三角函数中数学思想方法归纳解析

高考三角函数中数学思想方法归纳解析

在三角函数这一章的学习和复习过程中，熟练掌握以下几种数学思想方法，有助于提高同学们灵活处理问题和解决问题的能力。下面通过例题透视三角函数中的数学思想。 一、数形结合思想

由数想形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深同学们对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结合，有利于分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。 例1．求不等式x x cos sin >在[]ππ,-上的解集。

解析：设x y sin 1=，x y cos 2=，在同一坐标系中作出在[]π,0上两函数图像(如图1)，在[]π,0上解得x x cos sin =的解为4

π=

x 或

43π=

x ，故由图像得要使得21y y >，即4

34ππ<

⎪⎭⎫

⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--

43,44,4

3ππππ 二、分类讨论思想

分类是根据对象的本质属性的异同将其划分为不同种类，即根据对象的共同性与差异性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类。分类讨论是数学解题的重要手段，如果对学过的知识恰当地进行分类，就可以使大量纷繁的知识具有条理性。

例2．设⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡∈2,0πθ，且022sin 2cos 2

<--+m m θθ恒成立，求m 的取值范围。

解析：令()12sin 2sin 22sin 2cos 2

2

--+-=--+=m m m m f θθθθθ

令

θ

sin =t ，由

⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ，得

1

0≤≤t ，则

()()1212222

2++---=--+-=m m m t m mt t t f ，[]1,0∈t ，()0<θf 在

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡∈2,0πθ上恒成立，()t f ∴在[]1,0∈t 上恒成立。由二次函数图像分类讨论得，

1） 当10<≤m 时，需(),0>m f 得10≤≤m ； 2） 当1>m 时，需()01>f ，得1>m ；

o

x

π y

图1

2π 4π 4

3π y 1 y 2

3） 当0f 得02

1

<<-m 综上所述，得2

1-

>m 三、整体思想

整体思想方法是一种常见的数学方法，它把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的有机联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。往往能起到化繁为简，化难为易的效果。

例3．求函数()x

x x

x x f cos sin 1cos sin ++=

的最大、最小值。

解析：由条件和问题联想到公式()x x x x cos sin 21cos sin 2

±=±，可实施整体代换求最值。

令[]

2,24sin 2cos sin -∈⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+=

+=πx x x t ，1,0cos sin 1-≠≠++t x x ，则

2

1

c o s s i n 2-=t x x

∴[)(]

2,11,2,2

1

121

2---∈-=+-= t t t t y ，故当2=t 时，y 有最大值，且为212-；

当2-=t 时，y 有最小值，且为

2

1

2-- 四、方程思想

方程是研究数量关系的重要工具。我们把所要研究的问题中的已知与未知量之间的相等关系，通过建立方程或方程组，并求出未知量的值，从而使问题得到解决的思想方法称为方程思想。

例4．已知2sin 3sin =+αα，求α

αα

αcos sin cos sin +-的值

解：令x =+-α

αα

αcos sin cos sin ，则()()0cos 1sin 1=++-ααx x ， 2sin 3sin =+αα，

故解得

21cos ,21sin --=-+=x x x x αα，121212

2

=⎪⎭

⎫

⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∴x x x x 解得，62±-=x ，

62cos sin cos sin ±-=+-∴

α

αα

α

五、化归转化思想

化归转化思想是解决数学问题的一种重要思想方法。处理数学问题的实质就是实现新问题向旧问题的转化、复杂问题向简单问题转化、未知问题向已知问题转化、抽象问题向具体

问题转化等。

例5．若4

0π

βα<

<<，n m =+=+ββααcos sin ,cos sin ，试确定n m ,的大小。

解析：当一个问题直接难以入手或相对比较困难时，我们可以等价转化为我们熟知或容易解答的题型。要比较n m ,的大小可转化为2

m 与2

n 比较大小就容易多了。

βα2sin 1,2sin 122+=+=n m ，又 2

220π

βα<

<<，故βα2s i n 2s i n <，

22n m <∴

0,>n m ，n m <∴

六、函数思想

函数思想就是在解决问题的过程中，把变量之间的关系抽象成函数关系，把具体问题转化为函数问题，通过对函数相应问题的解决，达到解决变量之间具体问题的目的。

例6．已知1sin sin sin 2

2

2

=++γβα，求证：222sin 2sin 2sin ≤++γβα 解析：由1sin sin sin 2

2

2

=++γβα得2cos cos cos 2

2

2

=++γβα，构造函数：

()()()()()2

sin sin 2sin cos sin cos sin cos sin 22

2

2

+++-=-+-+-=x x x x x x f λβαγγββαα 显

然

()0

≥x f ，故

()0

8s i n s i n 2s i n 2

≤-++=∆γβα，即得

222s i n 2s i n 2s i n ≤++γβα

七、逆向思想

逆向思想通常是指从问题的反向进行思考，运用于正面考虑繁琐或难以进行时的一种解题思维策略，正确使用这种策略，往往能问题绝处逢生，找到求解的新途径。

例7．将函数()x x f y sin =的图像向右平移

4

π

个单位后，再作关于x 轴的对称变换，得到函数x y 2

sin 21-=的图像，求()x f 的解析式。

解析：我们可以采用倒推的方法，即将整个变化过程逆过来考虑。

x x y 2cos sin 212=-= 关于x 轴的对称变换为x y 2cos -=，然后再向左平移

4

π

个单位得x x x x y s in cos 22s in 42cos ⋅==⎪⎭

⎫

⎝

⎛+

-=π，对照比较原函数()x x f y s in =得，()x x f cos 2=