三角函数中数学思想方法归纳解析

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中考数学三角函数公式汇总与解析

中考数学三角函数公式汇总与解析1.锐角三角函数锐角三角函数定义:锐角角A的正弦(si n),余弦(c o s)和正切(t a n),余切(c o t)以及正割(se c)，余割(c sc)都叫做角A的锐角三角函数。

正弦(si n)：对边比斜边，即si n A=a/c余弦(c o s)：邻边比斜边，即c o sA=b/c正切(t a n)：对边比邻边，即t a n A=a/b余切(c o t)：邻边比对边，即c o t A=b/a正割(se c)：斜边比邻边，即se c A=c/b余割(c sc)：斜边比对边，即c s c A=c/a2.3.互余角的关系s i n(π-α)=c o sα,c o s(π-α)=si nα,t a n(π-α)=c o tα,c o t(π-α)=t a nα.4.平方关系sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)5.积的关系s i nα=t a nα·c o sαc o sα=c o tα·si nαt a nα=si nα·se cαc o tα=c o sα·c s cαs e cα=t a nα·c scαc s cα=se cα·c o tα6.倒数关系t a nα·c o tα=1s i nα·c scα=1c o sα·se cα=17.诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：s i n(2kπ+α)=si nαk∈zc o s(2kπ+α)=c o sαk∈zt a n(2kπ+α)=t a nαk∈zc o t(2kπ+α)=c o tαk∈z公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：s i n(π+α)=-si nαc o s(π+α)=-c o sαt a n(π+α)=t a nα8.两角和差公式(1)si n(A+B)=si n A c o sB+c o sA si n B(2)si n(A-B)=si n A c o s B-si n B c o sA(3)c o s(A+B)=c o sA c o sB-si n A si n B(4)c o s(A-B)=c o sA c o sB+si n A si n B(5)t a n(A+B)=(t a n A+t a n B)/(1-t a n A t a n B)(6)t a n(A-B)=(t a n A-t a n B)/(1+t a n A t a n B)(7)c o t(A+B)=(c o t A c o t B-1)/(c o t B+c o t A)(8)c o t(A-B)=(c o t A c o t B+1)/(c o t B-c o t A)除了以上常考的三角函数公式外，掌握下面半角公式，积化和差和万能公式有利于快速解决选择题，达到事半功倍的效果哦！1.半角公式注：正负由α/2所在的象限决定。

三角函数中数学思想方法归纳解析

高考三角函数中数学思想方法归纳解析在三角函数这一章的学习和复习过程中，熟练掌握以下几种数学思想方法，有助于提高同学们灵活处理问题和解决问题的能力。

下面通过例题透视三角函数中的数学思想。

一、数形结合思想由数想形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深同学们对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结合，有利于分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。

例1．求不等式x x cos sin >在[]ππ,-上的解集。

解析：设x y sin 1=，x y cos 2=，在同一坐标系中作出在[]π,0上两函数图像(如图1)，在[]π,0上解得x x cos sin =的解为4π=x 或43π=x ，故由图像得要使得21y y >，即434ππ<<x ，由于x y sin 1=，x y cos 2=在[]ππ,-上为偶函数，故在[]0,π-上的解为443ππ-<<-x ，得原不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--43,44,43ππππ 二、分类讨论思想分类是根据对象的本质属性的异同将其划分为不同种类，即根据对象的共同性与差异性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类。

分类讨论是数学解题的重要手段，如果对学过的知识恰当地进行分类，就可以使大量纷繁的知识具有条理性。

例2．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ，且022sin 2cos 2<--+m m θθ恒成立，求m 的取值范围。

解析：令()12sin 2sin 22sin 2cos 22--+-=--+=m m m m f θθθθθ令θsin =t ，由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ，得10≤≤t ，则()()12122222++---=--+-=m m m t m mt t t f ，[]1,0∈t ，()0<θf 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ上恒成立，()t f ∴在[]1,0∈t 上恒成立。

三角函数中的数学思想

三角函数中的数学思想三角函数是中学数学的重要内容之一，符号与变元、集合与对应、数形结合等基本数学思想在研究三角函数时起着重要作用，分析、探索、化归、类比、平行移动、伸长和缩短这些常用的基本方法时隐时现。

这些数学思想方法为学生学习数学和应用数学提供了一个新的领域，教科书对此作了渗透，教学时应注意及时提醒或强调。

下面谈谈这些具体的数学思想和方法：一、数形结合思想数形结合思想是通过“以形助数”或“以数助形”，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来解决问题的数学思想方法。

