重点中学数学复习学案第9课时平面向量的数量积及运算律1湘教版必修二

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湘教版高中数学必修二基础知识突破训练向量的数量积精品导学案

4.5.1 向量的数量积个向量的数量积及夹角.1．向量的数量积(1)定义：设a ，b 是任意两个向量，〈a ，b 〉是它们的夹角，取值范围是[0，π]，则定义a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉称为a 与b 的数量积．(2)两个向量的数量积是实数而不是向量． (3)数量积a ·b 也称为a 与b 的内积．(4)数量积a ·b 一定要在a 与b 之间用一点“·”表示，因此也称为“点积”或“点乘”，不能将a ·b 写成a ×b 或ab .(5)向量a ，b 的夹角规定为a ，b 之间所夹的最小非负角，用〈a ，b 〉表示，其取值范围规定为[0，π]，且有〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉．(6)如果a ，b 共线，则有a ·b ＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ||b |，当a ，b 方向相同；－|a ||b |，当a ，b 方向相反.(7)当a ，b 之中有一个为零时，它们的夹角〈a ，b 〉没有确定的值，但a ，b 仍有确定的值0，即a ·b ＝0.预习交流1向量的数量积是一个实数，它的正负与什么有关？提示：由a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉知，当a ·b ＞0时，〈a ，b 〉∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2；当a ·b ＜0时，〈a ，b 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π；当a ·b ＝0时，〈a ，b 〉＝π2，因此a ·b 取值的正负由这两个向量的夹角所决定．预习交流2由a ·b ＝0一定能推出a 或b 是零向量吗？提示：不一定，当a ·b ＝0时，可能有a ≠0，b ≠0，而〈a ，b 〉＝π2，此时a ⊥b .预习交流3在△ABC 中，AB u u u r 与AC u u u r 的夹角是什么？AB u u u r 与BC u u ur 的夹角等于B 吗？提示：〈AB u u u r ，AC u u u r 〉＝A ，但〈AB u u u r ，BC u u u r 〉≠B ，而是〈AB u u u r ，BC u u ur 〉＝π－B ，一定要注意向量的方向．2．向量数量积的运算律数量积满足如下的运算律：(1)交换律：a ·b ＝b ·a ，对任意向量a ，b 成立；(2)与数乘的结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )，对任意向量a ，b 和实数λ成立；(3)分配律(distributive law)：(a ＋a ′)·b ＝a ·b ＋a ′·b ，对任意向量a ，a ′，b 成立．预习交流4实数运算中满足消去律，即若a ，b ，c 为实数，当b ≠0时，由ab ＝bc 可得a ＝c ；那么在数量积运算中，当a ，b ，c 为向量，且b ≠0时，由a ·b ＝b ·c 能否可得a ＝c?提示：对于向量的数量积，该推理不正确，即a ·b ＝b ·c a ＝c .由图很容易看出，虽然a ·b ＝b ·c ，但a ≠c .预习交流5向量的数量积运算是否满足结合律(a ·b )c ＝a (b ·c )呢？提示：对于实数a ，b ，c 有(ab )c ＝a (bc )；但对向量a ，b ，c ，(a ·b )c ＝a (b ·c )未必成立，这是因为(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线，所以(a ·b )c ＝a (b ·c )未必成立．在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、向量的夹角问题在正方形ABCD 中，两对角线AC 与BD 相交于点O ，求：(1)AB u u u r 与CD u u ur 的夹角；(2)AB u u u r 与AC u u ur 的夹角；(3)AB u u u r 与CB u u ur 的夹角；(4)OD u u u r 与DC u u u r的夹角．思路分析：按照向量夹角的定义，以及正方形的性质求解．解：(1)AB u u u r ，CD u u ur 反向共线，故〈AB ，CD u u u r 〉＝π；(2)〈AB u u u r ，AC u u u r 〉＝∠BAC ＝π4；(3)AB u u u r 与CB u u u r 垂直，故〈AB u u u r ，CB u u u r 〉＝π2；(4)〈OD u u u r ，DC u u u r 〉＝π－〈DO u u u r ，DC u u u r 〉＝π－π4＝3π4.在等边△ABC 中，求(1)〈AB u u u r ，AC u u u r 〉；(2)〈AC u u u r ，CB u u u r 〉；(3)〈AB u u u r ，CB u u ur 〉．解：(1)〈AB u u u r ，AC u u u r 〉＝π3；(2)〈AC u u u r ，CB u u u r 〉＝π－〈CA u u u r ，CB u u u r 〉＝2π3；(3)〈AB u u u r ，CB u u u r 〉＝〈BA u u u r ，BC u u u r 〉＝π3.求两个向量的夹角时，一定要注意向量的方向，通常把两个向量平移到共同的起点，再求它们之间的夹角．二、向量数量积的计算已知|a |＝4，|b |＝5，当(1)a ∥b ，(2)a ⊥b ，(3)a 与b 的夹角为30°时，分别求a 与b 的数量积．思路分析：已知|a |与|b |，求a ·b ，只需确定其夹角θ.注意当a ∥b 时，有θ＝0°和θ＝180°两种可能．解：(1)a ∥b ，若a 与b 同向，则θ＝0°， a ·b ＝|a ||b |cos 0°＝4×5＝20；若a 与b 反向，则θ＝180°，∴a ·b ＝|a ||b |cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)当a ⊥b 时，θ＝90°.∴a ·b ＝|a ||b |cos 90°＝0. (3)当a 与b 的夹角为30°时，a ·b ＝|a ||b |cos 30°＝4×5×32＝10 3.1．已知a·b ＝62，|a|＝3，a 和b 的夹角为45°，则|b|＝________. 答案： 4解析：由题意知62＝3|b |co s 45°，∴|b |＝4.2．在边长为2的正方形ABCD 中，AB u u u r ·AC u u ur ＝______.答案：4解析：依题意|AC u u u r |＝22，|AB u u u r |＝2，〈AB u u u r ，AC u u u r 〉＝π4，于是AB u u u r ·AC u u u r ＝22×2×cos π4＝4.求两个向量数量积的关键是求出两个向量的模以及它们之间的夹角，然后利用数量积的定义进行计算．三、利用数量积求两个向量的夹角在等腰△ABC 中，已知AB=AC=6，AB u u u r ·AC u u ur =－18，求∠B 的大小．思路分析：先由数量积的定义求出∠A 的大小，再求∠B ．解：因为AB u u u r ·AC u u u r =|AB u u u r |·|AC u u u r |·cos〈AB u u u r ，AC u u ur 〉=6×6×cos A=36cos A．所以36cos A=－18.所以cos A=12.因此∠A=120°，于是∠B=1801202︒-︒=30°.即∠B 等于30°.已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝2，且a ·b ＝22，则a 与b 的夹角为( ) A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．π2答案：B解析：设向量a 与b 的夹角为θ. ∵a ·b ＝|a ||b |cos θ，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝222×2＝22.∴θ＝π4.求两个向量的夹角的关键是求出两个向量的模以及它们的数量积，利用数量积的定义式求出夹角的余弦，再求夹角，注意夹角的取值范围．1．在边长为1的正三角形ABC 中，CA u u u r ·CB u u ur ＝( )A ．32B ．－32C ．12D ．－12答案：C解析：CA u u u r ·CB u u u r ＝1×1×cos 60°＝12.2．若|a |＝|b |＝2，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角为( ) A ．180° B．90° C．60° D．0° 答案：C解析：设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝2×2×cos θ＝2，∴cos θ＝12.又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝60°.3．对非零向量a ，b ，若a ·b ＝－|a ||b |，则必有( ) A ．a ＝b B ．|a |＝|b | C ．a ⊥b D ．a ∥b 答案：D解析：由a ·b ＝－|a ||b |知〈a ，b 〉＝180°，因此a ∥b . 4．若|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝120°，则a ·(4b )的值为( ) A ．12 B ．－12 C ．12 3 D ．－12 3 答案：B解析：a ·(4b )＝4(a ·b )＝4|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝4×2×3×cos 120°＝－12.5．在△ABC 中，AB u u u r＝a ，BC u u u r ＝b ，且a ·b ＞0，则△ABC 为__________三角形．答案：钝角解析：a ·b ＝AB u u u r ·BC u u u r ＝|AB u u u r ||BC u u u r |cos 〈AB u u u r ，BC u u ur 〉＝|AB u u u r ||BC u u u r |cos(π－B )＝－|AB u u u r ||BC u u ur |cos B ＞0，∴cos B ＜0，故∠B 为钝角．∴△ABC 为钝角三角形．。

向量的数量积-高一下学期数学湘教版(2019)必修第二册

A．
2
2
C． 2
)
B．1
D．2
答案：B
解析：如图，因为ABCD是边长为1的正方形，所以AC＝AB + AD，
AB·AC＝AB·AB + AD ＝AB2＋AB·AD＝1.
3．已知e为单位向量，|a|＝4，当向量e，a的夹角等于30°时，向量a
在向量e上的投影向量为(
)
A．2 3e
B．2 2e
C．2e
高中数学湘教版必修第二册
第一章
平面向量及其应用
1.5 向量的数量积
1.5.1 数量积的定义及计算
教材要点
要点一数量积的定义
(1)设a，b是任意两个向量，〈a，b〉是它们的夹角，则定义a·b＝
a||b|cos〈a，b〉
______________为a与b的数量积．
(2)a·b＝0⇔________．
为0.
要点三数量积的运算律
设a，b，c是任意向量，λ是任意实数，则
(1)交换律：a·b＝________；
b·a
(2)与数乘的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)分配律：(a＋b)·c＝________．
a·c＋b·c
状元随笔 (1)向量的数量积不满足消去律；若a，b，Ԧc 均为非零向
易错辨析忽视向量共线的特殊情况出错
例7 设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若
向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，求实数t的取值范围．
解析：由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，得
cos θ＝
2t1 +72 · 1 +t2

(完整版)《平面向量的数量积》教学设计及反思

《平面向量的数量积》教学设计及反思交口第一中学赵云鹏平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，在每年高考中也是重点考查的内容。

向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了它的易理解和易操作的特点。

一、总体设想：本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。

教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律；三是两个向量的模与夹角的计算。

二、教学目标：1.了解向量的数量积的抽象根源。

2.了解平面的数量积的概念、向量的夹角3.数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义4.理解掌握向量的数量积的性质和运算律，并能进行相关的判断和计算三、重、难点：【重点】1.平面向量数量积的概念和性质2.平面向量数量积的运算律的探究和应用【难点】平面向量数量积的应用四、课时安排：2课时五、教学方案及其设计意图：1．平面向量数量积的物理背景平面向量的数量积，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。

