具有投资利息的扰动复合Poisson风险模型的最优分红策略

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带干扰的两险种复合Poisson-geometric风险模型的破产概率

带干扰的两险种复合Poisson-geometric风险模型的破产概率孙春香【摘要】将经典单一型复合 Poisson风险模型推广到带干扰的两险种复合Poisson-geometric过程。

构造调节系数方程并证明了调节系数的存在唯一性之后，运用鞅方法推导出了该风险模型下保险公司破产概率的表达式和破产概率上界，并给出了当个体理赔额服从指数分布时破产概率的表达式。

%The classic single type of compound Poisson risk model is extended to two compound Poisson-geometric risk models with interference, an adjustment coefficient equation is constructed, and the existence uniqueness of the adjustment coefficient is proved, the representation and the upper bound of the probability of the ruin of insurance companies are derived using the martingale approach, and finally, the representation for ruin probability is given when individual claims conform to exponential distribution.【期刊名称】《五邑大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】5页(P6-10)【关键词】破产概率;Poisson-geometric过程;矩母函数;鞅;标准布朗运动【作者】孙春香【作者单位】淮南师范学院数学与计算科学系，安徽淮南 232038【正文语种】中文【中图分类】O211.5经典的风险模型[1-2]仅考虑单一险种，其截止到时刻的风险是一个简单的复合Poisson过程. 随着保险公司经营规模的不断扩大和新险种的开发，多元化经营必然产生，并且每一险种在同一时刻可能有多个顾客要求多项索赔. 因此，考虑双险种乃至多险种风险模型的破产概率问题具有实际意义[3-7]. 而在风险实践中经常会出现散度偏大的现象，因此设定索赔次数服从Poisson-geometric过程[4-7]，以更好地刻画具有免赔额的情形. 文献[4-5]研究了一类单险种复合Poisson-geometric过程的风险理论，推广了经典Poisson过程. 本文将进一步研究双险种复合Poisson-geometric过程下风险模型的破产概率，并用鞅方法推导该风险模型下保险公司破产概率的最终表达式和破产概率上界，给出当个体理赔额服从指数分布时破产概率的显式表达式.对于某种保险来讲，不管是保险公司还是投保人，最关心的就是资产负债配比问题. 我们称资产大于负债的差额为盈余，简化实际情况得出下面经典破产概率模型：其中，是保险公司初始资本，为收取保费率，表示第次索赔额且相互独立同分布于，表示时刻为止发生的索赔次数且为泊松过程. 与独立. 为破产概率.定义1 设，称随机变量是参数为的Poisson-geometric分布，如果满足.注1 当，则Poisson-geometric分布退化为Poisson分布.定义2 设，称为参数为的Poisson-geometric过程. 如果满足：1）；2）具有独立平稳增量；3）对，是参数为的Poisson-geometric分布.由Poisson-geometric过程的定义可知：，. 当时，.注2 当，则Poisson-geometric过程退化为Poisson过程.命题1 如果是参数为的Poisson-geometric过程，则有：其中，.定义3 称模型为带干扰的两险种复合Poisson-geometric风险模型，如果：其中，独立同分布且有密度函数，且；独立同分布且有密度函数，且；为一标准布朗运动；是参数为的Poisson-geometric过程，是参数为的Poisson-geometric 过程.定义4 称为安全系数.因为，令，得：.保险公司破产时刻记为，破产概率记为.引理1 设复合索赔过程定义为，则的1）矩母函数为；2）数学期望和方差分别为，.定理1 对于盈利过程，存在函数，且有.证明因为，令，则 .定理2 方程存在唯一正解，称为调解系数.证明因为，，而，.所以为凸函数. 方程至多只有两个解，为平凡解，且在时有唯一极小值点，所以存在唯一正解记为.引理2 为鞅，其中.引理3 为停时.定理3 带干扰的两险种复合Poisson-geometric风险模型的破产概率满足不等式证明由引理3知为停时. 对任取的可知也是停时. 由引理2及停时定理可知再由全期望公式可得：；又时，，所以式（1）中令，有. 取，有，所以，其中.定理4 在带干扰的两险种复合Poisson-geometric风险模型下，破产概率的最终表达式为证明由定理3及单调有界定理和Lebesgue控制收敛定理即得结论成立.定理5 在带干扰的两险种复合Poisson-geometric风险模型下，当,独立同分布且均服从参数为的指数分布时，破产概率表达式为：其中为方程的唯一正解.证明及的密度函数为，设破产在有限时刻发生，记为恰在之前的盈余量，则事件与等价，其中为导致破产的理赔量..从而 .代入式（2）即得破产概率表达式为当及服从参数为的指数分布时，将矩母函数和代入，得：即为方程的唯一正解.本文讨论带干扰的两险种复合Poisson-geometric过程风险模型下保险公司的破产概率，该模型不同于经典模型，避免了散度偏大现象，且更好地刻画了免索赔情形. 本文所建模型是符合保险实际的，这对保险公式科学预测未来的风险和收益有一定的实际意义. 可以将本文结果推广到多险种的情形，但不存在本质差别. 考虑混合险种即为Poisson-geometric过程，为复合Poisson过程情形下的破产概率将是进一步研究的内容. 另外，也可以考虑基于变利率下双险种模型的破产概率，这将更有实际意义.【相关文献】[1] 成世学，严颖. 数学风险论导引[M]. 北京：世界图书出版公司，1997.[2] 成世学. 破产论研究综述[J]. 数学进展，2002, 31(5): 403-422.[3] 蒋志明，王汉兴. 一类多险种风险过程的破产概率[J]. 应用数学与计算数学学报：2000, 14(1): 9-16.[4] 毛泽春，刘锦鄂. 索赔次数为复合Poisson-geometric过程风险模型及破产概率[J]. 应用数学学报，2005, 26(3): 419-428.[5] 周绍伟. 双复合Poisson-geometric风险模型及破产概率[J]. 山东大学学报，2009, 44(12): 60-63.[6] 牟小青. 复合Poisson-geometric过程的风险模型的破产概率及推广[J]. 统计与决策，2011(20): 14-17.[7] 熊莹盈，高莘莘. 关于复合Poisson-geometric风险模型的破产概率研究[J]. 湖北大学学报，2011, 33(1): 31-35.[8] GRANDELL J. Aspects of risk theory [M]. New York: Springer-verlag, 1991.。

