坐标系与参数方程午练专题练习(一)带答案人教版高中数学真题技巧总结提升
高考数学压轴专题人教版备战高考《坐标系与参数方程》真题汇编附答案
新数学《坐标系与参数方程》专题解析(1)一、131．参数方程21,11x ty t t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）所表示的曲线是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】消参化简整理得221x y +=，即得方程对应的曲线. 【详解】将1t x =代入y =，化简整理得221x y +=，同时x 不为零，且x ，y 的符号一致， 故选:D. 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查圆的方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．在极坐标系中，设圆8:sin C ρθ=与直线 ():4l R πθρ=∈交于A B ，两点，则以线段AB 为直径的圆的极坐标方程为（ ）A ．4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】首先把极坐标方程化为直角坐标方程，进一步求出圆心坐标和半径，再把直角坐标方程化为极坐标方程，即可得到答案． 【详解】由题意，圆8:sin C ρθ=化为直角坐标方程，可得22(4)16x y +-=，直线():4l R πθρ=∈化为直角坐标方程，可得y x =，由直线与圆交于,A B 两点，把直线y x =代入圆22(4)16x y +-=，解得00x y =⎧⎨=⎩或44x y =⎧⎨=⎩，所以以线段AB 为直径的圆的圆心坐标为(2,2)，半径为， 则圆的方程为22(2)(2)8x y -+-=，即22440x y x y +--=， 又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入可得24cos 4sin 0ρρθρθ--=，即4cos 4sin 4θπρθθ⎛⎫=+= ⎝+⎪⎭，故选A ． 【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及圆的标准方程的求解，其中解答中把极坐标方程互为直角坐标方程，得到以线段AB 为直径的圆的标准方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．设曲线C 的参数方程为35cos ()15sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩为参数，直线l 的方程310x y -+=，则曲线C 上到直线l 的距离为52的点的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】将圆C 化为普通方程，计算圆心到直线l 的距离，通过比较所求距离与52的关系即可得到满足条件的点的个数． 【详解】化曲线C 的参数方程为普通方程：()()223125x y -++=，圆心()3,1-到直线310x y -+=的距离3115522d ++==<， 所以直线和圆相交，过圆心和l 平行的直线和圆的2个交点符合要求， 与l 平行且与圆相切的直线和圆的一个交点符合要求，故有3个点符合题意， 故选C 【点睛】解决这类问题首先把曲线C 的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系得出结论．4．参数方程（为参数）所表示的图象是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】 由，得，代入，经过化简变形后得到曲线方程，但需注意曲线方程中变量、的符号，从而确定曲线的形状。
高考数学压轴专题人教版备战高考《坐标系与参数方程》全集汇编及答案解析
高考数学《坐标系与参数方程》课后练习一、131．设x 、y 满足223412,x y +=则2x y +的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C 【解析】 【分析】由223412x y +=得出22143x y +=，表示椭圆，写出椭圆的参数方程，利用三角函数求2x y +的最大值.【详解】由题可得：22143x y +=则2cos (x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），有22cos x y θθ+=+14sin 22con θθ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭4sin 6πθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. 因为1sin 16πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， 则： 44sin 46πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以2x y +的最大值为4. 故选：C. 【点睛】本题主要考查与椭圆上动点有关的最值问题，利用椭圆的参数方程，转化为三角函数求最值.2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l的方程为4x y +=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值是（ ） ABC ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】设曲线C上任意一点的坐标为),sinθθ，利用点到直线的距离公式结合辅助角公式可得出曲线C上的点到直线l的距离的最小值.【详解】设曲线C上任意一点的坐标为),sinθθ，所以，曲线C上的一点到直线l的距离为d==42sinπθ⎛⎫-+⎪=当()232k k Zππθπ+=+∈时，d取最小值，且mind== B.【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，考查椭圆上的点到直线距离的最值问题，解题时可将椭圆上的点用参数方程表示，利用三角恒等变换思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.3．在极坐标系中，曲线1C的极坐标方程为2sinρθ=，曲线2C的极坐标方程为ρθ=，若曲线1C与2C交于A、B两点，则AB等于（）A．1BC．2D．【答案】B【解析】【分析】由题意可知曲线1C与2C交于原点和另外一点，设点A为原点，点B的极坐标为()(),0,02ρθρθπ>≤<，联立两曲线的极坐标方程，解出ρ的值，可得出ABρ=，即可得出AB的值.【详解】易知，曲线1C与2C均过原点，设点A为原点，点B的极坐标为()(),0,02ρθρθπ>≤<，联立曲线1C与2C的坐标方程2sinρθρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得3πθρ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因此，ABρ==故选：B.【点睛】本题考查两圆的相交弦长的计算，常规方法就是计算出两圆的相交弦方程，计算出弦心距，利用勾股定理进行计算，也可以联立极坐标方程，计算出两极径的值，利用两极径的差来计算，考查方程思想的应用，属于中等题.4．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ） AB．CD．【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线和圆的普通方程，再利用圆的弦长公式求弦长. 【详解】由题意得，直线l 的普通方程为y ＝x －4， 圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4， 圆心到直线l 的距离d=，直线l 被圆C 截得的弦长为= 【点睛】(1)本题主要考查参数方程极坐标方程与普通方程的互化，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)求直线和圆相交的弦长，一般解直角三角形，利用公式||AB =.5．已知曲线T的参数方程1x ky ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（k 为参数），则其普通方程是（）A ．221x y +=B ．()2210x y x +=≠ C．00x y x ⎧>⎪=⎨<⎪⎩D．y =0x ≠)【答案】C 【解析】 【分析】 由已知1x k =得1k x=代入另一个式子即可消去参数k ，要注意分类讨论。
高考数学压轴专题人教版备战高考《坐标系与参数方程》技巧及练习题附答案解析
新数学《坐标系与参数方程》专题解析一、131．已知22451x y +=，则25x y +的最大值是（ ）A ．2B ．1C ．3D ．9【答案】A 【解析】 【分析】设1cos 25sin x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则25cos sin 2sin 4x y πααα⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数有界性得到最值. 【详解】22451x y +=，则设1cos 25sin x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则25cos sin 2sin 4x y πααα⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭ 当4πα=，即2410x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时有最大值为2故选：A 【点睛】本题考查了求最大值，利用参数方程1cos 25sin x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是解题的关键.2．在极坐标中，为极点，曲线：上两点对应的极角分别为，则的面积为 A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】将、两点的极角代入曲线的极坐标方程，求出、，将、的极角作差取绝对值得出，最后利用三角形的面积公式可求出的面积。
