2019版高考数学理科课标A版一轮复习习题：4-3 三角函数的最值与综合应用 含解析 精品
2019版高考数学理科课标A版一轮复习习题：4-4 三角恒
§4.4三角恒等变换考纲解读分析解读 1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2.备考时,应做到灵活掌握各公式的正用、逆用、变形用等.3.三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,可单独考查,也可与三角函数的知识综合考查,分值为5分或12分,为中低档题.五年高考考点一两角和与差的三角函数公式1.(2015课标Ⅰ,2,5分)sin20°cos10°-cos160°sin10°=()A.-B.C.-D.答案D2.(2014课标Ⅰ,8,5分)设α∈,β∈,且tanα=,则()A.3α-β=B.3α+β=C.2α-β=D.2α+β=答案C3.(2017江苏,5,5分)若tan=,则tanα=.答案4.(2013课标全国Ⅰ,15,5分)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=.答案-5.(2016江苏,15,14分)在△ABC中,AC=6,cos B=,C=.(1)求AB的长;(2)求cos的值.解析(1)因为cos B=,0<B<π,所以sin B===.由正弦定理知=,所以AB===5.(2)在△ABC中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C),于是cos A=-cos(B+C)=-cos=-cos Bcos+sin B·sin,又cos B=,sin B=,故cos A=-×+×=-.因为0<A<π,所以sin A==.因此,cos=cos Acos+sin Asin=-×+×=.教师用书专用(6—13)6.(2015重庆,9,5分)若tanα=2tan,则=()A.1B.2C.3D.4答案C7.(2013重庆,9,5分)4cos50°-tan40°=()A. B.C. D.2-1答案C8.(2015江苏,8,5分)已知tanα=-2,tan(α+β)=,则tanβ的值为.答案39.(2015四川,12,5分)sin15°+sin75°的值是.答案10.(2014课标Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为. 答案111.(2013课标全国Ⅱ,15,5分)设θ为第二象限角,若tan=,则sinθ+cosθ=. 答案-12.(2014江苏,15,14分)已知α∈,sinα=.(1)求sin的值;(2)求cos的值.解析(1)因为α∈,sinα=,所以cosα=-=-.故sin=sincosα+cossinα=×+×=-.(2)由(1)知sin2α=2sinαcosα=2××=-,cos2α=1-2sin2α=1-2×=,所以cos=coscos2α+sinsin2α=×+×=-.13.(2014江西,16,12分)已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈.(1)当a=,θ=时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值;(2)若f=0,f(π)=1,求a,θ的值.解析(1)f(x)=sin+cos=(sin x+cos x)-sin x=cos x-sin x=sin,因为x∈[0,π],从而-x∈.故f(x)在[0,π]上的最大值为,最小值为-1.(2)由得由θ∈知cosθ≠0,解得考点二二倍角公式1.(2016课标全国Ⅱ,9,5分)若cos=,则sin2α=()A. B. C.-D.-答案D2.(2016四川,11,5分)cos2-sin2=.答案3.(2016浙江,10,6分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=.答案;1教师用书专用(4)4.(2013浙江,6,5分)已知α∈R,sinα+2cosα=,则tan2α=()答案C三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一两角和与差的三角函数公式1.(2018云南玉溪模拟,7)下列各式中,值为的是()A.sin15°cos15°B.cos2-sin2C. D.答案D2.(2017河北冀州第二次阶段考试,8)(1+tan18°)(1+tan27°)的值是()A. B.C.2D.答案C3.(2016浙江杭州重点中学期中,3)已知α∈,β∈,tanα=,则()A.α+β=B.α-β=C.α=2βD.β=2α答案D考点二二倍角公式4.(2018天津实验中学模拟,6)已知sin2a=,则cos2=()A. B. C. D.答案A5.(2017江西抚州七校高三上学期联考,6)若sin=,则tan=()答案D6.(2018江苏常州武进期中,8)已知锐角α的终边上一点P(1+cos80°,sin80°),则锐角α=.答案40°7.(2017湖南长沙一模,15)化简:=.答案2sinαB组2016—2018年模拟·提升题组(满分:45分时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018湖北咸宁重点高中联考,9)已知tan(α+β)=2,tanβ=3,则sin2α=()A. B. C.-D.-答案C2.(2018湖南永州祁阳二模)已知tan=,则cos2=()A. B. C. D.答案B3.(2018湖北八校第一次联考,10)已知3π≤θ≤4π,且+=,则θ=()A.或B.或C.或D.或答案D4.(2017陕西榆林二模,8)若cos=,则cos的值为()A. B.-C. D.-答案A5.(2017湖南邵阳二模,9)若tancos=sin-msin,则实数m的值为()A.2B.C.2D.3答案A二、填空题(每小题5分,共10分)6.(2018湖南五十校教改共同体联考,15)若α∈,且cos2α=sin,则tanα=. 答案7.(2017河北衡水中学第三次调研,14)若tanα+=,α∈,则sin+2coscos2α=. 答案0三、解答题(共10分)8.(2018湖北咸宁重点高中联考,17)已知f(x)=sin2x+cos2x-1.(1)若f(x)=-3,求tan x;(2)若θ∈,f(θ)=,求sin2θ的值.解析(1)f(x)=2sin-1,当f(x)=-3时,有sin=-1,所以2x+=2kπ-,k∈Z,即x=kπ-,k∈Z.故tan x=-.(2)因为f(θ)=2sin-1=,所以sin=.因为θ∈,所以2θ+∈,所以cos=-,故sin2θ=sin=sincos-cos·sin=×-×=.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1三角函数的化简与求值问题1.(2017湖北新联考四模,6)=()A. B. C. D.1答案A2.(2017河南百校联盟4月联考,8)已知α为第二象限角,且tanα+tan=2tanαtan-2,则sin 等于()A.-B.C.-D.答案C3.(2018辽宁沈阳四校协作体联考,14)化简:-=.答案4方法2利用辅助角公式解决问题的方式4.(2016北京东城期中,8)函数y=cos2+sin2-1是()A.周期为的函数B.周期为的函数C.周期为π的函数D.周期为2π的函数答案C5.(2018江苏南京联合体学校调研测试,8)函数f(x)=sin·sin的最小正周期为.答案2π6.(2017河北冀州第二阶段考试,17)已知函数f(x)=sin2x+2sin xcos x+sinsin.(1)求f(x)的最小正周期和单调增区间;(2)若x=x0为f(x)的一个零点,求cos2x0的值.解析(1)f(x)=sin2x+2sin xcos x+sin·sin=sin2x+sin2x+(sin x+cos x)·(sin x-cosx)=+sin2x-cos2x=sin2x-cos2x+=2sin+,所以f(x)的最小正周期为π,因为2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,所以kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间是,k∈Z.(2)由题意知f(x0)=2sin+=0,∴sin=-.因为0≤x0≤,所以-≤2x0-≤,又sin<0,所以-≤2x0-<0,所以cos=,所以cos2x0=cos=×+×=.。
2019版高考数学理一轮总复习：第四章三角函数 作业20
题组层级快练(二十)1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 ①中－3π4是第三象限角，故①错．②，4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角正确．③，－400°＝－360°－40°，从而③正确．④，－315°＝－360°＋45°，从而④正确． 2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确．3．(2018·湖北襄阳联考)角α的终边在第一象限，则sinα2|sin α2|＋cos α2|cos α2|的取值集合为( )A ．{－2，2}B ．{0，2}C ．{2}D ．{0，－2，2} 答案 A解析 因为角α的终边在第一象限，所以角α2的终边在第一象限或第三象限，所以sinα2|sin α2|＋cosα2|cos α2|＝±2.故选A. 4．若点P 从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动23π弧长到达Q 点，则Q 的坐标为( ) A ．(－12，32)B ．(－32，－12)C ．(－12，－32)D ．(－32，12) 答案 A解析 Q(cos 2π3，sin 2π3)，即Q(－12，32)．5．已知tan α＝33，且α∈[0，3π]，则α的所有不同取值的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 B 解析 ∵tan α＝33，且α∈[0，3π]，∴α的可能取值分别是π6，7π6，13π6，∴α的所有不同取值的个数为3.6．集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当k ＝2n 时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2(n ∈Z )，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样．当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2(n ∈Z )，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．7．(2018·贵州遵义联考)已知倾斜角为α的直线过x 轴一点A(非坐标原点O)，直线上有一点P(cos130°，sin50°)，且∠APO ＝30°，则α＝( ) A ．100° B ．160° C ．100°或160°D ．130°答案 C解析 因为P(cos130°，sin50°)即P(cos130°，sin130°)，所以∠POx ＝130°.因此α＝130°＋30°或130°－30°，即α＝160°或100°.故选C.8．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．2sin1 C.2sin1 D ．sin2答案 C解析 ∵2Rsin1＝2，∴R ＝1sin1，l ＝|α|R ＝2sin1，故选C. 9．(2018·湖北重点中学联考)sin3，sin1.5，cos8.5的大小关系为( ) A ．sin1.5<sin3<cos8.5 B ．cos8.5<sin3<sin1.5 C ．sin1.5<cos8.5<sin3 D ．cos8.5<sin1.5<sin3答案 B解析 因为0<sin3＝sin(π－3)<sin1.5，cos8.5＝cos(8.5－2π)<0，所以cos8.5<sin3<sin1.5.故选B.10．在△ABC 中，若sinA ·cosB ·tanC<0，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定 答案 B解析 ∵△ABC 中每个角都在(0，π)内，∴sinA>0. ∵sinA ·cosB ·tanC<0，∴cosB ·tanC<0. 若B ，C 同为锐角，则cosB ·tanC>0. ∴B ，C 中必定有一个钝角． ∴△ABC 是钝角三角形．故选B.11．－2 017°角是第________象限角，与－2 017°角终边相同的最小正角是________，最大负角是________． 答案 二，143°，－217°解析 ∵－2 017°＝－6×360°＋143°，∴－2 017°角的终边与143°角的终边相同． ∴－2 017°角是第二象限角，与－2 017°角终边相同的最小正角是143°.又是143°－360°＝－217°，故与－2 017°终边相同的最大负角是－217°.12．有下列各式：①sin1125°；②tan 3712π·sin 3712π；③sin4tan4；④sin|－1|，其中为负值的个数是________． 答案 2解析 确定一个角的某一三角函数值的符号关键要看角在哪一象限，确定一个式子的符号，则需观察构成该式的结构特点及每部分的符号．对于①，因为1 125°＝1 080°＋45°，所以1 125°是第一象限角，所以sin1 125°>0；对于②，因为3712π＝2π＋1312π，则3712π是第三象限角，所以tan 3712π>0；sin 3712π<0，故tan 3712π·sin 3712π<0；对于③，因4弧度的角在第三象限，则sin4<0，tan4>0，故sin4tan4<0；对于④，因π4<1<π2，则sin|－1|>0，综上，②③为负数．13．(2018·沧州七校联考)若600°角的终边上有一点P(－4，a)，则a 的值为________． 答案 －4 3解析 tan600°＝tan(360°＋240°)＝tan240°＝tan(180°＋60°)＝tan60°＝3＝a－4，∴a ＝－4 3.14．若0≤θ≤2π，则使tan θ≤1成立的角θ的取值范围是________． 答案 [0，π4]∪(π2，54π]∪(32π，2π]15．函数y ＝lg(sinx －cosx)的定义域为________． 答案 {x|π4＋2k π<x<5π4＋2k π，k ∈Z }解析 利用三角函数线．如图，MN 为正弦线，OM 为余弦线，要使sinx>cosx ，只需π4<x<5π4(在[0，2π]上)．所以定义域为{x|π4＋2k π<x<5π4＋2k π，k ∈Z }．16．若α的终边落在x ＋y ＝0上，求出在[－360°，360°]之间的所有角α.答案 －225°，－45°，135°，315°解析 令－360°≤135°＋k·180°≤360°，k ∈Z ∴k ∈{－2，－1，0，1}．∴相应的角为－225°，－45°，135°，315°.17．在直角坐标系xOy 中，若角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线l ：y ＝22x(x ≥0)，求sin (α＋π6)的值．答案1＋266解析 由射线l 的方程为y ＝22x ，可得sin α＝223，cos α＝13.故sin (α＋π6)＝223×32＋13×12＝1＋266.1．(数学文化原创题)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)．弧田(如图)，由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为2π3，弦长等于9米的弧田． (1)计算弧田的实际面积；(2)按照《九章算术》中的弧田面积的经验公式计算所得结果与(1)中计算的弧田实际面积相差多少平方米？(结果保留两位小数)答案 (1)9π－2734(平方米) (2)1.52(平方米)解析 (1)扇形半径r ＝33，扇形面积等于12θ·r 2＝12×2π3×(33)2＝9π(平方米)，弧田面积＝12θr 2－12r 2sin 2π3＝9π－2734(平方米)．(2)圆心到弦的距离等于12r ，所以矢长为12r ，按照上述弧田面积经验公式计算得12(弦×矢＋矢2)＝12×(9×332＋274)＝274(3＋12)，9π－2734×2－278≈1.52(平方米)．。
【2019版课标版】高考数学文科精品课件§4.3 三角函数的最值与综合应用
§4.3三角函数的最值与综合应用考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.三角函数的最值①了解三角函数的最值(值域);②理解三角函数取最值的条件理解2017课标全国Ⅱ,14;2017江苏,16;2015陕西,3选择题填空题解答题★★★2.三角函数的图象和性质的综合应用结合三角函数的性质,会求形如函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的综合问题掌握2015安徽,10;2014四川,16选择题填空题解答题★★★分析解读 1.求三角函数最值时,一般要进行一些代数变换和三角变换,要注意函数有意义的条件及正、余弦函数的有界性.2.借助辅助角公式将函数y=asinωx+bcosωx化为y=√a2+b2sin(ωx+φ)的形式,求最值是高考热点.3.本节在高考中分值为5分或12分,属于中低档题.五年高考考点一三角函数的最值1.(2016课标全国Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2),x=-π4为f(x)的零点,x=π4为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在(π18,5π36)单调,则ω的最大值为()A.11B.9C.7D.5答案B2.(2015陕西,3,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(π6x+φ)+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10答案C3.(2017课标全国Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin2x+√3cos x-34(x∈[0,π2])的最大值是.答案14.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-√3),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解析(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-√3),a∥b,所以-√3cos x=3sin x.若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x≠0.于是tan x=-√33.又x∈[0,π],所以x=5π6.(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-√3)=3cos x-√3sin x=2√3cos(x+π6).因为x∈[0,π],所以x+π6∈[π6,7π6],从而-1≤cos(x+π6)≤√32.于是,当x+π6=π6,即x=0时, f(x)取到最大值3; 当x+π6=π,即x=5π6时, f(x)取到最小值-2√3.教师用书专用(5—8)5.(2015天津,15,13分)已知函数f(x)=sin 2x-sin 2(x -π6),x ∈R. (1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[-π3,π4]上的最大值和最小值. 解析 (1)由已知,有f(x)=1−cos2x 2-1−cos (2x -π3)2=12(12cos2x+√32sin2x)-12cos 2x=√34sin 2x-14cos 2x=12sin (2x -π6).所以, f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)因为f(x)在区间[-π3,-π6]上是减函数,在区间[-π6,π4]上是增函数, f (-π3)=-14, f (-π6)=-12, f (π4)=√34.所以, f(x)在区间[-π3,π4]上的最大值为√34,最小值为-12.6.(2015北京,15,13分)已知函数f(x)=√2sin x 2cos x 2-√2sin 2x 2. (1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值. 解析 (1)因为f(x)=√22sin x-√22(1-cos x)=sin (x +π4)-√22,所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为-π≤x ≤0,所以-3π4≤x+π4≤π4. 当x+π4=-π2,即x=-3π4时, f(x)取得最小值. 所以f(x)在区间[-π,0]上的最小值为f (-3π4)=-1-√22. 7.(2013辽宁,17,12分)设向量a=(√3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x ∈[0,π2]. (1)若|a|=|b|,求x 的值;(2)设函数f(x)=a ·b,求f(x)的最大值. 解析 (1)由|a|2=(√3sin x)2+(sin x)2=4sin 2x, |b|2=(cos x)2+(sin x)2=1及|a|=|b|,得4sin 2x=1. 又x ∈[0,π2],从而sin x=12,所以x=π6.(6分) (2)f(x)=a ·b=√3sin x ·cos x+sin 2x =√32sin 2x-12cos 2x+12=sin (2x -π6)+12,当x=π3∈[0,π2]时,sin (2x -π6)取最大值1. 所以f(x)的最大值为32.(12分)8.(2013陕西,16,12分)已知向量a=(cosx,-12),b=(√3sin x,cos 2x),x ∈R,设函数f(x)=a ·b. (1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在[0,π2]上的最大值和最小值. 解析 f(x)=(cosx,-12)·(√3sin x,cos 2x) =√3cos xsin x-12cos 2x=√32sin 2x-12cos 2x=cos π6sin 2x-sin π6cos 2x=sin (2x -π6). (1)f(x)的最小正周期为T=2πω=2π2=π, 即函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2,∴-π6≤2x-π6≤5π6.由正弦函数的性质, 当2x-π6=π2,即x=π3时, f(x)取得最大值1. 当2x-π6=-π6,即x=0时, f(0)=-12, 当2x-π6=56π,即x=π2时, f (π2)=12, ∴f(x)的最小值为-12.因此, f(x)在[0,π2]上的最大值是1,最小值是-12.考点二 三角函数的图象和性质的综合应用1.(2015安徽,10,5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=2π3时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( ) A. f(2)< f(-2)< f(0) B. f(0)< f(2)< f(-2) C. f(-2)< f(0)< f(2) D. f(2)< f(0)< f(-2)答案 A2.(2014安徽,11,5分)若将函数f(x)=sin (2x +π4)的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y 轴对称,则φ的最小正值是 . 答案3π8解析 根据题意设g(x)=f(x-φ)=sin [2(x -φ)+π4],则g(x)的图象关于y 轴对称,∴g(0)=±1,即sin (-2φ+π4)=±1,∴-2φ+π4=kπ+π2(k ∈Z),∴φ=-kπ2-π8(k ∈Z). ∴当k=-1时,φ的最小正值为3π8.3.(2014四川,16,12分)已知函数f(x)=sin (3x +π4). (1)求f(x)的单调递增区间;(2)若α是第二象限角, f (α3)=45cos (α+π4)cos 2α,求cos α-sin α的值. 解析 (1)因为函数y=sin x 的单调递增区间为[-π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z. 由-π2+2kπ≤3x+π4≤π2+2kπ,k ∈Z,得 -π4+2kπ3≤x ≤π12+2kπ3,k ∈Z.所以,函数f(x)的单调递增区间为[-π4+2kπ3,π12+2kπ3],k∈Z.(2)由已知,有sin(α+π4)=45cos(α+π4)(cos2α-sin2α),所以sinαcosπ4+cosαsinπ4=4 5(cosαcosπ4-sinαsinπ4)(cos2α-sin2α).即sinα+cosα=45(cosα-sinα)2(sinα+cosα).当sinα+cosα=0时,由α是第二象限角,知α=3π4+2kπ,k∈Z.此时,cosα-sinα=-√2.当sinα+cosα≠0时,有(cosα-sinα)2=54.由α是第二象限角,知cosα-sinα<0,此时cosα-sinα=-√52.综上所述,cosα-sinα=-√2或-√52.教师用书专用(4—8)4.(2013江西,10,5分)如图,半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1,l2之间,l∥l1,l与半圆相交于F,G两点,与三角形ABC两边相交于E,D 两点.