学案与评测理数苏教：第5单元第一节平面向量的概念及其线性运算

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高考数学总复习第5单元第1节平面向量的概念及其线性运算课件文苏教

平行向量方向相同或相反 a与b共线可记为
的非零向量
a∥b
共线向量相等向量
平行向量又叫做共线向量
长度相等且方向 _相__同__的向量
0与任一向量共线， a与b相等记作 a＝b
相反向量
长度相等且方向_相__反___的向量
(1)a的相反向量记作－a , ①a+0=0+a=a ②a+(-a)=(-a)+a=0 (2)0的相反向量为 ___0_
解析：由向量的相关定义结合正方形的性质可知．
2. (必修4P66习题6改编) 已知向量a,b,且5(x+a)+3(x-b)=0，
则x=
5a 3b 88
.
解析：原式可变形为5x＋5a＋3x－3b＝0，
∴8x=-5a+3b，∴x=
5 8
a
3 8
b
3. 一辆汽车向西行驶了10千米，然后改变方向向南行驶了10千米，则该汽车两次位移的和为西南方向10 2千米 .
分析：在三角形中其他向量最好向三条边上的向量靠拢，即用， AB,BC,AC ，来分别表示待求的向量．
解析：
AD AC CD, AD AB BD 2AD AC AB CD BD 同理 2BE BA BC ,2CF CA CB 所以2(AD BE CF ) AC AB BA BC CA CB 0, 故 AD BE CF 0
解析：如图所示，A CA BB C 所以 AC 10 2 ，方向为西南方向．
4. (2011·如东中学考试)已知△ABC，若点M满足AB+AC-3AM=0,则MA+MB+MC= 0 .
解析：由已知得 A B A C 3A M

教案平面向量的基本概念和运算

教案平面向量的基本概念和运算平面向量是数学中的重要概念之一，广泛应用于几何、物理和工程等领域。

本文将介绍平面向量的基本概念和运算方法。

一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示。

一般用大写字母表示平面向量，如A、B。

平面向量可以由一个有序的数对表示，也可以用坐标表示。

例如，平面向量A可以表示为(Ax, Ay)或者\[A =\begin{pmatrix} Ax \\ Ay \end{pmatrix}\] ，其中Ax和Ay分别表示向量A在x轴和y轴上的分量。

二、平面向量的基本运算1. 平面向量的加法平面向量的加法是指两个向量相加得到一个新的向量。

设有两个向量A和B，其坐标表示分别为\[A = \begin{pmatrix} Ax \\ Ay\end{pmatrix}\] 和\[B = \begin{pmatrix} Bx \\ By \end{pmatrix}\]，则它们的和向量C为\[C = \begin{pmatrix} Ax + Bx \\ Ay + By \end{pmatrix}\]。

2. 平面向量的减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

设有两个向量A和B，它们的差向量C可以表示为C = A - B。

具体计算方法是将B的坐标取反，然后进行加法运算，即\[C = \begin{pmatrix} Ax - Bx \\ Ay - By \end{pmatrix}\]。

3. 平面向量的数乘平面向量的数乘是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量。

设有一个向量A和实数k，它们的数乘结果为kA。

具体计算方法是将向量A的每个分量都乘以实数k，即\[kA = \begin{pmatrix} kAx \\ kAy\end{pmatrix}\]。

4. 平面向量的数量积平面向量的数量积又称为点积或内积，表示为A·B。

设有两个向量A和B，它们的数量积为A·B = Ax * Bx + Ay * By。

高考数学一轮复习第五章平面向量复数51平面向量的概念及线性运算课件苏教版

4.(必修4P68练习T8改编)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则 ( )
A.a⊥b
B.|a|=|b|
C.a∥b
D.|a|>|b|
【解析】选A.依题意得(a+b)2-(a-b)2=0,即4a·b=0,所以a⊥b.
必备知识·自主学习
5.(必修4P72习题2.2T4改编)化简:
1 (A B ＋ M B )＋ B O ＋ O M ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 2N Q ＋ Q P ＋ M N － M P ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【解析】(1)原式= A B ＋ B O ＋ O M ＋ M B ＝ A B . (2)原式= NP＋ P =N0. 答案:(1) A B (2)0
核心素养·微专题
解题新思维向量共线性质的运用
【结论】
已知 O A O B O C (λ,μ为常数),则A,B,C三点共线的充要条件为λ+μ=1. 【典例】如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点.过点O的直线分
别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若 A B ＝ m A M ， A C ＝ n A N ,则m+n的
值为________.
【解析】 A O ＝ 1 (A B ＋ A C ) ＝ m A M ＋ n A N .因为M,O,N三点共线,所以
m＋
n
2
=1,m+n=2.
22
22
答案:2
核心素养·微专题
必备知识·自主学习
【教材·知识梳理】 1.向量的有关概念 (1)向量: 两个方面:_大__小__和_方__向__. 其中,向量的大小叫做向量的 _长__度__(_或__模__)_. (2)零向量: 大小为0;方向是任意的. (3)单位向量:大小为_1_个__单__位__;方向是确定的. (4)平行向量:方向_相__同__或_相__反__的非零向量.平行向量又叫_共__线__向__量__.规定:0与任一向量_平__行__.

学案与评测理数苏教版：第5单元第一节平面向量的概念

第五单元平面向量与复数第一节平面向量的概念及其线性运算一、填空题1. 下列说法中正确的有________．(写出所有正确说法的序号)①共线向量就是向量所在的直线重合；②长度相等的向量叫做相等向量；③零向量的长度为零；④共线向量的夹角为0°.2. (2010·重庆改编)已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝________.3. 非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为________．4. 设a ，b 是两个不共线的非零向量，若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，则实数k ＝________.5. 若ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝________.6. 已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是________．7. (2009·山东改编)设P 是△ABC 所在平面内一点，BC →＋BA →＝2BP →，则点P 与边AC 的关系是________________________________________________________________________．8. 若|AB →|＝7，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是________．9. (2010·全国改编)已知△ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →＝________(用a ，b 表示)．二、解答题10. 已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O为坐标原点，求实数a 的值．11. 在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD 和BC 的中点，求证：EF →＝12(AB →＋DC →)．12. (2011·无锡质量调研改编)如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的点，OP →＝xOA→＋yOB →.(1)若BP →＝P A →，求x ，y 的值；(2)若BP →＝3P A →，求x ＋y 的值；(3)x ＋y 是否为定值？请证明你的结论．参考答案1. ③ 解析：共线向量就是平行向量，故①是错的；相等向量是指长度相等且方向相同的向量，故②是错的；零向量的长度为零是正确的，故③是正确的；根据共线向量的概念知共线向量的夹角为0︒或180︒，故④是错的．∴正确的只有③. 2. 22 解析：|2a -b |=(2a -b )2=4a 2-4a ⋅b +b 2=8=2 2.3. π6解析：设OA →=a ，OB →=b ，BA →=a -b ，由题意△OAB 为正三角形，作▱OADB ，则OD →=a +b ，由∠AOB =π3，得∠AOD =π6. 4. ±4 解析：因为8a +k b 与k a +2b 共线，所以存在实数λ，使8a +k b =λ(k a +2b )，即(8-λk )a +(k -2λ)b =0.又a ，b 是两个不共线的非零向量，故⎩⎪⎨⎪⎧8-λk =0，k -2λ=0，解得k =±4. 5. b -12a 解析： BE →=AE →-AB →=AD →+DE →-AB →=AD →+12AB →-AB →=b -12a . 6. A 、B 、D 解析：∵AB →=a +2b ，BC →=-5a +6b ，CD →=7a -2b ，∴AD →=AB →+BC →+CD →=3a +6b =3AB →，∴AB →∥AD →.又∵AB →与AD →有公共点A ，∴A 、B 、D 三点共线．7.。

高中数学_《平面向量的概念及其线性运算》教学设计学情分析教材分析课后反思

《平面向量的概念及其线性运算》教学设计一、教材分析：本节课对平面向量的概念及其线性运算的复习，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对学习平面向量的总结和探索。

正确理解和熟练掌握平面向量的概念及其线性运算是之后学好空间向量的关键。

二、学情分析：本节课是在学习平面向量的概念及其线性运算，继续深入学习，是一节复习课。

学生已经掌握了平面向量的概念及其线性运算的基础知识，，这为本节课的学习提供了一定的知识保障，在此基础上，本节课将继续加深学生对基础知识的理解，加强平面向量的线性运算，这也是为后面学习空间向量内容做好知识储备的课．为了让学生能更加直观、形象地理解平面向量的概念及其线性运算，将采用多媒体课件进行演示，以提高学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果。

三、教学目标：1、了解向量的实际背景；2、理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3、理解向量的几何表示；4、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5、掌握向量数乘的运算及其儿几何意义,理解两个向量共线的含义；6、了解向量线性运算的性质及其几何意义；四、教学重点和教学难点：（一）教学重点：1、理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；2、理解向量的几何表示；3、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；4、掌握向量数乘的运算及其儿几何意义,理解两个向量共线的含义；5、了解向量线性运算的性质及其几何意义；（二）教学难点：平面向量的线性运算以及共线定理的应用五、教学工具：多媒体、粉笔等。

六、教学过程：向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba+=+；(2)结合律：cbacba++=++)()(减法求a与b的相反向量－b的和的运算)(baba-+=-相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量的相反向量为0教师展示表格，布置任务学生加深学生对新知识的理解共线．其中错误说法的序号是________．考点二平面向量的线性运算(基础之翼练牢固)[题组练通]1．在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EC EB 4=，则ED ＝ ( ) A. AD AB 3465- B. AD AB 6534- C. AD AB 3465+ D. AD AB 6534+2．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，E 为BC 的中点，则AE 等于（）A.AD AB 2132+ B.AD AB 3221+ C.AD AB 3165+ D.AD AB 6531+ 3．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若BC AB AO μλ+=，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ等于 ( )教师板书讲题过程教师提出问题学生自主完成，并回答问题培养学生语音表达能力，激发学生七、板书设计：平面向量的概念及其线性运算一、知识梳理二、典例分析1、向量的有关概念考点一：2、向量的线性运算考点二：3、共线向量定理考点三：八、教学反思：总体情况良好，基本满意，大多数学生可以换换掌握！九、作业反馈：分析作业中存在的问题，查找原因，并进行总结和反馈。