【详解】 依题意得：、，，所以，故选：A 。
【点睛】本题考查利用极坐标求三角形的面积，理解极坐标中极径、极角的含义，体会数与形之间的关系，并充分利用正弦、余弦定理以及三角形面积公式求解弦长、角度问题以及面积问题，能起到简化计算的作用。
3．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为22162x y +=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()36πρθ+=M 的极坐标方程为(0)θαρ=≥.设射线m 与曲线C 、直线l 分别交于A 、B 两点，则2211OAOB+的最大值为（ ） A ．34B ．25C ．23D ．13【答案】C 【解析】分析：先由曲线C 的直角坐标方程得到其极坐标方程为()221+2sin 6ρθ=，设A 、B 两点坐标为()1,ρθ，()2,ρθ，将射线M 的极坐标方程为θα=分别代入曲线C 和直线l 的极坐标方程，得到关于α的三角函数，利用三角函数性质可得结果.详解：∵曲线C 的方程为22162x y +=，即2236x y +=，∴曲线C 的极坐标方程为()221+2sin 6ρθ=设A 、B 两点坐标为()1,ρθ，()2,ρθ，联立()221+2sin 6ρθθα⎧=⎪⎨=⎪⎩，得221112sin 6θρ+=，同理得222cos 163πθρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=， 根据极坐标的几何意义可得22222212cos 111112sin 663OA OBπθθρρ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=+=+1+1cos 21cos 23sin 23666ππθθθ⎛⎫⎛⎫-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即可得其最大值为23，故选C.点睛：本题考查两线段的倒数的平方和的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，充分理解极坐标中ρ的几何意义以及联立两曲线的极坐标方程得到交点的极坐标是解题的关键，是中档题．4．已知曲线C 的极坐标方程为：22cos 2sin 0ρρθρθ--=，直线l 的极坐标方程为：4πθ=（ρ∈R ），曲线C 与直线l 相交于A B 、两点，则AB 为（ ）A B ．C D ．【答案】B 【解析】 【分析】把圆和直线的极坐标方程都转化成直角坐标方程，可得弦AB 过圆心，则2AB r =。
高考数学《坐标系与参数方程》专项练习(含答案)
《坐标系与参数方程》专项练习一、知识梳理． 1．极坐标与直角坐标的互化．设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：（1）x y cos sin， 2 x2 y2（2） tany x2．参数方程x y f g(t) (t)(t为参数)化为普通方程的常用方法．（1）代入法/加减法消参． （2）借助三角恒等式 sin2θ＋cos2θ＝1（θ 为参数）消参．3．直角坐标方程，极坐标方程和参数方程的转化关系．y Mρ θy O x Ax极坐标方程 (ρ，θ)⇔直角坐标方程(普通方程) (x，y)⇔参数方程 (t 为参数)二、练习专项． 【题型 1】①极坐标方程 ⇔ 直角坐标方程．②参数方程 ⇔ 直角坐标方程．1．（2016全国Ⅲ卷，文科23，10分）在直线坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x 3 cosy sin（α 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin(θ＋ )＝2 2 ．4（Ⅰ）写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求∣PQ∣的最小值及此时 P 的直角坐标．解：（Ⅰ）由x y 3 cos sin消去参数α得……………………1分（此处为消参的计算过程，可省略）变形得 x 3 cos y sin x2两边平方，得 3 cos2 ①y2 sin2 ②①＋②，得 x2 ＋y2＝13C1 的普通方程为 x2 ＋y2＝1……………………2 分3∵ρsin(θ＋ )＝2 24∴ρ(sinθcos ＋cosθsin )＝2 2 ……………………3 分44ρ( 2 sinθ＋ 2 cosθ)＝2 2222 ρsinθ＋ 2 ρcosθ＝2 222ρsinθ＋ρcosθ＝4……………………4 分∵ρcosθ＝x，ρsinθ＝y1 / 13∴x＋y＝4……………………5 分 （Ⅱ）由题意，可设点 P 的直角坐标为 ( 3 cos,sin ) ……………………6 分∵C2 是直线 ∴ | PQ | 的最小值即为 P 到 C2 的距离 d ( ) 的最小值d ( ) | 3 cos sin 4 | 2 | sin( ) 2 | ………………8 分23当且仅当 2k (k Z ) 时， d ( ) 取得最小值，最小值为 2 ………………9 分6此时 P 的直角坐标为 ( 3 , 1) ………………10 分 222．（2009全国卷，文/理23，10分）已知曲线C1：x y 4 3scos intt（t为参数），C2： x y 8cos 3sin（θ为参数）．（Ⅰ）化 C1，C2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1 上的点P对应的参数为t＝ 2，Q为C2 上的动点，求PQ中点M到直线C3：x y 3 2t 2 t（t 为参数）距离的最小值．解：（Ⅰ）由C1：x y 4 3scost int消去参数t得……………………1分（此处为消参的计算过程，可省略）变形得x y 4 3 cost sint两边平方，得( (x y 4) 3) cos2 t 2 sin2 t① ②①＋②，得(x＋4)2＋(y－3)2＝1∴C1 的普通方程为(x＋4)2＋(y－3)2＝1……………………2 分 ∴C1 为圆心是(－4，3)，半径是 1 的圆由C2：x y 8cos 3sin消去参数θ得……………………1分（此处为消参的计算过程，可省略）变形得 x 8 y 3 co s sin两边平方，得 x2 64 y2 9 cos2 sin2 ① ② ①＋②，得 x2 ＋ y2 ＝1 64 9∴C2 的普通方程为 x2 ＋ y2 ＝1……………………2 分64 9∴C2 为焦点在 x 轴上的椭圆（Ⅱ）当 t 时， P(4, 4) ， Q(8cos,3sin )2故 M (2 4 cos , 2 3 sin ) 2C3 为直线 x 2y 7 02 / 13M 到 C3 的距离 d 5 | 4cos 3sin 13 | 5从而当 cos 4 ,sin 3 时， d 取得最小值 8 5555【题型 2】①直角坐标方程 ⇔ 极坐标方程． ②直角坐标方程 ⇔ 参数方程．3．（2016 全国Ⅱ卷，文科 23，10 分）在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为(x＋6)2＋y2＝25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是x y t tcos sin(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝10 ．求 l 的斜率．解：（Ⅰ）由圆 C 的方程 x 62 y2 25可得……………………1 分x2＋12x＋36＋y2＝25 x2＋y2＋12x＋11＝0……………………2 分 把 x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ 代入上式得……………………3 分 ρ2＋12ρcosθ＋11＝0……………………4 分 ∴圆 C 的极坐标方程为 ρ2＋12cosθ＋11＝0……………………5 分（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 θ＝α(ρ∈R) 由 A，B 所对应的极径分别为 ρ1，ρ2……………………8 分 将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 ρ2＋12ρcosα＋11＝0……………………7 分于是 1 2 12cos, 12 11,| AB || 1 2 | (1 2 )2 412 144 cos2 44, ……………………8 分由|AB|＝ 10 得cos2 3 , tan 15 ……………………9 分83∴l 的斜率为 15 或 15 ……………………10 分334．（2015 全国Ⅰ卷，文/理 23，10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x＝－2，圆 C2：(x－1)2 ＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求 C1，C2 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝(ρ∈R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求△C2MN 的面积．