高考数学 7.3简单的线性规划问题配套练习

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高中数学简单线性规划复习题及答案(最全面)

简单线性规划复习题及答案（1）1、设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥-020202y x y x y x ，则22y x ++的最大值为 452、设变量,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥-≤-+030201825y x y x y x ，若直线20kx y -+=经过该可行域，则k 的最大值为答案：13、若实数x 、y ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥123400y x y x ，则13++=x y z 的取值范围是]7,43[．4、设y x z +=，其中y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+k y y x y x 0002，若z 的最大值为6，则z 的最小值为5、已知x 、y 满足以下条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22z x y =+的取值范围是 4[,13]56、已知实数,x y 满足约束条件1010310x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22(1)(1)x y -+-的最小值为 127、已知,x y 满足约束条件1000x x y x y m -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，若1y x +的最大值为2，则m 的值为 58、表示如图中阴影部分所示平面区域的不等式组是⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≤-+0623063201232y x y x y x9、若曲线y ＝ x 2上存在点（x ，y ）满足约束条件20,220,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪>⎩，则实数m 的取值范围是 (,1)-∞10、已知实数y ,x 满足10103x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =+的最小值为－311、若,x y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x y的最小值为 13. 12、已知110220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩，则22(2)(1)x y ++-的最小值为＿＿＿10＿13、已知,x y 满足不等式0303x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则函数3z x y =+取得最大值是 1214、已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则z ＝2x ＋4y 的最小值是－615、以原点为圆心的圆全部在区域⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≥+-0943042063y x y x y x 内，则圆面积的最大值为 π51616、已知y x z k y x x y x z y x 42,0305,,+=⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤≥+-且满足的最小值为－6，则常数k = 0 . 17、已知,x y 满足约束条件，03440x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩则222x y x ++的最小值是 118、在平面直角坐标系中，不等式组0,0,,x y x y x a +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩（a 为常数），表示的平面区域的面积是8，则2x y +的最小值 14-19、已知集合22{(,)1}A x y x y =+=，{(,)2}B x y kx y =-≤，其中,x y R ∈.若A B ⊆，则实数k 的取值范围是⎡⎣20、若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为 12-21、若实数x ，y 满足不等式组201020x y x y a -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，目标函数2t x y =-的最大值为2，则实数a 的值是 222、已知点(,)P x y 满足条件020x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，若3z x y =+的最大值为8，则实数k = 6- .23、设实数x , y 满足的最大值是则x y y y x y x ,03204202⎪⎩⎪⎨⎧≤->-+≤-- 23.24、已知实数y x , 22222)(y x y y x +++的取值范围为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+221,35．简单线性规划复习题及答案（2）1、设实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--0205202y y x y x 则y x x y z +=的取值范围是 10[2,]3由于yx表示可行域内的点()x y ，与原点(00)，的连线的斜率，如图2，求出可行域的顶点坐标(31)(12)A B ，，，， (42)C ，，则11232OA OB OC k k k ===，，，可见123y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，结合双勾函数的图象，得1023z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，2、若实数,x y 满足不等式组22000x y x y m y ++≥⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩，且2z y x =-的最小值等于2-，则实数m 的值等于 1-3、设实数x 、y 满足26260,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则{}max 231,22z x y x y =+-++的取值范围是 [2,9]【解析】作出可行域如图，当平行直线系231x y z +-=在直线BC 与点A 间运动时，23122x y x y +-≥++，此时[]2315,9z x y =+-∈，平行直线线22x y Z ++=在点 O 与BC 之间运动时，23122x y x y +-≤++，此时，[]222,8z x y =++∈. ∴[]2,9z ∈图23 A yxOcB 634、佛山某家电企业要将刚刚生产的100台变频空调送往市内某商场，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供调配。

【高三】高三数学练习题及答案：简单的线性规划问题

【高三】高三数学练习题及答案：简单的线性规划问题【导语】以下是逍遥右脑为大家推荐的有关高中三年级数学练习题：简单的线性规划问题，如果觉得很不错，欢迎点评和分享～感谢你的阅读与支持！一、多项选择题1.z=x-y在2x-y+1≥0x-2y-1≤0x+y≤1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为()a、（0,1）b.（-1，-1）c.(1,0)d.(12，12)分析：选择C。

可以验证这四点是可行的解决方案。

当x=0，y=1时，z=1；当x=-1，y=-1，z=0；当x=1，y=0，z=1；当x=12，y=12，z=0时，不包括a，B，D2.(2021年高考浙江卷)若实数x，y满足不等式组x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，x-y+1≥0，则x+y的最大值为()a、 9b。

一百五十七c.1d.715分析：选择A，画出可行区域，如图所示：令z=x+y，可变为y=-x+z，绘制目标函数线并翻译目标函数线。

显然，当通过点a时，Z是最大的由2x-y-3=0，x-y+1=0，得a(4,5)，∴zmax=4+5=9.3.在△ ABC，三个顶点是a（2,4），B（-1,2），C（1,0），点P（x，y）在边界内和边界上移动△ ABC，那么M=Y-X的取值范围是（）a.[1,3]b.[-3,1]c、 [1,3]d.[3，-1]解析：选c.直线m=y-x的斜率k1=1≥kab=23，且k1=1当直线穿过C时，M是最小的，也就是-1，经过b时m最大，为3.4.假设点P（x，y）在不等式组x-2表示的平面区域内移动≤ 0y-1≤ 0x+2y-2≥ 0，Z=X-Y的取值范围为（）a.[-2，-1]b.[-2,1]c、 [1,2]d[1,2]解析：选c.先画出满足约束条件的可行域，如图阴影部分，∵z=x-y∴y=x-z。

由图知截距-z的范围为[-2，1]，∴z的范围为[-1,2].5.设定点坐标（x，y）满足x-y+1x+y-4的要求≥ 0，X≥ 3，y≥ 1那么x2+Y2的最小值是（）a.5b.10c、 172d。

简单的线性规划问题(附答案)

简单的线性规划问题[学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．知识点一线性规划中的基本概念知识点二线性规划问题 1．目标函数的最值线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是zb ，当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值；当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案．知识点三简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有： ①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A 、B 、C 三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？ 2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一求线性目标函数的最值例1 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1答案 B解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y ＝－3x ＋z 经过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2，x －y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，此时z ＝3x ＋y ＝11.跟踪训练1 (1)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．答案 (1)D (2)1解析 (1)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z ＝3x ＋y ，即y ＝－3x ＋z 过点(0,1)时z 取最小值1.题型二非线性目标函数的最值问题例2 设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，求(1)x 2＋y 2的最小值； (2)yx的最大值．解如图，画出不等式组表示的平面区域ABC ，(1)令u ＝x 2＋y 2，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点的距离的平方．过原点向直线x ＋2y －4＝0作垂线y ＝2x ，则垂足为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，y ＝2x 的解，即⎝⎛⎭⎫45，85，又由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2y －3＝0，得C ⎝⎛⎭⎫1，32，所以垂足在线段AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC |＝ 1＋⎝⎛⎭⎫322＝132，所以，x 2＋y 2的最小值为134.(2)令v ＝yx ，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点相连的直线l 的斜率为v ，即v＝y －0x －0.由图形可知，当直线l 经过可行域内点C 时，v 最大，由(1)知C ⎝⎛⎭⎫1，32，所以v max ＝32，所以y x 的最大值为32.跟踪训练2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为________．答案 10解析画出可行域(如图所示)．(x ＋3)2＋y 2即点A (－3,0)与可行域内点(x ，y )之间距离的平方．显然AC 长度最小，∴AC 2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10，即(x ＋3)2＋y 2的最小值为10. 题型三线性规划的实际应用例3 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A ，B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？解设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，z ＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值，最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800，即该公司可获得的最大利润是2 800元．反思与感悟线性规划解决实际问题的步骤：①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．跟踪训练3 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？解设桌子、椅子分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x ＋y ，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ≤2 000，y ≥x ，y ≤1.5x ，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.由⎩⎪⎨⎪⎧ 50x ＋20y ＝2 000，y ＝x ，解得⎩⎨⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫2007，2007.由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝1.5x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752，所以B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫25，752. 所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎫25，752， O (0,0)为顶点的三角形区域(如图)．由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内的最优解为B ⎝⎛⎭⎫25，752，但注意到x ∈N *，y ∈N *，故取⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．1．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．－1B ．1 C.32D ．22．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ∈N *，y ∈N *，则z＝10x ＋10y 的最大值是( ) A ．80 B ．85 C ．90 D ．953．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ≤1，x ＋y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．一、选择题1．若点(x, y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．22．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43 D ．43．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．(－∞，0]C ．[－1，＋∞)D ．[－1,1)4．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．05．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，x ＋by ＋c ≤0，目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为7，最小值为1，则b ，c的值分别为( ) A ．－1,4 B ．－1，－3 C ．－2，－1 D ．－1，－26．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥5，x －y ＋5≥0，x ≤3，使z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1二、填空题7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y ≥2，则z ＝x ＋2y 的取值范围是________．8．已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)．9．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．10．满足|x |＋|y |≤2的点(x ，y )中整点(横纵坐标都是整数)有________个．11．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．三、解答题12．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，目标函数z ＝2x －y ，求z 的最大值和最小值．13．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，求a 的取值范围．14．某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？当堂检测答案1．答案 B解析如图，当y＝2x经过且只经过x＋y－3＝0和x＝m的交点时，m取到最大值，此时，即(m,2m)在直线x ＋y －3＝0上，则m ＝1. 2．答案 C解析该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x ，y ∈N *，计算区域内与⎝⎛⎭⎫112，92最近的点为(5,4)，故当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90.3．答案 12解析实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则z 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方，故z min ＝⎝⎛⎭⎫122＝12.课时精练答案一、选择题 1．答案 A解析画出可行域，如图所示，解得A (－2,2)，设z ＝2x －y ，把z ＝2x －y 变形为y ＝2x －z ，则直线经过点A 时z 取得最小值；所以z min ＝2×(－2)－2＝－6，故选A. 2．答案 D解析作出可行域，如图所示．联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.当目标函数z ＝3x －y 移到(2,2)时，z ＝3x －y 有最大值4. 3．答案 D解析作出可行域，如图所示，y －1x的几何意义是点(x ，y )与点(0,1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1,0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行，∴k l ＜1.综上，k ∈[－1,1)．4．答案 C 解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)．当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点．故选C. 5．答案 D解析由题意知，直线x ＋by ＋c ＝0经过直线2x ＋y ＝7与直线x ＋y ＝4的交点，且经过直线2x ＋y ＝1和直线x ＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋b ＋c ＝0，1－b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2.6．答案 D解析如图，作出可行域，作直线l ：x ＋ay ＝0，要使目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x ＋y ＝5重合，故a ＝1，选D.二、填空题 7．答案 [2,6]解析如图，作出可行域，作直线l ：x ＋2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A (2,0)时，有最小值2，过点B (2,2)时，有最大值6，故z 的取值范围为[2,6]．8．答案 [3,8] 解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤4，2≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值z min ＝2×3－3×1＝3；当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈[3,8]． 9．答案 4解析由线性约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4.10．答案13解析 |x |＋|y |≤2可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2 (x ≥0，y ≥0)，x －y ≤2 (x ≥0，y ＜0)，－x ＋y ≤2 (x ＜0，y ≥0)，－x －y ≤2 (x ＜0，y ＜0)，作出可行域为如图正方形内部(包括边界)，容易得到整点个数为13个． 11．答案 21解析作出可行域(如图)，即△ABC 所围区域(包括边界)，其顶点为A (1,3)，B (7,9)，C (3,1)方法一 ∵可行域内的点都在直线x ＋2y －4＝0上方， ∴x ＋2y －4＞0，则目标函数等价于z ＝x ＋2y －4，易得当直线z ＝x ＋2y －4在点B (7,9)处，目标函数取得最大值z max ＝21. 方法二 z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，令P (x ，y )为可行域内一动点，定直线x ＋2y －4＝0，则z ＝5d ，其中d 为P (x ，y )到直线x ＋2y －4＝0的距离．由图可知，区域内的点B 与直线的距离最大，故d 的最大值为|7＋2×9－4|5＝215.故目标函数z max ＝215·5＝21. 三、解答题12．解 z ＝2x －y 可化为y ＝2x －z ，z 的几何意义是直线在y 轴上的截距的相反数，故当z 取得最大值和最小值时，应是直线在y 轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l 0：2x －y ＝0平行的直线系l ，经上下平移，可得：当l 移动到l 1，即经过点A (5,2)时，z max ＝2×5－2＝8.当l 移动到l 2，即过点C (1,4.4)时，z min ＝2×1－4.4＝－2.4.13．解先画出可行域，如图所示，y ＝a x 必须过图中阴影部分或其边界．∵A (2,9)，∴9＝a 2，∴a ＝3. ∵a ＞1，∴1＜a ≤3.14．解由题意可画表格如下：(1)设只生产书桌x 张，可获得利润z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ≤90，2x ≤600，z ＝80x ，x ≥0⇒⎩⎨⎧x ≤900，x ≤300，x ≥0⇒0≤x ≤300.所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元． (2)设只生产书橱y 个，可获得利润z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.2y ≤90，1·y ≤600，z ＝120y ，y ≥0⇒⎩⎨⎧y ≤450，y ≤600，y ≥0⇒0≤y ≤450.所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元． (3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤90，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.z ＝80x ＋120y .在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图)．作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600，解得，点M 的坐标为(100,400)．所以当x ＝100，y ＝400时，z max ＝80×100＋120×400＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．。