复合Poisson-Geometric风险下保险公司的最优投资-再保-混合分红策略

复合Poisson-Geometric风险下保险公司的最优投资-再保-混合分红策略孙宗岐;陈志平【摘要】为了更好地反映保险实际并为保险公司寻求更稳健的策略,本文考虑索赔次数服从复合Poisson-Geometric过程时,保险公司的最优投资-再保-混合分红策略问题.假定保险公司的盈余服从扩散过程,在分红总量现值的期望最大化的准则下,我们使用动态规划原理建立了保险公司的最优投资-再保-混合分红模型,通过求解HJB方程得到了最优投资决策,最后在再保险的保费损失率等于红利的贴现率的条件下,得到了最优投资-再保-混合分红策略的显式解,数值算例及经济分析表明了文章结果的合理性.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2016(033)005【总页数】17页(P463-479)【关键词】复合Poisson-Geometric过程;扩散过程;投资策略;再保险策略;混合分红;HJB方程;偏离系数【作者】孙宗岐;陈志平【作者单位】西安思源学院高数教研室,西安710038;西安交通大学数学与统计学院,西安710049【正文语种】中文【中图分类】O211.631 引言经典的风险模型通常将索赔事件等价于风险事件，即风险事件一旦发生就会赔付．然而现实中，在赔付政策里存在无赔款折扣优待制度，甚至免赔额制度．这样一来当索赔成本与赔付额相差不大时，投保人会放弃索赔．另一方面，根据保险公司的历史数据不难检验出索赔次数的方差并不等于其期望[1]，这显然与齐次Poisson过程的性质不一致．毛泽春和刘锦萼[1,2]首次对保单免赔和无赔款折扣优待制度下的索赔次数进行了分析，提出了复合Poisson-Geometric过程，并利用它来刻画存在这种赔偿限额约束的索赔次数，进而导出了该过程下保险公司破产概率应满足的更新方程．自此，不断有学者将这一过程引入到保险风险模型中来，林祥和李娜[3]运用随机最优控制原理研究了索赔次数为复合Poisson-Geometric 过程的最优投资与比例再保险问题，得到了最优投资–再保策略和最小破产概率的显式解；杨鹏等[4]研究了索赔过程为复合Poisson-Geometric过程的均值–方差模型，得到了最优投资与超额损失再保险策略的解析解及有效边界．贺丽娟等[5]研究了保费率为时间的函数的复合Poisson-Geometric风险下，保险盈余的Gerber-Shiu惩罚函数所应满足的更新方程．Huang等[6]研究了带干扰的双复合Poisson-Geometric过程的保险风险模型．然而迄今为止，我们并未看到关于复合Poisson-Geometric过程下保险公司分红问题的研究．在保险实务中，当盈余达到一定水平后，保险公司一般会采取给投保者分红的策略来提高自身在保险行业的竞争力．1957年，Finetti首次研究了分红问题，到目前为止，已有许多研究将分红策略引入到金融决策中来[7-10]．目前流行的基本分红策略有阀值分红和有界分红．然而采用单一的阀值分红策略不仅不够灵活，由于保险的盈余增长不可能无限，出于激发投保热情的目的，我们还可以考虑边界分红策略．这种同时考虑两种基本分红策略的所谓混合分红策略最早由Ng[11]提出，它是对单一分红策略的推广．为了提高分红水平，除了增加常规的投保，风险资本投资也是一种十分有效的手段．杨鹏[12,13]在跳–扩散风险模型下分别研究了具有投资行为的保险公司最优阀值分红问题和有界分红问题．温玉珍和尹传存[14]则研究了一类混合分红策略下，索赔到来的时间间隔服从广义Erlang(n)分布的更新风险模型．上述研究要么没有考虑风险投资，要么虽考虑风险投资，但未考虑风险资产价格的波动对保险收益的影响．一个显然的事实是：保险公司承保的失业保险，在经济低迷时由于资本市场回报惨淡，加之社会上出现大量失业，从而导致理赔的加剧．因此，考虑与资本市场收益波动相关的保险公司的最优投资组合及分红策略不仅有重要的理论意义而且有较大的实用价值．鉴于以上情况，本文拟在索赔次数服从复合Poisson-Geometric过程的假设下，考虑与资本市场收益波动相关的保险公司的最优投资–比例再保险策略和最大混合分红问题．文章的具体结构如下：第2节首先从数学上给出风险过程和分红机制的描述，然后利用随机最优控制原理导出相应的最优控制问题．第3节将最优控制问题转化为HJB方程，并得到HJB方程的解析解，最后在一种特殊情形下，给出了最优金融策略的完全显式解．第4节给出数值实例，并分析偏离系数和相关系数对最优金融策略的影响，给出其经济上的解释．第5节则是全文总结．2 建立模型本文假设所有随机过程和随机变量都定义在完备概率空间(Ω,F,P)上，其产生的σ-域流{F t:t>0}完备且右连续．类似已有文献中的假设，我们允许连续交易且资产可任意分割，市场不存在摩擦，整个投资过程是自融资的且无套利．本节先给出索赔次数、盈余过程和混合分红机制的数学描述，然后再导保险公司的最优控制问题．2.1 索赔次数、盈余过程和混合分红机制的刻画2.1.1 索赔次数的刻画通过分析保险实务中索赔事件与风险事件到来的差异，并基于免赔额和无赔款折扣优待制度，毛泽春和刘锦萼[1,2]提出了如下的复合Poisson-Geometric过程．定义1 设λ>0,0< γ<1，称非负整值随机变量N服从参数为λ,γ的复合Poisson-Geometric分布，如果满足由已有文献[1,2]中的结论，我们有：引理1 若随机变量N服从参数为λ,γ的复合Poisson-Geometric分布，则随机变量N的矩母函数为当γ=0时可见，此时复合Poisson-Geometric分布退化成一般的Poisson分布．注1 复合Poisson-Geometric分布可以看作是以下两种独立分布的复合．如果随机变量N 1服从参数为的Poisson分布，随机变量序列独立且同分布于参数为1−γ的Geometric分布，那么N=服从参数为λ,γ的复合Poisson-Geometric分布．将上述定义推广到随机过程则有如下定义．定义2 设λ>0,0≤γ<1，称随机过程{N(t)}服从参数为λ,γ的复合Poisson-Geometric过程，如果满足：1)N(0)=0；2) N(t)有独立平稳增量；3) 对任意t≥0,N(t)服从参数为λ,γ的复合Poisson-Geometric分布，且注2 当γ=0时，复合Poisson-Geometric过程退化为一般的Poisson过程，这里的γ常称为偏离系数．2.1.2 盈余过程的刻画保险公司经典的盈余过程是这里x表示初始盈余，c表示保费率，表示保险公司到时刻t为止的累积索赔，Y i 表示第i次索赔时的索赔额，N1(t)服从参数为λ的Poisson过程，表示到时刻t 为止索赔发生的次数．基于复合Poisson-Geometric过程，我们将N 1(t)拓广为参数是λ,γ的复合Poisson-Geometric过程N(t)．{N(t)},{B1(t)},{Y i}相互独立．假设Y i服从参数为的指数分布，则由文献[2]的引理4可知其中p1=E[Y i]=m,p2=E[Yi 2]=2m 2．根据Taksar和Markussen[15]的研究，经典的盈余过程可以近似地用扩散过程来描述，其中是一维标准布朗运动．为了安全起见，保费率须满足称为安全负载系数，则不难得到保险公司的盈余满足扩散过程如果保险公司在破产前将部分盈余投资于其价格过程满足如下方程的风险资产，这里µ0是风险资产的期望收益率，σ0是波动率，是一维标准布朗运动．设与的相关系数为ρ，而投资于风险资产(比如：股票)的额度为π(t,x)，则保险公司的盈余过程满足进而，若我们还考虑再保险业务，并假设再保险的自留比例为q(t,x)，再保险的保费安全负载系数为η(>θ)，则盈余过程的描述可进一步表示为即下文中，我们记所有满足以下条件的控制策略(π(t,x),q(t,x))的集合为可行集Π：2.1.3 混合分红机制的描述为使结果具有普适性，本文假设保险公司对股东或投保人按以下混合分红机制进行红利分配．设b2>b1>0，当修正盈余低于b1时，保险公司不分红；当修正盈余大于等于b1而小于b2时，依常数速率α(<c)连续分红；当修正盈余超过b2时，超出部分全部分红．对于t≥0，令D(t)=D 1(t)+D 2(t)表示到时刻t为止的累积分红总量，D 1(t),D2(t)分别表示上述两种分红方式下的累积分红．令˜R(t)(t)−D(t)表示修正盈余，表示破产时间，则对于t≤T，我们有最后，若用D表示破产前的累积分红的现值，则有2.2 最优控制问题有了以上的准备工作，我们即可建立保险公司为寻求最优投资–再保策略与混合分红函数而应求解的随机最优控制问题．为此，对任意的x≥0，用J(x;b1,b2)=E[D|˜R(0)=x]表示破产前累积分红现值的期望．保险公司进行风险投资和再保险的目的是通过选择最优的风险资产投资额度和再保险比例，使得最终的折现累积红利的期望达到最大，即亦即以下称其为最优混合分红函数．由此，我们可构建如下的最优控制问题为了便于处理值函数V(x;b1,b2)在x=0时的状态，我们假设初始财富可以小于零，且只有当|x|充分小时，保险公司可适当注入一定的资金来避免一开始就出现理论意义上的破产．具体地，选定一个适当的惩罚因子ϕ>1，它表示如果发生破产，保险公司就需要注入损失额ϕ倍的资金以作为惩罚．因此，当x<0时，我们有3 求解模型这一节，我们首先利用最优控制原理将本文的随机最优控制问题转化Ham ilton-Jacobi-Bellman方程，并求解该方程在不同情形下得到最优控制策略．3.1 Ham ilton-Jacobi-Bellman方程设为定义在[0,+∞)上的二次连续可微函数，且则由文献[16]中2.5.1节的结论可知，依照x的不同取值，我们可以具体给出以下三种情形下最优混合分红函数V(x;b1,b2)所应满足的相应HJB方程：1) 当0≤x≤b1时HJB方程满足如下边界条件进而，我们有下面的检验性定理[16]：引理2 设W(x;b1,b2)为定义在[0,+∞)上的二次连续可微的函数，且如果W(x;b1,b2)是上述方程(3),(4),(5)的经典解，那么W(x;b1,b2)与V(x;b1,b2)一致，且满足HJB方程的(π∗(x),q∗(x))是最优投资策略，即3.2 最优投资–再保策略与最优混合分红函数对应于上述三种情形下所得到的HJB方程，本节具体探讨并导出最优投资–再保策略，最后得到最优混合分红函数．3.2.1 b1<x≤b2时的最优投资–再保策略与最优混合分红函数定理1 当b1<x≤b2时，最优金融策略为最优混合分红函数为证明由于b1<x≤b2时，HJB方程为式(4)，不难由一阶最优性条件可解得代入HJB方程(4)有其中不难得到形如的解，则最优金融策略为将其代入方程(4)可解得L= ，于是V2(x;b1,b2)得以确定，且3.2.2 x>b2时的最优投资–再保策略与最优混合分红函数不难得到，当x>b2时，最优金融策略与定理1一致，相应的最优混合分红函数为3.2.3 0≤x≤b1时的最优投资–再保策略、最优混合分红函数定理2 当0≤x≤b1时，最优金融策略为最优混合分红函数为其中证明由于0≤x≤b1,V(x;b1,b2)满足的HJB方程(3)，由一阶最优性条件可解得将其代入方程(3)有式(7)是一个二阶非线性微分方程，根据Hojgaard和Taksar[17]可知：对形如(7)的方程，V′′(x;b1,b2)<0意味存在一个函数X:R→[0,∞)，使得亦即且将式(8)代入到方程(9)中，可得两边关于z求导可得不难得到其通解为由式(8)反解后得值函数可表示为以后为方便计，分别将C1(b1,b2)简记为C1，C2(b1,b2)简记为C2．定理3 在定理2中证明由于最优混合分红函数满足边界条件因此，由=ϕ有z=−lnϕ，从而同样，由第二个边界条件可得联立并解之，可得3.3 一种特殊情形下最优混合分红函数的完全显式解由定理1和定理3虽然可以得到但要求解其反函数X−1(y)却并非易事，从而函数的显示表达也不易获得．的经济学含义是再保险保费的缴纳导致的保费损失率等于红利的贴现率．本小节将在δ=的特殊条件下，完全地给出值函数显式解．定理4 在δ=的条件下，当0≤x≤b1时，最优金融策略为最优混合分红函数为4 数值算例及经济分析本节在δ=的条件下，考虑复合Poisson-Geometric风险中的偏离系数γ和保险收益与风险资本收益的相关系数ρ的变化对最优投资策略、最优再保险策略、最优混合分红函数的影响，并说明其经济学意义．4.1 γ和ρ对最优混合分红函数V(x)的影响算例1 设我们分别在γ取0、0.2、0.3的情况下利用matlab软件得到最优混合分红V(x)的图像，如图1所示．从图1可以看出：最优混合分红函数V(x)是初始财富x的增函数．这是因为初始准备金越充分，将来的盈余水平就越高，分红自然越多．其次，复合Poisson-Geometric风险的偏离系数γ越大，平均索赔额就越大，索赔风险加剧，盈余下降，分红减少．图1: 最优混合分红函数V(x)与偏离系数γ之间的关系算例2 设我们分别在ρ取0、0.8、0.9的情况下利用matlab软件得到最优分红V(x)的图像，如图2所示．图2: 最优混合分红函数V(x)与相关系数ρ之间的关系从图2可以看出：最优分红V(x)是初始财富x的增函数．其次，当保险收益与风险资产收益的相关系数增大时，保险公司面临的风险就会增大．在初始准备金不充裕的情况下，保险公司的偿付能力较弱，自然会采取保守措施来减少风险投资，以维持整体风险水平稳定．此时盈余水平降低，分红自然减少．但是，在初始准备金比较充裕的情况下，即使随着相关系数的增大面临的风险在增大，但是由于初始准备金比较充裕，公司偿付能力较强，此时与准备金不足时的保守态度相反，保险公司会积极地增加在风险资本上投资，高风险带来的高收益，增加了盈余水平，分红自然增加．4.2 γ和ρ对最优再保险策略1−q∗(x)的影响算例3 设我们分别在γ取0、0.2、0.3的情况下，利用matlab软件得到最优比例再保险策略1−q∗(x)的图像，如图3所示．图3: 最优再保策略1−q∗(x)与偏离系数γ之间的关系从图3可以看出：当x<1.5时，最优再保策略1−q∗(x)是初始财富x的减函数．这是因为初始准备金越多，偿付能力越强，需要通过再保险来分散风险的需求越小；当x≥1.5时，由于分红的调节，盈余水平维持在分红的边界，再保险比例也维持在一个固定水平上．进而，复合Poisson-Geometric风险的偏离系数γ越大，平均索赔尺越大，索赔风险加剧，从而就会增加再保险的比例，来转移增加的索赔风险．算例4 设我们分别在ρ取0.1、0.2、0.3的情况下，利用Matlab软件得到最优比例再保险策略1−q∗(x)的图像，如图4所示．从图4可以看出：当x<1.5时，最优再保策略1−q∗(x)是初始财富x的减函数；当x≥1.5时，由于分红的调节，盈余水平恒定，最优再保比例也维持恒定．进一步，当保险收益与资本市场收益的相关系数增大时，面临的风险上升，再保的比例也会随之上升，以达到转移资本风险的目的．图4: 最优再保策略1−q∗(x)与相关系数ρ之间的关系4.3 γ和ρ对最优投资策略π∗(x)的影响算例5 设我们分别在γ取0、0.3、0.5的情况下，利用matlab软件得到最优投资策略π∗(x)的图像，如图5所示．图5: 最优投资策略π∗(x)与偏离系数γ之间的关系从图5可以看出：当x<1.5时，最优投资策略π∗(x)是初始财富x的增函数，这是因为初始准备金增大，公司在风险资本上的投资就可以增多，资本收益增加，盈余水平提高，可以尽早的到达分红的边界开始分红；当x≥1.5时，由于分红机制的调节，保险公司盈余水平稳定，最优投资额度也会维持在一个固定水平上．进一步，当x<1.5时，偏离系数γ增大，索赔风险加剧，此时为了提高偿付能力，同时也是为了尽早达到分红边界，保险公司自然会通过增加风险投资的额度来获得更多收益，达到提高盈余水平的目的．但当x≥1.5时，偏离系数γ增大，虽然索赔风险加剧，但是由于分红机制的保障，盈余水平始终维持在分红边界，此时在盈余水平安全的情况下，保险公司会减少在风险资本上的投资，以降低资本风险，从而维持整体风险水平稳定．算例6 设我们分别在ρ取0、0.3、0.6的情况下，利用matlab软件得到最优投资策略π∗(x)的图像，如图6所示．图6: 最优投资策略π∗(x)与相关系数ρ之间的关系从图6可以看出：当x<1.5时，最优投资策略π∗(x)是初始财富x的增函数．当x≥1.5时，由于分红机制调节，盈余水平稳定，最优投资额度也会维持在一个固定水平上．进而，当保险收益与资本收益的相关系数ρ增大时，面临的资本风险增大，在初始资本不足、偿付能力较弱的情况下，会减少最优投资额度，从而用降低资本风险的办法来维持整体风险水平的稳定．当x≥1.5时，相关系数ρ增大，资本风险增大，但由于此时盈余水平恒定，保险公司会采取一种不同于前者保守态度的相反措施–积极地增加风险投资，从而获得更高的资本收益，最终实现提高分红的目的．5 小结本文章研究了复合Poisson-Geometric风险下保险公司的风险模型，在索赔额服从指数分布的假设下，探讨了最优投资–比例再保险–混合分红策略问题，并运用随机最优控制原理得到了最优策略的显式表达式．从风险控制的角度看，为了节省索赔成本或者增强投保人的风险意识而推出免赔额制度或者无赔款折扣优待制度，但是这样会使得索赔的次数发生偏离，偏离系数越大，反而导致分红的减少，但是可以通过追加初始准备金的办法来提高分红．另外，如果选择的风险资本与保险收益的相关系数比较大，则在初始准备金不佳的情况下，反而会降低分红，但保险公司可以通过追加初始资本的方法来提高分红；不过，在初始准备金比较充裕的情况下，相关系数越高反而会提高分红．实际中，赔偿限额约束不仅会引起索赔过程的偏离，也会引起索赔额分布的“截头(尾)”情况，如何刻画索赔额的偏离是一个有待解决的问题．另外超额损失再保险和线性有界分红策略也是保险公司的常用策略，探讨复合Poisson-Geometric风险过程下该问题的求解则是一个值得研究的问题．参考文献：[1]毛泽春，刘锦萼.一类索赔次数的回归模型及其在风险分级中的应用[J].应用概率统计，2004,20(4):359-367 mao Z C,Liu J E.A regression model based on doub le param eters Poisson d istribution and its app lications to the risk classifi cation[J].Chinese Journal of App lied ProbabilityStatistics,2004,20(4):359-367[2]毛泽春，刘锦萼.索赔次数为复合Poisson-Geom etric过程的风险模型及破产概率[J].应用数学学报，2005,28(3):419-428 mao Z C,Liu J E.A risk model and ruin probability with com pound Poisson-Geom etric process[J].Acta mathem aticae App licatae Sinica,2005,28(3):419-428[3]林祥，李娜.索赔次数为复合Poisson-Geom 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University,2013,30(6):92-97[13]杨鹏.具有阀值分红策略的最优投资问题探讨[J].统计与决策，2012,369(21):56-58 Yang P.Investigation of the op tim al investm ent prob lem with th reshold dividend strategy[J].Statistics andDecision,2012,369(21):56-58[14]温玉珍，尹传存.一类混合分红策略下的广义Erlang(n)风险模型[J].中国科学：数学，2014,44(10):1111-1122 W en Y Z,Y in C C.A generalized Erlang(n)risk model with a hybrid dividend[J].Scientia Sinica mathematica,2014,44(10):1111-1122[15]Taksar M,markussen C.Op tim al dynam ic reinsu rance policies for large insu rance portfolios[J].Finance and Stochastic,2003,7(1):97-121 [16]Schm id li H.Stochastic Control in Insu rance[M].London:Sp ringer Verlag,2008[17]Ho jgaard B,Taksar M.Controlling risk exposu re and dividends payout schem es:insu rance com pany exam ple[J].mathem aticalFinance,2000,9(2):153-182。