解：（Ⅰ）把 x＝ρcosθ 代入 C1：x＝－2 得 ρcosθ＝－2……………………1 分 ∴C1 的极坐标方程为 ρcosθ＝－2………………2 分 由 C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1 得 (x2－2x＋1)＋(y2－4y＋4)＝1 x2＋y2－2x－4y＋1＋4＝1 x2＋y2－2x－4y＋4＝0………………3 分 把 ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ 代入上式得………………4 分 C2 的极坐标方程为 ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0………………5 分（Ⅱ）将 θ＝ 代入 ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得3 / 13ρ2－3 ρ＋4＝0………………6 分 解得 ρ1＝2 ，ρ2＝ ………………7 分 故 ρ1－ρ2＝ ，即|MN|＝ ………………8 分 由于 C2 的半径为 1∴△C2MN 的面积为 ………………10 分5．（2014全国Ⅰ卷，文/理23，10分）已知曲线C：x2 4y2 9 1，直线l：x y 2 2 t 2t(t为参数)．（Ⅰ）写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小值．解：（Ⅰ）∵曲线 C： ＝1∴ ( x)2 ( y)2 1 23又∵sin2θ＋cos2θ＝1∴ x ＝cosθ， y ＝sinθ23∴x＝2cosθ，y＝3sinθ曲线C的参数方程为x y 2 cos 3sin(θ为参数)．由直线 l：消去参数 t 得（此处为消参的计算过程，可省略） 把③代入②，得y＝2－2(x－2)由①得 t＝x－2 ③整理得 2x＋y－6＝0直线 l 的普通方程为 2x＋y－6＝0．（Ⅱ）曲线 C 上任意一点 P(2cosθ，3sinθ)到 l 的距离为d＝ |4cosθ＋3sinθ－6|则|PA|＝|5sin(θ＋α)－6|，其中 α 为锐角，且 tanα＝当 sin(θ＋α)＝－1 时，|PA|取得最大值，最大值为当 sin(θ＋α)＝1 时，|PA|取得最小值，最小值为6．（2014 全国Ⅱ卷，文/理 23，10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2cosθ，θ∈[0， ]． 2 （Ⅰ）求 C 的参数方程； （Ⅱ）设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 l：y＝ 3 x＋2 垂直，根据（Ⅰ）中你得到的 参数方程，确定 D 的坐标．解：（Ⅰ）∵ρ＝2cosθ4 / 13∴ρ2＝2ρcosθ 把 x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ 代入上式得5 / 13x2＋y2＝2x ∴C 的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1) ∴半圆 C 的圆心为(1，0)，半径为 1可得 C 的参数方程为(t 为参数，0≤t≤π)（Ⅱ）设 D(1＋cost，sint)由(Ⅰ)知 C 是以 G(1，0)为圆心，1 为半径的上半圆∵C 在点 D 处的切线与 l 垂直∴直线 GD 与 l 的斜率相同．tant＝ ，t＝故 D 的直角坐标为，即【题型 3】极坐标方程 ⇔ 参数方程．7．（2016全国Ⅰ卷，文/理23，10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x y a 1cos t asint（t 为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ＝4cosθ．（Ⅰ）说明 C1 是哪一种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线 C3 的极坐标方程为 θ＝α0，其中 α0 满足 tanα0＝2，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a．解：（Ⅰ）解法一：C1 是圆的方程…………1 分由x y a 1cos t asint消去参数t得…………2分（此处为消参的计算过程，可省略）移项，得x y a cost 1 a sint即x 2 ( y a2 1) 2cos2 a2t sin2t① ②①＋②，得两边平方，得x 2 ( y (a 1) 2cost)2 (a sint)2x2＋(y－1)2＝a2cos2t＋a2sin2t x2＋(y－1)2＝a2(cos2t＋sin2t) x2＋(y－1)2＝a2x2 y 12 a2 ①整理得 x2 y2 2y 1 a2 0 …………3 分∴把 x2 y2 2 ，y sin 代入上式得…………4 分2 2 sin 1 a2 0∴ C1 的极坐标方程为 2 2 sin 1 a2 0 …………5 分 （Ⅱ）由 C2：ρ＝4cosθ 得两边同乘 ρ 得 ρ2＝4ρcosθ ∵ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝xx2 y2 4x …………6 分即 x 22 y2 4 ②…………7 分C3：化为普通方程为 y 2x …………8 分由题意： C1 和 C2 的公共方程所在直线即为 C3 ①－②得： 4x 2y 1 a2 0 ，即为 C3 …………9 分5 / 13∴1 a2 0 6 / 13∴ a 1 …………10 分8．（2013全国Ⅰ卷，文/理23，10分）已知曲线C1的参数方程为x y 4 5 5 cos t 5sint(t为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝2sinθ．（Ⅰ）把 C1 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．解：（Ⅰ）将x y 4 5 5 cos t 5sint消去参数t得C1 的普通方程为(x－4)2＋(y－5)2＝25即 C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0将x y cos sin代入上式得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0∴C1 的极坐标方程为 ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0 （Ⅱ）∵C2 的极坐标方程为 ρ＝2sinθ∴C2 的普通方程为 x2＋y2－2y＝0由x x2 2 y2 y28x 10y 16 0 2y 0① ②（此处为解方程的过程，可省略）提取 x，得 x(x－1)＝0②－①，得 8x＋8y－16＝0∴x＝0 或 x－1＝0整理，得 y＝2－x③解得 x＝0 或 x＝1把③代入②，得把 x＝0 代入③，得 y＝2x2＋(2－x)2－2(2－x)＝0把 x＝1 代入③，得 y＝1整理，得 x2－x＝0(特别注意，x 是未知数，不能约去的)解得x y 0 2或x y 1 1C1 与 C2 交点的直角坐标分别为(0，2)，(1，1)对于点(0，2)有：ρ＝ x2 y2 ＝ 02 22 ＝2，θ＝ 2对于点(1，1)有：ρ＝ x2 y2 ＝ 12 12 ＝ 2 ，tanθ＝ y ＝1，θ＝ x4∴C1 与 C2 交点的极坐标分别为(2， )，( 2 ， )24【题型 4】其它题型：．求交点坐标，求点的坐标，求轨迹方程等．9．（2015全国Ⅱ卷，文/理23，10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1： x y t tcos sin(t为参数，t≠0)，其中 0≤α＜π．在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2 3 cosθ． （Ⅰ）求 C2 与 C3 交点的直角坐标； （Ⅱ）若 C1 与 C2 相交于点 A，C1 与 C3 相交于点 B，求|AB|的最大值． 解：（Ⅰ）∵C2：ρ＝2sinθ6 / 13∴ρ2＝2ρsinθ 把 ρ2＝x2＋y2，y＝ρsinθ 代入上式得 曲线 C2 的直角坐标方程为 x2＋y2－2y＝0 ①………………1 分∵C3：ρ＝2 cosθ∴ρ2＝2 ρcosθ 把 ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ 代入上式得曲线 C3 的直角坐标方程为 x2＋y2－2 3 x＝0 ②………………2 分联立①②得x 2x 2 y2 y22y 0 2 3x 0① ………………3 分②（此处为解方程的过程，可省略）提取 x，得 x(2x－ 3 )＝0①－②，得 －2y＋2 3 x＝0∴x＝0 或 2x－ 3 ＝0整理，得 y＝ 3 x③ 把③代入①，得 x2＋3x2－2 整理，得 2x2－ 3 x＝03 x＝0解得 x＝0 或 x＝ 32把 x＝0 代入③，得 y＝0(特别注意，x 是未知数，不能约去的) 把 x＝ 3 代入③，得 y＝ 322解得x y 0或 0x y 3 2 3 2………………4分∴C2 与 C3 交点的直角坐标为(0，0)和………………5 分（Ⅱ）曲线 C1 的极坐标方程为 θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中 0≤α<π因此 A 的极坐标为(2sinα，α)，B 的极坐标为(2 cosα，α)∴|AB|＝|2sinα－2 cosα|＝4 当 α＝ 时，|AB|取得最大值，最大值为 410．