微专题函数中变量值的大小比较

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高三复习专题11：函数大小比较

高三复习专题11 函数大小的比较知识点：幂指对函数比较大小问题，在教材上有大量考察，考点层次较高，这一考点可以不与其他知识点发生关联的情况下直接命题，足见其在高中数学的重要性.在解题的过程中，先观其数，再究其形，进而选择合适的解题方法一．常用公式1.nm m na a ⎛⎫= ⎪⎝⎭2.log log log a a a M N MN += log log log a a a M M N N-= 3.()log log 0,1,0na a N n N a a N =>≠>4.换底公式：log log log c a c b b a = ，1log log a b b a = ， log log m na a n N N m=二．方法归纳1.利用中间变量法：利用212,0,1,1，-等，比较大小. 2.作差、作商:作商的过程中要注意正负变号. 3.单调性法：根据函数的单调性4.函数图像法:熟悉的掌握幂指对函数的图像及其变化根据图像的几何特征比较大小（注：作图要精确）5.估算法：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≈≈≈≈≈≈≈≈65.1,4.71.13ln ,7.02ln 72.273.1341.1214.32e e e ，，π6.构造函数：熟悉的掌握ln ,ln xx x x等的图像 .三．经典题组题组1（作差、作商、中间值）1. （1） 213126，；（2） 525352525253⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛，，（3）下列四个数：()()2ln2,ln ln2,ln2a b c d ====的大小顺序2.（1）已知x =log 25−log 2√5,y =log 53,z =5−12，则下列关系正确的是（）A ． z <y <xB ． z <x <yC ． x <y <zD ． y <z <x（2）已知a =18118,b =log 2017√2018,c =log 2018√2017，则a,b,c 的大小关系为（）A ． c >b >aB ． b >a >cC ． a >c >bD ． a >b >c （3）设3a =8，b =log 0.50.2，c =log 424，则（）A ． a <c <bB ． a > B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>（2）已知3.0log 6.3log 4.3log 34251,5,5⎪⎭⎫ ⎝⎛===c b a ，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >> 4.（1）已知a =21.1，b =50.4，c =ln 52，则（）A ． b >c >aB ． a >c >bC ． b >a >cD ． a >b >c（2）已知122a =，0.212b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，52log 2c =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a <<题组2（单调性、图像法）1.（1）已知3log 6a =， 5log 10b =， 7log 14c =，则,,a b c 的大小关系为（）A ． a b c <c >aB ． c >b >aC ． b >a >cD ． c >a >b （2）若2a =log 2b =c ，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ． a <c <bB ． a >c b a 则（）A ． c c b a log log （2）已知10<<-111B ． ()()211b ba a ->- C ． ()()baa a ->-11 D ． ()()baa a +>+11（3）若1a b >>，01c <<，则( )A ．cca b < B ．ccab ba < C ．log log b a a c b c < D ．log log a b c c < （4）设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A ．B ．C ．()log og g l lo a a a b c bc =D ． 4.（1）设,,x y z 为正数，且235xyz==，则( )A ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z << ·log log log a c c b a b =·log lo log g a aa b a b =()log g og o l l a a a b b c c +=+题组3（不等式） 1.已知0.32a =， 435522b --=+， lg9lg11c =，则,,a b c 的大小关系是（）A ． b a c <<B ． a c b <<C ． c a b <<D ． c b a << 2.设25abm ==，且112a b+=，则m =( ) AB ．10C ．20D ．1003.当102x <≤时，4log xa x <，则a 的取值范围是( ) A．(0,2 B．2C． D．2) 4.已知1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ln a x =， 2ln b x =， 3ln c x =，那么（） A ． a b c <>+=且1111,log ,log bb a b x y ab z a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,x y z 的大小关系是（）A. y x z <<B. z y x <<C. y z x <<D. x y z <<题组4（构造法） 1.（1）设ln2ln3ln5,,,235a b c === 则,,a b c 的大小关系为（） A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. b c a >>（2）若e 是自然对数的底数，则（） A ．1ln ln22e ππ>> B ． 1ln2ln 2e ππ>> C ． ln 1ln22e ππ>> D ． ln ln212eππ>>2.（1）若a =ln22,b =ln33,c =12，则( )A ． a >b >cB ． a >c >bC ． a C ． ln ln a a b b <D ． a b a b > 3.（1）设定义在R 上的函数y =f (x )满足任意x ∈R 都有f (x +2)=−f (x )，且x ∈(0,4]时，有f ′(x )<f (x )x，则f (2016)、4f (2017)、2f (2018)的大小关系是（）A. 2f (2018)<f (2016)<4f (2017) B ． 2f (2018)>f (2016)>4f (2017) C. 4f (2017)>2f (2018)>f (2016) D ． 4f (2017)<2f (2018)<f (2016) （2）已知1112sin,3sin ,3cos ,233a b c ===则,,a b c 的大小关系是（） A ． c a b <b >cB ． a >c >bC ． a >e e e. 4.比较ab b a 与的大小.《高三数学复习培优系列之函数专题》1.函数定义域的常见求法归纳2.函数的值域的各种类型3.函数对应法则的解决策略4.函数单调性的题型探究5.函数奇偶性的题型探究6.函数对称性的探究7.对称性与周期性结合探究8.取整函数的应用9.指对函数相关题型总结10.幂函数和二次函数根的分布问题11.函数中大小比较问题12.函数图像的一般套路13.保值、倍值问题的解决定式14.数形结合解决整数解的相关策略15.函数零点问题的处理16.等高线及嵌套函数的解题策略。

函数比较大小的方法技巧

函数比较大小的方法技巧在编写程序时，经常会遇到需要比较两个数的大小的情况。

比较大小是基础的操作，但也存在一些技巧可以提高效率和代码可读性。

以下是一些常见的比较大小的方法技巧。

1. 使用if语句进行比较最常见的比较大小方法是使用if语句。

通过比较两个数的大小关系，根据不同的情况执行不同的代码。

例如：if (a > b) {如果a大于b的话，则执行这里的代码...} else if (a < b) {如果a小于b的话，则执行这里的代码...} else {如果a等于b的话，则执行这里的代码...}这是最直观的方法，可读性强，适用于大多数情况。

2. 利用三元运算符简化代码如果只是简单的比较大小，并且只需根据比较结果选择不同的返回值，可以使用三元运算符来简化代码。

例如：int result = (a > b) ? a : b;这里的意思是，如果a大于b，则返回a的值，否则返回b的值。

这种方法减少了代码行数，但可读性稍差。

适用于简单的比较大小并返回结果的情况。

3. 使用Math类的方法进行比较在Java等编程语言中，通常都会提供Math类，其中包含了一些常用的数学方法，包括比较大小的方法。

例如，Math类中的max方法可以比较两个数的大小，并返回较大的数。

例如：int result = Math.max(a, b);这个方法省去了手动比较的步骤，但实际上也是通过if语句来实现的。

使用Math 类的方法可以提高代码的可读性，但也可能稍微降低一点性能。

4. 使用位操作进行比较在一些特殊的情况下，可以使用位操作来进行比较大小。

位操作是一种直接操作内存中的二进制位的方法，效率较高。

例如：int result = a - ((a - b) & ((a - b) >> 31));这个方法通过位操作来计算差值，并根据差值的符号来选择a或b作为结果。

虽然这种方法比较复杂，但在一些需要高性能的场景下可能会有所帮助。

函数的基本性质最大小值高中数学必修一

课堂小结
1. 最值的概念；
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课堂小结
1. 最值的概念； 2. 应用图象和单调性求最值的一般步骤.
作业
1. P.39 Ex5、6 B组 Ex1
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思考题：
1.已知函数f (x)对任意x，y∈R，总有 f (x)＋f ( y)＝f (x＋y)，且当x＞0时， f (x)＜0，f (1)＝ (1)求证f (x)是R上的减函数； (2)求f (x)在[－3, 3]上的最大值和最小值.
1.3 函数的基本性质 ——最大(小)值
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复习引入
问题1 函数f (x)＝x2. 在(－∞, 0]上是减函数，在[0, +∞)上是增函数. 当x≤0时，f (x)≥f (0)，
x≥0时， f (x)≥f (0). 从而x∈R，都有f (x) ≥f (0). 因此x＝0时，f (0)是函数值中的最小值.
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M.
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f (x)的最大值.
讲授新课
函数最小值概念：
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讲授新课
函数最小值概念：

函数值大小比较泰勒

函数值大小比较泰勒在数学领域中，函数值的大小比较是一项常见的工作。

而泰勒级数则是一种用多项式逼近函数的方法。

本文将探讨函数值大小比较和泰勒级数的关系，并介绍一些相关的概念和应用。

函数值的大小比较是数学中的一项基本操作。

对于给定的两个函数f(x)和g(x)，我们常常需要比较它们在某个特定点x=a处的函数值的大小。

为了比较两个函数在某点处的大小关系，我们通常可以通过求解它们的差值来得到答案。

具体来说，如果f(a)-g(a)>0，则表示f(x)在x=a处的函数值大于g(x)在x=a处的函数值；如果f(a)-g(a)<0，则表示f(x)在x=a处的函数值小于g(x)在x=a处的函数值；如果f(a)-g(a)=0，则表示f(x)在x=a处的函数值等于g(x)在x=a处的函数值。

然而，对于一些复杂的函数，直接比较它们的函数值可能并不容易。

这时，我们可以考虑使用泰勒级数来逼近函数，从而简化比较的过程。

泰勒级数是一种将函数表示为无穷级数的方法，可以用来近似求解函数在某点的函数值。

具体来说，给定一个函数f(x)，我们可以将其在某点x=a处展开为泰勒级数：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f'(a)表示f(x)在x=a处的导数，f''(a)表示f(x)在x=a处的二阶导数，以此类推。

通过截取泰勒级数的前n项，我们可以得到一个多项式P(x)，将其作为函数f(x)在x=a处的逼近。

然后，我们可以通过比较P(a)和g(a)的大小来推断f(x)和g(x)在x=a处的大小关系。

值得注意的是，使用泰勒级数逼近函数的过程并不是绝对准确的，而是在一定程度上的近似。

逼近的准确程度取决于截取的级数项数，以及函数在给定点的导数值。

因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况选择适当的级数项数，来平衡计算的准确性和效率。

函数比大小题目

函数比大小题目的解题思路是：
1.确定函数的定义域，确保两个函数在相同的定义域内进行比较。

2.确定函数的单调性。

如果函数在定义域内单调递增或递减，那
么函数值会随着自变量的增加而增加或减少。

3.比较自变量的大小。

如果两个自变量的大小关系已知，可以根
据单调性判断函数值的大小关系。

4.如果两个自变量的大小关系未知，可以通过求解方程或不等式
来确定自变量的大小关系，进而判断函数值的大小关系。

例如，比较函数f(x) = x^2 和g(x) = x + 2 在区间[0,2] 上的大小关系：
1.确定定义域。

函数f(x) 和g(x) 的定义域都是[0,2]。

2.确定单调性。

函数f(x) 在区间[0,2] 上单调递增，而函数g(x)
在区间[0,2] 上单调递减。

3.比较自变量的大小。

在区间[0,2] 上，自变量x 的取值范围是
[0,2]，所以0 < x < 2。

4.根据单调性判断函数值的大小关系。

由于f(x) 在区间[0,2] 上
单调递增，且0 < x < 2，所以f(x) < f(2) = 4；由于g(x) 在区间
[0,2] 上单调递减，且0 < x < 2，所以g(x) > g(2) = 4。