设弧FG⏜的长为x(0<x<π),y=EB+BC+CD,若l从l1平行移动到l2,则函数y=f(x)的图象大致是()答案D5.(2015福建,19,13分)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos x的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移π2个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)内有两个不同的解α,β.(i)求实数m的取值范围;(ii)证明:cos(α-β)=2m 25-1.解析(1)将g(x)=cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cos x的图象,再将y=2cos x的图象向右平移π2个单位长度后得到y=2cos(x-π2)的图象,故f(x)=2sin x.从而函数f(x)=2sin x图象的对称轴方程为x=kπ+π2(k∈Z).(2)(i)f(x)+g(x)=2sin x+cos x=√5(2515=√5sin(x+φ)(其中sinφ=1525).依题意知,sin(x+φ)=m√5在[0,2π)内有两个不同的解α,β,当且仅当|m√5|<1,故m的取值范围是(-√5,√5).(ii)证法一:因为α,β是方程√5sin(x+φ)=m在[0,2π)内的两个不同的解,所以sin(α+φ)=√5,sin(β+φ)=√5.当1≤m<√5时,α+β=2(π2-φ),即α-β=π-2(β+φ);当-√5<m<1时,α+β=2(3π2-φ),即α-β=3π-2(β+φ),所以cos(α-β)=-cos[2(β+φ)]=2sin2(β+φ)-1=2(√5)2-1=2m25-1.证法二:因为α,β是方程√5sin(x+φ)=m在[0,2π)内的两个不同的解,所以sin(α+φ)=√5,sin(β+φ)=√5.当1≤m<√5时,α+β=2(π2-φ),即α+φ=π-(β+φ);当-√5<m<1时,α+β=2(3π2-φ),即α+φ=3π-(β+φ).所以cos(α+φ)=-cos(β+φ).于是cos(α-β)=cos[(α+φ)-(β+φ)]=cos(α+φ)cos(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)=-cos2(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)=-[1−(√5)2]+(√5)2=2m25-1.6.(2014湖北,17,11分)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-√3cosπ12t-sinπ12t,t∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差;(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?解析(1)f(t)=10-2(√32cosπ12t+12sinπ12t)=10-2sin(π12t+π3),因为0≤t<24,所以π3≤π12t+π3<7π3,-1≤sin(π12t+π3)≤1.于是f(t)在[0,24)上的最大值为12,最小值为8.故实验室这一天最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃.(2)依题意知,当f(t)>11时,实验室需要降温.由(1)得f(t)=10-2sin(π12t+π3),故有10-2sin(π12t+π3)>11,即sin(π12t+π3)<-12.又0≤t<24,因此7π6<π12t+π3<11π6,即10<t<18.故在10时至18时实验室需要降温.7.(2013天津,15,13分)已知函数f(x)=-√2sin(2x+π4)+6sin xcos x-2cos2x+1,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值.解析 (1)f(x)=-√2sin 2x ·cos π4-√2cos 2x ·sin π4+3sin 2x-cos 2x=2sin 2x-2cos 2x=2√2sin (2x -π4). 所以f(x)的最小正周期T=2π2=π. (2)易知f(x)在区间[0,3π8]上是增函数,在区间[3π8,π2]上是减函数.又f(0)=-2, f (3π8)=2√2, f (π2)=2,故函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值为2√2,最小值为-2.8.(2013湖南,17,12分)已知函数f(x)=sin (x -π6)+cos (x -π3),g(x)=2sin 2x 2. (1)若α是第一象限角,且f(α)=3√35,求g(α)的值;(2)求使f(x)≥g(x)成立的x 的取值集合. 解析 f(x)=sin (x -π6)+cos (x -π3)=√32sin x-12cos x+12cos x+√32sin x=√3sin x,g(x)=2sin 2x 2=1-cos x. (1)由f(α)=3√35得sin α=35.又α是第一象限角,所以cos α>0.从而g(α)=1-cos α=1-√1−sin 2α=1-45=15.(2)f(x)≥g(x)等价于√3sin x ≥1-cos x,即√3sin x+cos x ≥1.于是sin (x +π6)≥12. 从而2kπ+π6≤x+π6≤2kπ+5π6,k ∈Z,即2kπ≤x ≤2kπ+2π3,k ∈Z.故使f(x)≥g(x)成立的x 的取值集合为x 2kπ≤x ≤2kπ+2π3,k ∈Z .三年模拟A 组 2016—2018年模拟·基础题组考点一 三角函数的最值1.(2018云南玉溪模拟,6)当-π2≤x ≤π2时,函数f(x)=sin(2π+x)+√3cos(2π-x)-sin (2 013π+π6)的最大值和最小值分别是 ( ) A.52,-12B.52,32C.32,-12D.32,-32答案 A2.(2017广东惠州第三次调研,8)函数y=cos 2x+2sin x 的最大值为( ) A.34B.1C.32D.2答案 C3.(2016河北衡水中学二调,15)函数y=sin x-cos x-sin xcos x 的最大值为 . 答案12+√2 解析 令sin x-cos x=t ∈[-√2,√2],则t 2=1-2sin xcos x,∴函数y=t-1−t 22=12t 2+t-12=12(t+1)2-1,故当t=√2时,函数y 取得最大值12+√2.考点二 三角函数的图象和性质的综合应用4.(2018广东五校联考,8)将曲线C 1:y=sin (x -π6)上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π2个单位长度,得到曲线C 2:y=g(x),则g(x)在[-π,0]上的单调递增区间是( )A.[-5π6,-π6] B.[-2π3,-π6] C.[-2π3,0] D .[-π,-π6] 答案 B5.(2017河南焦作二模,5)将函数y=cos (2x +π6)图象上的点P (π4,t)向右平移m(m>0)个单位长度后得到点P',若P'在函数y= cos 2x 的图象上,则( ) A.t=-√32,m 的最小值为π6B.t=-√32,m 的最小值为π12C.t=-12,m 的最小值为π6D.t=-12,m 的最小值为π12答案 D6.(2017广东海珠上学期高三综合测试(一),12)已知函数f(x)=|cos x|sin x,给出下列四个说法: ①函数f(x)的周期为π;②若|f(x 1)|=|f(x 2)|,则x 1=x 2+kπ,k ∈Z; ③f(x)在区间[-π4,π4]上单调递增; ④f(x)的图象关于点(-π2,0)中心对称. 其中正确说法的个数是( ) A.3 B.2 C.1D.0答案 CB 组 2016—2018年模拟·提升题组(满分:55分 时间:50分钟)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018辽宁庄河高级中学、沈阳第二十中学第一次联考,6)已知函数f(x)=asin x+cos x(a 为常数,x ∈R)的图象关于直线x=π6对称,则函数g(x)=sin x+acos x 的图象( )A.关于点(π3,0)对称 B.关于点(2π3,0)对称 C.关于直线x=π3对称 D.关于直线x=π6对称答案 C2.(2018河南洛阳尖子生第一次联考,11)已知函数f(x)=sin(sin x)+cos(sin x),x ∈R,则下列说法正确的是( ) A.函数f(x)是周期函数,且最小正周期为π B.函数f(x)是奇函数C.函数f(x)在区间[0,π2]上的值域为[1,√2] D.函数f(x)在[π4,π2]上是增函数 答案 C3.(2017江西抚州七校联考,9)将函数f(x)=2sin (2x +π6)的图象向左平移π12个单位,再向上平移1个单位,得到函数g(x)的图象.若g(x 1)g(x 2)=9,且x 1,x 2∈[-2π,2π],则2x 1-x 2的最大值为( )A.49π12B.35π6C.25π6D.17π4答案 A4.(2016河南南阳期中,6)如图所示,M,N 是函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)的图象与x 轴的交点,点P 在M,N 之间的函数图象上运动,若当△MPN 面积最大时,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则ω=( )A.π4B.π3C.π2D.8答案 A5.(人教A 必4,一,1-6,例2,变式)函数f(x)=|sin x|+2|cos x|的值域为( ) A.[1,√5] B.[1,2] C.[2,√5] D.[√5,3] 答案 A二、填空题(共5分)6.(2018江苏盐城期中,10)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)其中A,ω,φ为常数且A>0,ω>0,-π2<φ<π2,f(x)的部分图象如图所示,若f(α)=65(0<α<π2),则f (α+π6)的值为 .答案 4+3√35三、解答题(共25分)7.(2018湖北荆州一模,17)已知函数f(x)=2√3sin xcos x+2sin 2x. (1)若f(x)=0,x ∈(-π2,π),求x 的值;(2)将函数f(x)的图象先向左平移π3个单位,再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,若函数y=h(x)与y=g(x)的图象关于直线x=π4对称,求函数h(x)在(-π6,2π3]上的值域. 解析 f(x)=2√3sin xcos x+2sin 2x=√3sin 2x+1-cos 2x =2sin (2x -π6)+1.(1)由f(x)=0,得2sin (2x -π6)+1=0,∴sin (2x -π6)=-12.∴2x-π6=-π6+2kπ或2x-π6=-5π6+2kπ,k ∈Z,∴x=kπ或x=-π3+kπ,k ∈Z, 又∵x ∈(-π2,π),∴x=0或-π3或2π3.(2)将函数f(x)的图象先向左平移π3个单位,可得函数图象的解析式为y=2sin [2(x +π3)-π6]+1=2sin (2x +π2)+1=2cos 2x+1,再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数图象的解析式为g(x)=2cos x+1. ∵函数y=h(x)与y=g(x)的图象关于直线x=π4对称,∴h(x)=g(π2-x)=2sin x+1.∵x∈(-π6,2π3],∴sin x∈(-12,1].故函数h(x)的值域为(0,3].8.(2017湖北百所重点校高三联考,20)已知函数f(x)=sin(5π6-2x)-2sin(x-π4)cos(x+3π4).(1)求函数f(x)的最小正周期T和单调递增区间;(2)若x∈[π12,π3],且F(x)=-4λf(x)-cos(4x-π3)的最小值是-32,求实数λ的值.解析(1)∵f(x)=sin(5π6-2x)-2sin(x-π4)cos(x+3π4)=12cos2x+√32sin2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x)=12cos2x+√32sin2x+sin2x-cos2x=12cos2x+√32sin2x-cos2x=sin(2x-π6),∴T=2π2=π.由2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2(k∈Z)得kπ-π6≤x≤kπ+π3(k∈Z),∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ-π6,kπ+π3](k∈Z).(2)F(x)=-4λf(x)-cos(4x-π3)=-4λsin(2x-π6)-[1−2sin2(2x-π6)]=2sin2(2x-π6)-4λsin(2x-π6)-1=2[sin(2x-π6)-λ]2-1-2λ2.∵x∈[π12,π3],∴0≤2x-π6≤π2,∴0≤sin(2x-π6)≤1.①当λ<0时,当且仅当sin(2x-π6)=0时,F(x)取得最小值-1,与已知矛盾,舍去;②当0≤λ≤1时,当且仅当sin(2x-π6)=λ时,F(x)取得最小值-1-2λ2,由已知得-1-2λ2=-32,解得λ=12(负值舍去);③当λ>1时,当且仅当sin(2x-π6)=1时,F(x)取得最小值1-4λ,由已知得1-4λ=-32,解得λ=58,这与λ>1相矛盾.综上所述,λ=12.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1求三角函数最值的方法1.(2017江西赣中南五校二模,6)已知f(x)=sin(2 017x+π6)+cos(2 017x-π3)的最大值为A,若存在实数x1,x2使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则A|x1-x2|的最小值为()A.π2 017B.2π2 017C.4π2 017D.π4 034答案B2.(2017广西南宁二中、柳州高中、玉林高中联考,15)设当x=θ时,函数f(x)=2sin x-cos x取得最大值,则cosθ=. 答案-√55方法2三角函数的图象和性质的综合应用3.(2017河南新乡二模,9)设函数f(x)=sin2x+π4x∈0,9π8,若方程f(x)=a恰好有三个根,分别为x1,x2,x3(x1<x2<x3),则x1+x2+x3的取值范围是()A.[9π8,5π4) B.[5π4,11π8)C.[3π2,13π8) D.[7π4,15π8)答案B4.(2017安徽“江淮十校”第一次联考,15)设函数f(x)=sin(ωx+φ),其中|φ|<π2.若f(-π6)≤f(x)≤f(π3)对任意x∈R恒成立,则正数ω的最小值为,此时φ=. 答案2;-π6。
高三数学一轮复习讲义 专题23 三角函数的最值与综合应用
专题23 三角函数的最值与综合应用考纲导读：考纲要求:会求解三角函数最值问题,掌握三角函数图象与性质的综合应用问题.考纲解读: 新教材中增设了三角函数模型的简单应用，且在课程标准中把“潮汐与港口水深”这一三角问题专门作为参考案例（在原来的教材中只是阅读材料），教材中有几处涉及到三角在物理学科中应用，如用函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义刻画简谐振动、交流电等，说明三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.显示出应当重视三角综合应用的意图.考点精析：考点1、 三角函数的最值三角函数的最值问题属常规的题型，三角函数解答题、客观题均可能出现，属中档题.【考例1】 (·湖北八校一联)已知函数Rxx f πsin3)(=图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆222R y x =+上，则)(x f 的最小正周期为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4解题思路：本题考查三角函数振幅,周期公式ωπ2=T ,利用数形结合分析可得 r 2的取值,采用排除法 .正确答案：由题意知)(x f 的周期r rT 22==ππ,)(x f 最大值是3 结合图形分析知>r 3732.12322,3>⨯≈>r 则,只有42=r 这一种可能,故选D.回顾与反思：本题考查对数函数及其三角函数的有关单调性,考查复合函数的单调性,考查学生分析问题解决问题的能力.知识链接：与三角最值相交汇的最常见的考查热点：其一是三角函数的图象和性质，尤其是三角函数的周期、最值、单调性、图象变换；其二是通过三角恒等变换进行化简求最值；其三是与向量、数列、二次函数等的综合问题；其四是利用正弦定理、余弦定理解决与测量、几何有关的实际问题．【考例2】(·辽宁文)已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈.求: (I) 函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； (II) 函数()f x 的单调增区间.解题思路：先化简为同角的一个三角函数值,再求其最值,最后应用整体思想求其单调区间.正确答案：(I) 解法一: 1cos 23(1cos 2)()sin 222x x f x x -+=++1sin 2cos 22)4x x x π=++=+∴当2242x k πππ+=+,即()8x k k Z ππ=+∈时, ()f x取得最大值2+函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{/,()}8x x R x k k Z ππ∈=+∈.解法二: 222()(sin cos )2sin cos 2cos f x x x x x x =+++22sin cos 12cos sin 2cos 22x x x x x =++=++2)4x π=++∴当2242x k πππ+=+,即()8x k k Z ππ=+∈时, ()f x取得最大值2+函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{/,()}8x x R x k k Z ππ∈=+∈.(II)解: ()2)4f x x π=+由题意得: 222()242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈即: 3()88k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 因此函数()f x 的单调增区间为3[,]()88k k k Z ππππ-+∈. 回顾与反思：通过对已知函数式分解、化简与整理，将所求问题转化为最基本的三角函数最值与单调性问题．这类问题主要考查恒等变换的基本技能和三角函数的基本性质．知识链接：确定三角函数的值域的原则是：当函数由解析式给出时，其值域由函数的定义域和对应法则唯一确定；当函数由实际问题给出时，其值域由实际问题的意义确定．一般情况下主要有两条途径．①将sinx 或cosx 用所求变量y 来表示，如sinx = )(y f ，再由|sinx|≤1得到一个关于y 的不等式|)(y f |≤1，从而求得y 的取值范围；②将y 用sinx 或cosx 来表示、或配方、或换元、或利用函数的单调性、或均值不等式等来确定y 的范围． 考点2、三角函数的综合应用三角函数是一类基本的、重要的函数，在数学、其他科学以及生产实践中有广泛的应用．突出三角函数的应用．近几年高考中以三角函数为背景的应用试题已形成了一个亮点．【考例1】(·潍坊模)下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表（时间近似到0.1（I ）以日期在365天中的位置序号x 为横坐标，白昼时间y 为纵坐标，在给定坐标系中画出这些数据的散点图；（Ⅱ）试选用一个．．．．形如t x A y ++=)sin(ϕω的函数来近似描述一年中白昼时间y 与日期位置序号x 之间的函数关系.[注：①求出所选用的函数关系式；②一年按365天计算] （Ⅲ）用（Ⅱ）中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时.解题思路：先画出散点图,再根据图象求解析式,根据解析式可以研究该实际问题. 正确答案：（I ）画散点图见下面.（Ⅱ）由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为 t x A y ++=)sin(ϕω，由图形知函数的最大值为19.4，最小值为5.4， 即max min 19.4, 5.4y y ==， 由19.4－5.4=14，得A=7； 由19.4+5.4=24.8，得t=12.4；又T=365，.3652πω=∴)14665,365161,730323,7332(730323,23652,172均可等于时当ππππϕπϕπϕπ----⋅-=∴=+=x x),3651.(4.12)7303233652sin(7*∈≤≤+-=∴N x x x y ππ（Ⅲ）,6573032336526.21)7303233652sin(9.15ππππππ<-<∴>->x x y 得由.232112,4323625365432312365≤≤∴+⨯⨯<<+x x ∴该地大约有121天（或122天）白昼时间大于15.9小时. 回顾与反思：课后可以适当的增加三角函数的应用举例和实习作业，涉及到测量与航海等实际问题，增加三角函数模型的简单应用.知识链接：在复习三角函数时重视学科之间的联系．可联系物理、生物、自然界中的周期现象（如单摆运动、波的传播、交流电），通过具体实例让考生体会三角函数是刻画周期现象的重要模型．【考例2】一半径为4m 的水轮如图所示, 水轮圆心O 距水面2m,已水轮每分钟转动 5圈,如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中 点P 0)开始计算时间.(1)将点P 距离水面的高度z(m)表示为 时间t(s)的函数;(2)点P 第一次到达最高点大约要多少时间?解题思路：本题可以利用物理背景(角速度)去求解,也可以利用数学模型从理论上求解.正确答案：解法一 (1)不妨设水轮沿逆时针方向旋转,如图2所示, 建立直角坐标系. 设角ϕ (0)2πϕ-<<是以O x 为始边,OP 0为终边的角.由OP 在ts 内所转过的角为52()606t t ππ⨯=,可知O x 为始边, OP 为终边的角为6t πϕ+,故P 点纵坐标为4sin()6t πϕ+,则4sin()26y t πϕ=++.当0t =时,0y =可得1sin 2ϕ=-.因为02πϕ-<<,所以6πϕ=-,故所求函数关系式为4sin()266y t ππ=-+. (2)令4sin()266y t ππ=-+=6,得sin()166t ππ-=. 取2,662t k k Z ππππ-=+∈, 解得t 的最小值为4.故点P 第一次到达最高点需要4s .解法二(1)不妨设水轮沿逆时针方向旋转.设sin()y A t B ωϕ=++,ϕ∈()22ππϕ-<< .∵水轮上点P 距离水平最大距离为6,最小距离为-2,∴426,4,22,A B A B A B +=+=⎧⇒==⎨-+=-⎩.又水轮每分钟转动5圈,得12秒钟转动一周,即得周期为12秒,得2126T ππωω==⇒=. ∴4sin()26y t πϕ=++.∵点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间. 即当时0t =时0y =, ∴4sin 20ϕ+=,可得1sin 2ϕ=-. 因为22ππϕ-<<,所以6πϕ=-,故所求函数关系式为4sin(266y t ππ=-+. (2)令4sin(266y t ππ=-+=6,得sin(166t ππ-=.取2,662t k k Z ππππ-=+∈, 解得t 的最小值为4.故点P 第一次到达最高点需要4s .回顾与反思：三角函数具有较强的渗透力，它可和其它的数学知识综合起来，特别是与向量、几何密切联系．注意三角与几何的综合试题，在几何中引入角度作为自变量建立函数模型或解析几何模型可使问题化难为易，从而获得简捷的解法.知识链接：实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多学科的知识才能解决它．因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题．创新探究：【探究1】心脏在跳动时,血压在增加或减小.血压的最大值,最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80 mm Hg 为标准值.设某人的血压满足函数式()11525sin160P t t π=+,其中()P t 为血压(mm Hg),t 为时间(min).,(Ⅰ)求函数()P t 的周期; (Ⅱ)此人每分钟心跳的次数;(Ⅲ)画出函数()P t 的草图; (Ⅳ)求出此人的血压在血压计上的读数,并与标准值比较.(健康成年人的收缩压和舒张压一般为120~140 mm Hg 和60~90 mm Hg)创新思路：在知识点交汇处命题是高考的一个热点，也是今后的发展方向．本题通过人体的收缩压和舒张压处理三角函数与其它知识的综合问题将是高考的命题趋势．解析: (Ⅰ) 2116080T ππ==; (Ⅱ) 180f T==(次); (Ⅲ)列表如下:(Ⅳ) 此人的收缩压和舒张压在血压计上的读数为140 mm Hg 和90 mm Hg .均高于相应的标准值.【探究2】海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐,一般的早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋.下面给出深的近似数值;(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4m,安全条例规定至少要有1.5m 的安全间隙(船底与海底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若船的吃水深度为4m,安全间隙为1.5m,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3m 的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?创新思路：(1)考察数据,可选用正弦函数,再利用待定系数法求解; (2)在涉及三角不等式时,可利用图象求解.（用《几何画板》演示港口水位变化情况）观察问题中给出的数据可以看出，港口的水（用《势用光滑曲线连接．从曲线的形状可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用形如sin()y A x h ωϕ=++的函数来刻画，其中x 是时间，y 是水深，根据数据可以具体确定A ，ω，ϕ，h 的值．在得到函数解析式以后，我们计算出每一个整点时水深的近似值，或计算出水深为某个解析: (1)可设所求函数为()sin f x A x k ω=+,由已知数据求得2.5,5A k ==,26T ππω==, 故() 2.5sin 56f x x π=+. 在整点时的水深为: 1:00, 5:00,13:00,17:00,为 6.3m; 2:00,4:00,14:00,16:00为7.2m; 7:00,11:00,19:00,23:00为3.7m; 8:00,10:00,20:00,22:00为2.8m. (2)由2.5sin5 5.56x π+≥,得sin0.26x π≥,画出 2.5sin6y x π=的图象(如图所示),由图象可得0.4 5.6x ≤≤或12.417.6x ≤≤.故该船在0:24至5:36和12:24至17:36期间可以进港,在港口能呆5.2h.(3)若224x ≤≤,x 时刻的吃水深度为()40.3(2)h x x =--, 由()() 1.5f x h x ≥+,得sin 0.440.126x x π≥-. 画出sin6y x π=和0.440.12y x =-的图象(如图所示),由图象可知,当 6.7x =时,即6:42时,该船必颀停止卸货,驶向较深的水域.方法归纳：1. 三角函数最值问题是历年高考重点考查的知识点之一，它不仅与三角自身的常见基础知识如三角函数概念、图象和性质，诱导公式，两角和与差的三角公式等密切相关，而且它与代数中的二次函数、一元二次方程、不等式及一些几何知识等也有结合，这是函数思想的具体体现，有时实际问题中亦有广泛应用．这类考题综合性较强，解法灵活，对能力要求较高．2.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．我们可以利用收集到的数据作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行函数拟合而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．过关必练： 一、选择题:1. (·潍坊一模)函数y=x-sinx, x ∈[2π,π]的最大值是( ) A ．π-1 B.2π-1 C. π D. π+1 2. (·长沙模)若函数()sin cos (0)f x x a x ωωω=+>的图象关于点(,0)3M π对称，且在6x π=处函数有最小值，则a ω+的一个可能的取值是Ａ．0 Ｂ．3 Ｃ．6 Ｄ．9 3. (·黄冈期末)若圆x 2+y 2=r 2(r>0)至少能盖住函数rxx f 2sin30)(π=的一个最大值点和一个最小值点，则r 的取值范围是A ．),30[+∞B ．),6[+∞C ．),2[+∞πD ．以上都不对4. (·天津理8文9)已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是（ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 5. (·连云港市一模)若函数)0)(sin(>+=ϕϕωx y 的最小正周期为4，且当x =2时y 取得最小值，则ϕ的一个可能值是A ．4πB ．3π Ｃ．2π D ．π二、填空题:6. (·湖南文)8．设点P 是函数()sin f x x ω=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值4π，则)(x f 的最小正周期是 . 7. (·惠州市调研)函数),52sin(2)(ππ+=x x f 若对任意R x ∈，都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则||21x x -的最小值为 .8. 若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示．试写出该函数的解析式9. 弹簧振子的振动是简谐运动.下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的时间t 与位移y 之间的对应数据,试根据这些数据求出这个振子的振动函数解析式 .10. 若方程sin x -sin 2x -a =0，当]2,0[∈x 时有解，求a 的范围 .三、 解答题:11. 如图所示，某地一天从6时至14时 的温度变化曲线近似满足函数sin()y A x b ωϕ=++.（Ⅰ）求这段时间的最大温差； （Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式. (Ⅲ) 如果一天24小时内的温度均近似符合该函数关系式,求一天中温度不小于250C 的时间有多长?12. (·黄冈3月模)已知函数2()2sin 2sin cos ()f x a x x x a a =+-为常数的图象过点)3,0(-.（1）求函数)(x f 的值域；（2）若函数)(x f y =的图象按向量)0,(m =作长度最短的平移后，其图象关于y 轴对称，求向量的坐标。
【2019版课标版】高考数学文科精品课件§4.3 三角函数的最值与综合应用
§4.3 三角函数的最值与综合应用考纲解读分析解读 1.求三角函数最值时,一般要进行一些代数变换和三角变换,要注意函数有意义的条件及正、余弦函数的有界性.2.借助辅助角公式将函数y=asin ωx+bcos ωx 化为y= sin(ωx+φ)的形式,求最值是高考热点.3.本节在高考中分值为5分或12分,属于中低档题.五年高考考点一 三角函数的最值1.(2016课标全国Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在单调,则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5答案 B2.(2015陕西,3,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )A.5B.6C.8D.10答案 C3.(2017课标全国Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin 2x+ cos x-的最大值是 . 答案 14.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,- ),x [0,π]. (1)若a ∥b,求x 的值;(2)记f(x)=a ·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x 的值. 解析 (1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,- ),a ∥b, 所以- cos x=3sin x.若cos x=0,则sin x=0,与sin 2x+cos 2x=1矛盾,故cos x ≠0. 于是tan x=-.又x [0,π],所以x=.(2)f(x)=a ·b=(cos x,sin x)·(3,- )=3cos x- sin x=2 cos .因为x[0,π],所以x+,从而-1≤cos≤.于是,当x+=,即x=0时,f(x)取到最大值3;当x+=π,即x=时,f(x)取到最小值-2.教师用书专用(5—8)5.(2015天津,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2-,x R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间-上的最大值和最小值.解析(1)由已知,有f(x)=----=-cos2x=sin2x-cos2x=sin-.所以,f(x)的最小正周期T==π.(2)因为f(x)在区间--上是减函数,在区间-上是增函数,f-=-,f-=-,f=.所以,f(x)在区间-上的最大值为,最小值为-.6.(2015北京,15,13分)已知函数f(x)=sin cos-sin2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值.解析(1)因为f(x)=sin x-(1-cos x)=sin-,所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为-π≤x≤0,所以-≤x+≤.当x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值.所以f(x)在区间[-π,0]上的最小值为f-=-1-.7.(2013辽宁,17,12分)设向量a=(sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x.(1)若|a|=|b|,求x的值;(2)设函数f(x)=a·b,求f(x)的最大值.解析(1)由|a|2=(x)2+(sin x)2=4sin2x,|b|2=(cos x)2+(sin x)2=1及|a|=|b|,得4sin2x=1.又x,从而sin x=,所以x=.(6分)(2)f(x)=a·b=sin x·cos x+sin2x=sin2x-cos2x+=sin-+,当x=时,sin-取最大值1.所以f(x)的最大值为.(12分)8.(2013陕西,16,12分)已知向量a=-,b=(sin x,cos2x),x R,设函数f(x)=a·b.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在上的最大值和最小值.解析f(x)=-·(sin x,cos2x)=cos xsin x-cos2x=sin2x-cos2x=cos sin2x-sin cos2x=sin-.(1)f(x)的最小正周期为T===π,即函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x≤,∴-≤2x-≤.由正弦函数的性质,当2x-=,即x=时,f(x)取得最大值1.当2x-=-,即x=0时,f(0)=-,当2x-=π,即x=时,f=,∴f(x)的最小值为-.因此,f(x)在上的最大值是1,最小值是-.考点二三角函数的图象和性质的综合应用1.(2015安徽,10,5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是()A.f(2)<f(-2)<f(0)B.f(0)<f(2)<f(-2)C.f(-2)<f(0)<f(2)D.f(2)<f(0)<f(-2)答案A2.(2014安徽,11,5分)若将函数f(x)=sin的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是.答案解析根据题意设g(x)=f(x-φ)=sin-,则g(x)的图象关于y轴对称,∴g(0)=±1,即sin-=±1,∴-2φ+=kπ+(k Z),∴φ=--(k Z).∴当k=-1时,φ的最小正值为.3.(2014四川,16,12分)已知函数f(x)=sin.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,f=cos cos2α,求cosα-sinα的值.解析(1)因为函数y=sin x的单调递增区间为-,k Z.由-+2kπ≤3x+≤+2kπ,k Z,得-+≤x≤+,k Z.所以,函数f(x)的单调递增区间为-,k Z.(2)由已知,有sin=cos(cos2α-sin2α),所以sinαcos+cosαsin=-(cos2α-sin2α).即sinα+cosα=(cosα-sinα)2(sinα+cosα).当sinα+cosα=0时,由α是第二象限角,知α=+2kπ,k Z.此时,cosα-sinα=-.当sinα+cosα≠0时,有(cosα-sinα)2=.由α是第二象限角,知cosα-sinα<0,此时cosα-sinα=-.综上所述,cosα-sinα=-或-.教师用书专用(4—8)4.(2013江西,10,5分)如图,半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1,l2之间,l∥l1,l与半圆相交于F,G两点,与三角形ABC两边相交于E,D两点.设弧的长为x(0<x<π),y=EB+BC+CD,若l从l1平行移动到l2,则函数y=f(x)的图象大致是()答案D5.(2015福建,19,13分)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos x的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)内有两个不同的解α,β.(i)求实数m的取值范围;(ii)证明:cos(α-β)=-1.解析(1)将g(x)=cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cos x的图象,再将y=2cos x的图象向右平移个单位长度后得到y=2cos-的图象,故f(x)=2sin x.从而函数f(x)=2sin x图象的对称轴方程为x=kπ+(k Z).(2)(i)f(x)+g(x)=2sin x+cos x==sin(x+φ)其中.依题意知,sin(x+φ)=在[0,2π)内有两个不同的解α,β,当且仅当<1,故m的取值范围是(-,).(ii)证法一:因为α,β是方程sin(x+φ)=m在[0,2π)内的两个不同的解,所以sin(α+φ)=,sin(β+φ)=.当1≤m<时,α+β=2-,即α-β=π-2(β+φ);当-<m<1时,α+β=2-,即α-β=3π-2(β+φ),所以cos(α-β)=-cos[2(β+φ)]=2sin2(β+φ)-1=2-1=-1.证法二:因为α,β是方程sin(x+φ)=m在[0,2π)内的两个不同的解,所以sin(α+φ)=,sin(β+φ)=.当1≤m<时,α+β=2-,即α+φ=π-(β+φ);当-<m<1时,α+β=2-,即α+φ=3π-(β+φ).所以cos(α+φ)=-cos(β+φ).于是cos(α-β)=cos[(α+φ)-(β+φ)]=cos(α+φ)cos(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)=-cos2(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)=--+=-1.6.(2014湖北,17,11分)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-cos t-sin t,t[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差;(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?解析(1)f(t)=10-2=10-2sin,因为0≤t<24,所以≤t+<,-1≤sin≤1.于是f(t)在[0,24)上的最大值为12,最小值为8.故实验室这一天最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃.(2)依题意知,当f(t)>11时,实验室需要降温.由(1)得f(t)=10-2sin,故有10-2sin>11,即sin<-.又0≤t<24,因此<t+<,即10<t<18.故在10时至18时实验室需要降温.7.(2013天津,15,13分)已知函数f(x)=-+6sin xcos x-2cos2x+1,x R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.解析(1)f(x)=-sin2x·cos-cos2x·sin+3sin2x-cos2x=2sin2x-2cos2x=2sin-.所以f(x)的最小正周期T==π.(2)易知f(x)在区间上是增函数,在区间上是减函数.又f(0)=-2,f=2,f=2,故函数f(x)在区间上的最大值为2,最小值为-2.8.(2013湖南,17,12分)已知函数f(x)=sin-+cos-,g(x)=2sin2.(1)若α是第一象限角,且f(α)=,求g(α)的值;(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合.解析f(x)=sin-+cos-=sin x-cos x+cos x+sin x=x,g(x)=2sin2=1-cos x.(1)由f(α)=得sinα=.又α是第一象限角,所以cosα>0.从而g(α)=1-cosα=1--=1-=.(2)f(x)≥g(x)等价于x≥1-cos x,即x+cos x≥1.于是sin≥.从而2kπ+≤x+≤2kπ+,k Z,即2kπ≤x≤2kπ+,k Z.故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为x2kπ≤x≤2kπ+,k Z.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一三角函数的最值1.(2018云南玉溪模拟,6)当-≤x≤时,函数f(x)=sin(2π+x)+cos(2π-x)-sin的最大值和最小值分别是()A.,-B.,C.,-D.,-答案A2.(2017广东惠州第三次调研,8)函数y=cos2x+2sin x的最大值为()A. B.1 C. D.2答案C3.(2016河北衡水中学二调,15)函数y=sin x-cos x-sin xcos x的最大值为.答案+解析令sin x-cos x=t[-,],则t2=1-2sin xcos x,∴函数y=t--=t2+t-=(t+1)2-1,故当t=时,函数y取得最大值+.考点二三角函数的图象和性质的综合应用4.(2018广东五校联考,8)将曲线C1:y=sin-上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2:y=g(x),则g(x)在[-π,0]上的单调递增区间是()A.--B.--C.-D.--答案B5.(2017河南焦作二模,5)将函数y=cos图象上的点P向右平移m(m>0)个单位长度后得到点P',若P'在函数y=cos2x的图象上,则()A.t=-,m的最小值为B.t=-,m的最小值为C.t=-,m的最小值为D.t=-,m的最小值为答案D6.(2017广东海珠上学期高三综合测试(一),12)已知函数f(x)=|cos x|sin x,给出下列四个说法:①函数f(x)的周期为π;②若|f(x1)|=|f(x2)|,则x1=x2+kπ,k Z;③f(x)在区间-上单调递增;④f(x)的图象关于点-中心对称.其中正确说法的个数是()A.3B.2C.1D.0答案CB组2016—2018年模拟·提升题组(满分:55分时间:50分钟)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018辽宁庄河高级中学、沈阳第二十中学第一次联考,6)已知函数f(x)=asin x+cos x(a为常数,x R)的图象关于直线x=对称,则函数g(x)=sinx+acos x的图象()A.关于点对称B.关于点对称C.关于直线x=对称D.关于直线x=对称答案C2.(2018河南洛阳尖子生第一次联考,11)已知函数f(x)=sin(sin x)+cos(sin x),x R,则下列说法正确的是()A.函数f(x)是周期函数,且最小正周期为πB.函数f(x)是奇函数C.函数f(x)在区间上的值域为[1,]D.函数f(x)在上是增函数答案C3.(2017江西抚州七校联考,9)将函数f(x)=2sin的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数g(x)的图象.若g(x1)g(x2)=9,且x1,x2[-2π,2π],则2x1-x2的最大值为()A. B. C. D.答案A4.(2016河南南阳期中,6)如图所示,M,N是函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)的图象与x轴的交点,点P在M,N之间的函数图象上运动,若当△MPN面积最大时,·=0,则ω=()A. B. C. D.8答案A5.(人教A必4,一,1-6,例2,变式)函数f(x)=|sin x|+2|cos x|的值域为()A.[1,]B.[1,2]C.[2,]D.[,3]答案A二、填空题(共5分)6.(2018江苏盐城期中,10)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)其中A,ω,φ为常数且A>0,ω>0,-<φ<,f(x)的部分图象如图所示,若f(α)=,则f的值为.答案三、解答题(共25分)7.(2018湖北荆州一模,17)已知函数f(x)=2sin xcos x+2sin2x.(1)若f(x)=0,x-,求x的值;(2)将函数f(x)的图象先向左平移个单位,再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,若函数y=h(x)与y=g(x)的图象关于直线x=对称,求函数h(x)在-上的值域.解析f(x)=2sin xcos x+2sin2x=sin2x+1-cos2x=2sin-+1.(1)由f(x)=0,得2sin-+1=0,∴sin-=-.∴2x-=-+2kπ或2x-=-+2kπ,k Z,∴x=kπ或x=-+kπ,k Z,又∵x-,∴x=0或-或.(2)将函数f(x)的图象先向左平移个单位,可得函数图象的解析式为y=2sin-+1=2sin+1=2cos2x+1,再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数图象的解析式为g(x)=2cos x+1.∵函数y=h(x)与y=g(x)的图象关于直线x=对称,∴h(x)=g-=2sin x+1.∵x-,∴sin x-.故函数h(x)的值域为(0,3].8.(2017湖北百所重点校高三联考,20)已知函数f(x)=sin--2sin-cos.(1)求函数f(x)的最小正周期T和单调递增区间;(2)若x,且F(x)=-4λf(x)-cos-的最小值是-,求实数λ的值.解析(1)∵f(x)=sin--2sin-cos=cos2x+sin2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x)=cos2x+sin2x+sin2x-cos2x=cos2x+sin2x-cos 2x=sin-,∴T==π.由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k Z)得kπ-≤x≤kπ+(k Z),∴函数f(x)的单调递增区间为-(k Z).(2)F(x)=-4λf(x)-cos-=-4λsin----=2sin2--4λsin--1=2---1-2λ2.∵x,∴0≤2x-≤,∴0≤sin-≤1.①当λ<0时,当且仅当sin-=0时,F(x)取得最小值-1,与已知矛盾,舍去;②当0≤λ≤1时,当且仅当sin-=λ时,F(x)取得最小值-1-2λ2,由已知得-1-2λ2=-,解得λ=(负值舍去);③当λ>1时,当且仅当sin-=1时,F(x)取得最小值1-4λ,由已知得1-4λ=-,解得λ=,这与λ>1相矛盾.综上所述,λ=.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1求三角函数最值的方法1.(2017江西赣中南五校二模,6)已知f(x)=sin+cos-的最大值为A,若存在实数x1,x2使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则A|x1-x2|的最小值为()A. B.C. D.答案B2.(2017广西南宁二中、柳州高中、玉林高中联考,15)设当x=θ时,函数f(x)=2sin x-cos x取得最大值,则cosθ=.答案-方法2三角函数的图象和性质的综合应用3.(2017河南新乡二模,9)设函数f(x)=sin2x+x0,,若方程f(x)=a恰好有三个根,分别为x1,x2,x3(x1<x2<x3),则x1+x2+x3的取值范围是()A. B.C. D.答案B4.(2017安徽“江淮十校”第一次联考,15)设函数f(x)=sin(ωx+φ),其中|φ|<.若f-≤f(x)≤f对任意x R恒成立,则正数ω的最小值为,此时φ=.答案2;-。
2019版高考数学文科一轮复习：4.4 三角函数的最值与综合应用
§4.4 三角函数的最值与综合应用
遇上你是缘分，愿您生活愉
2019/9/13
快，身体健康，学业有成，
1
五年高考
A组 自主命题·北京卷题组
考点 三角函数的最值
1.(2018北京,16,13分)已知函数f(x)=sin2x+ 3 sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间 0, 2
上的最大值和最小值.
解析
(1)因为f(x)=sin2x+cos2x+2sin
xcos
x+cos
2x=1+sin
2x+cos
2x= 2
sin 2x
4
+1,
所以函数f(x)的最小正周期T= 2 =π.
2
(2)由(1)知,
f(x)= 2
2
(1)求f(x)的最小正周期和最小值;
(2)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象.
当x∈ 2 ,
时,求g(x)的值域.