按比例分红策略下具有常利率的复合泊松风险模型——3个保险精算量的联合分布

Ｖｏ．８Ｎｏ４１２．０ｃ．２０ｔ０８
文章编号：６１１４２０）４０９５１７ —１１（０８０ —０４ —０
按比例分红策略下具有常利率的复合泊松风险模型
— —
３个保险精算量的联合分布
王玲芝，裴新年，徐明军。，张春生
３ＴａｊｃｔｎｌｏｌｇｆｌｃｒｎｃｎｎｏｍａｉｎＴｃｎｌｇ，ａｊ０１０ｈｎ；．ｉｎｉＶｏａｉａＣｌｅｏｅｔｏｉｓａｄＩｆｒｔｅｈｏｏｙＴｉｉ３０，ＣｉａｎｏｅＥｏｎｎ１
第２８２８年第４期０卷１０Ｏ月
天津师范大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｏａｊｒｌＵｎｖｒｉＮａｕａｃｅｃｉｏ）ｏｒａｆＴｉｎｉＮｏｍａｉｅｓｔｎｙ（ｔｒｌＳｉｎｅＥｄｔｎｉ
ａｄｔｅｄｆｉａｕｎｉｏｔｉｅｃｏｄｎｏｔｅｃａｓｃｌｉｋｐｏｅｓｗｉｏｓａｔｉｔｒｓａｅｕｄｒａｔｒｓｏｄｎｈｅｉｔｔｒｉｓｂａｎｄａｃｒｉｇｔｈｌｓｉａｓｒｃｓｔｃｎｔｎｎｅｅｔｒｔｎｅｈｅｈｌｃｒｈｄｖｄｎｔａｅｙｉｉｅｄｓｒｔｇ．Ｋｅｒｓｏｏｎｏｓｏｉｋｍｏｅ；ｉｔｒｓａｅｈｅｈｌｉｉｅｄｓｒｔｇｙｗｏｄ：ｃｍｐｕｄＰｉｓｎｒｓｄｌｎｅｅｔｒｔ；ｔｒｓｏｄｄｖｄｎｔａｅｙ；ｔｆｒｉｉｏｕｎ；ｓｒｌｓｉｍｅｕｐｕｍｍｅｉｄ— ａｅｙｂｆｒｕｎｅｉｉａｕｎ；ｔａｓｔｎｄｎｉｙｆｎｔｎ；Ｌｐａｅｔａｓｏｍｔｌｅｏｅｒｉ；ｄｆｔｔｒｉｃｒｎｉｉｅｓｔｕｃｉｏｏａｌｃｒｎｆｒ

