【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练：8.8 曲线与方程

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2014届高考数学(理)二轮复习大题规范训练四

弋阳一中2014届高考二轮复习大题规范练(四) 立体几何综合题(限时：60分钟)1．(2013·高考新课标全国卷)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA1＝AC ＝CB ＝22AB . (1)证明：BC 1//平面A 1CD . (2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值．2．(2014·成都市诊断检测)如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝AA 1＝2AB ＝2，∠BAC ＝90°，点D 是侧棱CC 1延长线上一点，EF 是平面ABD 与平面A 1B 1C 1的交线． (1)求证：EF ⊥A 1C ；(2)当平面DAB 与平面CA 1B 1所成锐二面角的余弦值为2626时，求DC 1的长．3．(2013·高考辽宁卷)如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C－PB－A的余弦值．4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，AB ⊥BC，O为AC中点．(1)证明：A1O⊥平面ABC；(2)求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；(3)在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．5．(2014·南昌市模拟)如图是多面体ABC－A1B1C1和它的三视图．(1)线段CC1上是否存在一点E，使BE⊥平面A1CC1，若不存在，请说明理由，若存在，请找出并证明；(2)求平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值．6．(2014·郑州市质量检测)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2a，D，E 分别为AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥A′－BCDE.(1)在棱A′B上找一点F，使EF∥平面A′CD；(2)当四棱锥A′－BCDE的体积取最大值时，求平面A′CD与平面A′BE夹角的余弦值．大题规范练(四)1．解：(1)证明：连接AC 1，交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点．又D 是AB 的中点，连接DF ，则BC1∥DF . 因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .(4分) (2)由AC ＝CB ＝22AB ，得AC ⊥BC . 以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .设CA ＝2，则D (1，1，0)，E (0，2，1)，A 1(2，0，2)，CD →＝(1，1，0)，CE →＝(0，2，1)，CA 1→＝(2，0，2)．(6分) 设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·CA 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0.(8分)可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CE →＝0，m ·CA 1→＝0，可取m ＝(2，1，－2)．从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63. 即二面角D －A 1C －E 的正弦值为63.(12分) 2．解：(1)∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，∴平面ABC ∥平面A 1B 1C 1. 又平面ABC ∩平面ABD ＝AB ，平面A 1B 1C 1∩平面ABD ＝EF ， ∴EF ∥AB .(2分)∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，且∠BAC ＝90°， ∴AB ⊥AA 1，AB ⊥AC .而AA 1∩AC ＝A ，∴AB ⊥平面ACC 1A 1. 又A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∴AB ⊥A 1C . ∴EF ⊥A 1C .(6分)(2)建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz . 设C 1D ＝t (t ＞0)．则B (1，0，0)，C (0，2，0)，D (0，2，2＋t )，A 1(0，0，2)，B 1(1，0，2)．∴A 1B 1→＝(1，0，0)，A 1C →＝(0，2，－2)．设平面CA 1B 1的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)．则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B 1→＝0n ·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0y 1－z 1＝0，令z 1＝1，则y 1＝1，∴n ＝(0，1，1)．同理，可求得平面DAB 的一个法向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，－2t ＋2.(9分) 由|cos 〈n ，m 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－2t ＋22× 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋22＝2626，得t ＝1或t ＝－23(舍去)． ∴DC 1＝1.(12分)3．解：(1)证明：由AB 是圆的直径，得AC ⊥BC ，由PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得PA ⊥BC .又PA ∩AC ＝A ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .因为BC ⊂平面PBC .所以平面PBC ⊥平面PAC .(4分)(2)解法一：过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC .如图(1)，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．(6分) 在Rt △ABC 中，因为AB ＝2，AC ＝1，所以BC ＝ 3.又因为PA ＝1，所以A (0，1，0)，B (3，0，0)，P (0，1，1)．故CB →＝(3，0，0)，CP →＝(0，1，1)．(8分) 设平面BCP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧CB →·n 1＝0，CP →·n 1＝0.所以⎩⎨⎧3x 1＝0，y 1＋z 1＝0，不妨令y 1＝1，则n 1＝(0，1，－1)．因为AP →＝(0，0，1)，AB →＝(3，－1，0)，设平面ABP 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧AP →·n 2＝0，AB →·n 2＝0，所以⎩⎨⎧z 2＝0，3x 2－y 2＝0，(10分)不妨令x 2＝1，则n 2＝(1，3，0)．于是cos 〈n 1，n 2〉＝322＝64.由图(1)知二面角C －PB －A 为锐角，故二面角C －PB －A 的余弦值为64.(12分) 解法二：如图(2)，过C 作CM ⊥AB 于M ，因为PA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以PA ⊥CM .(6分)又因为PA ∩AB ＝A ，且PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CM ⊥平面PAB . 过M 作MN ⊥PB 于N ，连接NC ，由三垂线定理得CN ⊥PB ，所以∠CNM 为二面角C －PB －A 的平面角．(8分) 在Rt △ABC 中，由AB ＝2，AC ＝1，得BC ＝3，CM ＝32，BM ＝32.在Rt △PAB 中，由AB ＝2，PA ＝1，得PB ＝ 5.因为Rt △BNM ∽Rt △BAP ，所以MN1＝325，所以MN ＝3510.所以在Rt △CNM 中，CN ＝305，所以cos ∠CNM ＝64，所以二面角C －PB －A 的余弦值为64.(12分) 4．解：(1)∵AA 1＝A 1C ＝AC ＝2，且O 为AC 中点，∴A 1O ⊥AC . 又侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，交线为AC ，A 1O ⊂平面A 1AC ， ∴A 1O ⊥平面ABC .(4分)(2)连接OB ，如图，以O 为原点，分别以OB 、OC 、OA 1所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则由题可知B (1，0，0)，C (0，1，0)，A 1(0，0, 3)，A (0，－1，0)．∴A 1C →＝(0，1，－3)，令平面A 1AB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·AA 1→＝n ·AB →＝0.而AA 1→＝(0，1，3)，AB →＝(1，1，0)，可求得一个法向量n ＝(3，－3，3)，∴|cos 〈A 1C →，n 〉|＝|n ·A 1C →||n |·|A 1C →|＝62×21＝217，故直线A 1C 与平面A 1AB 所成角的正弦值为217.(8分) (3)存在点E ，且E 为线段BC 1的中点．取B 1C 的中点M ，从而OM 是△CAB 1的一条中位线，OM ∥AB 1，又AB 1⊂平面A 1AB ，OM ⊄平面A 1AB ，∴OM ∥平面A 1AB ，故BC 1的中点M 即为所求的E 点．(12分)5．解：(1)由题意知AA 1，AB ，AC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，A 1(0，0，2)，B (－2，0，0)，C (0，－2，0)，C 1(－1，－1，2)，则CC 1→＝(－1，1，2)，A 1C 1→＝(－1，－1，0)，A 1C →＝(0，－2，－2)．(1分)设E (x ，y ，z )，则CE →＝(x ，y ＋2，z )，EC 1→＝(－1－x ，－1－y ，2－z )．(3分)设CE →＝λEC 1→，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－λ－λx y ＋2＝－λ－λy ，z ＝2λ－λz则E ⎝⎛⎭⎪⎫－λ1＋λ，－2－λ1＋λ，2λ1＋λ，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋λ1＋λ，－2－λ1＋λ，2λ1＋λ.(4分)由⎩⎪⎨⎪⎧BE →·A 1C 1→＝0BE →·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋λ1＋λ＋2＋λ1＋λ＝0－2－λ1＋λ＋2λ1＋λ＝0，解得λ＝2，所以线段CC 1上存在一点E ，CE →＝2EC 1→，使BE ⊥平面A 1CC 1.(6分) (2)设平面C 1A 1C 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1C 1→＝0m ·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0－2y －2z ＝0，取x ＝1，则y ＝－1，z ＝1.故m ＝(1，－1，1)，(8分)而平面A 1CA 的一个法向量为n ＝(1，0，0)，则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝13＝33，(11分)故平面C 1A 1C 与平面A 1CA 夹角的余弦值为33.(12分) 6．解：(1)点F 为棱A ′B 的中点．证明如下：取A ′C 的中点G ，连接DG ，EF ，GF ，则由中位线定理得DE ∥BC ，DE ＝12BC ，且GF ∥BC ，GF ＝12BC .(3分)所以DE ∥GF ，DE ＝GF ，从而四边形DEFG 是平行四边形，EF ∥DG . 又EF ⊄平面A ′CD ，DG ⊂平面A ′CD ，故点F 为棱A ′B 的中点时，EF ∥平面A ′CD .(5分) (2)在平面A ′CD 内作A ′H ⊥CD 于点H ，⎭⎪⎬⎪⎫DE ⊥A ′DDE ⊥CD A ′D ∩CD ＝D ⇒DE ⊥平面A ′CD ⇒DE ⊥A ′H ，又DE ∩CD ＝D ，故A ′H ⊥底面BCDE ，即A ′H 就是四棱锥A ′－BCDE 的高．由A ′H ≤AD 知，点H 和D 重合时，四棱锥A ′－BCDE 的体积取最大值．(7分) 分别以DC ，DE ，DA ′所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A ′(0，0，a )，B (a ，2a ，0)，E (0，a ，0)，A ′B →＝(a ，2a ，－a )，A ′E →＝(0，a ，－a )．(9分)设平面A ′BE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·A ′B →＝0m ·A ′E →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋2ay －az ＝0ay －az ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －z ＝0y ＝z ，可取m ＝(－1，1，1)．同理可以求得平面A ′CD 的一个法向量n ＝(0，1，0)．故cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝－1×0＋1×1＋1×03×1＝33，故平面A ′CD 与平面A ′BE 夹角的余弦值为33.(12分)。

