数学概念的分类
数的概念及分类
数的概念及分类
数是数学的基本概念之一，它在我们日常生活中无处不在。数是用来计数和量化的工具，它能够描述事物的数量、大小、顺序和关系。数的概念可以追溯到古代的人类文明，随着时间的推移，人们对数的概念和分类也有了更深入的理解。
数的最基本的分类是自然数。自然数是最简单的数，它包括从
1开始的整数，一直延伸到无穷。自然数可以用来计数物体的
数量，例如：1只狗、2本书、3个苹果等。自然数对于儿童
的数学发展非常重要，它让他们学会了最基本的计数和理解数量的概念。
整数是一类更广泛的数。它包括了自然数、0和负数。整数可
以用来表示物体的数量和方向，例如：5个苹果、-2摄氏度。
整数在数学中有许多重要的应用，尤其是在代数和几何中。整数是一个无限集合，可以用无穷个整数表示。
有理数是另一类重要的数。有理数包括了整数和分数，可以用来表示所有可以被两个整数表示为比值的数。例如：1/2、3/4、-2/7等。有理数在实际生活中也非常常见，尤其是在测量和比
较中。有理数是一个无限集合，可以用无穷个分数表示。
无理数是一类特殊的数。无理数不能被两个整数表示为比值，它们是无限不循环的小数。最著名的无理数是π和√2，它们
在几何学和科学中起着重要的作用。无理数是一个无限集合，可以用无穷个小数来表示。
实数是包含了有理数和无理数的更广泛的数集。实数可以用来描述所有可能的数，包括整数、分数和无限不循环的小数。实数在数学中有许多重要的性质和应用，尤其在分析和微积分中。实数是一个无限集合，可以用无穷个数表示。
虚数是一类特殊的数，它们不能用实数表示。虚数可以表示为实数与虚数单位i的乘积，i是一个满足i^2 = -1的数。虚数在
第十章小学数学概念教学
(3) 新旧概念联系。使新概念与原有认知结构中有关观念建立联系，把新概念纳入到相应的概念体 系中，同化新概念。
(4) 实例辨认。辨认肯定例证和否定例证，确认新概念的本质属性，使新概念与原有认知结构中有 关概念精确分化。
(5) 具体运用。通过各种形式运用概念，加深对新概念的理解，使有关概念融会贯通成整体结构。
图形(图(2)、(3)、(4)、（5）去强化这一概念。
（1） （5）
（2） 图1
（3）
（4）
例2：讲授“等腰三角形”概念，教师除了用常见的图形(图 (1))展示外，还应采用变式图形(图2-1(2)、 (3)、(4))去强化这一概念，因为利用等腰三角形的性质去解题时，所遇见的图形往往是后面几种情形。
（2）描述式
用一些生动、具体的语言对概念进行描述，叫做描述式。
如：“我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1、2、3、4、5……叫自然数”；“象1.25、 0.726、0.005等都是小数”等。
在小学低年级通常采用描述式的方式来表示，而到了高年级则采用定义式来表示。
二、儿童构建数学概念的过程 数学概念的学习一般有两种基本形式：一是概念形成，二是概念同化。 （一）数学概念形成 所谓数学概念形成，是指学习者从大量的同类事物的不同例证中独立地发现并形成数学概念的过程。 数学概念形成的过程可以分为以下几个阶段： 1、感知具体对象阶段（观察实例） 观察数学概念的各种不同的肯定例证，可以是日常生活中的经验或事物，也可以是教师提供的典型
数学概念及其教学
２．不相容关系（ 又称在同一属概念丙之下的全异 关系）
大前提：A∩B＝Ф
Ｃ
Ｃ
Ａ
Ｂ
Ａ
Ｂ
矛盾关系（ A B C ） 反对关系（ A B C）
相对于属概念“实数”而言，其种概念“有理 数”与“无理数”之间就是矛盾关系．但相对于属 概念“复数”而言，它们就是反对关系．
A=B
同一关系 （或全同关系） 如：“不大于”和“小于或等于” 注：数学中的恒等变形就是 利用概念间的同一关系进行的 .