例1：已知0＜θ<，求证sinθ<θ<tanθ。

分析：本题所要证明的不等式中各个部分的意义完全不同（分别是角θ的正弦值、角θ、角θ的正切值），因此，证明的关键是找到联系三者的纽带，这就是单位圆中的三角函数线。

评注：本题是一道新颖而别致的题目，此证法体现了数学中数与形的完美结合。

二、分类讨论思想数学基础知识（如法则、公式、定理、性质、基本方法等）的应用都有一定的条件，就是说只能在一定的范围内使用它们。

当在一个比它需要的条件更广的范围内求解问题时，要应用这些基础知识，就需要把这一更广的范围划分成几个较小的范围以适应基本知识所需的条件，在每一个较小的范围内都把问题解决掉。

通俗地讲，就是“化整为零、各个击破”，或者说不同的情况要采用不同的方法去对待。

这种处理问题的思想就是“分类讨论”的思想。

点评：已知α在第几象限，要确定（n∈N+，n≥2）所在的象限，常用的方法是分类讨论，并且按被n除所得的余数0、1、2、…、n-1分为n类。

三、函数思想函数的思想是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，使问题获得解决。

点评：本题若不注意考察题设特点用函数看问题，而是按照通常方法去括号、因式分解去证就比较繁琐。

用数学思想方法解高考三角函数题

＿雹圈
用数学思想方法解高考三角函数题
谢冬梅
（西南大学数学与统计学院，重庆摘要：三角函数是基本的初等函数之一．它涉及的公式多、变化多，是初等数学的重点内容．本文通过分析历年高考数学题中出现的三角函数题，阐述如何运用数形结合、函数与方程、等价转换、分类与整合等基本的教学思想方法解高考函
一
（Ａ＞Ｉ）或缩短（０＜Ａ＜Ｉ）为原来的Ａ倍（横坐标Ｘ不变）．自变量ｘ和函数值Ｙ进行变换．另外，在做这类题时，还应尽量避免对代数问题的抽象讨论，把代数问题图形化．二、函数与方程思想函数的思想是用运动和变化的观点、集合与对应的思想。分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质分析问题、转化问题，从而使问题得以解决；方程思想是分析数学问题中的变量间的等量关系。从而建立方程或方程组或者构造方程．通过解方程和方程组．或者运用方程的性质分析问题、转化问题，使题得以解决．在高考试卷中，三角函数中的最值问题有时候可转化为函数问题解决．例２：在同一直角坐标系巾，函数ｙ＝ｃ。ｓ（＋），ｘ ∈［０，

高中数学：三角函数中的常用数学思想方法

一、方程的思想例1、已知sinθ+cosθ=，θ（0，π），则cotθ=________。

解析：由sinθ+cosθ=平方得sinθcosθ=。

又θ（0，π），所以sinθ＞0，cosθ＜0，且sinθ＞，将sinθ，cosθ看作是方程的两根。

所以sinθ=，cosθ=。

从而cotθ=，应填。

二、函数的思想例2、已知x，y ∈[]，且x3+sinx-2a=0①，4y3+sinycosy+a=0②，求cos(x+2y)的值。

解析：设f(u)=u3+sinu。

由①式得f(x)=2a，由②式得f(2y)=－2a。

因为f（u）在区间[]上是单调奇函数，所以f(x)=-f(2y)=f(-2y)。

又所因x,-2y∈[]，所以x=-2y，即x+2y=0。

所以cos(x+2y)=1。

三、数形结合的思想例3、函数f(x)=sinx+2，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是______。

解析：f(x)=函数f(x)=sinx+2，x∈[0，2π]的图象（如图1）与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则1＜k＜3。

四、化归的思想例4、设α为第四象限的角，若，则tan2α=_________。

解析：因为===，所以，tan2=。

又因为为第四象限的角，所以tan=，从而求得tan2=。

五、分类讨论的思想例5、若△ABC的三内角满足sinA=①，问此三角形是否可能为直角三角形？解析：假设△ABC可以为直角三角形。

（1）若B=90°，则A=90°-C，代入①中，得sin(90°-C)=，所以cos2C=1+sinC，1-sin2C=1+sinC，所以sinC=1，即C=90°。

