二轮复习函数的极值和最值(理) 学案(全国通用)

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高中数学《函数极值,最值与导数》导学案

数学选修2-2导学案
二、认识新知（一）、导数与极值
问题：如图表示跳水运动员，高度h 随时间t 变化的函
数
的图象
结论：
由图象我们知道，)(t h 在a t =处有极大值，此时：
函数)(t h 在a 处0)(='a h ，在a t =的附近当 0>t 时,函数h(t)单调递增，0)(>'t h ; 当 0<t 时,函数h(t)单调递减, 0)(<'t h 。

2
() 4.9 6.510h t t t =-++
思考：
【问题】：对于任意的一般函数)(x f ，如果在某一点处有极值，在该点处，导数有什么规律？请大家观察下列图象回答一下问题：
问题1：函数)(x f y =在点b a ,的函数值与这些点附近的点的函数值有什么关系？
问题2：函数)(x f y =在点b a ,处的导数是多少？问题3：在点b a ,处函数)(x f y =的导数有什么规律？
结论：
1、在点a 处函数)(x f y =有极小值，此时： ①:点a 附近的点的函数值都大于)(a f ②：0)(='a f
③：在a 点的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f。

2020届二轮复习极化恒等式问题学案(全国通用)

专题07 极化恒等式问题极化恒等式这个概念虽在课本上没有涉及，但在处理一类向量数量积时有奇效，备受师生喜爱.1. 极化恒等式：221()()4a b a b a b ⎡⎤⋅=+--⎣⎦r r r r r r2. 极化恒等式三角形模型：在ABC ∆中，D 为BC 的中点，则221||||4AB AC AD BC ⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r3. 极化恒等式平行四边形模型：在平行四边形ABCD 中，221(||||)4AB AD AD BD ⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r类型一利用极化恒等式求值典例1.如图在三角形ABC 中，D 是BC 的中点，E,F 是AD 上的两个三等分点，4,1,BA CA BF CF ⋅=⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r则BE CE ⋅u u u r u u u r值为______.【答案】78【解析】设2222,,||||94DC a DF b BA CA AD BD b a ==⋅=-=-=u u u r r u u u r r u u u r u u u r u u u r u u u r r r 2222||||1BF CF FD BD b a ⋅=-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r r r解得22513,88b a ==r r22227||||48BE CE ED BD b a ∴⋅=-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r r r类型二利用极化恒等式求最值或范围典例2 在三角形ABC 中，D 为AB 中点，90,4,3C AC BC ︒∠===，E,F 分别为BC,AC 上的动点，且EF=1，则DE DF ⋅u u u r u u u r最小值为______【答案】154【解析】设EF 的中点为M ，连接CM ，则1||2CM =即点M 在如图所示的圆弧上，则222211115||||||||4244DE DF DM EM DM CD ⋅=-=---=u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ≧类型三利用极化恒等式求参数典例 3 设三角形ABC ，P 0是边AB 上的一定点，满足P 0B=14AB,且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r,则三角形ABC 形状为_______.【答案】C 为顶角的等腰三角形. 【解析】取BC 的中点D ，连接PD,P 0D.00PB PC P B P C ⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r Q …2222011||||||44PD BC P b BC ∴--u u u r u u u r u u r u u u r r …0||PD P D ∴u u u r r r…0P D AB ∴⊥,设O 为BC 的中点，OC AB AC BC ∴⊥∴=即三角形ABC 为以C 为顶角的等腰三角形.1.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是_____【答案】32-【解析】设BC 的中点为O ，OC 的中点为M,连接OP,PM,222133()22||||2||222PA PB PC PO PA PM AO PM ∴⋅+=⋅=-=-≥-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r当且仅当M 与P 重合时取等号2．直线0ax by c ++=与圆220:16x y +=相交于两点M,N,若222c a b =+，P 为圆O 上任意一点，则PM PN ⋅u u u u r u u u r的取值范围为_______【答案】[6,10]-【解析】圆心O 到直线0ax by c ++=的距离为1d ==设MN 的中点为A ，222||||||15PM PN PA MA PA ⋅=-=-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r||||||||||OP OA PA OP OA -+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q 剟23||5,||15[6,10]PA PM PN PA ∴⋅=-∈-u u u r u u u u r u u u r u u u r 剟3．如图，已知B,D 是直角C两边上的动点，12,||,()6AD BD AD BAD CM CA CB π⊥=∠==+u u u r u u u ur u u u r u u u r1()2CN CD CA =+u u u r u u u r u u u r，则CM CN ⋅u u u u r u u u r 的最大值为______【答案】14)4【解析】设MN 的中点为G ，BD 的中点为H ，21||4CM CN CG ⋅=-u u u u r u u u r u u u r221||||16MN CG =-u u u u r u u u r21111||||||4)22164CG CH HG CM CN⎛+=+⋅+-=+ ⎝u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r Q 剟所以CM CN ⋅u u u u r u u u r的最大值为14)4+4.如图在同一平面内，点A 位于两平行直线m,n 的同侧，且A 到m,n 的距离分别为1，3，点B,C 分别在m,n上，且||5AB AC +=u u u r u u u r，则AB AC ⋅u u u r u u u r 的最大值为______【答案】214【解析】连接BC ，取BC 的中点D ，则22AB AC AD BD ⋅=-u u u r u u u r ，又15||22AD AB AC =+=u u ur u u u r故2225251444AB AC BD BC ⋅=-=-u u u r u u u r又因为min 312BC =-=所以21()4max AB AC ⋅=u u u r u u u r5.在半径为1的扇形AOB 中，60AOB ︒∠=,C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP BP ⋅u u u r u u u r的最小值为_____【答案】41-【解析】取OB 的中点D ，连接PD ，则22214OP BP PD OD PD ⋅=-=-u u u r u u u r于是只要求求PD 的最小值即可，由图可知，当PD AB ⊥时， min PD =即所求最小值为41-6.已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA CB λ⋅=u u u r u u u r （λ为常数），且点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值为______ 【答案】43-【解析】如图取AB 的中点为D ，连接CD,则21CA CB CD λ⋅=-=u u u r u u u r10CD λ=-<„又由点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，12，则负数λ的最大值为43-7.已知A(0,1)，曲线4:log C y x =横过点B ，若P 是曲线C 上的动点，且AB AP ⋅u u u r u u u r的最小值为2，则α=______【答案】e 【解析】如图，B （1，0），则AB =，连接BP ，取BP 的中点C ，连接AC,因为AB AP ⋅u u u r u u u r 的最小值为2，则有()2222max2AC BCAB -===上式等价于222AB BC AC +„，即90ABP ︒∠…当且仅当P 与B 重合时取等号，此时曲线C 在B 处的切线斜率等于1，即11n ,e l a α==8.若平面向量,a b r r 满足|2|3a b -≤rr ，则a b ⋅r r 的最小值为_____【答案】98-【解析】222222(2)(2)|2||2|0398888a b a b a b a b a b +--+---⋅==≥=-r r r r r r当且仅当|2|0,|2|3a b a b +=-=r rr r ，即33||,||,,42a b a b π==<>=r r r 时a b ⋅r r 取最小值98-9.在正方形ABCD 中，AB=1，A,D 分别在x,y 轴的非负半轴上滑动，则OC OB ⋅u u u r u u u r的最大值为_____【答案】2 【解析】如图取BC 的中点E ，取AD 的中点F ，222224()()(2)(2)41OC OB OC OB OC OB OE BE OE ⋅=+--=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r所以214OC OB OE ⋅=-u u u r u u u r u u u r而113|||||||||||1222OE OF FE AD FE ≤+=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，当且仅当,OF AD OA OD ⊥=时取等号，所以OC OB ⋅u u u r u u u r的最大值为210.已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点，以A 为圆心,AE 为半径作弧交AD 于F ，若P 为劣弧EF 上的动点，则PC PD ⋅u u u r u u u r的最小值为______【答案】5-【解析】如图取CD 的中点M.222224()()(2)(2)44PC PD PC PD PC PD PM DM PM ⋅=+--=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r所以21PC PD PM ⋅=-u u u r u u u r u u u u r而||1||||||PM PM AP AE +=+≥=u u u u r u u u u r u u u r u u u r，当且仅当P,Q 重合时等号成立所以PC PD ⋅u u u r u u u r的最小值为21)15--=-11.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，求PM PN ⋅u u u u r u u u r的范围.【答案】[0,2]【解析】如图当弦MN 的长度最大时，为内切球的直径，此时O 为MN 的中点，222224()()(2)(2)44PM PN PM PN PM PN PO OM PO ⋅=+--=-=-u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r所以21PM PN PO ⋅=-u u u u r u u u r u u u r而1||PO ≤≤u u u rPM PN ⋅u u u u r u u u r 的范围为[0,2]。