A
B
属种关系
比如：实数和有理数、 平行四边形和矩形.
又称从属关系，甲称为 属概念，乙称为种概念．
A
B
交叉关系
比如：矩形和菱形、非负有理数和非正有理数． 利用概念间的交叉关系可以概括出新的概念．矩
“相交成直角的两条直线，叫做互相垂直的直 线”与“两边互相垂直的角，叫做直角”这两 个定义出现了循环.
“类似的图形称为相似形”就是自我定义、 空洞无物的同义反复。
规则3 定义要简明、扼要、精练，不 要越级、不要重复.
“有四条边且两组对边分别平行的多边形称为 平行四边形”就不简明了，因为多边形不是平行四 边形的邻近的属概念；
B
（连项）
D
矩形 就是 一个角是直角的平行四边形
种差 ＋ 邻近的属
数学中数的分类和概念
数学中数的分类和概念
数学作为一门科学，研究的是数量、空间、结构以及变化的规律。而数作为数学的基础，对于数学的研究和应用起着至关重要的作用。数的分类和概念是数学中的基础内容，本文将探讨数学中常见的数的分类和概念。
一、自然数和整数
自然数是最基本的数，表示没有负数和小数，是最早人们所认识的数。自然数包括0和所有大于0的整数，符号为N。
自然数加上负数和0构成整数，整数的集合记作Z。整数包括正整数、负整数和0。整数可用于计数，也可用于表示负债或欠债。整数在数学运算中有很大的应用，如加法、减法、乘法和除法等。
二、有理数和无理数
有理数是可以用两个整数的比值表示的数，包括分数和整数。有理数的集合记作Q。例如，1/2、2、-3等均为有理数。
无理数是不能表示成两个整数的比值的数，也不能表示成一个循环小数或有限小数的数。无理数是无限不循环小数，其数值无法被精确表示，仅能用近似值表示。无理数的集合记作I。常见的无理数有π和√2等。
有理数和无理数组成了实数的集合R。实数包括了所有的有理数和无理数。
三、正数和负数
正数是大于0的数，符号为+；负数是小于0的数，符号为-。正数和负数是相对的概念，其和为0。正数、负数和0构成了实数集合R。
四、整数和真分数
整数是不含小数部分的数，由正整数、负整数和0组成。整数是有理数的一种特殊情况。
真分数是分子小于分母的分数，其值小于1。真分数也是有理数的一种特殊情况。
五、实数和虚数
实数是数学中最基本的概念，是包含有理数和无理数的数的集合，记作R。实数是可以在数轴上表示的，可以用于度量、计算和实际问题的解决。
现在数学的概念和分类
现在数学的概念和分类
数学是一门研究数量、结构、变化以及空间和形式的学科。它是一种用逻辑推理和抽象概念来研究和描述现实世界的工具和语言。
数学的概念可以大致分为以下几个方面：
1. 数的概念：数学是关于数量的科学，它最重要的基础是数的概念。数可以分为自然数、整数、有理数和实数等不同类型。自然数表示各种离散的个体，整数包括正整数、负整数和零，有理数是指可以表示为两个整数的比值，而实数是包括有理数和无理数的所有数。
2. 运算符与运算：数学运算是对数进行操作和计算的过程。运算符包括加减乘除、幂运算和开方等。数学运算使我们能够解决问题、计算数值和进行推理。
3. 代数与方程：代数是研究数和符号关系的分支学科。在代数中，使用字母和符号来代表数，通过运算和方程式来描述数之间的关系。方程是具有等号的数学表达式，解方程即找到使方程成立的未知数的值。