2015届高考数学一轮总复习7-3简单的线性规划问题课后强化作业(新人教A版)

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习7-3简单的线性规划问题课后强化作业新人教A版基础巩固强化一、选择题1．若2x＋4y<4，则点(x，y)必在()A．直线x＋y－2＝0的左下方B．直线x＋y－2＝0的右上方C．直线x＋2y－2＝0的右上方D．直线x＋2y－2＝0的左下方[答案] D[解析]∵2x＋4y≥22x＋2y，由条件2x＋4y<4知，22x＋2y<4，∴x＋2y<2，即x＋2y－2<0，故选D.2．在直角坐标系xOy中，已知△AOB的三边所在直线的方程分别为x＝0，y＝0,2x＋3y ＝30，则△AOB内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为()A．95B．91C．88D．75[答案] B[解析]由2x＋3y＝30知，y＝0时，0≤x≤15，有16个；y＝1时，0≤x≤13；y＝2时，0≤x≤12；y＝3时，0≤x≤10；y＝4时，0≤x≤9；y＝5时，0≤x≤7；y＝6时，0≤x≤6；y＝7时，0≤x≤4；y＝8时，0≤x≤3；y＝9时，0≤x≤1，y＝10时，x＝0.∴共有16＋14＋13＋11＋10＋8＋7＋5＋4＋2＋1＝91个．3．(文)(2013·陕西)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域内，则2x －y 的最小值是( )A ．－6B ．－2C ．0D ．2 [答案] A[解析] 作出函数y ＝|x |＝⎩⎨⎧x (x ≥0)－x (x <0)和y ＝2围成的等腰直角三角形的可行域如图阴影部分所示，则可得过交点A (－2，2)时，2x －y 取得最小值－6，选A.(理)(2013·四川)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．16 [答案] C[解析] 约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0表示以(0,0)、(0,2)、(4,4)、(8,0)为顶点的四边形区域，检验四个顶点的坐标可知，当x ＝4，y ＝4时，a ＝z max ＝5×4－4＝16；当x ＝8，y ＝0时，b ＝z min ＝5×0－8＝－8，∴a －b ＝24，选C.4．(文)(2013·衡水模拟)已知点P (2，t )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －4≤0，x ＋y －3≤0，表示的平面区域内，则点P (2，t )到直线3x ＋4y ＋10＝0距离的最大值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 [答案] B [解析]画出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分所示)．结合图形可知，点A 到直线3x ＋4y＋10＝0的距离最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ＋y －3＝0得A 点坐标为(2,1)，故所求最大距离为d max ＝|3×2＋4×1＋10|32＋42＝4.(理)(2013·长春三校调研)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0x －y ≥0y ≥0所表示的平面区域内恰有两个点在圆x 2＋(y －b )2＝r 2(r >0)上，则( )A ．b ＝0，r ＝ 2B ．b ＝1，r ＝1C ．b ＝－1，r ＝ 3D ．b ＝－1，r ＝ 5[答案] D[解析] 不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≤0x －y ≥0y ≥0所表示的区域如图中阴影部分所示，容易求得当b ＝－1，r ＝5时满足题意．5．(文)已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，y －x ≥0，x ≥0.目标函数z ＝ax ＋y 只在点(1,1)处取最小值，则有( )A ．a >1B ．a >－1C ．a <1D ．a <－1[答案] D[解析] 作出可行域如图阴影部分所示．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .只在点(1,1)处z 取得最小值，则斜率－a >1，故a <－1，故选D.(理)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，若目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为( )A ．0<a <13B ．a ≥13C ．a >13D ．0<a <12[答案] C[解析] 作出可行域如图，∵目标函数z ＝x ＋ay 恰好在点A (2,2)处取得最大值，故－1a >－3，∴a >13.6．(文)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤3，x ＋2y －2≥0，所表示的平面区域为S ，若A 、B 为区域S 内的两个动点，则|AB |的最大值为( )A ．2 5 B.13 C ．3 D. 5 [答案] B[解析] 在直角坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形观察不难得知，位于该平面区域内的两个动点中，其间的距离最远的两个点是(0,3)与(2,0)，因此|AB |的最大值是13，选B.(理)设O 为坐标原点，点M 的坐标为(2,1)，若点N (x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，2x ＋y －12≤0，x ≥1，则使OM →·ON →取得最大值的点N 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．无数个 [答案] D[分析] 点N (x ，y )在不等式表示的平面区域之内，U ＝OM →·ON →为x ，y 的一次表达式，则问题即是当点N 在平面区域内变化时，求U 取到最大值时，点N 的个数．[解析] 如图所示，可行域为图中阴影部分，而OM →·ON →＝2x ＋y ，所以目标函数为z ＝2x ＋y ，作出直线l ：2x ＋y ＝0，显然它与直线2x ＋y －12＝0平行，平移直线l 到直线2x ＋y －12＝0的位置时目标函数取得最大值，故2x ＋y －12＝0上每一点都能使目标函数取得最大值，故选D.二、填空题7．(2013·淮南第二次联考)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥1，x ＋y ≤3.则目标函数z ＝2x －y 的最大值为________．[答案] 3[解析] 画出可行域如图，易知y ＝2x －z 过点C (2,1)时，z max ＝3.8．若由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋n ，x －3y ≥0，y ≥0，(n >0)确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x 轴上，则实数m ＝________.[答案] －33[解析]根据题意，三角形的外接圆圆心在x 轴上(如图)， ∴OA 为外接圆的直径，∴直线x ＝my ＋n 与x －3y ＝0垂直， ∴1m ×13＝－1，即m ＝－33. 9．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则目标函数z ＝4x ＋y 的最大值为________．[答案] 11 [解析]如图，满足条件的可行域为三角形区域(图中阴影部分)，故z ＝4x ＋y 在P (2,3)处取得最大值，最大值为11.三、解答题10．(文)某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资每份由金融投资20万元，房地产投资30万元组成；进取型组合投资每份由金融投资40万元，房地产投资30万元组成．已知每份稳健型组合投资每年可获利10万元，每份进取型组合投资每年可获利15万元．若可作投资用的资金中，金融投资不超过160万元，房地产投资不超过180万元，那么这两种组合投资各应注入多少份，才能使一年获利总额最多？[解析] 设稳健型投资x 份，进取型投资y 份，利润总额为z (单位：10万元，则目标函数为z ＝x ＋1.5y (单位：10万元)，线性约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋40y ≤160，30x ＋30y ≤180，x ≥0，y ≥0(x ∈N ，y ∈N )，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0(x ∈N ，y ∈N )，作出可行域如图，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，x ＋y ＝6，得交点M (4,2)，作直线l 0：x ＋1.5y ＝0，平移l 0，当平移后的直线过点M 时，z 取最大值：z max ＝(4＋3)×10＝70万元．答：稳健型投资4份，进取型投资2份，才能使一年获利总额最多．(理)(2013·山东诸城一中月考)为保增长、促发展，某地计划投资甲、乙两个项目，根据市场调研，知甲项目每投资100万元需要配套电能2万千瓦时，可提供就业岗位24个，GDP 增长260万元；乙项目每投资100万元需要配套电能4万千瓦时，可提供就业岗位36个，GDP 增长200万元．已知该地为甲、乙两个项目最多可投资3000万元，配套电能100万千瓦时，若要求两个项目能提供的就业岗位不少于840个，问如何安排甲、乙两个项目的投资额，才能使GDP 增长的最多．[解析] 设甲项目投资x 万元，乙项目投资y 万元，增长的GDP 为z 万元，则投资甲、乙两个项目可增长GDP 为z ＝2.6x ＋2y .依题意，知x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3000，0.02x ＋0.04y ≤100，0.24x ＋0.36y ≥840，x ≥0，y ≥0，则此不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示．把z ＝2.6x ＋2y 变形为y ＝－1.3x ＋0.5z ，其在y 轴上的截距为0.5z .由图可知当直线y ＝－1.3x ＋0.5z 经过可行域上的点B 时，其纵截距取得最大值，也即z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3000，0.24x ＋0.36y ＝840，得x ＝2000，y ＝1000，即点B 的坐标为(2000,1000)，故当甲项目投资2000万元，乙项目投资1000万元时，GDP 增长得最多.能力拓展提升一、选择题11．(2013·东北师大附中二模)O 为坐标原点，点M 的坐标为(1,1)，若点N (x ，y )的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2≤4，2x －y >0，y >0，则OM →·ON →的最大值为( )A. 2 B ．2 2 C. 3 D ．2 3 [答案] B [解析]如图，点N 在图中阴影部分区域内，当O ，M ，N 共线，且|ON →|＝2时，OM →·ON →最大，此时N (2，2)，OM →·ON →＝(1,1)·(2，2)＝22，故选B.12．(文)(2012·福建文，10)若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．－1B ．1 C.32 D ．2[答案] B[解析] 本题考查了不等式组所表示的平面区域及数形结合思想解决问题的能力．由约束条件作出其可行域，如图由图可知当直线x ＝m 过点P 时，m 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x ＋y －3＝0，得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴P (1,2)，此时x ＝m ＝1.[点评] 对于可行域中含有参数的情形，不妨先取特殊值来帮助分析思路． (理)设实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －10≤0，x －2y ＋8≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为( )A.256B.83C.113 D ．4[答案] A[解析] 由可行域可得，当x ＝4，y ＝6时，目标函数z ＝ax ＋by 取得最大值，∴4a ＋6b ＝12，即a 3＋b2＝1，∴2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·(a 3＋b 2)＝136＋b a ＋a b ≥136＋2＝256，故选A. 13．(2013·湖北)某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31200元B ．36000元C ．36800元D ．38400元[答案] C[解析] 设租A 型车x 辆，B 型车y 辆，租金为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900y －x ≤7y ＋x ≤21x ，y ∈N，画出可行域(图中阴影区域中的整数点)，则目标函数z ＝1600x ＋2400y 在点N (5,12)处取得最小值36800，故选C.二、填空题14．(2013·濮阳模拟)已知点A (2,0)，点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，4x ＋5y ≤25，x －1≥0，则|OP →|·cos∠AOP (O 为坐标原点)的最大值是________．[答案] 5[解析] |OP →|·cos ∠AOP 即为OP →在OA →上的投影，即求不等式组所表示的可行域中点的横坐标的最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y ＝25，可得交点的坐标为(5,2)，此时|OP →|·cos ∠AOP 取值最大， ∴|OP →|·cos ∠AOP 的最大值为5. 三、解答题15．(文)某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5min ，生产一个骑兵需7min ，生产一个伞兵需4min ，已知总生产时间不超过10h.若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ [解析] (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润W ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300.(2)约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ∈Z ，y ∈Z .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ∈Z ，y ∈Z .目标函数为W ＝2x ＋3y ＋300，如图所示，作出可行域．初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，W 有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.最优解为A (50,50)，所以W max ＝550(元)．答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元．(理)(2013·广东茂名一模)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x ，y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x ，y 为何值时，z ＝xP甲＋yP 乙最大，最大值是多少？[解析] (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧P 甲－P 乙＝0.251－P 甲＝P 乙－0.05，解得⎩⎪⎨⎪⎧P 甲＝0.65，P 乙＝0.4，故甲产品为一等品的概率P 甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P 乙＝0.4. (2)依题意得x 、y 应满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ≤32，20x ＋5y ≤55，x ≥0，y ≥0，且z ＝0.65x ＋0.4y .作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域．作直线l ：0.65x ＋0.4y ＝0即13x ＋8y ＝0，把直线l 向上方平移到l 1的位置时，直线经过可行域内的点M ，且l 1与原点的距离最大，此时z 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，4x ＋y ＝11，得x ＝2，y ＝3.故M 的坐标为(2,3)，所以z 的最大值为z max ＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.考纲要求1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． 3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．补充说明1．二元一次不等式表示的平面区域 B 值判断法主要看不等号与B 的符号是否同向，若同向则在直线上方，若异向则在直线下方，简记为“同上异下”，这种判断方法称为B 值判断法．即判定点P (x 0，y 0)在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)哪一侧时，令d ＝B (Ax 0＋By 0＋C )，则d >0⇔P 在直线l 上方；d ＝0⇔P 在l 上；d <0⇔P 在l 下方．2．目标函数z ＝Ax ＋By ＋C ，当B >0时，z 的值随直线在y 轴上截距的增大而增大；当B <0时，z 的值随直线在y 轴上截距的增大而减小．备选习题1．(2012·石家庄二检)已知动点P (x ，y )在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形边长为2，若使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k 值为( ) A. 3 B.32 C. 2 D ．4[答案] A[解析] 由题可知，当x ＝0时，z ＝kx ＋y ＝y ，因此要使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值，则相应直线经过题中的平面区域内的点时，相应直线在y 轴上的截距最大．由目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线kx ＋y ＝0的倾斜角为120°，于是有－k ＝tan120°＝－3，k ＝3，选A.2．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥0，y ≤4.表示的平面区域为D ，若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．[2,4]D ．[2，＋∞)[答案] D[解析] 作出可行区域，如图，由题可知点(2，a 2)应在点(2,4)的上方或与其重合，故a 2≥4，∴a ≥2或a ≤－2，又a >0且a ≠1，∴a ≥2. 3．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≥0，2x －y －6≤0，x ＋y －k －2≥0，且x 2＋y 2的最小值为m ，当9≤m ≤25时，实数k 的取值范围是( )A ．(17－2,5)B ．[17－2,5]C ．(17－2,5]D ．(0,5][答案] B [解析]不等式组表示的可行域如图中的阴影部分，x 2＋y 2的最小值m 即为|OA |2，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0x ＋y －k －2＝0，得A (k ＋32，k ＋12)．由题知9≤(k ＋32)2＋(k ＋12)2≤25，解得17－2≤k ≤5.4．(2013·辽宁六校联考)设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤a x ＋y ≥8，x ≥6且不等式x ＋2y ≤14恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[8,10]B ．[8,9]C ．[6,9]D ．[6,10] [答案] A[解析] 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a ≥8，否则可行域无意义．由图可知x ＋2y 在点(6，a －6)处取得最大值2a －6，由2a －6≤14得，a ≤10，故选A.5．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥3x ，x ＋ay ≤7，其中a >1，若目标函数z ＝x ＋y 的最大值为4，则a 的值为________．[答案] 2[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．∵y ＝－x ＋z ，∴欲使z 最大，只需使直线y ＝－x ＋z 的纵截距最大，∵a >1，∴直线x ＋ay ＝7的斜率大于－1，故当直线y ＝－x ＋z 经过直线y ＝3x 与直线x ＋ay ＝7的交点(71＋3a ，211＋3a )时，目标函数z 取得最大值，最大值为281＋3a .由题意得281＋3a＝4，解得a ＝2.。

