数学挑战赛D. 华罗庚数学邀请赛答案：B2. 华罗庚杯数学竞赛的主要目的是什么？A. 选拔数学天才B. 促进数学教育C. 选拔数学教师D. 选拔数学运动员答案：B3. 华罗庚杯数学竞赛通常在每年的哪个月份举行？A. 1月B. 5月C. 9月D. 12月答案：B4. 参加华罗庚杯数学竞赛的学生通常需要具备哪些条件？A. 必须是数学专业的学生B. 必须通过学校选拔C. 必须有数学竞赛经验D. 必须是初二学生答案：B5. 华罗庚杯数学竞赛的题目难度通常如何？A. 非常简单B. 适中C. 非常困难D. 随机答案：C6. 华罗庚杯数学竞赛的题目类型包括哪些？A. 选择题B. 填空题C. 解答题D. 所有以上答案：D7. 华罗庚杯数学竞赛的评分标准是什么？A. 根据解题步骤给分B. 根据解题结果给分C. 根据解题速度给分D. 根据解题思路给分答案：B8. 华罗庚杯数学竞赛的获奖者通常会得到哪些奖励？A. 奖杯B. 证书C. 奖学金D. 所有以上答案：D9. 华罗庚杯数学竞赛对于学生的意义是什么？A. 增加学习压力B. 提高数学能力C. 增加课外负担D. 减少学习兴趣答案：B10. 华罗庚杯数学竞赛的组织者是谁？A. 学校B. 教师C. 教育部门D. 学生家长答案：C二、填空题（每题2分，共20分）1. 华罗庚杯数学竞赛的创始人是_______。

答案：华罗庚2. 华罗庚杯数学竞赛的举办周期是_______。

答案：每年3. 华罗庚杯数学竞赛的参赛对象通常是_______。

答案：中学生4. 华罗庚杯数学竞赛的题目设计旨在考察学生的_______。

答案：数学思维和解题能力5. 华罗庚杯数学竞赛的获奖者有机会获得_______。

答案：进一步的数学竞赛资格6. 华罗庚杯数学竞赛的题目通常包括_______和_______。

历届华罗庚金杯赛试题与答案(初中)

图4
8．0，1，2，3，4，5，6 这七个数字填在圆圈和方格内，每个数字恰好出现一次，组成有
一位数和两位数的整数算式．问填在方格里的数是几?
○×○ = □ = ○÷○
9．甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘．到现在为止，甲已经赛了 4 盘，乙赛了 3 盘，丙赛了 2 盘，丁赛了 l 盘．问小强赛了几盘? 10．有三堆棋子，每堆棋子一样多，并且都只有黑、白两色棋子．第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样
6、6 7、29 8、8 点 11 分 9、19 10、0 16、40 17、 2.718281 18、10 19、108
复赛简略答案 1、85 2、392 3、37.5 4、5000 5、5 11、8/9 12、8 点 32 分 13、162 14、84
6、2.5
7、0.2
பைடு நூலகம்
8、12
9、2
10、4/9
25 20
4．在一条公路上，每隔一百千米有一个仓库，共有五个仓库．一号仓库存有 10 吨货物，
二号仓库存有 20 吨货物，五号仓库存有 40 吨货物，其余两个仓库是空的。现在想把所
30
有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输一千米需要 0.5 元的运费，那么最少
图3
要花多少运费才行?
5．有一个数，除以 3 的余数是 2，除以 4 的余数是 1，问这个数除以 12 的余数是几?
图6
棋子放在空盒内，再把盒子重新排了一下．小明回来仔细察看了一番，没有发现
有人动过这些盒子和棋子．问共有多少个盒子? 12．如图，把 1.2、3.7、6.5、2.9、4.6 分别填在五个○内．再在每个□中填上和
它相连的三个○种的数的平均值，再把三个□中的数的平均数填在△中，找一个