（2013全国Ⅱ卷，文/理23，10分）已知动点P，Q都在曲线C：x y 2 cos t 2sint(t为参数)上，对应参数分别为 t＝α 与 t＝2α(0＜α＜2π)，M 为 PQ 的中点．（Ⅰ）求 M 的轨迹的参数方程；（Ⅱ）将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点．解：（Ⅰ）∵动点 P，Q 都在曲线 C：(t 为参数)上∴P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α)∵M 为 PQ 的中点∴xM＝ 2cos 2cos2 ＝cosα＋cos2α 2yM＝ 2sin 2sin2 ＝sinα＋sin2α 2∴M(cosα＋cos2α，sinα＋sin2α)．∴M 的轨迹的参数方程为(α 为参数，0<α<2π)． 7 / 13（Ⅱ）M 点到坐标原点的距离 d＝(0<α<2π)．8 / 13当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点11．（2012全国卷，文/理23，10分）已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x (φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2．正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，3π)． （Ⅰ）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标； （Ⅱ）设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．解：（Ⅰ）∵点A 的极坐标为 ∴点B 的极坐标为点C 的极坐标为点D 的极坐标为∴x A ＝＝1，y A ＝＝ x B ＝2cos ＝－，y B ＝2sin＝1 x C ＝2cos ＋π＝－1，y C ＝2sin ＋π＝－x D ＝2cos ＝，y D ＝2sin ＝－1即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)（Ⅱ）设P(2cos φ，3sin φ)，令S ＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ∵0≤sin 2φ≤1∴S 的取值范围是[32，52]12．（2011全国卷，文/理23，10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 22cos 2y x (α为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP ＝2OM ，P 点的轨迹为曲线C 2． （Ⅰ）求C 2的方程；（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝3π与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |．解：（Ⅰ）设P (x ，y )，则由条件知M (2x ，2y )． 由于M 点在C 1上∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==ααsin 222cos 22y x 即⎩⎨⎧+==ααsin 44cos 4y x 从而C 2的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 44cos 4y x (α为参数)（Ⅱ）曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ射线θ＝3π与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin 3π 射线θ＝3π与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin 3π ∴|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2313．（2010全国卷，文/理23，10分）已知直线C 1：⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1t y t x （t 为参数），圆C 2：⎩⎨⎧==θθsin cos y x (θ为参数)． （Ⅰ）当α＝3π时，求C 1与C 2的交点坐标； （Ⅱ）过坐标原点O 做C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解：（Ⅰ）当α＝3π时 C 1的普通方程为1)y x -C 2的普通方程为221x y += 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1)1(322y x x y 解得C 1与C 2的交点为（1，0），1(,2 （Ⅱ）C 1的普通方程为sin cos sin 0x y ααα--=.A 点坐标为2(sin ,cos sin )a a a -，故当a 变化时，P 点轨迹的参数方程为21sin 21sin cos 2x a y a a ==-⎧⎨⎩（a 为参数） P 点轨迹的普通方程为2211()416x y -+= 故P 点是圆心为1(,0)4，半径为14的圆（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
高考数学压轴专题人教版备战高考《坐标系与参数方程》知识点训练附答案
高中数学《坐标系与参数方程》复习知识点(1)一、131．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为43cos ρθ=，若曲线1C 与2C 的关系为（ ）A ．外离B ．相交C ．相切D ．内含【答案】B 【解析】 【分析】将两曲线方程化为普通方程，可得知两曲线均为圆，计算出两圆圆心距d ，并将圆心距d 与两圆半径差的绝对值和两半径之和进行大小比较，可得出两曲线的位置关系. 【详解】在曲线1C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，得24sin ρρθ=，化为普通方程得224x y y +=，即()2224x y +-=，则曲线1C 是以点()10,2C 为圆心，以12r =为半径的圆，同理可知，曲线2C 的普通方程为()222312x y -+=，则曲线2C 是以点()223,0C 为圆心，以223r =为半径的圆， 两圆圆心距为()()22023204d =-+-=，12223232r r -=-=-，12223r r +=+，1212r r d r r ∴-<<+，因此，曲线1C 与2C 相交，故选：B.【点睛】本题考查两圆位置关系的判断，考查曲线极坐标方程与普通方程的互化，对于这类问题，通常将圆的方程化为标准方程，利用两圆圆心距与半径和差的大小关系来得出两圆的位置关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.2．如图所示，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH ……叫作“正方形的渐开线”，其中¶AE ，¶EF ，·FG，¶GH ，……的圆心依次按,,,B C D A 循环，则曲线AEFGH 的长是（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π【答案】C 【解析】 【分析】分别计算»AE ，»EF，»FG ，¼GH 的大小，再求和得到答案. 【详解】根据题意可知，»AE 的长度2π，»EF 的长度为π，»FG的长度为32π，¼GH 的长度为2π，所以曲线AEFGH 的长是5π. 【点睛】本题考察了圆弧的计算，意在考察学生的迁移能力和计算能力.3．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2202x y y +==或 B ．2x =C ．2202x y x +==或D ．2y =【答案】C 【解析】由题意得，式子可变形为(cos 2)0ρρθ-=，即0ρ=或cos 20ρθ-=，所以x 2+y 2=0或x=2，选C.【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化．4．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系. 【详解】圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)224x y ⇒+= 直线的极坐标方程为34903490cos sin x y ραρα--=⇐--=圆心到直线的距离为：925d r=<=相交圆心坐标代入直线不满足，所以直线不过圆心.故答案选D【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆心的位置关系，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.5．参数方程（为参数）所表示的图象是A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】由，得，代入，经过化简变形后得到曲线方程，但需注意曲线方程中变量、的符号，从而确定曲线的形状。
坐标系与参数方程练习题及参考答案
