苏教版直接证明与间接证明课时跟踪检测

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数学2.2《直接证明与间接证明》测试(苏教版选修1—2)

高中苏教选修（1-2）2.2直接证明与间接证明水平测试一、选择题1．用反证法证明一个命题时，下列说法正确的是（）A ．将结论与条件同时否定，推出矛盾B ．肯定条件，否定结论，推出矛盾C ．将被否定的结论当条件，经过推理得出结论只与原题条件矛盾，才是反证支的正确运用D ．将被否定的结论当条件，原题的条件不能当条件答案：B2．用反证法证明“如果a b >，则33a b >”假设的内容是（）A ．33a b =B ．33a b <C ．33a b =且33a b <D ．33a b =或33a b <答案：D3．使不等式11a b <成立的条件是（）A ．a b >B ．a b <C ．a b >且0ab <D ．a b >且0ab > 答案：D4．若a b c ，，是不全相等的实数，求证：222a b c ab bc ca ++>++．证明过程如下：a b c ∈R ，，，222a b ab ∴+≥，222b c bc +≥，222c a ac +≥，又a b c ，，不全相等，∴以上三式至少有一个“=”不成立，∴将以上三式相加得2222()2()a b c ab bc ac ++>++，222a b c ab bc ca ∴++>++．此证法是（）A ．分析法B ．综合法C ．分析法与综合法并用D ．反证法答案：B5．若01a <<，01b <<且a b ≠，则在a b +，22a b +和2ab 中最大的是（）A ．a b +B ．C ．22a b +D ．2ab答案：A6．若00a b >>，，那么必有（）A ．3322a b a b ab ++≥B ．3322a b a b ab +>+C ．3322a b a b ab ++≤D ．3322a b a b ab +<+答案：A二、填空题7．求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60，用反证法证明时的假设为“三角形的 ”．答案：三个内角都小于608．已知00a b >>，，lg2m =，n =m 与n 的关系为．答案：m n ≤ 9．当00a b >>，时，①11()4a b a b ⎛⎫++⎪⎝⎭≥；②22222a b a b +++≥；2ab a b+．以上4个不等式恒成立的是．（填序号）答案：①②③10．设()(0)y f x x x =∈≠R ，对任意非零实数12x x ，均满足1212()()()f x x f x f x =+，则()f x 为函数．（填“奇”或“偶”）答案：偶三、解答题11．求证：以过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦为直径的圆必与2p x =-相切（用分析法证）证明：（如右图）AB 过焦点F ，作AA BB ''，垂直准线，取AB 的中点M ，作MM '垂直准线．要证明以AB 为直径的圆与准线相切，只需证12MM AB '=，由抛物线的定义：AA AF '=，BB BF '=，所以AB AA BB ''=+，因此只需证1()2MM AA BB '''=+．根据梯形的中位线定理可知上式是成立的．所以，以过焦点的弦为直径的圆必与2p x =-相切．12．设函数()f x 对任意x y ∈R ，，都有()()()f x y f x f y +=+且0x >时，()0f x <．（Ⅰ）证明()f x 为奇函数；（Ⅱ）证明()f x 在R 上为减函数．证明：（Ⅰ）x y ∈R ，，且()()()f x y f x f y +=+．∴令0x y ==，(0)(0)(0)f f f =+，(0)0f ∴=．令y x =-代入()()()f x y f x f y +=+．得(0)()()f f x f x =+-（x ∈R ）．()f x ∴是奇函数．（Ⅱ）任取12x x ∈R ，，且12x x <，则210x x x ∆=->．21()()0f x f x x ∴∆=-<．又2121()()()f x x f x f x -=+-，()f x 为奇函数，11()()f x f x ∴-=-．21()()()0f x f x f x ∴∆=-<．即21()()0y f x f x ∆=-<．()f x ∴在R 上是减函数．13．若下列方程：24430x ax a +-+=，22(1)0x a x a +-+=，2220x ax a +-=，至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围．解：设三个方程均无实根，则有2122223164(43)0(1)4044(2)0a a a a a a ⎧∆=--+<⎪∆=--<⎨⎪∆=--<⎩，，，解得312211320a a a a ⎧-<<⎪⎪⎪<->⎨⎪-<<⎪⎪⎩，，，，即312a -<<-．所以当1a -≥或32a -≤时，三个方程至少有一个方程有实根． 14．已知数列{}n a 为等差数列，公差1d =，数列{}n c 满足221()n n n c a a n *+=-∈N ．判断数列{}n c 是否为等差数列，并证明你的结论．是．证明：由条件1(1)n a a n =+-，则2211221n n n c a a n a +=-=--+．所以12n n c c +-=-，所以数列{}n c 为等差数列．高中苏教选修（1-2）2.2直接证明与间接证明水平测试一、选择题1．已知αβ，是两个平面，直线l 不在平面α内，l 也不在平面β内，设①l α⊥；②l β∥；③αβ⊥．若以其中两个作为条件，另一个作为结论，则正确命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3答案：C 21>1>，即证75111+>+>3511>，∴原不等式成立．以上证明应用了（）A ．分析法B ．综合法C ．分析法与综合法配合使用D ．间接证法答案：A3．设偶函数()f x 对任意x ∈R ，都有1(3)()f x f x +=-，且当[32]x ∈--，时，()2f x x =，则(113.5)f 的值为（）A ．27- B ．27 C ．15- D ．15答案：D4．已知221a b +=，222b c +=，222c a +=，则ab bc ca ++的最小值为（） A12 B．12- C．12- D．12+答案：B二、填空题5．设000a b c >>>，，，若1a b c ++=，则111a b c ++≥ ．答案：96．设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-⎪=⎨⎪>⎩≤，，若0()1f x>，则0x 的取值范围为．答案：(1)(1)--+∞，，∞三、解答题7．已知(01)a b c ∈，，，，求证：(1)(1)(1)a b b c c a ---，，不能同时大于14．证明：假设三式同时大于14，即14b ab ->，14c bc ->，14a ac ->．三式同向相乘得1(1)(1)(1)64a a b b c c --->． ① 又211(1)24a a a a -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭≤，同理1(1)4b b -≤，1(1)4c c -≤．1(1)(1)(1)64a a b b c c ∴---≤． ②因①②矛盾，故原结论正确．8．已知()f x 对任意实数a b ，都有()()()1f a b f a f b +=+-，且当0x >时，()1f x >．（1）求证：()f x ，且当0x >时，()1f x >；（2）已知(4)5f =，解不等式2(32)3f m m --<．（1）证明：设任意12x x ∈R ，，且21x x >，则210x x x ∆=->由已知得21()1f x x ->．而212111()()[()]()y f x f x f x x x f x ∆=-=-+- 2111()()1()f x x f x f x =-+--21()10f x x =-->，所以()f x 是R 上的增函数．（2）解：由于(4)(2)(2)15f f f =+-=，(2)3f ∴=．由2(32)3f m m --<得2(32)(2)f m m f --<， ()f x 是R 上的增函数，2322m m ∴--<，解得413m -<<． 9．已知12x a a y ，，，成等差数列，12x b b y ，，，成等比数列，则21212()a a b b +的取值范围是．答案：(][)04-+∞，，∞10．我们知道，在ABC △中，若222c a b =+，则ABC △是直角三角形，现在请你研究：若(2)n n n c a b n =+>，问ABC △为何种三角形？为什么？解：令311n a b ===，，，则 1.26c =≈，画以1，1，1.26为边的三角形草图，观察易知是锐角三角形．上述用特值试验的结果具有一般性，证明如下：因为(2)n n nc a b n =+>，所以c a c b >>，．由c 是ABC △的最大边，所以要证ABC △是锐角三角形，只需证C ∠为锐角，即证cos 0C >就行了．因为222cos 2a b c C ab+-=，所以要证cos 0C >，只要证222a b c +>． ①注意到条件：n n n a b c +=，于是将①等价变形为： 222()n n a b c c -+>． ②又因为c a >，c b >，2n >，所以22n n ca -->，22n n cb -->，即220n nc a --->，220n n c b --->，从而222222222222()()()()0n n n n n n n n n a b c c a b c a b a c a b c b ------+-=+--=-+->．这说明②式成立，从而①式也成立，故cos 0C >，即C 是锐角，ABC △为锐角三角形．11．已知a b c ，，是不为1的正数，x y z +∈R ，，，且有x y z a b c ==和112x z y +=．求证：a b c ，，成等比数列．证明：令(01)x y z a b c k k k ===>≠，且，所以log a x k =，log b y k =，log c z k =．因为112x z y+=，所以112lg lg 2lg lg lg 2lg log log log lg lg lg a c b a c b a c b k k k k k k +=⇒+=⇒+=，故2b ac =，因为a b c ，，均不为0，所以a b c ，，成等比数列．。

苏教版选修22高中数学2.2.1直接证明同步检测

2.2.1 直接证明双基达标 (限时20分钟)1．分析法是________．①执果索因的逆推法；②执因导果的顺推法；③因果别离互推的两头凑法；④寻觅结论成立的充要条件的证明办法．答案 ①2．设a 、b 是正实数，以下不等式①ab ＞2ab a ＋b；②a ＞|a －b |－b ；③ab ＋2ab ＞2恒成立的序号是________．解析当a ＝b 时，ab ＝2ab a ＋b ，∴①不成立． a 、b 为正数，∴a ＋b ＞|a －b |，②成立．ab ＋2ab≥22＞2，故③成立．答案 ②③3．设函数f (x )是概念在R 上，周期为3的奇函数，若f (1)＜1，f (2)＝2a －1a ＋1，则a 的取值范围为________．解析由题意得f (－2)＝f (1－3)＝f (1)＜1，∴－f (2)＜1，即－2a －1a ＋1<1. ∴3a a ＋1>0，即3a (a ＋1)＞0.∴a ＜－1或a ＞0. 答案 a ＜－1或a ＞04．若是a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则正数a ，b 应知足的条件是________．解析 ∵a a ＋b b ＞a b ＋b a ∴a (a －b )＋b (b －a )＞0∴(a －b )(a －b )＞0.∴(a ＋b )(a －b )2＞0， ∴a －b ≠0即a ≠b .答案 a ≠b5．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状必然是________．解析在△ABC 中，2cos B sin A ＝sin C ，即2a 2＋c 2－b 22ac·a ＝c . ∴a 2＋c 2－b 2＝c 2，∴a 2＝b 2，∴a ＝b .∴△ABC 是等腰三角形．答案等腰三角形6．设a ，b ＞0，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.证明法一分析法要证a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2成立．只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )成立，又因a ＋b ＞0，只需证a 2－ab ＋b 2＞ab 成立，只需证a 2－2ab ＋b 2＞0成立，即需证(a －b )2＞0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2＞0显然成立．由此命题得证．法二综合法a ≠b ⇒a －b ≠0⇒(a －b )2＞0⇒a 2－2ab ＋b 2＞0⇒a 2－ab ＋b 2＞ab .注意到a ，b ∈R ＋，a ＋b ＞0，由上式即得(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )．∴a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.综合提高 (限时25分钟)7．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋d n (m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小为________．①p ≥q ；②p ≤q ；③p ＞q .解析 q ＝ ab ＋mad n ＋nbc m ＋cd ≥ ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p . 答案 ②8．已知a ，b ，c 为三角形的三边且S ＝a 2＋b 2＋c 2，P ＝ab ＋bc ＋ca ，则P ________S (填“>”或“<”或“≥”或“≤”)．解析 S －P ＝a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0， ∴S ≥P .答案：≤9．已知a ＞0，b ＞0，若是不等式2a ＋1b ≥m 2a ＋b恒成立，那么m 的最大值等于________．解析 ∵a ＞0，b ＞0，∴不等式可化为m ≤⎝⎛⎭⎫2a ＋1b (2a ＋b )＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b . 只需求右边的最小值，由大体不等式，有5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，∴m ≤9.答案 910．设f (x )是概念在R 上的偶函数，当x >0时，f (x )＋xf ′(x )>0，f (1)＝0，则不等式xf (x )>0的解集为________．解析 ∵x >0时，f (x )＋xf ′(x )>0，即(xf (x ))′>0，∴xf (x )在(0，＋∞)是增函数．又f (1)＝0，∴x ＝1时，xf (x )＝0.∵f (x )为偶函数，∴xf (x )为奇函数．∴xf (x )的图象如图．∴xf (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．答案 (－1,0)∪(1，＋∞)11．a 、b 、c 为互不相等的正数，且abc ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c >a ＋b ＋c . 证明法一由左式推证右式∵abc ＝1，且a 、b 、c 为互不相等的正数∴1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ac ＋ab＝bc ＋ac 2＋ac ＋ab 2＋ab ＋bc 2>bc ·ac ＋ac ·ab ＋ab ·bc ＝c ＋a ＋b∴1a ＋1b ＋1c >a ＋b ＋c .法二右式⇒左式∵a ，b ，c 为互不相等的正数，且abc ＝1. ∴a ＋b ＋c ＝ 1bc ＋ 1ac ＋ 1ab<1b ＋1c 2＋1a ＋1c 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c .12．已知x ＞0，y ＞0，求证(x 2＋y 2)12＞(x 3＋y 3)13. 证明要证明(x 2＋y 2)12＞(x 3＋y 3)13，只需证(x 2＋y 2)3＞(x 3＋x 3)2.只需证x 6＋3x 4y 2＋3x 2y 4＋y 6＞x 6＋2x 3y 3＋y 6，只需证3x 4y 2＋3x 2y 4＞2x 3y 3.又x ＞0，y ＞0，∴x 2y 2＞0，∴只需证3x 2＋3y 2＞2xy ， ∵3x 2＋3y 2＞x 2＋y 2≥2xy ，∴3x 2＋3y 2＞2xy 成立，故(x 2＋y 2)12＞(x 3＋y 3)13. 13．(创新拓展)已知数列{a n }为等比数列，a 2＝6，a 5＝162.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 是数列{a n }的前n 项和，证明：S n ·S n ＋2S 2n ＋1≤1. 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则a 2＝a 1q ，a 5＝a 1q 4，依题意，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，a 1q 4＝162. 解得a 1＝2，q ＝3，∴a n ＝2·3n －1(2)∵S n ＝2(1－3n )1－3＝3n －1， ∴S n ·S n ＋2S 2n ＋1＝32n ＋2－(3n ＋3n ＋2)＋132n ＋2－2·3n ＋1＋1≤32n ＋2－23n ·3n ＋2＋132n ＋2－2·3n ＋1＋1＝1，即S n ·S n ＋2S 2n ＋1≤1.。