“华罗庚金杯”少年数学邀请赛1-9届试题及详解

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位数的 1.001 倍，小数点加在千位数之前，得数 2000.81 应是原来四位数的 1.0001 倍。但是（2000.81÷1.001）和（2000.81÷1.0001）都不是整数，所以只有 1981 是唯一可能的答案。答：这个四位数是 1981。【解法 2】注意到在原来的四位数中，一定会按顺序出现 8，1 两个数字。小数点不可能加在个位数之前；也不可能加在千位数之前，否则原四位数只能是 8100，在于 2000.81 了。无论小数点加在十位数还是百位数之前，所得的数都大于 1 而小于 100。这个数加上原来的四位数等于 2000.81，所以原来的四位数一定比 2000 小，但比 1900 大，这说明它的前两个数字必然是 1，9。由于它还有 8，1 两个连续的数字，所以只能是 1981。【分析与讨论】解法 1 是用精确的计算，解法 2 靠的是“判断”。判断也需要技巧，而且是建立在对问题的细致分析上。这里需要指出，不能一看到得数 2000.81 中有二位小数就得出 “ 小数点正好加在十位数之前”的结论。请同学们想想为什么？图 35 是一块黑白格子布。白色大正方形的边长是 14 厘米，白色小正方形的边长是 6 厘米。问：这块布中白色的面积占总面积的百分之几？【解法】格子布的面积是图 36 面积的 9 倍，格子布白色部分的面积也是图 36 上白色面积的 9 倍。这样，我们只需计算图 36 中白色部分所占面积的百分比就行了。这个计算很简单：
因此，七根竹竿的总长度是 2 米减去剩下一段的长，也就是 2－
1 63 ＝1 64 64 63 米。 64
答：七根竹竿的总长是1
【分析与讨论】中国古代就有 “一尺之棰，日取其半，万世不竭” 这样一个算术问题。就是说，有一根一尺长的短棍，每天截去它的一半，永远也截不完。那么，每天剩下多少呢？第七天剩下多少呢？用上面的解法计算七根竹竿的总长，时间是绰绰有余的。但如果先把每根竹竿都算出来再相加，需要通分，时间恐怕就来不及了。同学们不妨试一试。有三条线段 A、B、C，A 长 2.12 米，B 长 2.71 米，C 长 3.53 米，以它们作为上底、下底和高，可以作出三个不同的梯形。问：第几个梯形的面积最大？【解法】首先注意，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2。但我们现在是比较三个梯形面积的大小，所以不妨把它们的面积都乘以 2，这样只须比较（上底＋下底）×高的大小就行了。我们用乘法分配律：第一个梯形的面积的 2 倍是：（2.12＋3.53）×2.71＝2.12×2.17＋3.53×2.71

第八届_华罗庚杯_赛决赛二试试题及解答

第八届华杯赛决赛二试试题及解答1.计算：2.已知1+2+3+…+n的和的个位数为3，十位数为0，百位数不为0。

求n的最小值。

3.如右图所示的四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ABC=105°，AB=CD=15厘米，连接对角线BD。

求四边形ABCD的面积。

4.四个不同的三位数，它们的百位数字相同，并且其中有三个数能整除这四个数的和。

求这四个数。

5.10个队进行循环赛，胜队得2分，负队得1分，无平局。

其中有两队并列第一，两队并列第三，有两个队并列第五，以后无并列情况。

请计算出各队得分.6. n张卡片，每张上写—个不为0的自然数，彼此不同，小李和另外(n-1)个小朋友做游戏，每人任意取—张，共取n次，每次各人记下自己取得的数字后，仍将卡片放回，最后各人计算自己取得的数字和作为得分，并按得分多少排名。