这是不可能的，所以B≠90°。

（2）同理，C≠90°。

（3）若A=90°。

①式右边=①式左边=sinA=sin90°=1。

所以此三角形可为直角三角形，此时A=90°。

关注：三角函数解题中的数学思想方法

１２
，当狋＝槡２
时，狔
有
最大值为１２
＋槡２．
评注：第（１）小题利用消元法，第（２）小题利用换
元法最终都转化为二次函数求最值问题；但要注意变
量的取值范围．本题告诉我们，当无法直接利用三角函数的有关知识解决三角函数问题时，一般可采用换
元或消元的思想，转化为其他函数来解决，可谓“他山
化法．
三、函数与方程思想
图１
解析：我们可把原函数犳（狓）＝槡狓－ｃｏｓ狓看成幂函数狔＝槡狓与余弦函数狔＝ｃｏｓ狓的差，于是把它们画在在同一坐标系中，如图１所示，狔１＝槡狓与狔２＝ｃｏｓ狓，狓 ∈ ［０，＋ ∞）的图像，从图像上直接可以看出狔１与狔２的图像只有一个交点，所以犳（狓）＝槡狓－ｃｏｓ狓在［０，＋ ∞）内只有一个零点．
１２
时，ｓｉｎ狔－ｃｏｓ２狓
有最小值
－１１１２；当ｓｉｎ狓
＝－
２３
时，ｓｉｎ狔－ｃｏｓ２狓有最大值４９．故ｓｉｎ狔－ｃｏｓ２狓 ∈
［］－１１１２，４９．
（２）设ｓｉｎ狓＋ｃｏｓ狓＝狋（－槡２ ≤狋≤ 槡２），则ｓｉｎ狓·
ｃｏｓ狓
＝狋２２－１，则狔＝
１２狋２
＋狋－
一、数形结合思想
在《三角函数》这章中，数形结合思想贯穿始终，
主要体现在以下几个方面：利用单位圆给出三角函数
的定义，并推导出同角三角函数的基本关系；利用三
角函数线画正（余）弦及正切函数的图像．
例１函数犳（狓）＝槡狓－ｃｏｓ狓在［０，＋ ∞）上的
教学参谋解法探究２０２０年２月

三角函数定积分的四种求解方法

三角函数定积分的四种求解方法三角函数定积分是高等数学中一个重要的知识点，常常涉及到三角函数的性质和定积分的运算法则。

在解题过程中，我们可以使用四种不同的方法来求解三角函数定积分，分别是换元法、分部积分法、平均值定理和特殊代换法。

一、换元法换元法，也称为代换法，是求解不定积分的常用方法之一、对于三角函数定积分，我们可以通过选择一个合适的换元变量，将原问题转化为一个更容易求解的形式。

换元法的基本思想是将被积函数中的变量进行替换，以达到简化问题的目的。

在求解三角函数定积分的过程中，我们常常选择正弦函数和余弦函数作为换元变量。

具体而言，我们可以使用以下的换元公式：1. 用tan(x/2)来换元：利用tan(x/2) = sin(x) / (1 + cos(x)) 或者 cos(x) / (1 +sin(x))的换元公式，将题目中的三角函数进行替换，从而将问题转化为一个更容易处理的形式。

2. 用sec(x)来换元：利用sec(x) = 1 / cos(x) 的换元公式，将题目中的三角函数进行替换，得到一个与原函数结构相似但更容易求解的新函数。

二、分部积分法分部积分法是求解不定积分的另一种常用方法。

对于三角函数定积分，我们可以通过选择合适的u和v来进行分部积分，以求得积分结果。

具体使用分部积分法求解三角函数定积分时，我们可以根据需要选择不同的u和v：1. 选择u = f(x)，dv = g(x)dx：这种情况下，我们需要计算u和v的导数，然后代入分部积分公式：∫[u(x)dv(x)]dx = u(x)v(x) - ∫[v(x)du(x)]dx，从而求得积分结果。

2. 选择du = f(x)dx，v = g(x)：这种情况下，我们需要计算du和v的导数，然后代入分部积分公式：∫[u(x)dv(x)]dx = u(x)v(x) - ∫[v(x)du(x)]dx，从而求得积分结果。

三、平均值定理平均值定理是一个重要的数学定理，可以用来求解定积分的近似值。

高中数学三角函数知识点解题技巧总结

高中数学三角函数知识点解题技巧总结高中数学三角函数知识点总结高中数学三角函数知识点解题方法总结一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式一步到位转换到区间（-90o，90o）的公式.1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)；2.cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)；3.tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)；4.cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”1.sinα+cosα;0(或0(或|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;4.|sinα|“化弦为一”：已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α+cos2α.六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：1.sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β;2.cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-sin2β.七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，起用平方法则：(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α;2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α.八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式:tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=？？？九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠0)1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于过最值点且横向于y轴的直线分别成直线型；2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称；3.同样，利用图象也可以得到向量y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。