2020届二轮复习平面向量中范围、最值等综合问题学案(全国通用)

专题03 平面向量中范围、最值等综合问题一．方法综述平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查生的思维品质和习潜能，能综合考察生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．二．解题策略类型一与向量的模有关的最值问题【例1】【2018河北定州中模拟】设向量,,a b c r r r满足2a b ==r r ， 2a b ⋅=-r r ， ,c>60a c b <--=︒r r r r ，则c r的最大值等于（）A. 4B. 2C.D. 1【答案】A【指点迷津】由已知条件得四点共圆是解题关键，从而转化为求外接圆直径处理. 【举一反三】1、【2018辽宁沈阳东北育才模拟】在Rt ABC ∆中， 090A ∠=，点D 是边BC 上的动点，且，则当λμv ）A.B. 3C.D. 【答案】D2、【2018湖南长沙市长郡中模拟】已知向量,a b v v 满足： 1a b ==vv ，且12a b ⋅=v v ，若c xa yb =+v v v ，其中0x >， 0y >且2x y +=，则c v的最小值是__________．【答案】3【解析】1a b ==Q vv，且12a b ⋅=vv ，当c xa yb =+v v v 时， 222222c x a xya b y b =+⋅+v v v v v ， ()222x xy y x y xy =++=+-，又0,0x y >>且22,12x y x y xy +⎛⎫+=∴≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1x y ==时取“=”， ()2222213,2x y c x y c +⎛⎫∴≥+-=-=∴ ⎪⎝⎭v v 的最小值是3，故答案为3.* 3、【2018浙东北联盟联考】已知向量,,a b c v v v ，满足1,2,3a b c ===v v v， 01λ≤≤，若0b c ⋅=v v ，则()1a b c λλ---v v v的最大值为_________，最小值为__________．【答案】 4613113- 【解析】设()()1,1n b c a b c a n λλλλ=+----=-v v v v v v v v，n a a n n a -≤-≤+v v v v v v，即11n a n n -≤-≤+v v v v ，()()()2222221121n b c b c bc λλλλλλ=--=+-+-v v v v v v v()()2224911318901λλλλλ=+-=-+≤≤，由二次函数性质可得，266136139,3,1114131313n n n a n n ≤≤≤≤-≤-≤-≤+≤v v v v v v ， ()1a b c λλ∴---v v v，最大值为4，最小值为613113-，故答案为4， 613113-.* 类型二与向量夹角有关的范围问题【例2】已知向量→OA 与→OB 的夹角为θ，→→→→→→→-====PQ OB t OQ OA t OP OB OA ,)1(,,1,20t 在时取得最小值，当0105t <<时，夹角θ的取值范围为________________. 【分析】将PQ u u u r 表示为变量t 的二次函数PQ u u u r1)cos 42()cos 45(2+--++=t t θθ，转化为求二次函数的最小值问题，当θθcos 45cos 210++=t 时，取最小值，由已知条件0105t <<，得关于夹角θ的不等式，解不等式得解．【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解．【举一反三】1、非零向量b a ϖϖ,满足b a ϖϖ⋅2=22b a ϖϖ，2||||=+b a ϖϖ，则b a ϖϖ与的夹角的最小值是．【答案】3π【解析】由题意得2212a b a b ⋅=r r r r ，()24a b +=r r ，整理得22422a b a b a b +=-⋅≥⋅r r r r r r ，即1a b ⋅≤r11cos ,22a b a b a b a b ⋅==⋅≤r rr r r r r r ，,3a b ππ∴≤≤r r ，夹角的最小值为3π*2、已知向量=（－2，－1），=（λ，1），则与的夹角θ为钝角时，λ的取值范围为（）A. B. C. 且λ≠2 D. 无法确定【答案】C【解析】∵与的夹角θ为钝角，∴=－2λ－1＜0，解得λ＞，又当λ=2时，满足向量∥，且反向，此时向量的夹角为180°，不是钝角，故λ的取值范围为λ＞，且λ≠2.故选C.类型三与向量投影有关的最值问题【例3】设1,2OA OB ==u u u v u u u v ， 0OA OB ⋅=u u u v u u u v ， OP OA OB λμ=+u u u v u u u v u u u v，且1λμ+=，则OA u u u v 在OP u u u v 上的投影的取值范围( ) A. 25-,15⎛⎤⎥ ⎝⎦ B.25,15⎛⎤⎥⎝⎦ C. 5,15⎛⎤⎥⎝⎦ D. 5-,15⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D当λ0=时， 0,x =当222215λ8λ4482λ0521x λλλλ-+⎛⎫>==-+=-+ ⎪⎝⎭，故当λ1=时，1x 取得最小值为1，即1101x x≥∴<≤，当λ0<时， 222215844825215x λλλλλλ-+⎛⎫=-=--+=--+=- ⎪⎝⎭，即15x <- 505x ∴-<< 综上所述]5( ,15x ∈-故答案选D 【指点迷津】由已知求得OA OP→⋅→及OP→，代入投影公式，对λ分类后利用二次函数求最值，在分类讨论时需要讨论完整，不要漏掉哪种情况，讨论完可以检查下是否把整个实数全部取完。

二轮复习函数值域的求法学案(全国通用)

微专题04 求函数的值域作为函数三要素之一，函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分。

所以掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决。

一、基础知识： 1、求值域的步骤：（1）确定函数的定义域（2）分析解析式的特点，并寻找相对应的方法（此为关键步骤）（3）计算出函数的值域2、求值域的常用工具：尽管在有些时候，求值域就像神仙施法念口诀一样，一种解析式特点对应一个求值域的方法，只要掌握每种方法并将所求函数归好类即可操作，但也要掌握一些常用的思路与工具。

（1）函数的单调性：决定函数图像的形状，同时对函数的值域起到决定性作用。

若()f x 为单调函数，则在边界处取得最值（临界值）。

（2）函数的图像（数形结合）：如果能作出函数的图像，那么值域便一目了然（3）换元法：()f x 的解析式中可将关于x 的表达式视为一个整体，通过换元可将函数解析式化归为可求值域的形式。

（4）最值法：如果函数()f x 在[],a b 连续，且可求出()f x 的最大最小值,M m ，则()f x 的值域为[],m M注：一定在()f x 连续的前提下，才可用最值来解得值域3、常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归。

（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域（2）二次函数（2y ax bx c =++）：二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解。

（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）例：()[]223,1,4f x x x x =--∈-解：()()214f x x =--∴对称轴为：1x =()[]4,5f x ∴∈-（3）反比例函数：1y x=（1）图像关于原点中心对称（2）当,0x y →+∞→ 当,0x y →-∞→（4）对勾函数：()0ay x a x=+> ① 解析式特点：x 的系数为1；0a > 注：因为此类函数的值域与a 相关，求a 的值时要先保证x 的系数为1，再去确定a 的值例：42y x x=+，并不能直接确定4a =，而是先要变形为22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求得2a =② 极值点：,x a x a ==-③ 极值点坐标：()(),2,,2a a a a --④ 定义域：()(),00,-∞+∞U⑤ 自然定义域下的值域：(),22,a a ⎤⎡-∞-+∞⎦⎣U（5）函数：()0ay x a x=-> 注意与对勾函数进行对比 ① 解析式特点：x 的系数为1；0a >② 函数的零点：x a =± ③ 值域：R（5）指数函数（xy a =）：其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（6）对数函数（log a y x =）其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（7）分式函数：分式函数的形式较多，所以在本节最后会对分式函数值域的求法进行详细说明（见附）二、典型例题：将介绍求值域的几种方法，并通过例题进行体现1、换元法：将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出值域（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围（2）换元的作用有两个：① 通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的② 化归：可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理（3）换元的过程本质上是对研究对象进行重新选择的过程，在有些函数解析式中明显每一项都是与x 的某个表达式有关，那么自然将这个表达式视为研究对象。

2020届高三复习经典教案：导数与函数的极值、最值(理数含详解)