已知小李n次取得的数字各不相同，其余的小朋友的得分彼此不相同，他们(不包括小李)得分之和为2001。

问n等于多少?小李最高能是第几名?答案1．4000＋.2．n的最小值为37.3．四边形ABCD的面积是112.5平方厘米.4．这四个数是108，117，135，180.5．略6．n＝4，小李最高是第二名.1．解：原式＝＝因为上式中分母为1～2000的同分母的两个分数之和，都是2，所以原式＝2×2000＋＝4000＋.2．解：因为1＋2＋3…＋n＝，要使个位为3，n×（n＋1）的个位应为6，在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11这些连续数中，两个连续数个位的积为6的，只有2×3＝6，7×8＝56，考虑到百位不为0，n的值可能为17，22，27，32，37，42，…，从小到大试算，1＋2＋3…＋37＝＝703.n的最小值为37.3．解：将△DCB切下，令DC与AB重合，拼接到△ABD上，得到四边形AEBD.因为∠ABE＝∠DCB＝45°，所以，BE∥AD，又AE＝DB，所以四边形AEBD是等腰梯形.再作AF⊥BE，交BE于F，并将△AEF切下，令AE与BD重合，拼接成四边形AFBD，则AFBD是正方形，它的对角线AB＝15厘米，所以这个正方形的面积，也即原图形的面积是＝112.5平方厘米.4．解：设这4个数分别为A、B、C、D，和为S，S能被A、B、C整除，设S÷A＝，S÷B＝，S÷C＝，并设A＜B＜C，则＞＞（、、均为整数）.下面我们说明≤6，≥3.如果＞6，设为7，即设S÷A＝7，A＝S，B＋C＋D＝S－A＝S，B、C、D中至少有一个不小于S，这与A、B、C、D的百位数字相同相矛盾，所以≤6；同样地，如果＜3，设为2，即C＝S，则A＋B＋D＝S－C＝S，A、B、D中至少有一个不大于S，也与A、B、C、D的百位数字相同相矛盾，所以≥3.又因为A、B、C、D不相同，即、、只能是5、4、3或6、5、4，但当＝6、＝5、＝4时，D ＝S－（A＋B＋C）＝S－（＋＋）＝S，也与A、B、C、D的百位数字相同相矛盾，所以，、、只能是5、4、3.此时，S必为3×4×5＝60的倍数.设S＝60K，则A＝12K，B＝15K，C＝20K，D＝13K，但A、B、C、D为百位数字相同的三位数，故K＝9，即A ＝108，B＝135，C＝180，D＝117.本题有唯一解.5．解：10个队进行循环赛，每队打9场，共赛45场.每场3分，共45×3＝135分.因为有两个第一名，最高得分最多为17分，最低得分至少为9分，如果按两个17分，两个16分，两个15分，其余分别为9、10、11、12分计算，共138分，将第二名改为15分，第三名改为14分，第七名改为13分，则17×2＋15×2＋14×2＋13＋11＋10＋9＝135；当然也可能是16×2＋15×2＋14×2＋13＋12＋11＋9＝135；第一种情况是可能的，如：6．解：设卡片上的数字为、、…、，每发一轮卡片，所有小朋友（包括小李）的得分和是＋＋＋…＋，取n次后，所有小朋友（包括小李）的得分和是n×（＋＋＋…＋），因为小李n次取得的数字各不相同，小李的得分刚好等于＋＋＋…＋，n－1个小朋友的得分和为（n－1）×（＋＋＋…＋）＝2001＝3×23×29.如果n－1＝23，则n＝24，此时即便卡片上的数即便是取最小的数，即从1取到24，n－1个小朋友的得分也应为23×（1＋2＋3＋…＋24）＝6900＞2001，与题设矛盾.故n－1只能取3，所以n＝4，＋＋＋…＋＝23×29＝667.即小李的得分是667，因为3×667＝2001，所以其它3人的得分中，必有一个分数大于667，小李最高为第二名.（此题华杯赛网站给出的n＝667的答案有误，另外试题表述也不太明晰，是一轮卡片发完后，再将卡片放回去，否则，如果其它小朋友都取到最小的卡片，小李肯定是第一名）.。

初中华杯赛总决赛6~8届数学题及答案

11 8 第六届 “ 华杯赛” 初一组第一试决赛试题1 ．解方程x - x - 3.1415926 +y + - 2 y - 7.13 = 0 2.n 是自然数， N=［ n + l , n + 2 ，… ， 3n ］是 n + l , n + 2 ，… ， 3n 的最小公倍数，如果 N 可以表示成N = 210 ⨯ 奇数请回答 n 的可能值共有多少个？3 ．一段跑道长 100 米，甲、乙分别从 A 、B 端点同时相向出发，各以每秒 6 米和每秒 4.5 米的速度在跑道上来回往返练习跑步．问：在 10分钟内（包括第 10 分钟），① 甲和乙在途中迎面相遇多少次？ ② 甲在途中追上乙多少次？ ③ 甲和乙在 A ,B 两端点共相遇多少次：4 .一堆球，如果是偶数个，就平均分成两堆并拿走一堆，如果是奇数个，就添加一个，再平均分成两堆，也拿走一堆，这个过程称为一次“ 均分”．若只有 1 个球，就不做“ 均分”．当最初一堆球，奇数个，约七百多个，经 10 次均分和共添加了 8 个球后，仅余下 1 个球．请计算一下最初这堆球是多少个？5.一批大小略有不同的长方体盒子，它们的高都等于 6 厘米，长和宽都大于 5 厘米，且长宽比不小于 2 ．若在任一盒子中放一层边长为 5 厘米的小立方体，无论怎样放，放完后被小立方体所覆盖的底面积都不超过原底面积的 40 % ，现往盒子中注水，问： ① 要使得最小的盒子不往外溢，最多能注多少立方厘米水？ ② 要使得最大的盒子开始往外溢，最少要注进去多少立方厘米的水？6 ．若干台计算机联网，要求： ① 任意两台之间最多用一条电缆连接； ② 任意三台之间最多用两条电缆连接； ③ 两台计算机之间如果没有连接电缆，则必须有另一台计算机和它们都连接电缆．若按此要求最多可以连 1600 条，问：① 参加联网的计算机有多少台？ ②这些计算机按要求联网，最少需要连多少条电缆？第 6 届小学组决赛 1 试答案1.N 等于 10 个 2 与某个奇数的积。

