第9讲循环群
近世代数第9讲
近世代数第9讲置换群(pormutation group)本讲的教学目的和要求:置换群是一种特殊的变换群。
换句话说，置换群就是有限集上的变换群。
由于是定义在有限集上，故每个置换的表现形式，固有特点都是可揣测的。
这一讲主要要求：1、弄清置换与双射的等同关系。
2、掌握置换—轮换—对换之间的联系和置换的奇偶性。
3、置换的分解以及将轮换表成对换之积的基本方法要把握。
4、对称群与交错群的结构以及有限群的cayley定理需要理解。
本讲的重点与难点：对于置换以及置换群需要侧重注意的是：对称群和交错群的结构和置换的分解定理（定理2）。
注意：由有限群的cayley定理可知：如把所有置换群研究清楚了。
就等于把所有有限群都研究清楚了，但经验告诉我们，研究置换群并不比研究抽象群容易。
所以，一般研究抽象群用的还是直接的方法。
并且也不能一下子把所有群都不得找出来。
因为问题太复杂了。
人们的方法是将群分成若干类（即附加一定条件）；譬如有限群；无限群；变换群；非变换群等等。
对每个群类进行研究以设法回答上述三个问题。
可惜 ， 人们能弄清的群当今只有少数几类（后面的循环群就是完全解决了的一类群）大多数还在等待人们去解决。
变换群是一类应用非常广泛的群，它的具有代表性的特征—置换群，是现今所研究的一切抽象群的来源，是抽象代数创始人E.Galais(1811-1832)在证明次数大于四的一元代数方程不可能用根号求解时引进的。
一． 置换群的基本概念定义1.任一集合A 到自身的映射都叫做A 的一个变换，如果A 是有限集且变换是一一变换（双射），那么这个变换为A 的一个置换。
有限集合A 的若干个置换若作成群，就叫做置换群。
含有n 个元素的有限群A 的全体置换作成的群，叫做n 次对称群。
通常记为n S .明示：由定义1知道，置换群就是一种特殊的变换群（即有限集合上的变换群）而n 次对称群n S 也就是有限集合A 的完全变换群。
现以{}321 , , a a a A =为例，设π：A →A 是A 的一一变换。
1.4循环群
作业 p16,第 3,4,6 题. p16,第 3,4,6
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§4 循 环 群
习题参考答案 5. 设 G = 〈 a〉 是 循 环 群 , H = 〈 a s 〉 和
K = 〈 a 〉 是 G 的两个子群,证明: 的两个子群,证明:
t
nju [ s , t ] niv[ s , t ]
us jt ( s , t )
vt is ( s , t )
综上所述,对于任意的 x∈ H I K ,总有
x ∈ 〈 a[ s , t ] 〉 .所以 H I K ⊆ 〈 a[ s , t ] 〉 .
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§4 循 环 群
证明
结论显然成立. 当 r = 0 时 , 结论显然成立 . 不妨假
r −r
设 r ≠ 0 . 由于 (r , n) = (−r , n) 且 | a | = | a | , 因 一方面， 此我们可以进一步假设 r > 0 . 一方面 ， 由于
r r
是循环群. 说, H 是循环群.□
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§4 循 环 群
命 题 4.2
设 G = 〈 a〉 是 一 个 有 限 循 环
是任意一个整数. 群, | a | = n , r 是任意一个整数.那么 n r |a |= , ( r , n) 的最大公约数. 其中 (r , n) 表示 r 与 n 的最大公约数.
| a | = n ,我们有
= e. n r 3.12， 令 s = | a | . 根据命题 3.12 ， s | . 另一方 ( r , n) (a )
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1.5循环群
例1 整数加群[Z, +],除单位元零元0外，每个元素都是 无限阶的.
例2 整数模 6 的剩余类加群 Z6, 计算每个元素的阶. 解： Z6= Z / (6) {0, 1, 2, 3, 4, 5} 因为 12=2, 22=4, 32=6=0, 所以元素2的阶是3， (2)= 3. 类似可得 (0)= 1，(1)= 6， (3)= 2， (4)= 3， (5)= 6.