高中数学三角函数的万能公式与应用解析

高中数学三角函数的万能公式与应用解析在高中数学的学习中，三角函数是一个重要的概念。

它们广泛应用于各个领域，包括物理、工程和计算机科学等。

而在解题过程中，我们经常会遇到各种复杂的三角函数方程，这时候万能公式就派上了用场。

一、万能公式的推导与定义万能公式是指将三角函数中的任意一个函数用其他三个函数来表示的公式。

它的推导过程基于勾股定理和三角函数的定义，通过将三角函数互相转化，可以得到以下三个万能公式：1. 正弦函数的万能公式：$$\sin A = \frac{2\tan \frac{A}{2}}{1+\tan^2\frac{A}{2}}$$2. 余弦函数的万能公式：$$\cos A = \frac{1-\tan^2\frac{A}{2}}{1+\tan^2\frac{A}{2}}$$3. 正切函数的万能公式：$$\tan A = \frac{2\tan \frac{A}{2}}{1-\tan^2\frac{A}{2}}$$这三个万能公式是相互关联的，通过其中一个公式，可以推导出其他两个公式。

二、万能公式的应用解析万能公式在解题中的应用非常广泛，下面我将通过具体的题目来说明其应用。

例题1：已知 $\sin A = \frac{3}{5}$，求 $\cos A$ 和 $\tan A$ 的值。

解析：根据万能公式，我们可以利用正弦函数的万能公式来求解。

首先，根据正弦函数的定义，我们可以得到 $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$，将已知条件代入得到$\frac{9}{25} + \cos^2 A = 1$，解得 $\cos A = \pm \frac{4}{5}$。

然后，利用余弦函数的万能公式，可以得到 $\cos A = \frac{1-\tan^2\frac{A}{2}}{1+\tan^2\frac{A}{2}}$，代入已知条件，解得 $\tan A = \pm\frac{3}{4}$。

这个例题中，我们通过利用正弦函数的万能公式和余弦函数的万能公式，成功求解了 $\cos A$ 和 $\tan A$ 的值。

三角函数问题中的数学思想

检验论证才能判断真假：
Ｉ＋一３０解得．”－０，ｎＰ５，ｆ－０４
Ｉ＋ｐ－Ｏ … … （＝０ｎ４＝２Ｏ．ｐ５．
３归纳推理是认识新规律，现新知识，动科技进步的．发推
重要基础。（）节小结。五本１初步掌握归纳推理思维方法，用归纳推理方法解决．能简单的数学问题。２通过本节学习，学生体会和认识到归纳推理在数学．使发现中的重要作用。六、学反思教１发学习兴趣是学好数学的前提。过丰富多彩的数学．激通问题，使学生初步掌握归纳推理的方法步骤，既又极大地调动
一ｃ。ｓ
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伽
ｓ
Ｊ
三、转化与化归思想把所研究的问题转化为－等价的问题，将陌生问题转ｑ之化为熟悉问题，而于找出问题的解决方法．现在三角函数从体中就是切割化弦、一角、一函数名称、元等手段处理求统统换值（）最值、域、比较大小等问题．
２１５期试周刊０１１年第
三角函数问题
中的数学思想
刘路海
（山东省北镇中学数学组，山东滨州摘要：三角函数问题是中学数学重要内容之一．数在２６０５６０）
破．现在＝角函数值受角所在象限的影响，不同的象限有体在