高二年数学选修4-4坐标系与参数方程测试班级:__________________ 座号:______ ：___________________成绩：___________ 一、选择题〔共12题，每题5分〕1、点M的直角坐标是(1-，那么点M 的极坐标为〔 〕 A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈ 2、极坐标系中，以下各点与点P 〔ρ，θ〕〔θ≠k π，k ∈Z 〕关于极轴所在直线对称的是 〔 〕A ．〔-ρ，θ〕B ．〔-ρ，-θ〕C ．〔ρ，2π-θ〕D ．〔ρ，2π+θ〕 3．点P 的极坐标为〔1，π〕，那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 〔 〕A ．ρ=1B ．ρ=cosθC ．ρ=-θcos 1D ．ρ=θcos 14．以极坐标系中的点〔1，1〕为圆心，1为半径的圆的方程是 〔 〕A ．ρ=2cos(θ-4π) B ．ρ=2sin(θ-4π) C ．ρ=2cos(θ-1) D ．ρ=2sin(θ-1) 5．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为〔 〕A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆 6．假设直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，那么直线的斜率为〔 〕A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 7．在极坐标系中，以〔2,2πa 〕为圆心，2a为半径的圆的方程为〔 〕A ．θρcos a =B ．θρsin a =C ．a =θρcosD ．a =θρsin8．曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，那么曲线是〔 〕A ．线段B .双曲线的一支 C.圆 D.射线 9、在同一坐标系中，将曲线y=2sin3x 变为曲线y=sinx 的伸缩变换是〔 〕A ．⎪⎩⎪⎨⎧==//213y y x xB ．⎪⎩⎪⎨⎧==y y xx 213//C ．⎩⎨⎧==//23y y x xD ．⎩⎨⎧==y y x x 23// 10．以下在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是〔 〕A ．1(,2B ．31(,)42-C ．D ． 11、直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心12、设P(x ，y)是曲线C ：⎩⎨⎧θ=θ+-=sin y ,cos 2x 〔θ为参数，0≤θ<2π〕上任意一点，那么yx的取值范围是 〔 〕A ．[-3，3]B ．〔-∞，3〕∪[3，+∞]C ．[-33，33]D ．〔-∞，33〕∪[33，+∞]二、填空题〔共8题，各5分〕1、点A 的直角坐标为〔1，1，1〕，那么它的球坐标为 ，柱坐标为2、曲线的1cos 3sin --=θθρ直角坐标方程为____________________3、直线3()14x att y t=+⎧⎨=-+⎩为参数过定点_____________4、设()y tx t =为参数那么圆2240x y y +-=的参数方程为__________________________。
坐标系与参数方程知识点总结及同步练习(附答案)
坐标系与参数方程 知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩g g 的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩222tan (0)x y yx xρθ=+=≠在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ,半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆2sin (0)r ρθθπ≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或 (2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=. 二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
高考数学压轴专题人教版备战高考《坐标系与参数方程》技巧及练习题附答案
新数学高考《坐标系与参数方程》专题解析一、131．曲线1C :1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)上的点到曲线2C:12112x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)上的点的最短距离为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A 【解析】 【分析】分别将圆1C 和直线2C 转化为直角坐标方程，然后利用圆上的点到直线的距离与圆心到直线距离的关系从而求出最短距离． 【详解】将1C 转化为直角坐标方程为()2211x y -+=， 所以曲线1C 是以()1,0为圆心，1为半径的圆． 将2C转化为直角坐标方程为10x y ++=，由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为2d ==，所以圆上的点到直线的最小距离为211d r -=-=， 故选A ． 【点睛】本题考查圆上的点到直线的距离，若圆心距为d ，圆的半径为r 且圆与直线相离，则圆上的点到直线距离的最大值为d r +，最小值为d r -．2．将直线1x y -=变换为直线326x y -=的一个伸缩变换为（ ） A ．23x xy y''=⎧⎨=⎩ B ．32x xy y''=⎧⎨=⎩ C ．1312x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩D ．1213x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩【答案】A 【解析】 【分析】设伸缩变换的公式为(0,0)x ax a b y by =⎧>>⎨⎩'='，则11x x ay y b ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩，代入直线1x y -=的方程，变换后的方程与直线326x y -=的一致性，即可求解． 【详解】由题意，设伸缩变换的公式为(0,0)x ax a b y by =⎧>>⎨⎩'='，则11x x ay y b ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩代入直线1x y -=的方程，可得111x y a b''-=， 要使得直线111x y a b''-=和直线326x y -=的方程一致， 则112a =且113b =，解得2,3a b ==， 所以伸缩变换的公式为23x xy y''=⎧⎨=⎩，故选A ．【点睛】本题主要考查了图形的伸缩变换公式的求解及应用，其中解答中熟记伸缩变换公式的形式，代入准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．设曲线C的参数方程为5cos ()15sin x y θθθ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩为参数，直线l10y -+=，则曲线C 上到直线l 的距离为52的点的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】将圆C 化为普通方程，计算圆心到直线l 的距离，通过比较所求距离与52的关系即可得到满足条件的点的个数． 【详解】化曲线C的参数方程为普通方程：(()22125x y ++=，圆心)1-10y -+=的距离3115522d ++==<，所以直线和圆相交，过圆心和l 平行的直线和圆的2个交点符合要求， 与l 平行且与圆相切的直线和圆的一个交点符合要求，故有3个点符合题意， 故选C 【点睛】解决这类问题首先把曲线C 的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系得出结论．4．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2202x y y +==或 B ．2x =C ．2202x y x +==或D ．2y =【答案】C 【解析】由题意得，式子可变形为(cos 2)0ρρθ-=，即0ρ=或cos 20ρθ-=，所以x 2+y 2=0或x=2，选C.【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化．5．在极坐标中，为极点，曲线：上两点对应的极角分别为，则的面积为 A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】将、两点的极角代入曲线的极坐标方程，求出、，将、的极角作差取绝对值得出，最后利用三角形的面积公式可求出的面积。
高考数学压轴专题人教版备战高考《坐标系与参数方程》专项训练解析含答案
新高中数学《坐标系与参数方程》专题解析一、131．曲线1C :1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)上的点到曲线2C:12112x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)上的点的最短距离为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A 【解析】 【分析】分别将圆1C 和直线2C 转化为直角坐标方程，然后利用圆上的点到直线的距离与圆心到直线距离的关系从而求出最短距离． 【详解】将1C 转化为直角坐标方程为()2211x y -+=， 所以曲线1C 是以()1,0为圆心，1为半径的圆． 将2C转化为直角坐标方程为10x y ++=，由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为2d ==，所以圆上的点到直线的最小距离为211d r -=-=， 故选A ． 【点睛】本题考查圆上的点到直线的距离，若圆心距为d ，圆的半径为r 且圆与直线相离，则圆上的点到直线距离的最大值为d r +，最小值为d r -．2．点(,)ρθ满足223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=，则2ρ的最大值为（ ） A ．72B ．4C ．92D ．5【答案】B 【解析】 【分析】将223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=化成直角坐标方程，则2ρ的最大值为22xy + 的最大值。
