安徽省高二数学寒假作业第6天立体几何初步理

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高二数学寒假作业第6天立体几何初步理

第6天立体几何初步【课标导航】5.了解空间几何体的结构特征及三视图和直观图；6.会求简单空间几何体的表面积和体积； 3.掌握空间点线面之间的位置关系. 一、选择题1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A ．1136B ．3C ．533D ．4332．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（） A ．33R π B ．33R π C ．35R π D ．35R π 3．给出下列命题:(1)直线a 与平面α不平行,则a 与平面α内的所有直线都不平行；(2)直线a 与平面α不垂直,则a 与平面α内的所有直线都不垂直；(3)异面直线a 、b 不垂直,则过a 的任何平面与b 都不垂直；(4)若直线a 和b 共面,直线b 和c 共面,则a 和c 共面.其中错误命题的个数是（） A.1B.2C.3D.4 4. 下列说法正确的是（）A. 有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；B. 四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形；C. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台，D. 以三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥. 5．若βα,是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a ，βα⊥⊥a a ,；②存在一个平面γ，βγαγ⊥⊥，；③存在两条平行直线a b a b a ,,,,βα⊂⊂∥,b β∥α；④存在两条异面直线,,,α⊂a b a a b ,β⊂∥,b β∥α．可以是α∥β的充分条件有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．已知正方体C 1的棱长为182，以C 1的各个面的中心为顶点的凸多面体记为C 2，以C 2的各个面的中心为顶点的凸多面体记为C 3，则凸多面体C 3的棱长为（）A ．18B ．29C ．9D ．267．给出下列四个命题：①若平面α内有不在一条直线上的三个点到平面β的距离相等，则αβ∥。

高中数学第6章立体几何初步刻画空间点线面位置关系的公理基本事实4定理素养作业北师大版必修第二册

第六章 3.2A组·素养自测一、选择题1．异面直线是指( D )A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线[解析]对于A,空间两条不相交的直线有两种可能,一是平行(共面),另一个是异面．∴A应排除．对于B,分别位于两个平面内的直线,既可能平行也可能相交也可异面,如图,就是相交的情况,∴B应排除．对于C,如图的a,b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b,显然它们是相交直线,∴C应排除．只有D符合定义．∴应选D．2．正方体ABCD－A1B1C1D1中,P,Q分别为AA1,CC1的中点,则四边形D1PBQ是( B )A．正方形B．菱形C．矩形D．空间四边形[解析]设正方体棱长为2,直接计算可知四边形D1PBQ各边均为5,又四边形D1PBQ是平行四边形,所以四边形D1PBQ是菱形．3．已知空间两个角α,β,α与β的两边对应平行,且α＝60°,则β等于( D )A．60°B．120°C．30°D．60°或120°[解析]由等角定理,知β与α相等或互补,故β＝60°或120°.4．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( D )A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面[解析]可能相交也可能异面,但一定不平行(否则与条件矛盾)．5．空间四边形的对角线互相垂直且相等,顺次连接这个四边形各边中点,所组成的四边形是( D )A ．梯形B ．矩形C ．平行四边形D ．正方形[解析] 如图,因为BD ⊥AC ,且BD ＝AC ,又因为E ,F ,G ,H 分别为对应边的中点,所以FG 綊EH 綊12BD ,HG 綊EF 綊12AC ．所以FG ⊥HG ,且FG ＝HG .所以四边形EFGH 为正方形．6．异面直线a ,b ,有a ⊂α,b ⊂β且α∩β＝c ,则直线c 与a ,b 的关系是( D ) A ．c 与a ,b 都相交 B ．c 与a ,b 都不相交 C ．c 至多与a ,b 中的一条相交 D ．c 至少与a ,b 中的一条相交[解析] 若c 与a ,b 都不相交,∵c 与a 都在α内, ∴a ∥c .又c 与b 都在β内,∴b ∥c . 由基本事实4,可知a ∥b ,与已知条件矛盾．如图,只有以下三种情况．二、填空题7．直线a 与直线b 为两条异面直线,已知直线l ∥a ,那么直线l 与直线b 的位置关系为异面或相交 .[解析] 假设l ∥b ,又l ∥a ,根据基本事实4,可得a ∥b ,这与a 与b 异面直线相矛盾,故假设不成立,所以l 与b 异面或相交．8．(2021·广东省肇庆市期中)如图,在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AA 1⊥AB ,AA 1⊥AC ．若AB ＝AC ＝AA 1＝1,BC ＝2,则异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为 60° .[解析] 依题意,得BC ∥B 1C 1,故异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角即BC 与A 1C 所成的角．连接A1B,在△A1BC中,BC＝A1C＝A1B＝2,故∠A1CB＝60°,即异面直线A1C与B1C1所成的角为60°.9．一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论正确的为①③ .(填序号)[解析]把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确．三、解答题10．如图所示,在正方体ABCD－EFGH中,O为侧面ADHE的中心,求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角．[解析](1)因为CG∥BF,所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角,又在△BEF中,∠EBF＝45°,所以BE与CG所成的角为45°.(2)如图,连接FH,因为HD∥EA,EA∥FB,所以HD∥FB,又HD＝FB,所以四边形HFBD为平行四边形．所以HF∥BD,所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA,AF,易得FH＝HA＝AF,所以△AFH为等边三角形,又知O为AH的中点,所以∠HFO＝30°,即FO与BD所成的角为30°.B组·素养提升一、选择题1．下列说法中正确的是( B )A．若两直线无公共点,则两直线平行B．若两直线不是异面直线,则必相交或平行C．过平面外一点与平面内一点的直线,与平面内任一直线均构成异面直线D．和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线[解析]对于A,空间两直线无公共点,则两直线可能平行,可能异面,故A不正确；对于C,过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内过该点的直线是相交直线,故C不正确；对于D,和两条异面直线都相交的两条直线还可能是相交直线,如图的三棱锥A－BCD中,l1与l2为异面直线,BC与AC均与l1,l2相交,但BC与AC也相交,故D不正确．2．(多选)如图所示的是一个正方体的平面展开图,如果图示面为里面,将它还原为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有( ABC )A．AB与CD B．AB与GHC．EF与GH D．EF与CD题图答图[解析]将平面图形还原成正方体后如图所示,其中AB与CD异面,AB与GH异面,EF与GH异面．3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,C1D的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是( A )A ．相交B ．异面C ．平行D ．垂直[解析] 如图所示,连接BD 1,CD 1,CD 1与C 1D 交于点F ,由题意可得四边形A 1BCD 1是平行四边形,在平行四边形A 1BCD 1中,E ,F 分别是线段BC ,CD 1的中点,所以EF ∥BD 1,所以直线A 1B 与直线EF 相交,故选A ．4．空间四边形ABCD 中,AD ＝BC ＝2,E ,F 分别是AB ,CD 的中点,EF ＝3,则异面直线AD ,BC 所成的角为( C )A ．45°B ．120°C ．60°D ．60°或120°[解析] 取AC 的中点G ,连接EG ,FG .由三角形中位线可知,EG 綊12BC ,FG 綊12AD ,所以∠EGF 或其补角即为异面直线AD 与BC 所成的角．在△EGF 中,cos ∠EGF ＝EG 2＋FG 2－EF 22·EG ·FG ＝12＋12－322×1×1＝－12.所以∠EGF ＝120°.由异面直线所成角的范围可知应取其补角60°.故选C ．二、填空题5．在四棱锥P －ABCD 中E ,F ,G ,H 分别是PA ,PC ,AB ,BC 的中点,若EF ＝2,则GH ＝ 2 . [解析] 由题意知EF 綊12AC ,GH 綊12AC ,故EF 綊GH ,故GH ＝2.6．如图,若正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为2,高为4,则异面直线BD 1与AA 1所成角的正弦值是33 ,异面直线BD 1与AD 所成角的正弦值是 306. [解析] 因为AA 1∥DD 1,所以∠DD 1B 即为异面直线BD 1与AA 1所成的角,连接BD ,在Rt △D 1DB 中,sin ∠DD 1B ＝DB BD 1＝2226＝33. 因为AD ∥BC ,所以∠D 1BC 即为异面直线BD 1与AD 所成的角(或其补角), 连接D 1C ,在△D 1BC 中,因为正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为2,高为4,所以D 1B ＝26,BC ＝2,D 1C ＝25,D 1B 2＝BC 2＋D 1C 2,所以∠D 1CB ＝90°, 所以sin ∠D 1BC ＝D 1C D 1B ＝2526＝306, 故异面直线BD 1与AD 所成角的正弦值是306. 三、解答题7．如图所示,在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别为棱AA 1,CC 1的中点．求证：(1)D 1E ∥BF ； (2)∠B 1BF ＝∠D 1EA 1．[解析] (1)取BB 1的中点M ,连接EM ,C 1M .在矩形ABB 1A 1中,易得EM ＝A 1B 1,EM ∥A 1B 1．因为A 1B 1＝C 1D 1且A 1B 1∥C 1D 1,所以EM ＝C 1D 1且EM ∥C 1D 1．所以四边EMC 1D 1为平行四边形．所以D 1E ∥C 1M ,在矩形BCC 1B 1中,易知MB ＝C 1F ,且MB ∥C 1F ,所以四边形C 1FBM 为平行四边形,所以C 1M ∥BF ,所以D 1E ∥BF .所以D 1E ∥BF . (2)由(1)知,ED 1∥BF ,BB 1∥EA 1,因为∠B 1BF 与∠D 1EA 1的对应边方向相同,所以∠B 1BF ＝∠D 1EA 1．8．如图,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是棱CD ,CC 1的中点．求异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小．[解析] 如图,过点M 作ME ∥DN 交CC 1于点E .连接A 1E ,则∠A 1ME 为异面直线A 1M 与DN 所成的角(或其补角)．设正方体的棱长为a ,则A 1M ＝32a ,ME＝54a ,A 1E ＝414a ,所以A 1M 2＋ME 2＝A 1E 2,所以∠A 1ME ＝90°,即异面直线A 1M 与DN 所成的角为90°.。