高中数学线性规划练习题及讲解

高中数学线性规划练习题及讲解线性规划是高中数学中的一个重要概念，它涉及到资源的最优分配问题。

以下是一些线性规划的练习题，以及对这些题目的简要讲解。

### 练习题1：资源分配问题某工厂生产两种产品A和B，每生产一件产品A需要3小时的机器时间和2小时的人工时间，每生产一件产品B需要2小时的机器时间和4小时的人工时间。

工厂每天有机器时间100小时和人工时间80小时。

如果产品A的利润是每件50元，产品B的利润是每件80元，工厂应该如何安排生产以获得最大利润？### 解题思路：1. 首先，确定目标函数，即利润最大化。

设生产产品A的数量为x，产品B的数量为y。

2. 目标函数为：\( P = 50x + 80y \)。

3. 根据资源限制，列出约束条件：- 机器时间：\( 3x + 2y \leq 100 \)- 人工时间：\( 2x + 4y \leq 80 \)- 非负条件：\( x \geq 0, y \geq 0 \)4. 画出可行域，找到可行域的顶点。

5. 计算每个顶点的目标函数值，选择最大的一个。

### 练习题2：成本最小化问题一家公司需要生产两种产品，产品1和产品2。

产品1的原材料成本是每单位10元，产品2的原材料成本是每单位15元。

公司每月有原材料预算3000元。

如果公司希望生产的产品总价值达到最大，应该如何分配生产？### 解题思路：1. 设产品1生产x单位，产品2生产y单位。

2. 目标函数为产品总价值最大化，但题目要求成本最小化，所以实际上是求成本最小化条件下的产品组合。

3. 约束条件为原材料成本：\( 10x + 15y \leq 3000 \)4. 非负条件：\( x \geq 0, y \geq 0 \)5. 画出可行域，找到顶点。

