数理方程题库

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数理方程30题

x x
+ +
C1 C2
⎡ ∂ξ
构造变换：
⎧ξ ⎩⎨η
= =
2 sin 4 sin
x x
+ +
cos cos
y y
，
⎢ ⎢ ⎢
∂x ∂η
⎢⎣ ∂x
∂ξ ⎤
∂y ∂η
⎥ ⎥ ⎥
=
⎡2 ⎢⎣4
cos cos
x x
∂y ⎥⎦
− sin y⎤ − sin y⎥⎦
所以， a12 = 8sin 2 y cos2 x − 18cos2 x sin 2 y + 8cos2 x sin 2 y = −2 cos2 x sin 2 y
0
L
例 7．求解双曲型方程初边值问题
⎪⎪⎨⎧uu
tt =
x=0
a 2u xx , = 0, u
x∈
x=π
(0, π =0
),
t
∈
(0,
+ ∞)
⎪ ⎪⎩u t=0
= sin x,
ut
t=0
=0
解：对应的固有值和固有函数分别为： λn = n 2 ， X n (x) = sin nx ，（n=1，2，……）。
解：设均匀圆锥杆作纵振动时位移函数为
u(x，t ) 则在点 x 处，弹力与相对伸长量成正比，即

数理方程练习题（1）

一、填空题

1．二阶线性偏微分方程xx xy yy x y Au Bu C u D u Eu Fu G +++++=（其中各系数均为x 和y 的函数）在某一区域的性质由式子：24B AC -的取值情况决定，取值为正对应的是（双曲）型，取值为负对应的是（椭圆）型，取值为零对应的是（抛物）型。

2．在实际中广泛应用的三个典型的数学物理方程：

第一个叫（弦自由横振动），表达式为（2tt xx u a B u =），属于（双曲）型；第二个叫（热传导），表达式为（ 2t xx u a B u =），属于（椭圆）型；第三个叫（拉普拉斯方程和泊松方程），表达式为（0

x x y y

u u

+=，

(,)xx yy u u x y ρ+=-），属于（椭圆）型；

二、选择题

1．下列泛定方程中，属于非线性方程的是［ B ］

(A) 260t xx u u xt u ++=；(B) sin i t tt xx u u u e ω-+=； (C) (

)22

0y xx

xxy u x y

u +++=； (D) 340t x xx u u u ++=；

2. 下列泛定方程中，肯定属于椭圆型的是［ D ］

(A)0xx yy u xyu +=； (B) 22x xx xy yy x u xyu y u e -+=；

()()(

)()()()2,0,00,,0

数学物理方程题库

解：方程的判别式 ∆ = a12 2 − a11a22 = ( xy )2 − x 2 y 2 = 0.
所以方程为抛物型。
dy 该方程的一组特征微分方程为
=
a1 2
=
y ,解这个微分方程得到：
dx a11 x
y = cx (其中 c为常数 )，因此令 ξ = y ，选 η = x. x
+ +
g( y) g(0)
=ϕ( y) =φ( x)
⇒⎧⎪⎨⎪⎩hh((0x))
+ +
g(0) g(0)
=ϕ( =φ(
0) x)
⇒h(x) +g( y) =φ(x) +ϕ( y) −⎡⎣h(0) +g(0)⎤⎦ =φ( x) +ϕ( y) −ϕ(0)
xy
所以，u( x, y) =φ( x) +ϕ( y) −ϕ(0) +∫ dξ∫ f (ξ,η) dη
所以16 ∂2U + (y+sinx ) ∂U + (y+sinx ) ∂U = 0
∂ξ∂η
∂ξ
∂η
由于y+sinx= ξ +η ，所以上式可以变为关于ξ，η得标准方程 2
∂2u ξ +η ⎛ ∂u ∂u ⎞
+ ∂ξ∂η
32

