2020届陕西、湖北、山西部分学校高三3月联考数学(理)试题(解析版)
2020届陕西省高三第三次联考理科数学试题(解析版)
理科数学
一、选择题
1.全集U R ，集合 A x y ln x 1 ， B y y x 2 4x 8 ，则 A ðU B （ ）
A. 1, 2
B. 1, 2
C. 1, 2
D. 1, 2
【答案】A 【解析】 【分析】
首先根据对数函数的性质以及二次函数的图像与性质求出集合 A 、 B ，再利用集合的交、补运算即可求解.
ab
（
）
A. 5
B. 2 5
C. 5
D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量平行的条件列方程，解方程求得
x
的值，求得
a
b
的坐标后，求得
r a
r b
.
【详解】由题得 2x 6 0 . x 3 ，
a b 4, 2 ，
ab
42 22 2 5 .
故选：B
【点睛】本小题主要考查向量平行的坐标表示，考查向量减法和模的坐标运算，属于基础题.
最小值为（ ）
A. 4
B. 5
【答案】C
C. 4 2 2
D. 5 2 2
【解析】
【分析】
将问题转化为求 PA PF 的最小值，根据抛物线的定义可知 PF PD ，即求 PA PD 的最小值，
当 P 、 A 、 D 三点共线时， PA PD 最小，由 PA PD min xA 1 3 1 4 即可求解.
交稿数为（ ）
A. 2800 【答案】D
B. 3000
C. 3200
D. 3400
【解析】
【分析】
先求出总的稿件的数量，再求出高三年级交稿数占总交稿数的比例，再求高三年级的交稿数.
2020届陕西省高三第三次联考数学(理)试卷及解析
2020届陕西省高三第三次联考数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题1.全集U =R ,集合(){}ln 1A x y x ==-,{B y y ==,则()U A B =（ ）A. ()1,2B. (]1,2C. [)1,2D. []1,2【答案】A【解析】 首先根据对数函数的性质以及二次函数的图像与性质求出集合A 、B ,再利用集合的交、补运算即可求解.【详解】{{}2B y y y y ====≥, {}2U B y y =<,(){}{}ln 11A x y x x x ==-=>, ()()1,2U A B ⋂=． 故选：A ．2.已知复数51i z i +=-（i 为虚数单位）,则在复平面内z 所对应的点在（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】根据复数的除法运算,求得复数23z i =+,再结合复数的几何意义,即可求解. 【详解】由题意,根据复数除法运算,可得复数5(5)(1)46231(1)(1)2i i i i z i i i i ++++====+--+, 则在复平面内z 所对应的点为()2,3,在第一象限.故选：A .3.已知向量()2,1a =-,()6,b x =,且//a b ,则a b -=（ ）A. 5B. 25C. 5D. 4【答案】B【解析】 利用向量平行的条件列方程,解方程求得x 的值,求得a b -的坐标后,求得a b -.【详解】由题得260x +=.3x ∴=-,()4,2a b ∴-=-,()224225a b ∴-=-+=.故选：B4.已知二项式()20121n n n x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+,且16a =,则012n a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A. 128B. 127C. 64D. 63【答案】C【解析】 结合二项式展开式的通项公式以及1a ,求得n 的值,利用赋值法求得所求表达式的值.【详解】由题意,二项式()1n x +展开式的通项为1r n r r n T C x -+=,令1=-r n ,可得1n n n T C x -=,即16n n C -=.解得6n =.令1x =,则6012264n a a a a +++⋅⋅⋅+==.故选:C5.某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕,在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征文,收到的稿件经分类统计,得到如图所示的扇形统计图．又已知全市高一年级共交稿2000份,则高三年级的交稿数为（ ）A. 2800B. 3000C. 3200D. 3400 【答案】D。
2020届陕西省高三年级第三次联考理科数学试卷(含答案)
理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则（）A. B.C. D.【答案】D2.已知复数（是虚数单位），则的实部为（）A. B. C. D.【答案】B3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B4.已知向量，，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A5.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到准线的距离为（）A. B. C. 1 D. 3【答案】B6.已知的面积为，三个内角的对边分别为，若，，则三角形是（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 不能确定【答案】A7.阅读如图所示的程序框图，则输出的（）A. 30B. 29C. 90D. 54【答案】D8.同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为，则的数学期望是（）A. 1B.C. 2D.【答案】A9.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B10.函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B11.已知双曲线，若抛物线（为双曲线半焦距）的准线被双曲线截得的弦长为（为双曲线的离心率），则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】D12.已知函数是定义域为的奇函数，且满足，当时，，则方程在区间上的解的个数是（）A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】D【解析】【分析】由条件通过解方程可得时的根为，进而通过分析函数的奇偶性及周期性可得的解得个数. 【详解】∵当时，，令，则，解得.∵，∴函数是周期为4的周期函数.又∵函数是定义域为的奇函数，∴在区间上，，，，，则方程在区间上的解有0，1，2，3，4，5，6，7，8共9个.故应选D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数的图像在处的切线方程是，则______．【答案】1014.已知实数满足，则的最大值是______．【答案】1415.将函数的图像向左平移个单位得到一个偶函数的图像，则____．【答案】16.直三棱柱的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为，则该三棱柱体积的最大值为______．【答案】【解析】【分析】由题意可知三棱柱上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，利用勾股定理建立变量间的关系，结合均值不等式得到最值.【详解】设三棱柱底面直角三角形的直角边为a，b，则棱柱的高，设外接球的半径为r，则，解得，∵上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，∴．∴，∴，∴．当且仅当时“＝”成立．∴三棱柱的体积．故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.已知正项等比数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）．（2）．【解析】【分析】(1) 由题意得，解出基本量即可得到数列的通项公式；(2) 由（1）知，，利用裂项相消法求和.【详解】（1）设数列的公比为q，由已知，由题意得，所以．解得，．因此数列的通项公式为．（2）由（1）知，，∴．18.某工厂某产品近几年的产量统计如下表：年份2013 2014 2015 2016 2017 2018年份代码 1 2 3 4 5 6年产量（万件） 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4（1）根据表中数据，求关于的线性回归方程；（2）若近几年该产品每千克的价格（单位：元）与年产量满足的函数关系式为，且每年该产品都能售完.①根据（1）中所建立的回归方程预测该地区年该产品的产量；②当为何值时，销售额最大？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.【答案】（1）（2）①7. 56②【解析】【分析】（1）求得样本中心点，利用最小二乘法即可求得线性回归方程；（2）①将t=7代入线性回归方程，即可预测该地区2019（t=7）年该农产品的产量；②由题，先表示出，销售额S=（4.5–0.3y）y×107=（–0.3y2+4.5y）×107可知，当y=7.5时，函数S取得最大值，只有y=7.56最靠近y=7.5，可得结果.【详解】（1）由题意，得，，=（–2.5）×（–0.4）+（–1.5）×（–0.3）+0+0.5×0.1+1.5×0.2+2.5×0.4=2.8，=（–2.5）2+（–1.5）2+（–0.5）2+0.52+1.52+2.52=17.5．由，得，又，得，∴y关于t 的线性回归方程为．（2）①由（1）知，当t=7时，，所以预测2019年该农产品的产量为7.56万吨．②当年产量为y时，销售额S=（4.5–0.3y）y×107=（–0.3y2+4.5y）×107（元），当y=75时，函数S取得最大值，又因y∈{6.6，6.7，7，7.1，7.2，7.4，7.56}，计算得当y=7.56，即t=7时，即2019年销售额最大．19.如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面ABC，D，E分别是AC ，的中点．求证：平面；求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定和性质，得到平面，进而证得；（2）建立空间直角坐标系，求面DBE 和面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角的余弦值.【详解】（1）∵，D是AC 的中点，∴，∵平面ABC，∴平面平面ABC，∴平面，∴．又∵在正方形中，D，E分别是AC，的中点，易证得∴△A1AD≌△ACE∴∠A1DA=∠AEC, ∵∠AEC+∠CAE=90°，∴∠A1DA+∠CAE=90° ,即．又，∴平面．又，则（2）取中点F，以DF，DA，DB为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，，，，，设平面DBE的一个法向量为，则，令，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，设二面角的平面角为，观察可知为锐角，故二面角的余弦值为．20.已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过右顶点作直线与椭圆交于另一个点，是左焦点，连接并延长交椭圆于点，当面积最大时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据条件列方程，进而可得椭圆方程；（2）由，将直线与椭圆联立，结合韦达定理，可得，令，可得，又斜率不存在时，，从而得最大值.【详解】（1）设椭圆方程为，由题意知：，解之得，所以椭圆方程为.（2）由题知，当直线斜率存在时，设所在直线为，，，，①，，.代入①式得，令，则，，当斜率不存时，.故当面积最大时，垂直于轴，此时直线的斜率为，则直线的方程：.21.已知函数，，，为自然对数的底数.（1）若，求函数的单调区间；（2）若，方程有个解，求的值.【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）0.【解析】【分析】（1）求函数导数，结合定义域即可得单调区间；（2）设，求函数的导数可得在区间内单调递增，，，结合条件，整理得，结合基本不等式及的范围可得解.【详解】（1）当时，，其定义域为，，解，得，解，得，所以函数的单调增区间为，单调减区间为.（2）设，由题意知有个零点，∵，，记，则，知在区间内单调递增.又∵，，∴在区间内存在唯一的零点，即，于是，.当时，，单调递减；当时，，单调递增.∴，当且仅当时，取等号.由，得，∴，即函数没有零点.即.【点睛】本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性及零点，涉及“隐零点”的解法，是解题的关键，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程与直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于点（不同于原点），与直线交于点，求的值.【答案】（1）:;:;（2）.【解析】【分析】(1) 先根据极坐标与直角坐标的对应关系得出极坐标方程C，将直线参数方程化为普通方程；(2) 将分别代入直线l和曲线C的极坐标方程求出A，B到原点的距离，作差得出|AB|．【详解】（1）∵，∴，∴曲线C的直角坐标方程为．∵直线l的参数方程为（t为参数），∴．∴直线l的极坐标方程为．（2）将代入曲线C的极坐标方程得，∴A点的极坐标为．将代入直线l的极坐标方程得，解得．∴B点的极坐标为，∴．【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于基础题．23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2），使得不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用分段讨论去绝对值解不等式即可；（2）去绝对值得，对于恒成立，设，只需即可得解. 【详解】（1）可化为，∴或或，分别解得或或无解.所以不等式的解集为.（2）由题意：，.设，要想，成立，只需，∵，∴在上单调递增，∴，∴，∴的取值范围为.【点睛】本题主要考查了分类讨论去绝对值的思想及恒成立问题参变分离的方法，属于基础题.。
陕西省2020届高三年级第三次联考理科数学试卷及其答案
初高中数学学习资料的店初高中数学学习资料的店 第 1 页 共 14 页 陕西省2020届高三年级第三次联考理科数学一、选择题1．全集U =R ，集合(){}ln 1A x y x ==-，{B y y ==，则()U A B ⋂=ð（ ） A ．()1,2 B ．(]1,2 C ．[)1,2 D ．[]1,2 2．已知复数51i z i +=-（i 为虚数单位），则在复平面内z 所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知向量()2,1a =-，()6,b x =，且//a b ，则a b -=（ ）A ．5B． CD ．4 4．已知二项式()20121n n n x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，且16a =，则012n a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．128B ．127C ．64D ．635．某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕，在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征文，收到的稿件经分类统计，得到如图所示的扇形统计图．又已知全市高一年级共交稿2000份，则高三年级的交稿数为（ ）A ．2800B ．3000C ．3200D ．34006．已知点()(),,0a b a b >在直线240x y +-=上，则12a b +的最小值为（ ） A ．6 B ．4 C ．3D ．2 7．设a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）A ．若a ，b 与α所成的角相等，则//a bB ．若//a α，//b β，//αβ，则//a bC ．若a α⊂，b β⊂，//a b ，则//αβD ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥。
2020年3月高三第三次在线大联考 理科数学-(新课标Ⅰ卷)(全解全析答案)
2020年3月高三第三次在线大联考（新课标Ⅰ卷）理科数学 全解全析1 2 3 4 5 6 7 89 10 11 12 CDBDBBABDBDC1．C 【解析】因为{|20}{|2}A x x x x =-≥=≤，{|ln(1)}{|1}B x y x x x =∈=+=∈>-Z Z ，所以{0,1,2}A B =I .故选C ．2．D 【解析】因为满足|i ||i |z z -=+的点Z 为复平面内到点(0,1)和(0,1)-的距离相等的点的集合，所以(,)Z x y 的轨迹为x 轴，其方程为0y =.故选D ．3．B 【解析】因为95593S a a ==，所以50a =，则5454S S a S =+=.故选B ．4．D 【解析】由统计图可知，各月同比全部上涨，平均涨幅为(1.7 1.5 2.3 2.5 2.7 2.7 2.8 2.8++++++++ 3.0 3.8 4.5 4.5 5.4)131% 3.09%++++÷⨯≈，超过3%，故A 正确；各月环比有涨有跌，平均涨幅为(0.5+ 1.00.40.10.00.10.40.70.90.90.40.0 1.4)131%0.446%-++-+++++++÷⨯≈，超过0.3%，故B 正确；同比涨幅最大的是2020年1月，环比涨幅最大的也是2020年1月，故C 正确；环比跌幅最大的是2019年3月，同比涨幅最小的是2019年2月，故D 错误，故选D ．5．B 【解析】初始：1k =，2T =，第一次循环：2282 2.8133T =⨯⨯=<，2k =，继续循环；第二次循环：8441282.833545T =⨯⨯=>，3k =，此时 2.8T >，满足条件，结束循环， 所以判断框内填入的条件可以是3?k ≥，所以正整数m 的最小值是3，故选B ．6．B 【解析】作出不等式组2202201,1x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-≥-⎩表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设2z x y =+，则2y x z =-+，平移该直线，当直线2y x z =-+经过点A 时，z 取到最大值，由220220x y x y -+=⎧⎨--=⎩得22x y =⎧⎨=⎩，即(2,2)A ，则max 426z =+=；当直线2y x z =-+经过点C 时，z 取到最小值，易得(1,1)C --，则min 213z =--=-，所以2x y +的取值范围是[3,6]-.故选B ．7．A 【解析】因为5()2sin()52sin ()()3333x x x xx x x xf x f x ---+-+-===--，所以)(x f 是偶函数，排除B,D ，因为ππ5π(π)033f -=>-，排除C ，故选A. 8．B 【解析】2222221112(1)32(1)31111y t t t t t t =-+=++-≥+⋅-=-+++，当且仅当22111t t +=+，即0t =时，取等号，y 取得最小值为1-，此时，(1,0),(2,1)=-=-a b ，则25cos ,||||15⋅===-⋅⨯a b a b a b .故选B ．9．D 【解析】当43n k =-或42n k =-时，1[]2(1)1n --=；当41n k =-或4n k =时，1[]2(1)1n --=-，所以4342k k a a --+2222414(43)(42)(41)(4)3212k k a a k k k k k -++=-+----=-+，所以数列{}n a 的前60项和60S =32123215121536602-+-⨯+⨯=-.故选D ．10．B 【解析】2261cos22π()6sin cos 2cos sin 222sin(2)26x f x x x x x x +=+-=+⋅-=+，将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到π()2sin(4)6g x x =+的图象.对于①，π4ππ()2sin()2336g =+=-，故函数()g x 的图象不关于点π(,0)3成中心对称，所以①错误；对于②，由(π,π)x ∈-得π23π25π4(,)666x +∈-，结合函数图象可得()g x 在(π,π)-上有8个极值点，所以②正确；对于③，由ππ24x -≤≤-，得11ππ5π4666x -≤+≤-，则2()2g x -≤≤，所以()g x 的最大值为2，最小值为2-，所以③正确；对于④，当ππ44x -<<时，5ππ7π4666x -<+<，故函数()g x 在区间ππ(,)44-上不单调， 所以④错误.故选B ．11．D 【解析】连接,AC BD ，设AC BD H =I ，连接SH ，根据题意可得SH ⊥平面ABCD .设O 为四棱锥S ABCD -的外接球的球心，则O 在SH 上，连接OC ，设此四棱锥的外接球的半径为R ，则OS OC R ==，如图所示.因为正方形ABCD 21,2,1CH SC SH ===，所以,H O 重合，即四棱锥的外接球的半径为1R =，所以四棱锥的外接球的表面积为24π4πS R ==.故选D ．12．C 【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为4x my =+，与24y x =联立得24160y my --=，则124y y m +=，1216y y =-，所以212121212(4)(4)(1)4()1616(1OA OB my my y y m y y m y y ⋅=+++=++++=-u u u r u u u r22)16160m m +++=，所以OA OB ⊥，则222||||||OA OB AB +=,所以||||OA OB +≤|AB =（当且仅当||||OA OB =时等号成立），所以||||||OA OB AB +.故选C ．13．120- 【解析】由题意，5(21)x y +-的展开式中含22x y 的项为2222122531C C (2)C (1)120x y x y ⨯⨯⨯-=-，所以所求系数为120-. 14．9【解析】因为(0,π)α∈，所以ππ7π(,)666α+∈，又因为π1sin()063α+=-<，所以π7π(π,)66α+∈，所以πcos()63α+=-.则πππ1sin(2)2sin()cos()2()(3663ααα+=++=⨯-⨯. 15．2 【解析】设12||,||MF m MF n ==，12F MF θ∠=，则22242cos c m n mn θ=+-.