因此，在
区间[0,2] 上，f(x) < g(x)。

函数中大小的比较

一、通过设置障碍培养学生信息技术自学能力小学生对新鲜事物充满好奇、不认输，这一点是可以被我们小学信息技术教师好好利用的。

我们知道，信息技术课是以理论课程为前提，实践操作为根本的学科。

可是现实教学中我们发现小学生们对于实践操作课兴趣十足，对于理论课程却是兴味索然。

这就造成了理论基础薄弱，实践操作起来无从下手的局面。

为了从根本上解决这种不良的现状，特别是促进同学们对理论课程的学习，我故意在每堂实践操作课之前对学生电脑动了“手脚”。

这样，上课之后，同学们就会发现他们的电脑出现了这样那样的故障。

这些故障是五花八门的，诸如：“桌面快捷方式无法打开”、“电脑桌面一片空白”、“电脑音量图标不见了”、“电脑屏幕颠倒”、“网络连接总是自动断开”等。

然后我就要求同学们自己摸索着把这些故障解决掉，看看哪些同学把这些故障解决得又快又好。

通过这样的教学小“手段”，我发现同学们总是乐于去解决老师设置的一个又一个“故障”。

在这个过程中，他们认识到了自己原本不重视理论知识的错误，也锻炼提高了自己的信息技术自学能力。

二、利用帮助系统培养学生信息技术自学能力小学阶段学习的应用程序主要有Word、Excel、Power-point这几种。

这几个应用程序都是有帮助系统的。

对于初学者的小学生们来说，这些帮助系统是图文并茂、易于接受的。

在帮助系统里，开发商系统全面地介绍了本应用程序的入门信息和常见问题的答案，可以帮助小学生们更好、更有效地使用应用程序。

所以，小学信息技术教师要好好引导学生利用每一个应用程序的帮助系统。

在上每一堂信息技术实践操作课之前，老师应该先交代本堂课具体的操作任务。

学生领受任务后开始自己动手操作的过程中往往会遇到一些这样那样的问题，碰到难题时有部分缺乏独立钻研精神的学生会想到询问老师。

这时，如果从更好地培养学生信息技术自学能力出发来考虑，老师是应该“狠”下心来不把正确的操作过程直接告诉学生的。

这是因为任何一种电脑的应用程序的操作其实都是很简单的，学生们通过老师的讲述而非自己的主动探究得来的答案是很容易遗忘的。

函数比较大小的方法

函数比较大小的方法在数学中，比较大小是一个非常常见的操作。

在编程中，我们同样需要比较不同的数据值的大小，以便进行逻辑判断和决策。

下面我将介绍一些常用的比较大小的方法。

1. if语句if语句是最常见也是最基础的比较大小的方法。

在if语句中，我们可以使用比较运算符来比较两个数的大小，并根据比较结果执行不同的代码块。

常用的比较运算符包括大于(>)、小于(<)、等于(==)、大于等于(>=)和小于等于(<=)。

例如，在Python语言中，我们可以使用if语句来比较两个数的大小：a = 5b = 10if a < b:print("a小于b")elif a > b:print("a大于b")else:print("a等于b")上述代码中，首先定义了两个变量a和b，然后使用if语句判断a和b的大小关系，并打印相应的结果。

在这个例子中，由于a小于b，所以输出结果是"a 小于b"。

2. 比较函数除了使用if语句来比较大小，我们还可以使用一些内置的比较函数来完成相同的功能。

比较函数通常返回一个布尔值，表示比较结果的真假。

在Python中，常用的比较函数包括`max()`和`min()`。

`max()`函数用于找出一组数中的最大值，`min()`函数用于找出一组数中的最小值。

这些函数接受多个参数，可以同时比较多个数的大小。

例如，在Python中，我们可以使用`max()`和`min()`函数来比较几个数的大小：a = 5b = 10c = 15max_value = max(a, b, c)min_value = min(a, b, c)print("最大值:", max_value)print("最小值:", min_value)上述代码中，我们定义了三个变量a、b和c，并分别将它们作为参数传递给`max()`和`min()`函数。

函数大小比较问题

一、两幂值比大小的方法：（1）同底数的两幂值比大小时，利用指数函数的单调性可直接比较大小；（2）底、指都不同的两幂值比大小时，可借用中间值间接比较大小，也可利用函数图象的位置关系来比较大小。

例2 ：比较下列各组中各数的大小．（1）0.40.3与0.40.2；（2）-0.75-0.1与-0.750.1(3)（）1/5与()3/4；（4） ()-2/3与 ()-3/2解：（1）考察指数函数y=0.4x,∵0<0.4<1,此函数为减函数，而0.3>0.2,∴0.40.3<0.40.2（2）∵0<0.75<1,-0.1<0.1,∴0.75-0.1>0.750.1,故-0.75-0.1<-0.750.1.另解：分别画出函数y=（）x和y=()x的图象，图象中A点的纵坐标为（）1/5，B点的纵坐标为()3/4，C点的纵坐标为()1/5由于A点高于C点，C点又高于B点，所以（）1/5>()3/4(4)∵()-2/3>()0=1, ()-3/2<()0=1,∴ ()-2/3>()-3/2二、两对数值比大小的方法：（1）同底数的两对数值比大小时，利用对数函数的单调性可直接比较大小；（2）同真数的两对数值比大小时，可换底后比较大小，也可利用同类函数图象的高低比大小；（3）底与真数都不同的两对数值比大小时，可以借用中间值间接比较大小，也可利用函数图象的位置关系来比较大小。

例3：比较下列各组中两个对数值的大小.(1)log0.20.5, log0.20.3; (2) log23, log1.53(3) log59, log68 ; (4) log1/50.3, log20.8 .解：（下面的解答由师生共同完成）（2）考察指数函数y=log0.2x,∵0<0.2<1, 此函数为减函数,而0.5>0.3，∴log0.20.5< log0.20.3（3）log23=, log1.53=,∵lg3>0,lg2>lg1.5>0,∴ log23< log1.53另解：分别画出函数y=log1.5x,y=log2x的图象，x>1以后y=log1.5x的图象在y=log2x的图象的上方。

初中数学精品课件：函数中的大小比较

与△ABC有交点，则k的取值范围为
.
f(1)>1 方程
有两个相等的实数根
1 k 4
拓展提升第二关
如图，线段AB两个端点的坐标分别为(0.5，1) ， (3，1)，若抛物线
y ax2 x 与线段AB有交点，则a的取值范围为
.
当抛物线开口向上时，f(0.5)≤1， f(3)≥1
0a2
当抛物线开口向下时，分两种情况：
九年级数学专题学习之
函数中的大小比较
回忆一道题
若二次函数 y x2 2x c 的值恒大于0，则c的取值范围为 c<1 .
思路一：如图所示，抛物线开口向上，只要抛物线与x轴没有交点，即可符合要求.
因此，只要令 b2 4ac 0即可得到答案.
思路二：如图所示，抛物线开口向上，有最小值，
只要最小值大于0，那么所有的值都会大于0
m<f(2) m>g(2)
1 m2 2
解决几个问题
例2.若抛物线 y x2 2x c与x轴的一个交点在 (2，0)和(3，0)之间，
（不包括端点），则c的取值范围为
.
f(2)<0 f(3)>0
3 m 0
解决几个问题
变1.如图，线段AB两个端点的坐标分别为(-2，3) ， (3，3)，
若直线y=kx-2与线段AB有交点，则k的取值范围为
因此，只要令 4ac b2 0 即可得到答案. 4a
也就是说，当x=1时，y>0即可.我们把当x=m时的函数值记作f(m) 那么当x=1时，y>0就可以记作f(1)>0
解决几个问题
例1.如图，直线l：y=-x+1，点B(2，m)在直线l上，则m= -1 . m=f(2)

微专题抽象函数题型归纳总结

抽象函数常见题型归纳总结抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。

本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题(一)已知的定义域，求的定义域解法：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。

例题1：设函数的定义域为，则（1）函数的定义域为______；（2）函数的定义域为_______解析：（1）由已知有，解得，故的定义域为（2）由已知，得，解得，故的定义域为(二)已知的定义域，求的定义域。

解法：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。

例题2：函数的定义域为，则的定义域为_____。

解析：由，得，所以，故填(三)已知的定义域，求的定义域。

解法：先由定义域求定义域，再由定义域求得定义域。

例题3：函数定义域是，则的定义域是_______解析：先求的定义域，的定义域是，，即的定义域是再求的定义域，，的定义域是(四) 运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。

例题4：函数的定义域是，求的定义域。

解析：由已知，有，即函数的定义域由确定函数的定义域是【巩固1】已知函数的定义域是［1，2］，求f (x )的定义域。

解析：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足从而函数f (x )的定义域是［1，4］【巩固2】已知函数的定义域是，求函数的定义域。

解析：的定义域是，意思是凡被f 作用的对象都在中，由此可得所以函数的定义域是【巩固3】f x ()定义域为(0)，1，则y f x a f x a a =++-≤()()(||)12定义域是__。

解析：因为x a +及x a -均相当于f x ()中的x ，所以010111<+<<-<⎧⎨⎩⇒-<<-<<+⎧⎨⎩x a x a a x aa x a (1)当-≤≤120a 时，则x a a ∈-+()，1; (2)当012<≤a 时，则x a a ∈-()，1 一、解析式问题1. 换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

