中考数学总复习专题突破预测与详解第五单元四边形专题18 矩形、菱形和正方形试题 (新版)新人教版

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2020浙江新中考数学一轮复习第18讲矩形、菱形与正方形

【答案】寻找点 F 时，可以 B 为圆心，AE＝5 为半径作圆交正方形的边于点 F.由题中射线 BM 交正方形的一边于点 F 知有如下两种情形：
∴BM＝52或152.
1．(2018·湘潭)如图，已知点 E、F、G、H 分别是菱形
ABCD 各边的中点，则四边形 EFGH 是( B )
A．正方形
B．矩形
5．(2019·宁波)如图，矩形 EFGH 的顶点 E，G 分别在菱形 ABCD 的边 AD，BC 上，顶点 F、H 在菱形 ABCD 的对角线 BD 上． (1)求证：BG＝DE； (2)若 E 为 AD 中点，FH＝2，求菱形 ABCD 的周长．
【答案】(1)证明：在矩形 EFGH 中，EH＝FG，EH∥FG. ∴∠GFH＝∠EHF. ∵∠BFG＝180°－∠GFH，∠DHE＝180°－∠EHF， ∴∠BFG＝∠DHE. 在菱形 ABCD 中，AD∥BC. ∴∠GBF＝∠EDH. ∴△BGF≌△DEH(AAS)， ∴BG＝DE.
A．①或② B．②或③ C．③或④ D．①或④
【答案】(1)①16 ②24 ③8 3 (2)D
【解后感悟】(1)熟记各种特殊几何图形，利用性质、揭示图形的数量关系是解题关键；(2)结合图形，利用图形条件、已知条件综合判定．
2．(2019·河北)如图，菱形 ABCD 中，∠D＝150°，
则∠1＝( D )
10 时，△DOE 的周长是 12.则正确结论的序号是①__②__③___⑤_．⑦
【解后感悟】(1)结合图形，利用图形条件、已知条件综合判定；(2)熟记各种特殊几何图形，利用性质、揭示图形的数量关系是解题关键．
1．(2019·十堰)矩形具有而平行四边形不一定具有
的性质是( C )

2025年江苏省九年级中考数学一轮复习课件：第5章+四边形第2节矩形、菱形、正方形

角四个角都是直角，即∠ ABC ＝∠ BCD ＝∠ ADC ＝∠ DAB ＝90°
第4节
考点梳理
返回目录
（1）对角线互相垂直平分且相等，即 AC ⊥ BD ， AC ＝ BD ， OA
对
＝ OB ＝ OC ＝ OD .
角
（2）每一条对角线平分一组对角（对角线与边的夹角为 45° ），
线
即 AC 平分∠ DAB 和∠ BCD ， BD 平分∠ ABC 和∠ ADC
考点梳理
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3. 菱形的两条对角线长分别为6 cm，8 cm，则它的面积是 24 cm2.
4. 如图，四边形 ABCD 是菱形， AC ＝24， BD ＝10， DH ⊥ AB 于点 H ，则
线段 DH 的长为
120
13
.
⁠
第4节
考点梳理
返回目录
5. 如图，在平面直角坐标系中，已知 A （－1，0）， B （2，0），菱形
＝4， BC ＝8，则∠ ABE 的正切值为（
A.
4
3
B.
4
5
C.
C
）
3
4
D.
3
5
第1题图
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
第4节
考点精研
返回目录
2. （2023苏州）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（9，0），点
C 的坐标为（0，3），以 OA ， OC 为边作矩形 OABC . 动点 E ， F 分别从点
∵ S菱形 ABCD ＝ CD ·AM ＝8 cm2，且 AM ＝2 cm，

初三中考一轮复习(18)矩形菱形正方形题型分类含答案(全面非常好)

∴EO=CO，同理，FO=CO，∴EO=FO，又∵OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形，又∵∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠1+∠5=∠2+∠4，又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°，∴∠2+∠4=90°，∴四边形AECF是矩形．考点二：菱形的性质及判定的应用。

例2 如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．【解答】解：（1）四边形OCED是菱形．∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，又在矩形ABCD中，OC=OD，∴四边形OCED是菱形．（2）连接OE．由菱形OCED得：CD⊥OE，∴OE∥BC又CE∥BD∴四边形BCEO是平行四边形；∴OE=BC=8（7分）∴S四边形OCED=错误!未找到引用源。

OE•CD=错误!未找到引用源。

×8×6=24．考点三：正方形的性质及判定的应用。

例3如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED．（1）求证：△BEC≌△DEC；（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB ＝ 140︒，求∠AFE的度数．【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形∴CD＝CB，∵AC是正方形的对角线∴∠DCA＝∠BCA又CE ＝CE∴△BEC≌△DEC(2）∵∠DEB ＝ 140︒由△BEC≌△DEC可得∠DEC ＝∠BEC＝140︒÷2＝70︒，∴∠AEF ＝∠BEC＝70︒，又∵AC是正方形的对角线，∠DAB＝90︒∴∠DAC ＝∠BAC＝90︒÷2＝45︒，ABCDEF在△AEF 中，∠AFE ＝180︒— 70︒— 45︒＝65︒ 考点四：中点四边形顺次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。

例4 在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ．（1）请判断四边形EFGH 的形状，并给予证明；（2）试添加一个条件，使四边形EFGH 是菱形．（写出你添加的条件，不要求证明）【解答】（1）四边形EFGH 的形状是平行四边形．证明：连接AC 、BD ，∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴EF ∥AC ，EF =错误!未找到引用源。

初中考数学专题总复习《四边形》矩形、菱形、正方形

∵BE＝DF，
∴OE＝OF.(2分)
在△AOE和△COF中，
OA＝OC
∠AOE＝∠COF
OE＝OF ∴△AOE≌△COF(SAS)， ∴AE＝CF；(4分)
第2题图
(2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．
(2)解：∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD， ∴OA＝OB. ∵∠AOB＝∠COD＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝AB＝6， ∴AC＝2OA＝12，(6分) 在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝ AC 2 AB2 ＝6 3 ， ∴S矩形ABCD＝AB·BC＝6×6 3 ＝36 3 .(8分)
第5题图
(1)证明：∵对角线AC的中点为O， ∴AO＝CO. ∵AG＝CH， ∴AO－AG＝CO－CH.即GO＝HO. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD. ∴∠OAE＝∠OCF. 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△OAE≌△OCF(ASA)．
第5题图
∴OE＝OF. ∴GH与EF互相平分， ∴四边形EHFG是平行四边形；
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
第1题图
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD. ∴OC＝OD，∴四边形OCED是菱形．
母题变式改变条件、增加设问→在矩形基础上构造菱形，增加设问及解题难度． 2. (2020德阳)如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点，连接GC并延长至F，使CF＝GC，以DC，CF为邻边作菱形DCFE.连接CE. (1)判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论；
第6题图
(2)若∠ABE＝∠CBE，求证：四边形AFBE为矩形．
(2)∵点D、E分别为AB、AC的中点， ∴DE∥BC，∴∠DEB＝∠CBE， ∵∠ABE＝∠CBE， ∴∠DEB＝∠ABE，∴BD＝DE， ∵AD＝BD，DF＝DE， ∴AD＋BD＝DE＋DF，即AB＝EF， ∴四边形AFBE是矩形．

人教版初中数学中考复习一轮复习矩形菱形(知识点+中考真题)

典型例题
12.（2021·张家界）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ∠AOB＝60°，对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜ 120°），所得的直线l分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）当旋转角α为多少度时，四边形AFCE为菱形？试说明理由．
9.（2021•十堰）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的
中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为 20 ．
典型例题
10.（2020•福建18/25）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且 BE=DF．求证：∠BAE=∠DAF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B=∠D，AB=AD，在△ABE和△ADF中，
知识点梳理——矩形
1．矩形：（1）矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形
叫做矩形．
（2）矩形的性质：
（3）矩形的判定：
边：
角：
对角线：
对称性：
边： ①定义：有一个角是直角的
角：
平行四边形是矩形． ②定理1：有三个角是直角的
对角线：四边形是矩形．
③定理2：对角线相等的平行
对称性：四边形是矩形．
知识点梳理——菱形
1．矩形：（1）菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质：
（3）菱形的判定：
边：
角：
对角线：
对称性：
边：
角：
对角线：
对称性：
知识点梳理——平行四边形
菱形的有关计算：
①周长C菱形= 4a （其中a为边长）．
②面积S菱形= ah=两条对角线乘积的一半

2024成都中考数学复习专题矩形、菱形、正方形的性质与判定(含答案)