又2m n a -=，即22224m n mn a +-=，解得21cos mn θ=-，所以12122cos ||||cos cos 1cos MF MF MF MF mn θθθ=θ⋅=⋅⋅==-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r211cos θ-，因为ππ[,]43θ∈，所以1cos 2θ≤12cos θ≤≤1111cos θ≤-≤，则2211cos θ≤≤-2=，所以12MF MF ⋅u u u u r u u u u r的最大值为2+. 16．【解析】设直线l 与函数()f x 及()g x 的图象分别相切于1(,)(0)A m m m <，2(,)B n n a +，因为21()f x x '=-，所以函数()f x 的图象在点A 处的切线方程为211()y x m m m -=--，即212y x m m=-+，因为()2g x x '=，所以函数()g x 的图象在点B 处的切线方程为22()y n a n x n --=-，即22y nx n a =-+，因为存在直线l 与函数()f x 及()g x 的图象都相切，所以22122n mn a m ⎧=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，所以4124a m m =+， 令1(0)t t m =<，设41()2(0)4h t t t t =+<，则3()2h t t '=+，当t <()0h t '<，函数()h t单调递减；当0t <时，()0h t '>，函数()h t 单调递增，所以min()(h t h ==，所以实数a的最小值为 17．（本小题满分12分）【解析】（1）在Rt ABD △中，由cos ABD ∠2sin 3ABD ∠，所以3sin ADBD ABD==∠.（3分）在BCD △中，由余弦定理得2222232cos 3423425123BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=-，所以25123BC =-.（6分）（2）设CBD x ∠=，由C ADC ∠=∠，π6BDC ∠=可得5π6C x ∠=-，π6ABD x ∠=-， 在Rt ABD △中，因为2AD =，所以2πsin sin()6AD BD ABD x ==∠-，（8分）在BCD △中，由正弦定理得sin sin BD CDC CBD =∠，即45πsin sin()6BD x x =-， 所以24π5πsin sin()sin()66xx x =--，整理得24sin 2sin 10x x --=.（10分） 由sin 0x >得15sin x +=，所以15sin CBD +∠=.（12分） 18．（本小题满分12分）【解析】（1）因为正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABMN ， 因为MN ⊂平面ABMN ，BN ⊂平面ABMN ，所以BC MN ⊥，BC BN ⊥，由2,23BC CN ==，得2222BN CN BC =-=，由2NA AB ==，可得AB AN ⊥，（3分） 在直角梯形ABMN 中, 可得22MN =，由4BM =，22BN MN ==，可得222BN MN BM +=，所以BN MN ⊥， 因为BC BN B =I ，所以MN ⊥平面BCN ，因为MN ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面BCN .（6分）（2）如图，以B 为坐标原点，,,BA BM BC 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系B-xyz ，则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2)B C D ,(0,4,0),(2,2,0)M N ,(2,2,0)MN =-u u u u r ,(2,2,2)CN =-u u u r ,(0,2,2)DN =-u u u r,设111(,,)x y z =n 是平面CMN 的法向量，则00MN CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r n n ，即111112202220x y x y z -=⎧⎨+-=⎩， 取11x =，得(1,1,2)=n .（8分）设222(,,)x y z =m 是平面DMN 的法向量，则0MN DN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u r m m ，即2222220220x y y z -=⎧⎨-=⎩，取21z =，得(1,1,1)=m ，（10分）设二面角C MN D --的平面角为θ，则cos ||||θ⋅===n m n m由图可知二面角C MN D --.（12分） 19．（本小题满分12分）【解析】（1）设c =，由12,l lπ2sin 3c 1c =，（2分） 由椭圆C 的离心率为12，得12c a =，所以2a =，b 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（5分）（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =±，点12,F F 到直线l 的距离之积为3；（6分） 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，联立y kx m =+及22143x y +=，消去y 得222(34)84120k x kmx m +++-=，（8分） 因为直线l 与椭圆C 只有一个公共点，所以22222(8)4(34)(412)48(43)0km k m m k ∆=-+-=---=， 所以2243m k =+.点1(1,0)F -到直线l ：y kx m =+的距离1d =点2(1,0)F 到直线l ：y kx m =+的距离2d =，所以22221222|||43|311m k k k d d k k -+-===++，（11分） 综上可得，若直线l 与椭圆C 只有一个公共点，则点12,F F 到直线l 的距离之积为3.（12分） 20．（本小题满分12分）【解析】（1）（ⅰ）样本的平均数为1(23212219221917192117)2010⨯+++++++++=，样本的标准2=，因此20μ=，2σ=.（2分）（ⅱ）学校7点30分上课，若该学生7点04分准时从家出发，则该学生到达教室所花时间最多为26分钟，若该学生7点06分准时从家出发，则该学生到达教室所花时间最多为24分钟，由于11(26)(3)1[(1(33)]1(10.9974)0.998722P X P X P X μσμσμσ<=<+=-⨯--<<+=-⨯-=，11(24)(2)1[(1(22)]1(10.9544)0.977222P X P X P X μσμσμσ<=<+=-⨯--<<+=-⨯-=.（4分）所以该学生上学不迟到的概率的范围是(0.9772,0.9987).（6分）（2）把该学生这10天早上从家出发到教室所花的时间从小到大排列为17，17，19，19，19，21，21，22，22，23.在这10天中任取2天，所花时间的差的绝对值为Y ，则Y 的可能值为0,1,2,3,4,5,6，且22222322210C C C C 62(0)C 4515P Y +++====，11112221210C C C C 62(1)C 4515P Y +====， 111111232321210C C C C C C 14(2)C 45P Y ++===，1132210C C 62(3)C 4515P Y ====，11112231210C C C C 7(4)C 45P Y +===， 1122210C C 4(5)C 45P Y ===，1121210C C 2(6)C 45P Y ===，（10分）所以Y 的分布列是Y 的数学期望是22142742112()01234561515451545454545E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（12分） 21．（本小题满分12分）【解析】（1）因为()cos(1)(1ln )f x x x x =-+-，所以()()sin(1)ln (0)g x f x x x x '==--->，（1分） 设1()ln (0)h x x x x =-->，则22111()xh x x x x-'=-+=，当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 是增函数；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 是减函数, 所以()(1)1h x h ≤=-，即1ln 1x x --≤-，所以1ln 1x x-≤-，当1x =时取等号.（4分） 因为sin(1)1x --≤，所以1()sin(1)ln 1ln g x x x x x=---≤-≤，等号不同时成立， 所以1()g x x<.（6分） （2）因为()sin(1)ln g x x x =---，所以1()cos(1)g x x x'=---， 当(0,1]x ∈时，1cos(1)0,0x x->>，()0g x '<，所以()g x 在(0,1]上是减函数，当(0,1]x ∈时()(1)0g x g ≥=， 即(0,1]x ∈时()0f x '≥，所以()f x 在(0,1]上是增函数；（8分）(1,1π)x ∈+时，1(0,π)x -∈，所以sin(1)0,ln 0x x --<-<，所以()0g x <，当[1π,)x ∈++∞时,sin(1)1,ln 1x x --≤-<-，所以()0g x <，所以当(1,)x ∈+∞时()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在(1,)+∞上是减函数， 综上，可得()f x 在(0,1]上是增函数，在(1,)+∞上是减函数.（12分） 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程【解析】（1）由82x t=+可得0x ≠， 由8242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去参数t ，可得直线l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠．（2分）由2sin ρθ=可得22sin ρρθ=，将sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，可得2220x y y +-=， 所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=．（5分） （2）由（1）得，l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠，将其化为极坐标方程可得cos sin 40()2ρθρθθπ+-=≠，（7分）当()04θρπ=>时，A ρ=B ρ=所以|||||A B AB ρρ=-==（10分） 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲【解析】（1）当2a =时，12,211()|21||21|4,2212,2x f x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，（2分）当12x <-或12x >时，|()|2f x =，所以1()1f x -≤≤可转化为1124211x x -≤-≤≤⎧≤⎪⎨⎪⎩，解得1144x -≤≤，所以不等式1()1f x -≤≤的解集为11[,]44-．（5分）（2）因为1(,0)2x ∈-，所以|21|21x x +=+，所以()2f x x >，即21|1|2x ax x +-->，即|1|1ax -<．当0a ≥时，因为1(,0)2x ∈-，所以|1|1ax -≥，不符合题意．（7分）当0a <时，解|1|1ax -<可得20x a<<，（8分） 因为当1(,0)2x ∈-时，不等式()2f x x >恒成立，所以12(,0)(,0)2a-⊆，所以212a ≤-，解得40a -≤<，所以实数a 的取值范围为[4,0)-．（10分）。
陕西、湖北、山西部分学校2020届高三3月联考294C数学(解析版)
2020年陕西省、湖北省、山西省部分学校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题（本大题共12小题）1. 设集合A ={x|1−x ≥0}，B ={x|x 2−x −2<0}，则A ∩B =( )A. [1,2)B. (−1,1]C. (−1,1)D. (−2,1]2. 已知a ，b ∈R ，3+ai =b −(2a −1)i ，则( )A. b =3aB. b =6aC. b =9aD. b =12a 3. 若直线2x +4y +m =0经过抛物线y =2x 2的焦点，则m =( )A. 12B. −12C. 2D. −24. 已知函数f(x)={2x −x,x ≥0x 2+1,x <0，则f(f(−1))=( )A. 2B. 3C. 4D. 55. 要得到函数y =2sin(2x +π6)的图象，只需将函数y =2cos2x 的图象( )A. 向左平移π3个单位长度 B. 向右平移π3个单位长度 C. 向左平移π6个单位长度D. 向右平移π6个单位长度6. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AD =3，AA 1=AB =4，则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值为( )A. √25B. 25C. 2√25D. 457. 已知数列{a n }是公差为d(d ≠0)的等差数列，且a 1，a 3，a 6成等比数列，则a1d =( )A. 4B. 3C. 2D. 18. 如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是( )A. 甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B. 甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C. 甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D. 甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是1039. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了( ) A. 96里 B. 72里 C. 48里 D. 24里10. 已知整数x ，y 满足x 2+y 2≤10，记点M 的坐标为(x,y)，则点M 满足x +y ≥√5的概率为( )A. 935B. 635C. 537D. 73711.已知函数f(x)=ln(√x2+1−x)+3−x−3x，不等式f(a√x2+4)+f(x2+5)≤0对x∈R恒成立，则a的取值范围为()A. [−2,+∞)B. (−∞,−2]C. [−52,+∞) D. (−∞,−52]12.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点为F1，F2，一条渐近线方程为l：y=−ba x，过点F1且与l垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于P，Q，满足OP⃗⃗⃗⃗⃗ =1 2OF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则该双曲线的离心率为()A. √10B. 3C. √5D. 2二、填空题（本大题共4小题）13.已知向量a⃗=(1,2),b⃗ =(−3,2),若向量k a⃗+b⃗ 与2a⃗−b⃗ 共线，则k=______．14.已知实数x，y满约束条件{x−y+2≥02x+y−5≤0y≥1，则z=−x+3y的最大值为______．15.已知函数f(x)=e x+ax−1，若x≥0，f(x)≥0恒成立，则a的取值范围是______．16.已知三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA=BC=5,PB=AC=√15,PC=AB=2√5，则球O的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2a=√5csinB+2bcosC．(1)求tan B；(2)若a=√5,c=3，求b．18.如图，已知四棱锥P−ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AB=3，AP=4，E为PD的中点，AE⊥PC．(1)求线段AD的长．(2)若M为线段BC上一点，且BM=1，求二面角M−PD−A的余弦值．19.某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种．方案一：每满100元减20元；方案二：满100元可抽奖一次．具体规则是从装有2个红球、2个白球的箱子随机取出3个球(逐个有放回地抽取)，所得结果和享受的优惠如表：(注：所有小球仅颜色有区别)100元，若该顾客选择方案二，求该顾客获得7折或8折优惠的概率；(2)若某顾客购物金额为180元，选择哪种方案更划算？20.椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>1)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆E上两动点P，Q使得四边形PF1QF2为平行四边形，且平行四边形PF1QF2的周长和最大面积分别为8和2√3．(1)求椭圆E的标准方程；(2)设直线PF2与椭圆E的另一交点为M，当点F1在以线段PM为直径的圆上时，求直线PF2的方程．21.已知函数f(x)=ae x−x2．(1)若曲线f(x)存在与y轴垂直的切线，求a的取值范围．(2)当a≥1时，证明：f(x)≥1+x−32x2．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的标准方程为x24+y2=1.以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为√2ρsin(θ+π4)=3√5．(1)求直线l的直角坐标方程；(2)若点P在曲线C上，点Q在直线l上，求|PQ|的最小值．23.已知函数f(x)=|x+1|−|4−2x|．(1)求不等式f(x)≥13(x−1)的解集；(2)若函数f(x)的最大值为m，且2a+b=m(a>0,b>0)，求2a +1b的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由题意A ={x|1−x ≥0}={x|x ≤1}，B ={x|−1<x <2}，则A ∩B =(−1,1]． 故选：B ．先化简集合，根据集合的包含关系求交集．本题考查集合的交集，以及不等式的化简，属于基础题． 2.【答案】C【解析】解：由3+ai =b −(2a −1)i ，得{3=ba =1−2a，即a =13，b =3． ∴b =9a ． 故选：C ．直接利用复数相等的条件列式求得a ，b 的值得答案． 本题考查复数相等的条件，是基础题． 3.【答案】B【解析】解：y =2x 2可化为x 2=12y ，焦点坐标为(0,18)， 由题意可得：2×0+4×18+m =0，故m =−12．故选：B ．由抛物线的方程可得焦点坐标，代入直线方程可得m 的值． 本题考查抛物线的性质及点在直线上的性质，属于基础题． 4.【答案】A【解析】A 解：因为f(x)={2x −x,x ≥0x 2+1,x <0，∴f(−1)=(−1)2+1=2；所以：f(f(−1))=f(2)=22−2=2． 故选：A ．根据分段函数的解析式，先求出f(−1)的值，再求f(f(−1))的值．本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题． 5.【答案】D【解析】解：因为y =2sin(2x +π6)=2cos(2x −π3)=2cos[2(x −π6)]， 所以只需将y =2cos2x 的图象向右平移π6个单位即可，故选：D ．由题意利用诱导公式、函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查诱导公式、函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题． 6.【答案】C【解析】解：由题意可得AC =AD 1=5,A 1B =CD 1=4√2．因为A 1B//CD 1，所以∠ACD 1是异面直线A 1B 与AC 所成的角，记为θ， 故cosθ=AC 2+CD 12−AD 122AC⋅CD 1=2×5×4√2=2√25． 故选：C ．根据长方体相对的平面上的两条对角线平行，得到两条异面直线所成的角，这个角在一个可以求出三边的三角形中，利用余弦定理得到结果．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题． 7.【答案】A【解析】解：由数列{a n }是公差为d(d ≠0)的等差数列，且a 1，a 3，a 6成等比数列得a 32=a 1⋅a 6， 即(a 1+2d)2=a 1(a 1+5d).化为4d 2=a 1d ，又d ≠0，解得a1d =4．故选：A ．运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，化简方程可得所求值．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题． 8.【答案】D【解析】解：由茎叶图得：甲班的平均分是x 1−=15(97+101+103+107+112)=104， 中位数是：103，方差是：S 12=15[(97−103)2+(101−103)2+(103−103)2+(107−103)2+2(112−103)2]=6.4；乙班的平均分是x 2−=15(95+98+101+103+113)=102， 中位数是101，方差是：S 22=15[(95−102)2+(98−102)2+(101−102)2+(103−102)2+(113−102)2]37.6，故A ，B ，C 均正确．因为甲、乙两班的人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，故D 错误． 故选：D ．分别求出甲、乙两班的平均分、中位数、方差，得到A ，B ，C 均正确．再由甲、乙两班的人数不知道，从而得到两班的总平均分无法计算．本题考查平均分、中位数、方差的求法，考查茎叶图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 9.【答案】B【解析】解：由题意可知此人每天走的步数构成12为公比的等比数列， 由题意和等比数列的求和公式可得a 1[1−(12)6]1−12=378，解得a 1=192，∴此人第二天走192×12=96里， 此人第四天走192×(12)3=24里， ∴第二天比第四天多走了96−24=72里， 故选：B ．由题意得：每天行走的路程成等比数列{a n }、且公比为12，由条件和等比数列的前项和公式求出a 1，由等比数列的通项公式求出答案即可．本题考查等比数列的前项和公式、通项公式的实际应用，属于基础题． 10.