苏教版选修12221直接证明与间接证明word能力培养试题试卷.doc

♦♦同步测控♦♦1.命题“对于任意角cos'。

一sin‘9=cos 2矿的证明："cos'。

一sin'e=（cos?。

一sin'8）・（cos2。

+ sin20=cos2^—sin26/=cos2^过程应用了.%1分析法；%1综合法；%1综合法、分析法综合使用法；%1间接证法.解析：证明过程是条件习结论，所以为综合法.答案:②2.若p：沥>0, （/：则p是q的条件.解析：若沥>0,则。

，力同号，则京），p>0,可得£ +特》2;若+ ；五2,则s人同号，即ab>0.答案：充要.5 —4JV+53.已知则的最小值是_____________________________ •2八2x—4解析：M） =（ 2（》'2）=手3-2） + 厂^]‘.".x - 2>0,.项对》％—（x - 2）.土^= 1（当且仅当x = 3时取等号）.答案：14.若实数。

，人满足Q<a<b,且a+h=\,则下列四个数中最大的是.①®a2 + b2；③2湖；®a.解析：i + a + b>2y[ab, 2ab<^,由疽 + 祜如'；）=；,又'-'0<ci a + b = 1, -*•（T + b2最大.答案：②♦♦课时训练♦♦一、填空题1.已知处）=心"「2是奇函数，那么实数。

的值等于2。

— 2解析：函数的定义域为R,函数为奇函数且x = 0时/（0） = 0,即二成二=0..如=1.也可根据奇函数的定义/-x）= -yu）恒成立.即以2 7 !）一2 =12「、+1即川成）- 2=〃（2'+ 1）-2~ 2、+1 ，一一2A + 1 恒成立.即2a + €/-2A +1 = 2A'1 +2, .L Q= 1 成立.（较烦琐）答案：12.设d>o, b>Q, c>0,若a+h+c=\,贝估+!+』的最小值是 _________________a b c1 1 1 a + b + c a + b + c a + b + c — + ； + — = ----- + ----- : ---- +----------- a b c a b cb.解析：L b>0, c>0, a + b + c = L3+ (｝号+(言+钏欢+ 5习+ 2 + 2 + 2 = 9(当且仅当〃 = 8 = c =石时取等号).答案:93.已知67、力是不相等的正数，》=哇业，夕=寸而，则X，V的大小关系是、解析：要比较x、y的大小.•..工>0, y>0,只需比较x\ /的大小.即」+与2伽与〃 +力的大小...W、/?为不相等的正数，•■-2y/ab<a + a + b + 2\[ab …勺、二 ) <a + h.即x~vy~.二x<y.答案:V4.在中，三个内角A, B, C的对-边分别是o,饥c,若刀是钝角，则疽h1+那填">”或“V”).力2 +决_ 2解析：因为刀为钝角，所以COST!= -------- 不----- <0,即h2 + c2 - a2<0>即a2>h2 + c2.Zoc答案：>5.设a>b>0, rn=y[ci—y[b f n=y]~a—b f则〃？与〃的大小关系是・解析：,•* a>b>0, -'-yla>y[b, -'-yla ~y[b>0> y[ab>b, (y[a - y[b)2 - (yja ~ b)2 = a + b - 2\[ab - (a - b) =2(/? - y[ab)<0,二(y[a - y[b)2<(y]a - by, yja - y[b<\Ja - /?,即m<n.答案：rn<n6.己知函数./U)=2',。

高中数学苏教版选修2-2同步训练：2.2 直接证明与间接证明 pdf版含答案

2.2 直接证明与间接证明1、关于综合法和分析法的说法错误的是( )A.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B.综合法又叫顺推证法或由因导果法C.分析法又叫逆推证法或执果索因法D.综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法2、分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a b c >>,且0a b c ++=,求证”最终索的因应是( )A. 0a b ->B. 0a c -<C. ()()0a b a c -->D. ()()0a b a c --<3、若两个正实数,x y 满足141x y +=,且不等式234y x m m +<-有解,则实数m 的取值范围是( )A. ()1,4?-B. (,1)(4,)-∞-⋃+∞C. ()4,1?-D. (,0)(3,)-∞⋃+∞4、下列表述:①综合法是由因导果法;②综合法是顺推法;③分析法是执果索因法;④分析法是间接证明法;⑤分析法是逆推法.其中正确的语句有( )A.2个B.3个C.4个D.5个5、设()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时, ()f x 单调递减,若120x x +>,则()()12f x f x +的值( )A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负6、下列不等式不成立的是( )A. 222a b c ab bc ca ++≥++)0,0a b >>>)3a <≥>7、设(0)a b c ∈∞，，－，，则1a b +，1b c +，1c a +( ) A.都不大于－2B.都不小于－2C.至少有一个不小于－2D.至少有一个不大于－28、否定:“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”时正确的反设为( )A.,,a b c 都是偶数B.,,a b c 都是奇数C.,,a b c 中至少有两个偶数D.,,a b c 中都是奇数或至少有两个偶数9、若ABC △能被一条直线分成两个与自身相似的三角形,那么这个三角形的形状是( )A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定10、用反证法证明命题“设a ,b 为实数,则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程20x ax b ++=没有实根B.方程20x ax b ++=至多有一个实根C.方程20x ax b ++=至多有两个实根D.方程20x ax b ++=恰好有两个实根11、如果>则实数,a b 应满足的条件是__________.12、如果>则正数,a b 应满足的条件是__________.13、用反证法证明命题“若220a b +=,则,a b 全为0 (,a b 为实数)”,其反设为__________.14、用反证法证明命题“设,a b 为实数,则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时,要做的假设是__________.15、已知数列{}n a 满足: ()()()111131211,,01211n n n n n n a a a a a n a a +++++==<≥--;数列{}n b 满足: ()2211n n n b a a n +=-≥. 1.求数列{}{},n n a b 的通项公式;2.证明:数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列.答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：根据综合法的定义可得,综合法是由因导果法,是顺推证法;根据分析法的定义可得,分析法是执果索因法,是逆推证法,它们都是直接证法.故选D.2答案及解析：答案：C解析：由a b c >>,且0a b c ++=可得b ac =--,0a >,0c <只要证()223a c ac a ---<即证2220a ac a c -+->即证()()()0a a c a c a c -++⋅->即证()()0a a c b a c --->即证()()0a c a b -⋅->”索的因应是()()0a c a b --> 故选C .3答案及解析：答案：B解析：∵110,0,1x y x y >>+=,∴144224444y y y x x x x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,等号在4y x =,即2,8x y ==时成立,∴4y x +的最小值为4,要使不等式234y m m x ->+有解,应有234m m ->,∴1m <-或4m >,故选B.4答案及解析：答案：C解析：结合综合法和分析法的定义可知①②③⑤均正确,分析法和综合法均为直接证明法,故④不正确.5答案及解析：答案：A解析：由()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时, ()f x 单调递减,可知()f x 是R 上的单调递减函数.由120x x +>,可知12x x >-,()()12f x f x <-,则()()120f x f x +<.故选A.6答案及解析：解析：对A,∵2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥,∴222a b c ab bc ca ++≥++;对B,∵22a b a b +=+=+>;对C,)3a <≥成立,只需证明<两边平方得2323a a -+<-+,<两边平方得22332a a a a -<-+,即02<.因为02<显然成立,所以原不等式成立;对于D ()221224430-=+=<<故D 错误.7答案及解析：答案：D解析：8答案及解析：答案：D解析：恰有一个偶数的否定有两种情况,其一是无偶数(全为奇数),其二是至少有两个偶数,故选D.9答案及解析：答案：B解析：分ABC △的直线只能过一个顶点且与对边相交,如直线AD (点D 在BC 上),则πADB ADC ∠+∠=,若ADB ∠为钝角,则ADC ∠为锐角.而,ADC BAD ADC ABD ∠>∠∠>∠,ABD △与ACD △不可能相似,与已知不符,只有当π2ADB ADC BAC ∠=∠=∠=时,才符合题意.10答案及解析：解析：“方程20x ax b ++=至少有一个实根”等价于“方程20x ax b ++=有一个实根或两个实根”所以该命题的否定是“方程20x ax b ++=没有实根”.故选A.11答案及解析：答案：0,0a b ≥≥且a b ≠解析：若>则0a b +>,即()20a b -=>, 所以有0,0a b ≥≥且a b ≠.12答案及解析：答案：a b ≠解析：∵-()ab a b =+=- 2=∴只要a b ≠,就有>13答案及解析：答案：a,b 不全为0解析：“,a b 全为0”即是“0a =且0b =”,因此它的反设为“0a ≠或0b ≠”.14答案及解析：答案：方程30x ax b ++=没有实根解析：至少有一个实根的否定是没有实根,故要做的假设是“方程30x ax b ++=没有实根”.15答案及解析：答案：1.由题意可知, ()2212113n n a a +-=-. 令21n n c a =-,则123n n c c +=. 又211314c a =-=,则数列{}n c 是首项为134c =,公比为23的等比数列,即13243n n c -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭, 故11223232114343n n n n a a --⎛⎫⎛⎫-=⋅⇒=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 又1110,02n n a a a +=><,故()1n n a -=-1122132321211434343n n n n n nb a a --+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅--⋅=⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 2.用反证法证明.假设数列{}n b 存在三项(,,)r s t b b b r s t <<,按某种顺序成等差数列,由于数列{}n b 是首项为14,公比为23的等比数列,于是有r s t b b b >>,则只可能有2s r t b b b =+成立. ∴1111212122434343s r t ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 两边同乘以1132t r --,化简得32223t r t r s r t s ----+=⋅.由于r s t <<,∴上式左边为奇数,右边为偶数,故上式不可能成立,导致矛盾.故数列{}n b 中任意三项不可能成等差数列.解析：由Ruize收集整理。