数理方程期末试题

数理方程与特殊函数试题（行波法与付氏变换）

（2008-10-27）

一、（15分）求解初值问题：⎩⎨⎧==>∞<<-∞+===x t t t xx tt xe

u x u t x x u u 00|,sin |)0,(sin 解：令 u (x ，t ) = v (x ，t ) + w (x )，……………………………………………………（2分）代入原方程，得

v tt = [v xx + w xx ] + sin x ………………………………（2分）

所以取 w (x ) = sin x ，……………………………………………………………………（2分）得v (x ，t )满足的初值问题

⎪⎩⎪⎨⎧===x t xx tt xe

x v x v v v )0,(0

)0,(…………………………………………（2分）由达朗贝尔公式，得

⎰+--+-++---+==t x t x t x t x t x t x e e e t x e t x d e t x v ])()[(2

121),(ξξξ…………（3分） ])1()1[(2

1t x t x e t x e t x -++---+=………………（2分）所以u (x ，t ) = v (x ，t ) + w (x )x e t x e t x t x t x sin ])1()1[(21++---+=

-+……（2分）

二、（15分）求解半无界弦定解问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===>∞<<====0

sin ,cos )0,0(0002x x t t t xx tt u x u x u t x u a u 解：对初始条件中函数做偶延拓

数理方程试卷

工程数学

一、 (10分)填空题

1、初始位移为)(x ϕ,初始速度为)(x ψ的无界弦的自由振动可表述为定解问题:

⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<∞-===).(),(0,,00

x u x u t x u a u t t t xx tt ψϕ 2、为使定解问题

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧=======0

,000

02t l

x x x xx

t u u u u u a u (0u 为常数)

中的边界条件齐次化,而设)(),(),(x w t x v t x u +=,则可选=)(x w x

u 0

3、方程0=xy

u 的通解为)()(),(y G x F y x u +=

4.只有初始条件而无边界条件的定解问题,称为柯西问题、

5.方程y x u xy 2=满足条件1cos ),0(,)0,(2-==y y u x x u 的特解为1cos 6

1),(22

3-++=

y x y x y x u 二、 (10分)判断方程

02=+yy xx u y u

的类型,并化成标准形式.

解:因为)0(02≠<-=∆y y ,所以除x 轴外方程处处就是椭圆型的。 ……2分

它的特征方程就是 022

=+⎪⎭

⎫

⎝⎛y dx dy ……5分

即

iy dx

±= 特征线为 21ln ,ln c ix y c ix y =+=-

作变换:⎩⎨⎧==x y

ηξln ……7分

求偏导数

⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨⎧-====)(1

2ξξξξ

ηηηu u y u u y u u u u u yy y xx x 将二阶偏导数代入原方程,便可得到标准形式

ξηηξξu u u =+ ……10分

数理方程习题综合

例 1.1.1 设v=v(线x,y),二阶性偏微分方程v xy =xy 的通解。解原方程可以写成 ð／ðx（ðv／ðy） =xy 两边对x 积分，得 v y =¢（y ）+1/2 x 2Y ,

其中¢（y ）是任意一阶可微函数。进一步地，两边对y 积分，得方程得通解为

v （x,y ）=∫v y dy+f （x ）=∫¢（y ）dy+f （x ）+1/4 x 2y 2

=f （x ）+g （y ）+1/4 x 2y 2

其中f （x ）,g （y ）是任意两个二阶可微函数。例1.1.2

即 u(ξ,η) = F(ξ) + G(η),

其中F(ξ),G(η)是任意两个可微函数。

例1.2.1设有一根长为L 的均匀柔软富有弹性的细弦，平衡时沿直线拉紧，在受到初始小扰动下，作微小横振动。试确定该弦的运动方程。

取定弦的运动平面坐标系是O XU ,弦的平衡位置为x 轴，弦的长度为L ，两端固定在O,L 两点。用u(x,t)表示弦上横坐标为x 点在时刻t 的位移。由于弦做微小横振动，故u x ≈0.因此α≈0，cos α≈1,sin α≈tan α=u x ≈0,其中α表示在x 处切线方向同x 轴的夹角。下面用微元法建立u 所满足的偏微分方程。

在弦上任取一段弧'MM ,考虑作用在这段弧上的力。作用在这段弧上的力有张力和外力。可以证明，张力T 是一个常数，即T 与位置x 和时间t 的变化无关。

事实上，因为弧振动微小，则弧段'MM 的弧长

dx u x

x x

x ⎰

∆++=∆2

1s ≈x ∆。

这说明该段弧在整个振动过程中始终未发生伸长变化。于是由Hooke 定律，张力T 与

数理方程期末试题--0--B-答案

北京交通大学

2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷（B ）

（参考答案）

学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __

一、计算题（共80分，每题16分）

1．求下列定解问题（15分）

22201200,0,0,|,|,|0,|0.x x l t t u u

a A x l t t x u M u M u u t ====⎧∂∂=+<<>⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩

2．用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分）

2,0,0,(,0)0,(,0)0,

(0,)(),lim (,)0.tt xx t x u a u x t u x u x u t t u x t φ→+∞

⎧=<<+∞>⎪

==⎨⎪==⎩ 3．设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的出示位移如下图所示。初速度为零，又没有外力

作用。求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。

[ 解 ] 问题的定解条件是

1(,)(cos sin )sin n a n a n n n l l l n u x t C t D t x πππ

∞

==+∑

由初始条件可得

0, 1,2,...n D n ==

02()sin d ()sin d =

sin

, 1,2,...

c l

h n h n n l

c l l c l c hl n c l

c l c n C x x x x l x x n ππ

数理方程题库

第一章定义和方程类型

1、342

(,,)v v v xyv g x y z x x y z

∂∂∂+++=∂∂∂∂ 是( D )偏微分方程 A 、一阶 B 、二阶 C 、三阶 D 、四阶 1、

22(,,)v

xy v g x y z z

∂+=∂ 是( A )偏微分方程 A 、一阶 B 、二阶 C 、三阶 D 、四阶

1、33232(,,)v v v

v xyv g x y z x x y z ∂∂∂+++=∂∂∂∂ 是( C )偏微分方程

A 、一阶

B 、二阶

C 、三阶

D 、四阶 2、2(,)t

xx u a u f x t -= (其中0>a ) 属于( A )型偏微分方程

A 、抛物

B 、双曲

C 、椭圆

D 、混合 2、2(,)tt

xx u a u x t ϕ-= (其中0>a ) 属于( B )型偏微分方程

A 、抛物

B 、双曲

C 、椭圆

D 、混合

2、

2(,,)tt xx u a u x y t ϕ+= (其中0>a ) 属于( C )型偏微分方程 A 、抛物 B 、双曲 C 、椭圆 D 、混合 2、

(,)

xx yy u u f x y += (其中(,)u u x y =) 属于( C )型偏微分方程

A 、抛物

B 、双曲

C 、椭圆

D 、混合 4、下列方程是非线性偏微分方程的是（ A ）

A 22(

)()sin u u x x y 抖+=抖 B (,)u u

f x y x y

抖+=抖 C 22(,)(,)cos u u

a x t

b x t x x t

数理方程题库

第一部分分离变量法

一、(1) 求解特征值问题

(2) 验证函数系关于内积

正交,并求范数

二、用分离变量法求解定解问题

的解的表达式,写出具体的分离变量过程、进一步,当时,求与时的

值、

三、(方程非齐次的情形)求定解问题

四、(边界非齐次的情形)求定解问题

五、(Possion方程)求定解问题

六、求定解问题:

注意:

1、考试只考四种边界条件,即还有以下三种:

2、以上均为抛物型方程,还可以考双曲型方程(相应的初值条件变为两个)与椭圆型方程(无初值条件);

3、考试中除特别要求(如以上的第二题)外,不要求必须用分离变量法、特征函数法等方法求解,您可以自己选择方法(如上面的第三题)可以用Laplace 变换求解。

第二部分积分变换法

一、请用下面三种方法求解无穷限波动问题

()()22222

00,, 0,

,t t u u a x t t x u x x u x x t ϕψ==⎧∂∂=-∞<<∞>⎪∂∂⎪⎪

=-∞<<∞⎨⎪∂⎪=-∞<<∞∂⎪⎩

(1) 用积分变换法推导达朗贝尔公式

(2) 用特征线法推导达朗贝尔公式 (3) 用降维法推导达朗贝尔公式

二、用积分变换法求解定解问题

01,1, 0,

1cos ,0y x u x y x y x y u x x u y y ==⎧∂=>>⎪∂∂⎪⎪=≥⎨⎪

=>⎪⎪⎩

注意:只考应用Fourier 变换与Laplace 变换求解方程的问题

第三部分特征线问题

一、判断方程

的类型、

二、从达朗贝尔公式出发,证明在无界弦问题中

(1) 若初始位移()x ϕ与初始速度()x ψ为奇函数,则(),00u t = (2) 若初始位移()x ϕ与初始速度()x ψ为偶函数,则(),00x u t = 三、请用下列方法求解定解问题