2014届高考数学(苏教版)一轮复习教学案第5章平面向量与复数5.1平面向量的概念及其线性运算

第5章平面向量与复数5.1 平面向量的概念及其线性运算考纲要求1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念和两个向量相等的含义． 3．理解向量的几何表示．4．理解向量加法、减法的运算，理解其几何意义．5．理解向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义． 6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有__________又有________的量称为向量，向量的大小称为向量的__________(或称为模)．(2)零向量：__________的向量称为零向量，其方向是______的． (3)单位向量：长度等于______________的向量．(4)平行向量：方向________或________的________向量；平行向量又称为________，任意一组平行向量都可以平移到同一直线上．规定：0与任一向量__________．(5)相等向量：长度____________且方向__________的向量．__________法则__________法则(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作____________，它的长度与方向规定如下：①|λa |＝__________；②当λ＞0时，λa 与a 的方向______；当λ＜0时，λa 与a 的方向______；当a ＝0时，λa ＝0；当λ＝0时，λa ＝____.(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则①λ(μa )＝__________.(结合律)②(λ＋μ)a ＝____________.(第一分配律) ③λ(a ＋b )＝______________.(第二分配律)(3)两个向量共线定理：向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是______________．1．(2012北京海淀区期末)如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边DC ，BC 的中点，那么用AB →，AD →表示向量EF →＝__________.2．(2012江苏南通高三期末考试)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且3aBC →＋4bCA →＋5cAB →＝0，则a ∶b ∶c ＝__________.3．(2012江苏无锡五校联考)在边长为1的正方形ABCD 中，设AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|b －a －c |＝__________.4．已知△ABC 为正三角形，下列各式： ①|AB →－AC →|＝|BC →|；②|AB →－CA →|＝|BC →－AB →|； ③|CA →－BC →|＝|AC →－BA →|；④|CA →－BC →|＝|AB →－AC →|. 其中成立的有__________．5．O 是四边形ABCD 所在平面内一点，且OA →－OD →＝OB →－OC →，则四边形ABCD 的形状是__________．1．向量有哪两个要素？提示：向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小．2．向量平行与直线平行相同吗？提示：向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．3．向量平行能传递吗？提示：不能．若a ∥b ，b ∥c ，当b ≠0时，有a ∥b ；当b ＝0时，a 与b 不一定平行．一、平面向量的概念【例1】判断下列命题是否正确，并说明理由： (1)若|a |＝|b |，则a ＝b ； (2)若a ＝b ，则|a |＝|b |；(3)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； (4)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； (5)若|a |＝0，则a ＝0； (6)若λ＝0，则λa ＝0；(7)若AB →＝DC →，则ABCD 是平行四边形．方法提炼(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键． (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动相混淆．(5)非零向量a 与a |a|的关系是：a|a|是a 方向上的单位向量．请做针对训练1二、向量共线定理的应用【例2】 (2013届江苏南京12中期中)设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．方法提炼(1)向量共线的充要条件中，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(3)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.请做针对训练2三、向量的线性运算【例3】 △ABC 中，AD →＝23AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N .设AB→＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AE →，BC →，DE →，DN →，AM →，AN →.方法提炼在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．请做针对训练3平面向量的概念及线性运算在近几年高考中既是热点又是重点，一般以填空题形式出现，有时也出现在解答题的某一步骤或某一环节．命题的落脚点可能以平面图形为载体考查平面向量、借助基向量考查交点位置或借助向量的坐标形式考查共线等问题．1．下列命题：①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，且a ＋b 是非零向量，那么a＋b 的方向必与a ，b 之一方向相同；②△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；④若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等．其中正确的命题是__________．2．设向量a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与2a －b 共线，则λ＝__________.3.如图，在△ABC 中，在AC 上取点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ ＝λCM时，AP ＝QA ，试确定λ的值．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)大小方向长度 (2)长度为0 任意 (3)1个单位长度(4)相同相反非零共线向量平行 (5)相等相同2．三角形 b ＋a 平行四边形 a ＋(b ＋c ) 三角形 3．(1)λa ①|λ||a | ②相同相反 0 (2)①(λμ)a λa ＋μa λa ＋λb (3)b ＝λa 基础自测 1.12AB －12AD 解析：EF ＝12DB ＝12(AB －AD )． 2．20∶15∶12 解析：3a BC ＋4b CA －5c (BC ＋CA )＝0. 3a BC ＋4b CA －5c BC －5c CA ＝0. (3a －5c ) BC ＋(4b －5c ) CA ＝0. ∵BC 与CA 不共线， ∴3a －5c ＝0,4b －5c ＝0. ∴a ∶b ∶c ＝20∶15∶12.3．2 解析：∵b －a －c ＝BC －2AB AC BA BC CA BA -=++=， ∴|b －a －c |＝2.4．①②③ 解析：||||||AB AC CB CA BC -=≠-.5．平行四边形解析：由OA OD OB OC -=-，得DA CB =. 又AD 与BC 不共线，所以ABCD 是平行四边形．考点探究突破【例1】解：(1)不正确，因为a 与b 的方向不一定相同．(2)正确，因为相等向量是模相等且方向相同的向量．(3)正确，因为a ＝b ，所以a 与b 的长度相等且方向相同；因为b ＝c ，所以b 与c 的长度相等且方向相同；所以a 与c 的长度相等且方向相同，所以a ＝c . (4)不正确，因为当b ＝0时，a 与c 不一定平行． (5)正确，因为长度为零的向量就是零向量． (6)不正确，因为当λ＝0时，λa ＝0.(7)不正确，因为A ，B ，C ，D 可能四点共线．【例2】 (1)证明：∵AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )． ∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB . ∴AB ，BD 共线．又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)解：∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －λ)a ＝(λk －1)b . 又a ，b 是两不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0. ∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.【例3】解：//23DE BC AD AB ⎫⎪⎬=⎪⎭⇒AE ＝23AC ＝23b .BC ＝AC AB -＝b －a .由△ADE ∽△ABC ，得DE ＝23BC ＝23(b －a )．又AM 是△ABC 的中线，DE ∥BC ，∴DN ＝12DE ＝13(b －a )．又AM ＝12(a ＋b )，⇒AN ＝23AM ＝13(a ＋b )．演练巩固提升针对训练1．①② 解析：①②正确．③中AB ，BC ，CA 可以是零向量．④中|a ＋b |≤|a |＋|b |.2．－123．解：∵AP ＝NP NA -＝12(BN NC +)＝12BC ，又12QA MA MQ BM MC λ=-=+， ∵AP QA =， ∴12BM ＋λMC ＝12BC ，即λMC ＝12(BC BM -)＝12MC .∴λ＝12.。

《4.1第一节平面向量的概念及其线性运算》学案

学习过程复习预习1．我们已经学习过位移、速度、力等，你能总结出它们的特点吗？特点为________________________________．2．在学习三角函数线时，我们已经学习过有向线段了，你还记得吗？所谓有向线段就是________________________，三角函数线都是_____________．知识讲解考点1 向量的有关概念考点2 向量的线性运算考点3 共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.例题精析【例题1】【题干】设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.【例题2】【题干】如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝13OB.设OA＝a，OB＝b，用a，b表示向量OC，DC.【解析】OC＝OB＋BC＝OB＋2BA＝OB＋2(OA－OB) ＝2OA－OB＝2a－b.DC＝OC－OD＝OC－23OB＝(2a－b)－2 3b＝2a－53b.【例题3】【题干】已知a，b不共线，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．【解析】由题设知，CD ＝d －c ＝2b －3a ，CE ＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ＝k CD ，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．课堂运用【基础】1.如图，已知AB＝a，AC＝b，BD＝3DC，用a，b表示AD，则AD＝()A．a＋34b B.14a＋34bC.14a＋14b D.34a＋14b2．已知向量p＝a|a|＋b|b|，其中a、b均为非零向量，则|p|的取值范围是()A．[0，2] B．[0,1] C．(0,2] D．[0,2]3．(2013·保定模拟)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且AM ＝x AB，AN＝y AC，则x·yx＋y的值为()A．3 B.1 3C．2 D.1 2【巩固】4．在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________(用a，b表示)．5．(2013·淮阴模拟)已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝m AM成立，则m ＝________.【拔高】6.如图所示，在五边形ABCDE中，点M、N、P、Q分别是AB、CD、BC、DE的中点，K和L分别是MN和PQ的中点，求证：KL＝14AE.7．设两个非零向量e1和e2不共线．(1)如果AB＝e1－e2，BC＝3e1＋2e2，CD＝－8e1－2e2，求证：A、C、D三点共线；(2)如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1－3e2，CD＝2e1－k e2，且A、C、D三点共线，求k的值．课程小结(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．。