第十二节导数与函数的极值、最值[最新考纲] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．1．函数的极值与导数的关系 (1)函数的极小值与极小值点若函数f (x )在点x ＝a 处的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫做函数的极小值点，f (a )叫做函数的极小值．(2)函数的极大值与极大值点若函数f (x )在点x ＝b 处的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫做函数的极大值点，f (b )叫做函数的极大值．2．函数的最值与导数的关系(1)函数f (x )在[a ，b ]上有最值的条件如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[常用结论]对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的极大值一定比极小值大． ( )(2)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的充要条件． ( ) (3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值． ( ) (4)x ＝0是函数f (x )＝x 3的极值点． ( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 A [导函数f ′(x )的图象与x 轴的交点中，左侧图象在x 轴下方，右侧图象在x 轴上方的只有一个，所以f (x )在区间(a ，b )内有一个极小值点．]3．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点 D ．x ＝2为f (x )的极小值点D [函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －2x 2＝x －2x 2，令f ′(x )＝0得x ＝2，又0＜x ＜2时，f ′(x )＜0， x ＞2时，f ′(x )＞0.因此x ＝2为f (x )的极小值点，故选D.]4．已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．4 D ．2D [由题意得f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0得x ＝±2，∴当x <－2或x >2时，f ′(x )>0；当－2<x <2时，f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f (x )在x ＝2处取得极小值， ∴a ＝2.]5．函数y ＝2x 3－2x 2在区间[－1,2]上的最大值是________． 8 [y ′＝6x 2－4x ，令y ′＝0，得x ＝0或x ＝23.∵f (－1)＝－4，f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫23＝－827，f (2)＝8，∴最大值为8.]►【例1】设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)D [由题图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．]►考法2 根据函数的解析式求极值【例2】已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．[解] (1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x2x，令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f故f (x )极大值(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x ＞0)，当a ≤0时，f ′(x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a ＞0时，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )＞0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，故函数在x ＝1a处有极大值．综上所述，当a ≤0时，函数在定义域上无极值点，当a ＞0时，函数有一个极大值点． ►考法3 已知函数的极值求参数【例3】 (1)(2019·成都模拟)若函数f (x )＝(x 2＋ax ＋3)e x 在(0，＋∞)上有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－22]B ．(－∞，－22)C ．(－∞，－3]D ．(－∞，－3)(2)若函数f (x )＝x (x －a )2在x ＝2处取得极小值，则a ＝________.(1)C (2)2 [(1)f ′(x )＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax ＋3)e x ＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a ＋3]e x . 令g (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋a ＋3，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋22＞0，g (0)≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋22≤0，g (0)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋22＞0，a ＋3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋22≤0，a ＋3＜0，解得a ≤－3，故选C. (2)f (x )＝x (x －a )2＝x 3－2ax 2＋a 2x ， ∴f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2.由f ′(2)＝12－8a ＋a 2＝0，解得a ＝2或a ＝6.当a ＝2时，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4＝(x －2)(3x －2)，函数在x ＝2处取得极小值，符合题意；当a ＝62＝ax 3－2x 2＋x ＋c (a ≥0)．(1)当a ＝1，且函数图象过点(0,1)时，求f (x )的极小值． (2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，求a 的取值范围． [解] f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1.(1)函数图象过点(0,1)时，有f (0)＝c ＝1.当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，令f ′(x )＞0，解得x ＜13或x ＞1；令f ′(x )＜0，解得13＜x ＜1.所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，13和(1，＋∞)上单调递增；在 ⎝⎛⎭⎫13，1上单调递减，极小值是f (1)＝13－2×12＋1＋1＝1.(2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，则f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立．①当a ＝0时，f ′(x )＝－4x ＋1，显然不满足条件； ②当a ≠0时，f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a ×1≤0，即16－12a ≤0，解得a ≥43.综上，a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫43，＋∞.【例4】 (2019·(1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．[解] (1)由f (x )＝(x －k )e x ，得f ′(x )＝(x －k ＋1)e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝k －1. f (x )与f ′(x )所以，f (x ))． (2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ，当0＜k －1＜1，即1＜k ＜2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1.当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e. 综上可知，当k ≤1时，f (x )min ＝－k ；当1＜k ＜2时，f (x )min ＝－e k －1；已知函数f (x )＝x ＋k ln x ，k ＜1e ，求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值和最小值．[解] 因为f (x )＝1－xx ＋k ln x ，所以f ′(x )＝－x －(1－x )x 2＋k x ＝kx －1x 2. (1)若k ＝0，则f ′(x )＝－1x 2在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上恒有f ′(x )＜0，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减．所以f (x )min ＝f (e)＝1－ee ，f (x )ma x ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －1.(2)若k ≠0，f ′(x )＝kx －1x 2＝k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2. ①若k ＜0，则在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上恒有k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2＜0，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减，所以f (x )min ＝f (e)＝1－e e ＋k ln e ＝1e ＋k －1，f (x )ma x ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －k －1.②若k ＞0，由k ＜1e ，得1k ＞e ，则x －1k ＜0，所以k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2＜0，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减．所以f (x )min ＝f (e)＝1－e e ＋k ln e ＝1e ＋k －1，f (x )ma x ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －k －1.综上，k ＜1e 时，f (x )min ＝1e＋k －1，f (x )ma x ＝e －k －1.【例5】已知函数f (x )＝e x(a ＞0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值．[解] (1)f ′(x )＝(2ax ＋b )e x －(ax 2＋bx ＋c )e x(e x )2＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c e x，令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ，因为e x ＞0，所以y ＝f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点，且f ′(x )与g (x )符号相同．又因为a ＞0，所以当－3＜x ＜0时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0，当x ＜－3或x ＞0时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，所以f (x )的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．(2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点，所以有⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c e －3＝－e 3，g (0)＝b －c ＝0，g (－3)＝－9a －3(2a －b )＋b －c ＝0，解得a ＝1，b ＝5，c ＝5，所以f (x )＝x 2＋5x ＋5e x.因为f (x )的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，所以f (0)＝5为函数f (x )的极大值，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者，而f (－5)＝5e－5＝5e 5＞5＝f (0)，5若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是________．[－3,0) [由题意，得f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令13x 3＋x 2－23＝－23得，x ＝0或x ＝－3，则结合图象可知， ⎩⎨⎧－3≤a ＜0，a ＋5＞0，解得a ∈[－3,0)．]1．(2017·全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( ) A ．－1 B ．－2e －3 C ．5e －3 D ．1A [函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，则f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)·e x －1 ＝e x －1·[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]．由x ＝－2是函数f (x )的极值点得 f ′(－2)＝e －3·(4－2a －4＋a －1)＝(－a －1)·e －3＝0，所以a ＝－1.所以f (x )＝(x 2－x －1)e x －1，f ′(x )＝e x －1·(x 2＋x －2)．由e x －1>0恒成立，得x ＝－2或x ＝1时，f ′(x )＝0，且x <－2时，f ′(x )>0；－2<x <1时，f ′(x )<0； x >1时，f ′(x )>0.所以x ＝1是函数f (x )的极小值点．所以函数f (x )的极小值为f (1)＝－1. 故选A.] 2．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为 f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln ⎝⎛⎭⎫1a ＋a ⎝⎛⎭⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝⎛⎭⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此，a 的取值范围是(0,1)．课后限时集训(十五) (建议用时：60分钟) A 组基础达标一、选择题1．函数y ＝f (x )导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )A ．函数y ＝f (x )在区间(－1,3)上单调递增B ．函数y ＝f (x )在区间(3,5)上单调递减C ．函数y ＝f (x )在x ＝0处取得极大值D ．函数y ＝f (x )在x ＝5处取得极小值 C [由函数y ＝f (x )导函数的图象可知：当x ＜－1及3＜x ＜5时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当－1＜x ＜3及x ＞5时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以f (x )的单调减区间为(－∞，－1)，(3,5)；单调增区间为(－1,3)，(5，＋∞)， f (x )在x ＝－1,5处取得极小值，在x ＝3处取得极大值，故选项C 错误，故选C.]2．函数y ＝ln x －x 在x ∈(0，e]上的最大值为( ) A ．e B ．1 C ．－1 D ．－e C [函数y ＝ln x －x 的定义域为(0，＋∞)．又y ′＝1x －1＝1－x x，令y ′＝0得x ＝1，当x ∈(0,1)时，y ′＞0，函数单调递增；当x ∈(1，e]时，y ′＜0，函数单调递减．当x ＝1时，函数取得最大值－1.]3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( ) A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 C [f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， ∴⎩⎨⎧ 3＋2a ＋b ＝01＋a ＋b ＋a 2＝10⇒⎩⎨⎧b ＝－3－2a a 2－a －12＝0⇒⎩⎨⎧ a ＝4b ＝－11或⎩⎨⎧a ＝－3b ＝3. 经检验⎩⎨⎧a ＝4b ＝－11符合题意，∴f (2)＝23＋4×4＋2×(－11)＋16＝18.]4．已知a ∈R ，若f (x )＝⎝⎛⎭⎫1x ＋a e x 在区间(0,1)上有且只有一个极值点，则a 的取值范围是( )A ．a ＜0B ．a ＞0C ．a ≤1D ．a ≥0B [f ′(x )＝e x x 2(ax 2＋x －1)，若f (x )在(0,1)上有且只有一个极值点，则f ′(x )＝0在(0,1)上有且只有一个零点，显然e xx2＞0，问题转化为g (x )＝ax 2＋x －1在(0,1)上有且只有一个零点，故g (0)·g (1)＜0，即⎩⎨⎧－1＜0，a ＋1－1＞0，解得：a ＞0，故选B.]5．(2019·漳州模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax 存在最大值0，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．e D.1eD [函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ，当a ≤0时，f ′(x )＞0恒成立，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，不存在最大值；当a ＞0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，解得x ＝1a ，当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＞0，当x ＞1a 时，f ′(x )＜0，∴f (x )ma x ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －1＝0，解得a ＝1e ，故选D.]二、填空题6．函数y ＝2x －1x 2的极大值是________．－3 [y ′＝2＋2x 3，令y ′＝0，即2＋2x 3＝0，解得x ＝－1，当x ＜－1时，y ′＞0，当－1＜x ＜0时，y ′＜0，因此当x ＝－1时，函数有极大值，极大值为－2－1＝－3.] 7．(2018·贵州质检)设直线x ＝t 与函数h (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |最小时，t 的值为________．22[由题意，M (t ，t 2)，N (t ，ln t )， ∴|MN |＝|t 2－ln t |，令f (t )＝t 2－ln t (t ＞0)，∴f ′(t )＝2t －1t ＝2t 2－1t ；当f ′(t )＞0时，t ＞22，当f ′(t )＜0时，0＜t ＜22，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22上为减函数， f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞上为增函数， ∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝12－ln 22＞0，∴当t ＝22时，|MN |达到最小值，最小值为12－ln 22.]8．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．(0,1)∪(2,3) [函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝3，经检验知x ＝1或x ＝3是函数f (x )的两个极值点，由题意知，t ＜1＜t ＋1或t ＜3＜t ＋1，解得0＜t ＜1或2＜t ＜3.]三、解答题9．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． [解] (1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫e x－12令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )＜0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)． 10．已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16. (1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值． [解] (1)因为f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b .由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，故有⎩⎨⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝c －16，即⎩⎨⎧12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16，化简得⎩⎨⎧ 12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ， f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. 当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(－∞，－2)上为增函数；当x ∈(－2,2)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(－2,2)上为减函数；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f (x )在x ＝－2处取得极大值， f (－2)＝16＋c ，f (x )在x ＝2处取得极小值f (2)＝c －16. 由题设条件知16＋c ＝28，解得c ＝12. 此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3， f (2)＝－16＋c ＝－4，因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4.B 组能力提升1．若函数f (x )＝13x 3－⎝⎛⎭⎫1＋b 2x 2＋2bx 在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f (x )在R 上的极小值为( )A ．2b －43 B.32b －23C ．0D ．b 2－16b 3 A [f ′(x )＝x 2－(b ＋2)x ＋2b ＝(x －2)(x －b )，令f ′(x )＝0得x ＝2或x ＝b ，由题意知－3＜b ＜1.当b ＜x ＜2时，f ′(x )＜0，当x ＞2时，f ′(x )＞0，因此x ＝2时，f (x )有极小值，且f (2)＝83－4⎝⎛⎭⎫1＋b 2＋4b ＝2b －43，故选A.]2．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内存在最小值，则实数k 的取值范围是( )A ．[1，＋∞) B.⎣⎡⎭⎫1，32C ．[1,2) D.⎣⎡⎭⎫32，2B [f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x .由f ′(x )＝0得x ＝12，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0，解得1≤k ＜32.故选B.]3．已知函数f (x )＝13x 3－x 2－x ＋m 在[0,1]上的最小值为13，则实数m 的值为________．2 [f ′(x )＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，当x ∈[0,1]时，f ′(x )＜0，因此f (x )在区间[0,1]上是减函数，则f (x )min ＝f (1)＝m －53＝13，解得m ＝2.]4．(2018·北京高考)设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为0，求a ； (2)若f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围． [解] (1)因为f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ，所以f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x . f ′(2)＝(2a －1)e 2.由题设知f ′(2)＝0，即(2a －1)e 2＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x .若a ＞1，则当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，1时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值．若a ≤1，则当x ∈(0,1)时，ax －1≤x －1＜0，所以f ′(x )＞0.所以1不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)．第十二节导数与函数的极值、最值[考纲传真] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．1．函数的极值与导数的关系 (1)函数的极小值与极小值点若函数f (x )在点x ＝a 处的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫做函数的极小值点，f (a )叫做函数的极小值．(2)函数的极大值与极大值点若函数f (x )在点x ＝b 处的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫做函数的极大值点，f (b )叫做函数的极大值．2．函数的最值与导数的关系(1)函数f (x )在[a ，b ]上有最值的条件如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[常用结论]对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的极大值一定比极小值大． ( )(2)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的充要条件． ( ) (3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值． ( ) (4)x ＝0是函数f (x )＝x 3的极值点． ( )2．(教材改编)函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点 B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点4．已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．4 D ．25．函数y ＝2x 3－2x 2在区间[－1,2]上的最大值是________．►【例1】设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)►考法2 根据函数的解析式求极值【例2】已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．►考法3 已知函数的极值求参数【例3】(1)(2019·成都模拟)若函数f(x)＝(x2＋ax＋3)e x在(0，＋∞)上有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－22]B．(－∞，－22)C．(－∞，－3] D．(－∞，－3)(2)若函数f(x)＝x(x－a)2在x＝2处取得极小值，则a＝________.＝ax3－2x2＋x＋c(a≥0)．(1)当a＝1，且函数图象过点(0,1)时，求f(x)的极小值．(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，求a的取值范围．利用导数求函数的最值【例4】((1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．已知函数f (x )＝x ＋k ln x ，k ＜1e ，求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤e ，e 上的最大值和最小值．函数极值与最值的综合问题【例5】已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋ce x (a ＞0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值．若函数f (x )＝3x 3＋x 2－3在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是________．1．(全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( ) A ．－1 B ．－2e －3 C ．5e －3 D ．12．(全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．课后限时集训(十五) (建议用时：60分钟) A 组基础达标一、选择题1．函数y ＝f (x )导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )A ．函数y ＝f (x )在区间(－1,3)上单调递增B ．函数y ＝f (x )在区间(3,5)上单调递减C ．函数y ＝f (x )在x ＝0处取得极大值D ．函数y ＝f (x )在x ＝5处取得极小值2．函数y ＝ln x －x 在x ∈(0，e]上的最大值为( ) A ．e B ．1 C ．－1 D ．－e3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( ) A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或184．已知a ∈R ，若f (x )＝⎝⎛⎭⎫1x ＋a e x 在区间(0,1)上有且只有一个极值点，则a 的取值范围是( )A ．a ＜0B ．a ＞0C ．a ≤1D ．a ≥05．(2019·漳州模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax 存在最大值0，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．e D.1e二、填空题6．函数y ＝2x －1x 2的极大值是________．7．(贵州质检)设直线x ＝t 与函数h (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |最小时，t 的值为________．8．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．三、解答题9．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．10．已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16. (1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值．B 组能力提升1．若函数f (x )＝13x 3－⎝⎛⎭⎫1＋b 2x 2＋2bx 在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f (x )在R 上的极小值为( )A ．2b －43 B.32b －23 C ．0D ．b 2－16b 32．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内存在最小值，则实数k 的取值范围是( )A ．[1，＋∞) B.⎣⎡⎭⎫1，32C ．[1,2) D.⎣⎡⎭⎫32，23．已知函数f (x )＝13x 3－x 2－x ＋m 在[0,1]上的最小值为13，则实数m 的值为________．4．(北京高考)设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为0，求a ； (2)若f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围．。