基于带跳的风险资产、索赔次数为复合Poisson-Geometric过程下的最优决策略问题

为：
Ｒ－ｒｏｔ其中ｔｏ＞０是无风险利率：
（１．４）
风险资产投资回报过程见可以表示为：
Ｒ产＋芦曰（）＋ＳＲ．（１．５）
其中对于任意的 ≥０，ｒ，ＪＢ为正常数，在模型（１．５）中ｒ为一固定利率，ｆＢ（ｔ）；ｔ ≥ ０｝为一标准的布朗运动，表示在某一时刻保险人投资回报的不确定性；｛％；ｔ ≥Ｏ）为强度为Ａ的齐次泊松过程；｛ＳＲｋ；ｋ ≥１）为独立同分布的随机变量，起共同分布为，均值为。若Ａ＝Ｏ，没有投资于风险资产，为了保证无套利原则，需令ｒ０＝ｒ；若ＡＯ，我们同样要假设：
李娜（昆明理工大学（呈贡校区）理学院数学系，云南昆明６５０５０４）
【摘要】本文基于索赔次数为复合Ｐｏｉｓｓｏｎ — Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ过程的风险模型，并且保险公司所得盈余投资于带跳的风险资产的情形下，运用动
０引言
保险是一个经营风险特殊的金融服务行业．为了在日益激烈的竞争中立于不败之地．保险公司必须不断的对自身风险的度量及保险决策的研究在保险实务中．保险公司仅靠保险费收入来满足保险公司的赔付是非常困难的。因此保险公司必须对盈余进行投资．从投资中获得大量的收益来提高自身的偿付能力以及业务的拓展能力。同时，为了减少保险公司所面临的风险．提高保险公司承保能力．保险公司都必须对赔付进行再保险安排因此保险公司怎样选择最优再保险方式、确定再保险额度以及最优投资额度．使自身的破产概率最小以及期望效用最大化已经成为每个保险公司所要面对的问题。众所周知，投资是有风险的．大的赔付有可能发生在投资资产的市场价值很低的时候．这时候保险公司即使是出售这些资产。也不能覆盖所有的赔付，从而导致保险公司破产。而且，再保险还要分出一部分保费。因此，控制投资或者控制再保险．或者同时控制投资与再保险．使得保险公司的期望效用最大或是破产概率最小以成为当今金融数学研究的热点问题之一．它的理论研究不仅丰富和发展了现代金融理论．而且也沟通了各数学分支与金融学、保险学之间的联系，对保险数学的发展起了一定的推动作用因此本文基于对索赔次数为复合Ｐｏｉｓｓｏｎ — Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ过程的风险模型．并且保险公司所得盈余投资于带跳的风险资产的情形下．研究使得期望效用最大的最优投资和再保险策略，其具有非常重要的现实意义在任意时刻ｔ保险人投资于无风险资产的投资回报过程可表示，ຫໍສະໝຸດ ，ＳＲ…

具有随机投资收益的离散风险模型的最优红利分配

（．）２２
其中ｃｂ，一）（为第ｎ个时间段开始时派付的红利，依赖于红利分配指标ｂ一和该时间段
开始时的盈余～，如在常量边界策略下
＝
ｘ萋：ｏ ≥
３
（．）２４
假定公司派付的红利不超过当时的盈余，即
０Ｃｂ，一）＜一，０（１ｌｎ．
第２５卷第４期
２００８年１２月
经
济
数
学
Ｖｏ．５Ｎｏ．１２４Ｄｅｃ．２ｏｏ８
ＭＡＨＥＳＩＣＯ０ＭＩＳＴＭＡⅡＣＮＥＮＣ
具有随机投资收益的离散风险模型的最优红利分配
徐林姚定俊，
（．师范大学数学计算机学院，１安徽芜湖，４０３２华东师范大学金融统计学院，２１０；．上海，０２１２０４）
有如下的递推构：
＝
Ｘ
一 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（１＋Ｉ）一Ｚ，０＝＞０ｎＸ．
（．）２１
其中，，１和｛ｎ１为两独立同分布的随机变量序列；表示第ｎ个时间段内的净｛ｎ｝ｚ，｝损失，Ｚ＜；＋表示单位资本在时问段ｎ内的随机投资收益，Ｅｎ０１假定ｒ＝Ｅ１］，：［＋＞１即
望累积红利，即
一
：
＝
［ｅａ（ ’ ］ ∑ －ｃｂ，，ｎ）
（．２）５
其中Ｔ：ｉ｛： ’ ０为给定了计划丌的模型（．）ｎｎ＜｝／２２的破产时刻．了数学处理的方便，为令

线性红利下带干扰的复合Poisson风险模型

Ａｂｔａｔｎｔｉｒｉｌｓｒｃ：Ｉｈｓａｔｃｅ，ａｒｓｄｌｏｉｅｒｄｖｄｎａｒｅＳｃｎｉｅｅｅｅｔｅａｒｖｌｏｉｋｍｏｅｆａｌｎａｉｉｅｄｂｒｉｒｉｏｓｄｒｄｗｈｒｈｒｉａｆｔｅｐｌｉｓｉｉｓｎｐｏｅｓａｄｕｎｅｔｉｎｏｎｙｎｆｔｎｓａｃｏｈｏｉｅｓａＰｏｓｏｒｃｓｎｃｒａｎｉｃｍｅａｄｐａｍｅｔｏｈｅｉｕｒｎｅｃｍｐａｙｉｃｎｓａＢｒｗｎｉｎｍｏｉｎ．Ｂｙａｌｉｇｍａｔｇｌｐｐｏｃｏａｔｏｐｐｙｎｒｉａｅａｒａｈ，ｔｅＬｎｅｇｉｅｕｉｙａｄｔｅｆｒｌｆｔｅｎｈｕｄｂｒｎｑａｔｎｈｏｍｕａｏｈｌ
ｉｂａｎｄ．ＳｏｔｉｅＫｅｒｓ：ｉｅｒｄｖｄｎｒｉｒｉｆｉｎ；ｒｉｒｂｂｉｔｙｗｏｄｌｎａｉｉｅｄｂａｒｅ；ｄｆｏｕｎｐｏａｌｙ；ｓｒｉａｒｂｉｉｕｓｉｕｖｌｐｏａｌｔｎｅｒ —ｄｆｅ－ｖｂｙ；ｉｔｇａｌｉｒｅｔａｑａｉｎ；ｍａｉｇｅｎｉｌｅｕｔｏｔｌｒｎａ
摘
要：线性红利下将保单到达过程推广为Ｐｉｏ在ｏｓｎ过程，通过添加Ｂｏｎａ动来刻ｓ并ｒｗｉｎ运
画保险公司不确定的收益和付款，建立线性红利下带干扰的复合Ｐｉｏ险模型．用鞅方法ｏｓｎ风ｓ运得出了破产概率满足的Ｌｎｂｒｕｄｅｇ不等式和一般公式，并给出了生存概率满足的积分一微分方程。关键词：线性红利；干扰；产概率；破生存概率；积分一微分方程；鞅文献标识码：Ａ文章编号：６４— ４５２１）３— １５— ６１７８２（００００ｌ０中图分类号：２１６０１．７

带约束复合泊松模型的最优分红策略

摘
要
本文研究了在有界分红速率下的关于带有常数利率的复合泊松风险模型的最优分红问题，且在有限分红速率的约束下，旨在将破产之前最大化收到的预期累积折现分红，并给出分红策略的相关特征。最后根据测度值生成元理论，本文确定了相关联的测量值动态规划方程(DPE)，并进一步分析出测度值DPE与拟变分不等式之间的关系。
Optimal Dividend Strategy with Constrained Compound Poisson Model
Yanshuang Zheng, Guoxin Liu
School of Science, Hebei University of Technology, Tianjin
Keywords
Compound Poisson Model, Optimal Dividend, Bounded Dividend Rates, Measure-Valued DPE
带约束复合泊松模型的最优分红策略
郑艳双，刘国欣
河北工业大学理学院，天津
收稿日期：2019年3月5日；录用日期：2019年3月20日；发布日期：2019年3月27日
Open Access
1. 引言
最优分红策略最早是 De Finitti (1957) [1]在第十五届精算大会上提出的，他指出公司应当寻求破产前所有分红期望折现值的最大化。 2006 年 Gerber [2]研究了连续时间经典风险模型中的最优分红策略，证明了经典累积风险模型的最优分红策略。Azcue & Muler [3] (2012)将最优值函数刻画为关联 HJB 方程的最小粘性解，并证明了使预期折现分红最大化的最优分红策略是带状策略。当给定的可行分红策略的值函数光滑且满足 HJB 方程，Gerber [4]给出了验证结果，表明它是最优值函数。Schmidli [5]在 2008 年考虑年讨论了在风险模型中包含常利率的最大化分红问题。至此，关于最优分红问题的研究也越来越多。索赔额分布连续的情况，给出了 Cramé r-Lundberg 风险模型中更一般的验证定理。Albrecher [6]在 2008 关于带利率的最优分红问题，2006 年 Cai [7]盈余以恒定的利率获得投资收益。2007 年 Fa带约束复合泊松模型的最优分红策略[J]. 应用数学进展, 2019, 8(3): 561-568. DOI: 10.12677/aam.2019.83062

随机利率下双分红的变保费复合帕斯卡模型

随机利率下双分红的变保费复合帕斯卡模型本论文旨在研究双分红的变保费复合帕斯卡模型，即在随机利率下结合保险保费复合和帕斯卡研究保险公司余额问题，重点要求研究如何通过双分红技术解决这个问题。

首先，要理解双分红是什么，它是保险公司以一定的比例将保险契约的累积收益重新分配给投资者的一种技术，其中投资者可以实时分享获得了受益权。

而复合帕斯卡模型，也就是保险公司资金管理中最重要的模型。

它利用概率理论和数学期望原理，根据风险水平和期望收益，来确定保险公司应该投资于何种证券，以实现安全和稳健的经济运营。

然而，双分红和复合帕斯卡模型都考虑到了随机利率的影响。

随机利率对保险公司资产负债管理的影响很大，因为随机利率的变动会使资金管理模型和组合投资战略变得非常不稳定，以至于影响到投资者的收益，进而影响保险公司的经营状况。

因此，双分红及复合帕斯卡模型的结合也将在一定程度上减少受随机利率影响的因素，改善保险公司的资产负债管理状况。

综上所述，要想真正解决保险公司余额问题，需要结合双分红和复合帕斯卡模型，同时考虑随机利率的影响。

此外，还需要开展实证研究，以检验双分红变保费复合帕斯卡模型的有效性。

只有通过实施实证研究，才能确定双分红变保费复合帕斯卡模型的效果，从而解决保险公司余额问题。

本报告将以SWOT分析法对公司进行分析，考察其优势、劣势、机遇与威胁，以此作出后续决策。

首先是优势。

公司拥有多年发展经验，产品质量有保证，技术也在不断更新，为客户提供优质的服务，同时拥有完善的售后服务体系，提供有效的解决方案，满足客户需求，提升客户满意度。

此外，公司有众多忠实客户，团队凝聚力强，业务用户群规模逐渐变大，拥有强大的市场竞争力。

接下来是劣势，公司产品价格不断上涨，客户抱怨产品价格太高，产品方向上匮乏创新，拓展新市场也存在困难，不能把握顾客最新需求，生产成本较高，管理上也存在一些问题，影响公司效率，缺少高管的战略规划。