第一节平面向量的概念及线性运算

第一节平面向量的概念及线性运算考试要求1．了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．[知识排查·微点淘金]知识点1平面向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量零向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于1个单位长度的向量单位向量记作a0，a0＝±a|a|平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量0与任意向量共线相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量相反向量长度相等且方向相反的两个向量若a，b为相反向量，则a＝－b(1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.(2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同．(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性．(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上．知识点2平面向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ； (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫作a 与b 的差三角形法则 (3)a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算(4)|λa |＝|λ||a |. (5)当λ＞0时，λa 与a的方向相同；当λ＜0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0(6)结合律：λ(μ a )＝(λμ)_a ＝μ(λa )；(7)第一分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μ_a ；(8)第二分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb[微提醒] 向量线性运算的3点提醒 (1)两个向量的和仍然是一个向量．(2)利用三角形法则时，两向量要首尾相连；利用平行四边形法则时，两向量要有相同的起点．(3)当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则不适用． [微拓展]对于任意两个向量a ，b ，都有：①||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |；②|a ＋b |2＋|a －b |2＝2(|a |2＋|b |2)．当a ，b 不共线时：①的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值；②的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系.常用结论向量线性运算的常用结论(1)在△ABC 中，若D 是BC 的中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)；(2)O 为△ABC 的重心的充要条件是OA →＋OB →＋OC →＝0；(3)四边形ABCD 中，若E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，则AB →＋DC →＝2EF →. 知识点3 共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa ． [微思考]共线向量定理中为什么限定a ≠0?提示：共线向量定理中限定a ≠0，这是因为如果a ＝0，则λa ＝0，当b ≠0时，定理中的λ不存在；当b ＝0时，定理中的λ不唯一．因此限定a ≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性． [微拓展]1．a ∥b ⇔存在不全为零的x ，y ∈R ，使x a ＋y b ＝0.2．A ，B ，C 三点共线，O 为A ，B ，C 所在直线外任意一点，则OA →＝λOB →＋μOC →且 λ＋μ＝1.[小试牛刀·自我诊断]1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段表示向量．(×) (2)AB →＋BC →＋CD →＝AD →.(√)(3)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(×)(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．(×) (5)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .(×)(6)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．(√)2．(共线向量定理掌握不准确)对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A3．(向量加减法则用错)点D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →＝( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA →C.BC →－12BA →D ．BC →＋12BA →答案：A4．(链接教材必修4 P 86例4)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________．(用a ，b 表示)解析：如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .答案：b －a －a －b5．(链接教材必修4 P 108B 组T 5)在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为________．解析：如图所示，因为AB →＋AD →＝AC →，AB →－AD →＝DB →，所以|AC →|＝|DB →|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD 是矩形．答案：矩形一、基础探究点——向量的有关概念(题组练透)1．下列命题正确的是( ) A ．若|a |＝|b |，则a ＝b B ．若|a |>|b |，则a >b C ．若a ＝b ，则a ∥b D ．若|a |＝0，则a ＝0解析：选C 对于A ，当|a |＝|b |，即向量a ，b 的模相等时，方向不一定相同，则a ＝b 不一定成立，故A 不正确；对于B ，向量的模可以比较大小，但向量不可以比较大小，故B 不正确；C 显然正确；对于D ，若|a |＝0，则a ＝0，故D 不正确，故选C.2．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点；②错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0；③错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时a 与b 可以是任意向量，故错误的命题有3个，故选D.3．给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；②若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |，且a ∥b .其中真命题的序号是________．解析：①正确．∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|，且AB →∥DC →. 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形．反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →与DC →的方向相同，且|AB →|＝|DC →|，因此AB →＝DC →；②不正确．相等向量的起点和终点可以都不同；③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b . 综上所述，真命题的序号是①. 答案：①向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线．二、综合探究点——平面向量的线性运算(多向思维)[典例剖析]思维点1 向量的线性运算[例1] (1)如图所示，AB 是圆O 的一条直径，C ，D 是半圆弧的两个三等分点，则AB →＝( )A.AC →－AD →B ．2AC →－2AD → C.AD →－AC →D ．2AD →－2AC →解析：连接CD (图略)，因为C ，D 是半圆弧的两个三等分点，所以CD ∥AB ，且AB ＝2CD ，所以AB →＝2CD →＝2(AD →－AC →)＝2AD →－2AC →，故选D.答案：D(2)[一题多解]已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足16OA →－12OB →－3OC →＝0，则( ) A.OA →＝12AB →＋3AC → B.OA →＝12AB →－3AC → C.OA →＝－12AB →＋3AC → D.OA →＝－12AB →－3AC →解析：解法一：对于A ，OA →＝12AB →＋3AC →＝12(OB →－OA →)＋3(OC →－OA →)＝12OB →＋3OC →－15OA →，整理，可得16OA →－12OB →－3OC →＝0，这与题干中条件相符合，故选A.解法二：已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足16OA →－12OB →－3OC →＝0，所以OA →＋12(OA →－OB →)＋3(OA →－OC →)＝0，即OA →＋12BA →＋3CA →＝0，所以OA →＝12AB →＋3AC →，故选A.答案：A向量线性运算的解题策略常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．思维点2 根据向量线性运算求参数[例2] 如图所示，在平行四边形ABCD 中E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF ，交于点G .若CG →＝λCD →＋μCB →(λ，μ∈R )，则λμ＝________．解析：由题图可设CG →＝x CE →(0<x <1)，则CG →＝x (CB →＋BE →)＝x ⎝⎛⎭⎫CB →＋12CD →＝x 2CD →＋xCB →.因为CG →＝λCD →＋μCB →，CD →与CB →不共线，所以λ＝x 2，μ＝x ，所以λμ＝12.答案：12与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．[学会用活]1．(2021·福建高三质检)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且PTAT ＝5－12.下列关系中正确的是( )A ．BP →－TS →＝5＋12RS →B ．CQ →＋TP →＝5＋12TS →C ．ES →－AP →＝5－12BQ →D ．AT →＋BQ →＝5－12CR →解析：选A 由题意得，BP →－TS →＝TE →－TS →＝SE →＝RS →5－12＝5＋12RS →，所以A 正确；CQ→＋TP →＝P A →＋TP →＝TA →＝5＋12ST →，所以B 错误；ES →－AP →＝RC →－QC →＝RQ →＝5－12QB →，所以C错误；AT →＋BQ →＝SD →＋RD →，5－12CR →＝RS →＝RD →－SD →，若AT →＋BQ →＝5－12CR →，则SD →＝0，不合题意，所以D 错误．故选A ．2．已知圆心为O ，半径为1的圆上有不同的三个点A ，B ，C ，其中OA →·OB →＝0，存在实数λ，μ满足OC →＋λOA →＋μOB →＝0，则实数λ，μ的关系为( )A ．λ2＋μ2＝1B ．1λ＋1μ＝1C ．λμ＝1D ．λ＋μ＝1解析：选A 解法一：取特殊点，取C 为优弧AB 的中点，此时由平面向量基本定理易得λ＝μ＝22，只有选项A 符合．故选A ．解法二：依题意得|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，－OC →＝λOA →＋μOB →，两边同时平方，得1＝λ2＋μ2.故选A ．三、应用探究点——共线向量定理及应用(思维拓展)[典例剖析][例3] 设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．解：(1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →， ∴AB →，BD →共线，又他们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －λ)a ＝(λk －1)B ．又a ，b 是两个不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0.∴k 2－1＝0.∴k ＝±1. [拓展变式]1．[变条件]若将本例(1)中“BC →＝2a ＋8b ”改为“BC →＝a ＋m b ”，则m ＝________时，A ，B ，D 三点共线．解析：BD →＝BC →＋CD →＝(a ＋m b )＋3(a －b )＝4a ＋(m －3)b ，若A ，B ，D 三点共线，则存在实数λ，使BD →＝λAB →.即4a ＋(m －3)b ＝λ(a ＋b )，∴4a ＋(m －3)b ＝λa ＋λb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝λ，m －3＝λ，解得m ＝7. 故当m ＝7时，A ，B ，D 三点共线．答案：72．[变结论]若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k 的值为________．解析：因为k a ＋b 与a ＋k b 反向共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )(λ＜0)．所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，k λ＝1，所以k ＝±1.又λ＜0，k ＝λ，所以k ＝－1. 故当k ＝－1时，两向量反向共线．答案：－1利用共线向量定理解题的策略(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A ，B ，C 三点共线⇔AB →，AC →共线．[学会用活]3．(2021·河北六校第一次联考)已知点O 是△ABC 内一点，且满足OA →＋2OB →＋mOC →＝0，S △AOB S △ABC ＝47，则实数m 的值为( ) A ．－4 B ．－2 C ．2D ．4解析：选D 由OA →＋2OB →＝－mOC →得，13OA →＋23OB →＝－m 3OC →，如图所示，设－m 3OC →＝OD →，则13OA →＋23OB →＝OD →，∴A ，B ，D 三点共线，∴OC →与OD →反向共线，m >0， ∴|OD →||OC →|＝m 3，∴|OD →||CD →|＝m3m 3＋1＝m m ＋3，∴S △AOB S △ABC ＝|OD →||CD →| ＝m m ＋3＝47，解得m ＝4.故选D ．限时规范训练基础夯实练1．(2021·山东烟台期中)若M 为△ABC 的边AB 上一点，且AB →＝3AM →，则CB →＝( ) A ．3CM →－2CA →B ．3CA →－2CM →C ．3CM →＋2CA →D ．3CA →＋2CM →解析：选A 根据题意作出图形，如图，所以CM →＝CB →＋BM →＝CB →＋23BA →＝CB →＋23(CA →－CB →)＝13CB →＋23CA →，所以CB →＝3CM →－2CA →.故选A ．2．已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0.若a ∥b ，则mn 等于( )A ．－12B ．12C ．－2D ．2解析：选C ∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即m e 1＋2e 2＝λ(n e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，故mn＝－2.3．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO →＝λAB →＋μBC →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ等于( )A ．1B ．12C ．13D ．23解析：选D 由题意易得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，则2AO →＝AB →＋13BC →，即AO →＝12AB →＋16BC →.所以λ＝12，μ＝16，故λ＋μ＝12＋16＝23.4．(2021·云南曲靖一中月考)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →＝( )A ．13a ＋512bB ．13a －1312bC ．－13a －512bD ．－13a ＋1312b解析：选C DE →＝DC →＋CE →＝13BC →＋34CA →＝13(AC →－AB →)－34AC →＝－13AB →－512AC →＝－13a －512B ．5．(2021·潍坊模拟)若M 是△ABC 内一点，且满足BA →＋BC →＝4BM →，则△ABM 与△ACM 的面积之比为( )A ．12B ．13C ．14D ．2解析：选A 设AC 的中点为D ，则BA →＋BC →＝2BD →，于是2BD →＝4BM →，从而BD →＝2BM →，即M 为BD 的中点，于是S △ABM S △ACM ＝S △ABM 2S △AMD＝BM 2MD ＝12.6．在△ABC 中，AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________．解析：由题意可得A ，D ，B 共线，∴13＋λ＝1，∴λ＝23.答案：23综合提升练7．(2021·广西名校联考)在△ABC 中，D 是AB 边的中点，点E 在BC 边上，且BE ＝2EC ，则ED →＝( )A ．16AB →－23AC →B ．16AB →＋23AC →C ．－16AB →＋13AC →D ．－16AB →＋23AC →解析：选A ED →＝BD →－BE →＝－12AB →－23BC →＝－12AB →－23(AC →－AB →)＝16AB →－23AC →，故选A ．8．(2021·湖北省黄冈、华师附中等八校联考)已知O 是正方形ABCD 的中心．若DO →＝λAB →＋μAC →，其中λ，μ∈R ，则λμ＝( )A ．－2B ．－12C ．－ 2D ． 2解析：选A DO →＝DA →＋AO →＝CB →＋AO →＝AB →－AC →＋12AC →＝AB →－12AC →，∴λ＝1，μ＝－12，∴λμ＝－2. 9．如图所示，在△ABC 中，D 为线段BC 的中点，E ，F ，G 依次为线段AD 从上至下的3个四等分点，若AB →＋AC →＝4AP →，则( )A ．点P 与图中的点D 重合B ．点P 与图中的点E 重合C ．点P 与图中的点F 重合D ．点P 与图中的点G 重合解析：选C ∵在△ABC 中，D 为线段BC 的中点，E ，F ，G 依次为线段AD 从上至下的3个四等分点，∴AB →＋AC →＝2AD →，AD →＝2AF →，∴AB →＋AC →＝4AF →，∴点P 与图中的点F 重合．故选C ．10．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，若向量m ＝4a ＋b 与n ＝a －λb 共线，则实数λ的值为( )A ．－4B ．－14C ．14D ．4解析：选B 因为向量a ，b 是两个不共线的向量，向量m ＝4a ＋b 与n ＝a －λb 共线，所以存在实数μ，使得4a ＋b ＝μ(a －λb )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝μ，1＝－λμ，解得λ＝－14，故选B ．11．在△ABC 中，点D 是线段BC (不包括端点)上的动点．若AB →＝xAC →＋yAD →，则( ) A ．x >1 B ．y >1 C ．x ＋y >1D ．xy >1解析：选B 设BD →＝λBC →(0<λ<1)，所以AD →－AB →＝λAC →－λAB →，所以(1－λ)AB →＝AD →－λAC →，所以AB →＝11－λAD →－λ1－λAC →，所以x ＝－λ1－λ<0，y ＝11－λ＝1－λ＋λ1－λ＝1＋λ1－λ>1，又x ＋y ＝1－λ1－λ＝1，xy ＝－λ（1－λ）2<0，故选B ． 12．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB →＝2DC →. ∵点E 在线段CD 上，∴DE →＝λDC →(0≤λ≤1)． ∵AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →，∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12，即μ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 答案：⎣⎡⎦⎤0，12 创新应用练13．(2021·山东省师大附中模拟)设a ，b 是非零向量，则a ＝2b 是a |a |＝b|b |成立的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由a ＝2b 可知，a ，b 方向相同，a |a |，b|b |表示a ，b 方向上的单位向量，所以a |a |＝b|b |成立；反之则不成立，故选B ． 14．在△ABC 中有如下结论：“若点M 为△ABC 的重心，则MA →＋MB →＋MC →＝0.”设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为△ABC 的重心．若aMA →＋bMB →＋33cMC→＝0，则内角A 的大小为________，当a ＝3时，△ABC 的面积为________．解析：由aMA →＋bMB →＋33cMC →＝aMA →＋bMB →＋33c (－MA →－MB →)＝⎝⎛⎭⎫a －33c MA →＋⎝⎛⎭⎫b －33c MB →＝0，且MA →与MB →不共线，∴a －33c ＝b －33c ＝0，∴a ＝b ＝33C ．△ABC 中，由余弦定理可求得cos A ＝32，∴A ＝π6.若a ＝3，则b ＝3，c ＝33，S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×33×12＝934.答案：π6 934。