数理方程课后习题(带答案)

v(x,t)
vea2nl222t n
n1
sinnx
l
其中 v n2 l 0 l[g (x) w (x)]sinn lxd x
原问题得解为 u ( x ,t) v ( x ,t) w ( x )
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
习题2第12题：求下列定解问题：
u(x20u2,y)y2u2u(l10,,y)0,
方法二：可设 u(x,t)v(x,t)w (x)
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
习题2第10题：求满足下列定解条件的一维热传导方程的解
u(0,t) 10,u(l,t) 5,
u(x,0) kx 齐次方程非齐次边界条件问题
可设 u (x ,t) v (x ,t) w (x ) 代入方程 vt a2 x2v2 a2w"(x) 选取w（x）使得：w"(x) 0,
Cn(0)0
由此可得 C n(t)2n A l2 ([n 1 2 (2 1)n2 e l 2 )l](1en 2 2 l2 2t)
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
方法二：可设 u(x,t)v(x,t)w (x)
代入原问题得v(x20v2,t)w"w(x(0))a20,vvt(l,tA)ewx(l)0,0,
0xl,t 0

数理方程练习题(作业)

数理方程练习题一（2009研）

1. 设(,)u u x y =，求二阶线性方程

20u

x y

∂=∂∂ 的一般解。

2. 设

u f = 满足Laplace 方程

222

0u u x y ∂∂∂∂+

求函数u.

3. 求Cauchy 问题

2000(,)(0,)cos tt xx t t t u a u x t u x u x x ==⎧-=∈⨯∞⎪⎨==∈

⎪

⎩

的解．

4. 求解Cauchy 问题

200cos (,)(0,)cos 010tt xx t t t u a u t x x t x x u x u x ==⎧-=∈⨯∞⎪

≥⎧⎨

==⎨⎪<⎩⎩

5. 解在半无界问题

20000(,)(0,)sin (0)0

(0)tt xx t t t x u a u x t u x u x x u t +===⎧+=∈⨯∞⎪⎪

==≤≤∞⎨⎪

=≥⎪⎩

6. 求解二维Cauchy 问题

00(,,)(0,)0()(,)tt t t t u a u x y t u u x x y x y ==⎧-∆=∈⨯∞⎪⎨==+∈

⎪⎩

求下列函数的Fourier 变换

1 0()00

e x

f x a x -⎧≥=>⎨

<⎩

2 1||()0

||a x a x x a

≤⎧∏=⎨

>⎩

3 2

()x f x e -=

7. 磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆，它作纵振动．研

究两端自由棒的自由纵振动，即定解问题。

200,0(,0)(),(,0)()0(0,)(,)00

tt xx t x

x u a u x l t u x x u x x x l u t u l t t ϕψ⎧-=<<>⎪

数理方程习题

(方法二) 因x = r cos θ,
∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂u = + = cos θ + sin θ, ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r ∂x ∂y ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂u = + = (−r sin θ) + r cos θ, ∂θ ∂x ∂θ ∂y ∂θ ∂x ∂y ∂2u ∂2u ∂2u ∂2u 2 = cos θ + sin 2 θ + sin2 θ, ∂r2 ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 ∂2u ∂2u 2 ∂u ∂2u 2 2 ∂2u ∂u sin 2 θ + r cos θ − r sin θ. = r sin θ − r cos2 θ − 2 2 2 ∂θ ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y 因此 1 ∂2u ∂ 2 u 1 ∂u ∂2u ∂2u + + = + 2. ∂r2 r ∂r r2 ∂θ2 ∂x2 ∂y
3. 证明三维拉普拉斯算子在柱面坐标系(r, θ, z )下可以写成 ∆u = 1 ∂2u ∂2u ∂ 2 u 1 ∂u + + + 2. ∂r2 r ∂r r2 ∂θ2 ∂z
证. 柱面坐标系与直角坐标系之间的变换关系为 x = r cos θ, 或者为 r = (x2 + y 2 ) 2 , 完全同上题的计算, 得证. 4. 证明三维拉普拉斯算子在球坐标系(r, θ, ϕ)下可以写成 ( ) 1 ∂2u ∂u 1 ∂2u ∂ 2 u 2 ∂u + 2 + cot θ + . ∆u = 2 + ∂r r ∂r r ∂θ2 ∂θ sin2 θ ∂ϕ2

数理方程试题

一．判断题（每题2分）.