课时跟踪检测(三十五) 直接证明与间接证明

课时跟踪检测（三十五）直接证明与间接证明一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的有________(填序号)．解析：由分析法、综合法、反证法的定义知①②③④⑤都正确．答案：①②③④⑤2．要证3－5<11－13成立，只需证________(填序号)．①(3－5)2<(11－13)2；②(3－11)2<(5－13)2；③(3＋13)2<(5＋11)2；④(3－5－11)2<(－13)2.解析：3－5<11－13⇔3＋13<5＋11，且3＋13>0，5＋11>0，故只需证(3＋13)2<(5＋11)2.故填③.答案：③3．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线．若利用反证法证明，则应假设________________．解析：因为“异面”的否定为“共面”，所以应假设“b与c共面”．答案：b与c共面4．如果a a＋b b＞a b＋b a，则a，b应满足的条件是__________．解析：a a＋b b＞a b＋b a，即(a－b)2(a＋b)＞0，需满足a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0且a≠b5．(2016·太原模拟)用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设________．解析：“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．答案：x≠－1且x≠1二保高考，全练题型做到高考达标1．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac <3a”索的因应是____________________________________________________________．解析：b2－ac<3a⇔b2－ac<3a2⇔(a ＋c )2－ac <3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c )(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0.答案：(a －c )(a －b )>02．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数”时，应该假设__________________．解析：“a ，b ，c 中至少有一个是偶数”的否定应为“a ，b ，c 都不是偶数”．答案：a ，b ，c 都不是偶数3．已知m ＞1，a ＝m ＋1－m ，b ＝m －m －1，则a ，b 的大小关系为________．解析：∵a ＝m ＋1－m ＝1m ＋1＋m ，b ＝m －m －1＝1m ＋m －1 . 而m ＋1＋m ＞m ＋m －1＞0(m ＞1)， ∴1m ＋1＋m ＜1m ＋m －1，即a 1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．解析：若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；对于③，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1，反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1.答案：③5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)________0(填“>”“<”或“＝”)．解析：由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0.答案：<6．设a ＞b >0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m ，n 的大小关系是________．解析：法一：(取特殊值法)取a ＝2，b ＝1，得m ＜n .法二：(分析法)a －b ＜a －b ⇐b ＋a －b ＞a ⇐a ＜b ＋2b ·a －b ＋a －b ⇐2b ·a －b ＞0，显然成立．答案：m ＜n7．下列条件：①ab ＞0，②ab ＜0，③a ＞0，b ＞0，④a ＜0，b ＜0，其中能使b a ＋a b ≥2成立的条件的序号是________．解析：要使b a ＋a b ≥2，只需b a ＞0且a b ＞0成立，即a ，b 不为0且同号即可，故①③④都能使b a ＋a b≥2成立．答案：①③④8．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，在区间[]－1，1内至少存在一点c ，使f (c )>0，则实数p 的取值范围是________．解析：法一：(补集法)令⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝－2p 2＋p ＋1≤0，f (1)＝－2p 2－3p ＋9≤0，解得p ≤－3或p ≥32，故满足条件的p 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－3，32 . 法二：(直接法)依题意有f (－1)＞0或f (1)＞0，即2p 2－p －1＜0或2p 2＋3p －9＜0，得－12＜p ＜1或－3＜p ＜32. 故满足条件的p 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－3，32 . 答案：⎝⎛⎭⎫－3，32 9．已知非零向量a ，b ，且a ⊥b ，求证：|a|＋|b||a ＋b |≤ 2. 证明：a ⊥b ⇔a ·b ＝0，要证|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2. 只需证|a |＋|b |≤2|a ＋b |，只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2(a 2＋2a ·b ＋b 2)，只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2a 2＋2b 2，只需证|a |2＋|b |2－2|a ||b |≥0，即(|a |－|b |)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．10．(2016·常州模拟)在数列{a n }中，已知a 1＝14，a n ＋1a n＝14，b n ＋2＝3log 14a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{b n }是等差数列．解：(1)因为a n ＋1a n＝14，所以数列{a n }是首项为14，公比为14的等比数列，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫ 14 n (n ∈N *)．(2)证明：因为b n ＝3log 14a n －2，所以b n ＝3log 14⎝⎛⎭⎫14n －2＝3n －2. 所以b 1＝1，公差d ＝3，所以数列{b n }是首项b 1＝1，公差d ＝3的等差数列．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则△A 2B 2C 2是________三角形．解析：由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝⎛⎭⎫ π2－A 1 ，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝⎛⎭⎫ π2－B 1 ，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝⎛⎭⎫ π2－C 1 ，得⎩⎪⎨⎪⎧ A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1.那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾．所以假设不成立，又显然△A 2B 2C 2不是直角三角形．所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．答案：钝角2.(2016·南京名校联考)如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(填你认为正确的一个条件即可)．解析：从结论出发，找一个使A 1C ⊥B 1D 1成立的充分条件，因而可以是AC ⊥BD . 答案：AC ⊥BD (答案不唯一)3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a是f (x )＝0的一个根； (2)试比较1a 与c 的大小；(3)证明：－20，由0<x <c 时，f (x )>0，知f ⎝⎛⎭⎫1a >0与f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0矛盾， ∴1a ≥c ，又∵1a ≠c ，∴1a >c .(3)证明：由f (c )＝0，得ac ＋b ＋1＝0，∴b ＝－1－ac .又a >0，c >0，∴b <－1.二次函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝－b 2a ＝x 1＋x 22<x 2＋x 22＝x 2＝1a ，即－b 2a<1a . 又a >0，∴b >－2，∴－2<b <－1.。

2020高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-6直接证明与间接证明 Word版含解析.doc

[课时跟踪检测][基础达标]1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．等价条件答案：A2．要证明3＋7<25，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是() A．综合法B．分析法C．反证法D．归纳法解析：从要证明的结论——比较两个无理数大小出发，证明此类问题通常转化为比较有理数的大小，这正是分析法的证明方法，故选B.答案：B3．(2017届亳州模拟)实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，abc>0，则1a＋1b＋1c的值()A．一定是正数B．一定是负数C．可能是0 D．正、负不确定解析：由a＋b＋c＝0，abc>0得a，b，c中必有两负一正，不妨设a<0，b<0，c>0，且|a|<c，则1|a|>1c，从而－1a>1c，而1b<0，所以1a＋1b＋1c<0.答案：B4．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，则P，Q的大小关系是() A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值确定解析：要比较两个正数P，Q的大小关系，只要比较P2，Q2的大小关系，只要比较2a＋7＋2a(a＋7)与2a＋7＋2(a＋3)(a＋4)的大小，只要比较a(a＋7)与(a＋3)(a＋4)的大小，即比较a2＋7a与a2＋7a＋12的大小，只要比较0与12的大小，∵0<12，∴P<Q.答案：C5．(2018届南阳模拟)设a ，b ，c 大于0，则3个数a b ，b c ，ca 的值( ) A ．至多有一个不大于1 B ．都大于1C ．至少有一个不大于1D ．都小于1解析：由题意，若3个数a b ，b c ，ca 的值均大于1，则a >b ，b >c ，c >a ，显然矛盾，∴3个数a b ，b c ，ca 的值至少有一个不大于1，故选C. 答案：C6．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，a ，b 是正实数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A解析：因为a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b ，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是减函数，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b . 即A ≤B ≤C .故选A. 答案：A7．设0<x <1，a >0，b >0，a ，b 为常数，则a 2x ＋b 21－x 的最小值是( )A ．4abB ．2(a 2＋b 2)C ．(a ＋b )2D ．(a －b )2 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋b 21－x [x ＋(1－x )]＝a 2＋a 2(1－x )x ＋b 2x 1－x ＋b 2≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.当且仅当x ＝aa ＋b时，等号成立．故选C.答案：C8．若a >0，b >0，a ＋b ＝1则下列不等式不成立的是( ) A ．a 2＋b 2≥12 B ．ab ≤14 C.1a ＋1b ≥4D.a ＋b ≤1解析：∵a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝12， ∴A 成立；∵ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，∴B 成立； ∵1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝4，∴C 成立；∴(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab >1，a ＋b >1，故D 不成立．答案：D9．命题“a ，b 是实数，若|a ＋1|＋(b ＋1)2＝0，则a ＝b ＝－1”，用反证法证明时应假设________．答案：a ≠－1或b ≠－110．用反证法证明命题：“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为______．答案：a ，b 都不能被5整除11．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >2；②a 2＋b 2>2.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)解析：取a ＝－2，b ＝－1，则a 2＋b 2>2，从而②推不出． ①能够推出，即若a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1. 用反证法证明如下：假设a ≤1，且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾．因此假设不成立，所以a ，b 中至少有一个大于1. 答案：①12．已知a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc >3. 证明：因为a ，b ，c 为不全相等的正数，所以b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc＝b a ＋a b ＋c a ＋a c ＋c b ＋bc －3， >2b a ·a b ＋2c a ·ac ＋2c b ·bc －3＝3，即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc>3.13．已知α，β≠k π＋π2(k ∈Z )，且sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θcos θ＝sin 2β.求证：1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β2(1＋tan 2β).证明：要证1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β2(1＋tan 2β)成立，即证1－sin 2αcos 2α1＋sin 2αcos 2α＝1－sin 2βcos 2β2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2βcos 2β，即证cos 2α－sin 2α＝12(cos 2β－sin 2β)，即证1－2sin 2α＝12(1－2sin 2β)，即证4sin 2α－2sin 2β＝1，因为sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θcos θ＝sin 2β，且(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，所以1＋2sin 2β＝4sin 2α，即4sin 2α－2sin 2β＝1.故原结论正确．14．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n ＋3，求证：数列{a n }中任意不同的三项都不可能是等比数列．证明：假设{a n }存在不同的三项a p ，a q ，a r (p 、q 、r 互不相等)构成等比数列．则a 2q ＝a p ·a r ，即(p ＋3)·(r ＋3)＝(q ＋3)2， ∴pr ＋3(p ＋r )＋3＝q 2＋23q ＋3，∴(pr －q 2)＋3(p ＋r －2q )＝0，由于p ，q ，r ∈N ＋，∴pr －q 2＝0且p ＋r －2q ＝0. 于是pr －⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝0，得(p －r )2＝0，故p ＝r ＝q . 这与p 、q 、r 互不相等相矛盾，因此假设不成立，即{a n }中任意不同的三项都不可能是等比数列．[能力提升]1．设a ，b ，c 都是正数，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 三个数( ) A ．都大于2 B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥6，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，所以三个数中至少有一个不小于2. 答案：D2．设x ＋y ＝1，x ，y ∈(0，＋∞)，则x 2＋y 2＋xy 的最小值为( ) A.14 B.34 C ．－14D ．－34解析：因为x >0，y >0且x ＋y ＝1，所以xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝14，所以x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ＝1－xy ≥1－14＝34，故x 2＋y 2＋xy 有最小值34. 答案：B3．对于函数f (x )，若∀a ，b ，c ∈R ，f (a )，f (b )，f (c )都是某一三角形的三边长，则称f (x )为“可构造三角形函数”．以下说法正确的是( )A ．f (x )＝1(x ∈R )不是“可构造三角形函数”B．“可构造三角形函数”一定是单调函数C．f(x)＝1x2＋1(x∈R)是“可构造三角形函数”D．若定义在R上的函数f(x)的值域是[e，e](e 为自然对数的底数)，则f(x)一定是“可构造三角形函数”解析：对于A选项，由题设所给的定义知，∀a，b，c∈R，f(a)，f(b)，f(c)是边长为1的正三角形的三边长，是“可构造三角形函数”，故A选项错误；对于B选项，由A选项判断过程知，故B选项错误；对于C选项，当a＝0，b＝3，c＝3时，f(a)＝1>f(b)＋f(c)＝110，不构成三角形，故C选项错误；对于D选项，由于e＋e>e，可知，定义在R上的函数f(x)的值域是[e，e](e为自然对数的底数)，则f(x)一定是“可构造三角形函数”，故D选项正确．答案：D4．设a>1，n∈N，若不等式na－1<a－1n恒成立时，则n的最小值为________．解析：n＝1时，结论不成立；n＝2时，不等式变为2a－2<a－1，所以(a －1)2>0，因为a>1，所以不等式成立．答案：25．设a>0，b>0，求证：lg(1＋ab)≤12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．证明：要证lg(1＋ab)≤12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]，只需证1＋ab≤(1＋a)(1＋b)，即证(1＋ab)2≤(1＋a)(1＋b)，即证2ab≤a＋b，而2ab≤a＋b成立(a>0，b>0)，∴lg(1＋ab)≤12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．。