6. 根据实际情况，可能需要考虑产品1和产品2的市场价格，以确定最大价值。

### 练习题3：运输问题一个农场有三种作物A、B和C，需要运输到三个市场X、Y和Z。

高考数学总复习 73简单的线性规划问题基础巩固强化练习新人教A版

7-3简单的线性规划问题基础巩固强化1.(文)在平面直角坐标系中，若点(3t－2，t)在直线x－2y＋4＝0的下方，则t的取值范围是( )A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(－2，＋∞) D．(0,2)[答案] C[解析]∵点O(0,0)使x－2y＋4>0成立，且点O在直线下方，故点(3t－2，t)在直线x －2y＋4＝0的下方⇔3t－2－2t＋4>0，∴t>－2.[点评] 可用B值判断法来求解，令d＝B(Ax0＋By0＋C)，则d>0⇔点P(x0，y0)在直线Ax ＋By＋C＝0的上方；d<0⇔点P在直线下方．(理)若2x＋4y<4，则点(x，y)必在( )A．直线x＋y－2＝0的左下方B．直线x＋y－2＝0的右上方C．直线x＋2y－2＝0的右上方D．直线x＋2y－2＝0的左下方[答案] D[解析]∵2x＋4y≥22x＋2y，由条件2x＋4y<4知，22x＋2y<4，∴x＋2y<2，即x＋2y－2<0，故选D.2．在直角坐标系xOy中，已知△AOB的三边所在直线的方程分别为x＝0，y＝0,2x＋3y ＝30，则△AOB内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为( )A．95 B．91 C．88 D．75[答案] B[解析]由2x＋3y＝30知，y＝0时，0≤x≤15，有16个；y＝1时，0≤x≤13；y＝2时，0≤x≤12；y ＝3时，0≤x ≤10；y ＝4时，0≤x ≤9； y ＝5时，0≤x ≤7；y ＝6时，0≤x ≤6； y ＝7时，0≤x ≤4；y ＝8时，0≤x ≤3； y ＝9时，0≤x ≤1，y ＝10时，x ＝0.∴共有16＋14＋13＋11＋10＋8＋7＋5＋4＋2＋1＝91个．3．(2011·天津文，2)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x－y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43 D ．4[答案] D [解析]该线性约束条件所代表的平面区域如图，易解得A (1,3)，B (1，53)，C (2,2)，由z ＝3x －y 得y ＝3x －z ，由图可知当x ＝2，y ＝2时，z 取得最大值，即z 最大＝3×2－2＝4.故选D.4．(文)(2011·安徽示范高中皖北协作区联考)已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，y －x ≥0，x ≥0.目标函数z ＝ax ＋y 只在点(1,1)处取最小值，则有( )A ．a >1B ．a >－1C ．a <1D ．a <－1[答案] D[解析] 作出可行域如图阴影部分所示．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .只在点(1,1)处z 取得最小值，则斜率－a >1，故a <－1，故选D.(理)(2011·宝鸡质检)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，若目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为( )A ．0<a <13B ．a ≥13C ．a >13D ．0<a <12[答案] C[解析] 作出可行域如图，∵目标函数z ＝x ＋ay 恰好在点A (2,2)处取得最大值，故－1a >－3，∴a >13.5．(文)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤3，x ＋2y －2≥0，所表示的平面区域为S ，若A 、B 为区域S 内的两个动点，则|AB |的最大值为( )A ．2 5 B.13 C ．3 D. 5[答案] B[解析] 在直角坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形观察不难得知，位于该平面区域内的两个动点中，其间的距离最远的两个点是(0,3)与(2,0)，因此|AB |的最大值是13，选B.(理)(2012·内蒙古包头模拟)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，y ≥1，则z ＝2x －y的最大值为( )A ．－1B ．0C ．3D ．4 [答案] C[解析] 作出可行域如图，作直线l 0：2x －y ＝0，平移l 0当平移到经过点A (2,1)时，z max＝3.6．(2011·兰州模拟)设O 为坐标原点，点M 的坐标为(2,1)，若点N (x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，2x ＋y －12≤0，x ≥1，则使OM →·ON →取得最大值的点N 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．无数个[答案] D[分析] 点N (x ，y )在不等式表示的平面区域之内，U ＝OM →·ON →为x ，y 的一次表达式，则问题即是当点N 在平面区域内变化时，求U 取到最大值时，点N 的个数．[解析] 如图所示，可行域为图中阴影部分，而OM →·ON →＝2x ＋y ，所以目标函数为z ＝2x ＋y ，作出直线l ：2x ＋y ＝0，显然它与直线2x ＋y －12＝0平行，平移直线l 到直线2x ＋y －12＝0的位置时目标函数取得最大值，故2x ＋y －12＝0上每一点都能使目标函数取得最大值，故选D.7．(文)(2012·内蒙包头模拟)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，x ≤a ，表示的平面区域S 的面积为4，点P (x ，y )∈S ，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．[答案] 6[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧12×2a ×a ＝4，a >0，∴a ＝2，易得z ＝2x ＋y 的最大值为6.(理)若由不等式组⎩⎨⎧x ≤my ＋n ，x －3y ≥0，y ≥0，(n >0)确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x 轴上，则实数m ＝________.[答案] －33[解析] 根据题意，三角形的外接圆圆心在x 轴上， ∴OA 为外接圆的直径，∴直线x ＝my ＋n 与x －3y ＝0垂直， ∴1m ×13＝－1，即m ＝－33.8．(2011·浏阳模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则目标函数z ＝4x ＋y的最大值为________．[答案] 11 [解析]如图，满足条件的可行域为三角形区域(图中阴影部分)，故z ＝4x ＋y 在P (2,3)处取得最大值，最大值为11.9．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：ab (万吨)c (百万元)A 50% 1 3 B70%0.562的最少费用为________(百万元)．[答案] 15[解析] 设需购买A 矿石x 万吨，B 矿石y 万吨，则根据题意得到约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，目标函数为z ＝3x ＋6y ，当目标函数经过(1,2)点时目标函数取得最小值，最小值为：z min＝3×1＋6×2＝15.10．某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资每份由金融投资20万元，房地产投资30万元组成；进取型组合投资每份由金融投资40万元，房地产投资30万元组成．已知每份稳健型组合投资每年可获利10万元，每份进取型组合投资每年可获利15万元．若可作投资用的资金中，金融投资不超过160万元，房地产投资不超过180万元，那么这两种组合投资各应注入多少份，才能使一年获利总额最多？[解析] 设稳健型投资x 份，进取型投资y 份，利润总额为z (单位：10万元，则目标函数为z ＝x ＋1.5y (单位：10万元)，线性约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋40y ≤160，30x ＋30y ≤180，x ≥0，y ≥0x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0x ∈N ，y ∈N ，作出可行域如图，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，x ＋y ＝6，得交点M (4,2)，作直线l 0：x ＋1.5y ＝0，平移l 0，当平移后的直线过点M时，z 取最大值：z max ＝(4＋3)×10万元＝70万元．答：稳健型投资4份，进取型投资2份，才能使一年获利总额最多.能力拓展提升11.(文)(2012·福建文，10)若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．－1B ．1 C.32 D ．2[答案] B[解析] 本题考查了不等式组所表示的平面区域及数形结合思想解决问题的能力．由约束条件作出其可行域，如图由图可知当直线x ＝m 过点P 时，m 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y －3＝0，得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴P (1,2)，此时x ＝m ＝1.[点评] 对于可行域中含有参数的情形，不妨先取特殊值来帮助分析思路． (理)(2011·重庆一诊)设实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －10≤0，x －2y ＋8≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为( )A.256B.83C.113D ．4[答案] A[解析] 由可行域可得，当x ＝4，y ＝6时，目标函数z ＝ax ＋by 取得最大值，∴4a ＋6b ＝12，即a 3＋b2＝1，∴2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·(a 3＋b 2)＝136＋b a ＋a b ≥136＋2＝256，故选A. 12．(文)(2012·石家庄二检)已知动点P (x ，y )在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形边长为2，若使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k 值为 ( )A. 3B.32 C. 2 D ．4[答案] A[解析] 由题可知，当x ＝0时，z ＝kx ＋y ＝y ，因此要使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值，则相应直线经过题中的平面区域内的点时，相应直线在y 轴上的截距最大．由目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线kx ＋y ＝0的倾斜角为120°，于是有－k ＝tan120°＝－3，k ＝3，选A.(理)(2012·辽宁文，9)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55[答案] D[解析] 本题考查线性规划的知识．作出可行域如图所示：令z ＝2x ＋3y ，则y ＝－23x ＋13z .要使z 取得最大值，需直线y ＝－23x ＋13z 在y 轴上的截距最大，移动l 0：y ＝－23x当l 0过点C (5,15)时，z 取最大值z max ＝55.解线性规划问题，准确作出可行域是关键，同时还要注意目标函数z ＝2x ＋3y 与z ＝2x －3y 最优解是不同的．13．(文)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3t ，B 原料2t ；生产每吨乙产品要用A 原料1t ，B 原料3t ，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13t ，B 原料不超过18t.那么该企业可获得最大利润是( )A ．12万元B ．20万元C ．25万元D ．27万元[答案] D[解析] 设生产甲、乙两种产品分别为x t ，y t ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，获利润ω＝5x ＋3y ，画出可行域如图，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝13，2x ＋3y ＝18，解得A (3,4)．∵－3<－53<－23，∴当直线5x ＋3y ＝ω经过A 点时，ωmax ＝27.(理)(2011·四川文，10)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10t 的甲型卡车和7辆载重量为6t 的乙型卡车，某天需送往A 地至少72t 的货物，派用的每辆车需载满且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人；运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润z ＝( )A ．4650元B ．4700元C ．4900元D ．5000元[答案] C[解析] 设该公司派甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋6y ≥72，2x ＋y ≤19，x ＋y ≤12，0≤x ≤8，x ∈N 0≤y ≤7，y ∈N利润z ＝450x ＋350y ，可行域如图所示．解⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝19，x ＋y ＝12，得A (7,5)．当直线350y ＋450x ＝z 过A (7,5)时z 取最大值， ∴z max ＝450×7＋350×5＝4900(元)．故选C.14．(2012·乌鲁木齐二诊)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥0，y ≤4.表示的平面区域为D ，若指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．[2,4]D ．[2，＋∞)[答案] D[解析] 作出可行区域，如图，由题可知点(2，a 2)应在点(2,4)的上方或与其重合，故a 2≥4，∴a ≥2或a ≤－2，又a >0且a ≠1，∴a ≥2.15．(文)某单位投资生产A 产品时，每生产1百吨需要资金2百万元，需场地2百平方米，可获利润3百万元；投资生产B 产品时，每生产1百米需要资金3百万元，需场地1百平方米，可获利润2百万元．现该单位有可使用资金14百万元，场地9百平方米，如果利用这些资金和场地用来生产A 、B 两种产品，那么分别生产A 、B 两种产品各多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？[解析] 设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 百米，共获得利润S 百万元，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤14，2x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0，目标函数为S ＝3x ＋2y.作出可行域如图，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝9，2x ＋3y ＝14，解得直线2x ＋y ＝9和2x ＋3y ＝14的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫134，52，平移直线y＝－32x ＋S 2，当它经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫134，52时，直线y ＝－32x ＋S 2在y 轴上截距S 2最大，S 也最大．此时，S ＝3×134＋2×52＝14.75.因此，生产A 产品3.25百吨，生产B 产品2.5百米，可获得最大利润，最大利润为1475万元．(理)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x ，y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x ，y 为何值时，z ＝xP 甲＋yP 乙最大，最大值是多少？[解析] (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧P 甲－P 乙＝0.251－P 甲＝P 乙－0.05，解得⎩⎪⎨⎪⎧P 甲＝0.65，P 乙＝0.4，故甲产品为一等品的概率P 甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P 乙＝0.4. (2)依题意得x 、y 应满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ≤32，20x ＋5y ≤55，x ≥0，y ≥0，且z ＝0.65x ＋0.4y .作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域．作直线l ：0.65x ＋0.4y ＝0即13x ＋8y ＝0，把直线l 向上方平移到l 1的位置时，直线经过可行域内的点M ，且l 1与原点的距离最大，此时z 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，4x ＋y ＝11，得x ＝2，y ＝3.故M 的坐标为(2,3)，所以z 的最大值为z max ＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.16．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5min ，生产一个骑兵需7min ，生产一个伞兵需4min ，已知总生产时间不超过10h.若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ [解析] (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润W ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4100－x －y ≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ∈Z ，y ∈Z .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ∈Z ，y ∈Z .目标函数为W ＝2x ＋3y ＋300，如图所示，作出可行域．初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，W 有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.最优解为A (50,50)，所以W max ＝550(元)．答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元．1．在坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1，所表示的平面区域的面积为( )A. 2B.32C.322D ．2[答案] B [解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1，的图形如图．解得：A (0,1) D (0，－1) B (－1，－2) C (12，－12)S △ABC ＝12×|AD |×|x C －x B |＝12×2×(12＋1)＝32，故选B. 2．已知a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，M ＝2a ＋2b，则M 的整数部分是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] B[解析] ∵a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，∴0<a <1，设t ＝2a ，则t ∈(1,2)，M ＝2a ＋2b ＝2a ＋21－a＝t ＋2t≥22，等号在t ＝2时成立，又t ＝1或2时，M ＝3，∴22≤M <3，故选B.3．(2011·湖北高考)直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20，表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个[答案] B[解析] 直线2x ＋y －10＝0与不等式组表示的平面区域的位置关系如图所示，故直线与此区域的公共点只有1个，选B.4．(2011·黄山期末)设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0，所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A ．[1,3]B ．[2，10]C ．[2,9]D ．[10，9][答案] C[解析] 作出不等式表示的平面区域如图，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19＝0，x －y ＋8＝0，得A (1,9)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19＝0，2x ＋y －14＝0，得B (3,8)，当函数y ＝a x过点A 时，a ＝9，过点B 时，a ＝2，∴要使y ＝a x 的图象经过区域M ，应有2≤a ≤9.5．(2012·河南洛阳市模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥3x ，x ＋ay ≤7，其中a >1，若目标函数z ＝x ＋y 的最大值为4，则a 的值为________．[答案] 2 [解析]作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．∵y ＝－x ＋z ，∴欲使z 最大，只需使直线y ＝－x ＋z 的纵截距最大，∵a >1，∴直线x ＋ay ＝7的斜率大于－1，故当直线y ＝－x ＋z 经过直线y ＝3x 与直线x ＋ay ＝7的交点(71＋3a ，211＋3a )时，目标函数z 取得最大值，最大值为281＋3a .由题意得281＋3a＝4，解得a ＝2.6．(2012·太原部分重点中学联考)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≥0，2x －y －6≤0，x ＋y －k －2≥0，且x 2＋y 2的最小值为m ，当9≤m ≤25时，实数k 的取值范围是( )A ．(17－2,5)B ．[17－2,5]C ．(17－2,5]D ．(0,5][答案] B[解析]不等式组表示的可行域如图中的阴影部分，x 2＋y 2的最小值m 即为|OA |2，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0x ＋y －k －2＝0，得A (k ＋32，k ＋12)．由题知9≤(k ＋32)2＋(k ＋12)2≤25，解得17－2≤k ≤5.7．(2012·山西大同调研)设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．－2B ．4C ．6D ．8[答案] C [解析]作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分．作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当平移到经过平面区域内的点(3,0)时，相应的直线在x 轴上的截距最大，此时z ＝2x ＋y 取得最大值，最大值是6，故选C.8．某人有楼房一幢，室内面积共计180m 2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积18m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积15m 2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？[解析] 设隔出大房间x 间，小房间y 间时收益为z 元，则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 18x ＋15y ≤180，1000x ＋600y ≤8000，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈Z ，且z ＝200x ＋150y . 约束条件可化简为：⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋5y ≤60，5x ＋3y ≤40，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈Z .可行域为如图所示的阴影部分(含边界)作直线l ：200x ＋150y ＝0，即直线l ：4x ＋3y ＝0把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过点B ，且与原点的距离最大，此时z ＝200x ＋150y 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋5y ＝60，5x ＋3y ＝40，得到B (207，607)．由于点B 的坐标不是整数，而最优解(x ，y )中的x ，y 必须都是整数，所以，可行域内的点B (207，607)不是最优解，通过检验，当经过的整点是(0,12)和(3,8)时，z 取最大值1800元．于是，隔出小房间12间，或大房间3间、小房间8间，可以获得最大收益．[点评] 当所求解问题的结果是整数，而最优解不是整数时，可取最优解附近的整点检验，找出符合题意的整数最优解．。