2019-2020学年高考数学二轮复习函数 1.函数、单调性及最值学案理.doc

2019-2020学年高考数学二轮复习函数 1.函数、单调性及最值学案理【学习目标】1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，简单的分段函数,并能简单应用.3.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.4.会运用函数图像理解和研究函数的单调性.【学法指导】1.先认真阅读教材和一轮复习笔记，处理好知识网络构建，构建知识体系，形成系统的认识；2.限时30分钟独立、规范完成探究部分，并总结规律方法；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑；4.重点理解的内容：函数的定义及函数的单调性。

【高考方向】1.函数的定义。

2.函数的单调性及最值。

【课前预习】：一、知识网络构建1.函数与映射的概念？2. 如何求函数的定义域和值域？3.单调函数的定义？函数的最值与值域有何关系?二、高考真题再现[2014·江西卷] 函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( )A ．(0，1]B ．[0，1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)三、基本概念检测1、设函数.)().0(1),0(121)(a a f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若则实数a 的取值范围是 2.已知函数f （x ）在区间［a ，b ］上单调，且f （a ）·f （b ）＜0，则下列对方程f （x ）=0在区间［a ，b ］上根的分布情况的判断有误的是（填序号）.①至少有一实根 ②至多有一实根③没有实根 ④必有惟一的实根3.若函数f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x ＞0，y ＞0满足f(xy)=f(x)+f(y)，则不等式f(x+6)+f(x)＜2f(4)的解集为 .4.函数f(x)(x ∈R)的图象如下图所示，则函数g(x)=f(logax) (0＜a ＜1)的单调减区间是 .【课中研讨】：例1、设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为．例2、设0a >，()xx e af x a e =+是R 上的偶函数。

