一次函数的增减性质
一次函数的性质
一次函数的性质一次函数，又称为线性函数，是数学中最简单的函数之一。
它的表达形式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a不为零。
一次函数在数学和实际生活中都具有重要的应用，它的性质是研究一次函数的基础。
本文将从几个方面探讨一次函数的性质。
函数图像一次函数的图像是一条直线。
图像的斜率a决定了函数的增减趋势和斜率的大小，而常数b则决定了函数图像与y轴的焦点位置。
斜率表示函数的变化速率，是函数图像的直角坐标系中的斜率。
斜率为正值时，函数图像向上倾斜；斜率为负值时，函数图像向下倾斜；斜率为零时，函数图像为水平直线。
零点和截距一次函数的零点是使得f(x) = 0的x值。
根据一次函数的定义，当f(x)为零时，有ax + b = 0，解得x = -b/a。
这个零点也称为函数的根或解，它决定了函数与x轴的交点。
另外，一次函数的y截距是指函数图像与y轴的焦点位置，即当x为零时的值，即f(0) = b。
函数的性质一次函数的性质有以下几个重要的特点：1. 增减性：一次函数的增减性由斜率a决定。
当斜率为正值时，函数随着x的增加而增加；当斜率为负值时，函数随着x的增加而减小。
2. 奇偶性：一次函数通常是奇函数，这意味着它满足f(-x) = -f(x)。
即函数图像关于原点对称。
3. 对称轴：一次函数的对称轴是y轴，这是因为斜率同号的点关于y轴对称。
4. 单调性：一次函数在定义域上是严格单调的，即函数图像要么是递增的，要么是递减的。
5. 零点和截距：一次函数的零点决定了函数与x轴的交点，而截距则决定了函数图像与y轴的焦点位置。
6. 切线方程：一次函数的切线方程可以通过对函数的斜率和截距进行求解。
切线是函数图像在某个点上的切线，斜率等于函数在该点的导数。
一次函数的应用一次函数在数学和实际生活中都有广泛的应用。
在数学上，一次函数是代数中的基础概念，它为后续复杂的函数提供了基本的理论基础。
在实际生活中，一次函数可以用来描述线性关系，如经济学中的成本和收益，物理学中的速度和位移等。
一次函数的定义及性质
一次函数的定义及性质一次函数，也被称为线性函数，是数学中最简单且最常见的函数之一。
它可以用以下一般形式表示：f(x) = ax + b，其中a和b是常数，且a ≠ 0。
在本文中，我们将深入探讨一次函数的定义及其性质。
一、定义一次函数是指形式为f(x) = ax + b的函数，其中a和b为常数，a ≠ 0。
其中，x是自变量，f(x)是函数的值，a称为一次函数的斜率，b称为一次函数的截距。
二、性质一次函数具有以下性质：1. 斜率：一次函数的斜率表示了函数图像在每单位自变量变化时的纵坐标的变化量。
斜率可以通过函数的解析式中的a来确定。
当a>0时，函数图像呈现上升的趋势；当a<0时，函数图像呈现下降的趋势；当a=0时，函数呈现一条水平线。
2. 截距：一次函数的截距是函数图像与y轴的交点，可以通过函数的解析式中的b来确定。
截距表示了当自变量为0时，函数取得的值。
3. 增减性：根据斜率的正负来判断一次函数的增减性。
当斜率a>0时，函数随着自变量的增大而增加；当斜率a<0时，函数随着自变量的增大而减小。
4. 零点：一次函数的零点是指函数图像与x轴的交点，即f(x) = 0的解。
根据一次函数的形式，当ax + b = 0时，可以求得x = -b/a，这就是一次函数的零点。
5. 定义域和值域：一次函数的定义域是所有实数集合R，即函数对于任意实数都有定义。
值域取决于斜率a的正负情况，当a>0时，值域为区间(-∞, +∞)；当a<0时，值域为区间(-∞, +∞)。
6. 对称性：一次函数具有x轴的对称性，即对于函数图像上任意一点(a, b)，如果(a, -b)也在图像上，则函数具有对称性。
7. 线性关系：一次函数表示了两个变量之间的线性关系，其中x是自变量，f(x)是因变量。
当自变量的增加导致因变量的相应增加时，我们可以说这两个变量呈正相关的线性关系。
总结：一次函数是一种简单但重要的数学函数，具有直线的特点。
一次函数的性质
一次函数的性质一次函数y=kx+b (k≠0) k>0,b>0,则图象过1,2,3象限k>0,b<0,则图象过1,3,4象限k<0,b>0,则图象过1,2,4象限k<0,b<0,则图象过2,3,4象限当k>0时，y随x的增大而增大；图像经过一、三象限当k<0时，y随x的增大而减小；图像经过二、四象限二次函数y=ax^2+bx+ca>0开口向上a<0开口向下a,b同号，对称轴在y轴左侧，反之，再y轴右侧|x1-x2|=根号下b^2-4ac除以|a|与y轴交点为(0,c)b^2-4ac>0，ax^2+bx+c=0有两个不相等的实根b^2-4ac<0，ax^2+bx+c=0无实根b^2-4ac=0，ax^2+bx+c=0有两个相等的实根对称轴x=-b/2a顶点(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)顶点式y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a函数向左移动d(d>0)个单位，解析式为y=a(x+b/2a+d)^2+(4ac-b^2)/4a,向右就是减函数向上移动d(d>0)个单位，解析式为y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a+d,向下就是减正比例函数与反比例函数形如y=kx(k为常数，且k不等于0），y就叫做x的正比例函数.图象做法:1.带定系数2.描点3.连线图象是一条直线,一定经过坐标轴的原点性质:当k>0时,图象经过一,三象限,y随x的增大而增大当k<0时,图象经过二,四象限,y随x的增大而减小形如y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数的图像为双曲线。
它可以无限地接近坐标轴,但永不相交.性质:当k>0时,图象在一,三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小,当k<0时,图象在二,四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大.一次函数是有规律的：一、定义：如果y=kx+b(k、b是常数且k不等于0），那么y叫做x 的一次函数。