x M , 有x pd r,0 r d 由于 M kd k 0，
由于d 为M的最小元，故r=0．所以 r x pd H ． H k d k 0,1,... kd k 0,1,... ，
由d的最小性可得，m Z , 使md n 故 H 0, d , 2d ,...,(m 1)d d , d / n
1.5 循环群
(1.5 Cyclic Group)
1.5.1 循环群(Cyclic Group)
循环群是一种代数结构特别简单，而在群论中颇有 代表性的群。 在前面我们曾讨论了一个群G的子集S生成的子群。 特别地，当S只含有一个元素，即S= {a}时，由S生成的 子群的构造特别简单，它的任意元素都是a的乘幂，这 样的群叫循环群。 Def：若一个群 G 是由其中的某个元素 a 生成的，即 G=〈a〉 则称G为循环群，而称a是G的生成元。
0,1,.....n 1，并约定它的 (2) G [Z/(n), +] 令 Z /(n) 每一元素的表达式唯一（又因为Ｇ =〈m〉无限， k1 k 2 , mk1 mk2 从而H=〈m〉），均为 k , k n
H km k Z m
0 令M k k H \ 0 ,k n 设 H Z /(n),且H 显然 M ，是自然集的子集，设M的最小元为d,
循环群讲义
§7循环群本节将讨论一类结构简单又富有代表性的特殊群――循环群.(它是一类基本而又重要的群,数学的一些分支（数论、有限域论等）和它有密切的联系.)通过对循环群的学习,可初步了解抽象代数研究问题的基本方法和格式以及论文的写作方法.本节主要内容是循环群的三大问题:存在问题/数量问题/构造问题. 先看一个简单的例子：{},10,10,10,1,10,10,10,32123---=G 对数的乘法作成群.特点是每个元都是固定元10的方幂.一、循环群的概念 1.定义 G 称为循环群⇔群G 的每个元都是G 中某个固定元．．．a 的方幂⎩⎨⎧倍数－－针对加法乘方－－针对乘法. 记为)(a G =，a 称为G 的生成元. 即 G a G ⇔=)(是群，且⎩⎨⎧==∈∃∈∀)()(.,,加法乘法ka x a x st Z k G x k .（注意:k 与x 有关！）【一般情况下，如果没有特别声明运算是乘法或是加法，就默认是乘法形式.】2.注意:(一般情况下)生成元不唯一.a 是生成元1-⇔a 是生成元.【理由：k k a a --=)(1】3.范例【解决了循环群的存在问题.同时，将得到结论：循环群在同构意义下只有这两种！】 ①整数加群),(+Z ，)1()1(-==Z .【1±是∞阶.00)1(=⇒=±n n 】问题:还有其他生成元?(无)【设1),(1)(1)(±=⇒∈==∈⇒=k Z k n nk k k Z 】*实际上可进一步证明：)()(a G a o =⇒∞=只有两个生成元1,-a a .【课外思考题】【设)(b G =，则有111,,)(-=⇒=⇒=⇒==∈∞=or s st aa b a a b Z t s a o st t s 】 ②模n 剩余类加群),(+n Z ，])1([=n Z .问题:还有其他生成元?(有)【])1([])1([-=-=n Z n 】*实际上可进一步证明：)()(a G n a o =⇒=的生成元为r a 当且仅当1),(=n r .【习题】【若1),(=n r ，则)()()()()()(1r u r v u r v n u r vn ur a a a e a a a a a vn ur =⇒====⇒=++. 反之，r a 是生成元，1),(1|)()()()(1=⇒-⇒=⇒=⇒===-n r rk n e a a a a a G na o rk k r r .】 ◎设p 为素数，则p 阶循环群)(a G =有1-p 个生成元：12,,,-p a a a .◎设p 为素数，则模p 剩余类加群p Z 的所有非零元都是生成元.二、循环群的种类1.结构定理 设循环群)(a G =同构于⎩⎨⎧=+∞=+n a o if Z a o if Z n)(),,()(),,(. 证明 注意体会生成元a 的阶在证明过程中的用处!(1)设∞=)(a o 【作用：0=⇔=k e a k 】此时，令k a Z G k →→,:ϕ，可证ϕ是同构映射.(证略)【ϕ是映射：若h k a a =，则h k h k e aa o h k =⇒=-⇒=∞=-0)(，说明对应元唯一. 易证ϕ是满射/单射. 再证ϕ的同态性:)()()()()()(,,y x a a h k axy a y a x G y x h k h k h k ϕϕϕϕϕϕϕ+=+=+==⇒==⇒∈∀+.】 (2)设n a o =)(【作用：k n e a k|⇔=】此时，令][,:k a Z G k n →→ϕ ϕ是映射：若h k a a =，则][][|)(h k h k n e a n a o h k =⇒-⇒==-，说明对应元唯一. ϕ是单射：若][][h k =,则e e a a mn h k h k n m n a o m n h k ===⇒=-⇒-=-)()(|.ϕ是满射：][)(.,,][k a st G a Z k k k n =∈∃∈∀ϕ再证ϕ的同态性:)()()()(][][)()(,,y x a a h k a xy a y a x G y x h k h k h k ϕϕϕϕϕϕϕ+=+=+==⇒==⇒∈∀+.例1:循环群)(a G =的阶为⇔n 生成元a 的阶为n .【常用结论】证法 同构必同阶.若n a o =)(，则n Z G Z a n n ==⇒≅)(.反之，设n G =，若n a o ≠)(，则 ①∞=)(a o ,则∞==⇒≅Z G Z a )(矛盾；②n k a o ≠=)(,则n k Z G Z a k k ≠==⇒≅)(也矛盾. 循环群的结构定理说明了什么？【凡是无限循环群都彼此同构；有限循环群中，同阶则同构、不同阶则不同构.】例2:n 次单位根群{}1|=∈=n n x C x U 与n Z 同构.