极值与最值导学案

极值与最值【学习目标】理解极值的概念，会用导数求多项式函数的极大值、极小值及闭区间上的最大值、最小值或以极值、最值为载体求参数的范围.预习案1．函数的极值(1)设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x) f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有的点，都有f(x) f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值．(2)当函数f(x)在x0处连续时，判别f(x0)是极大(小)值的方法：如果x<x0有f′(x) 0，x>x0有f′(x) 0，那么f(x0)是极大值；如果x<x0有f′(x) 0，x>x0有f′(x) 0，那么f(x0)是极小值．2．求可导函数f(x)极值的步骤(1) ；(2) ；(3)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得．3．函数的最值的概念设函数y＝f(x)在上连续，在内可导，函数f(x)在上一切函数值中的最大(最小)值，叫做函数y＝f(x)的最大(最小)值．4．求函数最值的步骤设函数y＝f(x)在上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在上的最值，可分两步进行：(1) ；(2)．【预习自测】1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是()A．∃x0∈R，f(x0)＝0 B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)上单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝02．若函数y＝e x＋mx有极值，则实数m的取值范围() A．m>0B．m<0 C．m>1 D．m<13．函数y＝ln2xx的极小值为________．4．已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＝________，n＝________.5．若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为________．探究案题型一利用导数求函数极值例1.设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．探究1：已知a∈R，求函数f(x)＝x2·e ax的单调区间与极值．题型二利用极值求参数值例2：(1)函数f(x)＝x3＋3ax2＋3有极大值又有极小值，则a的取值范围是________．(2)已知f(x)＝ax5－bx3＋c(a>0)．若f(x)在x＝±1处有极值，且极大值为4，极小值为1，则a= ，b= ，c=（3）已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.①设a＝2，求f(x)的单调区间；②设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围题型三利用导数求函数最值:例3：已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求函数f(x)在上的最小值．题型四利用最值求参数值例4：设f(x)＝－13x3＋12x2＋2ax.(1)若f(x)在(23，＋∞)上存在单调递增区间，求a的取值范围；(2)当0<a<2时，f(x)在上的最小值为－163，求f(x)在该区间上的最大值．我的学习总结：（1）我对知识的总结.（2）我对数学思想及方法的总结。

高考数学二轮复习利用导数解函数的最值学案(全国通用)

微专题18 函数的最值一、基础知识：1、函数的最大值与最小值：（1）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≤，那么称0x x =为函数()f x 的一个最大值点，()0f x 称为函数()f x 的最大值（2）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≥，那么称0x x =为函数()f x 的一个最小值点，()0f x 称为函数()f x 的最小值（3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。

例如：()[)ln ,1,4f x x x =∈，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln4,但就是达不到。

()f x 没有最大值。

（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z ππ=+∈，有无穷多个。

2．“最值”与“极值”的区别和联系右图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数x 3x 2x 1baxOy()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点（2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点 8、最值点的作用（1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =-+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ≥=，即不等式ln 1x x ≤-二、典型例题：例1：求函数()xf x xe -=的最值思路：首先判定定义域为R ,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值解：()()'1x fx x e -=-，令()'0f x >,解得：1x <()f x ∴的单调区间为：()()max 1f x f e∴==，无最小值小炼有话说：函数()x f x xe -=先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。

2017学年第二学期高三理科数学第二轮专题复习《导数与函数的单调性、极值、最值问题》学案

第3讲导数与函数的单调性、极值、最值问题班级：高三（）学号：姓名：教学目标：1、常以指数、对数式为载体，考查函数单调性的求法或讨论2、考查函数极值、最值的求法，综合考查与范围有关的问题. 教学重点：考查函数极值、最值的求法，综合考查与范围有关的问题.教学难点：常以指数、对数式为载体，考查函数单调性的求法或讨论.教学过程：一、真题感悟(2016·全国Ⅱ卷)(1)讨论函数f(x)＝x－2x＋2e x的单调性，并证明当x>0时，(x－2)e x＋x＋2>0；(2)证明：当a∈[0，1)时，函数g(x)＝e x－ax－ax2(x>0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域.二、考点整合1.导数与函数的单调性函数单调性的判定方法：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，则y＝f(x)在该区间为函数；如果f′(x)＜0，则y＝f(x)在该区间为函数.2.极值的判别方法1当函数f(x)在点x0处连续时，如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极值；如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极值.也就是说x0是极值点的充分条件是点x0两侧导数异号，而不是f′(x)＝0.3.闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小者.三、典例突破热点一利用导数研究函数的单调性[微题型1]求解含参函数的单调区间【例1】设函数f(x)＝a ln x＋x－1x＋1，其中a为常数.(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性.[微题型2]已知函数的单调区间求参数范围3【例2】已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数).(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1，1)上单调递增，求a 的取值范围；(3)函数f (x )是否为R 上的单调函数？若是，求出a 的取值范围？若不是，请说明理由.（2017广州市一模）若函数()()x a x e x f x cos sin +=在⎪⎭⎫ ⎝⎛ 2,4ππ上单调递增，则实数a 的取值范围是（）(A) (],1-∞ (B) (),1-∞ (C) [)1,+∞ (D) ()1,+∞热点二利用导数研究函数的极值【例3】设函数f (x )＝ax 3－2x 2＋x ＋c .(1)当a ＝1，且函数图象过 (0，1)时，求函数的极小值；(2)若f (x )在R 上无极值点，求a 的取值范围.热点三利用导数研究函数的最值【例4】已知函数f(x)＝x ln x. (1)求函数f(x)的单调区间和最小值；(2)若函数F(x)＝f（x）－ax在[1，e]上的最小值为32，求a的值.[。

函数的单调性、极值、最值学案

函数的单调性、极值、最值学案一．基础知识：1.设函数)(x f y =在0x x =及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的值都大（小），则称)(0x f 是函数)(x f y =的一个＿＿＿＿＿＿.2.如果)(x f y =在某个区间内有导数，则可以这样求它的极值：（1）求导数＿＿＿＿＿；（2）求方程＿＿＿＿＿＿＿＿的根（可能极值点）；（3）如果在根的左侧附近为＿，右侧附近为＿，则函数)(x f y =在这个根处取得极＿值；如果在根的左侧附近为__________，右侧附近为_____________，则函数)(x f y =在这个根处取得极________值.3.设)(x f y =是定义在[a ，b]上的函数，)(x f y =在(a ，b)内有导数，可以这样求最值：（1）求出函数在(a ，b)内的可能极值点（即方程0)(/=x f 在(a ，b)内的根n x x x ,,,21 ）；（2）比较函数值)(a f ，)(b f 与)(,),(),(21n x f x f x f ，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(注意一定要列表求解) 二．例题例1．已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =- （1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间。

例2：已知)(x f y =是二次函数，方程0)(=x f 有两个相等实根，且22)(+='x x f ．求)(x f 的解析式；例3.设函数x bx ax x f ++=232131)(在1x ＝1与2x ＝2处取得极值，试确定a 和b 的值，并问此时函数在1x 与2x 处是取极大值还是极小值？例4：若函数33)(23-++=x x ax x f 在R 上为单调增函数，求a 的取值范围。

函数的单调性、极值、最值作业1．函数()323922y x x x x =---<<有（）A ．极大值5，极小值27-B ．极大值5，极小值11-C ．极大值5，无极小值D ．极小值27-，无极大值2．()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足（）A ．()f x =()g xB ．()f x -()g x 为常数函数C ．()f x =()0g x =D ．()f x +()g x 为常数函数 3．函数xxy ln =的最大值为（） A ．1-e B ．e C ．2e D ．310 4．函数2cos y x x =+在区间[0,]2π上的最大值是。