一次函数的图像与性质
一次函数与其他数学知 识的联系
与二次函数的关系
一次函数与二次函数的定义域和值域相同 一次函数和二次函数的图像都是直线或抛物+bx+c，可以转化为一次函数的形式y=ax+b
与线性代数的关系
一次函数是线性代数的基本概念之一，是线性方程组的一种形式。
图像的绘制方法
确定函数表达式
确定自变量的取值 范围
计算对应的函数值
将自变量和函数值 对应在坐标系上描 点
图像的特性
一次函数的图像是一条直 线
图像的斜率表示一次函数 的增减性
图像上的点满足一次函数 的解析式
图像上的点满足函数的定 义域和值域
一次函数的性质
斜率
一次函数图像的 斜率等于函数的 系数
积分与一次函数：积分是微分的逆运算，与一次函数有密切的联系，可以通过积分 来研究一次函数的图像和性质。
微分方程与一次函数：微分方程是描述函数随时间变化的数学模型，一次函数是微分 方程的解的一种形式，可以用来解决实际问题。
线性代数与一次函数：线性代数是研究线性方程组的数学工具，一次函数是线性方 程组的一种特例，可以通过线性代数来研究一次函数的解和性质。
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一次函数的图像与性质
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CONTENTS
01 一次函数的图像
02 一次函数的性质
03 一次函数的应用
04 一次函数与其他数 学知识的联系
一次函数的图像
一次函数图像是一条直线
图像的形状
斜率表示函数图像的倾斜程度
y截距表示函数图像与y轴的交点
图像随x的增大而增大或减小
感谢您的耐心观看
汇报人：XX
值域和定义域
一次函数的增减性质
根据函数的单调性判断。如果函数 在某个区间内单调递增（或递减）， 则该函数在该区间内为增函数（或 减函数）。
03 一次函数增减性的应用
在实际生活中的应用
经济预测
通过分析一次函数增减性，可以对经 济数据进行预测，如GDP增长、消费 水平等。
人口增长预测
股票价格预测
通过分析股票价格与时间的关系，利 用一次函数模型预测股票价格的走势。
在物理学中，一次函数可用于描述匀速直线运动 和重力加速度等物理现象。
生物学
在生物学中，一次函数可用于描述生物种群数量 的增长趋势。
社会科学
在社会科学中，一次函数可用于描述社会现象， 如人口增长、城市化率等。
04 一次函数增减性的证明
增函数的证明
总结词
通过导数证明一次函数在其定义 域内是增函数。
详细描述
一次函数的图像
一次函数的图像是一条直线，其斜率为$k$，截距为$b$。 当$k > 0$时，图像从左下到右上倾斜；当$k < 0$时，图像从左上到右下倾斜。
三角形的面积计算
02 一次函数的增减性
增函数
01
02
03
增函数的定义
对于函数$y = ax + b$ （$a neq 0$），如果$a > 0$，则该函数为增函数。
03
探索与其他数学概念的关联
一次函数的增减性与其他数学概念有着密切的联系，例如与导数、积分
等概念的联系。未来可以尝试探索这些关联，以更深入地理解数学概念
之间的联系和转化。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
股票价格通常随着时间的变化而波动，这种波动可以近似地用一次函数来表示。如果股票价格随着时间的增加而 增加，则一次函数的斜率为正，表示股票价格具有增长趋势；反之，如果股票价格随着时间的增加而减少，则一 次函数的斜率为负，表示股票价格具有下降趋势。
一次函数知识点
初中数学一次函数知识点总结:一次函数与正比例函数的概念一般的，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。
特别的，当b=0时(即y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。
二、一次函数的图像：1．作法与图形：通过如下3个步骤：（1）列表.（2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。
一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。
正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。
（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。
因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。
（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）.2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。
（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。
3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
4．k，b与函数图像所在象限：y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)：当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。
y=kx+b时：当k>0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限；当k>0,b<0, 这时此函数的图象经过第一、三、四象限；当k<0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、四象限；当k<0,b<0, 这时此函数的图象经过第二、三、四象限；当b>0时，直线必通过第一、二象限；当b<0时，直线必通过第三、四象限。
特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k>0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。
一次函数的图像与性质-增减性
解析式为
.