4. 几何与图形：几何是研究空间、形状、大小和位置的学科。它涉及点、线、面和体等基本几何图形，并研究它们之间的关系和性质。几何学包括平面几何、立体几何和解析几何等不同的分支。
5. 概率与统计：概率论是研究随机事件和概率的学科。通过概率计算，可以确定事件发生的可能性。统计学是研究如何收集、分析和解释数据的学科。统计学可以帮助我们了解数据的特征和变化规律。
6. 数论与代数数论：数论是研究整数性质和整数运算的学科。它涉及素数、因数分解、最大公约数和最小公倍数等基本概念。代数数论研究的是关于代数数的性质和关系，代数数是可以通过代数方程的根来表示的实数。
7. 微积分：微积分是研究变化率和积分的学科。它包括微分学和积分学。微分学研究函数的变化率和导数，积分学研究函数的积分和求面积体积等。
数学概念分类
数学概念分类
数学概念可以分为以下几个类别：
1. 代数：包括代数运算、方程、函数和多项式等内容。代数是研究数和符号的关系、计算方法和运算规则的一门学科。
2. 几何：研究形状、大小、相对位置以及空间性质的数学学科。几何学主要研究点、线、面、体等几何图形的性质和变换。
3. 微积分：研究函数的变化率和求和的数学学科。微积分主要涉及导数、积分和微分方程等内容，是解决变化问题的重要工具。
4. 统计学和概率论：研究数据收集、分析和解释的数学学科。统计学和概率论常用于研究随机事件的概率和随机变量的分布。
5. 数论：研究整数性质和它们的关系的数学学科。数论主要研究素数分布、整数解方程等内容，是密码学和编码学的基础。
6. 线性代数：研究向量空间、线性方程组和线性变换的数学分支。线性代数包括矩阵论和向量空间论等内容，应用广泛于物理学、计算机科学等领域。
7. 数学分析：研究极限、连续性和收敛性等内容的数学学科。数学分析是研究函数和序列性质的基本方法，与微积分密切相关。
8. 拓扑学：研究空间性质、连通性和变形等内容的数学学科。拓扑学主要研究集合的开集、闭集、连通性和同伦等概念。
此外，数学还包括数理逻辑、离散数学、数学物理等其他分支，不同分支之间有着各自的研究方法和应用领域。
初一至初二 数学概念分类概括
初一至初二数学概念分类概括
（七）上数学书概念
第二章有理数
2.1 比0小的数
①像13，155,117.3,0.55％这样的数是正数，它们都是比0大的数；像-13，-115，-117.3，-0.03％这样的数是负数，它们都是比0小的数；0既不是正数，也不是负数。
②“-”号读作"负”，如-5读作负五；“+”号读作“正”，如+2/3读作正三分之二，“+”号可以省略不写。
③正整数、负整数与0统称为整数，正分数与负分数统称为分数，整数和分数统称为有理数。
2.2 数轴
①像这样规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴。
②在数轴上的两个点中，右边的点表示的数大于左边的点表示的数。正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。
2.3绝对值与相反数
①数轴上表示一个点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。
②符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数，其中，一个是另一个的相反数。0的相反数是0.
