等比数列第二课时.ppt
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4-3-1等比数列的概念课件(人教版)(第二课时)课件(人教版)
解: 设从今年1月起 , 各月的产量及不合格率分别构成数列{an}, {bn}. 由题意，知an=1050×1.05n-1,
bn=1-[90%+0.4%(n-1)]=0.104-0.004n, 其中n=1, 2,… , 24,
则从今年1月起，各月不合格产品的数量是
anbn=1050×1.05n-1× (0.104-0.004n) =1.05n× (104-4n).
出发，利用指数、对数的知识进行证明。
(1) 若{an }为等差数列, 公差d 2, 证明数列 3an 为等比数列;
(2)
若{an }为等比数列,
公比q
1 9
,
证明数列log3
an 为等差数列.
证明 : (1)由已知得an1 an 2. 设bn 3an ,则
bn1 bn
3an1 3an
3an1 an
所以 aman=(a1qm-1) (a1qn-1) = a12qm+n-2,
akal=(a1qk-1) (a1ql-1) = a12qk+l-2, 因为m+n=k+l(m, n, k, l∈N*), 所以aman=akal . 特别地，若m+n=2k (m, n, k∈N*), 则aman=ak2 .
（1）{ an }；√ （2）{lg an} ×
3.已知数列{an}是等比数列.(教材P31练习5） (1) a3, a5, a7是否成等比数列? 为什么? a1, a5, a9呢? (2) 当n>1时, an-1, an, an+1是否成等比数列? 为什么?
当n>k>0时, an-k, an, an+k是等比数列吗?
ban
是首项为ba1 , 公比为bd的等比数列.
等比数列PPT优秀课件2
1（1）-125，405。（2）9.6，19.2。（3）9/32，27/128。
（4）1/2， 2（1）a1=4×36。（2）a1=5,a4=40 补例欣赏：
已知等比数列an中，a1+a2+a3=7, a1a2a3=8,求an.
解：由已知得a1+a1q+a1q2=7，a13q3=8. 即
a4 =a3q=(a1q2)q=a1q3
。。。。。。。
所以:
an =a1qn-1 (a1‡0且 q‡0)
(2)
由定义式可得:(n-1)个等式a2/a1=q,
a3/a2=q,
……,
an/an-1=q，
若将上述n-1个等式相乘，便可得：
an=a1qn-1（n≥2）
∴等比数列通项公式为：an=a1qn-1(a1‡0且 q‡0)．
等比数列
复习回顾
等差数列的定义：一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项 的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差 数列的公差,用字母d表示.(d＞0,d=0,d＜0时是哪类数列)
等差数列的通项公式及推导: an=a1+(n-1)d。
q=3/2 (3).
把(3)代入(1)，得 a1=16/3 a2=a1q=16/3×3/2=8anຫໍສະໝຸດ 16 (3)n1 32
返回 答：这个数列的第1项与第2项分别是16/3和8，公比是q=3/2.
练习
1 求下面等比数列的通项公式
（1）2，2，2，2，2，2．…...
(2) 2, 4, 8, 16, 32, 64, ……
等比数列(第二课时)课件PPT
放射性衰变过程中，原子核的数目按 照等比数列的方式减少。
透镜的焦距按照等比数列的方式排列， 可以用于制造不同焦距的透镜。
声音传播
在声波传播过程中，振动的次数按照 等比数列的方式增加，形成不同的音 高。
等比数列在计算机科学中的应用
数据压缩
在数据压缩算法中，等比数列可 以用于高效地存储和传输数据。
网络传输
在等比数列 { a_n } 中， 已知 a_2 = 4，a_6 = 32，求首项 a_1 和公比 q。
基础练习题3
已知等比数列 { a_n } 的 前 n 项和 S_n = 3^n + r，求 a_3 和 r 的值。
提升练习题
1 2
提升练习题1
在等比数列 { a_n } 中，已知 a_1 = 1，a_4 = 8， 求数列的前 4 项和 S_4。
推导求和公式
通过等比数列的性质，我们可以将等比数列的各项进行分组 求和，再利用等比数列的性质化简，最终得到等比数列的求 和公式：S_n=a_1*(1-r^n)/(1-r)。
等比数列求和公式的应用
解决实际问题
等比数列求和公式可以应用于解决一 些实际问题，例如计算复利、评估投 资回报等。
简化计算
对于一些特殊的等比数列，如几何级 数，等比数列求和公式可以大大简化 计算过程。
复利计算
等比数列可以用于计算复利，帮 助投资者了解投资收益的增长情
况计算未来价值 和赔偿金额。
股票分析
股票价格的增长往往呈现出等比数 列的特点，投资者可以通过分析等 比数列来预测股票价格的走势。
等比数列在物理领域的应用
放射性衰变
光学透镜
提升练习题2
已知等比数列 { a_n } 的公比 q = 2，前 n 项和 S_n = 63，求首项 a_1。
4.3.1等比数列的概念第二课时课件(人教版)
课本P31 5.已知数列{an}是等比数列. (1) a3, a5, a7是否成等比数列? 为什么? a1, a5, a9呢? (2) 当n>1时, an-1, an, an+1是否成等比数列? 为什么?