讨论一： (1)b的正负性是否影响到一次函数的增减性呢？ (2)一次函数的增减性由谁决定呢？
结论：一次函数y=kx+b和正比例函数一样，k决 定直线的倾斜方向与倾斜程度 （1） 当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函 数的图象从左到右上升； （2） 当k＜0时，y随x的增大而_____，这时函 数的图象从左到右_____．
12.2.4 一次函数图象与性质 ——k、b的实际意义
学习目标： 1.掌握一次函数的性质 2.掌握k、b的实际意义 3.运用函数性质解决简单问题
考纲要求： 一次函数的意义(C) 一次函数的图象和性质(C)
复习回顾：
正比例函数y=kx(k是常数，k≠0）的大致图像与 性质有哪些？
y
y
0
x
0
x
练习
(2)当m+1<0即m<-1时y随x的增大而减小。
例2、已知点(2,m) 、(-3,n)都在直线y=3x-1上， 试比较 m和n的大小。
解：方法一 把两点的坐标代入函数关系式 方法二 根据函数增减性进行比较 方法三 图像法
变式.已知点(2,m) 、(-3,n)都在直线y=kx-5(k<0)
上，试比较 m和n的大小。你能想出几种判断 的方法?
试一试
1、下列一次函数中，y的值随x的增大而减小 的有________
（1）y 1 x 2
（2）y 2x 3
（3）y 3x 4
（4）y x 3
例1、已知函数y=(m+1)x-3 (1)当m取何值时，y随x的增大而增大？ (2)当 m取何值时，y随x的增大而减小？
解（： 1）当m+1>0即m>-1时y随x的增大而增大;
一次函数
一次函数知识点一：一次函数图像的特点两点确定一条直线，根据这个特点，我们在画一次函数的图像时，可以确定两个点，再过这两个点做直线就行了，而且，为了简单，我们常选过点（0，b ）和)0,(kb-作直线。
由观察可知：（1） 正比例函数的图像时一条直线，并经过两个象限。
（2） 当k>0,其图像经过第一、三象限，当k<0时，其图像经过第二、四象限。
知识点二：一次函数及图像的性质 （1） 增减性: 对于一次函数y=kx+b当k>0,y 的值随x 的增大而增大； 当k<0，y 的值随x 的增大而减小； （2） 图像所在的象限：当ｋ>0,b>0,图像位于第一、二、三象限； 当k>0,b<0,图像位于第一、三、四象限； 当k<0,b>0,图像位于第一、二、四象限； 当k<0,b<0，图像位于第二、三、四象限；（3） 两直线的位置关系：直线111b x k l +=和直线222b x k l +=⎩⎨⎧≠=相交与则则21212121,//,l l k k l l k k 知识点三：正比例函数图像与一次函数图像的关系一次函数b kx +=y 的图像是一条直线，它可以看作是由直线kx =y 沿y 轴平移b 个单位长度得到（当b >0时，向上平移；当b<0时，向下平移）一次函数的解题技巧一次函数是初中数学最重要的内容之一，它的知识结构体系非常丰富，在具体的解题过程中会运用到许多重要的思想方法：如数形结合思想，函数思想，转化和化归的思想，综合运用思想等，掌握一次函数的解题技巧，可以提高同学们的学习效率，下面举例说明：例题例1 如图，直线y=ax+b 经过点A （-1，-2）和B （-2，0），直线y=2x 过点A ，则不等式02≤+<b kx x 的解集是为：（ ）A.x<-2B.-2<x<-1C.-2<x<0D.-1<x<0分析：根据不等式2x ＜kx+b ＜0体现的几何意义得到：直线y=kx+b 上，点在点A 与点B 之间的横坐标的范围． 解答：解：不等式2x ＜kx+b ＜0体现的几何意义就是直线y=kx+b 上，位于直线y=2x 上方，x 轴下方的那部分点，显然，这些点在点A 与点B 之间． 故选B ． 点评：本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合． 二：函数思想通过学习函数使我们逐步用函数的观点，方法去思考问题，将已知条件或所给数量关系进行转化，借助函数的图像或性质去解决问题。
一次函数的增减性及其应用
一次函数的增减性及其应用一、一次函数的定义和性质一次函数，也称作线性函数，是数学中最简单的函数之一。
其定义形式为：f(x) = ax + b，其中a和b是实数，且a ≠ 0。
一次函数的图像是一条直线，在平面直角坐标系中呈现出斜率恒定的特点。
根据一次函数的定义，我们可以得出以下性质：1. 斜率（k）：斜率指的是一次函数图像上两点之间的纵坐标变化量与横坐标变化量的比值。
对于一次函数 f(x) = ax + b，斜率为a。
2. y轴截距（b）：一次函数图像与y轴交点的纵坐标值，即当x =0 时，f(x) = b。
二、一次函数的增减性一次函数的增减性指的是函数图像上各点的纵坐标变化情况，即函数值的增加或减少趋势。
根据斜率的正负性，我们可以判断一次函数的增减性。
1. 当a > 0 时，一次函数呈现增加趋势，图像由左下向右上倾斜。
例：考虑一次函数 f(x) = 2x + 1，斜率为2，大于0，表示函数图像呈增加的趋势。
当x增大时，函数值f(x)也随之增加。
2. 当a < 0 时，一次函数呈现减少趋势，图像由左上向右下倾斜。
例：考虑一次函数 f(x) = -3x + 2，斜率为-3，小于0，表示函数图像呈减少的趋势。
当x增大时，函数值f(x)逐渐减小。
