等比数列第二课时.ppt
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高中数学课件必修5等比数列第二课时ppt课件.完整版PPT
联系1: 当｛an｝、｛bn｝是项数相同的两个等差数列时,
a 数列｛an×bn｝(其中p 、 q是常数n)也是等比数列.
2 设 c , 求证数列 c 数列｛pan÷qbn｝(其中p n、 q是常n数)也是等比数列吗?
n
2 例3 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.
天马行空官方博客：http://t.qq.com/tmxk_docin ；QQ:1318241189；QQ群：175569632
二、等比数列 a n 的通项公式为
an a1 •qn1，它的图象又是怎样
三、如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b 成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
G ab
补充例题．三数成等比数列，若将第三个数减去 32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数 减去4，则又成等比数列，求原来三个数。
解：设原来的三个数：是 a,aq,aq2
则必有 2aqa(a2q3)2
(aq4)2a(a2q3)2
① ②
由①得： q 4a 2
a
代入②得： a2 ,q 5
或
a5 9
a 2 a 2 (a 2 a) b a 2a 探例究3 一1:个当等｛比an数｝列、的｛第bn3｝项n 是与 项2 第数4项相分同别的n 是 两1 1个2与等1比8，数求列n 它时 1 的, 第1项与n 第2项.
人教A版选择性必修时等比数列的性质课件2
解:设递推公式 an+1=2an+3 可以转化为 an+1-t=2(an-t),
即 an+1=2an-t,则 t=-3.
故递推公式为 an+1+3=2(an+3).
+ + +
令 bn=an+3,则 b1=a1+3=4,且
=
+
=2.
n-1
n+1
所以{bn}是以 b1=4 为首项,2 为公比的等比数列,所以 bn=4×2 =2 ,
知识梳理·自主探究
师生互动·合作探究
知识梳理·自主探究
知识探究
1.等比数列“下标和”的性质
(1)如果m+n=k+l(m,n,k,l∈N*),则有
(2)如果m+n=2k(m,n,k∈N*),则有a
am·an=ak·al
m·an=
.
.
(3)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列,则am,an,ap成等比数列.
n+1
即 an=2 -3.
方法总结
对于此类问题,通常采用换元法进行转化,假设将递推公式改写为 a n+1 +t=
p(a n+t),比较系数可知 t=
解决.
-
,可令 an+1 +t=b n+1 换元即可转化为等比数列来
即 an+1=2an-t,则 t=-3.
故递推公式为 an+1+3=2(an+3).
+ + +
令 bn=an+3,则 b1=a1+3=4,且
=
+
=2.
n-1
n+1
所以{bn}是以 b1=4 为首项,2 为公比的等比数列,所以 bn=4×2 =2 ,
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1.等比数列“下标和”的性质
(1)如果m+n=k+l(m,n,k,l∈N*),则有
(2)如果m+n=2k(m,n,k∈N*),则有a
am·an=ak·al
m·an=
.
.
(3)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列,则am,an,ap成等比数列.
n+1
即 an=2 -3.
方法总结
对于此类问题,通常采用换元法进行转化,假设将递推公式改写为 a n+1 +t=
p(a n+t),比较系数可知 t=
解决.