高二数学寒假作业：(六)(Word版含答案)

高二数学寒假作业（六）一、选择题，每小题只有一项是正确的。

1.等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若等于则642,10,2S S S ==（） A. 12 B. 18 C. 24D.42 2.设,,a b c R ∈,且a b >,则（）A ．ac bc >B ．11a b <C ．22a b >D ．33a b >3.已知实数x 、y 满足0,0,33,x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩则z x y =+的最小值等于A. 0B. 1C. 2D. 34.已知()()2,1,0,1,0,2,a b ==-且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值是（） A. 1 B. 14 C. 34 D. 755.空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB 与CD的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直6.到两定点1(2,0)F -和2(2,0)F 的距离之和为4的点M 的轨迹是：（）A 、椭圆B 、线段C 、圆D 、以上都不对7.抛物线x y 42-=上有一点P ，P 到椭圆1151622=+y x 的左顶点的距离的最小值为（） A ．32 B ．2+3 C ．3 D ．32-8.已知数列{}n a 中,11,a =前n 项和为n S ，且点*1(,)()n n P a a n N +∈在直线10x y -+=上，则1231111nS S S S ++++= （） A. 21n n + B. 2(1)n n + C.(1)2n n + D.2(1)n n +9.数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于（）A ．28B ．32C ．33D ．27二、填空题10.命题“存在实数x ，使0222≤++x x ”的否定是 .11.若数列{}n a 中，12341,35,7911,13151719,...a a a a ==+=++=+++则10____a =。

高二数学寒假作业6答案

高二数学寒假作业6答案1．【答案】A 【解析】y y x 412212⨯==，焦点坐标)810(，，故选A ．2．【答案】C 【解析】由题意知0>p ，则准线为2p x -=，即242p --=，∴4=p ，则x y 82=，故选C ．3．【答案】A【解析】椭圆左焦点)02(，-，则24-=p ，8-=p ，故选A ．4．【答案】D【解析】抛物线焦点)01(，，准线方程1-=x ，点M 到准线距离为5，到x 轴距离415=-，故选D ．5．【答案】2【解析】设P 到y 轴的距离为a ，则P 到焦点的距离为a 2，则a a 21=+，1=a ，则P 的横坐标为1，代入抛物线方程P 的纵坐标为2±，则点P 到x 轴的距离为2．6．【答案】1【解析】双曲线焦点坐标)10(±，，则抛物线焦点20(p ，，则2=p ，则y x 42=，设)4(2m m B ，，由x y 21='得在B 处的切线斜率为m k 21=，切线方程为)(2142m x m m y -=-，令0=x 得42m y -=，令0=y 得m x 21=，则21112422m S m =⨯⨯=，2±=m ，则B 的纵坐标为1．7．【答案】1±【解析】设l ：)1(+=x k y ，代入抛物线化简得0)42(2222=+-+k x k x k ，设11()A x y ，、)(22y x B ，、)(00y x Q ，，则222124k k x x -=+，k x x k y y 4)2(2121=++=+，∴2202k k x -=，k y 20=，由2)1()1(2020=-+-y x 得42(2(2222=+-k k k ，解得1±=k ．8．【答案】B 【解析】2==a c e ，41222=+=a b e ，223a b =，则渐近线方程y 3±=，代入抛物线得p x 32=或0=x ，故p x x B A 32==，则27232A p p AF x p =+=+=，则6=p ，故选B ．9．【答案】C【解析】)01(，F ，)(11y x A ，、)(22y x B ，，22MA MB =，即22222121)4()4(y x y x +-=+-，又2114y x =，2224x y =，则2222112141684816x x x x x x ++-=+-+，即21222144x x x x -=-，又21x x ≠，则421=+x x ，∴线段AB 中点的横坐标为2)(2121=+x x ，∴6242()2(21=+=+++=+≤p x p x BF AF AB (当A 、B 、F 三点共线时取等号)，即||AB 的最大值为6，故选C ．10．【答案】D 【解析】1C ：py x 22=，焦点)20(p F ，，2C 右焦点)02(2，F ，则直线2FF 的方程为122=+p y x ，双曲线渐近线方程x y 33±=，对221x p y =求导，则x p y 1='，设)(00y x M ，，则3310=x p ，即p x 330=，代入抛物线p y 610=，又点M在122=+py x 上，则16263=⨯+p p p ，解得334=p ，故选D ．11．【答案】D 【解析】设x y 22=参数202t x =、t y 20=，22192()2259222422t t t PQ ++++==≥，故选D ．12．【答案】yx 42-=【解析】设py x 22-=(0>p )，抛物线上的点)2(-，a P 到焦点的距离为点P 到准线2p y =的距离，则322=+p ，解得2=p ，则抛物线方程为y x 42-=．13．【答案】23【解析】)021(，F ，准线21-=x ，设)(11y x A ，、)(22y x B ，，1212111322AF BF x x x x +=+++=++=，∴221=+x x ，则线段AB 中点的横坐标为1，线段AB 中点到该抛物线准线的距离为23．14．【答案】2p-【解析】PQ 必经过抛物线交点)02(，p F ，当PQ 存在斜率，则设)2(p x k y -=(0≠k )，即2p k y x +=，代入抛物线方程px y 22=中整理得0222=--p y k p y ，∴221p y y -=⋅，当PQ 不存在斜率时2p x =，代入抛物线得p y ±=，∴221p y y -=⋅，综上221p y y -=⋅．15．【答案】A【解析】y x 42=，焦点)10(，，∴定点A 为抛物线焦点，要使圆过点)10(，A 且与定直线l 相切，需圆心到定点距离与其到定直线距离相等，则l 为抛物线准线，l 方程为1-=y ，故选A ．16．【答案】B【解析】由对称性知BFD ∆是等腰直角三角形，2BD p =，点A 到准线l 的距离2d FA FB p ===，∵24=∆ABD S ，∴1422BD d ⨯⨯=，∴2=p ，故选B ．17．【答案】C【解析】)02(，p F ，)2(121y p y P ，、)2(222y py Q ，(21y y ≠)，PF QF =，22222221p p y p p y +=+，则2221y y =，又21y y ≠，则21y y -=，121PQ y ==，1222p PF p =+=，解得32±=p ，故选C ．18．【答案】B 【解析】设)2(m p B ，-，AB 中点横坐标为2p ，则)23(m p A ，，ABF ∆是边长为p 2的等边三角形，即223()222p p AF m p =-+=，∴2224p m p =+，∴p m 3±=，∴)323(p p ±，，代入px y 22=(0>p )中得点A 在抛物线上，故选B ．19．【答案】33【解析】设AF a =，BF b =，连接AF 、BF ，由抛物线定义得AF AQ =，AF AQ =，BF BP =，在梯形ABPQ 中，2MN AQ BP a b =+=+，由余弦定理得，222222cos120AB a b ab a b ab =+-=++ ，配方得22()AB a b ab =+-，又∵22(b a ab +≤，∴2222)(43)2()()(b a b a b a ab b a +=+-+≥-+，则3)2AB a b ≥+，∴1()3233()2a b MN AB a b +≤=+．20．【答案】32【解析】设)(11y x A ，、)(22y x C ，，则直线AC 的斜率k 一定存在，有对称性不妨设0>k ，AC 过焦点)10(，F ，则直线AC 方程1+=kx y ，代入抛物线化简得0442=--kx x ，k x x 421=+，421-=⋅x x ，)1(44)(1||2212212k x x x x k AC +=-+⋅+=，∵BD AC ⊥，则直线BD 的斜率k 1-，从而BD 的方程为11+-=x ky ，同理222)1(4]1(1[4||k k k BD +=-+=，2222218(1)18(2)322ABCD k S AC BD k k k+=⋅⋅==++≥，当1=k 时等号成立，∴四边形ABCD 面积的最小值为32．。

高二理科数学寒假作业参考答案

1，
所以圆心 C2 (3，4) 到： kx
y k 0 的距离为
4k 4 k2 1
4 5
．
化简，得12k 2
25k
12
0
，解得
k
4 3
或
k
3 4
．
所以直线的方程为 4x 3y 4 0 或 3x 4 y 3 0 ．
（2）①证明：设圆心 C(x，y) ，由题意，得 CC1 CC2 ，即 (x 1)2 y2 (x 3)2 ( y 4)2 ．
所以 F//AC ，
又 F 平面 AC ， AC 平面 AC ，所以 F// 平面 AC ．
（2）取 D 的中点，连 A ， C ，因为 ACD 为正四面体，所以 A D ， C D ，
又 A C ，所以 D 平面 AC ，又 AC 平面 AC ，所以 D AC ，
又 F//AC ，所以直线 D 直线 F ．
大圆的圆心，易得点 M,N 在大圆内所绘出的图形.
【精讲精析】选 A.当小圆在滚动的过程中，一直与大圆内切，由于其直径为大圆半径，故
小圆在滚动过程中必过大圆的圆心，所以点 M,N 在大圆内所绘出的图形大致是 A.
4【思路点拨】设出点 C 的坐标，求出 AB 方程，利用点到直线距离公式求出 AB 边上的高，
理科数学寒假作业答案
作业 1
1—5．DCBAB 6．平行或异面 7．平行 8．2
9．（1）证明：连接 B1C ，设 B1C 与 BC1 相交于点 O ，连接 OD ．
因为四边形 BCC1B1 是矩形，所以点 O 是 B1C 的中点，因为 D 为 AC 的中点，所以 OD 为
AB1C 的中位线，所以 OD / / AB1 ，因为 OD 平面 BC1D ， AB1 平面 BC1D ，所以