江苏2018版高考数学复习平面向量5.1平面向量的概念及线性运算教师用书理苏教版

第五章平面向量 5.1 平面向量的概念及线性运算教师用书理苏教版1.向量的有关概念2.向量的线性运算3.向量共线定理对于两个向量a (a ≠0)，b ，如果有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa . 【知识拓展】1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ―――→＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.2.若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →).3.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.( × ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关.( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立.( √ )1.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等.则所有正确命题的序号是________. 答案 ①解析根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误.2.(教材改编)D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →＝______________. 答案－BC →＋12BA →解析如图，CD →＝CB →＋BD →＝CB →＋12BA →＝－BC →＋12BA →.3.(教材改编)若2(y －13a )－12(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则未知向量y＝________. 答案421a －17b ＋17c 解析由2(y －13a )－12(c ＋b －3y )＋b ＝0，得2y －23a －12c －12b ＋32y ＋b ＝0，即72y －23a －12c ＋12b ＝0，所以y ＝421a －17b ＋17c .4.(教材改编)已知实数m ，n 和向量a ，b ，给出下列命题： ①m (a －b )＝m a －m b ； ②(m －n )a ＝m a －n a ； ③若m a ＝m b ，则a ＝b ； ④若m a ＝n a (a ≠0)，则m ＝n . 其中正确的命题是________. 答案 ①②④解析若m ＝0，则m a ＝m b ＝0，但a 与b 不一定相等，故③不正确.5.(2016·江苏徐州四校联考)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝______. 答案 23解析由AD →＝2DB →，得CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，结合CD →＝13CA →＋λCB →，知λ＝23.题型一平面向量的概念例1 给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________. 答案 ②③解析 ①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同. ②正确.∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，∴AB →＝DC →.③正确.∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确.当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件. 综上所述，正确命题的序号是②③. 思维升华向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度.(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制. (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度.(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线.设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0. 上述命题中，假命题的个数是________. 答案 3解析向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3. 题型二平面向量的线性运算命题点1 向量的线性运算例2 (1)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝__________.(2)(2015·课标全国Ⅰ改编)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则AD →＝____________. 答案 (1)23b ＋13c (2)－13AB →＋43AC →解析 (1)∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋A B →， ∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .(2)∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.命题点2 根据向量线性运算求参数例3 (1)(2017·江苏昆山中学月考)如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD ＝2DC ，若AC →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m －n ＝________.(2)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是______________.答案 (1)－2 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0解析 (1)直接利用向量共线定理，得BC →＝3DC →，则AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋3DC →＝AB →＋3(AC →－AD →) ＝AB →＋3AC →－3AD →， AC →＝－12AB →＋32AD →，则m ＝－12，n ＝32，那么m －n ＝－12－32＝－2.(2)设CO →＝yBC →， ∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →) ＝－yAB →＋(1＋y )AC →.∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13， ∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，∴x ＝－y ，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. 思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则.(2)求已知向量的和.一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则.(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值.如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于点K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为________.答案 29解析 ∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，∴AB →＝52AE →，AD →＝2AF →.由向量加法的平行四边形法则可知， AC →＝AB →＋AD →，∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫52AE →＋2AF → ＝52λAE →＋2λAF →，由E ，F ，K 三点共线，可得λ＝29.题型三共线定理的应用例4 设两个非零向量a 与b 不共线. (1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →， ∴AB →，BD →共线.又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线. (2)解假设k a ＋b 与a ＋k b 共线，则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系.当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线.设两个向量a 与b 不共线.(1)试证：起点相同的三个向量a ，b,3a －2b 的终点在同一条直线上(a ≠b )；(2)求实数k ，使得k a ＋b 与2a ＋k b 共线. (1)证明设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝3a －2b . 因为AC →＝OC →－OA →＝(3a －2b )－a ＝2(a －b )， AB →＝OB →－OA →＝b －a ，所以AC →＝－2AB →，故AC →，AB →共线.又AC →，AB →有公共起点A ，所以A ，B ，C 在同一条直线上. (2)解因为k a ＋b 与2a ＋k b 共线，所以设k a ＋b ＝λ(2a ＋k b )，λ∈R ，即k a ＋b ＝2λa ＋k λb ，又a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2λ，1＝k λ，所以k ＝± 2.4.容易忽视的零向量典例下列叙述错误的是________. ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .②若非零向量a 与b 方向相同或相反，则a ＋b 与a ，b 之一的方向相同. ③|a |＋|b |＝|a ＋b |⇔a 与b 方向相同.④向量b 与向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa . ⑤AB →＋BA →＝0.⑥若λa ＝λb ，则a ＝b . 错解展示解析 ⑤中两个向量的和仍是一个向量，∴AB →＋BA →＝0. 答案 ⑤ 现场纠错解析对于①，当b ＝0时，a 不一定与c 平行.对于②，当a ＋b ＝0时，其方向任意，它与a ，b 的方向都不相同. 对于③，当a ，b 之一为零向量时结论不成立.对于④，当a ＝0且b ＝0时，λ有无数个值；当a ＝0但b ≠0或a ≠0但b ＝0时，λ不存在.对于⑤，由于两个向量之和仍是一个向量，所以AB →＋BA →＝0.对于⑥，当λ＝0时，不管a 与b 的大小与方向如何，都有λa ＝λb ，此时不一定有a ＝b . 故①②③④⑤⑥均错. 答案 ①②③④⑤⑥纠错心得在考虑向量共线问题时，要注意考虑零向量.1.(2016·徐州模拟)已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则下列说法正确的是________. ①a ＋b ＝0 ②a ＝b③a 与b 共线反向④存在正实数λ，使a ＝λb 答案 ④解析因为a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则a 与b 共线同向，故D 正确. 2.(教材改编)对于非零向量a ，b ，“a ∥b ”是“a ＋b ＝0成立”的____________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”) 答案必要不充分解析由a ＋b ＝0，可得a ＝－b ，即得a ∥b ，但a ∥b ，不一定有a ＝－b ，所以“a ∥b ”是“a ＋b ＝0成立”的必要不充分条件.3.已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝________. 答案 0解析依题意，设a ＋b ＝m c ，b ＋c ＝n a ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝m c －n a ，即a －c ＝m c －n a .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0.4.(教材改编)已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题： ①AD →＝－12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确的命题是________.(填序号) 答案 ①②③④解析 AD →＝AC →＋CD →＝－CA →－DC →＝－12a －b ，BE →＝BC →＋CE →＝a ＋12b ，CF →＝12(CB →＋CA →)＝－12a ＋12b ，所以AD →＋BE →＋CF →＝0.5.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________.答案 2解析 ∵O 为BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1，∴m ＋n ＝2.6.设P 为锐角△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)，AP →＝k (AB →＋AC →)(k ∈R )，若cos∠BAC ＝25，则k ＝________. 答案514解析取BC 的中点D ，连结PD ，AD ，则PD ⊥BC ，AB →＋AC →＝2AD →， ∵AP →＝k (AB →＋AC →)(k ∈R )，∴AP →＝2kAD →，∴A ，P ，D 三点共线， ∴AB ＝AC ，∴cos∠BAC ＝cos∠DPC ＝DP PC ＝DP PA ＝25， ∴AP ＝57AD ，∴2k ＝57，解得k ＝514.7.(2016·江苏无锡一中质检)在△ABC 中，D 在线段BC 上，BD →＝2DC →.若AD →＝mAB →＋nAC →，则m n＝________.答案 12解析因为AD →＝AB →＋BD →，AD →＝AC →＋CD →，BD →＝2DC →，所以AD →＝13AB →＋23AC →＝mAB →＋nAC →，所以m ＝13，n ＝23，所以m n ＝12. 8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，若起点和终点均在格点的向量a ，b ，c 满足c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，则x ＋y ＝________.答案 135解析如图，取单位向量i ，j ，则：a ＝i ＋2j ，b ＝2i －j ，c ＝3i ＋4j .∴c ＝x a ＋y b ＝x (i ＋2j )＋y (2i －j )＝(x ＋2y )i ＋(2x －y )j ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝3，2x －y ＝4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝115，y ＝25，∴x ＋y ＝135. 9.设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值是________.答案－1解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线.设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∵a ，b 不共线，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.*10.设G 为△ABC 的重心，且sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，则角B 的大小为________.答案 60°解析 ∵G 是△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0，GA →＝－(GB →＋GC →)，将其代入sin A ·GA →＋sinB ·GB →＋sinC ·GC →＝0，得(sin B －sin A )GB →＋(sin C －sin A )GC →＝0.又GB →，GC →不共线， ∴sin B －sin A ＝0，sin C －sin A ＝0，则sin B ＝sin A ＝sin C .根据正弦定理知b ＝a ＝c ，∴△ABC 是等边三角形，则角B ＝60°.11.如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m 的值为________.答案 3解析设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ，由P ，G ，Q 三点共线得，存在实数λ，使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎪⎨⎪⎧ －m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ得1n ＋1m＝3. *12.已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R ).(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.证明 (1)若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)，∴OP →－OB →＝m (OA →－OB →)，即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线.又∵BP →与BA →有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线.(2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP →＝λBA →，∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →).又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →，即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.∵O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.。