高考数学函数比较大小方法介绍与解题方法

函数1.比较大小【高考真题】1．（2022·新高考全国I 卷）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（）A ．a b c <-，因为1()111x f x x x'=-=-++，当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增，所以1()(0)09f f <=，所以101ln 099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1()(0)010f f -<=，所以91ln +01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11x xx g x x x x -+'=+=--, 令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当021x <<-时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，当211x -<<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增，又(0)0h =，所以当021x <<-时，()0h x <，所以当021x <<-时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增，所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c > 故选：C. 方法二：比较法解： 0.10.1a e = ， 0.110.1b =- ， ln(10.1)c =-- ， ① ln ln 0.1ln(10.1)a b -=+- ，令 ()ln(1),(0,0.1],f x x x x =+-∈ 则 1()1011x f x x x-'=-=<-- ，故 ()f x 在 (0,0.1] 上单调递减，可得 (0.1)(0)0f f <= ，即 ln ln 0a b -< ，所以 a b < ； ① 0.10.1ln(10.1)a c e -=+- ，令 ()ln(1),(0,0.1],x g x xe x x =+-∈则 ()()()1111'11x xxx x e g x xe e x x+--=+-=-- ，令 ()(1)(1)1x k x x x e =+-- ，所以 2()(12)0x k x x x e '=--> ，所以 ()k x 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 ()(0)0k x k >> ，即 ()0g x '> ，所以 ()g x 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 (0.1)(0)0g g >= ，即 0a c -> ，所以 .a c > 故 .c a b <<2．（2021·新高考全国II 卷）已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（） A ．c b a <> B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >>【答案】A【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】［方法一］：（指对数函数性质）由910m=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=.又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >，所以8log 989890m b =-<-=.综上，0a b >>. ［方法二］：【最优解】（构造函数）由910m =，可得9log 10(1,1.5)m =∈．根据,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =--> ，则1()1m f x mx -'=-，令()0f x '=，解得110m x m -= ，由9log 10(1,1.5)m =∈ 知0(0,1)x ∈ .()f x 在 (1,)+∞ 上单调递增，所以(10)(8)f f > ，即 a b > ，又因为9log 10(9)9100f =-= ，所以0a b >> .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =-->，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．4．（2022·全国甲卷理数）已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（） A ．c b a >> B ．b a c >> C ．a b c >> D ．a c b >>【答案】A 【分析】由14tan 4c b =结合三角函数的性质可得c b >;构造函数()()21cos 1,0,2f x x x x ∞=+-∈+,利用导数可得b a >,即可得解.【详解】[方法一]：构造函数因为当π0,,tan 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭故14tan 14c b =>，故1cb >，所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞， ()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，故1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以131cos 0432->，所以b a >，所以c b a >>，故选A[方法二]：不等式放缩因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，取18x得：2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，故b a > 1114sin cos 17sin 444ϕ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且14sin ,cos 1717ϕϕ==当114sin cos 1744+=时，142πϕ+=，及124πϕ=-此时14sin cos 417ϕ==，11cos sin 417ϕ== 故11cos 417=411sin 4sin 4417<=<，故b c < 所以b a >，所以c b a >>，故选A [方法三]：泰勒展开设0.25x =，则2310.251322a ==-，2410.250.25cos 1424!b =≈-+， 241sin10.250.2544sin1143!5!4c ==≈-+，计算得c b a >>，故选A. [方法四]：构造函数因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1cb >，所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->，所以b a >,所以c b a >>，故选：A ．[方法五]：【最优解】不等式放缩因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1cb >，所以c b >；因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，取18x得2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，故b a >，所以c b a >>．故选：A ．【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭放缩，即可得出大小关系，属于最优解．5．（2021·全国乙卷理数）设2ln1.01a =，ln1.02b =， 1.041c =．则（） A ．a b c << B ．b<c<a C ．b a c << D ．c<a<b【答案】B【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a ,b 的大小作出判定，对于a 与c ，b 与c 的大小关系，将0.01换成x ,分别构造函数()()2ln 1141f x x x =+-++,()()ln 12141g x x x =+-++，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f (0)=0,g (0)=0即可得出a 与c ，b 与c 的大小关系. 【详解】[方法一]：2ln1.01a =2ln1.01=()2ln 10.01=+()2ln 120.010.01=+⨯+ln1.02b >=，所以b a <；下面比较c 与,a b 的大小关系.记()()2ln 1141f x x x =+-++，则()00f =，()()()214122114114x x f x x x x x +--=-+'=+++，由于()()2214122x x x x x x +-+=-=-所以当0<x <2时，()21410x x +-+>，即()141x x +>+，0fx ，所以()f x 在[]0,2上单调递增，所以()()0.0100f f >=，即2ln1.01 1.041>-，即a c >；令()()ln 12141g x x x =+-++，则()00g =，()()()21412221214114x x g x x x x x +--=-=++++'，由于()2214124x x x +-+=-，在x >0时，()214120x x +-+<，所以()0g x '<，即函数()g x 在[0，+∞)上单调递减，所以()()0.0100g g <=，即ln1.02 1.041<-，即b <c ；综上，b<c<a ，故选：B. [方法二]：令()21ln 1(1)2x f x x x ⎛⎫+=--> ⎪⎝⎭()()221-01x f x x =+'-<，即函数()f x 在（1，+∞)上单调递减()()10.0410,ff b c +<=∴<令()232ln 1(13)4x g x x x ⎛⎫+=-+<< ⎪⎝⎭()()()21303x x g x x --+'=>，即函数()g x 在（1，3)上单调递增()()10.0410,gg a c +=∴综上，b<c<a ，故选：B.【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.6．（2020·全国I 卷理数）若242log 42log a ba b +=+，则（）A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <【答案】B【分析】设2()2log x f x x =+，利用作差法结合()f x 的单调性即可得到答案.【详解】设2()2log x f x x =+，则()f x 为增函数，因为22422log 42log 2log a b ba b b +=+=+所以()(2)f a f b -=2222log (2log 2)a b a b +-+=22222log (2log 2)b bb b +-+21log 102==-<，所以()(2)f a f b <，所以2a b <.2()()f a f b -=22222log (2log )a b a b +-+=222222log (2log )b b b b +-+=22222log b b b --，当1b =时，2()()20f a f b -=>，此时2()()f a f b >，有2a b >当2b =时，2()()10f a f b -=-<，此时2()()f a f b <，有2a b <，所以C 、D 错误. 故选：B.【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.7．（2020·全国II 卷文/理数）若2233x y x y ---<-，则（） A ．ln(1)0y x -+> B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<【答案】A【分析】将不等式变为2323x x y y ---<-，根据()23t tf t -=-的单调性知x y <，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23t tf t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.8．（2020·全国III 卷文数）设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则（） A ．a c b <==，所以a c b <<. 故选：A.【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.9．（2020·全国III 卷理数）已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（） A ．a ，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<；由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <；由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >.综上所述，a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.10．（2019·全国I 卷文理数）已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则（）A ．a b c <=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 11．（2019·全国II 卷理数）若a >b ，则（） A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │【答案】C【分析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3x y =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错．【详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．【基础知识】1．作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a 0，b >0，且ab >1⇒a >b ；a >0，b >0，且ab <1⇒a <ba 2>b 2且a >0，b >0⇒a >b应用范围同号两数比较大小或指数式之间比较大小要比较的两数(式)中有根号步骤①作商②变形③判断商值与1的大小①乘方②用作差比较法或作商比较法④下结论3．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y＝x y＝x2y＝x3y＝12x y＝x－1图象性质定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)4．指数函数及其性质(1)概念：函数y＝a x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数5．对数函数的图象与性质y ＝log a xa >10<a <1图象定义域 (0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数【题型方法】一、作法法1．若0,10a b <-<<，则下列不等关系正确的是（） A ．2ab ab a >> B ．2ab ab a >> C ．2ab a ab >> D ．2a ab ab >>【答案】A【分析】利用作差法比较即可得到答案.【详解】因为0,10a b <-<<，所以0ab >，10b ->，10b -<，10+>b所以()210ab ab ab b -=->，即2ab ab >，()()()221110ab a a b a b b -=-=+->，所以2ab ab a >>. 故选：A2．（多选）已知a b >，则下列不等式正确的是（） A ．22a b > B ．11a b> C ．22ac bc ≥ D ．22a b c c > 【答案】CD【分析】由作差法可逐项判断.【详解】对A ，()()22a b a b a b -=+-，无法确定a b +的正负，故A 项错误；对B ，11b aa b ab--=，无法确定ab 的正负，故B 项错误；对C ，()2220ac bc a b c -=-≥，所以C 项正确；对D ，2220a b a bc c c--=>，所以D 项正确. 故选：CD3．（多选）已知实数a 、b 、c 满足23121a b c ==>，则下列说法正确的有（） A ．20a b -> B ．20b c -> C ．211a b c+=D ．322a bc+≥+ 【答案】BCD【分析】令23121a b c k ===>，则2log a k =，3log b k =，12log c k =，利用作差法可判断AB 选项；利用换底公式可判断C 选项；利用换底公式结合基本不等式可判断D 选项.【详解】令23121a b c k ===>，则2log a k =，3log b k =，12log c k =且0a >，0b >，0c >．对于A ，()2323lg 3lg 2lg lg lg 2log 2log log log 0lg 2lg 3lg 2lg 3k k k a b k k k k --=-=-=-=<⋅，所以A 错误：对于B ，()312323lg lg 23lg 3lg lg 2log 2log log log 0lg 3lg 23lg 3lg 23k k kb c k k k k --=-=-=-=>⋅，即20b c ->，所以B 正确；对于C ，2112log 2log 3log 12k k k a b c +=+==，所以C 正确：对于D ：()()2223232312log log log 12log 12log 32log 32log k ka b c k++==+=⨯+⨯ 23233log 32log 232log 32log 2322=++>+⨯=+，所以D 正确．故选：BCD.二、作商法1．设()121p a a -=++，21q a a =-+，则（）．A ．p q >B ．p q <C ．p q ≥D ．p q ≤【答案】D【分析】首先配方判断p 、q 均大于零，然后作商即可比较大小. 【详解】()1222110132411p a a a a a -==>⎛⎫++⎪⎭+⎝=+++， 22131024q a a a ⎛⎫=-+=-+> ⎪⎝⎭，则()()()222121111a a a a a a a q a p --+-++++=+= ()()222222111a a a a =+-=++≥.故p q ≤，当且仅当0a =时，取等号，故选：D【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题. 2．若实数m ，n ，p 满足354m e =，235n e =，218p e =，则（） A ．p m n <，①m p >； ①p m n <<．故选：A ．【点睛】本题主要考查作商法比较大小，属于基础题型. 3．已知41291log ,log ,0.90.8204p m n ===，则正数,,m n p 的大小关系为（） A ．p m n >> B ．m n p >> C ．m p n >> D ．p n m >>【答案】A【分析】根据对数式与指数式之间的互化，以及作商法比较大小，即可比较,m n 的大小，由对数函数的单调性以及中间值法即可比较三者的大小. 【详解】由49log 20m =，得992010422m ==<，由121log 4n =，得1412,n =91111199942020202020201155555420444442561123432431212m n ⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫======> ⎪⎪ ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此，即2m n >>；由0.90.8p =，得0.90.9log 0.8log 0.812p =>=，于是p m n >>，所以正数,,m n p 的大小关系为p m n >>. 故选:A.三、单调性法1．下列比较大小中正确的是（）A ．0.50.53223⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．112335--⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．3377( 2.1)( 2.2)--<- D ．44331123⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【分析】利用函数的单调性进行判断即可.【详解】解：对于A 选项，因为0.5y x =在[0,)+∞上单调递增，所以0.50.523()()32<，故A 错误，对于B 选项，因为1y x -=在(,0)-∞上单调递减，所以1123()()35--->-，故B 错误，对于C 选项，37y x =为奇函数，且在[0,)+∞上单调递增，所以37y x =在(,0)-∞上单调递增，因为333777115( 2.2)511--⎭==⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎝⎭，又()337752.111⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，所以3377( 2.1)( 2.2)--<-，故C 正确，对于D 选项，43y x =在[0,)+∞上是递增函数，又443311()()22-=，所以443311()()23>，所以443311()()23->，故D 错误.故选：C.2．已知函数()e e x x f x -=-，则0.60.60.4(0.4),(0.6),(0.4)a f b f c f ===的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c<a<bD ．a c b <<【答案】D【分析】利用幂函数的性质比较0.60.20.60.216=、0.40.20.40.16=、0.40.4大小，再由()f x 单调性比较a 、b 、c 大小. 