2015-2016高二数学(理)寒假作业

)
A． , l , m l B． m, , C． , , m D． n , n , m 5．如图，AB 为圆 O 的直径，点 C 在圆周上（异于点 A，B），直线 PA 垂直于圆 O 所在的平面，点 M 为线段 PB 的中点．有以下四个命题： ①PA∥平面 MOB； ②OC⊥平面 PAC； ③MO∥平面 PAC； ④平面 PAC⊥平面 PBC．其中正确的命题是（） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 6．如图，在斜三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面△ABC 中，∠A＝90° ，且 BC1⊥AC，过 C1 作 C1H⊥底面 ABC，垂足为 H，则点 H 在（） A．直线 AC 上 B．直线 AB 上 C．直线 BC 上 D．△ABC 内部 7．如图，在空间四边形 ABCD 中，点 E , H 分别是边 AB, AD 的中点，
F ,G 分别是边 BC,CD 上的点，且
CF CG 2 ＝＝，则（） CB CD 3
A． EF 与 GH 互相平行 B． EF 与 GH 异面 C． EF 与 GH 的交点 M 可能在直线 AC 上，也可能不在直线 AC 上 D． EF 与 GH 的交点 M 一定在直线 AC 上 8. 正四面体 ABCD 的棱长为 1，其中线段 AB / / 平面，E，F 分别是线段 AD 和 BC 的中点，当正四面体绕以 AB 为轴旋转时，线段 EF 在平面上的射影 E1F1 长的范围是（ A.[0，） B.[
O1 ABCD 的外接球的表面积为（
A． 9 B． 324
） C． 81 D．
243 2
）
6．如果一个正四面体（各个面都是正三角形）的体积为 9 cm3 ，则其表面积的值为（ A． 18 3cm2 B． 18cm2 C． 12 3cm2 ） D． 12cm2