2024成都中考数学复习专题矩形、菱形、正方形的性质与判定基础题1. (2023上海)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝C D.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是()A. AB∥CDB. AD＝BCC. ∠A＝∠BD. ∠A＝∠D2. (2023自贡)如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是()A. (3，－3)B. (－3，3)C. (3，3)D. (－3，－3)第2题图3. (2022玉林)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD 的两条对角线AC，BD一定是()A. 互相平分B. 互相垂直C. 互相平分且相等D. 互相垂直且相等4. (2023深圳)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a 个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为()第4题图A. 1B. 2C. 3D. 45. (2023十堰)如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误的是()A. 四边形ABCD由矩形变为平行四边形B. 对角线BD的长度减小C. 四边形ABCD的面积不变D. 四边形ABCD的周长不变第5题图6. 如图，菱形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点，EF＝2，BD＝8，则该菱形的面积为()第6题图A. 12B. 16C. 20D. 327. (2023杭州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB＝60°，则ABBC＝()A. 12 B.3－12 C.32 D.33第7题图8. (2023大庆)将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若∠BAD＝α，∠CBE＝β，则β＝()第8题图A. 45°＋12α B. 45°＋32αC. 90°－12αD. 90°－32α 9. (2023河北)如图，在Rt △ABC 中，AB ＝4，点M 是斜边BC 的中点，以AM 为边作正方形AMEF .若S 正方形AMEF ＝16，则S △ABC ＝( ) A. 4 3 B. 8 3 C. 12 D. 16第9题图10. [新考法—条件开放](2023齐齐哈尔)如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，AC ⊥BD 于点O .请添加一个条件：________，使四边形ABCD 成为菱形．第10题图 11. (2023怀化)如图，点P 是正方形ABCD 的对角线AC 上的一点，PE ⊥AD 于点E ，PE ＝3.则点P 到直线AB 的距离为________．第11题图12. (2023绍兴)如图，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝40°，连接AC ，以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交直线AD 于点E ，连接CE ，则∠AEC 的度数是________．第12题图13. (2023河南)矩形ABCD 中，M 为对角线BD 的中点，点N 在边AD 上，且AN ＝AB ＝1.当以点D ，M ，N 为顶点的三角形是直角三角形时，AD 的长为________．14. [新考法—条件开放](2023十堰)如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，分别以点B ，C 为圆心，12AC ，12BD 长为半径画弧，两弧交于点P ，连接BP ，CP . (1)试判断四边形BPCO 的形状，并说明理由；(2)请说明当▱ABCD 的对角线满足什么条件时，四边形BPCO 是正方形？第14题图15. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，且BE ＝DF ，连接AE ，CF ，EH ⊥CF 于点H ，FG ⊥AE 于点G .(1)判断四边形EGFH 的形状，并说明理由；(2)若AE ＝5，tan ∠DAE ＝2，EG ＝2GF ，求AG 的长．第15题图拔高题16. (2022青羊区模拟)我们规定菱形与正方形接近程度称为“接近度”，设菱形相邻两个内角的度数分别为α，β，将菱形的“接近度”定义为|α－β|，于是|α－β|越小，菱形越接近正方形．第16题图①若菱形的一个内角为80°，则该菱形的“接近度”为________；②当菱形的“接近度”等于________时，菱形是正方形．课时2基础题1. (2023湘潭)如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为()A. 20°B. 60°C. 70°D. 80°第1题图2. 如图，在菱形ABCD中，AC，BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC 中点，则EF的长为()第2题图A. 3B. 4C. 5D. 63. 如图所示，将一张矩形纸片沿虚线对折两次，当剪刀与纸片的夹角∠ABC＝45°时，已知AB＝4 cm，则剪下来图形的周长为()第3题图A. 4 cmB. 4 2 cmC. 16 cmD. 16 2 cm4. (2022青岛改编)如图，O 为正方形ABCD 对角线AC 的中点，△ACE 为等边三角形．若AB ＝2，则OE 的长度为________．第4题图5. [新考法—数学文化](2023内江)出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝12，对角线AC 与BD 交于点O ，点E 为BC 边上的一个动点，EF ⊥AC ，EG ⊥BD ，垂足分别为点F ，G ，则EF ＋EG ＝________.第5题图6. (2023天津)如图，在边长为3的正方形ABCD 的外侧，作等腰三角形ADE ，EA ＝ED ＝52.第6题图(1)△ADE 的面积为________；(2)若F 为BE 的中点，连接AF 并延长，与CD 相交于点G ，则AG 的长为________．7. (2023内江)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF ∥BC 交CE 的延长线于点F .(1)求证：F A ＝BD ；(2)连接BF ，若AB ＝AC ，求证：四边形ADBF 是矩形．第7题图8. (2023兰州)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE.(1)判断四边形OCDE的形状，并说明理由；(2)当CD＝4时，求EG的长．第8题图拔高题9. (2023绍兴改编)如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD＝60°，动点E 在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE＝OF.点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2.当E，F，O三点重合时，当点E，F分别为OB，OD的中点时，当E，F分别运动到B，D两点时，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是()第9题图A. 菱形→平行四边形→矩形B. 菱形→矩形→菱形C. 平行四边形→矩形→平行四边形D. 平行四边形→菱形→正方形10. (2023武侯区二诊节选)如图①，在矩形ABCD中，AD＝nAB(其中n>1)，点P是AD边上一动点(点P不与点A重合)，点E是AB边的中点，连接PE，将矩形ABCD沿直线PE进行翻折，其顶点A翻折后的对应点为O，连接PO并延长，交BC边于点F(点F不与点C重合)，过点F作∠PFC的平分线FG，交矩形ABCD的边于点G.(1)求证：PE∥FG；(2)如图②，在点P运动过程中，若E，O，G三点在同一条直线上时，点G与点D刚好重合，求n的值．图①图②第10题图参考答案与解析1. C2. C 【解析】∵正方形的边长为3，∴DC ＝BC ＝3，DC 与BC 分别垂直于y 轴和x 轴．∵点C 在第一象限，∴点C 的坐标为(3，3).3. D 【解析】如解图，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则EH ∥DB ∥GF ，HG ∥AC ∥EF ，EF ＝12 AC ，FG ＝12BD ，∴四边形EFGH 为平行四边形．要使其为正方形，即EF ⊥FG ，FE ＝FG ，则AC ⊥BD ，AC ＝BD ，即对角线一定互相垂直且相等．第3题解图4. B 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，CE ∥FD ，CD ＝AB ＝4.∵将线段AB 水平向右平移得到线段EF ，∴AB ∥EF ∥CD ，∴四边形ECDF 为平行四边形，当CD ＝CE ＝4时，▱ECDF 为菱形，此时a ＝BE ＝BC －CE ＝6－4＝2.5. C 【解析】将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD ，然后向左扭动框架，∵两组对边的长度分别相等，∴四边形ABCD 是平行四边形，故A 正确，∵向左扭动框架，∴BD 的长度减小，故B 正确；∵平行四边形ABCD 的底不变，高变小了，∴平行四边形ABCD 的面积变小，故C 错误；∵平行四边形ABCD 的四条边长度不变，∴四边形ABCD 的周长不变，故D 正确．6. B 【解析】如解图，连接AC ，∵点E ，F 分别为AB ，BC 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴AC ＝2EF ＝4.∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴S 菱形ABCD ＝12 AC ·BD ＝12×4×8＝16.第6题解图7. D 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∠ABC ＝90°，∴∠OBC ＝∠OCB .∵∠AOB ＝60°，∴∠ACB ＝12 ∠AOB ＝30°，∴AB BC ＝tan ∠ACB ＝tan 30°＝33. 8. D 【解析】∵四边形ABCD 和四边形BGHF 是完全相同的菱形，∴∠DBE ＝∠BAD ＝α，AB ＝AD ，∠ABD ＝∠CBD ＝∠CBE ＋∠DBE ＝β＋α.∴∠ADB ＝∠ABD ＝β＋α.∵∠BAD ＋∠ADB ＋∠ABD ＝180°，∴α＋β＋α＋β＋α＝180°，∴β＝90°－32α. 9. B 【解析】∵S 正方形AMEF ＝16，∴AM ＝4.∵M 是斜边BC 的中点，∴AM 是Rt △ABC 斜边上的中线，∴BC ＝2AM ＝8.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC ＝BC 2－AB 2 ＝43 ，∴S △ABC ＝12 AB ·AC ＝12×4×43 ＝83 . 10. AD ∥BC (答案不唯一) 【解析】当AD ∥BC ，AD ＝BC 时，四边形ABCD 为平行四边形，又∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形．11. 3 【解析】如解图，过点P 作PF ⊥AB 于点F ，∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，∴∠DAC ＝∠BAC .∵PE ⊥AD ，PF ⊥AB ，∴∠AEP ＝∠AFP .∵AP ＝AP ，∴△AEP ≌△AFP (AAS)，∴PE ＝PF .∵PE ＝3，∴点P 到直线AB 的距离为PF ＝3.第11题解图12. 10°或80° 【解析】如解图，以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交直线AD 于点E 和E ′.在菱形ABCD 中，∠DAC ＝∠BAC ，∵∠DAB ＝40°，∴∠DAC ＝20°.∵AC ＝AE ，∴∠AEC ＝(180°－20°)÷2＝80°.∵AE ′＝AC ，∴∠AE ′C ＝∠ACE ′＝10°.综上所述，∠AEC 的度数是10°或80°.第12题解图 13. 2或2 ＋1 【解析】分两种情况，①当∠DNM ＝90°时，如解图①，则MN ∥AB ，∴AN BM＝AD BD.∵M 是BD 的中点，∴BD ＝2BM ，∴AD ＝2AN ＝2；②当∠DMN ＝90°时，如解图②，连接BN ，∵M 是BD 的中点，∠DMN ＝90°，∴BN ＝DN ＝AB 2＋AN 2 ＝12＋12 ＝2 ，∴AD ＝2 ＋1.综上所述，AD 的长为2或2 ＋1.图①图②第13题解图14. 解：(1)四边形BPCO 为平行四边形．理由如下：由作法得，BP ＝12 AC ，CP ＝12BD ， ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴OC ＝12 AC ，OB ＝12BD, ∴OC ＝BP ，OB ＝CP ,∴四边形BPCO 为平行四边形．(2)当▱ABCD 的对角线垂直且相等时，四边形BPCO 为正方形．理由：∵AC ⊥BD ，∴四边形BPCO 为矩形，∵AC ＝BD ，∴OB ＝OC ，∴四边形BPCO 为正方形．15. 解：(1)四边形EGFH 是矩形．理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC .∵BE ＝DF ，∴AD －DF ＝BC －BE ，∴AF ＝CE ，∴四边形AECF 是平行四边形，∴AE ∥CF ，∴∠AEH ＋∠FHE ＝180°.∵EH ⊥CF ，FG ⊥AE ，∴∠FGE ＝∠FHE ＝∠GEH ＝90°，∴四边形EGFH 是矩形；(2)∵FG ⊥AE ，∴∠AGF ＝90°.在Rt △AGF 中，tan ∠DAE ＝GF AG＝2， ∴GF ＝2AG .∵EG ＝2GF ，∴EG ＝4AG .∵AE ＝AG ＋EG ＝5，∴AG ＝1，即AG 的长为1.16. 20°；0° 【解析】①∵菱形相邻两个内角的度数和为180°，∴α＋β＝180°，即80°＋β＝180，解得β＝100°，∴该菱形的“接近度”为|α－β|＝|80°－100°|＝20°；②∵当α＝β＝90°时，菱形是正方形，∴|α－β|＝0°时，菱形是正方形．课时21. C 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AC ⊥BD ，∴∠DCA ＝∠1＝20°，∴∠2＝90°－∠DCA ＝70°.2. C 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴BC ＝DC ，BE ＝DE ，∵∠DBC ＝60°，∴△BDC是等边三角形，∴CD ＝BD ＝10.∵点F 为BC 中点，∴EF ＝12CD ＝5. 3. D 【解析】由折叠可知，剪下的图形两条对角线互相垂直且平分，此时图形为菱形，∵∠ABC ＝45°，∴剪下的图形有一个角为90°，∴有一个角为90°的菱形是正方形，∵AB ＝4 cm ，根据勾股定理得BC ＝42 cm ，故剪下来图形的周长为4×42 ＝16 2 cm. 4. 6 【解析】∵四边形ABCD 为正方形，AB ＝2，∴AC ＝22 .∵O 为正方形ABCD 对角线AC 的中点，△ACE 为等边三角形，∴∠AOE ＝90°，∴AC ＝AE ＝22 ，AO ＝2 ，∴OE＝6 .5. 6013【解析】如解图，连接OE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°， AB ＝CD ＝5，AD ＝BC ＝12.在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2＋AD 2 ＝13.∴AC ＝BD ＝13.∵AC 与BD 交于点O ，∴AO ＝CO ＝BO ＝DO ＝132 .∵S △BCO ＝14 S 四边形ABCD ＝14×12×5＝15，∴S △BCO ＝S △BEO ＋S △CEO ＝12 BO ·EG ＋12 CO ·EF ＝12 ×132 (EG ＋EF )＝15，∴EF ＋EG ＝15×413 ＝6013.第5题解图6. (1)3 【解析】(1)如解图，过点E 作EM ⊥AD 于点M ，∵△ADE 是等腰三角形，EA ＝ED ＝52 ，AD ＝3，∴AM ＝12 AD ＝32，∴EM ＝AE 2－AM 2 ＝（52）2－（32）2 ＝2，∴S △ADE ＝12 AD ·EM ＝12 ×3×2＝3. (2)13 【解析】如解图，延长EM 交AG 于点N ，∵∠BAD ＝∠AME ＝90°，∴AB ∥NE ，∴∠ABF ＝∠FEN ，∠BAF ＝∠ENF .又∵点F 为BE 中点，∴BF ＝EF ，∴△AFB ≌△NFE ，∴EN ＝BA ＝3.由(1)知，EM ＝2，∴NM ＝1.∵∠NMD ＝∠ADC ＝90°，且M 为AD 中点，∴NM ∥GD ，∴NM 为△AGD 的中位线，∴GD ＝2NM ＝2，∴AG ＝AD 2＋GD 2 ＝13 .第6题解图7. 证明：(1)∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE .又∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE .在△AFE 和△DCE 中，∵ ⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠DCE ，∠AEF ＝∠DEC ，AE ＝DE ，∴△AFE≌△DCE，∴AF＝DC.又∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝BD；(2)∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．又∵D是BC的中点，∴∠ADB＝90°，由(1)知F A＝BD，又∵F A∥BD，∴四边形ADBF是平行四边形．又∵∠ADB＝90°，∴四边形ADBF是矩形．8. 解：(1)四边形OCDE为菱形，理由如下：∵CE是线段OD的垂直平分线，∴OF＝DF，OC＝DC.∵CD∥OE，∴∠EOF＝∠CDF.∵∠EFO＝∠CFD，∴△OFE≌△DFC，∴OE＝CD，∴四边形OCDE是平行四边形．又∵OC＝CD，∴四边形OCDE是菱形；(2)∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝OC＝OA，由(1)可知，OC＝DC，∴OC＝DO＝CD，∴△OCD 是等边三角形，∴∠DCO ＝∠CDO ＝60°，∴∠FDG ＝90°－60°＝30°.∵四边形OCDE 是菱形，∴∠DEC ＝∠DCE ＝30°，∠CGD ＝90°－∠DCE ＝60°，∴∠EDG ＝30°，∴DG ＝EG .∵CD ＝4，∴tan ∠DCG ＝DG CD ＝DG 4， ∴DG ＝4·tan 30°＝4×33 ＝433， ∴EG ＝433. 9. B 【解析】∵四边形ABCD 为矩形，∠ABD ＝60°，∴∠CDF ＝60°，∠EDA ＝∠CBD ＝30°.∵OE ＝OF ，O 为对角线BD 的中点，∴DF ＝EB .由对称的性质得DF ＝DF 2，BF ＝BF 1，BE ＝BE 2，DE ＝DE 1，∠F 2DC ＝∠CDF ＝60°，∠EDA ＝∠E 1DA ＝30°，∠F 1BC ＝∠FBC ＝30°，∴E 1F 2＝E 2F 1，∠E 1DB ＝60°，∠F 1BD ＝60°，∴DE 1∥BF 1，∴E 1F 2∥E 2F 1，∴四边形E 1E 2F 1F 2是平行四边形，如解图①，当E ，F ，O 三点重合时，DO ＝BO ，∴DE 1＝DF 2＝AE 1＝AE 2，即E 1E 2＝E 1F 2，∴四边形E 1E 2F 1F 2是菱形，如解图②，当E ，F 分别为OB ，OD 的中点时，设DB ＝4，则DF 2＝DF ＝1，DE 1＝DE ＝3，在Rt △ABD 中，AB ＝2，AD ＝23 ，连接AE ，易得AE ＝32 AB ＝3 ，根据对称性可得AE 1＝AE ＝3 ，∵AD 2＝12，DE 21 ＝9，AE 21 ＝3，即AD 2＝AE 21 ＋DE 21 ，∴△DE 1A 是直角三角形，且∠E 1＝90°，∴四边形E 1E 2F 1F 2是矩形；如解图③，当F ，E 分别与D ，B 重合时，△BE 1D ，△BDF 1都是等边三角形，则四边形E 1E 2F 1F 2是菱形，∴在这三个位置时，四边形E 1E 2F 1F 2形状的变化依次是菱形→矩形→菱形．图①图②图③第9题解图10. (1)证明：由翻折知，∠APE＝∠OPE，∵FG平分∠PFC，∴∠PFG＝∠CFG.∵AD∥BC，∴∠APF＝∠CFP，∴∠EPF＝∠PFG，∴PE∥FG；(2)解：由翻折知，EA＝EO，∠EOP＝90°.∵E，O，D三点在同一条直线上，∴∠DOF＝∠EOF＝∠C＝90°.又∵DF＝DF，∠OFG＝∠CFG，∴△DOF≌△DCF(AAS)，∴DO＝DC＝AB.∵E是AB的中点，∴设EA＝EB＝EO＝a，∴OD＝CD＝AB＝2a，∴DE＝OE＋OD＝3a.在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD2＋AE2＝DE2，∴AD＝（3a）2－a2＝22a.∵AD＝nAB，∴22a＝2na，∴n＝2.。