【详解】由0.630.20.20.6(0.6)0.216==，0.420.20.20.4(0.4)0.16==，即0.20.20.160.216<，所以0.40.60.40.6<，又0.60.40.40.4<，所以0.60.40.60.40.40.6<<，而()e e x x f x -=-递增，故0.60.40.6(0.4)(0.4)(0.6)a f c f b f =<=<= 故选：D3．已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin (sin )a αα=，sin (cos )b αα=，cos (sin )c αα=，则（）A ．c b a <,sin sin (sin )(cos )αααα<；a c ∴>，ab <,即c<a>B ．312y y y >>C ．132y y y >>D ．321y y y >>【答案】D【分析】通过观察三个数的特征可知，很难化成同底形式，所以可通过构造幂函数0.6y x =，利用其单调性即可比较得出结果.【详解】由题意可知，()0.61.220.611111121y ===，()()1.40.61.43 4.270.628222128y =====，因为0.6y x =在()0,∞+上是增函数，130128121>>，所以321y y y >>.故选：D.5．已知235log log log 0x y z ==<，则2x、y 、5z 的大小排序为（）A ．235x y z<< B ．325y x z<< C ．523z x y<< D ．532z y x<< 【答案】A【分析】首先设235log log log x y z k ===，利用指对互化，表示2x，3y ，5z ，再利用对数函数的单调性判断大小.【详解】x y z ，，为正实数，且235log log log 0===<x y z k ，111235235k k k x y z ---∴===，，，可得：1112352131,51k k kx y z ---=>=>=>，．即10k -> ，因为函数1k f x x -=（）单调递增，①235x y z<<. 故选：A.6．已知e 是自然对数的底数，451e a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，15b =，5ln 6c =-，则（） A ．c b a <>=⎪⎝， 56lnln 65c =-=， 151ln e 5b ==，因为56e 2.488325⎛⎫>= ⎪⎝⎭，所以156e 5>，所以156ln e ln5>，即b c >，所以c b a <<. 故选：A.四、中间量法1．已知lg9a =，0.12b =，1ln 3c =，则（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c b a >>【答案】C【分析】通过中间值，将三个数与0和1进行比较即可判断大小关系. 【详解】因为0lg1lg9lg101=<<=，所以()0,1a ∈，因为0.10122>=，()1,b ∈+∞，因为1ln ln103<=，(),0c ∈-∞，综上所述得b a c >>．故选：C2．若sin 4a =，5log 3b =，lg 6c =，0.01e d =，则（）． A ．a b c d <<，50log 31,0lg 61b c <=<<=<，只需比较,b c 的大小，而 ()()5lg31lg 2lg 2lg3lg3lg3lg5lg 6log 3lg 6lg 6lg5lg5lg5--+-⋅-=-==()lg 21lg 60,lg5b c ⋅-+=<∴<，综上a b c d <<<.故选：A【点睛】指对数比较大小时，一般采用介值法，通过分别和0,1比较大小判断，当遇到同一范围内的数时，可以通过作差或者作商的办法比较两数大小关系.3．若正实数a ，b ，c 满足0.1e a =0.51log 5b =，2314c =，则（）A ．a a c b >B ．log log c b a a <C ．log log a b b c >D ．11a c c b --<【答案】D【分析】根据指数函数和对数函数的计算，利用中间量法进行估算，即可得解. 【详解】①0.10ee 1a =>=．①1a >，①0.50.50.51log 10log 1log 0.55b =<=<=， ①0.51b <<，①2314c =，①18c =，①00.41c b a <<<<<，①a a c b <，log log c b a a >，log 0log a b b c <<，①A ，B ，C 项错误； ①10a ->，10c -<，①1101a c c b --<<<，D 项正确．故选：D ．五、导数法1．已知1162411e sin ,e ,e sin 224a b c ππ---===，则（）A ．b c a >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】A【分析】由所给数据可构造函数()e sin()e sin x x f x x x =-=-，利用导数判断函数单调性可比较,a c ，再由不等式性质可比较,a b ，利用作商法比较,b c 大小.【详解】设()e sin()e sin x x f x x x =-=-，则()πe sin e cos 2e sin 4x x xf x x x x ⎛⎫=--=-+ ⎝'⎪⎭，当3ππ44x -≤≤时，()0f x '≤，所以函数在π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，1π24->-，1π()()24f f ∴-<-，即a c <， 1162110ee ,0sin 22--<<<<，116211e sin e 22--∴<，即a b <，11163π261212π4e e e 16422eb c -⨯--⎛⎫⎛⎫==>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，b c ∴>，综上，b c a >>. 故选：A2．设0.33e a -=，0.6e b =， 1.6c =，则（） A ．a b c <+，令0.3x =，可以判断出 1.6c =最小；利用作商法比较出b a <，即可得到答案.【详解】设()e 1xf x x =--.因为()e 1xf x '=-，所以当0x <时，()0f x '<，()f x 在(),0∞-上单调递减，当0x >时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+上单调递增，所以当x ∈R ，且0x ≠时，()()00f x f >=，即e 1x x >+．所以()0.33e30.31 2.1a --+>=⨯=，0.6e 0.61 1.6b =>+=，所以 1.6c =最小，又因为0.60.90.3e e e13e 33b a -==<<，所以b a <．综上可知，c b a <<．故选：B3．已知e ππe e ,π,2a b c ===，则这三个数的大小关系为（）A ．c b a <，利用导数法研究单调性，并利用单调性可比较,a b ，在同一坐标系中作出()2xy =与y x =的图象，结合图象与幂函数的性质可比较,b c ，即可求解【详解】令()()ln ,0xf x x x =>，则()()21ln ,0x f x x x -'=>，由0fx，解得0e x <<，由()0f x '<，解得e x >，所以()()ln ,0xf x x x=>在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减；因为πe >，所以()()πe f f <，即ln πln eπe<，所以eln ππlne <，所以e πln πln e <，又ln y x =递增，所以e ππe <，即b a <；()()ee ππ2=2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在同一坐标系中作出()2xy =与y x =的图象，如图：由图象可知在()2,4中恒有()2xx >，又2π4<<，所以()ππ2>，又e y x =在()0,∞+上单调递增，且()ππ2>所以()()eπe πeπ2=2⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，即b c >；综上可知：c b a <<，故选：A六、特殊值法1．若()2021202120222022,x y x yx y R --->-∈，则（）A ．33x y >B ．ln ln x y >C ．11x y< D ．221111x y <++ 【答案】A【分析】构造函数()20212022x xf x -=-，分析函数()f x 的单调性，可得出x y >，再利用函数的单调性以及特殊值法可判断各选项的正误.【详解】构造函数()20212022x x f x -=-，因为函数12021x y =为R 上的增函数，函数22022xy -=为R 上的减函数，故函数()20212022x xf x -=-为R 上的增函数，因为2021202120222022x y x y --->-，则2021202220212022x x y y --->-，即()()f x f y >，则x y >.对于A 选项，函数()3g x x =为R 上的增函数，故33x y >，A 对；对于B 选项，若0y x <<，则ln x 、ln y 均无意义，B 错；对于C 选项，取1x =，1y =-，则11x y>，C 错；对于D 选项，取1x =，1y =-，则221111x y =++，D 错. 故选：A.2．若a b >，则下列选项中正确的是（） A ．()ln 0a b -> B ．33a b < C ．330a b -> D ．a b >【答案】C【分析】对于ABD ，举反例即可排除；对于C ，利用幂函数的单调性即可判断. 【详解】因为a b >，对于A ，令0,1a b ==-，则()ln ln10a b -==，故A 错误；对于B ，令0,1a b ==-，则0111,33333b a -====，即33a b >，故B 错误；对于C ，因为幂函数3y x =在R 上单调递增，故33a b >，即330a b ->，故C 正确；对于D ，令0,1a b ==-，则01a b =<=，故D 错误. 故选：C.3．若0a b >>，则下列不等式恒成立的是（） A ．35a b D ．tan tan a b >【答案】C【分析】取特殊值可判断ABD ，利用幂函数12y x x ==的单调性可判断C 【详解】选项A ，令4,2a b ==，则381525a b =>=，故A 错误；选项B ，令2,1a b ==，则1213log log 21log log 10b a a b ++==>==，故B 错误；选项C ，由于幂函数12y x x ==在(0,)+∞单调递增，0a b >>，故a b >恒成立，故C 正确；选项D ，令,4a b ππ==，则tan 0tan 1a b =<=，故D 错误故选：C【高考必刷】1．设,R a b ∈且0ab ≠，若a b <，则下列不等式成立的是（） A ．22a b ，故A 错误；对于B ，若a b <，则0b a ->，所以()22ab a b ab b a -=-，又0ab ≠，则()ab b a -的正负不能确定，即2ab 与2a b 的大小不确定，故B 错误；对于C ，若a b <且0ab ≠，，则0a b -<，所以2222110a bab a b a b --=<，即2211ab a b <，故C 正确；对于D ，若a b <且0ab ≠，则0b a ->，所以ab 与b a +正负不能确定，则()()22b a b a b a b a a b ab ab-+--==的符号不能确定，故b a与ab 的大小不确定，故D 错误.故选：C.2．若0c b a >>>，则（） A ．b c c b a b a b > B ．2ln ln ln b a c <+ C ．cc a b ab->- D ．log log a b c c >【答案】A【分析】利用不等式的基本性质，并对选项化简，转化，判断对错即可.【详解】解：选项A 中，由于1b cb c b c c b c b a b a a b a b b ---⎛⎫==> ⎪⎝⎭，所以b c c b a b a b >成立；故A 正确；选项B 中，22ln ln b b =，ln ln ln a c ac +=，2b 与ac 大小不能确定，故B 错误；选项C 中，由于()10c c c a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫---=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；选项D 中，令1c =，则log log 0a b c c ==，故D 错误. 故选：A.【点睛】本题考查不等式的基本性质，考查转化能力，属于基础题. 3．已知421333111,,2325a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <>D ．b<c<a【答案】B【分析】由已知，根据题意给出的式子，先进行化简，得到222333111,,435a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，然后根据幂函数23y x =的单调性，即可做出判断.【详解】由已知，421333111,,2325a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简222333111,,435a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为幂函数23y x =在()0,+∞上单调递增，而15<14<13，所以222333111543<<⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：B.4．设0.60.4a =，0.80.6b =，0.40.8c =，则（） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．b a c >>【答案】B【分析】先由指数运算得出555c a b >>，再由幂函数的单调性得出大小关系.【详解】因为5354520.40.064,0.1296,0.640.60.8a b c ======，所以555c a b >>，又函数5y x =在()0,∞+上单调递增，所以c b a >>. 故选：B5．三个数33342233,,224a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭之间的大小关系是（）A ．a c b <，利用函数的单调性比较大小.【详解】332432624a ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3322322,44b c ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 设32(),(0)f x x x =>，此函数在定义域内是单调递增的， ①22326444<<①22326()()()444f f f << ①c b a <<. 故选：C.6．下列比较大小正确的是（） A 12433332π--->> B ．12433332π--->> C ．12433332π--->> D ．21433323π--->>【答案】C【分析】根据指数幂的运算法则及幂函数的性质判断即可. 【详解】解：因为()2242333πππ---⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，()213333--=又23y x -=在()0,∞+上单调递减，23π>>，所以()22233323π---<<，所以12433332π--->>. 故选：C7．对于任意的,a b ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（）A ．1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．20232023log log a b >C ．11a b <D ．20232023a b >【答案】D【分析】根据指数函数、对数函数、反比例函数和幂函数的定义域和单调性依次判断各个选项即可. 【详解】对于A ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，1122ab⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 错误；对于B ，当0b a <<时，原式无意义，B 错误；对于C ，当0a b >>时，11a b>，C 错误；对于D ，2023y x =在R 上单调递增，20232023a b ∴>，D 正确.故选：D.8．已知 5.10.9m =，0.8log 5.1n =， 5.10.8p =，则m 、n 、p 的大小关系为（） A ．p ＜n ＜m B ．n ＜p ＜m C ．m ＜n ＜p D ．n ＜m ＜p【答案】B【分析】根据幂函数 5.1y x =，对数函数0.8log y x =的单调性判定即可. 【详解】由于幂函数 5.1y x =在[0,)+∞单调递增，故 5.1 5.10.90.8m p =>=，又1 5.15.000.8p >==， 5.1 5.1110.9m =>=， ①0＜p ＜m ＜1，由对数函数0.8log y x =在(0,)+∞单调递减，故0.80.8log 5.1log 10n =<=，①n ＜p ＜m ．故选：B9．若实数a ，b 满足01a b <<<，则下列式子正确的是（） A ．b b a b -->. 因为幂函数b y x =在()0,∞+上为增函数，所以b b a b -->，A 错；对B ，因为幂函数a y x =在()0,∞+上为增函数，所以a a a b <成立，B 对；对C ，因为1a aaa -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1aa b b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，且幂函数a y x =在()0,∞+上为增函数，所以a a a b -->，C 错；对D ，因为幂函数b y x =在()0,∞+上为增函数，所以b b b a >，D 错；故选：B.10．设,a b R ∈，若a b >，则下列不等式不恒成立的是（） A ．11a b +>+ B ．22a b > C ．33a b > D ．sin 4sin 4a b >【答案】D【分析】根据不等式的性质可判断A;根据指数函数2,R x y x =∈的单调性判断B;根据幂函数3,R y x x =∈的单调性判断C ，可举特例说明D 中不等式不恒成立，即可得答案.【详解】对于A,由于a b >，根据不等式性质可知11a b +>+恒成立；对于B,由于函数2,R x y x =∈是单调增函数，故若a b >，则22a b >恒成立；对于C ，由于函数3,R y x x =∈是单调增函数，故若a b >，则33a b >恒成立；对于D ，不妨取ππ,=2a b = ，则sin 4sin 40a b ==，即a b >时，sin 4sin 4a b >不恒成立，故选：D11．设0.83a =，0.8b π=，e13c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c<a>，则有0.80.80.8311π>>=，指数函数1()3x y =在R 上单调递减，而e 0>，于是得e 011()()133<=，从而有e 0.80.81()133π<<<，所以c<a<b . 故选：A12．已知定义在R 上的幂函数()mf x x =（m 为实数）过点(2,8)A ，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，()c f m =，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a b c <>，即得解. 【详解】由题得3382,22,3,()m m m f x x =∴=∴=∴=. 函数3()f x x =是R 上的增函数.因为0.50.5log 3log 10<=，220log 5log 83m <<==，所以20.5log 5log 3m >>，所以20.5()(log 5)(log 3)f m f f >>，所以a b c <<. 故选：A【点睛】方法点睛：比较对数式的大小，一般先利用对数函数的图象和性质比较每个式子和零的大小分成正负两个集合，再利用对数函数的图象和性质比较同类数的大小. 13．已知幂函数()()2242(1)mm f x m x m R -+=-∈，在()0,∞+上单调递增.设5log 4a =，15log 3b =，0.20.5c -=，则()f a ，f b ，()f c 的大小关系是（）A ．()()()f b f a c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f a f b f c <<【答案】A【分析】根据幂函数的概念以及幂函数的单调性求出m ，在根据指数函数与对数函数的单调性得到b a c -<<，根据幂函数的单调性得到()()()f b f a f c -<<，再结合偶函数可得答案. 【详解】根据幂函数的定义可得2(1)1m -=，解得0m =或2m =，当0m =时，2()f x x =，此时满足()f x 在()0,∞+上单调递增，当2m =时，2()f x x -=，此时()f x 在()0,∞+上单调递减，不合题意. 所以2()f x x =.因为5log 4(0,1)a =∈，0.200.50.51c -=>=，155log 3log 3(0,1)b -=-=∈，且a b >-，所以b a c -<<，因为()f x 在()0,∞+上单调递增，所以()()()f b f a f c -<<，又因为2()f x x =为偶函数，所以()()f b f b -=，所以()()()f b f a c <<. 故选：A【点睛】关键点点睛：掌握幂函数的概念和性质、指数函数与对数函数的单调性是解题关键. 14．设a ，R b ∈，且a b >，则（） A ．33a b > B ．22a b > C ．||||a b > D ．1>a b【答案】A【分析】对于选项A,B,C,利用函数的单调性分析得解，对于选项D 可以利用作差法判断. 【详解】由于函数3()f x x =在R 上为增函数，由a b >得33a b >，故选A . 由于函数2yx 在定义域内不单调，所以a b >不能得到22a b >，故选项B 错误；由于函数||y x =在定义域内不单调，所以a b >不能得到||||a b >，故选项C 错误； 1a a b b b--=符号不确定，所以选项D 错误. 故选：A。