课时跟踪检测(六十八) 直接证明与间接证明、数学归纳法

课时跟踪检测（六十八）直接证明与间接证明、数学归纳法1．(2019·山西十二校模拟)用反证法证明命题“已知a ，b ∈N *，如果ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a ，b 不都能被5整除D ．a 不能被5整除解析：选B 用反证法证明命题时，应先假设结论的否定成立，而至少有一个能被5整除的否定是都不能被5整除，故作的假设是“a ，b 都不能被5整除”．2．分析法又称执果索因法，已知x ＞0，用分析法证明1＋x ＜1＋x 2时，索的因是( )A ．x 2＞2B ．x 2＞4C ．x 2＞0D ．x 2＞1解析：选C 因为x ＞0，所以要证1＋x ＜1＋x2，只需证(1＋x )2＜⎝⎛⎭⎫1＋x 22，即证0＜x 24，即证x 2＞0，因为x ＞0，所以x 2＞0成立，故原不等式成立．3．(2019·玉溪模拟)已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2，且为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证( )A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立解析：选B 由数学归纳法的证明步骤可知，假设n ＝k (k ≥2，且为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n ＝k ＋2时等式成立．4．若用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 3＝n 6＋n 32，则当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 3＋1B ．(k ＋1)3 C.(k ＋1)6＋(k ＋1)32D ．(k 3＋1)＋(k 3＋2)＋(k 3＋3)＋…＋(k ＋1)3解析：选D 当n ＝k 时，等式左端＝1＋2＋…＋k 3，当n ＝k ＋1时，等式左端＝1＋2＋…＋k 3＋(k 3＋1)＋(k 3＋2)＋(k 3＋3)＋…＋(k ＋1)3，增加了(k 3＋1)＋(k 3＋2)＋(k 3＋3)＋…＋(k ＋1)3.故选D.5．(2019·大连一模)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2＞0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负解析：选A 由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2＞0，可知x 1＞－x 2，f (x 1)＜f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)＜0.6．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a ，b 为正实数，A ＝f⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A解析：选A 因为a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b ，又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上是单调减函数，故f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝⎛⎭⎫2aba ＋b ，即A ≤B ≤C .7．设n ∈N ，则n ＋4－n ＋3与n ＋2－n ＋1的大小关系是( ) A.n ＋4－n ＋3＞n ＋2－n ＋1 B.n ＋4－n ＋3＜n ＋2－n ＋1 C.n ＋4－n ＋3＝n ＋2－n ＋1 D ．不能确定解析：选B 由题意知，(n ＋4－n ＋3)－(n ＋2－n ＋1)＝(n ＋4＋n ＋1)－ (n ＋3＋n ＋2)，因为(n ＋4＋n ＋1)2－(n ＋3＋n ＋2)2 ＝2[(n ＋4)(n ＋1)－(n ＋3)(n ＋2)] ＝2(n 2＋5n ＋4－n 2＋5n ＋6)＜0，所以n ＋4－n ＋3＜n ＋2－n ＋1.8．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16a 三个数( ) A ．都大于6 B ．至少有一个不大于6 C ．都小于6D ．至少有一个不小于6解析：选D 假设a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16a 都小于6，则a ＋4b ＋b ＋9c ＋c ＋16a＜18,利用基本不等式，可得a ＋4b ＋b ＋9c ＋c ＋16a ≥2a ·16a ＋2b ·4b ＋2c ·9c ＝8＋4＋6＝18，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，所以a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16a 三个数至少有一个不小于6.9．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a ，b 应满足的条件是__________________．解析：a a ＋b b ＞a b ＋b a ，即(a －b )2(a ＋b )＞0，需满足a ≥0，b ≥0且a ≠b . 答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有：(S n －1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝________.解析：由(S 1－1)2＝S 21，得S 1＝12；由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2，得S 2＝23；由(S 3－1)2＝(S 3－S 2)S 3，得S 3＝34.猜想S n ＝n n ＋1. 答案：nn ＋111．(2019·德州一模)如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则△A 2B 2C 2是________三角形．解析：由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1.那么A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为π相矛盾．所以假设不成立，又显然△A 2B 2C 2不是直角三角形．所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．答案：钝角12．已知a ＞b ＞0，则①1a ＜1b ；②ac 2＞bc 2；③a 2＞b 2；④a ＞b ，其中正确的序号是________．解析：对于①，因为a ＞b ＞0，所以ab ＞0，1ab ＞0，a ·1ab ＞b ·1ab ，即1b ＞1a ，故①正确；当c ＝0时，②不正确；由不等式的性质知③④正确．答案：①③④13．已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1x －1⎝⎛⎭⎫1y －1⎝⎛⎭⎫1z －1＞8. 证明：因为x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，所以1x －1＝1－x x ＝y ＋z x ＞2yz x ， ① 1y －1＝1－y y ＝x ＋z y ＞2xz y ， ② 1z －1＝1－z z ＝x ＋y z ＞2xy z ，③又x ，y ，z 为正数，由①×②×③，得⎝⎛⎭⎫1x －1⎝⎛⎭⎫1y －1⎝⎛⎭⎫1z －1＞8.14．设a ＞0，b ＞0，且a 2＋b 2＝1a 2＋1b 2.证明：a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立．证明：假设a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2同时成立，则有a 2＋a ＋b 2＋b ＜4.而由a 2＋b 2＝1a 2＋1b 2得a 2b 2＝1，因为a ＞0，b ＞0，所以ab ＝1.因为a 2＋b 2≥2ab ＝2(当且仅当a ＝b ＝1等号成立)， a ＋b ≥2ab ＝2(当且仅当a ＝b ＝1等号成立)，所以a 2＋a ＋b 2＋b ≥2ab ＋2ab ＝4(当且仅当a ＝b ＝1等号成立)，这与假设矛盾，故假设错误．所以a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立． 15．已知数列{x n }满足x 1＝12，且x n ＋1＝x n 2－x n (n ∈N *)(1)用数学归纳法证明：0＜x n ＜1； (2)设a n ＝1x n，求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：①当n＝1时，x1＝12∈(0,1)，不等式成立．②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，结论成立，即x k∈(0,1)，则当n＝k＋1时，x k＋1＝x k2－x k，因为x k∈(0,1)，所以2－x k＞0，即x k＋1＞0.又因为x k＋1－1＝2(x k－1)2－x k＜0，所以0＜x k＋1＜1.综合①②可知0＜x n＜1.(2)由x n＋1＝x n2－x n可得1x n＋1＝2－x nx n＝2x n－1，即a n＋1＝2a n－1，所以a n＋1－1＝2(a n－1)．令b n＝a n－1，则b n＋1＝2b n，又b1＝a1－1＝1x1－1＝1，所以{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，即b n＝2n－1，所以a n＝2n－1＋1.。

2019-2020年高中数学苏教版选修1-2同步训练：2.2直接证明与间接证明

22直接证明与间接证明1分析法又称执果索因法,若用分析法证明：“设a b c,且a b ^0,求证b2-ac ：：、、3a ”最终索的因应是（）A. a「b 0B. a「c :: 0C. a -b a -c i > 0D. a -b a -c :: 02、若直线h和12是异面直线，h在平面〉内，12在平面1内，I是平面〉与平面1的交线,则下列命题正确的是（）A. I至少与|门2中的一条相交B. I与l n l2都相交c. I至多与m中的一条相交D. I与1（2都不相交3、下列不等式不成立的是（）A. a2 b2 c2 _ ab be ■ ac八a b a 0,b 0B.C. ”.f a \a-2-、a-3a—3jD. .8 J < .5.104、设a,b, m?^是正整数，且a ：：： b,则下列不等式中恒不成立的是（）A.B.5、已知a,b,c 为不全相等的实数, ^a 2 b 2 c 2 3,^2 a b c ,则P 与Q 的大小关系是（）A. P QB. P _QC. P : QD. P _Q6、要证a Q -；；a - 7 ：：： . a ■ 3 - J a - 4 （a 亠0）可选择的方法很多，其中最合理的是（）A.综合法B.类比法C.分析法D.归纳法7、用反证法证明自然数a,b,c 中恰有一个偶数”时,应假设（）A. a, b, c 都是偶数B. a,b,c 都是奇数C. a,b,c 中至少有两个偶数D. a, b, c 中都是奇数或至少有两个偶数8、已知a b c 0 , ab bc ac 0, abc - 0 ,用反证法求证 a 0 ,b 0 ,c 0时的反设为（）A. a ：：0,b ：：：0,c ：：：0B. a_0,b 0,c 0C. a, b,c 不全是正数D. abc ::: 09、在运用反证法推出矛盾的推理过程中，可以把下列哪些作为条件使用（）①结论的反设； ②已知条件；③定义、公理、定理等； ④原结论.A.①②B.②③C.①②③D.①②④10、用反证法证明命题：三角形的内角中至少有一个不大于 60度”时，反设正确的是（）A. 假设三内角都不大于 60度B. 假设三内角都大于 60度C. 假设三内角至多有一个大于 60度 C. a ... amD.D. 假设三内角至多有两个大于60度1 1 111、设a=0,bA0,c:>0 且a+b+c=1.则一+-+ —的最小值为 _______________ .abc12、使用反证法证明任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定是_________________ .13、用反证法证明命题“ a,b・N ,如果ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是 ___________ .14、设a,b是两个实数，给出下列条件：① a b 1;② a b=2;③ a b 2 ;④ a2 b22；⑤ ab ?.其中能推出:"a,b中至少有一个实数大于1”的条件是 _______________15、已知函数f(x)在R上是增函数，a,b^R.(1)求证：如果a b _0 ,那么f(a) f(b) _f(-a) f(-b).⑵判断(1)中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：由a b c,且a b ^0可得b = -a -c, a 0,c :0要证b2 - ac ：：： \ 3a只要证-a -c2 -ac ：：：3a2即证a2「ac ■ a2「c2- 0即证a a -c ]亠〔a • c • a - c] - 0即证a a -c -b a -c 0即证a - c] [ a - b 0故求证“ ；b2-ac —、3a ”索的因应是a-c a-b 0故选C.2答案及解析:答案：A 解析：若直线l1和l2是异面直线，h在平面〉内，|2在平面1内，I是平面〉与平面1的交线，则I至少与h , l2中的一条相交,故选A.3答案及解析：答案：D解析：4答案及解析：答案：B解析：可证明a-红』成立,要证明a：：：,由于a,b,m1都是正整数,故只需证b b +m b b + mab am ：： ab bm,即证a — b m 0,因为a :: b,所以a — b m 0成立•5答案及解析：答案：A要比较P, ?Q的大小，只需比较P -Q与0的关系•因为2 2 2 2 2 2 2 2 2P-Q二a b c 3-2abc=a-2a1b-2b1c-2c1=a-1|4|b-1]4|C-1,又a,b,c不全相等，所以P -Q 0,即P Q.6答案及解析：答案：C解析：要证 '一a . a 7 ：： . a 3 . a 4 ,只需证明2a 7 2、a27a 2a 7 2、a27a 12,只需证明,a 7a < a 7a 12,只需证明a2 7a :：: a2 7a 12,只需证明0 ：12,故选择分析法最合理.7答案及解析：答案：D解析：自然数a,b,c的奇偶性共有四种情形:3个都是奇数,1个偶数2个奇数,2个偶数1个奇数,3个都是偶数，所以假设应为“a,b,c中都是奇数或至少有两个是偶数”8答案及解析：答案：C解析：9答案及解析：解析：除原结论不能作为推理条件外，其余均可.10答案及解析：答案：B解析：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即"三内角都大于60度".故选B.11答案及解析：答案：9解析：因为a 0,b 0,c 0且a b ^1所以111 ba c a c b—--=3 (b a) (- a) (c b) - 3 2 2 ^9当且仅当a 二b 二c时等号a b c a b a c b c成立.12答案及解析:答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角解析：该命题的否定有两部分，一是任何三角形，二是至少有两个，其否定应为存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”.13答案及解析:答a,b都不能被5整除解析：反证法是“间接证明法”一类，是从反方向证明的证明方法，即：肯定题设而否定结论从而得出矛盾。