当n>k>0时, an-k, an, an+k是等比数列吗?
解 : (1)设数列{an }的公比为q,则a52 (a1q4 )2 a12q8,而a3a7 a1q2 a1q6 a12q8 .
即：下标和相等，对应项的和相等
特别地，若m n 2k,则am an 2ak (m, n, k, N )
在等比数列an中，公比为 q
注意：等号两侧 的项数必须相同
（1）若 m n p q,则am an ap aq (m, n, p, q N )
即：下标和相等，对应项的积相等
特别地，若m n 2k,则am an ak2 (m, n, k N ) 若m, n, k,(m, n, k N )成等差数列，则am, an, ak 成等比数列.
比数列．
an (2)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是 p 和 q，那么{anbn}与 bn
p
也都是等比数列，公比分别为__p__q__和____q____．
1
(列3)，若且{a公n}是比等分比别数是列__，_q_公,__比q1__,为__qq_2，__则__数_．列{λan}(λ≠0)，an ，{a2n }都是等比数
解法1: 设前3项的公差为d.
则4个数依次为a d, a, a d, (a d )2 , a
依题意得a
d
(a
d a
)2
a a d 12
16,
解得da
44或da
人教A版必修5等比数列(第2课时)课件ppt(优质精选)
a1
a2
an
即 an1 q(q 0, n N * )
an
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4
判断下列数列是否为等比数列?若是,请求出公比q的值.
（1）４，－８，１６，－３２，……
(2) 1, 2, 4, 8, 12, 16, 20, ……
（3）数列 an 的通项为an= 1 3n
2
（4）数列 bn 中,bn=2bn-1 且 bn 0(n>1)
上一群孤立的点。
课件在线
9
20
18 （1）数列：2，4，8，16，…
16
●
14
12
an=2×2n-1=2n ，其图象应为
10
y=2x上一群孤立的点。
8
●
6
4
●
2
●
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
课件在线
10
与等差中项的概念类似，如果在a与b中间插 入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G 叫做a与b的等比中项。
故 { a n } 的通项公式为课件a在n线= －2 n
18
1、在等比数列中，填空：
(1)
1， 1 2
，1 4
， 1 8
，……
1 中第 15 项是 ___2_1_4____
(2) 2，2 2 ，4，4 2 ，…… 中第 __9__ 项是 32
(3) 第 7 项为
1 100
，公比为 1
10
，则第一项为
am an ap aq
特别地,若m+n=2p (m、n、p∈N*)时,有
am an ap2
课件在线
13
2.{an}是等比数列,公比为q,则{can}也是等比 数列,且公比为__q____.
高中数学 2.4等比数列(第2课时)课件 新人教A版必修5
则____a__m_a_n____a_s_a_t__.你会用等比数列的通项
公式加以证明吗？
证： a m a 1 q m 1 ,a n a 1 q n 1 ,a s a 1 q s 1 ,a t a 1 q t 1
a m a n a 1 q m 1 a 1 q n 1 a 1 2 q m n 2
an=ank
ank 2
5、若 m,n,p,qN*
an2=ank ank 5、若 m,n,p,qN*
且mnpq 且mnpq
则 amanapaq 则 aman apaq
6、若{an }, {bn } 是等差 数列，则{a n + bn }也构
成等差数列。
6、若{an },{bn } 是等比 数列，则{a n bn } 也构
则 aman apaq 4、若{an},{bn}都是等比数列，则{| an |}， {an2}, {can}(c0)， {ank},{a完n整版bpn pt},{a bn n}也是等比数列11
【课后作业】
B 1(07 海南)若 a 、 b 、 c 、 d 成等比数列，且 y = x2 —2 x +3 的顶点是( b ， c )，则 ad =( )
aa11a3
a3
4
5
解得 aa1314或者 aa1314
当 a 1 1 时 q ， 2 ,a n 2 n 1
当 a14时q， 1 2,an(1 2)n3
完整版ppt
7
例2、若{ a n } 与{bn } 为等比数列，则 {an •bn}是等比 数列吗？若是，加以证明，否则，给出反例。
答： {an •bn} 为等比数列，证明如下：
log3 aaa2 a10
log3(a5a6 )5
公式加以证明吗？