【答案】D【解析】解：∵整数x ，y 满足x 2+y 2≤10， ∴满足条件的(x,y)有：(0,0)，(1,0)，(−1,0)，(2,0)，(−2,0)，(3,0)，(−3,0)，(0,1)，(0,−1)，(0,2)，(0,−2)，(0,3)，(0,−3)，(1,1)，(1,−1)，(1,2)，(1,−2)，(1,3)，(1,−3)， (−1,−1)，(−1,1)，(−1,2)，(−1,−2)，(−1,3)，(−1,−3)，(2,−1)，(2,1)，(2,−2)，(2,2)，(3,1)，(3,−1)，(−2,1)，(−2,−1)，(−2,2)，(−2,−2)，(−3,1)，(−3,−1)，共37个， 记点M 的坐标为(x,y)，则点M 满足x +y ≥√5的(x,y)有：(0,3)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，共7个， ∴点M 满足x +y ≥√5的概率为P =737．故选：D ．整数x ，y 满足x 2+y 2≤10，列出举满足条件的(x,y)有37个，记点M 的坐标为(x,y)，列举出点M 满足x +y ≥√5的(x,y)有7个，由此能求出点M 满足x +y ≥√5的概率． 本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 11.【答案】C【解析】解：函数f(x)=ln(√x 2+1−x)+3−x −3x ，可得f(−x)=ln(√x 2+1+x)+3x −3−x =−f(x),f(x)=ln(√x 2+1−x)+3−x −3x 是奇函数，由y)=−ln(√x 2+1+x)在[0,+∞)上递减，y =3−x −3x 在[0,+∞)上递减， 可得y =f(x)在[0,+∞)上递减 则y =f(x)在R 上单调递减，不等式f(a√x 2+4)+f(x 2+5)≤0，即f(a√x 2+4)≤−f(x 2+5)，即f(a√x 2+4)≤f(−x 2−5)， 结合函数的单调性可得a√x 2+4≥−x 2−5,a ≥−x 2−5√x 2+4=−(√x 2+4+1√x 2+4),−(√x 2+4+1√x 2+4)max =−52，所以a ≥−52．故选：C ．由奇偶性的定义，计算f(−x)，并与f(x)比较；结合单调性的性质可得f(x)在R 上递减，原不等式等价为f(a√x 2+4)≤f(−x 2−5)恒成立，运用单调性和参数分离，结合对勾函数的单调性可得最大值，进而得到a 的范围．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和参数分离，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题． 12.【答案】A【解析】A 设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，直线PQ 的方程为x =ba y −c ． 联立{x =ba y −cb 2x 2−a 2y 2=a 2b 2整理得(b 4−a 4)y 2−2ab 3cy +a 2b 4=0，则y 1+y 2=2ab 3(b 2−a 2)c ,y 1y 2=a 2b 4(b 2−a 2)c 2．因为OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以P 为线段QF 1的中点，所以y 2=2y 1，(y 1+y 2)2y 1⋅y 2=92=4a 2b 6(b 2−a 2)c 2(b 2−a 2)2c 2a 2b 4=4b 2(b 2−a 2)，整理得b 2=9a 2，又e 2=1+b 2a 2 故该双曲线的离心率e =√10．故选：A ．设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，直线PQ 的方程为x =ba y −c.联立整理得利用韦达定理可得y 1+y 2=2ab 3(b 2−a 2)c,y 1y 2=a 2b 4(b 2−a 2)c 2.结合OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得y 2=2y 1，整理得b 2=9a 2，即可求解．本题考查了双曲线的性质、离心率，考查了转化思想、运算能力，属于中档题． 13.【答案】−2【解析】解：由已知可得k a ⃗ +b ⃗ =k(1,2)+(−3,2)=(k −3,2k +2)， 2a ⃗ −b ⃗ =2(1,2)−(−3,2)=(5,2)， 因为向量k a ⃗ +b ⃗ 与2a ⃗ −b ⃗ 共线，所以2(k −3)−5(2k +2)=0， 解得k =−2 故答案为：−2 由题意易得向量k a ⃗ +b ⃗ 与2a ⃗ −b ⃗ 的坐标，由向量共线的条件可得关于k 的方程，解之即可．本题考查向量共线的坐标表示，属基础题．14.【答案】8【解析】解：根据约束条件{x−y+2≥02x+y−5≤0y≥1，画出可行域，图中阴影部分为可行域．又目标函数z=−x+3y,z3表示直线x−3y+z=0在y轴上的截距，由图可知当x−3y+z=0经过点P(1,3)时截距最大，故z的最大值为8．故答案为：8．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．15.【答案】[−1,+∞)【解析】解：因为f(x)=e x+ax−1，所以f′(x)=e x+a，因为x≥0，所以f′(x)≥a+1，①当a+1≥0，即a≥−1时，f′(x)≥0，则f(x)在[0,+∞)上单调递增，从而f(x)≥f(0)=0，故a≥−1符合题意；②当a+1<0，即a<−1时，因为f′(x)=e x+a在[0,+∞)上单调递增，且f′(0)=a+ 1<0，所以存在唯一的x0∈(0,+∞)，使得f′(x0)=0，当0≤x<x0时，f′(x)<0，则f(x)在[0,x0)上单调递减，从而f(x)≤f(0)=0，故a<−1不符合题意，综上，a的取值范围是[−1,+∞)，故答案为：[−1,+∞)．先求出导函数f′(x)，由题意可得f′(x)≥a+1，再对a+1的范围分情况讨论，a≥−1时f(x)在[0,+∞)上单调递增，从而f(x)≥f(0)=0符合题意，a<−1时存在x0∈(0,+∞)，使得f′(x0)=0，f(x)在[0,x0)上单调递减，从而f(x)≤f(0)=0，故a<−1不符合题意，从而得到a的取值范围．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，是中档题．16.【答案】30π【解析】解：如图所示，将三棱锥P−ABC补成长方体．球O为长方体的外接球，长、宽、高分别为a，b，c，则a2+b2=25，b2+c2=20，a2+c2=15，所以a2+b2+c2=30，所以球O的半径R=√302，则球O的表面积为S=4πR2=4π(√302)2=30π．故答案为：30π．由题意可得此三棱锥的对棱相等，放在长方体中，可得长方体的长宽高的平方和，再由外接球的直径等于长方体的对角线求出半径，进而求出球的表面积．本题主要考查三棱锥与长方体的关系及球的表面积公式，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2a =√5csinB +2bcosC ．∴2sinA =√5sinCsinB +2sinBcosC ； ①∵sinA =sin[π−(B +C)]=sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC ； ② ①②联立得：2cosBsinC =√5sinCsinB ； 因为sinC ≠0⇒2cosB =√5sinB ； ∴tanB =2√5；(2)由(1)得2cosB =√5sinB ；且sin 2B +cos 2B =1，cosB >0； ∴cosB =√53； ∴b 2=a 2+c 2−2accosB =(√5)2+32−2×3×√5×√53=4⇒b =2．【解析】(1)直接利用三角形的内角和以及两角和的正弦展开式即可求解结论；(2)先利用(1)的结论以及同角三角函数关系式求出cos B ，再利用余弦定理即可求解． 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．18.【答案】解：(1)分别以AB ，AP ，AD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A −xyz ． 设AD =t ，则A(0,0,0),E(0,2,t2),C(3,0,t),P(0,4,0)，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,t2),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−4,t)． 因为AE ⊥PC ，所以AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即16−t 2=0，解得t =4， 所以AD 的长为4． (2)因为BM =1，所以M(3,0，1)，又P(0,4，0)，D(0,0，4)，故DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,−4),DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,−3)． 设n ⃗ =(x,y,z)为平面DMP 的法向量，则{n ⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =4y −4z =0n ⃗ ⋅DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3x −3y =0，取z =1，解得y =1，x =1，所以n⃗ =(1,1,1)为平面DMP 的一个法向量， 显然，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,0)为平面PDA 的一个法向量，则cos〈n ⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=n ⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=33√1+1+1=√33， 据图可知，二面角M −PD −A 的余弦值为√33．【解析】(1)建立空间直角坐标系，设AD =t ，求出AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =0，解出t 即可；(2)求出平面MPD 及平面PAD 的法向量，利用向量的夹角公式计算得出．本题考查利用空间向量研究立体几何中的距离，空间角问题，考查数形结合思想及计算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)从装有2个红球、2个白球的箱子随机取出1个红球的概率24=12，白球的概率为24=12，根据二项分布，抽取3个球该顾客获得7折优惠的概率P 1=C 33(12)3=18， 该顾客获得8折优惠的概率P 2=C 32⋅(12)2⋅12=38， 故该顾客获得7折或8折优惠的概率P =P 1+P 2=18+38=12；(2)若选择方案一，则付款金额为180−20=160，若选择方案二，记付款金额为X 元，则X 可取的值为126，144，162，180， P(X =126)=18，P(X =144)=C 32(12)3=38， P(X =162)=C 31(12)1(12)2=38，P(X =180)=C 30(12)3=18，则E(X)=126⋅18+144⋅38+162⋅38+180⋅18=153， 因为160>153，所以选择方案二更为划算．【解析】(1)从装有2个红球、2个白球的箱子随机取出1个红球的概率24=12，白球的概率为24=12，根据二项分布，求出顾客获得7折或8折优惠的概率即可；(2)若选择方案一，则付款金额为180−20=160，若选择方案二，记付款金额为X 元，则X 可取的值为126，144，162，180，求出概率和数学期望，判断即可．本题考查了离散型随机变量的应用，还考查了二项分布的应用，求数学期望，考查了运算能力和实际应用能力，中档题．20.【答案】解：(1)由平行四边形PF 1QF 2的周长为8，可知4a =8，即a =2．由平行四边形的最大面积为2√3，可知bc =√3， 又a >b >1，解得b =√3,c =1． 所以椭圆方程为x 24+y 23=1．(2)注意到直线PF 2的斜率不为0，且过定点F 2(1,0)． 设l PF 2：x =my +1,P(x 1,y 1),M(x 2,y 2)，由{x =my +1x 24+y 23=1消x 得(3m 2+4)y 2+6my −9=0，所以y 1+y 2=−6m3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4，因为F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 1+2,y 1),F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 2+2,y 2)，所以F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 1+2)(my 2+2)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+2m(y 1+y 2)+4=−9(m 2+1)3m 2+4−12m 23m 2+4+4=7−9m 23m 2+4．因为点F 1在以线段PM 为直径的圆上，所以F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即m =±√73，所以直线PF 2的方程3x +√7y −3=0或3x −√7y −3=0．【解析】(1)由平行四边形PF 1QF 2的周长为8，求出a =2.由平行四边形的最大面积为2√3，可知bc =√3，然后求解椭圆的方程即可．(2)注意到直线PF 2的斜率不为0，且过定点F 2(1,0)，设l PF 2：x =my +1,P(x 1,y 1),M(x 2,y 2)，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及向量的数量积推出F 1P⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即m =±√73，即可得到直线方程．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】(1)解：由题可得，f′(x)=ae x −2x =0在x ∈R 上有解， 则a =2xe x ，令g(x)=2xe x ，g′(x)=2−2x e x，当x <1时，g′(x)>0，g(x)单调递增； 当x >1时，g′(x)<0，g(x)单调递减． 所以x =1是g(x)的最大值点，所以a ≤2e ．(2)证明：由a ≥1，则ae x ≥e x ，所以f(x)≥e x −x 2，要证明f(x)≥1+x −32x 2，只需证e x −x 2≥1+x −32x 2，即证e x +12x 2−x −1≥0． 记ℎ(x)=e x +12x 2−x −1,ℎ′(x)=e x +x −1,ℎ′(x)在R 上单调递增，且ℎ′(0)=0， 当x <0时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减； 当x >0时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增．所以x =0是ℎ(x)的最小值点，ℎ(x)≥ℎ(0)=0，则e x +12x 2−x −1≥0， 故f(x)≥1+x −32x 2．【解析】(1)求出f(x)的定义导函数，利用切线的斜率为0，求出a ，然后求解a 的取值范围；(2)根据a ≥1，则不等式等价于证明e x −x 2≥1+x −32x 2，构造函数ℎ(x)=e x +12x 2−x −1，利用导数求出其最小值为ℎ(0)，进而可证得结论本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值，切线方程的应用，考查计算能力．22.【答案】解：(1)直线l 的极坐标方程为√2ρsin(θ+π4)=3√5.整理得：√2×√22ρsinθ+√2×√22ρcosθ=3√5，转换为直角坐标方程为x +y −3√5=0． (1)曲线C 的标准方程为x 24+y 2=1.转换为参数方程为：{x =2cosθy =sinθ(θ为参数)，设点P(2cosθ,sinθ)， 所以|PQ|=√5|√2=√5sin(θ+α)−3√5|√2，当θ+α=π2时，|PQ|min=√5√2=√10．【解析】(1)直接利用转换关系的应用求出结果．(2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)f(x)=|x+1|−|4−2x|={x−5,x<−13x−3,−1≤x≤2−x+5,x>2，因为f(x)≥13(x−1)，所以{x<−1x−5≥13(x−1)或{−1≤x≤23x−3≥13(x−1)或{x>2−x+5≥13(x−1)，解得1≤x≤2或2<x≤4．故不等式f(x)≥13(x−1)的解集为[1,4]．(2)由(1)可知f(x)的最大值m=f(2)=3．因为2a+b=3(a>0,b>0)，所以2a +1b=13(2a+b)(2a+1b)=13(2ab+2ba+5)≥13×(2×2+5)=3，当且仅当a=b=1时，等号成立，故2a +1b的最小值是3．【解析】(1)将函数f(x)化为分段函数的形式，再分类讨论去掉绝对值，解不等式组后取并集即可得到解集；(2)由(1)知，2a+b=3，再利用基本不等式即可求得所求式子的最小值．本题考查绝对值不等式的解法以及利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于基础题．。
2020年陕西省高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)
2020年陕西省高考数学三模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足（1-i）z=1+i，则复数z=（）A. 1+iB. 1-iC. iD. -i2.设集合A={x|-1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B等于（）A. {-1，0，1，2，3}B. {0，1，2，3}C. {1，2，3}D. {2}3.若向量=（1，1），=（-1，3），=（2，x）满足（3+）•=10，则x=（）A. 1B. 2C. 3D. 44.已知tan（α+）=-2，则tan（）=（）A. B. C. -3 D. 35.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n-1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…则此数列的前15项和为（）A. 110B. 114C. 124D. 1256.若正数m，n满足2m+n=1，则+的最小值为（）A. 3+2B. 3+C. 2+2D. 37.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为ln5，则在判断框内应填（）A. i≤5？B. i≤4？C. i＜6？D. i＞5？8.已知在三棱锥P-ABC中，PA=PB=BC=1，AB=，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.9.一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A. B. C. D.10.函数y=-2sin x的图象大致是（）A. B.C. D.11.已知双曲线与抛物线y2＝8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|＝5，则双曲线的离心率为（）A. 2B. 2C.D.12.已知函数f（x）=ln x-ax2，若f（x）恰有两个不同的零点，则a的取值范围为（）A. （，+∞）B. [．+∞）C. （0，）D. （0，]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x，y满足约束条件，则z=x-2y的最小值是______．14.设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2-a5=0，则=______．15.（1+）（1-x）6展开式中x3的系数为______．16.曲线y=2ln x在点（e2，4）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为______.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且（a+b+c）（a+b-c）=3ab．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若c=2，且△ABC为锐角三角形，求a+b的取值范围．18.已知某种细菌的适宜生长温度为10℃-25℃，为了研究该种细菌的繁殖数量y（单位：个）随温度x（单位：℃）变化的规律，收集数据如下：温度x/℃12141618202224繁殖数量y/个2025332751112194对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如表所示：1866 3.8112 4.3142820.5其中k i=ln y i，=（Ⅰ）请绘出y关于x的散点图，并根据散点图判断y=bx+a与y=ce dx哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于温度x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）根据（1）的判断结果及表格数据，建立y关于x的回归方程（结果精确到0.1）；（Ⅲ）当温度为25℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？参考公式：对于一组数据（u i，v i）（i=1，2，3，…，n），其回归宜线v=βu+a的斜率和截距的最小二成估计分别为β=，，参考数据：e5.5≈245．19.如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2，∠ABC=∠DBC=120°，E，F分别为AC，DC的中点（Ⅰ）求证：EF⊥BC；（Ⅱ）求二面角E-BF-C的余弦值20.已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e．（Ⅰ）若，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求k的取值范围．21.已知函数f（x）=e x-x2-1．（1）若函数g（x）=，x∈（0，+∞），求函数g（x）的极值；（2）若k∈Z，且f（x）+（3x2+x-3k）≥0对任意x∈R恒成立，求k的最大值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且||=2||，求实数a的值．23.已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x．（Ⅰ）解关于x的不等式g（x）≥f（x）-|x-1|；（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）-|x-1|恒成立，求实数c的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：由题设（1-i）z=1+i得z==故选：C．由复数的除法进行变行即可求出复数的除法与乘法是复数的基本运算2.答案：B解析：解：∵A={0，1，2}，B={2，3}，∴A∪B={0，1，2，3}．故选：B．