2.2.1.2函数的最大值、最小值作业含答案高中数学苏教版必修一

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2019-2020年苏教版数学必修一讲义：第2章+2.2.1 第2课时函数的最大值、最小值及答案

第2课时函数的最大值、最小值1．函数的最大值一般地，设y ＝f (x )的定义域为A .如果存在x 0∈A ，使得对于任意的x ∈A ，都有f (x )≤f (x 0)，那么称f (x 0)为y ＝f (x )的最大值，记为y max ＝f (x 0)．2．函数的最小值一般地，设y ＝f (x )的定义域为A .如果存在x0∈A ，使得对于任意的x ∈A ，都有f (x )≥f (x 0)，那么称f (x 0)为y ＝f (x )的最小值，记为y min ＝f (x 0)．思考：函数的最值与值域是一回事吗？[提示] 不是．最值与值域是不同的，值域是一个集合，而最值只是这个集合中的一个元素．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f (x )＝－x 2≤1总成立，故f (x )的最大值为1.( )(2)若函数f (x )在定义域内存在无数个x 使得f (x )≤M 成立，则f (x )的最大值为M .( ) (3)函数f (x )＝x 的最大值为＋∞. ( )[答案] (1)× (2)× (3)×[提示] (1)×.因为在定义域内找不到x 使得x 2＝－1成立． (2)×.因为“无数”并非“所有”，故不正确．(3)×.“＋∞”不是一个具体数．2.函数f (x )在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值是_________．[答案] －13．已知函数f (x )＝|x |，x ∈[－1,3]，则f (x )的最大值是____________． 3 [根据函数图象可知，f (x )的最大值为3.] 4．函数y ＝2x 2＋2，x ∈N *的最小值是__________． [答案] 45．函数y ＝1x 在[2,6]上的最大值与最小值之和等于__________．23 [函数y ＝1x 在区间[2,6]上是减函数，当x ＝2时取得最大值12，当x ＝6时取得最小值16，12＋16＝23.]思路点拨：先整理化简函数关系式，写成分段函数的形式，作出图象，再找最高点和最低点即可．[解]原函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，－2≤x ≤－1，3，－1<x ≤2，2x －1，2<x ≤4，图象如图．故函数的最小值为3，最大值为7.用图象法求最值的一般步骤(1)已知函数f (x )＝2x 在区间[1,2]上的最大值为A ，最小值为B ，则A －B ＝________.(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的最大值是________．(1)1 (2)3 [(1)f (x )＝2x 在[1,2]上的图象是单调递减的，∴A ＝f (1)＝2，B ＝f (2)＝1，∴A －B ＝1.(2)作出f (x )的图象如图所示，∴f (x )max ＝3.]【例2】已知函数f(x)＝xx－1.(1)用函数单调性定义证明f(x)＝xx－1在(1，＋∞)上是单调减函数；(2)求函数f(x)＝xx－1在区间[3,4]上的最大值与最小值．思路点拨：(1)利用单调性的定义证明．(2)利用(1)的结论求最值．[解](1)证明：设x1，x2为区间(1，＋∞)上的任意两个实数，且1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－1－x2x2－1＝(x2－x1)(x1－1)(x2－1)，因为1<x1<x2.所以x2－x1>0，x1－1>0，x2－1>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．故函数f(x)＝xx－1在(1，＋∞)上为单调递减函数．(2)由上述(1)可知，函数f(x)＝xx－1在[3,4]上为单调递减函数，所以在x＝3时，函数f(x)＝xx－1取得最大值32；在x＝4时，函数f(x)＝xx－1取得最小值43.(变条件)求函数f(x)＝xx－1在[－4，－3]上的最值．[解]任取x1，x2∈[－4，－3]且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－1－x2x2－1＝(x2－x1)(x1－1)(x2－1).∵x 1，x 2∈[－4，－3]，∴x 1－1<0，x 2－1<0. 又x 1<x 2，∴x 2－x 1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在[－4，－3]上单调递减， ∴f (x )max ＝f (－4)＝45， f (x )min ＝f (－3)＝34，∴f (x )在[－4，－3]上最大值为45，最小值为34.1．当函数图象不好作或无法作出时，往往运用函数单调性求最值． 2．函数的最值与单调性的关系(1)若函数在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b )；(2)若函数在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )；(3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值．1.如图是函数f (x )＝(x －1)2－1的图象，说明当定义域分别为[－1,0]，⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3和[0,3]时，f (x )的单调性．[提示] f (x )在[－1,0]上单调递减；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3上单调递增；在[0,1]上单调递减，在(1,3]上单调递增．2．结合图象说明当定义域分别为上述三个区间时，f (x )的最值． [提示] 结合图象的单调性，可得x ∈[－1,0]时，f (x )max ＝f (－1)＝3，f (x )min ＝f (0)＝0. x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3时，f (x )max ＝f (3)＝3，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－34. x ∈[0,3]时，f (x )max ＝f (3)＝3，f (x )min ＝f (1)＝－1.3．通过探究2，分析函数f (x )取最值时的x 与对称轴的距离有什么关系？ [提示] 通过观察图象，可以发现，①当对称轴不在区间内部时，两个最值均在端点处取得且离对称轴近的端点对应的函数值较小，较远的端点对应的函数值较大．②当对称轴在区间内部时，对称轴对应函数的最小值，最大值在离对称轴较远的端点处取得．因此，我们求二次函数的最值时应该分析对称轴和区间的关系．【例3】求二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[2,4]上的最小值．思路点拨：f (x )的对称轴是x ＝a ，a 是运动变化的，故求最值时，应该讨论a 与区间[2,4]的关系，进而确定单调性和最值．[解] ∵函数图象的对称轴是x ＝a ，∴当a <2时，f (x )在[2,4]上是增函数，∴f (x )min ＝f (2)＝6－4a .当a >4时，f (x )在[2,4]上是减函数， ∴f (x )min ＝f (4)＝18－8a .当2≤a ≤4时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2. ∴f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4.1．(变设问)在本例条件下，求f (x )的最大值． [解] ∵函数图象的对称轴是x ＝a ， ∴当a ≤3时，f (x )max ＝f (4)＝18－8a ，当a >3时，f (x )max ＝f (2)＝6－4a . ∴f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧18－8a ，a ≤3，6－4a ，a >3.2．(变设问)在本例条件下，若f (x )的最小值为2，求a 的值．[解]由本例解析知f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4.当a <2时，6－4a ＝2，a ＝1；当2≤a ≤4时，2－a 2＝2，a ＝0(舍去)；当a >4时，若18－8a ＝2，a ＝2(舍去)． ∴a 的值为1.3．(变条件，变设问)本例条件变为，若f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[2,4]时，f (x )≤a 恒成立，求实数a 的取值范围．[解] 在[2,4]内，f (x )≤a 恒成立，即a ≥x 2－2ax ＋2在[2,4]内恒成立，即a ≥f (x )max ，x ∈[2,4]．又f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧18－8a ，a ≤3，6－4a ，a >3.(1)当a ≤3时，a ≥18－8a ，解得a ≥2，此时有2≤a ≤3. (2)当a >3时，a ≥6－4a ，解得a ≥65，此时有a >3. 综上有实数a 的取值范围是[2，＋∞)．求二次函数的最大(小)值有两种类型：一是函数定义域为实数集R ，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大(小)值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大(小)值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置(在区间内，在区间左侧，在区间右侧)来决定，当开口方向或对称轴位置不确定时，需要进行分类讨论.1．函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y ＝1x .如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．(2)若函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上单调，则y ＝f (x )的最值必在区间端点处取得．即最大值是f (a )或f (b )，最小值是f (b )或f (a )．2．对二次函数f (x )＝a (x －h )2＋k (a >0)在区间[p ，q ]上的最值问题可作如下讨论： ①对称轴x ＝h 在区间[p ，q ]的左侧，即当h <p 时，f (x )max ＝f (q )，f (x )min ＝f (p )． ②对称轴x ＝h 在区间[p ，q ]之间，即当p ≤h ≤q 时，f (x )min ＝f (h )＝k ；当p ≤h <p ＋q 2时，f (x )max ＝f (q )，当h ＝p ＋q 2时，f (x )max ＝f (p )＝f (q )，当p ＋q 2<h ≤q时，f (x )max ＝f (p )；③对称轴x ＝h 在区间[p ，q ]的右侧，即当h >q 时，f (x )max ＝f (p )，f (x )min ＝f (q ).1．函数y ＝－x ＋1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值是( )A ．0B ．－12C ．12D ．－1C [∵函数y ＝－x ＋1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是减函数，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12＋1＝12.]2．函数f (x )＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是________． (－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 [函数f (x )在(－∞，1)上是减函数，在(1，＋∞)上也是减函数，而x ∈(－∞，1)∪[2,5)，所以y ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2.]3．函数y ＝x 2－2x －1在闭区间[0,3]上的最大值与最小值的和是________． 0 [∵y ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，∴函数的对称轴为x ＝1，∴函数在区间[0,1]上为减函数，在区间[1,3]上为增函数．∴当x ＝1时，函数取最小值－2，当x ＝3时，函数取最大值2，∴最大值与最小值的和为0.]4．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋1在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，求f (x )在[1,2]上的值域．[解] ∵f (x )在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，∴函数f (x )＝4x 2－mx＋1的对称轴方程x＝m8＝－2，即m＝－16.又[1,2]⊆[－2，＋∞)，且f(x)在[－2，＋∞)上递增．∴f(x)在[1,2]上递增，∴当x＝1时，f(x)取得最小值f(1)＝4－m＋1＝21；当x＝2时，f(x)取得最大值f(2)＝16－2m＋1＝49.∴f(x)在[1,2]上的值域为[21,49]．。

苏教版高中数学必修一课后巩固·提能：2.2.1.2函数的最大值、最小值(必修1).docx

课后巩固·提能一、填空题1.函数y=-2x+3在［-3,1］上的最大值为________.2.设二次函数y=ax 2+bx+c ，对称轴x=2，在函数值f(2)，f(1)，f(-1)，f(5)中，最小的一个不可能是________.3.老师给出一个函数y=f(x)，四个学生各指出这个函数的一个性质：甲：f(x)的图象关于x=1对称；乙：在(-∞,0］上函数递减；丙：在(0,+∞)上函数递增；丁：f(0)不是函数的最小值．如果其中恰有三人说的正确，请写出这样的一个函数________. 4.(2012·金华高一检测)函数f(x)=()11x 1x --的最大值是________.5．(2012·包头高一检测)已知函数f(x)=3x 1-，(x ∈［2,6］)，则该函数的最大值与最小值的和为_______．6.若不等式｜x-1｜+｜x-2｜≥a 恒成立，那么实数a 的取值范围为_______．7．(2012·无锡高一检测)函数y=x _______. 二、解答题8.求函数f(x)=x-1x在［1,3］上的最小值．9.已知函数f(x)=x 2-2ax+5(a ＞1),若f(x)的定义域和值域均是［1,a ］，求实数a的值.10.(2012·杭州高一检测)某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资单位是万元)(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数解析式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元．(精确到1万元)．答案解析1.【解析】易知函数y=-2x+3在［-3,1］上是单调减函数，所以y max=-2×(-3)+3=9．答案:92.【解析】由于抛物线的对称轴为x=2,当a>0时，抛物线开口向上，则此时f(2)<f(1)<f(-1)=f(5),当a<0时，抛物线开口向下，则此时f(-1)=f(5)<f(1)<f(2),∴f(1)不可能为最小值.答案：f(1)3.【解析】若甲正确，则其对称轴为x=1，则丙肯定错误，由甲、乙、丁正确可写一个函数为f(x)=(x-1)2. 答案:f(x)=(x-1)2(答案不唯一)【误区警示】求解本题不要误认为甲、乙、丙或者甲、丙、丁正确，本题中甲和丙是矛盾的． 4.【解析】∵f(x)=21x x 1-+，要求f(x)的最大值，只要求t=x 2-x+1的最小值(因为x 2-x+1＞0)．又∵t=2133(x )244-+≥，∴f(x)max =4.3答案：435．【解析】∵f(x)=3x 1-在x ∈［2,6］上单调递减， ∴f(x)min =f(6)=3,5f(x)max =f(2)=3，∴318355+=．答案：1856.【解析】令f(x)=｜x-1｜+｜x-2｜,画出函数f(x)=｜x-1｜+｜x-2｜=2x 3x 211x 232x x 1-≥⎧⎪⎨⎪-≤⎩，，＜＜，，的图象，如图所示. 要使f(x)≥a 恒成立，则必须使f(x)min ≥a. 由图可知f(x)min =1，所以a ≤1．答案：(-∞,1］【举一反三】若将本题中的“|x-1|+|x-2|≥a 恒成立”改为“|x-1|+|x-2|≤a 有解”，则结果如何？【解析】要使|x-1|+|x-2|≤a 有解，则必须使a ≥f(x)min ，由图可知f(x)min =1，所以a ≥1．答案:［1,+∞)7．【解题指南】本题可采用换元法，但需注意新元的范围. 【解析】令(t ≥0),则x=t 2-1, ∴y=t 2-1-t=215(t ),24--∵t ≥0,21115t ,(t )0,y .2224∴-≥--≥∴≥- 答案:［54-,+∞)8.【解析】任取1≤x 1＜x 2≤3，则f(x 1)-f(x 2)=(x 1-11x )-(x 2-21x ) =(x 1-x 2)+(21x -11x )=()()121212x x x x 1x x -+，因为1≤x 1＜x 2≤3，所以x 1-x 2＜0，x 1x 2+1＞0，x 1x 2＞0，所以f(x 1)-f(x 2)＜0，即f(x 1)＜f(x 2)，从而f(x)在［1,3］上单调递增．所以f(x)min =f(1)=0．【规律方法】求函数的最值常见的三种方法(1)对于二次函数可利用二次函数的性质(配方法)求函数的最值； (2)利用图象求函数的最值； (3)利用函数单调性求函数的最值.9.【解析】∵f(x)开口向上，对称轴x=a ＞1, ∴f(x)在［1,a ］上是单调减函数，∴f(x)的最大值为f(1)=6-2a,f(x)的最小值为f(a)=5-a 2,∴6-2a=a,5-a 2=1, ∴a=2.10.【解析】(1)投资为x 万元，A 产品的利润为f(x)万元，B 产品的利润为g(x)万元，由题设f(x)=k1x ，g(x)=k 由图知f(1)=14，∴k 1=14，又g(4)=5,2∴k 2=54，从而f(x)=1x,4(x ≥0)，(x ≥0)． (2)设A 产品投入x 万元，则B 产品投入(10-x)万元，设企业的利润为y 万元，y=f(x)+g(10-x)=x 4(0≤x ≤10)，，则y=2210t 515255t (t ),(0t 4442162-+=--++≤≤，当t=52时,y max ≈4，此时x=10-254=3.75, ∴当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为4万元．。

高中数学苏教版必修一 2.2.1第2课时函数的最值作业 Word版含解析

[学业水平训练]一、填空题1.函数f (x )＝x 2＋2ax ＋a ＋1在(－∞ ,2]上是减函数 ,在[2 ,＋∞)上是增函数 ,那么f (x )的最|小值为________．解析：由题意 ,－a ＝2 ,即a ＝－2 ,f (x )＝x 2－4x －1＝(x －2)2－5 ,故f (x )最|小值为－5.答案：－52.函数f (x )＝x ＋x －1的最|小值为________．解析：f (x )定义域为[1 ,＋∞] ,x ＝1时f (1)＝1 ,x >1时f (x )>x > 1 ,∴f (x )在[1 ,＋∞)上单调递增 ,∴f (x )min ＝f (1)＝1.答案：13.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2 0≤x ≤12 1<x <2 3 x ≥2的最|大值是________．解析：0≤x ≤1时 ,f (x )＝2x 2≤2；1<x <2时 ,f (x )＝2；x ≥2时 ,f (x )f (x )的最|大值是3.答案：34.函数f (x )＝2x x ＋1(x ∈[0 ,2])的最|大值为________．解析：∵f (x )＝2 (x ＋1 )－2x ＋1＝2－2x ＋1, ∴f (x )＝2x x ＋1在x ∈[0 ,2]上单调递增 , 所以当x ＝2时 ,f (x )max ＝43. 答案：435.函数f (x )＝11－x (1－x )的最|大值是________．解析：1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34. 因此 ,有0＜11－x (1－x )≤43.所以f (x )的最|大值为43. 答案：436.对a ,b ∈R ,记max{a ,b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥b b a ＜b,函数f (x )＝max{|x ＋1| ,|x －2|}(x ∈R )的最|小值是________．解析：法一：f (x )＝⎩⎨⎧2－x x <12x ＋1 x ≥12 ,f (x )在(－∞ ,12)和[12 ,＋∞)上分别为减函数和增函数． ∴[f (x )]min ＝f (12)＝32.法二：作函数f (x )的图象如图 ,由图知当x ＝12时 ,[f (x )]min ＝f (12)＝32. 答案：32二、解答题7.函数f (x )＝x 2＋mx －1 ,且f (－1)＝－f (x )在区间[2 ,3]上的最|值．解：∵f (－1)＝－3 ,得1－m －1＝－3 ,∴m ＝3 ,那么f (x )＝x 2＋3x －1＝(x ＋32)2－134. ∴f (x )在区间(－32,＋∞)上是增函数 , 又∵[2 ,3]⊆(－32,＋∞) , 故在区间[2 ,3]上 ,当x ＝2时 ,f (x )min ＝9；当x ＝3时 ,f (x )max ＝17.8.函数y ＝－x 2＋4x －2.(1)假设x ∈[0 ,5] ,求函数的单调区间；(2)假设x ∈[0 ,3] ,求函数的最|大值、最|小值；(3)假设x ∈[3 ,5] ,求函数的最|大值、最|小值．解：作出函数y ＝－x 2＋4x －2的图象 ,由图象可知：(1)当x ∈[0 ,5]时 ,函数y ＝－x 2＋4x －2的单调递增区间是[0 ,2] ,单调递减区间是[2 ,5]． (2)∵0≤x ≤3 ,f (x )＝－x 2＋4x －2 ,其对称轴为x ＝2 ,∴函数最|大值为f (2)＝2. 又f (0)<f (3) ,∴x ＝0时 ,函数有最|小值－2.(3)∵区间[3 ,5]在对称轴x ＝2的右侧 ,即当x ∈[3 ,5]时 ,函数单调递减 ,∴当x ＝3时 ,函数有最|大值1 ,当x ＝5时 ,函数有最|小值－7.[（高|考）水平训练]一、填空题1.函数f (x )＝|x －1|＋|2－x |的最|小值为________．解析：法一：f (x )＝|x －1|＋|2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3x >2 11≤x ≤23－2x x <1作出函数图象(如图)易得f (x )最|小值为1.法二：在数轴上 ,设实数1 ,2 ,x 分别对应点A ,B ,P ,那么|x －1|＋|2－x |＝A P ＋B P ,结合图象易得A P ＋B P ≥AB ＝1 ,当P 在A ,B 之间时取等号．答案：12.定义域为R 的函数y ＝f (x )的最|大值为M ,最|小值为N ,那么函数y ＝f (2x )＋3的最|大值为________ ,最|小值为________．解析：y ＝f (2x )的最|大值为M ,最|小值为N ,故y ＝f (2x )＋3的最|大值为M ＋3 ,最|小值为N ＋3.答案：M ＋3 N ＋3二、解答题3.求函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在区间[－1 ,1]上的最|小值．解：函数f (x )的对称轴为x ＝a ,且函数图象开口向上 ,如下图：当a ＞1时 ,f (x )在[－1 ,1]上单调递减 ,故f (x )min ＝f (1)＝3－2a ；当－1≤a ≤1时 ,f (x )在[－1 ,1]上先减后增 ,故f (x )min ＝f (a )＝2－a 2；当a ＜－1时 ,f (x )在[－1 ,1]上单调递增 ,故f (x )min ＝f (－1)＝3＋2a .综上可知 ,f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2a (a ＞1 )2－a 2 (－1≤a ≤1 ).3＋2a (a ＜－1 )4.我国是水资源比拟贫乏的国|家之一 ,各地采用价风格控等手段以到达节约用水的目的．某市用水收费标准是：水费＝根本费＋超额费＋定额损消耗．且有如下三条规定： ①假设每月用水量不超过最|低限量 ,即m 立方米时 ,只付根本费9元和每户每月定额损消耗a 元；②假设每月用水量超过m 立方米时 ,除了付根本费和定额损消耗外 ,超过局部每立方米付n 元的超额费；③每户每月的定额损消耗a 不超过5元．(1)求每户每月水费y (元)与月用水量x (立方米)的函数关系；(2),并求m ,n ,a 的值．解：(1)依题意 ,得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9＋a 0<x ≤m ①9＋n (x －m )＋a x >m ②其中0<a ≤5.(2)∵0<a ≤5 ,∴9<9＋a ≤14. 由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元 ,故用水量4立方米 ,5立方米都大于最|低限量m 立方米．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝17和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝23分别代入② , 得⎩⎪⎨⎪⎧17＝9＋n (4－m )＋a 23＝9＋n (5－m )＋a .两式相减 ,得n ＝6 ,把n ＝6代入17＝9＋n (4－m )＋a ,得a ＝6m －16.,水费为11元<14元．∴将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2.5y ＝11代入① ,得11＝9＋a , 解得a ＝2 ,将a ＝2代入a ＝6m －16 ,得m ＝3.∴该家庭今年一、二月份的用水量超过了最|低限量 ,三月份的用水量没有超过最|低限量 ,且m ＝3 ,n ＝6 ,a ＝2.。