高考数学中的三角函数方程与不等式求解技巧

高考数学中的三角函数方程与不等式求解技巧高考数学中，三角函数方程和不等式的求解是一个重要的考点。

掌握了相关的求解技巧，不仅可以提升数学成绩，还能在解决实际问题时起到关键作用。

本文将介绍一些常见的三角函数方程和不等式求解技巧，希望能对广大考生有所帮助。

一、三角函数方程的求解技巧1. 化简与等价变形在解三角函数方程时，首先要将复杂的方程化简为简单的形式。

通过等价变形，将方程转化为更易求解的形式，例如利用倒数公式、和差化积公式、和差化简等。

2. 观察周期性大多数三角函数具有周期性。

因此，在求解三角函数方程时，要充分利用函数图像的周期性质。

可以通过观察函数值的变化规律，找到方程在一个周期内的解，并推广到整个定义域。

3. 递推思想当遇到复杂的三角函数方程时，可以通过递推思想来解决。

即将方程中的变量逐步代入，化简为只含有一个未知数的方程，并逐步求解得到最终结果。

4. 回代与验证在得到方程的解后，要进行回代与验证。

将解代入原方程，验证等式是否成立。

如果成立，则解是方程的解；如果不成立，则需要重新检查求解过程。

二、三角函数不等式的求解技巧1. 图像法在解三角函数不等式时，可以绘制函数的图像来直观地找到不等式的解集。

通过观察图像的上升和下降趋势，确定不等式的取值范围。

2. 移项与化简与方程求解类似，不等式的求解也要通过移项和化简来将复杂的不等式转化为简单的形式。

通过等价变形，将不等式转化为更易求解的形式。

3. 考虑周期性与对称性三角函数的周期性和对称性是解三角函数不等式的重要技巧。

利用函数图像的周期性和对称性，可以将不等式的解集缩小到一个周期内，然后推广到整个定义域。

4. 关系式的转化有时候，将不等式转化为等价的关系式，可以更方便地求解。

例如，将不等式化为方程，然后根据方程的解集求解不等式的解集。

总结：高考数学中的三角函数方程与不等式求解技巧可以通过化简与等价变形、观察周期性、递推思想、图像法、移项与化简、考虑周期性与对称性、关系式的转化等方法来解决。

高中数学三角函数知识点归纳总结

高中数学三角函数知识点归纳总结知识网络】三角函数是数学中的一种基本函数，广泛应用于各个领域。

在研究三角函数时，需要掌握弧长公式、同角三角函数的基本关系式、三角函数的角度制与任意角的概念、图像和性质、弧度制三角函数和角公式、倍角公式、差角公式等知识。

任意角的概念与弧度制】角是由沿x轴正向的射线围绕原点旋转所形成的图形，逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角。

同终边的角可表示为计算与化简的形式，也可以用证明恒等式的方式进行表达。

已知三角函数值求角时，可以利用如下公式：α=β+k360°（k为整数）在x轴上的角为α=k180°（k为整数），在y轴上的角为α=90°+k180°（k为整数）。

第一象限角、第二象限角、第三象限角和第四象限角的定义和表示方式不同。

需要区分第一象限角、锐角以及小于90的角。

弧度制】弧度制是一种角度表示方法，弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad。

角度与弧度的转化公式为1°=π/180 rad。

角度与弧度对应表可以帮助我们更好地理解它们之间的关系。

弧长和面积的计算公式分别为l=α×R和S=1/2×α×R^2.任意角的三角函数】三角函数包括正弦、余弦和正切。

它们的值可以通过终边上任意点的坐标和半径来计算。

三角函数值对应表可以帮助我们更好地理解它们的取值范围和变化规律。

三角函数在各象限中的符号：在第一象限，x、y坐标都为正，所以sinα>0，cosα>0，tanα>0.在第二象限，x坐标为负，y坐标为正，所以sinα>0，cosα<0，tanα<0.在第三象限，x、y坐标都为负，所以sinα0.在第四象限，x坐标为正，y坐标为负，所以sinα0，tanα<0.三角函数线：设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于P(x,y)，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交于点T。

