八年级数学第二学期不等式因式分解[下学期](无答案) 北师大版

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北师大版八年级下因式分解及应用（难）

第11讲：因式分解的方法【知识梳理】一、因式分解的意义一、因式分解的意义把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，其操作过程叫分解因式。

其中每一个整式叫做积的因式。

二、因式分解的方法二、因式分解的方法1、常用方法有提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等，通常根据多项式的项数来选择分解的方法。

项数来选择分解的方法。

2、一些复杂的因式分解的方法：、一些复杂的因式分解的方法：（1）换元法：对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数、降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。

结构复杂程度等方面有独到作用。

（2）主元法：在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构。

问题的结构。

（3）拆项、添项法：拆项是将多项式中的某项拆成两项或更多项的代数和的一种恒等变形；添项是特殊的拆项，即把零拆成两个相反项的和。

配方法则是一种特殊的拆项、添项法。

添项法。

（4）待定系数法：对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达式（含待定的字母系数），然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题得以解答。

以解答。

（5）常用的公式：）常用的公式：平方差公式：()()b a b a b a -+=-22；完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±； ()2222222c b a ca bc ab c b a ++=+++++；()2222222c b a ca bc ab c b a -+=--+++；()2222222c b a ca bc ab c b a --=-+-++；立方和（差）公式：()2233b ab a b a b a +-+=+； ()()2233b ab a b a b a ++-=-；完全立方公式：()3322333b a b ab b a a +=+++；()3322333b a b ab b a a -=-+-。

北师大版八年级下册数学《因式分解》PPT教学课件

合作探究
探究点三问题1：因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式 . 问题2：你能说明因式分解与整式的乘法有什么关系吗? 多项式的因式分解与整式的乘法互为逆变形过程. 因此可以用整式的乘法来检验分解因式是否正确.
合作探究
探究点四例1：已知多项式x2－4x＋m因式分解的结果为(x＋a)(x－6)，求2a－m的值解：(x＋a)(x－6)
课程讲授
1 因式分解的定义
问题1：
完成下列题目： x(x-2)=__x_2_-_2_x_ (x+y)(x-y)=__x_2-_y_2__ (x+1)2=_x_2_+_2_x_+_1_
根据左空，解决下列问题： x2-2x=( x )( x-2 ) x2-y2=( x+y )( x-y ) x2+2x+1=( x+1 )2
4.1 因式分解
八年级下册
学习目标
1 经历从分解因数到分解因式的类比过程. 2 了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的相互关系. 3 感受因式分解在解决相关问题中的作用.
前置学习
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( D )
A．a(x－y)＝ax－ay
B．x²＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
整式乘法
(x+1)(x-1)
课程讲授
1 因式分解的定义
归纳：因式分解与整式乘法是互逆运算，二者是一个式子的两种不同表现形式．因式分解的等号右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的等号右边是多项式的形式．
随堂练习
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（ C ） A. a(a+b-1)=a2+ab-a B. a2-a-2=a(a-1)-2 C. -4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b) D.2x +1=x(2+ 1 )

数学北师大版八年级下册因式分解--公式法

公式中的公式中的aabb无论表示无论表示数数单项式单项式还是还是多项式多项式只要只要被分解的多项式能被分解的多项式能转化转化成成平方差平方差的形式就能用平方差的形式就能用平方差公式因式分解
第四章
因式分解
3 公式法（一）
【学习目标】
1.理解平方差公式的本质：即结构的不变性，字母的可变性. 2.会用平方差公式进行因式分解. 3.使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解. 4.经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想，感受数学知识的完整性．
x 25 __________ __________ （x+5）（ x-5） __;
2
9x2 y2 __________ __________ （3x+y）（ 3x-y） _;
（3m+2n）（ 3m–2n）. 9m 4n __________ __________
2 2
2.整式乘法公式的逆向变形得到分解因式. 我们利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法称为公式法.
2 2
× ） √
）
× ）
× ）
a2和b2的符号相反
随堂练习
2.分解因式：
2
( 2 x 3 )( 2 x 3 ) (1 ) 94x 1 1 1 2 2 2 xy z )( xy z ) (2) x y z ( 2 2 4 2 2 ( 3 ) x ( a b c ) ( x a b c ) ( x a b c )
2 x(2 2 ) 方法： 2 x ( x 2 )( x 2 )
2 2
1.如果一个多项式，且这个多项式能写成的形式;那么这个多项式就能因式分解为 ____________________. 先提出这 2.多项式的各项都含有公因式时，应____ ___. 个公因式