高考数学复习第五章平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算教案文苏教版

第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念2．向量的线性运算平行四边形法则向量a(a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa. [小题体验]1．在△ABC 中，AB ―→＝c ，AC ―→＝b ，若点D 满足BD ―→＝2DC ―→，则AD ―→＝________. 解析：如图，因为在△ABC 中，AB ―→＝c ，AC ―→＝b ，且点D 满足BD ―→＝2DC ―→，所以AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23(AC ―→－AB ―→)＝23AC ―→＋ 13AB―→＝23b ＋13c. 答案：23b ＋13c2．下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ； ②若|a|＝|b|，则a ＝b ； ③若|a|＝|b|，则a ∥b;④若a ＝b ，则|a|＝|b|.其中正确命题的序号是________．答案：④3．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. 解析：因为向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以λa ＋b ＝k (a ＋2b)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，1＝2k ，所以λ＝12.答案：121．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．2．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． 3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系． [小题纠偏]1．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB ―→－CB ―→＋CD ―→|＝________. 解析：|AB ―→－CB ―→＋CD ―→|＝|AB ―→＋BC ―→＋CD ―→|＝|AD ―→|＝2. 答案：22．已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b|＝|a|＋|b|，则p 是q 的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：若a ＝b ，则|a ＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p ⇒q .若|a ＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知a 与b 同向共线，即a ＝λb ，且λ＞0，故q p ．所以p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要3．已知向量i 与j 不共线，且AB ―→＝i ＋m j ，AD ―→＝n i ＋j.若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 应该满足的条件是________．(填序号)①m ＋n ＝1；②m ＋n ＝－1；③mn ＝1；④mn ＝－1.解析：由A ，B ，D 共线可设AB ―→＝λAD ―→，于是有i ＋m j ＝λ(n i ＋j)＝λn i ＋λj.又i ，j 不共线，因此⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝1，λ＝m ，即有mn ＝1.答案：③考点一平面向量的有关概念基础送分型考点——自主练透 [题组练透]1．给出下列六个命题：① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a|＝|b|，则a ＝b ；③若AB ―→＝DC ―→，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形； ④在平行四边形ABCD 中，一定有AB ―→＝DC ―→； ⑤若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.其中错误的命题是________．(填序号)解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等，但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a|＝|b|，由于a 与b 方向不确定，所以a ，b 不一定相等，故②不正确；AB ―→＝DC ―→，可能有A ，B ，C ，D 在一条直线上的情况，故③不正确；零向量与任一向量平行，故当a ∥b ，b ∥c 时，若b ＝0，则a 与c 不一定平行，故⑥不正确．答案：①②③⑥ 2．给出以下命题：①对于实数p 和向量a ，b ，恒有p (a －b)＝p a －p b ； ②对于实数p ，q 和向量a ，恒有(p －q )a ＝p a －q a ； ③若 p a ＝p b(p ∈R)，则a ＝b ； ④若p a ＝q a(p ，q ∈R ，a ≠0)，则p ＝q .其中正确的命题是________．(填序号)解析：根据实数与向量乘积的定义及其运算律，可知①②④正确；当p ＝0时，p a ＝p b ＝0，而不一定有a ＝b ，故③不正确．答案：①②④[谨记通法]有关平面向量概念的6个注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a 与a |a|的关系：a |a|是与a 同方向的单位向量，－a|a|是与a 反方向的单位向量．(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小． (6)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．考点二向量的线性运算基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．如图，在△ABC 中，CD DA ＝AE EB ＝12，若DE ―→＝λCA ―→＋μCB ―→，则λ＋μ＝________.解析：由题意，DA ―→＝23CA ―→，AE ―→＝13AB ―→，∴DE ―→＝DA ―→＋AE ―→＝23CA ―→＋13AB ―→＝23CA ―→＋13(CB ―→－CA ―→)＝13CA ―→＋13CB ―→.又DE ―→＝λCA ―→＋μCB ―→， ∴λ＝μ＝13，λ＋μ＝23.答案：232．(2019·苏州调研)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→＝________OM ―→.解析：因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC ，BD 的交点，所以OA ―→＋OC ―→＝2OM ―→，OB ―→＋OD ―→＝2OM ―→，所以OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→＝4OM ―→.答案：43．(2019·海门中学检测)在等腰梯形ABCD 中，AB ―→＝－2CD ―→，M 为BC 的中点，则AM ―→＝________(用AB ―→，AD ―→表示)．解析：因为AB ―→＝－2CD ―→，所以AB ―→＝2DC ―→.又M 是BC 的中点，所以AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)＝12(AB ―→＋AD ―→＋DC ―→) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋AD ―→＋12 AB ―→＝34AB ―→＋12AD ―→. 答案：34AB ―→＋12AD ―→[谨记通法]1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较、观察可知所求．考点三共线向量定理的应用重点保分型考点——师生共研 [典例引领]设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3(a －b)，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 同向．解：(1)证明：因为AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3a －3b ，所以BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b)＝5AB ―→.所以AB ―→，BD ―→共线，又因为它们有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线．(2)因为k a ＋b 与a ＋k b 同向，所以存在实数λ(λ＞0)，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b)，即k a ＋b ＝λa ＋λk b.所以(k －λ)a ＝(λk －1)b. 因为a ，b 是不共线的两个非零向量，⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，λ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1，又因为λ＞0，所以k ＝1.[由题悟法]共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB ―→＝λAC ―→，则A ，B ，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． [提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．[即时应用]1．(2018·南京第十三中学测试)如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD ―→＝14AC ―→＋λAB ―→(λ∈R)，则AD 的长为________．解析：因为B ，D ，C 三点共线，所以14＋λ＝1，解得λ＝34，如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN ―→＝14AC ―→，AM―→＝34AB ―→，由AB ＝4，得AN ＝AM ＝3，又因为AM ―→＋AN ―→＝AD ―→，所以(AM ―→＋AN ―→)2＝ |AD ―→|2，所以AD 2＝27，AD ＝3 3.答案：3 32．(2019·天一中学检测)如图，在△ABC 中，D 为BC 的四等分点，且靠近B 点，E ，F 分别为AC ，AD 的三等分点，且分别靠近A ，D 两点，设AB ―→＝a ，AC ―→＝b.(1)试用a ，b 表示BC ―→，AD ―→，BE ―→； (2)证明：B ，E ，F 三点共线．解：(1)在△ABC 中，∵AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，∴BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝b －a ，AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋14BC ―→ ＝a ＋14(b －a)＝34a ＋ 14b ，BE ―→＝BA ―→＋AE ―→＝－AB ―→＋13AC ―→＝－a ＋13b.(2)证明：∵BE ―→＝－a ＋13b ，BF ―→＝BA ―→＋AF ―→＝－AB ―→＋23AD ―→＝－a ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ＋14b ＝－12a ＋16b ＝12(－a ＋13b)，∴BF ―→＝12BE ―→，∴BF ―→与BE ―→共线，且有公共点B ， ∴B ，E ，F 三点共线．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，若AB ―→＋AD ―→＝λAO ―→，则λ＝________.解析：根据向量加法的运算法则可知，AB ―→＋AD ―→＝AC ―→＝2AO ―→，故λ＝2. 答案：22．(2019·海门中学检测)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC ―→＝23OA ―→＋13OB ―→，则|AC ―→||AB ―→|＝________. 解析：因为OC ―→＝23OA ―→＋13OB ―→，所以AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝－13OA ―→＋13OB ―→＝13(OB ―→－OA ―→)，所以AC ―→＝13AB ―→，所以|AC ―→||AB ―→|＝13.答案：133．(2018·启东期末)在平行四边形ABCD 中，E 为线段BC 的中点，若AB ―→＝λAE ―→＋μAD ―→，则λ＋μ＝________.解析：由已知，得AE ―→＝AB ―→＋12AD ―→，所以AB ―→＝AE ―→－12AD ―→，又AB ―→＝λAE ―→＋μAD ―→，所以λ＝1，μ＝－12，则λ＋μ＝12.答案：124．(2018·扬州模拟)在△ABC 中，N 是AC 边上一点且AN ―→＝12NC ―→，P 是BN 上一点，若AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→，则实数m 的值是________．解析：如图，因为AN ―→＝12NC ―→，P 是BN ―→上一点．所以AN ―→＝13AC ―→，AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→＝m AB ―→＋23AN ―→，因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，则m ＝13.答案：135．(2019·张家港模拟)如图所示，向量OA ―→，OB ―→，OC ―→的终点A ，B ，C 在一条直线上，且AC ―→＝－3CB ―→，设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，若c ＝m a ＋n b ，则m －n ＝________.解析：由向量OA ―→，OB ―→，OC ―→的终点A ，B ，C 在一条直线上，且AC ―→＝－3CB ―→，得OC ―→＝OA ―→＋AC ―→＝OA ―→－3CB ―→＝OA ―→－3(CO ―→＋OB ―→)，即OC ―→＝OA ―→＋3OC ―→－3OB ―→，则c ＝－12a ＋32b.又c ＝m a ＋n b ，所以m ＝－12，n ＝32，所以m －n ＝－2. 答案：－26．(2018·江阴高级中学测试)已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝________.解析：依题意，设a ＋b ＝m c ，b ＋c ＝n a ，则有(a ＋b)－(b ＋c)＝m c －n a ，即a －c ＝m c －n a.又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0.答案：0二保高考，全练题型做到高考达标1．已知△ABC 和点M 满足MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0.若存在实数m ，使得AB ―→＋AC ―→＝m AM ―→成立，则m ＝________.解析：由MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0得点M 是△ABC 的重心，可知AM ―→＝13(AB ―→＋AC ―→)，即AB―→＋AC ―→＝3AM ―→，则m ＝3.答案：32．(2019·江阴期中)若a ，b 不共线，且a ＋m b 与2a －b 共线，则实数m 的值为________．解析：∵a ＋m b 与2a －b 共线，∴存在实数k ，使得a ＋m b ＝k (2a －b)＝2k a －k b ，又a ，b 不共线， ∴1＝2k ，m ＝－k ，解得m ＝－12.答案：－123．下列四个结论：①AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝0； ②AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝0； ③AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝0；④N Q ―→＋Q P ―→＋MN ―→－MP ―→＝0，其中一定正确的结论个数是________．解析：①AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝AC ―→＋CA ―→＝0，①正确； ②AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝AB ―→＋MO ―→＋OM ―→＝AB ―→，②错；③AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝CB ―→＋BD ―→＋DC ―→＝CB ―→＋BC ―→＝0，③正确；④N Q ―→＋Q P ―→＋MN ―→－MP ―→＝NP ―→＋PN ―→＝0，④正确．故正确的结论个数为3. 答案：34．(2018·南汇中学检测)已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ―→＝2DB ―→，CD ―→＝r AB―→＋s AC ―→，则r ＋s ＝________.解析：如图，因为CD ―→＝2DB ―→，所以CD ―→＝23CB ―→.又因为CB ―→＝AB ―→－AC ―→，所以CD ―→＝23AB ―→－23AC ―→.又CD ―→＝r AB ―→＋s AC ―→，所以r ＝23，s ＝－23，所以r ＋s ＝0.答案：05．(2018·海安中学检测)如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，则AD ―→＝________(用a ，b 表示)．解析：连结CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD ―→＝12AB ―→＝12a ，所以AD―→＝AC ―→＋CD ―→＝b ＋12a.答案：12a ＋b6．(2019·常州调研)已知矩形ABCD 的两条对角线交于点O ，点E 为线段AO 的中点，若DE ―→＝m AB ―→＋n AD ―→，则m ＋n 的值为________．解析：如图所示，因为点E 为线段AO 的中点，所以DE ―→＝12(DA ―→＋DO ―→)＝12DA ―→＋14DB ―→＝－12AD ―→＋14AB ―→－14AD ―→＝14AB ―→－34AD ―→，又DE ―→＝m AB ―→＋n AD ―→，所以m ＝14，n ＝－34，故m ＋n ＝14－34＝－12.答案：－127．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC ―→2＝16，|AB ―→＋AC ―→|＝ |AB ―→－AC ―→|，则|AM ―→|＝________.解析：由|AB ―→＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|可知，AB ―→⊥AC ―→，则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，因此，|AM ―→|＝12|BC ―→|＝2. 答案：28．(2019·启东期中)在△ABC 中，D 为边AB 上一点，M 为△ABC 内一点，且满足AD ―→＝34AB ―→，AM ―→＝AD ―→＋35BC ―→，则S △AMD S △ABC＝________. 解析：如图，∵AD ―→＝34AB ―→，AM ―→＝AD ―→＋35BC ―→，AM ―→＝AD ―→＋DM ―→，∴AD ＝34AB ，DM ＝35BC ，且DM ∥BC ， ∴S △AMD S △ABC ＝34×35＝920. 答案：9209．如图所示，在△OAB 中，点C 是以点A 为对称中心的点B 的对称点，点D 是把OB ―→分成2∶1的一个三等分点，DC 交OA 于点E ，设OA ―→＝a ，OB ―→＝b.(1)用a 和b 表示向量OC ―→，DC ―→；(2)若OE ―→＝λOA ―→，求实数λ的值．解：(1)依题意，A 是BC 的中点，所以2OA ―→＝OB ―→＋OC ―→，即OC ―→＝2OA ―→－OB ―→＝2a －b ，DC ―→＝OC ―→－OD ―→＝OC ―→－23OB ―→＝2a －b －23b ＝2a －53b. (2)若OE ―→＝λOA ―→，则CE ―→＝OE ―→－OC ―→＝λa －(2a －b)＝(λ－2)a ＋b.因为CE ―→与DC ―→共线．所以存在实数k ，使CE ―→＝k DC ―→.即(λ－2)a ＋b ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫2a －53b ，因为a ，b 是不共线的两个非零向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧ λ－2＝2k ，1＝－53k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－35，λ＝45.10．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB ―→＝2e 1－8e 2，CB ―→＝e 1＋3e 2，CD ―→＝ 2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF ―→＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：由已知得BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，因为AB ―→＝2e 1－8e 2，所以AB ―→＝2BD ―→.又因为AB ―→与BD ―→有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线．(2)由(1)可知BD ―→＝e 1－4e 2，因为BF ―→＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，所以BF ―→＝λBD ―→ (λ∈R)，即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝3，－k ＝－4λ.解得k ＝12.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·汇龙中学检测)如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO的延长线与线段AB 交于圆内一点D .若OC ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，则x ＋y 的取值范围是________．解析：由于A ，B ，D 三点共线，设AD ―→＝αAB ―→，则OD ―→＝OA ―→＋AD ―→＝OA ―→＋αAB ―→＝OA ―→＋α(OB ―→－OA ―→)＝(1－α)OA ―→＋αOB ―→.由于O ，C ，D 三点共线，且点D在圆内，点C 在圆上，OC ―→与OD ―→方向相反，则存在λ＜－1，使得OC ―→＝λOD ―→＝λ[(1－α)·OA ―→＋αOB ―→]＝λ(1－α)OA ―→＋λαOB ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，因此x ＝λ(1－α)，y ＝λα，所以x ＋y ＝λ＜－1.答案：(－∞，－1)2．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→ (m ，n ∈R)．(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.证明：(1)若m ＋n ＝1，则OP ―→＝m OA ―→＋(1－m )OB ―→＝OB ―→＋m (OA ―→－OB ―→)，所以OP ―→－OB ―→＝m (OA ―→－OB ―→)，即BP ―→＝m BA ―→，所以BP ―→与BA ―→共线．又因为BP ―→与BA ―→有公共点B ，所以A ，P ，B 三点共线．(2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP ―→＝λBA ―→，所以OP ―→－OB ―→＝λ(OA ―→－OB ―→)．又OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→.故有m OA ―→＋(n －1)OB ―→＝λOA ―→－λOB ―→，即(m －λ)OA ―→＋(n ＋λ－1)OB ―→＝0.因为O ，A ，B 不共线，所以OA ―→，OB ―→不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，所以m ＋n ＝1.。

苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第五章平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算教案理解析版

１．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或称错误!）平面向量是自由向量零向量长度为错误!的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于１个单位的向量非零向量a的单位向量为±错误!平行向量方向相同或相反的非零向量（又叫做共线向量）0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0２．向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则交换律：a＋b＝b＋a；结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）减法求a与b的相反向量—b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a—b＝a＋（—b）数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|；当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0λ（μ a）＝（λμ）a；（λ＋μ）a＝λa＋μ a；λ（a＋b）＝λa＋λb时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.[小题体验]１．在△ABC中，错误!＝c，错误!＝b，若点D满足错误!＝２错误!，则错误!＝________.解析：如图，因为在△ABC中，错误!＝c，错误!＝b，且点D满足错误!＝２错误!，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!（错误!—错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!b＋错误!c.答案：错误!b＋错误!c１若a∥b，则a＝b；２若|a|＝|b|，则a＝b；３若|a|＝|b|，则a∥b; ４若a＝b，则|a|＝|b|.其中正确命题的序号是________．答案：４３．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋２b平行，则实数λ＝________.解析：因为向量λa＋b与a＋２b平行，所以λa＋b＝k（a＋２b），则错误!所以λ＝错误!.答案：错误!１．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．２．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．３．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．[小题纠偏]１．若菱形ABCD的边长为２，则|错误!—错误!＋错误!|＝________.解析：|错误!—错误!＋错误!|＝|错误!＋错误!＋错误!|＝|错误!|＝２．答案：２２．已知a，b是非零向量，命题p：a＝b，命题q：|a＋b|＝|a|＋|b|，则p是q的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）．解析：若a＝b，则|a＋b|＝|２a|＝２|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝２|a|，即p⇒q.若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知a与b同向共线，即a＝λb，且λ＞0，故q p．所以p是q的充分不必要条件．答案：充分不必要３．已知向量i与j不共线，且错误!＝i＋m j，错误!＝n i＋j.若A，B，D三点共线，则实数m，n应该满足的条件是________．（填序号）１m＋n＝１；２m＋n＝—１；３mn＝１；４mn＝—１．解析：由A，B，D共线可设错误!＝λ错误!，于是有i＋m j＝λ（n i＋j）＝λn i＋λj.又i，j不共线，因此错误!即有mn＝１．答案：３错误!错误![题组练透]１两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；２若|a|＝|b|，则a＝b；３若错误!＝错误!，则A，B，C，D四点构成平行四边形；４在平行四边形ABCD中，一定有错误!＝错误!；５若m＝n，n＝p，则m＝p；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.其中错误的命题是________．（填序号）解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等，但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故１不正确；|a|＝|b|，由于a与b方向不确定，所以a，b不一定相等，故２不正确；错误!＝错误!，可能有A，B，C，D在一条直线上的情况，故３不正确；零向量与任一向量平行，故当a∥b，b∥c时，若b ＝0，则a与c不一定平行，故⑥不正确．答案：１２３⑥１对于实数p和向量a，b，恒有p（a—b）＝p a—p b；２对于实数p，q和向量a，恒有（p—q）a＝p a—q a；３若p a＝p b（p∈R），则a＝b；４若p a＝q a（p，q∈R，a≠0），则p＝q.其中正确的命题是________．（填序号）解析：根据实数与向量乘积的定义及其运算律，可知１２４正确；当p＝0时，p a＝p b＝0，而不一定有a＝b，故３不正确．答案：１２４[谨记通法]有关平面向量概念的6个注意点（１）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．（２）共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．（３）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．（４）非零向量a与错误!的关系：错误!是与a同方向的单位向量，—错误!是与a反方向的单位向量．（５）两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．（6）两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．错误!错误![题组练透]１．如图，在△ABC中，错误!＝错误!＝错误!，若错误!＝λ错误!＋μ错误!，则λ＋μ＝________.解析：由题意，错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!，∴错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!（错误!—错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!.又错误!＝λ错误!＋μ错误!，∴λ＝μ＝错误!，λ＋μ＝错误!.答案：错误!２．（２0１9·苏州调研）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝________错误!.解析：因为M是平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，所以错误!＋错误!＝２错误!，错误!＋错误!＝２错误!，所以错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝４错误!.答案：４３．（２0１9·海门中学检测）在等腰梯形ABCD中，错误!＝—２错误!，M为BC的中点，则错误!＝________（用错误!，错误!表示）．解析：因为错误!＝—２错误!，所以错误!＝２错误!.又M是BC的中点，所以错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!（错误!＋错误!＋错误!）＝错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!.答案：错误!错误!＋错误!错误![谨记通法]１．平面向量的线性运算技巧（１）不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．（２）含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．２．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路（１）没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．（２）利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．（３）比较、观察可知所求．错误!错误![典例引领]设两个非零向量a与b不共线，（１）若错误!＝a＋b，错误!＝２a＋8b，错误!＝３（a—b），求证：A，B，D三点共线；（２）试确定实数k，使k a＋b和a＋k b同向．解：（１）证明：因为错误!＝a＋b，错误!＝２a＋8b，错误!＝３a—３b，所以错误!＝错误!＋错误!＝２a＋8b＋３a—３b＝５（a＋b）＝５错误!.所以错误!，错误!共线，又因为它们有公共点B，所以A，B，D三点共线．（２）因为k a＋b与a＋k b同向，所以存在实数λ（λ＞0），使k a＋b＝λ（a＋k b），即k a＋b＝λa＋λk b.所以（k—λ）a＝（λk—１）b.因为a，b是不共线的两个非零向量，错误!解得错误!或错误!又因为λ＞0，所以k＝１．[由题悟法]共线向量定理的３个应用（１）证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．（２）证明三点共线：若存在实数λ，使错误!＝λ错误!，则A，B，C三点共线．（３）求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值．[提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．[即时应用]１．（２0１8·南京第十三中学测试）如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝４，且错误!＝错误!错误!＋λ错误!（λ∈R），则AD的长为________．解析：因为B，D，C三点共线，所以错误!＋λ＝１，解得λ＝错误!，如图，过点D 分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!，由AB＝４，得AN＝AM＝３，又因为错误!＋错误!＝错误!，所以（错误!＋错误!）２＝|错误!|２，所以AD２＝２7，AD＝３错误!.答案：３错误!２．（２0１9·天一中学检测）如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设错误!＝a，错误!＝b.（１）试用a，b表示错误!，错误!，错误!；（２）证明：B，E，F三点共线．解：（１）在△ABC中，∵错误!＝a，错误!＝b，∴错误!＝错误!—错误!＝b—a，错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝a＋错误!（b—a）＝错误!a＋错误!b，错误!＝错误!＋错误!＝—错误!＋错误!错误!＝—a＋错误!b.（２）证明：∵错误!＝—a＋错误!b，错误!＝错误!＋错误!＝—错误!＋错误!错误!＝—a＋错误!错误!＝—错误!a＋错误!b＝错误!（—a＋错误!b），∴错误!＝错误!错误!，∴错误!与错误!共线，且有公共点B，∴B，E，F三点共线．一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若错误!＋错误!＝λ错误!，则λ＝________.解析：根据向量加法的运算法则可知，错误!＋错误!＝错误!＝２错误!，故λ＝２．答案：２２．（２0１9·海门中学检测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，则错误!＝________.解析：因为错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，所以错误!＝错误!—错误!＝—错误!错误!＋错误!错误!＝错误!（错误!—错误!），所以错误!＝错误!错误!，所以错误!＝错误!.答案：错误!３．（２0１8·启东期末）在平行四边形ABCD中，E为线段BC的中点，若错误!＝λ错误!＋μ错误!，则λ＋μ＝________.解析：由已知，得错误!＝错误!＋错误!错误!，所以错误!＝错误!—错误!错误!，又错误!＝λ错误!＋μ错误!，所以λ＝１，μ＝—错误!，则λ＋μ＝错误!.答案：错误!４．（２0１8·扬州模拟）在△ABC中，N是AC边上一点且错误!＝错误!错误!，P是BN上一点，若错误!＝m错误!＋错误!错误!，则实数m的值是________．解析：如图，因为错误!