灵活运用数学思想，高效解答三角函数问题

备考指南三角函数是高考的必考内容之一.解答三角函数问题，不仅需灵活运用三角函数的性质、公式、图象，还需运用各种数学思想，如换元思想、分类讨论思想、方程思想、整体代换思想来求解.本文主要谈一谈如何灵活运用数学思想，高效解答三角函数问题.一、整体代换思想整体代换思想是指将某些式子看作一个整体，用新元进行代换.在求三角函数值、化简三角函数式、求三角函数的单调区间时，灵活运用整体代换思想，可使问题快速获解.在解题时，需将一些较为复杂的式子、频繁出现的式子进行代换，这样便于简化运算.例1.已知函数f ()x =A sin ()ωx +ϕ(A ＞0,ω＞0,0＜||ϕ＜π2)部分图象如图1所示，若x 4-x 1=π，x 2=π6.(1)求函数f ()x 的解析式；(2)求f æèöøπ6-x 的单调递增区间.图1O解：(1)f ()x =2sin æèöø2x -π6;(过程略)(2)由(1)可得，f æèöøπ6-x =2sin éëêùûú2æèöøπ6-x -π6=2sin æèöøπ6-2x =-2sin æèöø2x -π6,而2sin æèöø2x -π6的单调递增区间与函数y =2sin θ的单调递增区间一致，因为π2+2k π≤θ≤3π2+2k π()k ∈Z ，所以π2+2k π≤2x -π6≤3π2+2k π，k ∈Z ，解得π3+k π≤x ≤5π6+k π，k ∈Z ，则f æèöøπ6-x 的单调递增区间为éëùûπ3+k π,5π6+k π，k ∈Z .我们需先用π6-x 替换f ()x =2sin æèöø2x -π6中的x ，通过整体代换求得函数f æèöøπ6-x 的解析式；然后将其与函数y =2sin θ的单调递增区间π2+2k π≤θ≤3π2+2k π()k ∈Z 相对应，于是将θ替换成2x -π6，通过整体代换求得x 的取值范围，即为函数的单调递增区间.二、数形结合思想正弦函数、余弦函数、正切函数的图象均有其独特的性质和形状.在解答三角函数问题时，可灵活运用数形结合思想，借助三角函数的图象来分析问题.首先需根据题意和函数式画出函数的图象；然后通过观察图象，确定函数的对称轴、最高点、最低点、零点，并明确函数的变化趋势；再根据题目的要求建立关系式.例2.已知函数f ()x =sin x +2||sin x ，x ∈[]0,2π的图象与直线y =k 有且仅有两个交点，则k 的取值范围为______.解：由题意可得，f ()x =ìíî3sin x ()0≤x ≤π，-sin x ()π≤x ≤2π，画出函数的图象，如图2所示.图2当x ∈[]0,π时，f ()x 的最大值为3，当x ∈[]π,2π时，f ()x 的最大值为1，由图可知，要使f ()x 的图象与直线y =k 有且仅有两个交点，需使1＜k ＜3.根据函数f ()x =sin x +2||sin x 的解析式，我们很容易画出函数的图象，于是在同一个坐标系中分别画出函数f ()x =sin x +2||sin x 和直线y =k 的图象，并移53动直线.通过观察图象，可以发现，只有在1＜k ＜3时，函数f ()x 与直线y =k 有两个交点.这样运用数形结合思想，就能快速求得参数k 的取值范围.例3.已知函数f ()x =23sin ωx 2cosωx 2+2cos 2ωx 2-1(ω＞0)的周期为π，当x ∈éëùû0,π2时，方程f ()x =m 恰好有两个不同的实数解x 1、x 2，则f ()x 1+x 2=_____.解：∵f ()x =23sin ωx 2cosωx 2+2cos 2ωx 2-1=3sin æèöøωx +π6，而函数的周期为π，∴T =2πω=π，ω=2，∴函数f ()x =3sin æèöø2x +π6，画出函数f ()x =3sin æèöø2x +π6和直线f ()x =m在éëùû0，π2上的图象，如图3所示.0图3由图可知，关于x 1、x 2，x 1+x 2=2×π6=π3，则f æèöøπ3=2sin æèöø2×π3+π6=2×12=1.将函数式f ()x 化简后，在同一坐标系中画出函数f ()x =3sin æèöø2x +π6和直线f ()x =m 在éëùû0，π2上的图象，即可通过观察图象，发现当方程f ()x =m 有两个不同实数解时，函数f ()x 的对称轴为x =π6，根据函数的对称性就能快速求得x 1+x 2的值.三、方程思想运用方程思想解答三角函数问题，需寻找问题中的等量关系，选取合适的变量，建立关于变量的方程或者方程组，通过解方程或方程组求得问题的答案.例4.已知sin θ+cos θ=15，θ∈()0,π，则cot θ=_____.解：将sin θ+cos θ=15平方，可得sin θcos θ=-1225，因为θ∈()0,π，所以sin θ＞0，cos θ＜0，且sin θ＞||cos θ，将sin θ，cos θ看作方程x 2-15x -1225=0的两个根，则sin θ=45，cos θ=-35，可得cot θ=cos θsin θ=-34.已知关系式中含有sin θ、cos θ，而由同角三角函数的商式关系式可知cot θ=cos θsin θ，于是将已知关系式平方，根据同角三角函数的平方关系式sin 2θ+cos 2θ=1，得到sin θcos θ=-1225，即可根据韦达定理，构造一元二次方程x 2-15x -1225=0，并将sin θ、cos θ看作方程的两个根，通过解方程，求得问题的答案.例5.若2sin 2x -cos 2x +sin x cos x -6sin x +3cos x=0，求2cos 2x +sin 2x 1+tan x 的值.解：2sin 2x -cos 2x +sin x cos x -6sin x +3cos x =2sin 2x +()cos x -6sin x +3cos x -cos 2x ，Δ=(cos x 22x =9()cos x -22，可得sin x =()6-cos x ±()6-3cos x 4，整理得sin x =3-cos x (舍去)或sin x =12cos x ，则tan x =12，所以2cos 2x +sin 2x 1+tan x =2cos x ()cos x +sin x sin x +cos xcos x=2cos 2x =2cos 2x sin 2x +cos 2x =2tan 2x +1=85.将已知关系式看作关于sin x 的一元二次方程，即可通过解方程求得sin x 的表达式，进而求得tan x 的值.可见，灵活运用数学思想，能有效提升解答三角函数问题的效率.在解题的过程中，需根据题意，将已知关系式进行代换，将数形结合起来，构造出合适的方程或方程组，以便运用整体代换思想、数形结合思想、方程思想，快速求得问题的答案.（作者单位：冯艳玲，福建省三明市第九中学；谢定亮，福建省三明第一中学）备考指南54。