③证书的绝对值是它本身；浮士德绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
④两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的反而小。
2.4有理数的加法与减法
①有理数加法法则 1.同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加. 2.异号两数相加绝对值相等时，何为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数符号并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 3.一个数与0相加,仍得这个数。
②有理数加法运算律交换律:a+b=b+a 结合律:(a+b)+c=a+(b+c)根据有理数加法运算律，在进行有理数的加法运算时，可以交换加数的位置，也可以先把其中几个数相加。
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从教学角度，数学概念应该怎样分类
大罕
【问题】最近一个困惑的问题求教各位：最近读书，发现数学概念分类的方法很多，有人把
数学概念分成白描、归纳、演绎三类，有人分成属性下的概念，规则下的概念、结点下的概念，有些简单的概念在教学中作介绍即可，有些概念需要让学生经历过程，通过同化和形成方式。
那么，从教学的角度，数学概念应该怎样分类？求教大神。
【大罕回复】
任何一种分类，其目的是让大家更清楚、更明白。如果一分类就把人家分糊涂了，适得其
反就不如不分类。
要做到这一点，首先要科学，不能随心所欲。例如把概念分成白描、归纳、演绎三类。这个分
类就是随心所欲的、不科学的。众所周知，归纳(从特殊到一般)和演译(从一般到特殊)就是一
种完全的分类方式，从中插入一个“白描”，不但让人莫名其妙，而且具有破坏性，是一种无知的、粗暴的分类方法。
其次，概念的分类要面向大众、要通俗易懂，不要怪诞生僻。比如，把概念分为属性下的
概念、规则下的概念和结点下的概念，这样的分类就是怪诞生僻，相当地小众化。何谓属性下？什么规则下？哪个结点下？可谓你知我不知，大家更不知。鲁迅曾引用古语说过：人生糊涂识
字始。如此这般，真是：学子糊涂分类始。
第三，概念的分类要服从于需要。如果是纯理论上的研究需要，概念的分类要更哲学化、
理想化。如果是教学角度看，概念的分类要有利于教学，便于学生掌握。
要理解数学概念的分类，还必须了解数学概念的定义方法。
第一种定义方法是属加种差定义法。这是中学数学最常用的方法。其基本构成是：邻近的
属+种差=被定义概念。例如，对于平行四边形这个概念来说，它邻近的属是四边形，它的种差(即区别于其它四边形的概念的属性)是“一组对边平行并且相等”，因此我们定义：一组对边平
小学数学基本概念归类
小学数学基本概念：
第一章数和数的运算
一、概念
（一）整数
1.自然数、负数和整数
（1）、自然数：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。
一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。
1是自然数的基本单位，任何一个自然数都是由若干个1组成。
0是最小的自然数，没有最大的自然数。
（2）、负数：在正数前面加上“-”的数叫做负数，“-”叫做负号。
正整数（1、2、3、4、……）
(3)整数零(0既不是正数，也不是负数)
负整数（-1、-2、-3、-4……）
2、零的作用
（1）表示数位。读写数时，某个单位上一个单位也没有，就用0表示。
（2）占位作用。
（3）作为界限。如“零上温度与零下温度的界限”。
3、计数单位：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。
4、数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。
5、数的整除：整数a除以整数b(b ≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。
（1）如果数a能被数b（b ≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。如：因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。
（2）一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。