高二数学立体几何试题答案及解析

高二数学立体几何试题答案及解析1.如图所示，已知PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=AB，Ｍ是PA的中点，则二面角M-DC-A的大小为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵底面，∴而底面是正方形，∴∴面，则∴就是二面角的平面角在中，∵，是中点∴，即二面角的大小为，故选C2.如图，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点．那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值为()【答案】B【解析】略3.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点在线段上，平面．（1）求证：平面；（2）若，，求二面角的大小．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．【解析】（1）要证线与面垂直，即证垂直于平面内的两条相交直线，根据已知的线与面垂直，得到线性垂直，得证；（2）法一：根据前问所证，平面,易证底面是正方形，所以可以根据三垂线定理做出二面角的平面角，即设的交点为，过点作于点，连，易证为二面角的平面角，在直角三角形内求得角；法二：以为原点建立平面直角坐标系，根据向量法，求两个平面的法向量，利用法向量夹角的余弦值计算二面角的余弦值．试题解析：解：（1）证明：∵，∴．同理由，可证得．又，∴．（2）解法一：设的交点为，过点作于点，连易证为二面角的平面角由（1）知为正方形，在中，，二面角的大小为解法二：分别以射线，，为轴，轴，轴的正半轴建立空间直角坐标系．由（1）知，又，∴．故矩形为正方形，∴．∴．∴．设平面的一个法向量为，则，即，∴，取，得．∵，∴为平面的一个法向量．所以．设二面角的平面角为，由图知，则二面角的大小为【考点】1．线与面垂直的判定；2．二面角的计算；3．几何法与向量法求二面角．4.已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为．【答案】【解析】设,那么平面,在直角三角形中，,,所以,所以四棱锥的体积是．【考点】1．球与几何体；2．体积的计算5.（本小题12分）已知三棱柱中，底面，，，分别为的中点．（1）求证：//平面；（2）求证：；（3）求三棱锥A-BCB的体积．1【答案】（1）见解析：（2）见解析；（3）【解析】（1）欲证//平面，AB中点G，连DG，CG，只需证明是平行四边形，∥即可；（2）证明面面垂直采用证明线面垂直，通过证明因为底面为等腰三角形，，又因为，所以可证得；（3）转化顶点所求三棱锥的体积为，即可求得试题解析：（I）取AB中点G，连DG，CG，在三棱柱中，底面ABC ，是矩形．∵D，E分别为AB1，CC1的中点，∴，是平行四边形，∥∵GC平面ABC，平面ABC，∴DE//平面ABC ．（II）三棱柱中，底面ABC，∴中点，又，∴（III）由（II）得，在，，【考点】1．证明线面平行；2．证明面面垂直；3．求体积6.在空间直角坐标系中，点与点之间的距离为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由空间距离公式可知：【考点】空间两点间距离7.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，给出下列结论：①若∥，则∥；②若∥，则∥；③若⊥，则⊥；④若⊥，则⊥；其中正确结论的个数是( )A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】若两个平面内分别有两条直线平行，则这两个平面不一定平行，所以命题•错误；若两个平面平行，则两个平面内的直线可能平行或异面，所以命题‚错误；若两个平面内分别有两条直线垂直，则这两个平面不一定垂直，所以命题ƒ错误；若两个平面垂直，则两个平面内的直线可能平行、垂直或异面，所以命题④错误；【考点】直线与直线、平面与平面的平行与垂直的命题判断．8.已知，，则的最小值．【答案】【解析】，因此当时取最小值【考点】空间向量模9.截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是A．圆柱B．圆锥C．球D．圆台【答案】C【解析】圆柱的截面可以是矩形，圆锥的截面可以是三角形，圆台的截面可以是梯形，值有球的截面都是圆，故选C．【考点】几何体的截面图形．10.一个正方体的展开图如图所示，为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（）A．B．C．与所成的角为D．与相交【答案】C【解析】把展开图还原为立体图形，如下图正方体，可见与是异面直线，它们甩成的角为60°．【考点】多面体的展开图，两直线的位置关系．11.在三棱锥中，已知，则三棱锥外接球的表面积为．【答案】【解析】设中点为，由于，则点到点的距离相等，因此是三棱锥外接球的直径，由题意，是等边三角形，，所以，．【考点】几何体与外接球，球的表面积．【名师】解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系），达到空间问题平面化的目的．12.如图，在体积为2的三棱锥侧棱AB、AC、AD上分别取点E、F、G使，记O为三平面BCG、CDE、DBF的交点，则三棱锥的体积等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】为了便于解析，可设三棱锥为正三棱锥，为正三棱锥的高；为正三棱锥有高，因为底面相同，则它们的体积比为高之比，已知三棱锥的体积为2，所以三棱锥的体积为：（1），由题意可知，且，所以由平行得到，所以，（面BCG所在的平面图如左下角简图），同理，，则，所以，那么，亦即，设，那么，则，而，所以，则，所以，所以，又，所以，（2），且，所以：（3），由（2）×（3）得到：代入到（1）得到：三棱锥的体积就是．【考点】1．简单几何体体积；2．三角形相似比的应用．【方法点晴】此题主要考查三角形相似比在求简单几何体体积中应用方面的内容，属于中高档题．根据题意可借助正三棱锥（或正四面体）模型来帮助思考，值得注意的是所求三棱锥体积的高与原三棱锥的高往往是不在同一直线上的，当然这两个高的比值也是解决此问题的关键点，需要借助这两高与垂线之间的比值进行转换，在此过程中多次使用了相似三角形的相似比，从而问题可得解决．13.如图，棱锥的底面是矩形，⊥平面，．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P—CD—B的大小；（3）求点C到平面PBD的距离．【答案】（1）见解析；（2）450（3）【解析】（1）要证明BD⊥平面PAC，只需证BD垂直于平面PAC两条相交直线即可，由ABCD为正方形，可得BD⊥AC，易得PA⊥平面ABCD，可得BD⊥PA ，结论得证．（2）由PA⊥面ABCD可得AD为PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD，由三垂线定理的逆定理可得 CD⊥PD，可得∠PDA为二面角P—CD—B的平面角．易得∠PDA=450．（3）由，求得点C到平面PBD的距离试题解析：（1）在Rt△BAD中，AD=2，BD=，∴AB=2，ABCD为正方形，因此BD⊥AC．∵PA⊥平面ABCD，BDÌ平面ABCD，∴BD⊥PA ．又∵PA∩AC=A∴BD⊥平面PAC．（2）由PA⊥面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD，∴CD⊥PD，知∠PDA为二面角P—CD—B的平面角．又∵PA=AD，∴∠PDA=450．（3）∵PA=AB=AD=2，∴PB=PD=BD=，设C到面PBD的距离为d，由，有，即，得【考点】线面垂直，二面角及点到平面的距离．【方法点睛】立体几何解答题的一般模式是首先证明线面位置关系（一般考虑使用综合几何方法进行证明），然后是与空间角有关的问题，综合几何方法和空间向量方法都可以，但使用综合几何方法要作出二面角的平面角，作图中要伴随着相关的证明，对空间想象能力与逻辑推理能力有较高的要求，而使用空间向量方法就是求直线的方向向量、平面的法向量，按照空间角的计算公式进行计算，也就是把几何问题完全代数化了，这种方法对运算能力有较高的要求．两种方法各有利弊，在解题中可根据情况灵活选用．14.直三棱柱中，，分别是的中点，，为棱上的点．（1）证明：；（2）是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点的位置，若不存在，说明理由．【答案】（1）详见其解析；（2）存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为．【解析】（1）首先根据线面垂直的判定定理和性质定理可得，然后以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，并写出各点的坐标，再由三点共线即可求出点坐标，最后计算并验证其是否为0即可得出所证的答案；（2）首先设出面的法向量为，然后由即可得出，又因为面的法向量，再由公式即可得出的值，进而得出点的坐标，即可得出所求的结果．试题解析：（1）证明：∵，，又∵∴⊥面．又∵面，∴，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则有，设且，即,则，∵，所以；…6分（2）结论：存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为理由如下：由题可知面的法向量，设面的法向量为，则，∵，∴，即，令，则．∵平面与平面所成锐二面角的余弦值为，∴，即，解得或（舍），所以当为中点时满足要求．【考点】1、线线垂直的判定定理；2、空间向量法求解立体几何问题．15.若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的高为______________．【答案】【解析】设圆锥母线为，底面圆的半径，圆锥侧面积，所以，又半圆面积，所以，，故，所以答案应填：．【考点】1、圆锥侧面展开图面积；2、圆锥轴截面性质．16.已知一个高度不限的直三棱柱，，点是侧棱上一点，过作平面截三棱柱得截面，给出下列结论：①是直角三角形；②是等边三角形；③四面体为在一个顶点处的三条棱两两垂直的四面体．其中有不可能成立的结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】本题考察在空间点线面的位置关系，在直三棱柱中，数形结合，作图求解，①和②找出一个例子即可证明其存在性，③需分类讨论，利用直三棱柱的性质以及底面三边长AB=4，BC=5，CA=6条件判断．如图，做直三棱柱ABC-A1B1C1，AB=4，BC=5，CA=6，（1）不妨取AD=6，AE=10，DE=8，则△ADE是直角三角形，①可能成立；（2）不妨令AD=AE=DE=a（a>6），则△ADE是等边三角形，②可能成立；（3）假设四面体APDE为在一个顶点处的三条棱两两垂直的四面体，当A为直角顶点时，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，PA⊥底面ABC，则 E，D分别与C，B重合，此时，∠EAD不是直角，与假设矛盾，假设不成立，当P为直角顶点时，可得PD∥AB，PE∥AC，由等角定理知则∠EPD不可能是直角，与假设矛盾，假设不成立，当E或D点为直角顶点时，不妨选E为直角顶点，则DE⊥EP，DE⊥EA，EP∩EA═A，EP⊂平面，EA⊂平面，则平面与平面垂直，则直三棱柱中，可证∠ACB为二面角的平面角，∠ACB═90°，与题意矛盾，假设不成立．综上③错误．故选：C．【考点】命题的真假判断17.如图，在直三棱柱中，，，，点分别在棱上，且．（1）求三棱锥的体积;（2）求异面直线与所成的角的大小．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）从图形可以看出，三棱锥中，平面，所以三棱锥的体积比较容易求，利用等积法即可求出三棱锥的体积；（2）连接，由条件知，所以就是异面直线与所成的角，解三角形知．试题解析：（1）（2）连接，由条件知，所以就是异面直线与所成的角．在中，，所以，所以异面直线与所成的角为．【考点】1、三棱锥的体积；2、异面直线所成的角；3、等积法．18.若向量，，则A．B．C．D．【答案】D【解析】因为向量，，所以，排除B；，所以，应选D．，A错，如果则存在实数使，显然不成立，所以答案为D．【考点】向量的有关运算．19.在直三棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在直三棱柱中，,可以证得，因此直线与平面所成角为，在中，，因此【考点】直线与平面所成的角；20.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是由一个半圆柱与一个三棱锥组成的，其直观图如下：所以该几何体的体积为：．故选A．【考点】1．三视图；2．几何体的体积．21.教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在直线（）A．垂直B．异面C．平行D．相交【答案】A【解析】由题意得可以分两种情况讨论：①当直尺所在直线与地面垂直时，则地面上的所有直线都与直尺垂直，则底面上存在直线与直尺所在直线垂直；②当直尺所在直线若与地面不垂直时，则直尺所在的直线必在地面上有一条投影线，在平面中一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直，则得到地面上总有直线与直尺所在的直线垂直．∴教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线与直尺所在直线垂直．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系22. （2015秋•淮南期末）已知正方体的棱长为1，则正方体的外接球的体积为．【答案】．【解析】正方体的外接球的直径是正方体的体对角线，由此能求出正方体的外接球的体积．解：∵正方体棱长为1， ∴正方体的外接球的半径R=， ∴正方体的外接球的体积V=（）3=．故答案为：．【考点】球的体积和表面积．23. 在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于（） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】取的中点，连接，，那么异面直线所成角就是，根据勾股定理，，，所以，故选B ．【考点】异面直线所成角24. 如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AA 1=4，AB=5，点D 是AB 的中点．（1）求证：AC ⊥BC 1；（2）求证：AC 1∥平面CDB 1．【答案】见解析【解析】（1）利用ABC ﹣A 1B 1C 1为直三棱柱，证明CC 1⊥AC ，利用AB 2=AC 2+BC 2，说明AC ⊥CB ，证明AC ⊥平面C 1CB 1B ，推出AC ⊥BC 1．（2）设CB 1∩BC 1=E ，说明E 为C 1B 的中点，说明AC 1∥DE ，然后证明AC 1∥平面CDB 1．解：（1）∵ABC ﹣A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴CC 1⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴CC 1⊥AC∵AC=3，BC=4，AB=5， ∴AB 2=AC 2+BC 2，∴AC ⊥CB 又C 1C∩CB=C ，∴AC ⊥平面C 1CB 1B ，又BC 1⊂平面C 1CB 1B ， ∴AC ⊥BC 1（2）设CB1∩BC1=E，∵C1CBB1为平行四边形，∴E为C1B的中点又D为AB中点，∴AC1∥DEDE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．25.如图，在直三棱锥中，底面是正三角形，点是中点，.（1）求三棱锥的体积；（2）证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由于平面为直棱柱的侧面，所以可以考虑变换顶点，利用面面垂直的性质性质定理作，则面，由棱锥的体积公式即可求得其体积；（2）要证明线线垂直可考虑证线面平行，取的中点，连接，由于底面是正三角形，，可证得，在平面由平面几何的知识可证得，所以面由线面垂直的性质即可证得.试题解析：（1）过作，直三棱柱中面，，面，是高，（2）取的中点，连接底面是正三角形，矩形中，，中面.【考点】空间直线与平面的垂直关系及棱锥的体积.26.如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，分别为的中点，则直线与平面所成角的正切值为________；异面直线与所成角的余弦值是________．【答案】，【解析】由两两垂直，分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，所以，其中平面的一个法向量为，所以与平面所成角的正弦值为，所以；又向量与所成角的余弦值为，又，所以异面直线与所成角的余弦值是．【考点】空间向量的运算及空间角的求解．27.平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且，则的长为 .【答案】【解析】由题意得，在平行六面体中，因为，，，且，所以，所以.【考点】空间向量的运算.28.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析:设长方体的高为1，根据B1C和C1D与底面所成的角分别为600和450，分别求出各线段的长，将C1D平移到B1A，根据异面直线所成角的定义可知∠AB1C为异面直线B1C和DC1所成角，利用余弦定理求出此角即可．解：设长方体的高为1，连接B1A、B1C、AC∵B1C和C1D与底面所成的角分别为600和450，∴∠B1CB=60°，∠C1DC=45°∴C1D=，B1C=，BC=，CD=1则AC=∵C1D∥B1A∴∠AB1C为异面直线B1C和DC1所成角由余弦定理可得cos∠AB1C=故选A【考点】异面直线及其所成的角．29.已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为 .【答案】【解析】设圆锥的底面半径为，，解得，根据勾股定理，圆锥的高等于，所以圆锥的体积.【考点】旋转体的体积30.已知A、B、C三点不共线，若点M与A、B、C四点共面, 对平面ABC外一点O，给出下列表达式：其中x，y是实数，则【答案】【解析】A、B、C三点不共线，点M与A、B、C四点共面，则对平面ABC外一点O，满足，所以，所以【考点】空间向量的基本定理及其意义31.在正方体中，、分别是、的中点。

高二数学立体几何试题答案及解析

高二数学立体几何试题答案及解析1.一个球的Л体积为，则此球的表面积为．【答案】【解析】因为球的体积公式：,所以=所以R=1，由表面积公式S=4=2.已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1B．C．D．2【答案】C【解析】略3.已知长方体中，，点在棱上移动，当时，直线与平面所成角为．【答案】【解析】为直线与平面所成角，，,,所以．【考点】线面角4.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=，则棱锥O-ABCD 的体积为_____________．【答案】【解析】矩形外接圆的直径为对角线长。