首先说明放置在水平面上的物体受力F的作用在水平方向上的位移是s，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F 的所做的功为Wθ⋅F，这里的θ是矢量F和s的夹角，也即是两个=scos⋅向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。

这给我们一个启示：功是否是两个向量某种运算的结果呢？以此为基础引出了两非零向量a, b的数量积的概念。

2．平面向量数量积（内积）的定义已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ的数量积，记作a⋅b，即有a⋅b = |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.零向量的方向是任意的，它与任意向量的夹角是不确定的，按数量积的定义a⋅b = |a||b|cosθ无法得到，因此另外进行了规定。

湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件第1章平面向量及其应用 1.5.1 数量积的定义及计算

分配律
________________
a·(b+c)=a·b+a·c
名师点睛
1.向量数量积的运算不适合约分,即a·b=a·c
b=c.
2.向量数量积运算也不适合结合律,即(a·b)·c不一定等于a·(b·c),这是由于
(a·b)·c 表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量.
过关自诊
· + ·=-12+2 3×2×cos 30°+5×2 3×cos 30°+5×2×cos
180°=-22+6+15=-1.
规律方法平面向量的数量积在平面几何中的应用
(1)解决几何图形中的向量的数量积运算问题,要充分利用图形特点及其含有
的特殊向量,这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.
已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|= 3,且 a 与
1
A.2
3
B.-2
π
b 的夹角为6 ,则(a+b)·(2a-b)=(
1
C.-2
解析 (a+b)·(2a-b)=2a -b +a·b=2-3+1× 3 ×
2
2
3
D.2
3
2
=
1
.
2
A )
重难探究•能力素养全提升
探究点一
求平面向量的数量积
角度1.数量积的简单计算
· =||| |cos(180°-∠BAO)=- ||2,
2
同理,
1
· =-2 | |2,
1
·=-2 ||2,
∴ · + · +
1
149