例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。
（3）一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
第十六讲第八章小学数学概念教学(SC)
第一节 小学数学概念及其分类
一、什么是（小学）数学概念？
概念是客观事物的本质属性在人脑中的反映。 数学概念：客观事物→现实世界的数量关系 和空间形式 概念的四方面特性：
概念名称、概念定义、概念例子、概念属性
概念的内涵（对象的本质属性总和。）和外 延（概念所指的一切事物。）
教学要点：
三、使学生明确地运用概念
在明确概念、牢固掌握概念的基础上，进而要 求学生能正确地、灵活地运用概念进行判断、 推理，解决实际问题。 判断是概念与概念的联合，是对客观事物有所 肯定或者有所否定的思维形式。
判断要有依据——忌跟着感觉走，但可大胆猜测
推理是从一个或者几个判断中，推出另一个新 的判断的逻辑方法。
第二节 小学数学概念教学的基本要求
小学数学概念教学，应遵循学生学习数 学概念的心理规律，从学生已有的生活 经验出发，在现实背景下感受、体验和 探索数学概念，使学生在获得对数学概 念的认识、理解和掌握的同时，在思维 能力、情感态度与价值观等多方面得到 进一步的发展。
一、使学生清晰地理解概念
清晰地理解概念，就是要清楚概念的含 义，是概念教学的最基本要求。 例1：分数定义的理解
（一）理解分数是连续量分割的结果 （二）是把m个单位平均分成n个等份 （三）分数是数
1~6年级数学概念大全
数学概念全梳理
1~6年级数学概念大全
一、数的认识
● 1.1 整数与小数
⏹整数：包括正整数、0和负整数。
⏹小数：分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数。
⏹ 1.2 分数
⏹定义：表示整体的一部分。
⏹分类：真分数、假分数和带分数。
⏹ 1.3 十进制
⏹定义：计数法的一种，每相邻两个数位之间的进率是10。
二、数的运算
● 2.1 加法与减法
⏹基本运算规则。
⏹ 2.2 乘法与除法
⏹基本运算规则。
⏹ 2.3 四则混合运算
⏹定义：包含加减乘除的运算。
⏹运算顺序：先乘除后加减，括号内的优先。
三、图形与几何
● 3.1 基本图形
⏹直线、射线、线段、角、三角形、四边形等。
⏹ 3.2 面积与周长
⏹面积：表示图形所占的平面大小。
⏹周长：表示图形的边界长度。
⏹ 3.3 立体几何
⏹长方体、正方体、圆柱、圆锥等。
四、统计与概率
● 4.1 统计图表
⏹条形图、折线图、扇形图等。
⏹ 4.2 平均数、中位数和众数
⏹平均数：所有数的和除以数的个数。
⏹中位数：一组数按大小顺序排列后，位于中间位置的数。
⏹众数：一组数中出现次数最多的数。
⏹ 4.3 概率初步知识
⏹定义：某一事件发生的可能性大小。
五、综合与实践
● 5.1 数学问题解决策略
⏹分析法、综合法、枚举法等。
⏹ 5.2 数学游戏与数学谜题
⏹数独、魔方等数学智力游戏。
数学概念的分类、特征及其教学探讨
数学概念的分类、特征及其教学探讨
作者：王琳
来源：《新教育时代·教师版》2016年第29期
摘要：数学概念在数学的教学中，一直都有着非常重要的作用，是研究的热点话题。在目前的新课改下，有着忽视数学概念的抽象逻辑构建特征，太过重视情景化、生活化、活动化的教学趋势。因此，应该加强对于数学概念的研究，不断丰富其理论，更好的在实践中应用。
关键词：数学概念分类特征教学
一、数学概念与其分类
数学概念是我们对于目前世间中空间方式与数量关系的总体体现，是建设数学法则、公式、定义的基本，也是我们能够计算、推理、判定与证明的条件。更是数学思维、交流的主要工具。总的来说，数学概念有两类。一、是对客观世界中数量关系与房间的抽象表现。二、是指在已有的数学理论中的逻辑构建。这就代表，可以把数学概念氛围了两种。一种是现实对象或者关系到直接抽象而成的概念。这种概念和我们的现实十分接近，所以很多人往往把其和现实原型合并为一体，比如三角形、四边形、角、平行、相似等都有着这些特点。另一种，是纯数学抽象无。它是代表抽象逻辑思维的产物，是一种数学逻辑构成，没有客观的现实能够统一，比如方程、函数、向量内积等。这些概念对于数学的理论研究都有着重要作用，是数学能够不断发展的动力。[1]
二、数学概念的特征
1.判定特征
数学概念具有判定的特征，也就是根据概念的含义，我们能够判定某一个对象是概念的正例还是反例。
2.性质特征
概念的含义是指它对代表的对象性质的解释，所以，它具有性质的特征。以上两个特种可以从侧面体现出，概念的双重特定，判定特征可以给厘清概念的延展提供帮助。性质特征能让我们了解概念的含义。[2]