解析 (1)f(x)= 1 sin 2x- 3 cos2x
2
= 1 sin 2x- 3 (1+cos 2x)
2
4
3.(2015北京,15,13分,0.73)已知函数f(x)=sin x-2 3 ·sin2 x .
2
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间 0, 23
上的最小值.
解析 (1)因为f(x)=sin x+ 3 cos x- 3
=2sin
2019版高考数学一轮总复习：第四章三角函数题组训练27
题组训练27 专题研究1 三角函数的值域与最值1．(2018²安徽马鞍山一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则c ＝( ) A.12 B ．1 C.3 D ．2答案 B解析 ∵a＝3，b ＝2，A ＝60°，∴由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，得3＝4＋c 2－2³2³c³12，整理得c 2－2c ＋1＝0，解得c ＝1.故选B.2．(2018²山西五校联考)在△ABC 中，a ＝3b ，A ＝120°，则角B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°答案 A解析 由正弦定理a sinA ＝b sinB 得3b 32＝b sinB，解得sinB ＝12.因为A ＝120°，所以B ＝30°.故选A.3．(2018²陕西西安一中期中)在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sinBsinC ，则A 的取值范围是( ) A ．(0，π6]B ．[π6，π)C ．(0，π3]D ．[π3，π)答案 C解析 ∵sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sinBsinC ，由正弦定理，得a 2≤b 2＋c 2－bc ，∴bc ≤b 2＋c 2－a 2.∴cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥12，∴A ≤π3.∵A>0，∴A 的取值范围是(0，π3]．故选C.4．(2018²广东惠州三调)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A.3＋1B.3－1 C ．4 D ．2答案 A解析 由正弦定理b sinB ＝c sinC ，得sinB ＝bsinC c ＝12.又c>b ，且B∈(0，π)，所以B ＝π6，所以A ＝7π12，所以S ＝12bcsinA ＝12³2³22sin 7π12＝12³2³2³6＋24＝3＋1.故选A.5．(2018²东北八校联考)已知△ABC 三边a ，b ，c 上的高分别为12，22，1，则cosA ＝( )A.32 B ．－22 C ．－24D ．－34答案 C解析 设△ABC 的面积为S ，则a ＝4S ，B ＝22S ，c ＝2S ，因此cosA ＝（22）2＋22－422³22³2＝－24.故选C. 6．(2016²山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sinA)．则A ＝( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6答案 C解析 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝2b 2－2b 2cosA ，所以2b 2(1－sinA)＝2b 2(1－cosA)，所以sinA ＝cosA ，即tanA ＝1，又0<A<π，所以A ＝π4.7．(2014²江西，文)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A 的值为( ) A ．－19B.13 C ．1 D.72答案 D解析 由正弦定理可得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2(sinB sinA )2－1＝2(b a )2－1，因为3a ＝2b ，所以b a ＝32，所以2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2³(32)2－1＝72. 8．(2018²安徽合肥检测)在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b)(sinA ＋sinB)＝(c －b)sinC.若a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是( ) A ．(3，6] B ．(3，5) C ．(5，6] D ．[5，6]答案 C解析 ∵(a－b)(sinA ＋sinB)＝(c －b)sinC ，∴由正弦定理得(a －b)(a ＋b)＝(c －b)c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝π3，∴B ＋C ＝2π3.又△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<B<π2，A ＋B ＝π3＋B>π2，解得π6<B<π2.由正弦定理a sinA ＝b sinB ＝c sinC ＝332＝2，得b ＝2sinB ，c ＝2sinC ，∴b 2＋c 2＝4(sin 2B ＋sin 2C)＝4[sin 2B ＋sin 2(2π3－B)]＝4－2cos(2B ＋π3)．又π6<B<π2，∴2π3<2B ＋π3<4π3，可得b 2＋c 2∈(5，6]．故选C.9．在△ABC 中，若AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为________． 答案34或32解析 如图所示，由正弦定理，得 sinC ＝c²sinB b ＝32.而c>b ，∴C ＝60°或C ＝120°. ∴A ＝90°或A ＝30°. ∴S △ABC ＝12bcsinA ＝32或34.10．(2018²河南信阳调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，S ＝34(a 2＋b 2－c 2)，则C 的大小为________． 答案π3解析 ∵△ABC 的面积为S ＝12absinC ，∴由S ＝34(a 2＋b 2－c 2)，得34(a 2＋b 2－c 2)＝12absinC ，即absinC ＝32(a 2＋b 2－c 2)．根据余弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝2abcosC ，∴absinC ＝32³2abcosC ，得sinC ＝3cosC ，即tanC ＝sinC cosC＝ 3. ∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.11．(2017²甘肃定西统考)在△ABC 中，若a 2b 2＝tanAtanB ，则△ABC 的形状为________．答案 等腰三角形或直角三角形解析 由正弦定理，得sin 2A sin 2B ＝tanA tanB ，即sin 2A sin 2B ＝sinA cosA ²cosBsinB .∵sinA>0，sinB>0，∴sinAcosA＝sinBcosB ，即sin2A ＝sin2B.∴2A ＝2k π＋2B 或2A ＝2k π＋π－2B(k∈Z )．∵0<A<π，0<B<π，∴k ＝0，则A ＝B 或A ＝π2－B.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．12．(2018²河北唐山一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且A －C ＝90°，则cosB ＝________． 答案 34解析 ∵a，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c. ∴2sinB ＝sinA ＋sinC.∵A －C ＝90°，∴2sinB ＝sin(90°＋C)＋sinC. ∴2sinB ＝cosC ＋sinC. ∴2sinB ＝2sin(C ＋45°)．①∵A ＋B ＋C ＝180°且A －C ＝90°，∴C ＝45°－B 2，代入①式中，2sinB ＝2sin(90°－B2)．∴2sinB ＝2cos B2.∴4sin B 2cos B 2＝2cos B 2.∴sin B 2＝24.∴cosB ＝1－2sin 2B2＝1－14＝34.13．(2018²广东揭阳一模)在△ABC 中，∠B ＝π6，AC ＝1，点D 在边AB 上，且DA ＝DC ，BD＝1，则∠DCA＝________．答案π3或π9解析 如图，过点C 作CE⊥AB 于E.设∠A＝∠ACD＝θ，则∠CDB ＝2θ.在Rt △AEC 中，CE ＝sin θ，则在Rt △CED 中，DE ＝－CE tan2θ＝－sin θtan2θ.在Rt △CEB 中，BE ＝CE tanπ6＝3sin θ.由BD ＝1，得sin θtan2θ＋3sin θ＝1⇒sin θcos2θ＋3sin θsin2θ＝sin2θ⇒cos2θ＋3sin2θ＝2cos θ⇒cos θ＝cos(2θ－π3)⇒2θ－π3＝±θ⇒θ＝π3或π9.14．(2017²北京，理)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a.(1)求sinC 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积． 答案 (1)3314 (2)6 3解析 (1)根据正弦定理：a sinA ＝c sinC ⇒sinC ＝csinA a ＝37³sin60°＝37³32＝3314. (2)当a ＝7时，c ＝37a ＝3<a ，又sinC ＝3314，∴cosC ＝1－sin 2C ＝1314.在△ABC 中，sinB ＝sin[π－(A ＋C)]＝sin(A ＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC ＝32³1314＋12³3314＝437， ∴S △ABC ＝12ac ³sinB ＝12³7³3³437＝6 3.15．(2018²河南豫南九校质量考评)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2－c 2a 2＋c 2－b 2＝2sinA －sinCsinC ，且b ＝4. (1)求角B ；(2)求△ABC 面积的最大值． 答案 (1)π3(2)4 3解析 (1)根据题意，由余弦定理得2abcosC 2accosB ＝2sinA －sinC sinC ，再由正弦定理得sinBcosCsinCcosB＝2sinA －sinCsinC ，整理得sinBcosC ＝2sinAcosB －cosBsinC ，∴sinBcosC ＋cosBsinC ＝2sinAcosB.即sin(B ＋C)＝2sinAcosB ，又sin(B ＋C)＝sinA ≠0， ∴cosB ＝12.∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)由b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，得16＝a 2＋c 2－ac≥2ac－ac ， ∴ac ≤16，当且仅当a ＝c ＝4时取等号．则△ABC 的面积S ＝12acsinB ≤12³16³sin π3＝43，即△ABC 面积的最大值为4 3.16．(2017²课标全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C)＝8sin 2B2.(1)求cosB ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b. 答案 (1)1517(2)2解析 (1)依题意，得sinB ＝8sin 2B 2＝8²1－cosB 2＝4(1－cosB)．∵sin 2B ＋cos 2B ＝1，∴16(1－cosB)2＋cos 2B ＝1，∴(17cosB －15)(cosB －1)＝0，∴cosB ＝1517.(2)由(1)可知sinB ＝817.∵S △ABC ＝2，∴12ac ²sinB ＝2，∴12ac ²817＝2，∴ac ＝172. ∵cosB ＝1517，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝1517，∴a 2＋c 2－b 2＝15，∴(a ＋c)2－2ac －b 2＝15， ∴36－17－b 2＝15，∴b ＝2.17．(2018²福建高中毕业班质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2bcosC －c ＝2a. (1)求B 的大小；(2)若a ＝3，且AC 边上的中线长为192，求c 的值． 答案 (1)2π3 (2)5解析 (1)∵2b cosC －c ＝2a ，∴由余弦定理得2b²a 2＋b 2－c22ab－c ＝2a ，化简得a 2＋c 2－b 2＝－ac ，∴cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12.∵B ∈(0，π)，∴B ＝2π3.(2)由(1)可得b 2＝a 2＋c 2＋ac ＝c 2＋3c ＋9.① 又cosC ＝a 2＋b 2－c22ab，②取AC 的中点D ，连接BD ，在△CBD 中，cosC ＝BC 2＋CD 2－BD22BC ²CD ＝a 2＋b 24－194ab，③由②③得2c 2－b 2＝1.④由①④得c 2－3c －10＝0，解得c ＝5或c ＝－2(舍去)，∴c ＝5.18．(2018²衡水中学调研卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sinBcosA ＝sinAcosC ＋cosAsinC. (1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长． 答案 (1)π3 (2)72解析 (1)方法一：由题设知，2sinBcosA ＝sin(A ＋C)＝sinB ，因为sinB ≠0，所以cosA ＝12.由于0<A<π，故A ＝π3.方法二：由题设可知，2b ²b 2＋c 2－a 22bc ＝a²a 2＋b 2－c 22ab ＋c ²b 2＋c 2－a 22bc ，于是b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.由于0<A<π，故A ＝π3.(2)方法一：因为AD →2＝(AB →＋AC →2)2＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →²AC →)＝14(1＋4＋2³1³2³cos π3)＝74，所以|AD →|＝72，从而AD ＝72.方法二：因为a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝4＋1－2³2³1³12＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1，所以AD ＝1＋34＝72.(第二次作业)1．(2015²广东，文)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a ＝2，c ＝23，cosA ＝32且b<c ，则b ＝( ) A ．3 B ．2 2 C ．2 D. 3答案 C解析 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，即4＝b 2＋12－6b ⇒b 2－6b ＋8＝0⇒(b －2)(b －4)＝0，由b<c ，得b ＝2.2．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32B.332 C.3＋62D.3＋394答案 B解析 由余弦定理，得(7)2＝22＋AB 2－2³2AB cos60°，即AB 2－2AB －3＝0，得AB ＝3.故BC 边上的高是ABsin60°＝332.选B. 3．(2018²北京西城期末)已知△ABC 中，a ＝1，b ＝2，B ＝45°，则A 等于( ) A ．150° B ．90° C ．60° D ．30°答案 D解析 由正弦定理，得1sinA ＝2sin45°，得sinA ＝12.又a<b ，∴A<B ＝45°.∴A ＝30°，故选D.4．(2018²安徽合肥模拟)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( )A.32B. 3 C ．2 3 D ．2答案 B解析 因为S ＝12AB ²ACsinA ＝12³2³32AC ＝32，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB²AC cos60°＝3. 所以BC ＝ 3.5．在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a 3＋b 3＝c 3，那么△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．以上均有可能答案 A解析 由题意可知c>a ，c>b ，即角C 最大，所以a 3＋b 3＝a²a 2＋b²b 2<ca 2＋cb 2，即c 3<ca 2＋cb 2，所以c 2<a 2＋b 2.根据余弦定理，得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab >0，则0<C<π2，即三角形为锐角三角形．6．(2018²上海杨浦质量调研)设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的边长分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( ) A ．(2，3) B ．(1，3) C ．(2，2) D ．(0，2)答案 A解析 由a sinA ＝b sinB ＝bsin2A ，得b ＝2cosA.π2<A ＋B ＝3A<π，从而π6<A<π3.又2A<π2， 所以A<π4，所以π6<A<π4，22<cosA<32，所以2<b< 3.7．(2016²北京)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________．答案 1解析 ∵a＝3c ，∴sin ∠A ＝3sin ∠C ，∵∠A ＝2π3，∴sin ∠A ＝32，∴sin ∠C ＝12，又∠C 必为锐角，∴∠C ＝π6，∵∠A ＋∠B＋∠C＝π，∴∠B ＝π6，∴∠B ＝∠C，∴b ＝c ，∴bc ＝1.8．已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c.若a ＝1，2cosC ＋c ＝2b ，则△ABC周长取值范围是________． 答案 (2，3]解析 在△ABC 中，由余弦定理可得2cosC ＝a 2＋b 2－c 2ab ，∵a ＝1，2cosC ＋c ＝2b ，∴1＋b 2－c2b＋c ＝2b ，化简可得(b ＋c)2－1＝3bc.∵bc≤(b ＋c 2)2，∴(b ＋c)2－1≤3³(b ＋c 2)2，解得b ＋c≤2(当且仅当b ＝c 时，取等号)．故a ＋b ＋c≤3.再由任意两边之和大于第三边可得b ＋c>a ＝1，故有a ＋b ＋c>2，所以△ABC 的周长的取值范围是(2，3]．9．(2015²广东，理)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a ＝3，sinB ＝12，C ＝π6，则b ＝________．答案 1解析 由sinB ＝12得B ＝π6或5π6，因为C ＝π6，所以B≠5π6，所以B ＝π6，于是A ＝2π3.由正弦定理，得3sin2π3＝b12，所以b ＝1.10．(2018²湖北黄冈中学、黄石二中、鄂州高中三校联考)已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(sinB ，1－cosB)与向量n ＝(2，0)的夹角θ的余弦值为12.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的取值范围． 答案 (1)23π (2)(3，2]解析 (1)∵m ＝(sinB ，1－cosB)，n ＝(2，0)，∴m ²n ＝2sinB ， |m |＝sin 2B ＋（1－cosB ）2＝2－2cosB ＝2|sin B 2|.∵0<B<π，∴0<B 2<π2.∴sin B2>0.∴|m |＝2sin B2.又∵|n |＝2，∴cos θ＝m ²n |m |²|n |＝2sinB 4sinB 2＝cos B 2＝12.∴B 2＝π3，∴B ＝23π.(2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2accos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c)2－ac≥(a＋c)2－(a ＋c 2)2＝34(a ＋c)2，当且仅当a ＝c 时，取等号．∴(a＋c)2≤4，即a ＋c≤2. 又a ＋c>b ＝3，∴a ＋c∈(3，2]．11.如图所示，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17. (1)求sin ∠BAD ；(2)求BD ，AC 的长．答案 (1)3314(2)BD ＝3，AC ＝7 解析 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17， 所以sin ∠ADC ＝437. 所以sin ∠BAD ＝sin (∠ADC－∠B)＝sin ∠ADCcosB －cos ∠ADCsinB ＝437³12－17³32＝3314. (2)在△AB D 中，由正弦定理，得BD ＝AB²sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8³3314437＝3. 在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB²BC²cosB＝82＋52－2³8³5³12＝49. 所以AC ＝7.12.如图，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝22，点M 在线段PQ上．(1)若OM ＝5，求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上，且∠MON＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．答案 (1)MP ＝1或MP ＝3 (2)∠POM＝30°时，△OMN 面积最小值为8－4 3解析 (1)在△OMP 中，∠OPM ＝45°，OM ＝5，OP ＝22，由余弦定理得，OM 2＝OP 2＋MP 2－2³OP³MP³cos45°，得MP 2－4MP ＋3＝0，解得MP ＝1或MP ＝3.(2)设∠POM＝α，0°≤α≤60°，在△OMP 中，由正弦定理，得OM sin ∠OPM ＝OP sin ∠OMP ， ∴OM ＝OPsin45°sin （45°＋α），同理ON ＝OPsin45°sin （75°＋α）. 故S △OMN ＝12³OM ³ON ³sin ∠MON ＝14³OP 2sin 245°sin （45°＋α）sin （75°＋α）＝1sin （45°＋α）sin （45°＋α＋30°） ＝1sin （45°＋α）[32sin （45°＋α）＋12cos （45°＋α）] ＝132sin 2（45°＋α）＋12sin （45°＋α）cos （45°＋α） ＝134[1－cos （90°＋2α）]＋14sin （90°＋2α） ＝134＋34sin2α＋14cos2α ＝134＋12sin （2α＋30°）. ∵0°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°，∴当α＝30°时，sin(2α＋30°)的最大值为1，此时△OMN 的面积取到最小值，即∠POM ＝30°时，△OMN 的面积的最小值为8－4 3.13．(2017²课标全国Ⅲ，理)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinA ＋3cosA ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD⊥AC，求△ABD 的面积．答案 (1)4 (2) 3解析 (1)由已知可得tanA ＝－3，所以A ＝2π3. 在△ABC 中，由余弦定理得28＝4＋c 2－4ccos 2π3，即c 2＋2c －24＝0.解得c ＝－6(舍去)，c ＝4.(2)由题设可得∠CAD＝π2，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π6.故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB²AD²sin π612AC ²AD ＝1.又△ABC 的面积为12³4³2sin ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为3.14．(2017²山东，文)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝3，AB →²AC→＝－6，S △ABC ＝3，求A 和a.答案 3π4；29 解析 因为AB →²AC →＝－6，所以bccosA ＝－6，又S △ABC ＝3，所以bcsinA ＝6，因此tanA ＝－1，又0<A<π，所以A ＝3π4.又b ＝3，所以c ＝2 2. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，得a 2＝9＋8－2³3³22³(－22)＝29， 所以a ＝29.15．(2017²天津，文)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知asinA ＝4bsinB ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)．(1)求cosA 的值；(2)求sin(2B －A)的值．答案 (1)－55 (2)－255 解析 (1)由asinA ＝4bsinB ，及a sinA ＝b sinB，得a ＝2b.由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)，及余弦定理，得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－55ac ac ＝－55.(2)由(1)，可得sinA ＝255，代入asinA ＝4bsinB ，得sinB ＝asinA 4b ＝55.由(1)知，A 为钝角，所以cosB ＝1－sin 2B ＝255.于是sin2B ＝2sinBcosB ＝45，cos2B ＝1－2sin 2B ＝35，故sin(2B －A)＝sin2BcosA －cos2BsinA ＝45³(－55)－35³255＝－255.1．已知△ABC，a ＝5，b ＝15，∠A ＝30°，则c ＝( )A ．2 5 B. 5 C ．25或 5D ．均不正确答案 C解析 ∵a sinA ＝b sinB ，∴sinB ＝bsinA a ＝155²sin30°＝32. ∵b>a ，∴B ＝60°或120°.若B ＝60°，C ＝90°，∴c ＝a 2＋b 2＝2 5.若B ＝120°，C ＝30°，∴a ＝c ＝ 5.2．(2017²西安五校模拟)M 为等边△ABC 内一动点，且∠CMB＝120°，则AM MC 的最小值为________． 答案 32 解析 如图，在正△ABC 中，设∠MBC＝θ，则∠ACM＝θ，在△BMC 中，根据正弦定理可得MC sin θ＝BC sin120°.① 在△AMC 中，根据正弦定理可得AM sin θ＝AC sin ∠AMC .② ②÷①得AM MC ＝sin120°sin ∠AMC ≥32. 3．(2015²安徽，文)在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________．答案 2解析 因为∠A＝75°，∠B ＝45°，所以∠C＝60°，由正弦定理可得AC sin45°＝6sin60°，解得AC ＝2.4．(2015²课标全国Ⅰ，理)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B＝∠C＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________． 答案 (6－2，6＋2)解析 如图，作△PBC，使∠B＝∠C＝75°，BC ＝2，作直线AD 分别交线段PB 、PC 于A 、D 两点(不与端点重合)，且使∠BAD ＝75°，则四边形ABCD 就是符合题意的四边形．过C 作AD 的平行线交PB 于点Q ，在△PBC 中，可求得BP ＝6＋2，在△QBC 中，可求得BQ ＝6－2，所以AB 的取值范围是(6－2，6＋2)．。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习试题：3.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用Word版含答案