2022年《学案5.3.2函数的极值与最大小值》优秀教案

函数的极值与最大小值第1课时函数的极值与导数1．极值点与极值1极小值点与极小值假设函数＝f 在点＝a的函数值f a比它在点＝a附近其他点的函数值都小，f ′a＝0，而且在点＝a附近的左侧f ′＜0，右侧f ′＞0，就把点a叫做函数＝f 的极小值点，f a叫做函数＝f 的极小值．2极大值点与极大值假设函数＝f 在点＝b的函数值f b比它在点＝b附近其他点的函数值都大，f ′b＝0，而且在点＝b附近的左侧f ′＞0，右侧f ′＜0，就把点b叫做函数＝f 的极大值点，f b叫做函数＝f 的极大值．3极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．思考：导数为0的点一定是极值点吗？[提示]不一定，如f ＝3，f ′0＝0，但＝0不是f ＝3的极值点．所以，当f ′0＝0时，要判断＝0是否为f 的极值点，还要看f ′在0两侧的符号是否相反．2．求可导函数＝f 的极值的方法解方程f ′＝0，当f ′0＝0时：1如果在0附近的左侧f ′＞0，右侧f ′＜0，那么f 0是极大值；2如果在0附近的左侧f ′＜0，右侧f ′＞0，那么f 0是极小值．1．判断正误正确的打“√〞，错误的打“×〞1极大值一定比极小值大．2每一个函数都至少有一个极大值或极小值．3假设f ′0＝0，那么0一定是极值点．4单调函数不存在极值．[提示]1极大值不一定比极小值大，∴1错误；2有的函数可能没有极值．∴2错；3假设f ′0＝0，只有导函数的变号零点，0才是极值点，故3错误；4正确．[答案]1×2×3×4√2．函数f 的定义域为R，导函数f ′的图象如下图，那么函数fA．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点C[设＝f ′的图象与轴的交点从左到右横坐标依次为1，2，3，4，那么f 在＝1，＝3处取得极大值，在＝2，＝4处取得极小值．]3．多项选择题以下四个函数中，在＝0处取得极值的函数是A．＝3B．＝2＋1C．＝|| D．＝2BC[对于A，′＝32≥0，∴＝3单调递增，无极值；对于B，′＝2，＞0时′＞0，＜0时′＜0，∴＝0为极值点；对于C，根据图象，在0，＋∞上单调递增，在－∞，0上单调递减，∴C符合；对于D，＝2单调递增，无极值．应选BC]4．函数f ＝＋2co 在错误!上的极大值点为A．0B．错误!C．错误!D．错误!B[f ′＝1－2in ．令f ′＝0，∵∈错误!，∴＝错误!，∈错误!时f ′＜0，∈错误!时，f ′＞0∴＝错误!是f 在错误!上的极大值点．]不含参数的函数求极值【例1】求以下函数的极值：1＝3－32－9＋5；2＝3－52[解]1∵′＝32－6－9，令′＝0，即32－6－9＝0，解得1＝－1，2＝3当变化时，′，的变化情况如下表：－∞，－1－1－1，333，＋∞′＋0－0＋↗极大值↘极小值↗∴当＝－1时，函数＝f 有极大值，且f －1＝10；当＝3时，函数＝f 有极小值，且f 3＝－222′＝32－52＋23－5＝52－3－5．令′＝0，即52－3－5＝0，解得1＝0，2＝3，3＝变化时，′与的变化情况如下表：－∞，000，333，555，＋∞′＋0＋0－0＋↗无极值↗极大值108↘极小值0↗∴＝0不是的极值点；＝3是的极大值点，极大值＝f 3＝108；＝5是的极小值点，极小值＝f 5＝0一般地，求函数＝f的极值的步骤1求出函数的定义域及导数f′；2解方程f′＝0，得方程的根0可能不止一个；3用方程f′＝0的根，顺次将函数的定义域分成假设干个开区间，可将，f′，f 在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；4由f′在各个开区间内的符号，判断f在f′＝0的各个根处的极值情况：如果左正右负，那么函数f在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数f在这个根处取得极小值；如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点[跟进训练]1．求函数f ＝33－3＋1的极值．[解] f ′＝92－3，令f ′＝0，得1＝－错误!，2＝错误!当变化时，f ′，f 的变化情况如下表：错误!－错误!错误!错误!错误!f ′＋0－0＋f ↗极大值↘极小值↗1错误!3错误!错误!＝错误!为函数f ＝33－3＋1的极小值点，极小值为f 错误!＝1－错误!2含参数的函数求极值[思路探究]错误!―→错误!―→错误!―→错误![解]∵f ＝163－2021＋8a2－a3，其中a≠0，∴f ′＝482－40a＋8a2＝862－5a＋a2＝82－a3－a，令f ′＝0，得1＝错误!，2＝错误!①当a＞0时，错误!＜错误!，那么随着的变化，f ′，f 的变化情况如下表：错误!错误!错误!错误!错误!f ′＋0－0＋f ↗极大值↘极小值↗错误!错误!错误!当＝错误!时，函数f 取得极小值，为f 错误!＝0②当a＜0时，错误!＜错误!，那么随着的变化，f ′，f 的变化情况如下表：错误!错误!错误!错误!错误!f ′＋0－0＋f ↗极大值↘极小值↗∴当＝错误!时，函数f 取得极大值，为f 错误!＝0；当＝错误!时，函数f 取得极小值，为f 错误!＝错误!综上，当a＞0时，函数f 在＝错误!处取得极大值错误!，在＝错误!处取得极小值0；当a＜0时，函数f 在＝错误!处取得极大值0，在＝错误!处取得极小值错误!函数极值的注意点1求函数的极值需严格按照求函数极值的步骤进行，重点考虑两个问题：一是函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内，如果不在定义域内，需要舍去；二是检查导数值为0的点的左右两侧的导数值是否异号，假设异号，那么该点是极值点，否那么不是极值点2求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题讨论的依据有两种：一是看参数是否对f′的零点有影响，假设有影响，那么需要分类讨论；二是看f′在其零点附近的符号确实定是否与参数有关，假设有关，那么需要分类讨论[跟进训练]2．假设函数f ＝－a n a∈R，求函数f 的极值．[解]函数f 的定义域为0，＋∞，f ′＝1－错误!＝错误!1当a≤0时，f ′＞0，函数f 在0，＋∞上单调递增，函数f 无极值．2当a＞0时，令f ′＝0，解得＝a当0＜＜a时，f ′＜0；当＞a时，f ′＞0∴f 在＝a处取得极小值，且f a＝a－a n a，无极大值．综上可知，当a≤0时，函数f 无极值；当a＞0时，函数f 在＝a处取得极小值a－a n a，无极大值．由极值求参数的值或取值范围A．4或－3B．4或－11C．4 D．－32假设函数f ＝错误!2＋a－1－a n 没有极值，那么A．a＝－1 B．a≥0C．a＜－1 D．－1＜a＜0[思路探究]1由f ′1＝0且f 1＝，b，注意检验极值的存在条件．2求导分解因式主要对参数分类讨论．按根的大小1C2A[1∵f ＝3＋a2＋b＋a2，∴f ′＝32＋2a＋b由题意得得即错误!解得错误!，或错误!当错误!，时，f ′＝32－6＋3＝3－12≥0，故函数f 单调递增，无极值，不符合题意．∴a＝2f ′＝－1错误!，＞0，当a≥0时，错误!＋1＞0，令f ′＜0，得0＜＜1；令f ′＞0，得＞在＝1处取极小值．当a＜0时，方程错误!＋1＝0必有一个正数解＝－a，①假设a＝－1，此正数解为＝1，此时f ′＝错误!≥0，f 在0，＋∞上单调递增，无极值．②假设a≠－1，此正数解为≠1，f ′＝0必有2个不同的正数解，f 存在2个极值．综上，a＝－]函数极值求参数的方法对于可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号1可导函数的极值求参数问题的解题步骤：①求函数的导数f′；②由极值点的导数值为0，列出方程组，求解参数注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件2对于函数无极值的问题，往往转化为f′≥0或f′≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立[跟进训练]3．假设＝2是函数f ＝－m2的极大值点，求函数f 的极大值．[解]∵f ′＝－m3－m，且f ′2＝0，∴m－2m－6＝0，即m＝2或m＝61当m＝2时，f ′＝－23－2，由f ′＞0得＜错误!或＞2；由f ′＜0得错误!＜＜2∴＝2是f 的极小值点，不合题意，故m＝2舍去．2当m＝6时，f ′＝－63－6，由f ′＞0得＜2或＞6；由f ′＜0得2＜＜6∴＝2是f 的极大值，∴f 2＝2×2－62＝32即函数f 的极大值为321．如何画出函数f ＝23－32－36＋16的大致图象．[提示] f ′＝62－6－36＝62－－6＝6－3＋2．由f ′＞0得＜－2或＞3，∴函数f 的递增区间是－∞，－2和3，＋∞．由f ′＜0得－2＜＜3，∴函数f 的递减区间是－2，3．由得f －2＝60，f 3＝－65，f 0＝16∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f 大致图象如下图．2．当a变化时，方程23－32－36 ＋16＝a有几解？[提示]方程23－32－36＋16＝a解的个数问题可转化为函数＝a与＝23－32－36＋16的图象有几个交点的问题，结合探究点1可知：1当a＞60或a＜－65时，方程23－32－36＋16＝a有且只有一解；2当a＝60或a＝－65时，方程23－32－36＋16＝a有两解；3当－65＜a＜60时，方程23－32－36＋16＝a有三解．【例4】函数f ＝3－3＋aa为实数，假设方程f ＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．[思路探究]求出函数的极值，要使f ＝0有三个不同实根，那么应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围．[解]令f ′＝32－3＝3＋1－1＝0，解得1＝－1，2＝1当0；当－11时，f ′>0所以当＝－1时，f 有极大值f －1＝2＋a；当＝1时，f 有极小值f 1＝－2＋a因为方程f ＝0有三个不同实根，所以＝f 的图象与轴有三个交点，如图．由应有错误!解得－2<a<2，故实数a的取值范围是－2，2．1．改变条件本例中，假设方程f ＝0恰有两个根，那么实数a的值如何求解？[解]由例题知，函数的极大值f －1＝2＋a，极小值f 1＝－2＋a，假设f ＝0恰有两个根，那么有2＋a＝0，或－2＋a＝0，所以a＝－2或a＝22．改变条件本例中，假设方程f ＝0有且只有一个实根，求实数a的范围．[解]由例题可知，要使方程f ＝0有且只有一个实根，只需2＋a＜0或－2＋a＞0，即a＜－2或a＞23．变条件、变结论讨论方程错误!＝a的根的情况．[解]令f ＝错误!，那么定义域为0，＋∞，f ′＝错误!令f ′＝0，得＝e当变化时，f ′与f 的变化情况如下表：因此，＝e是函数f 的极大值点，极大值为f e＝错误!，函数f 没有极小值点．其图象如图．∴当0＜a＜错误!时，错误!＝a有两个不同的根；当a＝错误!或a≤0时，错误!＝a只有一个根；当a＞错误!时，错误!＝a没有实数根．利用导数求函数零点的个数1利用导数可以判断函数的单调性；2研究函数的极值情况；3在上述研究的根底上突出函数的大致图象；4直观上判断函数的图象与轴的交点或两个图象的交点的个数假设含有参数，那么需要讨论极值的正负1．假设函数＝f 在区间a，b内有极值，那么＝f 在a，b内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．2．函数的极值情况，逆向应用确定函数的解析式，研究函数性质时，需注意两点：1常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．2因为函数在一点的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证极值点的合理性．3．函数零点方程根的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：1直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；2别离参数法，先将参数别离，转化成求函数值域问题加以解决；3数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数＝g，＝h的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为＝a，＝g的图象的交点个数问题．1．函数f 的定义域为R，它的导函数＝f ′的局部图象如下图，那么下面结论错误的选项是A．在1，2上函数f 为增函数B．在3，4上函数f 为减函数C．在1，3上函数f 有极大值D．＝3是函数f 在区间[1，5]上的极小值点D[由题图可知，当1＜＜2时，f ′＞0，当2＜＜4时，f ′＜0，当4＜＜5时，f ′＞0，∴＝2是函数f 的极大值点，＝4是函数f 的极小值点，故A，B，C正确，D错误．]2．设函数f ＝e，那么A．＝1为f 的极大值点B．＝1为f 的极小值点C．＝－1为f 的极大值点D．＝－1为f 的极小值点D[令f ′＝e＋·e＝1＋e＝0，得＝－＜－1时，f ′＜0；当＞－1时，f ′＞＝－1时，f 取得极小值．]3．函数f ＝3＋3a2＋3a＋2＋1既有极大值又有极小值，那么实数a的取值范围是________．－∞，－1∪2，＋∞[f ′＝32＋6a＋3a＋2，∵函数f 既有极大值又有极小值，∴方程f ′＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝36a2－36a＋2＞0，即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1]4．函数f ＝2e f ′en －错误!，那么函数f 的极大值为________．2n 2[f ′＝错误!－错误!，故f ′e＝错误!－错误!，解得f ′e＝错误!，所以f ＝2n －错误!，f ′＝错误!－错误!由f ′＞0得0＜＜2e，f ′＜0得＞在0，2e单调递增，在2e，＋∞单调递减，故f 的极大值为f 2e＝2n 2e－2＝2n 2]。