华罗庚金杯数学邀请赛决赛初二组练习题（含答案）

华罗庚金杯数学邀请赛决赛初二组练习题（含答案）第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中二年级组) 总分第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（初中二年级组·练习用）一、填空题（每小题10 分, 共80 分）2019 2 2 1009 2 20181.计算1 2 2018.2. 一块正三角形草坪边长为 12 米，三个顶点处都安有喷水装置，每个喷水装置都可以从三角形的一边到另一边旋转60o来回喷水．假定三个喷水装置的射程相等，要使草坪上所有区域都可以被喷水覆盖，那么被重复喷水的最小面积是平方米．3. 从 2， 3， 4， 5 这四个数中，任取两个数p,q( p q) ，构成函数y px 2 和y x q ，如果这两个函数图象的交点在直线x 2 的左侧，那么这样的有序数对( p,q) 共有个．4. 设p 为质数，如果二次方程x2 2px p2 5p 1 0的两个根都是整数，那么p 可能取的值有个.5. 如果1295 (6n 1) （其中n 是整数，且1986≤n≤2018 ），那么满足条件的n 的个数是.6. 如图所示，在正六边形ABCDEF 内放有一个正方形MNPQ ，正方形的顶点分别在正六边形的 4 条边上，且MN //BC ．若正方形MNPQ 的面积为12 6 3 平方厘米，则正六边形ABCDEF 的面积是平方厘米．7. 将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11 这11 个数排成一行，使得任意 5个相邻的数的和都是 5 的倍数．那么这样的排列方法有种．8. 四张卡片，每张写着一个自然数，任取 2 张，或者 3 张，或者4 张，把卡片上的数求和，可以得到 11 个不同的和，那么 4 张卡片上所有数的和最小为．第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中二年级组)二、解答下列各题（每小题10 分, 共40 分, 要求写出简要过程）9. 有 A ，B 两队野外徒步旅行，A 队在 B 队的西偏北 45 度处，两队相距8 2千米．如果 A 队向东继续行走， B 队同时沿西偏南45 度路线行走，且 A队与 B 队的速度比是 2 ，求A，B 两队最近时的距离．10. 如果实数x, y,z 同时满足关系式x( y2 z) z(z xy) ，y(z2 x) x(x yz) ，z(x2 y) y( y zx) ，那么，实数x, y,z 是否一定都相等？请给出证明．11. 如图，在四边形ABCD 中， ABC BCD 120 ，AB BC ．对角线AC ，BD 相交于点E ．若AE 3CE ，求证：AB 2CD ．12. 从 76 个连续自然数 1，2，…，76 中任取 39 个数，其中必有2 个数的差是p ，求p 的值．三、解答下列各题（每小题15 分, 共30 分, 要求写出详细过程）13. 如图，在五边形ABCDE 中，AB AE 1 ， CAD 45 ， E DE EAB B 90 ，求点A到直线CD 的距离． CA B14. 如图，一个由 81 个小方格组成的9 9 网格．先将其中的任意n 个方格染黑，然后按照以下规则继续染色：如果某个方格至少与 2 个黑格都恰好有 1 个公共顶点，那么就将这个方格染黑．现在要按照这个方法将整个棋盘都染成黑色，那么n的最小值是多少？说明你的结论．第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初中二年级组)第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题·练习用参考答案（初中二年级组）一、填空题（每小题10 分, 共 80 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案2018 1 24π 36 3 5 2 83 322304 14二、解答下列各题（每小题10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）16 1059. 【答案】A ，B 两队最近时的距离是千米．【解答】如图，以B 队初始位置为原点，正东、正北方向为x 轴和y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，B(0,0) ，A( 8,8)．