-
,可令 an+1 +t=b n+1 换元即可转化为等比数列来
等比数列(第二课时)课件PPT
在等比数列 { a_n } 中， 已知 a_2 = 4，a_6 = 32，求首项 a_1 和公比 q。
基础练习题3
已知等比数列 { a_n } 的 前 n 项和 S_n = 3^n + r，求 a_3 和 r 的值。
提升练习题
1 2
提升练习题1
在等比数列 { a_n } 中，已知 a_1 = 1，a_4 = 8， 求数列的前 4 项和 S_4。
特殊等比数列的求和公式
几何级数的求和公式
对于几何级数，其求和公式为 S_n=a_1*(r^n-1)/(r-1)，其中 a_1 是首项，r 是公比。
无限等比数列的求和
对于无限等比数列，当|r|<1时，其求和公式为 S_n=a_1/(1-r)。
04
等比数列在实际生活中的应 用
等比数列在金融领域的应用
复利计算
等比数列可以用于计算复利，帮 助投资者了解投资收益的增长情
况。
保险计算
保险公司在计算保险费用和赔偿时， 常常使用等比数列来计算未来价值 和赔偿金额。
股票分析
股票价格的增长往往呈现出等比数 列的特点，投资者可以通过分析等 比数列来预测股票价格的走势。
等比数列在物理领域的应用
放射性衰变
光学透镜
THANKS
等比数列(第二课时)课件
目录 Contents
• 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列在实际生活中的应用 • 课堂练习与解答
基础练习题3
已知等比数列 { a_n } 的 前 n 项和 S_n = 3^n + r，求 a_3 和 r 的值。
提升练习题
1 2
提升练习题1
在等比数列 { a_n } 中，已知 a_1 = 1，a_4 = 8， 求数列的前 4 项和 S_4。
特殊等比数列的求和公式
几何级数的求和公式
对于几何级数，其求和公式为 S_n=a_1*(r^n-1)/(r-1)，其中 a_1 是首项，r 是公比。
无限等比数列的求和
对于无限等比数列，当|r|<1时，其求和公式为 S_n=a_1/(1-r)。
04
等比数列在实际生活中的应 用
等比数列在金融领域的应用
复利计算
等比数列可以用于计算复利，帮 助投资者了解投资收益的增长情
况。
保险计算
保险公司在计算保险费用和赔偿时， 常常使用等比数列来计算未来价值 和赔偿金额。
股票分析
股票价格的增长往往呈现出等比数 列的特点，投资者可以通过分析等 比数列来预测股票价格的走势。
等比数列在物理领域的应用
放射性衰变
光学透镜
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等比数列(第二课时)课件
目录 Contents
• 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列在实际生活中的应用 • 课堂练习与解答
高中数学课件：第二章24等比数列第二课时等比数列的性质及应用
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法三：设这四个数依次为 x，y,12－y,16－x， 由已知得21y2＝－xy＋2＝12y－16y－，x. 解得xy＝＝40，， 或xy＝＝91.5， 故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.
返回
若将“和是16”改为“积是－128”，将“和是12”改为“ 积为16”，如何求解？
返回
[自主解答] 法一：设这四个数依次为 a－d，a，a＋d，a＋ad2， 由条件得a－d＋a＋a d2＝16，
a＋a＋d＝12.
返回
解得ad＝ ＝44， ， 或ad＝ ＝9－，6. 所以当 a＝4，d＝4 时，所求四个数为 0,4,8,16； 当 a＝9，d＝－6 时，所求四个数为 15,9,3,1. 故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.
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2．一般地，如果m，n，k，l为正整数，且m＋n＝k＋ l，则有 am·an＝ak·al .特别地，当m＋n＝2k时， am·an＝a .
3．在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按 原来的顺序排列，所得的新数列为 等比数列 ．
返回
4．如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为 q1，q2， 那么数列a1n，{kan}(k∈R，且 k≠0)，{an·bn}，bann，{|an|} 仍是 等比数列 ，且公比分别为q11，q1，q1q2，qq21，|q1|.
法三：设这四个数依次为 x，y,12－y,16－x， 由已知得21y2＝－xy＋2＝12y－16y－，x. 解得xy＝＝40，， 或xy＝＝91.5， 故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.
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若将“和是16”改为“积是－128”，将“和是12”改为“ 积为16”，如何求解？
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[自主解答] 法一：设这四个数依次为 a－d，a，a＋d，a＋ad2， 由条件得a－d＋a＋a d2＝16，
a＋a＋d＝12.
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解得ad＝ ＝44， ， 或ad＝ ＝9－，6. 所以当 a＝4，d＝4 时，所求四个数为 0,4,8,16； 当 a＝9，d＝－6 时，所求四个数为 15,9,3,1. 故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.
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2．一般地，如果m，n，k，l为正整数，且m＋n＝k＋ l，则有 am·an＝ak·al .特别地，当m＋n＝2k时， am·an＝a .