新教材苏教版高中数学选择性必修一第二课时函数的最大(小)值

第二课时函数的最大(小)值课标要求 1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法.素养要求通过学习求函数最大(小)值的方法，提升学生的数学抽象素养.1.思考函数f(x)＝x2＋1≥1，则f(x)的最小值为1吗？提示当x＝0时，f(x)的最小值为1.2.填空函数的最大(小)值：一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D. (1)如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点；(2)如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点；(3)最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点.温馨提醒求函数最值的常用方法(1)图像法：作出y＝f(x)的图像，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值.(2)运用已学函数的值域.(3)运用函数的单调性.(4)分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个.3.做一做函数y＝f(x)在[－2，2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A.－1，0B.0，2C.－1，2D.12，2答案 C题型一图像法求函数的最值例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1x ，x >1.求f (x )的最大值、最小值.解作出函数f (x )的图像(如图).由图像可知，当x ＝±1时，f (x )取最大值为f (1)＝f (－1)＝1. 当x ＝0时，f (x )取最小值为f (0)＝0，故f (x )的最大值为1，最小值为0. 思维升华图像法求函数最值的一般步骤训练1 已知函数y ＝－|x －1|＋2，画出函数的图像，确定函数的最值情况，并写出值域.解 y ＝－|x －1|＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x ≥1，x ＋1，x <1，图像如图所示，由图像知，函数y＝－|x＋1|＋2的最大值为2，没有最小值，所以其值域为(－∞，2].题型二利用函数的单调性求最值例2 已知函数f(x)＝x－1x＋2，x∈[3，5].(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；(2)求函数f(x)的最大值和最小值.解(1)f(x)是增函数，证明如下：任取x1，x2∈[3，5]且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝x1－1x1＋2－x2－1x2＋2＝3（x1－x2）（x1＋2）（x2＋2），因为3≤x1<x2≤5，所以x1－x2<0，(x1＋2)(x2＋2)>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).所以f(x)在[3，5]上为增函数.(2)由(1)知，f(x)在[3，5]上为增函数，则f(x)的最大值为f(5)＝47，f(x)的最小值为f(3)＝2 5.思维升华利用单调性求最值的步骤：(1)判断函数的单调性；(2)利用单调性写出最值.训练2 已知函数f (x )＝2x －1(x ∈[2，6])，求函数的最大值和最小值. 解设x 1，x 2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1－2x 2－1＝2[（x 2－1）－（x 1－1）]（x 1－1）（x 2－1）＝2（x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1）.由2≤x 1<x 2≤6，得x 2－x 1>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，于是f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2). 所以，函数f (x )＝2x －1在区间[2，6]上是减函数. 因此，函数f (x )＝2x －1在区间[2，6]上的两个端点处分别取得最大值和最小值，即在x ＝2时取得最大值，最大值是2，在x ＝6时取得最小值，最小值是25. 题型三二次函数的最值问题例3 (1)求二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[2，4]上的最小值； (2)求函数f (x )＝x 2－4x －4在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值. 解 (1)∵函数图像的对称轴是x ＝a ， ∴当a <2时，f (x )在[2，4]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝6－4a .当a >4时，f (x )在[2，4]上是减函数， ∴f (x )min ＝f (4)＝18－8a .当2≤a ≤4时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2. 设f (x )在[2，4]上的最小值为g (a ).∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4.(2)f (x )＝x 2－4x －4＝(x －2)2－8. 设f (x )在[t ，t ＋1]上的最小值为g (t ). 当t >2时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增函数， ∴g (t )＝f (t )＝t 2－4t －4；当t ≤2≤t ＋1，即1≤t ≤2时，g (t )＝f (2)＝－8；当t ＋1<2即t <1时，f (x )在[t ，t ＋1]上是减函数， ∴g (t )＝f (t ＋1)＝t 2－2t －7. 综上，g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －7，t <1，－8，1≤t ≤2，t 2－4t －4，t >2.思维升华二次函数在闭区间上的最值对于二次函数f (x )＝a (x －h )2＋k (a >0)在区间[m ，n ]上的最值问题，有以下结论： (1)若h ∈[m ，n ]，则y min ＝f (h )＝k ， y max ＝max{f (m )，f (n )}；(2)若h ∉[m ，n ]，则y min ＝min{f (m )，f (n )}， y max ＝max{f (m )，f (n )}(a <0时可仿此讨论).训练3 已知函数f (x )＝x 2－2ax －3，若x ∈[0，2].求函数的最小值. 解 f (x )＝x 2－2ax －3的对称轴为x ＝a . ①当a ≤0时，f (x )在[0，2]上为增函数，∴f(x)min＝f(0)＝－3；②当0<a≤2时，f(x)min＝f(a)＝－a2－3；③当a>2时，f(x)在[0，2]上为减函数，∴f(x)min＝f(2)＝1－4a.综上所述，当a≤0时，最小值为－3；当0<a≤2时，最小值为－a2－3；当a>2时，最小值为1－4a.[课堂小结]1.若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中取出最大(小)值.函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值.2.函数的最值与单调性的关系：(1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；(2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a).一、基础达标1.函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])的最小值、最大值分别为()A.3，5B.－3，5C.1，5D.5，－3答案 B解析因为f(x)＝－2x＋1在[－2，2]是减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5.2.(多选)下列说法中正确的有()A.若x 1，x 2∈I ，对任意的x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数B.函数y ＝x 2在R 上是增函数C.函数y ＝－1x 在定义域上是增函数D.y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞) 答案 AD解析对于B ，在[0，＋∞)上是增函数；对于C ，在整个定义域内不是增函数，如－3<5，而f (－3)>f (5)，故不正确. 3.函数y ＝x －1x 在[1，2]上的最大值为( ) A.0 B.32 C.2 D.3答案 B解析函数y ＝x 在[1，2]上是增函数，函数y ＝－1x 在[1，2]上是增函数，所以函数y ＝x －1x 在[1，2]上是增函数. 当x ＝2时，y max ＝2－12＝32. 4.函数f (x )＝11－x （1－x ），x ∈[1，2]的最大值是( )A.54B.43C.1D.34答案 C解析令g (x )＝1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，则g (x )在[1，2]上单调递增，所以g (x )∈[1，3]，所以13≤11－x （1－x ）≤1.故f (x )的最大值为1.5.函数f (x )＝x －1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2的值域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 B.[－1，2]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 答案 A解析 f (x )＝x －1x ＝1－1x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )为增函数，∴当x ＝12时，函数取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－112＝1－2＝－1，当x ＝2时，函数取得最大值，最大值为f (2)＝1－12＝12，即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，故选A.6.函数y ＝⎩⎨⎧x ＋1，x ∈[－3，－1]，－x －1，x ∈（－1，4]的最小值为________，最大值为________.答案－5 0解析由题意可知，当x ∈[－3，－1]时，函数y ＝x ＋1单调递增，∴当x ＝－3时，y min ＝－2；当x ∈(－1，4]时，函数y ＝－x －1单调递减，当x ＝4时，y min ＝－5，故最小值为－5，同理可得，最大值为0. 7.函数y ＝1x －1在[2，3]上的最小值为________. 答案 12 解析易知y ＝1x －1在[2，3]上递减， ∴y min ＝f (3)＝12.8.函数f (x )＝6－x －3x 在区间[2，4]上的最大值为________. 答案－4 解析 ∵函数f (x )＝6－x －3x 在区间[2，4]上是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝6－2－3×2＝－4. 9.已知函数f (x )＝61－x＋3(x ∈[2，4])，求函数f (x )的最大值和最小值.解设x 1，x 2是[2，4]上任意两个实数，且x 1<x 2，所以f (x 1)－f (x 2)＝61－x 1＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫61－x 2＋3＝61－x 1－61－x 2＝6（1－x 2）－6（1－x 1）（1－x 1）（1－x 2）＝6（x 1－x 2）（1－x 1）（1－x 2），因为2≤x 1<x 2≤4，所以x 1－x 2<0，1－x 1<0，1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在[2，4]上是增函数，所以f (x )的最大值为f (4)＝1，f (x )的最小值为f (2)＝－3.10.已知函数f (x )＝ax 2－4ax ＋b (a >0)在区间[0，1]上有最大值1和最小值－2. (1)求a ，b 的值；(2)若在区间[－1，1]上，不等式f (x )>－x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)∵f (x )＝a (x －2)2＋b －4a ，又a >0，∴函数图像开口向上，对称轴x ＝2， ∴f (x )在[0，1]上是减函数，∴f (0)＝b ＝1，且f (1)＝b －3a ＝－2， ∴a ＝b ＝1.(2)f (x )>－x ＋m ⇔x 2－4x ＋1>－x ＋m即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1，1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上的最小值大于0即可. ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1). 二、能力提升11.(多选)如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，则下列结论中正确的是( ) A.f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0B.(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0C.f (a )≤f (x 1)<f (x 2)≤f (b )D.f (x 1)>f (x 2) 答案 AB解析由函数单调性的定义可知，若函数y ＝f (x )在给定的区间上是增函数，则x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)同号，由此可知，选项A ，B 正确；对于选项C ，D ，因为x 1，x 2的大小关系无法判断，所以f (x 1)与f (x 2)的大小关系也无法判断，故C ，D 不正确.12.定义min{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a <b ，b ，a ≥b ，设函数f (x )＝min{－x 2＋2x ＋5，x ＋3}，则f (1)＝________；f (x )的最大值为________. 答案 4 5解析由－x 2＋2x ＋5<x ＋3，得x <－1或x >2；由－x 2＋2x ＋5≥x ＋3，得－1≤x ≤2，据题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋5，x <－1或x >2，x ＋3，－1≤x ≤2，∴f (1)＝4，当x <－1或x >2时，f (x )＝－(x －1)2＋6，则f (x )<5；当－1≤x ≤2时，2≤f (x )≤5，∴f (x )的最大值为5.13.已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞). (1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意的x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围.解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x 2＋2x ＋12x＝x ＋12x ＋2.设任意x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1≠x 2，则Δf Δx ＝f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＝1－12x 1x 2 ＝2x 1x 2－12x 1x 2. 因为x 1≠x 2且x 1≥1，x 2≥1，所以x 1x 2>1，2x 1x 2－1>0，所以2x 1x 2－12x 1x 2>0，所以Δf Δx >0，即函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数.所以函数f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝1＋12＋2＝72.(2)因为f (x )＝x 2＋2x ＋a x>0在[1，＋∞)上恒成立，所以x 2＋2x ＋a >0在[1，＋∞)上恒成立.记y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)，所以y ＝(x ＋1)2＋a －1在[1，＋∞)上单调递增，故当x ＝1时，y 取得最小值，最小值为3＋a .所以当3＋a>0，即a>－3时，f(x)>0恒成立，所以实数a的取值范围为(－3，＋∞).三、创新拓展14.(多选)已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有()A.y＝2x＋x2B.y＝4x＋1 xC.y＝3x－1 xD.y＝x－1＋4 x＋1答案ACD解析A中，x≥1，y＝2x＋x2≥22x·x2＝2，当且仅当x＝2取得最小值2；B中，y＝4x＋1x在[1，＋∞)上递增，可得y的最小值为5；C中，y＝3x－1x在[1，＋∞)上递增，可得y的最小值为2；D中，y＝x－1＋4x＋1＝(x＋1)＋4x＋1－2≥2（x＋1）·4x＋1－2＝2，当且仅当x＝1时，取得最小值2.故选ACD.。

苏教版数学高一必修1学业测评2.2.1.2函数的最大值、最小值

学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．设定义在R 上的函数f (x )＝x |x |，则关于f (x )的最值的说法正确的是________(填序号)．①只有最大值；②只有最小值；③既有最大值，又有最小值；④既无最大值，又无最小值．【解析】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)，－x 2(x <0)，画出图象(略)可知，既无最大值又无最小值．【答案】 ④2．若函数y ＝ax ＋1在1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是________．【解析】由题意知a ≠0，当a >0时，有(2a ＋1)－(a ＋1)＝2，解得a ＝2；当a <0时，有(a ＋1)－(2a ＋1)＝2，解得a ＝－2.综上知a ＝±2.【答案】 ±23．函数f (x )＝|x －2|－2在区间0,3]上的最小值为________，最大值为________．【解析】f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ∈[0，2]，x －4，x ∈[2，3]，图象如图．由图可知，x ＝2时，f (x )min ＝－2；x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝0.【答案】－2 04．下列函数在1,4]上最大值为3的是________．(填序号)①y ＝1x ＋2；②y ＝3x －2；③y ＝x 2；④y ＝1－x .【解析】 ②③在1,4]上均为增函数，①④在1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值．【答案】 ①5．函数f (x )＝|1－x |－|x －3|，x ∈R 的值域是________．【解析】 f (x )＝|1－x |－|x －3|＝|x －1|－|x －3|，利用绝对值的几何意义可知f (x )表示x 到1的距离与x 到3的距离之差，结合数轴(略)可知值域为－2,2]．【答案】－2,2]6．已知函数f (x )是(0，＋∞)上的减函数，则f (a 2－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的大小关系是________．【解析】 ∵a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34，又f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34. 【答案】 f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34 7．当0≤x ≤2时，a <－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】令f (x )＝－x 2＋2x (0≤x ≤2)＝－(x 2－2x ＋1)＋1＝－(x －1)2＋1，图象如下：∴f (x )的最小值为f (0)＝f (2)＝0.而a <－x 2＋2x 恒成立，∴a <0.【答案】 a <08．函数f (x )＝x 2－4x ＋5在区间0，m ]上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是________．【解析】 f (x )＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1，x ∈0，m ]．由最小值为1知m ≥2.由最大值为5知f (0)＝5，f (4)＝5.所以2≤m ≤4.【答案】 2≤m ≤4二、解答题9．若二次函数满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间－1,1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围.【导学号：37590033】【解】 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，∴c ＝1，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1.∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意，x 2－x ＋1>2x ＋m 在－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在－1,1]上恒成立．令g (x )＝x 2－3x ＋1－m＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54－m ，其对称轴为x ＝32，∴g (x )在区间－1,1]上是减函数，∴g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，∴m <－1.10．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋3x(x ∈2，＋∞))， (1)求f (x )的最小值；(2)若f (x )>a 恒成立，求a 的取值范围．【解】 (1)任取x 1，x 2∈2，＋∞)，且x 1<x 2，f (x )＝x ＋3x ＋2.则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 1x 2， ∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，又∵x 1≥2，x 2≥2，∴x 1x 2>4,1－3x 1x 2>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．故f (x )在2，＋∞)上是增函数，∴当x ＝2时，f (x )有最小值，即f (2)＝112.(2)∵f (x )的最小值为f (2)＝112，∴f (x )>a 恒成立，只须f (x )min >a ，即a <112.能力提升]1．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈－2,2]的最大值等于________．【解析】由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.【答案】 62．函数f (x )＝x 2－4x －6的定义域为0，m ]，值域为－10，－6]，则m 的取值范围是________．【解析】函数f (x )＝x 2－4x －6的图象是开口朝上，且以直线x ＝2为对称轴的抛物线，故f (0)＝f (4)＝－6，f (2)＝－10，∵函数f (x )＝x 2－4x －6的定义域为0，m ]，值域为－10，－6]，故2≤m ≤4.【答案】 2,4]3．如果函数f (x )＝1－x 21＋x 2，那么f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 016＝________. 【解析】 ∵f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1－x 21＋x 2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝0， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 016 ＝f (1)＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (2 016)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 016＝0. 【答案】 04．已知二次函数y ＝f (x )＝x 2－2x ＋2.(1)当x ∈0,4]时，求f (x )的最值；(2)当x ∈2,3]时，求f (x )的最值；(3)当x ∈t ，t ＋1]时，求f (x )的最小值g (t )．【解】 y ＝f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1.(1)∵对称轴x ＝1∈0,4]，∴当x ＝1时，y 有最小值，y min ＝f (1)＝1.∵f (0)＝2<f (4)＝10，∴当x ＝4时，y 有最大值，y max ＝f (4)＝10.(2)∵1∉2,3]，且1<2，∴f (x )在2,3]上是单调增函数．∴当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝2，当x ＝3时，f (x )max ＝f (3)＝5.(3)f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，顶点坐标为(1,1)，当t ＋1<1，即t <0时，函数在t ，t ＋1]上为减函数，g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋1，当t ＋1≥1且t <1，即0≤t <1时，g (t )＝f (1)＝1，当t ≥1时，函数在t ，t ＋1]上为增函数，g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2.∴g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋1，1，t 2－2t ＋2， t <0，0≤t <1，t ≥1.5．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2 3.(1)求证：f(x)在R上是减函数；【导学号：37590034】(2)求f(x)在－3,3]上的最大值和最小值．【解】(1)证明：证法一：∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)．因此f(x)在R上是减函数．证法二：设x1>x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又∵x>0时，f(x)<0.而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为减函数．(2)∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在－3,3]上也是减函数，∴f(x)在－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.。