不妨y设B 队的速度为 1，那么A队的速度为 2 ，经过时间t A A1x后，B 队所在位置是 2 2B ( t, t) ，A队所在位置是12 2B1BA1( 8 2t,8) ，于是此时两队的距离d 满足2 2 2 2 2 28 2d ( 8 2t t) (8 t) 5t 16 2t 128，当t 时，d取到最2 2 5小值512 16 10千米．5 510. 【答案】x, y,z 一定都相等．【证明】将原关系式变形，得xy(y z) z(z x) ①，yz(z x) x(x y) ②，zx(x y) y(y z) ③．（1）当(x y()y z ()zx) 0 时，不妨设x y ，由③得y 0 或者y z ．若y z ，则x y z ；若y 0 ，有x 0 ，代入①，得z 0 或者z x 0 ，即x y z 0 ．（2）当(x y)(y z)(z x) 0 时，将①②③相乘得xyz(xyz 1) 0，即xyz 0 或xyz ．如果xyz 0 ，不妨设y 0 ，由（1）知z 0或者z x ，矛盾！如果xyz 1，1- 1 -不妨设x≥y≥z ，显然x 0 ．假设x y ，考虑②式，有x(x y) 0 ，又1yz 0，xz x ，所以yz(z x) 0 ．矛盾！所以x y z ．证毕！11. 【证明】作BM AC于M.因为△ABC 中，AB BC ， ABC=120 ，所以AM CM, CAB ACB 30 ．因此AB 2BM ．由于 ACB 30 ，所以 ACD 90 ．又由AE 3CE 和AM CM 得：AM ME 3CE ，即CM ME 3CE ．即(ME CE) ME 3CE 所以2ME 2CE ，故ME CE ．在Rt△BME 与Rt△DCE 中，因为ME CE ， BEM DEC ，所以Rt△BME ≌Rt△DCE ．因此BM CD ．由于AB 2BM （已证），所以AB 2CD ．12. 【答案】p 的值为 1，2，19，38．【解答 1】p 的值是 1，2，19，38．做抽屉，每个抽屉内有差为p 的两个数，或仅有一个数：当p≥39 时, 有两类抽屉，第一类，每个抽屉有 2 个非零自然数，差是p ：{76,76 p}，{75, 75 p}，…，{p 2,2}，{p 1,1}，个数是76 p ；第二类，每个抽屉仅有 1 个不大于p 的非零自然数，但与p 的和大于76：{77 p}，{78 p}，…，{p}个数是76 2 (76 p) 2p 76 ．此时，抽屉总数是p 个．从每个抽屉各取一个数，因为p≥39 ，这些数中不存在差是p 的两个数．当p≤38时，做抽屉：{1, p 1},{2, p 2},{3, p 3} ,{4, p 4}…{p,2 p} ,{2p 1,3p 1},{2p 2,3p 2},{2p 3,3p 3} ,…{3p,4p} ,……,- 2 -76 76 76 762p 1 1, 2p 1 p 1 , 2p 1 2, 2p 1 p 2 ,2p 2p 2p2p76 76．2p p,2p2p2p①若76 762p 2p，则抽屉到此为止，共有 38 个抽屉，从中任取 39 个，必有2 个取自同一个有两个数的抽屉，差是p ．所以，p 1, 2,19, 38 ．②若76 762p 2p，则还有抽屉：76 762p 1 , 2p 2 ,{76}，2p 2p76个数是76 2p2p．得到抽屉的个数是：76 76 76 76 76 76p p p p p76 2 76 76 38p p p p p p2 2 2 2 2 276 76 76其中，2p 2p2p ，此时，p76≥1，抽屉的个数≥39．从其中 392p个抽屉各取 1 个数，不存在两个数的差是p ．所以，p 的值是 1, 2, 19, 38．【解答 2】记76 kp r ，0 r p ，把 1 到 76 按照下面排成p 行，1 2r p 1 p2 pr 2p2p1 (k1)2rp(k1) p(k1) pkp1kp2kprkpk 为偶数时，记k 2l （注,当k 为偶数时，由于 76 是偶数，r 也是偶数），则前r 行可以取l 1个数，后p r 行可以取l 个数，这lp 个数任意两个数的差不等于p ．kp 76 r rr r r 382 2 2k 为奇数时，记k 2l 1（注,当k 为奇数时，由于 76 是偶数，p r 也是偶数），则前r 行可以取l 1个数，后p r 行也可以取l 1个数，这2(l 1) p (2l 1) p p kp p 76 r p p r(l 1) p 38 个数任意两个数2 2 2 2 2的差不等于p ．r 当r 0时， 02p r与 0，因此任取 38+1=39 个数时，任意两个数的差2- 3 -。