中考数学经典总复习专题矩形、菱形、正方形完美共54页

44、卓越的人一大优点是：在不利与艰难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自知道。——苏联
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育；而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
中考数学经典总复习专题矩形、菱形、正方形完美
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴理荒秽，带月荷锄归。道狭草木长，夕露沾我衣。衣沾不足惜，但使愿无违。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。

中考数学_专项_矩形、菱形、正方形考点及题型

【中考数学】矩形、菱形、正方形的5大考点及题型汇总矩形、菱形、正方形是八年级下册特殊平行四边形这一章节的重要组成部分。

他们都是基于平行四边形的性质衍生出来的其基本的性质都和平行四边形是一样的。

所以大家在进行学习和记忆的时候只需要紧抓其特殊部分，就能把他们都区分出来。

熟练掌握矩形，菱形，正方形的性质，定义和判定是这部分学习的重点，同时这部分也是中考数学几何部分的重要考点。

只有把这些性质和判定融会贯通。

那么在遇到综合题或者是类似题型的几何才能应对自如，尽快的形成自己的解题思路。

今天就给大家分享初中数学矩形、菱形、正方形的5大考点及题型，同学们赶紧来查漏补缺。

一、矩形、菱形、正方形的性质1.矩形的性质①具有平行四边形的一切性质；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等；④矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

2.菱形的性质①具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是它的对称轴；⑤菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半。

3.正方形的性质: 正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质①边：四边相等，对边平行；②角：四个角都是直角；③对角线：互相平分；相等；且垂直；每一条对角线平分一组对角，即正方形的对角线与边的夹角为45度；④正方形是轴对称图形，有四条对称轴。

例1 矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）A．360 B．90C．270 D．180例2 如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC与BD相交于点O，BE：ED ＝1：3，AB＝6cm，求AC的长。

例3 如图， O是矩形ABCD 对角线的交点， AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO 的度数。

例4 菱形的周长为40cm，两邻角的比为1:2，则较短对角线的长________ 。

2023年九年级苏科版数学中考专题复习矩形和菱形进阶 (含解析)