然后是机遇，新的技术和新的产品不断涌现，促进了公司发展，把握机遇以改善公司产品，有利于拓展新市场，可以深入挖掘客户需求，为客户提供更好的服务，并及时把握市场变化，为公司的发展创造新的机会。

双复合Poisson 模型下的最优投资和再保险

i 1 N (t )
附注 1
本文中我们假定连续时间的金融市场允许连续交易，无交易成本和税收
成本以及所有资产无限可分，并且盈余过程 X (t ) 定义在完备概率空间 (, F , P ) 上。策略 ( (t ), (t )) 关于 Ft 可测，且 ( (t ), (t )) ( 是容许集)。假设保险公司追求最终财富效应最大化，并令其效用函数为
{M 1 (t ), t 0} 相互独立。
保险公司为了分散风险，扩大承保能力，稳定经营成果，都会进行再保险。本文中假定保险公司进行非比例再保险，并且保险公司可以连续地调整自留额
(t ) ，即 { (t ) 0, t 0} 是关于 F {Ft } 的适应过程。由期望原理，保险公司再保
------------------------------------------收稿日期：基金项目:2012 年贵州师范大学学生重点项目 1 作者简介:曾吉相(1986-),男,汉,硕士研究生,研究方向:金融数学, E-mail:zengjx1986@
0．引言近年来，大量文献研究了基于最大终止效用准则的最优投资和非比例再保险问题。 Browne(1995)[1] 研究了保险公司在最大化生存概率下的最优投资策略。 Irgens(2004)[2]研究了保险公司盈余过程为带跳的扩散过程，研究了保险公司最优 [3] 投资和再保险。Yusong Cao(2009) 研究了保险公司基于 HJB 方程的最优比例再保险和投资问题。Hailiang Yang(2005) [4]研究了基于复合 Poisson 模型下的最优 [5] 投资策略。Sheng Liu,Jinxiao Zhang(2005) 研究了基于复合 Poisson 模型下 [6] 的有卖空限制的最优投资和非比例再保险问题。Zhibin Liang(2011) 研究了最优比例再保险和最优投资问题，并且投资回报瞬时率服从 Ornstein-Uhlenbeck 过程。在古典模型中，上述文献假设保险公司以单位时间常数速率收取保费，即保险公司有稳定顾客群。但是，保险公司的顾客群会随着公司的发展而增加，保险公司的顾客群会随着公司的衰退而减少。一方面，在实际中，由于竞争因素、利率因素等的影响，不同单位时间收取的保费往往不相同，所以本文考虑了用 Poisson 过程来描述保险公司保费的收入。另一方面，由于股票市场的投资回报瞬时利率是变动的，并且利率有均值回复的现象。因此，本文用 Vasieck 模型下的短期利率来模拟投资回报瞬时利率，并且考虑股票市场带有熊市和牛市特征，且股票有卖空限制。最后在最大化终止期望效用准则下，我们得到了最优投资和最优非比例在保险策略及值函数的闭式解。接下来本文将给出文章的一个简要提纲。第一部分，建立数学模型和 HJB 方程。第二部分，给出最优投资策略和值函数的显示解。第三部分，文章总结与展望。 1．数学模型和 HJB 方程 1.1 模型

带干扰和支付红利的经典风险模型的最优投资

第38卷第1期西南师范大学学报(自然科学版)2013年1月V o l.38N o.1J o u r n a l o f S o u t h w e s t C h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)J a n.2013文章编号:10005471(2013)01002204带干扰和支付红利的经典风险模型的最优投资①郭淑妹,郭杰,张宁解放军信息工程大学理学院,郑州450001摘要:研究了带干扰和支付红利的经典风险模型,在保险公司对外投资风险资产和无风险资产时,通过求解相应的H a m i l t o n-J a c o b i-B e l l m a n方程,得到破产概率最小的最优投资比例以及最小破产概率的L u n d b e r g上界.关键词:带干扰;破产概率;投资;H a m i l t o n-J a c o b i-B e l l m a n方程;L u n d b e r g上界中图分类号:O211.6文献标志码:A对于保险公司来说,使得破产概率最小,才能保证投保人的利益.所以找出最优投资是风险理论中研究的热点问题.B r o w n e[1]首先考虑了这个问题,在盈余过程为带干扰的布朗运动,风险资产只有一种,索赔服从几何布朗运动且没有再保险的条件下,得到了最优投资策略和最小破产概率的显示解.文献[2-3]在对赔付进行比例再保险的情况下,重新考虑文献[1]中的模型,他们也得到非常清楚的最优策略和最优值函数的表达式.文献[4]考虑了传统的风险模型,并假定盈余过程可以投资一种价格服从几何布朗运动的风险资产,在没有再保险的情况下得到了最小破产概率所满足的H a m i l t o n-J a c o b i-B e l l m a n(H J B)方程,证明了解的存在性,并给出了数值解.文献[5]在盈余可以投资无风险资产的条件下重新考虑了文献[4]的模型.文献[6]考虑了跳扩散风险模型的最优投资问题,研究了理赔服从指数分布㊁伽马分布情况下的最优投资以及最小破产概率的数值解.本文研究了带干扰和支付红利的经典风险过程,在此基础上考虑最优风险投资问题,得到了破产概率所满足的H J B方程,并且通过求解相应的方程,得到破产概率最小的最优投资比例,以及最小破产概率的L u n d b e r g上界.1模型的引入在完备的概率空间(Ω,A,P)上,考虑保险公司支付红利且带干扰项的盈余过程U(t)为U(t)=u+(c-d)t-ðN(t)i=1X i+δ1W(t)(1)其中:u为初始准备金,c为保费率,d是支付红利利率,N(t)是强度为λ的泊松分布,{X i}ɕi=1是非负独立同分布随机变量,Y(t)=ðN(t)i=1X i的分布函数为F(x),且与{X i}ɕi=1独立同分布,δ1是常数,W(t)是与Y(t)独立的标准布朗运动.在t时刻盈余为X(t)时考虑保险公司的投资.其中投资于无风险项目的资金为(1-a)X(t)(0<a< 1),收益率为r0(r0>0),投资于风险项目(比如股票)的资金占总资金额比例为a,投资于风险项目S(t)的情况为①收稿日期:20110924Copyright©博看网. All Rights Reserved.基金项目:国家自然科学基金资助项目(41174005).作者简介:郭淑妹(1981),女,河南驻马店人,讲师,主要从事保险数学与风险理论.d S (t )=μS (t )d t +δ2S (t )d B (t )t ȡ0其中:μ,δ2>0为固定常数;μ表示风险期望收益率;δ2表示风险波动收益率;B (t )为标准布朗运动,与U (t)独立.于是有d X (t )=d U (t )+a μX (t )d t +(1-a )r 0X (t )d t +a δ2X (t )d B (t )其中:X 0=x ,x >0,t ȡ0,B (t )与W (t)具有相关性d W (t )d B (t )=ρ 破产概率定义为Ψ(x )=P (T <ɕ|X 0=x )其中:T =i n f {t :X t <0}为停时.关于模型(1)研究已经有很多,本文将根据文献[7]所描述的动态规划方法得到破产概率所满足的H J B 方程,然后得出最优风险投资,以及破产概率的L u n d b e r g 上界.2 破产概率所满足的积分微分方程记具有初始资金x 和投资策略A 的盈余过程的破产时刻为:τ(x ,A )=i n f {t ȡ0:X (t ,A )ɤ0} 破产概率为:Ψ(x ,A )=P (τ(x ,A )<ɕ) 研究策略的容许集为A ,A ɪA ,A 是σ流可测的.通过伊藤公式和正则方法可以得到破产概率Ψ(x )满足的H J B 方程:i n f12[δ21+2ρδ1δ2A +δ22A 2]Ψᵡ(x )+(μA +c )Ψᶄ(x )+λE [Ψ(u -x )-Ψ(u {})]=0(2)以及边界条件Ψ(0)=1,Ψ(ɕ)=0由方程(2)可知最优投资策略为A *=-μΨᶄ(u )-ρδ1δ2Ψᵡ(u )δ22Ψᵡ(u )3 L u n d b e r g 上界为了讨论L u n d b e r g 上界,假定理赔所服从的分布是指数递减的,即矩母函数M (r )=E [e r y ]=ʏɕ0e r y d F (y ),设存在r ɕɪ(0,ɕ)使当r ʏr ɕ时,M (r )ʏɕ.易知M (0)=1且M 是[0,r ɕ)上连续增的凸函数.假设方程(2)的解为Ψ(x )=e -R x ,x ȡ0,记R (A )为方程12(δ21+2ρδ1δ2A +δ22A )r 2-(μA +c )r +λ[M (r )-1]=0的根,这是投资策略为常值A 时的L u n d b e r g 指数的定义,这里定义L u n d b e r g 指数为R =s u pR (A )如果策略A 是最优的,则在此策略下,不破产的概率是最小的.因为L u n d b e r g 指数越大,当初始资金增多时,破产概率递减的速度就越快,所以我们通过找到最大的L u n d b e r g 指数的办法找到渐进最优的投资策略.故R 是如下方程的解i n f {12(δ21+2ρδ1δ2A +δ22A )r 2-(μA +c )r +λ[M (r )-1]}=0(3)记方程(3)等号左边为f (A ,R ).注:对任意A ȡ0,f (A ,R )是变量为r 的凸函数,因为R ȡR (A ),所以f (A ,R )ȡf (A ,R (A ))=0.故最优投资策略A *对应于最大的L u n d b e r g 指数R 满足f (A ,R )ȡf (A *,R )=0,即R 为方程32第1期郭淑妹,等:带干扰和支付红利的经典风险模型的最优投资Copyright ©博看网. All Rights Reserved.i n f {f (A ,R )}=0的根.现在所要做的就是找到R 和A *.假定R 已知,则f (A ,R )=12(δ21+2ρδ1δ2A +δ22A )R 2-(μA +c )R +λ[M (r )-1]只有A *=μ-ρδ1δ2R δ22R2才可以使f (A ,R )最小.将A *带入f (A ,R )可知R 为如下方程的解12(1-ρ2)δ21r 2+λM (r )=λ+c r +μ22δ22-μρδ1r δ2 引理1 设x ȡ0,μʂ0,δ2ʂ0,则存在唯一的R ,0<R <r ɕ满足方程12(1-ρ2)δ21r 2+λM (r )=λ+c r +μ22δ22-μρδ1r δ2(4) 证分别记(4)式等号左右两端为h 1(r ),h 2(r )则h 1(0)=λ<h 2(0)=λ+μ22δ22显然h ᶄ1(r )>0.且l i m ңr r ɕh 1(r )=ɕ.所以存在存在唯一的R 使h 1(R )=h 2(R ).证毕.令F N 1t =σ(N 1(s ),s ɤt ),F N 2t =σ(N 2(s ),s ɤt ),F W t =σ(W (s ),s ɤt ),F t =F N 1t ᶱF N 2t ᶱF Wt ,则{F t ,t ȡ0}是F 的σ代数流.引理2 基于上述定义的R 和A *,M t :=e -R X x ,A *t为鞅.证显然,M t 关于F t 适应,另一方面任意0<s ɤt <ɕ,E [M t |F s ]=E [e -R X x ,A *t|F s ]=E [e -R [X x ,A *t -X x ,A *s]eX x ,A *s|F s ]=M s ef (A*,R )(t -s )=M s证毕.定理2 对于常数投资策略A *=μ-ρδ1δ2R δ22R2,Ψ(x )具有上界Ψ(x ,A *)ɤe -R x ,x ȡ0证由于{M t }t ȡ0为非负鞅,于是停时过程M τ(x ,A )*=M t ɡr (x ,A *)是鞅.因此e -R x =E [M τ(x ,A *)]=E [M τ(x ,A *)I {τ(x ,A *)ɤt }]+E [M τ(x ,A *)I {τ(x ,A *)>t }]其中I C 为C 的示性函数.由单调收敛定理有e -R x ȡE [M τ(x ,A *)|τ(x ,A *)<ɕ]P (τ(x ,A *)<ɕ)即Ψ(x ,A *)=P (τ(x ,A *)<ɕ)ɤe-R x E [M τ(x ,A *)|τ(x ,A *)<ɕ]由M τ(x ,A*)的定义知E [M τ(x ,A*)|τ(x ,A *)<ɕ]>1.证毕.参考文献:[1]B R OWN ES .O p t i m a l I n v e s t m e n t P o l i c i e s f o r aF i r m w i t hR i s kP r o c e s s :E x p o n e n t i a lU t i l i t y a n d M i n i m i z i n g t h eP r o b a -b i l i t y o fR u i n [J ].M a t h e m a t i c sM e t h o d sO pe r a t o rR e s e a r c h ,1995,20(4):937-957.[2] T A K S A R M ,MA R K U S S E NC .O p t i m a lD y n a m i cR e i n s u r a n c eP o l i c i e sf o rL a rg e I n s u r a n c eP o r t f o l i o s [J ].F i n a n c e a n d S t o ch a s ti c s ,2003,7(1):97-121.[3] L U OSZ ,T A K S A R M ,T S O IA.O nR e i n s u r a n c e a n d I n v e s t m e n t f o r L a r g e I n s u r a n c e P o r t f o l i o s [J ].I n s u r a n c e :M a t h -42西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .c n 第38卷Copyright ©博看网. 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带交易费用和投资约束的扩散模型中最优投资-分红问题