华罗庚金杯赛数学试题与答案[第1至15届]

华罗庚金杯赛数学试题与答案［第1至15届］目录第1届华罗庚金杯赛数学试题与答案 (1)第2届华罗庚金杯赛数学试题与答案 (6)第3届华罗庚金杯赛数学试题与答案 (14)第4届华罗庚金杯赛数学试题与答案 (21)第5届华罗庚金杯赛数学试题与答案 (26)第6届华罗庚金杯赛数学试题与答案 (31)第7届华杯赛初赛试题及解答 (38)第8届华杯赛初赛试题及解答 (41)第9届华杯赛初赛试题及解答 (45)第10届华杯赛初赛试题及解答 (49)第11届华杯赛初赛试题及解答 (53)第12届华杯赛初赛试题及解答 (60)第13届华杯赛少年邀请赛初赛摸拟试卷 (64)第14届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (66)第15届华杯赛决赛真题及答案解析 (68)第1届华罗庚金杯赛数学试题与答案1、甲班和乙班共83人，乙班和丙班共86人，丙班和丁班共88人。

问甲班和丁班共多少人?2、一笔奖金分一等奖、二等奖、三等奖，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的两倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的两倍。

如果评一、二、三等奖各两人，那么每个一等奖的奖金是308元;如果一个一等奖，两个二等奖，三个三等奖，那么一等奖的奖金是多少元?3、一个长方形，被两条直线分成四个长方形，其中三个的面积是20亩、25亩和30亩。

问另一个长方形的面积是多少亩?4、在一条公路上，每隔一百公里有一个仓库，共有五个仓库。

一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。

现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输一公里需要0.5元的运费，那么最少要花多少运费才行?5、有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1。

问这个数除以12余数是几?6、四个一样的长方形和一个小的正方形(如图)拼成了一个大正方形。

大正方形的面积是49平方米，小正方形的面积是4平方米。

问长方形的短边长度是几米?7、有两条纸带，一条长21厘米，一条长13厘米，把两条纸带剪下同样长的一段以后，发现短纸带剩下的长度是长纸带的长度的八分之十三。

第1-14届华罗庚金杯小学组数学邀请赛(初赛复赛决赛)试题答案

第一届华杯赛初赛试题答案1．【解】 1986是这五个数的平均数，所以和＝1986×5＝9930。

2．【解】方框的面积是。

每个重叠部分占的面积是一个边长为1厘米的正方形。

重叠部分共有8个()×5一l×8＝(100—64)×5—8 ＝36×5—8 ＝172(平方厘米)。

故被盖住的面积是172平方厘米。

3．【解】 105＝3×5×7，共有(1＋1)×(1＋1)×(1＋1)＝8个约数，即1，3，5，7，15，21，35，105。

4. 【解】在这道题里，最合理的安排应该最省时间。

先洗开水壶,接着烧开水,烧上水以后,小明需要等15分钟，在这段时间里，他可以洗茶壶，洗茶杯，拿茶叶，水开了就沏茶，这样只用16分钟。

5．【解】149的个位数是9，说明两个个位数相加没有进位，因此，9是两个个位数的和，14是两个十位数的和。

于是，四个数字的总和是14＋9＝23。

6．【解】松鼠采了：112÷14＝8(天)假设这8天都是晴天，可以采到的松籽是：20×8＝160(个)实际只采到112个，共少采松籽：160－112＝48(个)每个下雨天就要少采：20－12＝8(个)所以有48÷8＝(6)个雨天。