矩形和菱形进阶 2022-2023苏科版数学中考专题复习一．选择题1．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且120AOD ∠=︒．过点A 作AE BD ⊥于点E ，则:BE ED 等于( )A ．1:3B ．1:4C ．2:3D ．2:52．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，且6AC =，8BD =，过A 点作AE 垂直BC ，交BC 于点E ，则BE CE的值为( )A ．512B ．725C ．718D ．5243．如图，在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，点M 是边AB 上一点（不与点A ，B 重合），作ME AC ⊥于点E ，MF BC ⊥于点F ，若点P 是EF 的中点，则CP 的最小值是( )A ．1.2B ．1.5C ．2.4D ．2.54．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为(6,0)，(0,4)，点5OD =，点P 在BC 上运动，当ODP ∆是腰长为5的等腰三角形时，则满足条件的点P 有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．下列说法正确的是( )A ．矩形的对角线互相垂直B ．菱形的对角线相等C ．正方形的对角线互相垂直且相等D ．平行四边形的对角线相等6．如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和6，则重叠部分的四边形周长是( )A ． 10B ．15C ．20D ．257．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且OA OD =，55OAD ∠=︒，则OCD ∠的度数为( )A ．35︒B ．40︒C ．45︒D ．50︒8．如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，P 是斜边BC 上一动点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，EF 与AP 相交于点O ，则OF 的最小值是( )A ．4.8B ．3.6C ．2.4D ．1.29．如图，菱形ABCD 中，60BAD ∠=，AC 与BD 交于点O ，E 为CD 延长线上的一点，且CD DE =，连结BE 分别交AC ，AD 于点F 、G ，连结OG ，则下列结论：①2OG AB =； ②与EGD ∆全等的三角形共有5个；③ABF ODGF S S ∆>四边形；④由点A 、B 、D 、E 构成的四边形是菱形，其中正确的是( )A ．①④B ．①③④C ．①②③D ．②③④10．如图，分别以Rt ABC ∆的斜边AB ，直角边AC 为边向外作等边ABD ∆和ACE ∆，F 为AB 的中点，DE ，AB 相交于点G ．连接EF ，若30BAC ∠=︒，下列结论：①EF AC ⊥；②四边形ADFE 为菱形；③4AD AG =；④DBF EFA ∆≅∆．则正确结论的序号是( )A ．①③B ．②④C ．①③④D ．②③④二．填空题（共8小题）11．如图，在ABC ∆中，已知90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，6BC =，D 为斜边AB 上一点，以CD 、CB 为边作平行四边形CDEB ，当AD = 时，平行四边形CDEB 为菱形．12．一个菱形的面积为220cm ，它的两条对角线长分别为y cm ，x cm ，则y 与x 之间的函数关系式为y = ．13．（2020•贺州模拟）如图，在线段AB 上取一点C ，分别以AC ，BC 为边长作菱形BCFG 和菱形ACDE ，使点D 在边CF 上，连接EG ，H 是EG 的中点，且4CH =，则EG 的长是．14．如图，矩形ABCD 中，2AB =，BC E 为CD 的中点，连接AE 、BD 于点P ，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，则PQ = ．15．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，点P 为边AB 上任意一点，过点P 作PE AC ⊥，PF BD ⊥，垂足分别为E 、F ，则PE PF += ．16．如图，矩形ABCD 中，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，DF AE ⊥交AB 于点F ，交AC 于点G ，若//EG AB ，且1BF =，则AF = ．17．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点(1,2)B ，若锁定OA ，向左推矩形OABC ，使点B 落在y 轴的点B '的位置，则点C 的对应点C '的坐标为．三．解答题（共4小题）18．如图所示，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，CD 上的点，AE CF =，连接EF ，BF ，EF 与对角线AC 交于点O ，且BE BF =，2BEF BAC ∠=∠．（1）求证：OE OF =；（2）若AC =AB 的长．19．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D ，AF 平分CAB ∠，交CD 于点E ，交CB 于点F ．（1）若30B ∠=︒，4AC =，求CE 的长；（2）过点F 作AB 的垂线，垂足为G ，连接EG ，试判断四边形CEGF 的形状，并说明理由．20．如图，过ABC ∆边AC 的中点O ，作OE AC ⊥，交AB 于点E ，过点A 作//AD BC ，与BO 的延长线交于点D ，连接CD ，CE ，若CE 平分ACB ∠，CE BO ⊥于点F ．（1）求证：①OC BC =；②四边形ABCD 是矩形；（2）若3BC =，求DE 的长．参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且120AOD ∠=︒．过点A 作AE BD ⊥于点E ，则:BE ED 等于( )A ．1:3B ．1:4C ．2:3D ．2:5【分析】由矩形的性质得OA OB OD ==，易求60AOB ∠=︒，则AOB ∆为等边三角形，由AE BD ⊥，得出12BE OE OB ==，推出3ED BE =，即可得出结果．【解答】解：四边形ABCD 是矩形，OA OB OD ∴==，120AOD ∠=︒，18012060AOB ∴∠=︒-︒=︒，AOB ∴∆为等边三角形，AE BD ⊥，12BE OE OB ∴==， 3ED BE ∴=， ∴13BE ED =，故选：A ．【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．2．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，且6AC =，8BD =，过A 点作AE 垂直BC ，交BC 于点E ，则BE CE的值为( )A ．512B ．725C ．718D ．524【分析】利用菱形的性质即可计算得出BC 的长，再根据面积法即可得到AE 的长，最后根据勾股定理进行计算，即可得到BE 的长，进而得出结论．【解答】解：四边形ABCD 是菱形，132CO AC ∴==，142BO BD ==，AO BO ⊥，5BC ∴=，12ABCD S AC BD BC AE =⋅=⨯菱形， 16824255AE ⨯⨯∴==．在Rt ABE ∆中，75BE =， 718555CE BC BE ∴=-=-=， ∴BE CE 的值为718，故选：C ．【点评】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，关键是掌握菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分．3．如图，在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，点M 是边AB 上一点（不与点A ，B 重合），作ME AC ⊥于点E ，MF BC ⊥于点F ，若点P 是EF 的中点，则CP 的最小值是( )A ．1.2B ．1.5C ．2.4D ．2.5【分析】先由勾股定理求出5AB =，再证四边形CEMF 是矩形，得EF CM =，当CM AB ⊥时，CM 最短，此时EF 也最小，则CP 最小，然后由三角形面积求出 2.4CM =，即可得出答案．【解答】解：连接CM ，如图所示：90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，5AB ∴==，ME AC ⊥，MF BC ⊥，90ACB ∠=︒，∴四边形CEMF 是矩形，EF CM ∴=，点P 是EF 的中点，12CP EF ∴=，当CM AB ⊥时，CM 最短，此时EF 也最小，则CP 最小，ABC ∆的面积1122AB CM AC BC =⨯=⨯， 34 2.45AC BC CM AB ⨯⨯∴===， 11 1.222CP EF CM ∴===，故选：A ．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为(6,0)，(0,4)，点5OD =，点P 在BC 上运动，当ODP ∆是腰长为5的等腰三角形时，则满足条件的点P 有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【分析】根据当OP OD =时，以及当OD PD =时，分别进行讨论得出P 点的坐标．【解答】解：由题意，当ODP ∆是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：（1）如答图①所示，5PD OD ==，点P 在点D 的左侧．过点P 作PE x ⊥轴于点E ，则4PE =．在Rt PDE ∆中，由勾股定理得：3DE =， 532OE OD DE ∴=-=-=，∴此时点P 坐标为(2,4)；（2）如答图②所示，5OP OD ==．过点P 作PE x ⊥轴于点E ，则4PE =．在Rt POE ∆中，由勾股定理得：3OE ==，∴此时点P 坐标为(3,4)；（3）如答图③所示，5PD OD ==，点P 在点D 的右侧．过点P 作PE x ⊥轴于点E ，则4PE =．在Rt PDE ∆中，由勾股定理得：3DE =，538OE OD DE ∴=+=+=，∴此时点P 坐标为(8,4)（舍弃）．综上所述，点P 的坐标为：(2,4)或(3,4)；故选：C ．【点评】此题主要考查了矩形的性质以及坐标与图形的性质和等腰三角形的性质，根据ODP ∆是腰长为5的等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键．5．下列说法正确的是( )A ．矩形的对角线互相垂直B ．菱形的对角线相等C ．正方形的对角线互相垂直且相等D ．平行四边形的对角线相等【分析】根据正方形的性质，平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质逐一进行判断即可．【解答】解：A ．因为矩形的对角线相等，所以A 选项错误，不符合题意；B ．因为菱形的对角线互相垂直，所以B 选项错误，不符合题意；C ．因为正方形的对角线互相垂直且相等，所以C 选项正确，符合题意；D ．因为平行四边形的对角线互相平分，所以D 选项错误，不符合题意．故选：C ．【点评】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，解决本题的关键是综合掌握以上知识．6．如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和6，则重叠部分的四边形周长是( )A ．10B ．15C ．20D ．25【分析】先证四边形ABCD 平行四边形，再证四边形ABCD 是菱形，得CD BC AB AD ===，设CD BC x ==，则8CG x =-，然后在Rt CDG ∆中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：如图所示：由题意得：矩形BFDE ≅矩形BHDG ，90G ∴∠=︒，6DG DE ==，//BG DH ，//BE DF ，8BG =，∴四边形ABCD 平行四边形，∴平行四边形ABCD 的面积AD DG CD DE =⨯=⨯，AD CD ∴=，∴四边形ABCD 是菱形，CD BC AB AD ∴===，设CD BC x ==，则8CG x =-，在Rt CDG ∆中，由勾股定理得：2226(8)x x +-=，解得：254x =， 254CD ∴=， ∴四边形ABCD 的周长425CD ==；故选：D ．【点评】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识；证明四边形ABCD 为菱形是解题的关键．7．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且OA OD =，55OAD ∠=︒，则OCD ∠的度数为( )A ．35︒B ．40︒C ．45︒D ．50︒【分析】根据矩形的判定得到四边形ABCD 是矩形，由矩形的性质求出90DAB ∠=︒，//AB CD ，求出35OAB DAB OAD ∠=∠-∠=︒，由平行线的性质即可得出答案．【解答】解：四边形ABCD 是平行四边形，OA OC ∴=，OB OD =，OA OD =，AC BD ∴=，∴四边形ABCD 是矩形，90DAB ∴∠=︒，//AB CD ，905535OAB DAB OAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，35OCD OAB ∠=∠=︒，故选：A ．【点评】本题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键．8．如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，P 是斜边BC 上一动点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，EF 与AP 相交于点O ，则OF 的最小值是( )A ．4.8B ．3.6C ．2.4D ．1.2【分析】根据矩形的性质就可以得出，EF ，AP 互相平分，且EF AP =，垂线段最短的性质就可以得出AP BC ⊥时，AP 的值最小，即EF 的值最小，由勾股定理求出BC ，根据面积关系建立等式求出其解即可．【解答】解：四边形AEPF 是矩形，EF ∴，AP 互相平分．且EF AP =，OE OF =，当AP 的值最小时，EF 的值就最小，∴当AP BC ⊥时，AP 的值最小，即OF 的值最小．1122AP BC AB AC =， AP BC AB AC ∴=．在Rt ABC ∆中，由勾股定理，得5BC =．3AB =，4AC =，534AP ∴=⨯， 125AP ∴=． 1625OF EF ∴==，故选：D ．【点评】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AP 的最小值是关键．9．如图，菱形ABCD 中，60BAD ∠=，AC 与BD 交于点O ，E 为CD 延长线上的一点，且CD DE =，连结BE 分别交AC ，AD 于点F 、G ，连结OG ，则下列结论：①2OG AB =； ②与EGD ∆全等的三角形共有5个；③ABF ODGF S S ∆>四边形；④由点A 、B 、D 、E 构成的四边形是菱形，其中正确的是( )A ．①④B ．①③④C ．①②③D ．②③④【分析】由AAS 证明ABG DEG ∆≅∆，得出AG DG =，证出OG 是ACD ∆的中位线，得出1122OG CD AB ==，①正确；先证明四边形ABDE 是平行四边形，证出ABD ∆、BCD ∆是等边三角形，得出AB BD AD ==，因此OD AG =，得出四边形ABDE 是菱形，④正确；由菱形的性质得出ABG BDG DEG ∆≅∆≅∆，由SAS 证明ABG DCO ∆≅∆，得出ABO BCO CDO AOD ABG BDG DEG ∆≅∆≅∆≅∆≅∆≅∆≅∆，得出②不正确；证出OG 是ABD ∆的中位线，得出//OG AB ，12OG AB =，得出GOD ABD ∆∆∽，ABF OGF ∆∆∽，由相似三角形的性质和面积关系得出ABF ODGF S S ∆=四边形；③不正确；即可得出结果．【解答】解：四边形ABCD 是菱形，AB BC CD DA ∴===，//AB CD ，OA OC =，OB OD =，AC BD ⊥，BAG EDG ∴∠=∠，ABO BCO CDO AOD ∆≅∆≅∆≅∆，CD DE =，AB DE ∴=，在ABG ∆和DEG ∆中，BAG EDG AGB DGE AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABG DEG AAS ∴∆≅∆，AG DG ∴=，OG ∴是ACD ∆的中位线，1122OG CD AB ∴==， 2OG AB ∴=，①正确；//AB CE ，AB DE =，∴四边形ABDE 是平行四边形，60BCD BAD ∠=∠=︒，ABD ∴∆、BCD ∆是等边三角形，AB BD AD ∴==，60ODC ∠=︒，OD AG ∴=，四边形ABDE 是菱形，④正确；AD BE ∴⊥，由菱形的性质得：()ABG DEG SAS ∆≅∆，()BDG DEG SAS ∆≅∆，在ABG ∆和DCO ∆中，60OD AG ODC BAG AB DC =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ABG DCO SAS ∴∆≅∆，()ABO DEG SAS ∴∆≅∆，()BCO DEG SAS ∆≅∆，()CDO DEG SAS ∆≅∆，()AOD DEG AAS ∆≅∆，()ABG DEG SAS ∆≅∆，()BDG DEG SAS ∆≅∆，∴②不正确；OB OD =，AG DG =，OG ∴是ABD ∆的中位线，//OG AB ∴，12OG AB =， ()GOD ABD ASA ∴∆∆∽，()ABF OGF ASA ∆∆∽，GOD ∴∆的面积14ABD =∆的面积，ABF ∆的面积OGF =∆的面积的4倍，:2:1AF OF =， AFG ∴∆的面积OGF =∆的面积的2倍，又GOD ∆的面积AOG =∆的面积BOG =∆的面积，ABF ODGF S S ∆∴=四边形；③不正确；正确的是①④．