数学定义与概念的区别
数学定义与概念的区别
在数学领域，定义和概念是两个经常被混淆但实际上具有不同含义和用途的概念。了解它们的区别对于理解数学理论和解决数学问题至关重要。
定义（Definition）
定义是数学中用于明确一个概念或术语含义的精确语句。它为某个术语或符号提供了一个明确的、无可争议的解释。定义通常采用“被定义为”或“定义为”的形式，例如：“圆定义为平面上所有与给定点等距的点的集合”。在数学中，定义必须明确、简洁、无歧义，并且不能依赖其他未定义的术语或概念。
概念（Concept）
概念是人们对事物或现象的抽象认知，它描述了某一类对象或现象的共同属性或特征。数学概念通常是对于一类数学对象或现象的抽象描述，例如：“集合”、“函数”、“空间”等。概念本身并不直接等同于其描述的对象或现象，它需要在具体情境或实例中加以理解和应用。
定义与概念的区别
1. 精确性：定义是精确、简洁、无歧义的，而概念可能更加模糊和广泛。
2. 语境依赖：概念往往依赖于特定的语境或背景，而定义则尽可能独立于语境。
3. 目的：定义的主要目的是为了提供一个明确、无歧义的术语或符号的解释，
而概念则是为了帮助人们理解和分类数学对象或现象。
4. 形式：定义通常采用“被定义为”或“定义为”的形式，而概念则通常是一个较为抽象的描述。
5. 实例：概念通常需要借助具体实例来解释和理解，而定义则尽可能避免引入具体实例。
数学定义和概念虽然都是对数学概念和对象的描述，但它们在精确性、语境依赖、目的、形式和实例等方面存在明显的区别。了解这些区别有助于我们更好地理解数学理论和解决数学问题。
数学中数的分类和概念
数学中数的分类和概念
数学是一门重要的学科，可以用来解决实际问题。它的不同分支可以反映出当下的文明，以及当今社会的发展。在数学中，数是最基本的单位，数的分类和概念为数学的发展奠定了基础。本文将从数的定义、自然数、整数、有理数、实数、复数几种类别讨论数的分类和概念。
首先，数可以定义为用来表示量的符号或标记，它可以表示数量，也可以用来排序。数学定义中，“数”是一个抽象的概念，它可以代表某一类的集合，因此数也可以用来代表一定的意义。由于数可以表示一个抽象的概念，因此数还可以用来表示一定的概念，例如有理数可以用来表示“分割”，复数可以用来表示“变形”。
其次，根据数的性质可以将数分为自然数、整数、有理数、实数和复数等几类。自然数是非负整数，例如1、2、3等，它们可以用来表示一个集合中元素的个数。整数是一种绝对值的数，包含正整数和负整数，例如-5、3，它们可以用来表示任何一个的集合的元素的变化量。有理数是可以写成真分数的任何数，如2/3、8/7，它们可以用来表示分割的程度。实数是可以在实数轴上用一条直线表示的任何数，它可以用来表示实际场景中存在的任何量。最后，复数由实部和虚部组成，如2+3i，它可以用来表示场景中存在的变换和非线性的动态变化。
另外，数的概念也与数的分类有关。如自然数的“基本”或“原子”概念可以用来代表它们“绝对”的意义，而整数的“基本”或“原
子”概念则可以用来表示“相对”的意义。有理数的“分割”概念可以用来表示有理数的特性，实数的“表示”概念则可以用来表示它们对实际场景的抽象描述，而复数的“变形”概念则可以用来表示它们对不同场景中变换和动态变化的抽象描述。
小学数学基本概念归类
小学数学基本概念：
第一章数和数的运算
一、概念
（一）整数
1.自然数、负数和整数
（1）、自然数：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。
一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。
1是自然数的基本单位，任何一个自然数都是由若干个1组成。
0是最小的自然数，没有最大的自然数。
（2）、负数：在正数前面加上“-”的数叫做负数，“-”叫做负号。
正整数（1、2、3、4、……）
(3)整数零(0既不是正数，也不是负数)
负整数（-1、-2、-3、-4……）
2、零的作用
（1）表示数位。读写数时，某个单位上一个单位也没有，就用0表示。
（2）占位作用。
（3）作为界限。如“零上温度与零下温度的界限”。
3、计数单位：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。
4、数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。
5、数的整除：整数a除以整数b(b ≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。
