概率论练习题第三章补充题

1.设随机变量1X ，2X ，3X ，...，n X 相互独立，均服从参数为λ的指数分布，

),,,, m in(321n X X X X Y =，求Y 的分布密度函数和数学期望。

2. 设随机向量（X ，Y ）服从二元正态分布)0;4,1;0,0(N ，求)(X Y D -和)0(>XY P 。

3. 设随机向量（X ，Y ）联合分布密度

),(y x f =⎩⎨

⎧<<<-其他0

0,21y

x xe xy 求（1）条件密度函数)(x y f X Y ； （2）条件概率⎪⎭⎫ ⎝⎛

=≤231X Y P 和概率()X Y P >；

（3）)cov(Y X ，； （4）判断X ，Y 的相关性与独立性（说明理由）。

（以上为历届试题）

1．设随机变量ξ，η相互独立，ξ，η的分布列分别如下表所示．

ξ -3 -2 -1 P

0.25 0.25 0.5

η

1 2 3 P

0.4

0.2

0.4

求（1）（ξ，η）的联合分布列；（2）ηξ+的分布列。 2．已知ξ，η有联合分布列如下，

（1）求ξ，η的边缘分布； （2）ξ，η独立吗？ （3）求ηξ+的分布。

3．设二维随机变量（ξ，η）的分布密度为：

),(y x f =⎩

⎨⎧≤≤≤≤+其它,020,10),3(2y x xy x A

求：（1）系数A ；（2）ξ，η相互独立吗；（3）求)1(≤+ηξP

4．设X ，Y 是随机变量，若ξ =a X ＋b ，η =cY ＋d ，其中a ，b ，c ，d 是常数． 求证：)cov(ηξ，=),cov(Y X ac

5．设随机变量ξ ，η 相互独立，其概率密度分别是

⎩⎨⎧≤>=-0

002)(2x x e x p x ，，ξ ， 82

π221

)(x e y p -=η，

记132+-=ηξζ，求ζE ，ζD ．

6.若 ξ1 ,ξ2 ,ξ3 ,ξ4 , 独立同分布,且 ξk ～U[0, 1] , k=1,2,3,4，令∑=

=4

1

5

1k k k ξη，则

E ξk = ; D ξk = ; E ξ2k = , E η= ; D η= 。

7．设( ξ, η )的联合分布列为

(1).求ξ, η 各自的边沿分布列; (2).判断ξ与η是否相互独立; (3).求P( ξη >1 ).

8．若(ξ ,η)联合分布密度函数为:

p x y Ax ,x ;

(,)=<⎧⎨

⎩ 0

其它 试求 ： (1) 常数A ； (2) p ξ(x)，p η(y) ； (3) p η | ξ (y |x) ； (4) E ξ ，E η ； (5) cov (ξ ,η) 。

9．若R.V .ηξ,独立,都服从 [0 , 1] 上的均匀分布,求 , 32ηξζ+=的分布密度。

10.若R.V.(ξ,η)的联合分布密度),(y x f =⎩⎨

⎧+∞

<<+∞<<+-其他

0,0)

(2y x Ae y x

求: ⑴常数A ; ⑵)(x f ξ ; ⑶ξE ; ⑷)(x y f ξη 11.设随机变量)1(~e X ，且x X =（0>x ）条件下，Y 的密度函数为

)(x y f X Y =⎪⎩⎪⎨⎧<<其他

，,001x

y x

，试求随机向量)Y X ，（的密度函数。 12.设随机变量+∞<<∞-=-x ke x f X x

,)(~，试求（1）常数k ；（2）EX 和DX ；

（3）X 与X 的协方差，并判断X 与X 的相关性。

13．设R.V.ξ,η相互独立，均服从参数为α=1的指数分布，求ηξ2-的分布密度。 14. 从(0,1)随机取两个数，求 (1) 两数之积小于四分之一的概率； (2) 两数之和小

于五分之六的概率。

15．将长度为1m 的木棒随机地截为两段，求两段长度的相关系数。

16.某路公共汽车每5分钟发车一辆，而每位乘客都是等可能地在五分钟内的任意时刻到站等车。求某一天等车的 225 名乘客中，等车时间超过4 分钟的人所占的比例不超过 16 % 的概率。 [ Φ0 ( 1.5 ) = 0.93319，Φ0 ( 4.83 ) = 1.0000 ]

17.设随机向量（X ，Y ）服从二元正态分布，其密度函数为

)(2001

222001

),(y x e y x +-=π

ϕ ，+∞<<∞-x ，+∞<<∞-y 。

(1)求概率 )(Y X P <及随机向量（X ，Y ）的协差阵V 。（ 0.5 ； ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10000100

）)

18.设随机向量（X ，Y ）服从二元均匀分布，且 X +Y 与 X -Y 相互独立， 已知 E (X +Y ) = 4，与E (X -Y ) = 2；D (X +Y )= 2，与D (X -Y ) = 2， 求（1）EX ，DX ，EY ，DY ，XY ρ ；（2）判断X 与Y 的独立性和相关性。

以下为考研试题

1*．设随机变量X 和Y 的联合分布是正方形(){}3,1,≤≤=y x y x G 上的均匀分布，试求随机变量Y X Z -=的概率密度函数)(x f 。 解 X 和Y 的联合密度是

),(y x f =⎪⎩⎪⎨⎧≤≤其他,

03

,1,4

1

y x 因为 )()(z Z P z F ≤= 当 0

当 20<≤z 时，⎰⎰≤-=

≤-=z

y x dxdy z Y X P z F 41

)()( ])2(4[412z --==2)2(4

1

1z --； 当 z ≤2时，1)(=z F