故选：A ．【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大．10．如图，分别以Rt ABC ∆的斜边AB ，直角边AC 为边向外作等边ABD ∆和ACE ∆，F 为AB 的中点，DE ，AB 相交于点G ．连接EF ，若30BAC ∠=︒，下列结论：①EF AC ⊥；②四边形ADFE 为菱形；③4AD AG =；④DBF EFA ∆≅∆．则正确结论的序号是( )A ．①③B ．②④C ．①③④D ．②③④【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得FA FC =，根据等边三角形的性质可得EA EC =，根据线段垂直平分线的判定可得EF 是线段AC 的垂直平分线；根据条件及等边三角形的性质可得90DFA EAF ∠=∠=︒，DA AC ⊥，从而得到//DF AE ，//DA EF ，可得到四边形ADFE 为平行四边形而不是菱形；根据平行四边形的对角线互相平分可得24AD AB AF AG ===；易证DB DA EF ==，60DBF EFA ∠=∠=︒，BF FA =，即可得到DBF EFA ∆≅∆．【解答】解：连接FC ，如图所示：90ACB ∠=︒，F 为AB 的中点，FA FB FC ∴==，ACE ∆是等边三角形，EA EC ∴=，FA FC =，EA EC =，∴点F 、点E 都在线段AC 的垂直平分线上，EF ∴垂直平分AC ，即EF AC ⊥；ABD ∆和ACE ∆都是等边三角形，F 为AB 的中点，DF AB ∴⊥即90DFA ∠=︒，2BD DA AB AF ===，60DBA DAB EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒．30BAC ∠=︒，90DAC EAF ∴∠=∠=︒，90DFA EAF ∴∠=∠=︒，DA AC ⊥，//DF AE ∴，//DA EF ，∴四边形ADFE 为平行四边形而不是菱形；四边形ADFE 为平行四边形，DA EF ∴=，2AF AG =，BD DA EF ∴==，24DA AB AF AG ===；在DBF ∆和EFA ∆中，BD EF DBF EFA BF FA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DBF EFA SAS ∴∆≅∆；综上所述：①③④正确，故选：C ．【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的性质、线段垂直平分线的判定、平行四边形判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性比较强，有一定难度．二．填空题11．（2020•金牛区模拟）如图，在ABC ∆中，已知90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，6BC =，D 为斜边AB 上一点，以CD 、CB 为边作平行四边形CDEB ，当AD = 6 时，平行四边形CDEB 为菱形．【分析】首先含30︒角直角三角形的性质得12AB =，由菱形的性质可得OD OB =，CD CB =，由三角形面积可求出OC ，根据勾股定理可得OB ，由2AD AB OB =-即可求AD 的长．【解答】解：连接CE 交AB 于点O ，如图所示：Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，6BC =，212AB BC ∴==，AC ，若平行四边形CDEB 为菱形时，CE BD ⊥，OD OB =，CD CB =，1122AB OC AC BC =， 6312AC BC OC AB ∴===3OB∴==，212236AD AB OB∴=-=-⨯=，故答案为：6．【点评】本题考查了菱形的判定与性质、含30︒角直角三角形的性质、勾股定理、三角形面积计算等知识；求出OB的长是解题的关键．12．一个菱形的面积为220cm，它的两条对角线长分别为y cm，x cm，则y与x之间的函数关系式为y=40yx=．【分析】根据菱形面积12=⨯对角线的积可列出关系式．【解答】解：由题意得：1202xy=，可得40yx=，故答案为40yx =．【点评】本题考查菱形的性质，反比例函数等知识，解题的关键是记住菱形的面积公式，属于中考常考题型．13．（2020•贺州模拟）如图，在线段AB上取一点C，分别以AC，BC为边长作菱形BCFG 和菱形ACDE，使点D在边CF上，连接EG，H是EG的中点，且4CH=，则EG的长是8．【分析】连接CE、CG，先由菱形的性质得12DCE ACD∠=∠，12FCG BCF∠=∠，则90DCE FCG∠+∠=︒，即90ECG∠=︒，然后由直角三角形斜边上的中线性质求解即可．【解答】解：连接CE、CG，如图所示：四边形ACDE 与四边形BCFG 均是菱形，12DCE ACD ∴∠=∠，12FCG BCF ∠=∠， 180ACD BCF ∠+∠=︒，11()1809022DCE FCG ACD BCF ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，即90ECG ∠=︒， H 是EG 的中点，4CH =，28EG CH ∴==故答案为：8．【点评】本题考查的是菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线性质求解是解答此题的关键．14．如图，矩形ABCD 中，2AB =，BC E 为CD 的中点，连接AE 、BD 于点P ，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，则PQ = 43．【分析】根据矩形的性质得到//AB CD ，AB CD =，AD BC =，90BAD ∠=︒，根据线段中点的定义得到1122DE CD AB ==，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：四边形ABCD 是矩形，//AB CD ∴，AB CD =，AD BC =，90BAD ∠=︒， E 为CD 的中点，1122DE CD AB ∴==，ABP EDP ∴∆∆∽， ∴AB PB DE PD =， ∴21PB PD =， ∴23PB BD =， PQ BC ⊥，//PQ CD ∴，BPQ DBC ∴∆∆∽， ∴23PQ BP CD BD ==， 2CD =，43PQ ∴=，故答案为：43．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．15．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，点P 为边AB 上任意一点，过点P 作PE AC ⊥，PF BD ⊥，垂足分别为E 、F ，则PE PF += 245．【分析】连接OP ．由勾股定理得出10AC =，可求得5OA OB ==，由矩形的性质得出48ABCD S AB BC =⋅=矩形，1124AOB ABCD S S ∆==矩形，5OA OB ==，由1111()5()122222AOB AOP BOP S S S OA PE OB PF OA PE PF PE PF ∆∆∆=+=+=+=⨯⨯+=求得答案．【解答】解：连接OP ，如图：四边形ABCD 是矩形，90ABC ∴∠=︒，OA OC =，OB OD =，AC BD =，OA OB ∴=，10AC ，48ABCD S AB BC ∴=⋅=矩形，1124AOB ABCD S S ∆==矩形，5OA OB ==， 1111()5()122222AOB AOP BOP S S S OA PE OB PF OA PE PF PE PF ∆∆∆∴=+=+=+=⨯⨯+=， 245PE PF ∴+=；故答案为：245．【点评】此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．16．如图，矩形ABCD 中，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，DF AE ⊥交AB 于点F ，交AC于点G ，若//EG AB ，且1BF =，则AF = ．【分析】设AE 与FG 交于点O ，先由AE 平分BAC ∠，DF AE ⊥，可得出条件证得AF AG =；再判定四边形AFEG 为菱形；由矩形的性质可证得CD CG AB ==；设(0)AG EG AF EF x x ====>，则1CD CG AB x ===+，由//EF AC ，可得BFE BAC ∆∆∽，由相似三角形的性质可得比例式，解方程求得x 的值并作出取舍即可．【解答】解：设AE 与FG 交于点O ，如图：AE 平分BAC ∠，FAE GAE ∴∠=∠； DF AE ⊥，90AOF AOG ∴∠=∠=︒，AFO AGO ∴∠=∠，AF AG ∴=；//EG AB ，GEA FAE ∴∠=∠，FAE GAE ∠=∠，GEA GAE ∴∠=∠，AG EG ∴=，又AF AG =，AF EG ∴=，∴四边形AFEG 为菱形，AG EG AF EF ∴===，//EF AC ．四边形ABCD 为矩形，//AB DC ∴，AB DC =，AFO CDG ∴∠=∠，AFO AGO ∠=∠，CGD AGO ∠=∠，CDG CGD ∴∠=∠，CD CG AB ∴==，设(0)AG EG AF EF x x ====>，1BF =，1CD CG AB x ∴===+，//EF AC ，BFE BAC ∴∆∆∽，::BF BA EF AC ∴=，1:(1):(1)x x x x ∴+=++(1)21x x x ∴+=+，解得：1x （舍)，2x =【点评】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质及角平分线的定义等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．17．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点(1,2)B ，若锁定OA ，向左推矩形OABC ，使点B 落在y 轴的点B '的位置，则点C 的对应点C '的坐标为 (- ．【分析】先由矩形的性质得1OA =，2AB =，再由题意得2AB AB '==，四边形OAB C ''是平行四边形，得1B C OA ''==，然后由勾股定理求出OB '，即可得出答案．【解答】解：四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为(1,2)，1OA ∴=，2AB =，由题意得：2AB AB '==，四边形OAB C ''是平行四边形，OB '∴1B C OA ''==，∴点C 的对应点C '的坐标为(-；故答案为：(-．【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．三．解答题（共4小题）18．如图所示，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，CD 上的点，AE CF =，连接EF ，BF ，EF 与对角线AC 交于点O ，且BE BF =，2BEF BAC ∠=∠．（1）求证：OE OF =；（2）若AC =AB 的长．【分析】（1）利用矩形的性质得出CAE ACF ∠=∠，CFO AEO ∠=∠，进而求出()AOE COF AAS ∆≅∆，得出答案即可；（2）首先求出30BAC ∠=︒，进而得出2BEF OBE ∠=∠，利用勾股定理求出AB 即可．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是矩形，//AB CD ∴，CAE ACF ∴∠=∠，CFO AEO ∠=∠，在AOE ∆和COF ∆中，&&&CAE ACF CFO AEO AE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOE COF AAS ∴∆≅∆，OE OF ∴=；（2）解：连接OB ，如图所示：BF BE =，OE OF =，BO EF ∴⊥，由（1）知，AOE COF ∆≅∆，OA OC ∴=，四边形ABCD 是矩形，90ABC ∴∠=︒，12BO AC OA ∴==， BAC OBA ∴∠=∠，又2BEF BAC ∠=∠，2BEF OBE ∴∠=∠，而Rt OBE ∆中，90BEO OBE ∠+∠=︒，30BAC ∴∠=︒，12BC AC ∴==9AB ∴==．【点评】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理和全等三角形的判定与性质等知识，得出AOE COF ∆≅∆是解题关键．19．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D ，AF 平分CAB ∠，交CD 于点E ，交CB 于点F ．（1）若30B ∠=︒，4AC =，求CE 的长；（2）过点F 作AB 的垂线，垂足为G ，连接EG ，试判断四边形CEGF 的形状，并说明理由．【分析】（1）根据90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，30B ∠=︒，6AC =，即可求CE 的长；（2）过点F 作AB 的垂线，垂足为G ，连接EG ，根据菱形的判定即可判断四边形CEGF 的形状．【解答】解：（1）90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，60CAB ∴∠=︒，CD AB ⊥，90ADC ∴∠=︒，30ACD ∴∠=︒， AF 平分CAB ∠，30CAF BAF ∴∠=∠=︒，CE AE ∴=，过点E 作EH AC ⊥于点H ，CH AH ∴=4AC =，2CH ∴=，CE ∴=；（2）FG AB ⊥，FC AC ⊥，AF 平分CAB ∠，90ACF AGF ∴∠=∠=︒，CF GF =，在Rt ACF ∆与Rt AGF ∆中，AF AF CF GF =⎧⎨=⎩，Rt ACF Rt AGF(HL)∴∆≅∆，AFC AFG ∴∠=∠，CD AB ⊥，FG AB ⊥，//CD FG ∴，CEF EFG ∴∠=∠，CEF CFE ∴∠=∠，CE CF ∴=，CE FG ∴=，∴四边形CEGF 是菱形【点评】本题考查了菱形的判定和性质，解决本题的关键是综合运用角平分线的性质、等腰三角形的判定、30度特殊角的直角三角形．20．如图，过ABC ∆边AC 的中点O ，作OE AC ⊥，交AB 于点E ，过点A 作//AD BC ，与BO 的延长线交于点D ，连接CD ，CE ，若CE 平分ACB ∠，CE BO ⊥于点F ．（1）求证：①OC BC =；②四边形ABCD 是矩形；（2）若3BC =，求DE 的长．【分析】（1）①根据角平分线定义得到OCE BCE ∠=∠，由垂直的定义得到90CFO CFB ∠=∠=︒，根据全等三角形的性质即可得到结论；②根据平行线的性质得到DAO BCO ∠=∠，ADO CBO ∠=∠，根据全等三角形的性质得到AD BC =，推出四边形ABCD 是平行四边形，根据全等三角形的性质得到90EBC EOC ∠=∠=︒，于是得到四边形ABCD 是矩形；（2）由矩形的性质得到3AD BC ==，90DAB ∠=︒，AC BD =，得到OBC ∆是等边三角形，求得60OCB ∠=︒，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：①CE 平分ACB ∠，OCE BCE ∴∠=∠，BO CE ⊥，90CFO CFB ∴∠=∠=︒，在OCF ∆与BCF ∆中，OCE BCE CF CFCFO CFB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()OCF BCF ASA ∴∆≅∆，OC BC ∴=； ②点O 是AC 的中点，OA OC ∴=，//AD BC ，DAO BCO ∴∠=∠，ADO CBO ∠=∠，在OAD ∆与OCB ∆中，DAO BCO OA OCADO CBO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()OAD OCB ASA ∴∆≅∆，AD BC ∴=，//AD BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，OE AC ⊥，90EOC ∴∠=︒，在OCE ∆与BCE ∆中，CE CE OCE BCE OC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()OCE BCE SAS ∴∆≅∆，90EBC EOC ∴∠=∠=︒，∴四边形ABCD 是矩形；（2）解：四边形ABCD 是矩形，3AD BC ∴==，90DAB ∠=︒，AC BD =，OB OC ∴=，OC BC =，OC OB BC ∴==，OBC ∴∆是等边三角形，60OCB ∴∠=︒，1302ECB OCB ∴∠=∠=︒， 90EBC ∠=︒，12EB EC ∴=， 222BE BC EC +=，3BC =，EB ∴EC =OE AC ⊥，OA OC =，EC EA ∴==在Rt ADE ∆中，90DAB ∠=︒，DE ∴．【点评】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．。