1．三角函数的图象及其变换了解三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A 、ω、φ对函数图象变化的影响．2．y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象和性质的综合应用会利用y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与性质求参数的值或范围、确定函数解析式．知识点一 五点法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念易误提醒 五点法作图中的五点是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象上五个关键点，两个最值点，三个零点，在实际作图中，这是首先要考虑的五个点，但也不能只依赖这五个点，其它的特殊点也应考虑．必备方法 由y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定第一个零点的方法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一零点⎝⎛⎭⎫－φω，0作为突破口．具体如下： “第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.[自测练习]1．用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________、__________、________、________、________.答案：⎝⎛⎭⎫π6，0 ⎝⎛⎭⎫2π3，1 ⎝⎛⎭⎫7π6，0 ⎝⎛⎭⎫5π3，－1 ⎝⎛⎭⎫13π6，0 2．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3解析：由题意知f (0)＝2sin φ＝1，∴sin φ＝12，又|φ|<π2，∴φ＝π6，又T ＝6，故选A.答案：A知识点二 y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的变换由y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0)的图象 (1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移易误提醒 (1)要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．(2)由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪φω，而不是|φ|.[自测练习]3．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解析：∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋12， ∴只要将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移12个单位即可．答案：C4．把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移π4个单位，得到的函数图象的解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 解析：由y ＝sin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为y ＝sin 2x ，再向左平移π4个单位得y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，即y ＝cos 2x . 答案：A5．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则φ＝________.解析：由图象知A ＝1，T ＝4⎝⎛⎭⎫712π－π3＝π，∴ω＝2，再由2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6. 答案：－π6考点一 五点法描图|已知函数f (x )＝cos 2x －2sin x cos x －sin 2x .(1)将f (x )化为y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式；(2)用“五点法”在给定的坐标中，作出函数f (x )在[0，π]上的图象． [解] (1)f (x )＝cos 2x －sin 2x －2sin x cos x ＝cos 2x －sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎫22cos 2x －22sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (2)列表：2x ＋π4π4 π2 π 32π 2π 94π x 0 π8 38π 58π 78π π f (x )1－221图象为：用“五点法”作图应注意四点(1)将原函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的形式． (2)求出周期T ＝2πω.(3)求出振幅A .(4)列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点和区间端点．1．(2015·合肥模拟)设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象． 解：(1)最小正周期T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∵f ⎝⎛⎭⎫π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π4＋φ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32， ∴sin φ＝－32.∵－π2<φ<0，∴φ＝－π3.(2)由(1)得f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，列表：图象如图所示．考点二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式|(1)(2016·青岛一模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f ()x 1＋x 2＝( )A ．1 B.12 C.22D.32[解析] 观察图象可知，A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将⎝⎛⎭⎫－π6，0代入上式得sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋φ＝0， 由|φ|<π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，∴x 1＋x 2＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3＝32.故选D. [答案] D(2)(2015·高考陕西卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．[解析] 由图象知周期T ＝12，最低点的坐标为(9,2)， 代入得π6×9＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π(k ∈Z )，不妨取φ＝0， 当x ＝6＋3T4＝15时，y 最大，列式得y max ＋22＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6×6＋k ， ∴3sin ⎝⎛⎭⎫π6×15＋k ＋22＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6×6＋k ，∴k ＝5，∴y max ＋22＝k ，y max ＝8. [答案] 8确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法(1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2.(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT .(3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2 ；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.2．如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (ω>0,0≤φ<2π)，则温度变化曲线的函数解析式为________．解析：由图象可知B ＝20，A ＝30－102＝10，T 2＝14－6＝8，T ＝16＝2πω，解得ω＝π8. 将(6,10)代入y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ＋20可得sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝－1， 由0≤φ<2π可得φ＝3π4，∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20.答案：y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20考点三 y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换与性质应用|三角函数的图象变换与性质在高考中是每年的必考点之一，在选择题或解答题中出现，常考查基本的图象变换，稍难的题中是图象变换与三角函数的单调性、奇偶性、对称性相结合，成为小综合题．归纳起来常见的探究角度有：1．由y ＝A sin(ω1x ＋φ1)变换到y ＝A sin(ω2x ＋φ2)型． 2．由y ＝A cos(ω1x ＋φ1)变换到y ＝A sin(ω2x ＋φ2)型． 3．图象变换与性质相结合．探究一 由y ＝A sin(ω1x ＋φ1)变换到y ＝A sin(ω2x ＋φ2)型1．(2015·高考山东卷)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin 4⎝⎛⎭⎫x －π12，故要将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位．故选B. 答案：B探究二 由y ＝A cos(ω1x ＋φ1)变换到y ＝A sin(ω2x ＋φ2)型2．为了得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的图象，可以将y ＝2cos 3x 的图象( ) A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位解析：∵y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4，故将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后可得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象． 答案：A探究三 图象变换与性质结合3．(2015·长春二模)已知函数f (x )＝3sin x cos x ＋12cos 2x ，若将其图象向右平移φ(φ>0)个单位后所得的图象关于原点对称，则φ的最小值为( )A.π6B.5π6C.π12D.5π12解析：由题意f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，将其图象向右平移φ(φ>0)个单位后所得图象对应的解析式为g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x －φ)＋π6，则2φ－π6＝k π(k ∈Z )，即φ＝k π2＋π12(k ∈Z )，又φ>0，所以φ的最小值为π12.故选C.答案：C4．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象．关于函数g (x )，下列说法正确的是( )A ．在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是增函数B ．其图象关于直线x ＝－π4对称C ．函数g (x )是奇函数D ．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，函数g (x )的值域是[－2,1]解析：f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，由题设知T 2＝π2，∴T ＝π，ω＝2πT ＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x 的图象，g (x )是偶函数且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是减函数，其图象关于直线x ＝－π4不对称，所以A ，B ，C 错误．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，2x ∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，则g (x )min ＝2cos π＝－2，g (x )max ＝2cos π3＝1，即函数g (x )的值域是[－2,1]，故选D.答案：D函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用问题的三种类型及解题策略：(1)图象变换与函数性质的综合问题．可根据两种图象变换的规则，也可先通过图象变换求得变换后的函数解析式，再研究函数性质．(2)图象变换与函数解析式的综合问题，要特别注意两种变换过程的区别．(3)函数图象与性质的综合问题．此类问题常先通过三角恒等变换化简函数解析式，再来研究其性质．4.三角函数图象与性质结合题的规范解答【典例】 (13分)(2015·高考重庆卷)已知函数f (x )＝12sin 2x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象．当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，求g (x )的值域．[思路点拨] (1)将f (x )化为y ＝A sin(ωx ＋φ)型，求周期及最值． (2)利用图象变换确定g (x )表达式，再求值域． [规范解答] (1)f (x )＝12sin 2x －3cos 2x＝12sin 2x －32(1＋cos 2x )(2分) ＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32，(4分)因此f (x )的最小正周期为π，最小值为－2＋32.(6分)(2)由条件可知：g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－32.(8分) 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，有x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，(9分) 从而sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的值域为⎣⎡⎦⎤12，1， 那么sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－32的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，2－32.(12分) 故g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，2－32.(13分) [模板形成][跟踪练习] (2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 解：(1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数，f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34.所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.A 组 考点能力演练1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝⎛⎭⎫π8＝( ) A ．1 B.12 C ．－1D ．－12解析：由题设知2πω＝π，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1，故选A. 答案：A2．(2015·洛阳期末考试)把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π4解析：把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变)所得函数图象的解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，再将图象向右平移π3个单位所得函数图象的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x ，即y ＝－cos 2x ，令2x ＝k π，k ∈Z ，则x ＝k π2，k ∈Z ，即对称轴方程为x ＝k π2，k ∈Z ，故选A.答案：A3．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则φ＝( )A ．－π6B.π6 C ．－π3D.π3解析：由题图可知A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫π3－π12＝π，故ω＝2，又f ⎝⎛⎭⎫π12＝2，所以2×π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，故φ＝2k π＋π3，又|φ|<π2，∴φ＝π3.答案：D4．先把函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再把新得到的图象向右平移π3个单位，得到y ＝g (x )的图象．当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4时，函数g (x )的值域为( ) A.⎝⎛⎦⎤－32，1 B.⎝⎛⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－32，32 D ．[－1,0)解析：依题意得g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4时，2x －5π6∈⎝⎛⎭⎫－π3，2π3，sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6∈⎝⎛⎦⎤－32，1，此时g (x )的值域是⎝⎛⎦⎤－32，1，选A. 答案：A5．(2015·云南一检)已知平面向量a ＝(2cos 2x ，sin 2x )，b ＝(cos 2x ，－2sin 2x )，f (x )＝a·b ，要得到y ＝sin 2x ＋3cos 2x 的图象，只需要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平行移动π6个单位B ．向右平行移动π6个单位C ．向左平行移动π12个单位D ．向右平行移动π12个单位解析：由题意得：f (x )＝a·b ＝2cos 4x －2sin 4x ＝2(cos 2x ＋sin 2x )·(cos 2x －sin 2x )＝2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2，而y ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋π2，故只需将y ＝f (x )的图象向右平行移动π12个单位即可．答案：D6．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________. 解析：依题意πω＝π4，∴ω＝4.∴f (x )＝tan 4x .∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝tan π＝0. 答案：07.已知函数f (x )＝M cos(ωx ＋φ)(M >0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，AC ＝BC ＝22，C ＝90°，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为________． 解析：依题意知，△ABC 是直角边长为22的等腰直角三角形，因此其边AB 上的高是12，函数f (x )的最小正周期是2，故M ＝12，2πω＝2，ω＝π，f (x )＝12cos(πx ＋φ)．又函数f (x )是奇函数，于是有φ＝k π＋π2，其中k ∈Z .由0<φ<π，得φ＝π2，故f (x )＝－12sin πx ，f ⎝⎛⎭⎫12＝－12sin π2＝－12. 答案：－128．一观览车的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴的中心，距地面32 m(即OM 的长)，巨轮的半径为30 m ，AM ＝BP ＝2 m ，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈．若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t 分钟，该吊舱P 距离地面的高度为h (t )m ，则h (t )＝________.解析：本题考查三角函数的实际应用．建立如图所示的直角坐标系，设点B 的纵坐标为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k ，由题意知A ＝30，k ＝32，φ＝－π2，又因为T ＝12＝2πω，所以ω＝π6，y ＝30sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π2＋32，所以吊舱P 距离地面的高度h (t )＝30sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π2＋30.答案：30sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π2＋309．(2016·龙岩模拟)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图象．解：(1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π4.(2)图象如图所示．10．(2015·沈阳一检)已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的值域． 解：(1)f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z . (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1，f (x )∈⎣⎡⎦⎤0，1＋32. B 组 高考题型专练1．(2014·高考辽宁卷)将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减 B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 解析：平移后的函数为y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋π3＝ 3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－π＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π，增区间：－π2＋2k π≤2x －23π≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤712π＋k π，k ∈Z ，令k ＝0时，π12≤x ≤712π，故选B.答案：B2．(2015·高考湖南卷)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：由已知得g (x )＝sin(2x －2φ)，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2，不妨设此时y ＝f (x )和y ＝g (x )分别取得最大值与最小值，又|x 1－x 2|min ＝π3，令2x 1＝π2，2x 2－2φ＝－π2，此时|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪π2－φ＝π3，又0<φ<π2，故φ＝π6，选D.答案：D3．(2015·高考安徽卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A ．f (2)<f (－2)<f (0)B ．f (0)<f (2)<f (－2)C ．f (－2)<f (0)<f (2)D ．f (2)<f (0)<f (－2)解析：∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，且x ＝2π3是经过函数f (x )最小值点的一条对称轴，∴x ＝2π3－π2＝π6是经过函数f (x )最大值点的一条对称轴．∵⎪⎪⎪⎪2－π6＝12－π6，⎪⎪⎪⎪(π－2)－π6＝5π－126，⎪⎪⎪⎪0－π6＝π6，∴⎪⎪⎪⎪2－π6>⎪⎪⎪⎪(π－2)－π6>⎪⎪⎪⎪0－π6，且－π3<2<2π3，－π3<π－2<2π3，－π3<0<2π3，∴f (2)<f (π－2)<f (0)，即f (2)<f (－2)<f (0)．答案：A4．(2015·高考安徽卷)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解：(1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4， 由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π4，5π4上的图象知， 当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0. 5．(2015·高考湖北卷)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 因此g (x )＝5sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z .令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12，0.。
2019届高考数学一轮复习六)三角函数与解三角形高考中档大题的规范问题练习理新人教A版
核心素养提升系列(六) (理)1．(导学号14578021)(2018·梅州市一模)中石化集团获得了某地深海油田块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料．进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探．由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见下表：a ，并估计y 的预报值；(2)现准备勘探新井7(1,25)，若通过1、3、5、7号井计算出的b ^，a ^的值(b ^，a ^精确到0.01)与(1)中b ，a 的值差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井6(1，y )，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？(参考公式和计算结果：(3)设出油量与勘探深度的比值k 不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探优质井数X 的分布列与数学期望．解：(1)利用前5组数据得到x －＝15(2＋4＋5＋6＋8)＝5，y －＝15(30＋40＋60＋50＋70)＝50.∵y ＝6.5x ＋a ，∴a ＝50－6.5×5＝17.5， ∴回归直线方程为y ＝6.5x ＋17.5. 当x ＝1时，y ＝6.5＋17.5＝24， ∴y 的预报值为24.∴a ^＝46.25－6.83×4＝18.93，即b ^＝6.83，a ^＝18.93，b ＝6.5，a ＝17.5，6.83－6.56.5≈5%，18.93－17.517.5≈8%，均不超过10%，∴使用位置最接近的已有旧井6(1,24)．(3)由题意，1、3、5、6这4口井是优质井，2,4这两口井是非优质井， ∴勘察优质井数X 的可能取值为2,3,4，P (X ＝k )＝C k 4C 4－k2C 46，可得P (X ＝2)＝25，P (X ＝3)＝815，P (X ＝4)＝15.∴X 的分布列为：E (X )＝2×25＋3×815＋4×15＝3.2．(导学号14578023)(2018·龙岩市一模)某公司有A ，B ，C ，D ，E 五辆汽车，其中A 、B 两辆汽车的车牌尾号均为1，C 、D 两辆汽车的车牌尾号均为2，E 车的车牌尾号为6，已知在非限行日，每辆车可能出车或不出车，A 、B 、E 三辆汽车每天出车的概率均为12，C 、D 两辆汽车每天出车的概率均为23，且五辆汽车是否出车相互独立，该公司所在地区汽车限行规定如下：(1)(2)设X 表示该公司在星期二和星期三两天出车的车辆数之和，求X 的分布列及数学期望．解：(1)记事件A “该公司在星期一至少有2辆车出车”，则p (A )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫132－C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫132－C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝1－172－372－472＝89. (2)X 的可能取值为0,1,2,3,4,5，P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝172； P (X ＝1)＝C 12·23·13·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132·C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝772； P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋C 12·23·13·C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132·C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝1972； P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232·C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋C 12·23·13·C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝2572P (X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232·C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋C 12·23·13·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝1672； P (X ＝5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝472；∴X 的分布列为E (X )＝0×172＋1×72＋2×72＋3×72＋4×72＋5×72＝6.3．(导学号14578025)(2018·咸阳市二模)某中学数学老师分别用两种不同教学方式对入学数学平均分和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班(人数均为20人)进行教学(两班的学生学习数学勤奋程度和自觉性一致)，数学期终考试成绩茎叶图如下：(1)学校规定：成绩不低于75分的优秀，请填写下面的2×2联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.K 2＝a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d(2)从两个班数学成绩不低于90分的同学中随机抽取3名，设ξ为抽取成绩不低于95分同学人数，求ξ的分布列和期望．解：(1)2×2联表为由K 2＝－22×18×20×20≈3.63＞2.706知，可以判断：有90%把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．(2)两个班数学成绩不低于90分的同学中，成绩不低于95分同学人数有3名，从中随机抽取3名，ξ＝0,1,2,3，P (ξ＝0)＝C 34C 37＝435，P (ξ＝1)＝C 24C 13C 37＝1835，P (ξ＝2)＝C 14C 23C 37＝1235，P (ξ＝3)＝C 33C 37＝135，ξ的分布列为E (ξ)＝35＝7.4．(导学号14578027)(2018·深圳市一模)某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．(1)求某户居民用电费用y (单位：元)关于月用电量x (单位：度)的函数解析式； (2)为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a ，b 的值；(3)在满足(2)的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y 为该居民用户1月份的用电费用，求Y 的分布列和数学期望．解：(1)当0≤x ≤200时，y ＝0.5x ；当200＜x ≤400时，y ＝0.5×200＋0.8×(x －200) ＝0.8x －60；当x ＞400时，y ＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x －400)＝x －140， 所以y 与x 之间的函数解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0≤x ≤2000.8x －60，200<x ≤400.x －140，x >400(2)由(1)可知：当y ＝260时，x ＝400，则P (x ≤400)＝0.80.结合频率分布直方图可知：0.1＋2×100b ＋0.3＝0.8,100a ＋0.05＝0.2， ∴a ＝0.001 5，b ＝0.002 0.(3)由题意可知x 可取50,150,250,350,450,550. 当x ＝50时，y ＝0.5×50＝25，∴P (y ＝25)＝0.1， 当x ＝150时，y ＝0.5×150＝75，∴P (y ＝75)＝0.2， 当x ＝250时，y ＝0.5×200＋0.8×50＝140， ∴P (y ＝140)＝0.3，当x ＝350时，y ＝0.5×200＋0.8×150＝220， ∴P (y ＝220)＝0.2，当x ＝450时，y ＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×50＝310，∴P (y ＝310)＝0.15， 当x ＝550时，y ＝0.5×200×0.8×200＋1.0×150＝410，∴P (y ＝410)＝0.05. 故Y 的概率分布列为：所以随机变量E (Y )＝25×0.1＋75×0.2＋140×0.3＋220×0.2＋310×0.15＋410×0.05＝170.5.。
2019届高考数学一轮复习 第四章 三角函数 专题研究1 三角函数的值域与最值课件 文.pptx
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(3)(2018·上海春季高考题)已知 f(x)＝cosx.
①若
f(α)＝13，且
α∈[0，π]，求
π f(α－ 3 )的值；
②求函数 y＝f(2x)－2f(x)的最小值．
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★状元笔记★ 可化为 y＝f(sinx)型三角函数的最值或值域可通过换元法转 为其他函数的最值或值域．
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思考题 3 (1)求函数 y＝－2(sinx＋cosx)＋sin2x 的值域．
π 【解析】 设 t＝sinx＋cosx＝ 2sin(x＋ 4 )∈[－ 2， 2]， ∴sinxcosx＝t2－2 1，∴y＝t2－2t－1.
对称轴 t＝1，∴ymin＝1－2－1＝－2， ymax＝(－ 2)2－2×(－ 2)－1＝2 2＋1. ∴值域为[－2，2 2＋1]． 【答案】 [－2，2 2＋1]
பைடு நூலகம்17
(2)求函数 y＝s1in－2xcsoisnxx的值域．
【解析】 ∵y＝2si1n－ xcocosxsxsinx＝2cosx1（－1c－oscxos2x）＝2cos2x＋ 2cosx＝2(cosx＋12)2－12，于是当且仅当 cosx＝1 时，ymax＝4.