苏教版高中数学选修2-2：第2章《直接证明与间接证明》测试(选修2—2).docx

高中苏教选修（2-2）2.2直接证明与间接证明水平测试一、选择题1．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（） A ．假设至少有一个钝角 B ．假设至少有两个钝角 C ．假设没有一个钝角D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角答案：B2．关于直线m n ，与平面αβ，，有下列四个命题： ①若m α∥，n β∥且αβ∥，则m n ∥； ②若m n αβ⊥⊥，且αβ⊥，则m n ⊥； ③若m n αβ⊥，∥且αβ∥，则m n ⊥； ④若m α∥，n β⊥且αβ⊥，则m n ∥．其中真命题的序号是（） A ．①② B ．③④ C ．①④ D ．②③ 答案：D3．设a b c ，，是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（） A ．a b a c b c --+-≤ B ．2211a a a a++≥ C ．2abab a b+≥ D ．312a a a a +-++-≤答案：C4．如果111A B C △的三个内角的余弦值分别等于222A B C △的三个内角的正弦值，则（） A ．111A B C △和222A B C △都是锐角三角形 B ．111A B C △和222A B C △都是钝角三角形C ．111A B C △是钝角三角形，222A B C △是锐角三角形D ．111A B C △是锐角三角形，222A B C △是钝角三角形答案：D 二、填空题5．若1x y >>且01a <<，则①x ya a <；②log log a a x y >；③a a x y -->，其中不成立的不等式序号是．答案：②③6．在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个自然数，并且使这两个自然数的和最小：191=+□□．答案：4，12 三、解答题7．已知(01)abc ∈，，求证：(1)a b -，(1)b c -，(1)c a -不能同时大于14．证明：假设三式同时大于14，即14b ab ->，14c bc ->，14a ac ->．三式同向相乘，得1(1)(1)(1)64a ab bc c --->． ① 又211(1)24a a a a -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭≤，同理1(1)4b b -≤，1(1)4c c -≤． 1(1)(1)(1)64a ab bc c ∴---≤． ②因①②矛盾，故假设错误，原命题成立．8．已知()f x 对任意实数a b ，都有()()()1f a b f a f b +=+-，且当0x >时，()1f x >．（1）求证：()f x 是R 上的增函数；（2）已知(4)5f =，解不等式2(32)3f m m --<．解：证明：设任意12x x ∈R ，，且21x x >，则210x x x ∆=->．由已知得21()1f x x ->．而212111()()[()]()y f x f x f x x x f x ∆=-=-+-2111()()1()f x x f x f x =-+-- 21()10f x x =-->，所以()f x 是R 上的增函数；（2）解：由于(4)(2)(2)15f f f =+-=，(2)3f ∴=．由2(32)3f m m --<得2(32)(2)f m m f --<，()f x 是R 上的增函灵敏，2322m m ∴--<，解得413m -<<．C 备选题1．计算机中常用的十六进进是逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母~A F 共16个计数符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：十六进制0 1 2 3 4 5 6 7 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十六进制 8 9ABCDEF十进制8 9 10 11 12 13 14 15例如，用十六进制表示1E D B +=，则A B ⨯=（）A ．6EB ．72C ．5FD ．0B 答案：A2．设a b c >>，n ∈N ，且11n a b b c a c+---≥恒成立，则n 的最大值是．答案：43．已知(01)a b c d ∈，，，，，试比较abcd 与3a b c d +++-的大小．答案：解：先考虑一个简单问题，比较ab 与1a b +-的大小．事实上，因为(1)1(1)(1)0ab a b ab a b a b -+-=--+=-->，所以1ab a b >+-．所以()1(1)12abc ab c ab c a b c a b c =>+->+-+-=++-．更进一步，则有()1(2)13abcd abc d abc d a b c d a b c d =>+->++-+-=+++-，故有3abcd a b c d >+++-．高中苏教选修（2-2）2.2直接证明与间接证明水平测试一、选择题 1．欲证2367-<-，只需证（）A ．22(23)(67)-<-B ．22(26)(37)-<-C ．22(27)(36)+<+ D ．22(236)(7)--<-答案：C2．若x y ，是正实数，且x y a x y ++≤恒成立，则a 的最小值是（）A ．22B ．2C ．2D ．1答案：B3．“不等式sin()sin 2αγβ+=成立”是“αβγ，，成等差数列”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件答案：B4．已知平面α外不共线的三点A B C ，，到α的距离都相等，则正确的结论是（） A ．平面ABC 必平行于α B ．平面ABC 必不垂直于α C ．平面ABC 必与α相交D ．存在ABC △的一条中位线平行于α或在α内答案：D5．过平行六面体1111ABCD A B C D -任意两条棱的中点作直线，其中与平面11DBB D 平行的直线共有（） A ．4条 B ．6条C ．8条D ．12条答案：D6．若00a b >>，，则不等式1b a x-<<等价于（） A ．10x b -<<或10x a <D ．1x b <-或1x a>答案：D二、填空题7．用反证法证明“如果a b >，那么33a b >”，假设的内容是．答案：33a b ≤8．设()y f x =（x ∈R ，0x ≠）对任意非零实数12x x ，均满足1212()()()f x x f x f x =+，则()f x 为函数（“奇”或“偶”）．答案：偶 9．设111111M a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且1a b c ++=（a b c ，，均为正数），则M 的取值范围是．答案：[)8+∞，10．已知平面αβ，和直线m ，给出条件：①m α∥；②m α⊥；③m α⊂；④αβ⊥；⑤αβ∥．（1）当满足条件时，有m β∥；（2）当满足条件时，有m β⊥．（填所选条件的序号）答案：③⑤；②⑤三、解答题11．已知非零实数a b c ，，是公差不为零的等差数列，求证：112a c b+≠．证明：（反证法）假设112a c b+=，则2bc ab ac +=． ① 而2b a c =+． ②由①②，得2()4a c ac +=，即2()0a c -=，于是a b c ==，这与非零实数a b c ，，成公差不为零的等差数列矛盾，故假设不成立，原命题结论成立，即112a c b+≠成立．12．当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大．将此结论由平面类比到空间时，你能够得出什么样的结论，并证明你的结论．解：由平面类比到空间可得如下结论：当一个球与一个正方体的表面积相等时，这个球的体积比正方体的体积大．设球和正方体的表面积均为S ，依题意球的体积为324π34πS ⎛⎫ ⎪⎝⎭，正方体的体积为326S ⎛⎫⎪⎝⎭．要证明33224π34π6S S ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，只需证明33216π94π6S S ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又因为33233316π94π36π66S S S S ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，显然，336π6<，333366S S ∴>， 33224π34π6S S ⎛⎫⎛⎫∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 13．已知a b c ，，为互不相等的实数，求证：444()a b c abc a b c ++>++．证明：44222a b a b +≥，44222b c b c +≥，44222c a a c +≥，又a b c ，，互不相等，∴上面三式都不能取“=”号，444222222a b c a b b c c a ∴++>++． 222a b ab +≥，222222a c b c abc ∴+≥．同理，222222a b a ca bc +≥，222222bc b a ab c +≥，222222222a b b c c a abc a bc ab c ∴++++≥．故444()a b c abc a b c ++>++．14．若下列方程：24430x ax a +-+=，22(1)0x a x a +-+=，2220x ax a +-=，至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围．解：设三个方程均无实根，则有2122223164(43)0(1)4044(2)0a a a a a a ⎧∆=--+<⎪∆=--<⎨⎪∆=--<⎩解得312211320a a a a ⎧-<<⎪⎪⎪<->⎨⎪-<<⎪⎪⎩或，即312a -<<-．所以当1a -≥或32a -≤时，三个方程至少有一个方程有实根．。

课时跟踪检测41 直接证明和间接证明

课时跟踪检测(四十一) 直接证明和间接证明第Ⅰ组：全员必做题1．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)有有理数根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数2．(2014·银川模拟)设a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断： ①(a－b)2＋(b －c)2＋(c －a)2≠0； ②a>b，a0，则f(x 1)＋f(x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负 4.创新题在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc.若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．－12B ．－32C.12D.325．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形6．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为________．7．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f(x 1)－f(x 2)|<|x 1－x 2|，求证：|f(x 1)－f(x 2)|<12.那么他的反设应该是________．8．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图像上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图像上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．9．若a ＞b ＞c ＞d ＞0且a ＋d ＝b ＋c ，求证：d ＋a ＜b ＋ c.10．已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0)的图像与x 轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0<x<c 时，f(x)>0.(1)证明：1a 是f(x)＝0的一个根；(2)试比较1a 与c 的大小；(3)证明：－2<b<－1. 第Ⅱ组：重点选做题1．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则( )A ．M ＝1B ．M<1C ．M >1D ．M 与1大小关系不定2．已知函数y ＝f(x)的定义域为D ，若对于任意的x 1，x 2∈D(x 1≠x 2)，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<1＋22，则称y ＝f(x)为D 上的凹函数．由此可得下列函数中的凹函数为( )A ．y ＝log 2xB ．y ＝xC ．y ＝x 2D ．y ＝x 3答案第Ⅰ组：全员必做题1．选B “至少有一个”的否定为“都不是”．故选B.2．选C ①②正确；③中，a≠b，b≠c，a≠c 可以同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3，故正确的判断有2个．3．选A 由f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f(x 1)<f(－x 2)＝－f(x 2)，则f(x 1)＋f(x 2)<0，故选A.4．选D 据已知定义可得不等式x 2－x －a 2＋a ＋1≥0恒成立，故Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)≤0，解得－12≤a≤32，故a 的最大值为32.5．选D 由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1.那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾．所以假设不成立，又显然△A 2B 2C 2不是直角三角形．所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．6．解析：a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，显然，6＜7.∴a ＜b.答案：a ＜b7．答案：“∃x 1，x 2∈[0,1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|<|x 1－x 2|则|f(x 1)－f(x 2)|≥12”8．解析：由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n，∴c n 随n 的增大而减小．∴c n ＋1<c n . 答案：c n ＋1<c n9．证明：要证d ＋a ＜b ＋c ，只需证(d ＋a)2＜(b ＋c)2，即a ＋d ＋2ad ＜b ＋c ＋2bc ，因a ＋d ＝b ＋c ，只需证ad ＜bc ，即ad ＜bc ，设a ＋d ＝b ＋c ＝t ，则ad －bc ＝(t －d)d －(t －c)c ＝(c －d)(c ＋d －t)＜0，故ad ＜bc 成立，从而d ＋a ＜b ＋c 成立．10．解：(1)证明：∵f(x)的图像与x 轴有两个不同的交点， ∴f(x)＝0有两个不等实根x 1，x 2， ∵f(c)＝0，∴x 1＝c 是f(x)＝0的根，又x 1x 2＝ca ，∴x 2＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≠c ，∴1a 是f(x)＝0的一个根． (2)假设1a <c ，又1a >0，由0<x<c 时，f(x)>0，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >0与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾， ∴1a ≥c，又∵1a ≠c，∴1a>c.(3)证明：由f(c)＝0，得ac ＋b ＋1＝0， ∴b ＝－1－ac. 又a>0，c>0，∴b<－1.二次函数f(x)的图像的对称轴方程为 x ＝－b 2a ＝x 1＋x 22<x 2＋x 22＝x 2＝1a ，即－b 2a <1a .又a>0，∴b>－2， ∴－2<b<－1. 第Ⅱ组：重点选做题1．选B ∵210＋1>210,210＋2>210，…，211－1>210， ∴M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<1210＋1210＋…＋1210＝1. 210个2．选C 可以根据图象直观观察；对于C 证明如下：欲证f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<1＋22，即证⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222<x 21＋x 222.即证(x 1＋x 2)2<2x 21＋2x 22. 即证(x 1－x 2)2>0.显然成立．故原不等式得证．。