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高中数学新课标苏教版教材目录数学1第1章集合§1.1集合的含义及其表示§1.2子集、全集、补集§1.3交集、并集第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.1函数的概念和图象§函数的概念和图象§函数的表示方法§函数的简单性质§映射的概念§2.2指数函数§分数指数幂§指数函数§2.3对数函数§对数§对数函数§2.4幂函数§2.5函数与方程§二次函数与一元二次方程§用二分法求方程的近似解§2.6函数模型及其应用数学2第3章立体几何初步§3.1空间几何体§棱柱、棱锥和棱台§圆柱、圆锥、圆台和球§中心投影和平行投影§直观图画法§空间图形的展开图§柱、锥、台、球的体积§3.2点、线、面之间的位置关系§平面的基本性质§空间两条直线的位置关系§直线与平面的位置关系§平面与平面的位置关系第4章平面解析几何初步§4.1直线与方程§直线的斜率§直线的方程§两条直线的平行与垂直§两条直线的交点§平面上两点间的距离§点到直线的距离§4.2圆与方程§圆的方程§直线与圆的位置关系§圆与圆的位置关系§4.3空间直角坐标系§空间直角坐标系§空间两点间的距离数学3第5章算法初步§5.1算法的意义§5.2流程图§5.3基本算法语句§5.4算法案例第6章统计§6.1抽样方法§6.2总体分布的估计§6.3总体特征数的估计§6.4线性回归方程第7章概率§7.1随机事件及其概率§7.2古典概型§7.3几何概型§7.4互斥事件及其发生的概率数学4第8章三角函数§8.1任意角、弧度§8.2任意角的三角函数§8.3三角函数的图象和性质第9章平面向量§9.1向量的概念及表示§9.2向量的线性运算§9.3向量的坐标表示§9.4向量的数量积§9.5向量的应用第10章三角恒等变换§10.1两角和与差的三角函数§10.2二倍角的三角函数§10.3几个三角恒等式数学5第11章解三角形§11.1正弦定理§11.2余弦定理§11.3正弦定理、余弦定理的应用第12章数列§12.1等差数列§12.2等比数列§12.3数列的进一步认识第13章不等式§13.1不等关系§13.2一元二次不等式§13.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题§13.4基本不等式选修系列11-1第1章常用逻辑用语§1.1命题及其关系§1.2简单的逻辑联结词§1.3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程§2.1圆锥曲线§2.2椭圆§2.3双曲线§2.4抛物线§2.5圆锥曲线的共同性质第3章导数及其应用§3.1导数的概念§3.2导数的运算§3.3导数在研究函数中的应用§3.4导数在实际生活中的应用1-2第1章统计案例§1.1独立性检验§1.2线性回归分析第2章推理与证明§2.1合情推理与演绎推理§2.2直接证明与间接证明第3章数系的扩充与复数的引入§3.1数系的扩充§3.2复数的四则运算§3.3复数的几何意义第4章框图§4.1流程图§4.2结构图选修系列22-1第1章常用逻辑用语§1.1命题及其关系§1.2简单的逻辑连接词§1.3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程§2.1圆锥曲线§2.2椭圆§2.3双曲线§2.4抛物线§2.5圆锥曲线的统一定义§2.6曲线与方程第3章空间向量与立体几何§3.1空间向量及其运算§3.2空间向量的应用2-2第1章导数及其应用§1.1导数的概念§1.2导数的运算§1.3导数在研究函数中的应用§1.4导数在实际生活中的应用§1.5定积分第2章推理与证明§2.1合情推理与演绎推理§2.2直接证明与间接证明§2.3数学归纳法第3章数系的扩充与复数的引入§3.1数系的扩充§3.2复数的四则运算§3.3复数的几何意义2-3第1章计数原理§1.1两个基本原理§1.2排列§1.3组合§1.4计数应用题§1.5二项式定理第2章概率§2.1随机变量及其概率分布§2.2超几何分布§2.3独立性§2.4二项分布§2.5离散型随机变量的均值与方差§2.6正态分布第3章统计案例§3.1独立性检验§3.2线性回归分析主要编写人员情况主编单墫副主编李善良陈永高主要编写人员数学与应用数学方面：单墫陈永高苏维宜蒋声丁德成洪再吉许道云孙智伟李跃文王晓谦尤建功秦厚荣唐忠明钱定边傅珏生葛福生夏建国孙智伟汪任观数学教育与数学史方面：李善良赵振威葛军徐稼红周焕山朱家生高中数学教师与教研员：仇炳生冯惠愚张乃达祁建新樊亚东石志群董林伟张松年陈光立陆云泉孙旭东于明寇恒清王红兵卫刚单墫 1943年生，南京师范大学数学系教授，博士生导师，享受政府特殊津贴。

人教版高中数学必修一2.2.1.2课时练习习题(含答案解析)

2.2.1.2一、选择题1．下列式子中正确的个数是( )①log a (b 2－c 2)＝2log a b －2log a c②(log a 3)2＝log a 32③log a (bc )＝(log a b )·(log a c )④log a x 2＝2log a xA ．0B ．1C ．2D ．3[答案] A2．如果lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ，则x 等于( )A ．a ＋2b －3cB ．a ＋b 2－c 3 C.ab 2c 3 D.2ab 3c [答案] C[解析] lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ＝lg ab 2c 3， ∴x ＝ab 2c 3，故选C. 3．(2010·四川理，3)2log 510＋log 50.25＝( )A ．0B ．1C ．2D ．4 [答案] C[解析] 2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2.4．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为( )A ．a －2B ．5a －2C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2－1 [答案] A[解析] 由log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋log 33)＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 5．的值等于( ) A ．2＋ 5B ．2 5C ．2＋52D ．1＋52[答案] B[解析] 据对数恒等式及指数幂的运算法则有：6．与函数y ＝10lg(x －1)的图象相同的函数是( )A ．y ＝x －1B ．y ＝|x －1|C ．y ＝x 2－1x ＋1 D ．y ＝(x －1x －1)2[答案] D[解析] y ＝10lg(x －1)＝x －1(x >1)，故选D.7．已知f (log 2x )＝x ，则f (12)＝( )A.14 B.12C.22 D. 2[答案] D[解析] 令log 2x ＝12，∴x ＝2，∴f (12)＝ 2.8．如果方程lg 2x ＋(lg2＋lg3)lg x ＋lg2·lg3＝0的两根为x 1、x 2，那么x 1·x 2的值为() A ．lg2·lg3 B ．lg2＋lg3C ．－6 D.16[答案] D[解析] 由题意知lg x 1和lg x 2是一元二次方程u 2＋(lg2＋lg3)u ＋lg2·lg3＝0的两根∴lg x 1＋lg x 2＝－(lg2＋lg3)，即lg(x 1x 2)＝lg 16，∴x 1x 2＝16.9．(09·湖南文)log 22的值为( )A ．－ 2 B. 2C ．－12 D.12[答案] D[解析] log 22＝log 2212＝12.10．(09·江西理)函数y ＝ln(x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为( )A ．(－4，－1)B ．(－4,1)C ．(－1,1)D ．(－1,1][答案] C[解析] 要使函数有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0－x 2－3x ＋4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1－4<x <1，解得－1<x <1，故选C. 二、填空题11．log 6[log 4(log 381)]＝________.[答案] 0[解析] log 6[log 4(log 381)]＝log 6(log 44)＝log 61＝0.12．使对数式log (x －1)(3－x )有意义的x 的取值范围是________．[答案] 1<x <3且x ≠2[解析] y ＝log (x －1)(3－x )有意义应满足⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x >0x －1>0x －1≠1，解得1<x <3且x ≠2.13．已知lg3＝0.4771，lg x ＝－3.5229，则x ＝________.[答案] 0.0003[解析] ∵lg x ＝－3.5229＝－4＋0.4771＝－4＋lg3＝lg0.0003，∴x ＝0.0003.14．已知5lg x ＝25，则x ＝________，已知log x 8＝32，则x ＝________. [答案] 100；4[解析] ∵5lg x ＝25＝52，∴lg x ＝2，∴x ＝102＝100，∵log x 8＝32，∴x 32＝8，∴x ＝823＝4. 15．计算：(1)2log 210＋log 20.04＝________；(2)lg3＋2lg2－1lg1.2＝________； (3)lg 23－lg9＋1＝________；(4)13log 168＋2log 163＝________； (5)log 6112－2log 63＋13log 627＝________. [答案] 2,1，lg 103，－1，－2 [解析] (1)2log 210＋log 20.04＝log 2(100×0.04)＝log 24＝2(2)lg3＋2lg2－1lg1.2＝lg(3×4÷10)lg1.2＝lg1.2lg1.2＝1(3)lg 23－lg9＋1＝lg 23－2lg3＋1＝(1－lg3)2＝1－lg3＝lg 103(4)13log 168＋2log 163＝log 162＋log 163＝log 166＝－1 (5)log 6112－2log 63＋13log 627＝log 6112－log 69＋log 63 ＝log 6(112×19×3)＝log 6136＝－2. 三、解答题lg16．求满足log x y ＝1的y 与x 的函数关系式，并画出其图象，指出是什么曲线．[解析] 由log x y ＝1得y ＝x (x >0，且x ≠1)画图：一条射线y ＝x (x >0)除去点(1,1)．17．已知lg(x ＋2y )＋lg(x －y )＝lg2＋lg x ＋lg y ，求x y的值． [解析] 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y >0x －y >0x >0y >0(x ＋2y )(x －y )＝2xy即⎩⎪⎨⎪⎧ x >y y >0(x ＋2y )(x －y )＝2xy ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x >y y >0(x －2y )(x ＋y )＝0∴x －2y ＝0，因此x y＝2. 18．已知函数y ＝y 1＋y 2，其中y 1与log 3x 成正比例，y 2与log 3x 成反比例．且当x ＝19时，y 1＝2；当x ＝127时，y 2＝－3，试确定函数y 的具体表达式． [解析] 设y 1＝k log 3x ，y 2＝m log 3x ， ∴当x ＝19时，k log 319＝2，∴k ＝－1 当x ＝127时，m log 3127＝－3，∴m ＝9∴y ＝y 1＋y 2＝－log 3x ＋9log 3x.。

高中数学必修一函数的最大(小)值练习题测试题及答案解析

1.3.1.2函数的最大（小）值双基限时练新人教A 版必修11．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为( ) A.13 B ．－12C ．1 D.12解析函数y ＝1x －1在[2,3]上是减函数，∴当x ＝3时，取最小值为12. 答案 D2．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]，x ＋7，x ∈[－1，1，则函数f (x )的最大值和最小值分别为( )A ．8,6B ．8,8C ．10,6D ．10,8解析当x ∈[1,2]时，f (x )∈[8,10]；当x [－1,1)时，f (x )∈[6,8)，∴f (x )的最大值和最小值分别为10,6.答案 C3．函数y ＝|x ＋1|＋2的最小值是( ) A ．0 B ．－1 C ．2D ．3解析 y ＝|x ＋1|＋2的图象如下：所以最小值为2. 答案 C4．函数f (x )＝x 2＋2x －1，x ∈[－3,2]的最大值、最小值分别为( ) A ．9,0 B ．7,3 C ．2，－2D ．7，－2解析 f (x )＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，∴当x ＝－1时，有最小值－2，当x ＝2时，有最大值7.答案 D5．函数f (x )＝2x －1＋x 的值域是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12C ．(0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析易知当x ≥12时，函数f (x )为增函数，故值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.答案 A6．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x ，若该公司在两地共销售15辆(销售量单位：辆)，则能获得的最大利润为( )A ．90万元B ．60万元C ．120万元D ．120.25万元解析设在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，则利润y ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1922＋4814∴当x ＝9或10时，可获最大利润120万元．答案 C7．函数y ＝1x 在[1，a ]上的最小值为14，则a ＝______.解析 ∵y ＝1x在[1，a ]上是减函数，∴最小值为f (a )＝1a ＝14，∴a ＝4.答案 4 8．函数f (x )＝xx －1在区间[2,5]上的值域为________．解析 f (x )＝xx －1＝1＋1x －1，易知f (x )在[2,5]上为减函数，∴最小值为f (5)＝54，最大值为f (2)＝2，故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，2.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，2 9．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围是________．解析 y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，作出图象，由图象知，1≤m ≤2.答案 [1,2]10．函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在[2,3]上有最大值5和最小值2，求a ，b 的值．解由f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b 的对称轴为x ＝1知，无论f (x )的单调性怎样，f (x )在[2,3]上存在最值的情况有两种：⎩⎪⎨⎪⎧f ＝2，f＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧f ＝5，f＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.11．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最值； (2)若f (x )是单调函数，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，∵x ∈[－5,5]，∴当x ＝1时，f (x )取得最小值1；当x ＝－5时，f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2的图象是抛物线，其对称轴为x ＝－a . 若函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．是单调函数，则有－a ≤－5，或－a ≥5， ∴a ≥5，或a ≤－5.故所求实数a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)． 12．若二次函数满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，∴c ＝1， ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. ∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ， ∴2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意：x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立．令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54－m ，其对称轴为x ＝32，∴g (x )在区间[－1,1]上是减函数， ∴g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0， ∴m <－1.。

高中数学 2.1.3第2课时函数的最大(小)值课时作业苏教版必修1-苏教版高一必修1数学试题

第2课时函数的最大(小)值课时目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.体会函数的最大(小)值与单调性之间的关系.3.会求一些简单函数的最大(小)值．1．函数的最值设y ＝f (x )的定义域为A .(1)最大值：如果存在x 0∈A ，使得对于任意的x ∈A ，都有__________，那么称f (x 0)为y ＝f (x )的最大值，记为______＝f (x 0)．(2)最小值：如果存在x 0∈A ，使得对于任意的x ∈A ，都有f (x )≥f (x 0)，那么称f (x 0)为y ＝f (x )的最小值，记为________＝f (x 0)．2．函数最值与单调性的联系(1)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则f (x )的最大值为______，最小值为______．(2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则f (x )的最大值为______，最小值为______．一、填空题1．若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a 的取值X 围是________．2．已知函数y ＝x ＋2x －1，下列说法正确的是________．(填序号)①有最小值12，无最大值； ②有最大值12，无最小值； ③有最小值12，最大值2； ④无最大值，也无最小值．3．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值X 围是________．4．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么f (－2)，f (0)，f (2)的大小关系为________．5．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的________．(填序号)①最小值是0，最大值是4；②最小值是－4，最大值是0；③最小值是－4，最大值是4；④没有最大值也没有最小值．6．函数f (x )＝11－x 1－x的最大值是________． 7．函数y ＝2|x |＋1的值域是________． 8．函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b ](a <b <3)有最大值9，最小值－7，则a ＝________，b ＝__________.9．若y ＝－2x，x ∈[－4，－1]，则函数y 的最大值为________．二、解答题10．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2.(1)求f (x )在区间[12，3]上的最大值和最小值； (2)若g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上是单调函数，求m 的取值X 围．11．若二次函数满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，某某数m 的取值X 围．能力提升12．已知函数f (x )＝3－2|x |，g (x )＝x 2－2x ，构造函数F (x )，定义如下：当f (x )≥g (x )时，F (x )＝g (x )；当f (x )<g (x )时，F (x )＝f (x )，那么F (x )________．(填序号) ①有最大值3，最小值－1；②有最大值3，无最小值；③有最大值7－27，无最小值；④无最大值，也无最小值．13．已知函数f (x )＝ax 2－|x |＋2a －1，其中a ≥0，a ∈R .(1)若a ＝1，作函数f (x )的图象；(2)设f (x )在区间[1,2]上的最小值为g (a )，求g (a )的表达式．1．函数的最大(小)值(1)定义中M 首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数f (x )＝－x 2(x ∈R )的最大值为0，有f (0)＝0，注意对“存在”的理解．(2)对于定义域内任意元素，都有f (x )≤M 或f (x )≥M 成立，“任意”是说对每一个值都必须满足不等式．拓展对于函数y ＝f (x )的最值，可简记如下：最大值：y max 或f (x )max ；最小值：y min 或f (x )min .2．函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y ＝1x.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．(2)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上单调，则f (x )的最值必在区间端点处取得．即最大值是f (a )或f (b )，最小值是f (b )或f (a )．3．二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y ＝f (x )的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．第2课时函数的最大(小)值知识梳理1．(1)f (x )≤f (x 0) y max (2)y min2．(1)f (b ) f (a ) (2)f (a ) f (b )作业设计1．(－∞，－3]解析由二次函数的性质，可知4≤－(a －1)，解得a ≤－3.2．①解析 ∵y ＝x ＋2x －1在定义域[12，＋∞)上是增函数， ∴y ≥f (12)＝12，即函数最小值为12，无最大值． 3．[1,2]解析由y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2知，当x ＝1时，y 的最小值为2，当y ＝3时，x 2－2x ＋3＝3，解得x ＝0或x ＝2.由y ＝x 2－2x ＋3的图象知，当m ∈[1,2]时，能保证y 的最大值为3，最小值为2.4．f (0)<f (2)<f (－2)解析依题意，由f (1＋x )＝f (－x )知，二次函数的对称轴为x ＝12，因为f (x )＝x 2＋bx ＋c 开口向上，且f (0)＝f (1)，f (－2)＝f (3)，由函数f (x )的图象可知，[12，＋∞)为f (x )的增区间，所以f (1)<f (2)<f (3)，即f (0)<f (2)<f (－2)．5．③解析 y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4 x ≥3－2x ＋2 －1≤x <34 x <－1.因为[－1,3)是函数y ＝－2x ＋2的减区间，所以－4≤y ≤4，综上可知③正确．6.43解析 f (x )＝1x －122＋34≤43. 7．(0,2]解析观察可知y >0，当|x |取最小值时，y 有最大值，所以当x ＝0时，y 的最大值为2，即0<y ≤2，故函数y 的值域为(0,2]．8．－2 0解析 y ＝－(x －3)2＋18，∵a <b <3，∴函数y 在区间[a ，b ]上单调递增，即－b 2＋6b ＋9＝9，得b ＝0(b ＝6不合题意，舍去)－a 2＋6a ＋9＝－7，得a ＝－2(a ＝8不合题意，舍去)．9．2解析函数y ＝－2x在[－4，－1]上是单调递增函数，故y max ＝－2－1＝2. 10．解 (1)∵f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[12，3]， ∴f (x )的最小值是f (1)＝1，又f (12)＝54，f (3)＝5，所以，f (x )的最大值是f (3)＝5，即f (x )在区间[12，3]上的最大值是5，最小值是1. (2)∵g (x )＝f (x )－mx ＝x 2－(m ＋2)x ＋2，∴m ＋22≤2或m ＋22≥4，即m ≤2或m ≥6. 故m 的取值X 围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．11．解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，∴c ＝1，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1.∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋1. (2)由题意：x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立．令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝(x －32)2－54－m ，其对称轴为x ＝32， ∴g (x )在区间[－1,1]上是减函数，∴g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，∴m <－1.12．③解析画图得到F (x )的图象：射线AC 、抛物线AB 及射线BD 三段，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋3，y ＝x 2－2x ，得x A ＝2－7，代入得F (x )的最大值为7－27，由图可得F (x )无最小值． 13.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－|x |＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋1， x <0x 2－x ＋1， x ≥0. 作图(如右所示) (2)当x ∈[1,2]时，f (x )＝ax 2－x ＋2a －1.若a ＝0，则f (x )＝－x －1在区间[1,2]上是减函数， g (a )＝f (2)＝－3.若a >0，则f (x )＝a (x －12a )2＋2a －14a－1， f (x )图象的对称轴是直线x ＝12a. 当0<12a <1，即a >12时，f (x )在区间[1,2]上是增函数， g (a )＝f (1)＝3a －2.当1≤12a ≤2，即14≤a ≤12时， g (a )＝f (12a )＝2a －14a －1，当12a >2，即0<a <14时，f (x )在区间[1,2]上是减函数， g (a )＝f (2)＝6a －3.综上可得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 6a －3， 0≤a <142a －14a －1， 14≤a ≤123a －2， a >12。