【详解】223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=两边同时乘ρ，化为22326x y x +=，得22332y x x =-，则()2222211919369(3)22222x y x x x x x +=-+=--++=--+.由223302y x x =-…，可得02x 剟，所以当2x =时，222x y ρ=+取得最大值4． 故选B 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化以及利用二次函数求最值，属于一般题。
3．如图所示，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH ……叫作“正方形的渐开线”，其中¶AE ，¶EF ，·FG，¶GH ，……的圆心依次按,,,B C D A 循环，则曲线AEFGH 的长是（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π【答案】C 【解析】 【分析】分别计算»AE ，»EF，»FG ，¼GH 的大小，再求和得到答案. 【详解】根据题意可知，»AE 的长度2π，»EF 的长度为π，»FG的长度为32π，¼GH 的长度为2π，所以曲线AEFGH 的长是5π. 【点睛】本题考察了圆弧的计算，意在考察学生的迁移能力和计算能力.4．221x y +=经过伸缩变换23x x y y ''=⎧⎨=⎩后所得图形的焦距（ ）A ．5B ．13C ．4D ．6【答案】A 【解析】 【分析】用x ′，y '表示出x ，y ，代入原方程得出变换后的方程，从而得出焦距． 【详解】由23x x y y ''=⎧⎨=⎩得2 3x x y y '⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，代入221x y +=得22 149x y ''+=， ∴椭圆的焦距为29425-=，故选A ．【点睛】本题主要考查了伸缩变换，椭圆的基本性质，属于基础题．5．在同一直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后所得到的曲线A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】 由，得代入函数，化简可得出伸缩变换后所得曲线的解析式。
高考数学压轴专题人教版备战高考《坐标系与参数方程》技巧及练习题含答案
新高中数学《坐标系与参数方程》专题解析一、131．若点P 的直角坐标为(1,，则它的极坐标可以是（ ） A ．52,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．42,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．112,6π⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】A 【解析】 【分析】设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，计算出ρ和tan θ的值，结合点P 所在的象限求出θ的值，可得出点P 的极坐标. 【详解】设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，则2ρ==，tan 1θ==. 由于点P 位于第四象限，所以，53πθ=，因此，点P 的极坐标可以是52,3π⎛⎫⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】本题考查点的直角坐标化极坐标，要熟悉点的直角坐标与极坐标互化公式，同时还要结合点所在的象限得出极角的值，考查运算求解能力，属于中等题.2．已知直线1:1x t l y at =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线221613sin ρθ=+的相交弦中点坐标为(1,1)，则a 等于（ ）A ．14-B ．14C ．12-D ．12【答案】A 【解析】 【分析】根据参数方程与普通方程的互化，得直线l 的普通方程为1=-+y ax a ，由极坐标与直角坐标的互化，得曲线C 普通方程为221164x y +=，再利用“平方差”法，即可求解．【详解】 由直线1:1x tl y at =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），可得直线l 的普通方程为1=-+y ax a ，由曲线221613sin ρθ=+，可得曲线C 普通方程为221164x y +=，设直线l 与椭圆C 的交点为()11,A x y ，()22,B x y ，则22111164x y +=，2221164x y +=，两式相减，可得1212121214y y y y x x x x -+⋅=--+. 所以1212114y y x x -⋅=--，即直线l 的斜率为14-，所以a =14-，故选A ． 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及中点弦问题的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用中点弦的“平方差”法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．曲线C 的参数方程为2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为12x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则AB 等于（ ） ABCD【答案】C 【解析】分析：首先将取消C 的方程化为直角坐标方程，然后结合直线参数方程的几何意义整理计算即可求得最终结果.详解：曲线C 的参数方程2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）化为直角坐标方程即：2214y x +=，与直线l的参数方程12x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）联立可得：21613t =，则121313t t ==-，结合弦长公式可知：1213AB t t =-=. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查参数方程的应用，弦长公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l ：20y kx ++=与曲线C ：2cos ρθ=相交，则k 的取值范围是( )A ．34k <-B ．34k ≥-C ．k R ∈D ．k R ∈但0k ≠【答案】A 【解析】分析：一般先将原极坐标方程2cos ρθ=两边同乘以ρ后，把极坐标系中的方程化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即可．详解：将原极坐标方程2cos ρθ=，化为：22cos ρρθ=，化成直角坐标方程为：2220x y x +-=， 即22(1)1x y -+=．则圆心到直线的距离d =由题意得：1d <，即1d =<，解之得：34k <-． 故选A ．点睛：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，进行代换即得．5．已知曲线T的参数方程1x ky ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（k 为参数），则其普通方程是（）A ．221x y += B ．()2210x y x +=≠ C．0x y x ⎧>⎪=⎨<⎪⎩D．y =0x ≠)【答案】C 【解析】 【分析】 由已知1x k =得1k x=代入另一个式子即可消去参数k ，要注意分类讨论。
高考数学压轴专题新备战高考《坐标系与参数方程》知识点训练附答案