高中数学必修二 (学案)平面向量的运算

平面向量的运算【第一课时】【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？2．向量加法的运算律有哪两个？二、新知探究探究点1：平面向量的加法及其几何意义例1：如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c．解：法一：可先作a ＋c ，再作（a ＋c ）＋b ，即a ＋b ＋c ．如图，首先在平面内任取一点O ，作向量OA→＝a ，接着作向量AB →＝c ，则得向量OB→＝a ＋c ，然后作向量BC →＝b ，则向量OC→＝a ＋b ＋c 为所求．法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图，（1）在平面内任取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ；（2）作平行四边形AOBC ，则OC→＝a ＋b ；（3）再作向量OD→＝c ；（4）作平行四边形CODE ，则OE→＝OC →＋c ＝a ＋b ＋c ．OE →即为所求．探究点2：平面向量的加法运算例2：化简：（1）BC→＋AB →；（2）DB→＋CD →＋BC →；（3）AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →．解：（1）BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →．（2）DB→＋CD →＋BC → ＝BC→＋CD →＋DB → ＝（BC→＋CD →）＋DB → ＝BD→＋DB →＝0．（3）AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A → ＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0．探究点3：向量加法的实际应用例3：某人在静水中游泳，速度为43千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？解：如图，设此人游泳的速度为OB→，水流的速度为OA →，以OA →，OB →为邻边作▱OACB ，则此人的实际速度为OA→＋OB →＝OC →．由勾股定理知|OC→|＝8，且在Rt △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时．三、学习小结即a ＋b ＝AB ＋BC ＝AC对角线OC就是a 与b 的和2．|a ＋b |，|a |，|b |之间的关系一般地，|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当a ，b 方向相同时等号成立．四、精炼反馈1．化简OP→＋PQ →＋PS →＋SP →的结果等于（）A ．QP →B ．OQ→ C ．SP→ D ．SQ→ 解析：选B ．OP→＋PQ →＋PS →＋SP →＝OQ →＋0＝OQ →．2．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则一定有（）A ．四边形ABCD 是矩形B ．四边形ABCD 是菱形C ．四边形ABCD 是正方形D ．四边形ABCD 是平行四边形解析：选D ．由AC→＝AB →＋AD →得AD →＝BC →，即AD ＝BC ，且AD ∥BC ，所以四边形ABCD的一组对边平行且相等，故为平行四边形．3．已知非零向量a ，b ，|a |＝8，|b |＝5，则|a ＋b |的最大值为______．解析：|a ＋b |≤|a |＋|b |，所以|a ＋b |的最大值为13．答案：134．已知▱ABCD ，O 是两条对角线的交点，E 是CD 的一个三等分点（靠近D 点），求作：（1）AO→＋AC →；（2）DE→＋BA →．解：（1）延长AC ，在延长线上截取CF ＝AO ，则向量AF→为所求．（2）在AB 上取点G ，使AG ＝13AB ，则向量BG→为所求．【第二课时】【学习过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题： 1．a 的相反向量是什么？2．向量减法的几何意义是什么？二、新知探究探究点1：向量的减法运算例1：化简下列各式：（1）（AB →＋MB →）＋（－OB →－MO →）；（2）AB →－AD →－DC →．解：（1）法一：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝（AB →＋BO →）＋（OM →＋MB →）＝AO →＋OB →＝AB→．法二：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋（MB →＋BO →）＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0 ＝AB→．（2）法一：原式＝DB→－DC →＝CB →．法二：原式＝AB →－（AD →＋DC →）＝AB →－AC →＝CB →．探究点2：向量的减法及其几何意义例2：如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c ．解：法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，连接BC ，则CB→＝b －c ．过点A 作AD 綊BC ，连接OD ，则AD→＝b －c ，所以OD→＝OA →＋AD →＝a ＋b －c ．法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA→＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，连接CB ，则CB→＝a ＋b －c ．法三：如图③，在平面内任取一点O ，作OA→＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB→＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ，则OC→＝a ＋b －c ．探究点3：用已知向量表示其他向量例3：如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，点B 是该平行四边形外一点，且AB →＝a ，AC→＝b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD →，BC →，BD →．解：因为四边形ACDE 是平行四边形，所以CD→＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ，故BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c ．三、学习小结1．相反向量（1）定义：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向差，记作－a ，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量．（2）结论①－（－a ）＝a ，a ＋（－a ）＝（－a ）＋a ＝0；②如果a 与b 互为相反向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0． 2．向量的减法（1）向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a －b ＝a ＋（－b ）．求两个向量差的运算叫做向量的减法．（2）作法：在平面内任取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ，则向量BA →＝a －b ，如图所示．（3）几何意义：a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量．四、精炼反馈1．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则AD→－AC →等于（）A ．CB → B ．BC → C ．CD→ D ．DC→ 解析：选C ．在△ABC 中，D 是BC 边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD →－AC→＝CD →． 2．化简：AB→－AC →＋BD →－CD →＋AD →＝________．解析：原式＝CB →＋BD →＋DC →＋AD →＝CD →＋DC →＋AD →＝0＋AD →＝AD →．答案：AD→3．已知错误!＝10，|错误!|＝7，则|错误!|的取值范围为______．解析：因为CB →＝AB →－AC →，所以|CB→|＝|AB →－AC →|．又错误!≤|错误!－错误!|≤|错误!|＋|错误!|， 3≤|AB→－AC →|≤17，所以3≤|CB →|≤17．答案：[3，17]4．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB→－OC →|＝|OB →－OA →＋OC →－OA →|，试判断△ABC 的形状．解：因为OB→－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →．又|OB→－OC →|＝|OB →－OA →＋OC →－OA →|，所以|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以以AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB ⊥AC ，所以△ABC 是直角三角形．【第三课时】【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？2．向量数乘运算满足哪三条运算律？3．向量共线定理是怎样表述的？4．向量的线性运算是指的哪三种运算？二、新知探究探究1：向量的线性运算例1：（1）计算：①4（a ＋b ）－3（a －b ）－8a ；②（5a －4b ＋c ）－2（3a －2b ＋c ）；③23⎣⎢⎡⎦⎥⎤（4a －3b ）＋13b －14（6a －7b ）．（2）设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b ＋（2b －a ）．解：（1）①原式＝4a ＋4b －3a ＋3b －8a ＝－7a ＋7b ．②原式＝5a －4b ＋c －6a ＋4b －2c ＝－a －c ．③原式＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －3b ＋13b －32a ＋74b＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫52a －1112b ＝53a －1118b ．（2）原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b ＝－53（3i ＋2j ）＋53（2i －j ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－5＋103i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－103－53j ＝－53i －5j ．探究点2：向量共线定理及其应用例2：已知非零向量e 1，e 2不共线．（1）如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3（e 1－e 2），求证：A 、B 、D 三点共线；（2）欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．解：（1）证明：因为AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5（e 1＋e 2）＝5AB→．所以AB→，BD →共线，且有公共点B ，所以A 、B 、D 三点共线．（2）因为k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，所以存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ（e 1＋k e 2），则（k －λ）e 1＝（λk －1）e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎨⎧k －λ＝0，λk －1＝0，所以k ＝±1．探究点3：用已知向量表示其他向量例3：如图，ABCD 是一个梯形，AB→∥CD →且|AB →|＝2|CD →|，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB→＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示下列向量．（1）AC→＝________；（2）MN→＝________．解析：因为AB→∥CD →，|AB →|＝2|CD →|，所以AB→＝2DC →，DC →＝12AB →．（1）AC →＝AD →＋DC →＝e 2＋12e 1．（2）MN→＝MD →＋DA →＋AN → ＝－12DC →－AD →＋12AB →＝－14e 1－e 2＋12e 1＝14e 1－e 2．答案：（1）e 2＋12e 1（2）14e 1－e 2 互动探究变条件：在本例中，若条件改为BC →＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示向量MN →．解：因为MN →＝MD →＋DA →＋AN →， MN→＝MC →＋CB →＋BN →，所以2MN →＝（MD →＋MC →）＋DA →＋CB →＋（AN →＋BN →）．又因为M ，N 分别是DC ，AB 的中点，所以MD→＋MC →＝0，AN →＋BN →＝0．所以2MN →＝DA →＋CB →，所以MN→＝12（－AD →－BC →）＝－12e 2－12e 1．三、学习小结1．向量的数乘的定义一般地，规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（1）|λa |＝|λ||a |．（2）当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0．2．向量数乘的运算律设λ，μ为实数，那么：（1）λ（μa ）＝（λμ）a ．（2）（λ＋μ）a ＝λa ＋μa ．（3）λ（a ＋b ）＝λa ＋λb ． 3．向量的线性运算及向量共线定理（1）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1a ±μ2b ）＝λμ1a ±λμ2b ．（2）向量a （a ≠0）与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa ．四、精炼反馈 1．13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（2a ＋8b ）－（4a －2b ）等于（）A ．2a －bB ．2b －aC ．b －aD ．a －b解析：选B ．原式＝16（2a ＋8b ）－13（4a －2b ）＝13a ＋43b －43a ＋23b ＝－a ＋2b ． 2．若点O 为平行四边形ABCD 的中心，AB →＝2e 1，BC →＝3e 2，则32e 2－e 1＝（）A ．BO→ B ．AO→ C ．CO→ D ．DO→ 解析：选A ．BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝3e 2－2e 1，BO →＝12BD →＝32e 2－e 1．3．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，求证A ，B ，D 三点共线．证明：因为CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，所以BD→＝CD →－CB →＝e 1－4e 2．又AB →＝2e 1－8e 2＝2（e 1－4e 2），所以AB →＝2BD →，所以AB →与BD →共线．因为AB 与BD 有交点B ，所以A ，B ，D 三点共线．【第四课时】【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题： 1．什么是向量的夹角？ 2．数量积的定义是什么？ 3．投影向量的定义是什么？ 4．向量数量积有哪些性质？ 5．向量数量积的运算有哪些运算律？二、新知探究探究点1：平面向量的数量积运算例1：（1）已知|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，求（a ＋2b ）·（a ＋3b ）．（2）如图，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°，求： ①AD →·BC →；②AB →·DA →．解：（1）（a ＋2b ）·（a ＋3b ）＝a·a ＋5a·b ＋6b·b ＝|a |2＋5a·b ＋6|b |2 ＝|a |2＋5|a ||b |cos 60°＋6|b |2＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192．（2）①因为AD→∥BC →，且方向相同，所以AD→与BC →的夹角是0°，所以AD→·BC →＝|AD →||BC →|·cos 0°＝3×3×1＝9． ②因为AB→与AD →的夹角为60°，所以AB→与DA →的夹角为120°，所以AB→·DA →＝|AB →||DA →|·cos 120° ＝4×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－6．互动探究：变问法：若本例（2）的条件不变，求AC→·BD →．解：因为AC→＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →，所以AC →·BD →＝（AB →＋AD →）·（AD →－AB →）＝AD →2－AB →2＝9－16＝－7．探究点2：向量模的有关计算例2：（1）已知平面向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝（）A ．3B ．23C ．4D ．12 （2）向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝32，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝（）A ．13B ．12C ．15D ．14 解析：（1）|a ＋2b |＝（a ＋2b ）2＝a 2＋4a·b ＋4b 2 ＝|a |2＋4|a ||b |cos 60°＋4|b |2＝ 4＋4×2×1×12＋4＝23．（2）由题意得|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |·cos 60°＝34，即1＋|b |2－|b |＝34，解得|b |＝12．答案：（1）B （2）B 探究点3：向量的夹角与垂直命题角度一：求两向量的夹角例3：（1）已知|a |＝6，|b |＝4，（a ＋2b ）·（a －3b ）＝－72，则a 与b 的夹角为________；（2）（2019·高考全国卷Ⅰ改编）已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且（a －b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为______．解析：（1）设a 与b 的夹角为θ，（a ＋2b ）·（a －3b ）＝a ·a －3a ·b ＋2b ·a －6b ·b ＝|a |2－a ·b －6|b |2 ＝|a |2－|a ||b |cos θ－6|b |2＝62－6×4×cos θ－6×42＝－72，所以24cos θ＝36＋72－96＝12，所以cos θ＝12．又因为θ∈[]0，π，所以θ＝π3．（2）设a 与b 的夹角为θ，由（a －b ）⊥b ，得（a －b ）·b ＝0，所以a ·b ＝b 2，所以cos θ＝b 2|a ||b |．又因为|a |＝2|b |，所以cos θ＝|b |22|b |2＝12．又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3．答案：（1）π3 （2）π3命题角度二：证明两向量垂直例4：已知a ，b 是非零向量，当a ＋t b （t ∈R ）的模取最小值时，求证：b ⊥（a ＋t b ）．证明：因为|a ＋t b |＝（a ＋t b ）2＝a 2＋t 2b 2＋2t a ·b ＝|b |2t 2＋2a ·b t ＋|a |2，所以当t ＝－2a ·b 2|b |2＝－a·b|b |2时，|a ＋t b |有最小值．此时b ·（a ＋t b ）＝b·a ＋t b 2＝a·b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a·b |b |2·|b |2＝a·b －a·b ＝0．所以b ⊥（a ＋t b ）．命题角度三：利用夹角和垂直求参数例5：（1）已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与k a －b 互相垂直，则k 的值为（）A ．－32 B ．32 C ．±32D ．1（2）已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________．解析：（1）因为3a ＋2b 与k a －b 互相垂直，所以（3a ＋2b ）·（k a －b ）＝0，所以3k a 2＋（2k －3）a·b －2b 2＝0．因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，又|a |＝2，|b |＝3，所以12k －18＝0，k ＝32．（2）由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－（3a ＋λb ），即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ，而a ，b ，c 为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5．答案：（1）B （2）－8或5 三、学习小结1．两向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a 与b 的夹角．（2）特例：①当θ＝0时，向量a 与b 同向；②当θ＝π2时，向量a 与b 垂直，记作a ⊥b ； ③当θ＝π时，向量a 与b 反向． 2．向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，把数量|a ||b |cos__θ叫做向量a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos__θ．规定零向量与任一向量的数量积为0． 3．投影向量如图（1），设a ，b 是两个非零向量，AB→＝a ，CD →＝b ，我们考虑如下变换：过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影（project ），A 1B 1→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．如图（2），在平面内任取一点O ，作OM→＝a ，ON →＝b ，过点M 作直线ON 的垂线，垂足为M 1，则OM1→就是向量a 在向量b 上的投影向量．（2）若与b 方向相同的单位向量为e ，a 与b 的夹角为θ，则OM 1→＝|a |cos θ e ． 4．向量数量积的性质设a ，b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，则（1）a ·e ＝e ·a ＝|a |cos θ．（2）a ⊥b ⇔a·b ＝0．（3）当a 与b 同向时，a·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a ||b |．特别地，a·a ＝|a |2或|a |＝a·a ．（4）|a·b |≤|a ||b |． 5．向量数量积的运算律（1）a·b ＝b·a （交换律）．（2）（λa ）·b ＝λ（a·b ）＝a ·（λb ）（结合律）．（3）（a ＋b ）·c ＝a·c ＋b·c （分配律）．四、精炼反馈1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角θ为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解析：选C ．由题意，知a·b ＝|a ||b |cos θ＝4cos θ＝2，所以cos θ＝12．又0≤θ≤π，所以θ＝π3． 2．已知|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角是90°，c ＝2a ＋3b ，d ＝k a －4b ，c 与d 垂直，则k 的值为（）A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：选B ．因为c·d ＝0，所以（2a ＋3b ）·（k a －4b ）＝0，所以2k a 2－8a ·b ＋3k a ·b －12b 2＝0，所以2k ＝12，所以k ＝6．3．已知|a |＝3，|b |＝5，a ·b ＝－12，且e 是与b 方向相同的单位向量，则a 在b 上的投影向量为______．解析：设a 与b 的夹角θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－123×5＝－45，所以a 在b 上的投影向量为|a |cos θ·e ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45e＝－125e ．答案：－125e4．已知|a |＝1，|b |＝2．（1）若a ∥b ，求a ·b ；（2）若a ，b 的夹角为60°，求|a ＋b |；（3）若a －b 与a 垂直，求a 与b 的夹角．解：设向量a 与b 的夹角为θ．（1）当a ，b 同向，即θ＝0°时，a ·b ＝2；当a ，b 反向，即θ＝180°时，a ·b ＝－2．（2）|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3＋2，|a ＋b |＝3＋2．（3）由（a －b ）·a ＝0，得a 2＝a ·b ，cos θ＝a ·b |a ||b |＝22，又θ∈[0，180°]，故θ＝45°．。

平面向量的数量积及运算律的课件

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分配律
总结词
平面向量数量积的分配律是指向量的数量积满足分配律，即一个向量与一个标量的乘积与该向量与一个向量的数量积相等。
VS
详细描述
分配律表示为 $vec{a} cdot (lambda + mu) = lambda cdot vec{a} + mu cdot vec{a}$ 和 $(lambda + mu) cdot vec{a} = lambda cdot vec{a} + mu cdot vec{a}$，其中 $lambda$ 和 $mu$ 是标量，$vec{a}$ 是向量。这意味着一个向量与一个标量的乘积可以分配到该向量的各个分量上。这个性质在解决物理问题和几何问题中非常有用，因为它允许我们将标量因子分配给向量。
总结词
向量数量积的值等于两向量模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
详细描述
这是平面向量数量积的基本公式，表示两向量的数量积与它们的模和夹角余弦值有关。当两向量垂直时，夹角余弦值为0，数量积为0；当两向量同向或反向时，夹角余弦值为1或-1，数量积为两向量模的乘积。
向量数量积的坐标表示
要点一
总结词
结合律
总结词
平面向量数量积的结合律是指向量的数量积满足结合律，即三个向量的数量积满足结合顺序无关。
详细描述
结合律表示为 $(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$ 和 $(vec{a} cdot vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot (vec{b} cdot vec{c})$，即向量的数量积满足结合律，与向量的结合顺序无关。这也是向量数量积的一个重要性质。

湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件第1章平面向量及其应用数量积的坐标表示及其计算

(2)因为向量a=(1,2),b=(-3,4),则a+λb=(1-3λ,2+4λ),若a⊥(a+λb),
则a·(a+λb)=1×(1-3λ)+2×(2+4λ)=5+5λ=0,解得λ=-1.
[0,4]
值范围是________.
解析因为 a=(1, 3),b=(cos θ,sin θ),
所以 a+2b=(1+2cos θ, 3+2sin θ),
2
2
所以|a+2b|= (1 + 2cos) + ( 3 + 2sin) =
当 sin
π
+6
=1 时,|a+2b|max=4;
当 sin
课标要求
1.能用坐标表示平面向量数量积,会表示两个向量的模、夹角.
2.能用坐标表示平面向量垂直的条件.
目录索引
基础落实•必备知识全过关
重难探究•能力素养全提升
成果验收•课堂达标检测
基础落实•必备知识全过关
知识点1
数量积的坐标表示
两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的数量积的坐标表达式为
52 +10+25
规律方法解决向量夹角问题的方法
先利用平面向量的坐标表示求出两个向量的数量积 a·b 以及|a||b|,再由 cos
·
θ=||||求出
cos θ,也可由坐标表示 cos θ=
1 2 +1 2
12 +12 22 +22
直接求出 cos θ.由三角
解 (1)因为a∥b,所以3x=4×9,即x=12.
因为a⊥c,所以3×4+4y=0,所以y=-3.