带交易费用和投资约束的扩散模型中最优投资-分红问题李曼曼;刘再明【期刊名称】《应用概率统计》【年(卷),期】2017(033)002【摘要】本文研究了带交易费用和投资约束的最优投资-分红问题.假定公司投资受到包含卖空和借贷的一般性约束条件,由此产生正则-脉冲随机控制问题.本文重点研究了投资收入不能满足资本折扣损失的非平凡情形,区分了三种不同可能状况下的拟变分不等式,并构造了其对应的值函数和最优策略.我们最后也给出了平凡情形下随机控制的具体结论.%This paper investigates the investment-dividend optimization problem for a corporation with transaction costs and investment constraints.The main feature is that we assume general constraints on investments including the special case of short-sale and borrowing constraints.This results in a regular-impulse stochastic control problem.The nontrivial case is that the investment can't meet the loss of wealth due to discounting.In this case,delicate analysis is carried out on QVI w.r.t.three possible situations,leading to an explicit construction of the value functions together with the optimal policies.We also give explicit conclusion of the trivial case at last.【总页数】19页(P151-169)【作者】李曼曼;刘再明【作者单位】重庆大学数学与统计学院统计与精算学系,重庆,401331;中南大学数学与统计学院概率统计研究所,长沙,410083【正文语种】中文【中图分类】O212.6【相关文献】1.带线性约束条件的跳扩散风险模型中的最优分红策略 [J], 麦吾鲁代;王文元2.带注资和交易费用的扩散模型的最优分红 [J], 岳毅蒙;王欣;赵锐3.复合泊松模型带投资和借贷的最优分红问题 [J], 杨泽晋;4.在跳跃扩散模型下带延迟和错误定价的超额损失再保险和投资的最优化问题 [J], 黄晴; 马世霞; 龚晓琴5.跳–扩散模型下分红投资及超额损失再保险的联合最优策略 [J], 丁丹丹;舒慧生因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

带利息力和交易费用的风险模型的最优分红策略

带利息力和交易费用的风险模型的最优分红策略岳毅蒙;赵锐;王辉【摘要】研究了保险精算中带利息力和交易费用的经典风险模型的最优分红策略问题，认为：在分红约束的情况下，以股东的折现分红减去惩罚折现注资的差的期望值最大化为目标，利用随机控制理论建立相应的HJB方程，最终得到相应的解，并得出最优分红策略，是Threshold策略。

