等比数列第二课时.ppt

(2)an≠0,且anan+2>0.
等差、等比数列对照表 (q≠0)
名称
等差数列
等比数列
定义 后一项 — 前一项 后一项/前一项
递推
公式
通项 公式
性质 推广
an+1-an=d
an+1 =q an
an = a1 +（n-1）d an=a1·qn-1
a a (n m)d
n
m
a q n
( nm )
复习回顾
1.什么叫做等比数列？ 等比数列的递推公式是什么？
从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数
列叫做等比数列.
a n q(n 2) a n 1
an1 q(n N *) an
2.等比数列的通项公式是什么？
a n = a1qn - 1 (q 0) an amq n m
3.等比中项 G ab
a
m
性质1：
若数列 an是公比为q的等比数列，则随意取出连续的
三项以上的数，把他们重新依次看成一个数列，则仍
是等比数列。
a1,a2,a3,a4,L ,an
a a a 例如：
,
1
,
2
3
a5, a6, a7
a a a a a a , , , , , 10 11 12 13 14 15
性质2： 若数列an 是公比为q的等比数列，则任取“间隔相同” 的三项以上的数，把他们重新依次看成一个数列，则 仍是等比数列。
练. 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它的 第1项与第2项.
解法一：由题意得
a1q2 12 解得 a1q3 18
q
3 2
a1
16 3
a2 a1q
16 3
3 2
8
解法二：由题意得
q a4 18 3 a3 12 2
由 a3
a1q2
a1
a3 q2
16 3
a2 a1 q 8
a1,a2,a3,a4,L ,an
例如：
a a a a a a , , , , , ; 10 20 30 40 50 60
a a a , , ; 4 8 12
a a a a a , , , , ,L ; 2 5 8 11 14
a a a a a , , , , ,L . 3 5 7 9 11
性质3：
, , ,L ,
2334 4
nn
an
n n n n (n 1) 12 n1 n1 n1 n1
3 , 4 ,L , n
b a b a b q n n n1 n n 1 (n 1)
34
n
a b a a b q n1
n n1
n1 n1
2
bn1
性质5：
N 在等差数列an 中，当 p q r s 2k(q, p,r, s,k )
答 an＝4·(32)n－1，由已知(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，得 a＝5， 则 a1＝4，q＝64＝32，∴an＝4·(32)n－1.
小结
如果一个数列{an}的任意三项满足
a
2 n＋1
＝
anan
＋
2(an≠0，n∈N*)，则这个数列是等比数列.
若数列{an}是公比为q的等比数列,则
(1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时, {an}是递增数列; 当q>1, a1<0或0<q<1,a1>0时, {an}是递减数列; 当q=1时, {an}是常数列; 当q<0时, {an}是摆动数列.
n
n 仍为等比数列，且公比为
1
2；
a a a a a b b b b b （2）
an
b,n
仍为等比数列，且公比为
, , ,L ,
q 1
q 2
1234
n
。
, , , ,L ,
1234
nБайду номын сангаас
a b a b ,
a b a b a b a b a b q q 1 1 2
a a a a a a b a b 1 , 2 , b b b b b 1 2
r 1
) (a1
s 1
)
2
1
rs2
a q ) a q 2 k
(a1
k 1 2
2
1
2k 2
a1.an a2.an1 a3.an2 ...
1.定义 2.公比(差)
等比数列 an1 q an
等差数列
an1 an d
q不可以是0
d可以是0
3.等比(差)中项
4.通项公式 5.性质(若m+n =p+q)
a 时，则 a p aq ar as 2 k
N 在等比数列 an 中，当 p q r s 2k(q, p,r,s,k )
a 时，则 ？
ap aq ar as
2 k
q q a q ap aq (a1
p 1
) (a1
q 1
)
2
1
pq2
q q a q ar as (a1
等比中项
G ab
等差中项
2A a b
a n a1q n1 an a1 (n 1)d
an am q nm an am (n m )d
am an a p aq am an a p aq
题型一 等比数列性质的应用
【例1】 已知数列{an}为等比数列． (1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值； (2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式． 解 (1)法一 ∵an>0，∴a1>0，q>0. 又∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， ∴a1q·a1q3＋2a1q2·a1q4＋a1q3·a1q5＝36， 即a12q4＋2a12q6＋a12q8＝36， ∴a12q4(1＋2q2＋q4)＝36，即a12q4(1＋q2)2＝36， ∴a1q2(1＋q2)＝6， ∴a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(1＋q2)＝6.
若数列an是公比为q的等比数列，c是不等于0的常
数，那么数列 c an 仍是等比数列。
a1,a2,a3,a4,L ,an
ca1,ca2,ca3,ca4,L ,can
c an an q(n 1)
a a c
n1
n1
b a q q 性质4：
若数列
n，
n 是公比分为
,
1
2 的等比数列。
a b q q 则有（1）
(1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值； (2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式．
答：这个数列的第1项与第2项分别是
16 3
与
8.
1．a1 和 q 是等比数列的两个基本量，解决本题时，只要求 出这两个基本量，其余的量便可以得出．
2．等比数列的通项公式涉及 4 个量 a1，an，n，q，只要知 道其中任意三个就能求出另外一个，解题时常列方程(组)来解 决．
思考3 已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a ＋4，则an等于什么？为什么？