比较函数值的大小

O
A (-3,m), B (-1,n),
x
三线四区的类比运用（两线三区）
例:如图，抛物线y1=ax2+bx+c和直线 y2=x+f ① 相交于A(3,m),B(-1,n) ② ③ y X<-1 X>3 -1<X<3 当x取何值时，y1= y2 A (3,m) 当x取何值时，y1< y2 B (-1,n) 当x取何值时， y1> y2
③
④
0<X<3 -2<X<0 X>3
A (-2,m),
O
B (3,n),
x
归纳：从左向右，一、三区相同；二、四区相同,且二、四区与一、三区相反
三线四区的拓展运用
例:如图，双曲线y1=e/x和直线 y2=-x+f相交于 A(-3,m),B(-1,n) y 当x取何值时，y1= y2 ① ② ③ ④ X<-3 -1<X<0 当x取何值时，y1< y2 -3<X<-1 X>0 当x取何值时， y1> y2
y=-x+m上，试比较y1和y2的大小. 例2：点A（-3，y1）、B（-5，y2）均在双曲线y=3/x上，试比较y1和y2的大小. 例3：点A（-3，y1）、B（-5，y2）均在抛物线y=-x2+2x+3上，试比较y1和y2的大小.
பைடு நூலகம்
一、同一函数中比较函数值的大小
方法2：运用正负性比大小：例:点A（-3，y1）、B（1，y2）均在双曲线 y=-3/x 上，试比较y1和y2的大小. 方法3：运用距离比大小：例:点A(-3，y1)、B(2，y2)、C(6，y3)均在抛物线 y=-x2+2x+3上，试比较y1、y2和y3的大小.

点击近几年中考中比较函数值大小问题

点击近几年中考中比较函数值大小问题
比较函数值大小是中考考试中常见的一种考题，它涉及到函数的概念，考生需要熟悉函数概念，熟悉比较函数值大小的方法，以便在考试中正确解答比较函数值大小的问题。

其次，考生需要熟悉比较函数值大小的方法。

比较函数值大小的方法主要有三种：比较函数值的绝对值大小、比较函数在某一点处的值大小、比较函数的导数大小。

首先，如果函数的定义域和值域都是实数，那么可以直接比较函数的绝对值大小；其次，如果函数的定义域和值域都是实数，而且函数在某一点上有定义，那么可以比较函数在该点处的值大小；最后，如果函数的定义域和值域都是实数，而且函数在某一点处有导数，那么可以比较函数的导数大小。

最后，考生需要加强对函数概念及比较函数值大小方法的练，以便在中考考试中正确解答比较函数值大小的问题。

正确使用比较函数值大小的方法，能够帮助考生正确求解函数的值，进而提高中考的成绩。

因此，考生在准备中考考试时，一定要加强对比较函数值大小的知识掌握，并多加练，以便在考试中取得优异的成绩。

【备战2014】高考数学-高频考点归类分析-函数值和大小比较(真题为例)

函数值和大小比较问题典型例题：例1. （2012年全国大纲卷理5分）已知125=ln =log 2=x y z eπ-，，，则【】A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x 【答案】D 。

【考点】对数、指数的比较大小的运用。

【解析】采用中间值大小比较方法：∵=ln ln =1x >e π，551=log 2log 5=2y <，12111===24z e >e -，121==1z e <e-， ∴y <z <x 。

故选D 。

例2. （2012年天津市文5分）已知0.21.251222log 2a b c -⎛⎫⎪⎝⎭===，，，则a b c ，，的大小关系为【】（A ）c <b <a （B ）c <a <b （C ）b <a <c （D ）b <c <a 【答案】A 。

【考点】指数函数、对数函数的性质。

【分析】∵0.20.2 1.21()222b -==<，∴ a b <<1。

又∵14log 2log 2log 25255<===c ，∴a b c <<，故选A 。

例3. （2012年安徽省理5分）下列函数中，不满足：(2)2()f x f x =的是【】()A ()f x x = ()B ()f x x x =- ()C ()f x x =+1 ()D ()f x x =-【答案】C 。

【考点】求函数值。

【解析】分别求出各函数的(2)f x 值，与2()f x 比较，即可得出结果： ()A 对于()f x x =有(2)=2=2=2()f x x x f x ，结论成立；()B 对于()f x x x =-有()(2)22=22=2=2()f x x x x x x x f x =---，结论成立；()C 对于()f x x =+1有() ()f x x f x x 2=2+12=2+2，，∴(2)2()f x f x ≠，结论不成立；()D 对于()f x x =-有()()f x x f x 2=-22=，结论成立。