新数学高考《坐标系与参数方程》专题解析(1)一、131．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换53x xy y ''=⎧⎨=⎩后，曲线C 变为曲线2241x y ''+=，则曲线C 的方程为（ ）A ．2225361x y +=B ．2291001x y +=C ．10241x y +=D ．22281259x y += 【答案】A 【解析】 【分析】将伸缩变换53x x y y''=⎧⎨=⎩代入曲线2241x y ''+=中即可解.【详解】解：把53x x y y''=⎧⎨=⎩代入曲线2241x y ''+=，可得：()()225431x y +=，即2225361x y +=，即为曲线C 的方程． 故选：A ． 【点睛】考查平面直角坐标系的伸缩变换，题目较为简单. 伸缩变换：设点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换,(0):,(0)x x y y λλϕμμ'=⋅>⎧⎨'=⋅>⎩的作用下，点(,)P x y 对应到点(,)P x y '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2．在极坐标系中，设圆8:sin C ρθ=与直线 ():4l R πθρ=∈交于A B ，两点，则以线段AB 为直径的圆的极坐标方程为（ ）A ．4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】首先把极坐标方程化为直角坐标方程，进一步求出圆心坐标和半径，再把直角坐标方程化为极坐标方程，即可得到答案． 【详解】由题意，圆8:sin C ρθ=化为直角坐标方程，可得22(4)16x y +-=， 直线():4l R πθρ=∈化为直角坐标方程，可得y x =，由直线与圆交于,A B 两点，把直线y x =代入圆22(4)16x y +-=，解得00x y =⎧⎨=⎩或44x y =⎧⎨=⎩， 所以以线段AB 为直径的圆的圆心坐标为(2,2)，半径为， 则圆的方程为22(2)(2)8x y -+-=，即22440x y x y +--=， 又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入可得24cos 4sin 0ρρθρθ--=，即4cos 4sin 4θπρθθ⎛⎫=+= ⎝+⎪⎭，故选A ． 【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及圆的标准方程的求解，其中解答中把极坐标方程互为直角坐标方程，得到以线段AB 为直径的圆的标准方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程222123cos 4sin ρθθ=+经过直角坐标系下的伸缩变换12x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后，得到的曲线是（ ）．A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．圆【答案】D 【解析】 【分析】先把极坐标方程化为直角坐标方程，再经过直角坐标系下的伸缩变换，把直角坐标方程中的x ，y 分别换成得2x ''，由此能求出结果． 【详解】 ∵极坐标方程222123+4cos sin ρθθ=∴22223cos 4sin 12ρθρθ+=∴直角坐标方程为223412x y +=，即22143x y +=∴经过直角坐标系下的伸缩变换12x x y y⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后得到的曲线方程为22(2))143x ''+=，即22()()1x y ''+=. ∴得到的曲线是圆 故选D. 【点睛】本题考查曲线形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程和直角坐标系下的伸缩变换公式的合理运用．4．点(,)ρθ满足223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=，则2ρ的最大值为（ ） A ．72B ．4C ．92D ．5【答案】B 【解析】 【分析】将223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=化成直角坐标方程，则2ρ的最大值为22xy + 的最大值。
高考数学压轴专题人教版备战高考《坐标系与参数方程》技巧及练习题附答案解析
【最新】单元《坐标系与参数方程》专题解析一、131．曲线1cos {2sin x y θθ=-+=+，（θ为参数）的对称中心（ ）A ．在直线2y x =上B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上【答案】B 【解析】试题分析：参数方程所表示的曲线为圆心在，半径为1的圆，其对称中心为，逐个代入选项可知，点满足，故选B.考点：圆的参数方程，圆的对称性，点与直线的位置关系，容易题.2．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2202x y y +==或 B ．2x =C ．2202x y x +==或D ．2y =【答案】C 【解析】由题意得，式子可变形为(cos 2)0ρρθ-=，即0ρ=或cos 20ρθ-=，所以x 2+y 2=0或x=2，选C.【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化．3．若直线l ：y kx =与曲线C ：2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）有唯一的公共点，则实数k等于（） A 3B ．3C 3D ．3±【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，将曲线C 的参数方程消去θ，得到曲线C 的普通方程22(2)1x y -+=，可知曲线C 为圆，又知圆C 与直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求得k 。
【详解】Q 曲线C ：2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，消去θ，得∴曲线C ： 22(2)1x y -+=又知圆C 与直线相切。
可得，1=解得3k =±，给故答案选D 。
【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的转化以及圆与直线的关系的几何关系表达。
4．已知曲线C 的极坐标方程为：2cos 4sin ρθθ=-，P 为曲线C 上的动点，O 为极点，则PO 的最大值为（ ） A ．2 B ．4CD．【答案】D 【解析】 【分析】把极坐标方程变成直角坐标方程，通过最大距离d r =+求得答案。
高考数学压轴专题人教版备战高考《坐标系与参数方程》技巧及练习题含答案
【最新】高考数学《坐标系与参数方程》练习题(1)一、131．设椭圆C ：2211612x y +=上的一点P 到两条直线4y =和8x =的距离分别是1d ，2d ，则122d d +的最小值（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】D 【解析】 【分析】设()4P cos θθ，02θπ≤<，由题意可得：1222484d d cos θθ+=-+-，利用三角函数的单调性、和差公式即可得出结论． 【详解】解：设()4P cos θθ，02θπ≤<， 由题意可得：122248416416816886d d cos cos sin πθθθθθ⎛⎫+=-+-=--=-+≥-= ⎪⎝⎭．当且仅当816sin πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时取等号． 122d d ∴+的最小值为8．故选：D 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其参数方程、三角函数的单调性、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．椭圆3cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)的离心率是( )A B C D 【答案】A 【解析】 【分析】先求出椭圆的普通方程，再求其离心率得解. 【详解】椭圆3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩的标准方程为221916x y +=，所以.所以e＝4. 故答案为A 【点睛】(1) 本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. (2)在椭圆中，222,.c c a b e a=-=3．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2202x y y +==或 B ．2x =C ．2202x y x +==或D ．2y =【答案】C 【解析】由题意得，式子可变形为(cos 2)0ρρθ-=，即0ρ=或cos 20ρθ-=，所以x 2+y 2=0或x=2，选C.【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化．4．221x y +=经过伸缩变换23x xy y''=⎧⎨=⎩后所得图形的焦距（ ）A．B．C ．4 D ．6【答案】A 【解析】 【分析】用x ′，y '表示出x ，y ，代入原方程得出变换后的方程，从而得出焦距． 【详解】由23x x y y ''=⎧⎨=⎩得2 3x x y y '⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，代入221x y +=得22 149x y ''+=，∴椭圆的焦距为=A ．【点睛】本题主要考查了伸缩变换，椭圆的基本性质，属于基础题．5．在极坐标中，为极点，曲线：上两点对应的极角分别为，则的面积为A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】将、两点的极角代入曲线的极坐标方程，求出、，将、的极角作差取绝对值得出，最后利用三角形的面积公式可求出的面积。
坐标系与参数方程午练专题练习(二)含答案人教版高中数学真题技巧总结提升
《坐标系与参数方程》单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、选择题
1．曲线 （θ为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（）
A． B． C．1D． （汇编天津理，1）
设θ∈［0， ］
∴d=sinθ+cosθ= sin（θ+ ）
∴dmax= .