2021版高考数学苏教版：函数的单调性与最值含答案

教课资料范本2021版高考数学苏教版： 2.2函数的单一性与最值含答案编辑： __________________时间： __________________第二节函数的单一性与最值[最新考纲 ] 1.理解函数的单一性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象剖析函数的性质．1．函数的单一性(1)单一函数的定义增函数减函数一般地、设函数f(x)的定义域为I、假如对于定义域I 内某个区间D 上的随意两个自变量的值x1、x2当 x 1＜x 2 时、都当 x 1＜ 2 时、都有 1 ＜ 2、那有 f(x 1 )＞ 2 、x f(x ) f(x )f(x )定义么就说函数 f(x)在区间 D 上是增那么就说函数函数f(x)在区间 D 上是减函数图象描绘自左向右看图象是降落的自左向右看图象是上涨的(2)单一区间的定义假如函数 y ＝f(x)在区间 I 上是单一增函数或单一减函数、那么就说函数y ＝f(x)在区间 I 上拥有单一性．单一增区间和单一减区间统称为单一区间．2．函数的最值前函数 y ＝ f(x)的定义域为 A 、存在提x ∈A条随意 x ∈A 、都随意 x ∈A 、都件有 f(x)≤ f(x 0 )有 f(x)≥f(x 0)结 f(x 0)为 y ＝f(x)的f(x 0)为 y ＝f(x)的论最大值最小值记 y max ＝f(x 0 )y min ＝f(x 0)法[ 常用结论 ]1．函数单一性的结论(1)对? x 1、x 2∈D(x 1≠x 2)、错误 ! ＞0? f(x)在 D 上是增函数；错误 ! ＜0? f(x)在D上是减函数．a(2)对勾函数 y＝x＋x(a＞0)的增区间为 (－∞、－a] 和[a、＋∞)、减区间为[－a、0)和(0、a]．(3)在区间 D 上、两个增函数的和还是增函数、两个减函数的和还是减函数．(4)函数 f(g(x))的单一性与函数y＝f(u)和 u＝g(x)的单一性的关系是“同增异减”．2．函数最值存在的 2 个结论(1)闭区间上的连续函数必定存在最大值和最小值．(2)开区间上的“单峰”函数必定存在最大 (小)值．一、思虑辨析 (正确的打“√”、错误的打“×”)1(1)函数 y＝x的单一递减区间是 (－∞、 0)∪ (0、＋∞ )． ()(2)若定义在 R 上的函数 f(x)有 f(－ 1)＜f(3)、则函数 f(x)在 R 上为增函数．()(3)函数 y＝f(x)在[1、＋∞ )上是增函数、则函数的单一递加区间是[1、＋∞ )．()(4)闭区间上的单一函数、其最值必定在区间端点取到．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、教材改编．函数2－ 6x＋10 在区间 (2,4)上()1y＝xA ．递减B．递加C．先递减后递加D．先递加后递减C [因为函数 y＝ x2－6x＋10 的图象为抛物线、且张口向上、对称轴为直线 x ＝3、所以函数 y＝ x2－6x＋10 在(2,3)上为减函数、在 (3,4)上为增函数． ]2．以下函数中、在区间 (0,1)上是增函数的是 ()A ． y＝ |x|B． y＝3－x1D． y＝－ x2＋4C． y＝x1A[y＝3－x 在 R 上递减、 y＝x在(0、＋∞)上递减、 y＝－ x2＋4 在 (0、＋∞ ) 上递减、应选 A.]3．若函数 y＝ (2k＋1)x＋b 在 R 上是减函数、则k 的取值范围是 ________．1[因为函数 y＝ (2k＋1)x＋b 在 R 上是减函数、所以2k＋ 1＜ 0、－∞，－2即 k＜－1 2.]4．已知函数 f(x)＝2、 x∈ [2,6] 、则 f(x)的最大值为 ________、最小值为x－ 1________．22[ 易知函数 f(x)＝2在 x∈[2,6] 上为减函数、故 f(x)max＝f(2)＝、f(x)min 5x－122＝f(6)＝5.]考点 1确立函数的单一性(区间)确立函数单一性的 4 种方法(1)定义法．利用定义判断．(2)导数法．合用于初等函数、复合函数等能够求导的函数．(3)图象法．由图象确立函数的单一区间需注意两点：一是单一区间一定是函数定义域的子集；二是图象不连续的单一区间要分开写、用“和”或“、”连结、不可以用“∪” 连结．(4)性质法．利用函数单一性的性质、特别是利用复合函数“同增异减” 的原则时、需先确立简单函数的单一性．求函数的单一区间(1)函数 f(x)＝ |x2－3x＋ 2|的单一递加区间是 ()33A.2，＋∞B. 1，2和[2、＋∞ )33C．(－∞、 1]和2，2 D. －∞，2和[2、＋∞ )(2)函数 y ＝ x2＋ x－ 6 的单调递增区间为 ________、单一递减区间为________．(1)B (2)[2、＋∞ ) (－∞、－ 3][(1)y＝|x2－3x＋2|＝错误!331]和2，2 .应选 B.(2)令 u＝ x2＋x－ 6、则 y＝ x2＋ x－ 6能够看作是由 y＝ u与 u＝ x2＋x－ 6 复合而成的函数．令 u＝x2＋x－6≥0、得 x≤ －3 或 x≥2.易知 u＝ x2＋x－6 在 (－∞、－ 3]上是减函数、在 [2、＋∞)上是增函数、而y ＝u在[0、＋∞)上是增函数、所以 y＝x2＋x－6的单一减区间为 (－∞、－ 3]、单一增区间为 [2、＋∞ )．](1)求复合函数的单一区间的步骤一般为：①确立函数的定义域；②求简单函数的单一区间；③求复合函数的单一区间、其依照是“同增异减”．(2)求函数的单一区间、应先求定义域、在定义域内求单一区间．含参函数的单一性[ 一题多解 ]判断并证明函数f(x)＝1ax2＋x(此中 1＜ a＜ 3)在 x∈[1,2] 上的单一性．[ 解]法一：(定义法)设1≤x1＜x2≤2、则11f(x2)－f(x1)＝ ax2＋x2－ ax21＋x1＝(x2－x1)错误!、由 1≤x1＜x2≤ 2、得 x2－ x1＞0,2＜x1＋x2＜ 4、1 11＜x1x2＜ 4、－ 1＜－x1x2＜－4.又 1＜a＜3、所以 2＜a(x1＋ x2)＜ 12、1得 a(x1＋x2)－x1x2＞0、进而 f(x2)－ f(x1)＞0、即 f(x2)＞ f(x1)、故当 a∈(1,3)时、 f(x)在 [1,2] 上单一递加．12ax3－1法二： (导数法 )因为 f′ (x)＝2ax－x2＝x2、因为 1≤x≤2、∴1≤x3≤ 8、又 1＜a＜3、所以 2ax3－1＞0、所以 f′(x)＞ 0、12所以函数 f(x)＝ax ＋x(此中 1＜a＜3)在[1,2] 上是增函数．定义法证明函数单一性的一般步骤：①任取x1、x2∈D 、且x1＜x2；② 作差f(x1)－f(x2)；③变形(往常是因式分解和配方)；④定号(即判断f(x1)－f(x2)的正负)；⑤下结论 (即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单一性 )．1.函数 f(x)＝|x－ 2|x 的单一递减区间是()A ． [1,2]B．[－1,0]C． (0,2]D．[2、＋∞ )x2－2x，x≥2，A[由题意得、 f(x)＝－x2＋2x，x＜2，当 x≥2 时、 [2 、＋∞)是函数 f(x)的单一递加区间；当 x＜2 时、 (－∞、1]是函数 f(x)的单一递加区间、 [1,2] 是函数 f(x)的单一递减区间． ]ax2．判断并证明函数f(x)＝x－1(a≠0)在(－1,1)上的单一性．[ 解]法一：(定义法)设－1＜x1＜x2＜1、x－ 1＋ 11f(x)＝a x－ 1＝a1＋x－1、11f(x1)－f(x2)＝ a 1＋x1－1－ a 1＋x2－1＝错误 ! 、因为－1＜x1＜x2＜1、所以 x2－ x1＞0、x1－1＜0、x2－ 1＜ 0、故当 a＞0 时、 f(x1)－f(x2)＞0、即 f(x1)＞ f(x2)、函数 f(x)在(－1,1)上递减；当 a＜0 时、 f(x1)－f(x2)＜ 0、即 f(x1)＜f(x2)、函数 f(x)在(－1,1)上递加．法二： (导数法 )f′ (x)＝错误!＝错误!、所以当 a＞ 0 时、 f′ (x)＜ 0、当 a＜0 时、 f′(x)＞0、即当 a＞0 时、 f(x)在(－ 1,1)上为单一减函数、当 a＜0 时、 f(x)在 (－1,1)上为单一增函数．考点 2函数的最值求函数最值的 5 种常用方法及其思路(1)单一性法：先确立函数的单一性、再由单一性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象、再察看其最高点、最低点、求出最值．(3)基本不等式法：先对分析式变形、使之具备“一正二定三相等 ”的条件后用基本不等式求出最值．(4)导数法：先求导、而后求出在给定区间上的极值、最后联合端点值、求出最值．(5)换元法：对照较复杂的函数可经过换元转变为熟习的函数、再用相应的方法求最值．(1) 若函数 f(x) ＝错误!的最小值为f(0)、则实数 a 的取值范围是 ()A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ． [1,2]D ． [0,2]x(2) 函数 f(x)＝ 1 －log 2 ＋在区间－ 1,1]上的最大值为________．3(x 2) [(3)函数 y ＝x － x(x ≥ 0)的最大值为 ________．11 1(1)D (2)3 (3)4 [(1) 当 x ＞0 时、 f(x)＝ x ＋x ＋a ≥2＋a 、当且仅当 x ＝x 、即x ＝ 1 时、等号建立．故当 x ＝1 时获得最小值 2＋a 、∵ f(x)的最小值为 f(0)、2此时的最小值为 f(0)＝a 2、故 2＋a ≥a 2、得－ 1≤a ≤2.又 a ≥0、得 0≤ a ≤ 2.应选 D.x1(2)∵f(x)＝ 3－ log 2(x ＋2) 在区间 [ －1,1]上单一递减、 ∴f(x)max ＝ f(－ 1)＝ 3－log 21＝3.21 1(3)令 t ＝ x 、则 t ≥0、所以 y ＝t －t 2＝－11t －＋、当 t ＝、即 x ＝时、2424max1y＝4.][ 逆向问题 ]若函数 f(x) ＝－ a ＋ b(a ＞ 0)在 1，2 上的值域为 1， 2 、则＝x 2 2a________、b ＝________.15 a 1 上是增函数、[ ∵f(x)＝－＋b(a ＞ 0)在，22x211∴ f(x)min ＝f 2 ＝ 2、 f(x)max ＝f(2)＝2.1－2a ＋ b ＝ 2，即a－2＋b ＝2，5解得 a ＝1、b ＝2.](1)求函数的最值时、应先确立函数的定义域．如本例 (3)．(2)求分段函数的最值时、应先求出每一段上的最值、再选用此中最大的作为分段函数的最大值、最小的作为分段函数的最小值．如本例(1)．(3)若函数f(x)在区间 [a、b]上单一、则必在区间的端点处获得最值．如本例(2)；若函数 f(x)在区间 [a、b]上不但一、则最小值为函数f(x)在该区间内的极小值和区间端点值中最小的值、最大值为函数f(x)在该区间内的极大值和区间端点值中最大的值．x2＋41. 函数f(x) ＝x的值域为________．4(－∞、－ 4]∪[4 、＋∞ )[ 当 x＞0 时、 f(x)＝x＋x≥ 4、当且仅当 x＝2 时取等号；4当 x＜0 时、－ x＋－x≥4、4即 f(x)＝x＋x≤－4、当且仅当 x＝－ 2 时取等号、所以函数 f(x)的值域为 (－∞、－ 4]∪[4、＋∞)．]．对于随意实数、、定义、＝a，a≤b，a b min{ a b， a＞ b.2b}设函数 f(x)＝－ x＋3、 g(x)＝log x、则函数 h(x)＝min{ f(x)、 g(x)} 的最大值是 ________．21[ 法一： (图象法 )在同一坐标系中、作函数f(x)、g(x)图象、依题意、 h(x)的图象如下图．易知点 A(2,1)为图象的最高点、所以 h(x)的最大值为 h(2)＝ 1.log2x ，0＜x≤2，法二： (单一性法 )依题意、 h(x)＝－x＋3，x＞2.当 0＜x≤2 时、 h(x)＝log2 x 是增函数、当 x＞2 时、 h(x)＝3－x 是减函数、所以 h(x)在 x＝2 时获得最大值 h(2)＝ 1.]考点 3 函数单一性的应用比较大小比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时、若自变量的值不在同一个单一区间内、要利用其函数性质、转变到同一个单一区间内进行比较、对于选择题、填空题能数形联合的尽量用图象法求解．已知函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后对于y 轴对称、当 x2＞ x1＞1 时、 [f(x2 )－ f(x1)]( x2－x1)＜0 恒建立、设a＝1f －2、b＝f(2)、 c＝f(3)、则 a、b、c 的大小关系为 ()A ． c＞ a＞b B． c＞b＞aC． a＞ c＞b D． b＞ a＞ cD[依据已知可得函数 f(x)的图象对于直线 x＝1 对称、且在 (1、＋∞)上是减15函数．所以 a＝ f －2＝f 2、 f(2)＞ f(2.5)＞f(3)、所以 b＞a＞c.]本例先由 [f(x2) － f(x1 )](x2－ x1)＜ 01得出 f(x)在 (1、＋∞)上是减函数、而后借助对称性、化变量－2、2,3 于同一单一区间、并借助单一性比较大小．解不等式求解含“ f”的函数不等式的解题思路先利用函数的有关性质将不等式转变为f(g(x))＞f(h(x))的形式、再依据函数的单一性去掉“ f”、获得一般的不等式 g(x) ＞h(x)(或 g(x)＜h(x))．此时要特别注意函数的定义域．定义在 [－ 2,2]上的函数f(x)知足(x1－ x2) ·[f(x1)－f(x2)] ＞0、x1≠ x2、且 f(a2－a)＞ f(2a－2)、则实数 a 的取值范围为()A．[－1,2)B． [0,2)C． [0,1)D．[－1,1)C [因为函数 f(x)知足 (x1－x2)[f(x1)－ f(x2)]＞ 0、 x1≠x2、所以函数在 [－ 2,2]上单一递加、所以－ 2≤2a－2＜a2－a≤2、解得 0≤a＜1、应选 C.]本例在求解时、应注意隐含条件为 a2－a∈ [－ 2,2]、2a－ 2∈[ －2,2]．[教师备选例题 ]f(x)是定义在 (0、＋∞ )上的单一增函数、知足 f(xy)＝f(x)＋f(y)、f(3)＝ 1、则不等式 f(x)＋ f(x－8) ≤2 的解集为 ________．(8,9] [ 因为2＝ 1＋ 1＝ f(3) ＋ f(3)＝ f(9) 、由 f(x) ＋ f(x－ 8)≤ 2 可得f[x(x－8)]≤ f(9)、 f(x)是定义在 (0、＋∞)上的增函数、所以有错误!解得 8<x≤9.]依据函数的单一性求参数利用单一性求参数的范围(或值 )的方法(1)视参数为已知数、依照函数的图象或单一性定义、确立函数的单一区间、与已知单一区间比较求参数．(2)需注意若函数在区间[a、 b] 上是单一的、则该函数在此区间的随意子集上也是单一的．x－ 5(1)(20xx 郑·州模拟 )函数 y＝x－a－2在(－ 1、＋∞ )上单一递加、则 a 的取值范围是 ()A ． a＝－ 3B． a＜ 3C． a≤－ 3D． a≥－ 3－ x2＋4x，x≤4，(2)设函数 f(x)＝若函数 y＝f(x)在区间 (a、a＋1)上单一log2x ， x＞ 4.A ．(－∞、 1]B ． [1,4]C ．[4、＋∞ )D ．(－∞、 1]∪[4、＋∞ ) (1)C (2)D [(1)y ＝x －a －2＋a － 3 a － 3 x －a －2 ＝ 1＋＝ 1＋错误 ! 、由题意知错误 ! x － a － 2得 a ≤－ 3.所以 a 的取值范围是 a ≤－ 3.(2)作出函数 f(x)的图象如下图、由图象可知 f(x)在(a 、a ＋1)上单一递加、需知足 a ≥4 或 a ＋ 1≤2、即 a ≤1 或 a ≥ 4、应选 D.]分段函数的单一性、除注意各段的单一性外、还要注意连接点的取值．如本例(2)．1.若函数 f(x)＝2|x －a|＋3 在区间[1、＋∞ )上不但一、则 a 的取值范围是 ()A ．[1、＋∞ )B ． (1、＋∞ )C ．(－∞、 1)D ．(－∞、 1]2x －2a ＋ 3，x ≥a ，B [ 因为函数 f(x)＝2|x － a|＋3＝且函数 f(x)＝2|x －－2x ＋2a ＋3，x ＜a ，a|＋3 在区间 [1、＋ ∞)上不但一、所以 a ＞ 1.所以 a 的取值范围是 (1、＋ ∞)．应选 B.]2．已知函数 f(x)＝错误 ! 若 f(2－x 2)＞f(x)、则实数 x 的取值范围是 ()A ． (－∞、－ 1)∪ (2、＋∞ )B ． (－∞、－ 2)∪ (1、＋∞ )C ．(－1,2)D ．(－2,1)D [因为当 x ＝0 时、两个表达式对应的函数值都为零、所以函数的图象是一条连续的曲线．因为当 x ≤ 0 时、函数 f(x)＝x 3为增函数、当 x ＞0 时、 f(x)＝ ln(x ＋1)也是增函数、所以函数 f(x)是定义在 R 上的增函数．所以、不等式 f(2－x 2)＞f(x)等价于 2－x 2＞x 、即 x 2＋x －2＜0、解得－ 2＜x＜1.]3．已知 f(x)＝错误!知足对随意 x1≠ x2、都有错误!＞0 建立、那么 a 的取值范围是()A ． (1,2) B.3 1，233C. 2，2D. 2，2C[由已知条件得 f(x)为增函数、所以错误 ! 解得错误 ! ≤a＜2、3所以 a 的取值范围是2，2 .应选C.]。

高中数学——必修一同步课件-函数的最大值、最小值

2.最小值
对于定义域为I的函数f(x)，条件： f(x)≥M f(x0)=M 结论：M是函数f(x)在I上的最小值.
几何意义：函数y=f(x)图象上最___ 低点的_______. 纵坐标
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)=x的最小值是-∞.( ) )
(2)函数f(x)=-x2在［1,3］上的最小值是-1.(
2 5
.
f f
(
1 2
)
1 2
,
即
2
2,
1 1 －2 , a 2 1 1 － 2, 2 a
【拓展提升】 1.利用单调性求最值的一般步骤
(1)判断函数的单调性.(2)利用单调性写出最值.
2.利用单调性求最值的三个常用结论
(1)如果函数f(x)在区间［a,b］上是增(减)函数,则f(x)在区
2.求最大值、最小值时的三个关注点 (1)利用图象写出最值时要写最高(低)点的纵坐标,而不是横坐标. (2)单调性法求最值勿忘求定义域. (3)单调性法求最值,尤其是闭区间上的最值,不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误 ,求解时一定要注意.
3.辨析函数的最值和值域 (1)函数的最值和值域反映的是函数的整体性质，针对的是整个定义域. (2)函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在. (3)若函数的最值存在，则一定是值域中的元素 .例如，函数 f(x)=-x2对任意的x∈R，都有f(x)≤1,但是f(x)的最大值不是1，因为1不在f(x)的值域内.
(2)若函数f(x)的定义域与值域都是［
1 2 ,
2］，求a的值.
【解题探究】1.二次函数在闭区间内求最值的关键是什么 ?