（1）如果数a能被数b（b ≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。如：因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。
（2）一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。
例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。
（3）一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
数学概念的分类_特征及其教学探讨_邵光华
过度 的重 要性 。
个概念 。从概念系统观看 , 概念的理解是一个系
任务
概念教学有 多种策略 , 策略的使用能提 高教学的有效性 。数 学教师应增长这
概念 特征 概 念教 学 文章 编号 一 一 一 一
些 方面 的知识 。
关键 词 数 学概 念 中图分 类号
文献标 识码
概念教学在数学教学中具有关键地位 , 一直
是数 学 教 学 研 究 的 一 个 主题 。 当 前 的课 改 实 践
使学生在经历概念发生发展过程中 , 认识概念的
不同特征 , 通过概念的运用训练 , 使学生掌握根 据具体问题的需要改变认识角度 、 反映概念不同 特 征 的方 法 , 进而 有效 地应 用 概念 建构 原理 和解
决 问题 。 一 概 念教 学 的 目标 概念 教学 的基本 目标 是 让学 生理 解概 念 , 并 能运 用概 念表 达思想 和解 决 问题 。这 里 , 理解 是 基 础 。 从 认 知心 理学 看 , “理 解某 个 东 西是 指 把 它纳人 一个 恰 当 的 图 式 ” , 图式 就 是 一 组 相 互 联
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数学概念的分类、特征及其教学探讨章建跃(2012-01-31 17:13:00)转载▼标签：教育分类：数学教育大视野
数学概念的分类、特征及其教学探讨
宁波大学教师教育学院邵光华人民教育出版社中学数学室章建跃
摘要：概念教学在数学教学中有重要地位．根据来源可将数学概念分为两类，相应地有两类概念教学方法．数学概念有多重特征，揭示这些特征是概念教学的重要任务．概念教学有多种策略，策略的使用能提高教学的有效性，数学教师应增长这方面知识．
关键词：数学概念；概念特征；概念教学
概念教学在数学教学中有关键地位，它一直是数学教学研究的一个主题．当前的课改实践中，存在忽视数学概念的抽象逻辑建构特征，过于强调情境化、生活化、活动化的倾向。所以，应更深入地研究概念教学，以丰富概念教学法的知识并指导实践．
本文在讨论概念分类及其特征的基础上，探讨数学概念有效教学的策略．
一、数学概念及其分类
数学概念是人类对现实世界空间形式和数量关系的概括反映，是建立数学法则、公式、定理的基础，也是运算、推理、判断和证明的基石，更是数学思维、交流的工具．一般地，数学概念来源于两方面：一是对客观世界中的数量关系和空间形式的直接抽象；二是在已有数学理论上的逻辑建构．相应地，可以把数学概念分为两类：一类是对现实对象或关系直接抽象而成的概念，这类概念与现实如此贴近，以至人们常常将它们与现实原型“混为一谈”、融为一体，如三角形、四边形、角、平行、相似等都有这种特性；另一类是纯数学抽象物，这类概念是抽象逻辑思维的产物，是一种数学逻辑构造，没有客观实在与之对应，如方程、函数、向量内积等，这类概念对建构数学理论非常重要，是数学深入发展的逻辑源泉．
二、数学概念的特征
上世纪八十年代，国外有人提出，数学内容可以分为过程和对象两个侧面．“过程”就是具备可操作性的法则、公式、原理等；“对象”则是数学中定义的结构、关系．数学概念往往兼有这样的二重性，许多概念既表现为过程操作，又表现为对象结构．如“等于”概念，在数与式的运算中具有过程性，它表示由等号前的算式经运算得出等号后的结果的过程指向，在式的恒等变形中蕴涵着“往下继续算”的操作属性；而方程中“等于”的意义则不同，它没有过程指向性，只有结构意义，表示了等号两边代数式的一种关系．Sfard(1991,1994)等人的研究表明，概念的过程和对象有着紧密的依赖关系，概念的形成往往要从过程开始，然后转变为对象的认知，最后共存于认知结构中．在过程阶段，概念表现为一系列固定操作步骤，相对直观，容易模仿；进入对象状态时，概念呈现一种静态结构关系，有利于整体把握，并可转变为被操作的“实体”.