湘教版高中数学必修二重点高数复习学案第课时平面向量的数量积及运算律(1)

课题：平面向量的数量积及运算律（2）教学目的：1掌握平面向量数量积运算规律；2能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题教学重点：平面向量数量积及运算规律教学难点：平面向量数量积的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ的数量积，记作a⋅b，即有a⋅b = |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为03．“投影”的概念：作图C定义：|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为|b|；当θ = 180︒时投影为-|b| 4．向量的数量积的几何意义：数量积a⋅b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积5．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量1︒e⋅a = a⋅e =|a|cosθ；2︒a⊥b⇔a⋅b = 03︒当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 7．判断下列各题正确与否：1︒若a = 0，则对任一向量b ，有a ⋅b = 0 ( √ )2︒若a ≠ 0，则对任一非零向量b ，有a ⋅b ≠ 0 ( × )3︒若a ≠ 0，a ⋅b = 0，则b = 0 ( × )4︒若a ⋅b = 0，则a 、b 至少有一个为零 ( × )5︒若a ≠ 0，a ⋅b = a ⋅c ，则b = c ( × )6︒若a ⋅b = a ⋅c ，则b = c 当且仅当a ≠ 0时成立 ( × )7︒对任意向量a 、b 、c ，有(a ⋅b )⋅c ≠ a ⋅(b ⋅c ) ( × )8︒对任意向量a ，有a 2 = |a |2 ( √ )二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a证：设a ，b 夹角为θ，则a ⋅ b = |a ||b |cos θ，b ⋅ a = |b ||a |cos θ∴a ⋅ b = b ⋅ a2．数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )证：若λ> 0，(λa )⋅b =λ|a ||b |cos θ， λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ，a ⋅(λb ) =λ|a ||b |cos θ，若λ< 0，(λa )⋅b =|λa ||b |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ，λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ，a ⋅(λb ) =|a ||λb |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ3．分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c在平面内取一点O ，作OA = a , AB = b ，OC = c ，∵a + b （即OB ）在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos θ = |a | cos θ1 + |b | cos θ2∴| c | |a + b | cos θ =|c | |a | cos θ1 + |c | |b | cos θ2∴c ⋅(a + b ) = c ⋅a + c ⋅b 即：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２三、讲解范例：例1 已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a - 5b 垂直，a - 4b 与7a - 2b 垂直，求a 与b 的夹角解：由(a + 3b )(7a - 5b ) = 0 ⇒ 7a 2 + 16a ⋅b -15b 2 = 0 ①(a - 4b )(7a - 2b ) = 0 ⇒ 7a 2 - 30a ⋅b + 8b 2 = 0 ②两式相减：2a ⋅b = b 2代入①或②得：a 2 = b 2设a 、b 的夹角为θ，则cos θ =21222==⋅||||||b b b a b a ∴θ = 60︒ 例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和解：如图：ABCD 中，DC AB =，BC AD =，AC =AD AB +∴|AC |2=AD AB AD AB AD AB ⋅++=+2||222而BD =AD AB -∴|BD |2=AD AB AD AB AD AB ⋅-+=-2||222∴|AC |2 + |BD |2 = 2222AD AB += 2222||||||||AD DC BC AB +++ 例3 四边形ABCD 中，AB ＝ａ，BC ＝ｂ，CD ＝с，DA ＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量解：四边形ABCD 是矩形，这是因为：一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD 两组对边分别相等∴四边形ABCD 是平行四边形另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD 可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB ⊥BC综上所述，四边形ABCD 是矩形评述：(1)在四边形中，AB ，BC ，CD ，DA 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系四、课堂练习：1下列叙述不正确的是（）A 向量的数量积满足交换律B 向量的数量积满足分配律C 向量的数量积满足结合律D a ·b 是一个实数2已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为６０°，则(a +2b )·(a -3b )等于（） A72 B -72 C36 D-363|a |=3,|b |=4,向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（） A 平行 B 垂直 C 夹角为3π D 不平行也不垂直 4已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝5已知|a |=2,|b |=5,a ·b =-3,则|a +b |=______,|a -b |= 6设|a |=3,|b |=5,且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝参考答案：1C 2B 3B 4２５－１+23 535 23 6±53 五、小结通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题六、课后作业1已知|a |=1,|b |=2,且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（） A60° B 30° C135° D ４５° 2已知|a |=2,|b |=1,a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（） A2 B 23 C6D12 3已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（） A 充分但不必要条件 B 必要但不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件4已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |=2,|b |=1,则|a +b |·|a -b |= 5已知a +b =2i -8j ,a -b =-8i +16j ,其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = 6已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1,|b |=2,|c |=3,则(a +2b -c )２＝______7已知|a |=1,|b |=2,(1)若a ∥b ,求a ·b ;(2)若a 、b 的夹角为６０°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角8设m 、n 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角9对于两个非零向量a 、b ，求使|a +t b |最小时的t 值，并求此时b 与a +t b 的夹角参考答案：1D 2B 3C 421 5 –63 6 117 (1)- 2 (2)23 (3)45° 8 120° 9 90°七、板书设计（略）八、课后记及备用资料：1常用数量积运算公式在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛即(a ＋b )２＝a ２＋２a ·b ＋b ２，（a －b ）２＝a ２－２a ·b ＋b ２上述两公式以及(a ＋b )(a －b )＝a ２－b ２这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用2应用举例［例1］已知｜a ｜＝２，｜b ｜＝５，a ·b ＝－３，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜解：∵｜a ＋b ｜２＝（a ＋b ）２＝a ２＋２a ·b ＋b ２＝２２＋２×（－３）＋５２＝２３∴｜a ＋b ｜＝23，∵（｜a －b ｜）２＝（a －b ）２＝a ２－2a ·b ＋b ２＝2２－2×（－3）×５２＝35，∴｜a －b ｜＝35．［例2］已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b 的夹角θ(精确到１°)解：∵（｜a ＋b ｜）２＝（a ＋b ）２＝a ２＋2a ·b ＋b ２＝｜a ｜２＋2｜a ｜·｜b ｜ｃｏｓθ＋｜b ｜２∴１６２＝８２＋２×８×１０ｃｏｓθ＋１０２，∴ｃｏｓθ＝4023，∴θ≈５５°。