九年级数学函数中变量值的大小比较

九年级数学函数中变量值的大小比较(针对一次函数、反比例函数、二次函数)例已知点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)．(1)若这3个点都在一次函数y ＝2x ＋5的图象上，且x 1＜x 2＜x 3，则y 1、y 2、y 3的大小关系是( )A. y 1＜y 3＜y 2B. y 1＜y 2＜y 3C. y 3＜y 2＜y 1D. y 2＜y 1＜y 3(2)若这3个点都在一次函数y ＝－2x ＋5的图象上，且y 3＜y 2＜y 1，则x 1、x 2、x 3的大小关系是( )A. x 1＜x 3＜x 2B. x 1＜x 2＜x 3C. x 3＜x 2＜x 1D. x 2＜x 1＜x 3(3)若这3个点都在反比例函数y ＝2x的图象上，且x 1＜0＜x 2＜x 3，则下列式子正确的是( ) A. y 1＜y 2＜0＜y 3 B. y 2＜y 1＜0＜y 3C. y 1＜y 2＜y 3＜0D. y 1＜0＜y 3＜y 2(4)若这3个点都在反比例函数y ＝－2x的图象上，且y 1＜y 2＜0＜y 3，则下列式子正确的是( ) A. x 1＜x 2＜0＜x 3 B. x 2＜x 1＜x 3＜0C. x 3＜0＜x 1＜x 2D. x 3＜0＜x 2＜x 1(5)若这3个点都在二次函数y ＝x 2＋2x －3的图象上，且x 1＝－52，x 2＝－32，x 3＝52，则y 1、y 2、y 3的大小关系是( )A. y 1＜y 2＜y 3B. y 3＜y 1＜y 2C. y 2＜y 1＜y 3D. y 2＜y 3＜y 1(6)若这3个点都在二次函数y ＝－ax 2＋2ax ＋3(a >0)的图象上，且x 1＝－32，x 2＝12，x 3＝32，则y 1、y 2、y 3的大小关系是( )A. y 1＜y 2＝y 3B. y 1＝y 3<y 2C. y 3＜y 2＜y 1D. y 2＜y 3＜y 1满分技法对于一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)、反比例函数y ＝k x(k ≠0)或者二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象上各点变量值大小比较问题，要熟练掌握各函数的图象与性质．①一次函数直接利用增减性判断；②反比例函数需要分象限判断：同一象限看增减性，不同象限看变量值与0的大小关系；③二次函数先确定对称轴，再分对称轴同侧和异侧，同侧直接利用增减性判断，异侧可以利用二次函数的对称性转化为同侧判断，或者根据点到对称轴的距离远近判断．温馨提示：还可以利用数形结合，把已知点画在图象上，利用草图判断更直观．参考答案函数中变量值的大小比较例(1)B(2)B(3)D(4)C(5)C(6)A。

两组值大小比较函数

两组值大小比较函数在进行数据处理和计算时，经常会需要比较两组值的大小关系，这时候就需要用到大小比较函数。

本文将围绕“两组值大小比较函数”展开，分步骤介绍常见的大小比较函数。

第一步：了解比较符号在编程中，我们常用的比较符号有大于（>）、小于（<）、等于（==）、大于等于（>=）、小于等于（<=）和不等于（!=）等。

这些符号是基本的判断工具，通常用于比较数值型变量、字符型变量、布尔型变量等。

第二步：比较两个数的大小比较两个数大小时，我们通常使用if语句结合比较符号来实现。

比如，如果要比较两个整数a和b的大小关系，可以使用以下语句：if (a > b) { // a大于b }if (a < b) { // a小于b }if (a == b) { // a等于b }如果要比较两个浮点数a和b的大小关系，又由于计算机在存储浮点数时可能存在精度误差，因此我们通常使用浮点数比较函数。

常用的浮点数比较函数有以下几种：1. fabs函数fabs函数用于求浮点数的绝对值。

我们可以利用fabs函数来比较两个浮点数的大小关系。

例如：if (fabs(a - b) < 1e-6) { //a等于b }if ((a - b) > 1e-6) { // a大于b }if ((b - a) > 1e-6) { // b大于a }2. eps比较法eps比较法是将两个浮点数相减的绝对值与极小值（eps）比较，如果小于eps则认为两个数相等。

例如：double eps = 1e-6;if (fabs(a - b) < eps) { // a等于b }if ((a - b) > eps) { // a大于b }if ((b - a) > eps) { // b大于a }第三步：比较两个字符串的大小在比较两个字符串的大小时，我们通常使用字符串比较函数。

字符串比较函数利用了ASCII码表来比较字符串的大小关系。

专题01-利用函数值解决比较大小问题归类(解析版)