棱锥的体积为【考点】棱锥外接球问题5.某几何体的三视图如图所示，其中左视图为半圆，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图可得其还原图是半个圆锥，由题可得其底面圆半径为1，母线长为3，所以其体积为。

故选A。

【考点】由三视图求面积、体积。

6.（本小题满分12分）已知如图，四边形是直角梯形，，，平面，，点、、分别是、、的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）先证明平面∥平面，由面面平行可得线面平行；（Ⅱ）建立直角坐标系，由空间微量公式计算即可.试题解析：（Ⅰ）证明：∵点、、分别是、、的中点，∴∥，∥.∵平面，平面，平面，平面，∴∥平面，∥平面.∵，∴平面∥平面∵平面，∴∥平面．（Ⅱ）解：根据条件，直线，，两两垂直，分别以直线，，为建立如图所示的空间直角坐标系．设，∵，∴∴.设分别是平面和平面的一个法向量，∴，∴，即，．不妨取，得．∴．∵二面角是锐角，∴二面角的余弦值是．【考点】1.线面平行、面面平行的判定与性质；2.空间向量的应用.7.一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题中所给的三视图，可知该几何体为底面为边长为和的长方形，顶点在底面上的摄影是左前方的顶点，所以有，解得，故选B．【考点】根据所给的几何体的三视图，还原几何体，求其体积及其他量．8.如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且分别是的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求锐二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；【解析】（Ⅰ）本题考查线面垂直的判定定理．可由勾股定理证明；另外平面即可；（Ⅱ）过程为作---证---算．根据二面角的定义找到角，注意不要忽略了证明的过程．试题解析：（Ⅰ）证明：由条件知平面，令，经计算得，即，又因为平面；（Ⅱ）过作，连结由已知得平面就是二面角的平面角经计算得，【考点】1．线面垂直的判定定理；2．二面角；9.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面内的射影为的中心,则与底面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设该棱柱各棱长为a,底面中心为O，则A1O平面ABC．在三角形A1AO中,可得．设AB中点为D，可证，AD A1D．在直角三角形ADA1中，AA1=a,AD=,解得，．故与底面所成角的正弦值为．故选B．10.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________．【答案】【解析】【考点】圆锥体积11.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF= ．则下列结论中正确的个数为①AC⊥BE；②EF∥平面ABCD；③三棱锥A﹣BEF的体积为定值；④的面积与的面积相等，A．4B．3C．2D．1【答案】B【解析】①中AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确；②EF∥平面ABCD，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确；③三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确【考点】1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质12.设为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若,则；[②若,则；③若则；④若与相交且不垂直，则与一定不垂直．其中，所有真命题的序号是．【答案】①③【解析】②中两平面平行或垂直；④中两直线可能相交，平行或异面，可能出现异面直线垂直的情况；①③由线面垂直平行的判定与性质可知结论正确【考点】空间线面垂直平行的判定与性质13.一个的长方体能装卸8个半径为1的小球和一个半径为2的大球，则的最小值为（）A．B．C．D．8【答案】B【解析】在的面上放4个小球，在在上面放一个大球，4个小球每个都与相邻两个相切，大球与四个小球都相切，记4个小球的球心依次为，大球球心为，则为正四棱锥，底面边长为2，侧棱长为3，其高为，对应上面再放4个小球，因此的最小值为，故选B．【考点】长方体与球．14.如图，在四面体中，，，点分别是的中点（1）求证：平面平面；（2）当，且时，求三棱锥的体积【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）证明面面垂直应证线面垂直，首先根据图形分析需要证明面即可说明平面平面；（2）解决本题关键是找出底面上的高，由（1）很容易可以得到高为，由此可以计算三棱锥的体积．试题解析：（1）证明：∵中，分别是的中点，．，．中，，是的中点，．，面，平面平面；（2）解：，是的中点，，，，∴平面，，，，，，．【考点】空间几何体的垂直、平行、体积问题．15.如图，已知四棱锥的底面为菱形，，，．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）用几何法证明线线垂直的主要思路是证明线面垂直，则线线垂直，所以首先根据所给的条件能够确定是等腰直角三角形，是等边三角形，然后取的中点，连接，最后证明平面;（2）根据上一问的结论，根据勾股定理，证明，从而可以以为原点建立空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量，利用公式求解．试题解析：（1）证明：取的中点，连接．∵，∴又四边形是菱形，且，∴是等边三角形，∴又，∴，又，∴（2）由，，易求得，，∴，以为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴建立空间直坐标系，则，，，，∴，，设平面的一个法向量为，则，，∴，∴，，∴设平面的一个法向量为，则，，∴，∴，，∴∴【考点】1．线与线的位置关系；2．二面角．16.如图，在正三棱锥中，．分别为棱．的中点，并且，若侧棱长，则正三棱锥的外接球的体积为__________．【答案】【解析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的体积．∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB，∵三棱锥S-ABC为正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC，又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC ∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径．【考点】球的体积与表面积【方法点睛】一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径．设其外接球的半径为，则有．17.如图，在三棱锥中，△和△都为正三角形且，，，，分别是棱，，的中点，为的中点．（1）求异面直线和所成的角的大小；（2）求证：直线平面．【答案】（1）;（2）见解析．【解析】（1）通过构造中位线，得到，即为异面直线和所成的角，由已知数据求之即可；（2）要证平面，可在平面中构造一条直线与平行即可，连接交于点，连接，证明即可．试题解析：（1）∵，分别是，的中点，∴，∴为异面直线和所成的角．在△中，可求，，，故，即异面直线和所成的角是．（2）连接交于点，连接，∵为的中点，为的中点，∴为△的重心，∴．∵为的中点，为的中点，∴，∴，∴，∵面，面，∴面．【考点】1．异面直线所成的角；2．线线、线面平行的判定与性质．18.如图1，已知正方体ABCD－A1B1ClD1的棱长为a，动点M、N、Q分别在线段上，当三棱锥Q-BMN的俯视图如图2所示时，三棱锥Q-BMN的正视图面积等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由俯视图可知为的中点，与重合，与点重合．所以此时三棱锥的正视图为三角形，其面积为．故B正确．【考点】三视图．【思路点晴】本题主要考查的是三视图，属于中档题．应先根据三棱锥的俯视图确定四点的位置，还原出三棱锥的立体图，根据其立体图可得其正视图，从而可求得正视图的面积．19.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点．则与底面所成的角的正切值为________．【答案】【解析】设底面边长为1，取中点，连接，，所以底面，那么为与底面所成的角，，，所以．【考点】线面角【思路点睛】主要考察了线面角的求法，属于基础题型，根据线面角的定义，线与射影所成角，所以此题的关键是求在平面内的射影，所以根据底面，取中点，得底面，再连接，为与底面所成的角，根据正切公式求解．20.在四棱锥中，底面，，，，，是的中点．（1）证明：；（2）证明：平面；（3）（限理科生做，文科生不做）求二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）．【解析】（1）证明异面直线垂直，一般的思路是证明线面垂直，线在面内，所以线线垂直的思路，所以根据条件转化为先证明平面，而要证明平面，得先证明，条件所给，易证；（2）证明线面垂直的思路是证明线与平面内的两条相交直线垂直，则线面垂直，根据上一问已证明，所以只需再证明，根据条件需证明，问题会迎刃而解；（3）由题可知两两垂直，建立空间直角坐标系，设，那就可以写出各点的坐标，并分别求两个平面的法向量与，利用公式，并观察是钝二面角．试题解析：（1）证明：底面，．又面，面，．（2）证明：，是等边三角形，，又是的中点，，又由（1）可知，面（3）解：由题可知两两垂直，如图建立空间直角坐标系，设，则．设面的一个法向量为，即取则，即设面的一个法向量为，即取则即，由图可知二面角的余弦值为．【考点】1．线线垂直，线面垂直的证明；2．二面角；3．向量法．21.如图，已知圆柱的高为，是圆柱的三条母线，是底面圆的直径，．（1）求证：//平面；（2）求二面角的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）先利用垂直关系建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，通过证明的方向向量和平面的法向量垂直进行证明；（2）先求出两个平面的法向量，利用空间向量求出其二面角的余弦值，再利用同角三角函数基本关系式求解．试题解析：由是直径，可知,故由可得：,以点为坐标原点建立空间直角坐标系（如图）则（1）由可得平面的一个法向量又又平面平面（2）由可得平面的一个法向量，由可得平面的一个法向量设二面角为，则所以二面角的正切值为．【考点】1．线面平行的判定；2．二面角；3．空间向量在立体中的应用．22.（2015秋•黄冈校级期末）如图，△ADP为正三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．M为平面ABCD内的一动点，且满足MP=MC．则点M在正方形ABCD内的轨迹为（O为正方形ABCD的中心）（）A． B． C． D．【答案】A【解析】在空间中，过线段PC中点，且垂直线段PC的平面上的点到P，C两点的距离相等，此平面与平面ABCD相交，两平面有一条公共直线．解：在空间中，存在过线段PC中点且垂直线段PC的平面，平面上点到P，C两点的距离相等，记此平面为α，平面α与平面ABCD有一个公共点D，则它们有且只有一条过该点的公共直线．取特殊点B，可排除选项B，故选A．【考点】轨迹方程．23.（2015秋•内江期末）若一个几何体的正视图是一个三角形，则该几何体不可能是（）A．圆锥B．圆柱C．棱锥D．棱柱【答案】B【解析】圆柱的正视图可能是矩形，可能是圆，不可能是三角形．解：圆锥的正视图有可能是三角形，圆柱的正视图可能是矩形，可能是圆，不可能是三角形，棱锥的正视图有可能是三角形，三棱柱放倒时正视图是三角形，∴在圆锥、圆柱、棱锥、棱柱中，正视图是三角形，则这个几何体一定不是圆柱．故选：B．【考点】简单空间图形的三视图．24.已知两条不重合的直线和两个不重合的平面、，有下列命题：①若，，则；②若，，，则；③若是两条异面直线，，，，则；④若，，，，则．其中正确命题的个数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】①不正确，还可能；②正确，，，又，；③不正确，还可能相交；④由面面垂直的性质定理可知④正确．综上可得②④正确．故B正确．【考点】1线面位置关系；2面面位置关系．25.如图，在三棱锥P﹣ABC中，E、F、G、H分别是AB、AC、PC、BC的中点，且PA=PB，AC=BC．（Ⅰ）证明：AB⊥PC；（Ⅱ）证明：平面PAB∥平面FGH．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理证明AB⊥面PEC，即可证明：AB⊥PC；（Ⅱ）根据面面平行的判定定理即可证明平面PAB∥平面FGH．解：（Ⅰ）证明：连接EC，则EC⊥AB又∵PA=PB，∴AB⊥PE，∴AB⊥面PEC，∵BC⊂面PEC，∴AB⊥PC（Ⅱ）连结FH，交于EC于O，连接GO，则FH∥AB在△PEC中，GO∥PE，∵PE∩AB=E，GO∩FH=O∴平面PAB∥平面FGH【考点】平面与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．26.以正方体的顶点D为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则与共线的向量的坐标可以是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】不妨令正方体的边长为1,则由图可知.,与共线的向量的坐标为.故D正确.【考点】空间向量共线问题.27.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=" 2AD" ="2CD" =2．E是PB的中点．（I）求证；平面EAC⊥平面PBC；（II）若二面角P-AC-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【答案】（I）证明见解析；（II）．【解析】对于问题（I），可以先证明平面，再证明，然后即可证明所需结论；对于问题（II），首先建立以为坐标原点的空间坐标系，然后再求出相应点的坐标，再由题设条件求出的长以及平面的法向量，最后利用向量的夹角公式，就可以得到直线与平面所成角的正弦值．试题解析：（I），，，，，错误！未指定书签。