3. 当a = 0 时，一次函数为常数函数，图像为平行于x轴的直线，没有增减性。
三、一次函数的应用1. 直线运动：一次函数的图像与直线的特性相符，因此可以用来描述直线运动的关系。
其中，自变量通常表示时间，因变量表示位置或速度。
例：已知某辆汽车行驶的距离与时间的关系为 d(t) = 50t + 20，其中d(t)表示汽车行驶的距离（单位：米），t表示时间（单位：小时）。
根据函数的增减性，我们可以判断出每小时汽车行驶的距离增加50米。
2. 成本与产量关系：在经济学中，一次函数常用来描述成本与产量之间的关系。
成本一般与产量成正比，因此可以使用一次函数来描述该关系。
一次函数的平移与性质
对称轴与平移的关系
平移后，一次函数的对称轴也发生平移，但对称轴仍然是函数图像的中轴线。
平移对函数的零点和解析式的影响
平移不会改变一次函数的零点，但会改变函数的解析式。
平移对函数的极值和最值的影 响
平移不会改变一次函数的极值和最值，只会改变函数图像的位置。
平移对函数的平均值和中位数 的影响
平移不会改变一次函数的平均值和中位数，只会改变函数图像的位置。
求解一次函数的零点
一次函数的零点可以通过令函数解析式等于零来求解。
求解一次函数的交点
两条一次函数的交点可以通过将两个函数解析式相等来求解。
求解一次函数的斜率
一次函数的斜率可以通过函数解析式的系数得到。
求解一次函数的解析式
已知一次函数的斜率和一个点的坐标，可以通过斜率和点的坐标来确定函数 的解析式。
斜率
一次函数的斜率表示函数图像的 倾斜程度，可以使用斜率公式计 算。
正斜率
正斜率表示函数图像向上倾斜， 即随着x增加，y也增加。
平移的概念及作用
平移是指将函数图像沿着x轴或y轴方向移动，而保持函数的形状和斜率不变。
水平方向平移的公式
ห้องสมุดไป่ตู้右移
水平方向右移h个单位，函数的解析式变为y = f(x - h)。
一次函数的应用案例
一次函数广泛应用于数学、物理学和经济学等领域，可以用来描述线性关系。
一次函数的应用于实际生活中
一次函数在实际生活中有很多应用，如物体的运动、产品的销售分析等。
一次函数与物理学的关系
一次函数在物理学中常用于描述运动物体的位置与时间的关系。
一次函数与经济学的关系
一次函数在经济学中常用于描述成本与产量之间的关系。
一次函数的增减性与单调性
一次函数的增减性与单调性一次函数是指具有形式为y = ax + b的函数，其中a和b是常数，且a不等于零。
在本文中，我们将探讨一次函数的增减性和单调性的概念及其属性。
【引言】一次函数是数学中最简单的函数之一，其图像为一条直线。
了解一次函数的增减性和单调性概念可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
【定义】一次函数y = ax + b的增减性是指函数值随自变量的增大或减小而增大或减小的趋势。
单调性是指函数沿着自变量的增大方向或减小方向保持递增或递减的趋势。
【一次函数的增减性】对于一次函数y = ax + b，我们可以通过a的正负来判断其增减性。
当a大于零时，函数随着自变量的增大而增大，即呈现递增的趋势；当a小于零时，函数随着自变量的增大而减小，即呈现递减的趋势。
【示例解析】例如，考虑一次函数y = 2x + 1。
我们可以观察到当x增大时，y也随之增大，因此函数呈现递增的趋势。
同样地，对于一次函数y = -3x + 4，当x增大时，y随之减小，因此函数呈现递减的趋势。
【一次函数的单调性】对于一次函数y = ax + b，其单调性与a的正负有关。
当a大于零时，函数在整个定义域上都是递增的；当a小于零时，函数在整个定义域上都是递减的。
【示例解析】继续考虑一次函数y = 2x + 1，我们可以断定在整个定义域上，函数都是递增的。
同样地，对于一次函数y = -3x + 4，我们可以得出结论，在整个定义域上，函数都是递减的。
【结论】一次函数的增减性和单调性都与其斜率a的正负有关。
当a大于零时，函数递增且单调递增；当a小于零时，函数递减且单调递减。
【应用】通过了解一次函数的增减性和单调性，我们可以在实际问题中更好地利用这些趋势与模型进行分析和解决问题。
在经济学和物理学等领域中，一次函数在描述和解释现象时起着重要的作用。
【总结】一次函数的增减性和单调性是基于其斜率a的正负而定。
了解一次函数的这些性质对于我们理解和应用数学领域中的模型和概念具有重要意义。
高一上册数学增减函数知识点
高一上册数学增减函数知识点在高一上学期的数学学习中，我们将接触到增减函数的概念和相关知识。
增减函数是指在函数图像上表现为上升或下降趋势的函数。
它们在数学和实际生活中都具有重要作用。
本文将带您了解高一上册数学学习中关于增减函数的知识点。
一、增减函数的定义增减函数是指在定义域内，当自变量增大时，函数值也增大；当自变量减小时，函数值也减小的函数。
简而言之，就是输入变量的增加或减少会导致输出结果的增加或减少。
二、增减函数的判定方法判定一个函数是否为增减函数，我们可以通过函数图像的趋势或导数的正负来进行判断。
1. 函数图像的趋势判定法通过观察函数图像的上升或下降趋势可以初步判断函数的增减性。
当函数图像逐渐上升时，该函数为增函数；当函数图像逐渐下降时，该函数为减函数。
2. 导数的正负判定法函数的导数表示了函数的变化率，通过导数的正负可以精确地判断函数的增减性。