证法1 利用结构定理. )1,,1,0(2sin 2cos 12-=+==⇔=n k n k i n k ex x i n k k n πππ )()(222i n n k i n i n k e U e e πππ=⇒=是循环群,且生成元i n e π2的阶为n ,所以n i n n Z e U ≅=)(2π.证法2 直接建立同构映射. 令][:2k e i n k →πϕ,可证ϕ是同构映射.2.意义：从同构观点看，循环群只有两类――整数加群与模n 剩余类加群.【解决了循环群的数量问题】最后，讨论循环群的构造问题.这个问题从结构定理的证明过程就可得到.三、循环群的构造[构造定理] 设循环群)(a G =，则有{}Z k a a G a o k ∈==⇒∞=|)()(；{}1,,2,1,0|)()(-===⇒=n k a a G n a o k .证明 由结构定理的证明过程即得.另证：直接证明两个集合互相包含.【由运算封闭性，右集⊆左集；反之，m a x a G x =⇒=∈∀)(.若)()(Z k a a o k ∈⇒∞=彼此互异， 此时∈=m a x 右集1；若n a o =)(，设)0(n r r kn m <≤+=，则∈==r r kn m a a a a 右集2】至此，循环群所要研究的三大问题:存在问题/数量问题/构造问题圆满得到解决.好比线性方程组解的讨论包括判定、数量、结构三大问题.当然，还可进一步把循环群和其他概念相结合，研究新的性质.比如在今后学习中可以得到：循环群是交换群；循环群的子群还是循环群；循环群的同态像还是循环群等等.四、课后思考题n or a o ∞=)(时，循环群)(a G =的生成元有哪几个？在结构定理证明中a 的阶用途是什么？◎3S 是不是循环群？◎),(+Q 不是循环群.【设)(a Q =,则210)12()(220=⇒=-⇒∈=⇒∈⇒∈≠n a n Z n na a Q a Q a a 】 ◎循环群是交换群(习题)；但交换群未必是循环群.比如:{}1|=∈=n n x C x A 是循环群， ∞==1n n AU 是交换群但不是循环群.◎循环群是少数研究清楚的群.此外,有限单群也是.【单群】没有非平凡不变子群的群.有限单群的完全分类，即找出有限单群所有的同构类，经全世界上百名的数学家约40年的共同努力，终于在1981年得到解决，这是数学史上的又一个非凡成就.有限单群分类的整个论证用了5000页以上的篇幅，散布在超过300篇文章之中,引用了很多新的群论概念和证明了大量的定理.。
《循环群与置换群》课件
在实际应用中，同态和同构的概念可 以用于比较不同置换群之间的相似性 和差异性，以及进行置换群的分类和 结构分析。此外，同态和同构也是研 究其他代数结构的重要工具和方法。
06
应用实例
在密码学中的应用
加密算法
置换群和循环群在加密算法中有着广泛的应用，如凯撒密码、栅栏密码等。这些 算法利用置换群中的置换操作对明文进行加密，保护信息的安全。
编码理论
置换群在编码理论中也有着广泛的应用，如线性码和循环码等。这些编码利用置换群的性质，能够设 计出高效可靠的编码方案。
在几何学中的应用
几何变换
置换群在几何变换中有着重要的应用 ，如矩阵表示和仿射变换等。通过利 用置换群的性质，可以研究几何图形 在不同变换下的性质和关系。
分形几何
循环群在分形几何中也有着一定的应 用，如Mandelbrot集和Julia集等。 这些分形结构通过循环群的迭代和递 归生成，展现出复杂而美丽的几何图 案。
《循环群与置换群》PPT课件
目录
• 群的基本概念 • 置换群 • 循环群与置换群的关系 • 循环群的性质 • 置换群的性质 • 应用实例
01
群的基本概念
群的定义
1
群是由一个集合以及定义在这个集合上的二元运 算所组成的一个代数结构。
2
群中的元素称为群元，通常用小写字母表示，如 $a, b, c, ldots$。
子群的构造
通过选择置换群中的若干个置换作为子群的元素，可以构造出置换群的子群。子群可以由单位元和若干个非单位元的 置换构成，其中非单位元的置换可以两两复合得到。
子群在置换群中的作用
子群在置换群的结构和性质研究中具有重要的作用。通过研究子群的性质和分类，可以进一步了解整个 置换群的性质和结构。
近世代数课件循环群
§4 循环群
我们来阐明 H ar .事实上,一方面, 显然, ar H .另一方面,由于 G a 且 H G ,对于任意的 hH ,可设 h an ,其 中 nZ .我们取整数 q 和 s ,使得
n qr s , 0 s r . 若 s 0 ,则
§4 循环群
as anqr an (ar )q h(ar )q H , 这与 r 为 N 中的最小数矛盾.因此 s 0 ,从而,
((s, n), (t, n)) ( t , n) ((s, t), n) (s, n) (s, t)
((s, t), n)
§4 循环群
(s, n) ( t , n) (s, t)
( st , n) ([s, t] n) . (s, t)
§4 循环群
k Z ,使得 r k[s, t].所以 b ar a[s, t] . (2)假设| a | n . 由于 b H ,因此| b | | | as | ;由于 b K ,
因此| b | | | at | .也就是说, n|n,n|n,
(r, n) (s, n) (r, n) (t, n)
h an aqr (ar )q ar . 由 此 可 见 H ar . 所 以 H ar . 这 就 是 说, H 是循环群.□
§4 循环群
命 题 4.2 设 G a 是 一 个 有 限 循 环 群,| a | n , r 是任意一个整数.那么
| ar | n , (r, n)
令 s | ar | .根据命题 3.12， s | n .另一方 (r, n)
§4 循环群
面，由于 (ar )s e 且| a | n ,根据命题 3.12,
n | (rs) ,从而, n | (rs) .由于 ( n , r) 1,
交换群与循环群
例： ∵(-1)0=0 、(-1)1=-1、(-1)2 = (-1)+(-1) = -2、……、 (-1) n = - n、…… (-1)-1 = 1、(-1)-2 = (-1-1)2 = (-1)-1+(-1)-1 = 1+1 = 2、……、 (-1)-n = n、…...