可以求出集合A，然后进行并集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及并集的运算．3.答案：A解析：解：向量=（1，1），=（-1，3），=（2，x）满足（3+）•=10，可得（2，6）•（2，x）=10，可得4+6x=10，解得x=1．故选：A．利用向量的坐标运算以及数量积的运算法则化简求解即可．本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的应用，考查计算能力．4.答案：A解析：【分析】本题主要考查两角差的和的正切公式的应用，属于基础题．由题意利用两角差的和的正切公式，求得tan（）=tan[（α+）+]的值．【解答】解：∵tan（α+）=-2，∴tan（）=tan[（α+）+]===-，故选：A．5.答案：B解析：解：数列的前15项为2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6，15，20，15，6，可得此数列的前15项和为2+3+3+4+6+4+5+10+10+5+6+15+20+15+6=4-2+8-2+16-2+32-2+64-2=（4+8+16+32+64）-10=114．故选：B．由题意写出数列的前15项计算可得所求和．本题考查数列在实际问题中的运用，考查数列的求和，以及运算能力，属于基础题．6.答案：A解析：解：∵2m+n=1，则+=（+）（2m+n）=3+，当且仅当时取等号，即最小值3+2，故选：A．由题意可得，+=（+）（2m+n），展开后利用基本不等式可求．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是对应用条件的配凑．7.答案：B解析：解：∵ln（1+）=ln=ln（i+1）-ln i，∴i=1时，S=ln2-ln1=ln2，i=2时，S=ln2+ln3-ln2=ln3，i=3时，S=ln3+ln4-ln3=ln4，i=4，S=ln4+ln5-ln4=ln5，此时i=5不满足条件，输出S=ln5，即条件为i≤4？，故选：B．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用条件进行模拟运算是解决本题的关键．8.答案：B解析：【分析】求出P到平面ABC的距离，AC为截面圆的直径，由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（-d）2，求出R，即可求出球的表面积．本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．属于中档题．【解答】解：由题意，AC为截面圆的直径，AC==，设球心到平面ABC的距离为d，球的半径为R，∵PA=PB=1，AB=，∴PA⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABC，∴P到平面ABC的距离为．由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（-d）2，∴d=0，R2=，∴球的表面积为4πR2=3π．故选：B．9.答案：D解析：解：①中线段为虚线，②正确，③中线段为实线，④正确，故选：D．根据空间几何体的三视图的画法结合正方体判断分析．本题考查了空间几何体的三视图的画法，属于中档题，空间想象能力．10.答案：C解析：解：当x=0时，y=0-2sin0=0故函数图象过原点，可排除A又∵y'=故函数的单调区间呈周期性变化分析四个答案，只有C满足要求故选：C．根据函数的解析式，我们根据定义在R上的奇函数图象必要原点可以排除A，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个答案，即可找到满足条件的结论．本题考查的知识点是函数的图象，在分析非基本函数图象的形状时，特殊点、单调性、奇偶性是我们经常用的方法．11.答案：A解析：【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2-a2，联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e．本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．解答关键是利用性质列出方程组．【解答】解：∵抛物线y2=8x的焦点坐标F（2，0），p=4，∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c，c=2，∵设P（m，n），由抛物线定义知：|PF|=m+=m+2=5，∴m=3．∴P点的坐标为（3，），∴，解得：，c=2，则双曲线的离心率为2，故选：A．12.答案：C解析：解：f（x）=ln x-ax2，可得f′（x）=-2ax，①a≤0时，f′（x）＞0函数是增函数，不可能有两个零点，②0＜a时，令f′（x）=-2ax=0，解得x=，当0时，f′（x）＞0函数是增函数，当x＞时，f′（x）＜0函数是减函数，f（x）的最大值为：f（）=ln-a（）2=-，f（x）恰有两个不同的零点，当x→0+时，f（x）→-∞，当x→+∞时，f（x）→-∞，所以-＞0，解得a∈（0，）．故选：C．利用函数的导数，求解函数的最大值大于0，结合函数的单调性，判断零点的个数即可．本题考查函数的零点问题，渗透了转化思想，分类讨论思想的应用，是一道难题．13.答案：-2解析：解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x-2y为y=x-．联立，解得：C（0，1）．由图可知，当直线y=x-过C（0，1）时直线在y轴上的截距最大，z有最小值，等于0-2×1=-2．故答案为：-2．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.答案：解析：解：∵8a2-a5=0，∴q3==8，∴q=2，则==，故答案为：．由已知结合等比数列的性质可求q3=，进而可求q，然后结合等比数列的求和公式，代入即可求解．本题主要考查了等比数列的性质及求和公式的简单应用，属于基础试题．15.答案：-26解析：解：由（1-x）6的展开式的通项得：T r+1=（-x）r，则（1+）（1-x）6展开式中x3的系数为（-1）3+（-1）5=-26，故答案为：-26．由二项式定理及二项式展开式的通项公式得：（1+）（1-x）6展开式中x3的系数为（-1）3+（-1）5=-26，得解．本题考查了二项式定理、二项式展开式的通项公式及分类讨论思想，属中档题．16.答案：e2解析：解：根据题意，曲线y=2ln x，其导数y′=，则x=e2处的切线的斜率k=y′=，则切线的方程为y-4=（x-e2），即y=x+2，x=0，y=2，切线与y轴的交点坐标为（0，2），y=0，x=-e2，切线与y轴的交点坐标为（-e2，0），则切线与坐标轴所围三角形的面积S=×2×|-e2|=e2；故答案为：e2根据题意，求出y=2ln x的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率k=y′=，进而可得切线的方程，求出切线与x轴、y轴交点的坐标，由三角形面积公式计算可得答案．本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义．17.答案：解：（Ⅰ）△ABC中，（a+b+c）（a+b-c）=3ab，∴a2+b2-c2=ab，由余弦定理得，cos C==；又∵C∈（0，π），∴C=；（Ⅱ）由c=2，C=，根据正弦定理得，====，∴a+b=（sin A+sin B）=[sin A+sin（-A）]=2sin A+2cos A=4sin（A+）；又∵△ABC为锐角三角形，∴，解得＜A＜；∴＜A+＜，∴2＜4sin（A+）≤4，综上，a+b的取值范围是（2，4]．解析：（Ⅰ）化简（a+b+c）（a+b-c）=3ab，利用余弦定理求得C的值；（Ⅱ）由正弦定理求出a+b的解析式，利用三角恒等变换化简，根据题意求出A的取值范围，从而求出a+b的取值范围．本题考查了三角恒等变换与正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．18.答案：解：（Ⅰ）绘出y关于x的散点图，如图所示；由散点图可知，y=ce dx更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于x的回归方程类型；（Ⅱ）把y=ce dx两边取自然对数，得ln y=dx+ln c，即k=dx+ln c，由d==≈0.183≈0.2，ln c=3.8-0.183×18≈0.5．∴ln y=0.2x+0.5，则y关于x的回归方程为y=e0.5•e0.2x；（Ⅲ）当x=25时，计算可得y=e0.5•e5=e5.5≈245；即温度为25℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为245．解析：（Ⅰ）绘出y关于x的散点图，由散点图判断y=ce dx更适合作为回归方程类型；（Ⅱ）把y=ce dx两边取自然对数，得ln y=dx+ln c，求出回归系数，写出回归方程；（Ⅲ）利用回归方程计算x=25时y的值即可．本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了数学转化思想与计算能力，是中档题．19.答案：证明：（Ⅰ）证法一：过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF．由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC．所以∠EOC=∠FOC=，即FO⊥BC．又EO⊥BC，∴BC⊥平面EFO，又EF⊂平面EFO，∴EF⊥BC．证法二：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y 轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系．则B（0，0，0），A（0，-1，），D（，-1，0），C（0，2，0）．E（0，，），F（，，0），∴=（，0，-），=（0，2，0），∴•=0．∴EF⊥BC．（2）解：解法一：过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG．由平面ABC⊥平面BDC，从而EO⊥平面BDC，又OG⊥BF，由三垂线定理知EG⊥BF．∴∠EGO为二面角E-BF-C的平面角．在△EOC中，EO=EC=BC•cos30°=，由△BGO∽△BFC知，OG=•FC=，∴tan∠EGO==2，∴cos∠EGO=，即二面角E-BF-C的余弦值为．解法二：在图中，平面BFC的一个法向量为=（0，0，1）．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），又=（，，0），=（0，，）．，取x=1，得=（1，-，1）．设二面角E-BF-C的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则cos θ=|cos＜＞=||==，故．二面角E-BF-C的余弦值为．解析：（Ⅰ）法一：过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF．证出△EOC≌△FOC．从而FO⊥BC．又EO⊥BC，进而BC⊥平面EFO，由此能证明EF⊥BC．法二：以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能证明EF⊥BC．（2）法一：过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG．由三垂线定理知EG⊥BF．∠EGO为二面角E-BF-C 的平面角．由此能求出二面角E-BF-C的余弦值．法二：求出平面BFC的一个法向量和平面BEF的法向量，利用向量法能求出二面角E-BF-C的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：（Ⅰ）由题意得，得．（2分）结合a2=b2+c2，解得a2=12，b2=3．（3分）所以，椭圆的方程为．（4分）（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2-a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以，（6分）依题意，OM⊥ON，易知，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2⊥BF2，（7分）因为，，所以．（8分）即，（9分）将其整理为k2=-=-1-（10分）因为，所以，12≤a2＜18．（11分）所以，即．（13分）解析：（Ⅰ）由题意得，得，由此能求出椭圆的方程．（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2-a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以，依题意OM⊥ON知，四边形OMF2N为矩形，所以AF2⊥BF2，因为，，所以．由此能求出k的取值范围．本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．21.答案：解：（1）函数f（x）=e x-x2-1，则f′（x）=e x-2x，又g（x）=，x∈（0，+∞），则g′（x）==；设y=e x-x-1，则y′=e x-1＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，即y=e x-x-1在x＞0时单调递增；所以y=e x-x-1＞0；令g′（x）＞0，可得x＞1，令g′（x）＜0，可得0＜x＜1；所以g（x）的单调增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）；所以函数g（x）的极小值为g（1）=e-2，无最大值；（2）不等式f（x）+（3x2+x-3k）≥0对任意x∈R恒成立，即为e x+x2+x--1≥0对任意x恒成立，即k≤e x+x2+x-对任意x∈R恒成立；设h（x）=e x+x2+x-，则h′（x）=e x+x+，易知h′（x）在R上单调递增，h′（-1）=-＜0，h′（0）=＞0，则存在唯一的x0∈（-1，0），使h′（x0）=0，即+x0+=0；当x＜x0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞x0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x）min=h（x0）=++x0-；又h′（x0）=0，则h（x0）=（--x0）++x0-=（-x0-3），又x0∈（-1，0），则h（x0）∈（-1，-），即k≤e x+x2+x-对任意x∈R恒成立，所以k≤h（x0），由k max=-1，得出k的最大值为-1．解析：（1）根据题意，对函数g（x）=求导数，利用导数判断g（x）的单调性，并求g（x）的极值；（2）根据题意化为k≤e x+x2+x-对任意x∈R恒成立，构造函数，利用导数求该函数的最小值即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了不等式恒成立问题，也考查了构造法与转化思想，是难题．22.答案：解：（I）∵曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R），∴曲线C1的普通方程为x-y-a+1=0，∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0．∴曲线C2的极坐标方程为ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0，∴x2+4x-x2-y2=0，即曲线C2的直角坐标方程为y2=4x．（说明：化简不对，但准确写出互化公式得1分）（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解，得，要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有，∵||=2||，∴，或=-2，当时．根据直线参数方程的几何意义可知t1=2t2，，解得a=，a=，符合题意，∴实数a的值为．当时．根据直线参数方程的几何意义可知t1=-2t2，，解得a=，a=＞0，符合题意，∴实数a的值为．综上，a的值为或．解析：（I）由曲线C1参数方程能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程化为ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0，由此能求出曲线C2的直角坐标方程．（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解，得，由此能求出实数a的值．本题考查极坐标方程化普通方程，韦达定理，直线参数方程的几何意义，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.答案：（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）∵函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，∴g（x）=-f（-x）=-（x2-2x），∴g（x）=-x2+2x，x∈R．∴原不等式可化为2x2-|x-1|≤0．上面不等价于下列二个不等式组：…①，或…②，由①得，而②无解．∴原不等式的解集为．…（5分）（Ⅱ）不等式g（x）+c≤f（x）-|x-1|可化为：c≤2x2-|x-1|．作出函数F（x）=2x2-|x-1|的图象（这里略）．由此可得函数F（x）的最小值为，∴实数c的取值范围是．…（10分）解析：先将M，N化简，再计算交集或并集，得出正确选项本题考查二次函数图象与性质．。
2020届全国示范性名校高三第三次联考数学(理)试卷及参考答案
绝密★启用前（在此卷上答题无效）姓名：________________准考证号：________________2020届全国示范性名校高三三联数学（理科）试题（150分，120分钟）一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1.设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7}，则满足S A 且S ∩B ≠∅的集合S 的个数为( ) A ． 57 B ． 56 C ． 49 D ． 82.一个样本a,3,5,7的平均数是b ，且a ，b 是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，则这个样本的方差是( )A ． 3B ． 4C ． 5D ． 63.在球O 内任取一点P ，使得点P 在球O 的内接正方体中的概率是( ) A ．π B ．π C ．π D ．π4.在某学校组织的数学竞赛中，学生的竞赛成绩ξ～N(95，σ2)，p(ξ＞120)＝a ，P(70＜ξ＜95)＝b ，则直线ax ＋by ＋＝0与圆x 2＋y 2＝2的位置关系是( ) A ． 相离 B ． 相交 C ． 相离或相切 D ． 相交或相切5.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足＝ (a ＋b ).曲线C ＝{P|＝a cos θ＋b sin θ，0≤θ＜2π}，区域Ω＝{P|0＜r ≤| |≤R ，r ＜R}.若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )A ． 1＜r ＜R ＜3B ． 1＜r ＜3≤RC ．r ≤1＜R ＜3D ． 1＜r ＜3＜R6.已知二次函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)>1的解集为( )A ． (－∞，－1)∪(0，＋∞)B ． (－∞，0)∪(1，＋∞)C ． (－1,0)D ． (0,1)7.如图所示，有三根柱子和套在一根柱子上的n 个盘子，按下列规则，把盘子从一根柱子上全部移到另一根柱子上.(1)每次只能移动一个盘子；(2)在每次移动过程中，每根柱子上较大的盘子不能放在较小的盘子上面.若将n 个盘子从1号柱子移到3号柱子最少需要移动的次数记为f(n)，则f(5)等于( )A ． 33B ． 31C ． 17D ． 15 8.已知z 1，z 2是复数，定义复数的一种运算“”为：z 1z 2＝若z 1＝2＋i 且z 1z 2＝3＋4i ，则复数z 2等于( )A ． 2＋iB ． 1＋3iC ． 2＋i 或1＋3iD ． 条件不够，无法求出9.已知函数f(x)＝ x 3＋ax 2－bx ＋1(a ，b ∈R ) 在区间[－1,3]上是减函数，则b 的最小值是( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 410.由9个互不 相 等 的 正 数 组 成 的 数 阵中，每 行 中 的 三 个 数 成 等 差 数 列，且、、成等比数列，下列四个判断正确的有（ ） ①第2列必成等比数列 ②第1列不一定成等比数列-1-（20-GSSL-QGYB ） -24-52GH-③④若9个数之和等于9，则A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个11.tan(π－θ)＋tan(π＋θ)＋tan(π－θ)tan(π＋θ)的值是( )A． B． C． 2 D．12.已知偶函数f(x)：Z Z，且f(x)满足：f(1)＝1，f(2 015)≠1，对任意整数a，b都有f(a＋b)≤max{f(a)，f(b)}，其中max(x，y)＝则f(2 016)的值为( )A． 0 B． 1 C． 2 015 D． 2 016二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.已知正数a，b，c满足3a－b＋2c＝0，则的最大值为________．14.已知平面区域C1：x2＋y2≤4(＋|y|)，则平面区域C1的面积是________．15.已知(x＋2)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值为________．16.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1，第二次取2个连续偶数2、4；第三次取3个连续奇数5、7、9；第四次取4个连续偶数10、12、14、16；第五次取5个连续奇数17、19、21、23、25.按此规则一直取下去，得到一个子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，….则在这个子数列中，由1开始的第29个数是________；（2分）第2 014个数是________.（3分）三、解答题(共70分)（一）必考题（60分）17.（本小题满分12分）设f(x)＝cos2x＋asinx－－(0≤x≤π).(1)用a表示f(x)的最大值M(a)；(2)当M(a)＝2时，求a的值.18.（本小题满分12分）一种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第n(n∈Z，n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为P n.(1)当n∈Z，n≥2时，用P n－1表示P n；(2)求P n关于n的表达式．19.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝e x－ln (x＋m)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求函数f(x)在[1,2]上的最值．(2)若对任意x1，x2∈[0,2]且x1>x2，都有>－1，求m的取值范围．(3)当m≤2时，证明f(x)>0.-2-（20-GSSL-QGYB） -24-52GH-20.（本小题满分12分）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点M与左、右焦点F1，F2构成△MF1F2的面积为，又椭圆C的离心率为.(1)若直线l与椭圆C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且x1＋x2＝2，又直线l1：y＝k1x＋m是线段AB的垂直平分线，求实数m的取值范围；(2)椭圆C的下顶点为N，过点T(t,2)(t≠0)的直线TM，TN分别与椭圆C交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值．21.（本小题满分12分）已知Q2＝称为x，y的二维平方平均数，A2＝称为x，y的二维算术平均数，G2＝称为x，y的二维几何平均数，H2＝称为x，y的二维调和平均数，其中x，y均为正数.(1)试判断G2与H2的大小，并证明你的猜想；(2)令M＝A2－G2，N＝G2－H2，试判断M与N的大小，并证明你的猜想；(3)令M＝A2－G2，N＝G2－H2，P＝Q2－A2，试判断M，N，P三者之间的大小关系，并证明你的猜想. （二）选考题（10分）（请从22，23题中任选一题作答，如果多做，按22题记分）-3-（20-GSSL-QGYB） -24-52GH-23.（选修4-5：不等式选讲）伯努利不等式，又称贝努利不等式，是分析不等式中最常见的一种不等式，由数学家伯努利提出。