若函数f(x)在[a, b]上可导，且对于[a, b]上的任一x1, x2（x1 < x2），有f'(x1) < 0，则函数f(x)在[a, b]上是递减函数。
若函数f(x)在[a, b]上可导，且对于[a, b]上的任一x1, x2（x1 < x2），有f'(x1) > 0，则函数f(x)在[a, b]上是递增函数。
三、增减函数的性质1. 极值点增减函数的极值点是函数图像中的高点和低点，即极大值点和极小值点。
极值点的判定方法是通过导数的变号来判断。
当函数f(x)在某一区间内从递增变为递减时，在该点上就有极大值；当函数f(x)在某一区间内从递减变为递增时，在该点上就有极小值。
2. 拐点增减函数的图像在某些点上会发生拐点，即图像的曲线方向发生改变的点。
拐点的判定方法是通过二阶导数的正负来判断。
若函数f(x)的二阶导数f''(x)在某一点x处由正变负，则函数f(x)在该点上有拐点；若f''(x)在某一点x处由负变正，则函数f(x)在该点上也有拐点。
初等函数的性质总结
初等函数的性质总结初等函数是数学中常见的一类函数，具有一些共同的性质。
在本文中，我们将总结初等函数的主要性质，包括定义域、值域、奇偶性、单调性和周期性等方面。
一、定义域和值域初等函数的定义域是指函数的输入值所构成的集合。
不同类型的初等函数具有不同的定义域。
1. 一次函数一次函数是形如 y = kx + b 的函数，其中 k 和 b 是常数。
它的定义域为全体实数，即 (-∞, +∞)。
2. 二次函数二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b 和 c 是常数且a ≠ 0。
它的定义域为全体实数，即 (-∞, +∞)。
3. 幂函数幂函数是形如 y = x^a 的函数，其中 a 是常数。
它的定义域由 a 的奇偶性决定：- 当 a 为正偶数时，定义域为全体非负实数，即[0, +∞)。
- 当 a 为负偶数时，定义域为全体正实数，即(0, +∞)。
- 当 a 为正奇数或负奇数时，定义域为全体实数，即 (-∞, +∞)。
4. 指数函数指数函数是形如 y = a^x 的函数，其中 a 是正实数且a ≠ 1。
它的定义域为全体实数，即 (-∞, +∞)。
5. 对数函数对数函数是形如 y = log_a(x) 的函数，其中 a 是正实数且a ≠ 1。
它的定义域由函数值的正负性决定：- 当 a > 1 时，定义域为全体正实数，即(0, +∞)。
- 当 0 < a < 1 时，定义域为全体正实数，即(0, +∞)。
初等函数的值域是指函数的输出值所构成的集合。
根据函数类型的不同，值域也会有所差异。
二、奇偶性函数的奇偶性指的是函数图像的对称性。
初等函数的奇偶性可根据函数表达式中的具体参数和指数来确定。
1. 一次函数和二次函数一次函数和二次函数都是偶函数，即关于 y 轴对称。
2. 幂函数幂函数的奇偶性由指数 a 的奇偶性决定。
当 a 为偶数时，幂函数是偶函数；当 a 为奇数时，幂函数是奇函数。
一次函数的图像和性质
学科：数学 教学内容：一次函数的图像和性质【基础知识精讲】 一、一次函数的图像1.正比例函数y=kx(k ≠0,k 是常数)的图像是经过O(0，0)和M(1，k)两点的一条直线(如图).(1)当k ＞0时，图像经过原点和第一、三象限；(2)k ＜0时，图像经过原点和第二、四象限.2.一次函数y=kx+b(k 是常数，k ≠0)的图像是经过A(0,b)和B(-k b，0)两点的一条直线，当kb ≠0时，图像(即直线)的位置分4种不同情况：(1)k ＞0,b ＞0时，直线经过第一、二、三象限，如图A (2)k ＞0,b ＜0时，直线经过第一、三、四象限，如图B (3)k ＜0,b ＞0时，直线经过第一、二、四象限，如图C (4)k ＜0,b ＜0时，直线经过第二、三、四象限，如图D3.一次函数的图像的两个特征(1)对于直线y=kx+b(k ≠0),当x=0时,y=b 即直线与y 轴的交点为A(0,b),因此b 叫直线在y 轴上的截距.(2)直线y=kx+b(k ≠0)与两直角标系中两坐标轴的交点分别为A(0，b)和B(-k b ，0).设直线与x 的夹角为α，则tg α=|k bb|=|k|，由于角α：0＜α＜90°，tg α＞,因此|k|=tg α.4.一次函数的图像与直线方程(1)一次函数y=kx+b(k ≠0)的图像是一条直线，因此y=kx+b(k ≠0)也叫直线方程.但直线方程不一定都是一次函数.(2)与坐标轴平行的直线的方程.①与x 轴平行的直线方程形如：y=a(a 是常数).a ＞0时，直线在x 轴上方；a=0时，直线与x 轴重合；a ＜0时，直线在x 轴下方.(如图)②与y 轴平行的直线方程形如x=b(b 是常数)，b ＞0时，直线在y 轴右方，b=0时，直线与y 轴重合；b ＜0时，直线在y 轴左方，(如图13-二、两条直线的关系1.与坐标轴不平行的两条直线l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b,若l1若l2相交，则k 1≠k2;若k1≠k2，则l1与l2不平行，其交点是联立这两条直线的方程，求得的公共解.三、一次函数的增减性1.增减性如果函数当自变量在某一取范围内具有函数值随自变量的增加(或减少)而增加(或减少)的性质，称为该函数当自变量在这一取值范围内具有增减性，或称具有单调性.2.