课时跟踪检测(五十三) 直接证明和间接证明

课时跟踪检测（五十三）直接证明和间接证明一保高考，全练题型做到高考达标1．(2017·徐州模拟)若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，则P，Q的大小关系是________．解析：因为P2＝2a＋7＋2a·a＋7＝2a＋7＋2a2＋7a，Q2＝2a＋7＋2a＋3·a＋4＝2a＋7＋2a2＋7a＋12，所以P2<Q2，所以P<Q.答案：P<Q2．(2016·江阴调研)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞2；②a2＋b2＞2.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件的是________(填序号)．解析：①中，假设a≤1，b≤1，则a＋b≤2与已知条件a＋b>2矛盾，故假设不成立，所以a，b中至少有一个大于1，①正确；②中，若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2＞2成立，故②不能推出：“a，b中至少有一个大于1”．答案：①3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)________0(填“>”“<”或“＝”)．解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)<0.答案：<4．(2016·吕四中学检测)若0<a<1,0<b<1，且a≠b，则在a＋b,2ab，a2＋b2和2ab中最大的是________．解析：因为0<a<1,0<b<1，且a≠b，所以a＋b>2ab，a2＋b2>2ab，a＋b－(a2＋b2)＝a(1－a)＋b(1－b)>0，所以a＋b最大．答案：a＋b5．如果a a＋b b＞a b＋b a，则a，b应满足的条件是__________．解析：a a＋b b＞a b＋b a，即(a－b)2(a＋b)＞0，需满足a≥0，b≥0且a≠b.答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b6．用反证法证明“若x 2－1＝0，则x ＝－1或x ＝1”时，应假设____________________．解析：“x ＝－1或x ＝1”的否定是“x ≠－1且x ≠1”．答案：x ≠－1且x ≠17．已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1x －1⎝⎛⎭⎫1y －1⎝⎛⎭⎫1z －1>8. 证明：因为x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，所以1x －1＝1－x x ＝y ＋z x >2yz x ，①1y －1＝1－y y ＝x ＋z y >2xz y ，②1z －1＝1－z z ＝x ＋y z >2xyz ，③又x ，y ，z 为正数，由①×②×③，得⎝⎛⎭⎫1x －1⎝⎛⎭⎫1y －1⎝⎛⎭⎫1z －1>8.8．已知非零向量a ，b ，且a ⊥b ，求证：|a|＋|b||a ＋b |≤ 2.证明：a ⊥b ⇔a ·b ＝0，要证|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2.只需证|a |＋|b |≤2|a ＋b |，只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2(a 2＋2a ·b ＋b 2)，只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2a 2＋2b 2，只需证|a |2＋|b |2－2|a ||b |≥0，即(|a |－|b |)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．9.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 的中点．(1)求证：EC ∥平面PAD ；(2)求证：平面EAC ⊥平面PBC .证明：(1)作线段AB 的中点F ，连结EF ，CF (图略)，则AF ＝CD ，AF ∥CD ， ∴四边形ADCF 是平行四边形，则CF ∥AD .又EF ∥AP ，且CF ∩EF ＝F ，∴平面CFE ∥平面PAD .又EC ⊂平面CEF ，∴EC ∥平面PAD .(2)∵PC ⊥底面ABCD ，∴PC ⊥AC .∵四边形ABCD 是直角梯形，且AB ＝2AD ＝2CD ＝2，∴AC ＝2，BC ＝ 2.∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴AC ⊥BC ，∵PC ∩BC ＝C ，∴AC ⊥平面PBC ，∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC .二上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知数列{a n }满足a 1＝12，且a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N *)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式． (2)设b n ＝a n a n ＋1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和记为T n ，证明：T n ＜16. 证明：(1)由已知可得，当n ∈N *时，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，两边取倒数得，1a n ＋1＝3a n ＋1a n ＝1a n ＋3，即1a n ＋1－1a n＝3，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝2，公差为3的等差数列，其通项公式为1a n＝2＋(n －1)×3＝3n －1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝13n －1.(2)由(1)知a n ＝13n －1，故b n ＝a n a n ＋1＝1(3n －1)(3n ＋2) ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2，故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13×⎝⎛⎭⎫12－15＋13×⎝⎛⎭⎫15－18＋…＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13n ＋2＝16－13·13n ＋2. 因为13n ＋2＞0，所以T n ＜16. 2．(2016·无锡一中检测)数列{a n }，{b n }的每一项都是正数，a 1＝8，b 1＝16，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，n ∈N *.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)证明：对一切正整数n ，有1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1＜27. 解：(1)因为a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，所以2b n ＝a n ＋a n ＋1.①因为b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，所以a 2n ＋1＝b n b n ＋1.因为数列{a n }，{b n }的每一项都是正数，所以a n ＋1＝b n b n ＋1.②于是当n ≥2时，a n ＝b n －1b n .③将②③代入①式，可得2b n ＝b n －1＋b n ＋1. 因为a 1＝8，b 1＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×16＝8＋a 2，a 22＝16b 2，解得b 2＝36，所以数列{b n }是首项为4，公差为2的等差数列，所以b n ＝b 1＋(n －1)d ＝2n ＋2，于是b n ＝4(n ＋1)2.则a n ＝b n －1b n ＝4n 2·4(n ＋1)2＝4n (n ＋1)．当n ＝1时，a 1＝8，满足该式子，所以对一切正整数n ，都有a n ＝4n (n ＋1)．(2)证明：由(1)可知a n ＝4n (n ＋1)，因为1a n －1＝14n 2＋4n －1，14n 2＋4n －1＜14n 2＋4n －3＝1(2n －1)(2n ＋3)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋3. 当n ≥3时，17＋123＋…＋14n 2＋4n －1＜17＋123＋14⎝⎛⎭⎫15－19＋⎝⎛⎭⎫17－111＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋3＜17＋123＋14×⎝⎛⎭⎫15＋17＜17＋235＋335＝27. 当n ＝1时，17＜27，当n ＝2时，17＋123＜17＋17＝27，综上所述，对一切正整数n ，有1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1＜27.。

课时跟踪检测(三十七) 直接证明和间接证明

课时跟踪检测(三十七)直接证明和间接证明一保高考，全练题型做到高考达标1．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac <3a”索的因应是()A．a－b>0B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0D．(a－b)(a－c)<0解析：选C b2－ac<3a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2>0⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0．2．(2017·新乡调研)设x ，y ，z ∈R ＋，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三个数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2解析：选C 假设a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c ＜6，而a ＋b ＋c ＝x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋⎝⎛⎭⎫y ＋1y ＋⎝⎛⎭⎫z ＋1z ≥2＋2＋2＝6，与a ＋b ＋c ＜6矛盾， ∴a ，b ，c 都小于2错误．∴a ，b ，c 三个数至少有一个不小于2．故选C ．3．若P ＝a ＋6＋a ＋7，Q ＝a ＋8＋a ＋5(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( )A ．P ＞QB ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定解析：选A 假设P ＞Q ，要证P ＞Q ，只需证P 2＞Q 2，只需证：2a ＋13＋2(a ＋6)(a ＋7)＞2a ＋13＋2(a ＋8)(a ＋5)，只需证a 2＋13a ＋42＞a 2＋13a ＋40，只需证42＞40，因为42＞40成立，所以P ＞Q 成立．4．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负解析：选A 由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0．5．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a ，b 应满足的条件是__________．解析：a a ＋b b ＞a b ＋b a ，即(a －b )2(a ＋b )＞0，需满足a ≥0，b ≥0且a ≠b ．答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b6．(2017·太原模拟)用反证法证明“若x 2－1＝0，则x ＝－1或x ＝1”时，应假设____________________．解析：“x ＝－1或x ＝1”的否定是“x ≠－1且x ≠1”．答案：x ≠－1且x ≠17．已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1x －1⎝⎛⎭⎫1y －1⎝⎛⎭⎫1z －1>8．证明：因为x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，所以1x －1＝1－x x ＝y ＋z x >2yz x ，①1y －1＝1－y y ＝x ＋z y >2xz y，② 1z －1＝1－z z ＝x ＋y z >2xy z ，③又x ，y ，z 为正数，由①×②×③，得⎝⎛⎭⎫1x －1⎝⎛⎭⎫1y －1⎝⎛⎭⎫1z －1>8．8．已知非零向量a ，b ，且a ⊥b ，求证：|a|＋|b||a ＋b |≤2．证明：a ⊥b ⇔a ·b ＝0，要证|a |＋|b ||a ＋b |≤2．只需证|a |＋|b |≤2|a ＋b |，只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2(a 2＋2a ·b ＋b 2)，只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2a 2＋2b 2，只需证|a |2＋|b |2－2|a ||b |≥0，即(|a |－|b |)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．9．如图，在四棱锥P -ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 的中点．(1)求证：EC ∥平面PAD ；(2)求证：平面EAC ⊥平面PBC ．证明：(1)作线段AB 的中点F ，连接EF ，CF (图略)，则AF ＝CD ，AF ∥CD ， ∴四边形ADCF 是平行四边形，则CF ∥AD ．又EF ∥AP ，且CF ∩EF ＝F ，∴平面CFE ∥平面PAD ．又EC ⊂平面CEF ，∴EC ∥平面PAD ．(2)∵PC ⊥底面ABCD ，∴PC ⊥AC ．∵四边形ABCD 是直角梯形，且AB ＝2AD ＝2CD ＝2，∴AC ＝2，BC ＝2．∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴AC ⊥BC ，∵PC ∩BC ＝C ，∴AC ⊥平面PBC ，∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC ．二上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知数列{a n }满足a 1＝12，且a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N *)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式． (2)设b n ＝a n a n ＋1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和记为T n ，证明：T n ＜16．证明：(1)由已知可得，当n ∈N *时，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，两边取倒数得，1a n ＋1＝3a n ＋1a n ＝1a n ＋3，即1a n ＋1－1a n＝3，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝2，公差为3的等差数列，其通项公式为1a n＝2＋(n －1)×3＝3n －1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝13n －1．(2)由(1)知a n ＝13n －1，故b n ＝a n a n ＋1＝1(3n －1)(3n ＋2) ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2，故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13×⎝⎛⎭⎫12－15＋13×⎝⎛⎭⎫15－18＋…＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13n ＋2＝16－13·13n ＋2．因为13n ＋2＞0，所以T n ＜16． 2．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0．(1)证明：1a 是f (x )＝0的一个根；(2)试比较1a 与c 的大小；(3)证明：－20，由0<x <c 时，f (x )>0，知f ⎝⎛⎭⎫1a >0与f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0矛盾， ∴1a ≥c ，又∵1a ≠c ，∴1a>c ． (3)证明：由f (c )＝0，得ac ＋b ＋1＝0， ∴b ＝－1－ac ．又a >0，c >0，∴b <－1．二次函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝－b 2a ＝x 1＋x 22<x 2＋x 22＝x 2＝1a ，即－b 2a <1a．又a >0，∴b >－2，∴－2<b <－1．。

课时跟踪检测(三十七) 直接证明与间接证明(普通高中重点高中共用)

课时跟踪检测（三十七）直接证明与间接证明普通高中、重点高中共用作业(高考难度一般，无须挖潜)A 级——基础小题练熟练快1．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实数根”时，假设为( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实数根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实数根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实数根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实数根解析：选A “至少有一个实数根”的否定是“一个实数根也没有”，即“没有实数根”．2．在△ABC 中，sin A sin C <cos A cos C ，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选C 由sin A sin C <cos A cos C ，得cos A cos C －sin A sin C >0，即cos(A ＋C )>0，所以A ＋C 是锐角，从而B >π2，故△ABC 必是钝角三角形． 3．分析法又称执果索因法，已知x >0，用分析法证明1＋x <1＋x 2时，索的因是( ) A ．x 2>2B ．x 2>4C ．x 2>0D ．x 2>1 解析：选C 因为x >0，所以要证1＋x <1＋x 2，只需证(1＋x )2<⎝⎛⎭⎫1＋x 22，即证0<x 24，即证x 2>0，因为x >0，所以x 2>0成立，故原不等式成立．4．设x ，y ，z ∈R ＋，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x ，则a ，b ，c 三个数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2解析：选C 假设a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c ＜6，而a ＋b ＋c ＝x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋⎝⎛⎭⎫y ＋1y ＋⎝⎛⎭⎫z ＋1z ≥2＋2＋2＝6，与a ＋b ＋c ＜6矛盾， ∴a ，b ，c 都小于2不成立．∴a ，b ，c 三个数至少有一个不小于2.故选C.5．在等比数列{a n }中，a 1<a 2<a 3是数列{a n }递增的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 当a 1<a 2<a 3时，设公比为q ，由a 1<a 1q <a 1q 2得若a 1>0，则1<q <q 2，即q >1，此时，显然数列{a n }是递增数列，若a 1<0，则1>q >q 2，即0<q <1，此时，数列{a n }也是递增数列，反之，当数列{a n }是递增数列时，显然a 1<a 2<a 3.故a 1<a 2<a 3是等比数列{a n }递增的充要条件．6．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负解析：选A 由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0.7．(2018·太原模拟)用反证法证明“若x 2－1＝0，则x ＝－1或x ＝1”时，应假设____________________．解析：“x ＝－1或x ＝1”的否定是“x ≠－1且x ≠1”．答案：x ≠－1且x ≠18．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a ，b 应满足的条件是__________．解析：a a ＋b b ＞a b ＋b a ，即(a －b )2(a ＋b )＞0，需满足a ≥0，b ≥0且a ≠b . 答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b9．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为________．解析：a ＝3＋22，b ＝2＋7，两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，显然 6<7，所以a b >0，则①1a <1b；②ac 2>bc 2；③a 2>b 2；④a >b ，其中正确的序号是________．解析：对于①，因为a >b >0，所以ab >0，1ab >0，a ·1ab >b ·1ab ，即1b >1a，故①正确；当c ＝0时，②不正确；由不等式的性质知③④正确．答案：①③④B 级——中档题目练通抓牢1．已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1x －1⎝⎛⎭⎫1y －1⎝⎛⎭⎫1z －1>8. 证明：因为x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，所以1x －1＝1－x x ＝y ＋z x >2yz x，① 1y －1＝1－y y ＝x ＋z y >2xz y，② 1z －1＝1－z z ＝x ＋y z >2xy z ，③又x ，y ，z 为正数，由①×②×③，得⎝⎛⎭⎫1x －1⎝⎛⎭⎫1y －1⎝⎛⎭⎫1z －1>8.2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－n 2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对任意的n >1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．解：(1)由S n ＝3n 2－n 2，得a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －2，当n ＝1时也适合．所以数列{a n}的通项公式为a n＝3n－2.(2)证明：要使得a1，a n，a m成等比数列，只需要a2n＝a1·a m，即(3n－2)2＝1·(3m－2)，即m＝3n2－4n＋2，而此时m∈N*，且m>n.所以对任意的n>1，都存在m∈N*，使得a1，a n，a m成等比数列．3.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中点．(1)求证：EC∥平面PAD；(2)求证：平面EAC⊥平面PBC.证明：(1)作线段AB的中点F，连接EF，CF，则AF＝CD，AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，则CF∥AD.又EF∥AP，且CF∩EF＝F，AP∩AD＝A，∴平面CFE∥平面PAD.又EC⊂平面CEF，∴EC∥平面PAD.(2)∵PC⊥底面ABCD，∴PC⊥AC.∵四边形ABCD是直角梯形，且AB＝2AD＝2CD＝2，∴AC＝2，BC＝ 2.∴AB2＝AC2＋BC2，∴AC⊥BC，∵PC∩BC＝C，∴AC⊥平面PBC.∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC.4．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a是f (x )＝0的一个根； (2)试比较1a 与c 的大小；(3)证明：－20，由0<x <c 时，f (x )>0，知f ⎝⎛⎭⎫1a >0与f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0矛盾， ∴1a ≥c ，又∵1a≠c ， ∴1a >c .(3)证明：由f (c )＝0，得ac ＋b ＋1＝0，∴b ＝－1－ac .又a >0，c >0，∴b <－1.二次函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝－b 2a ＝x 1＋x 22<x 2＋x 22＝x 2＝1a ，即－b 2a<1a .又a>0，∴b>－2，∴－2<b<－1.。