三角函数中的数学思想

三角函数中的数学思想三角函数是数学中重要的一个分支，在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。

它是描述三角形内角关系和三角形边长比例关系的一种数学工具，同时也是研究周期现象和波动现象的重要数学方法。

三角函数的数学思想涵盖了角度、周期、无穷、变化等多个数学概念，下面将具体地探讨一些三角函数中的数学思想。

首先，角度是描述旋转和方向的概念，是三角函数的基本元素之一、在三角函数中，我们用角度来度量角的大小。

角度的概念使得我们能够对角进行比较、计算和研究。

它允许我们将三角函数扩展到所有实数范围内，从而更广泛地应用到各种领域中。

另外，角度的概念也为我们理解周期性现象提供了有效的数学工具。

其次，周期是三角函数中的重要数学思想之一、三角函数是周期函数，它们在一定的间隔内具有相同的函数值。

周期性是许多现象和问题的本质特征之一，比如地球的自转和公转、天体的运动、电流的变化等。

通过数学上的表示和分析，我们能够更好地理解和预测这些周期性现象。

同时，周期函数也有许多重要的性质和应用，如傅里叶级数的展开和信号处理等。

此外，无穷是三角函数中的另一个重要数学思想。

三角函数的定义域为实数集，因此可以取无穷多个不同的输入值。

这使得我们能够研究和描述更加广泛的现象和问题。

无穷也在三角函数的图像表示中起到关键的作用，例如正弦函数和余弦函数的图像是以水平中心线为轴无限延伸的波动曲线。

最后，三角函数中的数学思想还包括变化和导数等概念。

三角函数的图像随角度的变化呈现出周期性、波动性和对称性等特点，这种图像变化是数学中重要的研究对象。

而导数则描述了函数在其中一点处的变化率，对于三角函数而言，导数的概念使我们能够研究它们的变化特征和性质，如局部极值点、拐点等。

导数的引入使得三角函数能够与微积分相结合，进一步扩展了三角函数的研究深度和应用领域。

综上所述，三角函数中涌现了许多重要的数学思想，包括角度、周期、无穷、变化和导数等。

这些数学思想不仅丰富了三角函数的内涵和外延，还为我们理解和应用三角函数提供了宝贵的数学工具。

三角函数_高中数学知识点详细总结

一、集合与简易逻辑1．集合的元素具有确定性、无序性和互异性．2．对集合，时，必需注意到“极端”环境：或；求集合的子集时能否注意到是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集．3．对待含有个元素的无限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为4．“交的补等于补的并，即”；“并的补等于补的交，即”．5．判断命题的真假关键是“抓住关联字词”；注意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”．6．“或命题”的真假特性是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“一真一假”．7．四种命题中“‘逆’者‘交流’也”、“‘否’者‘否认’也”．原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价．反证法分为三步：假定、推矛、得果．注意：听说三角函数。

命题的否定是“命题的非命题，也就是‘条件不变，仅否定结论’所得命题”，但否命题是“既否定原命题的条件作为条件，又否定原命题的结论作为结论的所得命题”?．8．充要条件二、函数1．指数式、对数式，，，2．（1）映照是“‘具体射出’加‘一箭一雕’”；映射中第一个集合中的元素必有像，但第二个集合中的元素不一定有原像（中元素的像有且仅有下一个，但中元素的原像可以或许没有，事实上知识点。

也可大肆个）；函数是“非空数集上的映射”，其中“值域是映射中像集的子集”．（2）函数图像与轴垂线至少一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可任意个．（3）函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像．3．枯燥性和奇偶性（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，听听反三角函数表。