专题01 利用函数值解决比较大小问题归类一、重点题型目录【题型】一、利用指数函数的单调性比较大小【题型】二、利用对数函数的单调性比较大小【题型】三、利用幂函数的单调性比较大小【题型】四、利用三角函数的单调性比较大小【题型】五、作差法比较大小【题型】六、作商法比较大小【题型】七、指数式与对数式互化法比较大小【题型】八、构造函数法比较大小【题型】九、放缩法比较大小【题型】十、中间量法比较大小二、题型讲解总结【题型】一、利用指数函数的单调性比较大小例1．（2023·全国·高三专题练习）已知0.50.60.3,0.3a b ==，122()5c =，则a 、b 、c 的大小关系为（） A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．b ＜a ＜c D ．c ＜b ＜a【答案】C【分析】根据给定条件，利用指数函数、幂函数单调性即可比较大小作答. 【详解】函数0.3x y =是定义域R 上的单调减函数，且0.50.6，则0.50.60.30.3>，即a b >，又函数0.5y x = 在(0,)+∞上单调递增，且20.35<，于是得10.5220.3()5<，即c a >，所以a 、b 、c 的大小关系为b a c <<．故选：C例2．（2023·全国·高三专题练习）已知311434333(),(),,552a b c ---⎛⎫=== ⎪⎝⎭则a ，b ，c 的大小关系是________.【答案】c b a <<或a b c >>【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可【详解】因为35xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是R 上的减函数，且11034-<-<，所以11034333555--⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1a b >>，因为32xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是R 上的增函数，且304-<，所以30433122-⎛⎫⎛⎫<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以1c <，所以c b a <<故答案为：c b a <<或a b c >>【题型】二、利用对数函数的单调性比较大小例2．（2022·广西柳州·模拟预测（理））若35lg 0.3,log 2,log 4a b c ===，则（） A ．c b a >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．a b c >>【答案】A【分析】利用对数的运算及对数函数的性质进行比较大小. 【详解】因为lg0.3lg10<=，所以a<0；因为3355log 2log 10,log 4log 10>=>=，所以0,0b c >>，42211log 5log 5log 2c ===21log 3b =，而22log 3log >所以11b c >，即b c <. 故选：A.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知正数,,x y z 满足3815x y z ==，则下列说法正确的是（） A ．230x y -> B ．230x y -< C ．50x z -> D ．50x z -<【答案】AD【分析】设38151x y z k ===>，可得3log x k =，8log y k =，15log z k =；根据对数运算法则和换底公式可表示出23x y -和5x z -，根据对数函数单调性可确定结果.【详解】,,x y z 为正数，∴可设38151x y z k ===>，则3log x k =，8log y k =，15log z k =；对于AB ，3821232log 3log log lg lg 2x y k k k k ⎛⎫-=-=-=⎪⎭，lg 2>1lg 2>，又lg lg10k >=，230x y ∴->，A 正确，B 错误；对于CD ，31535log 5log log lg x z k k k k k ⎛⎫-=-=-=，5lg 243><lg lg10k >=，50x z ∴-<，C 错误，D 正确.故选：AD.【题型】三、利用幂函数的单调性比较大小例5．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）已知实数()(),,00,m n ∈-∞+∞，且m n <，则下列结论一定正确的是（） A ．5533m n > B ．65m n > C ．22n mm n < D ．142m n n m-->【答案】D【分析】根据幂函数的单调性可判断AD 选项，利用特值法可判断BC 选项. 【详解】因为53y x =为增函数，且m n <，故5533m n <，故A 错误；令1m =，2n =，此时65m n <，故B 错误；令2m =-，1n =，故214n m =，22m n =-，故22n m m n >，故C 错误；因为0n m ->，故n m y x -=在第一象限为增函数，则11424m n n mn m--->=，故D 正确；故选：D.例6．（2022·河南·开封清华中学高三阶段练习（理））122a =，133b =，166c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．a c b >>【答案】C【分析】由幂的运算法则把幂的幂指数化为相同，然后由幂函数的单调性比较大小．【详解】116228a ==，113639b ==，16y x =是增函数，689<<， ∴c<a<b 故选：C ．例7．（2022·北京·北大附中高三开学考试）已知302a =，203b =则a ，b 中较大的数是___________. 【答案】b【分析】利用指数的性质有10108,9a b ==，结合幂函数的单调性即可判断大小关系. 【详解】由101030203892a b =<===，所以a b <，较大的数是b . 故答案为：b .【题型】四、利用三角函数的单调性比较大小例8．（2022·全国·高三专题练习）sin1,sin 2,sin 3按从小到大排列的顺序为（） A ．sin3sin2sin1＜＜ B ．sin3sin1sin2＜＜ C ．sin1sin2sin3＜＜D ．sin2sin1sin3＜＜【答案】B【分析】利用诱导公式化简后，再利用正弦函数的单调性比较即可. 【详解】sin 2sin(π2),sin3sin(π3)=-=-，因为π0π31π22<-<<-<，sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，所以sin(π3)sin1sin(π2)-<<-，所以sin3sin1sin2<<，故选：B例9．（2022·四川·模拟预测（文））设1cos662a =︒︒，22tan131tan 13b ︒=+︒，c =则有（） A ．a b c >> B ．a b c << C ．a c b << D ．b<c<a【答案】C【分析】利用辅助角公式化简a ，利用倍角公式化简,b c ，利用正弦函数的单调性比较大小.【详解】()1cos 66sin 306sin 242a ===︒-︒︒︒︒，2222tan132sin13cos13sin 261tan 13cos 13sin 13b ︒︒︒︒︒==︒︒=++，sin 25c ===︒. 因为函数sin y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，所以a c b <<.故选：C.例10．（2022·全国·高三专题练习）下列不等式中成立的是（） A ．34cos cos 109ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．sin507sin145<C ．3tan tan 57ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．sin4cos4<【答案】ABD【分析】利用三角函数的单调性判断.【详解】解：因为余弦函数cos y x =是偶函数，比较3cos 10π⎛⎫ ⎪⎝⎭与4cos 9π⎛⎫⎪⎝⎭即可，因为3401092πππ<<<，所以34cos cos 109ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即34cos cos 109ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 正确； sin507sin147=，正弦函数sin y x =，在（90，180）上单调递减，且90145147180<<<，所以sin147sin145<，即sin507sin145<，B 正确；因为32752，且tan y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增，所以3tan <tan 75ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误；因为53442ππ<<，则sin4cos40<<，D 正确．故选：ABD例11．（2022·广西·北海市教育教学研究室高一期末）设2sin38cos38a =︒︒，22tan 351tan 35b ︒=-︒，c =） A ．c b a <︒=>︒=-︒，sin 76sin 60a c =︒>︒==，所以c<a C ．ln ln a b b a < D ．ln ln a a b b >【答案】BC【分析】作差法判断选项A ；利用对数函数单调性判断选项B ；利用幂函数指数函数对数函数的单调性去判断选项C ；举反例排除选项D.【详解】选项A ：()()22lg lg lg lg lg lg lg lg log log lg lg lg lg lg lg a b b a b a b a b a b a a b a b a b-+--=-== 由01b a <<<，可得lg lg 0b a <<，则lg lg 0b a >，lg lg 0b a -<，lg lg 0b a +< 则()()lg lg lg lg 0lg lg b a b a a b-+>，则log log a b b a >.判断错误；选项B ：由01a <<，可得log a y x =为(0,)+∞上减函数，又0b a <<，则log log 1a a b a >=.判断正确；选项C ：由01a <<，可知x y a =为R 上减函数，又b a <，则a b a a > 由0a >，可知a y x =为(0,)+∞上增函数，又b a <，则a a b a <，则b a a b >又ln y x =为(0,)+∞上增函数，则ln ln b a a b >，则ln ln a b b a <.判断正确；选项D ：令211e e a b ==，，则01b a <<<，e ln l 111e n e a a =-=，222ln ln 112e e eb b =-=则22122e0e ln eln e a a b b --+==<-，即ln ln a a b b <.判断错误.故选：BC例13．（2023·全国·高三专题练习）已知实数m ，n 满足01n m <<<，则下列结论正确的是（） A ．11n n m m +<+ B ．11m n m n+>+ C ．n m m n > D ．log log m n n m <【答案】AC【分析】利用作差法比较大小，可判断A,B,利用指数函数和幂函数的单调性，可判断C;根据对数函数的单调性，可判断D.【详解】由01n m <<<知，0n m -< ，故110,1(1)1n n n m n n m m m m m m +-+-=<<+++，A 正确；由01n m <<<得0m n ->，110mn -<，所以()11110m n m n m n mn ⎛⎫⎛⎫+-+=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11m n m n+<+，故B 错误；因为指数函数x y m =为单调减函数，故n m m m >，由幂函数m y x = 为单调增函数知m m m n > ，故n m m n >，故C 正确；根据, 01n m <<<对数函数log ,log m n y x y x == 为单调减函数, 故log log 1log log m m n n n m n m >==>，故D 错误，故选：AC【题型】六、作商法比较大小例14．（2023·全国·高三专题练习）下列说法中正确的是（） A ．若20352049x y =，则0x y == B ．若22x x <，则12x <<C ．若定义域为R 的奇函数()f x 在(),0∞-单调递减，且()20f =，则满足0xf x ≤（）的x 的取值范围为][()22∞∞--⋃+，，D ．若25log 3m =，log n =0mn m n <+<【答案】BD【分析】对于A ，令()203520490x yt t ==>，将指数式转化为对数式即可判断；对于B ，作出函数2,2x y y x ==的图像，结合图像即可得判断B ；对于C ，根据函数的奇偶性不等式()0xf x ≤即为0x =或()00x f x <⎧⎨≥⎩或()00x f x >⎧⎨≤⎩，解之即可判断C ；对于D ，分别判断,m n 的符号，再利用作商法比较,m n mn +即可判断D.【详解】解：对于A ，令()203520490x yt t ==>，则20352049log ,log x t y t ==，当且仅当1t =时，0x y ==，当1t ≠时，x y ≠，故A 错误；对于B ，作出函数2,2x y y x ==的图像，又当1x =时，1221=⨯，当2x =时，2222=⨯，所以若22x x <，则12x <<，故B 正确；对于C ，因为()f x 为R 上的奇函数，所以()00f =，因为()f x 在(),0∞-单调递减，所以函数在()0,∞+也单调递减，因为()20f =，所以()()220f f -=-=，则当()(),20,2x ∈-∞-时，()0f x >，当()()2,02,x ∈-+∞时，()0f x <，若()0xf x ≤，则0x =或()00x f x <⎧⎨≥⎩或()00x f x >⎧⎨≤⎩，所以0x =或2x ≤-或2x ≥，所以满足()0xf x ≥的x 的取值范围为[][){}22,0-⋃∞+∞⋃,-，故C 不正确；对于D ，2255log 31l 5og 2m =<=-，225525log 3log 24m m =>==-，所以()2,1m ∈--，221log log 2n ==，22log log 21n =<=，所以1,12n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0m n +<，0mn <，由331128log log 55m n mn m n +=+=+=，因为380log 15<<，所以1m n mn +<，所以m n mn +>，所以0mn m n <+<，故D 正确. 故选：BD.【题型】七、指数式与对数式互化法比较大小例15．（2023·全国·高三专题练习）已知2510a b ==，则（） A ．111a b+>B ．2a b >C ．4ab >D ．4a b +>【答案】BCD【分析】根据指数式与对数式的互化，再利用对数的运算性质及对数大小的比较及不等式的性质即可求解.【详解】252510,log 10,log 10,a ba b ==∴==对于A ，lg lg lg lg log log lg lg lg lg a b +=+=+=+251111112510101010101025log log log log =+===⨯101010102255101，故A 不正确；对于B ，log ,log log log a b ====2255510221010100，342328,216,525,5125====log log log ;log log log a b <<⇒<<<<⇒<<222555816342510012522103，2a b >，故B 正确；对于C ，()()lg lg lg lg lg lg log log log log lg lg lg lg ab ++=⋅=⋅=⋅=++102525251025101015122525log log log log log log =+++⋅=++25252515252252log log ,log log ab >=>=∴>++=22555422102204，故C 正确；对于D ，由B 知，,,a b b a b <<<<∴<<∴<+<311342231422，故D 正确；故选：BCD.【题型】八、构造函数法比较大小例16．（2022·广东·深圳中学高三阶段练习）下列大小关系正确的是（）． A ．2 1.91.92，()f x 递增，而0 1.92e <<<，所以(1.9)(2)f f <，即ln1.9ln 21.92<，2 1.9ln1.9ln 2<，即2 1.91.92<，A 正确；2.9322288.41 2.9<=<=，B 正确；770log 4log 12<<，所以222777777(log 4log 12)(log 48)(log 49)log 4log 121444+⋅<=<=，所以71271log 4log 7log 12<=，C 正确；10102264(2)102410==>，76107823543104=<<，7107710log 4log 417=>，所以77log 40.710>=， 472401=，341217287=<，所以3412124log 7log 713=>，123log 70.754>=，所以712log 4log 70.70.75 1.45+>+=D 错．故选：ABC ．例17．（2022·河南河南·一模（文））已知e ππe e ,π,a b c ===，则这三个数的大小关系为（） A ．c b a <，利用导数法研究单调性，并利用单调性可比较,a b ，在同一坐标系中作出xy =与y x =的图象，结合图象与幂函数的性质可比较,b c ，即可求解【详解】令()()ln ,0xf x x x =>，则()()21ln ,0x f x x x -'=>，由0fx，解得0e x <<，由()0f x '<，解得e x >，所以()()ln ,0xf x x x=>在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减；因为πe >，所以()()πe f f <，即ln πln eπe<，所以eln ππlne <，所以e πln πln e <，又ln y x =递增，所以e ππe <，即b a <；ee ππ=⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在同一坐标系中作出xy =与y x =的图象，如图：由图象可知在()2,4中恒有xx >，又2π4<<，所以ππ>，又e y x =在()0,∞+上单调递增，且ππ>所以eπe πeπ=⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，即b c >；综上可知：c b a <<，故选：A【题型】九、放缩法比较大小例18．（2023·上海·高三专题练习）设0.21e 1,ln1.2,5a b c =-==，则,,a b c 的大小关系为___________.（从小到大顺序排）【答案】b<c<a【分析】方法一：构造函数()e 1x f x x =--和()ln 1g x x x =-+，求导确定单调性，利用单调性即可比较大小.【详解】[方法一]：【最优解】构造函数法记()e 1x f x x =--，则()e 1xf x '=-，当0x >时，()0f x '>，故()f x 在()0+∞，上单调递增，故0.20.2(0.2)(0)e 0.210e 10.2f f >⇒-->⇒->，故a c >，记()ln 1g x x x =-+，则11()1xg x x x-'=-=，当1x >时，()0g x '<，故()g x 在()1+∞，单调递减，故(1.2)(1)0ln1.2 1.210ln1.20.2g g <=⇒-+<⇒<，故b c <，因此a c b >>．故答案为：b<c<a [方法二]：泰勒公式放缩0.2110.210.2a e c =->+-==，由函数切线放缩ln(1)x x +<得()ln 10.20.2b c =+<=，因此a cb >>.故答案为：b<c<a【整体点评】方法一：根据式子特征，构造相关函数，利用其单调性比较出大小关系，是该题的通性通法，也是最优解；方法二：利用泰勒公式以及切线不等式放缩，解法简洁，但是内容超出教材，不是每一个同学可以掌握．【题型】十、中间量法比较大小例19．（2022·天津北辰·高三期中）已知0.12a =，0.3log 0.5b =，0.5log 0.2c =，则（） A ．c b a >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．a c b >>【答案】C【分析】利用指数函数和对数函数的性质，与中间量1，2比较大小即可得到结果．【详解】因为0.10.51222a <=<<，0.30.3log 0.5log 0.31b =<=，0.50.5log 0.2log 0.252c =>=，所以c a b >>．故选：C ．例20．（2022·北京·北大附中高三阶段练习）设ln 2a =，122b =，133c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c << B ．b a c << C ．a c b << D ．c a b <<【答案】A【分析】通过0ln 21<<，所以判断出01a <<；又对122b =，133c =进行化简，得到121628b ==，131639c ==，从而判断出a ，b ，c 的大小关系. 【详解】ln 2a =，而0ln 21<<，所以01a <<；又121628b ==，131639c ==∴令16()f x x =，而函数()f x 在(0,)+∞上递增∴1b c << ∴a b c <<三、题型模拟演练一、单选题1．（2022·山东·济南市历城第二中学高三阶段练习）已知集合{}{}231,340x A x B x x x =≥=-->，则A B =（）A ．{}1x x <-B ．{}04x x <≤C ．{}4x x >D ．{10x x -<≤或}4x >【答案】C【分析】利用指数函数图象可得[)0A =+∞，，根据一元二次不等式可得B =4∞∞（，+)(-,-1)，进而求出A B ⋂.【详解】[)0A =+∞，，B =4（，+)(-，-1)∞∞，A B =4+∞（，）故选：C.2．（2022·云南·高三阶段练习）已知0.11.1a -=，ln3b =，c = ） A ．a b c <= ，所以a c b <<；故选：B.3．（2022·陕西·交大附中高一期中）已知12a ⎛⎫= ⎪⎝⎭4log 8b =，π32c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）． A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．b a c >>【答案】A【分析】根据指数函数单调性及对数的运算性质即得.【详解】因为122a ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，32443log 8log 42b ===，π33122c -⎛⎫⎛⎫=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b c >>. 故选：A.4．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知实数a ，b ，c 满足13440a b +⨯-=1=()()25log 3R a c x x x =+-+∈，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >>D ．a c b >>【分析】对题意进行化简，利用函数的单调性即可判断大小【详解】由13440a b +⨯-=可得034144b a-=<=，所以0b a -<即b a <，1=y =R 上的增函数，可得b c <，因为221113124x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以由()()25log 3R a c x x x =+-+∈可得()255log 3log 10a c x x -=-+>=，所以a c >，故a c b >>．故选：D5．（2022·山东省青岛第九中学高三阶段练习）已知函数 ()3xf x = ，且函数 ()g x 的图像与 ()f x 的图像关于 y x = 对称，函数 ()x ϕ 的图像与 ()g x 的图像关于 x 轴对称，设 12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ， 12b g ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ， 12c ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．b a c <<【答案】D【分析】根据函数图像的对称关系可以得到()g x ，()x ϕ的解析式，代入后跟特殊值0比较可得b 最小，然后构造函数，利用特殊值和函数的单调性比较a ，c 的大小即可.【详解】因为()g x 的图像与()f x 的图像关于y x =对称，所以()3log g x x =，又因为()x ϕ的图像与()g x 关于x 轴对称，所以()3log x x ϕ=-，1210312a f -⎛⎫<=-=< ⎪⎝⎭，311log 022b g ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，33110log log 2122c ϕ⎛⎫<==-=< ⎪⎝⎭，所以b 最小；1a =221log 32log c== 构造()22log h x x x =-，则()2ln 221ln 2ln 2x h x x x -'=-=，当20,ln 2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在20,ln 2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，因为0ln 21<<，所以22ln 2>，令2x =，得()20h =，所以()20h h >=，22112log 02log a c>⇒>>，又因为0a >，0c >，所以c a >，综上所述c a b >>. 故选：D.【点睛】比较对数、指数、幂的大小的方法：∴利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性比较大小； ∴借助特殊值“0”、“1”或其它的数值比较大小； ∴根据两数之间的关系，构造函数来比较大小.6．（2022·广西南宁·高三阶段练习（理））设e 3a =，πe b =，3πc =，则a 、b 、c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c b a >>【答案】D【分析】利用e e 3ππ3m c a <=<==，构造ln ()xf x x=且(e,)x ∈+∞研究单调性比较ln ,ln b m 大小，构造()3ln g x x x =-且(3,)x ∈+∞研究单调性判断函数值符号比较ln ,ln b c 的大小，即可得结果.【详解】由e e 3ππ3m c a <=<==，因为ln πlne b =，ln eln πm =，则ln ln e e πeb =，ln ln πe ππm =，令ln ()xf x x=且(e,)x ∈+∞，则21ln ()0x f x x -'=<，则()f x 递减，所以(e)(π)f f >，即ln e ln πe π>，则ln ln b m >，故b m a >>；因为ln πb =，ln 3ln πc =，由ln ln π3ln πb c -=-，令()3ln g x x x =-且(3,)x ∈+∞，则3()0x g x x-'=>，则()g x 递增；故3e (3)33ln 3ln 027g =-=<，4e (4)43ln 4ln 064g =-=<，而3π4<<，所以(π)π3ln π0g =-<，则ln ln b c <，即>c b ，综上，c b a >>. 故选：D【点睛】关键点点睛：利用中间值得到e e 3ππ3m c a <=<==，构造ln ()xf x x=利用导数研究单调性比较ln ,ln b m ，作差法并构造()3ln g x x x =-研究函数值符号比较ln ,ln b c 大小.二、多选题7．（2023·全国·高三专题练习）已知2log a x =，2x b =，3x c =，其中()1,2x ∈，则下列结论正确的是（） A ．log b a c >B ．b c a b >C ．b c a b <D ．log log a b b c <【答案】CD【分析】根据()1,2x ∈求出()0,1a ∈，()2,4b ∈，()3,9c ∈，借助指数函数与对数函数的单调性分别判断选项即可.【详解】因为()1,2x ∈，所以()0,1a ∈，()2,4b ∈，()3,9c ∈，且b c <，所以log 1b c a >>，故A 错误；因为()0,1ba ∈，1cb >，即bc a b <，故B 错误，C 正确；因为log 0a b <，log 0b c >，即log log a b b c <，故D 正确. 故选：CD.8．（2023·全国·高三专题练习）已知x ，y ∈R 且3344x y y x -<-，则（） A ．x y D ．133yx -⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】AD【分析】将原不等式转化为3344x x y y +<+，结合函数的单调性可得x y <，再根据指对幂函数的性质逐个判断即可【详解】因为x ，y ∈R 且3344x y y x -<-，即x ，y ∈R ，且3344x x y y +<+，设()34f x x x =+，因为函数3y x =在R 上单调递增，函数4y x =在R 上单调递增，所以函数()34f x x x =+在R 上单调递增，A ，由3344x x y y +<+，得()()f x f y <，所以x y <，故选项A 正确；B ，因为x ，y ∈R ，所以当x =0或y =0时，3x -，3y -没意义，故选项B 错误；C ，因为x y <，而只有当1y x ->时，()lg 0y x ->才能成立，故选项C 错误；D ，因为x y <，所以1133yx⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即133yx -⎛⎫< ⎪⎝⎭，故选项D 正确．故选：AD三、填空题9．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））设32log 2a =，9log 15b ，13c -=，则a ，b ，c 大小关系为___________. 【答案】a b c >>【分析】根据对数的运算及对数函数的单调性，结合指数的运算即可求解.【详解】由题意可知，332log 2log 4log a ===，293331log 15log 15log 15log 152b ，当1a >时，log a y x =在()0,+∞上单调递增，因为3331615,log 16log 15log 31，即1a b >>.11313c -==<，所以a b c >>. 故答案为：a b c >>.四、解答题10．（2022·全国·高三专题练习）已知0a >且1a ≠，()()log 1a f x x =+，()()log 1a g x x =-，()h x(1)求()()()f x g x h x ++的定义域D ；(2)已知0x D ∈，请比较()0f x 与()0g x 的大小关系. 【答案】(1)()0,1；(2)当1a >时，()()00f x g x >；当01a <<时，()()00f x g x <.【分析】(1)根据对数函数真数大于零，分母不为零，偶次开根根号下非负即可列出不等式组求D ；(2)根据a 的范围，根据对数函数单调性即可判断． (1)依题意，x 应满足10100x x x +>⎧⎪->⎨⎪>⎩，解得01x <<，∴函数()()()f x g x h x ++的定义域D =()0,1； (2)当()00,1x ∈时，有0011x x +>-，∴当1a >时，函数log a y x =单调递增，∴()()00f x g x >； ②当01a <<时，函数log a y x =单调递减，∴()()00f x g x <．。