【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练：3.5 两角和与差的正弦、余弦和正切

第三章第5讲(时间：45分钟分值：100分)一、选择题1. [2012·江西高考]若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan2α＝( )A. －34B. 34 C. －43D. 43答案：B解析：由tan α＋1tan α－1＝12，得tan α＝－3，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝34，选B 项． 2. [2013·金版原创]cos85°＋sin25°cos30°cos25°＝( )A. －32B.22C. 12 D. 1答案：C解析：cos85°＋sin25°cos30°cos25°＝cos (60°＋25°)＋sin25°cos30°cos25°＝cos60°cos25°－sin60°sin25°＋sin25°cos30°cos25°＝cos60°cos25°cos25°＝cos60°＝12，选C.3. 若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( )A.103B. 53C. 23 D. －2答案：A解析：由3sin α＋cos α＝0得cos α＝－3sin α，则1cos 2α＋sin2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝9sin 2α＋sin 2α9sin 2α－6sin 2α＝103，故选A.4. [2013·杭州月考]若函数f (x )＝sin 2(x ＋π4)＋cos 2(x －π4)－1，则函数f (x )是( )A. 周期为π的偶函数B. 周期为2π的偶函数C. 周期为2π的奇函数D. 周期为π的奇函数答案：D解析：f (x )＝sin 2(π4＋x )＋sin 2(π4＋x )－1＝2sin 2(π4＋x )－1＝－cos(π2＋2x )＝sin2x∴故D 正确．5. [2013·烟台模拟]把函数y ＝sin x －3cos x 的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A. π6 B. π3 C.2π3D. 5π6答案：D解析：y ＝sin x －3cos x ＝2sin(x －π3)，图象向左平移m (m >0)个单位长度后，得y ＝2sin(x＋m －π3)，由于图象关于y 轴对称，∴m －π3＝k π＋π2，m ＝k π＋5π6(k ∈Z )，∴m 的最小正数为5π6，故选D.6. [2013·厦门质检]若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为( )A. 13 B. －13C. 79 D. －79答案：D解析：因为sin(π6－α)＝13，所以cos(π3＋α)＝13，即cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1＝2×19－1＝－79.二、填空题7. [2013·嘉兴模拟]已知cos(α＋π4)＝13，α∈(0，π2)，则cos α＝________.答案：2＋46解析：∵α∈(0，π2)，cos(α＋π4)＝13>0，∴α∈(0，π4)，α＋π4∈(π4，π2)，∴sin(α＋π4)＝223，cos α＝cos(α＋π4－π4)＝cos(α＋π4)cos π4＋sin(α＋π4)·sin π4＝2＋46.8. [2013·湘潭模拟]已知tan(α－β)＝12，tan β＝13，且α∈(0，π)，则α＝________.答案：π4解析：∵α＝(α－β)＋β，∴tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β，∵tan(α－β)＝12，tan β＝13，tan α＝12＋131－12×13＝1，又∵α∈(0，π)，∴α＝π4. 9. [2013·江南十校联考]设α为锐角，若cos(α＋π3)＝15，则cos(α－π6)＝________.答案：265解析：∵α为锐角，即0<α<π2，∴π3<α＋π3<5π6，∵cos(α＋π3)＝15，∴sin(α＋π3)＝1－cos 2(α＋π3)＝265，∴cos(α－π6)＝sin[π2＋(α－π6)]＝sin(α＋π3)＝265.三、解答题10. [2013·广东模考]已知函数f (x )＝2sin(13x －π6)，x ∈R .(1)求f (5π4)的值；(2)设α、β∈[0，π2]，f (3α＋π2)＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．解：(1)f (5π4)＝2sin(13×5π4－π6)＝2sin π4＝ 2.(2)由f (3α＋π2)＝1013得2sin α＝1013，即sin α＝513，由f (3β＋2π)＝65得2sin(β＋π2)＝65，而cos β＝35，∵α、β∈[0，π2]，∴cos α＝1－(513)2＝1213，sin β＝1－(35)2＝45，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝1213×35－513×45＝1665. 11. [2013·绍兴模拟]已知函数f (x )＝tan(3x ＋π4)．(1)求f (π9)的值；(2)设α∈(π，3π2)，若f (α3＋π4)＝2，求cos(α－π4)的值．解：(1)f (π9)＝tan(π3＋π4)＝tan π3＋tan π41－tan π3tanπ4＝3＋11－3＝－2－ 3.(2)因为f (α3＋π4)＝tan(α＋3π4＋π4)＝tan(α＋π)＝tan α＝2.所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α. ①因为sin 2α＋cos 2α＝1， ② 由①、②解得cos 2α＝15.因为α∈(π，3π2)，所以cos α＝－55，sin α＝－255.所以cos(α－π4)＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝－55×22＋(－255)×22＝－31010. 12. [2013·新余质检]设函数f (x )＝2cos 2(π4－x )＋sin(2x ＋π3)－1，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的值域．解：(1)因为f (x )＝12sin2x ＋32cos2x ＋cos(π2－2x )＝32sin2x ＋32cos2x ＝3sin(2x ＋π6)，所以函数f (x )的最小正周期是T ＝2π2＝π.(2)因为x ∈[0，π2]，所以2x ＋π6∈[π6，7π6]，于是3sin(2x ＋π6)∈[－32，3]，所以当x ∈[0，π2]时，函数f (x )的值域是[－32，3]．。