因式分解课件-北师大版八年级数学下册

课堂小结
你能说说什么是分解因式吗？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式。
应该怎样认识“因式分解” 分解因式与整式乘法是互为逆运算的变形过程。
分解因式要注意到什么？ 1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式. 3.要分解到不能分解为止.
根根据据根题题根据意意据题，，题意得得意，22，xx得22++得2xxx++22aax+＝＝2x++（（xa+＝xxa++＝（22））（x（（+x222+）xx2（++）bb（2））x．．2+xb+）b．）．
展展开开展，，展开得得开，22，xx得22++得2xxx++22aax+＝＝2x++22xaxx+＝22a++＝2（（x22bbx+++2（44+））（b+xxb4+++）224bb）x．．+x2+b2．b．
比较系数得 2b=-16，b-3a+2=0，a-3=m，2a-3b=n
解得a=-2，b=-8，m=-5，n=20. ∴mn=﹣5×20=﹣100．
能力提升 1.证明对于任何整数n,多项式(n+7)2-(n-3)2的值都能被20整除
能力提升
2.已知多项式2x2+3xy-2y2-x+8y-6可分解为(x+2y+m)(2x-y+n)的形式. 试求:m、n的值.
993 99 99992 991 99 (992 1) 999800

(完整版)北师大版初二下册因式分解以及不等式知识点归纳和练习题详解,推荐文档

幂的乘方法则可以逆用：即 a mn (a m )n (a n )m
如： 46 (42 )3 (43 )2
7、积的乘方法则： (ab)n a nbn （ n 是正整数）
积的乘方，等于各因数乘方的积。
如：（ 2x3 y 2 z)5 = (2)5 (x3 )5 ( y 2 )5 z 5 32x15 y1_______________。
8、同底数幂的除法法则： a m a n a mn （ a 0, m, n 都是正整数，且 m n)
同底数幂相除，底数不变，指数相减。如： (ab)4 (ab) (ab)3 a3b3
9、零指数和负指数；
a 0 1 ，即任何不等于零的数的零次方等于 1。
ap
1 ap
（a
0,
p 是正整数），即一个不等于零的数的
p 次方等于这个数的
p
次方的倒数。
如： 23 ( 1 )3 1 28
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爱学！乐学！会学！
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大学通
初二因式分解赵亮 2015-6-7 陈老师
10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注意： ①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 ②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。 ③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
基本方法
⑴提公因式法 ⑵公式法
平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b) 2；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数 (或式) 的平方和的形式，另一项是这两个数 (或式)的积的 2 倍。立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；完全立方公式：a3±3a2b＋3ab2±b3=(a±b) 3．

北师大版八年级下册第四章《因式分解》(优化设计和因式分解的应用)习题训练(无答案)

优化设计与因式分解的应用【题型1】不等式（组）的应用（优化方案设计）【例1】某工厂计划为震区生产A B ，两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题，一套A 型桌椅（一桌两椅）需木料35.0m ，一套B 型桌椅（一桌三椅）需木料37.0m ，工厂现有库存木料3302m ；（1）有多少种生产方案？（2）现要把生产的全部桌椅运往震区，已知每套A 型桌椅的生产成本为100元，运费2元；每套B 型桌椅的生产成本为120元，运费4元，求总费用y （元）与生产A 型桌椅x （套）之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用．（总费用=生产成本+运费）（3）按（2）的方案计算，有没有剩余木料？如果有，请直接写出用剩余木料再生产以上两种型号的桌椅，最多还可以为多少名学生提供桌椅；如果没有，请说明理由．【2】、某加工厂以每吨3000元的价格购进50吨原料进行加工。