∴ -1也是<I,+>的生成元 可见，一个循环群的生成元可以是不唯一的。
(2) 证明a, a2, a3, ……, a n-1, a n 中任何两个元素都不相同 (反证法)设有1≤ i < j ≤ n，使 ai = aj，则 aj-i = aj * a-i = ai * a-i = e ，1≤ j- i ≤n-1< n 由 (1) 已经证明了不可能存在小于 n 的整数 m ， 使得 a m = e
显设然S=<{Sa,c*,a>d是,a循e,a环f…群ao…(}e1 =Ge，，令e是m=生m成in元{x|)ax S}
2) 若S≠{e}，∵S的元素都由a的幂组成， ∴必存在最小的正整数m，使得amS
xS，x= aL, 必有 L = mq+r (q是非负整数，0≤r<m ) 由封闭性，可得：ar = aL - m q = aL * (a m) -q S ∵ 0 ≤ r < m，m是使 a m S的最小正整数 ∴必有 r = 0 ，L = m q aL = ( a m )q，即S中任意元素 aL 都可用 am 的幂表示 又∵<S,*>是群 ∴<S,*>是以 am 为生成元的循环群
证明： 对任意的a,bG，有 (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b) ∵a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b) = ( a * b) * ( a * b ) = a * ( b * a ) * b ∴ a-1 * ( a * ( a *b ) * b ) * b-1 = a-1 * ( a * ( b* a ) * b ) * b-1 ∴a*b=b*a ∴ <G,*>是交换群
第三章_循环群_群的结构
这m个剩余类称为模m剩余类．记为Zm
第三章 循环群、群的结构
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剩余类群
设 i 和 j 是两个模m的剩余类，定义剩余类的加法 如下：
i j i j
24 6
如Z8的两个剩余类 2 和 4
第三章 循环群、群的结构
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e
8
第三章 循环群、群的结构
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Z={0, ±1, ±2,….}关于加法构成群，单位元 为0. 元素1的k倍。
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存在群不能由一个元素生成； 存在由一个元素生成的有限群； 存在由一个元素生成的无限群。
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思考题
当n = pq，p，q是两个素数，求(n)？
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循环群与其子群
定理3 1）循环群的子群是循环群，它或者 仅由单位元构成，或者由子群中具有最小 正指数的元素生成，即生成元为具有最小 正指数的元素； 2）无限循环群的子群除{e}外都是无限循环群； 3）有限n阶循环群的子群的阶是n的正因子， 且对n的每一个正因子q，有且仅有一个q阶 子群．
第三章 循环群、群的结构
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注意:
在证明元素a的阶为k的过程中分2步： 1) ak = e(单位); 2) 任意 i 满足ai = e，则 k | i.
循环群群的结构信息安全数学
• t = 0，gm＝(gs)q．
14
• H的任意元素都是gs的幂，则H = (gs)．
循环群与其子群
• 证明2）当(g)是无限循环群时，如果n m，则gn gm，于是gms (m=0，1，2，…)两两不同，H是
无限循环群．
• 证明3）假设(g)是n阶循环群，由于n = qs+t，0t s，则e = gn = gqs+t，
•
bH=ah0H=a（h0H）=aH，
•反之，bH=aH，存在bh1=ah2，有b=ah2h1-1 ∈aH ，即b ∈aH （其中h0，h 1，h2∈H ）
•（3）若aH=bH，则存在h 1，h2∈H ,ah1=bh2，有
•a-1b=h1h2-1 ∈H ，反之，若a-1b ∈H ，有b ∈aH ,由（2）知，
（4）对任何a，b∈G有aH集=也bH成或立
aHbH
因而H的所有左陪集的集合{aH︱a ∈G}构成了G的
划分。
27
陪集的性质
•证明：
•（1） 若a∈H，aH={ah︱h ∈H}，显然有aH=H;反之，若aH =H，即任意h∈H，有ah ∈H,则有ah=e，a-1 ∈H，故a ∈H
•（2）若b ∈aH，则b=ah0 h0 ∈H ），
• 于是
• gt = (gqs)1H，
• s的最小性使得t = 0，所以
• n = qs，
• H可表示为H = {e，gs，…，g(q1)s }．
15
• 当s = n时H = {e}．
循环群与其子群
• 上页不仅证明了H的阶q是n的正因子，而且给出n的正因子q阶子群．当q跑遍n的所有 正因子时，s也跑遍n的正因子，所以对于n的每一个正因子q，都有而且仅有一个q阶循 环子群．
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（2）作映射 f : G → Z , f ( gk )=k ，
则 f 是同构，故 ( G,◦) ≅ (Z , + )。
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二、置换群
定义7.3.3 设 S为集合，称映射τ : S →S 为 S上的
一个变换。变换即为集合S到S自身的一个映射。
而 1 2 1 2 4 3 4 3 5 5 1 2 1 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 4 3 4 3 5 5 (1)( 2 3) 4 (3)( 4 1)2
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定理7.3.5 任意一个置换都等于若干个不含公共元 素的循环置换的复合。
例如， 1 32 63 44 18 52 65 77 8 (5)8 2 ()7 1 6 ()3 (1 4)3 2 ()4 5 6 ()8 7
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例7.3.9 利用循环置换的方法，我们有 3次对称群 S3的元素可以表示为: (1), (12), (13), (23), (123), (132)。 4次对称群 S4的元素可以表示为： (1); (12), (13), (14), (23), (23), (34); (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243); (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432); (12)∘(34), (13)∘(24), (14)∘(23)。
通常还是用
1 2
2 3
3 1
来表示。
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密码学基础群循环群
16岁开始学习牛顿、欧拉、拉格朗日和高斯的 经典数学著作.