2025年湖南省中考数学一轮复习+考点研析+课件++第25讲矩形、菱形

一半
面积
(2)菱形的面积等于底乘底边上的高
1.菱形具有平行四边形的所有性质.
2.菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形;菱形的任意一条
对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形.
3.若菱形有一个内角为60°,则连接两个120°内角顶点的对角线将菱形分
成两个全等的等边三角形.
4.连接菱形一边的中点与两条对角线的交点可以形成直角三角形斜边上
别交AD,BC于点E,F.
(1)证明:△BOF≌△DOE.
(2)连接BE,DF,证明:四边形EBFD是菱形.
证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∴∠FBO=∠EDO.
∵点O是BD的中点,∴BO=DO.
又∵∠FOB=∠EOD,∴△BOF≌△DOE(ASA).
(2)由(1)可知,△BOF≌△DOE,∴BF=DE.
1
1
∴∠DAE=∠BAE= ∠DAB,∠DCF=∠BCF= ∠DCB,
2
2
∴∠DAE=∠BAE=∠DCF=∠BCF.
= ,
在△DAE和△BAE中, ∠ = ∠,
= ,
∴△DAE≌△BAE(SAS),∴DE=BE.
证明
同理可得,DF=BF.
= ,
在△DAE和△DCF中, ∠ = ∠,
接OE.若OE=3,则菱形的边长为( A )
A.6
B.8
C.10
D.12
3.[开放性]如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AC⊥BD于点O.请添加一个条件:
AD∥BC(答案不唯一)
____________________________,使四边形ABCD成为菱形.
答案
4.(2023·怀化)如图,在矩形ABCD中,过对角线BD的中点O作BD的垂线EF,分

中考四边形(矩形平行四边形梯形菱形)专题数学思想方法总复习

解：延长与的延长线相交于，则有
∽ , ∽ , ∽
第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线
经典例题6.已知：如右上图6，在平行四边形中， , ,
交于，求
解：连结交于点 ,连结
∵四边形为平行四边形
专题二梯形中的辅助线
常见的梯形辅助线规律口诀为:梯形问题巧转化，变为△和□;要想尽快解决好,添加辅助线最重要;平移两腰作出高,延长两腰也是关键;记着平移对角线,上下底和差就出现;如果出现腰中点,就把中位线细心连;上述方法不奏效,过中点旋转成全等;灵活添加辅助线,帮你度过梯形难关;想要易解梯形题,还得注意特题特解;注意梯形割与补,巧变成为□和△.基本图形如下:
(4)对角线相等且互相平分的四边形．四边形ABCD是矩形.
5.菱形的性质：
因为ABCD是菱形
6.菱形的判定：
四边形四边形ABCD是菱形.
7.正方形的性质：
ABCD是正方形
8.正方形的判定：
四边形ABCD是正方形.
名称
定义
性质
判定
面积
平
行
四
边
形
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
1对边平行；
②对边相等；
∴ ，即解得故选A
第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
经典例题3.已知：如左下图3，四边形为平行四边形
求证：
证明：过分别作于点，的延长线于点F
∴
则
∵四边形为平行四边形∴ ∥ 且 ,
∴ ∵
∴ ∴
∴
第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。
∴
∴ 是直角三角形,∵ , ,

中考数学复习《矩形、菱形与正方形》考点及重点题型

中考数学复习《矩形、菱形与正方形》考点及重点题型知识点一：特殊平行四边形的性质与判定1.矩形1）性质：（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形另说法：（1）四个角都是直角（2）对角线相等且互相平分.即AO=CO=BO=DO.（3）面积=长×宽=2S△ABD =4S△AOB.2)判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形变式练习：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝__22.5__度．,2.菱形1）性质：（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形另说法（1）四边相等（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角（3）面积=底×高=对角线_乘积的一半2）判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形变式练习1：如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的周长为__24__．第1题图) ,第2题图)变式练习2：如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件_AC⊥BD或∠AOB＝90°或AB＝BC_使其成为菱形(只填一个即可)．变式练习3：如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，则对角线AC的长是______．第3题图【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝6，∵∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝BC＝6.变式练习4：如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则△ABD的周长等于( ) A. 18 B. 16 C. 15 D. 14【解析】B∵四边形ABCD是菱形，∴BO＝OD＝12BD＝3，AO＝OC＝12AC＝4，∴AB＝5，∴△ABD的周长为：5＋5＋6＝16.3正方形1）性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

中考数学总复习：矩形、菱形、正方形ppt专题课件

第二十二讲
第二十三讲
【思路点拨】 (1)证明全等时应避免把对应边找错. (2)因 s i n ∠E D F =
EF DE
第二十四讲
, 结合(1)求 E F , D E 的长.
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
【自主解答】 ( 1) 证明: 在矩形 A B C D 中, BC = AD , A D ∥B C , ∠B = 90°. ∴∠D A F = ∠A E B . ∵D F ⊥A E , AE= BC , ∴∠A F D = 90°= ∠B . 又∵A E = A D . ∴△A B E ≌△D F A .
第二十四讲
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
名称
定义与判定 1. 有一个角是直角, 一组邻边相等的 2. 一组邻边相等的 3. 一个角是直角的 4. 对角线相等且形的平行四边
性质
第二十二讲
1. 对角线与边的夹角为度 2. 面积等于边长的 3. 面积等于对角线
第二十三讲
第二十四讲
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
➡特别提示: 矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形, 它们都具有平行四边形的性质, 但又有它们独特的性质.
第二十二讲
【答案】2. 直角 3. 相等 1. 直角 4. 中心对称图形 1. 相等 2. 四边形 3. 平行四边形 2. 平分 3. 一半 4. 轴对称 1. 平行四边形 2. 矩形 3. 菱形 4. 垂直 1. 45 2. 平方 3. 平方的一半
复习目标