湘教版高中数学必修二重点高数复习学案第课时实数与向量的积

课题：实数与向量的积（1）教学目的： 1.掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义； 2.掌握实数与向量的积的运算律； 3.理解两个向量共线的充要条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行.教学重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件教学难点：对向量共线的充要条件的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；3.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.7.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量加法的三角形法则和平行四边形法则8．向量加法的交换律：a +b =b +a9．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )10．向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b )11．差向量的意义： OA = a , OB = b , 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量二、讲解新课：1．示例：已知非零向量a ρ，作出a ρ+a ρ+a ρ和(-a ρ)+(-a ρ)+(-a ρ)OC =BC AB OA ++=a ρ+a ρ+a ρ=3a ρ PN =MN QM PQ ++=(-a ρ)+(-a ρ)+(-a ρ)=-3a ρ（1）3a ρ与a ρ方向相同且|3a ρ|=3|a ρ|；（2）-3a ρ与a ρ方向相反且|-3a ρ|=3|a ρ|2．实数与向量的积：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：λa ρ（1）|λa ρ|=|λ||a ρ|（2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ=3．运算定律结合律：λ(μa ρ)=(λμ)a ρ ①第一分配律：(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ② 第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λb ρ ③结合律证明：如果λ=0，μ=0，a ρ=0至少有一个成立，则①式成立如果λ≠0，μ≠0，a ρ≠有：|λ(μa ρ)|=|λ||μa ρ|=|λ||μ||a ρ||(λμ)a ρ|=|λμ|| a ρ|=|λ||μ||a ρ|∴|λ(μa ρ)|=|(λμ)a ρ| 如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a ρ同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a ρ反向从而λ(μa ρ)=(λμ)a ρ第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，a ρ=0至少有一个成立，则②式显然成立如果λ≠0，μ≠0，a ρ≠当λ、μ同号时，则λa ρ和μa ρ同向， ∴|(λ+μ)a ρ|=|λ+μ||a ρ|=(|λ|+|μ|)|a ρ| |λa ρ+μa ρ|=|λa ρ|+|μa ρ|=|λ||a ρ|+|μ||a ρ|=(|λ|+|μ|)|a ρ|∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a ρ同向即 |(λ+μ)a ρ|=|λa ρ+μa ρ| 当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa ρ同向；当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa ρ同向，且|(λ+μ)a ρ|=|λa ρ+μa ρ|∴②式成立第二分配律证明：如果a ρ=0，b ρ=0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立当a ρ≠0，b ρ≠0且λ≠0，λ≠1时（1）当λ>0且λ≠1时在平面内任取一点O ，作=OA a ρ =AB b ρ =1OA λa ρ =11B A λb ρ则=OB a ρ+b ρ =1OB λa ρ+λb ρ由作法知，AB ∥11B A 有∠OAB=∠OA 1B 1 |AB |=λ|11B A |∴==||||111AB B A OA OA λ ∴△OAB ∽△OA 1B 1∴=||1OB OB λ ∠AOB=∠ A 1OB 1因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λOB | 1OB 与λOB 方向也相同∴λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λb ρ当λ<0时可类似证明：λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λb ρ∴ ③式成立4．向量共线的充要条件若有向量a ρ(a ρ≠0)、b ρ，实数λ，使b ρ=λa ρ，则a ρ与b ρ为共线向量若a ρ与b ρ共线(a ρ≠0)且|b ρ|：|a ρ|=μ，则当a ρ与b ρ同向时b ρ=μa ρ；当a ρ与b ρ反向时b ρ=-μa ρ从而得向量共线定理向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b ρ=λa ρ三、讲解范例：例1若3ｍ＋2ｎ＝ａ，ｍ－3ｎ＝ｂ，其中ａ，ｂ是已知向量，求ｍ，ｎ.分析：此题可把已知条件看作向量ｍ、ｎ的方程，通过方程组的求解获得ｍ、ｎ. 解：记3ｍ＋2ｎ＝ａ① ｍ－３ｎ＝ｂ② 3×②得３ｍ－９ｎ＝３ｂ③ ①－③得11ｎ＝ａ－３ｂ. ∴ｎ＝111ａ－113ｂ④ 将④代入②有：ｍ＝ｂ＋３ｎ＝113ａ＋112ｂ评述：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.例2凸四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为E 、F ，求证EF ＝21(AB +DC ). 解法一：构造三角形，使EF 作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决. 过点C 在平面内作CG ＝AB ，则四边形ABGC 是平行四边形，故F 为AG 中点. ∴EF 是△ADG 的中位线，∴EF =DG 21, ∴EF ＝21DG . 而DG ＝DC ＋CG ＝DC ＋AB ，∴EF ＝21（AB ＋DC ）. 解法二：创造相同起点，以建立向量间关系如图，连EB ，EC ，则有EB ＝EA ＋AB ，EC ＝ED ＋DC ，又∵E 是AD 之中点，∴有EA ＋ED ＝0.即有EB ＋EC ＝AB ＋DC ；以EB 与EC 为邻边作平行四边形EBGC ，则由F 是BC 之中点，可得F 也是EG 之中点.∴EF ＝21EG ＝21（EB ＋EC ）＝21（AB ＋DC ）四、课堂练习：1.错例分析判断向量ａ＝－２e 与ｂ＝２e 是否共线? 对此题，有同学解答如下：解：∵ａ＝－２e ，ｂ＝２e ，∴ｂ＝－ａ，∴ａ与ｂ共线.分析：乍看上述解答，真是简单明快.然而，仔细研究题目已知，却发现其解答存有问题，这是因为，原题已知中对向量e 并无任何限制，那么就应允许e ＝0，而当e ＝0时，显然ａ＝0，ｂ＝0，此时，ａ不符合定理中的条件，且使ｂ＝λａ成立的λ值也不惟一(如λ＝－１，λ＝１，λ＝２等均可使ｂ＝λａ成立)，故不能应用定理来判断它们是否共线.可见，对e ＝0的情况应另法判断才妥.综上分析，此题应解答如下：解：(1)当e ＝0时，则ａ＝－２e ＝0由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”，所以，此时ａ与ｂ共线.(2)当e ≠0时，则ａ＝－２e ≠0，ｂ＝２e ≠0∴ｂ＝－ａ(这时满足定理中的ａ≠0，及有且只有一个实数λ（λ＝－１），使得ｂ＝λａ成立)∴ａ与ｂ共线.综合(1)、(2)可知，ａ与ｂ共线.2.用向量法解决几何问题向量是数学中重要概念之一，是解决数学问题的得力工具，它简洁明快，许多几何里的命题，如果用向量知识来解决就显得格外简练.如图，MN 是△ABC 的中位线，求证：MN ＝21BC ，且MN ∥BC .证明：∵M 、N 分别是AB 、AC 边上的中点，所以AM =21AB ，AN =21AC ，MN =AN －AM =21AC -21AB =21（AC -AB ）=21BC . 因此，ＮＭ＝21ＢＣ且ＭＮ∥BC . 五、小结:通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运算律，理解两个向量共线的充要条件，并能在解题中加以运用.六、课后作业：1．当λ∈Z 时，验证：λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λb ρ证：当λ=0时，左边=0•(a ρ+b ρ)=0 右边=0•a ρ+0•b ρ=0 分配律成立当λ为正整数时，令λ=n, 则有：n(a ρ+b ρ)=(a ρ+b ρ)+(a ρ+b ρ)+…+(a ρ+b ρ) =a ρ+a ρ+…+a ρ+b ρ+b ρ+b ρ+…+b ρ=n a ρ+n b ρ 即λ为正整数时，分配律成立当为负整数时，令λ=-n （n 为正整数），有-n(a ρ+b ρ)=n[-(a ρ+b ρ)]=n[(-a ρ)+(-b ρ)]=n(-a ρ)+n(-b ρ)=-n a ρ+(-n b ρ)=-n a ρ-n b ρ分配律仍成立综上所述，当λ为整数时，λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λb ρ恒成立2．如图，在△ABC 中，AB =a ρ, BC =b ρ ，AD 为边BC的中线，G 为△ABC 的重心，求向量AG 解法一：∵AB =a ρ, BC =b ρ 则BD =21BC =21b ρ ∴AD =AB +BD =a ρ+21b ρ而AG =32AD ∴AG =32a ρ+31b ρ 解法二：过G 作BC 的平行线，交AB 、AC 于E 、F∵△AEF ∽△ABC ，AE =32AB =32a ρ EF =32BC =32b ρ EG =21EF =31b ρ ∴AG =AE +EG =32a ρ+31b ρ 3．在 ABCD 中，设对角线AC =a ρ，BD =b ρ试用a ρ, b ρ表示AB ，BC解法一：AO =OC =21a ρ BO =21BD =21b ρ ∴AB =AO +OB =AO -BO =21a ρ-21b ρ BC =BO +OC =OC +BO =21a ρ+21b ρ 解二：设AB =x ，BC =yD A B Cab D AEC a b B F G则+= ，即 +=a ρ ；-= ，即-=b ρ∴ =21(a ρ-b ρ)， =21(a ρ+b ρ) 即 =21(a ρ-b ρ) =21(a ρ+b ρ) 4．设1e , 2e 是两个不共线向量，已知=21e +k 2e , CB =1e +32e , =21e -2e , 若三点A, B, D 共线，求k 的值解：=-=(21e -2e )-(1e +32e )=1e -42e∵A, B, D 共线 ∴,共线 ∴存在λ使=λ即21e +k 2e =λ(1e -42e ) ∴⎩⎨⎧-==λλ42k ∴k=-8 七、板书设计（略）八、课后记：实数与向量的积的定义可以看作是数与数的积的概念的推广.启发学生在掌握向量加法的基础上，学习实数与向量的积的概念及运算律，引导学生从特殊归纳到一般.在学习实数与向量的积的运算律时，应启发学生寻求其与代数运算中实数乘法的运算律的相似性，但应注意它们之间的区别，从而掌握实数与向量的积及其应用.。

平面向量数量积的运算律学案

必修4 2．4．2 平面向量数量积的运算律【学习目标】1.举例说明平面向量数量积运算规律，会利用数量积性质及运算律解决有关问题；2.学会两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题．3.体会类比的数学思想和方法，进一步培养同学们抽象概括、推理论证的能力.【学习重点】平面向量数量积的运算律【难点提示】向量数量积的运算律的理解与运用.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材104105P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】一、学习准备前面我们学习了向量有关知识，请对照上面知识网络，回顾其中知识内容，请对不熟悉的知识点进行复习，并填写在空白处，同时思考下列问题：1.平面向量数量积定义，向量数量积的性质、、、、 .2.向量的夹角，夹角的范围是，两个向量的夹角对这两个向量的数量积有怎样的影响；这两个向量数量积的几何意义是、；3.向量的加法与向量的数乘分别有哪些运算律？热身练习在边长为2的等边三角形ABC 中，点D 是BC 边上的中点，则___AB CA ⋅=、()2__AB =、__AD BC ⋅=,你还能求()___AB CA CB ⋅-=和()___AB CA CB ⋅+=吗？后面两问就是本节课要探究的问题！二、学习探究平面向量数量积的运算律在“学习准备”中，我们知道前面学习的向量线性运算时，在具体的运算中均要满足一些运算律，我们自然也应该联想向量的数量积又满足哪些运算律呢？为了更好的与生活联系起来，还是从物理中的问题出发来探究：问题1：如图2.4.2-1，一个人用与水平方向成θ弧度的力F 拉一装满“幸福”车厢（不计摩擦力），向前位移了S ，则这是力与位移所做的功为W=F S ⋅= ，W=S F ⋅= ，问题2：如图2.4.2-1，两个人分别用力为F 和F 0，它们与水平方向所成的角分别为θ与0θ（不计摩擦力），向前位移为S ，则这两个人的合力与与位移S 所做的功为W= ；问题3：用与水平方向成θ弧度的力F 拉一装满“幸福”车厢，若车厢与地面的摩擦力为F 0，向前位移为S ，则这是两个力的合力与位移所做的功为W= ；你能计算以上三个问题吗？请探究一下！在探究后，你能归纳一下向量数量积满足的运算律吗？这些运算律能证明吗？归纳概括 1.交换律：a b b a ⋅=⋅ ；2.数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )；3.分配律：(a +b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c快乐体验1.()()22______,_______a ba b+=-=，请类比这与什么运算公式相似？ 2.请求“热身练习”中的后面两问？再求()___AB CA CB ⋅⋅=，()___AB CA CB ⋅⋅=. 3.已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为６０°，则(a +2b )·(a -3b )等于（）A.72 B .-72 C.36 D.-36 4.|a |=3,|b |=4,向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（） A.平行 B .C.夹角为3πD.不平行也不垂直5.已知|a |=2,|b |=5,a ·b =0,则|a +b |=___,|a -b |= ，你能感悟到什么吗？6.设|a |=3,|b |=5,且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ .同学们通过探究、归纳、体验，对向量数量积满足的运算律有哪些感悟，你能对它们进行深度思考和挖掘拓展吗？挖掘拓展 1.你能对上面的三个运算律加以证明吗？（链接1）2.向量的数量积满足的这三个运算律有何特点？与我们以前学习的什么运算相似呢？它还满足结合律吗？请举例说明？3. 重要的二手结论：（1）一般地，(a ·b )c ≠a （b ·c）；（2）a ·c ＝b ·c ，c≠a ＝b ；（3）a ２＝｜a ｜２，()22a b a b +=+；（4）（a ＋b ）（c ＋d ）＝a ·c ＋a ·d ＋b ·c＋b ·d ；（5）(a ＋b )２＝a ２＋２a ·b ＋b ２；(a -b )２＝a ２-２a ·b ＋b ２；（6）若a 、b 是非零向量______a b a b a b a b +=-⇔⋅=⇔向量与；图2.4.2-1（7）若a 、b 是非零向量，则|a |=|b |与(a +b )与(a -b )垂直等价. 请联想还有没有类似与（5）的其它结论？（链接2）三、典例赏析例1.已知a 、b 都是非零向量，a + 3b 与7a - 5b 垂直， a - 4b 与7a - 2b 垂直，求a 与b 的夹角．解:变式练习已知|a |=1,|b |=2,且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（） A.60° B .30° C.135° D.４５°解：例2.求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和．思路启迪:用模方关系.解:变式练习四边形ABCD 中，＝a ，＝b ，＝c，＝d ，且a ·b ＝b ·c ＝c·d ＝d ·a ，试问四边形ABCD 是什么图形?思路启迪：请抓住四边形的形状由哪些量之间的关系确定，关键是怎样由题设条件变形或演变、推算该四边形的边角量上去．解:四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：向量数量积满足的运算律都理解与掌握了吗？挖掘拓展中的“二手结论”都明白了吗？2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.本节课见到那些题型，都能求解了吗？你对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与课堂美在哪里吗？五、学习评价1.下列叙述不正确的是（）A ．向量的数量积满足交换律B ．向量的数量积满足分配律C ．向量的数量积满足结合律D ．a ·b 是一个实数2．已知|a |=3，|b |=4，且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝．3.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |=2,|b |=1,则|a +b |·|a -b |= .4.已知|a |=12，|b |= 9，a⋅b =54-．求（1）(2)(2)a b a b +⋅-；（2）(2)(3)a b a b +⋅- 解：5.在ABC ∆中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足学2PA PM =, 则()PA PB PC ⋅+等于多少？解：6. 设a 、b 是两个不共线的非零向量（R t ∈）（1）记1,,()3OA a OB tb OC a b ===+，那么当实数t 为何值时A 、B 、C 三点共线？（2）若 1201||||夹角为与且==，那么实数x 为何值时||x -的值最小？解：7.教材P108页习题2.4A 组1、4、8，B 组1、4、5.◆承前启后现在我们学习了向量的数量积的定义、性质、运算律等知识，那么向量数量积有坐标运算吗？【学习链接】链接1. 交换律a ⋅ b = b ⋅ a ，证：设a ，b 夹角为θ，则a ⋅ b = |a ||b |cos θ，b ⋅ a = |b ||a |cos θ ∴a ⋅ b = b ⋅ a 成立.数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )证：若λ> 0，(λa )⋅b =λ|a ||b |cos θ， λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ，a ⋅(λb ) =λ|a ||b |cos θ，若λ< 0，(λa )⋅b =|λa ||b |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ，λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ， a ⋅(λb ) =|a ||λb |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ；当0λ=呢？分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c ，证明见教材.链接2. 还有一些重要结论，如：()33322______,()()______,()()______a b a b a b +=+=-=等.。