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
2．
3．
评卷人
得分
三、解答题
4．解:(Ⅰ)由点 在直线 上,可得
所以直线的方程可化为
从而直线的直角坐标方程为
(Ⅱ)由已知得圆 的直角坐标方程为
所以圆心为 ,半径
(1)求 的值及直线的直角坐标方程;
(2)圆c的参数方程为 ,( 为参数),试判断直线与圆的位置关系.（汇编年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））坐标系与参数方程:
5．求圆 被直线 （ 是参数 截得的弦长．
6．已知曲线 的极坐标方程为 ，以极点为原点，
极轴为 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线 的参数方程为
9．解：由题设知，圆心 ，
，………………………………………………4分
设 是过 点的圆 的切线上的任一点，则在 中，
有 ，即为所求切线的极坐标方程．…………………………10分
8．解：将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程为 ，
即 ，它表示以 为圆心，2为半径的圆，………………………………4分
高考数学压轴专题人教版备战高考《坐标系与参数方程》专项训练及解析答案
新高考数学《坐标系与参数方程》专题解析一、131．在极坐标系中，点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系为（ ） A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．重合 D ．关于直线()2R πθρ=∈对称【答案】A 【解析】 【分析】由点(),ρπθ--和点(,)ρθ-为同一点. 则比较点(,)ρθ-和点(),ρθ，可推出点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系.【详解】解：点(),ρπθ--与点(),ρθ-是同一个点，(),ρθ-与点(),ρθ关于极轴对称.∴点(),ρθ与(),ρπθ--关于极轴所在直线对称.故选：A. 【点睛】考查极坐标的位置关系.题目较为简单，要掌握极坐标的概念.2．椭圆3cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)的离心率是( )A ．4B C ．2D 【答案】A 【解析】 【分析】先求出椭圆的普通方程，再求其离心率得解. 【详解】椭圆3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩的标准方程为221916x y +=，所以.所以e ＝4. 故答案为A 【点睛】(1) 本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. (2)在椭圆中，222,.c c a b e a=-=3．221x y +=经过伸缩变换23x xy y''=⎧⎨=⎩后所得图形的焦距（ ） A ．25 B ．213C ．4D ．6【答案】A 【解析】 【分析】用x ′，y '表示出x ，y ，代入原方程得出变换后的方程，从而得出焦距． 【详解】由23x x y y ''=⎧⎨=⎩得2 3x x y y '⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，代入221x y +=得22 149x y ''+=， ∴椭圆的焦距为29425-=，故选A ．【点睛】本题主要考查了伸缩变换，椭圆的基本性质，属于基础题．4．在同一直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后所得到的曲线A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】 由，得代入函数，化简可得出伸缩变换后所得曲线的解析式。
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∠MOP= ， ， ．
由正弦定理得 ，于是 ，
即 （或 ）即为所求切线的极坐标方程．·········10分
5．
6．解：直线方程化为普通方程为
曲线方程化为普通方程为 …………（2分）
圆心 的直线距离 …………（4分）
…………（6分）
或 …………（10分）
6．以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为 ，它与曲线 （ 为参数）相交于两点A和B，AB长为 ，求实数a的值．
7．圆C的极坐标方程是 ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 的参数方程是 （t是参数）。
若直线 与圆C相切，求实数m的值.
8．在直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程是 （ 是参数），若以 为极点， 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线 的极坐标方程．
9．已知曲线 的极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线 的参数方程为 （ 为参数），求直线 被曲线 截得的线段长度。
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评卷人
得分
一、选择题
1．A
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
2．(1,0)
解析：(1, 0)
3．；
评卷人
得分
三、解答题
4．解：由题设知，圆心 ， ，∠CPO=60°，
故过P点的切线的倾斜角为30°．····························································3分
8．（选修4-4：坐标系与参数方程）
由 得 ，两式平方后相加得 ，………………………4分
∴曲线 是以 为圆心，半径等于 的圆．令 ，
代入并整理得 ．即曲线 的极坐标方程是 ．…………………………10分
9．解：将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程为 ，
即 ，它表示以 为圆心，2为半径的圆，………………………………4分
高中数学专题复习
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、选择题
1．在极坐标系中，圆心坐标是 （ ），半径为 的圆的极坐标方程是…（）
A． （ ）．B． （ ）．
C． （ ）．D． （ ）．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文2．圆锥曲线 (t为参数)的焦点坐标是____________ .（汇编年高考陕西卷（文））(坐标系与参数方程选做题)
3．已知曲线 的极坐标方程是 ，那么它的直角坐标方程是▲．
评卷人
得分
三、解答题
4．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
圆C的参数方程为 (为参数)，设P是圆C与x轴正半轴的交点．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设过点P的圆C的切线为l，求直线l的极坐标方程．
5．（本小题满分14分）
若直线 （参数 ）与圆 （参数 ， 为常数）相切，求 的值．
直线方程 的普通方程为 ，………………………………6分
圆C的圆心到直线l的距离 ，……………………………………………………………………8分
故直线 被曲线 截得的线段长度为 ．……………………………………10分
7．（本题满分10分）
解：由 ，得 ，
，即圆 的方程为 ，------------------------------4分
又由 消 ，得 ，-----------------------------------7分
直线 与圆 相切， ， ．-------------------------------10分