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第八章第八节曲线与方程一、选择题1．已知| AB u u u r|＝3，A 、B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点， OP u u u r ＝13OA u u u r ＋23OB u u u r ，则动点P 的轨迹方程是 ( )A.x 24＋y 2＝1 B ．x 2＋y 24＝1C.x 29＋y 2＝1D ．x 2＋y 29＝12．已知两个定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于 ( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π3．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足 OC u u u r ＝λ1 OA u u u r＋λ2 OB u u u r(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是 ( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线4．已知A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是 ( )A ．y 2－x 248＝1(y ≤－1)B ．y 2－x 248＝1(y ≥1)C ．x 2－y 248＝1(x ≤－1)D ．x 2－y 248＝1(x ≥1)5．给出以下方程：①2x ＋y 2＝0；②3x 2＋5y 2＝1；③3x 2－5y 2＝1；④|x |＋|y |＝2；⑤|x －y |＝2，则其对应的曲线可以放进一个足够大的圆内的方程的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．46．圆O ：x 2＋y 2＝16，A (－2,0)，B (2,0)为两个定点．直线l 是圆O 的一条切线，若经过A 、B 两点的抛物线以直线l 为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆二、填空题 7．直线x a ＋y2－a＝1与x 、y 轴交点的中点的轨迹方程是____________．8．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．9．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a ＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是____．三、解答题10．已知A 、B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的两个动点，线段AB 的长为23，P 是AB 的中点．求动点P 的轨迹C 的方程．11．已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，|OP ||OM |＝λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．12．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＝－2交x 轴于点A ，设P 是l 上一点，M 是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足∠MPO ＝∠AOP .当点P 在l 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程．详解答案一、选择题1．解析：设A (0，y 0)，B (x 0,0)，P (x ，y )，则由| AB u u u r |＝3得x 20＋y 20＝9，又因为 OPu u u r ＝(x ，y )， OA u u u r ＝(0，y 0)， OB u u u r ＝(x 0,0)，由 OP u u u r ＝13OA u u u r ＋23OB u u u r 得x ＝2x 03，y ＝y 03，因此x 0＝3x 2，y 0＝3y ，将其代入x 20＋y 20＝9得x 24＋y 2＝1.答案：A2．解析：设P (x ，y )，则|PA |2＝(x ＋2)2＋y 2，|PB |2＝(x －1)2＋y 2，又|PA |＝2|PB |， ∴(x ＋2)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2，∴(x －2)2＋y 2＝4，表示圆，∴S ＝πr 2＝4π. 答案：B3．解析：设C (x ，y )，则 OC u u u r ＝(x ，y )， OA u u u r＝(3,1)， OB u u u r＝(－1,3)，∵OC u u u r ＝λ1 OA u u u r ＋λ2 OB u u u r ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．答案：A4．解析：由题意知|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14，又|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |， ∴|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2，故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的下支，又c ＝7，a ＝1，b 2＝ 48，∴点F 的轨迹方程为y 2－x 248＝1(y ≤－1)．答案：A5．解析：所给出的方程中，①2x ＋y 2＝0是抛物线，②3x 2＋5y 2＝1是椭圆，③3x 2－5y2＝1是双曲线，④|x |＋|y |＝2是一个正方形，⑤|x －y |＝2是两条平行直线，只有②④两个方程对应的曲线是封闭曲线，可以放进一个足够大的圆内．答案：B6．解析：设抛物线的焦点为F ，因为A 、B 在抛物线上，所以由抛物线的定义知，A 、B 到F 的距离AF 、BF 分别等于A 、B 到准线l 的距离AM 、BN ，于是|AF |＋|BF |＝|AM |＋|BN |.过O 作OP ⊥l ，由于l 是圆O 的一条切线，所以四边形AMNB 是直角梯形，OP 是中位线，故有|AF |＋|BF |＝|AM |＋|BN |＝2|OP |＝8>4＝|AB |.根据椭圆的定义知，焦点F 的轨迹是一个椭圆．答案：B 二、填空题7．解析：(参数法)设直线x a ＋y2－a ＝1与x 、y 轴交点为A (a,0)，B (0,2－a )，A 、B 中点为M (x ，y )，则x ＝a2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.答案：x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1) 8．解析：如图，|AD |＝|AE |＝8， |BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)．答案：x 29－y 216＝1(x ＞3)．9．解析：因为原点O 到两个定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离的积是1，而a ＞1，所以曲线C 不过原点，即①错误；因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)关于原点对称，所以|PF 1||PF 2|＝a2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|＝12a 2，即面积不大于12a 2，所以③正确．答案：②③ 三、解答题10．解：设P (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵P 是线段AB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.∵A 、B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的点， ∴y 1＝33x 1，y 2＝－33x 2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝23y ，y 1－y 2＝233x .又|AB |＝23，∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝12. ∴12y 2＋43x 2＝12.∴动点P 的轨迹C 的方程为x 29＋y 2＝1.11．解：(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a 、c ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝1a ＋c ＝7，解得a ＝4，c ＝3.b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 27＝1.(2)设M (x ，y )，其中x ∈[－4,4]．由已知|OP |2|OM |2＝λ2及点P 在椭圆C 上可得9x 2＋11216x 2＋y2＝λ2，整理得(16λ2－9)x 2＋16λ2y 2＝112，其中x ∈[－4,4]． ①λ＝34时，化简得9y 2＝112，所以点M 的轨迹方程为y ＝±473(－4 ≤x ≤4)，轨迹是两条平行于x 轴的线段．②λ≠34时，方程变形为x 211216λ2－9＋y 211216λ2＝1，其中x ∈[－4,4]；当0＜λ＜34时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足－4≤x ≤4的部分；当34＜λ＜1时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足－4≤x ≤4的部分；当λ≥1时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆． 12．解：如图，可得直线l ：x ＝－2与x 轴交于点A (－2,0)，设P (－2，m )，(1)当m ＝0时，点P 与点A 重合，这时OP 的垂直平分线为x ＝－1，由∠AOP ＝∠MPO ＝0°，得M (－1,0)；(2)当m ≠0时，设M (x 0，y 0)，①若x 0>－1，由∠MPO ＝∠AOP 得MP ∥OA ，有y 0＝m ，又k OP ＝－m 2，OP 的中点为(－1，m2)，∴OP 的垂直平分线为y －m 2＝2m (x ＋1)，而点M 在OP 的垂直平分线上，∴y 0－m 2＝2m(x 0＋1)，又m ＝y 0，于是y 0－y 02＝2y 0(x 0＋1)，即y 20＝4(x 0＋1)(x 0>－1)．②若x 0<－1，如图，由∠MPO ＝∠AOP 得点M 为OP 的垂直平分线与x 轴的交点，在y －m2＝2m (x ＋1)中，令y ＝0，有x ＝－m 24－1<－1，即M (－ m24－1,0)， ∴点M 的轨迹E 的方程为y 2＝4(x ＋1)(x ≥－1)和y ＝0(x <－1)．。

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第八章第6讲（时间：45分钟分值：100分)一、选择题1. ［2013·福州质检］设F1、F2分别是双曲线x2－y29＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且|PF1｜＝5,则｜PF2|＝（）A。

5 B。

3C。

7 D。

3或7答案:D解析：∵||PF1｜－|PF2｜|＝2，∴|PF2|＝7或3。

2. ［2013·柳州月考］若F（5，0)是双曲线错误!－错误!＝1（m是常数）的一个焦点，则m 的值为( ）A。

3 B。

5C。

7 D. 9答案：D解析：由题意16＋m＝25，所以m＝9。

3。

已知m>0，直线y＝错误!x是双曲线错误!－错误!＝1的渐近线，则m等于( ）A。

错误! B. 错误!C。

错误! D. 错误!答案：A解析：双曲线错误!－错误!＝1的渐近线为错误!－错误!＝0,即y＝±错误!x，又m〉0,故直线y＝错误!x就是直线y＝错误!x，得错误!＝错误!，所以m＝错误!。

4。

[2013·东莞调研］已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为错误!，则它的渐近线方程为（)A. y＝±2x B。

y＝±错误!xC。

y＝±错误!x D. y＝±错误!x答案:C解析：设双曲线的方程为错误!－错误!＝1(a>0,b>0)，∵e＝错误!＝错误!，c＝错误!,∴错误!＝错误!＝错误!，∴错误!＝2，∴双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x＝±错误!x，故选C.5。