2024河南中考数学一轮知识点复习专题矩形、菱形和正方形课件

等
角
对称性
面积和周长

既是中心对面积 = ⑭____ =

称图形，又 ⑮____，周长

=
是轴对称图 ⑯____（

表示边
4 长, 表示对角线的
形,有⑬___
条对称轴.
长）.
考点2 矩形、菱形和正方形的判定重点
1.矩形的判定
直角
相等
直角
2.菱形的判定
相等
垂直
相等
3.正方形的判定
【思路点拨】当 = 时，点与点重合，此时点与点也重合，
不合题意，故可分 = ， = 两种情况讨论.
例3 如图，在矩形中， = 8 ， = 5 ，点
平行四边形
（1）四边形的形状为____________；
菱形
（2）若四边形是矩形，则四边形的形状为______；
矩形
（3）若四边形是菱形，则四边形的形状为______；
正方形
（4）若四边形是正方形，则四边形的形状为________.
是轴对称图
（，分别表示
2
形,有③___
矩形的长和宽）.
条对称轴.
续表
名称
图形
边
角
对边
两条对角
平
线互相垂
行、对
菱形
对角线
四条角
边都相
等.
⑥
相
____
__.
等
对称性
面积和周长
既是中心对面积 = 底×高 =

直⑦

称图形，又 ⑨______（

2020中考数学重点考点突破附解析：矩形、菱形和正方形

矩形、菱形和正方形一．选择题1．（2019•朝阳）如图，在矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则AD的长为（）A．5√6B．6√5C．10D．6√3【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，BD＝AC，OD=12BD，OC=12AC，∴OC＝OD，∵EO＝2DE，∴设DE＝x，OE＝2x，∴OD＝OC＝3x，AC＝6x，∵CE⊥BD，∴∠DEC＝∠OEC＝90°，在Rt△OCE中，∵OE2+CE2＝OC2，∴（2x）2+52＝（3x）2，∵x＞0，∴DE=√5，AC＝6√5，∴CD =√DE 2+CE 2=√(√5)2+52=√30，∴AD =√AC 2−CD 2=√(6√5)2−(√30)2=5√6，故选：A ．2．（2019•锦州）在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，M 是对角线BD 上的动点，过点M 作ME ⊥BC 于点E ，连接AM ，当△ADM 是等腰三角形时，ME 的长为（） A ．32 B ．65 C ．32或35D ．32或65 【解答】解：①当AD ＝DM 时．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝90°，CD ＝AB ＝3，AD ＝BC ＝4，∴BD =√CD 2+BC 2=5，∴BM ＝BD ＝DM ＝5﹣4＝1，∵ME ⊥BC ，DC ⊥BC ，∴ME ∥CD ，∴BM BD =ME CD ，∴15=ME 3，∴ME =35．②当M ′A ＝M ′D 时，易证M ′E ′是△BDC 的中位线，∴M ′E ′=12CD =32，故选：C ．3．（2019•陕西）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝6，若点E ，F 分别在AB ，CD 上，且BE ＝2AE ，DF ＝2FC ，G ，H 分别是AC 的三等分点，则四边形EHFG 的面积为（）A ．1B ．32C ．2D ．4【解答】解：∵BE ＝2AE ，DF ＝2FC ，∴AE BE =12，CF DF =12∵G 、H 分别是AC 的三等分点∴AG GC =12，CH AH =12∴AE BE =AG GC∴EG ∥BC∴EG BC =AE AB =13，且BC ＝6∴EG ＝2，同理可得HF ∥AD ，HF ＝2∴四边形EHFG 为平行四边形，且EG 和HF 间距离为1∴S 四边形EHFG ＝2×1＝2，故选：C ．4．（2019•深圳）已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为4，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列结论正确的有几个（）①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③∠AGE＝∠AFC；④若AF＝1，则GFEG=13．A．1B．2C．3D．4【解答】解：①△REC≌△AFC（SAS），正确；②∵△BEC≌△AFC，∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，∵∠BCE+∠ECA＝∠BCA＝60°，∴∠ACF+∠ECA＝60，∴△CEF是等边三角形，故②正确；③∵∠AGE＝∠CAF+∠AFG＝60°+∠AFG；∠AFC＝∠CFG+∠AFG＝60°+∠AFG，∴∠AGE＝∠AFC，故③正确正确；④过点E作EM∥BC交AC于点M，易证△AEM 是等边三角形，则EM ＝AE ＝3，∵AF ∥EM ，∴则GF EG =AF EM =13．故④正确，故①②③④都正确．故选：D ．5．（2019•泸州）一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（）A ．8B ．12C ．16D ．32【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴AO ＝CO =12AC ，DO ＝BO =12BD ，AC ⊥BD ，∵面积为28，∴12AC •BD ＝2OD •AO ＝28 ①∵菱形的边长为6，∴OD 2+OA 2＝36 ②，由①②两式可得：（OD +AO ）2＝OD 2+OA 2+2OD •AO ＝36+28＝64．∴OD +AO ＝8，∴2（OD+AO）＝16，即该菱形的两条对角线的长度之和为16．故选：C．6．（2019•呼和浩特）已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为（）A．2√2B．2√5C．4√2D．2√10【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC=12AC＝1，OB＝OD，AC⊥BD，∴OB=√AB2−OA2=√32−12=2√2，∴BD＝2OB＝4√2；故选：C．7．（2019•贵港）如图，E是正方形ABCD的边AB的中点，点H与B关于CE对称，EH的延长线与AD 交于点F，与CD的延长线交于点N，点P在AD的延长线上，作正方形DPMN，连接CP，记正方形ABCD，DPMN的面积分别为S1，S2，则下列结论错误的是（）A ．S 1+S 2＝CP 2B ．AF ＝2FDC ．CD ＝4PDD ．cos ∠HCD =35 【解答】解：∵正方形ABCD ，DPMN 的面积分别为S 1，S 2，∴S 1＝CD 2，S 2＝PD 2，在Rt △PCD 中，PC 2＝CD 2+PD 2，∴S 1+S 2＝CP 2，故A 结论正确；连接CF ，∵点H 与B 关于CE 对称，∴CH ＝CB ，∠BCE ＝∠ECH ，在△BCE 和△HCE 中，{CH =CB ∠ECH =∠BCE CE =CE∴△BCE ≌△HCE （SAS ），∴BE ＝EH ，∠EHC ＝∠B ＝90°，∠BEC ＝∠HEC ，∴CH ＝CD ，在Rt △FCH 和Rt △FCD 中{CH =CD CF =CF∴Rt △FCH ≌Rt △FCD （HL ），∴∠FCH ＝∠FCD ，FH ＝FD ，∴∠ECH +∠FCH =12∠BCD ＝45°，即∠ECF ＝45°，作FG ⊥EC 于G ，∴△CFG 是等腰直角三角形，∴FG ＝CG ，∵∠BEC ＝∠HEC ，∠B ＝∠FGE ＝90°，∴△FEG ∽△CEB ，∴EG FG =EB BC =12，∴FG ＝2EG ，设EG ＝x ，则FG ＝2x ，∴CG ＝2x ，CF ＝2√2x ，∴EC ＝3x ，∵EB 2+BC 2＝EC 2，∴54BC 2＝9x 2， ∴BC 2=365x 2， ∴BC =6√55x ，在Rt △FDC 中，FD =√CF 2−CD 2=√(2√2x)2−365x 2=2√55x ， ∴3FD ＝AD ，∴AF ＝2FD ，故B 结论正确；∵AB ∥CN ，∴ND AE =FD AF =12，∵PD ＝ND ，AE =12CD ，∴CD ＝4PD ，故C 结论正确；∵EG ＝x ，FG ＝2x ，∴EF =√5x ，∵FH ＝FD =2√55x ，∵BC =6√55x ，∴AE =3√55x ，作HQ ⊥AD 于Q ，HS ⊥CD 于S ，∴HQ ∥AB ，∴HQ AE =HF EF ，即3√55x =2√55x √5x ，∴HQ =6√525x ，∴CS ＝CD ﹣HQ =6√55x −6√525x =24√525x∴cos ∠HCD =CS CH =24√525x 6√55x =45，故结论D 错误，故选：D ．8．（2019•黄石）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB边的中点是坐标原点O，将正方形绕点C按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B'的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，4）C．（3，2）D．（﹣1，0）【解答】解：如图所示，由旋转得：CB'＝CB＝2，∠BCB'＝90°，∵四边形ABCD是正方形，且O是AB的中点，∴OB＝1，∴B'（2+1，2），即B'（3，2），故选：C．9．（2019•郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF的边长是（）A ．√2B ．2C ．√3D ．4【解答】解：设正方形ADOF 的边长为x ，由题意得：BE ＝BD ＝4，CE ＝CF ＝6，∴BC ＝BE +CE ＝BD +CF ＝10，在Rt △ABC 中，AC 2+AB 2＝BC 2，即（6+x ）2+（x +4）2＝102，整理得，x 2+10x ﹣24＝0，解得：x ＝2，或x ＝﹣12（舍去），∴x ＝2，即正方形ADOF 的边长是2；故选：B ．10．（2019•孝感）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边CD ，AD 上，BE 与CF 交于点G ．若BC ＝4，DE ＝AF ＝1，则GF 的长为（）A ．135B ．125C ．195D ．165【解答】解：正方形ABCD 中，∵BC ＝4，∴BC ＝CD ＝AD ＝4，∠BCE ＝∠CDF ＝90°，∵AF ＝DE ＝1，∴DF ＝CE ＝3，∴BE ＝CF ＝5，在△BCE 和△CDF 中，{BC =CD ∠BCE =∠CDF CE =DF，∴△BCE ≌△CDF （SAS ），∴∠CBE ＝∠DCF ，∵∠CBE +∠CEB ＝∠ECG +∠CEB ＝90°＝∠CGE ，cos ∠CBE ＝cos ∠ECG =BC BE =CG CE ， ∴45=CG 3，CG =125， ∴GF ＝CF ﹣CG ＝5−125=135，故选：A ．二．填空题11．（2019•营口）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝3，点E 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AD 向点D 运动，同时点F 从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB 向点B 运动，当点E 到达点D 时，点E ，F 同时停止运动．连接BE ，EF ，设点E 运动的时间为t ，若△BEF 是以BE 为底的等腰三角形，则t 的值为．【解答】解：如图，过点E 作EG ⊥BC 于G ，∴四边形ABGE 是矩形，∴AB ＝EG ＝3，AE ＝BG ＝2t ，∵BF ＝EF ＝5﹣t ，FG ＝|2t ﹣（5﹣t ）|＝|3t ﹣5|，∴EF 2＝FG 2+EG 2，∴（5﹣t ）2＝（3t ﹣5）2+9，∴t =5±√74故答案为：5±√74．12．（2019•徐州）如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，M 、N 分别为BC 、OC 的中点．若MN ＝4，则AC 的长为．【解答】解：∵M 、N 分别为BC 、OC 的中点，∴BO ＝2MN ＝8．∵四边形ABCD 是矩形，∴AC＝BD＝2BO＝16．故答案为16．13．（2019•十堰）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO，∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴CD＝2OE＝2×3＝6，∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24；故答案为：24．14．（2019•东营）如图，在平面直角坐标系中，△ACE是以菱形ABCD的对角线AC为边的等边三角形，AC＝2，点C与点E关于x轴对称，则点D的坐标是．【解答】解：如图，∵△ACE 是以菱形ABCD 的对角线AC 为边的等边三角形，AC ＝2，∴CH ＝1，∴AH =√3，∵∠ABO ＝∠DCH ＝30°，∴DH ＝AO =√33，∴OD =√3−√33−√33=√33，∴点D 的坐标是（√33，0）．故答案为：（√33，0）．15．（2019•鞍山）如图，正方形A 0B 0C 0A 1的边长为1，正方形A 1B 1C 1A 2的边长为2，正方形A 2B 2C 2A 3的边长为4，正方形A 3B 3C 3A 4的边长为8……依此规律继续作正方形A n B n ∁n A n +1，且点A 0，A 1，A 2，A 3，…，A n +1在同一条直线上，连接A 0C 1交A 1B 1于点D 1，连接A 1C 2交A 2B 2于点D 2，连接A 2C 3交A 3B 3于点D 3……记四边形A 0B 0C 0D 1的面积为S 1，四边形A 1B 1C 1D 2的面积为S 2，四边形A 2B 2C 2D 3的面积为S 3……四边形A n ﹣1B n ﹣1C n ﹣1D n 的面积为S n ，则S 2019＝．．【解答】解：∵四边形A 0B 0C 0A 1与四边形A 1B 1C 1A 2都是正方形，∴A 1D 1∥A 2C 1，∴A 1D 1A 2C 1=A 0A 1A 0A 2， ∴A 1D 12=11+2， ∴A 1D 1=23，同理可得：A 2D 2=43，∴S 1＝1−12×1×23=40−13×40，S 2＝4−13×4，S 3＝42−13×42，…，S n ＝4n ﹣1−13×4n ﹣1=23×4n ﹣1， ∴S 2019=23×42018，故答案为：23×42018．三、解答题16．（2019•宁夏）如图，已知矩形ABCD 中，点E ，F 分别是AD ，AB 上的点，EF ⊥EC ，且AE ＝CD ．（1）求证：AF ＝DE ；（2）若DE =25AD ，求tan ∠AFE ．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∵EF⊥CE，∴∠FEC＝90°，∴∠AFE+∠AEF＝∠AEF+∠DEC＝90°，∴∠AFE＝∠DEC，在△AEF与△DCE中，{∠A=∠D∠AFE=∠DEC AE=CD，∴△AEF≌△DCE（AAS），∴AF＝DE；（2）解：∵DE=25AD，∴AE=32DE，∵AF＝DE，∴tan∠AFE=32DEDE=32．17．（2019•哈尔滨）已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．（1）如图1，求证：AE＝CF；（2）如图2，当∠ADB＝30°时，连接AF、CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD 面积的18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠ABE ＝∠CDF ，∵AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F ，∴∠AEB ＝∠CFD ＝90°，在△ABE 和△CDF 中，{∠ABE =∠CDF ∠AEB =∠CFD AB =CD， ∴△ABE ≌△CDF （AAS ），∴AE ＝CF ；（2）解：△ABE 的面积＝△CDF 的面积＝△BCE 的面积＝△ADF 的面积＝矩形ABCD 面积的18．理由如下：∵AD ∥BC ，∴∠CBD ＝∠ADB ＝30°，∵∠ABC ＝90°，∴∠ABE ＝60°，∵AE ⊥BD ，∴∠BAE ＝30°，∴BE =12AB ，AE =12AD ，∴△ABE 的面积=12BE ×AE =12×12AB ×12AD =18AB ×AD =18矩形ABCD 的面积，∵△ABE ≌△CDF ，∴△CDF 的面积═18矩形ABCD 的面积；作EG ⊥BC 于G ，如图所示：∵∠CBD ＝30°，∴EG =12BE =12×12AB =14AB ，∴△BCE 的面积=12BC ×EG =12BC ×14AB =18BC ×AB =18矩形ABCD 的面积，同理：△ADF 的面积=18矩形ABCD 的面积．18．（2019•青海）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF ∥BC 交BE 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求证：△AEF ≌△DEB ；（2）证明四边形ADCF 是菱形．【解答】证明：（1）∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DBE∵△ABC 是直角三角形，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，∴AE ＝DE ，BD ＝CD在△AFE 和△DBE 中，{∠AFE =∠DBE ∠AEF =∠BED AE =DE，∴△AFE ≌△DBE （AAS ）（2）由（1）知，AF ＝BD ，且BD ＝CD ，∴AF ＝CD ，且AF ∥BC ，∴四边形ADCF 是平行四边形∵∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，∴AD =12BC ＝CD ，∴四边形ADCF 是菱形．19．（2019•兰州）如图，AC ＝8，分别以A 、C 为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B 和D ．依次连接A 、B 、C 、D ，连接BD 交AC 于点O ．（1）判断四边形ABCD 的形状并说明理由；（2）求BD 的长．【解答】解：（1）四边形ABCD为菱形；由作法得AB＝AD＝CB＝CD＝5，所以四边形ABCD为菱形；（2）∵四边形ABCD为菱形，∴OA＝OC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，在Rt△AOB中，OB=√52−42=3，∴BD＝2OB＝6．20．（2019•潍坊）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．（1）求证：△AHF为等腰直角三角形．（2）若AB＝3，EC＝5，求EM的长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD，四边形ECGF都是正方形∴DA∥BC，AD＝CD，FG＝CG，∠B＝∠CGF＝90°∵AD∥BC，AH∥DG∴四边形AHGD是平行四边形∴AH＝DG，AD＝HG＝CD∵CD＝HG，∠ECG＝∠CGF＝90°，FG＝CG ∴△DCG≌△HGF（SAS）∴DG＝HF，∠HFG＝∠HGD∴AH＝HF，∵∠HGD+∠DGF＝90°∴∠HFG+∠DGF＝90°∴DG⊥HF，且AH∥DG∴AH⊥HF，且AH＝HF∴△AHF为等腰直角三角形．（2）∵AB＝3，EC＝5，∴AD＝CD＝3，DE＝2，EF＝5∵AD∥EF∴EMDM =EFAD=53，且DE＝2∴EM=5 421．（2019•凉山州）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形．∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，∴∠MEA＝∠AFO．∴△BOE≌△AOF（AAS）．∴OE＝OF．22．（2019•天门）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF．求证：（1）AE⊥BF；（2）四边形BEGF是平行四边形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ABE ＝∠BCF ＝90°，在△ABE 和△BCF 中，{AB =BC∠ABE =∠BCF BE =CF，∴△ABE ≌△BCF （SAS ），∴AE ＝BF ，∠BAE ＝∠CBF ，∵EG ∥BF ，∴∠CBF ＝∠CEG ，∵∠BAE +∠BEA ＝90°，∴∠CEG +∠BEA ＝90°，∴AE ⊥EG ，∴AE ⊥BF ；（2）延长AB 至点P ，使BP ＝BE ，连接EP ，如图所示：则AP ＝CE ，∠EBP ＝90°，∴∠P ＝45°，∵CG 为正方形ABCD 外角的平分线，∴∠ECG ＝45°，∴∠P ＝∠ECG ，由（1）得∠BAE ＝∠CEG ，在△APE 和△ECG 中，{∠P =∠ECGAP =CE ∠BAE =∠CEG，∴△APE ≌△ECG （ASA ），∴AE＝EG，∵AE＝BF，∴EG＝BF，∵EG∥BF，∴四边形BEGF是平行四边形．。