高三理科数学二轮复习导数的应用单调性与最值学案

§单调性与最值【考点】导数的应用的考察主要包括以下几个方面:(1)利用导数研究函数的单调性和单调区间;(2)利用导数研究函数极值与最值;(3)利用导数研究曲线的切线问题;(4)利用导数研究不等式的证明问题;(5)利用导数研究函数的零点;(6)利用导数求参数的取值范围等.【复习目标】1、结合实例，理解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；2、独立思考，合作学习，理解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会求常用函数的极大值、极小值。

【构建考点】思考1．求可导函数y=f(x)在的最值的步骤是怎样的？思考2：比较函数的最值与极值之间关系？思考3、函数()f x 在区间上单调等价于【课内探究】函数最值的应用例1已知函数32()f x ax x bx =++(其中常数a,b ∈R),()()()g x f x f x '=+是奇函数.(Ⅰ)求()f x 的表达式;(Ⅱ)讨论()g x 的单调性，并求()g x 在区间上的最大值和最小值.变式：1、求证:在区间(1,)+∞上,函数21()ln 2f x x x =+的图象总在函数32()3g x x =的下方.2、已知a 为实数，函数2()(1)()f x x x a =++．若函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线，求a 的取值范围．3、设213a <<，函数()3232f x x ax b =-+在区间[]1,1-上的最大值为1，最小值为，求函数的解析式。

利用单调性求参数的范围:例2：若函数21()ln 22f x x ax x =--存在单调递减区间,求实数a 的取值范围.变式1、设函数f (x )2x 33(a 1)x 26ax 8，其中a ∈R.若f (x )在(∞,0)上为增函数，求a 的取值范围。

变式2：已知0a >，函数()ln f x x ax =-。

专题二数列(难点突破数列的函数特征)2023年高考数学二轮复习(全国通用)

又也满足上式，所以．（2）由（1）得，所以 .由 ,得，即，即，因为，所以，即 .故满足的最小正整数的值为10．
令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减.因为，，所以当时，，即，故实数的取值范围为 .
突破点3 数列的最值
例3 (2022·枣庄二模)在① 是与的等差中项，② 是与的等比中项，③数列的前5项和为65这三个条件中任选一个，补充在横线中，并解答下面的问题．已知是公差为2的等差数列，其前项和为， .
因为，所以是首项为，公差为4的等差数列．由的前5项和为65，得，解得，所以 .（2）不存在，使得 .理由如下：由（1）可得，因为，
所以； .所以，所以中的最大项为 .显然，所以对任意的，，所以不存在，使得 .
提分秘籍数列作为特殊的函数，数列的周期性可以通过归纳得到.数列的最值问题可利用函数的单调性求解，当然要注意数比较大小一般要求两个数均为正数．
（1）求数列的通项公式.
（2）设，是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
▶思维导图
[解析] （1）若选① 是与的等差中项，则，即，解得，所以 .若选② 是与的等比中项，则，即，解得，所以 .若选③数列的前5项和为65，则 .
◎难点精练
1.(2022·湖北模拟)数列 <m></m> 满足 <m></m> 且 <m></m> 是递增数列，则实数 <m></m> 的取值范围是______.
[解析] ∵数列满足且是递增数列，∴需满足即解得，即实数的取值范围是 .

河南省师范大学附属中学高三高考数学专题复习学案：函数的极值和最值

函数的极值与最值※学习目标：应用函数的极值与最值解决函数综合性问题. ※重点难点：解决函数综合问题.※学问链接：函数的单调性;函数的极值;函数的最值.※学法指导：（1）解决函数综合性问题，要联想到导数与函数的性质的亲密关系；（2）不等式恒成立问题，方程根的问题经常转化为函数的极值和最值问题争辩，是最近函数综合问题考查的热点.体现分类争辩的思想、数形结合的思想,函数与方程的思想,转化与化归的思想,是综合性最强的一类问题,充分体现导数的工具性作用. ※问题探究：例1. （理）已知函数.23)32ln()(2x x x f -+=（Ⅰ）求f(x)在[0，1]上的极值；（Ⅱ）若对任意0]3)(ln[|ln |],31,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围. 分析：（Ⅱ）可将不等式|ln |ln[()3]0a x f x x '-++>变形为不含确定值的不等式,分别变量a,x 分别,构造函数把恒成立问题转化为函数最值问题. （Ⅲ）将方程变形为,把问题转化为争辩函数的图象的交点的个数,通过极值解决.点拨：某些恒成立问题常接受变量分别的手段软化为函数的最值问题.方程的根的个数的问题常通过构造函数转化为函数图象的交点的个数问题解决.例2.（理）已知函数⎩⎨⎧>≤+-=1,ln 1,)(23x x x ax x x x f ，在x =1处连续.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数)(x f 的极大值和微小值；（Ⅲ）若不等式R ∈+≤x c x x f 对一切)(恒成立，求c 的取值范围.分析：（Ⅰ）依据函数在某一点处连续的定义求解.（Ⅱ）对于不行导函数的极值问题,要依据极值的定义,通过函数的单调性求得.（Ⅲ）转化为函数最值问题,分段求解.点拨：对于分段函数要分段争辩它的性质.例3.（理）设).442(31)(2a ax x e x f x++=- （Ⅰ）求a 的值，使)(x f 的微小值为0；（Ⅱ）证明：当且仅当a=3时，)(x f 的极大值为4。