3．在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按 原来的顺序排列，所得的新数列为 等比数列 ．
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4．如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为 q1，q2， 那么数列a1n，{kan}(k∈R，且 k≠0)，{an·bn}，bann，{|an|} 仍是 等比数列 ，且公比分别为q11，q1，q1q2，qq21，|q1|.
高中数学选择性必修二(人教版)《4.3.1 等比数列的性质》课件
(4)在等比数列{an}中，每隔 k 项取出一项，按原来的顺序排列，所 得新数列仍为等比数列，公比为 qk＋1.
(5)在等比数列{an}中，当 m，n，p(m，n，p∈N *)成等差数列时，am，
an，ap 成等比数列． [提醒] 在应用等比数列的性质解题时，需时刻注意等比数列性质
成立的前提条件．
[对点练清]
1．等比数列{an}中，a2＝3，a7a10＝36，则 a15 等于
A．12
B.6
C．－12
D.－6
解析：由 a2a15＝a7a10，得 a15＝a7aa210＝336＝12，故选 A. 答案：A
()
2．在等比数列{an}中，若 a7＋a8＋a9＋a10＝185，a8a9＝－98，则a17＋a18＋a19
[课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1．设{an}是各项均为正数的等比数列，bn＝log2an，b1＋b2＋b3＝3，b1b2b3
＝－3，求{an}的通项公式． 解：设数列{an}的首项为 a1，公比为 q. ∵b1＋b2＋b3＝3，∴log2a1＋log2a2＋log2a3＝3， ∴log2(a1a2a3)＝3， ∴a1a2a3＝8，∴a2＝2. 又∵b1b2b3＝－3， ∴log2a1·log2a2·log2a3＝－3，
a1a6＝392；②an＋1>an(n∈N *)；③至少存在一个 m(m∈N *且 m>4)，使
《等比数列的性质及应用》高中数学课件
(6)若{bn}是公比为 p 的等比数列,则{anbn}与{
q an }也都是等比数列,公比分别为 pq 和 . p bn
数学
自我检测
1.(由性质进行等比数列的判定)已知{an}、{bn}都是等比数列,那么( C (A){an+bn},{an· bn}都一定是等比数列 (B){an+bn}一定是等比数列,但{an· bn}不一定是等比数列 (C){an+bn}不一定是等比数列,但{an· bn}一定是等比数列 )
解析:(1)因为 a3·a11=16,所以 a 72 =16. 又因为等比数列{an}的各项都是正数,所以 a7=4. 又因为 a10=a7q3=4×23=25,所以 log2a10=5.故选 B. aaa 9 (2)因为 6 7 8 =q =8(q 为公比), a3a4 a5
所以 a9a10a11=a6a7a8·q9=24×8=192. 故选 D.
答案:5
数学
【备用例 1】 已知等比数列{an}满足 an>0,n=1,2,3,„,且 a5·a2n-5=22n(n≥3),则 log2a1+log2a3+„+log2a2n-1= .
2 解析:因为 a5·a2n-5= a n =…=22n,且 an>0,
所以 an=2n, 所以 log2a2n-1=log222n-1=2n-1, 所以 log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=1+3+…+2n-1=
4.3.1等比数列的概念(第二课时)-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册)
新知探究一：等比数列的单调性
10
9
8
等比数列的图象2
●
7
6
5
4
数列：
递减数列
●
3
2
1
2
●
1
2
3
1
4
那数列：-8，-4，-2，-1，- ，- …呢？
●
1
O
1 1 1
8,4,2,1, , , ,
2 4 8
4
●
5
●
●
6
7
8
9
10
新知探究一：等比数列的单调性
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
O
等比数列的图象3
q<0 时，等比数列各项的符号正负交替．
课本P31
4.对于数列{an}, 若点(n, an) (n∈N*)都在函数y=cqx的图象上，其中c, q为常数，且
c≠0, q≠0, q≠1，试判断数列{an}是否是等比数列，并证明你的结论.
解 : 数列{an }是等比数列,证明如下：
证明：由已知可得,an cq n .
注意：等号两侧
的项数必须相同
若m, k , n, (m, n, k N )成等差数列，则am , ak , an 成等比数列.