中考专题复习之矩形、菱形、正方形

∴ ∠BED=2×67.5°=135°.
故答案为 135.
图26-2
基
础
知
识
巩
固
5.如图26-3,在矩形ABCD中,点E在边CD上,将
[答案] 8
矩形ABCD沿AE所在直线折叠,点D恰好落在
[解析]∵ 四边形 ABCD 是矩形,
边BC上的点F处.若DE=5,FC=4,则AB的长为
∴ ∠C=90°,AB=CD,
∴ OB= AB,
2
高
频
考
向
探
究
∴ ∠OAB=30°,∠OBA=60°.
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
1
∴ ∠DBE= ∠OBA=30°.
2
作 DE⊥BC 于 E,如图所示:则
图26-1
∠ DEB=90°,DE=OA= 3 . ∵ ∠ DBE=30°,
∴ BD=2DE=2 3.故答案为:2 3.
基
连接CE.
(2)连接DE交BC于点F,连接AF,若CE=2,∠DAB=30°,求AF的长.
(2)如图,取 BE 中点 G,连接 FG.
1
由(1)可知,FB=FC=FE,∴ FG=2CE=1,FG⊥BE.
∵ 在▱ ABCD 中,AD∥BC,∴ ∠CBE=∠DAB=30°.∴ BG= 3.
菱形的定义
有一组⑥ 邻边
菱形的性质对称性
相等的平行四边形叫做菱形
菱形是轴对称图形,两条对角线所在的直线是它的对称轴
菱形是中心对称图形,它的对称中心是两条对角线的交点
(1)菱形的四条边⑦ 相等
;
定理 (2)菱形的对角线互相⑧垂直平分 ,并且每一条对角线平分
⑨ 一组对角
基
础

2024年中考数学总复习课件：第五章四边形23 矩形与菱形

（2）求四边形的周长．
解：，，，四边形是平行四边形.，.在中，，，.. 四边形是菱形，四边形的周长为．
解法归纳判定一个四边形是菱形的方法有：（1）先证明这个四边形是平行四边形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直或一条对角线平分一组对角；（2）直接根据四条边相等（或对角线互相垂直平分）来判断.菱形的性质可以用于证明线段相等、角相等、直线平行、直线垂直等，时常与三角形全等、勾股定理、方程相结合进行相关问题的计算与证明．
第一部分基础梳理
第五章四边形
23 矩形与菱形
考点
考查内容要求
考查热度
矩形的性质和判定
掌握矩形的定义、性质和判定
____
菱形的性质和判定
掌握菱形的定义、性质和判定
_____
考点一矩形的定义与性质
1.定义：有一个角是______的平行四边形是矩形. 2.性质（1）矩形具有平行四边形的所有性质；（2）矩形的四个角都是______；（3）矩形的对角线______；（4）矩形既是________图形，又是__________图形，它有 ___条对称轴，它的对称中心是______________.
（1）求证：四边形是矩形.
（2）若，，求点到的距离．
（1）求证：四边形是矩形.
证明：，，四边形为平行四边形. ，四边形是矩形．
（2）若，，求点到的距离．
解：，，，.设点到的距离为.，.. 点到的距离为．
相等
垂直
相等
体验4 [2023·武威] 如图，将矩形纸片对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为( )
B
A.2 B.4 C.5 D.6
类型一矩形的判定与性质

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