证： a m a 1 q m 1 ,a n a 1 q n 1 ,a s a 1 q s 1 ,a t a 1 q t 1
a m a n a 1 q m 1 a 1 q n 1 a 1 2 q m n 2
an=ank
ank 2
5、若 m,n,p,qN*
an2=ank ank 5、若 m,n,p,qN*
且mnpq 且mnpq
则 amanapaq 则 aman apaq
6、若{an }, {bn } 是等差 数列，则{a n + bn }也构
成等差数列。
6、若{an },{bn } 是等比 数列，则{a n bn } 也构
则 aman apaq 4、若{an},{bn}都是等比数列，则{| an |}， {an2}, {can}(c0)， {ank},{a完n整版bpn pt},{a bn n}也是等比数列11
【课后作业】
B 1(07 海南)若 a 、 b 、 c 、 d 成等比数列，且 y = x2 —2 x +3 的顶点是( b ， c )，则 ad =( )
aa11a3
a3
4
5
解得 aa1314或者 aa1314
当 a 1 1 时 q ， 2 ,a n 2 n 1
当 a14时q， 1 2,an(1 2)n3
完整版ppt
7
例2、若{ a n } 与{bn } 为等比数列，则 {an •bn}是等比 数列吗？若是，加以证明，否则，给出反例。
答： {an •bn} 为等比数列，证明如下：
log3 aaa2 a10
log3(a5a6 )5
等比数列PPT课件
haplotype祖单倍体 8.1。TNF--308A
SSC HLA-DR1,DR5,DRQI；P1A2/FN等位基因与肺
纤维化，Scl-70的阳性呈正相关。
SS
HLA-DR3. DRBI0602，03（与肾小管酸中毒及
SSB密切相关，DQAI0504，DQBI0202。
RF
HLA-DR4.
OA
HLA-A1,B8.
ReA
3
2
16
炎性实验室指标
主要针对疾病活动性
ESR: CRP:2周内>80%, 大于4周<25% OTHER:1.白细胞及中性粒 细胞. 2.糖蛋白及粘蛋白等.
作为第3代遗传标记SNP单核苷酸多态位点
(single nucleotide polymorphism)。已有MHCSNP分型试剂盒面市。
分子的超型及抗原结合肽超基序的发现，表明 可从功能上对类分子进行分类使得该技术更为 合理，简明和实用，对于疾病相关性的研究和 异体移植有重大意义。
3
2
14
AS的相关遗传因素
常见风湿病实验检查
风湿病病因学检查.
RA
HLA-DRB10405 0409风
险高达58.2%.
SLE HLA-DQB1(nRNP),
DQa(SSA/SSB),
DQW6(Sm)
DQB1(TCR).
AS
HLA-B27.
3
2
10
BS
HLA-B51.
PM\DM HLA-B8,DR3,DR1. HLA-DRB1 ，ancestral
例3.在等比数列{an}中 1) 若a1a9=256, a4+a6=40,求
公比q 2)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,
最新2.4--第2课时-等比数列的性质教学讲义ppt课件
.
⒉在等比数列{an}中，an＞0，a2 a4+2a3a5+1a44a56=836,
那么a3+a5= _6 .
⒊在等比数列{an}中， a15 =10, a45=90,则
a30 =__3_00或__-_3_0___.
⒋在等比数列{an}中，a1+a2 =30, a3+a4 =120,
则a5+a6=__4_8_0_.
性质５: 若{cn}是公差为d′ 的等差数列，则数列{an+cn} 是公差为d+d′的等差数列.
猜想５：若{dn}是公比为 q′的等比数列,则数列
{bn•dn}是公比为q·q′的 等比数列.
若数列{an}是公比为q的等比数列,则
(1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时, {an}是递增数列; 当q>1, a1<0或0<q<1,a1>0时, {an}是递减数列; 当q=1时, {an}是常数列; 当q<0时, {an}是摆动数列;
10 9 8●
等比数列的图象2 数列： 8,4,2,1, 1, 1,1,
2 48
7
6
5
4
●
递减数列
3
2
●
1
● ●● ●
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
20
等比数列的图象3
18
16
14 数列：4，4，4，4，4，4，4，…
12
常数列
10
8
6
4
●●● ● ●●●● ● ●
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10
等比数列的图象4
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答：这个数列的第1项与第2项分别是
16 3
与
8.