03 教学课件_等比数列的性质(2)
3.应用等比数列的性质可减少计算量，应用基本量a1，q列出方程(组)求基本量是通性通法.
二、素养训练
1.在等比数列{ an }中，an>0，且a1·a10＝27，log3a2＋log3a9等于( )
【训练3】 三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这
三个数成等差数列，求这三个数.
解 设三个数依次为aq，a，aq，
∵aq·a·aq＝512，∴a＝8.
∵(aq－2)＋(aq－2)＝2a， ∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2 或 q＝12，
∴这三个数为4，8，16或16，8，4.
当a＝8，q＝2时，所求四个数为0，4，8，16； 当 a＝3，q＝13时，所求四个数为 15，9，3，1. 故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
规律方法 合理地设出所求数中的三个，根据题意再表示出另一个是解决这类问题的关
键，一般地，三个数成等比数列，可设为aq，a，aq；三个数成等差数列，可设为 a－d，a，a＋d.
又∵a2a6＝a3a5＝a24，∴a2a3a4a5a6＝a54＝25＝32.
题型三 等差数列与等比数列的综合问题
角度1 对称设项求数列的项 【例3】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数 与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数. 解 法一 设四个数依次为 a－d，a，a＋d，（a＋ad）2， 由条件得aa＋ －（ d＋a＋ （da） ＋a ＝ d）122＝，16，解得ad＝ ＝44，或ad＝ ＝9－，6.
二、素养训练
1.在等比数列{ an }中，an>0，且a1·a10＝27，log3a2＋log3a9等于( )
【训练3】 三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这
三个数成等差数列，求这三个数.
解 设三个数依次为aq，a，aq，
∵aq·a·aq＝512，∴a＝8.
∵(aq－2)＋(aq－2)＝2a， ∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2 或 q＝12，
∴这三个数为4，8，16或16，8，4.
当a＝8，q＝2时，所求四个数为0，4，8，16； 当 a＝3，q＝13时，所求四个数为 15，9，3，1. 故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
规律方法 合理地设出所求数中的三个，根据题意再表示出另一个是解决这类问题的关
键，一般地，三个数成等比数列，可设为aq，a，aq；三个数成等差数列，可设为 a－d，a，a＋d.
又∵a2a6＝a3a5＝a24，∴a2a3a4a5a6＝a54＝25＝32.
题型三 等差数列与等比数列的综合问题
角度1 对称设项求数列的项 【例3】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数 与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数. 解 法一 设四个数依次为 a－d，a，a＋d，（a＋ad）2， 由条件得aa＋ －（ d＋a＋ （da） ＋a ＝ d）122＝，16，解得ad＝ ＝44，或ad＝ ＝9－，6.
24等比数列(第二课时)
p1
)(a1
q1
)
2
1
pq2
q q a q ar as (a1
r1
)(a1
s1
)
2
1
rs2
a q ) a q 2 k
(a1
k1 2
2
1
2k2
a 1.ana2.an 1a 3.an 2.1.1.