2π 3 ＋kπ，k∈Z. ∴函数 f(x)的单调递减区间为[π6 ＋kπ，2π 3 ＋kπ]，k∈Z.
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ππ
π
(2)∵g(x)＝2sin[2(x－ 6 )＋ 6 ]＋1＝2sin(2x－ 6 )＋1，
当 x∈[0，π2 ]时，－π6 ≤2x－π6 ≤5π6 ，
ππ
2019版高考数学理科课标A版一轮复习习题：第六章 数列
§6.4数列的综合应用考纲解读分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等.五年高考考点一数列求和1.(2017课标全国Ⅰ,12,5分)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.110答案 A2.(2017课标全国Ⅱ,15,5分)等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=3,S4=10,则= .答案3.(2015课标Ⅱ,16,5分)设S n是数列{a n}的前n项和,且a1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n= .答案-4.(2016课标全国Ⅱ,17,12分)S n为等差数列{a n}的前n项和,且a1=1,S7=28.记b n=[lg a n],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求数列{b n}的前1 000项和.解析(1)设{a n}的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1.所以{a n}的通项公式为a n=n.b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2.(6分)(2)因为b n=(9分)所以数列{b n}的前1 000项和为1×90+2×900+3×1=1 893.(12分)5.(2015课标Ⅰ,17,12分)S n为数列{a n}的前n项和.已知a n>0,+2a n=4S n+3.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和.解析(1)由+2a n=4S n+3,可知+2a n+1=4S n+1+3.可得-+2(a n+1-a n)=4a n+1,即2(a n+1+a n)=-=(a n+1+a n)(a n+1-a n).由于a n>0,可得a n+1-a n=2.又+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去)或a1=3.所以{a n}是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为a n=2n+1.(6分)(2)由a n=2n+1可知b n===.设数列{b n}的前n项和为T n,则T n=b1+b2+…+b n==.(12分)教师用书专用(6—12)6.(2016北京,12,5分)已知{a n}为等差数列,S n为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6= . 答案 67.(2013湖南,15,5分)设S n为数列{a n}的前n项和,S n=(-1)n a n-,n∈N*,则(1)a3= ;(2)S1+S2+…+S100= .答案(1)- (2)8.(2015天津,18,13分)已知数列{a n}满足a n+2=qa n(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(1)求q的值和{a n}的通项公式;(2)设b n=,n∈N*,求数列{b n}的前n项和.解析(1)由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即a4-a2=a5-a3,所以a2(q-1)=a3(q-1).又因为q≠1,所以a3=a2=2,由a3=a1·q,得q=2.当n=2k-1(k∈N*)时,a n=a2k-1=2k-1=;当n=2k(k∈N*)时,a n=a2k=2k=.所以{a n}的通项公式为a n=(2)由(1)得b n==.设{b n}的前n项和为S n,则S n=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×,S n=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×,上述两式相减,得S n=1+++…+-=-=2--,整理得,S n=4-.所以数列{b n}的前n项和为4-,n∈N*.9.(2014山东,19,12分)已知等差数列{a n}的公差为2,前n项和为S n,且S1,S2,S4成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=(-1)n-1,求数列{b n}的前n项和T n.解析(1)S1=a1,S2=2a1+×2=2a1+2,S4=4a1+×2=4a1+12,由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1,所以a n=2n-1.(2)b n=(-1)n-1=(-1)n-1=(-1)n-1.当n为正偶数时,T n=-+…+-=1-=.当n为正奇数时,T n=-+…-+++=1+=.所以T n=10.(2013浙江,18,14分)在公差为d的等差数列{a n}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,a n;(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|.解析(1)由题意得5a3·a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0.故d=-1或d=4.所以a n=-n+11,n∈N*或a n=4n+6,n∈N*.(2)设数列{a n}的前n项和为S n.因为d<0,所以由(1)得d=-1,a n=-n+11,则当n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=S n=-n2+n.当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=-S n+2S11=n2-n+110.综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=11.(2014江西,17,12分)已知首项都是1的两个数列{a n},{b n}(b n≠0,n∈N*)满足a nb n+1-a n+1b n+2b n+1b n=0.(1)令c n=,求数列{c n}的通项公式;(2)若b n=3n-1,求数列{a n}的前n项和S n.解析(1)因为a n b n+1-a n+1b n+2b n+1b n=0,b n≠0(n∈N*),所以-=2,即c n+1-c n=2.所以数列{c n}是以1为首项,2为公差的等差数列,故c n=2n-1.(2)由(1)及b n=3n-1知a n=c n b n=(2n-1)3n-1,于是数列{a n}的前n项和S n=1·30+3·31+5·32+…+(2n-1)·3n-1,3S n=1·31+3·32+…+(2n-3)·3n-1+(2n-1)·3n,相减得-2S n=1+2·(31+32+…+3n-1)-(2n-1)·3n=-2-(2n-2)3n,所以S n=(n-1)3n+1.12.(2013江西,17,12分)正项数列{a n}的前n项和S n满足:-(n2+n-1)S n-(n2+n)=0.(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)令b n=,数列{b n}的前n项和为T n.证明:对于任意的n∈N*,都有T n<.解析(1)由-(n2+n-1)S n-(n2+n)=0,得[S n-(n2+n)]·(S n+1)=0.由于{a n}是正项数列,所以S n>0,S n=n2+n.于是a1=S1=2,n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.综上,数列{a n}的通项公式为a n=2n.(2)证明:由于a n=2n,b n=,所以b n==-.T n=1-+-+-+…+-+-=<=.考点二数列的综合应用1.(2015福建,8,5分)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于( )A.6B.7C.8D.9答案 D2.(2013重庆,12,5分)已知{a n}是等差数列,a1=1,公差d≠0,S n为其前n项和,若a1,a2,a5成等比数列,则S8= .答案643.(2017山东,19,12分)已知{x n}是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2.(1)求数列{x n}的通项公式;(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2),…,P n+1(x n+1,n+1)得到折线P1P2…P n+1,求由该折线与直线y=0,x=x1,x=x n+1所围成的区域的面积T n.解析本题考查等比数列基本量的计算,错位相减法求和.(1)设数列{x n}的公比为q,由已知知q>0.由题意得所以3q2-5q-2=0.因为q>0,所以q=2,x1=1.因此数列{x n}的通项公式为x n=2n-1.(2)过P1,P2,…,P n+1向x轴作垂线,垂足分别为Q1,Q2,…,Q n+1.由(1)得x n+1-x n=2n-2n-1=2n-1,记梯形P n P n+1Q n+1Q n的面积为b n,由题意b n=×2n-1=(2n+1)×2n-2,所以T n=b1+b2+…+b n=3×2-1+5×20+7×21+…+(2n-1)×2n-3+(2n+1)×2n-2,①2T n=3×20+5×21+7×22+…+(2n-1)×2n-2+(2n+1)×2n-1.②①-②得-T n=3×2-1+(2+22+…+2n-1)-(2n+1)×2n-1=+-(2n+1)×2n-1.所以T n=.教师用书专用(4—13)4.(2013课标全国Ⅰ,12,5分)设△A n B n C n的三边长分别为a n,b n,c n,△A n B n C n的面积为S n,n=1,2,3,….若b1>c1,b1+c1=2a1,a n+1=a n,b n+1=,c n+1=,则( )A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列答案 B5.(2015安徽,18,12分)设n∈N*,x n是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.(1)求数列{x n}的通项公式;(2)记T n=…,证明:T n≥.解析(1)y'=(x2n+2+1)'=(2n+2)x2n+1,曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2.从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1).令y=0,解得切线与x轴交点的横坐标x n=1-=.(2)证明:由题设和(1)中的计算结果知T n=…=….当n=1时,T1=.当n≥2时,因为==>==.所以T n>×××…×=.综上可得对任意的n∈N*,均有T n≥.6.(2015重庆,22,12分)在数列{a n}中,a1=3,a n+1a n+λa n+1+μ=0(n∈N+).(1)若λ=0,μ=-2,求数列{a n}的通项公式;(2)若λ=(k0∈N+,k0≥2),μ=-1,证明:2+<<2+.解析(1)由λ=0,μ=-2,得a n+1a n=2(n∈N+).若存在某个n0∈N+,使得=0,则由上述递推公式易得=0.重复上述过程可得a1=0,此与a1=3矛盾,所以对任意n∈N+,a n≠0.从而a n+1=2a n(n∈N+),即{a n}是一个公比q=2的等比数列.故a n=a1q n-1=3·2n-1.(2)证明:若λ=,μ=-1,则数列{a n}的递推关系式变为a n+1a n+a n+1-=0,变形为a n+1=(n∈N+).由上式及a1=3>0,归纳可得3=a1>a2>...>a n>a n+1> 0因为a n+1===a n-+·,所以对n=1,2,…,k0求和得=a1+(a2-a1)+…+(-)=a1-k0·+·>2+·=2+.另一方面,由上已证的不等式知a1>a2>…>>>2,得=a1-k0·+·<2+·=2+.综上,2+<<2+.7.(2015湖北,22,14分)已知数列{a n}的各项均为正数,b n=a n(n∈N+),e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=1+x-e x的单调区间,并比较与e的大小;(2)计算,,,由此推测计算的公式,并给出证明;(3)令c n=(a1a2…a n,数列{a n},{c n}的前n项和分别记为S n,T n,证明:T n<eS n.解析(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f '(x)=1-e x.当f '(x)>0,即x<0时, f(x)单调递增;当f '(x)<0,即x>0时, f(x)单调递减.故f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞).当x>0时, f(x)<f(0)=0,即1+x<e x.令x=,得1+<,即<e. ①(2)=1×=1+1=2;=·=2×2×=(2+1)2=32;=·=32×3×=(3+1)3=43.由此推测:=(n+1)n.②下面用数学归纳法证明②.(i)当n=1时,左边=右边=2,②成立.(ii)假设当n=k时,②成立,即=(k+1)k.当n=k+1时,b k+1=(k+1)a k+1,由归纳假设可得=·=(k+1)k(k+1)=(k+2)k+1.所以当n=k+1时,②也成立.根据(i)(ii),可知②对一切正整数n都成立.(3)由c n的定义,②,算术-几何平均不等式,b n的定义及①得T n=c1+c2+c3+…+c n=(a1+(a1a2+(a1a2a3+…+(a1a2…a n=+++…+≤+++…+=b1+b2+…+b n·=b1+b2+…+b n<++…+=a1+a2+…+a n<ea1+ea2+…+ea n=eS n.即T n<eS n.8.(2015陕西,21,12分)设f n(x)是等比数列1,x,x2,…,x n的各项和,其中x>0,n∈N,n≥2.(1)证明:函数F n(x)=f n(x)-2在内有且仅有一个零点(记为x n),且x n=+;(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为g n(x),比较f n(x)和g n(x)的大小,并加以证明.解析(1)证明:F n(x)=f n(x)-2=1+x+x2+…+x n-2,则F n(1)=n-1>0,F n=1+++…+-2=-2=-<0,所以F n(x)在内至少存在一个零点.又F'n(x)=1+2x+…+nx n-1>0,故F n(x)在内单调递增,所以F n(x)在内有且仅有一个零点x n. 因为x n是F n(x)的零点,所以F n(x n)=0,即-2=0,故x n=+.(2)解法一:由题设知,g n(x)=.设h(x)=f n(x)-g n(x)=1+x+x2+…+x n-,x>0.当x=1时, f n(x)=g n(x).当x≠1时,h'(x)=1+2x+…+nx n-1-.若0<x<1,则h'(x)>x n-1+2x n-1+…+nx n-1-x n-1=x n-1-x n-1=0.若x>1,则h'(x)<x n-1+2x n-1+…+nx n-1-x n-1=x n-1-x n-1=0.所以h(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,所以h(x)<h(1)=0,即f n(x)<g n(x).综上所述,当x=1时, f n(x)=g n(x);当x≠1时, f n(x)<g n(x).解法二:由题设,f n(x)=1+x+x2+…+x n,g n(x)=,x>0.当x=1时, f n(x)=g n(x).当x≠1时,用数学归纳法可以证明f n(x)<g n(x).①当n=2时, f2(x)-g2(x)=-(1-x)2<0,所以f2(x)<g2(x)成立.②假设n=k(k≥2)时,不等式成立,即f k(x)<g k(x).那么,当n=k+1时,f k+1(x)=f k(x)+x k+1<g k(x)+x k+1=+x k+1=.又g k+1(x)-=,令h k(x)=kx k+1-(k+1)x k+1(x>0),则h'k(x)=k(k+1)x k-k(k+1)x k-1=k(k+1)x k-1(x-1).所以当0<x<1时,h'k(x)<0,h k(x)在(0,1)上递减;当x>1时,h'k(x)>0,h k(x)在(1,+∞)上递增.所以h k(x)>h k(1)=0,从而g k+1(x)>.故f k+1(x)<g k+1(x),即n=k+1时不等式也成立.由①和②知,对一切n≥2的整数,都有f n(x)<g n(x).解法三:由已知,记等差数列为{a k},等比数列为{b k},k=1,2,…,n+1.则a1=b1=1,a n+1=b n+1=x n,所以a k=1+(k-1)·(2≤k≤n),b k=x k-1(2≤k≤n),令m k(x)=a k-b k=1+-x k-1,x>0(2≤k≤n),当x=1时,a k=b k,所以f n(x)=g n(x).当x≠1时,m'k(x)=·nx n-1-(k-1)x k-2=(k-1)x k-2(x n-k+1-1).而2≤k≤n,所以k-1>0,n-k+1≥1.若0<x<1,则x n-k+1<1,m'k(x)<0;若x>1,则x n-k+1>1,m'k(x)>0,从而m k(x)在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,所以m k(x)>m k(1)=0,所以当x>0且x≠1时,a k>b k(2≤k≤n),又a1=b1,a n+1=b n+1,故f n(x)<g n(x).综上所述,当x=1时, f n(x)=g n(x);当x≠1时, f n(x)<g n(x).9.(2014浙江,19,14分)已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n=((n∈N*).若{a n}为等比数列,且a1=2,b3=6+b2.(1)求a n与b n;(2)设c n=-(n∈N*).记数列{c n}的前n项和为S n.(i)求S n;(ii)求正整数k,使得对任意n∈N*均有S k≥S n.解析(1)由a1a2a3…a n=(,b3-b2=6,知a3=(=8.又由a1=2,得公比q=2(q=-2舍去),所以数列{a n}的通项为a n=2n(n∈N*),所以,a1a2a3…a n==()n(n+1).故数列{b n}的通项为b n=n(n+1)(n∈N*).(2)(i)由(1)知c n=-=-(n∈N*),所以S n=-(n∈N*).(ii)因为c1=0,c2>0,c3>0,c4>0;当n≥5时,c n=,而-=>0,得≤<1,所以,当n≥5时,c n<0.综上,对任意n∈N*,恒有S4≥S n,故k=4.10.(2014湖北,18,12分)已知等差数列{a n}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记S n为数列{a n}的前n项和,是否存在正整数n,使得S n>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.解析(1)设数列{a n}的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,a n=2;当d=4时,a n=2+(n-1)·4=4n-2,从而得数列{a n}的通项公式为a n=2或a n=4n-2.(2)当a n=2时,S n=2n.显然2n<60n+800,此时不存在正整数n,使得S n>60n+800成立.当a n=4n-2时,S n==2n2.令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,解得n>40或n<-10(舍去),此时存在正整数n,使得S n>60n+800成立,n的最小值为41.综上,当a n=2时,不存在满足题意的n;当a n=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.11.(2014湖南,20,13分)已知数列{a n}满足a1=1,|a n+1-a n|=p n,n∈N*.(1)若{a n}是递增数列,且a1,2a2,3a3成等差数列,求p的值;(2)若p=,且{a2n-1}是递增数列,{a2n}是递减数列,求数列{a n}的通项公式.解析(1)因为{a n}是递增数列,所以|a n+1-a n|=a n+1-a n=p n.而a1=1,因此a2=p+1,a3=p2+p+1.又a1,2a2,3a3成等差数列,所以4a2=a1+3a3,因而3p2-p=0,解得p=或p=0.当p=0时,a n+1=a n,这与{a n}是递增数列矛盾.故p=.(2)由于{a2n-1}是递增数列,因而a2n+1-a2n-1>0,于是(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)>0.①但<,所以|a2n+1-a2n|<|a2n-a2n-1|.②由①,②知,a2n-a2n-1>0,因此a2n-a2n-1==.③因为{a2n}是递减数列,同理可得,a2n+1-a2n<0,故a2n+1-a2n=-=.④由③,④知,a n+1-a n=.于是a n=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a n-a n-1)=1+-+…+=1+·=+·,故数列{a n}的通项公式为a n=+·.12.(2013山东,20,12分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,且S4=4S2,a2n=2a n+1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设数列{b n}的前n项和为T n,且T n+=λ(λ为常数),令c n=b2n(n∈N*),求数列{c n}的前n项和R n. 解析(1)设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d.由S4=4S2,a2n=2a n+1得解得a1=1,d=2.因此a n=2n-1,n∈N*.(2)由题意知T n=λ-,所以n≥2时,b n=T n-T n-1=-+=.故c n=b2n==(n-1),n∈N*.所以R n=0×+1×+2×+3×+…+(n-1)×,则R n=0×+1×+2×+…+(n-2)×+(n-1)×,两式相减得R n=+++…+-(n-1)×=-(n-1)×=-,整理得R n=.所以数列{c n}的前n项和R n=.13.(2013广东,19,14分)设数列{a n}的前n项和为S n.已知a1=1,=a n+1-n2-n-,n∈N*.(1)求a2的值;(2)求数列{a n}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有++…+<.解析(1)依题意得,2S1=a2--1-,又S1=a1=1,所以a2=4.(2)当n≥2时,2S n=na n+1-n3-n2-n,2S n-1=(n-1)a n-(n-1)3-(n-1)2-(n-1)两式相减得2a n=na n+1-(n-1)a n-(3n2-3n+1)-(2n-1)-,整理得(n+1)a n=na n+1-n(n+1),即-=1,又-=1,故数列是首项为=1,公差为1的等差数列,所以=1+(n-1)×1=n,所以a n=n2.(3)证明:当n=1时,=1<;当n=2时,+=1+=<;当n≥3时,=<=-,此时++…+=1++++…+<1++++…+=1++-=-<,综上,对一切正整数n,有++…+<.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一数列求和1.(2018天津实验中学上学期期中,7)已知S n是等差数列{a n}的前n项和,a1=1,S5=25,设T n为数列{(-1)n+1a n}的前n项和,则T2 015=( )A.2 014B.-2 014C.2 015D.-2 015答案 C2.(2017湖南郴州第一次教学质量检测,6)在等差数列{a n}中,a4=5,a7=11.设b n=(-1)n·a n,则数列{b n}的前100项之和S100=( )A.-200B.-100C.200D.100答案 D3.(2016山东部分重点中学第二次联考,7)设S n为等差数列{a n}的前n项和,a2=2,S5=15,若的前m 项和为,则m的值为( )A.8B.9C.10D.11答案 B4.(2018湖北东南省级示范高中联考,15)已知S n为{a n}的前n项和,若a n(4+cos nπ)=n(2-cos nπ),则S88等于.答案 2 332考点二数列的综合应用5.(2017广东海珠上学期高三综合测试(一),7)公差不为0的等差数列{a n}的部分项,,,…构成等比数列{},且k1=1,k2=2,k3=6,则k4为( )A.20B.22C.24D.28答案 B6.(人教A必5,二,2-5A,5,变式)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.其意思为:有一个人要走378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,那么第二天走了( )A.192里B.96里C.48里D.24里答案 B7.(2018陕西宝鸡金台期中,15)若数列{a n}是正项数列,且+++…+=n2+n,则a1++…+=.答案2n2+2n8.(2017广东“六校联盟”联考,14)已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足S n=2a n-1(n∈N*),则数列{na n}的前n项和T n为.答案(n-1)2n+1B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:60分时间:50分钟)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2018广东茂名化州二模,10)已知有穷数列{a n}中,n=1,2,3,…,729,且a n=(2n-1)·(-1)n+1.从数列{a n}中依次取出a2,a5,a14,…构成新数列{b n},容易发现数列{b n}是以-3为首项,-3为公比的等比数列.记数列{a n}的所有项的和为S,数列{b n}的所有项的和为T,则( )A.S>TB.S=TC.S<TD.S与T的大小关系不确定答案 A2.(2018四川南充模拟,11)设数列{a n}的前n项和为S n,已知a1=,a n+1=则S2 018等于( )A. B. C. D.答案 B3.(2018湖南祁阳二模,12)已知数列{a n}与{b n}的前n项和分别为S n,T n,且a n>0,6S n=+3a n,n∈N*,b n=,若∀n∈N*,k>T n恒成立,则k的最小值是( )A. B.49 C. D.答案 C4.(2017湖北四地七校2月联盟,12)数列{a n}满足a1=1,na n+1=(n+1)a n+n(n+1),且b n=a n cos,记S n为数列{b n}的前n项和,则S24=( )A.294B.174C.470D.304答案 D二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2017河北冀州第二次阶段考试,15)若数列{a n}是正项数列,且++…+=n2+3n,则++…+=.答案2n2+6n6.(2017河北武邑第三次调研,16)对于数列{a n},定义H n=为{a n}的“优值”,现在已知某数列{a n}的“优值”H n=2n+1,记数列{a n-kn}的前n项和为S n,若S n≤S5对任意的n(n∈N*)恒成立,则实数k的取值范围是.答案三、解答题(共30分)7.(2018吉林实验中学一模,19)已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)数列{b n}满足b n=(3n-1)··a n,数列{b n}的前n项和为T n,若不等式(-1)nλ<T n+对一切n∈N*恒成立,求λ的取值范围.解析(1)由a n+1=(n∈N*),得==+1,∴+=3,又+=,∴数列是以3为公比,为首项的等比数列,从而+=×3n-1⇒a n=.(2)将a n=代入b n=(3n-1)··a n可得b n=.T n=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×,T n=1×+2×+…+(n-1)×+n×,两式相减得=+++…+-n×=2-,∴T n=4-,∴(-1)nλ<4-,若n为偶数,则λ<4-,∴λ<3,若n为奇数,则-λ<4-,∴-λ<2,∴λ>-2,∴-2<λ<3.8.(2017河北衡水中学摸底联考,17)中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征,测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一,再不实施“放开二胎”新政策,整个社会将会出现一系列的问题,若某地区2015年人口总数为45万人,实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化:从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人,从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%.(1)求实施新政策后第n年的人口总数a n(单位:万人)的表达式(注:2016年为第一年);(2)若新政策实施后的2016年到2035年的人口平均值超过49万人,则需调整政策,否则继续实施,那么2035年后是否需要调整政策?(说明:0.9910=(1-0.01)10≈0.9)解析(1)当n≤10时,数列{a n}是首项为45.5,公差为0.5的等差数列,故a n=45.5+0.5×(n-1), 当n≥11时,数列{a n}是公比为0.99的等比数列,又a10=50,故a n=50×0.99n-10,因此,新政策实施后第n年的人口总数a n(单位:万人)的表达式为a n=n∈N*.(2)设S n(单位:万人)为数列{a n}的前n项和,则由等差数列及等比数列的求和公式得,S20=S10+(a11+a12+…+a20)=477.5+4 950×(1-0.9910)≈972.5,∴新政策实施到2035年的人口平均值为=48.625<49,故2035年后不需要调整政策.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 错位相减法求和1.(2017河北武邑高三上学期第三次调研)已知数列{a n}是等比数列,首项a1=1,公比q>0,其前n项和为S n,且S1+a1,S3+a3,S2+a2成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足a n+1=,T n为数列{b n}的前n项和,若T n≥m恒成立,求m的最大值.解析(1)由题意可知,2(S3+a3)=(S1+a1)+(S2+a2),∴S3-S1+S3-S2=a1+a2-2a3,即4a3=a1,于是=q2=.∵q>0,∴q=.∵a1=1,∴a n=.(2)∵a n+1=,∴=,∴b n=n·2n-1,∴T n=1×1+2×2+3×22+…+n·2n-1,①∴2T n=1×2+2×22+3×23+…+n·2n.②由①-②得,-T n=1+2+22+…+2n-1-n·2n=-n·2n=(1-n)·2n-1,∴T n=1+(n-1)·2n.∵T n≥m恒成立,只需(T n)min≥m即可,∵T n+1-T n=n·2n+1-(n-1)·2n=(n+1)·2n>0,∴{T n}为递增数列,∴当n=1时,(T n)min=T1=1,∴m≤1,∴m的最大值为1.方法2 裂项相消法求和2.(2018内蒙古巴彦淖尔第一中学月考,9)定义为n个正数p1,p2,…,p n的“均倒数”,已知数列{a n}的前n项的“均倒数”为,又b n=,则++…+等于( )A. B. C. D.答案 C3.(2017陕西渭南二模,9)设S n为等差数列{a n}的前n项和,a2=3,S5=25,若的前n项和为,则n的值为( )A.504B.1 008C.1 009D.2 017答案 B4.(2017湖南湘潭三模,17)已知数列{a n}满足S n=2a n-1(n∈N*),{b n}是等差数列,且b1=a1,b4=a3.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)若c n=-(n∈N*),求数列{c n}的前n项和T n.解析(1)∵S n=2a n-1,∴n≥2时,S n-1=2a n-1-1,∴a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1,n≥2,即a n=2a n-1,n≥2.当n=1时,S1=a1=2a1-1,∴a1=1,∴{a n}是以1为首项,2为公比的等比数列,∴a n=2n-1,∴b4=a3=4,又b1=1,∴==1.∴b n=1+(n-1)=n.(2)由(1)知c n=-=21-n-=21-n-2,∴T n=-2=2--2=-21-n.。