一次函数的增减性一次函数y=kx+b在x取全体实数时都具有如下性质：(1)k＞0时，y随x的增加而增加；(2)k＜0时，y随x的增加而减小.3.待定系数法求一次函数的解析式：若已知一次函数的图像(即直线)经过两个已在点A(x1，y1)和B(x2，y2)求这个一次函数的解析式，其方法和步骤是：(1)设一次函数的解析式：y=kx+b(k≠0)(2)将A、B两点的坐标代入所设函数的解析式，得两个方程：y1=k1x1+b①y 2=k2x2+b2②(3)联立①②解方程组，从而求出k、b值.这一先设系数k、b，从而通过解方程求系数的方法以称为待定系数法.【重点难点解析】例1已知一次函数y=(m+3)x+(4-n),(1)m为何值时，y随x的增大而减小；(2)n为何值时，函数的图像与y轴的交点x轴下方；(3)m、n为何值时，函数图像与y=x+2的图像平行.解：(1)当m+3＜0,即m ＜-3时，y 随x 的增大而减小； (2)当4-n ＜0,即n ＞4时，函数的图像与y 轴的交点在x 下方； (3)当m+3=1且4-n ≠2时，即m=-2, n ≠2时，函数的图像是一条与y=x+2平行的直线.例2 当a 、b ＞0，ac ＜0，直线ax+by+c=0不通过哪个象限. 解：∵b ≠0 ∴由原函数式变形得：y=-b a x-b c∴ab ＞0 ∴-b a＜0 又∵ac ＜0,∴-b c＞0直线ax+by+c=0不通过第三象限.例3 直线l 1:y 1=k 1x+b 1 与y=2x 平行且通过A(3，4)，直线l 2:y 2=k 2x+b 2通过B(1，3)，C(-1，5)，求l 1和l 2的解析式.解：∵y 1=k 1x+b 1与y=2x 平行且通过A(3，4)∴⎩⎨⎧=+=4b 3k 2k 111解这个方程组得：⎩⎨⎧==-2b 2k 11∴l 1的解析式为:y=2x-2∵y 2=k 2x+b 2通过B(1，3)和C(-1，5)两点，将两点的坐标代入解析式得：∴l 2的解析式为：y=-x+4例4 已知一个正比例函数和一个一次函数，它们的图像都经过P(-2，1)，且一次函数在y 轴上的截距为3.(1)求这两个函数的解析式；(2)在同一坐标系中，分别画出两个函数的图像；(3)求这两个函数的图像与y 轴围成的三角形的面积.解：(1)设正比例函数和一次函数的解析式分别为y=k 1x 和 y=k 2x+b.由y=k 1x过点(-2，1)得1=-2k 1 ∴k 1=-21由y=k 2x+b 过点(-2，1)，截距为3 得：b=3 -2k 2+b=1 解得：k 2=1 b=3(2)过点O(0，0)、P(-2，1)两点画一条直线，即得函数y=-21x 的图像.经过A(0，3)和P(-2，1)画一条直线即得y=x+3的直线，如图13-21(3)直线y=x+3与y 轴交于点A(0，3)过P 作PH ⊥y 轴，则OA=3，PH=|-2|=2，而函数与y 轴所围成的三角形面积即是△APO 的面积.S △APO=21·AO ·PH =21×3×2=3例5 已知y-(m-3)与x(m 是常数)成正比例，且 x=6时，y=1；x=-4时， y=-4.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)在直角坐标系中，画出这个函数的图像；(3)求出这个函数的图像与坐标轴的两个交点之间的距离.解：∵y-(m-3)与x 成正比例 ∴可设y-(m-3)=kx,即y=kx+m-3①⎩⎨⎧-=+-=+1m k 44m k 6故所求函数关系式为：y=21x-2(2)经过A(6，1)和B(-4，-4)画直线即是函数y=21x-2的图像.如图13-22(3)当x=0时：y=21×0-2=-2 当y=0时，0=21x-2 x=4∴C(4，0)，D(0，-2)|CD|=52242222=+=+OD OC综上所述5例可见，本节重点为：①根据直线所通过的点的条件求直线方程；②根据直线方程求作直线的图像；③根据增减性、截距求直线方程；④根据两直线的位置关系求直线方程；本节的难点是求直线围成的图形的面积.解决重难点的方法是运用待定系数法和数形结合的方法.【难题巧解点拨】例6 已知函数y=|x-a|+|x+19|+|x-a-96|，其中a 为常数，且满足19＜a ＜96,当自变量x 的取值范围为a ≤x ≤96时，求y 的最大值.解：∵19＜a ＜96,a ≤x ≤96∴x-a ≥0,x+19＞10,x-a-96＜0则y=x-a+x+19+a+96-x=115+x 函数y=15+x 是一次函数，其增减性表明y 随x 的增大而增大. ∴在a ≤x ≤96的x 取值范围内，当x=96时，y 取最大值，即： y max =96+115=211说明：含绝对值的函数首先要讨论绝对值的式子的正负性质，再根据绝对值定义化简，从而得到一次函数；讨论在某一自变量的取值范围内最大值或最小值要根据一次函数的性质和自变量x 范围的两端点取值来求.例7 如图13-23在平面直角坐标系中，点O ′的坐标为(0，3)，⊙O ′与y 轴交于原点O 和点A ，又B 、C 、E 三点的坐标分别为(0，-2)、(4，0)、(x ，0)，且0＜x ＜4.(1)求点A 的坐标；(2)当点E 在线段OC 上移动时，直线BE 与⊙O ′有哪几种位置关系？(3)求出直线BE 与⊙O ′每种位置关系时，x 的取值范围.