19岁时,他解决了一个让一些著名数学家烦脑 了数百年的难题.
他证明了虽然一元二次、三次甚至四次方程都 有求根公式, 但是对于一般的五次方程却不存 在这样的求根公式.
他对于五次方程求解问题的解决为近世代数的 创立做出了基础性的工作.
元素a
0
1
2
3
4
逆元a-1
0
4
3
2
1
整理ppt
5
有时把交换群(G, ∗)记为(G, +), 称为“加 群”.
✓ 把运算“∗”称为“加” 法, 运算结果记为: a∗b= a+b,称为a与b的“和”;
✓ 单位元称为“零元”, 记为“0”;
✓ a∈G的逆元称为G的负元,记为: “- a”, 即有 a+(-a)= 0.
整理ppt
6
例1 G={1, -1, i, -i}, (G, *)是一个有限交换群. 可 记为: (G, *)= (G, +), 运算式为:
1+(-1)=-1, 1+i=i, 1+(-i)=-i, (-1)+i=-i, (-1)+(i)=i, i+(-i)=1, 1+1=1 请问零元是？利用 a+e＝e+a=a 试求 (-i)+(-i), i+i, (-1)+(-1).
注意: 循环群的生成元不是唯一的!
整理ppt
21
循环群 定理 设p是素数, 则(Zp*, ⊗)是p-1阶循环 群.
Zp*的生成元a称为Z的一个模p元根 (primitive root).
第9讲 循环群
第9讲
循环群
2013-10-18
1
为了展示群论研究的任务：揭示 群的性质、确定群的结构，首先看最 简单的群——循环群和交换群。
2013-10-18
2
定理1.7.1 设G是群,a∈G, 则 (i) |a|=∞ a m=a n 必有 m=n. 此时, a ={ak: k∈Z}. (ii) |a|<∞ 有 m ≠ n 使 am=an . 此时,设n是 使 an=e 的最小正整数，则 a ={e,a,a2,…,an-1}. |a|= n. 证明 (i)是显然的. (ii) 显然|a|<∞ 有 m≠n 使 am=an . 反之， 若有m≠n 使am=an．不妨设 m＞n, 则有 am－n =e． 设n是使an=e的最小正整数，则对任何k∈Z，设 k=qn+r, 0 r< n, 则 a k = a q n + r = ar. 2013-10-18 3 2,…,an-1}. ■ 所以， a ={e,a,a
2013-10-18 10
注： １、在定理1.7.５的证明过程中，只是说明了 Ｈ可以由 a r 生成，并没有说Ｈ只能由 a r 生
成。事实上，Ｈ的生成元未必唯一。（参看
P51 ex.5)
2、抽象地看，循环群由它的阶数唯一确定。
3、计算 |(123)|, |(1234)|, |(12345)|, |(123…n)|.
2013-10-18 5
Lagrange定理说: 若H是群G的子群, 则 |H| 整除 |G|. 问: 若n整除 |G|, G有阶子群吗？
引理1.7.4 设 G = a 是m阶循环群, 对任何 分解 m = r n, a r 是 G 的 n 阶子群.