2019版高考数学理高分计划一轮狂刷练：第3章 三角函数
[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0成中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 答案 A解析 依题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π3＋φ＝0，8π3＋φ＝k π＋π2，φ＝k π－136π(k ∈Z )，因此|φ|的最小值是π6.故选A.2．已知函数y ＝sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上是增函数，则实数ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，0 B ．[－3,0) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 D ．(0,3]答案 C解析 由于y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，为保证y ＝sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上是增函数，所以ω>0， 且π3ω≤π2，则0<ω≤32.故选C.3．(2017·成都调研)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3 答案 A解析 因为0≤x ≤9，所以－π3≤π6x －π3≤7π6， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.所以y ∈[－3，2]，所以y max ＋y min ＝2－3，选A.4．(2017·长沙模拟)设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且是偶函数，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4内单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4内单调递增答案 A解析 由条件，知ω＝2.因为f (x )是偶函数，且|φ|<π2，所以φ＝π4， 这时f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x .因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，2x ∈(0，π)， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减．故选A.5．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称答案 D解析 由题意知，f (x )＝cos x ，所以它是偶函数，A 错误；它的周期为2π，B 错误；它的对称轴是直线x ＝k π，k ∈Z ，C 错误；它的对称中心是点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，D 正确．故选D.6．(2017·广州综合测试)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0，则函数f (x )的单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π8，2k π＋5π8(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 答案 D解析 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3π8＋φ＝0，则2×3π8＋φ＝k π，k∈Z ，解得φ＝－3π4＋k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ＝π4，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则由π2＋2k π≤2x ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z ，故选D.7．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析 由y ＝sin πx 3可得T ＝6，则由图象可知5T4≤t ，即152≤t ， ∴t min ＝8.故选C.8．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位长度后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32 答案 A解析 将f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象左移π6个单位长度得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则π3＋φ＝k π(k ∈Z )，且|φ|<π2，所以φ＝－π3，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最小值，最小值为－32，选A.9．若函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－M ，f (b )＝M ，则函数g (x )＝M cos(ωx ＋φ)在[a ，b ]上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值－M解析 解法一：(特值法)取M ＝2，ω＝1，φ＝0画图象即得答案． 解法二：T ＝2πω，g (x )＝M cos(ωx ＋φ)＝M sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π2＝M sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2ω＋φ，∴g (x )的图象是由f (x )的图象向左平移π2ω⎝ ⎛⎭⎪⎫即T 4得到的．由b －a ＝T2，可知，g (x )的图象由f (x )的图象向左平移b －a 2得到的． ∴得到g (x )图象如图所示．选C.10．(2018·新疆质检)已知函数f (x )＝|sin x |·cos x ，给出下列五个结论：①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2018π3＝－34； ②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则x 1＝x 2＋k π(k ∈Z )；③f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增；④函数f (x )的周期为π；⑤f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0成中心对称． 其中正确的结论是( )A ．①⑤B ．①②⑤C ．②④D ．②⑤ 答案 A解析 ①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2018π3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2018π3·cos 2018π3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－34，∴①正确；②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪12sin2x 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12sin2x 2，当x 1＝0，x 2＝π2时也成立，∴②不正确；③∵当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )＝|sin x |cos x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12sin2x ，－π4≤x <0，12sin2x ，0≤x ≤π4，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上不是单调函数，∴③不正确；④∵f (x ＋π)≠f (x )，∴函数f (x )的周期不是π，∴④不正确； ⑤∵f (x )＝|sin x |cos x＝⎩⎪⎨⎪⎧－12sin2x ，－π＋2k π<x <2k π，12sin2x ，2k π≤x <π＋2k π，k ∈Z ，∴结合图象可知f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0成中心对称，∴⑤正确．故选A. 二、填空题11．设函数f (x )＝sin(3x ＋φ)(0<φ<π)，若函数f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.答案 2π3解析 由题意得f ′(x )＝3cos(3x ＋φ)，f (x )＋f ′(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋π3是奇函数，因此φ＋π3＝k π(其中k ∈Z )，φ＝k π－π3.又0<φ<π，所以φ＝2π3.12．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<φ<π的图象，仅向右平移4π3，或仅向左平移2π3，所得到的函数图象均关于原点对称，则ω＝________.答案 12解析 注意到函数的两条相邻对称轴之间距离是函数周期的一半，即有T 2＝4π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝2π，T ＝4π，即2πω＝4π，ω＝12. 13．(2017·绵阳模拟)已知函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，A (a,0)，B (b,0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝________. 答案 －2解析 ∵函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数， ∴φ＝π2，f (x )＝－4sin ωx .A (a,0)，B (b,0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1， 则12·2πω＝1，∴ω＝π，f (x )＝－4sinπx ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝－4sin π6＝－2.14．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中：①图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称； ②图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π3，0对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数； ④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0上是增函数．所有正确结论的编号为________． 答案 ②④解析 ∵y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，∴ω＝2ππ＝2.又其图象关于直线x ＝π12对称，得π6＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )．令k ＝0，得φ＝π3.∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.当x ＝π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，∴函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称．所以②正确．解不等式－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z )，所以④正确．三、解答题15．已知函数f (x )＝2sin x ＋1.(1)设ω为大于0的常数，若f (ωx )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上单调递增，求实数ω的取值范围；解 (1)当a ＝1时，f (x )＝－cos 2x ＋cos x ＋2＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －122＋94.∵cos x ∈[－1,1]，∴当cos x ＝12，即x ＝2k π±π3(k ∈Z )时， f (x )max ＝94.(2)依题意sin 2x ＋a cos x ＋a ≤1，即sin 2x ＋a (cos x ＋1)≤1对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2恒成立． 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，0≤cos x ≤1，则1≤cos x ＋1≤2，∴a ≤ cos 2xcos x ＋1对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2恒成立． 令t ＝cos x ＋1，则1≤t ≤2，∴a ≤(t －1)2t ＝t 2－2t ＋1t＝t ＋1t －2对任意1≤t ≤2恒成立，于是a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t －2min . 又∵t ＋1t －2≥0，当且仅当t ＝1，即x ＝π2时取等号， ∴a ≤0.。
2019届高考数学人教A版理科第一轮复习综合测试卷 含解析 精品
综合测试卷(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知x,y∈R,i是虚数单位,若2+x i与互为共轭复数,则(x+y i)2=()A.3iB.3+2iC.-2iD.2i2.若集合A={x|lo(2x+1)>-1},集合B={x|1<3x<9},则A∩B=()A. B. C.(0,2) D.3.设a=,b=,c=logπ,则()A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c4.根据下边程序框图,当输入x为2 017时,输出的y=()A.2B.4C.10D.285.(2017山东,理5)为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为x+.已知x i=225,y i=1 600,=4,该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为()A.160B.163C.166D.1706.若将函数f sin x-cos x的图象向右平移m(0<m<π)个单位长度,得到的图象关于原点对称,则m=()A.B.C.D.7.若椭圆+y2=1(m>1)与双曲线-y2=1(n>0)有共同的焦点F1,F2,P是两曲线的一个交点,则△F1PF2的面积是()A.3B.1C.D.8.已知变量x,y满足约束条件,则实数a的取值范围是()A.(0,1]B.[0,1)C.[0,1]D.(0,1)9.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2=b2+c2+bc.若a=,S为△ABC的面积,则S+3cos B cos C的最大值为()A.3B.C.2D.10.直线y=kx+1与曲线f(x)=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于()A.2B.-1C.1D.-211.对∀α∈R,n∈[0,2],向量c=(2n+3cos α,n-3sin α)的长度不超过6的概率为()A. B. C. D.12.已知数列{a n}满足a1=15,=2,则的最小值为()A.7B.2-1C.9D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(x2-x+y)5的展开式中x3y2项的系数等于.14.已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,且|AB|=,则=.15.若函数f(x)=在其定义域上只有一个零点,则实数a的取值范围是.16.(2017山东,理13)由一个长方体和两个圆柱构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(12分)若数列{a n}满足:a1=,a2=2,3(a n+1-2a n+a n-1)=2.(1)证明:数列{a n+1-a n}是等差数列;(2)求使+…+成立的最小的正整数n.18.(12分)某电脑公司有6名产品推销员:(1)求年推销金额y与工作年限x之间的相关系数;(2)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程;(3)若第6名推销员的工作年限为11年,试估计他的年推销金额.参考数据:≈1.02;由检验水平0.01及n-2=3,查表得r0.01=0.959.参考公式:线性相关系数公式r=;线性回归方程系数公式:x+,其中.19.(12分)如图,已知在长方形ABCD中,AB=2AD,M为DC的中点.将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM.(1)求证:AD⊥BM;(2)若E是线段DB的中点,求AE与平面BDM所成角的正弦值.20.(12分)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,且过点(2,).(1)求椭圆的标准方程;(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上,且对角线AC,BD过原点O,若k AC·k BD=-.①求的最值;②求证:四边形ABCD的面积为定值.21.(12分)设函数f(x)=a e x(x+1)(其中e=2.718 28…),g(x)=x2+bx+2,已知它们在x=0处有相同的切线.(1)求函数f(x),g(x)的解析式;(2)求函数f(x)在区间[t,t+1](t>-3)上的最小值;(3)若对∀x≥-2,kf(x)≥g(x)恒成立,求实数k的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4—4:坐标系与参数方程]22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,过点P作倾斜角为α的直线l与曲线C:(x-1)2+(y-2)2=1相交于不同的两点M,N.(1)写出直线l的参数方程与曲线C的极坐标方程;(2)求的取值范围.[选修4—5:不等式选讲]23.(10分)已知函数f(x)=|x-2|+2|x+a|(a>0).(1)当a=1时,解不等式f(x)>8;(2)若不等式f(x)≥3在区间(-∞,+∞)内恒成立,求实数a的取值范围.答案：1.D解析∵=,∴解得∴(x+y i)2=(1+i)2=2i.2.A解析∵A={x|lo(2x+1)>-1}=,B={x|1<3x<9}={x|0<x<2},∴A∩B=,故选A.3.B解析设d=,由指数函数f(x)=与g(x)=的单调性知,a>d,b>,再由幂函数h(x)=的单调性知,d>b,故a>b>.又π>e,所以c<.所以c<b<a.故选B.4.B解析由程序框图可知,每运行一次,x的值减少2,当程序框图运行了1 009次后,x=-1,此时终止循环,由y=3-x+1可知,y=3-(-1)+1=4,故输出y的值为4,故选B.5.C解析由已知得x i=22.5,y i=160,又=4,所以=160-4×22.5=70,故当x=24时,=4×24+70=166.故选C.6.A解析f(x)=sin x-cos x=sin,图象向右平移m(0<m<π)个单位长度,得到y=sin,由于得到的图象关于原点对称,故是奇函数,所以--m=kπ,k∈Z,当k=-1时,m=.7.B解析设两个圆锥曲线的焦距为2c,椭圆的长轴长为2,双曲线的实轴长为2,由题意,得m-1=n+1,即m-n=2.不妨令P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2, ①由椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=2, ②①2+②2,得|PF1|2+|PF2|2=2(m+n),即有|PF1|·|PF2|=m-n=2,又|F1F2|=2,可得|PF1|2+|PF2|2=4(m-1),|F1F2|2=4(m-1),即|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,则△F1PF2为直角三角形.即有△PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|=×2=1.8.C解析表示区域内的点(x,y)与定点A(2,0)连线的斜率k.作出约束条件所表示的平面区域如图所示.观察上图可知,当BC与y轴重合时,|k|≤k AC=;当BC向右移动时,|k|≤k AC<.综上可知,a∈[0,1].9.A解析由cos A==-,可知A=,又a=,故S=bc sin A=·a sin C=3sin B sin C.因此S+3cos B cos C=3sin B sin C+3cos B cos C=3cos(B-C),于是当B=C时,S+3cos B cos C取得最大值3.10.C解析依题意知,f'(x)=3x2+a,则由此解得所以2a+b=1.11.C解析由题意,知|c|≤6,即(2n+3cos α)2+(n-3sin α)2≤36,整理,得5n2+6n(2cos α-sin α)≤27,即6n cos(α+θ)≤27-5n2,即当n=0时,不等式成立;当n≠0时,不等式等价于cos(α+θ)≤,要使cos(α+θ)≤恒成立,则1≤,即5n2+6n-27≤0,解得≤n≤.∵n∈[0,2],∴0<n≤.综上,0≤n≤.故所求的概率为,故选C.12.D解析由题意知,a n+1-a n=2n,所以a2-a1=2,a3-a2=2×2,……,a n-a n-1=2(n-1),将以上(n-1)个式子相加,得a n-a1=2(1+2+3+…+n-1)==n2-n, 所以a n=n2-n+15,所以=n+-1,令g(x)=x+-1,则g'(x)=1-,当x∈[0,3]时,g'(x)<0,当x∈[4,+∞),g'(x)>0,g(3)=7,g(4)=,故最小值为. 13.-10解析(y+x2-x)5的展开式的通项公式T r+1=y5-r(x2-x)r,令5-r=2,解得r=3.(x2-x)3的展开式的通项公式T k+1=(x2)3-k(-x)k=(-1)k x6-k,令6-k=3,解得k=3.故(x2-x+y)5的展开式中x3y2项的系数为-=-10.14.-解析如图,作OC⊥AB于点C,|AB|=,在Rt△OAC中,因为AC=,OA=1,所以∠AOC=60°,则∠AOB=120°,所以=1×1×cos 120°=-.15.(16,+∞)解析当x≤0时,y=-x与y=3x的图象有一个交点,而f(x)在其定义域上只有一个零点,所以当x>0时,f(x)没有零点.当x>0时,f'(x)=x2-4,令f'(x)=0,得x=2,所以f(x)在(0,2)内单调递减,在(2,+∞)内单调递增,f(x)在x=2处取得最小值f(2)=>0,解得a>16.16.2+解析由三视图还原几何体如图所示,故该几何体的体积V=2×1×1+2×π×12×1=2+.17.(1)证明由3(a n+1-2a n+a n-1)=2可得,a n+1-2a n+a n-1=,即(a n+1-a n)-(a n-a n-1)=,故数列{a n+1-a n}是以a2-a1=为首项,为公差的等差数列.(2)解由(1)知a n+1-a n=(n-1)=(n+1),于是累加求和得a n=a1+(2+3+…+n)=n(n+1),故=3,因此+…+=3-,可得n>5,故最小的正整数n为6.18.解(1)由(x i-)(y i-)=10,(x i-)2=20,(y i-)2=5.2,可得r=≈0.98;即年推销金额y与工作年限x之间的相关系数约为0.98.(2)由(1)知,r=0.98>0.959=r0.01,故可以认为年推销金额y与工作年限x之间具有较强的线性相关关系.设所求的线性回归方程为x+,则=0.5,=0.4.因此年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为=0.5x+0.4.(3)由(2)可知,当x=11时,=0.5x+0.4=0.5×11+0.4=5.9(万元).故可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元.19.(1)证明∵四边形ABCD是矩形,AB=2AD,M为CD的中点,∴AM=BM=AD.∴AM2+BM2=AB2,∴AM⊥BM.∵平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩平面ABCM=AM,BM⊂平面ABCM,∴BM⊥平面ADM.∵AD⊂平面ADM,∴AD⊥BM.(2)解过M作平面ABCM的垂线Mz,以M为原点,以MA,MB,Mz为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示.设AD=1,则AM=BM=,M(0,0,0),A(,0,0),B(0,,0),D,E.∴=(0,,0),.设平面BMD的法向量为n=(x,y,z),则令z=1,得n=(-1,0,1).∴n·.∴cos<n,>=.∴AE与平面BDM所成角的正弦值为.20.解(1)由题意,知e==1,又a2=b2+c2,解得a2=8,b2=4,∴椭圆的标准方程为=1.(2)设直线AB的方程为y=kx+m,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,Δ=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0,(*)∵k OA·k OB=-=-,∴=-.y1y2=-x1x2=-=-,又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2·+km·+m2=,∴-,∴-(m2-4)=m2-8k2,∴4k2+2=m2.①=x1x2+y1y2==2-,∴-2=2-4≤<2.当k=0(此时m2=2满足(*)式),即直线AB平行于x轴时,取最小值为-2.又直线AB的斜率不存在时,=2,∴的最大值为2.②证明:设原点到直线AB的距离为d,则S△AOB=|AB|·d=·|x2-x1|·====2=2,∴=4S△AOB=8,即四边形ABCD的面积为定值.21.解(1)f'(x)=a e x(x+2),g'(x)=2x+b.由题意,两函数在x=0处有相同的切线.∴f'(0)=2a,g'(0)=b,∴2a=b,f(0)=a=g(0)=2,∴a=2,b=4,∴f(x)=2e x(x+1),g(x)=x2+4x+2.(2)f'(x)=2e x(x+2),由f'(x)>0得x>-2,由f'(x)<0得x<-2,∴f(x)在区间(-2,+∞)内单调递增,在区间(-∞,-2)内单调递减.∵t>-3,∴t+1>-2.①当-3<t<-2时,f(x)在区间[t,-2]上单调递减,在区间[-2,t+1]上单调递增,∴f(x)min=f(-2)=-2e-2.②当t≥-2时,f(x)在区间[t,t+1]上单调递增,∴f(x)min=f(t)=2e t(t+1);∴f(x)min=(3)令F(x)=kf(x)-g(x)=2k e x(x+1)-x2-4x-2,由题意当x≥-2,F(x)min≥0.∵∀x≥-2,kf(x)≥g(x)恒成立,∴F(0)=2k-2≥0,∴k≥1.F'(x)=2k e x(x+1)+2k e x-2x-4=2(x+2)(k e x-1).∵x≥-2,由F'(x)>0,得e x>,∴x>ln;由F'(x)<0,得x<ln.∴F(x)在区间上单调递减,在区间内单调递增.①当ln<-2,即k>e2时,F(x)在区间[-2,+∞)内单调递增,F(x)min=F(-2)=-2k e-2+2=(e2-k)<0,不满足F(x)min≥0.②当ln=-2,即k=e2时,由①知,F(x)min=F(-2)=(e2-k)=0,满足F(x)min≥0.③当ln>-2,即1≤k<e2时,F(x)在区间上单调递减,在区间内单调递增.F(x)min=F=ln k(2-ln k)>0,满足F(x)min≥0.综上所述,满足题意的k的取值范围为[1,e2].22.解(1)由题意,直线l的参数方程为(t为参数).由(x-1)2+(y-2)2=1得,x2+y2-2x-4y+4=0,将y=ρsin θ,x=ρcos θ,ρ2=x2+y2代入得,ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.(2)把直线l的参数方程(t为参数)代入x2+y2-2x-4y+4=0,得t2+(2cos α-sin α)t+=0,由Δ>0,得|2cos α-sin α|>1.故=4|2cos α-sin α|∈(4,4].23.解(1)当a=1时,f(x)=|x-2|+2|x+1|,①当x≤-1时,f(x)=2-x-2(x+1)=-3x,由f(x)>8,得-3x>8,解得x<-;②-1<x≤2时,f(x)=2-x+2(x+1)=x+4,由f(x)>8,得x>4,∴此时不等式无解;③当x>2时,f(x)=x-2+2(x+1)=3x,由f(x)>8,得3x>8,解得x>.综上,不等式f(x)>3的解集为.(2)∵a>0,∴-a<0<2,f(x)=|x-2|+2|x+a|=∴f(x)min=f(-a)=a+2,f(x)≥3,即a+2≥3,解得a≥1.。
2019版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
解析：∵cosπ6－x＝cos
π 6cos
x12sin x＝12(sin x＋ 3cos x)＝12×65＝35.