【2013年高考数学必看】7-3简单的线性规划问题

7-3简单的线性规划问题基础巩固强化1.(文)在平面直角坐标系中，若点(3t－2，t)在直线x－2y＋4＝0的下方，则t的取值范围是()A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(－2，＋∞) D．(0,2)[答案] C[解析]∵点O(0,0)使x－2y＋4>0成立，且点O在直线下方，故点(3t－2，t)在直线x－2y＋4＝0的下方⇔3t－2－2t＋4>0，∴t>－2.[点评]可用B值判断法来求解，令d＝B(Ax0＋By0＋C)，则d>0⇔点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0的上方；d<0⇔点P在直线下方．(理)若2x＋4y<4，则点(x，y)必在()A．直线x＋y－2＝0的左下方B．直线x＋y－2＝0的右上方C．直线x＋2y－2＝0的右上方D．直线x＋2y－2＝0的左下方[答案] D[解析]∵2x＋4y≥22x＋2y，由条件2x＋4y<4知，22x＋2y<4，∴x＋2y<2，即x＋2y－2<0，故选D.2．在直角坐标系xOy中，已知△AOB的三边所在直线的方程分别为x＝0，y＝0,2x＋3y＝30，则△AOB内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为()A．95B．91C．88D．75[答案] B[解析] 由2x ＋3y ＝30知，y ＝0时，0≤x ≤15，有16个；y ＝1时，0≤x ≤13；y ＝2时，0≤x ≤12； y ＝3时，0≤x ≤10；y ＝4时，0≤x ≤9； y ＝5时，0≤x ≤7；y ＝6时，0≤x ≤6； y ＝7时，0≤x ≤4；y ＝8时，0≤x ≤3； y ＝9时，0≤x ≤1，y ＝10时，x ＝0.∴共有16＋14＋13＋11＋10＋8＋7＋5＋4＋2＋1＝91个． 3．(2011·天津文，2)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43 D ．4[答案] D [解析]该线性约束条件所代表的平面区域如图，易解得A (1,3)，B (1，53)，C (2,2)，由z ＝3x －y 得y ＝3x －z ，由图可知当x ＝2，y ＝2时，z 取得最大值，即z 最大＝3×2－2＝4.故选D.4．(文)(2011·安徽示范高中皖北协作区联考)已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，y －x ≥0，x ≥0.目标函数z ＝ax ＋y 只在点(1,1)处取最小值，则有( )A ．a >1B ．a >－1C ．a <1D ．a <－1[答案] D[解析] 作出可行域如图阴影部分所示．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .只在点(1,1)处z 取得最小值，则斜率－a >1，故a <－1，故选D.(理)(2011·宝鸡质检)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，若目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为( )A ．0<a <13 B ．a ≥13 C ．a >13 D ．0<a <12[答案] C[解析] 作出可行域如图，∵目标函数z ＝x ＋ay 恰好在点A (2,2)处取得最大值，故－1a >－3，∴a >13.5．(文)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤3，x ＋2y －2≥0，所表示的平面区域为S ，若A 、B 为区域S 内的两个动点，则|AB |的最大值为( )A ．2 5 B.13 C ．3 D. 5[答案] B[解析] 在直角坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形观察不难得知，位于该平面区域内的两个动点中，其间的距离最远的两个点是(0,3)与(2,0)，因此|AB |的最大值是13，选B.(理)(2012·内蒙古包头模拟)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，y ≥1，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．－1B ．0C ．3D ．4 [答案] C[解析] 作出可行域如图，作直线l 0：2x －y ＝0，平移l 0当平移到经过点A (2,1)时，z max ＝3.6．(2011·兰州模拟)设O 为坐标原点，点M 的坐标为(2,1)，若点N (x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，2x ＋y －12≤0，x ≥1，则使OM →·ON →取得最大值的点N 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．无数个[答案] D[分析] 点N (x ，y )在不等式表示的平面区域之内，U ＝OM →·ON →为x ，y 的一次表达式，则问题即是当点N 在平面区域内变化时，求U 取到最大值时，点N 的个数．[解析] 如图所示，可行域为图中阴影部分，而OM →·ON →＝2x ＋y ，所以目标函数为z ＝2x ＋y ，作出直线l ：2x ＋y ＝0，显然它与直线2x ＋y －12＝0平行，平移直线l 到直线2x ＋y －12＝0的位置时目标函数取得最大值，故2x ＋y －12＝0上每一点都能使目标函数取得最大值，故选D.7．(文)(2012·内蒙包头模拟)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，x ≤a ，表示的平面区域S 的面积为4，点P (x ，y )∈S ，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．[答案] 6[解析]由题意知⎩⎪⎨⎪⎧12×(2a )×a ＝4，a >0，∴a ＝2，易得z ＝2x ＋y 的最大值为6.(理)若由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋n ，x －3y ≥0，y ≥0，(n >0)确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x 轴上，则实数m ＝________.[答案] －33[解析] 根据题意，三角形的外接圆圆心在x 轴上， ∴OA 为外接圆的直径，∴直线x ＝my ＋n 与x －3y ＝0垂直， ∴1m ×13＝－1，即m ＝－33.8．(2011·浏阳模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则目标函数z ＝4x ＋y 的最大值为________．[答案]11 [解析]如图，满足条件的可行域为三角形区域(图中阴影部分)，故z ＝4x ＋y 在P (2,3)处取得最大值，最大值为11.9．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：22(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．[答案] 15[解析] 设需购买A 矿石x 万吨，B 矿石y 万吨，则根据题意得到约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，目标函数为z ＝3x ＋6y ，当目标函数经过(1,2)点时目标函数取得最小值，最小值为：z min ＝3×1＋6×2＝15.10．某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资每份由金融投资20万元，房地产投资30万元组成；进取型组合投资每份由金融投资40万元，房地产投资30万元组成．已知每份稳健型组合投资每年可获利10万元，每份进取型组合投资每年可获利15万元．若可作投资用的资金中，金融投资不超过160万元，房地产投资不超过180万元，那么这两种组合投资各应注入多少份，才能使一年获利总额最多？[解析] 设稳健型投资x 份，进取型投资y 份，利润总额为z (单位：10万元，则目标函数为z ＝x ＋1.5y (单位：10万元)，线性约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋40y ≤160，30x ＋30y ≤180，x ≥0，y ≥0(x ∈N ，y ∈N )，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0(x ∈N ，y ∈N )，作出可行域如图，解方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝8，x ＋y ＝6，得交点M (4,2)，作直线l 0：x ＋1.5y ＝0，平移l 0，当平移后的直线过点M 时，z 取最大值：z max ＝(4＋3)×10万元＝70万元．答：稳健型投资4份，进取型投资2份，才能使一年获利总额最多.能力拓展提升11.(文)(2012·福建文，10)若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．－1B ．1 C.32D ．2[答案] B[解析] 本题考查了不等式组所表示的平面区域及数形结合思想解决问题的能力．由约束条件作出其可行域，如图由图可知当直线x ＝m 过点P 时，m 取得最大值，由⎩⎨⎧y ＝2x ，x ＋y －3＝0，得，⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，∴P (1,2)，此时x ＝m ＝1.[点评] 对于可行域中含有参数的情形，不妨先取特殊值来帮助分析思路．(理)(2011·重庆一诊)设实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －10≤0，x －2y ＋8≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则2a ＋3b 的最小值为( )A.256B.83C.113 D ．4[答案] A[解析] 由可行域可得，当x ＝4，y ＝6时，目标函数z ＝ax ＋by 取得最大值，∴4a ＋6b ＝12，即a 3＋b2＝1，∴2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·(a 3＋b 2)＝136＋b a ＋a b ≥136＋2＝256，故选A. 12．(文)(2012·石家庄二检)已知动点P (x ，y )在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形边长为2，若使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k 值为 ( )A. 3B.32 C. 2D ．4[答案] A[解析] 由题可知，当x ＝0时，z ＝kx ＋y ＝y ，因此要使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值，则相应直线经过题中的平面区域内的点时，相应直线在y 轴上的截距最大．由目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线kx ＋y ＝0的倾斜角为120°，于是有－k ＝tan120°＝－3，k ＝3，选A.(理)(2012·辽宁文，9)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55[答案] D[解析] 本题考查线性规划的知识．作出可行域如图所示：令z ＝2x ＋3y ，则y ＝－23x ＋13z .要使z 取得最大值，需直线y ＝－23x ＋13z 在y 轴上的截距最大，移动l 0：y ＝－23x 当l 0过点C (5,15)时，z 取最大值z max ＝55.解线性规划问题，准确作出可行域是关键，同时还要注意目标函数z ＝2x ＋3y 与z ＝2x －3y 最优解是不同的．13．(文)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3t ，B 原料2t ；生产每吨乙产品要用A 原料1t ，B 原料3t ，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13t ，B 原料不超过18t.那么该企业可获得最大利润是( )A ．12万元B ．20万元C ．25万元D ．27万元[答案] D[解析] 设生产甲、乙两种产品分别为x t ，y t ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，获利润ω＝5x ＋3y ，画出可行域如图，由⎩⎨⎧3x ＋y ＝13，2x ＋3y ＝18，解得A (3,4)．∵－3<－53<－23，∴当直线5x ＋3y ＝ω经过A 点时，ωmax ＝27.(理)(2011·四川文，10)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10t 的甲型卡车和7辆载重量为6t 的乙型卡车，某天需送往A 地至少72t 的货物，派用的每辆车需载满且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人；运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润z ＝( )A ．4650元B ．4700元C ．4900元D ．5000元[答案] C[解析] 设该公司派甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，由题意得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧10x ＋6y ≥72，2x ＋y ≤19，x ＋y ≤12，0≤x ≤8，x ∈N 0≤y ≤7，y ∈N利润z ＝450x ＋350y ，可行域如图所示．解⎩⎨⎧2x ＋y ＝19，x ＋y ＝12，得A (7,5)．当直线350y ＋450x ＝z 过A (7,5)时z 取最大值， ∴z max ＝450×7＋350×5＝4900(元)．故选C. 14．(2012·乌鲁木齐二诊)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥0，y ≤4.表示的平面区域为D ，若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．[2,4]D ．[2，＋∞)[答案] D[解析] 作出可行区域，如图，由题可知点(2，a 2)应在点(2,4)的上方或与其重合，故a 2≥4，∴a ≥2或a ≤－2，又a >0且a ≠1，∴a ≥2.15．(文)某单位投资生产A 产品时，每生产1百吨需要资金2百万元，需场地2百平方米，可获利润3百万元；投资生产B 产品时，每生产1百米需要资金3百万元，需场地1百平方米，可获利润2百万元．现该单位有可使用资金14百万元，场地9百平方米，如果利用这些资金和场地用来生产A 、B 两种产品，那么分别生产A 、B 两种产品各多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？[解析] 设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 百米，共获得利润S 百万元，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤14，2x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0，目标函数为S ＝3x ＋2y .作出可行域如图，由⎩⎨⎧2x ＋y ＝9，2x ＋3y ＝14，解得直线2x ＋y ＝9和2x ＋3y ＝14的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫134，52，平移直线y ＝－32x ＋S2，当它经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫134，52时，直线y ＝－32x ＋S 2在y 轴上截距S 2最大，S 也最大．此时，S ＝3×134＋2×52＝14.75.因此，生产A 产品3.25百吨，生产B 产品2.5百米，可获得最大利润，最大利润为1475万元．(理)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x ，y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x ，y 为何值时，z ＝xP 甲＋yP 乙最大，最大值是多少？[解析](1)依题意得⎩⎨⎧P 甲－P 乙＝0.251－P 甲＝P 乙－0.05，解得⎩⎨⎧P 甲＝0.65，P 乙＝0.4，故甲产品为一等品的概率P 甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P乙＝0.4.(2)依题意得x 、y 应满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ≤32，20x ＋5y ≤55，x ≥0，y ≥0，且z ＝0.65x ＋0.4y .作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域．作直线l ：0.65x ＋0.4y ＝0即13x ＋8y ＝0，把直线l 向上方平移到l 1的位置时，直线经过可行域内的点M ，且l 1与原点的距离最大，此时z 取最大值．解方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝8，4x ＋y ＝11，得x ＝2，y ＝3.故M 的坐标为(2,3)，所以z 的最大值为z max ＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.16．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5min ，生产一个骑兵需7min ，生产一个伞兵需4min ，已知总生产时间不超过10h.若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W (元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？[解析] (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润W ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ∈Z ，y ∈Z .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ∈Z ，y ∈Z .目标函数为W ＝2x ＋3y ＋300，如图所示，作出可行域．初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，W 有最大值，由⎩⎨⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎨⎧x ＝50，y ＝50.最优解为A (50,50)，所以W max ＝550(元)．答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元．1．在坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1，所表示的平面区域的面积为( )A. 2B.32C.322 D ．2[答案] B [解析]不等式组⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1，的图形如图．解得：A (0,1) D (0，－1) B (－1，－2) C (12，－12) S △ABC ＝12×|AD |×|x C －x B |＝12×2×(12＋1) ＝32，故选B.2．已知a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，M ＝2a ＋2b ，则M 的整数部分是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] ∵a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，∴0<a <1，设t ＝2a ，则t ∈(1,2)，M ＝2a＋2b＝2a＋21－a＝t ＋2t ≥22，等号在t ＝2时成立，又t ＝1或2时，M ＝3，∴22≤M <3，故选B.3．(2011·湖北高考)直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20，表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个[答案] B[解析] 直线2x ＋y －10＝0与不等式组表示的平面区域的位置关系如图所示，故直线与此区域的公共点只有1个，选B.4．(2011·黄山期末)设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0，所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A ．[1,3]B ．[2，10]C ．[2,9]D ．[10，9][答案] C [解析]作出不等式表示的平面区域如图，由⎩⎨⎧x ＋2y －19＝0，x －y ＋8＝0，得A (1,9)，由⎩⎨⎧x ＋2y －19＝0，2x ＋y －14＝0，得B (3,8)，当函数y ＝a x 过点A 时，a ＝9，过点B 时，a ＝2，∴要使y ＝a x 的图象经过区域M ，应有2≤a ≤9.5．(2012·河南洛阳市模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥3x ，x ＋ay ≤7，其中a >1，若目标函数z ＝x ＋y 的最大值为4，则a 的值为________．[答案] 2 [解析]作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．∵y ＝－x ＋z ，∴欲使z 最大，只需使直线y ＝－x ＋z 的纵截距最大，∵a >1，∴直线x ＋ay ＝7的斜率大于－1，故当直线y ＝－x ＋z 经过直线y ＝3x 与直线x ＋ay ＝7的交点(71＋3a ，211＋3a)时，目标函数z 取得最大值，最大值为281＋3a .由题意得281＋3a＝4，解得a ＝2.6．(2012·太原部分重点中学联考)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≥0，2x －y －6≤0，x ＋y －k －2≥0，且x 2＋y 2的最小值为m ，当9≤m ≤25时，实数k 的取值范围是( )A ．(17－2,5)B ．[17－2,5]C ．(17－2,5]D ．(0,5][答案] B [解析]不等式组表示的可行域如图中的阴影部分，x 2＋y 2的最小值m 即为|OA |2，联立⎩⎨⎧x －y －1＝0x ＋y －k －2＝0，得A (k ＋32，k ＋12)．由题知9≤(k ＋32)2＋(k ＋12)2≤25，解得17－2≤k ≤5.7．(2012·山西大同调研)设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．－2B ．4C ．6D ．8[答案] C [解析]作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分．作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当平移到经过平面区域内的点(3,0)时，相应的直线在x 轴上的截距最大，此时z ＝2x ＋y 取得最大值，最大值是6，故选C.8．某人有楼房一幢，室内面积共计180m 2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积18m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积15m 2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？[解析] 设隔出大房间x 间，小房间y 间时收益为z 元，则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧18x ＋15y ≤180，1000x ＋600y ≤8000，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈Z ，且z ＝200x ＋150y .约束条件可化简为：⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ≤60，5x ＋3y ≤40，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈Z .可行域为如图所示的阴影部分(含边界)作直线l ：200x ＋150y ＝0，即直线l ：4x ＋3y ＝0把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过点B ，且与原点的距离最大，此时z ＝200x ＋150y 取得最大值．解方程组⎩⎨⎧6x ＋5y ＝60，5x ＋3y ＝40，得到B (207，607)．由于点B 的坐标不是整数，而最优解(x ，y )中的x ，y 必须都是整数，所以，可行域内的点B (207，607)不是最优解，通过检验，当经过的整点是(0,12)和(3,8)时，z 取最大值1800元．于是，隔出小房间12间，或大房间3间、小房间8间，可以获得最大收益．[点评] 当所求解问题的结果是整数，而最优解不是整数时，可取最优解附近的整点检验，找出符合题意的整数最优解．。