苏教版高中数学必修1全册课时作业及答案

苏教版高中数学必修1 全册课时作业目录1.1第1课时集合的含义1.1第2课时集合的表示1.2子集、全集、补集1.3交集、并集2.1.1函数的概念和图象2.1.2习题课2.1.2函数的表示方法2.1.3习题课2.1.3第1课时函数的单调性2.1.3第2课时函数的最大（小）值2.1.3第3课时奇偶性的概念2.1.3第4课时奇偶性的应用2.1.4映射的概念2.2.1函数的单调性（一）2.2.1函数的单调性（二）2.2.1分数指数幂2.2.2 习题课2.2.2习题课2.2.2函数的奇偶性2.2.2指数函数（一）2.2.2指数函数（二）2.2习题课2.3.1第1课时对数的概念2.3.1第2课时对数运算2.3.2习题课2.3.2对数函数（一）2.3.2对数函数（二）2.3映射的概念2.4幂函数2.5.1函数的零点2.5.2用二分法求方程的近似解2.5习题课2.6习题课2.6函数模型及其应用3.1.1分数指数幂3.1.2指数函数（一）3.1.2指数函数（二）3.1习题课3.2.1第1课时对数（一）3.2.1第2课时对数（二）3.2.2对数函数（一）3.2.2对数函数（二）3.2习题课3.3幂函数3.4.1习题课3.4.1第1课时函数的零点3.4.1第2课时用二分法求方程的近似解3.4.2习题课3.4.2函数模型及其应用第1章集合§1.1集合的含义及其表示第1课时集合的含义课时目标 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用．1．一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个________．集合中的每一个对象称为该集合的________，简称______．2．集合通常用________________表示，用____________________表示集合中的元素．3．如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a____A，读作“a______A”，如果a不是集合A的元素，就说a__________A，记作a____A，读作“a________A”．4．集合中的元素具有________、________、________三种性质．5．实数集、有理数集、整数集、自然数集、正整数集分别用字母____、____、____、____、____或______来表示．一、填空题1．下列语句能确定是一个集合的是________．(填序号)①著名的科学家；②留长发的女生；③2010年广州亚运会比赛项目；④视力差的男生．2．集合A只含有元素a，则下列各式正确的是________．(填序号)①0∈A；②a∉A；③a∈A；④a＝A.3．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是________．(填序号)①直角三角形；②锐角三角形；③钝角三角形；④等腰三角形．4．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是________．(填序号)①1；②－2；③6；④2.5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为________．6．由实数x、－x、|x|、x2及－3x3所组成的集合，最多含有________个元素．7．由下列对象组成的集体属于集合的是________．(填序号)①不超过π的正整数；②本班中成绩好的同学；③高一数学课本中所有的简单题；④平方后等于自身的数．8．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为________．9．用符号“∈”或“∉”填空－2______R，－3______Q，－1_______N，π______Z.二、解答题10．判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合； (2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素；(4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合．11．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a .能力提升 12．设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？13．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A (a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．1．考查对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．2．集合中元素的三个性质(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．第1章集合§1.1集合的含义及其表示第1课时集合的含义知识梳理1．集合元素元 2.大写拉丁字母A，B，C…小写拉丁字母a，b，c，… 3.属于∈属于不属于∉不属于4．确定性互异性无序性 5.R Q Z N N*N＋作业设计1．③解析①、②、④都因无法确定其构成集合的标准而不能构成集合．2．③解析由题意知A中只有一个元素a，∴0∉A，a∈A，元素a与集合A的关系不应用“＝”．3．④解析集合M的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的．4．③解析因A中含有3个元素，即a2,2－a,4互不相等，将各项中的数值代入验证知填③. 5．3解析由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意．6．2解析因为|x |＝±x ，x 2＝|x |，－3x 3＝－x ，所以不论x 取何值，最多只能写成两种形式：x 、－x ，故集合中最多含有2个元素． 7．①④解析 ①④中的标准明确，②③中的标准不明确．故答案为①④. 8．－1解析当x ＝0,1，－1时，都有x 2∈A ，但考虑到集合元素的互异性，x ≠0，x ≠1，故答案为－1.9．∈ ∈ ∉ ∉10．解 (1)正确．因为参加2010年广州亚运会的国家是确定的，明确的． (2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝12，在这个集合中只能作为一元素，故这个集合含有三个元素． (4)不正确，因为个子高没有明确的标准． 11．解由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32.则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3，∴a ＝－32.12．解 ∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6；当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8；当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．13．证明 (1)若a ∈A ，则11－a∈A .又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A .∵－1∈A ，∴11－－1＝12∈A .∵12∈A ，∴11－12＝2∈A . ∴A 中另外两个元素为－1，12.(2)若A 为单元素集，则a ＝11－a，即a 2－a ＋1＝0，方程无解．∴a ≠11－a，∴A 不可能为单元素集．第2课时集合的表示课时目标 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．1．列举法将集合的元素____________出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．两个集合相等如果两个集合所含的元素____________，那么称这两个集合相等． 3．描述法将集合的所有元素都具有的______(满足的______)表示出来，写成{x |p (x )}的形式． 4．集合的分类(1)有限集：含有________元素的集合称为有限集． (2)无限集：含有________元素的集合称为无限集． (3)空集：不含任何元素的集合称为空集，记作____．一、填空题1．集合{x ∈N ＋|x －3<2}用列举法可表示为___________________________________． 2．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示________．(填序号) ①方程y ＝2x －1； ②点(x ，y )；③平面直角坐标系中的所有点组成的集合； ④函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合．3．将集合⎩⎪⎨⎪⎧x ，y |⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋y ＝52x －y ＝1表示成列举法为______________．4．用列举法表示集合{x |x 2－2x ＋1＝0}为________．5．已知集合A ＝{x ∈N |－3≤x ≤3}，则有________．(填序号) ①－1∈A ；②0∈A ；③3∈A ；④2∈A .6．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x －y ＝－1的解集不可表示为________．①{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x －y ＝－1}；②{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2}；③{1,2}；④{(1,2)}．7．用列举法表示集合A ＝{x |x ∈Z ，86－x∈N }＝______________________________.8．下列各组集合中，满足P ＝Q 的为________．(填序号) ①P ＝{(1,2)}，Q ＝{(2,1)}； ②P ＝{1,2,3}，Q ＝{3,1,2}；③P ＝{(x ，y )|y ＝x －1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝x －1，x ∈R }．9．下列各组中的两个集合M 和N ，表示同一集合的是________．(填序号) ①M ＝{π}，N ＝{3.141 59}； ②M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)}；③M ＝{x |－1<x ≤1，x ∈N }，N ＝{1}；④M ＝{1，3，π}，N ＝{π，1，|－3|}．二、解答题10．用适当的方法表示下列集合①方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解集；②在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合； ③不等式x －2>6的解的集合；④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．11．已知集合A ＝{x |y ＝x 2＋3}，B ＝{y |y ＝x 2＋3}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．能力提升12．下列集合中，不同于另外三个集合的是________．①{x |x ＝1}；②{y |(y －1)2＝0}；③{x ＝1}；④{1}．13．已知集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z }，若x 0∈M ，则x 0与N 的关系是____________________________________________________．1．在用列举法表示集合时应注意：①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示． 2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合、还是其他形式？(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．第2课时集合的表示知识梳理1．一一列举 2.完全相同 3.性质条件 4．(1)有限个 (2)无限个 (3)∅ 作业设计 1．{1,2,3,4}解析 {x ∈N ＋|x －3<2}＝{x ∈N ＋|x <5}＝{1,2,3,4}． 2．④解析集合{(x ，y )|y ＝2x －1}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合． 3．{(2,3)}解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.所以答案为{(2,3)}．4．{1}解析方程x 2－2x ＋1＝0可化简为(x －1)2＝0， ∴x 1＝x 2＝1，故方程x 2－2x ＋1＝0的解集为{1}． 5．② 6．③解析方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一对有序实数对，故③不符合． 7．{5,4,2，－2}解析 ∵x ∈Z ，86－x∈N ，∴6－x ＝1,2,4,8.此时x ＝5,4,2，－2，即A ＝{5,4,2，－2}． 8．②解析 ①中P 、Q 表示的是不同的两点坐标；②中P ＝Q ；③中P 表示的是点集，Q 表示的是数集． 9．④解析只有④中M 和N 的元素相等，故答案为④.10．解 ①∵方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解为0和－1， ∴解集为{0，－1}；②{x |x ＝2n ＋1，且x <1 000，n ∈N }； ③{x |x >8}；④{1,2,3,4,5,6}．11．解因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：集合A 中代表的元素是x ，满足条件y ＝x 2＋3中的x ∈R ，所以A ＝R ；集合B 中代表的元素是y ，满足条件y ＝x 2＋3中y 的取值范围是y ≥3，所以B ＝{y |y ≥3}．集合C 中代表的元素是(x ，y )，这是个点集，这些点在抛物线y ＝x 2＋3上，所以C ＝{P |P是抛物线y ＝x 2＋3上的点}． 12．③解析由集合的含义知{x |x ＝1}＝{y |(y －1)2＝0} ＝{1}，而集合{x ＝1}表示由方程x ＝1组成的集合． 13．x 0∈N解析 M ＝{x |x ＝2k ＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k ＋24，k ∈Z }，∵2k ＋1(k ∈Z )是一个奇数，k ＋2(k ∈Z )是一个整数， ∴x 0∈M 时，一定有x 0∈N .§1.2子集、全集、补集课时目标 1.理解子集、真子集的意义，会判断两集合的关系.2.理解全集与补集的意义，能正确运用补集的符号.3.会求集合的补集，并能运用Venn图及补集知识解决有关问题．1．子集如果集合A的__________元素都是集合B的元素(若a∈A则a∈B)，那么集合A称为集合B的________，记作______或______．任何一个集合是它本身的______，即A⊆A. 2．如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的________，记为______或(______)．3．______是任何集合的子集，______是任何非空集合的真子集．4．补集设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的______，记为______(读作“A在S中的补集”)，即∁S A＝{x|x∈S，且x∉A}．5．全集如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看做一个______，全集通常记作U.集合A相对于全集U的补集用Venn图可表示为一、填空题1．集合P＝{x|y＝x＋1}，集合Q＝{y|y＝x－1}，则P与Q的关系是________．2．满足条件{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M的个数是________．3．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则∁U A＝________.4．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则∁U M＝________.5．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是_____________________________．6．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是________．7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________. 8．设全集U＝{x|x<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，则∁U A＝________，∁U B＝______，∁B A＝________.9．已知全集U，A B，则∁U A与∁U B的关系是____________________．二、解答题10．设全集U＝{x∈N*|x<8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}．(1)求∁U(A∪B)，∁U(A∩B)；(2)求(∁U A)∪(∁U B)，(∁U A)∩(∁U B)；(3)由上面的练习，你能得出什么结论？请结事Venn图进行分析．11．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，设集合U＝A，求∁U B.能力提升12．设全集是数集U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知A＝{b,2}，∁U A＝{5}，求实数a，b的值．13．已知集合A＝{x|1<ax<2}，B＝{x|－1<x<1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．1．子集概念的多角度理解(1)“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即由任意x∈A能推出x∈B.(2)不能把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A＝∅时，A⊆B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A⊆B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A⊆B.2．∁U A的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系．3．补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁U A，再由∁U(∁U A)＝A求A.§1.2子集、全集、补集知识梳理1．任意一个子集A⊆B B⊇A子集 2.真子集A B B A3．空集空集 4.补集∁S A 5.全集作业设计1．P Q解析∵P＝{x|y＝x＋1}＝{x|x≥－1}，Q＝{y|y≥0}，∴P Q.2．7解析M中含三个元素的个数为3，M中含四个元素的个数也是3，M中含5个元素的个数只有1个，因此符合题意的共7个．3．{3,9}解析在集合U中，去掉1,5,7，剩下的元素构成∁U A.4．{x|x<－2或x>2}解析∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴∁U M＝{x|x<－2或x>2}．5．②解析由N＝{－1,0}，知N M.6．S P＝M解析运用整数的性质方便求解．集合M、P表示成被3整除余1的整数集，集合S表示成被6整除余1的整数集．7．－3解析∵∁U A＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.8．{0,1,3,5,7,8} {7,8} {0,1,3,5}解析由题意得U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，用Venn图表示出U，A，B，易得∁U A＝{0,1,3,5,7,8}，∁U B＝{7,8}，∁B A＝{0,1,3,5}．9．∁U B∁U A解析画Venn图，观察可知∁U B∁U A.10．解 (1)∵U ＝{x ∈N *|x <8}＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ∪B ＝{1,2,3,4,5,7}，A ∩B ＝{5}，∴∁U (A ∪B )＝{6}，∁U (A ∩B )＝{1,2,3,4,67}．(2)∵∁U A ＝{2,4,6}，∁U B ＝{1,3,6,7}，∴(∁U A )∪(∁U B )＝{1,2,3,4,6,7}，(∁U A )∩(∁U B )＝{6}．(3)∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )(如左下图)；∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )(如右下图)．11．解因为B ⊆A ，因而x 2＝3或x 2＝x .①若x 2＝3，则x ＝± 3.当x ＝3时，A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}，此时∁U B ＝{3}；当x ＝－3时，A ＝{1,3，－3}，B ＝{1,3}，U ＝A ＝{1,3，－3}，此时∁U B ＝{－3}．②若x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1. 当x ＝1时，A 中元素x 与1相同，B 中元素x 2与1也相同，不符合元素的互异性，故x ≠1；当x ＝0时，A ＝{1,3,0}，B ＝{1,0}，U ＝A ＝{1,3,0}，从而∁U B ＝{3}．综上所述，∁U B ＝{3}或{－3}或{3}． 12．解 ∵∁U A ＝{5}，∴5∈U 且5∉A .又b ∈A ，∴b ∈U ，由此得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －3＝5，b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3经检验都符合题意．13．解 (1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B .(2)当a >0时，A ＝{x |1a <x <2a}．又∵B ＝{x |－1<x <1}，A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥－1，2a ≤1，∴a ≥2.(3)当a <0时，A ＝{x |2a <x <1a}．∵A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，1a ≤1，∴a ≤－2.综上所述，a ＝0或a ≥2或a ≤－2.§1.3交集、并集课时目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．1．交集(1)定义：一般地，由____________________元素构成的集合，称为集合A与B的交集，记作________．(2)交集的符号语言表示为A∩B＝__________.(3)交集的图形语言表示为下图中的阴影部分：(4)性质：A∩B＝______，A∩A＝____，A∩∅＝____，A∩B＝A⇔______.2．并集(1)定义：一般地，________________________的元素构成的集合，称为集合A与B的并集，记作______．(2)并集的符号语言表示为A∪B＝______________.(3)并集的图形语言(即Venn图)表示为图中的阴影部分：(4)性质：A∪B＝______，A∪A＝____，A∪∅＝____，A∪B＝A⇔______，A____A∪B，A∩B____A∪B.一、填空题1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B＝________.2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩B＝________.3．若集合A＝{参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B＝{参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C＝{参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是________．①A⊆B；②B⊆C；③A∩B＝C；④B∪C＝A.4．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N＝________. 5．设集合A＝{5,2a}，集合B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则a＋b等于________．6．集合M＝{1,2,3,4,5}，集合N＝{1,3,5}，则下列关系正确的是________．①N∈M；②M∪N＝M；③M∩N＝M；④M>N.7．设集合A＝{－3,0,1}，B＝{t2－t＋1}．若A∪B＝A，则t＝________.8．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________. 9．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1<x≤4}，C＝{x|－3<x<2}且集合A∩(B∪C)＝{x|a≤x≤b}，则a＝______，b＝______.二、解答题10．已知方程x2＋px＋q＝0的两个不相等实根分别为α，β，集合A＝{α，β}，B＝{2,4,5,6}，C＝{1,2,3,4}，A∩C＝A，A∩B＝∅.求p，q的值．11．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．能力提升12．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为________．13．设U＝{1,2,3}，M，N是U的子集，若M∩N＝{1,3}，则称(M，N)为一个“理想配集”，求符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M，N)与(N，M)不同)．1．对并集、交集概念全方面的感悟(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合．(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.2．集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．拓展交集与并集的运算性质，除了教材中介绍的以外，还有A⊆B⇔A∪B＝B，A⊆B⇔A ∩B ＝A .这种转化在做题时体现了化归与转化的思想方法，十分有效．§1.3 交集、并集知识梳理 1．(1)所有属于集合A 且属于集合B 的 A ∩B (2){x |x ∈A ，且x ∈B } (4)B ∩A A ∅ A ⊆B 2.(1)由所有属于集合A 或属于集合B A ∪B (2){x |x ∈A ，或x ∈B } (4)B ∪A A A B ⊆A ⊆ ⊆ 作业设计1．{0,1,2,3,4} 2．{x |－1≤x <1}解析由交集定义得{x |－1≤x ≤2}∩{x |x <1}＝{x |－1≤x <1}． 3．④解析参加北京奥运会比赛的男运动员与参加北京奥运会比赛的女运动员构成了参加北京奥运会比赛的所有运动员，因此A ＝B ∪C . 4．{(3，－1)}解析 M 、N 中的元素是平面上的点，M ∩N 是集合，并且其中元素也是点，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.5．3解析依题意，由A ∩B ＝{2}知2a ＝2，所以，a ＝1，b ＝2，a ＋b ＝3. 6．②解析 ∵N M ，∴M ∪N ＝M . 7．0或1解析由A ∪B ＝A 知B ⊆A ， ∴t 2－t ＋1＝－3①或t 2－t ＋1＝0②或t 2－t ＋1＝1③①无解；②无解；③t ＝0或t ＝1. 8．1解析 ∵3∈B ，由于a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，即a ＝1. 9．－1 2解析 ∵B ∪C ＝{x |－3<x ≤4}，∴A (B ∪C )， ∴A ∩(B ∪C )＝A ，由题意{x |a ≤x ≤b }＝{x |－1≤x ≤2}， ∴a ＝－1，b ＝2.10．解由A ∩C ＝A ，A ∩B ＝∅，可得：A ＝{1,3}，即方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实根为1,3.∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋3＝－p 1×3＝q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－4q ＝3.11．解 ∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A .∵A ＝{－2}≠∅，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，方程ax ＋1＝0无解，此时a ＝0.当B ≠∅时，此时a ≠0，则B ＝{－1a}，∴－1a ∈A ，即有－1a ＝－2，得a ＝12.综上，得a ＝0或a ＝12.12．6解析 x 的取值为1,2，y 的取值为0,2，∵z ＝xy ，∴z 的取值为0,2,4，所以2＋4＝6. 13．解符合条件的理想配集有 ①M ＝{1,3}，N ＝{1,3}． ②M ＝{1,3}，N ＝{1,2,3}． ③M ＝{1,2,3}，N ＝{1,3}．共3个．第2章函数 §2.1 函数的概念 2.1.1 函数的概念和图象课时目标 1.理解函数的概念，明确函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集，表示简单函数的定义域、值域.3.会求一些简单函数的定义域、值域．1．一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个________，通常记为y ＝f(x)，x ∈A.其中，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数y ＝f(x)的________． 2．若A 是函数y ＝f(x)的定义域，则对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应．我们将所有输出值y 组成的集合称为函数的________． 3．函数的三要素是指函数的定义域、值域、对应法则．一、填空题1．对于函数y ＝f(x)，以下说法正确的有________个． ①y 是x 的函数；②对于不同的x ，y 的值也不同；③f(a)表示当x ＝a 时函数f(x)的值，是一个常量； ④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．2．设集合M ＝{x|0≤x≤2}，N ＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有________．3．下列各组函数中，表示同一个函数的是________．①y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1；②y ＝x 0和y ＝1；③f(x)＝x 2和g(x)＝(x ＋1)2；④f(x)＝x 2x 和g(x)＝xx2. 4．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y ＝2x 2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有________个． 5．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为________． 6．函数y ＝x ＋1的值域为________．7．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是{1,2,3}，其定义如下表：x 1 2 3 f(x) 2 3 1x 1 2 3 g(x) 1 3 2x 1 2 3 g[f(x)]填写后面表格，其三个数依次为：________.8．如果函数f(x)满足：对任意实数a ，b 都有f(a ＋b)＝f(a)f(b)，且f(1)＝1，则f 2f 1＋f 3f 2＋f 4f 3＋f 5f 4＋…＋f 2 011f 2 010＝________. 9．已知函数f(x)＝2x －3，x ∈{x ∈N |1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为________．10．若函数f (x )的定义域是[0,1]，则函数f (2x )＋f (x ＋23)的定义域为________．二、解答题11．已知函数f (1－x1＋x)＝x ，求f (2)的值．能力提升12．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ (2)何时开始第一次休息？休息多长时间？ (3)第一次休息时，离家多远？(4)11：00到12：00他骑了多少千米？(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？ (6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？13．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m，渠深为1.8 m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；(2)确定函数的定义域和值域；(3)画出函数的图象．1．函数的判定判定一个对应法则是否为函数，关键是看对于数集A中的任一个值，按照对应法则所对应数集B中的值是否唯一确定，如果唯一确定，就是一个函数，否则就不是一个函数．2．由函数式求函数值，及由函数值求x，只要认清楚对应法则，然后对号入座就可以解决问题．3．求函数定义域的原则：①当f(x)以表格形式给出时，其定义域指表格中的x的集合；②当f(x)以图象形式给出时，由图象范围决定；③当f(x)以解析式给出时，其定义域由使解析式有意义的x的集合构成；④在实际问题中，函数的定义域由实际问题的意义确定．第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.1函数的概念和图象2．1.1 函数的概念和图象知识梳理1．函数定义域 2.值域作业设计1．2解析①、③正确；②不对，如f(x)＝x2，当x＝±1时y＝1；④不对，f(x)不一定可以用一个具体的式子表示出来，如南极上空臭氧空洞的面积随时间的变化情况就不能用一个具体的式子来表示． 2．②③解析 ①的定义域不是集合M ；②能；③能；④与函数的定义矛盾． 3．④解析 ①中的函数定义域不同；②中y ＝x 0的x 不能取0；③中两函数的对应法则不同． 4．9解析由2x 2－1＝1,2x 2－1＝7得x 的值为1，－1,2，－2，定义域为两个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”． 5．{x|0≤x≤1}解析由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x≥0，x≥0，解得0≤x≤1.6．[0，＋∞) 7．3 2 1解析 g[f(1)]＝g(2)＝3，g[f(2)]＝g(3)＝2，g[f(3)]＝g(1)＝1. 8．2 010解析由f(a ＋b)＝f(a)f(b)，令b ＝1，∵f(1)＝1，∴f(a＋1)＝f(a)，即f a ＋1f a＝1，由a 是任意实数，所以当a 取1,2,3，…，2 010时，得f 2f 1＝f 3f 2＝…＝f 2 011f 2 010＝1.故答案为2 010.9．{－1,1,3,5,7}解析 ∵x＝1,2,3,4,5，∴f(x)＝2x －3＝－1,1,3,5,7.10．[0，13]解析由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x≤1，0≤x＋23≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤12，－23≤x≤13，即x∈[0，13]．11．解由1－x 1＋x ＝2，解得x ＝－13，所以f(2)＝－13.12．解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米． (2)10：30开始第一次休息，休息了半小时． (3)第一次休息时，离家17千米． (4)11：00至12：00他骑了13千米．(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～10：30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．13．解 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m ，上底为(2＋2h)m ，高为h m ，∴水的面积A ＝[2＋2＋2h ]h 2＝h 2＋2h(m 2)．(2)定义域为{h|0<h<1.8}．值域由二次函数A＝h2＋2h(0<h<1.8)求得．由函数A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，∴0<A<6.84.故值域为{A|0<A<6.84}．(3)函数图象如下确定．由于A＝(h＋1)2－1，对称轴为直线h＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0<h<1.8，∴A＝h2＋2h的图象仅是抛物线的一部分，如下图所示．2.1.2 函数的表示方法课时目标 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．1．函数的三种表示法(1)列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法． (2)解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法． (3)图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法． 2．分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数通常叫做分段函数．一、填空题1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为________．2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是________．3．如果f (1x )＝x1－x，则当x ≠0时，f (x )＝________.4．已知f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )＝__________________________________. 5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －5 x ≥6f x ＋2x <6，则f (3)＝_________________________________. 6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3 x ≥9f [f x ＋4] x <9，则f (7)＝________________________________.7．一个弹簧不挂物体时长12 cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3 kg 物体后弹簧总长是13.5 cm ，则弹簧总长y (cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数关系式为________________________________．8．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x)＋x ，则f (x )的解析式为____________．9．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为________．二、解答题 10．已知二次函数f (x )满足f (0)＝f (4)，且f (x )＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，求f (x )的解析式．11．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小；(2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小； (3)求函数f (x )的值域．能力提升12．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d 是车速v (公里/小时)的平方与车身长S (米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d 关于v 的函数关系式(其中S 为常数)．13．设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．1．如何作函数的图象一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数)，再列表描出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等． 2．如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应法则f 的本质与特点(对应法则就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)． 3．分段函数是一个函数而非几个函数．分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况．2．1.2 函数的表示方法作业设计1．y ＝50x(x>0)解析由x ＋3x2·y＝100，得2xy ＝100.∴y ＝50x (x>0)．2．1解析由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．3.1x －1解析令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f(1x )＝x1－x，则有f(t)＝1t 1－1t＝1t －1.4．2x －1解析由已知得：g(x ＋2)＝2x ＋3，令t ＝x ＋2，则x ＝t －2，代入g(x ＋2)＝2x ＋3，则有g(t)＝2(t －2)＋3＝2t －1. 5．2解析 ∵3<6，∴f(3)＝f(3＋2)＝f(5)＝f(5＋2)＝f(7)＝7－5＝2. 6．6解析 ∵7<9，∴f(7)＝f[f(7＋4)]＝f[f(11)]＝f(11－3)＝f(8)．又∵8<9，∴f(8)＝f[f(12)]＝f(9)＝9－3＝6. 即f(7)＝6.7．y ＝12x ＋12解析设所求函数解析式为y ＝kx ＋12，把x ＝3，y ＝13.5代入，得13.5＝3k ＋12，k ＝12. 所以所求的函数解析式为y ＝12x ＋12.8．f(x)＝－x 2＋23x(x≠0)解析 ∵f(x)＝2f(1x)＋x ，①∴将x 换成1x ，得f(1x )＝2f(x)＋1x .②由①②消去f(1x )，得f(x)＝－23x －x3，即f(x)＝－x 2＋23x (x≠0)．9．f(x)＝2x ＋83或f(x)＝－2x －8解析设f(x)＝ax ＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax ＋b)＝a 2x ＋ab ＋b.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝83或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－8.10．解设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．由f(0)＝f(4)知⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝c ，f 4＝16a ＋4b ＋c ，f 0＝f 4，得4a ＋b ＝0.①又图象过(0,3)点，所以c ＝3.②设f(x)＝0的两实根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca.所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a )2－2·c a＝10.即b 2－2ac ＝10a 2.③由①②③得a ＝1，b ＝－4，c ＝3.所以f(x)＝x 2－4x ＋3.11．解因为函数f(x)＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ，列表：x … －2 －1 0 1 2 3 4 …y … －5 0 3 4 3 0 －5…连线，描点，得函数图象如图：(1)根据图象，容易发现f (0)＝3， f (1)＝4，f (3)＝0，所以f (3)<f (0)<f (1)．(2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)．(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．12．解根据题意可得d ＝kv 2S .∵v ＝50时，d ＝S ，代入d ＝kv 2S 中，解得k ＝12 500.∴d ＝12 500v 2S .当d ＝S2时，可解得v ＝25 2.∴d ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 2 0≤v <25212 500v 2S v ≥252.13．解因为对任意实数x ，y ，有 f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，所以令y ＝x ，有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)，即f (0)＝f (x )－x (x ＋1)．又f (0)＝1，∴f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.。