若进行粗加工，每吨加工费用为600元，需要31天，每吨售价为4000元；若进行精加工，每吨加工费用为900元，需要21天，每吨售价为4500元；现将这50吨原料全部加工。

（1）设其中粗加工x 吨，获利y 元，求y 与x 的函数关系式（不求自变量的取值范围）（2）如果必须在20天内完成，如何安排生产才能获得最大利润？最大利润是多少？【题型2】因式分解及其运用：【例3】、多项式229)1(b ab k a +-+能用完全平方公式进行因式分解，则实数=k ；【例4】、已知012=--x x ，求代数式2002223++-x x 的值；【例5】把下列各式分解因式（1）25)(10)(2++++y x y x （2）y xy y x 443+- （3）22222)(4b a b a +-a b （4）)(4)(4)(2222y x y x y x ---++ （5）32422+++-n m n m【例6】用简便方法计算（1）804.148.368.286.16.57⨯-⨯+⨯ （2）31175.231178.1931177.13⨯-⨯+⨯【例7】因式分解的应用 1、如图，在一块边长为a 厘米的正方形纸板四角，各剪去一个边长为b （2a b <）厘米的正方形，利用因式分解计算当2.13=a ，4.3=b 时，剩余部分的面积。

北师大版八年级数学下册不等式及因式分解练习2 精编

不等式、因式分解综合练习2一.选择题1.若－3a ＞2a ，则a 的取值范围是（）A.＞0B.＜0C.≤0D.≥02.已知0＜b ＜a ，下列不等式组中，无解的是．（） A.⎩⎨⎧<>b x a x B.⎩⎨⎧-<->b x a x C.⎩⎨⎧-<>b x a x D.⎩⎨⎧>->bx a x3.已知x 2 +kx+36是一个完全平方式，则k ＝（）。

A.12B.－12C.±12D.±64. 如果a>b ，那么下列不等式不成立的是 ( )A. a －5>b －5B. －5a>－5bC. 5a >5b D. －5a<－5b 5.下列由左边到右边的变形，属分解因式的变形是 ( )A.x 2-2=(x-1)(x+1)-1B.(a+b)(a-b)=a 2-b 2C.1-x 2=(1+x)(1-x)D.x 2+4=(x+2)2-4x6.3x<－1的解集是 ( )A ．x ＜13 B.x ＜-13 C.x ＞13 D.x ＞-137.m 的值为 ( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－18. 如果关于x 的不等式(a+1)x>a+1的解集为x<1，则a 取值范围是 ( )A ．a<0B ．a<－1C ．a>1D ．a>－19. 多项式中，不能用平方差公式分解的是（）A.x 2-y 2B.-x 2-y 2C.4x 2-y 2D.-4+x 210. 125131<-x 的正整数解有（） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个11.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，若(a －5)2 +| b －12 |+c 2－26 c+169=0，则△ABC 是 ( )A ．以a 为斜边的直角三角形B ．以b 为斜边的直角三角形C ．以c 为斜边的直角三角形D ．不是直角三角形13. 设“●”、“▲”、“■”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么●、▲、■这三种物体按质量从大到小的顺序排列为( )A.■、●、▲。

(版)(精华讲义)数学北师大版八年级下册因式分解

因式分解一、概述定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。

因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，开展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。

学习它，既可以复习的整式四那么运算，又为学习分式打好根底；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。

分解因式与整式乘法互为逆变形。

二、因式分解的方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。

注意三原那么分解要彻底最后结果只有小括号3最后结果中多项式首项系数为正〔例如：-3x2+x=-x(3x-1) 〕根本方法1】提取公因式这种方法比拟常规、简单，必须掌握。