［2013·洛阳模拟］过双曲线错误!－错误!＝1（a>0，b〉0)的左焦点F(－c,0）（c>0),作圆x2＋y2＝错误!的切线，切点为E，直线FE交双曲线右支于点P，若错误!＝错误!（错误!＋错误!)，则双曲线的离心率为( )A. 错误!B. 错误!C。

错误!D。

错误!答案：C解析：点F，A是双曲线的两个焦点,由错误!＝错误!（错误!＋错误!)可知，点E是线段FP的中点，又点O是FA的中点,所以OE∥PA，且PA＝2OE＝a，再根据双曲线的定义可知PF－PA＝2a，可得PF＝3a，所以在直角△PFA中，有(3a）2＋a2＝（2c）2，对该式化简可得e＝错误!.6. ［2013·张家口模拟］设F1，F2是双曲线x2－错误!＝1的两个焦点,P是双曲线上的一点，且3｜PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（)A。

2014高考数学一轮复习限时集训(一)集合理新人教A版

限时集训(一) 集合(限时：45分钟满分：81分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2012·辽宁高考)已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{0,1,3,5,8}，集合B ＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A )∩(∁U B )＝( )A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6}2．已知S ＝{(x ，y )|y ＝1，x ∈R }，T ＝{(x ，y )|x ＝1，y ∈R }，则S ∩T ＝( )A ．空集B ．{1}C ．(1,1)D ．{(1,1)}3．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝( )A ．0或 3B ．0或3C ．1或 3D ．1或34．设集合A ＝{x |1<x <4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．(1,4)B ．(3,4)C ．(1,3)D ．(1,2)∪(3,4)5．(2012·湖北高考)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．(2013·厦门模拟)设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．[－1,0]B ．(－1,0)C ．(－∞，－1)∪[0,1)D ．(－∞，－1]∪(0,1)二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．若1∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －3，9a 2－1，a 2＋1，－1，则实数a 的值为________． 8．(2012·天津高考)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝－1，n ，则m ＝________，n ＝________.9．(2013·合肥模拟)对于任意的两个正数m ，n ，定义运算⊙：当m ，n 都为偶数或都为奇数时，m ⊙n ＝m ＋n 2，当m ，n 为一奇一偶时，m ⊙n ＝mn ，设集合A ＝{(a ，b )|a ⊙b ＝6，a ，b ∈N *}，则集合A 中的元素个数为________．三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．A ＝{x |－2<x <－1或x >1}，B ＝{x |a ≤x <b }，A ∪B ＝{x |x >－2}，A ∩B ＝{x |1<x <3}，求实数a ，b 的值．11.已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )·(x －3a )<0}．(1)若A ⊆B ，求a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；(3)若A ∩B ＝{x |3<x <4}，求a 的取值范围．12．设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x 2－(2m ＋1)x ＋2m <0}．(1)当m <12时，化简集合B ； (2)若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围；(3)若∁R A ∩B 中只有一个整数，求实数m 的取值范围．答案限时集训(一) 集合1．B 2.D 3.B 4.B 5.D 6.D7.498.－1 1 9.17 10．解：∵A ∩B ＝{x |1<x <3}，∴b ＝3，又A ∪B ＝{x |x >－2}，∴－2<a ≤－1，又A ∩B ＝{x |1<x <3}，∴－1≤a <1，∴a ＝－1.11．解：∵A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，∴A ＝{x |2<x <4}．(1)若A ⊆B ，当a ＝0时，B ＝∅，显然不成立；当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，应满足⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤2，3a ≥4⇒43≤a ≤2；当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，应满足⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≤2，a ≥4，此时不等式组无解，∴当A ⊆B 时，43≤a ≤2. (2)∵要满足A ∩B ＝∅，当a ＝0时，B ＝∅满足条件；当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，a ≥4或3a ≤2.∴0<a ≤23或a ≥4；当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，a ≤2或3a ≥4.∴a <0时成立，综上所述，a ≤23或a ≥4时，A ∩B ＝∅. (3)要满足A ∩B ＝{x |3<x <4}，显然a ＝3.12．解：∵不等式x 2－(2m ＋1)x ＋2m <0⇔(x －1)(x －2m )<0.(1)当m <12时，2m <1， ∴集合B ＝{x |2m <x <1}．(2)若A ∪B ＝A ，则B ⊆A ，∵A ＝{x |－1≤x ≤2}，①当m <12时，B ＝{x |2m <x <1}，此时－1≤2m ≤1⇒－12≤m <12； ②当m ＝12时，B ＝∅，有B ⊆A 成立； ③当m >12时，B ＝{x |1<x <2m }，此时1<2m <2⇒12<m ≤1；综上所述，m 的取值范围是－12≤m ≤1. (3)∵A ＝{x |－1≤x ≤2}，∴∁R A ＝{x |x <－1，或x >2}，①当m <12时，B ＝{x |2m <x <1}，若∁R A ∩B 中只有一个整数，则－3≤2m <－2⇒－32≤m <－1； ②当m ＝12时，不符合题意； ③当m >12时，B ＝{x |1<x <2m }，若∁R A ∩B 中只有一个整数，则3<2m ≤4⇒32<m ≤2. 综上所述，m 的取值范围是－32≤m <－1或32<m ≤2.。

【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练：选修4-4.2 参数方程 Word版含解析]