苏教版高中同步学案数学必修第二册精品课件第9章平面向量 9.2 向量运算 9.2.3 向量的数量积

跟踪训练5[2023启东检测]若非零向量,满足 = 3 , 2 + 3 ⊥ ,则与
的夹角为() C
π
6
π
3
2π
3
5π
6
A. B. C. D.
[解析]设与的夹角为, = ,则 = = ,
∵ + ⊥ ,∴ + ⋅ = ⋅ + = + = ,
（1）数量积的概念
已知两个非零向量,,它们的夹角是,我们把数量 cos 叫作向量与
的数量积（或内积）,记作 ⋅ ,即 ⋅ = ⋅ cos .我们规定:零向量与任一向量
的数量积为0.
（2）投影向量
设,是两个非零向量,如图,表示向量,表示向量,过点作所在直
① ⋅ ；
解因为//,且方向相同,所以与的夹角是0∘ .所以
⋅ = ⋅ cos 0∘ = 3 × 3 × 1 = 9.
② ⋅ .
解因为与的夹角为60∘ ,所以与的夹角为120∘ ,所以
⋅ = ⋅ cos
若 ⊥ ,则 ⋅ = 0.
∴ ⋅ = + 5 ⋅ − 2 = 2 + 5 − 2 ⋅ − 102 = 4 + 5 − 2 − 10 =
9 − 12 = 0,
∴=
4
.
3
故当 =
4
时,与垂直.
3
题后反思解决向量垂直问题主要依据是利用 ⊥ ⇔ ⋅ = 0列方程求解.
量的夹角的余弦值为() C
1
2
A.1B.−1C. D.−
1
2
[解析]设向量与的夹角为.∵平面向量,满足 ⋅ − = ,且 = ,

湘教版高中数学必修二重点教案第课时实数与向量的积

实数与向量的积（1）教学目的：1.掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；2.掌握实数与向量的积的运算律；3.理解两个向量共线的充要条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行. 教学重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件教学难点：对向量共线的充要条件的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；3.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量. 7.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量加法的三角形法则和平行四边形法则 8．向量加法的交换律：a +b =b +a 9．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )10．向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b ) 11．差向量的意义： OA = a , OB = b , 则BA = a - b 即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量二、讲解新课：1．示例：已知非零向量a ρ，作出a ρ+a ρ+a ρ和(-a ρ)+(-a ρ)+(-a ρ)OC =BC AB OA ++=a ρ+a ρ+a ρ=3a ρPN =MN QM PQ ++=(-a ρ)+(-a ρ)+(-a ρ)=-3a ρ（1）3a ρ与a ρ方向相同且|3a ρ|=3|a ρ|；（2）-3a ρ与a ρ方向相反且|-3a ρ|=3|a ρ|2．实数与向量的积：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：λa ρ（1）|λa ρ|=|λ||a ρ|（2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ=0 3．运算定律结合律：λ(μa ρ)=(λμ)a ρ①第一分配律：(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ②第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λb ρ ③结合律证明：如果λ=0，μ=0，a ρ=0至少有一个成立，则①式成立如果λ≠0，μ≠0，a ρ≠0有：|λ(μa ρ)|=|λ||μa ρ|=|λ||μ||a ρ||(λμ)a ρ|=|λμ|| a ρ|=|λ||μ||a ρ| ∴|λ(μa ρ)|=|(λμ)a ρ|如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a ρ同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a ρ反向从而λ(μa ρ)=(λμ)a ρ第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，a ρ=0至少有一个成立，则②式显然成立如果λ≠0，μ≠0，a ρ≠0当λ、μ同号时，则λa ρ和μa ρ同向，∴|(λ+μ)a ρ|=|λ+μ||a ρ|=(|λ|+|μ|)|a ρ||λa ρ+μa ρ|=|λa ρ|+|μa ρ|=|λ||a ρ|+|μ||a ρ|=(|λ|+|μ|)|a ρ| ∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a ρ同向即 |(λ+μ)a ρ|=|λa ρ+μa ρ| 当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa ρ同向；当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa ρ同向，且|(λ+μ)a ρ|=|λa ρ+μa ρ|∴②式成立第二分配律证明：如果a ρ=0，b ρ=0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立当a ρ≠0，b ρ≠0且λ≠0，λ≠1时（1）当λ>0且λ≠1时在平面内任取一点O ，作=OA a ρ =AB b ρ =1OA λa ρ=11B A λb ρ则=OB a ρ+b ρ =1OB λa ρ+λb ρ由作法知，AB ∥11B A 有∠OAB=∠OA 1B 1 |AB |=λ|11B A | ∴==||||||||111AB B A OA OA λ ∴△OAB ∽△OA 1B 1∴=||||1OB OB λ ∠AOB=∠ A 1OB 1因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λOB | 1OB 与λOB 方向也相同∴λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λb ρ当λ<0时可类似证明：λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λb ρ∴ ③式成立 4．向量共线的充要条件若有向量a ρ(a ρ≠0)、b ρ，实数λ，使b ρ=λa ρ，则a ρ与b ρ为共线向量若a ρ与b ρ共线(a ρ≠0)且|b ρ|：|a ρ|=μ，则当a ρ与b ρ同向时b ρ=μa ρ；当a ρ与b ρ反向时b ρ=-μa ρ从而得向量共线定理向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b ρ=λa ρ三、讲解范例：例1若3ｍ＋2ｎ＝ａ，ｍ－3ｎ＝ｂ，其中ａ，ｂ是已知向量，求ｍ，ｎ.分析：此题可把已知条件看作向量ｍ、ｎ的方程，通过方程组的求解获得ｍ、ｎ. 解：记3ｍ＋2ｎ＝ａ① ｍ－３ｎ＝ｂ② 3×②得３ｍ－９ｎ＝３ｂ③①－③得11ｎ＝ａ－３ｂ. ∴ｎ＝111ａ－113ｂ④ 将④代入②有：ｍ＝ｂ＋３ｎ＝113ａ＋112ｂ评述：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.例2凸四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为E 、F ，求证EF ＝21(AB +DC ). 解法一：构造三角形，使EF 作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决. 过点C 在平面内作CG ＝AB ，则四边形ABGC 是平行四边形，故F 为AG 中点.∴EF 是△ADG 的中位线，∴EF =DG 21, ∴EF ＝21DG . 而DG ＝DC ＋CG ＝DC ＋AB ， ∴EF ＝21（AB ＋DC ）. 解法二：创造相同起点，以建立向量间关系如图，连EB ，EC ，则有EB ＝EA ＋AB ，EC ＝ED ＋DC ，又∵E 是AD 之中点，∴有EA ＋ED ＝0. 即有EB ＋EC ＝AB ＋DC ；以EB 与EC 为邻边作平行四边形EBGC ，则由F 是BC 之中点，可得F 也是EG 之中点. ∴EF ＝21EG ＝21（EB ＋EC ）＝21（AB ＋DC ）四、课堂练习：1.错例分析判断向量ａ＝－２e 与ｂ＝２e 是否共线? 对此题，有同学解答如下：解：∵ａ＝－２e ，ｂ＝２e ，∴ｂ＝－ａ，∴ａ与ｂ共线.分析：乍看上述解答，真是简单明快.然而，仔细研究题目已知，却发现其解答存有问题，这是因为，原题已知中对向量e 并无任何限制，那么就应允许e ＝0，而当e ＝0时，显然ａ＝0，ｂ＝0，此时，ａ不符合定理中的条件，且使ｂ＝λａ成立的λ值也不惟一(如λ＝－１，λ＝１，λ＝２等均可使ｂ＝λａ成立)，故不能应用定理来判断它们是否共线.可见，对e ＝0的情况应另法判断才妥.综上分析，此题应解答如下：解：(1)当e ＝0时，则ａ＝－２e ＝0由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”，所以，此时ａ与ｂ共线.(2)当e ≠0时，则ａ＝－２e ≠0，ｂ＝２e ≠0∴ｂ＝－ａ(这时满足定理中的ａ≠0，及有且只有一个实数λ（λ＝－１），使得ｂ＝λａ成立)∴ａ与ｂ共线.综合(1)、(2)可知，ａ与ｂ共线. 2.用向量法解决几何问题向量是数学中重要概念之一，是解决数学问题的得力工具，它简洁明快，许多几何里的命题，如果用向量知识来解决就显得格外简练.如图，MN 是△ABC 的中位线，求证：MN ＝21BC ，且MN ∥BC . 证明：∵M 、N 分别是AB 、AC 边上的中点，所以AM =21AB ，AN =21AC ，MN =AN －AM =21AC -21AB =21（AC -AB ）=21BC .因此，ＮＭ＝21ＢＣ且ＭＮ∥BC .五、小结:通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运算律，理解两个向量共线的充要条件，并能在解题中加以运用.六、课后作业：1．当λ∈Z 时，验证：λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λb ρ证：当λ=0时，左边=0•(a ρ+b ρ)=0 右边=0•a ρ+0•b ρ=0 分配律成立当λ为正整数时，令λ=n, 则有：n(a ρ+b ρ)=(a ρ+b ρ)+(a ρ+b ρ)+…+(a ρ+b ρ)=a ρ+a ρ+…+a ρ+b ρ+b ρ+b ρ+…+b ρ=n a ρ+n b ρ即λ为正整数时，分配律成立当为负整数时，令λ=-n （n 为正整数），有-n(a ρ+b ρ)=n[-(a ρ+b ρ)]=n[(-a ρ)+(-b ρ)]=n(-a ρ)+n(-b ρ)=-n a ρ+(-n b ρ)=-n a ρ-n b ρ分配律仍成立综上所述，当λ为整数时，λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λb ρ恒成立 2．如图，在△ABC 中，AB =a ρ, BC =b ρ ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，求向量AG解法一：∵AB =a ρ, BC =b ρ 则BD =21BC =21b ρ∴AD =AB +BD =a ρ+21b ρ而AG =32AD∴AG =32a ρ+31b ρ解法二：过G 作BC 的平行线，交AB 、AC 于E 、F ∵△AEF ∽△ABC ，AE =32AB =32a ρ EF =32BC =32b ρ EG =21EF =31b ρ∴AG =AE +EG =32a ρ+31b ρDA BC a b DAE Ca b BF G3．在 ABCD 中，设对角线AC =a ρ，BD =b ρ试用a ρ, b ρ表示AB ，BC解法一：AO =OC =21a ρ BO =21BD =21b ρ∴AB =AO +OB =AO -BO =21a ρ-21b ρBC =BO +OC =OC +BO =21a ρ+21b ρ解二：设AB =x ，BC =y则AB +BC =AC ，即 x +y =a ρ；AD -AB =BD ，即x -y =b ρ∴ x =21(a ρ-b ρ)， y =21(a ρ+b ρ)即 AB =21(a ρ-b ρ) BC =21(a ρ+b ρ)4．设1e , 2e 是两个不共线向量，已知AB =21e +k 2e , CB =1e +32e ,CD =21e -2e , 若三点A, B, D 共线，求k 的值解：BD =CD -CB =(21e -2e )-(1e +32e )=1e -42e∵A, B, D 共线 ∴AB ,BD 共线 ∴存在λ使AB =λBD 即21e +k 2e =λ(1e -42e ) ∴⎩⎨⎧-==λλ42k ∴k=-8七、板书设计（略）八、课后记：实数与向量的积的定义可以看作是数与数的积的概念的推广.启发学生在掌握向量加法的基础上，学习实数与向量的积的概念及运算律，引导学生从特殊归纳到一般.在学习实数与向量的积的运算律时，应启发学生寻求其与代数运算中实数乘法的运算律的相似性，但应注意它们之间的区别，从而掌握实数与向量的积及其应用.。