1．a1 和 q 是等比数列的两个基本量，解决本题时，只要求 出这两个基本量，其余的量便可以得出．
2．等比数列的通项公式涉及 4 个量 a1，an，n，q，只要知 道其中任意三个就能求出另外一个，解题时常列方程(组)来解 决．
思考3 已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a ＋4，则an等于什么？为什么？
a
m
性质1：
若数列 an是公比为q的等比数列，则随意取出连续的
三项以上的数，把他们重新依次看成一个数列，则仍
是等比数列。
a1,a2,a3,a4,L ,an
a a a 例如：
,
1
,
2
3
a5, a6, a7
a a a a a a , , , , , 10 11 12 13 14 15
性质2： 若数列an 是公比为q的等比数列，则任取“间隔相同” 的三项以上的数，把他们重新依次看成一个数列，则 仍是等比数列。
(1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值； (2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式．
r 1
) (a1
s 1
)
2
1
rs2
a q ) a q 2 k
(a1
k 1 2
2
1
2k 2
a1.an a2.an1 a3.an2 ...
1.定义 2.公比(差)
等比数列 an1 q an
等差数列
an1 an d
q不可以是0
d可以是0
3.等比(差)中项
4.通项公式 5.性质(若m+n =p+q)
a 时，则 a p aq ar as 2 k
N 在等比数列 an 中，当 p q r s 2k(q, p,r,s,k )
a 时，则 ？
ap aq ar as
2 k
q q a q ap aq (a1
p 1
) (a1
q 1
)
2
1
pq2
q q a q ar as (a1
复习回顾
1.什么叫做等比数列？ 等比数列的递推公式是什么？
从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数
列叫做等比数列.
a n q(n 2) a n 1
an1 q(n N *) an
2.等比数列的通项公式是什么？
a n = a1qn - 1 (q 0) an amq n m
3.等比中项 G ab
n
n 仍为等比数列，且公比为
1Hale Waihona Puke 2；a a a a a b b b b b （2）
an
b,n
仍为等比数列，且公比为
, , ,L ,
q 1
q 2
1234
n
。
, , , ,L ,
1234
n
a b a b ,
a b a b a b a b a b q q 1 1 2
a a a a a a b a b 1 , 2 , b b b b b 1 2
等比中项
G ab
等差中项
2A a b
a n a1q n1 an a1 (n 1)d
an am q nm an am (n m )d
am an a p aq am an a p aq
题型一 等比数列性质的应用
【例1】 已知数列{an}为等比数列． (1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值； (2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式． 解 (1)法一 ∵an>0，∴a1>0，q>0. 又∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， ∴a1q·a1q3＋2a1q2·a1q4＋a1q3·a1q5＝36， 即a12q4＋2a12q6＋a12q8＝36， ∴a12q4(1＋2q2＋q4)＝36，即a12q4(1＋q2)2＝36， ∴a1q2(1＋q2)＝6， ∴a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(1＋q2)＝6.
答 an＝4·(32)n－1，由已知(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，得 a＝5， 则 a1＝4，q＝64＝32，∴an＝4·(32)n－1.
小结
如果一个数列{an}的任意三项满足
a
2 n＋1
＝
anan
＋
2(an≠0，n∈N*)，则这个数列是等比数列.
若数列{an}是公比为q的等比数列,则
(1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时, {an}是递增数列; 当q>1, a1<0或0<q<1,a1>0时, {an}是递减数列; 当q=1时, {an}是常数列; 当q<0时, {an}是摆动数列.
(2)an≠0,且anan+2>0.
等差、等比数列对照表 (q≠0)
名称
等差数列
等比数列
定义 后一项 — 前一项 后一项/前一项
递推
公式
通项 公式
性质 推广
an+1-an=d
an+1 =q an
an = a1 +（n-1）d an=a1·qn-1
a a (n m)d
n
m
a q n
( nm )
练. 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它的 第1项与第2项.
解法一：由题意得
a1q2 12 解得 a1q3 18
q
3 2
a1
16 3
a2 a1q
16 3
3 2
8
解法二：由题意得
q a4 18 3 a3 12 2
由 a3
a1q2
a1
a3 q2
16 3
a2 a1 q 8
, , ,L ,
2334 4
nn
an
n n n n (n 1) 12 n1 n1 n1 n1
3 , 4 ,L , n
b a b a b q n n n1 n n 1 (n 1)
34
n
a b a a b q n1
n n1
n1 n1
2
bn1
性质5：
N 在等差数列an 中，当 p q r s 2k(q, p,r, s,k )
若数列an是公比为q的等比数列，c是不等于0的常
数，那么数列 c an 仍是等比数列。
a1,a2,a3,a4,L ,an
ca1,ca2,ca3,ca4,L ,can
c an an q(n 1)
a a c
n1
n1
b a q q 性质4：
若数列
n，
n 是公比分为
,
1
2 的等比数列。
a b q q 则有（1）
a1,a2,a3,a4,L ,an
例如：
a a a a a a , , , , , ; 10 20 30 40 50 60
a a a , , ; 4 8 12
a a a a a , , , , ,L ; 2 5 8 11 14
a a a a a , , , , ,L . 3 5 7 9 11
性质3：