1.定义 2.公比(差) 3.等比(差)中项
等比数列 an1 q an
q不可以是0
等差数列
an1an d
an
b a b a b q n n n1 n n 1(n1)
a b a a b q n1
n n1
n1 n1
2
bn1
9
性质：
等差数列 ana1(n1)d ama1(m1)d 类比
anam(nm )d
可得
anam(nm )d
等比数列
an a1qn1
am a1qm1
an am
a1qn1 a1qm1
26
对等差数列1,3，…，2n－1的项数没 数清． [正解] ∵a5·a2n－5＝22n＝an2，an＞0， ∴an＝2n，∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1 ＝log2(a1a3…a2n－1)＝log221＋3＋…＋(2n－1) ＝log22n2＝n2.故选B. 答案 B
4.3.1等比数列的性质(第二课时) 超好用的公开课获奖课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性
等比数列的性质
学习目标：
1、通过实例理解等比中项的概念；
2、探究并掌握等比数列的中项性质、等比 数列的角码和性质。
1、等比中项
若三个数a,G,b构成等比数列，则G叫 作a与b的等比中项。
性质：若A为a与b的等比中项，则 G2=ab。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例1、已知10是a与20的等比中项，则 a=_______
练习：2 3 与2 - 3 的等比中项是 _______
2、等比数列的项与序号之间的关系
（1）通项公式的推广（两项关系）： an amqnm
例2、若{an}为等比数列，a4=8,q=-2,则 a7=_____
2、等比数列的项与序号之间的关系 （2）角码和性质（多项关系）： 在等比数列{an}中，若m+n=p+s,则 aman=apas 特别地，在等比数列{an}中，若 m+n=2ｋ,则 aman ak ak ak2
4、等比数列的综合应用
例5、已知等比数列{an}的前三项和为168， a2-a5=42,求a5,a7的等比中项。
例6、已知四个数，前3个数成等差数列，后 三个数成等比数列，中间两数之积为16，前 后两数之积为-128，求这四个数。
小结 1. 概念：等比中项的概念； 2. 等比数列的角码和性质。
例3、若{an}为等比数列，a2a6a10=1,则 a３a9=_____,a6=_____
等比数列的通项公式 (第2课时)-高二同步教学课件
ak m a1q k m1
m
证明：
q
k 1
ak
a1q
(k , m N )，公比为 q 。
m
课堂反馈
1. 有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一
个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数.
a
解 设前三个数分别为 ，a，aq(q≠0)，则第四个数为 2aq－a.
在等比数列{an}中，由 p+q=s+t
ap.aq=as.at
特别地：①若p+q=2t，则ap.aq=(at)2
②a1an = a2 an-1 = a3 an-2 = …___
= ai an+1-i
③推广：若m+n+t=p+r+s，则amanat=aparas
思考：在等比数列{an}中，
由 ap.aq=as.at
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
解
(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6
＝a32＋2a3a5＋a52
)2＝25，
＝(a3＋a5
∵an>0，
∴a3＋a5>0，
∴a3＋a5＝5.
(2)根据等比数列的性质，得
a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
m
证明：
q
k 1
ak
a1q
(k , m N )，公比为 q 。
m
课堂反馈
1. 有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一
个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数.
a
解 设前三个数分别为 ，a，aq(q≠0)，则第四个数为 2aq－a.
在等比数列{an}中，由 p+q=s+t
ap.aq=as.at
特别地：①若p+q=2t，则ap.aq=(at)2
②a1an = a2 an-1 = a3 an-2 = …___
= ai an+1-i
③推广：若m+n+t=p+r+s，则amanat=aparas
思考：在等比数列{an}中，
由 ap.aq=as.at
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
解
(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6
＝a32＋2a3a5＋a52
)2＝25，
＝(a3＋a5
∵an>0，
∴a3＋a5>0，
∴a3＋a5＝5.
(2)根据等比数列的性质，得
a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
等比数列的判定及性质(第二课时)-高二数学教材配套教学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
① 特别地，当 m+n=2k（, , ∈ ∗ ）时， = 2
② 对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，
即
1 = 2 −1 = ⋯ = −+1 = ⋯
新知探究
例 1. 已知{an}为等比数列．
1
(1)若{an}满足 a2a4＝ ，求 a1a32a5；
+1
= .
所以， 是以 1 为首项， 为公差的等差数列.
新知探究
方法总结
（1）已知 > 0且 ≠ 1，如果数列{ }是等差数列，那么数列{ }是等比数列.
（2）如果数列{ }是各项均为正的等比数列，那么数列{ }是等差数列.
新知探究
l
1
9
1
9
(2)：由1 = 3， = ，得 = 3 × ( )−1 = 33−2 .
两边取以3为底的对数，得3 = 3 33−2 = 3 − 2.
所以，3 +1 − 3 = [2 − 2( + 1)] − (3 − 2) = −2.
2
(2)若 an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求 a6＋a8；
(3)若 an>0，a5a6＝9，求 log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 的值．
解：(1)在等比数列{an}中，
等比数列的前n项和公式(第二课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册)
分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列.
解:设各个正方形的面积组成数列{an}，正方形ABCD的面积为首项a1 , 则a1=25
4
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
1. 一个乒乓球从1 m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的0.61倍. (1) 当它第6次着地时，经过的总路程是多少(精确到1 cm)? (2) 至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到400 cm?