答案：35
课 堂 考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
考点一 三角函数公式的基本应用
[题组练透]
1．已知 sinα＋π6＋cos α＝－ 33，则 cosπ6－α＝(
2
·1ta－n2tαa＋n2α1＋
2 2
＝ 22×322×＋31＋ 2×312－＋312＋ 22＝0.
答案：0
考点三 角的变换
[典例引领]
已知 0＜β＜π2＜α＜π，且 cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23， 求 cos(α＋β)．
解：∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π，
)
A．－2 3 2
B．2
2 3
C．－13
D．13
解析：由 sinα＋π6＋cos α＝－ 33，
展开化简可得 sinα＋π3＝－13，
所以 cosπ6－α＝cos π2－α＋π3 ＝sinα＋π3＝－13.
答案：C
2．已知函数 f(x)＝sin x－cos x，且 f′(x)＝12 f(x)，则 tan 2x 的
3
C. 3
D．2 2－1
解析：
4cos
50°－tan
40°＝4sin
40°－csions
40° 40°
＝4sin
40°cos 40°－sin cos 40°
40°＝2sin
80°－sin cos 40°
40°
＝2sin120°－40°－sin 40°＝ 3cos 40°＋sin 40°－sin 40°
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§4.3三角函数的最值与综合应用考纲解读分析解读 1.求三角函数最值时,一般要进行一些代数变换和三角变换,要注意函数有意义的条件及正、余弦函数的有界性.2.借助辅助角公式将函数y=asinωx+bcosωx化为y=sin(ωx+φ)的形式,求最值是高考热点.3.本节在高考中分值为5分或12分,属于中低档题.五年高考考点一三角函数的最值1.(2016课标全国Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在单调,则ω的最大值为()A.11B.9C.7D.5答案B2.(2015陕西,3,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10答案C3.(2017课标全国Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin2x+cos x-的最大值是. 答案14.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解析(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-),a∥b,所以-cos x=3sin x.若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x≠0.于是tan x=-.又x∈[0,π],所以x=.(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-)=3cos x-sin x=2cos.因为x∈[0,π],所以x+∈,从而-1≤cos≤.于是,当x+=,即x=0时,f(x)取到最大值3;当x+=π,即x=时,f(x)取到最小值-2.教师用书专用(5—8)5.(2015天津,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.解析(1)由已知,有f(x)=-=-cos2x=sin2x-cos2x=sin.所以,f(x)的最小正周期T==π.(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,f=-,f=-,f=.所以,f(x)在区间上的最大值为,最小值为-.6.(2015北京,15,13分)已知函数f(x)=sincos-sin2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值.解析(1)因为f(x)=sin x-(1-cos x)=sin-,所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为-π≤x≤0,所以-≤x+≤.当x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值.所以f(x)在区间[-π,0]上的最小值为f=-1-.7.(2013辽宁,17,12分)设向量a=(sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈.(1)若|a|=|b|,求x的值;(2)设函数f(x)=a·b,求f(x)的最大值.解析(1)由|a|2=(sin x)2+(sin x)2=4sin2x,|b|2=(cos x)2+(sin x)2=1及|a|=|b|,得4sin2x=1.又x∈,从而sin x=,所以x=.(6分)(2)f(x)=a·b=sin x·cos x+sin2x=sin2x-cos2x+=sin+,当x=∈时,sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.(12分)8.(2013陕西,16,12分)已知向量a=,b=(sin x,cos2x),x∈R,设函数f(x)=a·b.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在上的最大值和最小值.解析f(x)=·(sin x,cos2x)=cos xsin x-cos2x=sin2x-cos2x=cossin2x-sincos2x=sin.(1)f(x)的最小正周期为T===π,即函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x≤,∴-≤2x-≤.由正弦函数的性质,当2x-=,即x=时,f(x)取得最大值1.当2x-=-,即x=0时,f(0)=-,当2x-=π,即x=时,f=,∴f(x)的最小值为-.因此,f(x)在上的最大值是1,最小值是-.考点二三角函数的图象和性质的综合应用1.(2015安徽,10,5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是()A.f(2)<f(-2)<f(0)B.f(0)<f(2)<f(-2)C.f(-2)<f(0)<f(2)D.f(2)<f(0)<f(-2)答案A2.(2014安徽,11,5分)若将函数f(x)=sin的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是.答案解析根据题意设g(x)=f(x-φ)=sin,则g(x)的图象关于y轴对称,∴g(0)=±1,即sin=±1,∴-2φ+=kπ+(k∈Z),∴φ=--(k∈Z).∴当k=-1时,φ的最小正值为.3.(2014四川,16,12分)已知函数f(x)=sin.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,f=coscos2α,求cosα-sinα的值.解析(1)因为函数y=sin x的单调递增区间为,k∈Z.由-+2kπ≤3x+≤+2kπ,k∈Z,得-+≤x≤+,k∈Z.所以,函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.(2)由已知,有sin=cos(cos2α-sin2α),所以sinαcos+cosαsin=(cos2α-sin2α).即sinα+cosα=(cosα-sinα)2(sinα+cosα).当sinα+cosα=0时,由α是第二象限角,知α=+2kπ,k∈Z.此时,cosα-sinα=-.当sinα+cosα≠0时,有(cosα-sinα)2=.由α是第二象限角,知cosα-sinα<0,此时cosα-sinα=-.综上所述,cosα-sinα=-或-.教师用书专用(4—8)4.(2013江西,10,5分)如图,半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1,l2之间,l∥l1,l与半圆相交于F,G两点,与三角形ABC两边相交于E,D两点.设弧的长为x(0<x<π),y=EB+BC+CD,若l从l1平行移动到l2,则函数y=f(x)的图象大致是()答案D5.(2015福建,19,13分)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos x的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)内有两个不同的解α,β.(i)求实数m的取值范围;(ii)证明:cos(α-β)=-1.解析(1)将g(x)=cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cos x的图象,再将y=2cos x的图象向右平移个单位长度后得到y=2cos的图象,故f(x)=2sin x.从而函数f(x)=2sin x图象的对称轴方程为x=kπ+(k∈Z).(2)(i)f(x)+g(x)=2sin x+cos x==sin(x+φ).依题意知,sin(x+φ)=在[0,2π)内有两个不同的解α,β,当且仅当<1,故m的取值范围是(-,). (ii)证法一:因为α,β是方程sin(x+φ)=m在[0,2π)内的两个不同的解,所以sin(α+φ)=,sin(β+φ)=.当1≤m<时,α+β=2,即α-β=π-2(β+φ);当-<m<1时,α+β=2,即α-β=3π-2(β+φ),所以cos(α-β)=-cos[2(β+φ)]=2sin2(β+φ)-1=2-1=-1.证法二:因为α,β是方程sin(x+φ)=m在[0,2π)内的两个不同的解,所以sin(α+φ)=,sin(β+φ)=.当1≤m<时,α+β=2,即α+φ=π-(β+φ);当-<m<1时,α+β=2,即α+φ=3π-(β+φ).所以cos(α+φ)=-cos(β+φ).于是cos(α-β)=cos[(α+φ)-(β+φ)]=cos(α+φ)cos(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)=-cos2(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)=-+=-1.6.(2014湖北,17,11分)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-cost-sint,t∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差;(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?解析(1)f(t)=10-2=10-2sin,因为0≤t<24,所以≤t+<,-1≤sin≤1.于是f(t)在[0,24)上的最大值为12,最小值为8.故实验室这一天最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃.(2)依题意知,当f(t)>11时,实验室需要降温.由(1)得f(t)=10-2sin,故有10-2sin>11,即sin<-.又0≤t<24,因此<t+<,即10<t<18.故在10时至18时实验室需要降温.7.(2013天津,15,13分)已知函数f(x)=-sin+6sin xcos x-2cos2x+1,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.解析(1)f(x)=-sin2x·cos-cos2x·sin+3sin2x-cos2x=2sin2x-2cos2x=2sin.所以f(x)的最小正周期T==π.(2)易知f(x)在区间上是增函数,在区间上是减函数.又f(0)=-2,f=2,f=2,故函数f(x)在区间上的最大值为2,最小值为-2.8.(2013湖南,17,12分)已知函数f(x)=sin+cos,g(x)=2sin2.(1)若α是第一象限角,且f(α)=,求g(α)的值;(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合.解析f(x)=sin+cos=sin x-cos x+cos x+sin x=sin x,g(x)=2sin2=1-cos x.(1)由f(α)=得sinα=.又α是第一象限角,所以cosα>0.从而g(α)=1-cosα=1-=1-=.(2)f(x)≥g(x)等价于sin x≥1-cos x,即sin x+cos x≥1.于是sin≥.从而2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z,即2kπ≤x≤2kπ+,k∈Z.故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为x2kπ≤x≤2kπ+,k∈Z.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一三角函数的最值1.(2018云南玉溪模拟,6)当-≤x≤时,函数f(x)=sin(2π+x)+cos(2π-x)-sin的最大值和最小值分别是()A.,-B.,C.,-D.,-答案A2.(2017广东惠州第三次调研,8)函数y=cos2x+2sin x的最大值为()A. B.1C. D.2答案C3.(2016河北衡水中学二调,15)函数y=sin x-cos x-sin xcos x的最大值为.答案+解析令sin x-cos x=t∈[-,],则t2=1-2sin xcos x,∴函数y=t-=t2+t-=(t+1)2-1,故当t=时,函数y取得最大值+.考点二三角函数的图象和性质的综合应用4.(2018广东五校联考,8)将曲线C1:y=sin上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2:y=g(x),则g(x)在[-π,0]上的单调递增区间是()A. B.C. D.答案B5.(2017河南焦作二模,5)将函数y=cos图象上的点P向右平移m(m>0)个单位长度后得到点P',若P'在函数y=cos2x的图象上,则()A.t=-,m的最小值为B.t=-,m的最小值为C.t=-,m的最小值为D.t=-,m的最小值为答案D6.(2017广东海珠上学期高三综合测试(一),12)已知函数f(x)=|cos x|sin x,给出下列四个说法:①函数f(x)的周期为π;②若|f(x1)|=|f(x2)|,则x1=x2+kπ,k∈Z;③f(x)在区间上单调递增;④f(x)的图象关于点中心对称.其中正确说法的个数是()A.3B.2C.1D.0答案CB组2016—2018年模拟·提升题组(满分:55分时间:50分钟)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018辽宁庄河高级中学、沈阳第二十中学第一次联考,6)已知函数f(x)=asin x+cos x(a 为常数,x∈R)的图象关于直线x=对称,则函数g(x)=sin x+acos x的图象()A.关于点对称B.关于点对称C.关于直线x=对称D.关于直线x=对称答案C2.(2018河南洛阳尖子生第一次联考,11)已知函数f(x)=sin(sin x)+cos(sin x),x∈R,则下列说法正确的是()A.函数f(x)是周期函数,且最小正周期为πB.函数f(x)是奇函数C.函数f(x)在区间上的值域为[1,]D.函数f(x)在上是增函数答案C3.(2017江西抚州七校联考,9)将函数f(x)=2sin的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数g(x)的图象.若g(x1)g(x2)=9,且x1,x2∈[-2π,2π],则2x1-x2的最大值为()A. B. C. D.答案A4.(2016河南南阳期中,6)如图所示,M,N是函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)的图象与x轴的交点,点P在M,N之间的函数图象上运动,若当△MPN面积最大时,·=0,则ω=()A. B. C. D.8答案A5.(人教A必4,一,1-6,例2,变式)函数f(x)=|sin x|+2|cos x|的值域为()A.[1,]B.[1,2]C.[2,]D.[,3]答案A二、填空题(共5分)6.(2018江苏盐城期中,10)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)其中A,ω,φ为常数且A>0,ω>0,-<φ<,f(x)的部分图象如图所示,若f(α)=,则f的值为.答案三、解答题(共25分)7.(2018湖北荆州一模,17)已知函数f(x)=2sin xcos x+2sin2x.(1)若f(x)=0,x∈,求x的值;(2)将函数f(x)的图象先向左平移个单位,再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,若函数y=h(x)与y=g(x)的图象关于直线x=对称,求函数h(x)在上的值域.解析f(x)=2sin xcos x+2sin2x=sin2x+1-cos2x=2sin+1.(1)由f(x)=0,得2sin+1=0,∴sin=-.∴2x-=-+2kπ或2x-=-+2kπ,k∈Z,∴x=kπ或x=-+kπ,k∈Z,又∵x∈,∴x=0或-或.(2)将函数f(x)的图象先向左平移个单位,可得函数图象的解析式为y=2sin+1=2sin+1=2cos2x+1,再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数图象的解析式为g(x)=2cos x+1.∵函数y=h(x)与y=g(x)的图象关于直线x=对称,∴h(x)=g=2sin x+1.∵x∈,∴sin x∈.故函数h(x)的值域为(0,3].8.(2017湖北百所重点校高三联考,20)已知函数f(x)=sin-2sincos.(1)求函数f(x)的最小正周期T和单调递增区间;(2)若x∈,且F(x)=-4λf(x)-cos的最小值是-,求实数λ的值.解析(1)∵f(x)=sin-2sincos=cos2x+sin2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x)=cos2x+sin 2x+sin2x-cos2x=cos2x+sin2x-cos2x=sin,∴T==π.由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z)得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(2)F(x)=-4λf(x)-cos=-4λsin-=2sin2-4λsin-1=2-1-2λ2.∵x∈,∴0≤2x-≤,∴0≤sin≤1.①当λ<0时,当且仅当sin=0时,F(x)取得最小值-1,与已知矛盾,舍去;②当0≤λ≤1时,当且仅当sin=λ时,F(x)取得最小值-1-2λ2,由已知得-1-2λ2=-,解得λ=(负值舍去);③当λ>1时,当且仅当sin=1时,F(x)取得最小值1-4λ,由已知得1-4λ=-,解得λ=,这与λ>1相矛盾.综上所述,λ=.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1求三角函数最值的方法1.(2017江西赣中南五校二模,6)已知f(x)=sin+cos的最大值为A,若存在实数x1,x2使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则A|x1-x2|的最小值为()A. B.C. D.答案B2.(2017广西南宁二中、柳州高中、玉林高中联考,15)设当x=θ时,函数f(x)=2sin x-cos x取得最大值,则cosθ=.答案-方法2三角函数的图象和性质的综合应用3.(2017河南新乡二模,9)设函数f(x)=sin2x+x∈0,,若方程f(x)=a恰好有三个根,分别为x1,x2,x3(x1<x2<x3),则x1+x2+x3的取值范围是()A. B.C. D.答案B4.(2017安徽“江淮十校”第一次联考,15)设函数f(x)=sin(ωx+φ),其中|φ|<.若f≤f(x)≤f对任意x∈R恒成立,则正数ω的最小值为,此时φ=.答案2;-。