第四章 非线性回归模型的线性化

Z 0 1 X 1 2 X 2 3 X 3
1、CES函数的参数估计
ˆ • 其中： A e ˆ0
ˆ
ˆ1 ˆ1 ˆ 2
ˆ ˆ ˆ 2 3 (1 2 )
ˆ
ˆ1 ˆ 2
ˆ ˆ ˆ m 1 2
2、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法
(1)多项式函数模型
• 多项式函数模型的一般形式：
Y i 0 1 X i 2 X i ... k X k
2 k
令： Z X , ... Z X k 1i i ki i 则原模型化为标准的线性回归模型：
Y i 0 1 Z 1 i 2 Z 2 i ... k Z ki
• 非标准线性回归模型的线性化方法是变量替换法。 设非标准线性回归模型的一般形式：
Y 0 1 f 1 ( X 1 , X 2 , ... X K ) 2 f 2 ( X 1 , X 2 , ... X K ) ... P f P ( X 1 , X 2 , ... X K ) i
•令 • 则对数函数模型即可化为标准的线性回 归模型：
X i ln X i
*
Yi X i i
*
(4) S-型曲线模型
• S-型曲线模型的一般形式为：
Yi 1
e
Yi
*
Xi
i
* Xi
•令 Y • 则S-型曲线模型即可化为标准的线性回 归模型： Y * X *
2
1、CES函数的参数估计
• 令：Z
ln Y , X 1 ln K , X 2 ln L , X 3 [ln ( K L )]
2
0 ln A , 1 m , 2 m (1 ), 3
1 2
m (1 )
• 得到一个简单的线性回归模型
（2）双曲函数模型
• 双曲函数模型的一般形式：
令： Y * 1 , X * 1 i i
Yi Xi
1

1 Xi
Yi
i
则双曲函数模型即可化为标准的线性回归模型：
Yi X i i
* *
（3）对数函数模型
• 对数函数模型一般形式：
Y i ln X i i
i
1
,Xi e
i
i
i
2、可线性化的非线性回归模型的线性化方法
• 如果一般的非线性回归模型可以通过适 当的变换实现线性化，则称之为可线性 化的非线性回归模型。 • 下面是经常遇到的几种可线性化的非线 性回归模型。
（1）指数函数模型
• 指数函数模型的一般形式
Yi A e
bX i i
ln • 两边取对数得： Yi ln A b X i i * • 令：Y i ln Y i , ln A • 则 指数函数模型即可变为标准的线性回 归模型： Y * b X i i i
1、第一种类型（非标准线性回归模型）
• 非标准线性回归模型一般可以表示成如下形式：
Z 1 f 1 ( X 1 , X 2 , ... X K ) Z 2 f 2 ( X 1 , X 2 , ... X K ) ...... Z f ( X , X , ... X ) P 1 2 K p Y 0 f 1 ( X 1 , X 2 , ... X
• 可线性化的非线性回归模型 Cobb-Dauglas生产函数： 幂函数 Q = AKL
Q：产出量，K：投入的资本；L：投入的劳动
方程两边取对数： ln Q = ln A + ln K + ln L
3、第三种类型（不可线性化的非线性回归模 型）
无法线性化模型的一般 形式为:
Y f ( X 1 , X 2 , , X k )
Z 1 f 1 ( X 1 , X 2 , ... X K ) 令： Z f ( X , X , ... X ) 2 2 1 2 K ...... Z p f P ( X 1 , X 2 , ... X K )
则一个标准的多元线性回归模型
Y 0 1 Z 1 ... P Z P
•Thanks A Lot
ln X , j 1, 2 ...k • • 则幂函数模型即可变为标准的线性回归 模型：
ji ji
Y i 0 1 X 1 i 2 X 2 i ... k X ki i
* * * *
3、不可线性化的非线性回归模型的线性化估计方法
• 如果非线性化回归模型无论采用什么样的变换 都不可能实现其线性化，则称为不可线性化的 非线性回归模型。 • 对于此类模型通常采用以下三种方法进行参数 估计： • 第一、直接搜索法（Direct Search Method) • 第二、直接优化法（Direct Optimization Method) • 第三、迭代线性化法（Iterative Linearation Method)
描述税收与税率关系的拉弗曲线：抛物线 s = a + b r + c r2 c<0 s：税收； r：税率 设X1 = r，X2 = r2， 则原方程变换为 s = a + b X1 + c X2 c<0
3、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法
Cobb-Dauglas生产函数：幂函数 Q = AKL Q：产出量，K：投入的资本；L：投入的劳动 方程两边取对数： ln Q = ln A + ln K + ln L
第三节 案例分析
• 一、两要素不变替代弹性（CES)生产函 数的参数估计
1、CES函数的参数估计
Q A ( 1 K

2L


)
1
e

(1+2=1)
Q:产出量，K：资本投入，L：劳动投入
：替代参数， 1、2：分配参数
方程两边取对数后，得到：
LnQ LnA
1

（2）幂函数模型
• 幂函数模型的一般形式 • 两边取对数得：
Y 令： i ln Yi , 0 ln A , X
* *
Y i A X 1 i 1 X 2 i2 ... X ki k e



i
ln Y i ln A 1 ln X 1 i 2 ln X 2 i ... k ln X ki i
K
其中 f 1 , f 2 ... f p 是关于
X 1 , X 2 , ... X
K
的P个已知的非线性函数，
0 , 1 , ... p
是（p+1）个未知参数。
2 3 例如：总成本函数： C 0 1 X 2 X 3 X
2、第二种类型（可线性化的非线性回归模型）
Ln ( 1 K

2L

)
将式中ln(1K- + 2L-)在=0处展开台劳级数,取关于 的线性项，即得到一个线性近似式。 如取0阶、1阶、2阶项，可得
ln Y ln A 1 m ln K 2 m ln L 1 K m 1 2 ln 2 L
其中，f(x1,x2,…,Xk)为非线性函数。如：
Y 0 1e
1 X 1
2e
2 X 2

第二节 线性化方法
1、第一种类型（非标准线性回归模型）的线性化 2、第二种类型（可线性化的非线性回归模型）的线性化 3、第三种类型（不可线性化的非线性回归模型）的线性化
1、非标准线性回归模型的线性化
第四章 非线性回归模型的线性化
第一节 变量间的非线性关系 第二节 线性化方法 第三节 案例分析
第一节 变量间的非线性关系
1、第一种类型（非标准线性回归模型） 2、第二种类型（可线性化的非线性回归模型） 3、第三种类型（不可线性化的非线性回归模型）
第一节 变量间的非线性关系
在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的，直 接表现为线性关系的情况并不多见。 如著名的恩格尔曲线(Engle curves)表现为幂函数曲线 形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线（Pillips cuves）表现 为双曲线形式等。 但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的数学 处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运用线性回 归的方法进行计量经济学方面的处理。