苏教版高一数学苏教版必修1课后导练：2.2.2函数的最大(小)值 Word版含解析

课后导练基础达标1.函数y=-x 2+4x-2的区间［1，4］上的最小值是（）A.-7 B.-4 C.-2 D.2解析：∵y=-(x 2-4x+4)-2+4=-(x-2)2+2，在x=4时，函数有最小值-2.∴应选C 答案：C2.如果x 是整数，则关于函数y=2x 2-5x 的最小值判断正确的是（）A.无最小值B.当x=时，取得最小值-45825C.当x=1时，取得最小值-3 D.当x=2时，取得最小值-2解析：y=2x 2-5x=2(x 2-x+)-=2(x-)2-.因x 是整数，所以x=时取得的值不能2516258254582545选，它只能在距对称轴最近的整数x=1处取得.答案：C3.y=在区间［2，4］上的最大值、最小值分别是( )x 2A.1，B.，1C.，D.，212121414121解析：y=在（0,-∞）上是减函数，∴y max ==1y min ==,故选A.x 2224221答案：A 4.函数f(x)=则f(x)的最大、最小值分别为( )⎩⎨⎧-∈+∈+],1,1[7],2,1[62x x x x A.10，6 B.10，8 C.8，6 D.以上都不对解析：当x ∈［1,2］时，f(x)max =f(2)=10,f(x)min =8；当x ∈［-1，1］时， f(x)max =f(1)=8,f min =f(-1)=6,故选A.答案：A5.已知-3<x<0，则y=x 的最小值为( )29x -A.- B.-C.D.29232129解析：-3<x<0,y=x =-≥-=-.29x -)9(22x x -2)9(22x x -+29等号成立的条件是x 2=9-x 2,即x=-时，y 取最小值-.22329答案：A6.把下列错误说法的代号填到横线上_________________.①增函数的值域中一定有最大值；②减函数的图象一定与x 轴相交；③一次函数一定是增函数；④y=在定义域{x|x ∈R 且x ≠0}上是减函数；x1⑤二次函数在任何区间上都不是单调函数.解析：增函数不一定有最大值如y=x ，x ∈R;减函数图象不一定与x 轴相交如y=,x ∈（0，+∞）；一次函数有可能是减函数,如y=-2x;y=在（-∞,0)上是减函数，在x 1x1（0，+∞)上是减函数，在R 上既不是增函数，也不是减函数.二次函数在不包括含对称轴的区间上是单调函数，故①②③④⑤均错误.答案：①②③④⑤7.函数y=|x-1|在区间［0,4］上的最大值为__________，最小值为____________.解析：y=|x-1|=故y max =4-1=3, y min =1-1=0.⎩⎨⎧∈-∈-]1,0[1],4,1[1x xx x 答案：3 08.求函数y=|x+2|+的最值.2)3(-x 解析：y=|x+2|+=|x+2|+|x-3|=2)3(-x ⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<--≤+-).3(12),32(5),2(12x x x x x 当x ≤-2，-2x+1≥-2×(-2)+1=5；当x ≥3时,2x-1≥2×3-1=5，∴y ≥5.综上有，函数有最小值5，不存在最大值.9.已知f(x)的定义域为（0，+∞)，且在定义域内为增函数，满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1，解不等式f(x)+f(x-2)<3.解析：由f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1，可得f(8)=3,f(x)+f(x-2)<3f ［x(x-2)］<f(8)，又已知f(x)⇒定义域为（0，+∞），且为增函数，则⎪⎩⎪⎨⎧<-<<⇔>->,8)2(42,02,0x x x x x ∴不等式f(x)+f(x-2)<3的解集是（2，4）.10.已知函数f(x)=ax 2-2ax+2+b(a ≠0)在［2,3］上有最大值5和最小值2，求a 、b 的值.解析：因为a ≠0,所以函数f(x)为二次函数，对称轴为x=1,当a>0时，⎩⎨⎧==,5)3(,2)2(f f ∴⎩⎨⎧=++-=++-,5269,2244b b a b a a 得⎩⎨⎧==.0,1b a当a<0时,⎩⎨⎧==,2)3(,5)2(f f∴⎩⎨⎧=++-=++-,5244,2269b a a b b a得⎩⎨⎧=-=,3,1b a 综上有a=-1,b=3或a=1,b=0.综合训练11.函数f(x)=11-x(1-x)的最大值是（）A.B.C.D.54454334解析：令y=1-x(1-x)=x 2-x+1=(x-)2+，2143∴y 的最小值为，43∴f(x)=的最大值为.故选D. y 134答案：D12.如果函数f(x)=ax 2+(a+3)x-1在区间（-∞，1）上为增函数，则a 的取值范围是（）A.（-∞，-1） B.［-1,0］ C.［0,+∞) D.［-1，+∞)解析：当a=0时，f(x)=3x-1，显然在（-∞,1)上单调递增，当a ≠0时，则有-1≤a<0,⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<,123,0aa a ⇒ 综上-1≤a ≤0选B.答案：B13.函数y=的最大值是______________.⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<+≤+15,103,032x x x x x x -x+5 x>1解析：当x ≤0时，y 的最大值为3；当0<x ≤1时，y 的最大值为4;当x>1时，y 的最大值不存在，但此时y<4.故y 的最大值是4.答案：414.函数f(x)=的最大值为__________，最小值为___________.⎪⎩⎪⎨⎧-∈-+-∈-+)0,4[12]4,0[1222x x x x x x 解析：当x ∈［0,4］时，f(x)的最大值是f(4)=23，最小值是f(0)=-1.当x ∈［-4,0)时，f min (x)=f(-4)=-25,f max (x)不存在，但有f(x)<-1.∴f(x)的最大值为23，最小值为-25.答案：23 -2515.当x ≥0，y ≥0,x+2y=1时，求2x+3y 2的最小值.解析：2x+3y 2=2(1-2y)+3y 2=3y 2-4y+2=3(y-)2+，3232∵x=1-2y ≥0，∴0≤y ≤,且在该区间上是减函数，21∴当y=时，f(y)有最小值f()=.212143∴当y=且x=0时，2x+3y 2有最小值.2143拓展提升16.已知函数f(x)=2-x 2,g(x)=x 若规定f(x)·g(x)=min{f(x),g(x)},那么f(x)·g(x)的最大值是______.（注意：min 表示最小值）解析：y=f(x)·g(x)=⎩⎨⎧>≤),()()(),()()(x g x f x g x g x f x f 画出上述函数的图象，如下图（实线部分）,由图易知，图中的最高点A 的纵标即为所求.解方程组得⎩⎨⎧=-=,,22x y x y 或于是所求的最大值为1.⎩⎨⎧==,1,1y x ⎩⎨⎧-=-=,2,2y x。

高中数学必修一(人教版)3.2.1.2函数的最大(小)值

＝
x＋2，0≤x≤4， 10－x，x>4，
所以函数f(x)的图象如图中
的实线部分，解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y
＝6，故两图象交点为(4,6)．观察图象知，两图象
的交点即为f(x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)图象的
最高点，即f(x)的最大值为6.
答案：6
状元随笔根据 min{a，b}可得到 f(x)为分段函数，画图象可求．
综上可得，g(t)＝t12，＋01≤，tt≤<01，， t2－2t＋2，t>1.
状元随笔解答此类题目，画图是必不可少的，最好画出轴在区间左侧、轴在区间内、轴在区间右侧等情况，必要时还要画出轴在区间中点的左侧和右侧两种情况．
跟踪训练 2 (1)已知函数 f(x)＝－x2＋2x＋4，则当 x∈[－2,2]时， f(x)的最小值为( )
反思与感悟：在解决不等式恒成立问题时，最为常见和重要的方法是从函数最值的角度或分离参数的角度去处理，在分离参数后常使用以下结论：
a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max， a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min.
方法归纳
图象法求最值的一般步骤
题型二利用单调性求函数的最值——师生共研例1 已知函数f(x)＝x－2 1(x∈[2,6])，求函数的最大值和最小值．
解析：∀x1，x2∈[2,6]，且x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1－2 1－x2－2 1＝2[xx21－－11－x2x－1－11] ＝x12－x12－xx2－1 1. 由2≤x1<x2≤6，得x2－x1>0，(x1－1)(x2－1)>0，于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．