分析：直线与圆有三种位置关系，从直线与圆相切这种特殊情形，用运动变化的观点寻求结论成立的条件是解本题的关键.解：(1)∵O ′(0，3) ∴⊙′的半径为： OO ′=3，∴OA=2·OO ′=2×3=6，∴A(0，6)(2)∵点B 在⊙O ′外，BE 与⊙O ′有三种位置关系：相离、相切、相交； (3)当直线BE 与⊙O ′相切于D 点时，连结O ′D ，则△O ′BD 是Rt △. O ′D=3, O ′B=5,BD=4,OB=2,OE=x ∵△O ′BD ∽△EBO∴BD OB D O OE =＇ 即423=x ，解得：x=23故当23＜x ＜4时，直线BE 与⊙O ′相离；当x=23时，直线BE 与⊙O ′相切.当0＜x ＜23时，直线BE 与⊙O ′相交.例8 如图13-24，某航空公司托运行李的费用与托运行李重量的关系为一直线，由图中可知行李的重量不超过多少公斤，就可以免费托运？解：设直线方程为：y=kx+b (k 、b 是常数，k ≠0)由图可知：x=y=330；x=40时，y=630;把x,y 的对应取值代入直线方程，得：解这个方程组，得：k=30,b=-570 ∴直线方程为:y=30x-570 若y=0时，30x-570=0, ∴x=19答：只要行李重量不超过19公斤时，就可免费托运.【命题趋势分析】由于一次函数是最基本的函数内容，是初中重点之一，在实际中应用十分广泛，因此是中考热点考题.有关一次函数考试主要是概念、图像、性质三个基本内容和待定系数法、数形结合法两种数学方法.【典型热点考题】例9 填空题：已知直线l:y=-3x+2，现在4个命题：①点P(在直线l 上；②若直线l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，则AB=1032；③若点M(31，1)，N(a 、b)都在直线l 上，且a ＞31,则b ＞1;④若点Q 到两坐标轴的距离相等，且点Q 在l 上，则点Q 在第一或第四象限.其中正确的命题是 .(注意：在横线上填上你认为正确的命题序号)(厦门市中考题)分析：检验①：只需将x=1,y=-1代入函数式看是否适合，当x=1时，y=-3+2=-1,即P(在直线y=-3x+2上，①命题正确；检验②；当y=0时，求得x=32,即A(32，0)，当x=0时，y=2，即B(0，2)，∴AB=10322)32(22=+，命题②正确；检验③，若M(31，1)，N(a,b)都在y=-3x+2上，根据直线的性质，k=-3＜0,y 随x 的增加而减小，∴a ＞31时，应该有b ＜0,因此b ＞1错误，即命题③错误；检验④，∵Q 到两坐标轴的距离相等，设Q(m 、n)，则|m|=|n|,且n=-3m+2,由此解得：⎩⎨⎧-==11n m 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2121n m 因此Q 点在第一或第四象限，命题④正确. 因此，选①、②、④填空.例10 某居民小区按照分期付款的形式福利售房，政府给予一定的贴息，小明家购得一套现价为10元的房子，购房时首期(第一年)付款30000元，从第二年起，以后每年应付房款5000元与上一年剩余欠款利息的和，设剩余欠款年利率为0.4%.(1)若第x(x ≥2)年小明家交付房款y 元，求年付款y(元)与x(年)的函数关系式；(2)将第三年，第十年应付房款填入下列表格中：(大连市中考题)分析：首期付款后共余10-30000=90000元房款，以后每年付款应为5000，与上一年所欠余款×0.4%，即余款的利息之和.解：(1)y=5000+[90000-5000(x-2)] ×0.4% =5400-x ≥2)(2)当x=3时，y=5340，当 x=10 时，y=5 因此第三年应付款5340元，第十年应付款5.例11 已知直线x-2y=-k+6和x+3y=4y+1，若它们的交点在第四象限内，(1)求k 的取值范围，(2)若k 为非负整数，点A 的坐标为(2，0)，点P 在直线x-2y=-k+6上，求使△PAO 为等腰三角形的点P 的坐标.(西安市中考题)解：(1)依题意：解这个方程组，得：x=k+4,y=k-1 ∵两直线的交点在第四象限∴k+4＞0,且k-1＜0 解不等式组得：-4＜k ＜1 (2)∵k 为非负整数，∴k=0∴直线x-2y=-k+6即为：y=x21-3设P(a ，b)为直线y=x21-3上一点，作PE ⊥x 轴，垂足为E ，若使PO=PA ，则应有OE=AE ，即E(1，0)∵a=1,∴b=-25∴P 1(1,- 25)若使PO=OA=2，则a 2+b 2=4,a 2+(21a-3)2=4,45a 2-3a+5=0, △=9-25＜0此方程无解.若使PA=OA=2，则(2-a)2+b 2=4,(2-a)2+(21a-3)2=4, ∴45a 2-7a+9=0,a 1=2,a 2=518,当a 1=2时，b 1=-2，当a 2=518时 ,b 2=-56.∴P 2(2,-2)或P 3(518，56)综合上所述，点P 的坐标为(1，-25)，(2，-2)，(518，-56)如图13-25.