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
12
课本P40
新知探究二：等比数列的前n项和公式的性质
➱
➱
当q≠1时，
即Sn是n的指数型函数.
当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数.
结构特点：qn的系数与常数项互为相反数.
【例】 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式, 并判断{an}是否是等比数列.
解：由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80 ∴S奇＝－80，S偶＝－160，
新知探究二：等比数列的前n项和公式的性质
例2 已知等比数列 共有32项，其公比 ，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列 的所有项之和是( )A. B. C. D.
D
[解析] 设等比数列 的奇数项之和为 ，偶数项之和为 ,则 又 <m>m> <m> ，则 <m> <m> <m></m> ， 解得 <m> , ，故数列 的所有项之和是 .
解:设各个正方形的面积组成数列{an}，正方形ABCD的面积为首项a1 , 则a1=25
4
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
1. 一个乒乓球从1 m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的0.61倍. (1) 当它第6次着地时，经过的总路程是多少(精确到1 cm)? (2) 至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到400 cm?
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
12
课本P40
新知探究二：等比数列的前n项和公式的性质
➱
➱
当q≠1时，
即Sn是n的指数型函数.
当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数.
结构特点：qn的系数与常数项互为相反数.
【例】 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式, 并判断{an}是否是等比数列.
解：由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80 ∴S奇＝－80，S偶＝－160，
新知探究二：等比数列的前n项和公式的性质
例2 已知等比数列 共有32项，其公比 ，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列 的所有项之和是( )A. B. C. D.
D
[解析] 设等比数列 的奇数项之和为 ，偶数项之和为 ,则 又 <m>m> <m> ，则 <m> <m> <m></m> ， 解得 <m> , ，故数列 的所有项之和是 .
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(2)an≠0,且anan+2>0.
等差、等比数列对照表 (q≠0)
名称
等差数列
等比数列
定义 后一项 — 前一项 后一项/前一项
递推
公式
通项 公式
性质 推广
an+1-an=d
an+1 =q an
an = a1 +（n-1）d an=a1·qn-1
a a (n m)d
n
m
a q n
( nm )
复习回顾
1.什么叫做等比数列？ 等比数列的递推公式是什么？
从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数
列叫做等比数列.
a n q(n 2) a n 1
an1 q(n N *) an
2.等比数列的通项公式是什么？
a n = a1qn - 1 (q 0) an amq n m
3.等比中项 G ab
a
m
性质1：
若数列 an是公比为q的等比数列，则随意取出连续的
三项以上的数，把他们重新依次看成一个数列，则仍
是等比数列。
a1,a2,a3,a4,L ,an
a a a 例如：
,
1
,
2
3
a5, a6, a7
a a a a a a , , , , , 10 11 12 13 14 15
性质2： 若数列an 是公比为q的等比数列，则任取“间隔相同” 的三项以上的数，把他们重新依次看成一个数列，则 仍是等比数列。
练. 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它的 第1项与第2项.
解法一：由题意得
a1q2 12 解得 a1q3 18
q
3 2
a1
16 3
a2 a1q
16 3
3 2
8
解法二：由题意得
q a4 18 3 a3 12 2
由 a3
a1q2
a1
a3 q2
16 3
a2 a1 q 8
a1,a2,a3,a4,L ,an
例如：
a a a a a a , , , , , ; 10 20 30 40 50 60
a a a , , ; 4 8 12
a a a a a , , , , ,L ; 2 5 8 11 14
a a a a a , , , , ,L . 3 5 7 9 11
性质3：
, , ,L ,
2334 4
nn
an
n n n n (n 1) 12 n1 n1 n1 n1
3 , 4 ,L , n
b a b a b q n n n1 n n 1 (n 1)
34
n
a b a a b q n1
n n1
n1 n1
2
bn1
性质5：
N 在等差数列an 中，当 p q r s 2k(q, p,r, s,k )
答 an＝4·(32)n－1，由已知(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，得 a＝5， 则 a1＝4，q＝64＝32，∴an＝4·(32)n－1.