苏教版选修12222直接证明与间接证明word能力培养试题试卷.doc

♦♦同步测投.♦1.由四种命题的关系可知，反证法的实质是通过来证明原命题的正确性.解析：原命题与逆否命题的真假姓相同，为等价命题.答案：逆否命题2.应用反证法推出矛盾的过程电要把下列作为条件使用的有.(请填对应的序号) ①结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③,公理、定理、定义等；④原结论.答案,①②③3.否定“自然数们c中恰有一个偶数”时，正确的假设为.解析：恰有一个偶数的否定有两种情况，无偶数(全为奇数)或至少有两个偶数.答案:。

，b, c中都是奇数或至少有两个偶数4.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设为. 解析：“至少有一个不大于"的否定是“都大于”.答案：假设三角形的内角都大于60。

♦♦课时训嫁♦♦一、填空题1.“x=0且y=0”的否定形式为.解析：“p且的否定形式为“新或^答案：X。

0或)洋02.用反证法证明命题“若准+/=o,则b全为()(々，b为实数)"时，应假设. 解析：“全"的否定为“不全”・答案：s b不全为03.用反证法证明“如果*,那么志〉游，”的假设应为・解析：的否定为“V”或“="答案：血=游或胡，4.已知由>0,由。

1,且x〃+i*艾？(〃= 1,2,…),求证"数列｛存｝对任意的正整数〃都满足&或者对任意的正整数〃都满足&>x〃+i”，当此题用反证法否定结论时，应假设为.解析：结论是说数列｛&｝或单调递增或单调递减，总之是严格单调数列，其否定应是，或为常数列或为摆动数列，因而其中存在一项与，或不比两边的项大，或不比两边的项小，即1 且〃+1，或且 ]，所以-x M- i)(x… - x〃+1)》0.答案:存在正整数〃，使(x fl—x tl-1)(x…—x w+ ])^05.设o, b, c 都是正实数，P=a+h~c, Q=b+c~a, R=c+af贝l」''P0?>O"是“P, Q,R同时大于0”的条件.解析：若P = i + b-cvO, Q = b + c - a <Q,则a + b<c, b + c<ch则bvO与力是正实数相矛盾，故不可能同时有两项都小于0,只能有P、O. R都大于0.答案：充要6.用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a^0)有有理根，那么o, b, c中存在偶数”，时，下列假设正确的是.%1假设々，b, C都是偶数；%1假设S方，C,都不是偶数；%1假设s b, C至多有一个是偶数；%1假设。

高考数学总复习课时跟踪检测39 直接证明和间接证明

课时跟踪检测(三十九) 直接证明和间接证明1．(2012·平顶山模拟)命题“如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，那么数列{a n }一定是等差数列”是否成立( )A ．不成立B ．成立C ．不能断定D ．能断定2．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.a ＋b22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥03．(2012·山师大附中模拟)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数4．(2013·银川模拟)设a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a ＞b ，a ＜b 及a ＝b 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立，其中正确判断的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．35．(2012·张家口模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<06．不相等的三个正数a ，b ，c 成等差数列，并且x 是a ，b 的等比中项，y 是b ，c 的等比中项，则x 2，b 2，y 2三数( )A ．成等比数列而非等差数列B ．成等差数列而非等比数列C ．既成等差数列又成等比数列D ．既非等差数列又非等比数列7．设a＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为________．8．(2012·黄冈质检)在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，则三边a ，b ，c 应满足________．9．(2012·肇庆模拟)已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．10．若a ＞b ＞c ＞d ＞0且a ＋d ＝b ＋c ，求证：d ＋a ＜b ＋c .11．求证：a ，b ，c 为正实数的充要条件是a ＋b ＋c ＞0，且ab ＋bc ＋ca ＞0和abc ＞0. 12．设f (x )＝e x－1.当a ＞ln 2－1且x ＞0时，证明：f (x )＞x 2－2ax .1．已知函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对于任意的x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f x 1＋f x 22，则称y ＝f (x )为D 上的凹函数．由此可得下列函数中的凹函数为( )A ．y ＝lo g 2xB ．y ＝xC ．y ＝x 2D ．y ＝x 32．(2012·邯郸模拟)设a ，b 是两个实数，给出下列条件： ①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2； ⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是______．(填序号)3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象与x 轴有两个不同的交点．若f (c )＝0，且0＜x ＜c 时，f (x )＞0.(1)证明：1a 是函数f (x )的一个零点；(2)试比较1a与c 的大小． [答题栏]A 级 1._________ 2._________ 3._________ 4._________5.__________6._________B 级1.______2.______7. __________ 8. __________ 9. __________答案课时跟踪检测(三十九)A 级1．B 2.D 3.B 4.C 5．选Cb 2－ac <3a ⇔b 2－ac <3a 2⇔(a ＋c )2－ac <3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c )(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0.6．选B 由已知条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2b ， ①x 2＝ab ， ②y 2＝bc . ③由②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x 2b，c ＝y2b .代入①，得x 2b ＋y 2b＝2b ，即x 2＋y 2＝2b 2. 故x 2，b 2，y 2成等差数列．7．解析：a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，显然，6＜7.∴a ＜b .答案：a ＜b8．解析：由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＜0，所以b 2＋c 2－a 2＜0，即a 2＞b 2＋c 2. 答案：a 2＞b 2＋c 29．解析：由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n，∴c n 随n 的增大而减小． ∴c n ＋1<c n . 答案：c n ＋1<c n10．证明：要证d＋a＜b＋c，只需证(d＋a)2＜(b＋c)2，即a＋d＋2ad＜b＋c＋2bc，因a＋d＝b＋c，只需证ad＜bc，即ad＜bc，设a＋d＝b＋c＝t，则ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)·(c＋d－t)＜0，故ad＜bc成立，从而d＋a＜b＋c成立．11．证明：必要性(直接证法)：∵a，b，c为正实数，∴a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0，因此必要性成立．充分性(反证法)：假设a，b，c是不全为正的实数，由于abc＞0，则它们只能是两负一正，不妨设a＜0，b＜0，c＞0.又∵ab＋bc＋ca＞0，∴a(b＋c)＋bc＞0，且bc＜0，∴a(b＋c)＞0.①又∵a＜0，∴b＋c＜0.∴a＋b＋c＜0这与a＋b＋c＞0相矛盾．故假设不成立，原结论成立，即a，b，c均为正实数．12．证明：欲证f(x) ＞x2－2ax，即e x－1 ＞x2－2ax，也就是e x－x2＋2ax－1＞0.可令u(x)＝e x－x2＋2ax－1，则u′(x)＝e x－2x＋2a.令h(x)＝e x－2x＋2a，则h′(x)＝e x－2.当x∈(－∞，ln 2)时，h′(x)＜0，函数h(x)在(－∞，ln 2]上单调递减，当x∈(ln 2，＋∞)时，h′(x)＞0，函数h(x)在[ln 2，＋∞)上单调递增．所以h(x)的最小值为h(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a＝2－2ln 2＋2a.因为a＞ln 2－1，所以h(ln 2) ＞2－2ln 2＋2(ln 2－1)＝0，即h(ln 2)＞0.所以u′(x)＝h(x)＞0，即u(x)在R上为增函数．故u(x)在(0，＋∞)上为增函数．所以u(x)＞u(0)．而u(0)＝0，所以u(x)＝e x－x2＋2ax－1＞0.即当a＞ln 2－1且x＞0时，f (x )＞x 2－2ax .B 级1．选C 可以根据图象直观观察；对于C 证明如下：欲证f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f x 1＋f x 22，即证⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222<x 21＋x 222.即证(x 1＋x 2)2<2x 21＋2x 22.即证(x 1－x 2)2>0.显然成立．故原不等式得证． 2．解析：若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；对于③，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1，反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1. 答案：③3．解：(1)证明：∵f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点， ∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2. ∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根．又x 1x 2＝c a， ∴x 2＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≠c ，∴1a 是f (x )＝0的一个根．即1a是函数f (x )的一个零点． (2)假设1a ＜c ，∵1a＞0，∴由0＜x ＜c 时，f (x )＞0，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＞0，这与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾，∴1a≥c .又∵1a ≠c ，∴1a＞c .。

【苏教版】选修2-2 直接证明与间接证明测试题数学周报

一、填空题（每小题5分，共70分）1.用反证法证明：若整系数一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）有有理数根，那么a ，b ，c 中至少有一个偶数时，应假设_________________________.2.要证：a 2+b 2-1-a 2b 2≤0，只要证明________（填正确的序号）.①2ab -1-a 2b 2≤0；②a 2+b 2-1-a 2+b 22≤0；③a 2+b 22-1-a 2b 2≤0；④（a 2-1）（b 2-1）≥0.3.已知c >1，a =c +1-c ，b =c -c -1，则正确的结论是a ___b （填“>”、“<”、“≥”或“≤”）.4.已知a ，b ，c 为不全相等的实数，P =a 2+b 2+c 2+3，Q =2（a +b +c ），则P ___Q （填“>”、“<”、“≥”或“≤”）.5.若a ，b ，c ∈R ，且ab +bc +ca =1，则下列不等式成立的是________（填正确的序号）.①a 2+b 2+c 2≥2；②（a +b +c ）2≥3；③1a +1b +1c≥23；④abc （a+b +c ）≤13.6.若a ，b ，c 是常数，则“a >0且b 2－4ac <0”是“对任意x ∈R ，有ax 2＋bx ＋c >0”的_______条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）.7.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C +c cos B =a sin A ，则△ABC 是_______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）.8.设0<x <1，则a =2x ，b =1+x ，c =11-x 中最大的一个是________.9.已知y >x >0，且x +y =1，那么x ，y ，x +y 2，2xy 之间的大小关系是________.10.（2016—2017学年江苏省无锡市模拟考试）若两个正实数x ，y 满足1x +4y =1，且不等式x +y4<m 2-3m 有解，则实数m 的取值范围是______.11.用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”时，假设应该是_____________________________________.12.已知等差数列{}a n 中，a 5+a 11=16，a 4=1，则a 12=________.13.已知a>0，b >0，m =，n =lg 则m 与n 的大小关系为________.14.设a =2，b =7-3，c =6-2，则a ，b ，c 的大小关系为________.二、解答题（共50分）15.（12分）若x ，y 都是正实数，且x ＋y>2.求证：1+x y <2或1+y x <2至少有一个成立．16.（12分）设a >b >c ，且a +b +c =0，求证：b 2-ac <3a.17.（13分）（2016—2017学年江苏省徐州市模拟考试）在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 也成等差数列，求证：△ABC 为等边三角形.18.（13分）已知三角形的三边长为a ，b ，c ，其面积为S ，求证：a 2+b 2+c 2≥43S .直接证明与间接证明测试题丁丁丁丁。

2020-2021学年高二数学苏教版选修1-2第二章2.2 直接证明与间接证明同步课时作业(含解析)