【同步达纲练习】(时间：45分钟，满分：100分) 一、选择题(10分×6=60分)(1)一次函数y=kx+b 的图像经过点(m,-1)和点(1,m)，其中，m ＜-1,则k 和b 满足的条件是( )A.k ＜0,b ＜0B.k ＞0,b ＞0C.k ＜0,b ＞0D.k ＞0,b ＜0 (2)若一次函数y=(1-2k)x-k(x 为自变量)的函数值y 随x 的增大而增大，且此函数的图像不经过第二象限，则k 的取值范围是( )A.k ＜21B.k ＞0C.0＜k ＜21D.k ＜0或k ＞21(3)当mn ＜0 mp ＞0时，一次函数y=m n x pm的图像不经过的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (4)一次函数y=kx+b 的图像如图13-26,那么k 、b 应满足的条件是( ) A.k ＞0,b ＞0 B.k ＞0,b ＜0 C.k ＜0,b ＞0 D.k ＜0,b ＜0(5)已知函数y=x k的图像经过点(-1，1)，则函数y=kx+3的图像是( )(6)直线y=kx+b 与直线 y=-x 垂直，并且经过点(-1，1)，那么直线y=kx+b 的解析式为( )A.y=-x-2B.y=x+2C.y=x-2D.y=-x+2二、解答题(10分×3=30分)(7)已知一次函数y=(3-k)x+2k+1.①如果它的图像经过(-1，2)点，求k 的值；②如果它的图像经过第一、二、四象限，求k 的取值范围.(8)已知y+b 与x-1(其中b 是常数)成正比例.①证明：y 是x 的一次函数；②若这个一次函数的图像经过点(25，0)，且与坐标轴在第一象限内围成的三角形的面积为425，求这个一次函数，并画出它的图像.(9)已知一次函数y=(p+3)x+(2-q).①p 为什么实数时y 随x 的增大而增大？②q 为什么实数时，函数图像与y 轴的交点在x 轴的上方；③p 、q 为什么实数时，函数的图像过原点？(10)如图13-27，在直角坐标系中，点A(x 1，-3)在第三象限，点B(x 2,-1)在第四象限，线段AB 与y 轴交于点D ，∠AOB=90°，①当x 2=1时，求图像经过A 、B 的一次函数的解析式；②当△OAB 的面积等于9时，设∠AOD=α，求sin α·cos α的值.【素质优化训练】一个水池的容积是100m 3,现存水,今要灌满水池，已知进水管的流量是每小时8m 3,写出水池的水量υ与进水时间t 之间的函数关系式，并画出图像.【生活实际应用】某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现，如果月初出货，可获利15%，并可用本和利再投资其它商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用，请问根据商场的资金状况，如何购销获利最多？【知识探究学习】求直线方程的几种方法：1.如图1，若l 与x 轴的夹角为α(0＜α＜90)，直线与y 轴交于点(0，b),则直线l 方程即为：y=tg α·x+b2.若l 与x 的夹角为α(0＜α＜90)，且经过点M(x 1,y 1)，如图2，则直线l 的方程即可写为：αtg x x y y =--113.若l 经过A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2),则直线l 的方程即可写为：122122x x xx y y y y --=--参考答案：【同步达纲练习】一、A C D D C B二、(7)k=34,k＞3,(8)①y=kx-(k+b)(k≠0)；②y=-2x+5;(9)①P＞-3,②q＜2,③p≠3且q=2;(10)①y=21x-32;②sinα·cosα=61【素质优化训练】v=t(0≤t≤10)【生活实际应用】设商场投资x元，在月初出售，到月末可获得y1元，在月末出售可获利y2元.y1=0.265x，y2=0.3x-700(1) 当y1=y2时,x=0(2) y1＜y2时，x＞0(3) y1＞y2时，x＜。
八年级数学一次函数的图象和性质
描点作图
将计算出的点在坐标轴上 标出，并使用平滑的曲线 连接这些点。
一次函数图象的特点
线性关系
一次函数图象是一条直线，函数 值随自变量的变化而均匀变化。
斜率
一次函数的斜率表示函数值随自 变量变化的速率，斜率k>0时， 函数值随自变量增大而增大；斜 率k<0时，函数值随自变量增大
而减小。
y轴上的截距
05 练习与巩固
基础练习题
2、已知一次函数$y = kx + b(k neq 0)$的图象经过第一、三、四 象限，则$k$的取值范围是( )
3、已知一次函数$y = kx + b(k neq 0)$的图象经过第一、三、四 象限，则$k$的取值范围是____．
1、已知函数$y = (2m + 1)x + m - 3$，若这个函数的图象不经过第 二象限，则$m$的取值范围是 ____．
一次函数的表示方法
一次函数可以用解析式表示为 $y=kx+b$，其中$k$是斜率，$b$是 截距。
也可以通过表格或图象来表示一次函 数的关系。
一次函数的基本性质
斜率
斜率$k$决定了函数的增减性，当$k>0$时，函数随$x$ 的增大而增大；当$k<0$时，函数随$x$的增大而减小。
单调性
一次函数的单调性由斜率决定，斜率$k>0$时，函数为增 函数；斜率$k<0$时，函数为减函数。
一次函数与坐标轴的关系
一次函数与x轴的交点
当y=0时，x的值即为与x轴的交点。
一次函数与坐标轴围成的三角形面积
可以通过截距和与x轴交点来计算三角形面积。
04 一次函数的应用
一次函数在实际问题中的应用