有时提公因式后再用公式法。

常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等例1：2x2-3x解：=x(2x-3)针对性练习：提公因式法1.用提取公因式法分解因式正确的选项是〔〕abc－9a2b2=3abc(4－3ab)x2y－3xy+6y=3y(x2－x+2y)C.－a 2+－=－(－+) D.2+5－=(x2+5) abac aa bc xyxyyy x4.以下多项式中,能用提公因式法分解因式的是()5.22+2x2+y22-xy+y26.如果b－a=－6，ab=7，那么a2b－ab2的值是()7. B.－42 D.－138.将下面各式进行因式分解(1)a3b212ab3c6a3b2c(2)21a2b14ab27ab81(3)ma2-4ma+4a(4)-28y4-21y3+7y25.2x－y=1，xy=2，求2x4y3－x3y4的值.86.(4x-2y-1)2+xy2=0，求4x2y-4x2y2-2xy2的值.【随堂练习】1、分解因式：．2、分解因式：；分解因式：2】公式法将式子利用公式来分解，也是比拟简单的方法。

八年级数学第二学期不等式因式分解[下学期](无答案)北师大版

八年级数学第二学期第一次大测验一、填空题（每空2分：共20分）1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式：叫做把这个多项式分解因式。

2分解因式： m 3-4m= .3.分解因式： x 2-4y 2= __ _____.4、分解因式：244x x ---=___________ ______。

5.将x n -y n 分解因式的结果为(x 2+y 2)(x+y)(x-y)：则n 的值为 .6、设x<y ：用“<”或“>”号填空：（1）4_____4--x y （2）y x 4______4--（3）y x 4_______47、若5,6x y xy -==：则22x y xy -=_________：2222x y +=__________。

二、选择题（每小题3分：共30分）8、多项式3222315520m n m n m n +-的公因式是( )A 、5mnB 、225m nC 、25m nD 、25mn9、下列各式从左到右的变形中：是因式分解的是( ) A 、()()2339a a a +-=- B 、()()22a b a b a b -=+-C 、()24545a a a a --=--D 、23232m m m m m ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭ 10.下列多项式能分解因式的是（）(A)x 2-y (B)x 2+1 (C)x 2+y+y 2 (D)x 2-4x+411．把（x －y ）2－（y －x ）分解因式为（）A ．（x －y ）（x －y －1）B ．（y －x ）（x －y －1）C ．（y －x ）（y －x －1）D ．（y －x ）（y －x ＋1）12．下列各个分解因式中正确的是（）A ．10ab 2c ＋6ac 2＋2ac ＝2ac （5b 2＋3c ）B ．（a －b ）2－（b －a ）2＝（a －b ）2（a －b ＋1）C ．x （b ＋c －a ）－y （a －b －c ）－a ＋b －c ＝（b ＋c －a ）（x ＋y －1）D ．（a －2b ）（3a ＋b ）－5（2b －a ）2＝（a －2b ）（11b －2a ）13.若k-12xy+9x 2是一个完全平方式：那么k 应为（）A.2B.4C.2y 2D.4y 214、已知a<b<0；则下列不等式成立的是( )A.ab<0B.－a-b<0C.a-b>0D.ab >115. 不等式组⎩⎨⎧<>-421x x 的解集是 ( )(A)x ＜3 (B)3＜x ＜4 (C)x ＜4 (D)无解16. 如图：能表示不等式组⎩⎨⎧<-<12x x 解集的是（）17. 观察函数y1和y2的图象；当x=1；两个函数值的大小为（）(A) y1> y2 (B) y1< y2 (C) y1=y2 (D) y1≥ y2三、解下列不等式(组)（每小题4分：共1618. 2（x ＋1）<3x 19. 2352xx -≥+20. 2< 1+3x < 3 21. ⎩⎨⎧-<-≥-)5(25512x x x四、把下列各式分解因式：(每小题4分：共24分)22、nx ny - 23、2294n m -24、()()m m n n n m -+- 25、3222a a b ab -+26、()222416x x +- 27、22)(16)(9n m n m --+：五、解答题（每小题5分：共10分）28、已知函数3211+=x y ：132-=x y ：求当x 为何值时21y y >29、如图：在一块边长a =6.67cm 的正方形纸片中：挖去一个边长b =3.33cm 的正方形。