陕西省2020届高三下学期第三次教学质量检测数学(理)试题含解析
【答案】－40
【解析】
【分析】
利用二项式定理求出二项式 的展开式的通项公式,令 的指数为零，求得 的值，然后代入二项式 的展开式的通项公式即可求解。
【详解】由题意知,二项式 的展开式的通项公式为
，
令 ,解得 ，
所以二项式 的展开式的常数项为
【答案】 （1)。 （2）。
【解析】
【分析】
根据题中条件，先得到从第二行开始,每一行相邻的两个数之和都等于这两个数上一行对应的数字,由此可求出第10行从左边数第3个位置上的数；以及满足的关系式.
【详解】由题中条件可得， , ， ， ， , ， , ， ，……,
由此可得,从第二行开始，每一行相邻的两个数之和都等于这两个数上一行对应的数字；
12. 已知椭圆 ： 与双曲线 ： （ ， )有共同的焦点 ， ，且在第一象限的交点为 ，满足 （其中 为原点）。设 ， 的离心率分别为 ， ，当 取得最小值时， 的值为（ ）
A。 B.
C。 D。
【答案】D
【解析】
【分析】
作 ,利用椭圆和双曲线定义可表示出 ，由 ,可得点 的横坐标为 ，利用勾股定理可得 ,即 ,再利用基本不等式可求出最值,并求出此时 的值.
8. 在 中,若 ，则下列等式中一定成立的是（ ）
A. B。 C. D。
【答案】A
【解析】
【分析】
利用降次公式得到 ，展开得到 ,得到
【详解】∵ ,
∴ 。
∵ .
故选A。
【点睛】本题考查了三角恒等变换，也可以利用特殊值法排除选项得到答案.
9. “ ”是“ ”的( ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C。 充要条件D。 既不充分也不必要条件
陕西、湖北、山西部分学校2020届高三3月联考理数试卷含答案
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高三数学试卷!第!! 页共"页理科
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1!中国古代数学著作)算法统宗*中有这样一个问题+,三百七十八里关#初行健步不为难#次日 脚痛减一半#六朝才得到其关#要见次日行里数#请公仔细算相还!-意思为有一个人要走'67 里路#第一天健步行走#从第二天起脚痛#每天走的路程为前一天的一半#走了六天恰好到达
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!$!已知函数)&#%):#/%#*!#若##%#)&#%#%恒成立#则% 的取值范围是!!,!!! !(!已知三棱锥1*"$* 的四个顶点都在球3 的球面上#1")$*)$#1$)"*) 槡!$#1*)
"$)&槡$#则球3 的表面积为!!,!!! 三解答题本大题共(小题共6%分!解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤!!6
7!如图这是某校高三年级甲乙两班在上学期的$次数学测试的班级平均分的茎叶图则下列
说法不正确的是
+!甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班 ,!甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定 -!甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班
.!甲乙两班这$次数学测试的总平均分是!%'
目的地#请问第二天比第四天多走了
+!1(里
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!%!已知整数##' 满足#&/'&(!%#记点 . 的坐标为&##'%#则点 . 满足#/'#槡$的概率为
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精品解析：2020届陕西省高三第三次联考理科数学试题(解析版)
陕西省2020届高三年级第三次联考理科数学一、选择题1.全集U =R ，集合(){}ln 1A x y x ==-，{B y y ==，则()U A B =I ð（ ）A. ()1,2B. (]1,2C. [)1,2D. []1,2【答案】A 【解析】 【分析】首先根据对数函数的性质以及二次函数的图像与性质求出集合A 、B ，再利用集合的交、补运算即可求解.【详解】{{}2B y y y y ====≥，{}2U B y y =<ð，(){}{}ln 11A x y x x x ==-=>， ()()1,2U A B ⋂=ð． 故选：A ．【点睛】本题考查了集合的基本运算、对数函数的性质以及二次函数的图像与性质，属于基础题. 2.已知复数51iz i+=-（i 为虚数单位），则在复平面内z 所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，求得复数23z i =+，再结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由题意，根据复数的除法运算，可得复数5(5)(1)46231(1)(1)2i i i iz i i i i ++++====+--+， 则在复平面内z 所对应的点为()2,3，在第一象限. 故选：A .【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，以及复数的除法运算，其中解答中熟练应用复数的除法运算，求得复数的代数形式是解答的关键，着重考查了计算能力.3.已知向量()2,1a =-r ，()6,b x =r ，且//a b r r，则a b -=r r （ ）A. 5B.C.D. 4【答案】B 【解析】 【分析】利用向量平行的条件列方程，解方程求得x 的值，求得a b -r r的坐标后，求得a b -r r .【详解】由题得260x +=.3x ∴=-，()4,2a b ∴-=-r r，a b ∴-==r r 故选：B【点睛】本小题主要考查向量平行的坐标表示，考查向量减法和模的坐标运算，属于基础题.4.已知二项式()20121nnn x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，且16a =，则012n a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A. 128B. 127C. 64D. 63【答案】C 【解析】 【分析】结合二项式展开式的通项公式以及1a ，求得n 的值，利用赋值法求得所求表达式的值.【详解】由题意，二项式()1nx +展开式的通项为1r n rr n T C x -+=，令1=-r n ，可得1n n n T C x -=，即16n nC -=.解得6n =.令1x =，则6012264n a a a a +++⋅⋅⋅+==. 故选:C【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式以及展开式系数和的求法，属于基础题.5.某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕，在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征文，收到的稿件经分类统计，得到如图所示的扇形统计图．又已知全市高一年级共交稿2000份，则高三年级的交稿数为（ ）A. 2800B. 3000C. 3200D. 3400【答案】D 【解析】 【分析】先求出总的稿件的数量，再求出高三年级交稿数占总交稿数的比例，再求高三年级的交稿数. 【详解】高一年级交稿2000份，在总交稿数中占比8023609=，所以总交稿数为2200090009÷=， 高二年级交稿数占总交稿数的14423605=，所以高三年级交稿数占总交稿数的221719545--=，所以高三年级交稿数为179000340045⨯=． 故选D【点睛】本题主要考查扇形统计图的有关计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 6.已知点()(),,0a b a b >在直线240x y +-=上，则12a b+的最小值为（ ） A. 6 B. 4C. 3D. 2【答案】D 【解析】 【分析】利用“1”的代换的方法，结合基本不等式，求得12a b+的最小值. 【详解】由题意知24a b +=，所以()(121121412224242444b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当且仅当4b aa b =，即12a b =⎧⎨=⎩时，等号成立.故选:D【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.7.设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）A. 若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥B. 若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则a b ∥C. 若a b a b αβ⊂⊂P ，，，则αβ∥D. 若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥r r【答案】D 【解析】【详解】试题分析：A 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误； B 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误； C 项两平面αβ，还可能是相交平面，错误； 故选D.8.抛物线24y x =的焦点为F ，点()3,2A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF △周长的最小值为（ ）A. 4B. 5C.4+ D. 5+【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为求PA PF +的最小值，根据抛物线的定义可知PF PD =，即求PA PD+的最小值，当P 、A 、D 三点共线时，PA PD +最小，由()()min1314A PA PDx +=--=+=即可求解.【详解】由抛物线为24y x =可得焦点坐标()1,0F ，准线方程为1x =-． 由题可知求PAF △周长的最小值．即求PA PF +的最小值． 设点p 在准线上射影为点D ． 则根据抛物线的定义．可知PF PD =．因此求PA PF +的最小值即求PA PD+的最小值．根据平面几何知识，当P 、A 、D 三点共线时，PA PD+最小．所以()()min1314A PA PDx +=--=+=．又因为AF ==所以PAF △周长的最小值为4+ 故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了转化与化归的思想，属于基础题. 9.若关于x 的不等式21cos 2cos 03x a x -+≥在R 上恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A. 13- B. 13C. 23D. 1【答案】B 【解析】令cos [1,1]x t =∈-，则问题转化为不等式24350t at --≤在[1,1]-上恒成立，即435011435033a a a +-≤⎧⇒-≤≤⎨--≤⎩，应选答案B ． 10.若函数321y x x mx =+++是R 上的单调递增函数，则实数m 的取值范围是（ ）A. 1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭B. 1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数以及导数的运算法则求出此函数的导函数232y x x m '=++，由单调性只需2320x x m +≥+恒成立，根据二次函数的图像与性质只需0∆≤即可求解.【详解】232y x x m '=++， 由题意2320x x m +≥+恒成立．4120m ∴=-≤△，13m ≥．故选：C ．【点睛】本题考查了由函数的单调区间求参数的取值范围、利用导数研究函数的单调性，解题的关键是熟记基本初等函数的导数以及导数的运算法则，属于基础题.11.设1F 、2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若1290F PF ∠=︒，2c =，213PF F S =△，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. 2y x =±B. y =C. 3y x =±D. y =【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得22121216132PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，配方可得()2124PF PF -=，从而利用双曲线的定义可求出1a =，进而利用222b c a =-求出b ，得出双曲线的标准方程即可求出渐近线方程.【详解】由题意可得22121216132PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，()2124PF PF -=，可得1222PF PF a -==，可得1a =，b ==，可得渐近线方程为y =． 故选：D【点睛】本题考查了双曲线的定义、双曲线的简单几何性质，属于基础题.12.已知函数y=f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ∈（﹣∞，0]时，f （x ）为减函数，若a=f （20.3），12log 4b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，c=f （log 25），则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a ＞b ＞cB. a ＞c ＞bC. c ＞a ＞bD. c ＞b ＞a【答案】D 【解析】【详解】由偶函数的性质可得：()()()122log 4log 422f f f f ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 结合偶函数的性质可得函数f(x)在区间()0,∞+是单调递增，且：0.32122log 5<<<，故()()()0.3222log 5f f f <<，即()()()0.322log 5log 52,f f f c b a >>>>.本题选择D 选项.点睛：实数比较大小：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．二、填空题13.某商店为调查进店顾客的消费水平，调整营销思路，统计了一个月来进店的2000名顾客的消费金额（单位：元），并从中随机抽取了100名顾客的消费金额按[0,50]，(50,100]，(100,150]，(150,200]，(200,250]进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知a ，b ，c 成等差数列，则该商店这一个月来消费金额超过150元的顾客数量约为______.【答案】600 【解析】 【分析】先根据频率分布直方图求出,,a b c 的值，然后利用等差数列的性质求出b ，进而得到消费金额超过150元的频率，用其估计总体即可． 【详解】,,,2+a b c b a c ∴∴=， 又由频率分布直方图可得1[1(0.0020.006)50]0.01250a b c ++=-+⨯=， =0.004b ∴，故消费金额超过150元的频率为(0.002)500.3b +⨯=，故该商店这一个月来消费金额超过150元的顾客数量约为20000.3600⨯=，故答案为600.【点睛】本题主要考查频率分布直方图中的基本运算及等差数列的基本性质，是一道基础题．14.已知函数()538f x ax bx cx =+++，且()210f -=，则函数()2f 的值是__________．【答案】6 【解析】 【分析】令()()8g x f x =-，可证得()g x 为奇函数；利用()()22g g =--求得()2g ，进而求得()2f . 【详解】令()()538g x f x ax bx cx =-=++ ()()53g x ax bx cx g x ∴-=---=-()g x ∴为奇函数 ()()()22282g g f ∴=--=---=-⎡⎤⎣⎦又()()228g f =- ()26f ∴= 本题正确结果：6【点睛】本题考查构造具有奇偶性的函数求解函数值的问题；关键是能够构造合适的函数，利用所构造函数的奇偶性得到所求函数值与已知函数值的关系.15.甲船在岛B 的正南A 处，6AB km = ，甲船以每小时4km 的速度向正北方向航行，同时乙船自B 出发以每小时3km 的速度向北偏东60︒的方向驶去，甲、乙两船相距最近的距离是_____km . 【答案】939【解析】 【分析】根据条件画出示意图，在三角形中利用余弦定理求解相距的距离，利用二次函数对称轴及可求解出最值. 【详解】假设经过x 小时两船相距最近，甲、乙分别行至C ，D ， 如图所示，可知64BC x =-，3BD x =，120CBD ∠=︒，()()22222212cos 64926431330362CD BC BD BC BD CBD x x x x x x =+-⨯⨯∠=-++-⨯=-+． 当1513x =小时时甲、乙两船相距最近，最近距离为939km 13．【点睛】本题考查解三角形的实际应用，难度较易.关键是通过题意将示意图画出来，然后将待求量用未知数表示，最后利用函数思想求最值.16.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2M ，为1CC 的中点，若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为_________． 【答案】3225+ 【解析】 【分析】根据线面垂直的条件先确定平面α，再根据截面形状求周长即可得解. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，BD AC ⊥，BD CM ⊥，∴BD ⊥面ACM ，∴BD AM ⊥，取1BB 的中点N ，11A B 的中点E ，连接MN ，AN ，BE ， 易知BE AN ⊥，由MN ⊥面11ABB A 可得MN BE ⊥，∴BE ⊥面AMN ，∴BE AM ⊥，∴AM ⊥面BDE ，取11A D 的中点F ，由//EF BD 可知点F 在面BDE 上， ∴平面α截正方体所得截面为BDFE ，由正方体棱长为2易得截面周长为225253225+++=+. 故答案为：3225+.【点睛】本题考查了线面垂直的判定和截面的性质，考查了空间思维能力，属于中档题.三、解答题 （一）必考题17.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知点(),n n S 在函数()22f x x x =+的图像上.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前9项和. 【答案】（Ⅰ）21n a n =+；（Ⅱ）27.【解析】 【分析】(1)本题首先可根据点(),n n S 在函数()22f x x x =+的图像上得出22n S n n =+，然后根据n a 与n S 的关系即可求得数列{}n a 的通项公式；(2)首先可根据数列{}n a 的通项公式得出112123n b n n =-++，然后根据裂项相消法求和即可得出结果．【详解】(1)由题意知22n S n n =+. 当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=+； 当1n =时，113a S ==，适合上式. 所以21n a n =+. (2)()()1221121232123n n n b a a n n n n +===-++++. 则129111111116235571921321217b b b ++鬃?=-+-+鬃?-=-==． 【点睛】本题考查根据数列{}n a 的前n 项和为n S 求数列{}n a 的通项公式，考查裂项相消法求和，n a 与n S 满足1n n n a S S -=-以及11a S =，考查计算能力，是中档题．18.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量（单位：t ）的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费x （万元）和年销售量y （单位：t ）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.（1）根据表中数据建立年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程；（2）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为20.05 1.85z y x =--，根据（1）中的结果回答下列问题： ①当年宣传费为10万元时，年销售量及年利润的预报值是多少？②估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.附：问归方程ˆˆˆybx a =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1111112221111ˆnni i n ni i x ynx yx x yybx nxx x====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-. 