选修4-4 第2讲(时间：45分钟分值：100分)一、选择题1. [2013·黔江模拟]直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋ty ＝1－t (t 为参数)的倾斜角的大小为( )A. －π4B. π4C. π2 D. 3π4答案：D解析：由题意知该直线方程为x ＋y ＝2，所以k ＝－1，α＝3π4.2．[2013·钦州模拟]参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θy ＝sin θ(θ为参数)所表示的曲线为( )A. 抛物线一部分B. 一条抛物线C. 双曲线的一部分D. 一条双曲线答案：A解析：y 2＋x ＝1，∵x ∈[0,1]，y ∈[－1,1]，∴是抛物线的一部分．3. 已知在平面直角坐标系xOy 中，点P (x ，y )是椭圆x 22＋y 23＝1上的一个动点，则S ＝x＋y 的取值范围为( )A. [5，5]B. [－5，5]C. [－5，－5]D. [－5，5]答案：D解析：因椭圆x 22＋y 23＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，故可设动点P 的坐标为(2cos φ，3sin φ)，其中0≤φ<2π，因此S ＝x ＋y ＝2cos φ＋3sin φ＝5(25cos φ＋35sin φ)＝5sin(φ＋γ)，其中tan γ＝63，所以S 的取值范围是[－5，5]，故选D. 4. [2013·合肥模拟]已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos αy ＝1＋sin α(α为参数)，当圆心C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，k 的值为( )A. 13B. 15C. －13D. －15答案：D解析：⊙O 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，∴圆心C (－1,1)，又直线kx ＋y ＋4＝0过定点A (0，－4)，故当CA 与直线kx ＋y ＋4＝0垂直时，圆心C 到直线距离最大，∵k CA ＝－5，∴－k ＝15，∴k ＝－15.5. [2013·皖南八校联考]已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋12ty ＝32t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋4sin θ，则直线l 被圆所截得的弦长为( )A. 1B. 2C. 3D. 4答案：D解析：由题意知，直线l 的普通方程为3x －y －3＝0，由极坐标系与直角坐标系的关系知，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.设直线l 与圆C 交于A 、B 两点，设AB 的中点为M ，在Rt △AMC 中，AC ＝5，CM ＝|3－2－3|3＋1＝1，∴AM ＝5－1＝2，∴AB ＝2AM＝4.故截得的弦长为4.6. [2013·台州质检]如果曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θy ＝a ＋2sin θ(θ为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为2，那么实数a 的取值范围是( )A. (－22，0)B. (0,22)C. (－22，0)∪(0,22)D. (1,22)答案：C解析：将曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θ，y ＝a ＋2sin θ(θ为参数)转化为普通方程，即(x －a )2＋(y－a )2＝4，由题意可知，问题可转化为以原点为圆心，以2为半径的圆与圆C 总相交，根据两圆相交的充要条件得0<2a 2<4，∴0<a 2<8，解得0<a <22或－22<a <0.二、填空题7. [2013·伊春模拟]在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋s y ＝1－s (s 为参数)和C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2y ＝t 2(t 为参数)，若l 与C 相交于A 、B 两点，则|AB |＝________. 答案： 2解析：直线l 的普通方程为x ＋y ＝2，由线l 的普通方程为y ＝(x －2)2(y ≥0)，联立两方程得x 2－3x ＋2＝0，求得两交点坐标为(1,1)，(2,0)，所以|AB |＝ 2.8. [2013·邵阳模拟]若圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ＋1y ＝3sin θ(θ为参数)，则圆C 的圆心坐标为________，圆C 与直线x ＋y －3＝0的交点个数为________．答案：(1,0) 2解析：由圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ＋1y ＝3sin θ消去参数，得(x －1)2＋y 2＝9，所以圆心为(1,0)，半径为3，圆心(1,0)到直线x ＋y －3＝0的距离为d ＝|－2|2＝2<3，所以直线与圆有2个交点．9. [2013·唐山模拟]已知点P (x ，y )在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θy ＝sin θ(θ为参数，θ∈[π，2π])上，则yx 的取值范围是________．答案：[0，33] 解析：由条件可知点P 在圆(x ＋2)2＋y 2＝1的下半圆周上，如图设k ＝y x ＝y －0x －0，则k ＝k PO ，即直线PO 与半圆有公共点时，斜率的取值范围．又直线与圆相切时k ＝33.∴y x ∈[0，33]．三、解答题10. [2013·扬州模拟]已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos(θ－π4)＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程；(2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值．解：(1)原方程变形为 ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0. x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0.(2)圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，所以x ＋y ＝4＋2sin(α＋π4)．所以x ＋y 的最大值为6，最小值为2.11. [2013·嘉兴模拟]已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θy ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ＋π6)＝0.(1)写出直线l 的直角坐标方程和圆C 的普通方程； (2)求圆C 截直线l 所得的弦长．解：(1)消去参数θ，得圆C 的普通方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9. 由ρcos(θ＋π6)＝0，得32ρcos θ－12ρsin θ＝0.∴直线l 的直角坐标方程为3x －y ＝0.(2)圆心(3，1)到直线l 的距离为d ＝|3×3－1|(3)2＋12＝1. 设圆C 截直线l 所得弦长为m ，则m2＝r 2－d 2＝9－1＝2 2. ∴m ＝4 2.12. [2013·福建调研]在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为(4，π2)，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．解：(1)把极坐标系下的点P (4，π2)，化为直角坐标，得P (0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，则Q 的坐标为(3cos α，sin α)．从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos (α＋π6)＋42＝2cos(α＋π6)＋2 2.由此得，当cos(α＋π6)＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.。

2014届高考数学(人教版)总复习提高分冲刺模拟卷8.8曲线与方程(理)

第8章第8节课时作业一、选择题1．|y|－1＝1－－表示的曲线是( ) A ．抛物线 B ．一个圆 C ．两个圆 D ．两个半圆【解析】原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧|y|－1≥01－－－＝1－－⇔⎩⎪⎨⎪⎧|y|－1≥0－＋－＝1⇔⎩⎪⎨⎪⎧y≥1－＋－＝1或⎩⎪⎨⎪⎧y≤－1－＋＋＝1【答案】 D2．(2013·福州模拟)已知点F 14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．圆 D ．抛物线【解析】由已知：|MF|＝|MB|.由抛物线定义知，点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，故选D. 【答案】 D 3．(2013·长春模拟)设圆(x ＋1)2＋y2＝25的圆心为C ，A(1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( ) A.4x221－4y225＝1 B.4x221＋4y225＝1 C.4x225－4y221＝1 D.4x225＋4y221＝1【解析】 M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M 的轨迹为椭圆，∴a ＝52，c ＝1，则b2＝a2－c2＝214， ∴椭圆的标准方程为4x225＋4y221＝1.【答案】 D 4．(2013·合肥模拟)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q 点的轨迹方程是( ) A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．2x －y －5＝0 C ．2x －y －1＝0 D ．2x －y ＋5＝0【解析】由题意知，M 为PQ 中点，设Q(x ，y)，则 P 为(－2－x,4－y)，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0. 【答案】 D5．已知定点F1、F2和动点P 满足|PF →1－PF →2|＝2，|PF →1＋PF →2|＝4，则动点P 的轨迹为( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．直线 D ．线段【解析】以F1F2所在直线为x 轴，以F1F2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系， ∵|PF →1－PF →2|＝|F2F1→|＝2，F1(－1,0)，F2(1,0)．设P(x ，y)，则PF →1＝(－1－x ，－y)，PF →2＝(1－x ，－y)， ∴PF →1＋PF →2＝(－2x ，－2y)． ∴|PF →1＋PF →2|＝4x2＋4y2＝4，即x2＋y2＝4.∴点P 的轨迹是圆．【答案】 B6．过抛物线y2＝4x 的焦点的弦的中点的轨迹方程是( ) A ．y2＝x －1 B ．y2＝2(x －1) C ．y2＝x －12D ．y2＝2x －1【解析】当斜率不存在时，焦点(1,0)在所求的轨迹上，排除C 、D ；当斜率存在时，设焦点弦所在直线斜率为k ，焦点弦所在的直线方程为y ＝k(x －1)，消去x 得ky2－4y －4k ＝0，从而y1＋y2＝4k ，故x1＋x2＝4k2＋2，设中点的坐标为(x ，y)，则x ＝2k2＋1，y ＝2k ，消去k 得y2＝2(x －1)，故选B. 【答案】 B 二、填空题7．已知两定点F1(－1,0)、F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P 的轨迹方程是________．【解析】由|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项知： |PF1|＋|PF2|＝4＞|F1F2|，故动点P 的轨迹是以定点F1(－1,0)、F2(1,0)为焦点，长轴长为4的椭圆，故其方程为x24＋y23＝1.【答案】 x24＋y23＝18．(2012·佛山月考)在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B －a 2，0，C a2，0(a>0)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是________________．【解析】由正弦定理：|AB|2R －|AC|2R ＝12×|BC|2R ， ∴|AB|－|AC|＝12|BC|，且为双曲线右支． ∴轨迹方程为16x2a2－16y23a2＝1(x>0且y≠0)．【答案】 16x2a2－16y23a2＝1(x>0且y≠0)9．(2013·德州模拟)若在曲线f(x ，y)＝0上两个不同点处的切线重合，则这条切线称为曲线f(x ，y)＝0的“自公切线”．下列方程：①x2－y2＝1；②y ＝x2－|x|；③y ＝3sin x ＋4cos x ；④|x|＋1＝4－y2对应的曲线中存在“自公切线”的有________．【解析】 ①中x2－y2＝1是一个等轴双曲线，没有自公切线；②y ＝x2－|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x －122－14⎝⎛⎭⎫x ＋122－14，在x ＝12和x ＝－12处的切线都是y ＝－14，故②有“自公切线”；③y ＝3sin x ＋4cos x ＝5sin(x ＋φ)，其中cos φ＝35，sin φ＝45，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合，故此函数有“自公切线”；④由于|x|＋1＝4－y2，即x2＋2|x|＋y2－3＝0.结合图象可得，此曲线没有“自公切线”．【答案】 ②③ 三、解答题10．如图，已知F(1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.求动点P 的轨迹C 的方程．【解】法一：设点P(x ，y)，则Q(－1，y)，由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得(x ＋1,0)·(2，－y)＝(x －1，y)·(－2，y)，化简得C ：y2＝4x. 法二：由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得FQ →·(PQ →＋PF →)＝0， ∴(PQ →－PF →)·(PQ →＋PF →)＝0，∴PQ →2－PF →2＝0.∴|PQ →|＝|PF →|. ∴点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为y2＝4x.11．(2012·山东济宁市高三检测)已知两点M(4,0)、N(1,0)，若动点P(x ，y)满足MN →·MP →＝6|NP|→. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设A 、B 、Q 是曲线C 上不同的三个点，且A 、B 关于原点对称，直线QA 、QB 的斜率分别为k1、k2.求证：k1·k2为定值．【解】 (1)∵M(4,0)，N(1,0)，P(x ，y)，∴MN →＝(－3,0)，MP →＝(x －4，y)，NP →＝(x －1，y)．又∵MN →·MP →＝6|NP →|，∴ (－3,0)·(x －4，y)＝6－＋y2， ∴(－3)(x －4)＝6－＋y2，∴3x2＋4y2＝12，即x24＋y23＝1.(2)设A(m ，n)，B(－m ，－n)，Q(x0，y0)则， 3m2＋4n2＝12,3x20＋4y20＝12. ∴k1＝y0－n x0－m ，k2＝y0＋n x0＋m ，∴k1·k2＝y0－m x0－m ·y0＋n x0＋m ＝y20－n2x20－m2＝3－34x20－3－34m2x20－m2＝－3420－x20－m2＝－34.∴k1·k2为定值． 12．(2011·天津高考)在平面直角坐标系xOy 中，点P(a ，b)(a>b>0)为动点，F1、F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1的左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形． (1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF2上的点．满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．【解】 (1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．由题意，可得|PF2|＝|F1F2|，即－＋b2＝2c ，整理得2c a 2＋ca －1＝0，得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12. (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y ＝3(x －c)．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x2＋4y2＝12c2，y ＝3－消去y 并整理，得5x2－8cx ＝0，解得x1＝0，x2＝85c.得方程组的解⎩⎨⎧x1＝0，y1＝－3c ，或⎩⎪⎨⎪⎧x2＝85c ，y2＝335 c.不妨设A 85c ，335c ，B(0，－3c)．设点M 的坐标为(x ，y)，则 AM →＝x －85c ，y －335c ， BM →＝(x ，y ＋3c)．由y ＝3(x －c)，得c ＝x －33y. 于是AM →＝8315y －35x ，85y －335x ， BM →＝(x ，3x)．由AM →·BM →＝－2，即8315y －35x·x ＋85y －335x·3x ＝－2，化简得18x2－163xy －15＝0.将上式变形得y ＝18x2－15163x 代入c ＝x －33y ，得c ＝10x2＋516x >0.所以x>0.因此，点M 的轨迹方程是18x2－163xy －15＝0(x>0)．四、选做题13．已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. (1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，|OP||OM|＝λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．【解】 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a 、c ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝1，a ＋c ＝7，解得a ＝4，c ＝3，所以椭圆C 的方程为x216＋y27＝1. (2)设M(x ，y)，其中x ∈[－4,4]．由已知|OP|2|OM|2＝λ2及点P 在椭圆C 上可得9x2＋112＋＝λ2，整理得(16λ2－9)x2＋16λ2y2＝112，其中x ∈[－4,4]． ①λ＝34时，化简得9y2＝112.所以点M 的轨迹方程为y ＝±473(－4≤x≤4)，轨迹是两条平行于x 轴的线段． ②λ≠34时，方程变形为x211216λ2－9＋y211216λ2＝1，其中x ∈[－4,4]；当0＜λ＜34时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足－4≤x≤4的部分；当34＜λ＜1时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足－4≤x≤4的部分；当λ≥1时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆．。