循环群
例 1 整数加群 Z {n | n Z} {,3,2,1,0,1,2,3,} 中，每 个元素都是 1 的倍数（因为此群是加法运算，所以用“倍数”这个 例1 整数加群中，每个元素都是的倍数（因为此 词） 。
群是加法运算，所以用“倍数”这个词）。事 事实上， 0 是 1 的零倍： 0 0 1 ；正数 m 是 1 的 m 的倍： 实上，是的零倍： m m 1，负数 m 是 1 的 m 倍: m (m) 1 。 ；正数是的的倍：，负数是的倍:。
这说明 a 5 也能生成 G ，即 : (a 5 ) {e, a, a 2 , a 3 , a 4 , a 5 } . 最后可断 言：上例中的生成元只有 a 和 a 5 。
那么为什么说，只有 a 和 a 5 是 6 阶循环群 G (a) 的生成元 呢？
因为 | a | 6 ，同时例中也验证了 | a 5 | 6 . 这就是说， (a 5 )
的。
由定义 1 可知，例 1 和例 2 都是循环群，并且按习惯记为
Z (1) 和 Z n ([1]) 。其中， 1 和 [1] 分别是 Z 和 Z n 的生成元。
我们仔细观察下面两对群，它们元素之间存在着对应关系：
定理 2
设 G (a) 是由生成元 a 生成的循环群。 如果 | a | ，
同的 (a i ) n 恰有 n 个，所以 (a i ) G (a) 。
思考 3
当 G (a) {a 0 , a1 , a 2 ,, a n1} . 除了 a 自然是 G 的
思考 3 当. 除了自然是的生成元之外，还有其余生成元 生成元之外，还有其余生成元吗？ 吗？ 解 为了讨论的方便，现假设 .这时， n 6 .这时， 解 为了讨论的方便，现假设 ， 0 1 2 3 4 5 G (a) 可以验证也是的生成元 : {a , a , a , a , a , a }， . 可以验证 a 5 也是 G 的生成元: 这说明也能生成，即:. 最后可断言：上例中的生成元只 有和。 e (a 5 ) 0 ; a 5 ; 那么为什么说，只有和是阶循环群的生成元呢？因为， 同时例中也验证了 . 这就是说，中也含有个元素 .与 5 2 10 4 5 3 15 3 5 4 20 2 5 5 25 (a ) a .. a ; ( a ) a a ; (a ) a a ; ( a ) a a . 的一样多 也是生成元，而其他元素的阶都不是，所 以它们都不能成为生成元。
群和循环群
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(1) e是否属于 H， 如何找出H的单位元？ (2)如果aH，a1是a在G中的逆元， a在H中的 逆元是什么？
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1.2 群的性质-子群
一个群G和它的一个子群H有： 1）G的单位元和H的单位元是同一元素； 2）如果aH，b是a在H中的逆元， a1是a在G 中的逆元，则b =a1．
定理1.9
能证明定理1.6、利用定理1.6结果来求元素的阶 能证明定理1.9、定理1.10，利用定理能判断(证明)子集 合是否为子群 能解释定理1.12，并利用定理1.12生成循环群的给定阶
数子群
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1.2 群的性质-群的阶
定义1.4 如果一个群G中元素的个数是无限多 个，则称G是无限群；如果G中的元素个数是 有限多个，则称G是有限群，G中元素的个数 称为群的阶（Order），记为|G|。
注2：当
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1.2 群的性质-循环群
定理1.12 设循环群 G {1,a,a 2 , , a n1} ，则 1）G的子群为循环群。
2）若(i, n)=k, 则ai 为G的n/k阶子群的生成元。
问题：n 阶循环群生成元是否唯一，如果不是的 话生成元个数为多少？
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作业
习题. 设 G 是一个群,证明: G 是交换群的充要 条件是
群可分为：有限群与无限群
模n的剩余类加法群、乘法群，n次对称群等为有限 群；一般线性群，特殊线性群，整数加群等为无限 群。
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1.2 群的性质-群的阶
定义1.5 设 G为一个群， a G ，如果存在正整 n n a 1 ，则称 a为有限阶元，否则称 数 ，使得 为无限阶元。当 a 为有限阶元时，称使得 a n 1 的最小正整数为元素 a 的阶，记为 | a | 。
特殊群(循环群)
阿贝尔群、循环群、置换群：各种不同的群。
•什么是阿贝尔群•若群<G, •>的运算•适合交换律，则称<G, •>为阿贝尔群（Abelian Group）或交换群。
•在一个阿贝尔群<G, •>中，一个乘积可以任意颠倒因子的次序而求其值。
•在阿贝尔群中，易见有如下指数律成立•(a•b)m=a m•b m，m为任意整数知识回顾•生成子群设G为群, a G,即a的所有的幂构成的集合, 为G的子群, 称为由a生成的子群.循环群的定义定义8.10设G是群，若存在a∈G使得G={a k| k∈Z}则称G是循环群，记作G=<a>，称a 为G 的生成元.循环群的分类：n 阶循环群和无限循环群.设G=<a>是循环群，若a是n 阶元，则G = { a0=e, a1, a2, … , a n-1 }那么|G| = n，称G 为n 阶循环群.若a 是无限阶元，则G = { a0=e, a±1, a±2, … }称G 为无限循环群.实例：<Z,+>为无限循环群;<Zn,⊕>为n阶循环群循环群的生成元定理8.13设G=<a>是循环群.(1) 若G是无限循环群，则G只有两个生成元，即a和a-1.(2) 若G是n 阶循环群，则G含有φ(n)个生成元. 对于任何小于n且与n互质的数r∈{0,1,…,n-1}, a r是G的生成元.φ(n)称为欧拉函数，例如n=12，小于或等于12且与12互素的正整数有4个：1, 5, 7, 11，所以φ(12)=4.例10(1) 设G={e, a, … , a11}是12阶循环群，则φ(12)=4.小于12且与12互素的数是1, 5, 7, 11, 由定理8.13可知a, a5, a7和a11是G的生成元.(2) 设G=<Z9,⊕>是模9的整数加群，则φ(9)=6.小于9且与9互素的数是1, 2, 4, 5, 7, 8. 根据定理8.13，G的生成元是1, 2, 4, 5, 7和8.(3) 设G=3Z={3z | z∈Z}, G上的运算是普通加法. 那么G只有两个生成元：3和-3.循环群的子群定理8.14设G=<a>是循环群.(1) G的子群仍是循环群.(2) 若G=<a>是无限循环群，则G的子群除{e}以外都是无限循环群.(3) 若G=<a>是n阶循环群，则对n的每个正因子d，G恰好含有一个d 阶子群.例11(1) G=<Z,+>是无限循环群，其生成元为1和 1.对于自然数m∈N，1的m次幂是m，m生成的子群是mZ，m∈N. 即<0> = {0} = 0Z<m> = {mz | z∈Z}= mZ，m>0(2) G=Z12是12阶循环群. 12正因子是1,2,3,4,6和12，G 的子群:1阶子群<12>=<0>={0}2阶子群<6>={0,6}3阶子群<4>={0,4,8}4阶子群<3>={0,3,6,9}6阶子群<2>={0,2,4,6,8,10}12阶子群<1>=Z12•适合交换律的群称为阿贝尔群，阿贝尔群适合指数律。
第循环群
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关于子群定理证明（续）
对于n的每个正因子d, 在G中有且仅有一个d阶子群.