7.3 简单的线性规划-5年3年模拟北京高考

7.3 简单的线性规划五年高考考点1 区域问题1．（2013山东．6,5分）在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥--083,012,022y x y x y x 所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )2.A 1.B 31.-C 21.-D 2．（2013安徽．9,5分）在平面直角坐标系中，0是坐标原点，两定点A ，B 满足==|0|||B ,20.= 则点集=OP P |{++λ},,1||R ∈≤μλμ所表示的区域的面积是( )22.A 32.B 24.C 34.D3．（2012福建．9,5分）若函数x y 2=图象上存在点（x ，y ）满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+,,032,03m x y x y x 则实数m 的最大值为( )21.A 1.B 23.C 2.D 4．（2011广东，5,5分）在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤yx y x 2,2,20给定，若M （x ，y ）为D 上的动点，点A 的坐标为),1,2(则z .=的最大值为( )24.A 23.B 4.C 3.D5．（2011福建，8，5 分）已知0是坐标原点，点A （-1，1）．若点M （x ，y ）为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+2,1,2y x y x 上的一个动点，则.的取值范围是 ( )]0,1.[-A ]1,0.[B ]2,0.[C ]2,1.[-D考点2 简单的线性规划1．（2013湖南，4，5分）若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤,1,1,2y y x x y 则x+2y 的最大值是( )2.-A 0.B 3.C 2.D 2．（2013天津，2，5分）设变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤--≥-+,03,02,063y y x y x 则目标函数x y z 2-=的最小值为( )7.-A 4.-B 1.C 2-D3．（2013北京，8.5分）设关于x ，y 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-<+>+-0,0,012m y m x y x 表示的平面区域内存在点),,(00y x p 满足0x .220=-y 求得m 的取值范围是( ))34,.(-∞A )31,.(-∞B )32,.(--∞C )35,.(--∞D4．（2013课标全国II ，9，5分）已知a>O ，x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧⋅-≥≤+≥)3(,3,1x a y y x x 若y x z +=2的最小值为1，则a=( )41.A 21.B 1.C 2.D 5．（2012广东，5.5分）已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤,1,1,2y x y x y 则y x z +=3的最大值为( )12.A 11.B 3.C 1.-D智力背景桶里的水有一个圆柱形的水桶，里面盛了一些水 .大李看了说，桶里的水不到半桶；小王说，桶里的水要多于半桶．现在要求不使用其他工具，你能想出办法判断他们两个人谁对谁错吗？把柄半倾，如水盏不住糯底又没有溢出来，说明少于半桶；如持平，则刚好是半桶；如水溢出来，则说明水多于半桶，6．（2012辽宁．8，5分）设变量x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤≤-,150,200,10y y x y x 则+x 2y 3的最大值为( )20.A 35.B 45.C 55.D7．（2012江西．8,5分）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入一总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为( )0,50.A 20,30.B 30,20.C 50,0.D8．（2011浙江，5，5分）设实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥>-+>-+.0,0,072,052y x y x y x 若x ，y 为整数，则y x 43+的最小值是( )14.A 16.B 17.C 19.D9．（2010全国l ，3，5分）若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+≤,02,0,1y x y x y 则y x z 2-=的最大值为( )4.A 3.B 2.C 1.D10．（2013江苏，9,5分）抛物线2x y =在x=l 处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x ，y )是区域D 内的任意一点，则x+2y 的取值范围是11.（2013广东．13，5分）给定区域⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥+,0,4,44:x y x y x D 令点集=T ),(,,|),{(000000y x z y x D y x ∈∈是y x z +=在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定条不同的直线． 12.（2013陕西．13.5分）若点(x ，y)位于曲线2|1|=-=y x y 与所围成的封闭区域，则2x - y 的最小值为13.（2013浙江．13，4分）设,y kx z +=其中实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+.042,042,02y x y x y x 若z 的最大值为12，则实数k=14.（2012课标全国．14,5分）设x ，y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-,0,0,3,1y x y x y x 则y x z 2-=的取值范围为15.（2012大纲全国，13，5分）若x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥+-,033,03,01y x y x y x 则y x z -=3的最小值为16.（2012安徽，11,5分）若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥,32,32,0y x y x x 则x y -的取值范围是17．（2012陕西，14,5分）设函数D x x x x x f ,,0,12,0,ln )(⎩⎨⎧≤-->=是由x 轴和曲线)(x f y =及该曲线在点(1，0)处的切线所围成的封闭区域，则y x z 2-=在D 上的最大值为18.（2011课标，13，5分）若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧≤-≤≤+≤,96,923y x y x 则y x z 2+=的最小值为19.（2013湖北，20,12分）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布)50,800(2N 的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为⋅0p (1)求0p 的值；（参考数据：若),,(~2σμN X 有=+≤<-)(σμσμX p ,6826.0)22(σμσμ+≤<-X p X P <-=σμ3(,9544.0)9974.0)3⋅=+≤σμ(2)某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次.A 、曰两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元／辆和2400元／辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆，若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？智力背景巧折纸片用右上图中的图形可以折成一个由四个全等正三角形围成的正四面体，请问该正四面体表面的图案将是怎样的？请从右下图的A 、B 、C 、D 、E 中选择正确的图案，正确的图案A.以中间有小三角形图案的三角形为底面，把纸片折成正四面体.解读探究知识清单1．二元一次不等式表示平面区域一般地，二元一次不等式0>++C By Ax 在平面直角坐标系中表示直线0=++C By Ax 某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成① 以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式0≥++C By Ax 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成②由于对在直线0=++C By Ax 同一侧的所有点（x ，y ），把它的坐标（x ，y ）代人C By Ax ++中所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点),,(00y x 从C By Ax ++00的正负即可判断0>++C By Ax 表示直线哪一侧的平面区域． 2．线性规划的有关概念【知识拓展】1．判断0≥++C By Ax 表示的平面区域是在直线的哪一侧，方法为：(1)当0=/C 时，取原点(0，0)，当原点坐标使0>++C By Ax 成立时，就是含原点的区域，不成立时，就是不含原点的区域；(2)当C=O 时，取(0，1)或(1，0)，使不等式成立的就是含取点的一侧；不成立时，是另一侧． 2．最优解可有两种确定方法(1)将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解；(2)利用围成可行域的直线的斜率来判断．若围成可行域的直线n l l l ...21、、的斜率分别为,....21n k k k 、、且,21n k k k <<< 而且目标函数的直线的斜率为k ，则当1+<<i i k k k 时，直线i l 与1+i l 相交的点一般是最优解．3．利用图解法解决线性规划问题的一般步骤(1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式表示的半平面，然后求出所有半平面的交集； (2)作出目标函数的等值线；．(3)求出最终结果，在可行域内平行移动目标函数等值线．从图中能判定问题有唯一最优解，或者是无穷最优解，或者是无最优解，知识清单答案智力背景你了解梅森素数吗（一) 对素数的研究可谓由来已久，公元前，数学家欧几里得（Euclid ）便通过研究证明有无限多的素数，消除了人们对素数的疑惑，由于素数无限，所以也就不存在最大素数的问题，但人们仍然不愿放弃寻找更大素数、更新素数的努力，法国数学家梅森( Mersenne)发明了用自己名字命名的“梅森素数”．2的n 次方减l 为素数时，称为“梅森素数”．最小的第1个梅森素数是22-1=3，第2个梅森素数是23-1=7．突破方法方法1 求目标函数的最值（范围）1．求目标函数的最值，必须先准确地作出线性可行域，再作出目标函数对应的直线，据题意确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值．2．线性目标函数by ax z +=取最大值时的最优解与b 的正负有关，当b>0时，最优解是将直线0=+by ax 在可行域内向上平移到端点（一般是两直线交点）的位置得到的；当b<0时，则是向下平移，例1 （2012山东．