【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练：8.7 抛物线 Word版含解析

第八章第7讲(时间：45分钟分值：100分）一、选择题1. ［2013·济南质检]如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x－4y－12＝0上，那么抛物线的方程是( )A. y2＝－16x B。

y2＝12xC。

y2＝16x D. y2＝－12x答案：C解析：由题设知直线3x－4y－12＝0与x轴的交点（4，0）即为抛物线的焦点,故其方程为y2＝16x.2。

[2013·聊城模拟]点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6,那么抛物线的方程是（）A。

y＝12x2B. y＝12x2或y＝－36x2C。

y＝－36x2D. y＝错误!x2或y＝－错误!x2答案：D解析:将y＝ax2化为x2＝错误!y，当a>0时，准线y＝错误!，由已知得3＋错误!＝6,∴错误!＝12，∴a＝112。

当a〈0时，准线y＝－错误!，由已知得｜3＋错误!｜＝6，∴a＝－错误!或a＝错误!（舍)．∴抛物线方程为y＝错误!或y＝－错误!x2，故选D。

3。

[2013·南通模拟]已知点A(3,4）,F是抛物线y2＝8x的焦点，M是抛物线上的动点，当|AM｜＋｜MF｜最小时，M点坐标是( )A. (0，0）B。

（3，2错误!)C. （2，4）D. （3，－26)答案:C解析：由题知点A在抛物线内．设M到准线的距离为｜MK|，则|MA｜＋｜MF｜＝｜MA|＋|MK|,当｜MA｜＋|MK｜最小时,M点坐标是(2,4）．4. 抛物线y2＝－12x的准线与双曲线错误!－错误!＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于( )A. 3错误!B. 2错误!C. 2D. 错误!答案：A解析:抛物线的准线为x＝3，双曲线的两条渐近线y＝±错误!x。

所求三角形的面积S＝错误!×2错误!×3＝3错误!.故应选A。

5。

［2013·太原调研]设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF（O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ）A. y2＝±4xB. y2＝±8xC。