则其单调性完全相同．偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相同．注意：（1）确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称．确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法等等．对于偶函数而言有：．（2）若奇函数定义域中有0，则必有．即的定义域时，是为奇函数的必要非充满条件．（3）确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、判断）、导数法；在挑选、填空题中还有：数形结合法（图像法）、特殊值法等等．（4）既奇又偶函数有无量多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）．（7）复合函数的单调性特点是：“异性得增，想知道三角函数。

高中三角函数中的基本数学思想探析

一
角函数的转化可以表现为：多个三角函数向单一函数的转化，特殊函数向一般函数的转化，抽象函数向具体函数的转化等。在转化时要注意运用转化思想，注意转化的等价性。转换思想在三角函数中的应用非常重要，通过诱导公式可以将任意三角函数转化成锐角三角函数，而锐角三角函数比较容易计算；利用倍角公式、和差公式可以将一些角转化为特殊角；还可以运用三角公式将复杂的形式转换为简单三角函数形式。转化思想的运用，
一元二次方程来求解三角函数问题；还可以联渗透，意义非同寻常，不仅可以帮助学生们解决实际问题、处理疑用一元一次方程、
通过消元达到求值求解的目的，消元法是函数难问题，还可以提高学生实际应用能力，在解决问题的过程中增立几个三角公式，
强学生的数学运用能力和知识创新能力。二、高中三角函数中的基本数学思想的体现思想在三角函数问题中的最直接的应用体现。在求解三角函数
习数学知识的过程中，掌握知识固然很重要，但是仅以死记知识不仅可以培养学生的转化思维，还可以提高解决问题的应变能
式和数学思维，才能把知识变为一种能力，提高自己的学习能力，才能不断提高数学素质。释了。要想学好三角函数，并能进行实际应用，掌握一定的解题技
题。
要作图，通过作图使图形与问题结合，从而能更直观地表现问
法来解决问题。（二）转化思想
题。三角函数图象，可以直观地展现问题，有利于选取不同的方决，同样可以通过建模来完成。运用建模思想，可以把具体数据
转化思想在数学研究中是一种很重要的方法，通过合理地纳，那些不被人们熟悉、比较复杂的问题可以变得简单、熟悉起来。在三角函数中，很多复杂的问题都可以经过转化与归纳变得更容易解决。转化的实质就是用简单的问题去替代复杂困难的问题。三

三角函数中的数学思想方法归纳

一
、
化归转化思想是解决数学问题的一种重要思想方法。处理数学问题的实质就是实现新问题向旧问题的转化，复杂问题向简单问题转化，未知问题向已知问题转化，抽象问题向具体问题转化等。例３已知定义域为Ｒ的函数）为奇函数，
．
且在定义域上为单调递增函数，００詈］当 ∈［，时，
ｔ２
即（ｓ一二２２０ｃＯ詈）一叶＋ｍ一＞。ｏ
又 ’ Ｅ［，］．≤ｃｓ ≤１．Ｏ０等Ｏ０。
二
１
ｔ２
—
１１
一
２ ’
—
（当０詈≤ ， ≤ ≤ 时，２１ ≤二１）即０ｍ２则一－＋ｍｒ
２＞０：
・＝．＝ ’，∈ 一，ｕ一，・一１．ｆ — ’ １（ ÷ 一 ’Ｌ一）、１Ｙ， ‘ ［ＹＬ， ’
・．．
√ ］２。
，
（）＞１即，２贝一ｍｌ２２—，，＞时，０２ＩＨ一ｌＸ＋ｍ一２；＞０
。・．
一
（）例１求函数厂：
．
望一的最大、最
。
ｌ＋Ｓｎ十Ｃ０ｌＳ
小值。解析：由条件和问题联想到公式（ｉｘ±ｅｓ）ｓｎｏｘ１ｓｘｏｘ可实施整体代换求最值。 ±２ｉｃｓ，ｎ
＝
４：ｍ）且函数在定义域上单调递增，
．
例２设０，ｌ且ｃ２＋ｒｉ — ｍ一 ∈ｌ－，ｏ０２ｓ０２０Ｃｓｏｎ
２０恒成立，ｍ的取值范围。＜求解析：厂０令（）＝ｃｓ＋２ｉＯ一２一２＝ｏ２ｍｓｎｍｓｌ＋２ｎｉ０ｍ￣Ｏ一２一１令ｔ＝ｓ０由０∈ Ｉ２ｍ，ｉ，ｎ