高中数学第6章立体几何初步刻画空间点线面位置关系的公理基本事实123素养作业北师大版必修第二册

第六章 3.1 3.2A组·素养自测一、选择题1．如图所示,下列符号表示错误的是( A )A．l∈αB．P∈/lC．l⊂αD．P∈α[解析]观察图知：P∈/l,P∈α,l⊂α,则l∈α是错误的．2．下面四个说法(其中A、B表示点,a表示直线,α表示平面)：①∵A⊂α,B⊂α,∴AB⊂α；②∵A∈α,B∈/α,∴AB∈/α；③∵A∈/a,a⊂α,∴A∈/α；④∵A∈a,a⊂α,∴A∈α.其中表述方式和推理都正确的结论的序号是( C )A．①④B．②③C．④D．③[解析]①错,应写为A∈α,B∈α；②错,应写为AB⊂/α；③错,推理错误,有可能A∈α；④推理与表述都正确．3．(多选)空间不共线的四点,可以确定平面的个数可能是( BD )A．0 B．1C．2 D．4[解析]若有三点共线,则由直线与直线外一点确定一个平面,得不共线的四点,可以确定平面的个数为1个；若任意三点均不共线,则空间不共线的四点,可以确定平面的个数是1或4.故空间不共线的四点,可以确定平面的个数是1或4个．故选BD．4．如图所示,平面α∩β＝l,A、B∈α,C∈β且C∈/l,AB∩l＝R,设过A、B、C三点的平面为γ,则β∩γ等于 ( C )A．直线ACB．直线BCC．直线CRD．以上都不对[解析]由C,R是平面β和γ的两个公共点,可知β∩γ＝CR.5．如果空间四点A,B,C,D不共面,那么下列判断中正确的是( B )A．A,B,C,D四点中必有三点共线B．A,B,C,D四点中不存在三点共线C．直线AB与CD相交D．直线AB与CD平行[解析]两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面．6．下列各图均是正六棱柱,P、Q、R、S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的图形是( D )[解析]在选项A、B、C中,由棱柱、正六边形、中位线的性质,知均有PS∥QR,即在此三个图形中P、Q、R、S共面,故选D．二、填空题7．平面α,β的公共点多于两个则①α,β平行；②α,β至少有一条公共直线；③α,β至少有三个公共点；④α,β至多有一条公共直线．以上四个判断中成立的是②③ .[解析]由条件知,当平面α,β的公共点多于两个时,若所有公共点共线,则α,β相交；若公共点不共线,则α,β重合．故①一定不成立；②成立；③成立；④不成立．8．看图填空：(1)AC∩BD＝O；(2)平面AB1∩平面A1C1＝A1B1；(3)平面A1C1CA∩平面AC＝AC；(4)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝OO1 .9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中,下列说法正确的是 (2)(3)(4) (填序号)．(1)直线AC1在平面CC1B1B内．(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O,O1,则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1．(3)由A,C1,B1确定的平面是ADC1B1．(4)由A,C1,B1确定的平面与由A,C1,D确定的平面是同一个平面．[解析](1)错误．如图所示,点A∈/平面CC1B1B,所以直线AC1⊂/平面CC1B1B．(2)正确．如图所示．因为O∈直线AC⊂平面AA1C1C,O∈直线BD⊂平面BB1D1D,O1∈直线A1C1⊂平面AA1C1C,O1∈直线B1D1⊂平面BB1D1D,所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1．(3)(4)都正确,因为AD∥B1C1且AD＝B1C1,所以四边形AB1C1D是平行四边形,所以A,B1,C1,D共面．三、解答题10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是CC1和AA1的中点,画出平面BED1F与平面ABCD 的交线并说明理由．[解析]如图,在平面AA1D1D内,延长D1F,因为D1F与DA不平行,因此D1F与DA必相交于一点,设为P,则P∈FD1,P∈AD．又因为D1F⊂平面BED1F,DA⊂平面ACD,所以P∈平面BED1F,P∈平面ABCD．所以P∈(平面BED1F∩平面ABCD),即P为平面BED1F与平面ABCD的公共点．又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点,所以连接PB,PB即为平面ABCD与平面BED1F的交线．B组·素养提升一、选择题1．空间中四点可确定的平面有( D )A．1个B．3个C．4个D．1个或4个或无数个[解析]当四个点在同一条直线上时,经过这四个点的平面有无数个；当这四个点为三棱锥的四个顶点时,可确定四个平面；当这四个点为平面四边形的四个顶点时,确定一个平面；当其中三点共线于l,另一点不在直线l上时,也确定一个平面,故选D．2．(多选)设P表示一个点,a、b表示两条直线,α、β表示两个平面,给出下列四个结论,其中正确的结论是( CD )A．P∈a,P∈α⇒a⊂αB．a∩b＝P,b⊂β⇒a⊂βC．a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂αD．α∩β＝b,P∈α,P∈β⇒P∈b[解析]当a∩α＝P时,P∈a,P∈α,但a⊂/α,∴A错；a∩β＝P时,B错；如图∵a∥b,P∈b,∴P∈/a,∴由直线a与点P确定唯一平面α,又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β经过直线a与点P,∴β与α重合,∴b⊂α,故C 正确；两个平面的公共点必在其交线上,故D正确,故选CD．3．经过同一直线上的3个点的平面( C )A．有且只有1个B．有且只有3个C．有无数个D．只有0个[解析]因3个点在同一条直线,所以经过该直线的平面都满足条件,故选C．4．(多选)如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是( ABC )A．C1,M,O三点共线B．C1,M,O,C四点共面C．C1,O,A,M四点共面D．D1,D,O,M四点共面[解析]连接A1C1,AC,则AC∩BD＝O,A1C∩平面C1BD＝M,所以三点C1,M,O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上,即C1,M,O三点共线,所以选项A,B,C均正确,D不正确．二、填空题5．若直线l与平面α相交于点O,A、B∈l,C、D∈α,且AC∥BD,则O、C、D三点的位置关系是共线 .[解析]∵AC∥BD,∴AC与BD确定一个平面,记作平面β,则α∩β＝直线CD．∵l ∩α＝O ,∴O ∈α.又∵O ∈AB ⊂β,∴O ∈直线CD ,∴O 、C 、D 三点共线．6．给出以下结论：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确结论的个数是 0 .[解析] 如图所示,在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中,AD 与A ′B ′都与直线AA ′相交,但是直线AD 与A ′B ′不在同一平面内,故①错误；在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中,直线AB ,AD ,AA ′两两相交,但是这三条直线不在同一平面内,故②错误；当两个平面相交时,两个平面可有无数个公共点,只有当两个平面有三个不共线的公共点时,两个平面才重合,故③错误；两两平行的三条直线也可能在同一平面内,故④错误．综上可知,正确结论的个数是0.三、解答题7.如图所示,在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是AA 1,D 1C 1的中点,过D ,M ,N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l .(1)画出直线l 的位置；(2)设l ∩A 1B 1＝P ,求线段PB 1的长．[解析] (1)延长DM 交D 1A 1的延长线于E ,连接NE ,则NE 即为直线l 的位置．(2)∵M 为AA 1的中点,AD ∥ED 1, ∴AD ＝A 1E ＝A 1D 1＝a .∵A 1P ∥D 1N ,且D 1N ＝12a ,∴A 1P ＝12D 1N ＝14a ,于是PB 1＝A 1B 1－A 1P ＝a －14a ＝34a .8.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E 为AB 的中点,F 为AA 1的中点,求证：(1)E ,C ,D 1,F 四点共面； (2)CE ,D 1F ,DA 三线共点． [解析] (1)分别连接EF ,A 1B ,D 1C , ∵E ,F 分别是AB 和AA 1的中点, ∴EF ∥A 1B 且EF ＝12A 1B ．又∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ,∴四边形A 1D 1CB 是平行四边形, ∴A 1B ∥CD 1,从而EF ∥CD 1．EF 与CD 1确定一个平面．∴E ,F ,D 1,C 四点共面． (2)∵EF 綊12CD 1,∴直线D 1F 和CE 必相交．设D 1F ∩CE ＝P , ∵D 1F ⊂平面AA 1D 1D ,P ∈D 1F ,∴P ∈平面AA 1D 1D ．又CE ⊂平面ABCD ,P ∈EC ,∴P ∈平面ABCD , 即P 是平面ABCD 与平面AA 1D 1D 的公共点．而平面ABCD ∩平面AA 1D 1D ＝直线AD ,∴P ∈直线AD (公理3),∴直线CE ,D 1F ,DA 三线共点．。