小结
如果一个数列{an}的任意三项满足
a
2 n＋1
＝
anan
＋
2(an≠0，n∈N*)，则这个数列是等比数列.
若数列{an}是公比为q的等比数列,则
(1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时, {an}是递增数列; 当q>1, a1<0或0<q<1,a1>0时, {an}是递减数列; 当q=1时, {an}是常数列; 当q<0时, {an}是摆动数列.
n
n 仍为等比数列，且公比为
1
2；
a a a a a b b b b b （2）
an
b,n
仍为等比数列，且公比为
, , ,L ,
q 1
q 2
1234
n
。
, , , ,L ,
1234
nБайду номын сангаас
a b a b ,
a b a b a b a b a b q q 1 1 2
a a a a a a b a b 1 , 2 , b b b b b 1 2
r 1
) (a1
s 1
)
2
1
rs2
a q ) a q 2 k
(a1
k 1 2
2
1
2k 2
a1.an a2.an1 a3.an2 ...
1.定义 2.公比(差)
等比数列 an1 q an
等差数列
an1 an d
q不可以是0
d可以是0
3.等比(差)中项
4.通项公式 5.性质(若m+n =p+q)
a 时，则 a p aq ar as 2 k
N 在等比数列 an 中，当 p q r s 2k(q, p,r,s,k )
a 时，则 ？
ap aq ar as
2 k
q q a q ap aq (a1
p 1
) (a1
q 1
)
2
1
pq2
q q a q ar as (a1
等比中项
G ab
等差中项
2A a b
a n a1q n1 an a1 (n 1)d
an am q nm an am (n m )d
am an a p aq am an a p aq
题型一 等比数列性质的应用
【例1】 已知数列{an}为等比数列． (1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值； (2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式． 解 (1)法一 ∵an>0，∴a1>0，q>0. 又∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， ∴a1q·a1q3＋2a1q2·a1q4＋a1q3·a1q5＝36， 即a12q4＋2a12q6＋a12q8＝36， ∴a12q4(1＋2q2＋q4)＝36，即a12q4(1＋q2)2＝36， ∴a1q2(1＋q2)＝6， ∴a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(1＋q2)＝6.
若数列an是公比为q的等比数列，c是不等于0的常
数，那么数列 c an 仍是等比数列。
a1,a2,a3,a4,L ,an
ca1,ca2,ca3,ca4,L ,can
c an an q(n 1)
a a c
n1
n1
b a q q 性质4：
若数列
n，
n 是公比分为
,
1
2 的等比数列。
a b q q 则有（1）
(1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值； (2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式．
答：这个数列的第1项与第2项分别是
16 3
与
8.
1．a1 和 q 是等比数列的两个基本量，解决本题时，只要求 出这两个基本量，其余的量便可以得出．
2．等比数列的通项公式涉及 4 个量 a1，an，n，q，只要知 道其中任意三个就能求出另外一个，解题时常列方程(组)来解 决．
思考3 已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a ＋4，则an等于什么？为什么？
等差、等比数列对照表 (q≠0)
名称
等差数列
等比数列
定义 后一项 — 前一项 后一项/前一项
递推
公式
通项 公式
性质 推广
an+1-an=d
an+1 =q an
an = a1 +（n-1）d an=a1·qn-1
a a (n m)d
n
m
a q n
( nm )
复习回顾
1.什么叫做等比数列？ 等比数列的递推公式是什么？
从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数
列叫做等比数列.
a n q(n 2) a n 1
an1 q(n N *) an
2.等比数列的通项公式是什么？
a n = a1qn - 1 (q 0) an amq n m
3.等比中项 G ab
a
m
性质1：
若数列 an是公比为q的等比数列，则随意取出连续的
三项以上的数，把他们重新依次看成一个数列，则仍
是等比数列。
a1,a2,a3,a4,L ,an
a a a 例如：
,
1
,
2
3
a5, a6, a7
a a a a a a , , , , , 10 11 12 13 14 15
性质2： 若数列an 是公比为q的等比数列，则任取“间隔相同” 的三项以上的数，把他们重新依次看成一个数列，则 仍是等比数列。
练. 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它的 第1项与第2项.