苏教版高一数学必修1课后导练：2.2.2函数的最大(小)值 Word版含解析

课后导练基础达标1.函数y=-x 2+4x-2的区间［1，4］上的最小值是（）A.-7B.-4C.-2D.2解析：∵y=-(x 2-4x+4)-2+4=-(x-2)2+2，在x=4时，函数有最小值-2.∴应选C答案：C2.如果x 是整数，则关于函数y=2x 2-5x 的最小值判断正确的是（）A.无最小值B.当x=45时，取得最小值-825 C.当x=1时，取得最小值-3 D.当x=2时，取得最小值-2解析：y=2x 2-5x=2(x 2-25x+1625)-825=2(x-45)2-825.因x 是整数，所以x=45时取得的值不能选，它只能在距对称轴最近的整数x=1处取得.答案：C 3.y=x2在区间［2，4］上的最大值、最小值分别是( ) A.1，21 B.21，1 C.21，41 D.41，21 解析：y=x 2在（0,-∞）上是减函数，∴y max =22=1y min =42=21,故选A. 答案：A4.函数f(x)=⎩⎨⎧-∈+∈+],1,1[7],2,1[62x x x x 则f(x)的最大、最小值分别为( )A.10，6B.10，8C.8，6D.以上都不对解析：当x ∈［1,2］时，f(x)max =f(2)=10,f(x)min =8；当x ∈［-1，1］时， f(x)max =f(1)=8,f min =f(-1)=6,故选A.答案：A5.已知-3<x<0，则y=x 29x -的最小值为( ) A.-29 B.-23 C.21 D.29 解析：-3<x<0,y=x 29x -=-)9(22x x -≥-2)9(22x x -+=-29. 等号成立的条件是x 2=9-x 2,即x=-223时，y 取最小值-29.答案：A6.把下列错误说法的代号填到横线上_________________.①增函数的值域中一定有最大值；②减函数的图象一定与x 轴相交；③一次函数一定是增函数；④y=x1在定义域{x|x ∈R 且x ≠0}上是减函数； ⑤二次函数在任何区间上都不是单调函数. 解析：增函数不一定有最大值如y=x ，x ∈R;减函数图象不一定与x 轴相交如y=x 1,x ∈（0，+∞）；一次函数有可能是减函数,如y=-2x;y=x1在（-∞,0)上是减函数，在（0，+∞)上是减函数，在R 上既不是增函数，也不是减函数.二次函数在不包括含对称轴的区间上是单调函数，故①②③④⑤均错误.答案：①②③④⑤7.函数y=|x-1|在区间［0,4］上的最大值为__________，最小值为____________.解析：y=|x-1|=⎩⎨⎧∈-∈-]1,0[1],4,1[1x xx x 故y max =4-1=3, y min =1-1=0.答案：3 0 8.求函数y=|x+2|+2)3(-x 的最值.解析：y=|x+2|+2)3(-x =|x+2|+|x-3|=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<--≤+-).3(12),32(5),2(12x x x x x当x ≤-2，-2x+1≥-2×(-2)+1=5；当x ≥3时,2x-1≥2×3-1=5，∴y ≥5.综上有，函数有最小值5，不存在最大值.9.已知f(x)的定义域为（0，+∞)，且在定义域内为增函数，满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1，解不等式f(x)+f(x-2)<3.解析：由f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1，可得f(8)=3,f(x)+f(x-2)<3⇒f ［x(x-2)］<f(8)，又已知f(x)定义域为（0，+∞），且为增函数，则⎪⎩⎪⎨⎧<-<<⇔>->,8)2(42,02,0x x x x x∴不等式f(x)+f(x-2)<3的解集是（2，4）.10.已知函数f(x)=ax 2-2ax+2+b(a ≠0)在［2,3］上有最大值5和最小值2，求a 、b 的值.解析：因为a ≠0,所以函数f(x)为二次函数，对称轴为x=1,当a>0时，⎩⎨⎧==,5)3(,2)2(f f ∴⎩⎨⎧=++-=++-,5269,2244b b a b a a 得⎩⎨⎧==.0,1b a 当a<0时,⎩⎨⎧==,2)3(,5)2(f f ∴⎩⎨⎧=++-=++-,5244,2269b a a b b a 得⎩⎨⎧=-=,3,1b a 综上有a=-1,b=3或a=1,b=0.综合训练11.函数f(x)=11-x(1-x)的最大值是（） A.54 B.45 C.43 D.34 解析：令y=1-x(1-x)=x 2-x+1=(x-21)2+43， ∴y 的最小值为43， ∴f(x)=y 1的最大值为34.故选D. 答案：D12.如果函数f(x)=ax 2+(a+3)x-1在区间（-∞，1）上为增函数，则a 的取值范围是（）A.（-∞，-1）B.［-1,0］C.［0,+∞)D.［-1，+∞) 解析：当a=0时，f(x)=3x-1，显然在（-∞,1)上单调递增，当a ≠0时，则有⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<,123,0aa a ⇒-1≤a<0, 综上-1≤a ≤0选B.答案：B13.函数y=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<+≤+15,103,032x x x x x x 的最大值是______________.-x+5 x>1解析：当x ≤0时，y 的最大值为3；当0<x ≤1时，y 的最大值为4;当x>1时，y 的最大值不存在，但此时y<4.故y 的最大值是4.答案：414.函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧-∈-+-∈-+)0,4[12]4,0[1222x x x x x x 的最大值为__________，最小值为___________. 解析：当x ∈［0,4］时，f(x)的最大值是f(4)=23，最小值是f(0)=-1.当x ∈［-4,0)时，f min (x)=f(-4)=-25,f max (x)不存在，但有f(x)<-1.∴f(x)的最大值为23，最小值为-25.答案：23 -2515.当x ≥0，y ≥0,x+2y=1时，求2x+3y 2的最小值.解析：2x+3y 2=2(1-2y)+3y 2=3y 2-4y+2 =3(y-32)2+32， ∵x=1-2y ≥0， ∴0≤y ≤21,且在该区间上是减函数， ∴当y=21时，f(y)有最小值f(21)=43. ∴当y=21且x=0时，2x+3y 2有最小值43. 拓展提升16.已知函数f(x)=2-x 2,g(x)=x 若规定f(x)·g(x)=min{f(x),g(x)},那么f(x)·g(x)的最大值是______.（注意：min 表示最小值）解析：y=f(x)·g(x)=⎩⎨⎧>≤),()()(),()()(x g x f x g x g x f x f画出上述函数的图象，如下图（实线部分）,由图易知，图中的最高点A 的纵标即为所求.解方程组 ⎩⎨⎧=-=,,22x y x y 得 ⎩⎨⎧==,1,1y x 或⎩⎨⎧-=-=,2,2y x 于是所求的最大值为1.。