高二数学关于立体几何的基础训练

高二数学关于立体几何的基础训练在高二数学的学习中，立体几何是一个重要的板块。

它不仅需要我们具备扎实的平面几何知识，还要求我们能够在三维空间中进行思考和推理。

为了更好地掌握立体几何，进行基础训练是必不可少的。

首先，我们来了解一下立体几何的基本概念。

点、线、面是构成立体几何图形的基本元素。

点没有大小，线没有粗细，面没有厚薄。

直线与平面的位置关系有平行、相交和在平面内。

平面与平面的位置关系有平行和相交。

在判断直线与平面、平面与平面的位置关系时，我们需要依据相关的定义和定理。

接下来，让我们看看常见的立体几何图形。

长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等都是我们在学习中经常遇到的。

以长方体为例，它有 8 个顶点、12 条棱和 6 个面。

通过对长方体的研究，我们可以更好地理解空间中的线线关系、线面关系和面面关系。

在立体几何的基础训练中，空间想象力的培养至关重要。

我们可以通过观察实际物体、绘制立体图形等方式来提高自己的空间想象力。

比如，观察一个魔方，思考它的棱、面之间的关系；或者自己动手绘制一个简单的立体图形，如正方体，标注出各个顶点、棱和面。

学习立体几何，掌握相关的定理和公式是基础。

比如，直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定定理等。

在记忆这些定理和公式时，不能死记硬背，要理解其推导过程和应用条件。

下面我们通过一些具体的例题来进行基础训练。

例 1：已知正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E 为 DD1 的中点，求证：BD1∥平面 AEC。

分析：要证明直线与平面平行，我们可以在平面内找到一条直线与已知直线平行。

连接 BD 交 AC 于 O，连接 EO。

因为四边形 BDD1B1是平行四边形，所以 O 为 BD 的中点。

又因为 E 为 DD1 的中点，所以EO∥BD1，EO 在平面 AEC 内，BD1 不在平面 AEC 内，所以 BD1∥平面 AEC。

例 2：在三棱锥 P ABC 中，PA⊥平面 ABC，AB⊥AC，求证：平面 PAB⊥平面 PAC。

立体几何寒假作业及答案

DCBAβαNMHGF E DBA 合肥十中高二立体几何部分寒假作业一．选择题：１. 对于任意的直线l 与平同a ,在平面a 内必有直线m ,使m 与l （）（A ）平行（B ）相交（C ）垂直（D ）互为异面直线２．若a 、b 是异面直线，且a ∥平面，那么b 与平面的位置关系是（）（A ）b ∥a （B ）b 与相交（C ）b ⊂ （D ）以上三种情况都有可能３．设a 、b 、c 是空间三条直线，下列命题中：①若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；②若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；③若a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，则a 、c 是异面直线；④若a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和c 一定共面.真命题的个数是（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个４．一条直线与一个平面所成的角等于3π，另一直线与这个平面所成的角是6π，则这两条直线的位置关系（）（A ）必定相交（B ）平行（C ）必定异面（D ）不可能平行５．平行六面体的四个侧面都是正方形，则这平行六面体是（）正方体正四棱柱长方体直平行六面体６．如图在棱长为2的正方体AC 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1，AD 之中点，那么异面直线OE 与FD 1所成的角的余弦是（）（A ）510（B ）515 （C ）54 （D ）32 ７．在边长为的菱形中，∠ °，将菱形沿对象线折起，使折起后，则二面角 — — 的余弦值为（）（）31 （）21（）322 （）23．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是 ( ) (A)线段B 1C (B)线段BC 1 (C)BB 1中点与CC 1中点连成的线段 (D)BC 中点与B 1C 1中点连成的线段9．在正四面体P ABC 中， D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 之中点，那么下面四个结论中不成立的是（）（A ）BC ∥平面PDF（Ｂ）DF ⊥平面P AE（C ）平面PDF ⊥平面ABC （D ）平面P AE ⊥平面ABC 10．在正方体AC 1中，直线BC 与平面A 1BD 所成的角的余弦值是（） (A)22 (B)32 (C)33(D)23二．填空题11．三条两两相交的直线可确定个平面。

高二数学寒假作业(4)——立体几何

2015—2016学年度高二（上）寒假作业（4）——立体几何一、填空题：1．下列说法正确的有________．（填上正确的序号）①过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线． ②过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直． ③若a c b a ⊥，//，则b c ⊥． ④若c b c a ⊥⊥，，则b a //． 2．下列推理错误的是．①A l A B l B l ααα∈∈∈∈⇒⊂，，，；②A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈⇒⋂=，，，； ③l A l A αα⊄∈⇒∉，；④A B C A B C αβ∈∈、、，、、，且A B C 、、不共线αβ⇒、重合．3．给定空间中的直线l 及平面α．条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的条件．4．四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，P A ⊥底面ABCD 且P A = 4，则PC 与底面ABCD 所成角的正切值为．5．1l ，2l ，3l 是空间三条直线，则下列命题中正确命题的个数是．①12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒； ②12l l ⊥，23//l l ⇒13l l ⊥； ③123////l l l ⇒1l ，2l ，3l 共面； ④1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面． 6．给出下列命题:①若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直；②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行； ③若两条平行直线中的一条垂直于直线m ,那么另一条直线也与直线m 垂直；④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中,所有真命题的序号为．7．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题：①若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m ； ②若l ⊂α，l ∥β，α∩β＝m ，则l ∥m ； ③若l ∥m ，m ⊂α，，则l ∥α； ④若l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m ．其中真命题是 (写出所有真命题的序号)．8．设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若,a b a α⊥⊥，则//b α；②若,a βαβ⊥⊥，则//a α； ③若//,a a αβ⊥，αβ⊥则；④若,,a b a b αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥．其中所有正确的命题序号是．9．已知α、β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断： ①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α．以其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，写出你认为正确的一个命题: ．（写出一个即可）10．如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱P A =a ，PB =PD =2a ，则它的5个面中，互相垂直的面有对． 11．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； ②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； ④直线l 与α垂直的等价条件是l 与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题．．．的序号（写出所有真命题的序号）．A B C DE 12．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是DD 1的中点，则下列结论正确的是．（填序号） ①线段A 1M 与B 1C 所在直线为异面直线；②对角线BD 1⊥平面AB 1C ；③平面AMC ⊥平面AB 1C ；④直线A 1M //平面AB 1C ． 13．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1 上有两个动点 E ，F ，且2EF =，有下列结论：① AC BE ⊥；② EF ∥平面ABCD ；③ 三棱锥A —BEF 的体积为定值．其中正确结论的序号是．14．在正四面体P -ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，有下列下面四个结论： ①BC //平面PDF ；②DF ⊥平面P AE ；③平面PDF ⊥平面ABC ；④平面P AE ⊥平面 ABC ．其中所有正确结论的序号是．二、解答题： 15．如图：已知正方形ABCD 的边长为2，且AE ⊥平面CDE ，AD 与平面CDE 所成角为30︒．（1）求证：AB ∥平面CDE ；（2）求三棱锥D -ACE 的体积．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，245AB DC ==．（1）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面P AD ；（2）求四棱锥P ABCD -的体积．DD 1A B 11 M ABCMPD17．如图，在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，且AB BC ==CA 1AD CD ==．（1）求证：1BD AA ⊥；（2）在棱BC 上取一点E ，使得AE ∥平面DCC 1D 1，求BEEC的值．18．如图，△ABC 为正三角形，平面AEC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE =CA =2BD ，M 是EA 的中点．求证：（1）DE =DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；（3）平面DEA ⊥平面ECA ．E C MD BA G F19．已知直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且∠DAB =60︒，AD =AA 1，F 为棱BB 1的中点，M 为线段AC 1的中点．（1）求证：直线MF ∥平面ABCD ；（2）求证：平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1． 20．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 'B 'C 'D '中，AP=BQ=b （0＜b ＜1），截面PQEF ∥A 'D ，截面PQGH ∥A 'D ．（1）证明：平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直；（2）证明：截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值，并求出这个值；（3）若D 'E 与平面PQEF 所成的角为45°，求D 'E 与平面PQGH所成角的正弦值．A B CD E FP Q H A ' B 'C 'D ' G。