我们认为，关于数学概念特征的上述描述稍嫌抽象。为有利于教师把握，下面对数学概念的特征作更具体的描述。
（1）判定特征概念具有判定特征，也即依据概念的内涵，人们便能判定某一对象是概念的正例还是反例．
（2）性质特征概念的定义就是对概念所指对象基本性质的概括，因而具有性质特征．
上述两个特征从另一个侧面表现了“概念的二重性”．判定特征有助于厘清概念的外延，性质特征有助于认识概念的内涵．
（3）过程性特征（运算过程或几何操作过程）有些概念具有过程性特征，概念的定义就反映了某种数学过程或规定了操作过程．如“分母有理化”隐含着将分母变形为有理数（式）的操作过程；“平均数”概念隐含着将几个数相加再除以个数的运算操作过程；“n的阶乘”蕴涵着从1连乘到n的运算操作过程；“向量的加法”概念规定了“形”（三角形法则）的操作过程；等。
（4）对象特征（思维的细胞，交流的语言词）概念是一类对象的泛指，如三角形、四边形、复数、向量等概念都是某类对象的名称，泛指一类对象；又如复数的模，就是与复数a+bi （a，b∈R）对应的结构式，规定这个式子就是模．
（5）关系特征有些概念具有关系特性，反映了对象之间的关系．如垂直、平行、相切、异面直线、集合的包含等，都反映了两个对象的相互关系，具有关联性、对称性．这些概念，静态角度看是一种结构关系，变化观点看则是运动过程中的某种特殊状态．特别的，具有主从关系的概念反映了相对于另一概念对象而言的对象，具有相依性、滋生性．如三角形的外接圆、角的平分线、二面角的平面角等，都是在其他概念对象基础上生成的．这些概念反映的都是特殊对象，其特殊性由明确的规定性所限制，这些规定性也是概念内涵的一部分．
（6）形态特征有些概念描述了数学对象的形态，从形态上规定概念的属性特征．如三角形、四边形、三棱锥、四棱台等概念都具形态特征，它们给人留下的多是直观形象，用于判断时多从形态上先识别，根据形态就可大致判断是概念的正例还是反例．一般而言，“形如……的对象叫……”这类概念都具有形态特征．
三、概念的教学
上述数学概念的多重性，为教学指明了方向。总的来说，教师应在分析所教概念特性的基础上，选择适当的素材，设计恰当的问题情景，使学生在经历概念发生发展过程中，认识概念的不同特征；通过概念的运用训练，使学生掌握根据具体问题的需要改变认识角度、反映概念不同特征的方法，进而有效地应用概念解决问题．
1．概念教学的目标
概念教学的基本目标是让学生理解概念，并能运用概念表达思想和解决问题．这里，理解是基础．从认知心理学看，“理解某个东西是指把它纳入一个恰当的图式”，图式就是一组相互联结的概念，图式越丰富，就越能处理相关的变式情景．数学概念理解有三种不同水平：工具性理解（Instrumental Understanding）、关系性理解（Relational Understanding）和形式性理解（Formal understanding）．工具性理解指会用概念判断某一事物是否为概念的
具体例证，概念作为甄别的工具而并不清楚与之相关的联系；关系性理解指不仅能用概念作判断，而且将它纳入到概念系统中，与相关概念建立了联系；形式性理解指在数学概念术语符号和数学思想之间建立起联系，并用逻辑推理构建起概念体系和数学思想体系．理解概念是明确概念间的关系、灵活应用概念的前提，否则会产生判断错误，思维就会陷入困境．例如，如果角的弧度概念不明确，就会导致理解上的困难：sinx是一个实数，x是一个角度，如何比？更不用说求极限了．