＝错误!错误!，P是错误!上一点．所以错误!＝错误!错误!，错误!＝m错误!＋错误!错误!＝m错误!＋错误!错误!，因为B，P，N三点共线，所以m＋错误!＝１，则m＝错误!.答案：错误!５．（２0１9·张家港模拟）如图所示，向量错误!，错误!，错误!的终点A，B，C在一条直线上，且错误!＝—３错误!，设错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，若c＝m a＋n b，则m—n＝________.解析：由向量错误!，错误!，错误!的终点A，B，C在一条直线上，且错误!＝—３错误!，得错误!＝错误!＋错误!＝错误!—３错误!＝错误!—３（CO―→＋错误!），即错误!＝错误!＋３错误!—３错误!，则c＝—错误!a＋错误!b.又c＝m a＋n b，所以m＝—错误!，n＝错误!，所以m—n＝—２．答案：—２6．（２0１8·江阴高级中学测试）已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b ＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝________.解析：依题意，设a＋b＝m c，b＋c＝n a，则有（a＋b）—（b＋c）＝m c—n a，即a—c＝m c—n a.又a与c不共线，于是有m＝—１，n＝—１，a＋b＝—c，a＋b＋c＝0.答案：0二保高考，全练题型做到高考达标１．已知△ABC和点M满足错误!＋错误!＋错误!＝0．若存在实数m，使得错误!＋错误!＝m错误!成立，则m＝________.解析：由错误!＋错误!＋错误!＝0得点M是△ABC的重心，可知错误!＝错误!（错误!＋错误!），即错误!＋错误!＝３错误!，则m＝３．答案：３２．（２0１9·江阴期中）若a，b不共线，且a＋m b与２a—b共线，则实数m的值为________．解析：∵a＋m b与２a—b共线，∴存在实数k，使得a＋m b＝k（２a—b）＝２k a—k b，又a，b不共线，∴１＝２k，m＝—k，解得m＝—错误!.答案：—错误!３．下列四个结论：１错误!＋错误!＋错误!＝0；２错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝0；３错误!—错误!＋错误!—错误!＝0；４错误!＋错误!＋错误!—错误!＝0，其中一定正确的结论个数是________．解析：１错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝0，１正确；２错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!，２错；３错误!—错误!＋错误!—错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝0，３正确；４错误!＋错误!＋错误!—错误!＝错误!＋错误!＝0，４正确．故正确的结论个数为３．答案：３４．（２0１8·南汇中学检测）已知△ABC中，点D在BC边上，且错误!＝２错误!，错误!＝r错误!＋s错误!，则r＋s＝________.解析：如图，因为错误!＝２错误!，所以错误!＝错误!错误!.又因为错误!＝错误!—错误!，所以错误!＝错误!错误!—错误!错误!.又错误!＝r错误!＋s错误!，所以r＝错误!，s＝—错误!，所以r＋s＝0．答案：0５．（２0１8·海安中学检测）如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝________（用a，b表示）．解析：连结CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且错误!＝错误!错误!＝错误!a，所以错误!＝错误!＋错误!＝b＋错误!a.答案：错误!a＋b6．（２0１9·常州调研）已知矩形ABCD的两条对角线交于点O，点E为线段AO的中点，若错误!＝m错误!＋n错误!，则m＋n的值为________．解析：如图所示，因为点E为线段AO的中点，所以错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!＝—错误!错误!＋错误!错误!—错误!错误!＝错误!错误!—错误!错误!，又错误!＝m错误!＋n错误!，所以m＝错误!，n＝—错误!，故m＋n＝错误!—错误!＝—错误!.答案：—错误!7．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，错误!２＝１6，|错误!＋错误!|＝|错误!—错误!|，则|错误!|＝________.解析：由|错误!＋错误!|＝|错误!—错误!|可知，错误!⊥错误!，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，|错误!|＝错误!|错误!|＝２．答案：２8．（２0１9·启东期中）在△ABC中，D为边AB上一点，M为△ABC内一点，且满足错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!＋错误!错误!，则错误!＝________.解析：如图，∵错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!＋错误!错误!，错误!＝错误!＋错误!，∴AD＝错误!AB，DM＝错误!BC，且DM∥BC，∴错误!＝错误!×错误!＝错误!.答案：错误!9．如图所示，在△OAB中，点C是以点A为对称中心的点B的对称点，点D是把错误!分成２∶１的一个三等分点，DC交OA于点E，设错误!＝a，错误!＝b.（１）用a和b表示向量错误!，错误!；（２）若错误!＝λ错误!，求实数λ的值．解：（１）依题意，A是BC的中点，所以２错误!＝错误!＋错误!，即错误!＝２错误!—错误!＝２a—b，错误!＝错误!—错误!＝错误!—错误!错误!＝２a—b—错误!b＝２a—错误!b.（２）若错误!＝λ错误!，则错误!＝错误!—错误!＝λa—（２a—b）＝（λ—２）a＋b.因为错误!与错误!共线．所以存在实数k，使错误!＝k错误!.即（λ—２）a＋b＝k错误!，因为a，b是不共线的两个非零向量，所以错误!解得错误!１0．设e１，e２是两个不共线的向量，已知错误!＝２e１—8e２，错误!＝e１＋３e２，错误!＝２e１—e２.（１）求证：A，B，D三点共线；（２）若错误!＝３e１—k e２，且B，D，F三点共线，求k的值．解：（１）证明：由已知得错误!＝错误!—错误!＝（２e１—e２）—（e１＋３e２）＝e１—４e２，因为错误!＝２e１—8e２，所以错误!＝２错误!.又因为错误!与错误!有公共点B，所以A，B，D三点共线．（２）由（１）可知错误!＝e１—４e２，因为错误!＝３e１—k e２，且B，D，F三点共线，所以错误!＝λ错误!（λ∈R），即３e１—k e２＝λe１—４λe２，得错误!解得k＝１２．三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１9·汇龙中学检测）如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D.若错误!＝x错误!＋y错误!，则x＋y的取值范围是________．解析：由于A，B，D三点共线，设错误!＝α错误!，则错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋α错误!＝错误!＋α（错误!—错误!）＝（１—α）错误!＋α错误!.由于O，C，D三点共线，且点D在圆内，点C在圆上，错误!与错误!方向相反，则存在λ＜—１，使得错误!＝λ错误!＝λ[（１—α）·错误!＋α错误!]＝λ（１—α）错误!＋λα错误!＝x错误!＋y错误!，因此x＝λ（１—α），y＝λα，所以x＋y＝λ＜—１．答案：（—∞，—１）２．已知O，A，B是不共线的三点，且错误!＝m错误!＋n错误!（m，n∈R）．（１）若m＋n＝１，求证：A，P，B三点共线；（２）若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝１．证明：（１）若m＋n＝１，则错误!＝m错误!＋（１—m）错误!＝错误!＋m（错误!—错误!），所以错误!—错误!＝m（错误!—错误!），即错误!＝m错误!，所以错误!与错误!共线．又因为错误!与错误!有公共点B，所以A，P，B三点共线．（２）若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使错误!＝λ错误!，所以错误!—错误!＝λ（错误!—错误!）．又错误!＝m错误!＋n错误!.故有m错误!＋（n—１）错误!＝λ错误!—λ错误!，即（m—λ）错误!＋（n＋λ—１）错误!＝0．因为O，A，B不共线，所以错误!，错误!不共线，所以错误!所以m＋n＝１．。

高一数学课程教案初步认识平面向量的概念与运算

高一数学课程教案初步认识平面向量的概念与运算高一数学课程教案：初步认识平面向量的概念与运算一、引言在数学学科中，向量是一个重要的概念，它可以用来描述物体在空间中的位置、方向和大小等信息。

在高中数学课程中，初步认识平面向量的概念与运算对学生建立数学思维和解决实际问题具有重要的意义。

本文将介绍初步认识平面向量的相关概念和运算方法，帮助学生更好地理解和应用。

二、基本概念1. 向量的定义向量是由大小和方向组成的有序组。

通常表示为AB→，其中AB 表示向量的起点和终点。

2. 向量的相等两个向量相等，当且仅当它们的大小相等且方向相同。

3. 零向量零向量是一个特殊的向量，其大小为0，没有方向。

4. 向量的坐标表示为了方便计算和表示，可以使用坐标表示一个向量。

一般使用有序数对 (x, y) 来表示平面向量，在笛卡尔坐标系中，坐标 (x, y) 表示一个从原点 (0, 0) 到点 (x, y) 的向量。

5. 向量的模向量的模表示向量的大小，一般用||AB→|| 表示。

对于平面向量AB→，其模等于AB→ 的长度。

三、向量运算1. 向量的加法向量的加法用来表示两个向量的合成，可以用平行四边形法则或三角形法则进行计算。

设有平面向量AB→ 和CD→，则它们的和为AC→，可以表示为AB→ + CD→ = AC→。

2. 向量的减法向量的减法用来表示两个向量的差，可以通过向量加法求解。

设有平面向量AB→ 和AC→，则它们的差为CB→，可以表示为AB→ - AC→ = CB→。

3. 数乘运算数乘运算表示一个向量与一个实数的乘积，它改变了向量的大小，但不改变其方向。

设有平面向量AB→ 和实数 k，其数乘结果为k·AB→。

四、平面向量的性质1. 交换律和结合律向量的加法满足交换律和结合律，即对于任意平面向量AB→、CD→ 和EF→，有AB→ + CD→ = CD→ + AB→ 和(AB→ + CD→) +EF→ = AB→ + (CD→ + EF→)。

一轮优化探究理数(苏教版)课件：第五章第一节平面向量的概念及其线性运算

解析：①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段； ②不正确，若 a 与 b 中有一个为零向量时，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反； ③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； ④不正确，如 b＝0 时，则 a 与 c 不一定共线．
答案：0
规律方法
1.判定两向量的关系时，特别注意以下两种特殊情况： (1)零向量的方向及其与其他向量的关系； (2)单位向量的长度及方向． 2．对于任一向量都可以自由移动，且任一组平行向量都可以移到同一条直线上． 3．向量不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
第五章平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算
主干知识自主排查
C
目录
ONTENTS
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主干知识自主排查
一、向量的有关概念 1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度 (或称模)． 2．零向量：长度为0 的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作 0 . 3．单位向量：长度等于 1 个单位的向量． 4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，平行向量又叫
→ －OB → → → → → 、OB → 表示)． 2 OA 满足 2AC＋CB＝0，则OC＝__________(用OA
→ ＋CB → ＝0，∴2(OC → －OA → )＋(OB → －OC → )＝0，解析：∵2AC → ＝2OA → －OB →. ∴OC
3．若 A、B、C、D 是平面上任意四点，给出下列式子： → ＋CD → ＝BC → ＋DA →； → ＋BD → ＝BC → ＋AD →； → －BD → ＝DC → ①AB ②AC ③AC → .其中正确的有________ 2 ＋AB 个． → －BC → ＝DA → －CD → ，左边＝AB → ＋CB →，解析：①式的等价式是AB