例谈函数法比较大小

指对、幂函数的组合
、
ａ和
先通过相同形式构造函数，再得到单调性，
同时结合分界点０和１．
构造Biblioteka 函数，（￥）＝Ｉｎｘ
，
再用
，（）单调性．
最大数在７ｒ。与３之中，最小数在３。与ｅ。之中．由（Ｉ）知，，（）＝＿ｌｎ＝＿ｘ在［ｅ，＋ｏｏ）上单调递减，所以
中学数学研究
２１
即｛Ｉ３１ｎ７ｒ＜ｎ３，得，｛ｈ丌３＜ｌｎ３，所以分析构造ｇ（＝，（一＋ｌ’则９（０）：０＇且
ｅｌｎ３＜３ｌｎｅ，
Ｉｌｎ３＜Ｉｎｅ。，
９＠）＝ｆ）一＞０，故９）在Ｒ上递增，由ｋ＞１得
｛＜，综上可知，６个数中的最大数是３，最小９（南ｇ（ｏ），可得Ｃ错·故选：ｃ
２０
中学数学研究
２０１８年第４期（上）
例谈函数法比较大小木
广东省广州市第十六中学（５１００８０）温伙其
函数思想贯穿高中数学的全部教学内容，是在学习指数
例１（２０１４年高考湖北第２２题）７ｒ为圆周率，ｅ＝
函数、对数函数、幂函数、三角函数和导数过程中逐步形成，２．７１８２８… 为自然对数的底数．
一、指数函数、对数函数和幂函数结构
分析（Ｉ）由，（）：得，（）：一＿．得函数
指数函数、对数函数和幂函数的大小，在各类考题都比ｆ（ｘ）的单调递增区间为（０，ｅ），单调递减区间为（ｅ，＋ｏ。）．
较常见，它们可以是以单一函数形式出现，或者以混合组合

微专题05+函数在比较大小中的应用-选择性必修第二册)

③取值与趋势:
x 0时, f ( x) 0;
x 时, f ( x) 0 ;
x 0时, f ( x) 0.
x 时, e x 0, f ( x) .
1
④特殊点: (0,0), (1, )
e
6个经典函数
ex
(3) f ( x) , x 0
x
①定义域: {x | x 0}
ln x 1
极小值f (e)
②单调性: f ' ( x)
2
(lnቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx)
0 x 1和1 x e时, f ' ( x) 0;
x e时, f ' ( x) 0.
③取值与趋势:
x 1时, f ( x) 0;
x 时, f ( x) ;

0 x 1时, f ( x) 0. x 0时, ln x , f ( x) 0 .
x 0 时, e x 1, f ( x) ;

x 时, e 0, f ( x) 0 .
x
x 0 时, e x 1, f ( x) .
6个经典函数
(4) f ( x) x ln x, x (0,)
f ' ( x) 1 ln x
x 1时, ln x 0, f ( x) ;
④特殊点: (e, e)
6个经典函数
ln x
(6) f ( x)
, x (0,)
x
①定义域 : (0, )
1 ln x
②单调性: f ' ( x)
x2
0 x e时, f ' ( x) 0;

全国高考数学复习微专题：指对数比较大小

全国高考数学复习微专题：指对数比较大小在填空选择题中，我们经常会遇到一类比较大小的问题，其中包含三个指数和对数，需要进行排序。

若两两进行比较，则需要花费较多的时间。

因此，本文介绍处理此类问题的方法和技巧。

一、技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？我们可以使用“同区间正，异区间负”的八字真言来判断对数的符号。

具体而言，需要关注底数和真数，将区间分为(0,1)和(1,+∞)两部分。

如果底数和真数均在(0,1)或者均在(1,+∞)中，则对数的值为正数。

如果底数和真数一个在(0,1)中，一个在(1,+∞)中，则对数的值为负数。

例如，log3 0.50，log2 3>0等。

2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系。

一旦作图，大小关系就会变得明显。

3、比较大小的两个理念：1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可以通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系。

因此，需要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况。

例如，比较3、4、5时，可以进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同。

从而只需比较底数的大小即可。

2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中，通常可以优先选择“0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较。

有时可以简化比较的步骤。

例如，对于log2 3，我们可以知道1=log2 2<log2 3<log2 4=2，从而可以估计log2 3是一个1点几的数，便于比较。

4、常用的指对数变换公式：1）m（1）a=anm2）loga M+loga N=loga MNloga M-XXX(M/N)3）loga N=nloga N(a>0,a≠1,N>0)4）换底公式：XXX a1n XXX二、典型例题：例1：设a=log3 π，b=log2 3，c=log3 2.请按照大小顺序排列a、b、c。

解：首先，我们需要将这三个对数转化为同底数的形式。