解法一：由题意得
a1q2 12 解得 a1q3 18
q
3 2
a1
16 3
a2 a1q
16 3
3 2
8
解法二：由题意得
q a4 18 3 a3 12 2
由 a3
a1q2
a1
a3 q2
16 3
a2 a1 q 8
a1,a2,a3,a4,L ,an
例如：
a a a a a a , , , , , ; 10 20 30 40 50 60
a a a , , ; 4 8 12
a a a a a , , , , ,L ; 2 5 8 11 14
a a a a a , , , , ,L . 3 5 7 9 11
性质3：
, , ,L ,
2334 4
nn
an
n n n n (n 1) 12 n1 n1 n1 n1
3 , 4 ,L , n
b a b a b q n n n1 n n 1 (n 1)
34
n
a b a a b q n1
n n1
n1 n1
2
bn1
性质5：
N 在等差数列an 中，当 p q r s 2k(q, p,r, s,k )
答 an＝4·(32)n－1，由已知(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，得 a＝5， 则 a1＝4，q＝64＝32，∴an＝4·(32)n－1.
小结
如果一个数列{an}的任意三项满足
a
2 n＋1
＝
anan
＋
2(an≠0，n∈N*)，则这个数列是等比数列.
若数列{an}是公比为q的等比数列,则
(1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时, {an}是递增数列; 当q>1, a1<0或0<q<1,a1>0时, {an}是递减数列; 当q=1时, {an}是常数列; 当q<0时, {an}是摆动数列.
n
n 仍为等比数列，且公比为
1
2；
a a a a a b b b b b （2）
an
b,n
仍为等比数列，且公比为
, , ,L ,
q 1
q 2
1234
n
。
, , , ,L ,
1234
nБайду номын сангаас
a b a b ,
a b a b a b a b a b q q 1 1 2
a a a a a a b a b 1 , 2 , b b b b b 1 2
r 1
) (a1
s 1
)
2
1
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a q ) a q 2 k
(a1
k 1 2
2
1
2k 2
a1.an a2.an1 a3.an2 ...
1.定义 2.公比(差)
等比数列 an1 q an
等差数列
an1 an d
q不可以是0
d可以是0
3.等比(差)中项
4.通项公式 5.性质(若m+n =p+q)
a 时，则 a p aq ar as 2 k
N 在等比数列 an 中，当 p q r s 2k(q, p,r,s,k )
a 时，则 ？
ap aq ar as
2 k
q q a q ap aq (a1
p 1
) (a1
q 1
)
2
1
pq2
q q a q ar as (a1
等比中项
G ab
等差中项
2A a b
a n a1q n1 an a1 (n 1)d
an am q nm an am (n m )d
am an a p aq am an a p aq
题型一 等比数列性质的应用
【例1】 已知数列{an}为等比数列． (1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值； (2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式． 解 (1)法一 ∵an>0，∴a1>0，q>0. 又∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， ∴a1q·a1q3＋2a1q2·a1q4＋a1q3·a1q5＝36， 即a12q4＋2a12q6＋a12q8＝36， ∴a12q4(1＋2q2＋q4)＝36，即a12q4(1＋q2)2＝36， ∴a1q2(1＋q2)＝6， ∴a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(1＋q2)＝6.
若数列an是公比为q的等比数列，c是不等于0的常
数，那么数列 c an 仍是等比数列。
a1,a2,a3,a4,L ,an
ca1,ca2,ca3,ca4,L ,can
c an an q(n 1)
a a c
n1
n1
b a q q 性质4：
若数列
n，
n 是公比分为
,
1
2 的等比数列。
a b q q 则有（1）
(1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值； (2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式．
答：这个数列的第1项与第2项分别是
16 3
与
8.
1．a1 和 q 是等比数列的两个基本量，解决本题时，只要求 出这两个基本量，其余的量便可以得出．
2．等比数列的通项公式涉及 4 个量 a1，an，n，q，只要知 道其中任意三个就能求出另外一个，解题时常列方程(组)来解 决．
思考3 已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a ＋4，则an等于什么？为什么？