5，5分）设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+,14,42,22y x y x y x 则目标函数y x z -=3的取值范围是 ( )]6,23.[-A ]1,23.[--B ]6,1[-⋅C ]23,6.[-D解题思路解析约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+14,42,22y x y x y x 所表示的平面区域如图（阴影部分）：又直线z x y -=3的斜率为3．由图象知当直线z x y -=3经过点A(2，0)时，z取最大值6，当直线z x y -=3经过点)3,21(B 时，z 取最小值,23-y x z -=∴3的取值范围为],6,23[- 故选A ．答案 A【方法点拨】图解法求目标函数最值（范围）的步骤：方法2线性规划的综合应用与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．例2 （2012福建厦门三模，16，13分）实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤>≤+-.2,0,01y x y x(1)若,xyz =求：的最大值和最小值，并求z 的取值范围； (2)若,22y x z +=求z 的最大值与最小值，并求z的取值范围．解题思路解析由⎪⎩⎪⎨⎧≤>≤+-2,0,01y x yx 作出可行域如图阴影部分所示．（2分）xyz =)1(表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，（4分）因此x的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率（OA 斜率不存在，max z 不存在）．由⎩⎨⎧==+-2,01y y x 得.212),2,1(0==∴Bk B z z ∴=∴,2min 的取值范围是).,2[+∞ （7分）22)2(y x z +=表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．（9分）因此22y x +的范围最小为2||OA （取不到），最大为.||2OB （11分）由⎩⎨⎧==+-0,01x y x 得A(O ，1)，.5)21(||,1)10(||22222=+==+≡=∴OB OAz z ,5==∴无最小值，故z 的取值范围是(1，5].（13分）【方法点拨】常见代数式的几何意义有：22)1(y x +表示点（x ，y ）与原点(O ，0)的距离；22)()()2(b y a x -+-表示点（x ，y ）与点(a ，b)之间的距离；(3)xy表示点（x ，y ）与原点(0，0) 连线的斜率；(4)ax by --表示点（x ，y ）与点（a ，b ）连线的斜率．智力背景你了解梅森素数码(二） 1963年，美国伊利诺伊大学发现了第23个梅森素数，为了纪念这一发现还印制了有1211213-是素数”字样的纪念邮票．1997年发现的第36个梅森素数是895 932位数，写在纸上可长达450页．1998年、1999年又先后发现了第37个和第38个梅森素数，长达4 053 946位数的第39个梅森素数也于2001年12月被数学家们发现．三年模拟A 组 2011-2013年模拟探究专项基础测试时间：35分钟分值:45分一、选择题（每题5分，共30分）1．（2013北京东城高三上学期期末）已知x ，y 满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥.42,,0,0x y s y x y x 当53≤≤s 时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是( )]15,6.[A ]15,7.[B ]8,6.[C ]8,7.[D2．（2013吉林长春5月．1）不等式组⎩⎨⎧<+-≥+-02,063y x y x表示的平面区域是( )3．（2013辽宁大连二模．9）设,y x z +=其中实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+,0,0,02k y y x y x 若：的最大值为6，则z 的最小值为( )3.-A 2.-B 1.-C 0.D4．（2013北京西城5月，6）已知a ，b 是正数，且满足<+<b a 22,4那么22b a +的取值范围是( ))516,54.(A )16,54.(B )16,1.(C )4,516.(D5．（2012河南郑州三模．10）设x ，y 满足条件,2|11||≤-+y x 若目标函数bya x z +=（其中)0>>a b 的最大值为5，则8a +b 的最小值为3.A 1.B 5.C 6.D6．（2011浙江金华十校模拟．9）设变量x ，y 满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧-≥-=≤+≥,2|3|,43,x y x z y x x y 则的最大值为( )10.A 8.B 6.C 4.D 二、填空题（每题5分，共15分）7．（2013北京通州高三上学期期末）已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+=≤+≤+,0,0,42,42y x y x z y x y x 则的最大值为8．（2013北京海淀高三上学期期末）点P （x ，y ）在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+≥≤+≥1,3,0x y y x x 表示的平面区域内，若点P（x ，y ）到直线1-=kx y 的最大距离为,22则k=9．（2012北京朝阳二模11）若实数x ，y 满足⎩⎨⎧≤≤+-,0,01x y x 则2x 2y +的最小值是B 组 2011-2013年模拟探究专项提升测试时间：25分钟分值：30分一、选择题（每题5分，共20分）1．（2013福建南平一模，8）已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥,0,2,1y x y x 则y x z -=2的取值范围是( )]2,1.[A ]3,1.[B ]2,0[⋅C ]1,0[⋅D2．（2013江西九江二模，8）已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+=≥+≤,13,1,2y x y x z y x y 则的最大值为( )12.A 11.B 3.C 1.-D3．（2013河北衡水 5月8）由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥≥+-20,,05x t y y x 围成的三角形区域内有一个内切圆，向该三角形区域内随机投一个点，该点落在圆内的概率是关于t 的函数P(t)，则 ( )0)(./>t P A 0)(./<t P B 0)(./=t P C )(./t P D 符号不确定4．（2011安徽皖南八校三模．10）设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--,0,0,02,063y x y x y x 若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为12，则4922b a +的最小值为( ) 21.A 2513.B 1.C 2.D 二、填空题（每题5分，共10分）5．（2013吉林通化一模．14）设x ，y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≥,143,0,0aya x y x 若132+++=x y x z 的最小值为,23则a 的值为6．（2012福建厦门5月模拟，14）设集合B A b x y y x B x x y y x A },},{{}0|,2||),{(+-≤=≥-≥=，.∅≠智力背景你了解数论吗数论是一门研究整数性质的学科，具有高度的抽象性，德国数学家高斯1801年发表的《算术探讨》开创了现代数论的新纪元．数论在数学中的地位是独特的．高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠．”因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题叫做“皇冠上的明珠”．以鼓励人们去“摘驭”．下面简要列出几颗“明珠”：费马欠定理、孪生素数问题、苛德巴赫猜想、圆内整点问题、完全数问题…… (l)b 的取值范围是(2)若,),(B A y x ∈且y x 2+的最大值为9，则b 的值是。

同步年高考一轮数学复习 7-3简单线性规划及实际应用理同步练习（名师解析）

第7章第3节知能训练·提升考点一：平面区域问题1．设a＞0，点S的点，满足下列所有条件：①错误!≤≤2a；②错误!≤≤2a；③＋≥a；④＋a≥；⑤＋a≥则S的边界是一个有几条边的多边形A．4B．5C．6 D．8解析：如右图所示，分别画出各不等式表示的区域，并画出公共区域，可得平面六边形，即点S的边界有六条边的多边形．答案：C2．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，错误!2－＋n－3＝2m＋n－m＋3n比较系数n＝－错误!，m＝错误!，则＋＝错误!2－－错误!－3≤错误!×0－错误!×－5＝3,2＋－2≤21＝2解法二：不等式组表示的平面区域如下图，直线2－＝0与－3＋5＝0的交点1,2，Z＝＋－2的最优解为1,2，即Z ma＝1＋2－2＝1,2＋－2的最大值为2故填2答案：2考点三：线性规划的实际应用8．甲、乙两公司生产同一种产品，但由于设备陈旧，需要更新．经测算对于函数f、g 及任意的≥0，当甲公司投放万元改造设备时，若乙公司投放改造设备费用小于g万元，则乙公司有倒闭的风险，否则无倒闭的风险；同样，当乙公司投入万元改造设备时，若甲公司投入改造设备费用小于f万元，则甲公司有倒闭的风险；否则无倒闭的风险．1请解释f0、g0的实际意义；2设f＝＋5、g＝错误!＋10，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无倒闭风险的情况下尽可能地减少改造设备资金，问此时甲、乙两公司各投入多少万元解：1f0表示当乙公司不投入资金改造设备时，甲公司要避免倒闭风险，至少要投入f0万元的资金；g0表示当甲公司不投入资金改造设备时，乙公司要避免倒闭风险，至少要投入g0万元的资金．2设甲公司投放的资金为万元，乙公司投入的资金为万元，由题意，甲、乙公司均无倒闭风险，需错误!双方均无倒闭风险区域如图阴影部分所示．解错误!得in＝2 200，故选B答案：B2．2022·安徽若不等式组错误!所表示的平面区域被直线＝＋错误!分为面积相等的两部分，则的值是解析：由右图可知，线性规划区域为△ABC边界及内部，＝＋错误!恰过A错误!，＝＋错误!将区域平均分成面积相等的两部分，故过BC的中点D错误!，错误!＝×错误!＋错误!，＝错误!，故选A答案：A3．2022·山东设，满足约束条件错误!若目标函数＝a＋ba>0，b>0的最大值为12，则错误!＋错误!的最小值为D．4解析：由图形可知，目标函数在4,6处取得最大值12，∴2a＋3b＝6，从而有错误!＋错误!＝错误!错误!2a＋3b＝错误!错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!＋错误!≥错误!＋2错误!＝错误!故选A答案：A1在平面直角坐标系中，不等式组错误!a为常数表示的平面区域的面积是9，则实数a 的值为________．解析：如图，阴影部分为可行域可得交点Aa,4＋a，B－2，2，Ca，－a．答案：12．已知错误!，则错误!＋的最大值是________．解析：如图：在平面直角坐标系下先画出题中不等式组所表示的平面区域，再画出直线＋＝0，平移该直线，注意到当该直线平移到经过该平面区域内的点错误!，错误!时，相应直线在轴上的截距最小，此时＋取得最小值2，错误!＋取得最大值错误!答案：错误!。

高考数学复习简单的线性规划问题专题训练(含答案)

高考数学复习简单的线性规划问题专题训练（含答案）线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用宽泛、方法较成熟的一个重要分支。