参考数据：11188.5Si x y==∑，21190Si x ==∑.【答案】（1）ˆ0.850.6y x =+；（2）①年销售量为9.1，年利润的预报值为2.25；②5万元【解析】 【分析】（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程. （2）①先求得年利润z 关于x 的表达式，然后将10x =分别代入回归直线方程和年利润的函数表达式，由此求得年销售量及年利润的预报值②求得年利润与年宣传费的比值w 的表达式，利用基本不等式求得5x =时，年利润与年宣传费的比值最大. 【详解】（1）由题意2453645x ++++==， 2.5 4.543645y ++++==，21222188.554ˆ0.859054ni ii nii x y nx ybxnx ==--⨯∴===-⨯-∑∑， ˆˆ40.8540.6ay bx =-=-⨯=， 0.80.ˆ56yx ∴=+. （2）①由（1）得220.05 1.850.050.85 1.25z y x x x =+--=--，当10x =时，0.85100.ˆ69.1y∴=⨯+=，20.05100.8510 1.25 2.25z =-⨯⨯-=+. 即当年宣传费为10万元时，年销售量为9.1，年利润的预报值为2.25.②令年利润与年宣传费的比值为w ，则()1.250.050.850w x x x=--+>，1.25 1.250.050.850.050.85w x x x x ⎛⎫=--+=-++≤- ⎪⎝⎭1.2520.050.850.35x x ⋅+=. 当且仅当 1.250.05x x=即5x =时取最大值.故该公司应该投入5万元宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.19.如图所示，平面BCD ⊥平面ABD ，BCD V 为直角三角形，BD 的中点为E ，AB 中点为F ，5AB AD ==，2BD =，BC CD =.（1）求证：AC BD ⊥；（2）求直线AC 与平面CDF 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2485【解析】 【分析】（1）通过等腰三角形的性质证得BD AE ⊥、BD CE ⊥，由此证得BD ⊥平面ACE ，从而证得AC BD ⊥. （2）建立空间直角坐标系，根据直线AC 的方向向量和平面CDF 的法向量，计算线面角的正弦值. 【详解】（1）BD Q 的中点为E ，AB AD =，BC CD =，BD AE ∴⊥，BD CE ⊥，又AE CE E =I ，BD ∴⊥平面ACE ，而AC ⊂平面ACE ，AC BD ∴⊥.（2）Q 平面BCD ⊥平面ABD ，BD CE ⊥，平面BCD I 平面ABD BD =，CE ∴⊥平面ABD ，又AE ⊂平面ABD ，CE AE ∴⊥，分别以EA ，EB ，EC 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，CE BD ⊥Q .BE DE =，BCD V 是直角三角形，CB CD =.112CE BD ∴==，2AE =， ()0,0,0E ∴，()2,0,0A ，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()0,0,1C .F 是AB 中点， 11,,02F ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，()2,0,1AC =-u u ur ，31,,02DF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，()0,1,1DC =u u u r ，设平面DCF 的法向量为(),,n x y z =r ，则3020n DF x y n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩u u u v v u u u v v ，令2y =，则3x =-，2z =-，()3,2,2n =--r，cos n <r，n AC AC n AC ⋅>=⋅r u u u ru u u r r u u u r ()()()22222322021322201-⨯-+⨯+-⨯=-++-⋅-++485=∴直线AC 与平面CDF 485.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.已知函数()1ln f x a x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，a R ∈. （1）求()f x 的极值；（2）若方程()2ln 20f x x x -++=有三个解，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0a >时，极小值a ；当0a =时，无极值；当0a <时，极大值a ；（2）3,22e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）求得()f x 的定义域和导函数，对a 分成0,0,0a a a >=<三种情况进行分类讨论 ()f x 的极值. （2）构造函数()()2ln 2h x f x x x =-++，通过()h x 的导函数()'h x 研究()h x 的零点，对a 分成1110,,0,222a a a a ≥=--<<<-进行分类讨论，结合()h x 有三个零点，求得a 的取值范围.【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()()22111a x f x a x x x -⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭， 当0a >时，()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以()f x 在1x =处取得极小值a ， 当0a =时，()0f x =，所以无极值，当0a <时，()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，所以()f x 在1x =处取得极大值a . （2）设()()2ln 2h x f x x x =-++，即()()l 2212n ax x xh x a +=-++， ()22121a ah x x x-'=-+ ()22212x a x ax +--=()()()2120x x a x x-+=>.①若0a ≥，则当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，()h x 至多有两个零点. ②若12a =-，则()0,x ∈+∞，()0h x '≥（仅()10h '=）.()h x 单调递增，()h x 至多有一个零点. ③若102a -<<，则021a <-<，当()0,2x a ∈-或()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；当()2,1x a ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减，要使()h x 有三个零点，必须有()()2010h a h ⎧->⎪⎨<⎪⎩成立.由()10h <，得32a <-，这与102a -<<矛盾，所以()h x 不可能有三个零点. ④若12a <-，则21a ->.当()0,1x ∈或()2,x a ∈-+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；当()1,2x a ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减，要使()h x 有三个零点，必须有()()1020h h a ⎧>⎪⎨-<⎪⎩成立，由()10h >，得32a >-，由()()()221ln 210h a a a -=---<⎡⎤⎣⎦及12a <-，得2ea <-， 322ea ∴-<<-.并且，当322e a -<<-时，201e -<<，22e a >-，()()()2222242242h e e a e e e e ---=++-<+--4150e <+-<，()()()2222222222326370h e e a e e e e e e ---=++>-+=-->->.综上，使()h x 有三个零点的a 的取值范围为3,22e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究方程的根，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率e =(是椭圆C 上一点． （1）求椭圆C 的方程； （2）若直线l 的斜率为12，且直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，点P 关于原点的对称点为E ，点()2,1A -是椭圆C 上一点，判断直线AE 与AQ 的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值，如果不是，请说明理由．【答案】（1）22182x y +=（2）是定值，0【解析】 【分析】（1）根据题意可知2223b a c a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解方程组即可求出a 、b ，即可求解.（2）设直线l 的方程为12y x t =+，代入椭圆22:48C x y +=，设点()11,P x y 、()22,Q x y ，可得点()11,E x y --，利用韦达定理以及两点求斜率化简即可求解.【详解】（1）由题意知b =又离心率e =a =，于是有2223b a c a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得a =b =所以椭圆C的方程为22182x y +=；（2）由于直线l 的斜率为12．可设直线l 的方程为12y x t =+， 代入椭圆22:48C x y +=，可得222240x tx t ++-=． 由于直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点， 所以()2244240t t =-->△， 整理解得22t -<<．设点()11,P x y 、()22,Q x y ，由于点P 与点E 关于原点对称，故点()11,E x y --，于是有122x x t +=-，21224x x t =-．设直线AE 与AQ 的斜率分别为AE k ，AQ k ，由于点()2,1A -，则12121122AE AQ y y k k x x ---+=+-++()()()()()()122121212122x y x y x x ---++=+-，又1112y x t =+Q ，2212y x t =+．于是有()()()()12212121x y x y ---++()()2112211224y y x y x y x x =--++-- ()211212124x x x x tx tx x x =--+++--()()()21212424240x x t x x t t t =--+-=-----=，故直线AE 与AQ 的斜率之和为0，即0AE AQ k k +=．【点睛】本题考查了根据离心率求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系中的定值问题，此题要求有较高的计算能力，属于难题.（二）选考题22.已知直线l的参数方程为1422x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的极坐标方程； （2）若直线()6πθρ=∈R 与曲线C 交于点A （不同于原点），与直线l 交于点B ，求||AB 的值.【答案】（1）C :22x y x +=;l:cos 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（2）2. 【解析】 【分析】(1) 先根据极坐标与直角坐标的对应关系得出极坐标方程C ，将直线参数方程化为普通方程；(2) 将6πθ=分别代入直线l 和曲线C 的极坐标方程求出A ，B 到原点的距离，作差得出|AB|．【详解】（1）∵2cos ρθ=，∴22cos ρρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=．∵直线l的参数方程为1422x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）y -=．∴直线l cos sin θρθ-=（2）将π6θ=代入曲线C 的极坐标方程2cos ρθ=得ρ=∴A 点的极坐标为π6⎫⎪⎭．将π6θ=代入直线l 的极坐标方程得3122ρρ-=ρ=∴B 点的极坐标为π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴AB =【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于基础题． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2|2||1|f x x x =-++. （1）解不等式()6f x ≤；（2）[1,2]x ∃∈，使得不等式2()f x x a >-+成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）[1,3]-；（2）(7),-∞. 【解析】 【分析】（1）利用分段讨论去绝对值解不等式即可；（2）去绝对值得25a x x <-+，对于[1,2]x ∈恒成立，设2()5g x x x =-+，只需max ()a g x <即可得解.【详解】（1）()6f x ≤可化为2|2||1|6x x -++≤，∴2336x x >⎧⎨-≤⎩或1256x x -≤≤⎧⎨-≤⎩或1336x x <-⎧⎨-+≤⎩，分别解得23x <≤或12x -≤≤或无解. 所以不等式的解集为[1,3]-.（2）由题意：22()5f x x a a x x >-+⇔<-+，[1,2]x ∈.设2()5g x x x =-+，要想[1,2]x ∃∈，2()f x x a >-+成立，只需max ()a g x <，∵2119()24g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴()g x 在[1,2]上单调递增，∴max ()(2)7g x g ==， ∴7a <，∴a 的取值范围为(7),-∞.【点睛】本题主要考查了分类讨论去绝对值的思想及恒成立问题参变分离的方法，属于基础题.。
2020届高三下期3月月考数学(理)(含答案解析)
2020届高三下期3月月考数学（理）一、选择题；本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|230A x x x =-->，则C R A =（ ）A. {|1}{|3}<-⋃>x x x xB. {|1}{|3}≤-⋃≥x x x xC. {|13}x x -≤≤D. {|13}x x -<<【答案】C【分析】直接通过解不等式2230x x --≤求出R C A .【详解】解：集合{}{}2|230|13R C A x x x x x =--≤=-≤≤，2.复数(23)i i -对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A3.设向量a ⃗=（x ，-4），b ⃗⃗=（1，-x ）若向量a ⃗与b ⃗⃗同向，则x =（ ） A ．2 B ．-2 C ．2± D ．0 【答案】A4.已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为53，则其渐近线方程为（ ）A ．20x y ±=B ． 20x y ±=C ．340x y ±=D ．430x y ±= 【答案】D5. 执行如图所示的程序框图，正确的是（ ）A ．若输入,,a b c 的值依次为1,2,3，则输出的值为5B ．若输入,,a b c 的值依次为1,2,3，则输出的值为7C ．若输入,,a b c 的值依次为2,3,4，则输出的值为8D ．若输入,,a b c 的值依次为2,3,4，则输出的值为10 【答案】C6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．24πB ．30π C.42π D ．60π 【答案】A7.函数131()2xf x x =-的零点所在的区间为（ ） A. 1(0,)4 B. 11(,)43C. 11(,)32D. 1(,1)2【答案】C【分析】先判断出函数的单调性,结合零点存在定理即可判断出零点所在区间. 【详解】函数131()2x f x x =-所以函数在R 上单调递增 因为1113331311111033322f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,1113321211111022222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以函数零点在11,32⎛⎫⎪⎝⎭故选:C 8.设数列{}n a 前n 项和为n S ，已知3=-n n S a n ，则3=a （ ） A.98B.198C.158D.278【答案】B【详解】解：当2n ≥时，[]1133(1)n n n n n a S S a n a n --=-=----，整理得1231n n a a -=+，又11131S a a ==-，得11a 2=，21323112a a ∴=+=+，得254a =，321523114a a ∴=+=+，得3198a =， 故选：B9.已知函数22()1log log (4)=+--f x x x ，则（ ） A. ()y f x =的图像关于直线2x =对称 B. ()y f x =的图像关于点(2,1)对称 C. ()f x 在(0,4)单调递减 D. ()f x 在(0,4)上不单调【答案】B【详解】解：040x x >⎧⎨->⎩，得函数定义域为(0,4)，222(1)1log log (41)1l 13og f =+--=-，222(3)1log log (43)1l 33og f =+--=+，所以(1)(3)f f ≠，排除A ；(1)(3)f f <，排除C ；2log x 在定义域内单调递增，2log (4)x -在定义域内单调递减，故22()1log log (4)=+--f x x x 在定义域内单调递增，故排除D ； 现在证明B 的正确性：方法一、2222()(4)1log log (4)1log (4)log 2f x f x x x x x +-=+--++--=，所以()y f x =的图像关于点(2,1)对称，故选：B . 方法二、10.下列说法正确的个数为（ ）①“p q ∨为真”是“p q ∧为真”的充分不必要条件；②若数据123,,,,n x x x x ⋯的平均数为1，则1232,22,,2,n x x x x ⋯的平均数为2； ③在区间[]0,π上随机取一个数x ，则事件“6sin cos x x +≥”发生的概率为12④已知随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，且(4)0.84P X ≤=，则(0)0.16P X ≤=.A. 4B. 3C. 2D. 1【详解】对于①,由复合命题“p q ∨为真”,可知p 为真,或q 为真;若“p q ∧为真”,则p 为真,且q 为真.所以“p q ∨为真”是“p q ∧为真”的必要不充分条件,所以①错误； 对于②,若数据1231nx x x x n+++⋯+=的平均数为1,由平均数公式可知()123123222222n n x x x x x x x x n n+++⋯++⋯+=+=+的平均数为2,所以②正确;对于③,在区间[]0,π上.若6sin cos 2sin 42x x x π⎛⎫+=+≥ ⎪⎝⎭,解得5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 则在区间[]0,π上随机取一个数x ,则事件“6sin cos 2x x +≥”发生的概率为5112123p πππ-==,所以③错误; 对于④,随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ,则2μ=.,由正态分布曲线规律可知,(0)(4)10.840.16P X P X ≤=≥=-=,所以④正确. 综上可知,正确的为②④ 故选:C11.已知水平地面上有一篮球，球的中心为O '，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆（如图），在平面直角坐标系中，椭圆中心O 为原点，设椭圆的方程为22142x y +=，篮球与地面的接触点为H ，则||OH 的长为（ ）A.62B. 2C. 32D.103 【答案】B【分析】在平行光线照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴，过球心向(4)0.84P X ≤=地面做垂线，垂足是H ，得到一个直角三角形，可得要求的结果． 【详解】：在照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，由图()1101809022AB O BA A AB B BA ''''︒︒∠+∠=∠+∠=⨯=,，由是中点 故有球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴，过球心向地面做垂线，垂足是H ， 在构成的直角三角形中，222OH O H O O ''=+，OH∴==，故选：B ．12.若直线l 与函数()xf x e =和()ln 2g x x =+的图象都相切，则直线的斜率k =（ ） A. 2或e B. 1或eC. 0或1D. e【答案】B【分析】设出直线l 与两个函数的切点,求得两个函数的导函数,并根据导数的意义求得切线的斜率.由点在曲线上的性质,可得方程组.化简后求得其中一个切点的坐标,即可求得切线的斜率.【详解】设直线l 与函数()xf x e =的图象相切于点()11,A x y ,直线l 与函数()ln 2g x x =+的图象相切于点()22,B x y ,直线l 的斜率为k .则1122l 2,n x y e y x ==+因为'()xf x e =,()1'g x x =,则121x x k e ==, 所以11122212122ln 211x x y e y x e x y y x x x ⎧=⎪=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪-⎪⎩,则()12212ln 21x e x x x x -+=- 由121x e x =,可得21ln x x =-,代入上式可得()22222ln 2l 1n 1x x x x x -+=--,化简可得2222ln ln 10x x x x ---= 即()()221ln 10x x -+=,解得21,x =或21x e =. 代入21k x =,可得1k =或k e = 故选:B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上.13. 若,x y 满足约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为 ．【答案】814. 