7．【解】因为正方体的边长是1米，2100个正方体堆成实心长方体的体积就是2100立方米。

已经知道，高为10米，于是长×宽＝210平方米把210分解为质因数：210＝2×3×5×7由于长和宽必须大于高(10米)，长和宽只能是：3×5和2×7。

也就是15米和14米。

14米＋15米＝29米。

答：长与宽的和是29米。

8．【解】39－32＝7。

这7分钟每辆行驶的距离恰好等于第二辆车在8点32分行过的距离的1(＝3－2)倍。

因此第一辆车在8点32分已行7×3＝21(分)，它是8点11分离开化肥厂的(32－21＝11) 。

全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题(初二组模拟)及答案201337

全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题（初二组（时间：2007年4月21日10：00~11：30 ）（每题10分，共80分）、已知4=-b a ，042=++c ab ，则c b a ++的值为。

、已知0)2(12=-+-ab a ，则)2007)(2007(1)1)(1(11+++++++b a b a ab 的值为。

、在平面直角坐标系中，点P ]1)1([-+m m m ，（m 为实数）不可能在第象限。

、有一只手表每小时比准确时间慢3分钟，若在清晨4：30与准确时间对准，则当10：50，准确时间应该是。

5、如图，P 是平行四边形ABCD 内一点，且S △PAB ＝5，△PAD ＝2，则阴影部分的面积为。

、若10个数据的平均数是22，平方和是10，则方差是。

、若直线1103457323=+y x 与直线897543177=+y x 的交点坐标是（a ，b ），则222004b +的值是。

、某校组织师生春游，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用座客车，可以少租一辆，且余30个座位。

则该校去参加春游的人数为；45座客车的租金为每辆250元，60座客车租金为每辆300元，这次春游同时其中60座客车比45座客车多租1辆，所以租金比单独一种客车要节省，按这种方案需要租金元。

二、解答题（每题10分，共40分，要求写出解题过程） 9、已知f ex dx cx bx ax x +++++=+23455)1(，求下列各式的值：（1）f e d c b a +++++ （2）e d c b +++ （3）e c a ++10、如图所示，在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝4，D 为AB 的中点，E 为AC 边上一点，且∠AED ＝90°＋21∠C ，求CE 的长。

ADBCE11、已知n 是正整数，且12+n 与13+n 都是完全平方数。

是否存在n ，使得35+n 是质数？如果存在，请求出所有n 的值；如果不存在，请说明理由。

第10～16届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题详细解释答案

第十届全国"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛试题一、填空（每题10分，共80分）1．下表中每一列为同一年在不同历法中的年号，请完成下表：第1小题：2．计算：① 18.3×0.25+5.3÷0.4-7.13 = ( ); ②= ( )。

答案：10.695；13.计算机中最小的存储单位称为“位”，每个“位”有两种状态：0和1。

一个字节由8个“位”组成，记为B。

常用KB，MB等记存储空间的大小，其中1KB=1024B， 1MB=1024KB。

现将240MB的教育软件从网上下载，已经下载了70%。

如果当前的下载速度为每秒72KB，则下载完毕还需要（）分钟。

（精确到分钟）答案：174．a，b和c都是二位的自然数，a，b的个位分别是7与5，c的十位是1。

如果它们满足等式ab+c=2005，则a+b+c=( )。

答案：1025.一个正方体的每个顶点都有三条棱以其为端点，沿这三条棱的三个中点，从这个正方体切下一个角，这样一共切下八个角，则余下部分的体积（图1中的阴影部分）和正方体体积的比是（）。

答案：6．某种长方体形的集装箱，它的长宽高的比是4∶3∶2，如果用甲等油漆喷涂它的表面，每平方米的费用是0.9元，如果改用乙等油漆，每平方米的费用降低为0.4元，一个集装箱可以节省6.5元，则集装箱总的表面积是（）平方米，体积是（）立方米。

答案：13：37．一列自然数0，1，2，3，…，2005，…，2004，第一个数是0，从第二个数开始，每一个都比它前一个大1，最后一个是2024。

现在将这列自然数排成以下数表：规定横排为行，竖排为列，则2005在数表中位于第（）行和第（）列。

答案：20；458．图2中，ABCD是长方形，E，F分别是AB，DA的中点，G是BF和DE的交点，四边形BCDG 的面积是40平方厘米，那么ABCD的面积是（）平方厘米。

图2答案：60二、解答下列各题，要求写出简要过程（每题10分，共40分）9．图3是由风筝形和镖形两种不同的砖铺设而成。