2020高中数学第五章第一教时平面向量教学案苏教版

2020 高中数学第五章 - 第一教时平面向量教教案苏教版实例：老鼠由 A 向西北逃跑，猫在 B 处向东追去，问：猫可否追到老鼠？（绘图）结论：猫的速度再快也没用，由于方向错了。

一、提出课题：平面向量1．意义：既有大小又有方向的量叫向量。

例：力、速度、加快度、冲量等注意： 1 数目与向量的差别：数目只有大小，是一个代数目，能够进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，两重性，不可以比较大小。

2从 19 世纪末到 20 世纪初，向量就成为一套优秀通性的数学系统，用以研究空间性质。

2．向量的表示方法： a B1 几何表示法：点—射线（终点）有向线段——拥有必定方向的线段A(起点)有向线段的三因素：起点、方向、长度记作（注意起讫）北B2字母表示法： AB 可表示为 a （印刷时用黑体字）P95例用1cm表示5n mail（海里）A 3．模的观点：向量AB 的大小——长度称为向量的模。

记作： | AB |模是能够比较大小的4．两个特别的向量：1零向量——长度（模）为 0 的向量，记作0。

0的方向是随意的。

注意0与0的差别2单位向量——长度（模）为 1 个单位长度的向量叫做单位向量。

例：温度有零上零下之分，“温度”能否向量？答：不是。

由于零上零下也不过大小之分。

例： AB 与 BA 能否同一直量？答：不是同一直量。

例：有几个单位向量？单位向量的大小能否相等？单位向量能否都相等？答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不必定相等。

二、向量间的关系：1．平行向量：方向同样或相反的非零向量叫做平行向量。

a 记作： a ∥b ∥ cb 规定： 0 与任一直量平行c 2．相等向量：长度相等且方向同样的向量叫做相等向量。

记作： a = b规定： 0 =0任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点没关。

3．共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量。

C O B AOA = a OB = b OC = c例：（ P95）略变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11 个）变式二：能否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？（CB, DO, FE ）三、小结：四、作业：P96 练习习题 5. 1。

导学案025平面向量的概念及线性运算

平面向量的概念及线性运算考纲要求1.了解向量的实际背景．2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3.理解向量的几何表示．4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.考情分析1.平面向量的线性运算是考查重点．2.共线向量定理的理解和应用是重点，也是难点．3.题型以选择题、填空题为主，常与解析几何相联系.教学过程基础梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有又有的量叫向量；向量的大小叫做向量的(2)零向量：长度等于的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于的向量．(4)平行向量：方向或的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且相同的向量．(6)相反向量：长度相等且相反的向量．法则(或几何意义)平行四边形法则(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa与a的方向；当λ＜0时，λa与a的方向；当λ＝0时，λa＝0.(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λ b. 4．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得双基自测1．下列给出的命题正确的是 ( )A．零向量是唯一没有方向的向量B．平面内的单位向量有且仅有一个C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向相同的向量D．相等的向量必是共线向量2．如右图所示，向量a－b等于 ( )A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e23．(教材习题改编)设a，b为不共线向量，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则下列关系式中正确的是( )A．AD＝BC B．AD＝2BCC．AD=-BC D．AD=-2BC4．化简：AB＋DA＋CD＝________.5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.典例分析考点一、平面向量的基本概念[例1] 给出下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中假命题的个数为 ( )A．1 B．2C．3 D．4变式1．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是 ( )A．0 B．1C．2 D．3涉及平面向量有关概念的命题的真假判断，准确把握概念是关键；掌握向量与数的区别，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法.考点二、平面向量的线性运算[例2] (2011·四川高考)如图，正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝ ( )A．0 B．BE C．AD D．CF变式1本例条件不变，求AC＋AF.变式2．(2012·杭州五校联考)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC 外，BC2＝16，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|＝ ( )A．8 B．4C．2 D．11.进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到平行四边形或三角形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线定理、相似多边形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中同样适用．运用上述法则可简化运算考点三、共线向量[例3] (2012·南昌模拟)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么 ( )A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向变式3．(2012·南通月考)设e1，e2是两个不共线向量，已知AB＝2e1－8e2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2.(1)求证：A、B、D三点共线；(2)若BF＝3e1－ke2，且B、D、F三点共线，求k的值．1.向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ使b＝λ a.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．2.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．易错矫正忽略0的特殊性导致的错误[考题范例](2012·临沂模拟)下列命题正确的是 ( )A．向量a、b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa；B．在△ABC中，AB＋BC＋CA＝0；C．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立；D．向量a、b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线[失误展板]错解一：a 、b 共线，必然是有且只有一个实数λ，使b ＝λa ，故选A. 错解二：首尾相连，始终如一．在△ABC 中，AB 、BC 、CA 围成了一个封闭图形，故AB ＋BC ＋CA ＝0，故选B.错解三：当a 与b 同向时，式子中第一个等号不成立；当a 与b 反向时，式子中第二个等号不成立，当两个向量不共线时，两个等号都不成立，故两个等号不可能同时成立，故选C.错因：错解一，忽视了a≠0这一条件．错解二，忽视了0与0的区别，AB ＋BC ＋CA ＝0；错解三，忽视了零向量的特殊性，当a ＝0或b ＝0时，两个等号同时成立．[正确解答]∵向量a 与b 不共线，∴a ，b ，a ＋b 与a －b 均不为零向量．若a ＋b 与a －b 平行，则存在实数λ，使a ＋b ＝λ(a －b)，即(λ－1)a ＝(1＋λ)b ， ∴⎩⎨⎧λ－1＝01＋λ＝0，λ无解，故假设不成立，即a ＋b 与a －b 不平行，故选D.一条规律一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．两个防范(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．本节检测1．(2012·潍坊模拟)在四边形ABCD 中，A B＝D C ，且|A B|＝|B C |，那么四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．菱形C ．长方形D ．正方形2．设P 是△ABC 所在平面内的一点，B C ＋BA ＝2BP ，则( )A ．PA ＋PB＝0 B ．P C ＋PA＝0C ．PB＋P C＝0D ．PA ＋PB＋P C＝03．(2012·揭阳模拟)已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ＋OB ＋C O＝0，则△ABC 的内角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°4．(2012·银川模拟)在△ABC 中，D 为AB边上一点，若AD＝2D B，CD ＝13C A＋λCB，则λ的值为( )A ．1B.13C.23 D ．－235．已知向量p ＝a |a|＋b |b|，其中a 、b 均为非零向量，则|p|的取值范围是( ) A ．[0，2] B ．[0,1] C ．(0,2]D ．[0,2]6．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA －3OB ＋2O C＝0，则|A B||B C |＝________. 7．设向量e 1，e 2不共线，A B＝3(e 1＋e 2)，CB ＝e 2－e 1，CD＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A 、B 、C 共线；②A 、B 、D 共线；③B 、C 、D 共线；④A 、C 、D 共线，其中所有正确结论的序号为________．自我反思。

第五章第1讲平面向量的概念及其线性运算配套课时作业ppt课件

1－n＝m， ∴n5＝52，
解得nm＝＝2－，1. 故选B.
解析22
12．(2019·郑州模拟)如图，A，B分别是射线OM，ON上
的点，给出下列向量：①O→A＋2O→B；②12O→A＋13O→B；
③34O→A＋13O→B；④34O→A＋15O→B；
⑤
3 4
O→A
－ 15 O→B
.若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边
解析18
10．(2019·湖北咸宁联考)如图，在△ABC中，点M为AC的中点，点N在 AB上，A→N＝3N→B，点P在MN上，M→P＝2P→N，那么A→P等于( )
A.23A→B－16A→C C.13A→B－16A→C
B.13A→B－12A→C D.12A→B＋16A→C
答案 D
答案19
解析由题意知N→P＝13N→M，A→N＝34A→B， A→M＝12A→C， ∴A→P＝A→N＋N→P＝A→N＋13N→M＝A→N＋13(A→M－A→N)＝23A→N＋13A→M＝12A→B＋16 A→C.故选D.
＋|bb|＝0成立的是(
)
A．a＝2b B．a∥b
C．a＝－13b D．a⊥b
答案 C
答案7
解析
“
a |a|
＋
b |b|
＝0，且a，b都是非零向量”等价于“非零向量a，b共
线且反向”．故选C.
解析8
5．(2019·湖北模拟)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则E→B＋F→C＝( )
解析2
2．已知|a|＝2，|b|＝1，则|a－b|的取值范围是( )
A．[1,2]
B．[1,3]
C．[1， 2] D．[1， 3]

初中数学教案平面向量的基本概念和运算

初中数学教案平面向量的基本概念和运算初中数学教案：平面向量的基本概念和运算引言：平面向量是初中数学中的重要概念，它在几何和代数两个方面都有广泛的应用。

本教案将介绍平面向量的基本概念和运算，并通过丰富的例题让学生更深入地理解和掌握这一知识点。

一、平面向量的定义在平面上，我们可以用一个有大小和方向的直线段来表示一个向量。

其中，大小表示为向量的长度，方向表示为向量所在直线段的朝向。

二、平面向量的表示为了方便起见，我们通常用一个字母加上一个向右的箭头来表示一个向量。

例如，向量A用记作→A。

如果需要表示向量的大小，我们可以在向量字母的上方加上两条平行线。

例如，向量A的大小可以记作|→A|。

三、平面向量的加法平面向量的加法遵循平行四边形法则。

即，将两个向量的起点放在一起，然后将向量依次地按次序相连，连接起两个向量的终点，所形成的向量就是它们的和向量。

四、平面向量的减法平面向量的减法可以看作是加上一个相反向量。

即，向量A减去向量B可以看作是向量A加上向量B的相反向量。

五、平面向量的数量积平面向量的数量积也称为点积。

两个向量的数量积等于它们的模长的乘积再乘以它们的夹角的余弦值。

即，对于向量→A和→B，它们的数量积可以表示为：|→A|·|→B|·cosθ，其中θ为→A与→B的夹角。

六、平面向量的夹角两个非零向量的夹角等于它们的数量积除以它们的模长的乘积的反余弦值。

七、平面向量的正交与共线如果两个向量的数量积为0，则它们为正交向量；如果两个向量的夹角为0度或180度，则它们为共线向量。

八、平面向量的数乘向量乘以一个实数的操作称为数乘。

数乘的结果是一个新的向量，它的大小是原向量大小的绝对值与实数的乘积，而方向与原向量相同（当实数为正数时）或相反（当实数为负数时）。

实例演练：1. 已知向量→A=(2, 3)，向量→B=(−1, 4)，求→A+→B的结果。

2. 已知向量→A=(3, 5)，向量→B=(2, −3)，求→A−→B的结果。