二轮复习极值点偏移第五招---函数的选取学案(全国通用) (1)

于极值点偏移问题，前文已多次提到其解题策略是将多元问题（无论含参数或不含参数）转化为一元问题，过程都需要构造新函数. 那么，关于新函数的选取，不同的转化方法就自然会选取不同的函数.★ 已知函数()e xf x ax =-有两个不同的零点1x ，2x ，其极值点为0x ．（1 ）求a 的取值范围；（2）求证：1202x x x +<；（3）求证：122x x +>；（4）求证：121x x <．解：（1）()e x f x a '=-，若0a ≤，则()0f x '>，()f x 在R 上单调递增，()f x 至多有一个零点，舍去；则必有0a >，得()f x 在(),ln a -∞上递减，*在()ln ,a +∞上递增，要使()f x 有两个不同的零点，则须有()ln 0e f a a <⇒>．（严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当x →-∞时，()f x →+∞；当x →+∞时，()f x →+∞）．（3）由所证结论可以看出，这已不再是()f x 的极值点偏移问题，谁的极值点会是1呢？回到题设条件：（ii ）构造函数()()()2G x g x g x =--，则()()()()()()()()2222222e 1e 12e e 12x x x x G x g x g x x x x x x x x --'''=+---=+-⎛⎫=-- ⎪ ⎪-⎝⎭*（4）（i ）同上；（ii ）构造函数()()1G x g x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则 ()()()()()1122222111e 1e 111e e 1x xx x G x g x g x x x x x x x x x x ⎛⎫'''=+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭-=-⋅ 当01x <<时，10x -<，但因式1e e x x x -的符号不容易看出，引进辅助函数()1e e x x x x ϕ=-，则()11e 1e x x x x ϕ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，得()x ϕ在()0,1上递增，有()()10x ϕϕ<=，则()0G x '>，得()G x 在()0,1上递增，有()()10G x G <=，即()()101g x g x x ⎛⎫<<< ⎪⎝⎭；（iii ）将1x 代入（ii ）中不等式得()()1211g x g x g x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，又21x >，111x >，()g x 在()1,+∞上递增，故211x x <，121x x <．点评：虽然做出来了，但判定因式()222e e 2x xx x ---及1e e x x x -的正负时，均需要辅助函数的介入，费了一番功夫，虽然()g x 的极值点是1，理论上可以用来做（3）、（4）两问，但实践发现略显麻烦，我们还没有找到理想的函数．再次回到题设条件：()()0e e ln ln ln ln x f x ax a x a x x x a =⇔=>⇔=+⇔-=，记函数()ln h x x x =-，则有()()12ln h x h x a ==．接下来我们选取函数()h x 再解（3）、（4）两问．（3）（i ）()11h x x'=-，得()h x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，有极小值()11h =，又当0x +→时，()h x →+∞；当x →+∞时，()h x →+∞，由()()12h x h x =不妨设1201x x <<<．【点评】用函数()ln h x x x =-来做（3）、（4）两问，过程若行云流水般，格外顺畅．这说明在极值点偏移问题中，若函数选取得当，可简化过程，降低难度．注1：第（2）问也可借助第（4）问来证：将11ln ln x x a =+，22ln ln x x a =+相加得()12120ln 2ln 2ln 2x x x x a a x +=+<=．注2：在第（ii ）步中，我们为什么总是给定1x 的范围？这是因为1x 的范围()0,1较2x 的范围()1,+∞小，以第（3）问为例，若给定()1,x ∈+∞，因为所构造的函数为()()()2H x h x h x =--，这里0x >，且20x ->，得02x <<，则当2x ≥时，()H x 无意义，被迫分为两类：①若22x ≥，则1222x x x +>≥，结论成立；②当()1,2x ∈时，类似于原解答．而给字()0,1x ∈，则不会遇到上述问题．当然第（4）问中给定1x 或2x 的范围均可，请读者自己体会其中差别．【思考】练习1：（查看热门文章里极值点偏移（1））应该用哪个函数来做呢？提示：用函数ln x y x =来做212e x x >，用函数ln y x ax =-来做122x x a +>．*练习2 ：（安徽合肥2017高三第二次质量检测）已知()ln()f x x m mx =+-（1）求()f x 的单调区间；（2）设1m >, 1x ，2x 为函数()f x 的两个零点，求证120x x +<.提示：将()0f x =，两边取对数转化为指数方程处理.【招式演练】★已知函数1()ln ()f x a x a R x=--∈有两个零点1212,()x x x x <，求证：112231a x x e -<+<-.只要证：1121232a x x x x e -++<-即证：1122a x x e -+<，即证：1212a x e x -<-，由()h x 的单调性知，只需证：1121()()(2e )a h x h x h x -=>-，*同理构造函数1()()(2),(0,1)a H x h x h e x x -=--∈，利用单调性证明，下略. ★已知()ln f x x x =的图像上有,A B 两点，其横坐标为1201x x <<<，且12()()f x f x =.（1）证明：1221x x e<+<；（2）证明：1221x x e<+<.又构造函数：1()()(1),(0)2g x f x f x x =--<<，则1112()ln ln(1)2,()01(1)x g x x x g x x x x x -'''=+-+=-=>--，故()g x '在1(0,)2上单调递增，由于0x →时，()g x '→-∞，且1()ln(1)0g e e '=->，故必存在01(0,)x e ∈，使得0()0g x '=，故()g x 在0(0,)x 上单调递减，在01(,)2x 上单调递增，又0x →时，()0g x →，且1()02g =，故()0g x <在1(0,)2x ∈上恒成立，也即()(1)f x f x <-在1(0,)2x ∈上恒成立，令1x x =，有121()()(1)f x f x f x =<-，*再由211,1(,1)x x e -∈，且()f x 在1(,1)e 上单调递增，故211x x <-，即证：121x x +<成立.综上：即证1221x x e<+<成立.从而()(1)h t h t >-对1(0,)2t ∈恒成立，同理得出：121t t +>.综上：即证121t t e <+<成立，也即原不等式121x x e<<. *★已知函数()()ln f x x mx m R =-∈．（1）若曲线()y f x =过点()1,1P -，求曲线()y f x =在点P 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间[]1,e 上的最大值；（3）若函数()f x 有两个不同的零点1x ， 2x ，求证： 212x x e ⋅>．【答案】（1）1y =-；（2）当1m e ≤时， ()max 1f x me =-，当11m e<<时， ()max ln 1f x m =--，当1m ≥时， ()max f x m =-；（3）证明见解析.试题解析：（1）因为点()1,1P -在曲线()y f x =上，所以1m -=-，解得1m =．因为()1'10f x x=-=，所以切线的斜率为0，所以切线方程为1y =-．（2）因为()11'mx f x m x x-=-=， ①当0m ≤时， ()1,x e ∈， ()'0f x >，所以函数()f x 在()1,e 上单调递增，则()()max 1f x f e me ==-；②当1e m ≥，即10m e<≤时， ()1,x e ∈， ()'0f x >，所以函数()f x 在()1,e 上单调递增，则()()max 1f x f e me ==-；③当11e m <<，即11m e<<时，函数()f x 在11,m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在1,e m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则()max 1ln 1f x f m m ⎛⎫==--⎪⎝⎭；* ④当101m<≤，即1m ≥时， ()1,x e ∈， ()'0f x <，函数()f x 在()1,e 上单调递减，则()()max 1f x f m ==-．综上，当1m e ≤时， ()max 1f x me =-；当11m e<<时， ()max ln 1f x m =--；当1m ≥时， ()max f x m =-．令121x x =，则1t >，于是()21ln 1t t t ->+，令()()21ln 1t f t t t -=-+（1t >），则()()()()222114'011t f t t t t t -=-=>++，故函数()f t 在()1,+∞上是增函数，所以()()10f t f >=，即()21ln 1t t t ->+成立，所以原不等式成立．所以()()10f t f >=，即()21ln 1t t t ->+成立，所以原不等式成立．*【方法点晴】本题主要考查导数与切线的问题，考查导数与极值、最值的问题，考查构造函数法证明不等式的方法.第一问涉及求函数的参数，只需代入点的坐标解方程即可，涉及切线问题利用导数和斜率的对应关系易得.第二问求函数在某个区间上的最大值，需要对m 进行分类讨论，分类的依据是导数的零点是否在定义域内.第三问要证明不等式，先将其转化为同一个参数t ，然后利用导数求其最小值来求.。

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