1.5.1 数量积的定义及计算教案 2021-2022学年湘教版（2019）高中数学必修第二册

教学札记1．5向量的数量积1．5.1数量积的定义及计算新课程标准解读核心素养1.通过物理中力的做功等实例，理解平面向量数量积的数学抽象、数学运算概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向直观想象量的意义3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系数学运算教学设计一、目标展示二、情境导入我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积称为力对物体所做的功．如图所示，如果作用在小车上的力F的大小为|F| N，小车在水平面上位移s的大小为|s| m，力的方向与小车位移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的功为W＝|F||s|cos θ.[问题](1)显然，功W与力向量F及位移向量s有关，这三者之间有什么关系？(2)给定任意两个向量a，b，能确定出一个类似的标量吗？如果能，请指出确定的方法；如果不能，说明理由．三、合作探究知识点一向量的数量积1．定义：设a，b是任意两个向量，〈a，b〉是它们的夹角，则定义a·b＝|a||b|cos〈a，b〉为a与b的数量积．2．重要结论：a·b＝0⇔a⊥b．3．运算律：设a，b，c是任意向量，λ是任意实数，则(1)交换律：a·b＝b·a；(2)与数乘的结合律：a·(λb)＝λ(a·b)；(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c．已知非零向量a ，b ，a 与b 的夹角为θ，若a·b<0，则θ是钝角对吗？知识点二投影 1．投影向量，投影长设a ，b 是非零向量，作向量OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，两个向量的夹角为α，过点B 作BB1⊥OA 于点B 1，则OB ―→＝OB1―→＋B1B ―→，其中OB1―→与OA ―→共线．我们把OB1―→称为OB ―→在OA ―→方向上的投影向量，投影向量的长度|OB1―→|＝|OB ―→||cos_α|称为投影长．2.OB ―→在OA ―→方向上的投影|OB ―→|c os α刻画了投影向量的大小和方向，称为OB ―→在OA ―→方向上的投影．3．数量积的几何意义a 与b 的数量积等于a 的长度|a|与b 在a 方向上的投影|b|cos_α的乘积，或b 的长度|b|与a 在b 方向上的投影|a|cos α的乘积．两个非零向量a ，b ，其中a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影是否相同？四、精讲点拨[例1] (链接教科书第35练习1题)已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)a·b ；(2)(a ＋b)·(a －2b)．[例2] 在边长为1的正三角形ABC 中，设BC ―→＝2BD ―→，CA ―→＝3CE ―→，求AD ―→·BE ―→.[母题探究]1．(变设问)本例条件不变，试求AB ―→·BC ―→＋BC ―→·CA ―→＋CA ―→·AB ―→.2．(变条件)若将本例中条件“CA ―→＝3CE ―→”变为“CA ―→＝2CE ―→”，其它条件教学札记不变，试求AD ―→·BE ―→的值．[例3] (链接教科书第35页练习3题)在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠ABC ＝30°，D 为BC 的中点．(1)求BA ―→在CD ―→方向上的投影； (2)求CD ―→在BA ―→方向上的投影．五、达标检测1．若|m|＝4，|n|＝6，m 与n 的夹角为135°，则m·n ＝( )A ．12B ．122C ．－12 2D ．－122．在等腰直角三角形ABC 中，若C ＝90°，AC ＝2，则BA ―→·BC ―→＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－2 2D ．223．已知|a|＝6，|b|＝4，a·b ＝12，向量b 方向上的单位向量为e ，则向量a 在向量b 方向上的投影向量是________．4．已知向量a·b≠0且c ＝a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a·a a·b ·b ，证明：a⊥c.六、课堂小结1.向量数量积的运算；2.平面几何图形中的向量数量积的计算问题；3.向量的投影. 课后作业教后反思。