高二数学第六单元知识点

高二数学第六单元知识点正文：第一节立体几何立体几何是数学中的一个重要分支，主要研究空间中的图形、体积和表面积等性质。

在高二数学的第六单元中，我们将学习以下几个重要的立体几何知识点：1. 空间几何体的概念和性质空间几何体包括立方体、长方体、正方体、棱柱、棱锥、球体等。

每个几何体都有特定的性质和特征，如体积、表面积等。

2. 垂直于同一平面的直线与平面的关系我们将学习垂直于同一平面的直线与平面的交点性质，以及利用这些性质解决实际问题。

3. 平行线与平面的关系研究平行线与平面的相交性质，包括平行线与平面的交点数目、位置关系等。

这些性质可以在解决几何问题时起到重要的作用。

4. 空间几何体的视图学会根据给定几何体的图形，画出它们的主视图、俯视图和侧视图。

这对于空间几何体的理解和分析非常重要。

第二节三角函数三角函数是数学中的重要概念，它描述了角度和边长之间的关系。

在高二数学的第六单元中，我们将学习以下几个重要的三角函数知识点：1. 三角函数的定义学习正弦、余弦和正切这三个基本三角函数的定义，并了解它们的性质和特点。

2. 三角函数的基本关系式掌握正弦、余弦和正切的基本关系式，包括正弦定理、余弦定理和正切定义。

3. 三角函数的图像和性质学会绘制正弦、余弦和正切的图像，并掌握它们的周期性、奇偶性和单调性等基本性质。

第三节概率与统计概率与统计是高中数学中的重要内容，它研究了现实生活中的随机事件和大量数据的分析方法。

在高二数学的第六单元中，我们将学习以下几个重要的概率与统计知识点：1. 随机事件的概念和性质研究随机事件的定义、基本性质以及与事件相关的概率计算方法。

2. 条件概率和事件独立性学会计算条件概率和事件的独立性，并应用到实际问题中。

3. 随机变量及其分布理解随机变量的概念，并学习常见的离散型和连续型随机变量的分布特征。

4. 统计分析方法学会通过抽样调查和数据统计分析，对现实生活中的数据进行整理、描述和分析。

结语：高二数学第六单元主要涵盖了立体几何、三角函数、概率与统计等多个知识点。

第5天立体几何初步（二）-安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高二上学期数学（文）寒假作业

第5天立体几何初步（二）一、选择题 1.平面过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A,11//CB D α平面,ABCD m α=平面,11ABB A n α=平面,则m ,n 所成角的正弦值为（）A.32 B.22 C.33D.132．一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A.1B.2C.3D.43．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是（）侧视图俯视图正视图24222242A ．3523cm 3 B ．3203cm 3 C ．2243cm 3 D ．1603cm34．已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，若αβ⊥，则下列结论正确的是（）A ．l β∥或l β⊂B ．//l mC ．m α⊥D ．l m ⊥5．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（）A.若n m ⊥，α//n ，则α⊥mB.若β//m ，αβ⊥，则α⊥mC.若β⊥m ，β⊥n ，α⊥n ，则α⊥mD.若n m ⊥，β⊥n ，αβ⊥，则α⊥m6．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（） A ．34 B ．34 C ．54D ．547．已知A 、B 是球O 的球面上两点，90=∠AOB ，C 为该球面上的动点．若三棱锥ABC O -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（） A ．π36B ．π64C ．π144D ．π2568．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为（）A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π二、填空题9．如下图，在正三棱锥A －BCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE ，且BC ＝1，则正三棱锥A －BCD 的体积是 10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段1B C 上的一点，则三棱锥1A DED -的体积为_________________11．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．12．若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB CD =，AC BD =，AD BC =，则_____________(写出所有正确结论编号) ．①四面体ABCD 每组对棱相互垂直．②四面体ABCD 每个面的面积相等．③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90。

安徽省高二数学寒假作业六

2013-2014学年度上学期高二数学寒假作业六一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，若63a =，60o A =，6b =，则角B 是A ．30︒或150︒B ．45︒C ．30︒D ．150︒2．设集合{}30,01<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=x x B x xxA ，那么 “A m ∈”是“B m ∈”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设x ，y 满足不等式组226y xx y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则32z x y =-的最大值是（）A ．0B ．2C ．8D ．16 4．下列说法正确的是A ．“21x =”是“1x =”的充分不必要条件．B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++<”．D ．命题“若αβ=，则sin sin αβ=”的逆否命题为真命题．5．已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）则m 的值为：（） A.2 B.3 C.5 D.76.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面的中心，E 是1CC 的中点,那么异面直线1A D 与EO 所成角的余弦值为(A) 3 (B) 22 (C) 12(D)07.与椭圆2211625x y +=共焦点，且两条准线间的距离为103的双曲线方程为( )Ａ．22145x y -= Ｂ．22153x y -= Ｃ．22154y x -= D ．22153y x -=8．若a,b 为实数，且a+b=2,则3a +3b 的最小值为（）A.18B.6C. 23D.2439.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.若a 、b 、c 成等比数列，且c=2a,则cosB 等于( ) A.41 B. 43C.42D.3210.设等比数列｛a n ｝中,每项均为正数,且a 3·a 8=81,log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于（） A.5 B.10 C.20 D.4011．已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，若121212||||PF PF PF PF ⋅=⋅u u u r u u u u ru u u r u u uu r ，则21PF F ∆的面积为（）A ．3 3B ．2 3C ． 3D ．33二、填空题：12．已知向量0 1 1a =-（，，）r ，4 1 0b =（，，）r ，29a b λ+=rr ，且0λ>，则λ= ． 13．已知{}n a 为等差数列，240 2a a ==-，，n S 是此数列的前n 项和，()n S f n =，则()f n 的最大值为．14．已知函数y=x （3-2x ）（0＜x ≤1），则函数有最大值为。

安徽省舒城中学高二数学寒假作业(理)

第1天月日星期学习导航:1. 理解不等式关系及其在数轴上的表示,能用作差法比较两个数(式)的大小,在比较两数的大小时,能应用配方法,分解因式法,分类讨论法等数学方法;2. 理解并掌握不等式的性质及证明过程,能利用不等式的性质证明一些比较简单的不等式;3. 能利用不等式的性质求某些变量或代数式的范围.能用不等式的性质解决一些实际问题.1. 已知,,,R c b a ∈下面推理正确的是( )A 22bm am b a 〉⇒〉 Bb ac b c a 〉⇒〉 C b a ab b a 110,33〈⇒〉〉 D ba ab b a 110,22〈⇒〉〉 2.若,0log log 44〈〈b a 则( )A 10〈〈〈b aB 10〈〈〈a bC 1〉〉b aD 1〉〉a b3.下列大小关系正确的是( )A 3.044.03log 34.0〈〈B 4.03.0433log 4.0〈〈C 4.033.0434.0log 〈〈D 34.03.044.03log 〈〈 4.现给出下列三个不等式(1) a a 212〉+; (2) )23(222--〉+b a b a ;(3) 22222)())((bd ac d c b a +〉++其中恒成立的不等式共有( )个Ａ０Ｂ１Ｃ２Ｄ３５已知方程02=++b ax x 的两根为21,x x ，命题2,1:x x p 都大于２，命题,4:21〉+x x q 则命题p 和命题q 的关系是（）Ａ q p ⇒ Ｂ q p ⇐Ｃq p ⇔Ｄq p ≠〉６．若对任意的,R x ∈不等式ax x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）Ａ1〈-a Ｂ1≤a Ｃ1〈a Ｄ1≥a7．若),lg(lg ,lg ,)(lg ,10122x c b a x x x ===〈〈则c b a ,,的大小顺序是_________________ 8．若βα,满足22πβαπ〈〈〈-，则βα-2的取值范围是________________ 9．在（1）若b a 〉，则ba 11〈；（2）若22bc ac 〉，则b a 〉；（3）若0,0〈〈〈〈dc b a ，则bd ac 〉；（4）若b a 〈，则x a x b a b ++〈，这四个命题中，正确的命题序号是_________________10．已知,0≠ab 比较)1)(1(+-++b a b a 与1)(22+-b a 的大小11．设0〉a 且,0,1〉≠t a 比较t a log 21与21log +t a 的大小12．已知,6024,3420〈〈〈〈b a 求ab b a b a ,,-+的范围13．已知b a ,满足,30,42≤-≤≤+≤b a b a 求ab 的范围14若实数c b a ,,,满足: 44;64322+-=-+-=+a a c b a a c b 试确定c b a ,,大小关系15现有甲乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案。

安徽省高二数学寒假作业第6天立体几何初步理

高二数学寒假作业 第6天 立体几何初步 理

高中数学第6章立体几何初步 刻画空间点线面位置关系的公理基本事实4定理素养作业北师大版必修第二册

高二数学寒假作业：(六)(Word版含答案)

高二数学寒假作业6答案

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立体几何寒假作业及答案

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安徽省高二数学寒假作业六

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高中数学第6章立体几何初步刻画空间点线面位置关系的公理基本事实123素养作业北师大版必修第二册