【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练：8.3 圆的方程

第八章第3讲(时间：45分钟分值：100分)一、选择题1. [2013·长春模拟]已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A. x 2＋y 2＝2 B. x 2＋y 2＝ 2 C. x 2＋y 2＝1 D. x 2＋y 2＝4答案：A解析：圆心为(0,0)，半径为2，应选A 项．2. [2013·吉林模拟]圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )A. (－∞，4)B. (－∞，0)C. (－4，＋∞)D. (4，＋∞) 答案：A解析：由题意，得圆心(1，－3)在直线y ＝x ＋2b 上，得b ＝－2，由圆成立的条件可得(－2)2＋62－4×5a >0，解得a <2，∴a －b <4，故选A.3. 过点M (1,2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线的方程是( )A. x ＝1B. y ＝1C. x －y ＋1＝0D. x －2y ＋3＝0 答案：D解析：设圆心为C ，当CM ⊥l 时，圆截l 的弦最短，其所对的劣弧最短，又k CM ＝－2，∴k l ＝12.∴直线l 的方程为y －2＝12(x －1)，即x －2y ＋3＝0.4. [2013·安徽淮北模拟]若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A. (x －2)2＋(y －1)2＝1B. (x －2)2＋(y －3)2＝1C. (x －3)2＋(y －2)2＝1D. (x －3)2＋(y －1)2＝1 答案：A解析：设圆心坐标为(a ，b )，由题意知a >0，且b ＝1.又∵圆和直线4x －3y ＝0相切，∴|4a －3|5＝1，即|4a －3|＝5，∵a >0， ∴a ＝2.所以圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.5. [2013·海淀检测]点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A. (x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B. (x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C. (x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D. (x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案：A解析：设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2. 因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y＋1)2＝1.6. [2013·金版原创]若圆O 的半径为3，直径AB 上一点D 使AB →＝3AD →，E 、F 为另一直径的两个端点，则DE →·DF →＝( )A. －3B. －4C. －6D. －8答案：D解析：依题意得，DE →·DF →＝(DO →＋OE →)·(DO →＋OF →)＝(DO →＋OE →)·(DO →－OE →)＝1－9＝－8，故选D.二、填空题7. [2013·东北四校模拟]已知圆C 过点A (1,0)和B (3,0)，且圆心在直线y ＝x 上，则圆C 的标准方程为________．答案：(x －2)2＋(y －2)2＝5解析：由题意可设圆心坐标为(a ，a )，则圆的标准方程为(x －a )2＋(y －a )2＝r 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋a 2＝r 2(3－a )2＋a 2＝r 2解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2r 2＝5 故圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝5.8. 已知圆C 的圆心与点M (1，－1)关于直线x －y ＋1＝0对称，并且圆C 与x －y ＋1＝0相切，则圆C 的方程为________．答案：(x ＋2)2＋(y －2)2＝92解析：所求圆的圆心为(－2,2)，设圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝r 2(r >0)，则圆心(－2,2)到直线x －y ＋1＝0的距离为r ，得r ＝322，故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝92.9. [2013·温州模拟]若直线2ax ＋by －2＝0(a ，b 为正实数)平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a ＋1b的最小值是________．答案：3＋2 2解析：圆心为(1,2)，代入直线方程得a ＋b ＝1，则2a ＋1b ＝(2a ＋1b )(a ＋b )＝3＋a b ＋2ba ≥3＋2 2.等号成立的条件为a ＝2－2，b ＝2－1.三、解答题10. 已知圆的方程为(x －m )2＋(y ＋m －4)2＝2. (1)求圆心C 的轨迹方程；(2)当|OC |最小时，求圆C 的一般方程(O 为坐标原点)．解：(1)设C (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ，y ＝4－m .消去m ，得y ＝4－x .∴圆心C 的轨迹方程为x ＋y －4＝0.(2)当|OC |最小时，OC 与直线x ＋y －4＝0垂直， ∴直线OC 的方程为x －y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －y ＝0，得x ＝y ＝2. 即|OC |最小时，圆心的坐标为(2,2)，∴m ＝2. 圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2. 其一般方程为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0.11. [2013·吉林实验中学模拟]已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)， ∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又直径|CD |＝410，∴|P A |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.12. [2013·绍兴模拟]已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．解：(1)直线PQ 的方程为：x ＋y －2＝0，设圆心C (a ，b )，半径为r ，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是 y －12＝x －32，即y ＝x －1，所以b ＝a －1.① 又由在y 轴上截得的线段长为43，知(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2.② 由①②得：a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4. 当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13满足题意当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37不满足题意，故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13. (2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m ， A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)，由题意可知OA ⊥OB ，即k OA ·k OB ＝－1， ∴m －x 1x 1·m －x 2x 2＝－1. 整理得m 2－m (x 1＋x 2)＋2x 1x 2＝0 将y ＝－x ＋m 代入(x －1)2＋y 2＝13 可得2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0. ∴x 1＋x 2＝1＋m ，x 1x 2＝m 2－122，即m 2－m ·(1＋m )＋m 2－12＝0，∴m ＝4或m ＝－3，∴y ＝－x ＋4或y ＝－x －3.。

2014高考数学总复习(人教新课标)配套章末综合检测：第8章圆锥曲线含解析

第八章章末综合检测（学生用书为活页试卷解析为教师用书独有）(检测范围：第八章)（时间:120分钟满分：150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．直线x sin α－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是A。

错误!B．(0,π）C.错误!D。

错误!∪错误!解析 D 直线x sin α－y＋1＝0的斜率是k＝sin α.又∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k≤1。

∴当0≤k≤1时,倾斜角的范围是错误!；当－1≤k<0时，倾斜角的范围是错误!.2．已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＝0的圆心在直线x＋y＝1上，则D 与E的关系是( ）A．D＋E＝2 B．D＋E＝1C．D＋E＝－1 D．D＋E＝－2解析 D 依题意得,圆心错误!在直线x＋y＝1上，因此有－错误!－错误!＝1，即D＋E＝－2。

3．以线段AB:x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为A．（x＋1）2＋(y＋1)2＝2B．（x－1)2＋（y－1）2＝2C．(x＋1）2＋（y＋1)2＝8D．（x－1)2＋（y－1)2＝8解析 B 直径的两端点为（0，2），(2，0),∴圆心为(1,1）,半径为错误!，圆的方程为（x－1)2＋(y－1）2＝2。

4．“m〉n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆"的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析 C 方程可化为错误!＋错误!＝1，若焦点在y轴上，则错误!〉错误!〉0，即m>n>0.5．若曲线y＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )A．4x＋y＋4＝0 B．x－4y－4＝0C．4x－y－12＝0 D．4x－y－4＝0解析 D 设切点为（x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0，∴2x0＝4，即x0＝2，∴切点为（2,4)，方程为y－4＝4（x－2），即4x－y－4＝0.6．已知F1、F2是椭圆x24＋y2＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点,则使|PF1|·|PF2｜取最大值的点P为A．（－2,0) B．(0,1)C．（2，0）D．(0,1)和（0，－1）解析 D 由椭圆定义，｜PF1｜＋|PF2｜＝2a＝4，∴|PF1|·｜PF2|≤错误!2＝4,当且仅当|PF1|＝｜PF2｜，即P（0,－1）或(0，1)时,取“＝”．7．平面直角坐标系中，已知两点A错误!，B错误!，若点C满足错误!＝λ1错误!＋λ2错误!（O为原点），其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1,则点C 的轨迹是（)A．直线B．椭圆C．圆D．双曲线解析 A 设C（x，y)，因为错误!＝λ1错误!＋λ2错误!，所以(x，y)＝λ1(3,1)＋λ2(－1，3），即错误!解得错误!又λ1＋λ2＝1，所以错误!＋错误!＝1,即x ＋2y＝5,所以轨迹为直线，故选A。