二项式61()x x-的展开式中4x 项的系数为__________． 【答案】6-； 【解析】90AO B '︒∴∠=O l【分析】根据二项展开式的通项,代入即可求得4x 项的系数.【详解】根据二项定理展开式的通项1C r n r rr n T a b -+=则二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开通项为()66216611rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以当1r =时,4x 的系数为()11616C -=-,故答案为:6-15. 已知递增等差数列{}n a 中，122a a =-，则3a 的 最小值为__________ 【答案】4【详解】因为122a a =-由等差数列通项公式,设公差为d ,可得()112a a d +=-,变形可得112d a a =--因为数列{}n a 为递增数列,所以1120d a a =-->,即10a < 而由等差数列通项公式可知312a a d=+()11111242a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由10a ->,140a >-结合基本不等式可得()()311114424a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+-≥-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当12a =-时取得等号所以3a 的最小值为416.在边长为1的正方形ABCD 中，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则λμ+的最大值为________. 【答案】3【详解】解：根据题意，如图，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立坐标系： 则(0,0),(1,0)A B ，C(1,1),D(0,1), 则BD 的方程为x ＋y ＝1， 点C 为圆心且与BD 相切的圆C ，其半径222r d ===， 则圆C 的方程为221(1)(1)2x y -+-=；因P 在圆C 上，所以设P 的坐标为221cos ,1sin θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭， 则22(1,0),(0,1),1cos ,1sin AB AD AP θθ⎛⎫===++ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ，由AP AB AD λμ=+uu u r uu u r uuu r，得221cos ,1sin (1,0)(0,1)θθλμ⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭，则有221cos ,1sin 22λθμθ=+=+； 22(cos sin )2sin 34πλμθθθ⎛⎫+=++=++≤ ⎪⎝⎭，即λμ+的最大值为3；故答案为：3． 【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，涉及平面向量的基本定理，注意建立坐标系，分析P 的坐标与,λμ的关系，是中档题．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题：共60分.17. ΔABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos -=a c bA B. （1）求A ；（2）若1a =，求ΔABC 面积的最大值. 【详解】解：（1）由2cos cos -=a c bA B可得：cos 2cos cos =-a B c A b A ， 由正弦定理可得：sin cos 2cos sin cos sin =-A B A C A B ,∴sin()2cos sin sin 2cos sin +=⇒=A B A C C A C ，∵sin 0C ≠，∴1cos 2A =，∵(0,)A π∈， ∴3A π=；（6分）（2）由（1）知3A π=，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即221b c bc =+-（8分）∵222b c bc +≥，所以1bc ≤（当且仅当1b c ==时取等号） ∴13sin 2=≤V ABC S bc A ，所以ABC V 面积的最大值为3.（12分） 18.如图，几何体ABCDFE 中，ABC ∆，DFE ∆均为边长为2的正三角形，且平面//ABC 平面DFE ，四边形BCED 为正方形.（1）若平面BCED ⊥平面ABC ，求证:平面//ADE 平面BCF ；（2）若二面角D BC A --为150︒，求直线BD 与平面ADE 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：取BC 的中点O ,ED 的中点G ,连接,,,AO OF FG AG .如下图所示: 因为AO BC ⊥,且平面BCED ⊥平面ABC , 所以AO ⊥平面BCED ,同理FG ⊥平面BCED , 所以//AO FG ,（2分） 又因为3AO FG ==, 所以四边形AOFG 为平行四边形,所以//AG OF //AG 平面BCF ,又//DE BC ,DE ⊄ 平面BCF ,又因为AG 和 DE 交于点G 所以平面//ADE 平面BCF .（6分）（2）连结GO ,则GO BC ⊥,又AO BC ⊥,所以GOA ∠为二面角D BC A --的平面角,所以150GOA ∠=︒ 建立如图所示的空间直角坐标系,则(23,0,0),(0,1,1),(0,1,1),(3,1,0)A D E B - 所以(23,1,1),(0,2,0)AD ED =-=u u u ru u u r设平面ADE 的一个法向量是(,,)n x y z =r,则00n AD n ED ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u uv r u u uv r ,即2300x y z y ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩, 令3,6x z =∴=,即(3,0,6)n =r,(8分)又因为(3,0,1)BD =-u u u r,所以39sin ,||||239BD n BD n n BD ⋅〈〉===⋅u u u r ru u u r r u u u r r, 即所求的角的正弦值为39.（12分） 19.从某小区抽取50户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，将用电量的数据绘制成频率分布直方图如下图所示.（1）求频率分布直方图中x 的值并估计这50户用户的平均用电量；（2）若将用电量在区间[50,150)内的用户记为A 类用户，标记为低用电家庭，用电量在区间[250,350)内的用户记为B 类用户，标记为高用电家庭，现对这两类用户进行问卷调查，让其对供电服务进行打分，并将打分数据绘制成茎叶图如下图所示：,①从B 类用户中任意抽取3户，求恰好有2户打分超过85分的概率；②若打分超过85分视为满意，没超过85分视为不满意，请填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“满意与否与用电量高低有关”？附表及公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.解：（1）1(0.0060.00360.002450x =-++20.0012)0.0044⨯+=， 按用电量从低到高的六组用户数分别为6，9，15，11，6，3， 所以估计平均用电量为675912515175112256275332550⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯186=度.（4分）（2）①B 类用户共9人，打分超过85分的有6人，所以从B 类用户中任意抽取3户，恰好有2户打分超过85分的概率为2163391528C C C =.（8分） ②因为2K 的观测值224(6963)1212915k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 1.6 3.841=<，（11分）所以没有95%的把握认为“满意与否与用电量高低有关”.（12分） 20.已知动圆过定点(0,2)A ，且在x 轴上截得的弦长为4. （1）求动圆圆心M轨迹方程C ；（2）设不与x 轴垂直的直线l 与轨迹C 交手不同两点()11,P x y ，()22,Q x y .若12112+=x x ， 求证：直线l 过定点.【详解】解：（1）设动圆圆心为(,)M x y ，则222(2)4+--=x y y ，化简得24x y =；（4分）（2）易知直线l 的斜率存在，设:l y kx b =+，则（5分）由24x y y kx b⎧=⎨=+⎩，得2440x kx b --=，由韦达定理有：124x x k +=，124x x b =-.（7分） 从而12121122+=⇒+=x x x x x x ，即48=-k b ，则12=-b k （10分） 则直线11:22⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭l y kx k k x ，故直线过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭.（12分）21.已知函数()f x 满足:①定义域为R ；②2()2()9xxf x f x e e +-=+-. （1）求()f x 的解析式；（2）若12,[1,1]x x ∀∈-；均有−x 12+(a-2)x 1+6≥(1−x 2)f (x 2)成立，求a 的取值范围；（3）设2(),(0)()21,(0)f x xg x x x x >⎧=⎨--+≤⎩，试求方程[()]10g g x -=的解. 【详解】（1）2()2()9xx f x f x e e+-=+-Q ,…① 所以2()2()9xx f x f x ee ---+=+-即1()2()29xxf x f x e e -+=+-…② 由①②联立解得:()3xf x e =-.（3分）（2）设2()(2)6x x a x ϕ=-+-+, ()()()1333xx xF x x e e xe x =--=+--,依题意知:当11x -≤≤时,min max ()()x F x ϕ≥()()33x x x x F x e e xe xe '+=-+=-+Q的又()(1)0xF x x e ''=-+<Q 在(1,1)-上恒成立,所以()F x '在[1,1]-上单调递减()(1)30min F x F e ∴'='=->，()F x ∴在[1,1]-上单调递增,max ()(1)0F x F ∴==，所以min ()0x ϕ≥(1)70(1)30a a ϕϕ-=-≥⎧∴⎨=+≥⎩,解得:37a -≤≤ ，实数a 的取值范围为[3,7]-.（8分） （3）()g x 的图象如图所示：令()T g x =,则()1g T =，1232,0,ln 4T T T ∴=-== 当()2g x =-时有1个解3-,当()0g x =时有2个解：(12)-+、ln3,当()ln 4g x =时有3个解:ln(3ln 4)+、12(1ln 2)-±-.故方程[()]10g g x -=的解分别为：3-,(12)-+、ln3,ln(3ln 4)+、12(1ln 2)-±-（12分）22.在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为3cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，[0,)απ∈），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为224([0,])43cos =∈-ρθπθ.点(3,0)P . （1）写出曲线2C 的普通方程和参数方程；（2）曲线1C 交曲线2C 于A ，B 两点，若2||||5⋅=PA PB ，求曲线1C 的普通方程. 【详解】解：（1）()22222222443cos 43443cos =⇒-⇒+-=-x y x ρρρθθ所以，曲线2C 的普通方程为：2214x y +=（2分）曲线2C 的参数方程为：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）（5分）（2）由题知点P 在曲线上，将1C 的参数方程3cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩代入曲线2C 的普通方程为：2214x y +=得：1C()223sin 1cos 10++-=t αα所以0∆>，设12,t t是方程的两根，1212221,3sin 13sin 1t t t t ααα∴+=-=-++ 12212||||3sin 15PA PB t t α⋅===+，sin 24⇒=⇒=παα或34π（9分） 所以曲线1C的普通方程为：y x ==-+y x 10分）【点睛】本题考察极坐标方程和普通方程的互化，普通方程和参数方程的互化，考查了直线参数方程的应用，是基础题．23.已知1()=+f x x x（1）求不等式1()3||+<f x x 的解集； （2）()f x 的最小值为M ，12+=a b M ，(),a b R +∈，求22()()+f a f b 的最小值. 【答案】（1）{|2l x x -<<-或12}x <<；（2）252 【解析】【分析】（1）将12()3||3||||f x x x x +<⇒+<，求出||x 的范围，进而可得x 的范围； （2）首先求出()f x 的最小值，即可得+a b 的值，利用柯西不等式和基本不等式求22()()+f a f b 的最小值.【详解】解：（1）∵1112()33||3||||||+<⇒++<⇒+<f x x x x x x x ， (||1)(||2)01||2||-⋅-<⇒<<x x x x ， 不等式1()3||+<f x x 的解集为：{|2l 12}x x x -<<-<<或；（5分） （2）11()||2||=+=+≥=f x x x x x ， 所以，1a b +=，.()2222222211111()()112⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦f a f b a b a b a b a b 21112⎛⎫≥+++ ⎪⎝⎭a b a b 222111125112222⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪=+≥+= ⎪ ⎪⎝⎭+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ab a b .（10分）。
陕西、湖北、山西部分学校2020届高三3月联考数学(理)试题(PDF版)答案
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高三数学试卷参考答案理科
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2020届山西省高考3月联考数学模拟试题(理)有答案(已审阅)
山西省下学期高三级联考数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知{}{}|31,|3xA xB x y x =<==+，则A B =IA. [)3,0-B. []3,0-C. ()0,+∞D.[)3,-+∞2.若复数z 满足1ziz i=-，其中i 是虚数单位，则复数z 的共轭复数为 A. 1122i -+ B. 1122i -- C. 1122i - D.1122i +3.已知命题:p t π=，命题0:sin 1tq xdx =⎰，则p 是q 的A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.过双曲线()22210y x b b-=>的右焦点F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为E,O 为坐标原点，若2OFE EOF ∠=∠，则b =A. 12335.九九重阳节期间，学校准备举行慰问退休教师晚会，学生们准备用歌曲，小品，相声三种艺术形式表演五个节目，其中歌曲有2个节目，小品有2个节目，相声1个节目，要求相邻的节目艺术形式不能相同，则不同的编排种数为A. 96B. 72C.48D.24 6.已知锐角θ的终边经过点(3P m 且cos 2mθ=，将函数()12sin cos f x x x =+的图象向右平移θ个单位后得到函数()y g x =的图象，则()y g x =的图象的一个对称中心为 A. ,03π⎛⎫⎪⎝⎭ B. ,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ,13π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. ,16π⎛⎫ ⎪⎝⎭7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A. 12B. 11C. 10D. 98.已知实数,x y 满足2001x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，且z x y =+的最大值为6，则()225x y ++的最小值为53 A. 9.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳌膳.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体毛坯的三视图，第一次切削，将该毛坯得到一个表面积最大的长方体，第二次切削沿长方体的对角面刨开，得到两个三棱柱，第三次切削将两个三棱柱分别沿棱和表面的对角线刨开得到两个鳌膳和两个阳马，则阳马和鳌膳的体积之比为A. 3：1B. 2：1C. 1:1D.1:210.设函数()21cos ,12,01x x f x x x π⎧+>⎪=⎨⎪<≤⎩，函数()()10g x x a x x =++>，若存在唯一的0x ，使得()()(){}min ,h x f x g x =的最小值为()0h x ，则实数a 的取值范围是A. 2a <-B. 2a ≤-C. 1a <-D. 1a ≤-11.已知抛物线24y x =，过其焦点F 的直线l 与抛物线分别交于A,B 两点（A 在第一象限内），3AF FB =u u u r u u u r,过AB 中点且垂直于l 的直线交x 轴于点G ，则三角形ABG 的面积为A. 9B. 9C. 9D.912.已知函数()2ln f x x x =-与()()()()21222g x x m m R x =-+-∈-的图象上存在关于()1,0对称的点，则实数m 的取值范围是A.(),1ln 2-∞-B.(],1ln 2-∞-C. ()1ln 2,-+∞D.[)1ln 2,-+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在102x ⎛+ ⎝中的展开式中，15x 的系数为 . 14.已知()x x x f x xe e=+，定义()()()()()()1211,,,,n n a x f x a x a x a x a x n N *+'''===∈⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦L ，经计算()()()()()()1231231,2,3,x x x x x x x x xa x x e a x x e a x x e e e e---=++=++=++L ，令()()2017g x a x =，则()1g = .15.已知ABC ∆所在平面内有两点P,Q ，满足0,PA PC QA QB QC BC +=++=u u u r u u u r r u u u r u u u r u u u r u u u r，若24,2,3APQ AB AC S ∆===u u u r u u u r ,则AB AC ⋅u u u r u u u r 的值为 .16.已知ABC ∆中，2223sin 7sin 2sin sin sin 2sin B C A B C A +=+则sin 4A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.已知数列{}n a 为等差数列，且355,9a a ==，数列{}n b 的前项和为21.33n n S b =+ （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .18.（本题满分12分）京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，某机构在网络上调查发现各地京剧票友的年龄ξ服从正态分布()2,N μδ，同时随机抽取100名参与某电视台（我爱京剧）节目的票[]30.80友的年龄作为样本进行分析研究（全部票友的年龄都在内），样本数据分组为[)[)[)[)[]30,40,40,50,50,60,60,70,70,80，由此得到如图所示的频率分布直方图.（1）若()()3868P P ξξ<=>，求,a b 的值；（2）现从样本年龄[]70,80在的票友中组织了一次有关京剧知识的回答，每人回答一个问题，答对赢得一台老年戏曲演唱机，答错没有奖品，假设每人答对的概率均为23，且每个人回答正确与否相互之间没有影响，用η表示票友们赢得老年戏曲演唱机的台数，求η的分布列和数学期望.19.（本题满分12分）如图，平面ABEF ⊥平面CBED ，四边形ABEF 为直角梯形，90AFE FEB ∠=∠=o ,四边形CBED 为等腰梯形，//CD BE ,且2222 4.BE AF CD BC EF =====， （1）若梯形CBED 内有一点G ，使得//FG 平面ABC ，求点G 的轨迹； （2）求平面ABC 与平面ACDF 所成的锐二面角的余弦值.20.（本题满分12分）已知O 为坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为Q,以12F F 为直径的圆O 过点P ，直线PQ 与圆O 23.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆相交于M,N 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于A,B 两点，满足：①记MN 的中点为E,且A,B 两点到直线OE 的距离相等；②记OMN ∆,OAB ∆的面积分别为12,S S ，若12S S λ=，当1S 取得最大值时，求λ的值.21.（本题满分12分）已知函数()2ln f x a x bx =+的图象在点()()1,1f 处的切线方程为()()10,2,,x y g x af x t t R --==+∈且 2.t ≤（1）求()f x 的解析式；（2）求证：()().xg x e f x t <++请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
2020届全国大联考高三第三次联考数学试题(解析版)
（1）当 时， ，所以 ；
当 时，由 ①，得 ②，
①-②得， ，
所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，故数列 为常数列；
（2）由（1）知， ，所以 ，
所以 .