%Considering the classical risk model with optimal dividend payments under force of interest and transaction cost,with maximizing the discounted dividend payments minus the penalized discounted capital injections as the object the corresponding Hamilton-Jacobi-Bellman equation was built by stochastic control theory.A method to determine numerically the solution to the integro-differential equation was derived.It showed that the optimal strategy was threshold strategy.【期刊名称】《郑州轻工业学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)006【总页数】4页(P99-102)【关键词】分红策略;随机控制;HJB方程【作者】岳毅蒙;赵锐;王辉【作者单位】商洛学院数学与计算机应用学院，陕西商洛 726000;商洛学院数学与计算机应用学院，陕西商洛 726000;商洛学院数学与计算机应用学院，陕西商洛 726000【正文语种】中文【中图分类】O211.6;F840.470 引言最优分红问题是近几年保险精算研究中的热点问题之一，B.De Finetti[1]于1957年首次在精算大会上提出该问题后，引起了广大学者的关注.文献[2]得到了带常利率的风险模型的最优分红策略为带状策略，证明了在指数索赔情况下其为边界策略.文献[3]得到了带利息力的风险模型的最优注资和分红策略是Threshold策略，但该模型未考虑交易费用，而在实际应用中，每次分红都需要支付一定的交易费用，交易费用是一个不可忽略的因素.考虑到金融机构是监管下的企业，为保证其良性运营，监管部门会要求它保持一个正的盈余水平，即限制保险公司要保证最小正盈余大于0.本文在考虑这两种因素的前提下，结合文献[4-13]的研究，讨论带利息力和交易费用的风险模型的最优分红和注资问题，为保险公司的策略选择提供一定的参考.收稿日期：2014-08-20基金项目：陕西省自然科学基础研究计划项目(2013JM1023);陕西省教育厅科研项目(2013JK0605);陕西省教育科学“十二五”规划课题项目(SGH13406);商洛学院科研项目(13SKY013,10SKY023,12SKY-FWDF011)作者简介：岳毅蒙(1984—)，男，陕西省富平市人，商洛学院讲师，硕士，主要研究方向为金融数学与保险精算.文章编号：2095-476X(2014)06-0099-041 模型构建考虑保险公司的风险盈余过程其中,x是初始资金;保费收入率c>0;{N(t)}t≥0是参数为λ>0的泊松过程;{Xi}i∈N 是相互独立同分布的随机变量，其概率函数为p(·),均值E[Yi]=μ.在此模型基础上引入策略π={(Dt,Zt)}，其中{Dt}表示到时刻t为止的累积分红，{Zt}表示到时刻t为止的累积注资.一个策略要称为可行策略，需满足以下条件1){Dt}是右连左极的,增的适应的过程,且满足D0-=0;2){Zt}是左连右极的,增的适应的过程,且满足Z0=0.则盈余过程转化为其中,r>0表示利息力.假设要求保险公司最低盈余m>0,那么破产时刻定义为对每个可行策略π的值定义为其中,β<1表示分红交易费用的比例因子，φ>1是罚金因子.令δ>r，本文考虑带有约束的分红策略，则目标就是最大化值函数Vπ(x)，即其中,∏表示所有可行策略的集合.2 值函数和HJB方程引理1 值函数V(x)在[m,+∞)上是增的，且满足引理2 值函数V(x)在[m,+∞)上是凹的且Lipschitz连续.定理1 值函数V(x)在[m,+∞)上几乎处处可导，且满足HJB方程max{[(c+rx-u)V′(x)+βu-(λ+δ)V(x)+[V(bπ)+(x-bπ)-V(x)]1{x≥bπ}+[V(m)+φ(x-m)-V(x)]1{x≤m}=0①证明由βe-δτV(Xτπ)+1{x≥bπ}(x-bπ)]其中,τ表示停时，若τ≤τπ，则所以βe-δτV(Xτπ)+1{x≥bπ}(x-bπ)]综上可得当x∈[m,bπ],应用公式得②其中,仅在注资时刻发生，所以当索赔到达或分红时,由索赔到达引起的跳,导致了是一个0均值的鞅.对等式②两边取期望，得(λ+δ)V(Xsπ)]1{x=bπ}ds若x∈C∩(0,bπ)，假设C是开集，则τπ>0，化简上式得(c+rx-u)V′(x)+βu-(λ+δ)V(x)+若x∈C∩[bπ,∞)，则V(x)=V(bπ)+x-bπ若x∈C∩(-∞,m]，则V(x)=V(m)+φ(x-m)故对于x∈C，有[(c+rx-u)V′(x)+βu-(λ+δ)V(x)+[V(bπ)+(x-bπ)-V(x)]1{x≥bπ}+[V(m)+φ(x-m)-V(x)]1{x≤m}=0若假设τ为任意停时，则当x∈(m,bπ)时，有(c+rx-u)V′(x)+βu-(λ+δ)V(x)+当x∈[bπ,∞)时，有V(x)≥V(bπ)+x-bπ当x∈(-∞,m]时，有V(x)≥V(m)+φ(x-m)所以,对于x∈R，有[(c+rx-u)V′(x)+βu-(λ+δ)V(x)+[V(bπ)+(x-bπ)-V(x)]1{x≥bπ}+[V(m)+φ(x-m)-V(x)]1{x≤m}≤0又V(x)≥0(x∈R),因此对于每个x，上面两个不等式至少有一个成立，即定理成立.3 最优分红策略由引理1知，一定存在一个常数b*=inf{x:V′(x)≤β}根据定理1构建策略π*={ut*,Ztut*}满足③即盈余在m和b*之间时，不发生分红和注资；当盈余到达或超过b*时，以比率α进行分红,但不注资；当盈余小于m时，发生注资.定理2 由③给出的Threshold 策略π*={ut*,Zt*}是最优策略.证明易知策略π*={ut*,Zt*}是一个允许策略.令V*(x)表示相应的值函数，T*表示策略③下破产时刻，由引理2和方程①可得是一个期望为0的鞅.所以由f(x)的有界性可知，当t→∞时，有故f(x)=V*(x)≤V(x).另外，由于f(x)是增的且当x≤-f(0)φ时,f(x)=0,f(x)在(-∞,+∞)上非负，对任意策略π，由HJB方程可知令t→∞，则f(x)≥Vπ(x).所以f(x)=V(x).4 结语本文在带利息力和交易费用的基础上考虑风险模型的最优分红问题，利用随机控制理论建立相应的HJB方程，求出相应的解，得出最优策略是Threshold策略的结论.这一研究推广了前人的理论，使风险模型更加符合实际，更具现实意义，这一结论可为保险公司的稳健性经营提供某种理论支持.参考文献:[1] De Finetti B.Su un’impostazione alternativa della teoria collettiva del rischio[J].Transactions of the XVth International Congress of Actuaries,1957,2(1):433.[2] Albrecher H,Thonhauser S.Optimal dividend strategies for a risk process under force of interest[J].Insurance:Mathematics andEconomics,2008,43(1):134.[3] Fang Y,Qu Z.Optimal dividend and capital injection strategies for a risk model under force of interest[J].Mathematical Problems in Engineering, 2013,2013:110.[4] Fang Y,Wu R.Optimal dividend strategy in the compound Poissonmodel with constant interest[J].Stochastic Models,2007,23(1):149.[5] Gao S,Liu Z.The perturbed compound Poisson risk model with constant interest and a threshold dividend strategy[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2010,233(9):2181.[6] Cai J,Yang H.Ruin in the perturbed compound Poisson risk process under interest force[J].Advances in Applied Probability,2005,2005:819-835.[7] Lin X S,Pavlova K P.The compound Poisson risk model with a threshold dividend strategy[J].Insurance:Mathematics and Economics,2006,38(1):57.[8] Scheer N,Schmidli H.Optimal dividend strategies in a Cramer-Lundberg model with capital injections and administration costs[J].European Actuarial Journal,2011,1(1):57.[9] Zhu J.Optimal dividend control for a generalized risk model with investment incomes and debit interest[J].Scandinavian Actuarial Journal,2013(2):140.[10] Avanzi B,Shen J,Wong B.Optimal dividends and capital injections in the dual model with diffusion[J].Astin Bulletin,2011,41(2):611.[11] Bayraktar E,Kyprianou A E,Yamazaki K.Optimal dividends in the dual model under transaction costs[J].Insurance:Mathematics and Economics,2014,54:133.[12] 岳毅蒙.考虑交易费用和管理费用的Cramer-Lundberg 模型的最优分红策略[J].郑州轻工业学院学报：自然科学版, 2014,29(4):100.[13] 李野默,王秀莲.复合泊松风险模型中观察间隔为均匀分布时的贴现罚金函数[J].天津师范大学学报:自然科学版,2014,34(2):12.。

带注资和交易费用的扩散模型的最优分红

带注资和交易费用的扩散模型的最优分红岳毅蒙;王欣;赵锐【摘要】Issues about optimal dividends strategies of the model are discussed based on diffusion model with capital injection and transaction cost and by realizing the difference of maximization of value of expec-tation which equals to discounted dividends of shareholders minus punishment discounting capital injection as a target.The corresponding solutions and optimal dividend strategies are deduced through related HJB e-quation built by stochastic control theory.%在带注资和交易费用的扩散模型基础上,以股东的折现分红减去惩罚折现注资的差的期望值最大化为目标,讨论了模型的最优分红策略问题.由随机控制理论建立相应的HJB方程,得到了相应的解及最优分红策略.【期刊名称】《甘肃科学学报》【年(卷),期】2016(028)003【总页数】3页(P13-15)【关键词】扩散模型;注资;HJB方程;分红【作者】岳毅蒙;王欣;赵锐【作者单位】商洛学院数学与计算机应用学院,陕西商洛 726000;商洛学院经济与管理学院,陕西商洛 726000;商洛学院数学与计算机应用学院,陕西商洛726000【正文语种】中文【中图分类】O211.6分红问题最早是由De Finetti在1957年精算大会上首次提出,随后便成为许多学者研究讨论的热点问题。

对股东和投保人均分红的带干扰的复合泊松风险模型

对股东和投保人均分红的带干扰的复合泊松风险模型作者：周杰明欧辉莫晓云杨向群来源：《湖南师范大学学报·自然科学版》2012年第06期摘要用一个带干扰的复合泊松风险模型去刻画一个保险公司的盈余过程，考虑了具有2个不同水平的阈分红门槛策略的分红问题，假设保险公司的分红率是一个依赖当前盈余水平的阶梯函数，得到了破产之前的期望折现分红总量所满足的3个积分微分方程，并给出了显示解；同时还得到了该模型下的GerberShiu期望折罚函数的精确表达式.关键词复合泊松风险过程；扩散；布朗运动；阈分红策略；GerberShiu期望折罚函数where{N（t）；t≥0}is a Poisson process with parameterλ，denoting the total number of claims from an insurance portfolio.{Zi；i=1，2，…}are positive i.i.d.random variables with distribution function P（z）=P（Z≤z）and density function p（z）.{W（t）；t≥0}is a standard Brownian motion andσ>0is a constant，representing the volatility parameter.S（t）=∑N（t）i=1Zi is the aggregate claims process.In the above model，x≥0is the initial surplus，c=λ（1+θ）EZ is the premium rate per unit time，andθ>0is the relative security loading factor.In addition，we assume that{Zi；i=1，2，…}，{N （t）；t≥0}and{W（t）；t≥0}are mutually independent.We consider the following extension of model（1）.We assume that the company pays dividends according to the following strategy governed by parameters b2>b1>0andα1>0，α2>0.When the modied surplus is below the level b1，no dividends are paid；when the modied surplus is between the level b1and b2，dividends are paid continuously for its policyholders at a constant rateα1；when the modied surplus is above the level b2，the company will pay dividends to its shareholders at rateα2（of course，must pay dividends to its policyholders at rateα1）.Thus，the dynamics of surplus process X（t）are given byReferences：［1］GERBER H U.An extension of the renewal equation and its application in the collective theory of risk［J］.Skandinavisk Aktuarietidskrift，1970，1970（34）：205210.［2］CHIU S N，YIN C C.The time of ruin，the surplus prior to ruin and the deficit at ruin for the classical risk process perturbed by diffusion ［J］.Insurance：Math Eco，2003，33（1）：5966.［3］DUFRESNE F，GERBER H U.Risk theory for the compound Poisson process that is perturbed by diffusion［J］.Insurance：Math Eco，1991，10（1）：5159.［4］TSAI C C L，WILLMOT G E.On the moments of the surplus process perturbed by diffusion［J］.Insurance：Math Eco，2002，31（3）：327350.［5］WANG G，WU R.Some distributions for classical risk processes that is perturbed by diffusion［J］.Insurance：Math Eco，2000，26（1）：1524.［6］DE FINETTI B.Su unimpostazione alternativa dell teoria colletiva del rischio［J］.Transa XV Int Congress Actuaries，1957，2：433443.［7］ALBRECHER H，KAINHOFER R.Risk theory with a nonlinear dividend barrier［J］.Computing，2002，68：289311.［8］ALBRECHER H，KAINHOFER R，TICHY R F.Simulation methods in ruin models with nonlinear dividend barriers［J］.Math Comput Simul，2003，62（36）：277287.［9］GERBER H U，SHIU E S W.On optimal dividend strategy in the compound Poisson model［J］.North Americal Actuarial，2006，10（2）：7693.［10］LIN X S，PAVLOVA K P.The compound Poisson risk model with a threshold dividend strategy［J］.Insurance：Math Eco，2006，38（1）：5780.［11］HE L，YANG X Q.The compound binomial model with randomly paying dividends to shareholders and policyholders［J］.Insurance：Math Eco，2010，46（3）：443449.［12］WAN N.Dividend payments with a threshold strategy in the compound Poisson risk model perturbed by diusion［J］.Insurance：Math Eco，2007，40（3）：509523.［13］LUO J.The pricing theory and the application of the American options and the numerical algorithm of the implied volatility［D］.Shanghai：Fudan University，2005.。