以下是查词典数学网整理的简单的线性规划问题专题训练，请考生练习。

一、填空题1.(2019 广东高考改编 )若变量 x，y 知足拘束条件，则 z=2x+y 的最大值等于 ________.[ 分析 ] 作出拘束条件下的可行域如图 (暗影部分 )，当直线y=-2x+z 经过点 A(4,2) 时， z 取最大值为 10. [答案 ] 102.(2019 扬州调研 ) 已知 x，y 知足拘束条件则z=3x+4y 的最小值是 ________.[ 分析 ] 可行地区以下图.在 P 处取到最小值 -17.5.[ 答案 ] -17.53.已知实数 x，y 知足若 z=y-ax 获得最大值时的最优解 (x ，y)有无数个，则 a=________.[ 分析 ] 依题意，在座标平面内画出题中的不等式组表示的平面地区，以下图.要使 z=y-ax 获得最大值时的最优解(x ，y)有无数个，则直线 z=y-ax 必平行于直线 y-x+1=0 ，于是有 a=1. [答案]14.(2019 山东高考改编 )在平面直角坐标系xOy 中， M 为不等式组所表示的地区上一动点，则直线OM 斜率的最小值为________.[ 分析 ] 线性拘束条件表示的平面地区以下图( 暗影部分 ).由得 A(3 ， -1).当 M 点与 A 重合时， OM 的斜率最小， kOM=-.[答案]-5.(2019 陕西高考改编 )若点 (x， y)位于曲线 y=|x| 与 y=2 所围成的关闭地区内，则 2x-y 的最小值是 ________.[ 分析 ] 曲线 y=|x| 与 y=2 所围成的关闭地区如图暗影部分所示.当直线 l：y=2x 向左平移时， (2x-y) 的值在渐渐变小，当l 通过点 A(-2,2) 时， (2x-y)min=-6.[答案 ] -66.已知点 P(x ，y) 知足定点为A(2,0) ，则 ||sinAOP(O 为坐标原点)的最大值为 ________.[ 分析 ] 可行域如图暗影部分所示，A(2,0) 在 x 正半轴上，所以 ||sinAOP 即为 P 点纵坐标 .当 P 位于点 B 时，其纵坐标获得最大值.[答案 ]7.(2019 兴化安丰中学检测)已知不等式组表示的平面地区S的面积为 4，若点 P(x，y)S，则 z=2x+y 的最大值为 ________.[ 分析 ] 由拘束条件可作图以下，得 S=a2a=a2，则 a2=4，a=2，故图中点 C(2,2) ，平移直线适当过点 C(2,2) 时 zmax=22+2=6. [答案]68.(2019 江西高考 )x ，yR，若 |x|+|y|+|x-1|+|y-1|2 ，则 x+y 的取值范围为 ________.[ 分析] 由绝对值的几何意义知，|x|+|x-1|是数轴上的点x 到原点和点 1 的距离之和，因此 |x|+|x-1|1 ，当且仅当 x[0,1] 时取 =. 同理 |y|+|y-1|1，当且仅当 y[0,1] 时取 =.|x|+|y|+|x-1|+|y-1|2.而 |x|+|y|+|x-1|+|y-1|2 ，|x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2 ，此时， x[0,1] ，y[0,1] ， (x+y)[0,2].[ 答案 ] [0,2]二、解答题9.(2019 四川高考改编 )某企业生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克，B 原料 2 千克 ;生产乙产品1桶需耗 A原料 2千克，B原料 1千克 .每桶甲产品的收益是 300 元，每桶乙产品的收益是 400元 .企业在生产这两种产品的计划中，要求每日耗费 A 、 B 原料都不超出 12千克 .通过合理安排生产计划，从每日生产的甲、乙两种产品中，试求企业共可获取的最大收益.[ 解 ] 设生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，每日收益为z元，则且 z=300x+400y.作出可行域，如图暗影部分所示.作直线 300x+400y=0 ，向右上平移，过点 A 时，z=300x+400y 取最大值，由得 A(4,4) ，zmax=3004+4004=2 800.故企业共可获取的最大收益为 2 800 元.10.(2019 安徽高考改编 )已知实数x， y 知足拘束条件(1)求 z=x-y 的最小值和最大值;(2)若 z=，求 z 的取值范围 .[ 解 ] 作拘束条件知足的可行域，以下图为ABC 及其内部 .联立得 A(1,1).解方程组得点B(0,3).(1)由 z=x-y ，得 y=x-z.平移直线 x-y=0 ，则当其过点 B(0,3) 时，截距 -z 最大，即 z 最小 ;当过点 A(1,1) 时，截距 -z 最小，即 z 最大 .zmin=0-3=-3;zmax=1-1=0.(2)过 O(0,0) 作直线 x+2y=3 的垂线 l 交于点 N.察看可行域知，可行域内的点 B 、N 到原点的距离分别达到最大与最小 .宋此后，京所小学和武学堂中的教称皆称之“教”。

高考数学复习简单的线性规划问题专题训练(含答案)

高考数学复习简单的线性规划问题专题训练（含答案）线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支。

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一、填空题1.(2019广东高考改编)若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y 的最大值等于________.[解析] 作出约束条件下的可行域如图(阴影部分)，当直线y=-2x+z经过点A(4,2)时，z取最大值为10.[答案] 102.(2019扬州调研)已知x，y满足约束条件则z=3x+4y的最小值是________.[解析] 可行区域如图所示.在P处取到最小值-17.5.[答案] -17.53.已知实数x，y满足若z=y-ax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则a=________.[解析] 依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，如图所示.要使z=y-ax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则直线z=y-ax必平行于直线y-x+1=0，于是有a=1. [答案] 14.(2019山东高考改编)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为________.[解析] 线性约束条件表示的平面区域如图所示(阴影部分). 由得A(3，-1).当M点与A重合时，OM的斜率最小，kOM=-.[答案] -5.(2019陕西高考改编)若点(x，y)位于曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域内，则2x-y的最小值是________.[解析] 曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域如图阴影部分所示.当直线l：y=2x向左平移时，(2x-y)的值在逐渐变小，当l通过点A(-2,2)时，(2x-y)min=-6.[答案] -66.已知点P(x，y)满足定点为A(2,0)，则||sinAOP(O为坐标原点)的最大值为________.[解析] 可行域如图阴影部分所示，A(2,0)在x正半轴上，所以||sinAOP即为P点纵坐标.当P位于点B时，其纵坐标取得最大值.[答案]7.(2019兴化安丰中学检测)已知不等式组表示的平面区域S的面积为4，若点P(x，y)S，则z=2x+y的最大值为________. [解析] 由约束条件可作图如下，得S=a2a=a2，则a2=4，a=2，故图中点C(2,2)，平移直线得当过点C(2,2)时zmax=22+2=6. [答案] 68.(2019江西高考)x，yR，若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|2，则x+y的取值范围为________.[解析] 由绝对值的几何意义知，|x|+|x-1|是数轴上的点x到原点和点1的距离之和，所以|x|+|x-1|1，当且仅当x[0,1]时取=. 同理|y|+|y-1|1，当且仅当y[0,1]时取=.|x|+|y|+|x-1|+|y-1|2.而|x|+|y|+|x-1|+|y-1|2，|x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2，此时，x[0,1]，y[0,1]，(x+y)[0,2].[答案] [0,2]二、解答题9.(2019四川高考改编)某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克，B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，试求公司共可获得的最大利润.[解] 设生产甲产品x桶，乙产品y桶，每天利润为z元，则且z=300x+400y.作出可行域，如图阴影部分所示.作直线300x+400y=0，向右上平移，过点A时，z=300x+400y取最大值，由得A(4,4)，zmax=3004+4004=2 800.故公司共可获得的最大利润为2 800元.10.(2019安徽高考改编)已知实数x，y满足约束条件(1)求z=x-y的最小值和最大值;(2)若z=，求z的取值范围.[解] 作约束条件满足的可行域，如图所示为ABC及其内部.联立得A(1,1).解方程组得点B(0,3).(1)由z=x-y，得y=x-z.平移直线x-y=0，则当其过点B(0,3)时，截距-z最大，即z 最小;当过点A(1,1)时，截距-z最小，即z最大.zmin=0-3=-3;zmax=1-1=0.(2)过O(0,0)作直线x+2y=3的垂线l交于点N.观察可行域知，可行域内的点B、N到原点的距离分别达到最大与最小.宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。

《走向高考》2022高三数学(人教A版)总复习同步练习7-3简单的线性规划问题

《走向高考》2022高三数学（人教A版）总复习同步练习7-3简单的线性规划问题基础巩固强化1.(文)在平面直角坐标系中，若点(3t－2，t)在直线某－2y＋4＝0的下方，则t的取值范围是()A．(－∞，2)C．(－2，＋∞)[答案]C[解析]∵点O(0,0)使某－2y＋4>0成立，且点O在直线下方，故点(3t－2，t)在直线某－2y＋4＝0的下方3t－2－2t＋4>0，∴t>－2.[点评]可用B值判断法来求解，令d＝B(A某0＋By0＋C)，则d>0点P(某0，y0)在直线A某＋By＋C＝0的上方；d<0点P在直线下方．(理)若2某＋4y<4，则点(某，y)必在()A．直线某＋y－2＝0的左下方B．直线某＋y－2＝0的右上方C．直线某＋2y－2＝0的右上方D．直线某＋2y－2＝0的左下方[答案]D[解析]∵2某＋4y≥22某＋2y，由条件2某＋4y<4知，22某＋2y<4，∴某＋2y<2，即某＋2y－2<0，故选D.2．在直角坐标系某Oy中，已知△AOB的三边所在直线的方程分别为某＝0，y＝0,2某＋3y＝30，则△AOB内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为()A．95B．91C．88D．75[答案]BB．(2，＋∞)D．(0,2)[解析]由2某＋3y＝30知，y＝0时，0≤某≤15，有16个；y＝1时，0≤某≤13；y＝2时，0≤某≤12；y＝3时，0≤某≤10；y＝4时，0≤某≤9；y＝5时，0≤某≤7；y＝6时，0≤某≤6；y＝7时，0≤某≤4；y＝8时，0≤某≤3；y＝9时，0≤某≤1，y＝10时，某＝0.∴共有16＋14＋13＋11＋10＋8＋7＋5＋4＋2＋1＝91个．某≥1，3．(2022·天津文，2)设变量某，y满足约束条件某＋y－4≤0，某－3y＋4≤0，则目标函数z＝3某－y的最大值为()A．－44C.3[答案]D[解析]B．0D．45该线性约束条件所代表的平面区域如图，易解得A(1,3)，B(1，)，3C(2,2)，由z＝3某－y得y＝3某－z，由图可知当某＝2，y＝2时，z取得最大值，即z最大＝3某2－2＝4.故选D.4．(文)(2022·安徽示范高中皖北协作区联考)已知某，y满足不等某＋y≤2，式组y－某≥0，某≥0.()A．a>1C．a<1[答案]D[解析]作出可行域如图阴影部分所示．B．a>－1D．a目标函数z＝a某＋y只在点(1,1)处取最小值，则有由z＝a某＋y，得y＝－a某＋z.只在点(1,1)处z取得最小值，则斜率－a>1，故a某－3y＋4≥0，(理)(2022·宝鸡质检)已知约束条件某＋2y－1≥0，3某＋y－8≤0，若目标函数z＝某＋ay(a≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a的取值范围为()A．031C．a>3[答案]C[解析]作出可行域如图，B．a≥31D．0∵目标函数z＝某＋ay恰好在点A(2,2)处取得最大值，故－>－3，a1∴a>.30≤某≤2，5．(文)设不等式组0≤y≤3，某＋2y－2≥0，所表示的平面区域为S，若A、B为区域S内的两个动点，则|AB|的最大值为()A．25C．3[答案]B[解析]在直角坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形观察不难得知，B.13D.5。

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