高中数学必修1全册课时训练含答案

人教A版高中数学必修1 全册课时训练目录1.1.1（第1课时）集合的含义1.1.1（第2课时）集合的表示1.1.2集合间的基本关系1.1.3（第1课时）并集、交集1.1.3（第2课时）补集及综合应用1.2.1（第1课时）函数的概念1.2.1（第2课时）函数概念的综合应用1.2.2（第1课时）函数的表示法1.2.2（第2课时）分段函数及映射1.3.1（第1课时）函数的单调性1.3.1（第2课时）函数的最大值、最小值1.3.2（第1课时）函数奇偶性的概念1.3.2（第2课时）函数奇偶性的应用集合与函数的概念-单元评估试题2.1.1（第1课时）根式2.1.1（第2课时）指数幂及运算2.1.2（第1课时）指数函数的图象及性质2.1.2（第2课时）指数函数及其性质的应用2.2.1（第1课时）对数2.2.1（第2课时）对数的运算2.2.2（第1课时）对数函数的图象及性质2.2.2（第2课时）对数函数及其性质的应用2.3幂函数基本初等函数-单元评估试题3.1.1方程的根与函数的零点3.1.2用二分法求方程的近似解3.2.1几类不同增长的函数模型3.2.2（第1课时）一次函数、二次函数应用举例3.2.2（第2课时）指数型、对数型函数的应用举例函数的应用-单元评估试题第1-3章-全册综合质量评估试卷课时提升卷(一)集合的含义（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.下列各项中,不能组成集合的是( )A.所有的正整数B.等于2的数C.接近于0的数D.不等于0的偶数2.(2013·冀州高一检测)若集合M中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长,则△ABC一定不是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形3.已知集合M具有性质:若a∈M,则2a∈M,现已知-1∈M,则下列元素一定是M中的元素的是( )A.1B.0C.-2D.24.已知2a∈A,a2-a∈A,若A只含这2个元素,则下列说法中正确的是( )A.a可取全体实数B.a可取除去0以外的所有实数C.a可取除去3以外的所有实数D.a可取除去0和3以外的所有实数5.下列四种说法中正确的个数是( )①集合N中的最小数为1;②若a∈N,则-a∉N;③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;④所有小的正数组成一个集合.A.0B.1C.2D.3二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·天津高一检测)设集合A中含有三个元素2x-5,x2-4x,12,若-3∈A,则x的值为.7.(2013·济宁高一检测)若集合P含有两个元素1,2,集合Q含有两个元素1,a2,且P,Q相等,则a= .8.若a,b∈R,且a≠0,b≠0,则+的可能取值所组成的集合中元素的个数为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.集合A的元素由kx2-3x+2=0的解构成,其中k∈R,若A中的元素只有一个,求k的值.10.数集M满足条件,若a∈M,则∈M(a≠±1且a≠0),已知3∈M,试把由此确定的集合M的元素全部求出来.11.(能力挑战题)设P,Q为两个数集, P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,求P+Q中元素的个数.答案解析1.【解析】选C.怎样才是接近于0的数没有统一的标准,即不满足集合元素的确定性,故选C.2.【解析】选D.由集合元素的互异性可知,a,b,c三个数一定全不相等,故△ABC一定不是等腰三角形.3.【解析】选C.∵-1∈M,∴2×(-1)∈M,即-2∈M.4.【解析】选D.由集合元素的互异性可知,2a≠a2-a,解得a≠0且a≠3,故选D.5.【解析】选A.①中最小数应为0;②中a=0时,- a∈N;③中a+b的最小值应为0;④中“小的正数”不确定.因此①②③④均不对.6.【解析】∵-3∈A,∴-3=2x-5或-3=x2-4x.①当-3=2x-5时,解得x=1,此时2x-5=x2-4x=-3,不符合元素的互异性,故x≠1;②当-3=x2-4x时,解得x=1或x=3,由①知x≠1,且x=3时满足元素的互异性.综上可知x=3.答案:37.【解析】由于P,Q相等,故a2=2,从而a=±.答案:±8.【解题指南】对a,b的取值情况分三种情况讨论求值,即同正,一正一负和同负,以确定集合中的元素,同时注意集合元素的互异性.【解析】当a>0,b>0时,+=2;当ab<0时,+=0;当a<0,b<0时,+=-2.所以集合中的元素为2,0,-2.即集合中元素的个数为3.答案:39.【解析】由题知A中元素即方程kx2-3x+2=0(k∈R)的解,若k=0,则x=,知A中有一个元素,符合题意;若k≠0,则方程为一元二次方程.当Δ=9-8k=0即k=时,kx2-3x+2=0有两个相等的实数解,此时A中有一个元素.综上所述,k=0或.10.【解析】∵a=3∈M,∴==-2∈M,∴=-∈M,∴=∈M,∴=3∈M.再把3代入将重复上面的运算过程,由集合中元素的互异性可知M中含有元素3,-2,-,.【拓展提升】集合中元素互异性的应用集合中的元素是互异的,它通常被用作检验所求未知数的值是否符合题意.只要组成两个集合的元素是一样的,这两个集合就是相等的,与两个集合中元素的排列顺序无关.11.【解析】∵当a=0时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为1,2,6;当a=2时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为3,4,8;当a=5时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P+Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11,共8个.课时提升卷(二)集合的表示（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013·临沂高一检测)设集合M={x∈R|x≤3},a=2,则( )A.a∉MB.a∈MC.{a}∈MD.{a}∉M2.集合{x∈N*|x-3<2}的另一种表示方法是( )A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}3.下列集合中,不同于另外三个集合的是( )A.{0}B.{y|y2=0}C.{x|x=0}D.{x=0}4.下列集合的表示法正确的是( )A.第二、四象限内的点集可表示为{(x,y)|xy≤0,x∈R,y∈R}B.不等式x-1<4的解集为{x<5}C.整数集可表示为{全体整数}D.实数集可表示为R5.设x=,y=3+π,集合M={m|m=a+b,a∈Q,b∈Q},那么x,y与集合M的关系是( )A.x∈M,y∈MB.x∈M,y∉MC.x∉M,y∈MD. x∉M,y∉M二、填空题(每小题8分,共24分)6.设A={4,a},B={2,ab},若A=B,则a+b= .7.已知集合A={x|∈N,x∈N},则用列举法表示为.8.已知集合A={(x,y)|y=2x+1},B={(x,y)|y=x+3},a∈A且a∈B,则a 为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.用适当的方法表示下列集合:(1)所有被3整除的整数.(2)满足方程x=|x|的所有x的值构成的集合B.10.下面三个集合:A={x|y=x2+1}; B={y|y=x2+1};C={(x,y)|y=x2+1}.问:(1)它们是不是相同的集合?(2)它们各自的含义是什么?11.(能力挑战题)集合P={x|x=2k,k∈Z},M={x|x=2k+1,k∈Z},a∈P,b ∈M,设c=a+b,则c与集合M有什么关系?答案解析1.【解析】选B.(2)2-(3)2=24-27<0,故2<3.所以a∈M.2.【解析】选B.集合中元素满足x<5且x∈N*,所以集合的元素有1,2,3,4.3.【解析】选D.A是列举法,B,C是描述法,而D表示该集合含有一个元素,即“x=0”.4.【解析】选D.选项A中应是xy<0;选项B的本意是想用描述法表示,但不符合描述法的规范格式,缺少了竖线和竖线前面的代表元素x;选项C的“{ }”与“全体”意思重复.5.【解析】选B.∵x==--.y=3+π中π是无理数,而集合M中,b ∈Q,得x∈M,y M.6.【解析】两个集合相等,则两集合的元素完全相同,则有a=2,ab=4,将a=2代入ab=4,得b=2.∴a+b=4.答案:47.【解题指南】结合条件,可按x的取值分别讨论求解.【解析】根据题意,5-x应该是12的正因数,故其可能的取值为1,2,3,4,6,12,从而可得到对应x的值为4,3,2,1,-1,-7.因为x∈N,所以x 的值为4,3,2,1.答案:{1,2,3,4}8.【解析】∵a∈A且a∈B,∴a是方程组的解,解方程组,得∴a为(2,5).答案:(2,5)9.【解析】(1){x|x=3n,n∈Z}.(2)B={x|x=|x|,x∈R}.【变式备选】集合A={x2,3x+2,5y3-x},B={周长为20cm的三角形},C={x|x-3<2,x∈Q},D={(x,y) |y=x2-x-1}.其中用描述法表示的集合个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.集合A为列举法表示集合,集合B,C,D均为描述法表示集合,其中B选项省略了代表元素和竖线.10.【解析】(1)在A,B,C三个集合中,虽然代表元素满足的表达式一致,但代表元素互不相同,所以它们是互不相同的集合.(2)集合A的代表元素是x,满足y=x2+1,故A={x|y=x2+1}=R.集合B的代表元素是y,满足y=x2+1,所以y≥1,故B={y|y=x2+1}={y|y≥1}.集合C的代表元素是(x,y),满足条件y=x2+1,即表示满足y=x2+1的实数对(x,y);也可认为是满足条件y=x2+1的坐标平面上的点.【拓展提升】三种集合语言的优点及应用集合语言包括符号语言、图形语言和自然语言三种.(1)符号语言比较简洁、严谨且内涵丰富有利于推理计算.(2)图形语言能够引起直观的视觉感受,便于理清关系,有利于直观地表达概念、定理的本质及相互关系,使得抽象的思维关系明朗化. (3)自然语言往往比较生动,能将问题研究对象的含义更加明白地叙述出来.集合的三种语言之间相互转化,在解决集合问题时,一般是将符号语言转化为图形语言、自然语言,这样有助于弄清集合是由哪些元素构成的,有助于提高分析问题和解决问题的能力.11.【解析】∵a∈P,b∈M,c=a+b,设a=2k1,k1∈Z,b=2k2+1,k2∈Z,∴c=2k1+2k2+1=2(k1+k2)+1,又k1+k2∈Z,∴c∈M.课时提升卷(三)集合间的基本关系（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.下列四个结论中,正确的是( )A.0={0}B.0∈{0}C.0⊆{0}D.0=∅2.(2013·宝鸡高一检测)如果M={x|x+1>0},则( )A.∅∈MB.0MC.{0}∈MD.{0}⊆M3.(2013·长沙高一检测)已知集合A={x|3≤x2≤5,x∈Z},则集合A的真子集个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个4.设A={a,b},B={x|x∈A},则( )A.B∈AB.B AC.A∈BD.A=B5.(2013·潍坊高一检测)设A={x|1<x<2},B={x|x<a},若A⊆B,则a的取值范围是( )A.a≤2B.a≤1C.a≥1D.a≥2二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·汕头高一检测)已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2},若B⊆A,则实数m= .7.已知集合A={x|x<3},集合B={x|x<m},且A B,则实数m满足的条件是.8.设集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和P={(x,y)|x<0,y<0},那么M与P 的关系为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.设集合A={-1,1},集合B={x|x2-2ax+b=0},若B≠ ,B⊆A,求a,b的值.10.已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1}.(1)若A B,求a的取值范围.(2)若B⊆A,求a的取值范围.11.(能力挑战题)已知A={x||x-a|=4},B={1,2,b},是否存在实数a,使得对于任意实数b(b≠1,且b≠2),都有A⊆B?若存在,求出对应的a的值;若不存在,说明理由.答案解析1.【解析】选B.{0}是含有1个元素0的集合,故0∈{0}.2.【解析】选D.M={x|x+1>0}={x|x>-1},∴{0}⊆M.3.【解析】选C.由题意知,x=-2或2,即A={-2,2},故其真子集有3个. 【误区警示】本题易忽视真子集这一条件而误选D.4.【解析】选D.因为集合B中的元素x∈A,所以x=a或x=b,所以B={a,b},因此A=B.5.【解析】选D.∵A⊆B,∴a≥26.【解析】∵B⊆A,∴m2=2m-1,∴m=1.答案:17.【解析】将数集A标在数轴上,如图所示,要满足A B,表示数m的点必须在表示3的点的右边,故m>3.答案: m>38.【解析】∵xy>0,∴x,y同号,又x+y<0,∴x<0,y<0,即集合M表示第三象限内的点.而集合P表示第三象限内的点,故M=P.答案:M=P9.【解析】由B⊆A知,B中的所有元素都属于集合A,又B≠ ,故集合B有三种情形:B={-1}或B={1}或B={-1,1}.当B={-1}时,B={x|x2+2x+1=0},故a=-1,b=1;当B={1}时,B={x|x2-2x+1=0},故a=b=1;当B={-1,1}时,B={x|x2-1=0},故a=0,b=-1.综上所述,a,b的值为或或10.【解题指南】利用数轴分析法求解.【解析】(1)若A B,由图可知,a>2.(2)若B⊆A,由图可知,1≤a≤2.11.【解析】不存在.要使对任意的实数b都有A⊆B,所以1,2是A中的元素,又∵A={a-4,a+4},∴或这两个方程组均无解,故这样的实数a不存在.课时提升卷(四)并集、交集（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013·衡水高一检测)若集合A,B,C满足A∩B=A,B∪C=C,则A与C 之间的关系为( )A.C AB.A CC.C⊆AD.A⊆C2.已知M={0,1,2, 4,5,7},N={1,4,6,8,9},P={4,7,9},则(M∩N)∪(M ∩P)等于( )A.{1,4}B.{1,7}C.{1, 4,7}D.{4,7}3.(2013·本溪高一检测)A={x∈N︱1≤x≤10},B={x∈R︱x2+x-6=0},则图中阴影表示的集合为( )A.{2}B.{3}C.{-3,2}D.{-2,3}4.(2013·德州高一检测)设集合A={x|x≤1},B={x|x>p},要使A∩B=∅,则p应满足的条件是( )A.p>1B.p≥1C.p<1D.p≤15.(2012·新课标全国卷)已知集合A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,则m=( )A.0或B.0或3C.1或D.1或3二、填空题(每小题8分,共24分)6.已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合M∩N= .7.(2013·清远高一检测)已知集合A={x|x≤1},集合B={x|a≤x},且A∪B=R,则实数a的取值范围是.8.(2013·西安高一检测)设集合A={5,a+1},集合B={a,b}.若A∩B={2},则A∪B= .三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.已知集合A={1,3,5},B={1,2,x2-1},若A∪B={1,2,3,5},求x及A ∩B.10.已知A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5},若A∩B=∅,求a的取值范围.11.(能力挑战题)已知:A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.(1)若A∪B=B,求a的值.(2)若A∩B=B,求a的值.答案解析1.【解析】选D.∵A∩B=A,B∪C=C,∴A⊆B,B⊆C,∴A⊆C.2.【解析】选C.M∩N={1,4},M∩P={4,7},故(M∩N)∪(M∩P)={1,4,7}.3.【解析】选A.A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2},由题意可知,阴影部分即为A∩B,故A∩B={2}.4.【解析】选B.∵A∩B= ,∴结合数轴分析可知应满足的条件是p≥1. 【误区警示】本题易漏掉p=1的情况而误选A.5.【解析】选B.由A∪B=A得B⊆A,所以有m=3或m=.由m=得m=0或1,经检验,m=1时B={1,1}不符合集合元素的互异性,m=0或3时符合.6.【解析】由题意联立方程组得x=3,y=-1,故M∩N={(3,-1)}.答案:{(3,-1)}7.【解析】∵A∪B=R,∴a≤1.答案:a≤18.【解析】∵A∩B={2},∴2∈A,故a+1=2,a=1,即A={5,2};又2∈B,∴b=2,即B={1,2},∴A∪B={1,2,5}.答案:{1,2,5}9.【解析】∵B⊆(A∪B),∴x2-1∈A∪B.∴x2-1=3或x2-1=5.解得x=±2或x=±.若x2-1=3,则A∩B={1,3}.若x2-1=5,则A∩B={1,5}.10.【解题指南】通过数轴直观表示,并结合A∩B=∅分析列不等式(组)求解.【解析】A∩B=∅,A={x|2a≤x≤a+3}.(1)若A=∅,有2a>a+3,∴a>3.(2)若A≠∅,如图所示.则有解得-≤a≤2.综上所述,a的取值范围是-≤a≤2或a>3.【拓展提升】数轴在解含参不等式(组)中的作用数轴是解不等式(组)的重要工具,它是实现数形结合解决数学问题的桥梁,在求解不等式(组)待定字母值或范围时,借助数轴的直观性,很轻松地将各变量间的关系表示出来,进而列出不等式(组),更能显示出它的优越性.11.【解析】(1)A={-4,0},若A∪B=B,则B=A={-4,0},解得a=1.(2)若A∩B=B,则①若B为空集,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8<0,则a<-1;②若B为单元素集合,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8=0, 解得a=-1,将a=-1代入方程x2+2(a+1)x+a2-1=0,得x2=0得,x=0,即B={0},符合要求;③若B=A={-4,0},则a=1,综上所述,a≤-1或a=1.课时提升卷(五)补集及综合应用（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.设全集U={x∈N*|x<6},集合A={1,3},B={3,5},则ð(A∪B)=( )UA.{1,4}B.{1,5}C.{2,4}D.{2,5}2.已知全集U=R,集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x<1},则A∩(ðB)=( )RA.{x|x>1}B.{x|x≥1}C.{x|1<x≤2}D.{x|1≤x≤2}3.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={1,3,5,7},B={3,5},则下列式子一定成立的是( )A.ðB⊆UðA B.(UðA)∪(UðB)=UUC.A∩ðB=∅ D.B∩UðA=∅U4.设全集U(U≠∅)和集合M,N,P,且M=UðN,N=UðP,则M与P的关系是( )A.M=ðP B.M=PUC.M PD.M P5.(2013·广州高一检测)如图,I是全集,A,B,C是它的子集,则阴影部分所表示的集合是( )A.(ðA∩B)∩C B.(IðB∪A)∩CIC.(A∩B)∩ðC D.(A∩IðB)∩CI二、填空题(每小题8分,共24分)6.已知集合A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9, 12},则A∩(ðB)= .N7.已知全集为R,集合M={x∈R|-2<x<2},P={x|x≥a},并且M⊆ðP,则Ra的取值范围是.8.设集合A,B都是U={1,2,3,4}的子集,已知(ðA)∩(UðB)={2},(UðA)U∩B={1},且A∩B=∅,则A= .三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.(2013·济南高一检测)已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤2},若B∪ðA=R,RB∩ðA={x|0<x<1或2<x<3},求集合B.R10.已知集合A={x|2a-2<x<a},B={x|1<x<2},且AðB,求a的取值范R围.11.(能力挑战题)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若(ðA)∩B=∅,求m的值.U答案解析1.【解析】选C.由题知U={1,2,3,4,5},A∪B={1,3,5},故ð(A∪B)={2,4}.U2.【解析】选D.∵B={x|x<1},∴ðB={x|x≥1},R∴A∩ðB={x|1≤x≤2}.R3.【解析】选D.逐一进行验证.ðB={1,2,4,6,7},UðA={2,4, 6},显然UðAU⊆ðB,显然A,B错误;A∩UðB={1,7},故C错误,所以只有D正确.U4.【解析】选B.利用补集的性质:M=ðN=Uð(UðP)=P,所以M=P.U【拓展提升】一个集合与它的补集的关系集合与它的补集是一组相对的概念,即如果集合A是B相对于全集U 的补集,那么,集合B也是A相对于全集U的补集.同时A与B没有公共元素,且它们的并集正好是全集,即A∪B=U,A∩B= .5.【解析】选D.由图可知阴影部分是A的元素,且是C的元素,但不属于B,故所表示的集合是(A∩ðB)∩C.I6.【解析】∵A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},∴ðB={1,2,4,5,7,8,…}.N∴A∩ðB={1,5,7}.N答案:{1,5,7}7.【解析】M={x|-2<x<2},ðP={x|x<a}.R∵M⊆ðP,∴由数轴知a≥2.R答案:a≥28.【解析】根据题意画出Venn图,得A={3,4}.答案:{3,4}9.【解析】∵A={x|1≤x≤2},∴ðA={x|x<1或x>2}.R又B∪ðA=R,A∪RðA=R,可得A⊆B.R而B∩ðA={x|0<x<1或2<x<3},R∴{x|0<x<1或2<x<3}⊆B.借助于数轴可得B=A∪{x|0<x<1或2<x<3}={x|0<x<3}.10.【解题指南】解答本题的关键是利用AðB,对A=∅与A≠∅进行R分类讨论,转化为等价不等式(组)求解,同时要注意区域端点的问题. 【解析】ðB={x|x≤1或x≥2}≠∅,R∵AðB.R∴分A=∅和A≠∅两种情况讨论.(1)若A=∅,则有2a-2≥a,∴a≥2.(2)若A≠∅,则有或∴a≤1.综上所述,a≤1或a≥2.11.【解题指南】本题中的集合A,B均是一元二次方程的解集,其中集合B中的一元二次方程含有不确定的参数m,需要对这个参数进行分类讨论,同时需要根据(ðA)∩B=∅对集合A,B的关系进行转化.U【解析】A={-2,-1},由(ðA)∩B=∅,得B⊆A,U∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠∅.∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.①若B={-1},则m=1;②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)·(-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2};③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)·(-2)=2,由这两式得m=2.经检验知m=1和m=2符合条件.∴m=1或m=2.【变式备选】已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|ax-6=0}且ðA⊆RðB,R求实数a的取值集合.【解析】∵A={x|x2-5x+6=0},∴A={2,3}.又ðA⊆RðB,R∴B⊆A,∴有B=∅,B={2},B={3}三种情形.当B={3}时,有3a-6=0,∴a=2;当B={2}时,有2a-6=0,∴a=3; 当B= 时,有a=0,∴实数a的取值集合为{0,2,3}.课时提升卷(六)函数的概念（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.设全集U=R,集合A=[3,7),B=(2,10),则ð(A∩B)=( )RA.[3,7)B.(-∞,3)∪[7,+∞)C.(-∞,2)∪[10,+∞)D.2.(2013·西安高一检测)下列式子中不能表示函数y=f(x)的是( )A.x=y2+1B.y=2x2+1C.x-2y=6D.x=3.(2013·红河州高一检测)四个函数:(1)y=x+1.(2)y=x3.(3)y=x2-1.(4)y=.其中定义域相同的函数有( )A.(1),(2)和(3)B.(1)和(2)C.(2)和(3)D.(2),(3)和(4)4.下列集合A到集合B的对应f是函数的是( )A.A={-1,0,1},B={0,1},f:A中的数平方B.A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数开方C.A=Z,B=Q,f:A中的数取倒数D.A=R,B={正实数},f:A中的数取绝对值5.(2013·盘锦高一检测)函数f(x)=的定义域为M,g(x)=的定义域为N,则M∩N=( )A.[-2,+∞)B.[-2,2)C.(-2,2)D.(-∞,2)二、填空题(每小题8分,共24分)6.若[a,3a-1]为一确定区间,则a的取值范围是.7.函数y=f(x)的图象如图所示,那么f(x)的定义域是;其中只与x的一个值对应的y值的范围是.8.函数f(x)定义在区间[-2,3]上,则y=f(x)的图象与直线x=a的交点个数为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.(2013·烟台高一检测)求下列函数的定义域.(1)y=+.(2)y=.10.已知函数f(x)=,(1)求f(x)的定义域.(2)若f(a)=2,求a的值.(3)求证:f()=-f(x).11.(能力挑战题)已知函数y=(a<0且a为常数)在区间(-∞,1]上有意义,求实数a的取值范围.答案解析1.【解析】选B.∵A∩B=[3,7),∴ð(A∩B)=(-∞,3)∪[7,+∞).R2.【解析】选A.一个x对应的y值不唯一.3.【解析】选A.(1),(2)和(3)的定义域都是R,(4)的定义域是{x∈R|x≠0}.4.【解析】选A.按照函数定义,选项B中,集合A中的元素1对应集合B中的元素±1,不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件;选项C中的元素0取倒数没有意义,也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应唯一函数值的要求;选项D中,集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应,也不符合函数定义,只有选项A符合函数定义.5.【解析】选B.由题意得M=(-∞,2),N=[-2,+∞),所以M∩N=(-∞,2)∩[-2,+∞)=[-2,2).6.【解析】由题意3a-1>a,则a>.答案:(,+∞)【误区警示】本题易忽略区间概念而得出3a-1≥a,则a≥的错误.7.【解析】观察函数图象可知f(x)的定义域是[-3,0]∪[2,3];只与x的一个值对应的y值的范围是[1,2)∪(4,5].答案:[-3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5]【举一反三】本题中求与x的两个值对应的y值的范围.【解析】由函数图象可知y值的范围是[2,4].8.【解题指南】根据函数的定义,对应定义域中的任意一个自变量x 都有唯一的函数值与之对应.利用此知识可以结合函数图象分析. 【解析】当a∈[-2,3]时,由函数定义知,y=f(x)的图象与直线x=a只有一个交点;当a [-2,3]时,y=f(x)的图象与直线x=a没有交点.答案:0或19.【解析】(1)由已知得∴函数的定义域为[-,].(2)由已知得:∵|x+2|-1≠0,∴|x+2|≠1,得x≠-3,x≠-1.∴函数的定义域为(-∞,-3)∪(-3,-1)∪(-1,+∞).10.【解析】(1)要使函数f(x)=有意义,只需1-x2≠0,解得x≠±1,所以函数的定义域为{x|x≠±1}.(2)因为f(x)=,且f(a)=2,所以f(a)==2,即a2=,解得a=±.(3)由已知得f()==,-f(x)=-=,∴f()=-f(x).11.【解题指南】由题意得,(-∞,1]是函数y=的定义域的子集. 【解析】函数y=(a<0且a为常数).∵ax+1≥0,a<0,∴x≤-,即函数的定义域为(-∞,-].∵函数在区间(-∞,1]上有意义,∴(-∞,1] (-∞,-],∴-≥1,而a<0,∴-1≤a<0.即a的取值范围是[-1,0).关闭Word文档返回原板块。

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课后巩固·提能
一、填空题
1.函数y=-2x+3在［-3,1］上的最大值为________.
2.设二次函数y=ax 2+bx+c ，对称轴x=2，在函数值f(2)，f(1)，f(-1)，f(5)中，最小的一个不可能是________.
3.老师给出一个函数y=f(x)，四个学生各指出这个函数的一个性质：甲：f(x)的图象关于x=1对称；乙：在(-∞,0］上函数递减；丙：在(0,+∞)上函数递增；丁：f(0)不是函数的最小值．
如果其中恰有三人说的正确，请写出这样的一个函数________. 4.函数f(x)=
()
1
1x 1x --的最大值是________.
5．已知函数f(x)=3
x 1
-，(x ∈［2,6］)，则该函数的最大值与最小值的和为_______．
6.若不等式｜x-1｜+｜x-2｜≥a 恒成立，那么实数a 的取值范围为_______． 7．函数y=
x _______. 二、解答题
8.求函数f(x)=x-1
x
在［1,3］上的最小值．
9.已知函数f(x)=x 2-2ax+5(a ＞1),若f(x)的定义域和值域均是［1,a ］，求实数a 的值.
10.某民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查和预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图
2(注：利润与投资单位是万元)
(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数解析式；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元．(精确到1万元)．
答案解析
1.【解析】易知函数y=-2x+3在［-3,1］上是单调减函数，所以y max=-2×(-3)+3=9．答案:9
2.【解析】由于抛物线的对称轴为x=2, 当a>0时，抛物线开口向上，则此时f(2)<f(1)<f(-1)=f(5), 当a<0时，抛物线开口向下，则此时f(-1)=f(5)<f(1)<f(2), ≨f(1)不可能为最小值. 答案：f(1)
3.【解析】若甲正确，则其对称轴为x=1，则丙肯定错误，由甲、乙、丁正确可写一个函数为f(x)=(x-1)2. 答案:f(x)=(x-1)2(答案不唯一)
【误区警示】求解本题不要误认为甲、乙、丙或者甲、丙、丁正确，本题中甲和丙是矛盾的． 4.【解析】≧f(x)=21x x 1
-+，要求f(x)的最大值，只要求t=x 2
-x+1的最小值(因
为x 2-x+1＞0)．
又≧t=2133(x )2
4
4
-+≥，≨f(x)max =4.3
答案：43
5．【解析】≧f(x)=
3
x 1
-在x ∈［2,6］上单调递减， ≨f(x)min =f(6)=3
,5
f(x)max =f(2)=3，
≨31835
5+=
．答案：18
5
6.【解析】令f(x)=｜x-1｜+｜x-2｜,画出函数f(x)=｜x-1｜+｜x-2｜
=2x 3x 211x 232x x 1-≥⎧⎪
⎨⎪-≤⎩
，，
＜＜，，的图象，如图所示. 要使f(x)≥a 恒成立，则必须使f(x)min ≥a. 由图可知f(x)min =1，所以a ≤1．答案：(-≦,1］
【举一反三】若将本题中的“|x-1|+|x-2|≥a 恒成立”改为“|x-1|+|x-2|≤a 有解”，则结果如何？
【解析】要使|x-1|+|x-2|≤a 有解，则必须使a ≥f(x)min ，由图可知f(x)min =1，所以a ≥1．答案:［1,+≦)
7．【解题指南】本题可采用换元法，但需注意新元的范围. 【解析】令
≥0),则x=t 2-1, ≨y=t 2-1-t=215(t ),2
4
--
≧t ≥0,21115t ,(t )0,y .2
2
2
4
∴-≥--≥∴≥- 答案:［5
4-,+≦)
8.【解析】任取1≤x 1＜x 2≤3，则f(x 1)-f(x 2)=(x 1-11x )-(x 2-2
1
x ) =(x 1-x 2)+(
21x -11
x )=()()121212
x x x x 1x x -+，因为1≤x 1＜x 2≤3，所以x 1-x 2＜0，x 1x 2+1＞0，x 1x 2＞0，
所以f(x 1)-f(x 2)＜0，即f(x 1)＜f(x 2)，从而f(x)在［1,3］上单调递增．所以f(x)min =f(1)=0．
【规律方法】求函数的最值常见的三种方法
(1)对于二次函数可利用二次函数的性质(配方法)求函数的最值； (2)利用图象求函数的最值； (3)利用函数单调性求函数的最值.
9.【解析】≧f(x)开口向上，对称轴x=a ＞1, ≨f(x)在［1,a ］上是单调减函数，
≨f(x)的最大值为f(1)=6-2a,f(x)的最小值为f(a)=5-a 2,≨6-2a=a,5-a 2=1, ≨a=2.
10.【解析】(1)投资为x 万元，A 产品的利润为f(x)万元，B 产品的利润为g(x)
万元，由题设f(x)=k 1x ，g(x)=k 由图知f(1)=14
，≨k 1=14
，又g(4)=5,2
≨k 2=54
，从而f(x)=1x,4
(x ≥0)，
(x ≥0)． (2)设A 产品投入x 万元，则B 产品投入(10-x)万元，设企业的利润为y 万元，
y=f(x)+g(10-x)=x 4
+
(0≤x ≤10)，
，则y=2210t 515255
t (t ),(0t 4442162
-+=--++≤≤，当t=5
2时,y max ≈4，此时x=10-
25
4
=3.75, ≨当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为4万元．。