1. 2u u x y x y x

+=是非线性偏微分方程.( )

2. 绝对可积函数一定可做Fourier 积分变化.( )

3. ()(1) 1.n n F x n Legendre F =是次正交多项式，则 ( )

4. (,)0xy f x y =的解是调和函数.( )

5. **12u u 已知,是线性偏微分方程(,)xx yy u u f x y +=的解，则**12u u -是0u ?= 的解.( )

二．填空题（每题2分）.

1. ()sin t xx yy u u u xt -+= 是____________型偏微分方程.

2. 内部无热源的半径为R 的圆形薄板,内部稳态温度分布，当边界上温度为()t φ时，试建立方程的定解问题________________________.

3. 2x 的Legendre 正交多项式的分解形式为__________________.

4.某无界弦做自由振动,此弦的初始位移为()x φ,初始速度为()a x φ-,则弦振动规律为______________________________.

5. []()____________.at m L e t s = 三．求解定解问题（12分）

sin ;0,0;0.

t xx x

x x

x l

t u a u A t u u u ω===-====

四．用积分变换方法求解以下微分方程（每题12分，共24分）（1）

1,0,0;

1,1.

xy x y u x y u

y u

===>>=+=

数理方程练习题

数理方程练习题一（2009研）

1. 设(,)u u x y =，求二阶线性方程

20u

x y

∂=∂∂ 的一般解。

解先把所给方程改写为

()0u

x y

∂∂=∂∂ 2分两边对x 积分，得

()0()()u u

dx dx y y y x y

ϕϕ∂∂∂==+=∂∂∂⎰⎰ 4分这里， ()y ϕ是任意函数。再两边对y 积分，得方程的一般解为y

()()()()u

u dy y dy f x f x g y y

ϕ∂==+=+∂⎰

⎰ 6分这里，(),()f x g y 是任意两个一次可微函数。 2. 设

u f = 满足Laplace 方程

222

0u u x y ∂∂∂∂+

求函数u.

解

: ,.r x r y r x r x r ∂∂===∂∂ ''(),().u x u y f r f r x r y r

∂∂⇒==∂∂ 3分因此有

222'''

223222

'''

223

()()()()u x y f r f r x r r

u y x f r f r y r r ∂=+∂∂=+∂ 3分原方程化为:'''1()()0f r f r r

+= 2分故有

:1212()ln r u f r c c c c ==+= 2分

例1 求Cauchy 问题

00(,)(0,)cos tt xx t t t u a u x t u x u x x ==⎧-=∈⨯∞⎪⎨==∈⎪⎩R R

的解．

解由定理3.1得

22222()()1u(x, t)cos 221

cos sin x at

x at

x at x at d a x a t x at

数理方程题解

数理方程题解第一章（定解问题）

---------END---------

第二章（分离变量法）

第三章（行波变换法）

第四章（拉普拉斯和格林函数）

第五章（贝塞尔函数）

第六章(勒让德多方程)

数学方程练习题(全)

本文档提供了一系列数学方程练题，旨在帮助读者巩固数学方程的理解和应用。以下是一些例题：

1. 一元一次方程

例题1：

求解方程：3x + 5 = 14

解答：

将方程中的5移到等号右边，得到：3x = 14 - 5

计算右边的值，得到：3x = 9

将方程两边都除以3，得到：x = 3

2. 一元二次方程

例题2：

求解方程：x^2 + 4x + 4 = 0

解答：

通过因式分解或配方法，可以将方程化简为：(x + 2)^2 = 0

由于一个数的平方等于0的唯一解是0，我们得到：x + 2 = 0 将方程解出，得到：x = -2

3. 两个未知数的方程

例题3：

求解方程组：

2x + 3y = 10

x - y = 2

解答：

可以使用消元法或代入法来解此方程组。我们先使用代入法，将第二个方程中的x表示为y的函数，得到：x = y + 2 将x的值代入第一个方程，得到：2(y+2) + 3y = 10

化简方程，得到：2y + 4 + 3y = 10

将y的系数合并，得到：5y + 4 = 10

继续化简，得到：5y = 6

最后解出y的值，得到：y = 6/5

将y的值代入x = y + 2，得到：x = (6/5) + 2

以上是本文档提供的部分数学方程练题，希望对您的数学研究有所帮助。