【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练：3.7 正弦定理和余弦定理

第三章第7讲(时间：45分钟分值：100分)一、选择题1. [2013·安徽淮南]在△ABC 中，∠A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则∠C ＝( )A. π4或3π4 B. 3π4C. π4 D. π6答案：C解析：由正弦定理得BC sin A ＝AB sin C ，则sin C ＝AB sin ABC＝6sin π33＝22，又BC >AB ，所以∠A >∠C ，所以∠C ＝π4，选C.2. [2011·四川高考]在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A. (0，π6]B. [π6，π) C. (0，π3]D. [π3，π)答案：C解析：由正弦定理得，a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ，由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥bc 2bc ＝12.又∵0<A <π，∴0<A ≤π3.故选C.3. [2013·广西模拟]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，且a ＝3b sin A ，则△ABC 的面积等于( )A. 12 B. 32 C. 1 D. 34 答案：A解析：∵a ＝3b sin A ，∴由正弦定理得sin A ＝3sin B sin A ，∴sin B ＝13.∵ac ＝3，∴△ABC的面积S ＝12ac sin B ＝12×3×13＝12，故选A.4. [2013·成都冲刺]在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且b 2＝a 2－ac ＋c 2，C －A ＝90°，则cos A cos C ＝( )A. 14 B.24 C. －14D. －24答案：C解析：依题意得a 2＋c 2－b 2＝ac ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.又0°<B <180°，所以B ＝60°，C ＋A ＝120°.又C －A ＝90°，所以C ＝90°＋A ，A ＝15°，cos A cos C ＝cos A cos(90°＋A )＝－12sin2A＝－12sin30°＝－14，选C.5. [2013·皖南八校联考]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＋c ＝4，∠B ＝30°，则c ＝( )A.135B. 125C. 3D. 134答案：A解析：在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋(c ＋b )(c －b )2ac ，∵a ＝3，b ＋c ＝4，∠B ＝30°，∴3＋4(c －b )23c＝32，即3＋ 4(c －b )＝3c,3＋c ＝4b ，结合b ＋c ＝4解得c ＝135.∴选A.6. [2012·天津高考]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725B. －725C. ±725D. 2425答案：A解析：∵sin C ＝sin2B ＝2sin B cos B ， ∴cos B ＝sin C 2sin B ＝c 2b ＝45，∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝725，选A 项．二、填空题7. 在△ABC 中，∠B ＝π6，AC ＝1，AB ＝3，则BC 的长度为________．答案：1或2解析：由余弦定理得：AC 2＝AB 2＋BC 2－2×AB ×BC ×cos ∠ABC ⇒1＝3＋BC 2－2×3×BC ×32，解得BC ＝1或BC ＝2. 8. [2012·重庆高考]设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B＝513，b ＝3，则c ＝________. 答案：145解析：因为cos A ＝35，cos B ＝513，所以sin A ＝45，sin B ＝1213，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B＋cos A sin B＝45×513＋35×1213＝5665，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得c ＝b sin Csin B ＝3×56651213＝145.9. [2013·沈阳质检]在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________.答案：30°解析：根据正弦定理及sin C ＝23sin B 得c ＝23b ， ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2－(a 2－b 2)2bc ＝c 2－3bc 2bc ＝32，∵0°<A <180°，∴A ＝30°. 三、解答题10. [2012·大纲全国高考]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C .解：∵B ＝π－(A ＋C )，∴cos B ＝cos[π－(A ＋C )]＝－cos(A ＋C )，∴1＝cos(A －C )＋cos B ＝cos A cos C ＋sin A sin C －cos A cos C ＋sin A sin C ＝2sin A sin C ，∴sin A sin C ＝12.由正弦定理a sin A ＝c sin C＝2R ，得a ＝2R sin A ，c ＝2R sin C ， ∵a ＝2c ，∴sin A ＝2sin C ， ∴2sin 2C ＝12，即sin 2C ＝14，解得sin C ＝12或sin C ＝－12(舍去)，∴C ＝π6.11. [2012·江西高考]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π4，b sin(π4＋C )－c sin(π4＋B )＝a .(1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)证明：由b sin(π4＋C )－c sin(π4＋B )＝a ，应用正弦定理，得sin B sin(π4＋C )－sin C sin(π4＋B )＝sin A ，sin B (22sin C ＋22cos C )－sin C (22sin B ＋22cos B )＝22，整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1，即sin(B －C )＝1，由于0<B <3π4，0<C <3π4，从而B －C ＝π2.(2)B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8，由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.12. [2012·江苏高考]在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →. (1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值．解：(1)证明：由AB →·AC →＝3BA →·BC →得| AB →|·| AC →|cos A ＝3| BA →|·| BC →|cos B ，即为cb cos A ＝3ca cos B ，b cos A ＝3a cos B ，由正弦定理得sin B cos A ＝3sin A cos B ，两边同除cos A cos B 得tan B ＝3tan A . (2)因cos C ＝55，所以C 为锐角，所以tan C ＝2，由(1)tan B ＝3tan A ，且A ＋B ＋C ＝π，得tan[π－(A ＋C )]＝3tan A ，即－tan(A ＋C )＝3tan A ⇒－tan A ＋tan C1－tan A tan C ＝3tan A ，即tan A ＋22tan A －1＝3tan A ，所以tan A ＝1或tan A ＝－13.因tan B ＝3tan A ，由内角和为π知两角均为锐角，故tan A ＝－13应舍去．所以tan A ＝1，所以A ＝π4.。

【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练：2.13 定积分与微积分基本定理 Word版含解析]

第二章第13讲(时间：45分钟　分值：100分)一、选择题1. [2012·黑龙江哈尔滨三模]曲线y＝x2－2x与直线x＋y＝0所围成的封闭图形的面积为( )A. B.C. D.答案：D解析：如图，A(1，－1)，故所求面积为S＝(－x－x2＋2x)d x＝(x2－x3)＝－＝.2. [2013·中山模拟]曲线y＝sin x(－π≤x≤2π)与x轴所围成的封闭区域的面积为( )A. 0B. 2C. －2D. 6答案：D解析：先求[0，π]上的面积：|sin x d x|＝|－cos x||＝2.因为三块区域的面积相等，都是2，故总面积为6.3.如图，已知幂函数y＝x a的图象过点P(2,4)，则图中阴影部分的面积为( )A. B.C. D.答案：B解析：将(2,4)代入y＝x a，得a＝2，所以阴影部分的面积S＝x2d x ＝，选B项．4. 由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为( )A. B.C. D.答案：A解析：由得x＝0或x＝1，由图易知封闭图形的面积＝2(x2－x3)d x＝2＝，故选A.5. [2013·东北四校模拟]若(2x＋)d x＝3＋ln2(a>1)，则a的值是( )A. 2B. 3C. 4D. 6答案：A解析：∵(2x＋)d x＝(x2＋ln x)＝a2＋ln a－(12＋ln1)＝a2－1＋ln a.且(2x＋)d x＝3＋ln2.∴a2－1＋ln a＝3＋ln2，∴a＝2，故选A.6. [2013·汕头模拟]设f(x)＝则f(x)d x等于( )A. B.C. D. 不存在答案：C解析：本题画图求解，更为清晰，如图，f(x)d x＝x2d x＋(2－x)d x＝x3＋(2x－x2)＝＋(4－2－2＋)＝.二、填空题7. [2013·金版原创]已知f(a)＝(2ax2－a2x)d x，则f(a)的最大值为________．答案：解析：f(a)＝(2ax2－a2x)d x＝(ax3－a2x2)＝a－a2，∴当a＝时，f(a)取最大值，最大值为.8. 已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若－1f(x)d x＝2f(a)，则a＝________.答案：或－1解析：－1f(x)d x＝－1(3x2＋2x＋1)d x＝(x3＋x2＋x)＝4＝2f(a)，f(a)＝3a2＋2a＋1＝2，3a2＋2a－1＝0，a＝－1，或a＝.9. [2013·通化模拟]曲线y＝＋2x＋2e2x，直线x＝1，x＝e和x轴所围成的区域的面积是________．答案：e2e解析：由题意得，所求面积为(＋2x＋2e2x)d x＝＋(2x)d x＋(2e2x)d x＝ln x＋x2＋e2x＝(1－0)＋(e2－1)＋(e2e－e2)＝e2e.三、解答题10. [2013·郑州模拟]已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图，直线y＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为，求f(x)．解：由f(0)＝0得c＝0，f′(x)＝3x2＋2ax＋b.由f′(0)＝0得b＝0，∴f(x)＝x3＋ax2＝x2(x＋a)，由∫[－f(x)]d x＝得a＝－3.∴f(x)＝x3－3x2.11. 已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)d x＝－2，(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.由f(－1)＝2，f′(0)＝0，得，即，∴f(x)＝ax2＋2－a.又f(x)d x＝[ax2＋2－a]d x＝[ax3＋(2－a)x]＝2－a＝－2，∴a＝6，从而f(x)＝6x2－4.(2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]．∴当x＝0时，f(x)min＝－4；当x＝±1时，f(x)max＝2.12. [2013·石家庄模拟]如图，过点A(6,4)作曲线f(x)＝的切线l；(1)求切线l的方程；(2)求切线l、x轴及曲线f(x)＝所围成的封闭图形的面积S.解：(1)∵f′(x)＝，∴f′(6)＝，∴切线l的方程为：y－4＝(x－6)，即x－2y＋2＝0.(2)令f(x)＝0，则x＝2，令y＝x＋1＝0，则x＝－2.∴S＝－2(x＋1)d x－d x＝(x2＋x)－(4x－8)＝.。