新教材高中数学第9章向量的数量积学案含解析苏教版必修第二册

新教材高中数学学案含解析新人教A版必修第二册：9.2.3 向量的数量积学习任务核心素养1．了解向量的夹角、向量垂直、投影向量等概念．(易错点)2．理解平面向量数量积的含义．(重点)3．能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．(难点) 1．通过向量数量积及投影概念的学习，培养数学抽象素养．2．通过数量积的应用，培养数学运算素养．我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积称为力对物体所做的功．如图所示，如果作用在小车上的力F的大小为|F| N，小车在水平面上位移s的大小为|s| m，力的方向与小车位移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的功为W＝|F||cos θ．(1)显然，功W与力向量F及位移向量s有关，这三者之间有什么关系？(2)给定任意两个向量a，b，能确定出一个类似的标量吗？如果能，请指出确定的方法；如果不能，说明理由．知识点1向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cos θ叫作向量a和b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ．规定：零向量与任一向量的数量积为0．1．(1)两个向量的数量积是向量吗？(2)数量积的大小和符号与哪些量有关？[提示](1)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量．(2)数量积的大小与两个向量的长度及夹角都有关，符号由夹角的余弦值决定．1．已知|a|＝3，|b|＝6，则(1)若a与b夹角为0°，则a·b＝________；(2)若a与b的夹角为60°，则a·b＝________；(3)若a与b的夹角为90°，则a·b＝________．(1)18(2)9(3)0[(1)a·b＝|a||b|cos 0°＝|a||b|＝18．(2)a·b ＝|a||b |cos 60°＝3×6×12＝182＝9．(3)a·b ＝|a||b |cos 90°＝3×6×0＝0．] 知识点2 两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 称为向量a 与b 的夹角．(2)范围：0°≤θ≤180°．(3)当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向． (4)当θ＝90°时，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b ． (5)两个非零向量a 和b 的夹角θ，可以由cos θ＝a·b |a||b|求得．2．试指出图中向量的夹角．图①中向量OA →与OB →的夹角________；图②中向量OA →与OB →的夹角________；图③中向量OA →与OB →的夹角________；图④中向量OA →与AB →的夹角________．[答案] θ 0° 180° θ 知识点3 投影向量设a ，b 是两个非零向量，如图，OA →表示向量a ，OB →表示向量b ，过点A 作OB →所在直线的垂线，垂足为点A 1，我们将上述由向量a 得到向量OA 1→的变换称为向量a 向向量b 投影，向量OA 1→称为向量a 在向量b 上的投影向量．(1) (2)所以OA 1→＝ (|a |cos θ)b |b |，a·b ＝OA 1→·b ．投影向量与向量数量积的关系：向量a 和向量b 的数量积就是向量a 在向量b 上的投影向量与向量b 的数量积．3．已知|a |＝3，|b |＝5，a 与b 的夹角为45°，则a 在b 上的投影向量为______；b在a 上的投影向量为______．3210b 526a [a 在b 上的投影向量为(|a |cos θ)b |b |＝(3cos 45°)b 5＝3210b ；b 在a 投影向量为(|b |cos θ)a |a |＝(5cos 45°)a 3＝526a ．]知识点4 向量的数量积的运算律及性质(1)向量数量积的运算律：已知向量a ，b ，c 和实数λ． ①a ·b ＝b ·a ；②(λa )·b ＝a ·(λb )＝λ(a ·b )＝λa ·b ； ③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ． (2)数量积的性质： ①a·a ＝|a |2或|a |＝a ·a ；②|a·b |≤|a||b |，当且仅当向量a ，b 为共线向量时取“＝”号； ③a ⊥b ⇔a·b ＝0．(向量a ，b 均为非零向量)2．向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？[提示] 向量线性运算结果是向量，而数量积运算结果是数量．4．(多选题)对于向量a ，b ，c ，下列命题错误的是( )A ．若a·b ＝0且a ≠0，则b ＝0B ．若|a |2＝|b |2≠0，则a ＝b 或a ＝－bC ．若a·b ＝b·c 且a ，b ，c 均为非零向量，则a ＝cD ．若a ，b ，c 均为非零向量，则(a·b )c －a (b·c )＝0ABCD [若a·b ＝0，则a ，b 至少有一个为零向量，或者a ⊥b ，故A 错；若|a |2＝|b |2≠0，则a ，b 均为非零向量且a ，b 的模相等，不能推出a ，b 方向相同或相反，故B 错；若a ⊥b ，b ⊥c ，则a·b ＝b·c ＝0，此时a ，c 均与b 垂直，无法推出a ＝c ，故C 错；(a·b )c 是与c 共线的向量，a (b·c )是与a 共线的向量，(a·b )c －a (b·c )＝0不一定成立，故D 错．]类型1 向量数量积的运算【例1】 (对接教材P 20例1)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°，求： (1)a·b ；(2)a 2－b 2；(3)(2a －b )·(a ＋3b )．[解] (1)a·b ＝|a||b |cos 120°＝2×3×⎝⎛⎭⎫－12＝－3． (2)a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝4－9＝－5．(3)(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋5a·b －3b 2 ＝2|a |2＋5|a||b |cos 120°－3|b |2 ＝8－15－27 ＝－34．1．求平面向量数量积的步骤：①求a 与b 的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a |和|b |；③求数量积，即a ·b ＝|a ||b |cos θ．要特别注意书写时，a 与b 之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去．2．较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．[跟进训练]1．已知正三角形ABC 的边长为1，求： (1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →． [解] (1)∵AB →与AC →的夹角为60°， ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12．(2)∵AB →与BC →的夹角为120°， ∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120° ＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－12． (3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12．类型2 求向量的模【例2】已知向量OA →＝a ，OB →＝b ，∠AOB ＝60°，且|a |＝|b |＝4．求|a ＋b |，|a －b |，|3a ＋b |．[解] ∵a·b ＝|a|·|b |cos ∠AOB ＝4×4×12＝8，∴|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝16＋16＋16＝43，|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝16－16＋16＝4， |3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a·b ＋b 2 ＝9×16＋48＋16＝413．1．求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，要灵活应用a ·a ＝|a |2，勿忘记开方．2．一些常见的等式应熟记，如(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2等．[跟进训练]2．已知向量a 与b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a ＋b |＝10，则|b |＝________． 2 [因为|2a ＋b |＝10，所以(2a ＋b )2＝10，所以4a 2＋4a ·b ＋b 2＝10，又因为向量a 与b 的夹角为45°，且|a |＝1，所以4|a |2＋4|a ||b |cos 45°＋|b |2＝10，故4×12＋4×1×|b |×22＋|b |2＝10，整理得|b |2＋22|b |－6＝0，解得|b |＝2或|b |＝－32(舍去)，故|b |＝2．] 类型3 求向量的夹角【例3】已知a ，b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角．由两组向量分别垂直可得出|a |，|b |同a·b 的关系，由此可借助公式cos θ＝a·b |a ||b |求a 与b的夹角.[解] 由已知，得(a ＋3b )·(7a －5b )＝0，即7a 2＋16a ·b －15b 2＝0，①(a －4b )·(7a －2b )＝0，即7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0， ②①②两式相减，得2a ·b ＝b 2，∴a ·b ＝12b 2，代入①②中任一式，得a 2＝b 2，设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b2|b |2＝12，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°．求a 与b 夹角的思路(1)求向量夹角的关键是计算a·b 及|a ||b |，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝a·b|a ||b |，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值． (2)在个别含有|a |，|b |及a·b 的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值．提醒：注意两向量的夹角θ∈[0，π]．[跟进训练]3．已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，求向量a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2－2e 1的夹角θ． [解] ∵e 1，e 2为单位向量且夹角为60°， ∴e 1·e 2＝1×1×cos 60°＝12．∵a·b ＝(e 1＋e 2)·(e 2－2e 1)＝－2－e 1·e 2＋1＝－2－12＋1＝－32，|a |＝a 2＝(e 1＋e 2)2＝1＋2×12＋1＝3，|b |＝b 2＝(e 2－2e 1)2＝1＋4－4×12＝3，∴cos θ＝a·b|a||b |＝－32×13×3＝－12．又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°．1．若|a |＝3，|b |＝4，a ，b 的夹角为60°，则a·b ＝( ) A ．3 3 B ．6 C ．6 3 D ．12B [∵a ，b 的夹角为60°，且|a |＝3，|b |＝4， ∴a·b ＝3×4cos 60°＝12×12＝6，故选B ．]2．(多选题)下面给出的关系式中正确的是( ) A ．0·a ＝0 B ．a 2＝|a |2 C ．a·b ≤|a||b |D ．(a·b )2＝a 2·b 2ABC [(a·b )2＝a 2·b 2·cos 2θ，故D 错误，其余均正确．]3．已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6B [设a 与b 的夹角为α，∵(a －b )⊥b ，∴(a －b )·b ＝0，∴a ·b ＝b 2，∴|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |，∴cos α＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π3．故选B ．]4．已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在b 方向上的投影向量为________．1225b[cos θ＝a·b|a||b|＝45，向量a在b方向上的投影向量为(|a|cos θ)b|b|＝⎝⎛⎭⎫3×45b5＝1225b．]5．若向量a⊥b，且|a|＝1，|b|＝3，则|a－b|＝________．10[∵a⊥b，∴a·b＝0，又|a|＝1，|b|＝3，∴|a－b|＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝1＋9＝10．]回顾本节知识，自我完成以下问题：1．向量的数量积与实数运算有何区别？[提示](1)在实数运算中，若ab＝0，则a与b中至少有一个为0，而在向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0．实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，但a⊥b．(2)在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．这是因为|a·b|＝|a||b||cos θ|，而|cos θ|≤1．(3)实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a．在向量数量积的运算中，若a·b ＝a·c(a≠0)，则向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由a·b＝a·c(a≠0)不能得到b＝c．(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．2．两个非零向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0吗？[提示]两个非零向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a·b≠|a||b|．3．如何借助数量积求|a＋b|?[提示]|a＋b|＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2．。

重点中学高考数学复习第9课时平面向量的数量积及运算律(1)学案湘教版

课题：平面向量的数量积及运算律（1）教学目的：1掌握平面向量的数量积及其几何意义；2掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4掌握向量垂直的条件教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律教学过程：一、复习引入：1．向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =4．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=5．a ∥b (b ≠)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1, P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点，存在实数λ，使 P 1=λ2，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7定比分点坐标公式：若点P １(x 1,y 1) ，Ｐ２(x 2,y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP，则点P 的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比 8点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点②当λ＜０(1-≠λ)时，P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点 9线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1＝ａ，2OP ＝ｂ，可得OP =b a b aλλλλλ+++=++1111 10．力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0︒≤θ≤180︒2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替（3）在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b =0，不能推出b =0因为其中cos θ有可能为0（4）已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c 但是a ⋅b = b ⋅c a = c 如右图：a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos α = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a ≠ c(5)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量C1︒e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ2︒a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b | 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒cos θ =||||b a b a ⋅ 5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b |三、讲解范例：例1 判断正误，并简要说明理由①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝BA ；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0；对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cos θ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０；对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零；对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律例2 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°，∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×21＝9 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能四、课堂练习：五、小结通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记及备用资料：1概念辨析：正确理解向量夹角定义对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些易见的错误，如：1已知△ABC 中，ａ＝５，ｂ＝８，Ｃ＝６０°，求·对此题，有同学求解如下：解：如图，∵｜｜＝ａ＝５，｜｜＝ｂ＝８，Ｃ＝６０°， ∴·＝｜｜·｜｜cos Ｃ＝5×8cos60°＝20分析：上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，即上例中与两向量的起点并不同，因此，Ｃ并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是C 的补角120°2向量的数量积不满足结合律分析：若有（ａ·ｂ）с＝ａ·（ｂ·с），设ａ、ｂ夹角为α，ｂ、с夹角为β，则(ａ·ｂ)с＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos α·с，ａ·(ｂ·с)＝ａ·｜ｂ｜｜с｜cos β∴若ａ＝с，α＝β，则｜ａ｜＝｜с｜，进而有：（ａ·ｂ）с＝ａ·(ｂ·с) 这是一种特殊情形，一般情况则不成立举反例如下：已知｜ａ｜＝１，｜ｂ｜＝１，｜с｜＝2，ａ与ｂ夹角是60°，ｂ与с夹角是45°，则：(ａ·ｂ)·с＝（｜ａ｜·｜ｂ｜cos60°）с＝21с，ａ·(ｂ·с)＝（｜ｂ｜·｜с｜cos45°）ａ＝ａ而21с≠ａ，故（ａ·ｂ）·с≠ａ·（ｂ·с）。