(4)
是 G 的 d 阶子群. 设 d|n，则 H 假若 H’=<am>也是 G 的 d 阶子群，其中 am 为最小正方 幂元.则
a
md
n a d
n n e n | md | m m t a m d d
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循环群的子群
定理 2 G=<a>是循环群，那么 (1) G 的子群也是循环群 (2) 若 G 是无限阶，则 G 的子群除{e}外也是无限阶 (3) 若 G 是 n 阶的，则 G 的子群的阶是 n 的因子， 对于 n 的每个正因子 d, 在 G 中有且仅有一个 d 阶子群. 证明思路： (1) 子群 H 中最小正方幂元 am 为 H 的生成元 (2) 若子群 H=<am>有限，ae, 则推出|a|有限. (3) H=<am>,|H|=|am|,(am)n=e.从而|am|是 n 的因子. (4) <an/d>是 d 阶子群，然后证明唯一性.
1 2 3 1 1 2 3 1 4 2 2 3 3 1
S3的运算表如表17.2
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n元置换的表示
轮换表示：若将{1,2,…,n}中的k个元素 i1,i2,…,ik进行如下变换： (i1)=i2, (i2)=i3,…, (ik)=i1 并且保持其他的元素不变，则可将记为(i1i2…ik)称 为一个k阶轮换(cycle)。 当k=1时=(i1),i1{1,2,…,n}是恒等置换 当k=2时=(i1 i2)称为一个对换(Transposition) 不相交：设1=(i1i2…ik)和2=(j1j2…jk)是两个 轮换，若{i1,i2,…,ik}和{j1,j2,…jk}=,则称1 和2是不相交的
循环群和有限域结构
素个数有限(有限循环群)
• 循环群元素的级 若ak=ah，则有ah-k=e，定义使an=e的最小正整数为有限 循环群元素a的级。
国家重点实验室
有限循环群的几个特点
1、若元素a的级为n，则a0=e,a,a2,…an-1均互不相同
2、若a为n级元素，则a的一切幂次生成的元素都在群 G(a)中
3、凡是循环群必是可换群
例：设m=4，多项式p(x)=1+x+x4是 GF(2)上的4次本原多项 式，设 p 1 4 解：由于
5 1 2
p 1 4
9 1 2 3
8 1 3 2 4 2 1 1 2
x x
2 3 2 2 3 6 12 9 6 9 2 12 9 21 9 2 8 6
六、有限域GF(2m)的性质(9)
4
8
2
3
9
6
10
2
8
17
15
x x x x 1
4 3 2
国家重点实验室
六、有限域GF(2m)的性质(10)
4、可换群G中的每一个元素a都能生成一个循环群。若 a为有限级，则生成有限循环群， a的级即为循环群中 元素的个数(循环群的阶)
国家重点实验室
有限循环群元素级的性质
1、若a是n级元素，则am=e的充要条件是
nm
2、若a是n级元素， b是m级元素，且(n,m)=1,则 (ab)的 级为nm
3、若a是n级元素， 则ak的级为n/(k,n) 4、若a是dk级元素， 则ak为d级元素 5、n阶循环群中，每个元素的级是群阶数n的因子 6、n阶循环群中有
循环群的概念
循环群的概念
循环群是群论中的基本概念，指这样一个群：其每个元素都是群中某个特定元素（称为生成元）的幂次。
具体来说，若在一个群G 中，存在元素g，使得G中的任意元素均可表示为g的整数幂的形式（g^k，k∈Z），则称G为循环群，记作<g>。
循环群分为有限循环群和无限循环群两种，前者元素个数有限，后者则包含无限多个元素。
在整数模n加法群Z/nZ中，循环群表现得尤为直观，例如模5的加法群就是典型的有限循环群。
生成元对于理解循环群的结构至关重要，因其决定了群的所有运算特性。
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P51 ex.5) 2、抽象地看，循环群由它的阶数唯一确定。
3、计算 |(123)|, |(1234)|, |(12345)|, |(123…n)|.
