高中数学必修一求函数解析式解题方法大全及配套练习

高中数学必修一求函数解析式解题

方法大全及配套练习

一、 定义法：

根据函数的定义求解析式用定义法。 【例1】设23)1(2

+-=+x x x f ，求)(x f .

2]1)1[(3]1)1[(23)1(22+-+--+=+-=+x x x x x f

=6)1(5)1(2

++-+x x

65)(2+-=∴x x x f

【例2】设2

1

)]([++=

x x x f f ，求)(x f . 解：设x

x x x x x f f ++=+++=++=11111

11

21)]([ x

x f +=

∴11)(

【例3】设3

3

22

1)1(,1)1(x

x x x g x x x

x f +=++

=+，求)]([x g f . 解：2)(2)1

(1)1(2222-=∴-+=+=+

x x f x x x

x x x f

又x x x g x x x x x

x x x g 3)()1(3)1(1)1(3333-=∴+-+=+=+

故2962)3()]([2

4

6

2

3

-+-=--=x x x x x x g f

【例4】设)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求=.

解：)2

(

17cos )]2

[cos()(sin x x f x f -=-=π

π

x x x 17sin )172

cos()1728cos(=-=-+

=π

π

π.

二、 待定系数法：（主要用于二次函数）

已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，

从而求出函数解析式。

它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。

【例1】 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 【解析】设b ax x f +=)( )0(≠a ，则

b

ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([

∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨

⎧=-===32

1

2b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或

【例2】已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式.

解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ①

f （x+1）= a 2

)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得

⎩⎨

⎧=++=+8

2

2b a b b a 解得 ⎩⎨

⎧==.

7,

1b a 故f （x ）= x 2+7x.

【例3】已知1392)2(2

+-=-x x x f ，求)(x f .

解：显然，)(x f 是一个一元二次函数。设)0()(2

≠++=a c

bx ax x f

则c x b x a x f +-+-=-)2()2()2(2

)24()4(2c b a x a b ax +-+-+= 又1392)2(2

+-=-x x x f

比较系数得：⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=1324942c b a a b a 解得：⎪⎩

⎪⎨⎧=-==312c b a 32)(2

+-=∴x x x f

三、换元（或代换）法：

已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式．用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。

如：已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式， 把g （x ）看成一个整体t ，进行换元，从而求出f （x ）的方法。实施换元后,应注意新变量的取值围,即为函数的定义域.

【例1】 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 【解析】令1+=

x t ，则1≥t ，2)1(-=t x

x x x f 2)1(+=+

∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f

1)(2-=∴x x f )1(≥x

x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x

【例2】 已知,1

1)1(2

2x x x x x f ++=+求)(x f . 解：设,1t x x =+则11-=t x 则x x

x x x x x f t f 1

1111)1()(222++=++=+= 1)1()1(11

11

)11(11222+-=-+-+=-+-+

=t t t t t t 1)(2+-=∴x x x f

【例3】设x x f 2

cos )1(cos =-，求)(x f .

解：令1cos ,1cos +=∴-=t x x t 又

0201cos 2,1cos 1≤≤-≤-≤-∴≤≤-t x x 即

]0,2[,)1()()02(,)1()(22-∈+=≤≤-+=∴x x x f t t t f 即

【例4】若x x

x f x f +=-+1)1

(

)(