【点睛】
本题主要考查 的应用及用裂项相消法求和，考查计算能力，属于中等题.
19．在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
（1）判断 的形状；
（2）若 ， 的周长为16，求 外接圆的面积.
综上可得，实数 的取值范围 .
【点睛】
本题主要考查高次不等式的求法，以及根据元素与集合的关系确定参数的取值范围.
18．已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）证明：数列 为常数列.
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由 ，得 ，即 ，又由 ，即可得到本题答案；
（2）由（1）得， ，即可得到本题答案.
②是否存在正整数 ，使得 成立？若存在，求出所有 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）① ；②存在，
【解析】（1）由题，得 ，即可得到本题答案；
（2）①由 ，得 ，所以 ，恒等变形得， ，由此即可得到本题答案；
②由错位相减求和公式，得 的前n项和 ，然后通过求 的解，即可得到本题答案.
由此可知 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查三角函数图象与性质的应用，考查学生的分析能力及运算能力.
12．数列 满足 ，且对任意的 ，有 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据递推关系式运用累和的方法，结合等比数列前 项和公式进行求解即可.
【详解】
因为 ，
所以
.
故选：C
陕西省2020届高三第三次教学质量检测数学(理)答案
转换为直角坐标方程为：ｘ２ ＋ｙ２ ＝２ｘ＋２槡３ｙ， 所以：ｘ２＋ｙ２－２ｘ－２槡３ｙ＝０． ４分
{ （２）将线 ｌ的参数方程为： ｘｙ＝＝１１＋＋ｔｔｃｓｉｏｎｓφφ（ｔ为参数），
代入 ｘ２＋ｙ２－２ｘ－２槡３ｙ＝０． 所以 ｔ２－２（槡３－１）ｓｉｎφ·ｔ－２槡３＝０ 设点 Ａ、Ｂ所对应的参数为 ｔ１和 ｔ２，
解法 ２：当 λ＝１３，即Ａ→Ｇ＝１３Ｇ→Ｅ，ＦＧ／／面 ＡＢＣ．
第 １８题图（１）
过 Ｇ作 ＧＬ／／ＢＥ，交 ＡＢ于点 Ｌ．连结 ＬＣ．
ＧＬ／／ＢＥ，ＧＬ＝１４ＢＥ，ＣＦ／／ＢＥ，ＧＬ＝１４ＣＤ＝１４ＢＥ，
ＧＬ／／ＣＦ四边形 ＣＦＧＬ为平行四边形，ＦＧ／／ＣＬ，又 ＦＧ面 ＡＢＣ，ＦＧ／／面 ＡＢＣ． ＝
由定义得， ｘ－１ ＋ ｙ＋１ ＋ ｘ ＋ ｙ－１ ＝（ ｘ－１ ＋ ｘ）＋（ ｙ＋１ ＋ ｙ－１）≥ （ｘ－１）－ｘ ＋
（ｙ＋１）－（ｙ－１） ＝１＋２＝３
（当且仅当 ０≤ｘ≤１且 －１≤ｙ≤１时取等号） ８分 即 ｔ２－２ｔ≤３ｔ２－２ｔ－３≤０，∴ｔ∈[ －１，３]． １０分
（一）必考题：共 ６０分．
１７．（１２分）【解】（１）∵Ｓｎ－１ ＝ ４３（ａｎ－１ －１）（ｎ≥２），Ｓｎ－１ ＝ ４３（ａｎ－１ －１）（ｎ≥２），
∴ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１＝４ ３（ａｎ－ａｎ－１），所以 ａｎ＝４ａｎ－１． ２分
又 ａ１＝Ｓ１＝４ ３（ａ１－１），∴ａ１＝４．
{ ｙｘ２＝＋ｋ４ｘｙ＋２２－４＝０（１＋４ｋ２）ｘ２ ＋１６ｋｘ＋１２＝０
Δ≥０， （１）
ｘ１
＋ｘ２
＝１－＋１４６ｋｋ２，
则
ｘ１ｘ２
＝１＋１２４ｋ２，
（２） ６分
（３）
2020年陕西、湖北、山西部分学校高三3月联考数学(理)试题(解析版)(精编)
f (0) a 1 0 ，所以存在唯一的 x0 (0, ) ，使得 f x0 0 . 令 f (x) 0 ，得 0, x x0 ，则 f ( x) 在 0, x0 上单调递减，从而 f ( x), f (0) 0 ，故
B． ( , 2]
C．
5, 2
D．
,5 2
【答案】 C
【解析】 确定函数为奇函数，且单调递减，不等式转化为
x2 5 a…
x2 4
x2 4
1
，利用双勾函数单调性求最值得到答案 .
x2 4
【详解】
f ( x) ln( x2 1 x) 3x 3 x f ( x), f (x) 是奇函数，
2
x
x
1
x
x
f (x) ln( x 1 x) 3 3 ln(
1
A．
2
【答案】 B
1 B． 2
C．2
D． 2
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【解析】 计算抛物线的交点为
1 0, ，代入计算得到答案 .
8
【详解】
y 2x 2 可化为 x2
1 y ，焦点坐标为
1 0, ，故 m
1
.
2
8
2
故选： B . 【点睛】
本题考查了抛物线的焦点，属于简单题 .
4．已知函数 f (x)
故答案为： 2 .
【点睛】
本题考查了根据向量平行求参数，意在考查学生的计算能力
.
14．已知实数 x, y 满约束条件
x y 2…0, 2x y 5, 0, ，则 z y…1,
x 3 y 的最大值为 ___________.
【答案】 8
【解析】 画出可行域和目标函数，根据平移计算得到答案
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2020届陕西、湖北、山西部分学校高三3月联考数学（理）试题一、单选题1．设集合{}2{|10},|20A x x B x x x =-=--<…，则A B =I （ ） A ．[1,2) B ．(]1,1-C ．(1,1)-D ．(2,1]-【答案】B【解析】计算{|1},{|12}x x B x A x =-<<=„，再求交集得到答案. 【详解】由题意{|10}{|1},{|12}A x x x x B x x =-==-<<厔，则(1,1]A B ⋂=-. 故选：B . 【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题.2．已知a ，b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则（ ） A ．b ＝3a B ．b ＝6aC ．b ＝9aD ．b ＝12a【答案】C【解析】两复数相等，实部与虚部对应相等. 【详解】由3(21)ai b a i +=--，得312b a a=⎧⎨=-⎩，即a 13=，b ＝3．∴b ＝9a ． 故选：C ． 【点睛】本题考查复数的概念，属于基础题.3．若直线240x y m ++=经过抛物线22y x =的焦点，则m =（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．2-【答案】B【解析】计算抛物线的交点为10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入计算得到答案.【详解】22y x =可化为212x y =，焦点坐标为10,8⎛⎫⎪⎝⎭，故12m =-.故选：B . 【点睛】本题考查了抛物线的焦点，属于简单题.4．已知函数22,0,()1,0,x x x f x x x ⎧-=⎨+<⎩…，则((1))f f -=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】根据分段函数直接计算得到答案. 【详解】因为22,0,()1,0,x x x f x x x ⎧-=⎨+<⎩…所以2((1))(2)222f f f -==-=.故选：A . 【点睛】本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力. 5．要得到函数2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数2cos2y x =的图象 A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 【答案】D【解析】先将2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化为2cos 26π⎡⎤⎛⎫=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦y x ，根据函数图像的平移原则，即可得出结果. 【详解】因为2sin 22cos 22cos 2636y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以只需将2cos2y x =的图象向右平移6π个单位. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移，熟记函数平移原则即可，属于基础题型. 6．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1a d=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案. 【详解】由136,,a a a 成等比数列得2316a a a =⋅，即()()211125a d a a d +=+，已知0d ≠，解得14a d=. 故选：A . 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力.7．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（ ）A ．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B ．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C ．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D ．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是103 【答案】D【解析】计算两班的平均值，中位数，方差得到ABC 正确，两班人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，D 错误，得到答案. 【详解】由题意可得甲班的平均分是104，中位数是103，方差是26.4； 乙班的平均分是102，中位数是101，方差是37.6，则A ，B ，C 正确. 因为甲、乙两班的人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，故D 错误.故选：D . 【点睛】本题考查了茎叶图，平均值，中位数，方差，意在考查学生的计算能力和应用能力. 8．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（ ） A ．96里 B ．72里C ．48里D ．24里【答案】B【解析】人每天走的路程构成公比为12的等比数列，设此人第一天走的路程为1a ，计算1192a =，代入得到答案. 【详解】由题意可知此人每天走的路程构成公比为12的等比数列，设此人第一天走的路程为1a ，则61112378112a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-，解得1192a =，从而可得3241119296,1922422a a ⎛⎫=⨯==⨯= ⎪⎝⎭，故24962472a a -=-=.故选：B . 【点睛】本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.9．已知整数,x y 满足2210x y +≤，记点M 的坐标为(,)x y ，则点M满足x y +≥的概率为（ ） A ．935B ．635C ．537D ．737【答案】D【解析】列出所有圆内的整数点共有37个，满足条件的有7个，相除得到概率. 【详解】因为,x y 是整数，所以所有满足条件的点(,)M x y 是位于圆2210x y +=（含边界）内的整数点，满足条件2210x y +≤的整数点有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),±±±±(2,0),(3,0),(1,1),(2,1),(3,1),(1,2),(2,2),(1,3)±±±±±±±±±±±±±±共37个，满足x y +≥的整数点有7个，则所求概率为737. 故选：D . 【点睛】本题考查了古典概率的计算，意在考查学生的应用能力.10．已知函数())33x x f x x -=+-，不等式()2(50f f x ++„对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[2,)-+∞ B ．(,2]-∞-C ．5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．5,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】C【解析】确定函数为奇函数，且单调递减，不等式转化为2a ⎫=-，利用双勾函数单调性求最值得到答案. 【详解】())33(),()x x f x x f x f x --=+-=-是奇函数，())3333x x x x f x x --=+=+--，易知,33x x y y y -==-=均为减函数，故()f x 且在R 上单调递减，不等式()2(50f f x ++„，即()2(5f f x --„，结合函数的单调性可得25x --，即2a ⎫=-，设t =，2t ≥，故1y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭单调递减，故max 52⎫-=-， 当2t =，即0x =时取最大值，所以52a -…. 故选：C . 【点睛】本题考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式，参数分离求最值是解题的关键.11．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:bl y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+u u u r u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为（ ）A ．10B ．3C ．5D ．2【答案】A【解析】设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为bx y c a=-，联立方程得到()312222ab y y b a c +=-，()2412222a b y y b a c=-，根据向量关系化简到229b a =，得到离心率. 【详解】设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为bx y c a=-. 联立2222,1,b x y c a x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩整理得()44232420b a y ab cy a b --+=， 则()()3241212222222,ab a b y y y y b a c b a c +==--.因为11122OP OF OQ =+u u u r u u u r u u u r，所以P 为线段1QF 的中点，所以212y y =，()()()()22622221222222224124942a b b a c y y b y y b a b a c a b -+===⋅--，整理得229b a =， 故该双曲线的离心率10e =. 故选：A .【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.二、填空题12．在长方体1111ABCD A B C D -中，13,4AD AA AB ===，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值为（ ） A ．25B ．25C ．225D ．45【答案】C【解析】根据11//A B CD 确定1ACD ∠是异面直线1A B 与AC 所成的角，利用余弦定理计算得到答案. 【详解】由题意可得1115,42AC AD AB CD ====.因为11//A B CD ， 所以1ACD ∠是异面直线1A B 与AC 所成的角，记为θ，故22211122cos 252542AC CD AD AC CD θ+-===⋅⨯⨯. 故选：C .【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.13．已知向量(1,2),(3,2)a b ==-r r，若向量ka b +r r 与2a b -r r共线，则k =________. 【答案】2-【解析】计算得到(3,22),2(5,2)ka b k k a b +=-+-=r r r r，根据向量平行计算得到答案.【详解】由题意可得(3,22),2(5,2)ka b k k a b +=-+-=r r r r，因为ka b +r r 与2a b -r r共线，所以有2(3)5(22)0k k --+=，即816k =-，解得2k =-. 故答案为：2-. 【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，意在考查学生的计算能力.14．已知实数,x y 满约束条件20,250,1,x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩…„…，则3z x y =-+的最大值为___________.【答案】8【解析】画出可行域和目标函数，根据平移计算得到答案. 【详解】根据约束条件20,250,1,x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩…„…，画出可行域，图中阴影部分为可行域.又目标函数3,3zz x y =-+表示直线30x y z -+=在y 轴上的截距， 由图可知当30x y z -+=经过点(1,3)P 时截距最大，故z 的最大值为8. 故答案为：8.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.15．已知函数()1xf x e ax =+-，若0,()0x f x 厖恒成立，则a 的取值范围是___________. 【答案】[1,)-+∞【解析】求导得到()xf x e a '=+，讨论10a +…和10a +<两种情况，计算10a +<时，函数()f x 在[)00,x 上单调递减，故()(0)0f x f =„，不符合，排除，得到答案。