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引理1.7.6 若有限群G的两个元素 a 和 b 可交 换,且(|a|,|b|)=1,则 |ab|=|a||b|.
证明 设| ab|=r , |a|= m, |b|=n, 由ab=ba 得 (ab)mn=amnbmn=e r|mn.
a ={e,a,a2,…,an-1}. |a|= n.
证明 (i)是显然的.
(ii) 显然|a|<∞ 有 m≠n 使 am=an . 反之，
若有m≠n 使am=an．不妨设 m＞n, 则有 am－n =e．
设n是使an=e的最小正整数，则对任何k∈Z，设
k=qn+r, 0 r< n, 则 a k = a q n + r = ar.
又e=(ab)r =arbr ar =b r, | ar |整除 |a|= m,
|ar |=|b r| | |b|=n,
|ar ||(m, n )=1 ar =b r= e, m|r,n|r
mn|r.■
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定义 设G是有限群,记
exp(G) = min{ r∈N: a∈G, ar=e},
由引理1.7.4知 |a t |=n. 又由其证明过程可知, H=a r , 且a k∈H当且仅当
r | k, 于是 a m=e∈H r|m, 设m=rs,由引理1.7.4知
|a r | =s. s=n, r = t m=nr. ■
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注：
１、在定理1.7.５的证明过程中，只是说明了 Ｈ可以由 a r 生成，并没有说Ｈ只能由 a r 生 成。事实上，Ｈ的生成元未必唯一。（参看
由 r 的最小性得ｔ＝０,
故 x = a n = (a r ) q ∈ a r.所以，H a r。
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(ii) 若G是无限群且H ≠{e}, 则H也是无限群.
证明 由定理1.7.1，|a|=∞ am=an 必有 m=n. 易知, (ii) 成立. 事实上，由(i)，设 H = ar ，若
提示：考察3次对称群S3。
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(i) 若H ≠{e}, 令 r = min{n∈N+: an ∈H}, 则 H= ar .
证明 (i) 根据 r 的定义知a r ∈H, 从而a rH.
反之, x∈H, 设 x = a n, 令n=qr+t , 0 t< r. 则
a t = a nqr = a n (a r ) q ∈H,
称为G的方次数. 引理1.7.7 有限交换群G必有元素g使|g|=exp(G). 定理1.7.8 有限交换群G为循环群当且仅当
|G|=exp(G). 定理1.7.9 域F的有限乘法子群必为循环群.
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作业 P50 1 2 3 5
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为了展示群论研究的任务：揭示 群的性质、确定群的结构，首先看最 简单的群——循环群和交换群。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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定理1.7.1 设G是群,a∈G, 则
(i) |a|=∞ a m=a n 必有 m=n. 此时,
a ={ak: k∈Z}.
(ii) |a|<∞ 有 m ≠ n 使 am=an . 此时,设n是 使 an=e 的最小正整数，则
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Lagrange定理说: 若H是群G的子群, 则 |H| 整除 |G|. 问: 若n整除 |G|, G有阶子群吗？
引理1.7.4 设 G = a 是m阶循环群, 对任何 分解 m = r n, a r 是 G 的 n 阶子群.
证明 注意到 a 的阶是 m,是使 a k = e 的 最小正整数,那么,
H = a r . (ii) 若G是无限群且H ≠{e}, 则H也是无限群. (iii) 若|G|= m, |H|= n, 则 m=nr. 从而, H= a r 是G的唯
一的 n 阶子群.
注：此定理说明，循环群的子群都是循环群。
问：如果群G的子群都是循环群，那么，G一定是循环 群吗？一定是交换群吗？
( ar )m = ( ar )n ，即 a r m = a r n, 于是 r m = r n m = n, |a|=∞。 ■
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(iii) 若|G|= m, |H|= n, 则 m=nr. 从而, H= a r是 G的唯一的 n 阶子群.
证明 若|G|= m, |H|= n, 由Lagrange定理，设 m=nt.
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定理1.7.3 (i) 无限循环群都与整数加群同构. (ii) 设G1,G2是两个有限循环群, 则 G1≌G2 |G1|=|G2|.
证明 (i) 直接验证
f: an n 是G= a 到 (Z,+) 的同构. (ii) 必要性显然.
反之, 设|G1|=|G2|=m, G1= a, G2= b. 则 an bn 是同构. ■
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所以， a ={e,a,a2,…,an-1}. ■
记|a|＝｜a｜或 o(a), 称为a的阶. 由Lagrange定理可知 |a| 整除 |G|. 由定理1.7.1的证明知,
a 的阶是使 a n = e 的最小正整数.
推论1.7.2 设G是群, a ∈G, 则 an=e |a| 整除 n.
a r, a2r,…, a(n1)r, anr = e 是 n 个互不相同的元素, 因而
a r ={a r, a 2r,…, a(n1)r, a nr = e } 是 G 的 n 阶子群.■
定理1.7.5 设G = a是循环群, HG, (i),若 H ≠{e}, 令 r = min{ n∈N+: an ∈H}, 则