2020-2021学年高二数学苏教版选修1-2同步课时作业2.2直接证明与间接证明1.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是( )A.假设三内角都不大于60度B.假设三内角都大于60度C.假设三内角至多有一个大于60度D. 假设三内角至多有两个大于60度2.关于综合法和分析法的说法错误的是( )A.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B.综合法又叫顺推证法或由因导果法C.分析法又叫逆推证法或执果索因法D.综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法3.用反证法证明命题：“若,,a b N ab ∈能被3整除，那么,a b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )A ．,a b 都能被3整除B ．,a b 都不能被3整除C ．,a b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除4.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.等价条件5.分析法又称执果索因法.若用分析法证明：“设a b c >>，且0a b c ++=，求证”索的因应是( )A.0a b ->B.0a c ->C.()()0a b a c -->D.()()0a b a c --<6.)2a <≥能用的最适合的方法是( )A.综合法B.分析法C.间接证明法D.合情推理法7.用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳以下三个步骤：①9090180A B C C ++=︒+︒+>︒，这与三角形内角和为180︒相矛盾，90A B ==︒不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角,,A B C 中有两个直角，不妨设90A B ==︒.正确顺序的序号为( )A.①②③B.①③②C.②③①D.③①②8.命题“任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=”的证明：“44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos2θθθθθθθθθ-=-+=-=”应用了( )A.分析法B.综合法C.综合法、分析法结合使用D.间接证法 9.分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.设,,,(0,)a b c d ∈+∞，若a d b c +=+且||||a d b c -<-，则有( )A.ad bc =B.ad bc <C.ad bc >D.ad bc ≥11.若,a b 应满足的条件是_____________.12.使用反证法证明“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定是_________________.13.凸函数的性质定理：如果函数()f x 在区间D 上是凸函数，则对于区间D 的任意12,,,n x x x ⋅⋅⋅，有1212()()()n n f x f x f x x x x f n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.已知函数()sin f x x =在区间(0,)π上是凸函数，则在ABC △中，sin sin sin A B C ++的最大值为___________.14.用反证法证明命题“,,a b R ab ∈可以被5整除，那么a b 、中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是_________________.15.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱垂直于底面，满足_________时，1BD AC ⊥.(写上一个条件即可)答案以及解析1.答案：B解析：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”.故选：B.2.答案：D解析：根据综合法的定义可得，综合法是由因导果法，是顺推证法；根据分析法的定义可得，分析法是执果索因法，是逆推证法，它们都是直接证法.故选D.3.答案：B解析：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立.“,a b 中至少有一个能被3整除”的反面是：“,a b 都不能被3整除”，故应假设,a b 都不能被3整除.故选B4.答案：A解析： —般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后.把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法.故选A.5.答案：C解析：由a b c >>，且0a b c ++=可得b a c =--，0a >，0c <.<，只要证22()3a c ac a ---<，即证2220a ac a c -+->，即证()()()0a a c a c a c -++->，即证()()0a a c b a c -+->，即证()()0a c a b -->，故求证”索的因应是()()0a c a b -->，故选C.6.答案：B的大小，221a =-+221a =-+的大小.......以上证明不等式所用的方法是最适合的方法，该方法是分析法，故选B.7.答案：D解析：根据反证法的步骤，应该是先提出假设，在推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论.故选D.8.答案：B解析：综合法是由已知入手，利用基本定理进行的推理证明；分析法是从要证明的结论入手寻找思路.结合证明过程，可知是综合法.9.答案：A解析：∵分析法是逆向逐步找寻这个结论成立需要具备的充分条件，∴分析法是从要证得结论发出，寻求使它成立的充分条件，故选A.10.答案：C解析：∵222222||||()()22a d b c a d b c a d ad b c bc -<-⇔-<-⇔+-<+-.又22()()a d b c a d b c +=+⇔+=+，∴44ad bc ad bc -<-⇔>.11.答案：0,0a b a b ≠≥≥且解析：a b ⇔>⇔>2(0a b ⇔-⇔>，只需0,0a b a b ≠≥≥且.12.答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角解析：该命题的否定有两部分，一是任何三角形，二是至少有两个，其否定应为“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”.13. 解析：∵()sin f x x =在区间(0,)π上是凸函数，且,,(0,)A B C ∈π，∴()()()333f A f B f C A B C f f ++++π⎛⎫⎛⎫≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin sin sin 3sin 3A B C π++≤=sin sin sin A B C ++. 14.答案：b a 、都不能被5整除解析：至少有一个的反面为一个都没有，所以应假设a b 、都不能被5整除.15.答案：AC BD ⊥解析：要证1BD AC ⊥，只需证BD ⊥平面1AAC . 因为1AA BD ⊥，只要再添加条件AC BD ⊥，即可证明BD ⊥平面1AAC ，从而有1BD AC ⊥.（张老师推荐）好的学习方法和学习小窍门一、提高听课的效率是关键。

江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测五十五直接证明与间接证明理含解析苏教版

课时跟踪检测（五十五）直接证明与间接证明一保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·海门中学检测)用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”，其反设为“________”．解析：命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”，其题设为“a2＋b2＝0”，结论是“a，b全为0”，用反证法证明该命题时，其反设为“a，b不全为0”．答案：a，b不全为02．(2018·徐州模拟)若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，则P，Q的大小关系是________．解析：因为P2＝2a＋7＋2a·a＋7＝2a＋7＋2a2＋7a，Q2＝2a＋7＋2a＋3·a＋4＝2a＋7＋2a2＋7a＋12，所以P2＜Q2，所以P＜Q.答案：P＜Q3．(2018·江阴调研)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞2；②a2＋b2＞2.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件的是________(填序号)．解析：①中，假设a≤1，b≤1，则a＋b≤2与已知条件a＋b＞2矛盾，故假设不成立，所以a，b中至少有一个大于1，①正确；②中，若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2＞2成立，故②不能推出：“a，b中至少有一个大于1”．答案：①4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2＞0，则f(x1)＋f(x2)________0(填“＞”“＜”或“＝”)．解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2＞0，可知x1＞－x2，f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)＜0.答案：＜5．(2019·吕四中学检测)若0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，则在a＋b,2ab，a2＋b2和2ab中最大的是________．解析：因为0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，所以a＋b＞2ab，a2＋b2＞2ab，a＋b－(a2＋b2)＝a(1－a)＋b(1－b)＞0，所以a＋b最大．答案：a＋b6．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a ，b 应满足的条件是__________．解析：a a ＋b b ＞a b ＋b a ，即(a －b )2(a ＋b )＞0，需满足a ≥0，b ≥0且a ≠b . 答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b7．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．解析：由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n，所以c n 随n 的增大而减小，所以c n ＋1＜c n . 答案：c n ＋1＜c n8．已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1y－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1z－1＞8.证明：因为x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，所以1x －1＝1－x x ＝y ＋z x ＞2yz x，① 1y－1＝1－y y ＝x ＋z y ＞2xz y ，②1z－1＝1－z z＝x ＋y z＞2xy z，③又x ，y ，z 为正数，由①×②×③，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1y－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1z－1＞8. 9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝5，S 8＝64. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：1S n －1＋1S n ＋1＞2S n(n ≥2，n ∈N *)．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1＋2d ＝5，S 8＝8a 1＋28d ＝64，解得a 1＝1，d ＝2.故所求的通项公式为a n ＝2n －1. (2)证明：由(1)可知S n ＝n 2，要证原不等式成立，只需证1n －2＋1n ＋2＞2n2，即证[(n ＋1)2＋(n －1)2]n 2＞2(n 2－1)2，只需证(n 2＋1)n 2＞(n 2－1)2，即证3n 2＞1.而3n 2＞1在n ≥2时恒成立，从而不等式1S n －1＋1S n ＋1＞2S n(n ≥2，n ∈N *)恒成立．10.如图，在四棱锥P ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 的中点．(1)求证：EC ∥平面PAD ； (2)求证：平面EAC ⊥平面PBC .证明：(1)作线段AB 的中点F ，连结EF ，CF (图略)，则AF ＝CD ，AF ∥CD ，所以四边形ADCF 是平行四边形，则CF ∥AD .又EF ∥AP ，且CF ∩EF ＝F ，所以平面CFE ∥平面PAD . 又EC ⊂平面CEF ，所以EC ∥平面PAD . (2)因为PC ⊥底面ABCD ，所以PC ⊥AC . 因为四边形ABCD 是直角梯形，且AB ＝2AD ＝2CD ＝2，所以AC ＝2，BC ＝ 2.所以AB 2＝AC 2＋BC 2，所以AC ⊥BC ，因为PC ∩BC ＝C ，所以AC ⊥平面PBC ，因为AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC . 二上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·南通调研)已知数列{a n }各项均为正数，且不是常数列． (1)若数列{a n }是等差数列，求证：a 1＋a 3＜2a 2；(2)若数列{a n }是等比数列，求证：1－a n,1－a n ＋1,1－a n ＋2不可能成等比数列．证明：(1)要证a 1＋a 3＜2a 2，只需证a 1＋a 3＋2a 1a 3＜4a 2， ∵数列{a n }是等差数列， ∴a 1＋a 3＝2a 2， ∴只需证 a 1a 3＜a 2，即证a 1a 3＜a 22＝⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋a 322，∵数列{a n }各项均为正数， ∴a 1a 3＜a 22＝⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋a 322成立，∴a 1＋a 3＜2a 2.(2)假设1－a n,1－a n ＋1,1－a n ＋2成等比数列，则(1－a n ＋1)2＝(1－a n )(1－a n ＋2)，即1－2a n ＋1＋a 2n ＋1＝1＋a n a n ＋2－(a n ＋a n ＋2)， ∵数列{a n }是等比数列， ∴a 2n ＋1＝a n a n ＋2， ∴2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2， ∴数列{a n }是等差数列，∴数列{a n }是常数列，这与已知相矛盾，故假设不成立，∴1－a n,1－a n ＋1,1－a n ＋2不可能成等比数列．2．若无穷数列{a n }满足：只要a p ＝a q (p ，q ∈N *)，必有a p ＋1＝a q ＋1，则称{a n }具有性质P .(1)若{a n }具有性质P ，且a 1＝1，a 2＝2，a 4＝3，a 5＝2，a 6＋a 7＋a 8＝21，求a 3； (2)若无穷数列{b n }是等差数列，无穷数列{c n }是公比为正数的等比数列，b 1＝c 5＝1，b 5＝c 1＝81，a n ＝b n ＋c n ，判断{a n }是否具有性质P ，并说明理由；(3)设{b n }是无穷数列，已知a n ＋1＝b n ＋sin a n (n ∈N *)，求证：“对任意a 1，{a n }都具有性质P ”的充要条件为“{b n }是常数列”．解：(1)因为a 5＝a 2，所以a 6＝a 3，a 7＝a 4＝3，a 8＝a 5＝2，于是a 6＋a 7＋a 8＝a 3＋3＋2.又因为a 6＋a 7＋a 8＝21，所以a 3＝16.(2)由题意，得数列{b n }的公差为20，{c n }的公比为13，所以b n ＝1＋20(n －1)＝20n －19，c n ＝81·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝35－n ，a n ＝b n ＋c n ＝20n －19＋35－n . a 1＝a 5＝82，但a 2＝48，a 6＝3043，a 2≠a 6，所以{a n }不具有性质P . (3)证明：充分性：当{b n }为常数列时，a n ＋1＝b 1＋sin a n .对任意给定的a 1，若a p ＝a q ，则b 1＋sin a p ＝b 1＋sin a q ，即a p ＋1＝a q ＋1，充分性得证．必要性：假设{b n }不是常数列，则存在k ∈N *，使得b 1＝b 2＝…＝b k ＝b ，而b k ＋1≠b .下面证明存在满足a n ＋1＝b n ＋sin a n 的数列{a n }，使得a 1＝a 2＝…＝a k ＋1，但a k ＋2≠a k ＋1. 设f (x )＝x －sin x －b ，取m ∈N *，使得m π＞|b |，则f(mπ)＝mπ－b＞0，f(－mπ)＝－mπ－b＜0，故存在c使得f(c)＝0.取a1＝c，因为a n＋1＝b＋sin a n(1≤n≤k)，所以a2＝b＋sin c＝c＝a1，依此类推，得a1＝a2＝…＝a k＋1＝c.但a k＋2＝b k＋1＋sin a k＋1＝b k＋1＋sin c≠b＋sin c，即a k＋2≠a k＋1.所以{a n}不具有性质P，矛盾．必要性得证．综上，“对任意a1，{a n}都具有性质P”的充要条件为“{b n}是常数列”．。