复合泊松模型带投资和借贷的最优分红问题

杨泽晋
关键词
最优分红，绝对破产，值函数，测度值生成元
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。
证明：证明过程详见[7]的定理 3.1 和定理 3.2。证毕。
定义函数 αx : R+ R+ ，其满足：
1) αx (0) = 0 ， αx (⋅) 是非降的，左连右极的；
( ) 2) 等式 φα ( x,t ) = x + ∫0t g φα ( x, s) ds −αx (t ) 有唯一解 φα ；
的唯一解。
2)
对任意
x
>
−
p β
,
l
(
x,
⋅)
∈
Sx
。
定理 3.4：分红策略 L ∈ Πx ，是平稳马氏策略当且仅当存在可测函数 l ∈U 使得
( ) [ Lt =Lτn + l RτLn ,t −τn ,t ∈ τn ,τn+1 ), n =0,1, 2,,
(3)
证明：首先证明必要性。由于 L 是一个平稳马氏控制策略，因此其对应的盈余过程 RL 为是时齐的强
值函数为 V
(x)
=
sup V
L∈Π x
L
( x) ，
x
>
−
p β
，特别地，我们规定当
x
≤
−
p β
时，V
(x)

两类风险模型的最优分红控制策略的开题报告

两类风险模型的最优分红控制策略的开题报告
一、研究背景：
随着风险管理的不断发展，风险分红控制策略也成为了一个重要的研究领域。

传统的风险分红控制策略主要是针对单一风险源进行研究，如市场风险、信用风险等，而实际情况中往往存在多种风险源，这些风险源之间相互影响，从而导致整体风险的变化。

为了更好地管理和控制这些风险，需要采用综合的风险模型进行研究，并制定最优分红控制策略。

二、研究目的：
本文旨在研究两类综合风险模型中的最优分红控制策略，并探讨其适用性和实现方法。

通过研究，旨在为企业和金融机构提供有效的风险管理和分红控制策略，最大限度地降低整体风险。

三、研究内容：
本文首先对两类综合风险模型进行介绍和分析，包括基于模糊理论的风险模型和基于随机过程的风险模型。

然后，针对这两类风险模型，分别提出相应的最优分红控制策略，并通过实证分析验证其有效性和可行性。

最后，总结研究成果，并提出进一步的研究方向。

四、研究方法：
本文将采用文献分析法、实证研究方法和数学建模方法，结合实际案例进行分析和验证。

主要研究方法如下：
1.文献分析法：通过查阅相关文献，了解综合风险模型和最优分红控制策略的研究现状和发展趋势。

2.实证研究方法：通过实证研究，验证两类综合风险模型的适用性和最优分红控制策略的有效性。

3.数学建模方法：通过建立数学模型，分析两类综合风险模型和最优分红控制策略的实现方法和优化策略。

五、预期成果：
本文将提出两类综合风险模型的最优分红控制策略，并对其有效性和实现方法进行验证。

同时，本文还将为企业和金融机构提供一种有效的风险管理和控制策略，具有一定的理论价值和实践意义。

带干扰且索赔为稀疏过程的双复合Poisson风险模型

带干扰且索赔为稀疏过程的双复合Poisson风险模型李学锋【摘要】In this paper, we consider a kind of doubly compound Poisson risk model with perturbation and claims which is a thinning process. In the model, the premium income follows compound Poisson processes and the arrival of the claims follows a thinning process of the arrival of the insurance policies. Moreover, we take the investment interest rate of the insurance company and the inflation rate into account. By using martingale analysis, the Lundberg inequality and the accurate expression of ruin probability under this model are obtained.%讨论了一类带干扰且索赔为稀疏过程的双复合Poisson风险模型,其中假设保费收入为复合Poisson过程,而索赔到达过程为保单到达过程的一个p-稀疏过程,并考虑到随机扰动、保险公司的投资利率和通货膨胀率,利用鞅分析得到了该模型下的破产概率的Lundberg不等式及其精确表达式.【期刊名称】《中南民族大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(031)002【总页数】3页(P120-122)【关键词】Poisson过程;稀疏过程;破产概率;鞅;Lundberg不等式【作者】李学锋【作者单位】中南民族大学数学与统计学学院,武汉430074【正文语种】中文【中图分类】O211;F840破产理论是风险理论的主要研究内容，而风险模型则是风险理论的主要研究对象.经典风险模型总是假设保费率为常数，而在保险公司的实际经营中，由于经济环境、生活环境的变化，竞争、利率、通货膨胀率的变化及各种可能发生的灾害等诸多不确定因素的影响，经典风险模型已经不能很好地描述现实问题了.随着研究的逐渐深入，人们对经典风险模型进行了各种推广，建立了更符合实际的风险模型.文献［1，2］对随机保费风险模型进行了研究并得到了满足破产概率的 Lundberg不等式;文献［3-6］研究了带干扰的风险模型并得到了相关结论.然而在这些研究中，大多假设保单到达过程与索赔到达过程相互独立，而事实上，保险公司售出的保单越多，其发生的索赔次数也会越多，即索赔到达过程与保单到达过程是有关的.此外，为了保险公司的稳定经营，有必要考虑投资利率、通货膨胀率及一些随机扰动等因素的影响.因此，本文就是在上述工作的基础上，将风险模型推广为更一般的情形，即考虑了保险公司的投资利率和通货膨胀率下带干扰项且索赔过程是保单到达过程的一个p-稀疏过程的双复合Poisson风险模型，并利用鞅分析得到了该模型的破产概率满足的Lundberg不等式及最终破产概率的精确表达式.1 模型的定义定义1 设(Ω，F，P)是完备的概率空间(本文所有的随机变量都定义在此空间)，则对u≥0，t≥0，保险公司在t时刻的盈余为:其中u为初始准备金;i≥0为保险公司的投资利率;j≥0为通货膨胀率;{M(t)，t≥0}为保单到达过程，表示保险公司在［0，t］内收到的保单数;{N(t)，t≥0}为索赔到达过程，表示保险公司在［0，t］内发生的索赔次数;Xk为第k次的索赔额;Yk为第k张保单的保费额;{W(t)，t≥0}为标准Wiener过程，表示保险公司不确定性收益和付款，σ＞0为常数.对上述模型做如下假设:(1){Xk，k≥1}，{Yk，k≥1} 为独立同分布的随机变量序列，分布函数分别为 F(x)，G(y)，且(2){M(t)，t≥0}是强度为λ的Poisson过程，{N(t)，t≥0}是{M(t)，t≥0}的一个p －稀疏过程，即{N(t)，t≥0}是强度为λp(0＜p≤1)的Poisson过程;(3){Xk，k ≥1}，{Yk，k ≥1}，{M(t)，t≥ 0}，{W(t)，t≥0}相互独立.记，表示保险公司t时刻的盈利，为保证公司经营稳定，要求E［S(t)］＞ 0，即:由此定义相对安全负荷系数定义2 保险公司的破产时刻T=inf{t:t≥0，U(t)＜0}，最终破产概率为:.定义3 根据模型的假设，随机变量Yk的Laplace变换为:随机变量Xk的矩母函数为:假设LY(r)＜∞，显然当r→∞ 时，有MX(r)→∞.2 相关引理引理1 对于盈余过程{S(t)，t≥0}，存在函数g(r)，使得:证明即有 E［e－rS(t)］=e tg(r).证毕.引理2 方程g(r)=0存在唯一正解R，称之为调节系数.证明由引理1知g(0)=0，又:故:所以当r＞0时g(r)是凸函数，又g(0)=0，且显然有当r→+∞ 时，g(r)→+∞，因此，g(r)=0存在唯一正解，记为R，并称g(r)=0为调节方程，R成为调节系数.证毕.定义4 对于盈利过程{S(t)，t≥0}，定义事件流:FS={，t≥0} ，其中= σ{S(t')，t'≤ t}.引理3 令Mu(t)=则是鞅.证明∀v≤t，由引理1得:所以{Mu(t)，FSt，t≥ 0} 是鞅.证毕.引理4［7］破产时刻T是FS停时.3 主要结果定理1 风险模型(1)的最终破产概率φ(u)满足Lundberg不等式:其中r0=supr＞0{r:g(r) ≤ 0}.证明由引理4知T是FS停时，取t0＜∞，则易知T∧t0是FS停时，由引理3有: 又当T＜∞ 时，有u(1+i－j)+S(T)≤0，所以 e－r［u(1+i－j)+S(T)］≥ 1 ，故令t0→+ ∞，有，取 r0=supr＞0{r:g(r) ≤ 0}，则有:定理2 风险模型(1)的最终破产概率为:其中R为调节系数.证明根据式(6)，取r=R，得:以I(A)表示集合A的示性函数，则:由于且根据强大数定律可知，当由控制收敛定理，有:于是在式(8)两端令t0→∞ 即得证.4 结束语本文所研究的风险模型对保险公司的经营具有一定的理论指导意义.从最终破产概率可以推断，为了确保公司的稳定经营，一方面，公司必须具备足够充分的初始准备金;另一方面，公司也不能为了获得大量保单而盲目降低保费或高额承保，这就要求保险公司在获得尽可能多的保单的同时，也要做好对客户的调查研究，以便降低索赔比例而减少公司风险，也就是保险公司需要合理厘定保费与索赔额.同时，保险公司也不能忽视投资利率、通货膨胀率及一些随机扰动对公司稳定经营的影响，往往这些因素也直接关系到保险公司的生死存亡.当然，本文所研究的模型还有待于进一步改进，比如，考虑随机利率比常数利率更符合实际，或者用其他方法研究破产概率等.因此，破产模型仍然是广大相关研究者感兴趣的研究对象.参考文献【相关文献】［1］杨善朝，马翀，谭激扬.保险费随机收取的风险模型［J］.经济数学，2004，21(1):1-5. ［2］董亚娟，朱勇华.保险系统中一种推广风险模型的破产概率［J］.数学的实践与认识，2004，34(6):17-21.［3］Tsai C L，Willmot G E.A generalized defective renewal equation for the surplus process perturbed by diffusion［J］.Insur Math Econ，2002，30:51-66.［4］Chin SN，Yin C C.The time of ruin ，the surplus prior to ruin and the deficit at ruin for the classical risk process perturbed by diffusion［J］.Insur Math Econ，2003，33:59-66.［5］Wang G J.A decomposition of the ruin probability for the risk process perturbed by diffusion［J］.InsurMath Econ，2001，28:49-59.［6］陈贵磊，张相虎，边平永.带干扰的保费随机收取的双险种风险模型［J］.经济数学，2011，28(1):68-70.［7］Grandell J.Aspects of risk theory［M］.New York:Springer-Verlag，1991.。